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Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Metodi di previsione
Giovanni RighiniUniversità degli Studi di Milano
Corso di Logistica
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
I metodi di previsione
I metodi di previsione sono usati per ricavare informazioni a sostegnodei processi decisionali a partire dai dati.
Le previsioni possono avere diversi orizzonti temporali:breve termine (es.: numero di chiamate ad un call center nelleprossime settimane)medio termine (es.: previsioni di vendita per il piano finanziarioannuale di un’azienda)lungo termine (es.: domanda di automobili a idrogeno nei prossimidecenni)
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Testi di riferimento
C. Vercellis, Modelli e decisioni : strumenti e metodi per ledecisioni aziendali, Pitagora Editrice, Bologna 1997G. Ghiani, R. Musmanno, Modelli e metodi per l’organizzazionedei sistemi logistici, Pitagora Editrice, Bologna 2000C. Vercellis, Business intelligence: modelli matematici e sistemiper le decisioni, McGraw-Hill, Milano 2006
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Classificazione
Esistono metodi qualitativi e quantitativi.
Metodi qualitativi:Opinione di espertiSondaggio di mercatoMetodo Delphi
Metodi qualitativi:Metodi esplicativi: si suppone esista un legame causa-effetto e losi vuole rappresentare formalmente;Metodi estrapolativi: si vogliono desumere delle regolarità dalleosservazioni disponibili.
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Metodi di regressione
Analisi di regressione
L’obiettivo è di identificare un legame funzionale tra un effetto e le suepresunte cause.
Si osserva una grandezza y (variabile dipendente) e si suppone siafunzione di altre grandezze x (variabili indipendenti).
y = f (x)
Se la variabile indipendente è una sola, si ha la regressione semplice.
Conoscendo (da osservazioni precedenti) alcune coppie di valori(xi , yi ), si vuole trovare la funzione f () che meglio le spiega.
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Metodi di regressione
Analisi di regressione
Invece di cercare una funzione, potenzialmente complicata, chespieghi esattamente le osservazioni, si preferisce cercare una funzionesemplice che spieghi le osservazioni con una certa approssimazione.
Si ammette quindi che i valori ottenuti dal calcolo di f (xi) possanodifferire dai valori osservati yi .
Se la funzione f () è una retta, si ha la regressione lineare.
y = A + Bx + ε
La differenza ε tra valori calcolati e valori osservati è il residuo ed èuna variabile casuale che deve soddisfare due requisiti:
distribuzione normale con media nullaindipendenza tra εi ed εj per ogni i 6= j .
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Metodi di regressione
Metodo dei minimi quadrati
Si assume come misura dell’approssimazione
Q =
N∑
i=1
(f (xi) − yi)2
che è la funzione obiettivo che si vuole minimizzare.
Le incognite, o variabili decisionali, sono i parametri della retta, cioè Ae B.
Per trovare i loro valori ottimi, basta calcolare le derivate parziali di Qrispetto ad A e B e porle uguali a zero.
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Metodi di regressione
Metodo dei minimi quadrati
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3 4 5 6
time
data
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Metodi di regressione
Metodo dei minimi quadrati
Indicando i valori medi con
x =
∑Ni=1 xi
Ne y =
∑Ni=1 yi
N
si ha:B =
Sxy
Sxxe A = y − Bx
doveSxx =
∑Ni=1(xi − x)2
Sxy =∑N
i=1(xi − x)(yi − y)
Syy =∑N
i=1(yi − y)2
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Metodi di regressione
Passaggio per l’origine
Se si vuole imporre che la retta di predizione y = A + Bx passi perl’origine, si pone A = 0 e si stima solo
B =
∑Ni=1 xiyi∑Ni=1 x2
i
.
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Metodi di regressione
Valutazione del modello
A posteriori è importante valutare l’affidabilità del modello usato.Pendenza della retta: Il modello si ritiene non-significativo se undato intervallo di confidenza per B contiene il valore 0.Coefficiente di correlazione lineare (indice di Pearson):r =
Sxy√Sxx Syy
.
Si ha sempre −1 ≤ r ≤ 1. Se r > 0 la retta sale, se r < 0 la rettascende.Se |r | ≈ 1, la correlazione lineare è forte; se |r | ≈ 0, è debole.
Stimatore della varianza: s2 =� N
i=1(f (xi )−yi )2
N−2 = 1N−2(Syy − BSxy ).
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Serie storiche
Una serie storica è una sequenza di valori yt assunti da unagrandezza di interesse in corrispondenza di istanti temporali t . Se essidefiniscono un insieme discreto la serie storica viene detta a tempo“discreto”.
Considereremo serie storiche a tempo discreto con istanti tuniformemente distanziati nel tempo (anni, settimane, giorni,...).
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Classificazione
I metodi estrapolativi si possono applicare alla previsione di un soloperiodo o di più periodi in avanti.
Metodi di scomposizione delle serie storicheMetodi di smoothing esponenziale:
I Metodo di BrownI Metodo di HoltI Metodo di Winters
Modelli autoregressivi:I Modelli autoregressivi (AR)I Modelli a media mobile (MA)I Modelli autoregressivi a media mobile (ARMA)I Modelli autoregressivi a media mobile integrata (ARIMA)
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Scomposizione di serie temporali
Modelli di serie temporali
Si fa l’ipotesi che i valori osservati yt nella serie temporale siano ilrisultato della combinazione di componenti di natura diversa.
Andamento tendenziale di lungo periodo mt
Andamento dovuto ai cicli economici vt
Andamento stagionale st (noto il periodo L)Residuo casuale, imprevedibile rt .
Relativamente al modo in cui le componenti si combinano sidistinguono modelli additivi e moltiplicativi.
Modelli additivi: yt = mt + vt + st + rt
Modelli moltiplicativi: yt = mt ∗ vt ∗ st ∗ rt
Nel seguito considereremo un modello moltiplicativo.
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Scomposizione di serie temporali
Media mobile
Conoscendo il periodo L della componente stagionale, la si puòrimuovere calcolando la media su tutti i periodi di lunghezza L.
L dispari: (mv)t =
� t+ L−12
i=t− L−12
yi
L
L pari: (mv)t =
12 y
t− L2+
� t+ L2−1
i=t− L2 +1
yi+12 y
t+ L2
L
Per separare la componente tendenziale m dalla componente v , siipotizza che la prima sia lineare e la si ricava con la regressionelineare semplice, dove il tempo è la variabile indipendente.
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Scomposizione di serie temporali
Indici di stagionalità
La componente stagionale e aleatoria si ricava da (sr)t = yt(mv)t
.
Gli indici di stagionalità s1, . . . , sL si ottengono come
st =
∑k (sr)t+kL
Nt
dove gli estremi della sommatoria sono tali da coprire tutti i (sr)calcolati in precedenza ed Nt indica il numero degli addendi.
Gli indici così ricavati vengono poi normalizzati:
st =Lst∑Lt=1 st
∀t = 1, . . . , L.
Si ha quindi st+kL = st per ogni t e per ogni k intero.
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Scomposizione di serie temporali
Esempio: componente tendenziale
Componente tendenziale
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
1200,0
1 21 41 61 81 101 121 141
Periodi
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Scomposizione di serie temporali
Esempio: componente stagionale
Componente stagionale
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
7 27 47 67 87 107 127 147
Periodi
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Scomposizione di serie temporali
Previsione
La previsione è fatta combinando le componenti tendenziale m estagionale s.
Predizione
400,0
500,0
600,0
700,0
800,0
900,0
1000,0
1100,0
7 27 47 67 87 107 127 147 167
Periodi
Serie storica
Predizione
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Metodi di smoothing esponenziale
Introduzione
Sono metodi per la predizione di serie storiche semplici, versatili eaccurati.
Ne esistono diversi, che tengono o meno conto dell’esistenza dicomponenti tendenziali e stagionali nella serie storica in esame.
L’idea di base è quella di “pesare” maggiormente le osservazioni piùrecenti rispetto a quelle più remote nel passato.
Questo rende i metodi di smoothing capaci di adeguarsi rapidamente avariazioni improvvise nel valore della serie storica a causa di eventiche modificano la regolarità del fenomeno osservato (guasti tecnici,offerte speciali, fallimento di aziende concorrenti, crisi finanziarie...).
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Metodi di smoothing esponenziale
Metodo di Brown
È il metodo di smoothing esponenziale semplice.
Media smorzata:st = αyt + (1 − α)st−1 ∀t ≥ 2s1 = y1
Predizione: ft+1 = st
con 0 ≤ α ≤ 1.
Per α prossimo a 0 il modello è più inerte;per α prossimo a 1 è più reattivo.
Il valore ottimo di α si ottiene minimizzando lo scarto quadratico medio.
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Metodi di smoothing esponenziale
Metodo di Holt
È il metodo di smoothing esponenziale con correzione di tendenza.
Media smorzata:st = αyt + (1 − α)(st−1 + mt−1) ∀t ≥ 2mt = β(st − st−1) + (1 − β)mt−1 ∀t ≥ 2s1 = y1
m1 = y2 − y1
Predizione: ft+1 = st + mt .con 0 ≤ β ≤ 1, ottimizzato minimizzando lo scarto quadratico medio.
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Metodi di smoothing esponenziale
Metodo di Winters
È il metodo di smoothing esponenziale con correzione di tendenza e distagionalità (di periodo L noto).
Media smorzata:st = α
ytqt−L
+ (1 − α)(st−1 + mt−1) ∀t ≥ 2
mt = β(st − st−1) + (1 − β)mt−1 ∀t ≥ 2qt = γ
ytst
+ (1 − γ)qt−L ∀t ≥ L + 1s1 = y1
m1 = y2 − y1
qt = yt� Lτ=1 yτ /L
∀t = 1, . . . , L
con 0 ≤ γ ≤ 1, ottimizzato minimizzando lo scarto quadratico medio.
La predizione è ft+1 = (st + mt)qt−L+1.
Introduzione Metodi esplicativi Metodi estrapolativi
Metodi di smoothing esponenziale
Eliminazione tendenza e stagionalità
Per rimuovere da una serie storica la componente di tendenza o distagionalità:
calcolare la media mobile per rimuovere la tendenzadifferenziazioni successive Bt(h) = yt − yt−h per rimuovere latendenzaidentificare la tendenza con l’analisi di regressioneidentificare la componente di stagionalità tramite scomposizionedella serie
Quindi è possibile:applicare il modello di Winters alla serie storica;applicare il modello di Holt alla serie storica destagionalizzata;applicare il modello di Brown alla serie storica dopo aver rimossotendenza e stagionalità.