notas sobre matematicas2008

5/11/2018 NOTAS SOBRE MATEMATICAS2008 - slidepdf.com

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PROFESOR: Enrique Elorza Rodríguez

2009

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE GGUUAANNAAJJUUAATTOO

FACULTAD DE MINAS, METALURGIA, GEOLOGÍA Y AMBIENTAL

NNOOTTAASS SSOOBBRREE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS ((PPAARRAA EEXXAAMMEENN DDEE CCOONNOOCCIIMMIIEENNTTOOSS))



DEPARTAMENTO DE INGENEIRÍA EN MINAS, METALURGIA Y GEOLOGÍA PROPEDEÚTICO: MATEMÁTICAS

1

MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN

Conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán George Cantor dio su

primer tratado formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los másfundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puedeencontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras yaplicadas.

DEFINICIONES:

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos delconjunto.

S1 → Conjunto S1 S1= {2, 4} 2 Є S1 3 S1

Є = Pertenece a

= No Pertenece a

Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, yasea de forma explicita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una forma,regla o proposición que los describa.

S1= {3, 4, 5, 6} = {los elementos mayores o iguales a 3 y menores o iguales a 6}

S3= {x | x2-6x+11 ≥ 3}

S4= {Todos los varones vivos llamados Juan}

SUBCONJUNTO Y SÚPER CONJUNTO:

Sea: S= {2, 4, 6, 8, 10} y R= {4, 6, 8}

Como todo elemento de R pertenece a S entonces R es un subconjunto de S es decir R S( = subconjunto de).

Pero también podemos decir que S es un superconjunto de R ó S R ( superconjuntode).

UNIÓN E INTERSECCIÓN

Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o aambos forman otro subconjunto de S unión de A y B, escrito A B. Los elementos




2

comunes de A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escritoA B. Si A y B no tienen ningún elemento común su intersección no tiene ningúnelemento común, y es conveniente representar esta intersección como otro conjunto, este sedenomina conjunto vació o nulo y se representa con el símbolo Ø.

A= {2, 4, 6} B= {4, 6, 8, 10} C= {10, 14, 16, 26}A B= {2, 4, 6, 8, 10}

A C= {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}

A B= {4, 6}

A C= Ø

Union

Union

Intersection

Vació

DIFERENCIAS Y COMPLEMENTARIO

El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denominan conjunto diferenciaentre A y B, y se escribe como A-B (y a veces A\B).

Considerando los conjuntos ya definidos, tenemos:

A-B= {2} y B-A= {8, 10}

10 1614

26

10 16

14 26

10 16

14 26

2 46

2 4

6

24 68 10 4 8

6 10

4 6

8 10

A B

10 16

1426

10 1614

26

2 4 86 10

810

2 46

A B




3

Si A es un subconjunto del conjunto I, el conjunto de los elementos que pertenecen a I perono a A, es decir, I-A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a I), lo quese escribe I-A=A1 ( que también puede aparecer como , A Ã ó ~ A).

I= {2, 4, 6, 8, 10, 12,14}A= {2, 4,6} I-A= {8, 10, 12,14}

ALGEBRA DE CONJUNTOS:

Si A, B y C son subconjuntos de un conjunto I, entonces las siguientes propiedades secumplen:

1. A B = B A2. A B = B A

3. (A B) C = A (B C)4. (A B) C = A (B C)5. A Ø = A6. A Ø = A7. A I = I8. A I = A9. A (B C) = (A B) (A C)10. A (B C) = (A B) (A C)

11. A A1 = I12. A A1 = Ø

13. (A B)1

= A1

B1

14. (A B) 1 = A1 B1 15. A A = A A = A16. (A1) 1 =A17. A-B = A B1 18. (A-B)-C = A-(B C)19. Si A B = Ø → (A B)-B = A20. A-(B-C) = (A-B) (A-C)

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN

Número (En Matemáticas), palabra o símbolo utilizado para designar cantidades oentidades que se comportan como cantidades. Los números se agrupan en conjuntos; cadauno contiene al anterior y es más completo y con mayores posibilidades en sus operaciones.Estos conjuntos o estructuras son enumerados a continuación.

NÚMEROS NATURALES

Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos:

N = {0, 1, 2, 3,…, 9,10, 11,…}

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultadoes, en todos los casos, un número natural. Sin embargo, no siempre pueden restarse nidividirse, esto porque el resultado no es número natural (ni 3-7, ni 7/4 son númerosnaturales).




4

NÚMEROS ENTEROS

Son los naturales y los correspondientes negativos:

Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}

Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, su estructuramejora a la de los naturales. Sin embargo, en general, dos números enteros no se puedendividir.

NÚMEROS RACIONALES

Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto Q delos números racionales esta compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Sepueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esasoperaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

NÚMEROS REALES

A diferencia de los números naturales y de los enteros, los números racionales no estáncolocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. En otras palabras, no existe “elsiguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualquiera hay otrosinfinitos, de modo que si se representan éstos sobre una recta, ésta queda densamenteocupada por ellos.

8/23.5 4.5

7/2 9/2

Irracionales Racionales

R= Números RacionalesI= Números irracionales

R I = N R (NR = Números racionales)

Los números reales, racionales o irracionales, pueden expresarse en forma decimalmediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal coninfinitas cifras no periódicas. Los números reales (racionales o irracionales) se puedenrepresentar sobre una recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, o bienmediante aproximaciones decimales. Cada punto de la recta corresponde a un número real ycada número real tiene uno y solo un lugar en la recta (correspondencia biunívoca).

P Q R S T U V W X Y Z

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

a) 29 T




5

b) 32 Wc) primeros tres números pares Q, S y U

NÚMEROS COMPLEJOS

En su forma general, un numero complejo se representa como a+bi, donde a y b sonnúmeros reales. El conjunto de los números complejos esta formado por todos los númerosreales y todos los imaginarios.

Los números complejos se suelen representar en el diagrama de Argand, como puntos de unplano. Así el número complejo a+bi es aquel punto del plano con abscisa “a” y ordenadaigual a la parte imaginaria “b”.

Fórmula rectangular:

Adición de (1-4i) y (2-2i), se consideran los vectores a partir de “0” y se hace la sumagrafica: (3+2i).

Forma polar: dado que los puntos del plano se pueden definir en función de suscoordenadas polares r y θ, todo número comple jo z se puede escribir de la forma:

Z= r (cos θ + i sen θ)r = Distancia del punto al origen θ = Ángulo entre Z y el eje de las x.

Z= r (cos θ + i sen θ)W= s (cos φ+i sen φ)ZW = rs (cos (θ +φ)+ i sen (θ +φ))

XX´

ZW

w

z

1+4i (1,4)

2 - 2i (2,-2)

Parte real Parte imaginaria




6

Propiedades:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Suma

(a + bi) (c + di)= (a c - bd) + (ad+ bc) i Multiplicación

El conjugado de Z = a + bi Z = a – bi

El valor absoluto del modulo de Z es igual a: | Z |= 22ba

Para el número complejo 1+ 4 i:

Su conjugado es: 1- 4i

Y su modulo es: 1741 22

INTERVALO

El intervalo (matemáticas), se define como una porción de recta con ciertas características,y corresponde con un conjunto de números. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados osemiabiertos).

INTERVALO CERRADO: [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} Los [ ] indican inclusión de a y b.

INTERVALO ABIERTO: (a, b) = {x / a < x < b}Los ( ) excluyen los valores de a y b.

INTERVALO SEMIABIERTO: (a, b] = {x / a < x ≤ b}

Los intervalos que incluyen todos los números reales o conjuntos infinitos se expresancomo intervalos semiabiertos.

(- ∞, b] = {x / x ≤ b} ( a, ∞ ) = {x / x > a}

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

¿QUÉ ES EL ALGEBRA? Es la rama de la matemática que estudia la cantidad consideradadel modo más general posible.

ARITMÉTICA: Las cantidades se representan por números y estos expresan valoresdeterminados.




7

ALGEBRA: Las cantidades se representan por letras, las cuales pueden representar todoslos valores.

NOTACIÓN ALGEBRAICA:

Números y letras: se emplean los primeros para representar cantidades conocidas y lassegundas para representar cantidades conocidas o desconocidas.

Cantidades conocidas: por las primeras letras del alfabeto: a, b, c,… Cantidades desconocidas: Por las ultimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y,…

Fórmulas: Consecuencias de la generalización que implica la representación de lascantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.

A= b x h Área rectángulo= Base x Altura

Signos del algebra: (+), (-), (x), (÷) ó ( / ), a

2

, √a Signos de relación: (=) (igual), (>) (mayor que), (<) (menor que)Signos de agrupación: ( ) paréntesis ordinario, [ ] paréntesis angular o corchete, { }llaves y la barra o vinculo. Estos signos indican que la operación colocada entreellos debe realizarse primero.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo termino, como 3ª, -5b,x2y/4n3.

Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como a+b, a+x-y,x3+3x2+x+7. Binomio es un polinomio que consta de dos términos, como: a+b, x-y. Trinomio es un polinomio que consta de tres términos, como: a+b+c.

Grado: el grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El gradoabsoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.

x4+5x3+x2-3x

x4 Mayor potencia y por lo tanto el grado del polinomio es de cuarto grado.

a6

+a6

x2

-a2

x4

a6 6to grado con respecto a “a” y 4to grado con respecto a “x”.

CLASES DE POLINOMIOS

Polinomio entero, cuando ninguno de sus términos tiene denominador.x2 +5x-6




8

Polinomio fraccionario, cuando alguno de sus términos posee denominador.

82

c

b

b

a

Polinomio racional, cuando ninguno de sus términos contiene radicales.

ca

c

a5

8

22

Polinomio irracional, cuando alguno de sus términos contiene radicales.

cab xa 2

Polinomio homogéneo, cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto.3223 654 babbaa

Polinomio heterogéneo, cuando alguno de sus términos no es del mismo grado

absoluto. 623 x x x

Polinomio complejo, con relación a una letra es el que contiene todos los exponentessucesivos de dicha letra. 432234 babbabaa (completo con respecto a “a” y“b”)

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

SUMA: Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben una a continuación de lasotras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

: , 2 3 , 4 5

2 3

4 5

7 7

SUMAR a b a b c a b

ba b c

a b

a b c a b c

: 9 , 15

9 ( 15 ) 6

: , 8 ,4

( ) ( 8 ) (4 ) ( ) ( 4 )

SUMAR ab ab

ab ab ab

SUMAR m n n

m n n m n




9

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

: 3 4 , 5 6 3 , 6 8 9

4

6 5 3

9 8 6

17 8 17 8

SUMAR x xy y xy x y y xy x

x xy y

x xy y

x xy y

xy y xy y

RESTA: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo conlos signos cambiados y se reducen términos semejantes.

RESTAR: 4a2b de -5a2b; -5a2b-(4a2b)= -9a2b

RESTAR: ab2

1 de ab

4

3 ; ababababababab

4

1

4

2

4

3

4

1

4

3

2

1

4

3

RESTAR: -9a2 de 5b2; 5b2- (- 9a2)= 5b2 + 9a2

RESTAR: -4a5b- ab5+ 6a3b3- a2b4 -3b6 de 8a4b2+ a6 – 4a2b4 + 6ab5

a6 +8a4b2 – 4a2b4 + 6ab5

+4a5b – 6a3b3 + a2b4 + ab5 + 3b6

a6+ 4a5b + 8a4b2 – 6a3b3 – 3a2b4 + 7ab5 + 3b6

MUTIPLICACIÓN : Es una operación que tienen por objeto, dadas dos cantidadesmultiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que searespecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de

la unidad positiva.

Reglas para la multiplicación:a) El orden de los factores no afecta el producto → ab es igual a ba.b) Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.→ abad=a x (bcd)

= (ab)x(cd)c) Signos iguales dan (+) y signos diferentes dan ( – ).

(+)(+)=(+), ( – )( – )=(+),(+)( – ) =( – ), ( – )(+) = ( – )

d) El signo del producto de varios factores es (+) cuando [(+)(+)( – )( – )=(+)] tiene unnúmero par de factores negativos o ninguno.

e) Ley de los exponentes, para multiplicar potencias de la misma base, se suman éstas

(a4)(a6)(a2)=a4+6+2=a12

Multiplicar: -4 a2b por ab2 (-4 a2b)(ab2) = - 4 a3b3




10

Multiplicar: a2b3 por 3a2x (a2b3)(3a2x) = 3 a4b3x

Multiplicar: 48102123122322

4

3

120

90

4

3

3

10

5

3

2

1 y x y x y x x xy y x

1 2 3 4 (par signo (+))

Multiplicar: (-3x3+5x2y-7xy2-4y3)(5a2xy2)= -15a2x4y2 + 25a2x3y3 - 35a2x2y3 - 20a2xy5

Multiplicar: (3x – 2y)(2x+y)= 6x2 – xy – 2y2 2 x+y6x2 – 4xy

+3xy – 2y2 6x2 – xy – 2y2

Multiplicar: (2y3+y – 3y2 – 4)(2y+5) 2y3+y – 3y2 – 4

2y + 54y4 – 6y3+ 2y2 – 8y

+10y3 – 15y2+ 5y – 204y4 + 4y3 – 13y2 – 3y – 20

Multiplicar: (am + 2 – am – 2am+1)(a2 – 2a) am + 2 – am – 2am+1 a2 – 2a

am + 4 – 2am+3 – am+2 – 2am+ 3 + 4am+2 + 2am+1

am + 4 – 4am+ 3 + 3am+2 + 2am+1

DIVISIÓN : Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores(dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

Reglas de la división:

a) La ley de signos es la misma que en la multiplicación:

b) Ley de los exponentes en el caso de la división las bases a diferentes potencias se

restan: 235

3

5

aaa

a

Dividir: 4a3b2 entre – 2ab2ab

b4a23

= – 2a3-1 b2-1= – 2a2 b

4a3b2 (Dividendo o Númerador)

– 2ab (Divisor o Denominador)




11

Dividir: (ambn + am-1 bn+2 – am-2 bn+4) entre a2 b3

1n4-mn3-m3-n2-m

2

4n2-m2n1-mnm

ba-bababa

ba-baba

1

3

Dividir: (2x4 – x3 – 3 + 7x) entre (2x+3)132

32

2

x x x

3-7x x-2x x

3

34

2x4 – 3x3 – 4x3+7x – 3+ 4x3+6x2

6x2+7x-3 – 6x2 – 9x

– 2x-3+2x-3

0Comprobación:(x3 – 2x2 + 3x – 1)

2x + 32x4 – 4x3 + 6x2 – 2x

+ 3x3 – 6x2 + 9x – 32x4 – x3 + 7x – 3

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo

resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.Cuadrado de la suma de dos cantidades: (a+b)(a+b) ó (a+b)2; es igual al cuadrado de laprimera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de lasegunda cantidad.

(a+b)2 = a2 + 2ab +b2 Cuadrados de la Diferencia de dos cantidades: (a – b)(a – b) ó (a – b)2 ; es igual al cuadradode la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más elcuadrado de la segunda cantidad.

(a – b)

2

= a

2

– 2ab + b

2

Producto de la Suma por la Diferencia de dos cantidades: (a + b)(a – b) ó (a – b)(a + b)

(a + b)(a – b) ó (a – b)(a + b) = a2 – b2

Cubo de un binomio: (a + b)3 ó (a – b)3; el cubo de la suma de dos cantidades es igual alcubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por




12

la segunda cantidad, más el triple producto de la primera cantidad por el cuadrado de lasegunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Producto de binomios de la forma: (x + a) (x + b), (a) El primer termino del producto es elproducto de los primeros términos de los binomios, (b) El coeficiente del segundo terminoes la suma algebraica de los productos cruzados y (c) El tercer termino es el producto de lossegundos términos de los binomios.

(x + a) (x + b) x2 + (xa + xb) + ab x2 + (a +b)x + ab

(x – 3) (x – 1) = x2 + ( – 1 – 3)x + 3= x2 – 4x + 3

Como en el caso anterior, se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecenreglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos Cantidades entre la suma o la diferenciade las cantidades.

baba

ba

22

baba

ba

22

43

43

86

109109

10081ba

ba

ba

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferenciade las cantidades.

2233

bababa

ba

22

33

bababa

ba

4928474

34364 23

aa

a

a

105

5

15

49352575

343125 x x

xa

x

En el cubo de ladiferencia los

signos (+) y ( – ) sealternan.




13

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma odiferencia de las cantidades.

322344

babbaaba

ba

432234

55

bbababaaba

ba

322344

babbaaba

ba

432234

55

babbabaaba

ba

ba

ba

44

yba

ba

44

No son divisiones exactas.

¿CÓMO SABER SI LAS DIVISIONES SON EXACTAS? O División Sintética.

Hallar por división sintética el cociente y el residuo de dividir x5

– 16x3

– 202x + 81 entrex – 4.1 ro : Ordenar, dejando en blanco las potencias faltantes el polinomio o dividendo.2 do : Escriba los coeficientes.

x5 – 16x3 – 202x + 81

1 0 – 16 0 – 202 81

1x4= 4 4x4= 16 0x4 = 0 0x4 = 0 – 808_________________________________________

1 4 0 0 – 202 – 727

Cociente = x4 + 4x3 – 202Residuo = – 727

ba

bann

Siempre divisible.

ba

bann

Divisible si n es impar.

Ya que hemos abordado el tema de la división sintética, hablemos de su utilidad paradeterminar las raíces racionales de una función de cualquier orden. Para esto se procede de

la siguiente manera:

Sea la función:3 24 6 0 x x x

El dividendo era de 5 to grado,así que al dividir por x – 4, elcociente es de 4 to grado.




14

De la cual deseamos conocer sus raíces, para ello tenemos que los numeradores de lasraíces están dados por el primer (denominadores) y último término (numeradores) de laecuación:

Numeradores 6, 3, 2, 1

Denominadores 1

Por lo tanto las posibles raíces son: 6, 3, 2, 1

SIN CAMBIAR SIGNOS AL RESTAR CAMBIANDO SIGNOS AL RESTAR

Por lo tanto las raíces son:

x = -1, x = 3 y x = 2

Comprobación:

2

2

3 2

2

3 2

1

3

3 32 3

2

2 3

2 4 6

4 6

x

x

x x

x x x

x

x x x

x x

x x x

Por lo tanto las raíces son:(x+1) ó x = -1,(x-3) ó x = 3 y(x-2) ó x = 2

Comprobación:

2

2

3 2

2

3 2

1

3

3 3

2 3

2

2 3

2 4 6

4 6

x

x

x x x

x x

x

x x x

x x

x x x

En resumen se puede hacer de las dos maneras, lo que si es que hay que cuidar son lossignos que tienen en cada caso las raíces.

FACTORIZACIÓN

Factores: se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las entidadesalgebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

1 -4 1 6 1-1 5 -6

1 -5 6 0 -33 -6

1 -2 0

1 -4 1 6 -1-1 5 -6

1 -5 6 0 33 -6

1 -2 0




15

(a)(a+b) = a2 + ab Factores

Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el productoindicado de sus factores.

Factorización de un monomio: 15 ab = 3· 5 · a · b

Factorización de un polinomio: como en aritmética en el algebra hay números primos quesolo son divisibles por si mismos y por la unidad, lo que nos lleva a que no todo polinomiopodrá descomponerse en factor.

Caso I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

(a) Factor común monomio:a2 + 2a = a (a +2)

55m2n3x+110m2n3x2 – 220m2y3 = 55m2 (n3x + 2n3x2 – 4y3)

(b) Factor común polinomio:

x (a+b) + m (a+b) = (a+b) (x+m)

2x (a – 1) – y (a – 1) = (a – 1) (2x – y)

Factorizar:4x(m – n) + n – m(a+3)(a+1) – 4(a+1)

Resultados:(m – n)(4x – 1)(a+1) (a +3 – 4) = (a+1) (a – 1)

Caso II: Factor común por Agrupación de Términos.

(1) ax + bx + ay +by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b) (x+y)

(2) 3m2 – 6mn +4m – 8n = m(3m+4) – 2n(3m+4) = (3m+4) (m – 2n)

(3) n2x – 5a2y2 – n2y2 + 5a2x = x(n2+5a2) – y2(n2+5a2) = (n2+5a2) (x – y2)

Caso III: Trinomio cuadrado perfecto.

Cuadrado perfecto 4a2 es perfecto porque (2a) (2a)= 4a2

Raíz cuadrada de un monomio 3ab2 es la raíz de 9a2b4 porque (3ab2)2 = 9a2b4 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: un trinomio ordenado con relacióna una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercero de los términos son cuadradosperfectos (o tienen raíz cuadrado exacta) y positivos, y el segundo termino es el dobleproducto de sus raíces cuadradas.




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(a) 4x2 + 25y2 – 20xy 4x2 – 20xy + 25y2 2x 5y

2(2x) (5y) = 20 xy

4x2 + 25y2 – 20xy (2x – 5y)2

(b)934

1 2bb

4

1

39

2

bb

3

b

2

1

32

1

32

bb

934

1 2bb

2

2

1

3

b

Caso IV: Diferencia de cuadrados perfectos.

a2 – b2 = (a+b) (a – b)

a4n – 225b4 (a2n+15b2) (a2n – 15b2)

a2n 15b2 Caso V: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.

Factorar : x4 + x2y2+y4

x2 y2 para que sea cuadrado perfecto requiere que este fuese 2x2y2

x4 +x2y2+y4 (x4+2 x2y2 +y4) – x2y2 x2y2 (x2+y2)2 – x2y2

x4+2 x2y2 +y4 (x2+y2 – xy) (x2+y2 + xy)

Factorar: 4a8 – 53a4 b4+49b8 2a4 7b4

28a4b4

4a8 – 53a4 b4+49b8 (4a8 – 28a4 b4+49b8) – 25a4 b4 + 25a4 b4 – 25a4 b4 (2a4 – 7b4)2 – x2y2

4a8 – 28a4 b4+49b8 – 25a4 b4 (2a4 – 7b4 – 5a2b2) (2a4 – 7b4 + 5a2b2)

Caso Especial: Factorizar una suma de dos cuadrados.

Factorar: 4m4 +81n4 2m2 9n4

Para ser un cuadrado perfecto le esta faltando eltérmino 2(2m2) (9n4) = 36m2n2




17

4m4 +81n4

+36m2n2 – 36m2n2 (4m4+36m2n2+81n4) – 36m2n2 4m4 +36m2n2 +81n4 – 36m2n2 (2m2+9n2)2 – 36m2n2

(2m2+9n2 – 6mn) (2m2+9n2 – 6mn)

Caso VI: Trinomio de la forma: x2

+bx+c. (1) Factorizar: y2 + y – 30 ; el trinomio se descompone en dos binomios cuyo primertermino es la raíz cuadrada de y2 , o sea y:

y2 + y – 30 (y ) (y )

En el primer binomio después de y se pone el signo que tiene el segundo termino deltrinomio (+ y). En el segundo binomio se coloca el signo que resulta de multiplicar:(+y)( – 30) o sea ( – ).

y2 + y – 30 (y+ ) (y – )

Buscamos ahora dos números que sumados nos den (+1) y multiplicados nos den (30) y eneste caso dichas cantidades son (+6)( – 5).

y2 +y – 30 (y + 6) (y – 5) (2) Factorizar: m2 – 8m – 1008

7

3

3

2

2

2

2

1

7

21

63

126

252

504

1008

(m – ) (m + )

(m – 36) (m + 28) m2 + 28m – 36m – 1008

Esta descomposición sirve para buscar dos números que sumados nos den ( – 8) ymultiplicados nos den ( – 1008).

Caso VII: Trinomio de la forma: ax2 + bx +c

Factorar: 15a2 – 8a – 12: Multiplicar el trinomio por el coeficiente de a2

15 (15a2 – 8a – 12) 225a2 – 120a – 180

Buscamos dos números que sumados nos

den ( – 8) y multiplicados nos den ( – 1008)

2x2x2x2=16 3x3x7= 63 – 16+63=47 No

2x2x7=28 2x2x3x3= 36 – 28+36=8 Si




18

(15a) 2 – 8(15a) – 180 (15a – )(15a + )

Buscamos números que sumados den 8 y multiplicados nos den 180.

3

3

5

22

1

3

9

45

90180

(15a – 18)(15a + 10) ó 15

(15a – 18)(15a + 10)3x5

(5a – 6)(3a + 2) (15a2+10a – 18a – 12) 15a2 – 8a – 12

Caso VIII: Cubo perfecto de binomios: En los productos notables vimos que:

(a+b) 3 = a3 +3a2b + 3ab2+ b3 (a – b) 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Para factorizar una expresión que se presume es el cubo de un binomio, debe primeramentedeterminarse si dicha expresión es el cubo de un binomio, veamos el siguiente ejemplo:

Factorizar: 64x3+240x2y+300xy2+125y3

4x 5y

3(4x) 2(5y) = 240x2y si es el cubo perfecto de un binomio.3(4x) (5y) 2= 300x y 2

(4x+5y) 3 Resultado Final

Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos Perfectos; Para estos casos tenemos o sabemos:

2233

baba

ba

ba

22

33

baba

ba

ba

Factorar: 27a3 – b3 3a b (3a – b) (9a2 + 3ab + b2)

(3a)(b)

Factorar: 8a3 + 27b6 2a 3b2 (2a – 3b2)(4a2+6ab2+9b4)

2x2=4 5x3x3=45 -4+45=41 No

2x2x3=12 5x3=15 -12+15=3 No

2x2x5=20 3x3=9 -20+9=11 No

2x5=10 2x3x3=18 -10+18=8 Si

(Como inicialmente se multiplico por 15debe dividirse por la misma cantidad)




19

Caso X: Suma o Diferencia de Dos Potencias iguales:

Casos:I) an – bn es divisible por (a – b) siendo n par o impar.II) an + bn es divisible por (a + b) siendo n impar.

III) a

n

– b

n

es divisible por (a + b) cuando n es par.IV) an + bn nunca es divisible por (a – b).

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más expresiones algebraicas es la expresiónalgebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esta contenidaexactamente en cada una de ellas.

Para las expresiones: 8 a3n2, 24 an3 y 40 a3n4p

(8)(1) (8)(3) (8)(5) m.c.d. 8an

2

Para las expresiones: 38 a2x6y4, 76 mx4y7 y 95 x5y4

(19)(2) (19)(4) (19)(5)

19

2

1

19

38

19

2

2

1

19

38

76

19

5

1

19

95

m.c.d. 19x4y4

Para las expresiones: 28 a2b3c4, 35 a3b4c5 y 42 a4b5c6

(4)(7) (5)(7) (6)(7)

7

2

2

1

7

14

28

7

5

1

7

35

7

3

2

1

7

21

42

m.c.d. 7a2b3c4

M.C.D. DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Regla: Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El m.c.d. es elproducto de los factores comunes con su menor exponente.

Encontrar el m.c.d. de x2 – 2x – 8, x2 – x – 12 y x3 – 9x2 + 20 x

x2 – 2x – 8 (x – 4)(x+2) Dos números sumados(2) y multiplicados (8)




20

x (2)(4)

x2 – x – 12 (x – 4)(x+3)

x3 – 9x2 + 20 x x (x2 – 9x + 20) x ( x – 4)( x – 5)

2x2=4 5x1=5 – 4 – 5= – 9 m.c.d. ( x – 4)

M.C.D. DE POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS

Hallar el máximo común divisor de los polinomios x3 – 2x2 – 5x + 6, 2x3 – 5x2 – 6x +9 y2x2 – 5x – 3.

Primero encontramos el m.c.d. de los dos polinomios:

3 2

3 2

2

2 4 10 12

2 5 6 9

4 3

x x x

x x x

x x

9652 23 x x x

2 4 3 x x

El máximo común divisor de los primeros polinomios es x2 – 4x+3, tomaremos ahora elotro polinomio y lo dividiremos por este.

342 x x

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Común múltiplo: antes de ir más adelante es conveniente definir algunos conceptosrelacionados con las operaciones de fracciones, así tenemos que el común múltiplo de dosexpresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cadauna de las expresiones dadas.

5

2

2

1

5

10

20

0

9123

9123

682

9652

2

2

23

23

x x

x x

x x x

x x x

Divisor pasa a serdividendo y residuala divisor

2

x – 1

2 3 x

2

2

2 5 3

2 8 6

3 9

x x

x x

x

3 x 2

2

4 3

3

3

3

0

x x

x x

x

x

Dividido por 3, para poder hacer ladivisión.

El M.C.D. es (x-3)




21

8a3b2 es común múltiplo de 2a2 y 4a3b; esto porque 8a3b2 es exactamente divisible

por 2a2 y 4a3b. 2

2ab

2a

ba4

8 23

2b ba

ba3

4

8 23

Mínimo común múltiplo (m.c.m.): de dos o más expresiones algebraicas es la expresiónalgebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamentepor cada una de las expresiones dadas.

4a y 6a2, tienen como mínimo común múltiplo (4a) (3a) (2a)

12a2

REGLA PARA ENCONTRAR m.c.m. de monomios se halla el m.c.m. de los coeficientesy a continuación de éste se escriben las letras distintas, sean o no comunes, dando a cadaletra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.

2ab2, 4a2b, 8a3 23

3

22

8

)2)(4(

)2)(2(

))(2(2

ba

a8a

aabb4a

baab2ab

3

2

2

18a3, 24b2, 36ab3

33

322

23

332332

72

)3)(2(

)3)(2(

3232

ba

ab36ab

b24b

baa18a

3

2

3

REGLA PARA ENCONTRAR m.c.m. de polinomios, se descomponen las expresionesdadas en sus factores primos. El m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y nocomunes, con su mayor exponente.

2a2+2a, 3a2 – 3a, a4 – a2

2424

222

222

666

16116

111

13

12

aaaa

aaaaa

aaaaaaa

aa3a3a

aa2a2a

24

2

2

El m.c.m. es 6(a4-a2)FRACCIONES ALGEBRÁICAS

Una fracción algebraica, como en aritmética, es el cociente indicado por dos expresionesalgebraicas.

Contenido ya




22

Fracción algebraica entera a, x+y, ½ a + ⅔ b

1

a Idem

Fracción algebraica mixta a + (b/c) y x – (3/ x – a)

Principios fundamentales de las fraccionesMultiplicación por una cantidad (o división):

5b

a

b

a5;

b

a

b

a

55

1

5

5

b

a

b

a

b

a

5

5;

b

a

b

a

b

a

2

12

1

2

12

1

Cambiando de signos:

mb

a m

b

a

; m

b

a

m

b

a

mb

a

ó m

b

a

x

x

x

x

x

x

x

x

3

2

3

2

3

2

3

2

La fracción

xy

abpuede ser escrita:

y x

ab

y x

ba

y x

ba

xy

ab

Reducir una fracción: es cambiar su forma sin cambiar su valor.

Simplificar una Fracción Algebraica: es convertirla en una fracción equivalente cuyostérminos sean primos entre si. Simplificación de Fracciones Simples:

abba

a

4

1

8

22

y x

a

y x

ax25

3

44

xya y xa

y x2432

32

24

9

24

9

Simplificación de Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios:

y x

y x

y x y x

y x y x

y xy x

y x

22

22

2

OPERACIONES CON FRACCIONESSuma:

1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.




23

2. Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si son de distintodenominador.

3. Se efectúan las multiplicaciones indicadas.4. Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el

denominador común.

5.

Se reducen términos semejantes en el numerador.6. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Hallar la suma de 30

4

15

2

12

x y y x y x

12 2

6 2

3 3

1

15 3

5 5

1

5

3

2

1

5

15

30

60

35

60

824855

60532

422452

y x x y y x y x x y y x y x

Hallar la suma de 22 4923

1

y x

y x

y x

y x y x

y x

y x y x

y x y x

y x y x

y x

y x 2323

4

2323

23

232323

1

Resta:Se siguen las mismas reglas de la suma, solo se debe tener en cuenta el signo menos quepreceden las expresiones algebraicas.

Hallar la resta de:

y

y x

x

x y

24

3

20

2

xy

x xy y

xy

xy x xy y

xy

y x x x y y

xy x x

y x x y

y

y x

x

x y

120

536

120

155126

120

3526

532

32

32

3

52

22222

332

Hallar la resta de:

22

11

x x x x

x x x x x

x

x x x

x x

x x x

x x

x x x x

11

2

11

2

11

11

11

11

1

1

1

1




24

Multiplicación: 1. Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que se

van a multiplicar.2. Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y

denominadores.

3.

Se multiplican entre si las expresiones que queden en los numeradores después desimplificar, y este producto se parte por el producto de las expresiones que quedenen los denominadores.

Hallar el producto de:

1

1

22

4

1

24

44

2

44

482

16

222

2

23

2

2

2

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

Hallar el producto de:

3

81

25

62

3

x x

x

x x x

3

15

55

19

3

54

55

19

3

833

25

62522

2

33

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x

x

x x x

x

x x x x

35

119

x x

x x

División:Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.

a)2 2 3 2 3

2 3 2 2

2

3 3 2 6 6

x x x y x y xy

y y y x xy

b)3 2 3

3 3 3 2

1 1 2 1 1 2 1 11

2 1 2 1 2 1

x x x x x x

x x x x x x x

11111

1111

211

12111

23323

2

x x x x x

x x x

x x x

x x x x x x x

FRACCIONES COMPLEJAS:

Definición: Una fracción compleja es una fracción en la cual el númerador o eldenominador, o ambos, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas.




25

Simplificar:

2

3

122

4

22

42

24

4

42

2

4

2

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Simplificar:

2314

4132

42

2314

24

4132

4

3

2

12

1

4

3

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x

x

x

x x

x

x

x

52

1

104

2

643

456522

22

x x x x x x

x x x x

EVALUACIÓN DE FRACCIONES

La forma a

Øsiempre será Ø (cualquiera que sea el valor de “a” esta división es cero).

La forma Ø

aimplica que el denominador es una cantidad extremadamente pequeña así

que: Ø

a

23

42

x x

xPara x=2

Ø

6

264

6

La forma 0.0

aó Ø

acualquier cantidad dividida por una cantidad extremadamente

grande es cero.

La forma Ø

Øindeterminado

POTENCIAS

Definición: potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado detomarla como factor dos o más veces.

SIGNO DE LAS POTENCIAS:1. Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.2. Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.




26

33

22

82222

4222

aaaaa

aaaa

(+) ( – )

Potenciar:2 2

22 2 2 4 x x x x y y y y

201020105452

5

5

5

42

32

1

32

11

2

11

2

1babababa

Potenciar: 3

22

5

4

4

3

ba (Recordar el cubo de un binomio)

642246

6422

242

6

3

2

2

222

2

2

3

2

125

64

5

36

5

27

64

27

125

64

54

433

54

433

64

27

5

4

5

4

4

33

5

4

4

33

4

3

bbabaa

bbabaa

bbabaa

Cubo de un polinomio: (a+b+c)3

a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc

Binomio de Newton:

nn

nnnnn

nn

nnnnn

bbannnn

bannn

bann

bnaaba

bbannnn

bannn

bann

bnaaba

44

33221

44

33221

4321

321

321

21

21

1

4321

321

321

21

21

1

Desarrollar: 62 ba

6556446

3362261666

254321

4636261662

4321

3626166

2321

261662

21

1662622

bbaba

bababaaba




27

Finalmente, reduciendo se tiene:

654233245661260160240192642 babbabababaaba

TRIÁNGULO DE PASCAL

Los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los daenseguida el llamado triangulo de Pascal.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Desarrollar:

6542332456633

36

3

315

3

320

3

315

3

36

31

3

3

bb

a

b

a

b

a

b

a

b

aa

b

a

654

2

3

3

2

456672948613520

9

15

81

6

729

3

3 bb

a

b

a

b

a

b

a

b

aa

b

a

Algunas leyes de exponentes:

5

61

65

6

23

3

1

2

1

31

21

22

122

2

21

221

6

632

5

5

3

63232

5111115

222222

22

2222

22

64

1

2

122

32

1

2

12

644444

;64222

3222222222

x

322222

2222

222

222

52323

2323

221

50 0.0

331

33 3.0

n=nn=1n=2n=3n=4n=5n=6




28

RADICACIÓN

Definición: raíz de una expresión algebraica es toda expresión que elevada a una potenciareproduce la expresión dada.

-

Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional, si no es exacta, esirracional.

2 5 23a Se denominan irracionales o radicales.

- El grado de un radical lo indica su índice.

- Signo de las raíces: (1) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismosigno que la cantidad subradical.

(+) (-)

aa 3273 3 aaa 333

- (2) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo:

aa 5252 2 ó – 5a

Hallar: 3

39

3

3

33

39

3

4

3

4

31

64

27

x

a

x

a

x

a

Hallar:

3

2

44344

42

4

124

8

3381 bc

a

cb

a

cb

a

(5a)(5a) = 25 a2 ( – 5a)( – 5a) = 25 a2

27 39 3

3 3

1

264 4232

16 24

8 2

4 24

2 2

1

81 3

27 3

9 3

3 3

1




29

TEORÍA DE LOS EXPONENTES

Exponente Cero: proviene de: 102222 aaaa (Toda cantidad a la cero es la unidad)

Exponente Fraccionario: Proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente

de la cantidad subradical no es divisible por el índice de la raíz.2

1

aa 32

3 2 aa

Exponente Negativo: provienen de dividir dos potencias de la misma base cuando elexponente del dividendo (numerador) es menor que el exponente del divisor(denominador).

1

3

2 a

a

a 4

7

3 x

x

x

Hallar: 3222

2

2

y x yy x y

y x

2

3

422

12

1524

21

12

254

254

21

12

xnm xnm xnm

xnm

xnm

xnm

RADICALIZACIÓN

Radical, en general, es toda raíz indicada de una cantidad.

Radicales Semejantes: son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidadsubradical.

32 , 35 y 321 (Radicales semejantes.)

Simplificar: x y y x y x y x y x 333381 21

21

88

84

84

8 8448 84

Introduciendo Cantidades a Radicales:

211

21

1

21

1282642424

2

3 53 233 233 2

x x x

x x

x

x x

mmmmmmm

81 3

27 3

9 3

3 3

1




30

Reducción de radicales al Mínimo Común Índice: para esto se halla el m.c.m. de losíndices, que será el índice común, y se eleva cada cantidad subradical a la potencia queresulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.

x5 , 3 24 y x y 6 37 ba

2

1

3

1

6

1y el m.c.m. de índices

6

1

3

1

2

1

6

1 6 36 3

12555 x x x

2

1

3

1

6

1 6 246 223 2 1644 y x y x y x

16

1

6

1 6 36 3 77 baba

Suma y Resta de Radicales: se simplifican los radicales dados; se reducen los radicalessemejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.

Reducir o Simplificar: 726

148

4

318

3

112

2

1

3

2

2

1

3

6

12

3

3

2

1

3

9

18

3

2

2

2

2

1

3

6

12

24

48

3

3

2

2

2

1

3

9

18

36

72

3423323

326

132

4

332

3

132

2

1 23422

Multiplicación de Radicales: (Igual Índice)

212 5 10 10

x x a a a x

a a

axa

x

xa

xa

xa xa

x

13

331

2

323

2

3

2




31

(Diferente Índice)

3 2425 baa

1 1 1. . .

2 3 6m c m

6 36 3

85252 aaa

6 26 2666 276 246 33 2

6 246 223 2

21022512851685425

1644

abaabababaabaa

bababa

División de Radicales:

Igual índice: se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí,colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.

aaa

aaa

2

38

4

3

2

16

4

3245163

3 332

53 23

Diferente índice: Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen comoradicales del mismo índice:

Hallar: 9 23 4 273 mm

99 1092

12

9 129 343 4

27

27

2733

mmmm

m

mmm

Hallar: 4 3226 543 318 z y x z y x

12 212

966

1086

12 96612 33224 322

12 108612 25436 543

1227

324

2733

3241818

z y z y x

z y x

z y x z y x z y x

z y x z y x z y x

Potenciación de Radicales: nm

mm

nm

n baabba

1

Radicación: mnm n aa ; mnm

nm n aaa11




32

Racionalización: es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracciónequivalente cuyo denominador sea racional.

Caso I: x

x

x

x

x x 2

23

2

2

2

3

2

3

Caso II: El denominador es un binomio que contiene radicales de segundo grado. En estecaso el problema se resuelve multiplicando ambos miembros por el conjugado deldenominador:

12421

241

21

22323

21

21

21

232

2

Ecuaciones con Radicales: Se resuelven aislando el radical, elevando enseguida ambosmiembros a la potencia reciproca del radical y finalmente se resuelve para la incógnita:

282582522592573

333 x x x x x

NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo está formado por dos partes, una cantidad real y una cantidadimaginaria. La cantidad imaginaria la constituyen las raíces indicadas pares de cantidadesnegativas.

Cantidades Imaginarias Puras: toda cantidad de la forma n a donde “n” es par y – a es

una cantidad negativa, es una imaginaria pura. Toda raíz imaginaria puede reducirse a laforma de una cantidad real multiplicad por la unidad imaginaria 1 .

2 2 ( 1) 1 ( 1 )b b b bi i

38 2 ( 1) 2 2. 1 2 2 i

Suma de Cantidades Complejas: se suman las partes reales y las imaginarias de formaindependiente y se expresa el resultado como una cantidad imaginaria.

(2 3 ) (5 2 ) 2 3

5 2

7

i i i

i

i

Resta de Cantidades Complejas:




33

( 7 3) (8 7) 7 3

8 7

15 10

i

i

i

Multiplicación de Cantidades Complejas:

(3 2) (5 2) 3 2

5 2

15 5 2

3 2 ( 2)

15 2 2 2 17 2 2

i

i

i

i

i i

División de Cantidades Complejas: para dividir cantidades complejas, se expresa elcociente en forma de fracción, y se racionaliza el denominador de esta fracciónmultiplicando ambos términos de la fracción por el conjugado del denominador.

2

2

(8 5 ) (7 6 ) 56 35 48 30 26 83(8 5 ) (7 6 )

(7 6 ) (7 6 ) 49 36 85

i i i i i ii i

i i i

2

2

(5 3 1) (3 4 1)

(5 3 1) 3 4 1 15 9 1 20 1 12( 1) 13 29 1 13 29

25 25(3 4 1) 3 4 1 9 16( 1)

i




34




35




36




37




38




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notas sobre matematicas2008

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