Понятие правильного многогранника

Правильных многогранников Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины сумел пробраться в самые глубины различных наук.различных наук.

Л.КэроллЛ.Кэролл

МикроцельМикроцельЗнать понятие симметрии в пространстве, Знать понятие симметрии в пространстве,

понятие правильного многогранника и понятие правильного многогранника и элементы симметрии.элементы симметрии.

Определение правильного многогранникаОпределение правильного многогранника Выпуклый многогранник называется Выпуклый многогранник называется

правильнымправильным, если его грани являются , если его грани являются правильными многоугольниками с правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. сходится одно и то же число ребер.

ПравильныйПравильный ТЕТРАЭДРТЕТРАЭДР

Составлен из четырёх Составлен из четырёх равносторонних равносторонних

треугольников. Каждая треугольников. Каждая его вершина является его вершина является

вершиной трёх вершиной трёх треугольников. треугольников.

Следовательно, сумма Следовательно, сумма плоских углов при плоских углов при

каждой вершине равна каждой вершине равна 180180ºº

ПравильныйПравильный ОКТАЭДРОКТАЭДР

Составлен из восьми Составлен из восьми равносторонних равносторонних треугольников. Каждая треугольников. Каждая вершина октаэдра вершина октаэдра является вершиной является вершиной четырёх треугольников. четырёх треугольников. Следовательно, сумма Следовательно, сумма плоских углов при плоских углов при каждой вершине 240каждой вершине 240ºº

Правильный Правильный икосаэдрикосаэдр Составлен из двадцати Составлен из двадцати

равносторонних равносторонних треугольников. Каждая треугольников. Каждая вершина икосаэдра вершина икосаэдра является вершиной является вершиной пяти треугольников. пяти треугольников. Следовательно, сумма Следовательно, сумма плоских углов при плоских углов при каждой вершине равна каждой вершине равна 300300ºº

Куб (гексаэдр)Куб (гексаэдр) Составлен из шести Составлен из шести

квадратов. Каждая квадратов. Каждая вершина куба вершина куба является вершиной является вершиной трёх квадратов. трёх квадратов. Следовательно, Следовательно, сумма плоских углов сумма плоских углов при каждой вершине при каждой вершине равна 270равна 270ºº

Правильный Правильный додекаэдрдодекаэдр Составлен из Составлен из

двенадцати двенадцати правильных правильных пятиугольников. пятиугольников. Каждая вершина Каждая вершина додекаэдра является додекаэдра является вершиной трёх вершиной трёх правильных правильных пятиугольников. пятиугольников. Следовательно, сумма Следовательно, сумма плоских углов при плоских углов при каждой вершине равна каждой вершине равна 324324ºº

Названия многогранниковНазвания многогранников пришли из Древней Грециипришли из Древней Греции

в них указывается число граней:в них указывается число граней:

эдра эдра граньграньтетра тетра 44гекса гекса 66окта окта 88икоса икоса 2020додека додека 1212

Правильные многогранники Правильные многогранники в философской картине мира ПЛАТОНАв философской картине мира ПЛАТОНА

 

тетраэдр

   икосаэдр

  воздух октаэдр

землягексаэдр

вселенная  

додекаэдр

огонь

вода

«Космический кубок» Кеплера«Космический кубок» Кеплера

Модель Солнечной системы И. Кеплера

Икосаэдро-додекаэдровая Икосаэдро-додекаэдровая структура Землиструктура Земли

Таблица № 1Таблица № 1

ПравильныПравильный й

многограннмногогранникик

ЧислоЧисло

гранейграней вершинвершин рёберрёбер

ТетраэдрТетраэдр 44 44 66

КубКуб 66 88 1212

ОктаэдрОктаэдр 88 66 1212

ДодекаэдДодекаэдрр

1212 2020 3030

ИкосаэдрИкосаэдр 2020 1212 3030

Таблица № 2Таблица № 2

Правильный Правильный многогранникмногогранник

ЧислоЧисло

граней и вершинграней и вершин(Г + В)(Г + В)

рёберрёбер(Р)(Р)

ТетраэдрТетраэдр 4 + 4 = 84 + 4 = 8 66

КубКуб 6 + 8 = 146 + 8 = 14 1212

ОктаэдрОктаэдр 8 + 6 = 148 + 6 = 14 1212

ДодекаэдДодекаэдрр

12 + 20 = 3212 + 20 = 32 3030

Икосаэдр Икосаэдр 20 + 12 = 3220 + 12 = 32 3030

Формула ЭйлераФормула ЭйлераСумма числа граней и вершин любого многогранника Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. равна числу рёбер, увеличенному на 2.

Г + В = Р + 2Г + В = Р + 2

Число граней плюс число вершин минус число рёбер Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. в любом многограннике равно 2.

Г + В Г + В Р = 2 Р = 2

«Тайная вечеря» Сальвадор ДалиСальвадор Дали

Правильные многогранники и Правильные многогранники и природаприрода

ЗадачаЗадача:: Определите количество граней, Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого вершин и рёбер многогранника, изображённого

на рисунке . Проверьте выполнимость на рисунке . Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. формулы Эйлера для данного многогранника.