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Nel campo delle strutture MONODIMENSIONALI,cioè quelle per le quali la lunghezza lungo un asse èdi gran lunga prevalente rispetto alle altredimensioni, i metodi di risoluzione delle strutturestaticamente indeterminate possono ricondursi a duegruppi fondamentali:

- I metodi delle forze;

- i metodi degli spostamenti.

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Il metodo delle forze

Fase 1: la struttura data sottoposta agli enti esterni di caricoviene resa isostatica sopprimendo i vincoli sovrabbondanti edevidenziando le reazioni iperstatiche “già equilibrate”.

Fase 2: si sottopone la struttura isostatica, che chiameremodi servizio, agli enti esterni di carico e si calcolano glispostamenti subiti dai punti di applicazione delle iperstatiche.La struttura di servizio cosi caricata presenta rispetto allastruttura data, discontinuità geometriche in corrispondenzadella sede delle iperstatiche.

Fase 3: la congruenza viene ripristinata dall’intervento di tuttele incognite iperstatiche che producono spostamenti uguali econtrari a quelli causati dagli enti esterni di carico”.

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Se indichiamo allora con dij lo spostamento lineare od angolareche nella struttura principale subisce il punto di applicazionedella incognita Xi nella direzione di questa (se Xi è unmomento, dij è una rotazione) per effetto della Xi= 1; con di

o lospostamento lineare o angolare sempre nella direzione di Xiindotto dagli enti esterni di carico, le equazioni che si possonoscrivere (se in i lo spostamento che si esamina è nullo) sono:

Si possono scrivere tante equazioni quante sono le incognite iperstatiche, esprimenti ciascuna il rispetto dei vincoli preesistenti (equazioni di congruenza).

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Le equazioni devono la loro importanza al fatto permettono ilcalcolo separato dei coefficienti dij delle incognite delle singoleequazioni del sistema e dei termini noti di

o.

I coefficienti dij riferendosi a spostamenti e rotazioni che nella"struttura principale” subiscono i punti di applicazione delleincognite iperstatiche Xi nella direzione di queste, per effetto divalori unitari delle incognite Xi vengono detti coefficienti diinfluenza.Si ottiene, se le incognite iperstatiche Xi sono n, un sistema di nequazioni lineari non omogenee del tipo:

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Poiché, per il teorema di Maxwell dij = dji il sistema èsimmetrico rispetto alla diagonale principale e il numero N°dei coefficienti di calcolo effettivo è

se n è il numero delle iperstatiche.

-1

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Si definisce telaio a nodi spostabili un telaio in cui i nodi, oltrea ruotare, possono anche traslare.Se non si trascura la deformabilità assiale, ogni telaio risultasempre a nodi spostabili.

Per valutare se un telaio è a nodi fissi o a nodi spostabili, siconsidera il grado di vincolo della struttura che si ottieneinserendo una cerniera in corrispondenza di ogni nodo internoed esterno in cui risulti vincolata la rotazione (assoluta orelativa), sia che essa sia vincolata in modo perfetto (vincolorigido), sia che essa sia vincolata solo parzialmente (vincolocedevole). La struttura svincolata e caricata nelle sezioni disvincolamento con le azioni trasmesse dai gradi di vincolosoppressi (incognite iperstatiche), assunte con verso arbitrario,viene detta travatura reticolare associata . Se la travaturareticolare associata è isostatica o iperstatica, il telaio è a nodifissi. Al contrario, se la travatura reticolare associata è labile, iltelaio è a nodi spostabili.

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Il numero di nodi spostabili non corrisponde al numero di nodiche effettivamente si spostano, ma al numero di parametriindipendenti che definiscono la deformata rigida della travaturareticolare associata. Ovvero, il numero di nodi spostabilirestituisce il numero di atti di moto rigido della travaturareticolare associata e corrisponde al numero di vincoli sempliciche occorre introdurre per rendere a nodi fissi il telaio a nodispostabili.

Ognuna delle deformate per moto rigido che si ottengono dauna travatura reticolare associata labile attivando unparametro indipendente di spostamento alla volta prende ilnome di “cinematismo elementare ” o “meccanismo ”. Insostanza, in un telaio a nodi spostabili si hanno tanticinematismi elementari quanti sono i gradi di labilità (nodispostabili) della travatura reticolare associata.

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ESERCIZIO N°9

Determinare i diagrammi di taglio e momento delseguente solaio:

q=3.2KN/m

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Soluzione:

Riferiamoci alla seguente struttura di servizio in cui abbiamo sostituito ai nodi interni delle cerniere evidenziando i momenti originali:

d11X1+d12X2+d10=0

d21X1+d22X2+d20=0

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d11X1+d12X2+d10 = 0

d21X1+d22X2+d20 = 0

d11= [(1/3EJ) - (-1/3EJ)]

d22= [(1/3EJ) - (-1/3EJ)]

d12= (1/6EJ)

d21= (1/6EJ)

d10= d2

0 = [(ql3/24EJ) - (- ql3/24EJ J)]

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Per determinare quei 2 momenti incogniti servono 2equazioni di congruenza in cui si impone che le rotazionirelative nei nodi interni siano nulle. Con riferimento allatabella del metodo delle forze si può scrivere:

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Determiniamo le azioni interne di momento e taglio sulla seguente struttura:

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Campata 1-2

Andiamo ad analizzare ogni singola campata determinando reazioni vincolari, momento, taglio per ognuna di esse:

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Campata 1-2

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Campata 2-3

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Campata 3-4

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Complessivamente si ha una struttura simmetrica con carichi simmetrici ed ovviamente anche diagrammi simmetrici:

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ESERCIZIO N°10

Risolvere il telaio iperstatico:

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Equazioni di congruenza esprimenti l'annullamento delle rotazioni relative in1e in 2

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Sostituendo i valori trovati nel sistema risulta:

Per L = H si ha:

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