درس کنترل ديجيتال

-92نیم سال اول 93

بسم ا... الرحمن الرحيم

سعید شمقدری

تحلیل وطراحى در فضاى حالت : کنترل پذیری -

محدود، با سیگنال بدون محدودیتدر یک زمانکنترل تمامی متغیرهای حالت

: شرایط کنترل پذیری- باشد x(k+1)=G x (k) +H u (k) اگر

n-1H GH G H =n

. استشرط کنترل پذ یری

Given:X ((k+1) T)=G x (kT) +H u

(kT)

Y (kT)=C x (kT)سیستم فوق را کنترل پذیر خروجی می گوییم ،در صورتیکه ممکن

ورودییکبا تعیینتا باشد

(unconstrained ) U(kT) استكه در محدوده زمانی زیر تعریف شده:

0 kT nT

در فضایfy را به یک نقطه دلخواه y(kT) خروجی y(0) بتوانیم از نقطه شروع

.پریود نمونه گیری انتقال دهیم n وحداکثر در خروجی

:کنترل پذیری خروجی -

: - شرط کنترل پذیری خروجی

n-1CH CGH CG H =m

m تعداد خروجیهای سیستم

:حال اگر سیستم بشرح زیر باشدX ((k+1) T)=G x (kT) +H u

(kT)

Y (kT)=C x (kT) +D u (kT): در اینصورت

n-1 D CH CGH CG H =m

:مشاهده پذیری -X ((k+1) T)=G x (kT) +H u

(kT)

Y (kT)=C x (kT) را بتوانیم با x(0) سیستم فوق رامشاهده پذیر می گوییم ،Iدر صورتیکه هر حالت اولیه

پریود نمونه گیری محدود،بدست آوریمدر چند y(kT) مشاهده .

بازسازی حالتهای : مفهوم مشاهده پذیری غیر قابل اندازه گیری

: جهت تست -

n-1

CCA

=

CA

n

کنترل پذيري (( 1) ) ( ) ( )

( ) state vector at Kth sampling instant( ) control signal at Kth sampling instant

G= matrixH= 1 matrixT=sampling periodAssumption: ( )

X k T GX kT HU kT

X kTU kT

n nn

U kT

is constant over ( 1)kT t k T

سيستم فوق را بطور کامل کنترل پذيريا کنترل پذيرحالت مي گوييم که اگر يک سيگنال وروديبنحوي وجود داشته باشدکه:

U (kT): -piecewise continuous (1) -Defined over a finite # of sampling time (2)

را بIه هIر حالت دلخواه در X(KT)م حالIت يIه بتوانيIاگIر از هIر حالIت اولnل کنIه برداری منتقIم.)ي دوره نمونXf ک يarbitrary stateي در فضا n

می باشد(.origin شامل يبعد

11

0

1 2

2 1

( ) (0) ( )

= (0) + (0) ( ) (( 1) ) (( 1) )(( 2) )

( ) (0) ( )(0)

nn n j

j

n n n

n n n

X nT G X G HU jT

G X G HU G HU T HU n TU n TU n T

X nT G X H GH G H G HU TU

By definition:

مي يک بردار ستوني هرکدام از ستونهايپس اگر رتبه ماتريس باشند ،

1 , , ,nG H GH H 1n

n-1G H GH H n

n بردار1 , , ,nG H GH H n بعدي را فرا گيرد. اين ماتريس را ميتواند کل فضاي

.ماتريس کنترل پذيري مي گوييم

لذا: اگر Q n

يک سلسله سيگنالهاي ورودي ،fX(nT)=X پس براي هر حالت دلخواه

Unbounded را تأمين مي نمايد هستند بنحوي وجود دارد که معادلهکه همگي.(**)

پس شرط Q n ،استشرط كافيجهت تست كنترل پذيري .

)**(براي آنکه ثابت کنيمکه همچنين شرط الزم براي تست کنترل پذيري کامل است،

u((n-1)T),…,u(T),u(0)

: فرض مي کنيم کهn-1GH GH H n

راي هربسپس با استفاده از قضيه كيلي-هميلتون، مي توان نشان داد که iدلخواه عبارت

iG H ميتواند بعنوان يک تركيب خطي از

n-1G H, ,GH,H هرشرح داده مي شود، لذا برايn-1GH GH H n

i

n-1G خواهد بود وبردارهاي H, ,GH,Hبعدي را فرا گيرند ودر نتيجه نمي توانند کل فضاي n

براي تمام i .هاfX(iT)=X ممکن نيست که داشته باشيم fX براي هر پس شرط

n-1GH GH H n

. براي کنترل پذيري نيز هستشرط الزم

کنترل پذيري آنست که شرط الزم وکافي برايدر نتيجه:n-1GH GH H n

U :يک بردار باشد، يعني (kT)حال اگر(( 1) ) ( ) ( )

( ) 1 matrix matrix

X k T GX kT HU kTU kT rH n r

:آنست کهQ=n×nr شرط کنترل پذيري ماتريس n-1( ) GQ H GH H n

II. Output controllability

شرط کنترل پذيري حالIIت، نIIه شرط الزم ونIIه شرط کافIIي براي کنترل پذيري خروجي است.

(( 1) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant( ) control signal (scaler) at Kth sampling instant( ) output vector (m 1) at Kt

X k T GX kT HU kTE

Y kT CX kT

X kTU kTY k

h sampling instantG= matrixH= 1 matrixC=m n matrix

n nn

U (kT) را بطور کامل کنترل پذيري خروجي مي گوييم که اگر بتوان سيگنال ورودي(E) سيستم را )بطوريکه

Unconstrained control signalDefined over a finite # of sampling period

بنحوي که اگIر هر خروجي اوليه بنا نمود y(0) شروع کنيم، خروجي y(kT) را بتوانيم به نقطه در فضاي خروجي، حداکثر در دلخواه n .پريود نمونه گيري منتقل نماييم

PROVE:1

1

0

11

0

( ) (0) ( )

( ) ( )

(0) ( )

nn n j

j

nn n j

j

X nT G X G HU jT

Y nT CX nT

C G X C G HU jT

11

0

1 2

2 1

( ) (0) ( )

= C (0) ( ) (( 2) ) (( 1) )

(( 1) )(( 2) )

( ) (0) ( )(0)

nn n j

j

n n

n n n

Y nT C G X C G HU jT

G HU C G HU T C GHU n T C HU n T

U n TU n T

Y nT CG X CH CGH CG H CG HU TU

بايد توجه داشت که

( ) (0) (0)n nfY nT C G X Y C G X

نماينده يک نقطه دلخواه در فضاي m .بعدي خروجي است

پس همانند حالت کنترل پذيري حالت، شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست کهn-1CG بردارهاي H,...,CGH,CH

m :بعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکه بتوانند فضاي

2 1n nCH CGH CG H CG H m

کافی بطور کامل کنترل پذير حالت باشد، آنگاه شرط الزم واگر سیستم براي کنترل پذيري خروجي آنست که m رديف ماتريس C.مستقل خطي باشند ،

اگر سيستمبشرح زير باشد:

(( 1) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )X k T GX kT HU kT

EY kT CX kT DU kT

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant( ) control signal (scaler) at Kth sampling instant( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant

G= matrixH= matrixC=m n matrixD=m matrix

X kTU kTY k

n nn r

r

11

0

11

0

1 2

( ) ( ) ( )

(0) ( )+ ( )

( ) (0) ( ) + ( )

= C (0) ( ) (( 2) ) (( 1) )+

nn n j

j

nn n j

j

n n

Y nT CX nT DU nT

C G X C G HU jT DU nT

Y nT C G X C G HU jT DU nT

G HU C G HU T C GHU n T C HU n T DU

2 1

( )( )(( 1) )(( 2) )

=

( )(0)

n n

nTU nTU n TU n T

D CH CGH CG H CG H

U TU

شرط الزم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که رتبه ماتريس

1m n r

2 1n nD CH CGH CG H CG H m

همواره مي تواند جهت ايجاد وتأسيس کنترل پذيري خروجي مهم . وجود ماتريس D باشد

III. Observability

مشاهده پذیر می گوییم گفتیم که یک سیستم را بطور کامل ،

بتوانیم از مشاهده

رااگر هر حالت اولیه

Y (kT) over a finite # of sampling period.بدست آوریم

: اگر سیستم

(( 1) ) ( ) unforced

( ) ( )

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant

( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant

G= matrix

C

X k T GX kTY kT CX kT

X kT

Y k

n n

=m n matrix

11

0

11

0

(( 1) ) ( ) ( )If

( ) ( ) ( )Then:

( ) (0) ( )

( ) (0) ( ) +DU(kT)

kk k j

j

kk k j

j

X k T GX kT HU kTY kT CX kT DU kT

X kT G X G HU jT

Y kT C G X C G HU jT

ورودی سیستم یعنی از آنجا که ماتریس های D,C,H,G ، شناخته شده هستندهمگی

U (kT)هم شناخته شده است، لذا ترمهای دوم وسوم معادله ( )

را بررسی کردunforced می توان سیستم بنابراین

.شناخته شده می باشند

2

2

1

(0) (0)

( ) (0)

(2 ) (0)

( 2 ) (0)

( 1 ) (0)

n

n

Y CX

Y T CGX

Y T CG X

Y n T CG X

Y n T CG X

To prove: ( ) (0)

( ) (0)

k

k

X kT G X

Y kT C G X

n معادله است، و در باال1m یک بردارY (kT)از آنجا که

در نتیجه داریم لذا

simultaneous

nm.معادله خواهیم داشت

برای آنکه یک پاسخ unique برای2 1(0), , (0), (0) nx x xاز nm

بتوانیم دقیقاً n معادله بدست آوریم، باید معادله مستقل خطی از بدست آوریم.در نتیجه شرط مشاهده پذیری

nm معادله

: آنست كه

1n

CCG

n

CG

رتبه یك ماتریس و ماتریسبرابری conjugate transpose

1nC G C G C n

اگر real ،G,C :باشند

1nT T T T TC G C G C n

مشاهده پذیری عبارتست از اگر سیستم بفرم جردن باشد، شرط الزم وکافی برای - :

ستونهای C (1) که مربوط به اولین ردیف هر بلوک جردن هستند، همگی صفر .نمی باشند

هیچ ستونی از C (2).که مربوط به یك مقدار ویژه مجزا است،صفر نمی باشد

o:مثال

1 0

( 1) ( )0 2 1

( ) 1 5 Observable

X k X k

Y k

2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 2 0 0 1

( 1) ( ) ( )

0 0 0 3 1 60 0 0 0 3 1

1 1 1 0 1( ) ( )

0 1 1 1 0

X k X k U k

Y k X k

Observable

-2 0X(k+1)= ( )0 1

( ) 0 1 ( )

X k

Y k X k

Not Observable

2 1 0 0 00 2 1 0 0

X(k+1)= ( )0 0 2 0 00 0 0 4 1 0 0 0 0 4

0 1 1 0 1( ) ( )

1 1 1 0 0

X k

Y k X k

Not Observable

IV. Principle of duality

: s1 اگر سیستم

1

(( 1) ) ( ) ( ) s

( ) ( )X k T GX kT HU kTY kT CX kT

( ) state vector (n 1)at Kth sampling instant( ) control vector (scaler) at Kth sampling instant( ) output vector (m 1) at Kth sampling instant

G= matrixH= 1 matrixC=m n matrix

X kTU kTY k

n nn

: سیستم دوگان آنرا بصورتˆ ˆ ˆ(( 1) ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )

X k T G X kT C U kT

Y kT H X kT

ˆ ( ) state vector (n 1)ˆ ( ) control vector (m 1) ˆ( ) output vector (r 1)

G =conjugate transpose of G

H =conjugate transpose of H

C =conjugate transpose of C

X kT

U kT

Y k

n شرط الزم وكافی برای كنترل پذیری آنست كه رتبه ماتریس (1) n rn.باشد

برابر

n-1GH G H H n

n شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری آنست كه رتبه ماتریس (2) n mبرابر

n.باشد

1nC G C G C n

:s1 آنگاه برای سیستم

n شرط الزم وكافی برای كنترل پذیری آنست كه رتبه ماتریس (1) n mبرابر

n.باشد

1nC G C G C n

n شرط الزم وكافی برای مشاهده پذیری آنست كه رتبه ماتریس (2) n rبرابر

n.باشد

n-1GH G H H n

:s2 برای سیستم

اسIت کIه باعIث از بيIن رفتIن مشاهده نمونIه گيري ممکIن-سيستم بدست آمده بشود. پذيري/ کنترل پذيري

گسسته زمان علت :حذف صفروقطبهاي سيستم -