1. Súkromné gymnázium Bajkalská

Pytagorejci

Kvinta Legends

2016

Konzultanti

F – Dana Jančinová

M – Jana Šmahovská

D – Barbora Ulrichová

Fil – Pavol Cesnak

Autori

Jakub Ljutenko

Jana Ondičová

Bruno Petrus

Pytagorejci Kvinta Legends

Čestné vyhlásenie Čestne vyhlasujeme, že sme autormi tohto projektu a zdroje, z ktorých sme

čerpali, sú overené a dôveryhodné.

Jakub Ljutenko

…………………

Jana Ondičová

…………………

Bruno Petrus

…………………

1

Pytagorejci Kvinta Legends

Poďakovanie Týmto veľmi pekne ďakujeme našim konzultantom za veľa trpezlivosti a

pochopenia pri získavaní informácii a následne pomoc a spoluprácu pri písaní

nášho projektu.

2

Pytagorejci Kvinta Legends

Obsah

Čestné vyhlásenie...................................................................................................1

Poďakovanie............................................................................................................2

Obsah......................................................................................................................3

Úvod........................................................................................................................4

Pytagoras................................................................................................................5

Filozofia...................................................................................................................7

Predsokratovská filozofia.....................................................................................7

Filozofia pytagorejcov..........................................................................................7

Figurálne čísla.........................................................................................................9

Trojuholníkové čísla.............................................................................................9

Štvorcové čísla...................................................................................................10

Číselné obory........................................................................................................12

Prirodzené čísla.................................................................................................12

Celé čísla...........................................................................................................12

Racionálne čísla.................................................................................................13

Prevod periodického čísla na zlomok.............................................................13

Iracionálne čísla.................................................................................................14

Špajdla a výpočet pi.......................................................................................15

Reálne čísla.......................................................................................................16

Prínosy do geometrie............................................................................................17

Aplikovaná geometria Grékov................................................................................18

Záver.....................................................................................................................20

Resumé.................................................................................................................21

Summary...............................................................................................................22

Das Resümee........................................................................................................23

Bibliografia.............................................................................................................24

Obrázky:.............................................................................................................26

3

Pytagorejci Kvinta Legends

Úvod Ako hlavnú otázku, ktorá bude spájať projekty celej našej triedy, sme si

zvolili “Čo nás formuje, určuje, determinuje?”. My sme sa rozhodli pozrieť na to

ako nás formovali a stále formujú objavy a nálezy pytagorejcov. Pytagorejci patrili

k prvým, ktorí vysvetľovali javy okolo seba na základe istých matematických

súvislostí. Číslam pripisovali pre nás až nepochopiteľný význam a snažili sa ich

nájsť všade. Celá ich filozofia, ktorá bola v ich dobe veľmi prevratná stojí na

myšlienke, že číslo je jeden zo základných princípov. Cez čísla sa snažili pozerať

na všetko, počnúc ľuďmi, pokračujúc každodenne používanými predmetmi,

končiac vesmírom.

Sám Pytagoras bol veľmi zaujímava postava zahalená do závoja tajomstiev

a legiend. Jeho Pytagorejská škola takisto vyvoláva mnoho otázok. Zaujímalo nás

kde ju založil, ako sa v nej žilo a ako to celé vlastne fungovalo. Chceli sme sa

bližšie pozrieť aj na čísla a ich druhy ako ich chápali a rozdeľovali pytagorejci a

ako ich vnímame dnes. Rozmýšľali sme hlavne nad iracionálnymi číslami, ktoré

nám pripadajú najkomplikovanejšie a najnepredstaviteľnejšie a napriek tomu ich

existenciu objavili už starovekí Gréci.

Filozofia a myšlienky pytagorejcov podnietili mnoho filozofov k teóriam, z

ktorých dnes vychádzame aj my. Pytagorejcom tiež vďačíme za mnoho objavov z

oblasti matematiky, geometrie či fyziky, ktoré používame vo väčšej alebo menšej

miere dodnes. Práve preto sme sa rozhodli preskúmať ich objavy, teórie a nápady

bližšie.

4

Pytagorejci Kvinta Legends

Pytagoras Pytagoras sa narodil v Antickom Grécku, konkrétne na ostrove Samos v 6.

storočí pred naším letopočtom. Bol jedným z najvýznamnejších matematikov

svojej doby. Okrem toho bol aj vášnivým filozofom a astronómom. S menom

Pytagoras sa najužšie spája Pytagorova veta (a2 + b2 = c2),

ale pripisuje sa mu aj mnoho ďalších objavov. Väčšina z

nich je však pravdepodobne objavmi iných pytagorejcov, nie

jeho samotného. Bol medzi svojimi učencami považovaný

za akéhosi až poloboha, prípadne takmer mystickú postavu

a to je zrejme dôvod prečo o väčšine objavov jeho učencov

hovoríme ako o objavoch samotného Pytagora.  

Počas svojho života Pytagoras veľa cestoval, no väčšinu svojho života

strávil v rodnom Grécku. Jeho najdlhší pobyt mimo Grécka bolo dvadsať rokov

strávených v Egypte, kde sa priučil tamojšej matematike.

Po návrate do Grécka vytvoril spolok v dnešnej dobe nazývaný

Pytagorejská škola. Bola sformovaná v Crotone v južnom Taliansku, ktoré v tom

čase patrilo Grécku. Považujeme ju za tajnú ezoterickú spoločnosť, v našom

ponímaní pripomínajúcu takmer sektu. V Pytagorejskej škole boli veľmi prísne

pravidlá vstupu, povráva sa, že vstúpiť mohli iba tí, ktorí vydržali päť rokov mlčať.

Členovia Pytagorejskej školy, ktorí sa chceli naplno venovať matematike a filozofii,

žili celý svoj život v askéze, čo znamená, že sa zriekli životného pohodlia a

životných radostí. Druhá časť členov, ktorá síce sympatizovala s učením

pytagorejcov, ale nežila v askéze sa nazýva akuzmatikoi.

Členovia Pytagorejskej školy sa taktiež snažili dosiahnuť v Starovekom

Grécku veľmi populárny ideál krásy Kalokagathiu. Gréci nehľadeli len na vonkajšiu

krásu tela, ale aj na čistotu a krásu duše, teda na múdrosť, charakter a rozhľad.

Kalokagathia predstavuje práve ideálne spojenie telesnej sily, duševnej čistoty a

múdrosti. Snaha o dosiahnutie Kalokagathie vyplýva aj z ich filozofie spomínanej

podrobnejšie neskôr.

Postava Pytagora je aj zdrojom kontroverzie, pretože ním napísane texty sa

nezachovali. Napriek tomu o ňom máme veľa informácií z iných prameňov.

Väčšina z nich však bola napísaná jeho učencami až po pytagorovej smrti.

5

Obr. 1

Pytagorejci Kvinta Legends

Pytagoras sa venoval aj hudbe, čo môže znieť zvláštne, až prekvapivo.

Traduje sa legenda, že Pytagoras objavil súvis medzi notami a matematikou. Vraj,

keď raz Pytagoras išiel po ulici, začul nádherné a harmonické zvuky

vychádzajúce z kováčstva. Napdlo mu, že za tým musí byť nejaký vedecký zákon.

Každý deň sledoval ako kováči kujú železnými kladivami, kým nezistil, že kladivá

majú rôznu dĺžku. To spôsobovalo, že vydávali iné zvuky. Fakt, že zvuk tiež závisí

od dĺžky nástroja a dĺžka sa udáva v číslach, bral ako dôkaz pravdivosti svojej

filozofie, že čísla boli objavené a nie vymyslené. Z toho Pytagorovi vyplynulo, že

základom fungovania celého vesmíru sú čísla.

V dnešnej pokročilej dobe však vieme, že Pytagoras nemal pravdu. Zákon

o pomere hmotnosti a dĺžky hracieho nástroja platí len pri strunách. Pri ťažkých

kladivách nie. Každopádne na to Pytagoras išiel veľmi dobre a jeho teóriu neskôr s

objavením nových poznatkov len upravili.

Čísla našiel Pytagoras nielen v hudbe. Zistil tiež, že pohyb planét a hviezd

nie je spontánny, ale určený istými matematickými rovnicami. Trajektóriu planét a

iných vesmírnych telies je teda možné vypočítať. Spojením týchto dvoch zistení

vznikla jeho teória. Predstavoval si planéty a iné vesmírne objekty ako noty, ktoré

spolu tvoria jednu veľkú symfóniu - vesmír.

6

Pytagorejci Kvinta Legends

Filozofia Predsokratovská filozofia

V dnešnej dobe považujeme za kolísku filozofie Antické Grécko, konkrétne

mesto Milétos. Narodil sa v ňom Táles, ktorý je považovaný za jedného z prvých

západných filozofov. Je známy tým, že začal vysvetľovať javy okolo seba inak ako

pomocou mýtov a legend, teda nie nadprirodzeným, ale prirodzeným spôsobom.

On a jeho následníci mali tendenciu všetko, čo existuje redukovať na prvotný

látkový princíp. Podľa ich filozofie existuje takzvaná pralátka alebo arché, z ktorej

sa všetko skladá. Tento princíp nazývame monizmus.

Konkrétne Táles zastával myšlienku, že všetko sa skladá z vody a jej rôznych

foriem. Názor, čo túto pralátku predstavuje sa však medzi rôznymi učencami líšil.

Anaximens zastával názor, že všetko sa skladá zo vzduchu a Anaximandres

dokonca veril v látku, ktorú nemožno definovať a priraďoval ju k niečomu

nevymedzenému alebo neurčenému. Boli to úplne prvé pokusy Grékov o

vysvetlenie rôznych javov bez použitia mýtov.

Filozofia pytagorejcovPytagorejci síce prijali názory svojich predchodcov ohľadom látky, no za

veľký prielom považujeme ich predstavu niečoho immateriálneho, čo látku

definuje. Takýto pohľad by sme moli nazvať dualistický systém.

Dualizmus hovorí o tom, že svet sa skladá z dvoch princípov - z látky, ktorá

nemá žiadnu formu a z niečoho immateriálneho, čo látke formu udáva. To, čo my

vidíme ako dom, knihu, stôl a iné objekty je už látka definovaná práve touto

immateriálnou entitou. Pytagorejci považovali za immateriálny princíp číslo a

tvrdili, že tvorí podstatu všetkého. Boli toho názoru, že číslo je abstraktné a nie je

materiálne, je produktom mysle a napriek tomu dáva veciam určitosť, logiku,

poznateľnosť a formu. Rôznym číslam dokonca pripisovali špeciálny význam.

Nepárne čísla považovali za pozitívne a párne za negatívne a to z dôvodu, že

číslo jedna, ktoré je nepárne chápali ako začiatok všetkého. Zaujímavé potom je,

že párne, teda negatívne, čísla považovali za ženské, zatiaľ čo nepárne, teda

7

Pytagorejci Kvinta Legends

pozitívne, za mužské. Toto pravdepodobne súvisí s postavením žien v spoločnosti

v období pytagorejcov. Číslo päť zase predstavovalo symbol manželstva.  

Z nášho pohľadu možno trochu paradoxne pytagorejci považovali za jedno

z najvýznamnejších čísel číslo desať a to aj napriek tomu, že je párne a teda

negatívne. Táto fascinácia desiatkou vyplýva z toho, že číslo desať chápali ako

celok zahŕňajúci všetko potrebné na zadefinovanie sveta. Práve pre číslo desať sa

rozhodli, nakoľko je to súčet čísel jedna, dva, tri a štyri. Tieto štyri čísla im

postačovali na určenie všetkého, čo potrebovali. Jednotka predstavovala v ich

teórii bod. Dvojka boli zase body už dva, ktoré sa dali spojiť a tým vznikla úsečka.

Číslom tri ďalej získali tri body, ktoré sa dali spojiť do akéhosi rovinného útvaru,

čiže sa dostali k 2D priestoru. A nakoniec číslo štyri, ktoré predstavuje počet

bodov potrebných na zadefinovanie telesa v priestore, čiže 3D priestor.

Dualistický princíp aplikovali aj na človeka. Pytagoras zastával názor, že

rovnako dôležité ako poznať svet okolo seba, je aj rozvíjať svoju podstatu, svoju

dušu, ktorá je božská a nie je zložená z látky. Ľudskú bytosť chápali ako spojenie

látky a immateriálnej duše fomujúcej túto látku. Látku pre nich predstavovalo

ľudské telo, ktoré považovali len za dočasnú schránku pre nesmrteľnú dušu. Verili,

že po smrti duša ostane zachovaná a len telesná schránka bude pretvorená do

inej formy.

Pytagoras a jeho filozofia mala veľký vplyv aj na ostatných filozofov.

Napríklad jeho teórie priviedli Platóna k viere v nesmrteľnosť. Platón od Pytagora

získal poznatky z takmer všetkých oblastí, dá sa takmer povedať, že bol jedným z

pytagorejcov. Vo svojich teóriach v podstate len dotváral pytagorejské myšlienky.

Dnes považujeme Platónove idey za základ európskej filozofie. Dalo by sa teda

tvrdiť, že na tom má podiel aj samotný Pytagoras, ktorým bol Platón ovplyvnený.

Za ďalšieho v niektorých smeroch Pytagorom ovplyvneného filozofa považujeme

Aristotela.

Veľmi dôležitú úlohu pre nich stále zohrávali aj mýty a legendy. Sám

Pytagoras mal medzi svojimi učencami postavenie poloboha, nasledovníka boha

Apolóna a tvrdil, že vďaka tomu videl svoje “predchádzajúce životy”, z čoho vraj

čerpal svoju múdrosť. Pytagoras a jeho nasledovníci praktizovali aj rôzne rituály,

ktoré  sa prejavovali v rôznych smeroch.

8

Pytagorejci Kvinta Legends

9

Pytagorejci Kvinta Legends

Figurálne čísla Pytagorejci zapisovali prirodzené čísla pomocou bodiek usporiadaných do

rôznych geometrických útvarov napríklad trojuholníkov, štvorcov a tak ďalej.

Vzniklo to pravdepodobne z toho, že ukladali kamienky do pravidelných

geometrických útvarov a tým vedeli dokázať rôzne tvrdenia, ktoré v dnešnej dobe

zapisujeme algebraicky. Vytvorili si novú štruktúru v množine prirodzených čísel.

Pomocou tejto štruktúry sa im podarilo vyčleniť niektoré čísla s osobitým

významom. Figurálne čísla sú čísla, ktoré sa dajú zobraziť ako geometrický útvar

tvorený rovnako vzdialenými bodmi. Číslo voláme podľa geometrického útvaru do

akého ho je možné zobraziť.

Trojuholníkové číslaPredstavme si, že kladieme kamienky do riadkov a pod seba. Začneme

jedným kamienkom v prvom riadku, pod neho do druhého riadku dáme dva,

následne do tretieho tri a tak ďalej. Číslo, ktoré hovorí o počte týchto kamienkov v

trojuholníku nazývame trojuholníkové číslo. Trojuholníkové čísla sú čísla, ktoré

vieme graficky zakresliť ako pravouhlý rovnoramenný trojuholník. Prvé

trojuholníkové číslo je tri. Ďalšie trojuholníkové čísla graficky objavujem pridaním

ďalšieho riadku, respektíve stĺpca, ktorý musí mať vždy práve o jeden kamienok

viac ako predchádzajúci riadok, respektíve stĺpec.

10

Obr. 2

Pytagorejci Kvinta Legends

Určité trojuholníkové číslo sa dá vypočítať ako polovica súčinu jednej

odvesny a čísla väčšieho práve o jedna. Napríklad desiate trojuholníkové číslo sa

rovná polovici súčinu desiatky a jedenástky, čiže ho vypočítame takto:

(10 * 11) : 2 = 110 : 2 = 55.

Väčšina celých čísel síce k trojuholníkovým číslam nepatrí, no vždy k nim

majú určitý jednoduchý vzťah. Napríklad veľa netrojuholníkových prirodzených

čísel je súčtom dvoch alebo troch trojuholníkových čísel.

Štvorcové číslaV tomto prípade si zase predstavme kamienky. Aby bolo číslo štvorcové

musíme byť schopní uložiť daný počet kamienkov do tvaru štvorca. Číslo jedna

považujeme za prvé štvorcové číslo, keďže pre štvorce platí, že majú všetky ich

strany rovnakú dĺžku, respektíve v našom prípade rovnaký počet kamienkov.

Ďalšie štvorcové čísla hľadáme graficky pridávaním vždy po jednom stĺpci a

zároveň aj riadku. Druhým štvorcovým číslom je teda číslo štyri, pretože pričítame

vždy počet kamienkov, ktoré sme pridali, čiže 1 + 3 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 7 = 16 viď

obrázok.

Určité štvorcové číslo vieme vypočítať tak, že ho vynásobíme sebou

samým, čiže umocníme dané číslo na druhú. Napríklad ôsme štvorcové číslo

vypočítame ako 82 = 64.

Sčítavaním po sebe idúcich nepárnych čísel nám vznikne štvorcové číslo.

Napríklad po sčítaní prvých štyroch nepárnych čísel 1+3+5+7 získame štvrté

11

Obr. 3

Pytagorejci Kvinta Legends

štvorcové číslo 16. Po sčítaní prvých desiatich štvorcových čísel, by sme získali

desiate štvorcové číslo.

Medzi štvorcovými číslami sa striedajú párne a nepárne čísla, rovnako ako

pri prirodzených číslach. Tento fakt vyplýva z toho, že štvorcové čísla sú vlastne

mocninami prirodzených čísel.

Nepárne prirodzené číslo bude po umocnení na druhú stále nepárne:

n ∈ N

(2n - 1)2

4n2 - 4n + 1

2 * (2n2 - 2n) + 1

Párne prirodzené číslo bude po umocnení na druhú stále párne:

n ∈ N

(2n)2 = 2 * (2n2)

4n2 = 4n2

12

Pytagorejci Kvinta Legends

Číselné obory V dnešnej dobe, na rozdiel od pytagorejcov, poznáme číselných oborov

päť. Nazývame ich aj číselné množiny. Množina (obor) je súhrn navzájom rôznych

objektov (elementov množiny). V prípade číselných množín to bude súhrn rôznych

čísel.

Prirodzené číslaNajstarším a zdanlivo najužším číselným oborom sú prirodzené čísla.

Prirodzené čísla sú pôvodne jedinou z číselných množín dnešnej doby, s ktorou

pracovali aj pytagorejci. Tí zastávali názor, že sú to jediné čísla, ktoré potrebujeme

a ich pomerom sa dá zapísať všetko, dnes vieme, že to pravda nie je a poznáme

číselných množín viac. Množinu prirodzených čísel označujeme N. Prirodzenými

číslami sú čísla 1, 2, 3, 4, 5, … Prirodzené čísla vyjadrujú počet (množstvo). Sú to

všetky kladné čísla (čísla väčšie ako nula) bez desatiných miest.

Môžeme ich sčítavať a násobiť s tým, že výsledok je vždy ďalšie prirodzené

číslo. Hovoríme, že množina prirodzených čísel je uzavretá na operácie súčtu a

súčinu. Ak ich odčítavame, výsledok je prirodzeným číslom len za podmienky, že

menšenec je väčšie číslo ako jeho menšiteľ. Ak ich delíme, výsledok je prirodzený

jedine vtedy, ak je delenec násobkom deliteľa.

a + b = c → a, b ∈ N → c ∈ N

a * b = c → a, b ∈ N → c ∈ N

a - b = c →  a, b ∈ N; a > b → c ∈ N

a ÷ b = c →  a, b ∈ N; a = násobok b → c ∈ N

Celé číslaAk chceme odčítavať aj číslo s väčšou hodnotou od čísla s menšou,

potrebujeme ďalší číselný obor, ktorým sú celé čísla. Množinu celých čísel

označujeme Z. Celými číslami sú čísla …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Celé čísla

vyjadrujú zmenu počtu. Sú to všetky čísla bez desatiných miest.

13

Pytagorejci Kvinta Legends

Delíme ich na kladné, záporné a nulu. Všetky celé kladné čísla spadajú aj

do množiny prirodzených čísel. Všetky celé záporné čísla sú zase opačné čísla

prirodzených čísel. Keďže množina celých čísel zahŕňa množinu prirodzených

čísel, celé čísla môžme sčítavať a násobiť s výsledkom rovnajúcim sa vždy

celému číslu. Celé čísla, však môžme od seba aj odčítať s výsledkom rovnajúcim

sa vždy celému číslu. Množina celých čísel je teda uzavretá na operácie súčtu,

súčinu a rozdielu. Pri vzájomnom delení sa výsledok rovná celému číslu, ak je

delenec niektorým násobkom deliteľa alebo opačnou hodnotou niektorého

násobku deliteľa.

Racionálne číslaAk chceme aj deliť potrebujeme tretí obor, ktorým sú racionálne čísla.

Množinu racionálnych čísel označujeme Q. Racionálne čísla vyjadrujú počty

celkov a ich častí a zmeny týchto počtov. Za racionálne označujeme všetky čísla,

ktoré sa dajú vyjadriť podielom celého a prirodzeného čísla, teda zlomkom.

Patria k nim všetky desatiné čísla s ukončeným desatiným rozvojom (teda

zlomky zapísané v tvare desatiného čísla), periodické čísla a tiež všetky čísla

patriace do množiny celých čísel. Z toho vyplýva, že racionálne čísla môžme

sčítať, odčítať a násobiť s výsledkom vždy sa rovnajúcim racionálnemu číslu. Na

rozdiel od celých čísel sa aj podiel dvoch racionálnych čísel rovná racionálnemu

číslu (jedinou výnimkou je nula, ktorou sa nedelí). Znamená to, že množina

racionálnych čísel je uzavretá na operácie sčítania, odčítania, násobenia a

delenia.

Prevod periodického čísla na zlomok

Dáme si rovnicu, kde sa x (na ľavej strane) rovná periodickému číslu (na

pravej strane), ktoré chceme dať na tvar zlomku. Celú rovnicu ekvivalentne

upravíme - vynásobíme nejakým číslom (najjednoduchšie sa nám zdalo použiť

číslo 10). Tým nám vznikne ďalšia rovnica, kde sa niekoľkonásobok x (na ľavej

strane) rovná inému periodickému číslu s rovnakou periódou ako periodické číslo

v predošlej rovnici (na pravej strane). Následne odčítaním týchto dvoch rovníc

získame novú rovnicu.

14

Pytagorejci Kvinta Legends

V novej rovnici bude jeden výraz tvoriť rozdiel neznámych z

predchádzajúcich rovníc (ľavá strana novej rovnice) a druhý výraz bude tvoriť

rozdiel periodických čísel s rovnakou periódou (pravá strana novej rovnice).

Upravením týchto výrazov získame niekoľkonásobok neznámej (ľavá strana)

rovnajúci sa celému číslu bez periódy (pravá strana). Perióda nám zanikne, lebo

odčítaním periodického čísla od iného periodického čísla s rovnakou periódou sa

perióda eliminuje. Keď už máme rovnicu, kde sa niekoľkonásobok neznámej (na

ľavej strane) rovná celému číslu (na pravej strane), stačí použiť ďalšiu

ekvivalentnú úpravu - deliť násobkom neznámej, aby sme získali samotnú

neznámu.

Háčik spočíva v tom, že celé číslo na pravej strane rovnice nevydelíme

násobkom neznámej, ale zapíšeme v tvare zlomku. Tým získame zlomok, kde sa

čitateľ rovná celému číslu z pravej strany rovnice a menovateľ násobku neznámej

z ľavej časti rovnice v predchádzajúcom kroku. Tento zlomok sa rovná

periodickému číslu, ktoré bolo na začiatku x a chceli sme ho previesť na zlomok.

x = 8,1 / * 10

10x = 81,1

10x – x = 81,1 - 8,1

9x = 73 / :9

x = 739

Iracionálne číslaIracionálne čísla sú čísla, ktoré sa nedajú zapísať ako pomer žiadnych

dvoch celých čísel, teda ako zlomok. Iracionálne čísla majú nekonečný

neperiodický desatiný rozvoj a vieme ich zapísať len so zaokrúhlením na určitý

počet desatiných miest. Množinu iracionálnych čísel označujeme I. Ak dve

iracionálne čísla sčítavame, odčítavame, násobíme alebo delíme, výsledok sa

nemusí rovnať ďalšiemu iracionálnemu číslu. To znamená, že množina

15

Pytagorejci Kvinta Legends

iracionálnych čísel nie je uzavretá na žiadnu z matematických operácii sčítania,

odčítania, násobenia a delenia.

Objavenie iracionálnych čísel sa tiež pripisuje jednému z pytagorejcov. Zo

zachovaných prameňov vyplýva, že to bol pravdepodobne Hippasus, ktorý pri

skúmaní Pytagorovej vety, prakticky náhodou prišiel na to, že existujú aj čísla s

nekonečným počtom desatiných miest, teda čísla, ktoré dnes voláme iracionálne.

Hippasus na to prišiel veľmi jednoducho - zvolil si pravouhlý trojuholník s oboma

odvesnami dlhými práve 1 cm. Keďže podľa Pytagorovej vety sa súčet obsahov

štvorcov nad odvesnami rovná obsahu štvorca nad preponou (vzorcom zapísané

ako a2 + b2 = c2), znamenalo to, že v Hippasovom trojuholníku by sa dĺžka prepony

na druhú mala rovnať dvom. Z toho vyplýva, že dĺžka prepony sa rovná

odmocnine z dvoch√2, teda nie racionálnemu číslu.

Pytagorejci neboli týmto objavom vôbec nadšení, lebo celá ich filozofia bola

postavená na fakte, že existujú iba celé čísla a ich pomerom sa dá vysvetliť úplne

všetko. Tento prevratný objav preto najskôr zatajili a Hippasa úplne vylúčili zo

svojich kruhov, povráva sa dokonca, že ho utopili.

Najznámejšia odmocnina je práve√2, nazývaná aj Pytagorova konštanta,

keďže práve pomocou nej bola objavená iracionalita čísel. Ako mnoho iných

objavov a vzorcov z tej doby je pomenovaná po samotnom Pytagorovi aj napriek

tomu, že s najväčšou pravdepodobnosťou nebol jej objaviteľom.

Najznámejším iracionálnym číslom je konštanta pí, používaná na výpočet

obsahu a obvodu kruhu. Pytagorejci síce objavili pí, ale nezistili, že je iracionálne.

Jeho iracionalitu dokázal až Nemec Johann Heinrich Lambert v roku 1761. Dnes

ju vieme dokázať viacerými spôsobmi.

Špajdla a výpočet hodnoty p í

Konštanta pí je podiel obvodu a priemeru kruhu (z toho vychádza

všeobecne známy vzorec na výpočet obvodu kruhu ⇾ πd = O). V literatúre sme

našli aj jeden zvláštny spôsob ako vypočítať hodnotu pí.

Poprvé si musíme rozdeliť plochu na paralelné pásy s rovnakou šírkou

(napríklad parkety). Zoberieme si drevené paličky, ktoré majú rovnakú dĺžku ako

16

Pytagorejci Kvinta Legends

vzdialenosť medzi pásmi, a vysypeme ich z dostatočnej výšky na túto plochu.

Hodnotu pí môžme odhadnúť podľa vzorca:

π = 2∗počet hodov

počet paličiek naryhe

17

Pytagorejci Kvinta Legends

Rozhodli sme sa, že tento experiment vyskúšame. Vyšli nám nasledujúce

výsledky:

Počet hodov Počet špajdlí na ryhe Hodnota π

12 8 3

12 6 4

32 25 2,56

32 21 3,05

Priemerná hodnota π, ktorá nám teda vyšla je (3+4+2,56+3,05 )

4≅ 3,15.Ak by

sme pokus zopakovali viackrát dostali by sme hodnotu, ktorá je bližšia k skutočnej

hodnote π.

Tento vzorec vyplýva zo slavného matematického problému, ktorý sa

nazýva Buffonova ihlica. V tomto probléme sa pýtame aká je pravdepodobnosť

pádu paličky na ryhu.

Palička sa otáča okolo stredu a jej krajné body opisujú kružnicu. O tom, či

palička dopadne na ryhu, alebo nie rozhoduje stred paličky a jej natočenie. Pí

súvisí s pravdepodobnosťou, či spadne alebo nespadne palička na ryhu v

podlahe.

Reálne číslaZjednotenie množiny racionálnych a iracionálnych čísel priniesla množina

reálnych čísel. Reálne čísla sú všetky o ktorých sme si doteraz hovorili, no existujú

ešte ďalšie množiny čísel. Patria medzi ne napríklad komplexné čísla, ktoré sa

ešte delia na viacero typov.

18

Pytagorejci Kvinta Legends

Prínosy do geometrie Pytagoras ako žiak Tálesa, tvoriteľa dedukčnej metódy, skúmal a snažil sa

nájsť ďalšie zákonitosti v prírode. Jeden z veľkých prínosov bolo pridanie 3

axiomov. Axiom je tvrdenie, ktoré sa predom pokladá za platné a tým pádom sa

nemusí dokazovať:

1. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom (180

stupňov).

2. Súčet vnútorných uhlov ľubovoľného mnohouholníka sa rovná [2n - 4]

pravých uhlov, kde n je počet strán.

3. Šesť trojuholníkov, štyri štvorce alebo 3 šesťuholníky vyplnia kompletne

celý priestor okolo bodu

19

Pytagorejci Kvinta Legends

Aplikovaná geometria Grékov Obvod Zeme sa podarilo zistiť gréckemu astronómovi, menom

Eratosthenes, v roku 240 pred našim letopočtom. Dopomohli mu k tomu tieto

pozorovania:

Všimol si, že na rozdielnych miestach na Zemi v rovnakom čase, je tieň v

studni na inom mieste. Počas letného slnovratu (21. júna) sa v studni v meste

Syene, dnešný Aswan, nenachádzal tieň a Eratosthenes z toho usúdil, že Slnko

sa práve musí nachádzať priamo nad studňou. Je to skutočne tak, počas letného

slnovratu slnečné lúče dopadajú kolmo na obratník raka a mesto Syene sa

nachádzalo práve na tomto obratníku. Erathonenes žil v meste Alexandria, pri

Níle, na severe Egypta. Tu sa však tieň v studni nachádzal, to znamená, že Slnko

sa nenachádza priamo nad mestom, respektíve mesto sa nenachádza na

obratníku raka.

Aj keď je Slnko guľaté, lúče svetla, ktoré dopadajúce na Zem, sú navzájom

viacmenej paralelné. Spôsobuje to fakt, že Zem je omnoho menšia ako Slnko a

takisto, že medzi Zemou a Slnkom je obrovská vzdialenosť, čiže fotóny ktorým sa

podarí trafiť Zem sú na seba približne paralelné.

Spojením týchto faktov dokázal pomocou geometrie vypočítať obvod Zeme.

Najskôr odmeral pod akým uhlom bol vrhaný tieň v studni v Alexandrii. Tento uhol

α sa rovnal 7,2° alebo 1/50 kruhu.

20

Pytagorejci Kvinta Legends

Ak bol uhlový rozdiel 1/50 kruhu medzi Alexandriou a Syene, to znamenalo,

že celý kruh, celý obvod Zeme, sa rovnal 50 krát vzdialenosti týchto miest. Podľa

Erasthenesa bola vzdialenosť 5000 štádion, čo je približne 882 kilometrov. Vyšlo

mu teda, že obvod Zeme sa rovná 882 km * 50 = 44 100 km. Dnešný odhad je

40,075 km, to je chyba zhruba 10%. Problém spočíva v samotnej guľatosti Zeme

respektíve fakte, že Zem nie je perfektná guľa a jej polomer a obvod nie sú na

všetkých miestach rovnaké.

21

Obr. 4

Obr. 5

Pytagorejci Kvinta Legends

Napriek tomu, že tento výpočet nerealizoval priamo pytagorejec,

matematika ktorú použil, vychádza práve z poznatkov a objavov pytagorejcov.

Toto je len jeden z príkladov v praxi, kde boli ich poznatky využité. Ako ďalší

príklad nám poslúži Pytagorová veta, ktorú dnes využívajú architekti, statici, či

inžinieri. Alebo konštanta pí takisto používaná v rôznych odvetviach.

22

Pytagorejci Kvinta Legends

Záver Zistili sme, že pytagorejci mali omnoho väčší vplyv na vývoj našich dejín,

ako sme si mysleli. Ich filozofia a myšlienky sa stali nosnými piliermi európskej

filozofie a vnímania sveta. Prekvapilo nás napríklad zistenie, že práve zo systému

Pytagorejských škôl vychádzali v stredoveku rehoľné rády.

S pokojom môžme skonštatovať, že ich objavy majú využitie aj v dnešnej

dobe. Na to, aké mali podmienky, objavili veľmi veľa prevratných objavov, ktoré

dnes považujeme za samozrejmosť. V dnešnej dobe internetu, kníh a všade

dostupných informácii sa nad tým ani nepozastavíme, ale ani so všetkými

možnosťami, ktoré máme, si nevieme predstaviť, že by sme na taký prevratný

objav ako je napríklad Pytagorova veta, prišli. Napriek tomu pytagorejci tak

dôležitú zákonitosť platnú do dnes objavili. Pytagorovu vetu dnes nepoužívame

len v teórii. Pravouhlé trojuholníky sa vyskytujú vo viacerých dnešných

disciplínach ako je architektúra, statika či inžinierstvo. Jej využitie nájdeme všade

v dnešnej geometrii. Pomôže nám pri hľadaní neznámych strán útvaru, alebo ak

chceme vypočítať vzdialenosť 2 bodov na papieri.

Mnohé ďalšie objavy pytagorejcov ľudstvo len korigovalo na základe

novších poznatkov dosiahnutých novými technológiami. Do tejto kategórie sa dá

zaradiť Pytagorov objav závislosti dĺžky a hmotnosti nástroja s tónom, ktorý

vydáva. Pôvodná Pytagorova teória bola, že to platí pre všetky nástroje, no dnes

vieme, že táto zákonitosť sa dá aplikovať len na struny. Takisto pytagorejci objavili

konštantný pomer podielu obvodu a priemeru kruhu, teda konštantu pí, no jej

iracionalitu dokázali matematici až o niekoľko tisícročí neskôr.

Napriek tomu, že pytagorejci sami niektorým objavom využitie nenašli a

dokonca sa ich báli, v dnešnej dobe si bez nich svet nedokážeme predstaviť. K

takýmto objavom patrí napríklad zistenie, že existuje aj iný typ čísel ako

prirodzené a to konkrétne iracionálne, teda nekonečné čísla. Dnes ich považujeme

za jeden zo základných typov čísel, no pytagorejci sa ich báli, nakoľko boli priamo

v protiklade s ich filozofiou. Podľa určitých historických prameňov dokonca ich

objaviteľ za tento objav zaplatil životom.

Celkovo teda pytagorejcom vďačíme za veľa a bez ich pričinenia by sa

pravdepodobne naša civilizácia, minimálne veda, nevyformovala na takú úroveň

ako ju dnes poznáme.

23

Pytagorejci Kvinta Legends

Resumé V našom projekte sme sa venovali tomu ako pytagorejci, ich filozofia a

objavy ovplyvnili naše dnešné ponímanie vied.

Pôvodne sme prišli s nápadom, skúmať ako rôzni významní matematici

objavovali zákony matematiky a fyziky. Pri prvotnom študovaní materiálov sme

však zistili, že nás najviac zaujíma práve Pytagoras a jeho škola. Rozhodli sme sa

teda, radšej pre hlbšie štúdium tejto témy. Zamerali sme na ich filozofiu a objavy v

oblasti matematiky, geometrie a fyziky.

Dozvedeli sme sa viac o samotnej postave Pytagora, ktorého jeho učenci

považovali až za bájnu postavu, a o jeho tajnej ezoterickej spoločnosti, nazývanej

Pytagorejská škola. Tiež sme zisťovali viac o filozofii pytagorejcov, ktorá bola v ich

dobe veľmi prevratná. Najväčšou zmenou bol prechod z monizmu na dualistický

princíp. Zastávali názor, že podstatná nie je iba látka, ale aj čosi immateriálne, čo

ju formuje. Immateriálnu časť pre nich predstavovali čísla. Z toho vyplývalo aj ich

chápanie a vysvetľovanie rôznych javov a skutočností.

Objektom skúmania pytagorejcov boli v prvom rade rôzne druhy čísel a ich

vplyv na okolitý svet. Pokúšali sa nájsť rôzne súvislosti medzi číslami a následne

sa ich snažili premietnuť do vysvetlení javov a skutočností v reálnom svete okolo

nich. My sme sa venovali nielen druhom čísel ako ich definovali pytagorejci, ale aj

číselným oborom ako ich poznáme v dnešnej dobe. Podrobnejšie sme skúmali

figurálne čísla, konkrétne trojuholníkové a štvorcové. Podrobnejšie sme sa

zaoberali aj piatimi číselnými množinami, ktoré používame my.

Najzaujímavejšie sa nám zdali iracionálne čísla, ktoré objavil práve jeden z

pytagorejcov. Taktiež sme sa zaujímali o prínos pytagorejcov do geometrie a

reálne využite ich objavov na tomto vedeckom poli.

Zistili sme, že napriek tomu, že sa väčšina objavov prisudzuje samotnému

Pytagorovi, len minimum z nich bolo skutočne jeho. Väčšinu objavov majú na

svedomí jeho učenci a členovia Pytagorejskej školy. Objavy a iné rozmýšľanie

pytagorejcov viedlo k objaveniu nových matematických odborov a nových

myšlienok, ktoré ovplyvnili vývoj a smer celej západnej filozofie a matematiky.

24

Pytagorejci Kvinta Legends

Summary Our project is about Pythagoreans, their philosophy, their discoveries and

how it all has affected our current understanding of nature.

Our original concept was more general than our final version. We wanted to

examine various influential mathematicians and different science laws they had

discovered. Eventually, after we had actually read something about this topic, we

figured out we were more interested in Pythagoras and Pythagorean School and

that we wanted to learn about it more deeply. We focused on their philosophy and

the science feats in mathematics, geometry and physics they had achieved.

We learnt about the mystical character of Pythagoras and about his very

secret esoteric community, called Pythagorean School. The dual principal

philosophy, which they created, was revolutionary, because before this theory

people had believed in monism that comes from Thales. Dual principal is the idea

that our universe is not created only from substance but also from something

immaterial that gives substance the shape in which we can see it. In their opinion,

numbers represented the immaterial element. Their viewpoint of understanding

and explanations about the world was also raised from this theory.

Different kinds of numbers were very popular among Pythagoreans and

were heavily discussed in the group. Pythagoreans examined various coherences

between numbers. Then they tried to interpret them in real life. We studied their

ideas but added the current modern definitions of number types. We specifically

studied figurate numbers, such as triangular and square numbers. The most

fascinating for us were irrational numbers. In fact, irrational numbers were

discovered by Pythagoreans. We also looked for contribution of Pythagoreans in

geometry and a real usage of their discoveries in this part of science.

We found out that almost all of the discoveries attributed to Pythagoras had

been discovered by his soulmates. New fundamental scientific discoveries led to

new understanding of mathematics and new ideas which shaped direction and

evolution of west philosophy like no other group of scholars.

25

Pytagorejci Kvinta Legends

Das Resümee Unser Projekt heißt die Pythagoreer. In unserem Projekt haben wir

Informationen über Pythagoras und seine Schüler gesucht, sowie eine Antwort auf

die Frage, wie ihre Philosophie und Entdeckungen die heutige Naturwissenschaft

geändert haben.

Zuerst war unsere Vorstellung von dem Projekt mehr allgemein, aber wir

haben viel gelesen und Pythagoras und seine Schule hat uns besonders

interessiert. Wir haben uns auf ihre Philosophie, die Entdeckungen in Mathematik,

Geometrie und Physik konzentriert.

Wir haben mehr über Pythagoras erfahren, zum Beispiel, dass seine

Schüler ihn als mythische Person betrachtet haben, und die Geheime Esoterische

Gruppe heute als die Schule des Pythagoras genannt wird. Die Philosophie der

Pythagoreer war eine große Änderung. In der Zeit haben Leute an den Monismus

geglaubt, aber die Philosophie den Pythagoreer war anders. Die Philosophie hat

von dem Stoff und dem Immateriellen, was ihn formt, gesprochen. Unter dem

immateriellen Teil haben die Pythagoreer Zahlen verstanden.

Die Schule des Pythagoras hat verschiedene Arten der Zahlen und ihren

Einfluss auf die Welt untersucht. Wir haben die Arten der Zahlen in der Zeit, als

die Pythagoreer gelebt haben, studiert. Wir haben auch die Zahl in heutiger Welt

analysiert. Figurale Zahlen haben wir ausführlich studiert. Das sind die

Dreieckszahlen und die Quadratzahlen.

Wir haben eine interessante Tatsache festgestellt. Die meisten

Entdeckungen, die wir Entdeckungen des Pythagoras nennen, sind nicht von

Pythagoras. Die meisten Entdeckungen haben die Anhänger der Pythagoreer

Schule entdeckt. Die Pythagoreer haben einen großen Einfluss auf die westliche

Philosophie und Mathematik ausgeübt.

26

Pytagorejci Kvinta Legends

Bibliografia Adler, I.: Čísel hra kouzelná. Praha: Horizont, 1972.

Raven S. K.: Předsókratovští filosofové. Praha: OIKOYMENH, 2004. ISBN 80-7298-110-2

https://www.facebook.com/sciencedump/videos/

vb.111815475513565/1084104761617960/?type=2&theater 17/06/2016

http://physics.ucr.edu/~wudka/Physics7/Notes_www/node32.html 21/08/2016

files.marekov-web9.webnode.sk/200000007-3c04d3df9b/Pytagoras.pptx

05/09/2016

http://io9.gizmodo.com/5587641/measuring-the-circumference-of-the-world

06/09/2016

http://io9.gizmodo.com/5688939/how-to-measure-the-distance-from-the-earth-to-

the-moon 07/09/2016 06/09/2016

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras 07/09/2016

https://gymopatke.edupage.org/files/06_-

_Ciselne_obory_a_zakladne_operacie_v_nich(1).pdf 07/09/2016

http://io9.gizmodo.com/what-did-pythagoras-mean-by-all-things-are-number-

1717748417 07/09/2016

https://www.quora.com/What-the-ancient-Greeks-knew-about-irrational-numbers

07/09/2016

https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number 07/09/2016

27

Pytagorejci Kvinta Legends

http://www.networkworld.com/article/2164391/data-center/data-center-28-facts-

about-pi-that-you-probably-didn-t-know.html 07/09/2016

http://www.windows2universe.org/citizen_science/myw/

w2u_eratosthenes_calc_earth_size.html 08/09/2016

http://www.windows2universe.org/people/ancient_epoch/eratosthenes.html

08/09/2016

https://m.reddit.com/r/math/comments/2gc87j/why_is_pi_irrational/ 10/09/2016

http://mindyourdecisions.com/blog/2013/11/08/proving-pi-is-irrational-a-step-by-

step-guide-to-a-simple-proof/ 10/09/2016

https://www.britannica.com/topic/Pythagoreanism 11/09/2016

http://www.newworldencyclopedia.org/entry/Pythagoras_and_Pythagoreans

11/09/2016

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html 15/09/2016

http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html 16/09/2016

https://www.google.sk/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjGj5n

p-83PAhUJPBQKHT6uCm4QFggfMAA&url=http%3A%2F

%2Ffiles.gymklcovenmv-klierova.webnode.sk%2F200000022-

e7eb2e8e52%2FFIGUR%25C3%2581LNE%2520%25C4%258C

%25C3%258DSLA.pps&usg=AFQjCNFLGfh5ppeIxblwRRfzMHZKV6g4ZA&bvm=b

v.135258522,d.bGs 16/09/2016

http://www.gmk-ra.sk/prezentacie/pytagoras.doc 16/09/2016

http://www.sportgymke.sk/mvd/TeoriaCisel/CiselneMnoziny.pdf 20/09/2016

28

Pytagorejci Kvinta Legends

https://explorable.com/pythagoras 25/09/2016

https://cs.wikipedia.org/wiki/Axiom 25/09/2016

http://students.rockefeller.edu/fross/unit_circle/index.html 10/10/2016

http://www.sciencefriday.com/articles/estimate-pi-by-dropping-sticks/ 10/10/2016

http://referaty.atlas.sk/prakticke-pomocky/zivotopisy/51417/pytagoras 10/10/2016

https://sk.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3n 10/10/2016

https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle 16/10/2016

https://www.reference.com/math/pythagorean-theorem-used-today-fbc5c2df5470cfa3 18/10/2016

http://physics.stackexchange.com/questions/155075/what-makes-suns-light-travel-

as-parallel-beams-towards-earth 18/10/2016

Obrázky:Obr. 1 http://zs.obecimel.sk/0506/gify/pytagoras.gif

Obr. 2

http://www.oskole.sk/userfiles/image/zaida/2015/september/mat/SS_MAT_ucivo_1

r_Typy_cisel_september_html_m1801157b.jpg

Obr. 3

http://www.oskole.sk/userfiles/image/zaida/2015/september/mat/SS_MAT_ucivo_1

r_Typy_cisel_september_html_72938d1e.gif

Obr. 4 © Bruno Petrus

Obr. 5 © Bruno Petrus

29