Урок стереометрии в 10 классе.

Учитель ГОУ СОШ «Школа здоровья» №539

Дмитрий Вадимович Лабзин.

1. Понятие правильного многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

- С какими правильными многогранниками вы уже встречались?

-Сегодня мы рассмотрим и другие правильные многограниики.

2. Тетраэдр.Название многогранниковимеет древнегреческое происхождение. В нихзашифровано число граней.«Эдра» - грань, «тетра» - четыре:«четырехгранник».

4 грани; 6 ребер; 4 вершины.Грани – треугольники.В одной вершине сходятся три ребра.

Задача. Найдите двугранные углы правильного тетра- эдра.

3. Куб (гексаэдр).

«Гекса» - шесть.Грани – квадраты.В каждой вершине сходитсяпо три ребра.

Куб представляет собой прямоугольный параллелепипедс равными ребрами.

Задача. Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 1. Найдите расстояние между диагональю куба BD1

и скрещивающейся с ней диагональю AC.

4. Октаэдр.

«Окта» - восемь.Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходятся четыре грани.

Задача. Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

5. Додекаэдр.

«Додека» - двенадцать.Грани – правильные пятиугольники.30 ребер, 20 вершин.В каждой вершине сходится по три ребра.

По мнению древних форму додекаэдра имела Вселенная.

Сальвадор Дали. Тайная Вечеря.

6. Икосаэдр.

«Икоса» - двадцать.30 ребер, 12 вершин.

7. Платоновы тела.

огонь

воздух

земля

вода

Закономерность Рене Декарта:В-Р+Г=2.

Тела Платона В Р Г

Тетраэдр 4 6 4

Куб 8 12 6

Октаэдр 6 12 8

Додекаэдр 20 30 12

Икосаэдр 12 30 20В 1755 г. Л. Эйлер доказал, что это замечательное равенство справедливо для произвольного выпуклогомногогранника. =В-Р+Г – эйлерова

характеристика многогранника.

8. Почему правильных многогранников только пять?

Многогранные углы при каждой вершине правильного многогранника равны, т.к. равны их плоские и двугранные углы. В каждой вершине сходится одно и то же число граней. Грани представляют собой правильные n- угольники.

180)2( n

n

n 180)2(

Сумма углов выпуклого n- угольника

Один плоский угол выпуклого n- угольника

n

nm 180)2(

Таких углов при одной вершине m.

Сумма таких углов при каждой вершине

360180)2(

n

nm

nnm 3601802

nnm 22

4)2)(2(

4)2(2)2(

04422

nm

nnm

nmmn

Мы знаем, что сумма плоских углов выпуклого многогранника при одной вершине меньше 360º, то есть

Учитывая, что m и n – целые и больше или равны 3, найдем перебором все пары m и n, удовлетворяющие неравенству.

m n

1 3 3

2 3 4

3 4 3

4 5 3

5 3 5

Таким образом, правильных многогранников только пять!

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ.

1.http://www.bestreferat.ru/referat-31304.html

2.http://www.abc-people.com/event/supper/dali.htmhttp://altai.peoples.ru/science/mathematics/descartes/history.html3. http://mecto.gfns.net/photos/kergma.jpg4. http://www.koipkro.kostroma.ru/Buy/School/9/Doclib31/_w/31a_jpg.jpg5. http://dorigami.narod.ru/linki/3.jpg6. http://polihedron2008.narod.ru/mages/ico/ico.gif7. http://www.taccuinistorici.it/fotoricettc/113.jps8. http://www.stihi.ru/pics/2009/05/03/4897.jpg9. http://0.tgn.com/d/chemistry/1/0/5/5/1/Johannes_Kepler.jps10. http://www.free-time.ru/razdels/!anzikl/pics/ae_1.jpg11. http://chernov-trezin.narod.ru/Z5_1_0_3files/image035.jpg12. http://raskraska.narod.ru/greec/x-greec-str.gif

ЛИТЕРАТУРА.

1. Виленкин Н.Я. И др. За страницами учебника математики: Кн. Для учащихся 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит», 1996..

2. Газета «Математика» №26 за 1996 г.

3. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2000.

4. Математика: Школьная энциклопедия/Гл. ред. С.М. Никольский. – М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1996.

5. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.