Правильные, полуправильные и звездчатые...

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов

Правильные,

полуправильные

и звездчатые

многогранники

Москва

Издательство МЦНМО

УДК .

ББК ..

С

ССмирнова И. М., Смирнов В. А.

Правильные, полуправильные и звездчатые многогранни-ки. –– М.: МЦНМО, . –– ??? с.

ISBN ----

Аннотация. Аннотация. Аннотация. Аннотация. Аннотация. Аннотация.Аннотация. Аннотация. Аннотация. Аннотация. Аннотация. Аннотация. Ан-нотация. Аннотация.

ББК ..

ISBN ----

© Смирнова И. М., Смирнов В. А., .

© МЦНМО, .

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Куб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Октаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Икосаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Додекаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Полуправильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Призмы и антипризмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Усеченный куб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Усеченный тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Усеченный октаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Усеченный икосаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Усеченный додекаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Кубооктаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Икосододекаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Усеченный кубооктаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Усеченный икосододекаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Ромбокубооктаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Ромбоикосододекаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Курносый куб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Курносый додекаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III. Многогранники, двойственные полуправильным

многогранникам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Многогранники, двойственные призмам и антипризмам . . . . . . .

2. Многогранник, двойственный усеченному кубу . . . . . . . . . . . . .

3. Многогранник, двойственный усеченному тетраэдру . . . . . . . . . .

4. Многогранник, двойственный усеченному октаэдру . . . . . . . . . .

5. Многогранник, двойственный усеченному икосаэдру . . . . . . . . .

6. Многогранник, двойственный усеченному додекаэдру . . . . . . . . .

7. Многогранник, двойственный кубооктаэдру . . . . . . . . . . . . . . .

8. Многогранник, двойственный икосододекаэдру . . . . . . . . . . . . .

9. Многогранник, двойственный усеченному кубооктаэдру . . . . . . .

10. Многогранник, двойственный усеченному икосододекаэдру . . . .

11. Многогранник, двойственный ромбокубооктаэдру . . . . . . . . . .

Оглавление

12. Многогранник, двойственный ромбоикосододекаэдру . . . . . . . .

13. Многогранник, двойственный курносому кубу . . . . . . . . . . . . .

14. Многогранник, двойственный курносому додекаэдру . . . . . . . . .

IV. Звездчатые многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Правильные звездчатые многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Звездчатые формы кубооктаэдра, икосаэдра и икосододекаэдра . . .

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение

Правильные многогранники с древних времен привлекали к се-

бе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их

поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников.

Пифагор и его ученики считали эти многогранники божествен-

ными и использовали их в своих философских сочинениях о суще-

стве мира, придавая форму правильных многогранников элементам

первооснов бытия, а именно: огонь –– тетраэдр (его гранями явля-

ются четыре правильных треугольника; земля –– гексаэдр (куб, его

гранями являются шесть квадратов); воздух –– октаэдр (его гранями

являются восемь правильных треугольников); вода –– икосаэдр (его

гранями являются двадцать правильных треугольников); вся Все-

ленная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями

являются двенадцать правильных пятиугольников).

Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхож-

дение. В переводе с греческого: «Тетра» –– четыре; «Гекса» –– шесть;

«Окто» –– восемь; «Икоси» –– двадцать; «Додека» –– двенадцать; «Эд-

ра» –– грань. Подробно описал свойства правильных многогранни-

ков древнегреческий ученый Платон (–– гг. до н.э.). Имен-

но поэтому правильные многогранники называются также телами

Платона.

Введение

Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга

знаменитых «Начал» Евклида.

Иоганн Кеплер (––) в своей работе «Тайна мироздания»

в году, используя правильные многогранники, вывел принцип,

которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной

системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась

в следующем: «Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех

орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэд-

ра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр.

Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сфе-

ры Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера

Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфе-

ра есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная

в него сфера есть сфера Меркурия». Такая модель Солнечной систе-

мы получила название «Космического кубка» Кеплера.

Вслед за Евклидом изучением пяти правильных многогранников

занимался Архимед (–– гг. до н. э.). Убедившись в том, что

нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал

строить многогранники, у которых гранями являются правильные,

но не одноименные многоугольники.

Введение

К полуправильным многогранникам относятся правильные

n-угольные призмы, все ребра которых равны, и, так называемые,

антипризмы с равными ребрами, которые получаются из призм по-

воротом одного из оснований относительно другого.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогран-

ников, имеется еще полуправильных многогранников, которые

впервые открыл и описал Архимед.

До нас дошла работа самого ученого «О многогранниках», в ко-

торой подробно описаны и даны рисунки всех многогранников,

названных в честь ученого телами Архимеда.

Перечислим их: усеченный тетраэдр; усеченный куб; усеченный

октаэдр; усеченный икосаэдр; усеченный додекаэдр;

кубооктаэдр; икосододекаэдр; усеченный кубооктаэдр; усеченный

икосододекаэдр;

Введение

ромбокубооктаэдр; ромбоикосододекаэдр; курносый куб; курносый

додекаэдр.

Перечисленные тела Архимеда называются также равноугольно

полуправильными многогранниками, так как они имеют равные

многогранные углы.

Модели правильных и полуправильных многогранников можно

склеивать из бумаги или собирать из геометрического конструкто-

ра, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного матери-

ала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек –– основной

крепежной детали конструктора, которые можно нарезать из вело-

сипедной камеры.

Все многоугольники должны иметь равные стороны (приблизи-

тельно см). Желательно иметь многоугольники нескольких цве-

тов. Подбирая соответствующим образом многоугольники в каче-

стве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками,

можно получать модели различных многогранников. Для того что-

бы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки много-

угольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано

на рисунке.

Многогранники, двойственные к равноугольно полуправильным

многогранникам, называются равногранно полуправильными мно-

гогранниками. Они имеют равные грани и правильные многогран-

ные углы.

Введение

Многограниками, двойственными к призмам и антипризмам,

являются бипирамиды и антибипирамиды.

Многогранники, двойственные телам Архимеда, называются те-

лами Каталана.

Введение

Кроме правильных и полуправильных многогранников, краси-

вые формы имеют, так называемые, правильные звездчатые мно-

гогранники. Они получаются из правильных многогранников про-

должением их граней или ребер. Их всего четыре. Первые два были

открыты И. Кеплером, это звездчатый додекаэдр и большой звездча-

тый додекаэдр. Два других почти лет спустя построил Л. Пуансо

(––), это большой додекаэдр и большой икосаэдр. Именно

поэтому правильные звездчатые многогранники называются тела-

ми Кеплера––Пуансо.

Здесь мы представим правильные, полуправильные и звездчатые

многогранники, рассмотрим их свойства и предложим задачи для

самостоятельного решения.

Предлагаемое пособие может быть использовано при проведе-

нии элективного курса по геометрии для учащихся –– классов

общеобразовательных учреждений.

I. Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гра-

нями являются равные правильные многоугольники, и в каждой

вершине сходится одинаковое число граней.

Существует только пять типов правильных многогранников: куб

(гексаэдр), тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

. Куб

Куб (гексаэдр) –– правильный многогранник, поверхность кото-

рого состоит из шести квадратов.

Если поверхность многогранника разрезать по некоторым реб-

рам и развернуть ее на плоскость так, чтобы все многоугольники,

входящие в эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полу-

ченная фигура на плоскости называется разверткой многогранни-

ка. Например, на рисунке изображена развертка куба.


Для изготовления модели многогранника из плотной бумаги,

картона или другого материала достаточно изготовить его разверт-

ку и затем склеить соответствующие ребра. Для удобства склейки

развертку многогранника изготавливают с клапанами, по которым

и производится склейка.

В куб можно вписать сферу. Она касается всех граней куба.

Около куба можно описать сферу. Ей принадлежат все вершины

куба.

. Куб

На рисунке показана сфера, полувписанная в куб. Она касается

всех ребер куба.

Упражнения

. Сколько вершин у куба?

. Сколько ребер у куба?

. Сколько пар параллельных ребер имеет куб?

. Сколько пар перпендикулярных ребер имеет куб?

. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет куб?

. Сколько пар параллельных граней имеет куб?

. Найдите расстояние между противоположными ребрами еди-

ничного куба.

. Найдите диагональ единичного куба.

. Имеет ли куб центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет куб?

. Сколько плоскостей симметрии имеет куб?

. Какое наименьшее число цветов потребуется для правильной

раскраски граней куба? (Раскраска считается правильной, если со-

седние грани окрашены в разные цвета.)

. Какие из изображенных на рисунке фигур являются разверт-

ками куба?

=) K) " ) ã )

ä ) å ) › ) ƒ)


. Найдите радиус сферы, вписанной в единичный куб.

. Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в единичный куб.

. Куб повернут вокруг прямой, проходящей через центры про-

тивоположных граней, на угол 45◦. Какой многогранник будет об-

щей частью исходного куба и повернутого?

. Куб повернут вокруг диагонали на угол 60◦. Какой много-

гранник будет общей частью исходного куба и повернутого?

. Куб повернут вокруг прямой, проходящей через середины про-

тивоположных ребер, на угол 90◦. Какой многогранник будет общей

частью исходного куба и повернутого?

. Тетраэдр

. Тетраэдр

Тетраэдр –– правильный многогранник, поверхность которого со-

стоит из четырех правильных треугольников.

На рисунке изображена одна из возможных разверток тетраэдра.

Тетраэдр можно вписать в куб. Четыре вершины куба будут вер-

шинами тетраэдра.


В тетраэдр можно вписать в тетраэдр. Вершинами вписанного

тетраэдра будут центры граней данного тетраэдра.

В тетраэдр можно вписать сферу. Она касается всех граней тет-

раэдра.

Около тетраэдра можно описать сферу. Ей принадлежат все вер-

шины тетраэдра.

. Тетраэдр

На рисунке показана сфера, полувписанная в тетраэдр. Она ка-

сается всех ребер тетраэдра.


. Сколько вершин у тетраэдра?

. Сколько ребер у тетраэдра?

. Имеются ли у тетраэдра параллельные ребра? Если имеются,

то сколько пар?

. Имеются ли у тетраэдра перпендикулярные ребра. Если име-

ются, то сколько пар?

. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет тетраэдр?


ничного тетраэдра.

. Имеет ли тетраэдр центр симметрии?

. Имеет ли тетраэдр оси симметрии. Если имеет, то сколько?

. Имеет ли тетраэдр плоскости симметрии. Если имеет, то сколь-

ко?


раскраски граней тетраэдра?


ками тетраэдра?

=) K)

. Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный куб.


. Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный тетраэдр.

. Найдите радиус сферы, вписанной в единичный тетраэдр.

. Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетра-

эдра.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в единичный тетра-

эдр.

. Тетраэдр повернут вокруг высоты на угол 60◦. Какой много-

гранник является общей частью исходного тетраэдра и повернутого?

. Через каждое ребро тетраэдра параллельно противополож-

ному ребру проведена плоскость. Какой многогранник ограничен

этими плоскостями?

. Через каждую вершину тетраэдра параллельно противополож-

ной грани проведена плоскость. Какой многогранник ограничен

этими плоскостями?

. Октаэдр

. Октаэдр

Октаэдр –– правильный многогранник, поверхность которого со-

стоит из восьми правильных треугольников.

На рисунке показана одна из возможных разверток октаэдра.

Октаэдр можно вписать в куб. Вершинами этого октаэдра будут

центры граней куба.


Октаэдр можно описать около куба. Вершинами куба будут цен-

тры граней октаэдра.

Октаэдр можно вписать в тетраэдр. Вершинами этого октаэдра

будут середины ребер тетраэдра.

В октаэдр можно вписать сферу. Она касается всех граней окта-

эдра.

. Октаэдр

Около октаэдра можно описать сферу. Ей принадлежат все вер-

шины октаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в октаэдр. Она каса-

ется всех ребер октаэдра.


. Сколько вершин у октаэдра?

. Сколько ребер у октаэдра?

. Сколько пар параллельных ребер имеет октаэдр?

. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет октаэдр?

. Сколько пар параллельных граней имеет октаэдр?

. Найдите расстояние между противоположными вершинами

единичного октаэдра.


ничного октаэдра.

. Найдите расстояние между противоположными гранями еди-

ничного октаэдра.

. Имеет ли октаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет октаэдр?


. Сколько плоскостей симметрии имеет октаэдр?


раскраски граней октаэдра?


ками октаэдра?

=)K)

" )

ä ) å )

ã )

. Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный куб.

. Найдите ребро октаэдра, описанного около единичного куба.

. Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный тетраэдр.

. Какой многогранник останется от куба после отсечения от

его углов правильных треугольных пирамид, вершинами которых

являются вершины куба, а боковые ребра равны ребрам куба?

. Найдите радиус сферы, вписанной в единичный октаэдр.

. Найдите радиус сферы, описанной около единичного октаэдра.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в единичный октаэдр.

. Тетраэдр повернут вокруг прямой, проходящей через середи-

ны противоположных ребер, на угол 90◦. Какой многогранник явля-

ется общей частью исходного тетраэдра и повернутого?

. Октаэдр повернут вокруг диагонали на угол 45◦. Какой много-

гранник является общей частью исходного октаэдра и повернутого?

. Октаэдр повернут вокруг прямой, проходящей через центры

противоположных граней, на угол 60◦. Какой многогранник являет-

ся общей частью исходного октаэдр и повернутого?

. Через каждую вершину октаэдра перпендикулярно диагона-

ли, проходящей через эту вершину, проведена плоскость. Какой

многогранник ограничен этими плоскостями?

. Через каждую вершину куба перпендикулярно диагонали,

проходящей через эту вершину, проведена плоскость. Какой много-

гранник ограничен этими плоскостями?

. Икосаэдр

. Икосаэдр

Икосаэдр –– правильный многогранник, поверхность которого со-

стоит из двадцати правильных треугольников.

На рисунке показана одна из возможных разверток икосаэдра

с клапанами.

Икосаэдр можно вписать в куб. Центры граней куба будут сере-

динами ребер икосаэдра.


Икосаэдр можно вписать в октаэдр. Вершины икосаэдра будут

лежать на ребрах октаэдра.

В икосаэдр можно вписать октаэдр. Вершинами этого октаэдра

являются середины противоположных ребер икосаэдра.

В икосаэдр можно вписать сферу. Она касается всех граней ико-

саэдра.

. Икосаэдр

Около икосаэдра можно описать сферу. Ей принадлежат все вер-

шины икосаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в икосаэдр. Она ка-

сается всех ребер икосаэдра.


. Сколько вершин у икосаэдра?

. Сколько ребер у икосаэдра?

. Сколько пар параллельных ребер имеет икосаэдр?

. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет икосаэдр?

. Сколько пар параллельных граней имеет икосаэдр?

. Имеет ли икосаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет икосаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет икосаэдр?


ничного икосаэдра.


единичного икосаэдра.


. Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный куб.

. В каком отношении вершины икосаэдра, вписанного в окта-

эдр, делят ребра этого октаэдра?

. Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный октаэдр.

. Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный икосаэдр.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в единичный икоса-

эдр.

. Найдите радиус сферы, описанной около единичного икоса-

эдра.


раскраски граней икосаэдра?

. Додекаэдр


Додекаэдр –– правильный многогранник, поверхность которого

состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

На рисунке показана одна из возможных разверток додекаэдра

с клапанами.

Додекаэдр можно вписать в куб. Центры граней куба будут сере-

динами ребер додекаэдра.


В додекаэдр можно вписать куб. Вершины куба будут вершинами

додекаэдра.

В додекаэдр можно вписать икосаэдр. Вершинами икосаэдра бу-

дут центры граней додекаэдра.

Додекаэдр можно вписать в икосаэдр. Вершинами додекаэдра бу-

дут центры граней икосаэдра.


В додекаэдр можно вписать сферу. Она касается всех граней до-

декаэдра.

Около додекаэдра можно описать сферу. Ей принадлежат все вер-

шины додекаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в додекаэдр. Она ка-

сается всех ребер додекаэдра.



. Сколько вершин у додекаэдра?

. Сколько ребер у додекаэдра?

. Сколько пар параллельных ребер имеет додекаэдр?

. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет додекаэдр?

. Сколько пар параллельных граней имеет додекаэдр?


ничного додекаэдра.


единичного додекаэдра.

. Имеет ли додекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет додекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет додекаэдр?

. Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный куб.

. Найдите ребро куба, вписанного в единичный додекаэдр.

. Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный икоса-

эдр.

. Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный додека-

эдр.

. Можно ли в додекаэдр вписать тетраэдр так, чтобы вершины

тетраэдра находились в вершинах додекаэдра? Если да, то найдите

ребро тетраэдра, вписанного в единичный додекаэдр.

. Можно ли в икосаэдр вписать куб так, чтобы вершины куба

находились в центрах граней икосаэдра? Если да, то найдите ребро

куба, вписанного в единичный икосаэдр.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в единичный додека-

эдр.

. Найдите радиус сферы, описанной около единичного додека-

эдра.


раскраски граней додекаэдра?

. Через каждую вершину додекаэдра перпендикулярно прямой,

проходящей через эту вершину и центр симметрии, проведена плос-

кость. Какой многогранник ограничен этими плоскостями?

. Через каждую вершину икосаэдра перпендикулярно прямой,

проходящей через эту вершину и центр симметрии, проведена плос-

кость. Какой многогранник ограничен этими плоскостями?

II. Полуправильные многогранники

Полуправильным многогранником называется выпуклый много-

гранник, поверхность которого состоит из правильных многоуголь-

ников, возможно, с разным числом сторон и все многогранные углы

равны, причем существует движение многогранника, переводящее

один из них в другой.

. Призмы и антипризмы

К полуправильным многогранникам относятся правильные

n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правиль-

ная пятиугольная призма имеет своими гранями два правильных

пятиугольника –– основания призмы, и пять квадратов, образующих

боковую поверхность призмы.

К полуправильным многогранникам относятся и так называемые

правильные антипризмы, все ребра которых равны. На рисунке пока-

зана правильная четырехугольная антипризма, полученная из четы-

рехугольной призмы поворотом одного из оснований относительно

другого на угол ◦. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований

соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.



. Сколько вершин у n-угольной призмы?

. Сколько ребер у n-угольной призмы?

. Сколько граней имеет n-угольной призма?

. Сколько вершин у n-угольной антипризмы?

. Сколько ребер у n-угольной антипризмы?

. Сколько граней имеет n-угольная антипризма?

. Найдите высоту четырехугольной антипризмы, все ребра ко-

торой равны .

. Имеет ли пятиугольная призма центр симметрии?

. Имеет ли четырехугольная антипризма центр симметрии?

. Имеет ли пятиугольная призма оси симметрии? Если имеет,

то сколько?

. Имеет ли четырехугольная антипризма оси симметрии? Если

имеет, то сколько?

. Имеет ли пятиугольная призма плоскости симметрии? Если


. Имеет ли четырехугольная антипризма плоскости симметрии?

Если имеет, то сколько?

. Нарисуйте какую-нибудь развертку пятиугольной призмы.

. Нарисуйте какую-нибудь развертку четырехугольной анти-

призмы.


раскраски граней пятиугольной призмы?


раскраски граней четырехугольной антипризмы?

. Можно ли вписать сферу в пятиугольной призму, все ребра

которой равны ?

. Можно ли вписать сферу в четырехугольной антипризму, все

ребра которой равны ?

. Можно ли описать сферу около правильной пятиугольной

призмы?

. Можно ли описать сферу около правильной четырехугольной

антипризмы?

. Существует ли сфера, полувписанная в правильную пяти-

угольную призму?

. Существует ли сфера, полувписанная в правильную четырех-

угольную антипризму?

. Усеченный куб

. Усеченный куб

Усеченный куб –– полуправильный многогранник, получающий-

ся из куба отсечением от его углов правильных треугольных пира-

мид. Поверхность усеченного куба состоит из правильных треуголь-

ников и восьмиугольников.

Около усеченного куба можно описать сферу. Ей принадлежат

все вершины усеченного куба.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный куб. Она

касается всех ребер усеченного куба.



. Сколько вершин у усеченного куба?

. Сколько ребер у усеченного куба?

. Сколько граней имеет усеченный куб?

. Какими должны быть боковые ребра правильных треугольных

пирамид, отсекаемых от единичного куба, чтобы в результате полу-

чился усеченный куб?

. Найдите ребро усеченного куба, полученного усечением куба

с ребром .

. Имеет ли усеченный куб центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный куб?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный куб?

. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный куб с реб-

ром .

. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного куба.

. Можно ли вписать сферу в усеченный куб?


раскраски граней усеченного куба?

. Усеченный тетраэдр


Усеченный тетраэдр –– полуправильный многогранник, получаю-

щийся из тетраэдра отсечением от его углов правильных треуголь-

ных пирамид. Поверхность усеченного тетраэдра состоит из пра-

вильных треугольников и шестиугольников.

Около усеченного тетраэдра можно описать сферу. Ей принадле-

жат все вершины усеченного тетраэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный тетра-

эдр. Она касается всех ребер усеченного тетраэдра.



. Сколько вершин у усеченного тетраэдра?

. Сколько ребер у усеченного тетраэдра?

. Сколько граней имеет усеченный тетраэдр?


пирамид, отсекаемых от единичного тетраэдра, чтобы в результате

получился усеченный тетраэдр?

. Найдите ребро усеченного тетраэдра, полученного усечением

тетраэдра с ребром .

. Имеет ли усеченный тетраэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный тетраэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный тетраэдр?

. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный тетраэдр

с ребром .

. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного тетраэд-

ра.

. Можно ли вписать сферу в усеченный тетраэдр?


раскраски граней усеченного тетраэдра?

. Усеченный октаэдр


Усеченный октаэдр –– полуправильный многогранник, получаю-

щийся из октаэдра отсечением от его углов правильных четырех-

угольных пирамид. Поверхность усеченного октаэдра состоит из

квадратов и правильных шестиугольников.

Около усеченного октаэдра можно описать сферу. Ей принадле-

жат все вершины усеченного октаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный окта-

эдр. Она касается всех ребер усеченного октаэдра.



. Сколько вершин у усеченного октаэдра?

. Сколько ребер у усеченного октаэдра?

. Сколько граней имеет усеченный октаэдр?

. Какими должны быть боковые ребра правильных четырех-

угольных пирамид, отсекаемых от единичного октаэдра, чтобы в ре-

зультате получился усеченный октаэдр?

. Найдите ребро усеченного октаэдра, полученного усечением

октаэдра с ребром .


пирамид, отсекаемых от единичного куба, чтобы в результате полу-

чился усеченный октаэдр?

. Имеет ли усеченный октаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный октаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный октаэдр?

. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный октаэдр

с ребром .

. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного октаэдра.

. Можно ли вписать сферу в усеченный октаэдр?


раскраски граней усеченного октаэдра?

. Усеченный икосаэдр


Усеченный икосаэдр –– полуправильный многогранник, получа-

ющийся из икосаэдра отсечением от его углов правильных пяти-

угольных пирамид. Поверхность усеченного икосаэдра состоит из

правильных пятиугольников и шестиугольников.

Около усеченного икосаэдра можно описать сферу. Ей принадле-

жат все вершины усеченного икосаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный икоса-

эдр. Она касается всех ребер усеченного икосаэдра.



. Сколько вершин у усеченного икосаэдра?

. Сколько ребер у усеченного икосаэдра?

. Сколько граней имеет усеченный икосаэдр?

. Какими должны быть боковые ребра правильных пятиуголь-

ных пирамид, отсекаемых от единичного икосаэдра, чтобы в резуль-

тате получился усеченный икосаэдр?

. Найдите ребро усеченного икосаэдра, полученного усечением

икосаэдра с ребром .

. Имеет ли усеченный икосаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный икосаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный икосаэдр?

. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный икосаэдр

с ребром .

. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного икосаэд-

ра.

. Можно ли вписать сферу в усеченный икосаэдр?


раскраски граней усеченного икосаэдра?

. Усеченный додекаэдр


Усеченный додекаэдр –– полуправильный многогранник, получа-

ющийся из додекаэдра отсечением от его углов правильных треуголь-

ных пирамид. Поверхность усеченного додекаэдра состоит из пра-

вильных треугольников и десятиугольников.

Около усеченного додекаэдра можно описать сферу. Ей принад-

лежат все вершины усеченного додекаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный додека-

эдр. Она касается всех ребер усеченного додекаэдра.



. Сколько вершин у усеченного додекаэдра?

. Сколько ребер у усеченного додекаэдра?

. Сколько граней имеет усеченный додекаэдр?


пирамид, отсекаемых от единичного додекаэдра, чтобы в результате

получился усеченный додекаэдр?

. Найдите ребро усеченного додекаэдра, полученного усечени-

ем додекаэдра с ребром .

. Имеет ли усеченный додекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный додекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный додекаэдр?

. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный додекаэдр

с ребром .

. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного додека-

эдра?

. Можно ли вписать сферу в усеченный додекаэдр?


раскраски граней усеченного додекаэдра?

. Кубооктаэдр


Кубооктаэдр –– многогранник, поверхность которого состоит из

шести квадратов (как у куба) и восьми правильных треугольников

(как у октаэдра). Отсюда и его название –– кубооктаэдр.

Кубооктаэдр получается из куба отсечением от его вершин пра-

вильных треугольных пирамид, боковые ребра которых равны по-

ловине ребра куба.

Около кубооктаэдра можно описать сферу. Ей принадлежат все

вершины кубооктаэдра.


На рисунке показана сфера, полувписанная в кубооктаэдр. Она

касается всех ребер кубооктаэдра.


. Сколько вершин имеет кубооктаэдр?

. Сколько ребер имеет кубооктаэдр?

. Сколько граней имеет кубооктаэдр?

. Найдите ребро кубооктаэдра, полученного усечением единич-

ного куба.

. Имеет ли кубооктаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет кубооктаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет кубооктаэдр?

. Как можно получить кубооктаэдр усечением октаэдра?


единичного кубооктаэдра.


ничного кубооктаэдра.

. Найдите радиус сферы, описанной около кубооктаэра с реб-

ром .

. Найдите радиус сферы, полувписанной в кубооктаэдр с реб-

ром .

. Можно ли вписать сферу в кубооктаэдр? Если можно, найдите

ее радиус?


раскраски граней кубооктаэдра?

. Икосододекаэдр


Икосододекаэдр –– многогранник, поверхность которого состоит

из двадцати правильных треугольников (как у икосаэдра) и двена-

дцати правильных пятиугольников (как у додекаэдра). Отсюда и его

название –– икосододекаэдр.

Икосододекаэдр получается из додекаэдра отсечением от его вер-

шин правильных треугольных пирамид, боковые ребра которых

равны половине ребра додекаэдра.

Около икосододекаэдра можно описать сферу. Ей принадлежат

все вершины икосододекаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в икосододекаэдр.

Она касается всех ребер икосододекаэдра.



. Сколько вершин имеет икосододекаэдр?

. Сколько ребер имеет икосододекаэдр?

. Сколько граней имеет икосододекаэдр?

. Найдите ребро икосододекаэдра, полученного усечением доде-

каэдра с ребром .

. Имеет ли икосододекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет икосододекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет икосододекаэдр?

. Как икосододекаэдр можно получить усечением икосаэдра?


единичного икосододекаэдра.


ничного икосододекаэдра.

. Найдите радиус сферы, описанной около единичного икосо-

додекаэра.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в единичный икосо-

додекаэдр.

. Можно ли вписать сферу в икосододекаэдр? Если да, то най-

дите ее радиус.


раскраски граней икосододекаэдра?

. Усеченный кубооктаэдр


Усеченный кубооктаэдр –– многогранник, изображенный на ри-

сунке. Его поверхность состоит из правильных восьмиугольников,

шестиугольников и квадратов.

Несмотря на название, этот многогранник не получается усече-

нием кубооктаэдра. Усечением кубооктаэдра получается многогран-

ник, гранями которого будут не квадраты, а прямоугольники, а вме-

сто правильных шестиугольников –– неправильные.

Так получается потому, что четырехгранные углы кубооктаэдра

не являются правильными и, следовательно, пирамиды, которые от-

секаются от этих углов, также не являются правильными. Их осно-

ваниями будут не квадраты, а прямоугольники.

Получить усеченный кубооктаэдр можно из усеченного куба сле-

дующим образом.

Будем раздвигать правильные восьмиугольники, являющиеся

гранями усеченного куба, по направлению от центра так, чтобы рас-

стояние между соседними параллельными ребрами было равно реб-

ру усеченного куба. Образовавшиеся промежутки между этими гра-

нями можно будет заполнить квадратами и правильными шести-

угольниками.


Около усеченного кубооктаэдра можно описать сферу. Ей при-

надлежат все вершины усеченного кубооктаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный кубоок-

таэдр. Она касается всех ребер усеченного кубооктаэдра.


. Сколько вершин имеет усеченный кубооктаэдр?

. Сколько ребер имеет усеченный кубооктаэдр?

. Сколько граней имеет усеченный кубооктаэдр? Сколько из них

восьмиугольников, шестиугольников и квадратов?

. На какое расстояние нужно переместить восьмиугольные гра-

ни усеченного куба с ребром , по направлению от центра, чтобы

получить усеченный кубооктаэдр?

. Имеет ли усеченный кубооктаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный кубооктаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный кубооктаэдр?

. Найдите радиус сферы, полувписанной в усеченный кубоокта-

эдр с ребром .


. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного кубоок-

таэра

. Можно ли вписать сферу в усеченный кубооктаэдр?


раскраски граней усеченного кубооктаэдра?


. Усеченный икосододекаэдр

Усеченный икосододекаэдр –– многогранник, изображенный на

рисунке. Его поверхность состоит из правильных десятиугольников,

правильных шестиугольников и квадратов.

Несмотря на название, этот многогранник не получается усече-

нием икосододекаэдра. Усечением икосододекаэдра получается мно-

гогранник, гранями которого вместо квадратов будут прямоуголь-

ники, а вместо правильных шестиугольников –– неправильные.

Это происходит потому, что четырехгранные углы икосододека-

эдра не являются правильными и, следовательно, пирамиды, кото-

рые отсекаются от этих углов, также не являются правильными. Их

основаниями будут не квадраты, а прямоугольники.

Получить усеченный икосододекаэдр можно из усеченного доде-

каэдра следующим образом. Будем раздвигать правильные десяти-

угольники, являющиеся гранями усеченного додекаэдра, по направ-

лению от центра так, чтобы расстояние между соседними парал-

лельными ребрами было равно ребру усеченного додекаэдра. Обра-

зовавшиеся промежутки между этими гранями можно будет запол-

нить квадратами и правильными шестиугольниками.


Около усеченного икосододекаэдра можно описать сферу. Ей

принадлежат все вершины усеченного икосододекаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в усеченный икосо-

додекаэдр. Она касается всех его ребер.


. Сколько вершин имеет усеченный икосододекаэдр?

. Сколько ребер имеет усеченный икосододекаэдр?

. Сколько граней имеет усеченный икосододекаэдр? Сколько из

них десятиугольников, шестиугольников и квадратов?

. Имеет ли усеченный икосододекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет усеченный икосододекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет усеченный икосододе-

каэдр?

. Можно ли вписать сферу в усеченный икосододекаэдр?


раскраски граней усеченного икосододекаэдра?


. Ромбокубооктаэдр

Ромбокубооктаэдр –– многогранник, изображенный на рисунке.

Его гранями являются квадраты и правильные треугольники.

Получить ромбокубооктаэдр можно из куба следующим образом.

Будем раздвигать квадраты, являющиеся гранями куба, по направ-

лению от центра так, чтобы расстояние между соседними парал-

лельными ребрами было равно ребру куба. Образовавшиеся про-

межутки между этими гранями можно будет заполнить квадратами

и правильными треугольниками.


Около ромбоубооктаэдра можно описать сферу. Ей принадлежат

все вершины ромбокубооктаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в ромбокубооктаэдр.

Она касается всех ребер ромбокубооктаэдра.


. Сколько вершин имеет ромбокубооктаэдр?

. Сколько ребер имеет ромбокубооктаэдр?

. Сколько граней имеет ромбокубооктаэдр? Сколько из них тре-

угольников и квадратов?

. На какое расстояние нужно переместить грани куба с ребром

, по направлению от центра, чтобы получить ромбокубооктаэдр?

. Имеет ли ромбокубооктаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет ромбокубооктаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет ромбокубооктаэдр?


. Найдите радиус сферы, полувписанной в ромбокубооктаэдр

с ребром .

. Найдите радиус сферы, описанной около ромбокубооктаэра.

. Можно ли вписать сферу в ромбокубооктаэдр?


раскраски граней ромбокубооктаэдра?

. Ромбоикосододекаэдр


Ромбоикосододекаэдр –– многогранник, изображенный на рисун-

ке. Его поверхность состоит из правильных пятиугольников, тре-

угольников и квадратов.

Получить ромбоикосододекаэдр можно из додекаэдра следующим

образом. Будем раздвигать правильные пятиугольники, являющие-

ся гранями додекаэдра, по направлению от центра так, чтобы рас-

стояние между соседними параллельными ребрами было равно реб-

ру додекаэдра. Образовавшиеся промежутки между этими гранями

можно будет заполнить квадратами и правильными треугольниками.


Около ромбоикосододекаэдра можно описать сферу. Ей принад-

лежат все вершины ромбоикосододекаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в ромбокубооктаэдр.

Она касается всех ребер ромбоикосододекаэдра.


. Сколько вершин имеет ромбоикосододекаэдр?

. Сколько ребер имеет ромбоикосододекаэдр?

. Сколько граней имеет ромбоикосододекаэдр? Сколько из них

треугольников, квадратов и пятиугольников?

. Имеет ли ромбоикосододекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет ромбоикосододекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет ромбоикосододекаэдр?

. Можно ли вписать сферу в ромбоикосододекаэдр?


раскраски граней ромбоикосододекаэдра?

. Курносый куб


Курносый куб –– многогранник, изображенный на рисунке. Его

гранями являются квадраты и правильные треугольники.

Получить курносый куб можно из ромбокубооктаэдра поворо-

том квадратных граней, полученных сдвигом граней куба, по часо-

вой стрелке.


Около курносого куба можно описать сферу. Ей принадлежат все

вершины курносого куба.

На рисунке показана сфера, полувписанная в курносый куб. Она

касается всех ребер курносого куба.


. Сколько вершин имеет курносый куб?

. Сколько ребер имеет курносый куб?

. Сколько граней имеет курносый куб? Сколько из них треуголь-

ников и квадратов?

. Имеет ли курносый куб центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет курносый куб?

. Сколько плоскостей симметрии имеет курносый куб?

. Можно ли вписать сферу в курносый куб?


раскраски граней курносого куба?

. Курносый додекаэдр


Курносый додекаэдр –– многогранник, изображенный на рисун-

ке. Его гранями являются правильные треугольники и пятиуголь-

ники.

Получить курносый додекаэдр можно из ромбоикосододекаэдра

поворотом пятиугольных граней, полученных сдвигом граней доде-

каэдра, по часовой стрелке.


Около курносого додекаэдра можно описать сферу. Ей принадле-

жат все вершины курносого додекаэдра.

На рисунке показана сфера, полувписанная в курносый додека-

эдр. Она касается всех ребер курносого додекаэдра.


. Сколько вершин имеет курносый додекаэдр?

. Сколько ребер имеет курносый додекаэдр?

. Сколько граней имеет курносый додекаэдр? Сколько из них

треугольников и пятиугольников?

. Имеет ли курносый додекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет курносый додекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет курносый додекаэдр?

. Можно ли вписать сферу в курносый додекаэдр?


раскраски граней курносого додекаэдр?

III. Многогранники, двойственные

полуправильным многогранникам

Для правильных многогранников понятие двойственности мож-

но определить следующим образом. Многогранником двойствен-

ным к правильному многограннику, называется многогранник, вер-

шинами которого являются центры граней данного многогранника.

Двойственными многогранниками являются куб и октаэдр, ико-

саэдр и додекаэдр, тетраэдр двойственен самому себе.

Одним из характеристических свойств двойственных многогран-

ников является то, что число вершин многогранника равно числу

граней двойственного ему многогранника, а числа ребер у двой-

ственных многогранников совпадают.

К сожалению, данное выше определение двойственности для

правильных многогранников не переносится на полуправильные

многогранники. Для полуправильных многогранников мы восполь-

зуемся другим определением двойственности.

Для данного полуправильного многогранника рассмотрим сфе-

ру, полувписанную в этот многогранник, т. е. касающуюся всех его

ребер. Проведем в середину каждого из этих ребер радиус полувпи-

санной сферы. Повернем каждое ребро, точнее прямую, на которой

лежит ребро полуправильного многогранника, вокруг соответству-

ющего радиуса на угол 90◦. Эти прямые после поворота будут содер-

жать ребра двойственного многогранника, а их точки пересечения

будут его вершинами.

Нетрудно видеть, что такое построение, примененное к кубу да-

ет октаэдр, тетраэдру –– тетраэдр, октаэдру –– куб, икосаэдру –– доде-

каэдр, додекаэдру –– икосаэдр.

Можно доказать, что многогранники, двойственные к полупра-

вильным многогранникам, имеют равные грани и правильные мно-

гогранные углы. Поэтому эти многогранники называются равно-

гранно полуправильными многогранниками. Имеются две беско-

нечные серии равногранно полуправильных многогранников, двой-

ственных призмам и антипризмам, а также равногранно полу-

правильных многогранников, двойственных телам Архимеда. Эти

многогранники называются телами Каталана.


. Многогранники, двойственные призмам

и антипризмам

Многогранником, двойственным n-угольной призме, будет

n-угольная бипирамида –– многогранник, составленный из двух рав-

ных n-угольных призм с общим основанием. На рисунке изображе-

на пятиугольная бипирамида, двойственная пятиугольной призме.

Многогранник, двойственный n-угольной антипризме, называет-

ся n-угольной антибипирамидой. На рисунке изображена пятиуголь-

ная антибипирамида, двойственная пятиугольной антипризме.


. Сколько вершин у n-угольной бипирамиды?

. Сколько ребер у n-угольной бипирамиды?

. Сколько граней имеет n-угольной бипирамида?

. Сколько вершин у n-угольной антибипирамиды?

. Сколько ребер у n-угольной антибипирамиды?

. Сколько граней имеет n-угольная антибипирамида?

. Многогранники, двойственные призмам и антипризмам

. Как по-другому называется треугольная антибипирамида?

. Имеет ли -угольная бипирамида центр симметрии?

. Имеет ли -угольная антибипирамида центр симметрии?

. Имеет ли -угольная бипирамида оси симметрии? Если име-

ет, то сколько?

. Имеет ли -угольная антибипирамида оси симметрии? Если


. Имеет ли -угольная бипирамида плоскости симметрии? Если


. Имеет ли -угольная антибипирамида плоскости симметрии?

Если имеет, то сколько?


раскраски граней -угольной бипирамиды?


раскраски граней -угольной антибипирамиды?

. Можно ли вписать сферу в n-угольную бипирамиду?

. Можно ли вписать сферу в n-угольную антибипирамиду?

. Можно ли описать сферу около n-угольной бипирамиды?

. Можно ли описать сферу около n-угольной антибипирамиды?

. Существует ли сфера, полувписанная в n-угольную бипира-

миду?

. Существует ли сфера, полувписанная в n-угольную антибипи-

рамиду?


. Многогранник, двойственный усеченному кубу

На рисунке изображен многогранник, двойственный усеченно-

му кубу. Его поверхность состоит из равных треугольников.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер усе-

ченного куба и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному кубу, можно вписать

сферу. Она касается всех его граней.



. Сколько вершин у многогранника, двойственного усеченному

кубу?

. Сколько ребер у многогранника, двойственного усеченному

кубу?

. Сколько граней имеет многогранник, двойственный усечен-

ному кубу?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному кубу, центр

симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет многогранник, двойственный

усеченному кубу?

. Сколько плоскостей симметрии имеет многогранник, двойст-

венный усеченному кубу?


раскраски граней многогранника, двойственного усеченному кубу?

. Можно ли описать сферу около многогранника, двойственно-

го усеченному кубу?

. Найдите расстояние между противоположными ребрами мно-

гогранника, двойственного единичному усеченному кубу.

. Существует ли сфера, полувписанная в многогранник, двой-

ственный единичному усеченному кубу? Если да, то найдите ее ра-

диус.


. Многогранник, двойственный усеченному

тетраэдру


му тетраэдру. Его поверхность состоит из равных треугольников.


ченного тетраэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному тетраэдру, можно

вписать сферу. Она касается всех его граней.

. Многогранник, двойственный усеченному тетраэдру



тетраэдру?


тетраэдру?


ному тетраэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному тетраэдру,

центр симметрии?


усеченному тетраэдру?


венный усеченному тетраэдру?


раскраски граней многогранника, двойственного усеченному тет-

раэдру?


го усеченному тетраэдру?


гогранника, двойственного единичному усеченному тетраэдру.


ственный единичному усеченному тетраэдру? Если да, то найдите

ее радиус.


. Многогранник, двойственный усеченному октаэдру


му октаэдру. Его поверхность состоит из равных треугольников.


ченного октаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному октаэдру, можно





октаэдру?


октаэдру?


ному октаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному октаэдру,



усеченному октаэдру?


венный усеченному октаэдру?


раскраски граней многогранника, двойственного усеченному окта-

эдру?


го усеченному октаэдру?


гогранника, двойственного единичному усеченному октаэдру.


ственный единичному усеченному октаэдру? Если да, то найдите ее

радиус.



икосаэдру


му икосаэдру. Его поверхность состоит из равных треугольников.


ченного икосаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному икосаэдру, можно


. Многогранник, двойственный усеченному икосаэдру



икосаэдру?


икосаэдру?


ному икосаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному икосаэд-

ру, центр симметрии?


усеченному икосаэдру?


венный усеченному икосаэдру?

. Можно ли описать сферу около многогранника, двойственного

усеченному икосаэдру?


гогранника, двойственного единичному усеченному икосаэдру.


ственный единичному усеченному икосаэдру? Если да, то найдите

ее радиус.



додекаэдру


му додекаэдру. Его поверхность состоит из равных треугольников.


ченного додекаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному додекаэдру, можно


. Многогранник, двойственный усеченному додекаэдру



додекаэдру?




ному додекаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному додекаэд-



усеченному додекаэдру?


венный усеченному додекаэдру?


усеченному додекаэдру? Если да, то найдите ее радиус.


гогранника, двойственного единичному усеченному додекаэдру.


ственный единичному усеченному додекаэдру? Если да, то найдите

ее радиус.


. Многогранник, двойственный кубооктаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный кубоокта-

эдру и называемый ромбододекаэдром. Его поверхность состоит из

равных ромбов.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер ку-

бооктаэдра и перпендикулярны им.

В ромбододекаэдр можно вписать сферу. Она касается всех его

граней.



. Сколько вершин у ромбододекаэдра?

. Сколько ребер у ромбододекаэдра?

. Сколько граней имеет ромбододекаэдр?

. Имеет ли ромбододекаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет ромбододекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет ромбододекаэдр?


раскраски граней ромбододекаэдра?

. Можно ли описать сферу около ромбододекаэдра? Если да, то

найдите ее радиус.

. Найдите расстояние между противоположными ребрами ром-

бододекаэдра, двойственного единичному кубооктаэдру.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в ромбододекаэдр,

двойственный единичному кубооктаэдру.

. Через каждое ребро куба перпендикулярно плоскости сим-

метрии, проходящей через это ребро, проведена плоскость. Какой

многогранник ограничен этими плоскостями?

. Через каждое ребро октаэдра перпендикулярно плоскости

симметрии, проходящей через это ребро, проведена плоскость. Ка-

кой многогранник ограничен этими плоскостями?


. Многогранник, двойственный икосододекаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный икосододе-

каэдру. Его поверхность состоит из равных ромбов.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер ико-

сододекаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный икосододекаэдру, можно вписать




. Сколько вершин у многогранника, двойственного икосододе-

каэдру?

. Сколько ребер у многогранника, двойственного икосододека-

эдру?

. Сколько граней имеет многогранник, двойственный икосодо-

декаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный икосододекаэдру, центр

симметрии?


икосододекаэдру?


венный икосододекаэдру?


икосододекаэдру? Если да, то найдите ее радиус.


гогранника, двойственного единичному икосододекаэдру.

. Найдите радиус сферы, полувписанной в многогранник, двой-

ственный единичному икосододекаэдру.

. Через каждое ребро икосаэдра перпендикулярно плоскости



. Через каждое ребро додекаэдра перпендикулярно плоскости





кубооктаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный усеченному

кубооктаэдру. Его поверхность состоит из равных треугольников.


ченного кубооктаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному кубооктаэдру, мож-

но вписать сферу. Она касается всех его граней.

. Многогранник, двойственный усеченному кубооктаэдру



кубооктаэдру?


кубооктаэдру?


ному кубооктаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному кубоокта-

эдру, центр симметрии?


усеченному кубооктаэдру?


венный усеченному кубооктаэдру?


усеченному кубооктаэдру?


гогранника, двойственного единичному усеченному кубооктаэдру.


ственный единичному усеченному кубооктаэдру? Если да, то най-

дите ее радиус.



икосододекаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный усеченному

икосододекаэдру. Его поверхность состоит из равных треугольников.


ченного икосододекаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный усеченному икосододекаэдру,

можно вписать сферу. Она касается всех его граней.

. Многогранник, двойственный усеченному икосододекаэдру







ному икосододекаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный усеченному икосодо-

декаэдру, центр симметрии?


усеченному икосододекаэдру?


венный усеченному икосододекаэдру?


усеченному икосододекаэдру?


ственный усеченному икосододекаэдру?


. Многогранник, двойственный ромбокубооктаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный ромбоку-

бооктаэдру. Его поверхность состоит из равных четырехугольников.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер ром-

бокубооктаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный ромбокубооктаэдру, можно впи-

сать сферу. Она касается всех его граней.



. Сколько вершин у многогранника, двойственного ромбокубо-

октаэдру?

. Сколько ребер у многогранника, двойственного ромбокубоок-

таэдру?

. Сколько граней имеет многогранник, двойственный ромбоку-

бооктаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный ромбокубооктаэдру,



ромбокубооктаэдру?


венный ромбокубооктаэдру?


ромбокубооктаэдру?


гогранника, двойственного единичному ромбокубооктаэдру.


ственный единичному ромбокубооктаэдру? Если да, то найдите ее

радиус.

. Через каждое ребро кубооктаэдра перпендикулярно плоско-

сти, проходящей через это ребро и центр симметрии, проведена

плоскость. Какой многогранник ограничен этими плоскостями?


. Многогранник, двойственный

ромбоикосододекаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный ромбоикосо-

додекаэдру. Его поверхность состоит из равных четырехугольников.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер ром-

боикосододекаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный ромбоикосододекаэдру, можно


. Многогранник, двойственный ромбоикосододекаэдру


. Сколько вершин у многогранника, двойственного ромбоико-

сододекаэдру?

. Сколько ребер у многогранника, двойственного ромбоикосо-


. Сколько граней имеет многогранник, двойственный ромбои-

косододекаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный ромбоикосододекаэд-



ромбоикосододекаэдру?


венный ромбоикосододекаэдру?


ромбоикосододекаэдру?


ственный ромбоикосододекаэдру.

. Через каждое ребро икосододекаэдра перпендикулярно плос-

кости, проходящей через это ребро и центр симметрии, проведена

плоскость. Какой многогранник ограничен этими плоскостями?


. Многогранник, двойственный курносому кубу

На рисунке изображен многогранник, двойственный курносому

кубу. Его поверхность состоит из равных пятиугольников.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер кур-

носого куба и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный курносому кубу, можно вписать




. Сколько вершин у многогранника, двойственного курносому

кубу?

. Сколько ребер у многогранника, двойственного курносому ку-

бу?

. Сколько граней имеет многогранник, двойственный курносо-

му кубу?

. Имеет ли многогранник, двойственный курносому кубу, центр

симметрии?


курносому кубу?


венный курносому кубу?


курносому кубу?


ственный курносому кубу?


. Многогранник, двойственный курносому

додекаэдру

На рисунке изображен многогранник, двойственный курносому

додекаэдру. Его поверхность состоит из равных пятиугольников.

Ребра этого многогранника проходят через середины ребер кур-

носого додекаэдра и перпендикулярны им.

В многогранник, двойственный курносому додекаэдру, можно


. Многогранник, двойственный курносому додекаэдру


. Сколько вершин у многогранника, двойственного курносому


. Сколько ребер у многогранника, двойственного курносому до-

декаэдру?

. Сколько граней имеет многогранник, двойственный курносо-

му додекаэдру?

. Имеет ли многогранник, двойственный курносому додекаэд-



курносому додекаэдру?


венный курносому додекаэдру?


курносому додекаэдру?


ственный курносому додекаэдру?

IV. Звездчатые многогранники

. Правильные звездчатые многогранники

Имеется четыре правильных звездчатых многогранника –– тела

Кеплера-Пуансо. Их гранями могут быть не только правильные мно-

гоугольники, но и правильные звездчатые многоугольники. Пере-

числим эти многогранники и укажем способы построения.

Малый звездчатый додекаэдр получается продолжением ребер

додекаэдра. Его гранями являются правильные звездчатые пятиуголь-

ники.


При продолжении граней додекаэдра возникают две возможно-

сти. Если в качестве граней рассматривать правильные пятиуголь-

ники, то получится так называемый большой додекаэдр.

Если же в качестве граней рассматривать правильные звездча-

тые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр.

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении гра-

ней икосаэдра получается большой икосаэдр. Его гранями являются

правильные треугольники.


. Сколько треугольных граней имеет малый звездчатый додека-

эдр?

. Сколько треугольных граней имеет большой додекаэдр?

. Сколько треугольных граней имеет большой звездчатый доде-

каэдр?


. Найдите ребро малого звездчатого додекаэдра, полученного из

единичного додекаэдра.

. Большой додекаэдр может быть получен вырезанием из икоса-

эдра правильных треугольных пирамид, основаниями которых яв-

ляются грани икосаэдра. Найдите боковое ребро этих пирамид, ес-

ли ребро икосаэдра равно .

. Большой звездчатый додекаэдр может быть получен достраи-

ванием на икосаэдре правильных треугольных пирамид, основания-

ми которых являются грани икосаэдра. Найдите боковое ребро этих

пирамид, если ребро икосаэдра равно .

. Имеет ли малый звездчатый додекаэдр центр симметрии?

. Имеет ли большой додекаэдр центр симметрии?

. Имеет ли большой звездчатый додекаэдр центр симметрии?

. Имеет ли большой икосаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет малый звездчатый додекаэдр?

. Сколько осей симметрии имеет большой додекаэдр?

. Сколько осей симметрии имеет большой звездчатый додека-

эдр?

. Сколько осей симметрии имеет большой икосаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет малый звездчатый до-

декаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет большой додекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет большой звездчатый

додекаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет большой икосаэдр?

. Звездчатые формы кубооктаэдра, икосаэдра и икосододекаэдра

. Звездчатые формы кубооктаэдра, икосаэдра

и икосододекаэдра

Кроме правильных звездчатых многогранников, существуют и

другие звездчатые формы, получающиеся продолжением граней

правильных и полуправильных многогранников.

Так продолжение граней кубооктаэдра приводит к четырем звезд-

чатым многогранникам. Первый из них получается достраиванием

на гранях кубооктаэдра треугольных пирамид и представляет собой

соединение куба и октаэдра.

Следующая звездчатая форма кубооктаэдра образована из соеди-

нения куба и октаэдра добавлением бипирамид.


Третья звездчатая форма кубооктаэдра представляет собой со-

единение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых

служат квадраты.

Последняя звездчатая форма кубооктаэдра является соединени-

ем двух тетраэдров и трех правильных четырехугольных призм, об-

щей частью которых служит куб.

Икосаэдр имеет звездчатых форм. Мы представим только не-

которые из них.


Первая звездчатая форма икосаэдра получается достраиванием

на гранях икосаэдра правильных треугольных пирамид.

Следующая звездчатая форма получается вырезанием из граней

додекаэдра правильных пирамид, боковые грани которых –– правиль-

ные треугольники.

На следующих рисунках приведены еще две звездчатые формы

икосаэдра.

Икосододекаэдр имеет звездчатых форм.


Первая звездчатая форма икосододекаэдра является объедине-

нием икосаэдра и двойственного ему додекаэдра.

Пятая звездчатая форма икосододекаэдра является объединени-

ем малого звездчатого додекаэдра и октаэдров.

Восьмая звездчатая форма икосододекаэдра является объедине-

нием большого додекаэдра и тетраэдров.


На следующем рисунке представлена завершающая, девятнадца-

тая, форма икосододекаэдра.


. На рисунке изображен многогранник, называемый звездчатым

октаэдром. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти

сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им «Stella octangula» ––

звезда восьмиугольная. Он является объединением двух тетраэдров.

Какой фигурой является пересечение указанных тетраэдров?

. Имеет ли звездчатый октаэдр центр симметрии?

. Сколько осей симметрии имеет звездчатый октаэдр?

. Сколько плоскостей симметрии имеет звездчатый октаэдр?


. Сколько октаэдров образует звездчатую форму икосаэдра, изоб-

раженную на рисунке?

. Сколько тетраэдров образует звездчатую форму икосаэдра, изо-

браженную на рисунке?

. Сколько октаэдров входит в пятую звездчатую форму икосодо-

декаэдра?

. Сколько тетраэдров входит в восьмую звездчатую форму ико-

сододекаэдра?

. Какой многогранник является пересечением куба и двойст-

венного ему октаэдра?


. Какой многогранник является пересечением икосаэдра и

двойственного ему додекаэдра?

В заключение приведем несколько рисунков М. Эшера с изобра-

жением звездчатых многогранников.

IV. Звездчатые многогранники . Звездчатые формы кубооктаэдра, икосаэдра и икосододекаэдра

Литература

. Смирнова И. М. В мире многогранников. М.: Просвещение, .

. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Нестандартные и исследовательские зада-

чи по геометрии. М.: Мнемозина, .

. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для –– классов

общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, .

. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Многогранники. Элективный курс: Учеб-

ное пособие для –– классов общеобразовательных учреждений. М.:

Мнемозина, .

Ответы


. Куб

. . . . . У каждого ребра куба имеется три ребра, ему па-

раллельных. Поэтому число пар параллельных ребер куба равно12 ·3

2=18. . У каждого ребра куба имеется восемь ребер, ему пер-

пендикулярных. Поэтому число пар перпендикулярных ребер куба

равно12 ·8

2= 48. . У каждого ребра куба имеется четыре скрещи-

вающихся с ним ребра. Поэтому число пар скрещивающихся ребер

куба равно12 ·4

2= 24. . . .

p2. .

p3. . Да. . . . .

. . . в), д), ж). . 0,5. .

p3

2. .

p2

2. . Правильная

восьмиугольная призма.

. Многогранник, составленный из двух равных правильных ше-

стиугольных пирамид с общим основанием.

. Многогранник, составленный из правильной четырехугольной

призмы и двух правильных четырехугольных пирамид, поставлен-

Ответы

ных на основания этой призмы.

. Тетраэдр

. . . . . Нет. . Да, . . . . Расстояние между противо-

положными ребрами тетраэдра равно длине отрезка, соединяюще-

го середины этих ребер. Оно равно

p2

2. . Нет. . Да, . . Да,

. . . . а). .p

2. .1

3. .

p6

12. .

p6

4. . Радиус по-

лувписанной сферы равен половине расстояния между противопо-

ложными ребрами тетраэдра. Он равен

p2

4. . Правильная шести-

угольная пирамида.

. Куб. . Тетраэдр.

А. . Октаэдр

. . . . . У каждого ребра октаэдра имеется одно ребро, ему

параллельное. Поэтому число пар параллельных ребер октаэдра рав-

но . . У каждого ребра октаэдра имеется четыре скрещивающих-

ся с ним ребра. Поэтому число пар скрещивающихся ребер октаэдра

равно12 ·4

2= 24. . . .

p2. . . .

p6

3. . Да. . . . .

Ответы

. . . в). ..

p2

2. .

3p

2

2. . 0,5. . Октаэдр. . Радиус

rвписанной сферы равен половине расстояния между противополож-

ными гранями октаэдра, r=

p6

6. .

p2

2. . 0,5. . Октаэдр.

. Многогранник, составленный из двух равных правильных вось-

миугольных пирамид с общим основанием.

Рисунок не открывается!

. Многогранник, составленный из двух правильных усеченных

шестиугольных пирамид с общим основанием.

. Куб. . Октаэдр.

Ответы

. Икосаэдр

. . . . . У каждого ребра икосаэдра имеется одно ребро, ему

параллельное. Поэтому число пар параллельных ребер икосаэдра

равно . . У каждого ребра икосаэдра имеется двадцать скрещи-

вающихся с ним ребер. Поэтому число пар скрещивающихся ребер

икосаэдра равно30 ·20

2= 300. . У каждой грани икосаэдра

имеется одна грань, ей параллельная. Поэтому число пар парал-

лельных граней равно . . Да. . . . . . Расстояние

между противоположными ребрами икосаэдра равно диагонали

правильного пятиугольника со стороной . Оно равно1+p

5

2.

.

p

10+2p

5

2. .

−1+p

5

2. .

−1+p

5

2. .p

7−3p

5. . Ес-

ли ребро икосаэдра равно−1+p

5

2, то ребро октаэдра равно

p2

2.

Поэтому, если ребро икосаэдра равно , то ребро октаэдра равноp

2+p

10

4. . Радиус Rполувписанной сферы равен половине рас-

стояния между противоположными ребрами икосаэдра, т. е. R =

=1+p

5

4. . Радиус Rописанной сферы равен половине расстоя-

ния между противоположными вершинами икосаэдра, т. е. R =

=

p

10+2p

5

4. . .


. . . . . У каждого ребра додекаэдра имеется одно ребро,

ему параллельное. Поэтому число пар параллельных ребер икоса-

эдра равно . . У каждого ребра додекаэдра имеется двадцать

скрещивающихся с ним ребер. Поэтому число пар скрещивающихся

ребер додекаэдра равно30 ·20

2= 300. . У каждой грани додекаэд-

ра имеется одна грань, ей параллельная. Поэтому число пар парал-

лельных граней равно . . Расстояние dмежду противоположны-

ми ребрами единичного додекаэдра равно диагонали правильного

пятиугольника со стороной1+p

5

2. Поэтому d=

3+p

5

2. . Расстоя-

ние d между противоположными вершинами равно диагонали пря-

моугольника со сторонами и3+p

5

2, т. е. d =

p

18+6p

5

2. . Да.

. . . . . Если ребро додекаэдра, вписанного в куб, равно

Ответы

, то ребро куба равно3+p

5

2. Поэтому, если ребро куба равно , то

ребро додекаэдра, вписанного в куб, равно3−p

5

2. . Ребро куба

равно диагонали правильного пятиугольника со стороной , т. е. оно

равно1+p

5

2. .

5+3p

5

10. . Ребро додекаэдра равно

2

3отрезка,

соединяющего середины ребер икосаэдра. Учитывая, что диагональ

правильного пятиугольника со стороной равна1+p

5

2, получаем,

что искомое ребро додекаэдра равно1+p

5

6. . Да. Рассмотрим

куб, вписанный в единичный додекаэдр. Его ребро равно1+p

5

2.

Впишем в куб тетраэдр. Он будет вписан в додекаэдр и его ребро

будет равно

p2+p

10

2.

. Да. Рассмотрим додекаэдр, вписанный в единичный икосаэдр.

Его ребро равно1+p

5

6. Впишем в додекаэдр куб. Он будет вписан

в икосаэдр и его ребро будет равно3+p

5

6.

. Радиус R полувписанной сферы равен половине расстояния меж-

ду противоположными ребрами единичного додекаэдра, т. е. R =

Ответы

=3+p

5

4. . Радиус R описанной сферы равен половине расстоя-

ния между противоположными вершинами единичного додекаэдра,

т. е. R=

p

18+6p

5

4. . . . Икосаэдр. . Додекаэдр.


. Призмы и антипризмы

. n. . n. . n+. . 2n. . n. . n+. .4p

8

2. . Нет.

. Нет. . Да, . . Да, одну. . Да, . . Да, . . Одна из

возможных разверток пятиугольной призмы показана на рисунке.

. Одна из возможных разверток четырехугольной антипризмы по-

казана на рисунке.

. . . . . Нет. . Нет. . Да. Если радиус окружности,

описанной около основания призмы равен r, а высота призмы рав-

на h, то радиус R сферы, описанной около призмы, равен

q

r2+

h2

4.

. Да. Если радиус окружности, описанной около основания анти-

призмы равен r, а высота антипризмы равна h, то радиус R сферы,

описанной около антипризмы, равен

q

r2+

h2

4. . Да. Если радиус

сферы, описанной около призмы равен R, а высота призмы равна h,

то радиус сферы, полувписанной в призму, равен

q

R2−h2

4. . Да.

Ответы

Если радиус сферы, описанной около антипризмы равен R, а высота

антипризмы равна h, то радиус сферы, полувписанной в антиприз-

му, равен

q

R2−h2

4.

Усеченный куб

. . . . . . .2−p

2

2. .

p2 − 1. . Да. . . . .

.2+p

2

2. . Если радиус полувписанной сферы равен R, то радиус

описанной сферы равен

q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от центра

усеченного куба до плоскостей треугольных граней отличается от

расстояния от центра усеченного куба до плоскостей восьмиуголь-

ных граней. . .


. . . . . . .1

3. .

1

3. . Нет. . . . .

.3p

2

4. . Если радиус полувписанной сферы равен R, то радиус

описанной сферы равен

q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от центра

усеченного тетраэдра до плоскостей треугольных граней отличается

от расстояния от центра усеченного тетраэдра до плоскостей шести-

угольных граней. . .


. . . . . . .1

3. .

1

3. . 0,75. . Да. . . . . . 1,5.

. Если радиус полувписанной сферы равен R, то радиус описанной

сферы равен

q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от центра усеченного

октаэдра до плоскостей квадратных граней отличается от расстоя-

ния от центра усеченного октаэдра до плоскостей шестиугольных

граней. . .


. . . . . . .1

3. .

1

3. . Да. . . . . .

3+3p

5

4.

. Если радиус полувписанной сферы равен R, то радиус описан-

ной сферы равен

q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от центра усечен-

ного икосаэдра до плоскостей пятиугольных граней отличается от

Ответы

расстояния от центра усеченного икосааэдра до плоскостей шести-



. . . . . . .5−p

5

10. .

p5

5. . Да. . .

. . .5+3p

5

4. . Если радиус полувписанной сферы равен R,

то радиус описанной сферы равен

q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от

центра усеченного додекаэдра до плоскостей треугольных граней

отличается от расстояния от центра усеченного додекаэдра до плос-

костей десятиугольных граней. . .


. . . . . . .

p2

2. . Да. . . . . . Отсечением от

углов октаэдра правильных четырехугольных пирамид, боковые реб-

ра которых равны половине ребра октаэдра. . . .p

3. . .

.

p3

2. . Нет, расстояние от центра кубооктаэдра до плоскостей

треугольных граней отличается от расстояния от центра кубоокта-

эдра до плоскостей квадратных граней. . .


. . . . . . .1+p

5

4. . Да. . . . . . Отсече-

нием от углов икосаэдра правильных пятиугольных пирамид, боко-

вые ребра которых равны половине ребра икосаэдра. . 1+p

5.

.p

5+2p

5. .1+p

5

2. .

p

5+2p

5

2. . Нет, расстояние от

центра икосододекаэдра до плоскостей треугольных граней отлича-

ется от расстояния от центра икосододекаэдра до плоскостей пяти-



. . . . . . .

p2

2. . Да. . . . . .

p

12+6p

2

2.



q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от центра усеченного

Ответы

кубооктаэдра до плоскостей квадратных граней отличается от рас-

стояния от центра усеченного кубооктаэдра до плоскостей шести-



. . . . . . . Да. . . . . . Нет, расстояние от

центра усеченного икосододкаэдра до плоскостей квадратных гра-

ней отличается от расстояния от центра икосододекаэдра до плос-

костей шестиугольных граней. . .


. . . . . . .

p2

2. . Да. . . . . .

p

4+2p

2

2.



q

R2+

1

4. . Нет, расстояние от центра ромбокубоок-

таэдра до плоскостей квадратных граней отличается от расстояния

от центра ромбокубооктаэдра до плоскостей треугольных граней.

. .


. . . . . . . Да. . . . . . Нет, расстояние от

центра ромбоикосододекаэдра до плоскостей квадратных граней от-

личается от расстояния от центра ромбоикосододекаэдра до плоско-

стей пятиугольных граней. . .


. . . . . . . Да. . . . . . Нет, расстояние от цен-

тра курносого куба до плоскостей квадратных граней отличается

от расстояния от центра курносого куба до плоскостей треугольных

граней. . .


.. . . . . . . Да. . . . . . Нет, расстояние от

центра курносого додекаэдра до плоскостей пятиугольных граней

отличается от расстояния от центра курносого додекаэдра до плос-

костей треугольных граней. . .

Ответы


многогранникам

. Многогранники, двойственные призмам и антипризмам

. n+. . n. . n. . n+. . n. . n. . Куб.

. Нет. . Да. . Да, пять. . Нет. . Да, шесть. . Да, пять.

. . . . . Да. . Да. . Нет. . Нет. . Да. . Да.


. . . . . . . Да. . . . . . . . Нет. . 2+p

2.

. Да,2+p

2

2.

. Многогранник, двойственный усеченному тетраэдру

. . . . . . . Нет. . . . . . . . Нет. .3p

2

2.

. Да,3p

2

4.


. . . . . . . Да. . . . . . . . Нет. . .

. Да, 1,5.

. Многогранник, двойственный усеченному икосаэдру

. . . . . . . Да. . . . . . Нет. .5+3p

5

2.

. Да,3+3p

5

4.

Ответы

. Многогранник, двойственный усеченному додекаэдру

. . . . . . . Да. . . . . . Нет. .5+3p

5

2.

. Да,5+3p

5

4.


. . . . . . . Да. . . . . . . . Нет. .p

3.

.

p3

2. . Ромбододекаэдр. . Ромбододекаэдр.


. . . . . . . Да. . . . . . Нет. .p

5+2p

5.

.

p

5+2p

5

2. . Многогранник, двойственный икосододекаэдру.

. Многогранник, двойственный икосододекаэдру.

. Многогранник, двойственный усеченному кубооктаэдру

. . . . . . . Да. . . . . . Нет. .p

12+6p

2.

. Да,

p

12+6p

2

2.

. Многогранник, двойственный усеченному икосододекаэдру

. . . . . . . Да. . . . . . Нет. . Да.


. . . . . . . Да. . . . . . Нет. .p

4+2p

2.

. Да,

p

4+2p

2

2. . Многогранник, двойственный ромбокубоок-

таэдру.

. Многогранник, двойственный ромбоикосододекаэдру

. . . . . . . Да. . . . . . Нет. . Да. . Мно-

гогранник, двойственный ромбоикосододекаэдру.


. . . . . . . Да. . . . . . Нет. . Да.

. Многогранник, двойственный курносому додекаэдру

. . . . . . . Да. . . . . . Нет. . Да.

Ответы



. . . . . . .1+p

5

2. .

−1+p

5

2. .

1+p

5

2. . Нет.

. Нет. . Нет. . Нет. . . . . . . . . . .

. . . . . .

. Звездчатые формы кубооктаэдра, икосаэдра

и икосододекаэдра

. Октаэдр. . Да. . . . . . . . . . . . . . Кубоок-

таэдр. . Икосододекаэдр.

Ирина Михайловна Смирнова

Владимир Алексеевич Смирнов

Пðàâèëüíûå, ïîëóïðàâèëüíûå è çâåçä÷àòûå ìíîãîãðàííèêè

Подписано в печать ??.??. г. Формат 60×90 /. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. ???. Тираж ??? экз. Заказ № .

Книга издана в авторской редакции

Издательство Московского центра

непрерывного математического образования.

, Москва, Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,

Большой Власьевский пер., д. . Тел. () ––. E-mail: [email protected]

Правильные, полуправильные и звездчатые...

Documents