mir - kutepov a. and rubanov a. - problems in geometry - mir 1978

7/29/2019 MIR - Kutepov a. and Rubanov a. - Problems in Geometry - Mir 1978

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P r o b l e m s 1 1 i G e o l n e t r ,

A . K U T E P O V

a n dA . R U B A N O V

M I R P U B L I S H E R S

M O S C O W



T h e b o o k c o n t a i n s a c o l l e c t i o n o f 1 3 5 1

p r o b l e m s ( w i t h a n s w e r s ) i n p l a n e a n d s o -l i d g e o m e t r y f o r t e c h n i c a l s c h o o l s a n d

c o l l e g e s . T h e p r o b l e m s a r e o f v a r i e d

c o n t e n t , i n v o l v i n g c a l c u l a t i o n s , p r o o f ,c o n s t r u c t i o n o f d i a g r a m s , a n d d e t e r m i -

n a t i o n o f t h e s p a t i a l l o c a t i o n o f g e o m e t -

r i c a l p o i n t s .

I t g i v e s s u f f i c i e n t p r o b l e m s t o m e e t t h en e e d s o f s t u d e n t s f o r p r a c t i c a l w o r k i n

g e o m e t r y , a n d t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e

t e a c h e r f o r v a r i e d m a t e r i a l f o r t e s t s , e t c .



A . I t H Y T E I I O B , A . T . P Y B A H O B

3 A A A L I H M P

n oT E O M E T P Y I Y I

I ' I a j { 8 T e J I b c T B o < ( B b & c m a n m o j i a



A . K U T E P O V a n d A . R U B A N O V

P r o b l e m si n G e o m e t r yT r a n s l a t e d f r o m t h e R u s s i a n

b y O L E G M E S H K O V

T r a n s l a t i o n e d i t o r

L E O N I D L E V A N T

M I R P U B L I S H E R S M O S C O W



F i r s t p u b l i s h e d 1 9 7 5

S e c o n d p r i n t i n g 1 9 7 8

H a a r c a A U U C x o ? a a n t x e

® E n g l i s h t r a n s l a t i o n , M i r P u b l i s h e r s , 1 9 7 5



C O N T E N T S

C H A P T E R I . R E V I E W P R O B L E M S

1 . T h e R a t i o a n d P r o p o r t i o n a l i t y o f L i n e S e g m e n t s ,S i m i l a r i t y o f T r i a n g l e s . 7

2 . M e t r i c R e l a t i o n s h i p s i n a R i g h t - A n g l e d T r i a n g l e 1 03 . R e g u l a r P o l y g o n s , t h e L e n g t h o f t h e C i r c u m f e r e n c e

a n d t h e A r c 1 5

4 . A r e a s o f P l a n e F i g u r e s 1 7

C H A P T E R I I . S O L V I N G T R I A N G L E S

5 . S o l v i n g R i g h t - A n g l e d T r i a n g l e s . . . . . . . . 2 26 . S o l v i n g O b l i q u e T r i a n g l e s . . . . . . . . . . . 2 9

L a w o f C o s i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9L a w o f S i n e s . . . . 3 1A r e a s o f T r i a n g l e s , P a r a l l e l o g r a m s a n d Q u a d r i l a -t e r a l s . . . . . . 3 2B a s i c C a s e s o f S o l v i n g O b l i q u e T r i a n g l e s . . . 3 4

P a r t i c u l a r C a s e s o f S o l v i n g O b l i q u e T r i a n g l e s . 3 4H e r o n ' s F o r m u l a 3 5R a d i i r a n d R o f I n s c r i b e d a n d C i r c u m s c r i b e d C i r c l e sa n d t h e A r e a S o f a T r i a n g l e . . . . . . . . . . . 3 6M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . 3 7

C H A P T E R I I I . S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S I NS P A C E

7 . B a s i c C o n c e p t s a n d A x i o m s . T w o S t r a i g h t L i n e s i nS p a c e . 4 38 . S t r a i g h t L i n e s P e r p e n d i c u l a r a n d I n c l i n e d t o a P l a n e 4 69 . A n g l e s F o r m e d b y a S t r a i g h t L i n e a n d a P l a n e . 5 2

1 0 . P a r a l l e l i s m o f a S t r a i g h t L i n e a n d a P l a n e . . . 5 51 1 . P a r a l l e l P l a n e s . . . . . . . . 5 91 2 . D i h e d r a l A n g l e s . P e r p e n d i c u l a r P l a n e s . . . . . . 6 31 3 . A r e a s o f P r o j e c t i o n s o f P l a n e F i g u r e s . . . . . . . 6 71 4 . P o l y h e d r a l

P r o j e c t i o n s. . . . . . . . . . . . . . . 6 9



6 C O N T E N T S

C H A P T E R I V . P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S

1 5 . P r i s m s a n d P a r a l l e l e p i p e d s . . . . . . . . . . . 7 11 6 . T h e P y r a m i d 7 7

1 7 . T h e T r u n c a t e d P y r a m i d 8 11 8 . R e g u l a r P o l y h e d r o n s . . . . . . . . . . . . 8 4

1 9 . T h e R i g h t C i r c u l a r C y l i n d e r . . . . . . . . . . . 8 62 0 . T h e R i g h t C i r c u l a r C o n e . . . . . . . . . . . . 8 92 1 . T h e T r u n c a t e d C o n e . . . . . . . . . . . . . . 9 3

C H A P T E R V . A R E A S O F P O L Y H E D R O N S A N D R O U N DS O L I D S

2 2 . A r e a s o f P a r a l l e l e p i p e d s a n d P r i s m s . . . . . . . 9 72 3 . A r e a s o f P y r a m i d s . . . . . . . . . . . 1 0 22 4 . A r e a s o f T r u n c a t e d P y r a m i d s . . . . . . . . . . 1 0 52 5 . A r e a s o f C y l i n d e r s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 82 6 . A r e a s o f C o n e s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 12 7 . A r e a s o f T r u n c a t e d C o n e s . . . . . . . . . . . . 1 1 5

C H A P T E R V I . V O L U M E S O F P O L Y H E D R O N S A N D

R O U N D S O L I D S2 8 . V o l u m e s o f P a r a l l e l e p i p e d s . . . . . . . . . . . 1 1 8

2 9 . V o l u m e s o f P r i s m s . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 23 0 . V o l u m e s o f P y r a m i d s . . . . . . . . . . 1 2 73 1 . V o l u m e s o f T r u n c a t e d P y r a m i d s . . . . . . . . 1 3 33 2 . V o l u m e s o f C y l i n d e r s . . . . . . . . . . . . . . 1 3 73 3 . V o l u m e s o f C o n e s . . . . . . . . . . . . 1 4 13 4 . V o l u m e s o f T r u n c a t e d C o n e s . . . . . . . . . 1 4 5

C H A P T E R V I I . T H E S P H E R E3 5 . S p h e r e s . . . . . . . . . . . 1 4 93 6 . A r e a s o f S p h e r e s a n d T h e i r P a r t s . . . . . . 1 5 23 7 . V o l u m e s o f S p h e r e s a n d T h e i r P a r t s . . . . . . . 1 5 53 8 . I n s c r i b e d a n d C i r c u m s c r i b e d S p h e r e s . . . . . . . 1 5 9

C H A P T E R V I I I . A P P L Y I N G T R I G O N O M E T R Y T OS O L V I N G G E O M E T R I C P R O B L E M S

3 9 . P o l y h e d r o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 44 0 . R o u n d S o l i d s . . . . . . . . . . . 1 6 8

4 1 . A r e a s a n d V o l u m e s o f P r i s m s . . . . . . . . . 1 7 24 2 . A r e a s a n d V o l u m e s o f P y r a m i d s . . . . . . 1 7 64 3 . A r e a s a n d V o l u m e s o f R o u n d S o l i d s . . . . . . 1 8 1A n s w e r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7



C H A P T E R I

R E V I E W P R O B L E M S

1 . T h e R a t i o a n d P r o p o r t i o n a l i t yo f L i n e S e g m e n t s , S i m i l a r i t y o f T r i a n g l e s

1 . A r e t h e l i n e s e g m e n t s A C a n d C D ( A C a n d D B ) ,i n t o w h i c h t h e l i n e s e g m e n t A B i s d i v i d e d b y t h e p o i n t sC a n d D , c o m m e n s u r a b l e , i f :

( a ) A C : C D : D B = 3 . 5 : 4 s : 3 3 ;

( b ) A C : C D : D B = 2 a ?2 . I s i t p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a t r i a n g l e f r o m t h r e e l i n e

s e g m e n t s w h i c h a r e i n t h e f o l l o w i n g r a t i o s :

( a ) 2 : 3 4 ; ( b ) 2 : 3 : 5 ; ( c ) 1 : 1 : 1 ;( d ) 2 : 5 : 8 0 ; ( e ) 2 7 5 : 7 5 ?

3 . 1 . G i v e n o n t h e a x i s O x a r e t h e p o i n t s A ( 6 ; 0 )a n d B ( 1 8 ; 0 ) . F i n d t h e c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t C w h i c hd i v i d e s t h e l i n e s e g m e n t A B i n t h e f o l l o w i n g r a t i o s :

( a ) A C : C B = 1 ; ( b ) A C : C B = 1 : 2 ;

( c ) A C : C B = 5 : 1 .2 . T h e p o i n t B d i v i d e s t h e l i n e s e g m e n t i n t h e r a t i o

m : n . F i n d t h e l e n g t h s o f t h e s e g m e n t s A B a n d B C i fA C = a .

4 . G i v e n i n t h e o r t h o g r a p h i c s y s t e m o f c o o r d i n a t e sa r e t w o p o i n t s : A ( 2 ; 4 ) a n d B ( 8 ; 1 2 ) . F i n d t h e c o o r d i -



8P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

n a t e s o f t h e p o i n t M w h i c h d i v i d e s t h e s e g m e n t A B i n t h er a t i o :

( a ) A M : M B = 1 ; ( b ) A M : M B = 2 : 1 .5 . 1 . C o m p u t e t h e s c a l e i f t h e t r u e l e n g t h A B = 4 k m

i s r e p r e s e n t e d i n t h e d r a w i n g b y a s e g m e n t A B = 8 c m .2 . C o m p u t e t h e t r u e l e n g t h o f t h e b r i d g e w h i c h i s

r e p r e s e n t e d o n a m a p d r a w n t o t h e s c a l e 1 : 2 0 , 0 0 0 b ya l i n e s e g m e n t 9 . 8 c m l o n g .

6 . G i v e n a t r i a n g l e A B C i n w h i c h A B = 2 0 d m a n dB C = 3 0 d m . A b i s e c t o r B D i s d r a w n i n t h e t r i a n g l e( t h e p o i n t D l i e s o n t h e s i d e A C ) . A s t r a i g h t l i n e D E

i s d r a w n t h r o u g h t h e p o i n t D a n d p a r a l l e l t o t h e s i d e A B( t h e p o i n t E l i e s o n t h e s i d e B C ) , a n d a n o t h e r s t r a i g h tl i n e E K i s d r a w n t h r o u g h t h e p o i n t E a n d p a r a l l e l t o

B D . D e t e r m i n e t h e s i d e A C i f A D - K C = 1 c m .

7 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e 4 0 c m , 5 0 c m a n d 6 0 c ml o n g . I n w h a t r a t i o i s e a c h b i s e c t o r d i v i d e d b y t h e o t h e ro n e s a s m e a s u r e d f r o m t h e v e r t e x ?

8 . T h e s i d e s o f a n a n g l e A a r e i n t e r s e c t e d b y t w o p a r a l -l e l s t r a i g h t l i n e s B D a n d C E , t h e p o i n t s B a n d C l y i n go n o n e s i d e o f t h i s a n g l e , a n d D a n d E o n t h e o t h e r .F i n d A B i f A C + B C = 2 1 m a n d A E : A D = 5 : 3 .

9 . D r a w n f r o m t h e p o i n t M a r e t h r e e r a y s . L i n e s e g -m e n t s M A = 1 8 c m a n d M B = 5 4 c m a r e l a i d o f f o n t h ef i r s t r a y , s e g m e n t s M C = 2 5 c m a n d M D = 7 5 c m o nt h e s e c o n d o n e , a n d a s e g m e n t M N o f a n a r b i t r a r y l e n g t ho n t h e t h i r d . A s t r a i g h t l i n e i s d r a w n t h r o u g h t h e p o i n tA a n d p a r a l l e l t o B N t o i n t e r s e c t t h e s e g m e n t M N a tt h e p o i n t K . T h e n a s t r a i g h t l i n e i s d r a w n t h r o u g h t h ep o i n t K a n d p a r a l l e l t o N D . W i l l t h e l a t t e r l i n e p a s s

t h r o u g h t h e p o i n t C ?1 0 . T h e b a s e s o f a t r a p e z i u m a r e e q u a l t o m a n d n( m > n ) , a n d t h e a l t i t u d e t o h . F i n d : ( 1 ) t h e d i s t a n c eb e t w e e n t h e s h o r t e r b a s e a n d t h e p o i n t a t w h i c h t h ee x t e n d e d l a t e r a l s i d e s i n t e r s e c t , ( 2 ) t h e r a t i o i n w h i c h

t h e d i a g o n a l s a r e d i v i d e d b y t h e p o i n t o f t h e i r i n t e r -s e c t i o n , ( 3 ) t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e p o i n t o f i n t e r s e c -t i o n o f t h e d i a g o n a l s a n d t h e b a s e s o f t h e t r a p e z i u m .



C H . I . R E V I E W P R O B L E M S 9

I t . W h a t m u s t t h e d i a m e t e r o f a n E a r t h ' s s a t e l l i t e b ef o r a n o b s e r v e r t o s e e a t o t a l l u n a r e c l i p s e a t a d i s t a n c eo f 1 0 0 0 k m f r o m i t ?

1 2 . T h e l e n g t h o f t h e s h a d o w c a s t b y a f a c t o r y c h i m n e yi s 3 8 . 5 m . A t t h e s a m e m o m e n t t h e s h a d o w c a s t b y am a n 1 . 8 m i n h e i g h t i s 2 . 1 m l o n g . F i n d t h e h e i g h t o ft h e c h i m n e y .

1 3 . P r o v e t h a t t w o s i m i l a r t r i a n g l e s i n s c r i b e d i n o n ea n d t h e s a m e c i r c l e a r e e q u a l t o e a c h o t h e r .

1 4 . I n s c r i b e d i n a n a n g l e a r e t w o m u t u a l l y t a n g e n tc i r c l e s w h o s e r a d i i a r e 5 c m a n d . 1 3 c m . D e t e r m i n e t h ed i s t a n c e s b e t w e e n t h e i r c e n t r e s a n d t h e v e r t e x o f t h e

a n g l e .1 5 . A t r i a n g l e A B C . w i t h a n o b t u s e a n g l e B i s i n s c r i b e d

i n a c i r c l e . T h e a l t i t u d e A D o f t h e t r i a n g l e i s t a n g e n tt o t h e c i r c l e . F i n d t h e a l t i t u d e i f t h e s i d e B C = 1 2 c m ,

a n d t h e s e g m e n t B D = 4 c m .1 6 . T w o c i r c l e s w h o s e r a d i i a r e 8 c m a n d 3 c m a r e

e x t e r n a l l y t a n g e n t . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ep o i n t o f t a n g e n c y o f t h e c i r c l e s a n d a l i n e e x t e r n a l l y

t a n g e n t t o b o t h o f t h e m .1 7 . A t r i a n g l e A B C i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e A s t r a i g h t

l i n e i s d r a w n t h r o u g h t h e v e r t e x B a n d p a r a l l e l t o t h el i n e t a n g e n t t o t h e c i r c l e a t t h e p o i n t A t o i n t e r s e c t t h e

s i d e A C a t t h e p o i n t D . F i n d t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n tA D i f A B = 6 c m , A C = 9 c m .

1 8 . A c i r c l e i s i n s c r i b e d i n a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w h o s el a t e r a l s i d e i s 5 4 c m a n d t h e b a s e i s 3 6 c m . D e t e r m i n e

t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e p o i n t s a t w h i c h t h e c i r c l ec o n t a c t s t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e .

1 9 . G i v e n a t r i a n g l e A B C w h o s e s i d e s a r e : A B = 1 5 c m ,

A C = 2 5 c m , B C = 3 0 c m . T a k e n o n t h e s i d e A B i sa p o i n t D t h r o u g h w h i c h a s t r a i g h t l i n e D E ( t h e p o i n t Ei s l o c a t e d o n A C ) i s d r a w n s o t h a t t h e a n g l e A E D i se q u a l t o t h e a n g l e A B C . T h e p e r i m e t e r o f t h e t r i a n g l e

A D E i s e q u a l t o 2 8 c m . F i n d t h e l e n g t h s o f t h e l i n es e g m e n t s B D a n d C E .

2 0 . T h e b a s e s o f a t r a p e z i u m a r e 7 . 2 c m a n d 1 2 . 8 c m

- o n g . D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t w h i c h



1 0 P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

i s p a r a l l e l t o t h e b a s e s a n d d i v i d e s t h e g i v e n t r a p e z i u mi n t o t w o s i m i l a r t r a p e z i u m s . I n t o w h a t p a r t s i s o n e o f t h el a t e r a l s i d e s ( 1 2 . 6 c m l o n g ) o f t h e g i v e n t r a p e z i u md i v i d e d b y t h i s s e g m e n t ?

2 1 . G i v e n i n t h e t r i a n g l e A B C : A B = c , B C = a ,A C = b , a n d t h e a n g l e B A C i s t w i c e a s b i g a s t h e a n g l e

A B C . A p o i n t D i s t a k e n o n t h e e x t e n s i o n o f t h e s i d e C As o t h a t A D = A B . F i n d t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t B D .

2 2 . I n a n a c u t e t r i a n g l e A B C t h e a l t i t u d e s A D a n d C Ea r e d r a w n . F i n d t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t D E i f

A B = 1 5 c m , A C = 1 8 c m a n d B D = 1 0 c m .2 3 . P r o v e t h a t a s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e

p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e e x t e n d e d l a t e r a l s i d e s o fa t r a p e z i u m a n d a l s o t h r o u g h t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o no f i t s d i a g o n a l s d i v i d e s b o t h b a s e s o f t h e t r a p e z i u m i n t oe q u a l p a r t s .

2 4 . P r o v e t h a t i f t w o c i r c l e s a r e t a n g e n t e x t e r n a l l y ,

t h e n t h e s e g m e n t o f t h e t a n g e n t l i n e b o u n d e d b y t h ep o i n t s o f t a n g e n c y i s t h e m e a n p r o p o r t i o n a l t o t h e d i a -m e t e r s o f t h e c i r c l e s .

2 5 . I n s c r i b e a r e c t a n g l e i n a g i v e n t r i a n g l e s o t h a to n e o f i t s s i d e s l i e s o n t h e b a s e o f t h e t r i a n g l e , a n d t h ev e r t i c e s o f t h e o p p o s i t e a n g l e s o n t h e l a t e r a l s i d e s o f t h e

t r i a n g l e a n d t h a t t h e s i d e s o f t h e r e c t a n g l e a r e i n t h e

s a m e r a t i o a s 1 : 2 .2 6 . F i n d t h e l o c u s o f t h e p o i n t s w h i c h d i v i d e a l l t h ec h o r d s p a s s i n g t h r o u g h t h e g i v e n p o i n t o f a c i r c l e i n t h e

r a t i o o f m t o n .

2 . M e t r i c R e l a t i o n s h i p s i n a R i g h t - A n g l e d T r i a n g l e

2 7 . 1 . C o m p u t e t h e h y p o t e n u s e g i v e n t h e s i d e s c o n t a i n -i n g t h e r i g h t a n g l e :

( a ) 1 5 c m a n d 3 6 c m ; ( b ) 6 . 8 a n d 2 . 6 .

2 . C o m p u t e o n e o f t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l eg i v e n t h e h y p o t e n u s e a n d t h e o t h e r s i d e :

( a ) 1 1 3 a n d 1 5 ; ( b ) 5 a n d 1 . 4 ; ( c ) 9 a n d 7 .



C H . I . R E V I E W P R O B L E M S 1 1

3 . G i v e n t w o e l e m e n t s o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e c o m -p u t e t h e r e m a i n i n g f o u r e l e m e n t s :

( a ) b = 6 , b , = 3 . 6 ; ( b ) a , = 1 , b , = 9 ; ( c ) a = 6 8 ,h = 6 0 .

2 8 . P r o v e t h a t t h e r a t i o o f t h e p r o j e c t i o n s o f t h e s i d e sc o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e o n t h e h y p o t e n u s e i s e q u a lt o t h e r a t i o o f t h e s q u a r e s o f t h e s e s i d e s .

2 9 . P r o v e t h a t i f i n a t r i a n g l e A B C t h e a l t i t u d e C D

i s t h e m e a n p r o p o r t i o n a l t o t h e s e g m e n t s A D a n d B Do f t h e b a s e A B , t h e n t h e a n g l e C i s a r i g h t o n e .3 0 . A p e r p e n d i c u l a r d r o p p e d f r o m a p o i n t o f a c i r c l e

o n i t s d i a m e t e r d i v i d e s t h e l a t t e r i n t o s e g m e n t s w h o s ed i f f e r e n c e i s e q u a l t o 1 2 c m . D e t e r m i n e t h e d i a m e t e r i ft h e p e r p e n d i c u l a r i s 8 c m l o n g .

3 1 . G i v e n t w o l i n e s e g m e n t s a a n d b . C o n s t r u c t a

t r i a n g l e w i t h t h e s i d e s a , b a n d V a b .3 2 . I n a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e t h e b i s e c t o r o f t h e r i g h t

a n g l e d i v i d e s t h e h y p o t e n u s e i n t h e r a t i o m : n . I nw h a t r a t i o i s t h e h y p o t e n u s e d i v i d e d b y t h e a l t i t u d ed r o p p e d f r o m t h e v e r t e x o f t h e r i g h t a n g l e ?

3 3 . I n a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e t h e p e r p e n d i c u l a r t o t h eh y p o t e n u s e d r o p p e d f r o m t h e m i d p o i n t o f o n e o f t h e

s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e d i v i d e s t h e h y p o t e n u s ei n t o t w o s e g m e n t s : 5 c m a n d 3 c m . F i n d t h e s e s i d e s .3 4 . A n a l t i t u d e B D i s d r a w n i n a t r i a n g l e A B C . C o n -

s t r u c t e d o n t h e s i d e s A B a n d B C a r e r i g h t - a n g l e d t r i a n g -l e s A B E a n d B C F w h o s e a n g l e s B A E a n d B C F a r er i g h t o n e s a n d A E = D C , F C = A D . P r o v e t h a t t h eh y p o t e n u s e s o f t h e s e t r i a n g l e s a r e e q u a l t o e a c h " o t h e r .

3 5 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e a s 5 : 1 2 : 1 3 . D e t e r m i n et h e m i f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l i n e s e g m e n t s i n t ow h i c h t h e b i s e c t o r o f t h e g r e a t e r a n g l e d i v i d e s t h e o p p o s i t es i d e i s e q u a l t o 7 c m .

3 6 . 1 . O n e o f t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e i na r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e i s 6 c m l o n g e r t h a n t h e o t h e r

o n e ; t h e h y p o t e n u s e i s e q u a l t o 3 0 c m . D e t e r m i n e t h eb i s e c t o r o f t h e l a r g e r a c u t e a n g l e .




2 . T h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e a r e e q u a l t o6 c m a n d 1 2 c m . D e t e r m i n e t h e b i s e c t o r o f t h e r i g h t a n g l e .

3 7 . A c i r c l e w i t h t h e r a d i u s o f 8 c m i s i n s c r i b e d i na r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e w h o s e h y p o t e n u s e i s e q u a l t o4 0 c m . D e t e r m i n e t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l ea n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e c e n t r e s o f t h e i n s c r i b e da n d c i r c u m s c r i b e d c i r c l e s .

3 8 . T h e b a s e o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i s e q u a l t o 4 8 c m ,a n d t h e l a t e r a l s i d e t o 4 0 c m . F i n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n

t h e c e n t r e o f g r a v i t y a n d t h e v e r t i c e s o f t h i s t r i a n g l e .3 9 . T h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e a r e : A C =

= 3 0 c m , B C = 1 6 c m . F r o m C a s c e n t r e w i t h r a d i u s C Ba n a r e i s d r a w n t o i n t e r s e c t t h e h y p o t e n u s e a t p o i n t D .D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t B D .

4 0 . A q u a r t e r t i m b e r h a s t h e g r e a t e s t b e n d i n g s t r e n g t hi f t h e p e r p e n d i c u l a r s d r o p p e d f r o m t w o o p p o s i t e v e r t i c e s

o f t h e c r o s s - s e c t i o n r e c t a n g l e d i v i d e i t s d i a g o n a l i n t ot h r e e e q u a l p a r t s . D e t e r m i n e t h e s i z e o f t h e c r o s s - s e c t i o nf o r s u c h a t i m b e r w h i c h c a n b e m a d e f r o m a l o g 2 7 c mi n d i a m e t e r .

4 1 . A t w h a t d i s t a n c e d o e s t h e c o s m o n a u t s e e t h e s k y -l i n e i f h i s s p a c e s h i p i s a t a n a l t i t u d e o f . 3 0 0 k m a b o v et h e s u r f a c e o f t h e E a r t h , w h o s e r a d i u s i s e q u a l t o 6 4 0 0 k m ?

4 2 . A c i r c l e w i t h t h e c e n t r e a t t h e p o i n t M ( 3 ; 2 )t o u c h e s t h e b i s e c t o r o f t h e f i r s t q u a d r a n t . D e t e r m i n e :

( 1 ) t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e , ( 2 ) t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ec e n t r e o f t h e c i r c l e a n d t h e o r i g i n o f c o o r d i n a t e s .

4 3 . A r h o m b u s i s i n s c r i b e d i n a p a r a l l e l o g r a m w i t h a na c u t e a n g l e o f 4 5 ° s o t h a t t h e m i n o r d i a g o n a l o f t h e f o r m e r

s e r v e s a s t h e a l t i t u d e o f t h e l a t t e r . T h e l a r g e r s i d e o f t h ep a r a l l e l o g r a m i s e q u a l t o 2 4 c m , t h e s i d e o f t h e r h o m b u st o 1 3 c m . D e t e r m i n e t h e d i a g o n a l s o f t h e r h o m b u s a n d t h es h o r t e r s i d e o f t h e p a r a l l e l o g r a m .

4 4 . T h e b a s e o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i s e q u a l t o 1 2 c ma n d t h e a l t i t u d e t o 9 c m . O n t h e b a s e a s o n a c h o r d a

c i r c l e i s c o n s t r u c t e d w h i c h t o u c h e s t h e l a t e r a l s i d e s o ft h e t r i a n g l e . F i n d t h e r a d i u s o f t h i s c i r c l e .




4 5 . T h e r a d i u s o f a c i r c l e i s e q u a l t o 5 0 c m ; t w o p a r a l -l e l c h o r d s a r e e q u a l t o 2 8 " c m a n d 8 0 c m . D e t e r m i n e t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e m .

4 6 . T h e r a d i i o f t w o c i r c l e s a r e e q u a l t o 5 4 c m a n d2 6 c m , a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i r c e n t r e s t o 1 m .D e t e r m i n e t h e l e n g t h s o f t h e i r c o m m o n t a n g e n t l i n e s .

4 7 . 1 . F r o m a p o i n t 4 c m d i s t a n t f r o m a c i r c l e a t a n g e n tl i n e i s d r a w n 6 c m l o n g . F i n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e .

2 . A c h o r d 1 5 c m d i s t a n t f r o m t h e c e n t r e i s 1 . 6 t i m e st h e l e n g t h o f t h e r a d i u s . D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h ec h o r d .

4 8 . T h e u p p e r b a s e B C o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m A B C Ds e r v e s a s a c h o r d o f a c i r c l e t a n g e n t t o t h e m e d i a n ( m i d -l i n e ) o f t h e t r a p e z i u m a n d i s e q u a l t o 2 4 c m . D e t e r m i n et h e l o w e r b a s e a n d t h e l a t e r a l s i d e o f t h e t r a p e z i u m i ft h e r a d i u s o f t h e c i r c l e i s e q u a l t o 1 5 c m a n d t h e a n g l e

a t t h e l o w e r b a s e t o 4 5 ° .

4 9 . A n i s o s c e l e s t r a p e z i u m w i t h t h e l a t e r a l s i d e o f5 0 c m , i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a c i r c l e w h o s e r a d i u s i s

e q u a l t o 2 4 c m . D e t e r m i n e t h e b a s e s o f t h e t r a p e z i u m .

5 0 . A c i r c l e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a n i s o s c e l e s t r a p e -z i u m . F i n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e c e n t r e o f t h i s

c i r c l e a n d e a c h b a s e o f t h e t r a p e z i u m i f t h e m i d l i n e o ft h e t r a p e z i u m e q u a l t o i t s a l t i t u d e i s 7 c m l o n g , a n d

i t s b a s e s a r e a s 3 : 4 .- 5 1 . A s e g m e n t A E ( 1 c m l o n g ) i s l a i d o f f o n t h e s i d e o f

a s q u a r e A B C D . T h e p o i n t E i s j o i n e d t o t h e v e r t i c e s Ba n d C o f t h e s q u a r e . F i n d t h e a l t i t u d e B F o f t h e t r i a n g l e

B C E i f t h e s i d e o f t h e s q u a r e i s e q u a l t o 4 c m .5 2 . T w o s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 3 4 c m a n d

5 6 c m ; t h e m e d i a n d r a w n t o t h e t h i r d s i d e i s e q u a l t o

3 9 c m . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d o f t h i s m e d i a na n d t h e l o n g e r o f t h e g i v e n s i d e s .

5 3 . I n a n o b t u s e i s o s c e l e s t r i a n g l e a p e r p e n d i c u l a r i sd r o p p e d f r o m t h e v e r t e x o f t h e o b t u s e a n g l e t o t h e l a t e r a ls i d e t o i n t e r s e c t t h e b a s e o f t h e t r i a n g l e . F i n d t h e l i n es e g m e n t s i n t o w h i c h t h e b a s e i s d i v i d e d b y t h e p e r p e n d i -c u l a r i f t h e b a s e o f t h e t r i a n g l e i s e q u a l t o 3 2 c m , a n d

t h e a l t i t u d e t o 1 2 c m .




5 4 . A r e c t a n g l e w h o s e b a s e i s t w i c e a s l o n g a s t h ea l t i t u d e i s i n s c r i b e d i n a s e g m e n t w i t h a n a r e o f 1 2 0 °a n d a n a l t i t u d e h . D e t e r m i n e t h e p e r i m e t e r o f t h e r e c t a n g l e .

5 5 . D e t e r m i n e t h e k i n d o f t h e f o l l o w i n g t r i a n g l e s ( a sf a r a s t h e i r a n g l e s a r e c o n c e r n e d ) g i v e n t h e i r s i d e s :

( 1 ) 7 , 2 4 , 2 6 ; ( 2 ) 1 0 , 1 5 , 1 8 ; ( 3 ) 7 , 5 , 1 ; ( 4 ) 3 , 4 , 5 .

5 6 . 1 . G i v e n t w o s i d e s o f a t r i a n g l e e q u a l t o 2 8 d ma n d 3 2 d m c o n t a i n i n g a n a n g l e o f 1 2 0 ° d e t e r m i n e i t st h i r d s i d e .

2 . D e t e r m i n e t h e l a t e r a l s i d e s o f a t r i a n g l e i f t h e i rd i f f e r e n c e i s e q u a l t o 1 4 c m , t h e b a s e t o 2 6 c m , a n d t h ea n g l e o p p o s i t e i t t o 6 0 ° .

5 7 . I n a t r i a n g l e A B C t h e b a s e A C = 3 0 c m , t h e s i d eB C = 5 1 c m , a n d i t s p r o j e c t i o n o n t h e b a s e i s e q u a lt o 4 6 . 2 c m . I n w h a t p o r t i o n s i s t h e s i d e A B d i v i d e d b yt h e b i s e c t o r o f t h e a n g l e C ?

5 8 . P r o v e t h a t i f M i s a p o i n t o n t h e a l t i t u d e B D o fa t r i a n g l e A B C , t h e n A B 2 - B C a = A M ' - C M 2 ..

5 9 . . T h e d i a g o n a l s o f a p a r a l l e l o g r a m a r e e q u a l t o1 4 c m a n d 2 2 c m , i t s p e r i m e t e r t o 5 2 c m . F i n d t h e s i d e so f t h e p a r a l l e l o g r a m .

6 0 . T h r e e c h o r d s i n t e r s e c t a t o n e p o i n t i n s i d e a c i r c l e .T h e s e g m e n t s o f t h e f i r s t c h o r d a r e e q u a l t o 1 d m a n d

1 2 d m , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s e g m e n t s o f t h e s e c o n d

F i g . 1

o n e i s e q u a l t o 4 d m , a n d t h e s e g m e n t s o f t h e t h i r d c h o r da r e i n t h e r a t i o o f 4 t o 3 . D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f e a c h

c h o r d .



C H . 1 . R W N I V E W P R O B L E M S 1 5

i t . A c c o r d i n g t o t h e e s t a b l i s h e d r u l e s t h e r a d i u s o fc u r v a t u r e o f a g a u g e s h o u l d n o t b e l e s s t h a n 6 0 0 m .A r e t h e f o l l o w i n g c u r v a t u r e s a l l o w a b l e :

( 1 ) t h e c h o r d i s e q u a l t o 1 2 0 m a n d t h e s a g i t t a t o 4 m ;( 2 ) t h e c h o r d i s e q u a l t o 1 6 0 m a n d t h e s a g i t t a t o 4 m ?

6 2 . C o m p u t e t h e r a d i u s o f t h e l o g ( F i g . 1 ) u s i n g t h ed i m e n s i o n s ( i n m m ) o b t a i n e d w i t h t h e a i d o f a c a l i p e r .

3 . R e g u l a r P o l y g o n s ,t h e L e n g t h o f t h e C i r c u m f e r e n c e a n d t h e A r e

6 3 . 1 . W h a t r e g u l a r p o l y g o n s o f e q u a l s i z e c a n b e u s e dt o m a n u f a c t u r e p a r q u e t t i l e s ?

2 . C h e c k t o s e e w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o f i t w i t h o u t ag a p r o u n d a p o i n t o n a p l a n e : ( a ) r e g u l a r t r i a n g l e s a n dr e g u l a r h e x a g o n s ; ( b ) r e g u l a r h e x a g o n s a n d s q u a r e s ; ( c )r e g u l a r o c t a g o n s a n d s q u a r e s ; ( d ) r e g u l a r p e n t a g o n s a n dr e g u l a r d e c a g o n s . W h a t p a i r s ( f r o m t h o s e m e n t i o n e da b o v e ) c a n b e u s e d f o r p a r q u e t i n g a f l o o r ?

6 4 . C u t a r e g u l a r h e x a g o n i n t o :( 1 ) t h r e e e q u a l r h o m b u s e s ; ( 2 ) s i x e q u a l i s o s c e l e s

t r i a n g l e s .6 5 . A r e g u l a r t r i a n g l e i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e w h o s e

r a d i u s i s e q u a l t o 1 2 c m . A c h o r d i s d r a w n t h r o u g h t h em i d p o i n t s o f t w o a r c s o f t h e c i r c l e . F i n d t h e s e g m e n t so f t h e c h o r d i n t o w h i c h i t i s d i v i d e d b y t h e s i d e s o f t h et r i a n g l e .

6 6 . G i v e n t h e a p o t h e m o f a h e x a g o n i n s c r i b e d i na c i r c l e k e = 6 . C o m p u t e R , a 3 , a 4 , a 6 , k 3 , k 4 .

6 7 . I n s c r i b e d i n a c i r c l e a r e a r e g u l a r t r i a n g l e , q u a d r i -l a t e r a l a n d h e x a g o n w h o s e s i d e s a r e t h e s i d e s o f a t r i a n -g l e i n s c r i b e d i n a n o t h e r c i r c l e o f r a d i u s r = 6 c m . F i n d

t h e r a d i u s R o f t h e f i r s t c i r c l e .6 8 . A c o m m o n c h o r d o f t w o i n t e r s e c t i n g c i r c l e s i s

e q u a l t o 2 0 c m . F i n d ( a c c u r a t e t o 1 m m ) t h e d i s t a n c eb e t w e e n t h e c e n t r e s o f t h e c i r c l e s i f t h i s c h o r d s e r v e s a s

t h e s i d e o f a n i n s c r i b e d s q u a r e i n o n e c i r c l e ; a n d a s t h es i d e o f a n i n s c r i b e d r e g u l a r h e x a g o n i n t h e o t h e r , a n d

t h e c e n t r e s o f t h e c i r c l e s a r e s i t u a t e d o n d i f f e r e n t s i d e s

o f t h e c h o r d .




6 9 . 1 . C o n s t r u c t e d o n t h e d i a m e t e r o f a c i r c l e , , a s o nt h e b a s e , i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w h o s e l a t e r a l s d e i se q u a l t o t h e s i d e o f a r e g u l a r t r i a n g l e i n s c r b e d i n t h i sc i r c l e . P r o v e t h a t t h e a l t i t u d e o f t h i s t r i a n g l e i s e q u a lt o t h e s i d e o f a s q u a r e i n s c r i b e d i n t h i s c i r c l e .

2 . U s i n g o n l y a p a i r o f c o m p a s s e s , c o n s t r u c t a c i r c l ea n d d i v i d e i t i n t o f o u r e q u a l p a r t s .

7 0 . A r e g u l a r q u a d r i l a t e r a l i s i n s c r i b e d i n a c i r c l ea n d a r e g u l a r t r i a n g l e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t i t ; t h ed i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s i d e s o f t h e s e p o l y g o n s i s e q u a l

t o 1 0 c m . D e t e r m i n e t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c i r c l e( a c c u r a t e t o 0 . 1 c m ) .

7 1 . T h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e o u t e r c i r c l eo f t h e c r o s s s e c t i o n o f a p i p e i s e q u a l t o 9 4 2 m m , w a l lt h i c k n e s s t o 2 0 m m . F i n d t h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c eo f t h e i n n e r c i r c l e .

7 2 . A p u l l e y 0 . 3 m i n d i a m e t e r m u s t b e c o n n e c t e dw i t h a n o t h e r p u l l e y t h r o u g h a b e l t t r a n s m i s i o n . T h ef i r s t p u l l e y r e v o l v e s a t a s p e e d o f 1 0 0 0 r . p . m . W h a td i a m e t e r m u s t t h e s e c o n d p u l l e y h a v e t o r e v o l v e a ta s p e e d o f 2 0 0 r . p . m . ?

7 3 . T w o a r t i f i c i a l s a t e l l i t e s a r e i n c i r c u l a r o r b i t s a b o u tt h e E a r t h a t a l t i t u d e s o f h l a n d h 2 ( h l > h 2 ) , r e s p e c t i v e l y .I n s o m e t i m e t h e a l t i t u d e o f f l i g h t o f e a c h s a t e l l i t e d e c -

r e a s e d b y 1 0 k m a s c o m p a r e d w i t h t h e i n i t i a l o n e . T h el e n g t h o f w h i c h o r b i t i s r e d u c e d t o a g r e a t e r e x t e n t ?7 4 . A r e g u l a r t r i a n g l e A B C i n s c r i b e d i n a c i r c l e o f

r a d i u s R r e v o l v e s a b o u t t h e p o i n t D w h i c h i s t h e f o o to f t h e a l t i t u d e B D o f t h e t r i a n g l e . F i n d t h e p a t h t r a v e r -s e d b y t h e p o i n t B d u r i n g a c o m p l e t e r e v o l u t i o n o f t h et r i a n g l e .

7 5 . A s q u a r e w i t h t h e s i d e 6 V 2 c m i s i n s c r i b e d i na c i r c l e a b o u t w h i c h a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m i s c i r c u m -s c r i b e d . F i n d t h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f a c i r c l ec o n s t r u c t e d o n t h e d i a g o n a l o f t h i s t r a p e z i u m i f t h e

d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l e n g t h s o f i t s b a s e s i s e q u a l t o1 8 c m .

7 6 . 1 . A c i r c l e o f r a d i u s 8 i n i s u n b e n t t o f o r m a n a r e

o f r a d i u s 1 0 m . F i n d t h e c e n t r a l a n g l e t h u s o b t a i n e d .



C R . I . R E V I E W P R O B L E M S 1 7

2 . A c i r c l e o f r a d i u s 1 8 d m i s u n b e n t t o f o r m a n a r es u b t e n d i n g a c e n t r a l a n g l e o f 3 0 0 ° . F i n d t h e r a d i u s o ft h e a r e .

3 . A n a r e o f r a d i u s 1 2 c m s u b t e n d i n g a c e n t r a l a n g l eo f 2 4 0 ° i s b e n t t o f o r m a c i r c l e . F i n d t h e r a d i u s o f t h ec i r c l e t h u s o b t a i n e d .

4 . A n a r e o f r a d i u s 1 5 c m i s b e n t t o c o m p l e t e a c i r c l eo f r a d i u s 6 c m . H o w m a n y d e g r e e s d i d t h e a r e c o n t a i n ?

5 . C o m p u t e t h e l e n g t h o f 1 ° o f t h e E a r t h m e r i d i a n ,t a k i n g t h e r a d i u s o f t h e E a r t h t o b e e q u a l t o 6 4 0 0 k m .

6 . P r o v e t h a t i n t w o c i r c l e s c e n t r a l a n g l e s c o r r e s p o n d i n gt o a r c s o f a n e q u a l l e n g t h a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a lt o t h e r a d i i .

7 7 . A r e g u l a r t r i a n g l e A B C w i t h t h e s i d e a m o v e sw i t h o u t s l i d i n g a l o n g a s t r a i g h t l i n e L , w h i c h i s t h ee x t e n s i o n o f t h e s i d e A C , r o t a t i n g f i r s t a b o u t t h e v e r t e x C ,t h e n B a n d s o o n . D e t e r m i n e t h e p a t h t r a v e r s e d b y t h e

p o i n t A b e t w e e n i t s t w o s u c c e s s i v e p o s i t i o n s o n t h e l i n e L .7 8 . O n t h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r t r i a n g l e a s o n t h e

d i a m e t e r a s e m i - c i r c l e i s c o n s t r u c t e d . F i n d t h e l e n g t ho f t h e a r e c o n t a i n e d b e t w e e n t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e i ft h e r a d i u s o f t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n t h e t r i a n g l e i s e q u a l

t o m c m .

4 . A r e a s o f P l a n e F i g u r e s

7 9 . D e t e r m i n e t h e s i d e s o f a r e c t a n g l e i f t h e y a r e i nt h e r a t i o o f 2 t o 5 , a n d i t s a r e a i s e q u a l t o 2 5 . 6 c m 2 .

8 0 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a r e c t a n g l e w h o s e d i a g o n a li s e q u a l t o 2 4 d m a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l st o 6 0 ° .

8 1 . M a r k e d o f f o n t h e s i d e B C o f a r e c t a n g l e A B C D

i s a s e g m e n t B E e q u a l t o t h e s i d e A B . C o m p u t e t h e a r e ao f t h e r e c t a n g l e i f A E = 3 2 d m a n d B E : E C = 5 : 3 .8 2 . T h e p r o j e c t i o n o f t h e c e n t r e o f a c i r c l e i n s c r i b e d

i n a r h o m b u s o n i t s s i d e d i v i d e s t h e l a t t e r i n t o t h e s e g -m e n t s 2 . 2 5 m a n d 1 . 2 1 m l o n g . F i n d t h e a r e a o f t h e r h o m -b u s .

8 3 . ` D e t e r m i n e t h e a r e a o f a c i r c l e i f i t i s l e s s t h a n t h ea r e a o f a s q u a r e c i r c u m s c r i b e d a b o u t i t b y 3 . 4 4 c m 2 .



1 8P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

8 4 . T h e a l t i t u d e B E o f a p a r a l l e l o g r a m A B C D d i v i d e st h e s i d e A D i n t o s e g m e n t s w h i c h a r e i n t h e r a t i o o f 1 t o 3 .

F i n d t h e a r e a o f t h e p a r a l l e l o g r a m i f i t s s h o r t e r s i d e A Bi s e q u a l t o 1 4 c m , a n d t h e a n g l e A B D = 9 0 ° .

8 5 . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e c e n t i e o f s y m m e t r y o fa p a r a l l e l o g r a m a n d i t s l o n g e r s i d e i s e q u a l t o 1 2 c m .

T h e a r e a o f t h e p a r a l l e l o g r a m i s e q u a l t o 7 2 0 c m 2 , i t sp e r i m e t e r b e i n g e q u a l t o 1 0 0 c m . D e t e r m i n e t h e d i a g o n a l so f t h e p a r a l l e l o g r a m i f t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m e q u a l s2 4 c m .

' 8 6 . 1 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a r h o m b u s w h o s e s i d e i se q u a l t o 2 0 d m a n d o n e o f t h e d i a g o n a l s t o 2 4 d m .

2 . T h e s i d e o f a r h o m b u s i s e q u a l t o 3 0 d m , t h e s m a l l e rd i a g o n a l t o 3 6 d m . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a c i r c l e i n s c r i -b e d i n t h i s r h o m b u s .

8 7 . T h e d i a g o n a l s o f a p a r a l l e l o g r a m a r e t h e a x i s o fo r d i n a t e s a n d t h e b i s e c t o r o f t h e f i r s t a n d t h i r d q u a d r a n t s .

F i n d t h e a r e a o f t h e p a r a l l e l o g r a m g i v e n t h e c o o r d i n a t e so f i t s t w o v e r t i c e s : ( 3 ; 3 ) a n d ( 0 ; - 3 ) .

8 8 . T h e p e r i m e t e r o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i s e q u a l t o8 4 c m ; t h e l a t e r a l s i d e i s t o t h e b a s e i n t h e r a t i o o f 5 t o 4 .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e .

8 9 . T h e m e d i a n o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e d r a w n t o t h e

h y p o t e n u s e i s 6 c m l o n g a n d i s i n c l i n e d t o i t a t a n a n g l eo f 6 0 ° . F i n d t h e a r e a o f t h i s t r i a n g l e .9 0 . A p o i n t M i s t a k e n i n s i d e a n i s o s c e l e s t r i a n g l e

w h o s e s i d e i s a . F i n d t h e s u m o f t h e l e n g t h s o f t h e p e r -p e n d i c u l a r s d r o p p e d f r o m t h i s p o i n t o n t h e s i d e s o f t h et r i a n g l e .

9 1 . I n a n i s o s c e l e s t r i a n g l e A B C a n a l t i t u d e A D i sd r a w n t o i t s l a t e r a l s i d e . T h e p r o j e c t i o n o f t h e p o i n t Do n t h e b a s e A C o f t h e t r i a n g l e d i v i d e s t h e b a s e i n t o t h es e g m e n t s m a n d n . F i n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e .

9 2 . P r o v e t h a t t h e t r i a n g l e s f o r m e d b y t h e d i a g o n a l so f a t r a p e z i u m a n d i t s l a t e r a l s i d e s a r e e q u a l .

9 3 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r t r i a n g l e i s e q u a l t o 6 d m .D e t e r m i n e t h e s i d e o f a s q u a r e e q u a l t o t h e c i r c l e c i r c u m -

s c r i b e d a b o u t t h e t r i a n g l e .




9 4 . A s q u a r e w h o s e s i d e i s 4 c m l o n g i s t u r n e d a r o u n di t s c e n t r e b y 4 5 ° . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e r e g u l a r p o l y -

g o n t h u s o b t a i n e d .9 5 . F i n d t h e a r e a o f t h e c o m m o n p o r t i o n o f t w o e q u i l a -

t e r a l t r i a n g l e s o n e o f w h i c h i s o b t a i n e d f r o m t h e o t h e rb y t u r n i n g i t r o u n d i t s c e n t r e b y a n a n g l e o f 6 0 ° . T h e

s i d e o f t h e t r i a n g l e i s e q u a l t o 3 d m .9 6 . T h e a r e a o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e a m o u n t s t o

2 8 . 8 d m 2 , a n d t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e a r e

a s 9 : 4 0 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e c i r c l e c i r c u m s c r i b e da b o u t t h i s t r i a n g l e .9 7 . I n a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m t h e p a r a l l e l s i d e s a r e

e q u a l t o 8 c m a n d 1 6 c m , a n d t h e d i a g o n a l b i s e c t s t h ea n g l e a t t h e b a s e . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e t r a p e z i u m .

9 8 . T h e p e r i m e t e r o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m i s 6 2 m .T h e s m a l l e r b a s e i s e q u a l t o t h e l a t e r a l s i d e , t h e l a r g e r

b a s e b e i n g 1 0 m l o n g e r . F i n d t h e a r e a o f t h e t r a p e z i u m .9 9 . A p l o t f e n c e d f o r a c a t t l e - y a r d h a s t h e f o r m o f

a r i g h t - a n g l e d t r a p e z i u m . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h eb a s e s o f t h i s t r a p e z i u m i s e q u a l t o 3 0 m , t h e s m a l l e rl a t e r a l s i d e t o 4 0 m . T h e a r e a o f t h e p l o t a m o u n t s t o

1 4 0 0 m 2 . H o w m u c h d o e s t h e f e n c e c o s t i f 1 m o f i t s l e n g t hc o s t s 8 0 k o p e c k s ?

1 0 0 . A t r a p e z i u m i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e o f r a d i u s 2 d m .C o m p u t e t h e a r e a o f t h e t r a p e z i u m i f i t s a c u t e a n g l e i se q u a l t o 6 0 ° a n d o n e o f i t s b a s e s i s e q u a l t o t h e l a t e r a ls i d e .

1 0 1 . T w o p a r a l l e l l y r u n n i n g s t e e l p i p e s o f a n a i r d u c te a c h 3 0 0 m m i n d i a m e t e r a r e r e p l a c e d b y o n e p o l y e t h y l e n e

t u b e . W h a t d i a m e t e r m u s t t h i s t u b e h a v e t o e n s u r e t h e

s a m e c a p a c i t y o f t h e a i r d u c t ?1 0 2 . T h e a r e a o f a c i r c l e w h o s e r a d i u s i s 1 8 d m i s

d i v i d e d b y a c o n c e n t r i c c i r c l e i n t o t w o e q u a l p a r t s .D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f t h i s c i r c l e .

1 0 3 . F i n d t h e c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f a h e x a g o n a l n u t( F i g . 2 ) .

1 0 4 . F i n d t h e a r e a o f a f i g u r e b o u n d e d b y t h r e e s e m i -

c i r c l e s s h o w n i n F i g . 3 , i f A B = 4 c m a n d B D = 4 Y - 3 - c m .




1 0 5 . 1 . T h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f a c i r c l e i se q u a l t o 2 5 . 1 2 m . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e i n s c r i b e dr e g u l a r t r i a n g l e .

2 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a c i r c l e i n s c r i b e d i n a n e q u i -l a t e r a l t r i a n g l e w h o s e s i d e i s e q u a l t o 3 . 6 m .

F i g . 2

1 0 6 . C o m p u t e t h e a r e a o f a c i r c l e i n s c r i b e d i n a n i s o s -c e l e s t r i a n g l e w h o s e b a s e i s e q u a l t o 8 V 3 c m a n d t h ea n g l e a t t h e b a s e t o 3 0 ° .

1 0 7 . T w o c i r c l e s 6 c m a n d 1 8 c m i n d i a m e t e r a r e e x t e r -n a l l y t a n g e n t . C o m p u t e t h e a r e a b o u n d e d b y t h e c i r c l e sa n d a l i n e t a n g e n t t o t h e m e x t e r n a l l y .

F i g . 3

1 0 8 . O n t h e h y p o t e n u s e o f a r i g h t - a n g l e d i s o s c e l e st r i a n g l e a s o n t h e d i a m e t e r a s e m i - c i r c l e i s c o n s t r u c t e d .

I t s e n d - p o i n t s a r e c o n n e c t e d b y a c i r c u l a r a r e d r a w n f r o mt h e v e r t e x o f t h e r i g h t a n g l e a s c e n t r e , i t s r a d i u s b e i n ge q u a l t o t h e l a t e r a l s i d e o f t h e t r i a n g l e . P r o v e t h a t t h es i c k l e t h u s o b t a i n e d i s e q u a l t o t h e t r i a n g l e .

1 0 9 . A s q u a r e w i t h t h e s i d e a i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e .O n e a c h s i d e o f t h e s q u a r e a s o n t h e d i a m e t e r a s e m i -

c i r c l e i s c o n s t r u c t e d . C o m p u t e t h e s u m o f t h e a r e a s o f

t h e s i c k l e s t h u s o b t a i n e d .



C I i . I . R E V I E W P R O B L E M S 2 1

1 1 0 . T h e g r e a t e s t p o s s i b l e c i r c l e i s c u t o u t o f a s e m i -c i r c l e . T h e s a m e w a s d o n e w i t h e a c h o f t h e s c r a p s t h u s

o b t a i n e d . W h a t i s t h e p e r c e n t a g e o f t h e w a s t e ?M . T h e p l a n o f a p l o t h a s t h e f o r m o f a s q u a r e w i t h

t h e s i d e 1 0 . 0 c m l o n g . K n o w i n g t h a t t h e p l a n i s d r a w nt o t h e s c a l e 1 : 1 0 , 0 0 0 , f i n d t h e , a r e a o f t h e p l o t a n d t h el e n g t h o f i t s b o u n d a r y .

1 1 2 . F i g u r e 4 p r e s e n t s t h e p l a n o f a p l o t d r a w n t o t h es c a l e 1 : 1 0 0 0 . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e p l o t g i v e n t h e

F i g . 4

f o l l o w i n g d i m e n s i o n s : A C = 6 c m , A D = 7 . 6 c m , h l == 3 c m , h 2 = 4 . 8 c m , h 3 = 3 . 2 c m .

1 1 3 . 1 . A s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o t h e b a s e o f a t r i a n g l ed i v i d e s i t s l a t e r a l s i d e i n t h e r a t i o 2 : 3 ( a s m e a s u r e df r o m t h e b a s e ) . I n w h a t r a t i o i s t h e a r e a o f t h e t r i a n g l ed i v i d e d b y t h i s l i n e ?

2 . G i v e n t h e s i d e s o f a t r i a n g l e : 2 6 c m , 2 8 c m , 3 0 c m .A s t r a i g h t l i n e i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e l a r g e r s i d e s ot h a t t h e p e r i m e t e r o f t h e t r a p e z i u m o b t a i n e d i s e q u a lt o 6 6 c m . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e t r a p e z i u m .

1 1 4 . B y w h a t p e r c e n t a g e w i l l t h e a r e a o f a c i r c l e b ei n c r e a s e d i f i t s r a d i u s i s i n c r e a s e d b y 5 0 p e r c e n t ?

1 1 5 . 1 . C o n s t r u c t a c i r c l e w h o s e a r e a i s e q u a l t o : ( a ) t h es u m o f t h e a r e a s o f t w o g i v e n c i r c l e s ; ( b ) t h e d i f f e r e n c eb e t w e e n t h e i r a r e a s .

2 . C o n s t r u c t a s q u a r e w h o s e a r e a i s n t i m e s g r e a t e r t h a nt h e a r e a o f t h e g i v e n s q u a r e ( n = 2 ; 4 ; 5 ) .



C H A P T E R I I

S O L V I N G T R I A N G L E S

5 . S o l v i n g R i g h t - A n g l e d T r i a n g l e s

1 1 6 . F i n d f r o m t h e t a b l e s :

1 . ( a ) s i n 2 7 ° 2 3 ' ; ( b ) c o s 1 8 ° 3 2 ' ; ( c ) c o s s ; ( d ) t a n 6 0 ° 4 1 ' ;

( e ) c o t 7 0 ° 2 0 ' ; ( f ) s i n 3 ° 4 4 ' ; ( g ) c o s 8 8 ° 3 6 ' ; ( h ) t a n 3 ° 5 2 ' .2 . ( a ) l o g s i n 2 2 ° 8 ' ; ( b ) l o g s i n 8 0 ° 2 3 ' ; ( c ) l o g c o s 8 7 ° 5 0 ' ;( d ) l o g c o s 6 3 ° 1 5 ' ; ( e ) l o g t a n 3 7 ° 5 1 ' ; ( f ) l o g t a n 8 5 ° 1 2 ' ;

( g ) l o g c o t 7 7 ° 2 8 ' ; ( h ) l o g c o t 1 5 ° 4 0 ' .1 1 7 . U s i n g t h e t a b l e s , f i n d t h e p o s i t i v e a c u t e a n g l e x i f :( 1 ) s i n x i s e q u a l t o : 0 . 2 0 7 9 ; 0 . 3 8 2 7 ; 0 . 9 8 5 8 ; 0 . 0 5 7 9 ;

( 2 ) c o s x i s e q u a l t o : 0 . 8 6 4 3 ; 0 . 6 4 9 0 ; 0 . 1 8 4 6 ; 0 . 0 8 4 7 ;

( 3 ) t a n x i s e q u a l t o : 0 . 0 1 4 8 ; 0 . 9 7 7 4 ; 1 . 2 5 7 6 ; 4 . 7 9 8 -'4 ) c o t x i s e q u a l t o : 0 . 8 4 2 4 ; 1 . 2 8 1 3 ; 2 . 0 7 5 1 ; 0 . 0 9 3 5

1 1 8 . U s i n g t h e t a b l e s , f i n d t h e p o s i t i v e a c u t e a n g l e x i f :( 1 ) l o g s i n x i s e q u a l t o : 1 . 4 0 4 4 ; 1 . 9 3 1 4 ; 1 . 1 7 1 6 ; 2 . 1 0 8 2 ;( 2 ) l o g c o s x i s e q u a l t o : 1 . 6 4 1 8 ; 1 . 3 9 8 2 ; 1 . 7 8 1 0 ; 2 . 8 4 7 5 ;( 3 ) l o g t a n x i s e q u a l t o : 2 . 9 6 2 5 ; 1 . 2 5 7 0 ; 1 . 7 7 9 3 ; 0 . 7 7 9 1 ;( 4 ) l o g c o t x i s e q u a l t o : 1 . 5 2 0 7 ; 2 . 6 9 5 2 ; 1 . 7 8 3 9 ; 0 . 8 7 1 8 .

1 1 9 . F i n d w i t h t h e a i d . o f a s l i d e - r u l e :

( 1 ) s i n 3 2 ° , s i n 3 2 ° 4 0 ' , s i n 3 2 ° 4 8 ' , s i n 7 1 ° 1 5 ' , s i n 4 ° 4 0 ' ;( 2 ) c o s 3 0 ° , c o t 7 4 ° 1 4 ' , c o s 8 1 ° 1 2 ' , c o s 8 6 ° 4 0 ' ;( 3 ) t a n 2 ° 3 0 ' , t a n 3 ° 3 8 ' , t a n 4 3 ° 1 5 ' , t a n 7 2 ° 3 0 ' ;

( 4 ) c o t 2 ° , c o t 1 2 ° 3 6 ' , c o t 4 2 ° 5 4 ' , c o t 8 5 ° 3 9 ' .1 2 0 . U s i n g a s l i d e - r u l e , f i n d t h e p o s i t i v e a c u t e a n g l e x i f( 1 ) s i n x i s e q u a l t o : 0 . 5 3 ; 0 . 0 5 2 ; 0 . 0 7 6 5 ; 0 . 6 9 4 ;( 2 ) c o s x i s e q u a l t o : 0 . 1 6 4 ; 0 . 0 6 8 ; 0 . 7 6 3 ; 0 . 8 5 7 ;



C H . I I . S O L V I N G T R I A N G L E S 2 3

( 3 ) t a n x i s e q u a l t o : , 0 . 0 5 1 2 ; 2 . 8 4 ; 0 . 8 6 3 ; 1 . 3 4 2 ;( 4 ) c o t x i s e q u a l t o : 0 . 8 2 4 ; 1 . 5 3 ; 0 . 0 6 5 ; 0 . 8 5 3 .

1 2 1 . S o l v e t h e f o l l o w i n g r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s w i t ht h e a i d o f a s l i d e - r u l e :( 1 ) c 8 . 5 3 , A , ^ . s 5 6 ° 4 1 ' ; ( 2 ) a 3 6 0 m , B z 3 6 ° 3 0 ' ;( 3 ) c ^ - 2 8 . 2 , a - 1 6 . 4 ; ( 4 ) a , N 2 8 4 m , b ~ 1 7 0 m .

1 2 2 . S o l v e t h e f o l l o w i n g r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s , u s i n gt h e t a b l e s o f v a l u e s o f t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s :

( 1 ) c = 5 8 . 3 , A = 6 5 ° 1 4 ' ; ( 2 ) a = 6 3 0 m , B = 3 6 ° 3 0 ' ;

( 3 ) c = 8 2 . 2 , a = 6 1 . 4 ; ( 4 ) a = 4 2 8 m , b = 7 1 0 m .1 2 3 . S o l v e t h e f o l l o w i n g r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s , u s i n gt h e t a b l e s o f l o g a r i t h m s o f t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s :

( 1 ) c = 3 5 . 8 , A = 5 6 ° 2 4 ' ; ( 2 ) a = 3 0 6 m , B = 6 3 ° 3 2 ' ;( 3 ) c = 2 2 . 8 , b 1 4 . 6 ; ( 4 ) a = 2 8 4 m , b = 1 7 0 m .I n P r o b l e m s 1 2 4 t h r o u g h 1 2 6 s o l v e t h e i s o s c e l e s t r i a n -

g l e s , i n t r o d u c i n g t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n : a = c = l a t e r a l

s i d e s , b = b a s e , A = C = a n g l e s a t t h e b a s e , B = a n g l ea t t h e v e r L , h = a l t i t u d e , h l = a l t i t u d e d r a w n t o al a t e r a l s i d e , 2 p = p e r i m e t e r , S = a r e a .

1 2 4 . ( 1 ) a 5 9 0 , A - 5 6 ° 3 6 ' ;( 2 ) a = 2 7 6 m , B = 1 2 3 ° ;( 3 ) b = 2 5 . 6 , A = 4 9 ° 4 5 ' ;( 4 ) b = 5 4 7 . 8 , B = 4 0 ° 4 2 ' .

1 2 5 . ( 1 ) a = 8 7 . 5 , b = 1 3 9 . 6 ;( 2 ) b = 9 2 . 6 , h = 7 2 . 4 ;

( 3 ) a = 2 0 0 m , h = 1 7 4 m ;( 4 ) b = 8 2 0 , h l = 6 6 6 .

1 2 6 . ( 1 ) b = 1 2 0 . 7 , S = 1 9 7 0 ;

( 2 ) h = 9 8 . 4 m , S = 1 8 8 0 m 2 ;( 3 ) 2 p = 4 0 6 . 5 , - A = 7 2 ° 3 6 ' ;

( 4 ) S = 6 6 , a = 1 6 .1 2 7 . T h e l e n g t h o f a l i n e s e g m e n t i s e q u a l t o 5 2 . 0 c m

a n d i t s p r o j e c t i o n o n t h e a x i s t o 3 6 . 4 c m . F i n d t h e a n g l eb e t w e e n t h e l i n e s e g m e n t a n d t h e a x i s .

1 2 8 . T h e s u m m i t o f a m o u n t a i n i s c o n n e c t e d w i t h i t sf o o t b y a s u s p e n s i o n r o p e - w a y 4 8 5 0 m l o n g . D e t e r m i n et h e h e i g h t o f t h e m o u n t a i n i f t h e a v e r a g e s l o p e u p g r a d e

o f t h e w a y i s 2 7 ° .




1 2 9 . A p l a n e i s s e e n a t a n a n g l e o f 3 5 ° a t t h e m o m e n ti t i s f l y i n g a b o v e t h e o b s e r v e r a t a d i s t a n c e o f 5 k m f r o mh i m . A t w h a t a l t i t u d e i s i t f l y i n g ?

1 3 0 . F i g u r e 5 s h o w s t w o w e d g e s . T h e w e d g e B r e s t sa g a i n s t t h e w e d g e A a n d c a n m o v e i n t h e v e r t i c a l d i r e c -

t i o n . H o w m u c h w i l l t h e w e d g e B r i s e i f t h e w e d g e Ai s d r i v e n 0 . 7 5 m r i g h t w a r d s ( a = 2 5 ° ) .

F i g . 5

1 3 1 . T h e a n g l e o f s l o p e o f f i n e s a n d a ^ . s 3 1 ° . W h a ta r e a i s o c c u p i e d b y a h e a p o f s a n d 1 m h i g h ?

1 3 2 . T h e s e c t i o n o f a d i t c h h a s t h e f o r m o c e a n i s o s c e l e st r a p e z i u m w h o s e l o w e r b a s e i s e q u a l t o 8 0 c m , u p p e rb a s e t o 1 6 0 c m , a n d a l t i t u d e t o 9 0 c m . F i n d t h e s t e e p n e s so f t h e w a l l s o f t h e d i t c h .

1 3 3 . F i g u r e 6 s h o w s l a m p s i n s t a l l e d a l o n g m o v i n gs t a i r c a s e s i n t h e M o s c o w m e t r o . T h e s i d e v i e w o f t h es u p p o r t f o r t h e l a m p s h a s t h e f o r m o f ' a r i g h t - a n g l e dt r i a n g l e w h o s e v e r t i c a l s i d e i s 1 0 c m a n d h o r i z o n t a l ' s i d e

i s 1 7 . 3 c m l o n g . D e t e r m i n e t h e a n g l e o f e l e v a t i o n o f t h es t a i r c a s e .

F i g . 6

1 3 4 . A p e n d u l u m 7 0 c m l o n g i s s w i n g n g b e t w e e n t w o .

p o i n t s 4 0 c m a p a r t . D e t e r m i n e t h e a r e o f s w i n g i n g .



C H . I I . S O L V I N G T R I A N G L E S 0

1 3 5 . F i g u r e 7 p r e s e n t s a h e i g h t a s a n e l e m e n t o f a t o p o -g r a p h i c m a p . T h e c o n t o u r l i n e s a r e d r a w n t o c o n n e c tt h e p o i n t s l y i n g a t o n e a n d t h e s a m e a l t i t u d e , t h e h o r i -z o n t a l c u t t i n g p l a n e s b e i n g p a s s e d t h r o u g h e a c h 4 m .D e t e r m i n e t h e a v e r a g e s t e e p n e s s o f s l o p e s a t v a r i o u sp l a c e s o f t h e h e i g h t a n d i n v a r i o u s d i r e c t i o n s i f t h e m a pi s d r a w n t o t h e s c a l e 1 : 1 0 , 0 0 0 .

F i g . 7

1 3 6 . F r o m a n o b s e r v a t o n p o s t s i t u a t e d a t a n a l t i t u d eo f 5 . 5 m a b o v e t h e r i v e r l e v e l t h e b a n k s a r e s e e n a t a n g l e s

a l = 8 ° 2 0 ' a n d a 2 = 3 ° 4 0 ' ( F i g . 8 ) . D e t e r m i n e t h e w i d t ho f t h e r i v e r a t t h e p l a c e o f o b s e r v a t i o n . T h e a n g l e s o fo b s e r v a t i o n a r e c o n t a i n e d i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o

t h e d i r e c t i o n o f t h e r i v e r .U - - - - - - - - - - - - - - -

F i g . 8

1 3 7 . A l o n g r a i l w a y l i n e s t h e r e a r e p o s t s w i t h m a r k s

s h o w i n g t h e g r a d i e n t o f t h e p e r m a n e n t w a y , e . g .1 0 . 0 0 7 1

8 0 0

T h e f i g u r e s s i g n i f y t h a t t h e l i n e r i s e s o r f a l l s 0 . 0 0 7 m e t r ep e r m e t r e o v e r a l e n g t h o f 8 0 0 m e t r e s . C a l c u l a t e t h eg r a d i e n t o f t h e p e r m a n e n t w a y o n t h i s s e c t i o n i n d e g r e e s ,a n d t h e h e i g h t o f t h e a s c e n t i n m e t r e s .

1 3 8 . A f o r c e R = 4 2 . 0 N i s r e s o l v e d i n t o t w o m u t u a l l yp e r p e n d i c u l a r f o r c e s , o n e o f w h i c h i s a t a n a n g l e o f 6 1 ° 2 0 '

t o t h e g i v e n f o r c e R . D e t e r m i n e t h e v a l u e o f e a c h o f t h ec o m p o n e n t f o r c e s .

1 3 9 . A w e i g h t P = 5 0 N i s s u s p e n d e d f r o m a b r a c k e t( F i g . 9 ) . C a l c u l a t e t h e s t r a i n o n a r m a a n d t h e f o r c e c o m -p r e s s i n g b r a c k e t c , i f t h e a n g l e a = 4 3 ° .




F i g . 9

1 4 0 . 1 . A b a r r e l o f p e t r o l m u s t b e t i l t e d 1 1 ° 2 0 ' t o t h e

h o r i z o n t a l . W h a t f o r c e m u s t b e a p p l i e d t o t i l t i t i f t h ew e i g h t o f t h e p e t r o l i n t h e b a r r e l i s 1 3 0 0 N ? ( F r i c t i o nt o b e i g n o r e d . )

2 . A m o t o r c a r i s t r a v e l l i n g a t a s p e e d o f 7 2 k m / h r .T o t h e d r i v e r i t a p p e a r s t h a t t h e r a i n d r o p s a r e f a l l i n g

a t a n a n g l e o f 4 0 ° t o t h e p e r p e n d i c u l a r . A t w h a t s p e e di s t h e r a i n s t r i k i n g t h e g r o u n d ?

1 4 1 . T h e s p e e d o f a m o t o r b o a t i n s t i l l w a t e r i s8 . 5 k m / h r . T h e c u r r e n t o f t h e r i v e r i s 1 . 5 k m / h r . T h eb o a t m a n m u s t c a r r y a l o a d a c r o s s t h e r i v e r a n d l a n d i t

a t a p o i n t o n t h e o t h e r b a n k d i r e c t l y o p p o s i t e . A t w h a ta n g l e a t o t h e p o i n t o f l a n d i n g m u s t t h e b o a t b e s t e e r e d ?

A n d w h a t w i l l i t s s p e e d b e ?1 4 2 . T h e c o r n e r o f a r o o m i s r e p r e s e n t e d i n F i g . 1 0 .

I t i s t a k e n t h a t t h e p l a n e o f t h e f l o o r i s h o r i z o n t a l a n dt h e c o r n e r o f t h e r o o m v e r t i c a l . T w o p o i n t s A a n d Ba r e 0 . 5 m f r o m t h e c o r n e r ; t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e mi s 0 . 7 m . D e t e r m i n e t h e p r e c i s e a n g l e b e t w e e n t h e t w ow a l l s o f t h e r o o m .

F i g . 1 0




1 4 3 . H o w l o n g w i l l a t r a n s m i s s i o n b e l t n e e d t o b e ,w h e n t h e t w o p u l l e y s a r e r e s p e c t i v e l y 1 2 c m a n d 3 4 c mi n d i a m e t e r , a n d t h e i r c e n t r e s a r e o n e m e t r e a p a r t ?

1 4 4 . T w o p o i n t s A a n d B l i e o n d i f f e r e n t s i d e s o f am o t o r r o a d ( F i g . 1 1 ) . I n o r d e r t o g e t f r o m A t o B i t i sn e c e s s a r y t o d r i v e 3 . 5 k m a l o n g a s i d e r o a d t h a t j o i n st h e m a i n r o a d a t a n a n g l e o f 4 0 ° , t h e n d r i v e 2 . 5 k m a l o n gt h e m a i n r o a d a n d t u r n r i g h t o n t o a n o t h e r s i d e r o a d ,

w h i c h m a k e s a n a n g l e o f 7 0 ° w i t h t h e m a i n r o a d , a n dd r i v e a n o t h e r 4 k m . A l l s e c t i o n s o f t h e r o a d s t r a v e r s e d

a r e s t r a i g h t . H o w m u c h w i l l t h e d i s t a n c e b e t w e e n Aa n d B b e s h o r t e n e d w h e n a s t r a i g h t r o a d i s b u i l t b e t w e e nt h e m ?

1 4 5 . T h e d i a g o n a l s o f a r h o m b u s a r e e q u a l t o 2 . 3 d ma n d 3 . 6 d m . D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f t h e r h o m b u s a n di t s p e r i m e t e r .

1 4 6 . T h e b a s e o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i s t o i t s a l t i t u d ea s 3 : 4 . F i n d t h e a n g l e s o f t h e t r i a n g l e .

1 4 7 . T h e b a s e o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e a n d t h e a l t i t u d ed r o p p e d o n a l a t e r a l s i d e a r e e q u a l t o 1 8 c m a n d 1 3 c m ,r e s p e c t i v e l y . D e t e r m i n e t h e l a t e r a l s i d e o f t h e t r i a n g l e .

1 4 8 . D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f a c i r c l e a n d t h e l e n g t ho f t h e s a g i t t a o f t h e s e g m e n t i f a c h o r d 9 . 0 c m l o n g s u b -

t e n d s a n a r e o f 1 1 0 ° .1 4 9 . F i n d t h e c e n t r a l a n g l e s u b t e n d e d b y a c i r c u l a r

a r e o f r a d i u s 1 4 . 4 0 d m i f t h e c h o r d i s 2 2 . 1 4 d m l o n g .1 5 0 . F i n d t h e r a d i u s o f a c i r c l e i f t h e a n g l e b e t w e e n

t h e t a n g e n t l i n e s d r a w n f r o m a p o i n t M i s e q u a l t o 4 8 ` 1 6 '




a n d t h i s p o i n t i s 2 6 c m d i s t a n t f r o m t h e c e n t r e o f t h ec i r c l e .

1 5 1 . 1 . A r h o m b u s w i t h a n a c u t e a n g l e a i s c i r c u m -s c r i b e d a b o u t a c i r c l e o f r a d i u s r . F i n d t h e a r e a o f t h er h o m b u s .

2 . A n i s o s c e l e s t r a p e z i u m w i t h a n a c u t e a n g l e a i sc i r c u m s c r i b e d a b o u t a c i r c l e o f r a d i u s r . F i n d t h e a r e a

o f t h e t r a p e z i u m .1 5 2 . 1 . C o m p u t e t h e p e r i m e t e r o f a r e g u l a r n o n a g o n

i n s c r i b e d i n a c i r c l e o f r a d i u s R = 1 0 . 5 c m .2 . D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f a c i r c l e i f t h e p e r i m e t e r o f

a n i n s c r i b e d r e g u l a r d o d e c a g o n i s e q u a l t o 7 0 c m .1 5 3 . 1 . C o m p u t e t h e p e r i m e t e r o f a r e g u l a r f o u r t e e n -

s i d e d p o l y g o n c i r c u m s c r i b e d a b o u t a c i r c l e o f r a d i u sR = 9 0 . 3 c m .

2 . D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f a c i r c l e i f t h e p e r i m e t e r o fa c i r c u m s c r i b e d r e g u l a r e i g h t e e n - s i d e d p o l y g o n i s e q u a l

t o 8 2 . 4 c m .1 5 4 . T h e d i a g o n a l d o f a r i g h t - a n g l e d t r a p e z i u m i sp e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e r a l s i d e w h i c h o r m s a n a n g l e a

w i t h t h e b a s e o f t h e t r a p e z i u m . C o m p u t e t h e p e r i m e t e ri f d = 1 5 c m a n d a = 4 3 ° . .

1 5 5 . I n a n i s o s c e l e s t r i a n g l e t h e a l t i t u d e i s e q u a l t o3 0 c m , a n d t h e a l t i t u d e d r o p p e d o n a l a t e r a l s i d e t o 2 0 c m .

D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f t h e t r i a n g l e .1 5 6 . I n a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e t h e b i s e c t o r o f t h er i g h t a n g l e d i v i d e s t h e h y p o t e n u s e i n t h e r a t i o o f 2 t o 3 .

D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f t h e t r i a n g l e .

1 5 7 . I n a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w i t h t h e b a s e o f 3 0 c ma n d t h e a n g l e a t t h e b a s e o f 6 3 ° a s q u a r e i s i n s c r i b e d s ot h a t t w o o f i t s v e r t i c e s a r e f o u n d o n t h e b a s e , a n d t h e

o t h e r t w o o n t h e l a t e r a l s i d e s o f t h e t r i a n g l e . D e t e r m i n et h e a r e a o f t h e s q u a r e .1 5 8 . G i v e n i n a n i s o s c e l e s t r i a n g l e A B C : A B = B C = a

a n d A C = b . T h e b i s e c t o r s o f t h e a n g l e s A a n d C i n t e r -s e c t a t t h e p o i n t D . D e t e r m i n e t h e a n g l e A D C .

1 5 9 . I n a s q u a r e w i t h t h e s i d e a a n o t h e r s q u a r e i si n s c r i b e d s o t h a t t h e a n g l e b e t w e e n t h e s i d e s o f t h e s e




s q u a r e s i s e q u a l t o a . D e t e r m i n e t h e p e r i m e t e r a n d a r e ao f t h e i n s c r i b e d s q u a r e .

1 6 0 . D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l ei f t h e a r e o f r a d i u s e q u a l t o t h e s m a l l e r o f t h e s i d e s c o n -t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e d r a w n f r o m t h e v e r t e x o f t h el a t t e r d i v i d e s t h e h y p o t e n u s e i n t h e r a t i o o f 8 t o 5 .

1 6 1 . S t r a i g h t l i n e s M A a n d M B a r e d r a w n t a n g e n t t oa c i r c l e . T h e a r e A B i s e q u a l t o a ( a < 1 8 0 ° ) . T h e p e r i -m e t e r o f t h e t r i a n g l e A M B i s e q u a l t o 2 p . D e t e r m i n et h e d i s t a n c e A B b e t w e e n t h e p o i n t s o f t a n g e n c y .

1 6 2 . F r o m t h e e n d - p o i n t s o f t h e a r e A C B t a n g e n tl i n e s a r e d r a w n w h i c h i n t e r s e c t a t p o i n t M . D e t e r m i n e

t h e p e r i m e t e r o f t h e f i g u r e M A C B i f t h e r a d i u s o f t h ea r e i s e q u a l t o R a n d i t s m a g n i t u d e . t o a r a d i a n s .

6 . S o l v i n g O b l i q u e T r i a n g l e s

L a w o f C o s i n e s

1 6 3 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 2 7 c m a n d3 4 c m , a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e m t o 3 7 ° 1 7 ' . C o m p u t et h e t h i r d s i d e .

1 6 4 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 1 5 c m , 1 8 c ma n d 2 2 c m . C o m p u t e t h e m e d i u m a n g l e o f t h e t r i a n g l e .

1 6 5 . G i v e n a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e A B C . T h e p o i n t Dd i v i d e s t h e s i d e B C i n t o t h e s e g m e n t s B D = 4 c m , a n dC D = 2 c m . D e t e r m i n e t h e s e g m e n t A D .

1 6 6 . T h e s i d e s o f a p a r a l l e l o g r a m a r e e q u a l t o 4 2 . 3 d ma n d 6 7 . 8 d m , a n d i t s a n g l e t o 5 6 ° . F i n d t h e d i a g o n a l so f t h e p a r a l l e l o g r a m .

1 6 7 . T h e s i d e s o f a p a r a l l e l o g r a m a r e e q u a l t o 3 2 . 5 c m

a n d 3 8 . 3 c m , a n d o n e o f i t s d i a g o n a l s t o 2 7 . 4 c m . C o m p u t et h e a n g l e s o f t h e p a r a l l e l o g r a m .

1 6 8 . I n a t r a p e z i u m t h e l a t e r a l s i d e s a r e e q u a l t o 7 2 c ma n d 9 3 c m , a n d o n e o f i t s b a s e s t o 1 1 5 c m . T h e a n g l e s a t

t h e g i v e n b a s e a r e e q u a l t o 6 8 ° a n d 4 2 ° . C o m p u t e t h ed i a g o n a l s o f t h e t r a p e z i u m .

1 6 9 . T h e c h o r d s A B a n d C D i n t e r s e c t a t p o i n t M a t

a n a n g l e o f 8 3 ° . F i n d t h e p e r i m e t e r o f t h e q u a d r a n g l e




A D B C i f A B = 2 4 c m , a n d t h e c h o r d C D i s d i v i d e d b yt h e p o i n t M i n t o t h e s e g m e n t s e q u a l t o 8 c m a n d 1 2 c m .

1 7 0 . I n a t r i a n g l e A B C t h e s i d e s A B a n d B C a r e e q u a lt o 1 5 c m a n d 2 2 c m , r e s p e c t i v e l y , a n d t h e a n g l e b e t w e e nt h e m t o 7 3 ° 2 8 ' . F i n d t h e s e g m e n t s o f t h e s i d e A C o f t h et r i a n g l e i n t o w h i c h i t i s d i v i d e d b y - t h e b i s e c t o r o f t h ea n g l e B .

1 7 1 . P r o v e t h a t f o r a n y t r i a n g l e t h e f o l l o w i n g i n e q u a -l i t i e s h o l d t r u e

( 1 ) a > 2 j / b e s i nA

; ( 2 ) b > 2 j l a c s i n 2( 3 ) c > 2 V a b s i n 2 .

1 7 2 . T o d e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s Aa n d B , w h e r e a b e n d o f t h e r i v e r i s s i t u a t e d ( F i g . 1 2 ) ,a p o i n t C i s c h o s e n s o t h a t t h e d i s t a n c e s A C a n d B Cc a n b e m e a s u r e d d i r e c t l y . F i n d A B i f A C = 8 2 0 i n ,

B C = 6 5 0 i n , a n d t h e a n g l e A C B = 1 3 0 ° .

C F i g . 1 2

1 7 3 . A t 7 o ' c l o c k i n t h e m o r n i n g a p a s s e n g e r p l a n et o o k o f f f r o m t h e t o w n A a n d a f t e r 3 0 m i n u t e s ' s t a y i nt h e t o w n B a t 8 . 1 0 i t t u r n e d , b y 3 5 ° t o t h e r i g h t a n d a t9 . 0 0 l a n d e d i n t h e t o w n C . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t -

w e e n t h e t o w n s A a n d C i f t h e a v e r a g e s p e e d o f t h e p l a n e

o v e r e a c h s e c t i o n o f t h e f l i g h t w a s e q u a l t o 3 2 0 k m / h r .1 7 4 . A p p l i e d a t t h e p o i n t M i s t h e f o r c e P , : 1 8 . 3 N .O n e o f i t s c o m p o n e n t s P i x 1 2 . 8 N a n d t h e a n g l e b e t -w e e n t h e g i v e n f o r c e a n d i t s c o m p o n e n t P 1 a = 3 7 ° .C o m p u t e t h e o t h e r c o m p o n e n t .

1 7 5 . A m a t e r i a l p o i n t i s a c t e d u p o n b y t h e f o r c e s o f4 3 N a n d 5 5 N . D e t e r m i n e t h e a n g l e s b e t w e e n e a c h o f

t h e s e f o r c e s a n d a n e q u i l i b r i u m f o r c e o f 7 0 N .



C I i . I I . S O L V I N G T R I A N G L E S 3 1

1 7 6 . R e s o l v e t h e f o r c e P ! 2 4 0 N i n t o t w o f o r c e sP 2 - 1 8 5 N a n d P 3 , ^ . s 1 6 5 N . A t w h a t a n g l e t o e a c ho t h e r m u s t t h e f o r c e s P . a n d P . a c t ?

L a w o f S i n e s

M . 1 . T h e p e r i m e t e r o f t h e t r i a n g l e A B C i s e q u a l t o2 4 m , s i n A : s i n B : s i n C = 3 : 4 : 5 . F i n d t h e s i d e s

a n d a n g l e s o f t h e t r i a n g l e .

2 . G i v e n i n t h e t r i a n g l e A B C : a - c = 2 2 d m , s i n As i n B : s i n C = 6 3 : 2 5 : 5 2 . F i n d t h e s i d e s a n d a n g l e so f t h i s t r i a n g l e .

1 7 8 . T h e d i a g o n a l o f a p a r a l l e l o g r a m d i v i d e s i t s a n g l ei n t o t w o p o r t i o n s : 6 0 ° a n d 4 5 ° . F i n d t h e r a t i o o f t h e

s i d e s o f t h e p a r a l l e l o g r a m .1 7 9 . T h e h y p o t e n u s e o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e i s

e q u a l t o 1 5 c m , a n d o n e o f t h e a c u t e a n g l e s t o 3 7 ° . C o m p u t et h e b i s e c t o r o f t h e r i g h t a n g l e .1 8 0 . G i v e n i n t h e t r i a n g l e A B C : t h e a n g l e A = 6 3 ° 1 8 ' ,

A C = 1 6 c m , B C = 1 9 c m . F i n d t h e a n g l e f o r m e d b yt h e b i s e c t o r s o f t h e a n g l e s A a n d B .

1 8 1 . T h e d i a g o n a l o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m i s 7 5 c ml o n g a n d d i v i d e s t h e o b t u s e a n g l e i n t o t w o u n e q u a l p a r t s :

8 0 ° a n d 3 6 ° . D e t e r m i n e t h e s i d e s o f t h e t r a p e z i u m .1 8 2 . F r o m t h e e n d - p o i n t s o f a c h o r d 1 8 c m l o n g a t a n -

g e n t a n d a s e c a n t a r e d r a w n t o f o r m a t r i a n g l e t o g e t h e rw i t h t h e c h o r d . D e t e r m i n e t h e e x t e r n a l p o r t i o n o f t h es e c a n t i f t h e a n g l e s o f t h e t r i a n g l e a d j a c e n t t o t h e c h o r d

a r e e q u a l t o 1 3 6 ° a n d 2 7 ° .1 8 3 . T o f i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s A a n d B

s i t u a t e d a c r o s s t h e r i v e r a n a r b i t r a r y p o i n t C i s t a k e n .T h e n a l l n e c e s s a r y m e a s u r e m e n t s w e r e c a r r i e d o u t a n dt h e f o l l o w i n g r e s u l t s o b t a i n e d : A C = 1 4 0 m , t h e a n g l e s

B A C - 6 7 ° , B C A = 7 3 ° . U s i n g t h e s e d a t a , f i n d t h ed i s t a n c e A B .

1 8 4 . T o d e t e r m i n e t h e h e i g h t o f a w a s t e h e a p o f a m i n e( F i g . 1 3 ) t h e b a s i s A B = 1 0 0 m i s c h o s e n . T h e a n g l e s

a l = 2 5 ° a n d a 2 = 1 7 ° w e r e d e t e r m i n e d w i t h t h e a i d o f




a g o n i o m e t e r w h o s e h e i g h t i s 1 . 4 m . F i n d t h e h e i g h to f t h e w a s t e h e a p , u s i n g t h e r e s u l t s o f t h e m e a s u r e m e n t s .

F i g . 1 3

1 8 5 . I t i s r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e h e i g h t o f a t r e eg r o w i n g o n t h e s l o p e o f a h i l l . F o r t h i s p u r p o s e t h e a n g l e s

a a n d I , a n d t h e d i s t a n c e A B w e r e m e a s u r e d : a = 2 7 ° ,P = 1 2 ° , A B = 4 0 m . C o m p u t e t h e h e i g h t o f t h e t r e e ,

u s i n g t h e r e s u l t s o f t h e m e a s u r e m e n t s ( F i g . 1 4 ) .

F i g . 1 4

1 8 6 . A f o r c e P i s r e s o l v e d i n t o t w o c o m p o n e n t s o n e .o f w h i c h i s P 1 = 3 5 . 6 N . T h e c o m p o n e n t s f o r m a n g l e so f 2 7 ° 3 0 ' a n d 3 9 ° 4 5 ' w i t h t h e f o r c e P . F i n d t h i s f o r c e .

A r e a s o f T r i a n g l e s , P a r a l l e l o g r a m s a n d Q u a d r i l a t e r a l s

1 8 7 . C o m p u t e t h e a r e a o f a t r i a n g l e g i v e n t w o s i d e sa n d a n a n g l e b e t w e e n t h e m .

( 1 ) a = 4 2 m , - b = 2 8 m , C = 8 2 ° 3 6 ' ;( 2 ) a = 2 8 . 3 d m , . c = 7 3 . 4 d m , B = 1 1 2 ° 4 4 ' ;

( 3 ) b = 2 5 4 m , c = 3 8 8 m , A = 3 9 ° 2 1 ' .



C S , I I . S O L V I N G T R I A N G L E S 3 3

1 8 8 . T h e a r e a o f a t r i a n g l e i s e q u a l t o 4 8 c m 2 , t w o o fi t s s i d e s t o 1 2 c m a n d 9 c m , r e s p e c t i v e l y . D e t e r m i n e t h ea n g l e f o r m e d b y t h e s e s i d e s .

1 8 9 . C o m p u t e t h e a r e a o f a p a r a l l e l o g r a m g i v e n t w o o fi t s s i d e s a n d t h e a n g l e c o n t a i n e d b y t h e m :

( 1 ) A B = 1 8 d m , A D = 4 9 d m , A = 7 8 ° 4 4 ' ;( 2 ) A B = 2 . 3 m , A D 1 1 . 5 m , A = 9 3 ° 1 8 ' ;( 3 ) A B = 2 3 4 m , B C = 4 8 i n , A = 2 1 ° 4 6 ' .1 9 0 . T h e a r e a o f a p a r a l l e l o g r a m i s e q u a l t o 1 4 d m 2 ,

i t s s i d e s t o 3 . 8 d m a n d 4 . 6 d m . D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f

t h e p a r a l l e l o g r a m .1 9 1 . C o m p u t e t h e a r e a o f a r h o m b u s g i v e n i t s s i d e

a n d a n g l e :( 1 ) a = 4 3 . 6 m , a = 7 4 ° 2 8 ' ; ( 2 ) a = 1 8 c m , a = 1 2 0 ° 8 ' .

1 9 2 . C o m p u t e t h e a r e a o f a q u a d r i l a t e r a l g i v e n i t sd i a g o n a l s a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e m :

( 1 ) d , = 2 4 c m , d 2 = 3 6 c m , a = 4 8 ° 3 4 ' ;

( 2 ) d , = 0 . 3 5 , d 2 = 0 . 4 8 , a = 7 4 ° 4 7 ' .1 9 3 . C o m p u t e t h e a r e a o f a r e c t a n g l e g i v e n i t s d i a g o n a l s

a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l s :( 1 ) d = 9 . 3 d m , a = 4 8 ° ;( 2 ) d = 3 8 c m , a = 8 5 ° 1 5 ' .1 9 4 . C o m p u t e t h e a r e a o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m g i v e n

i t s d i a g o n a l s a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l s :

( 1 ) d = 4 7 c m , a = 5 4 ° 3 0 ' ;( 2 ) d = 0 . 6 c m , a = 7 8 ° 2 0 ' .1 9 5 . A r e c t a n g l e A B C D i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e o f

r a d i u s R . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h i s r e c t a n g l e i f t h ea r e A B i s e q u a l t o a .

1 9 6 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a t r i a n g l e g i v e n t h e r a d i u so f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e a n d t w o a n g l e s a a n d

1 9 7 . S h o w t h a t i n a n y t r i a n g l e

a b = 2 R h ° f a c = 2 R h b ; b e = 2 1 ? h a .

1 9 8 . P r o v e t h a t i f i n a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m t h e d i a g o -n a l s a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r , t h e n t h e t r a p e z i u m i se q u a l t o t h e i s o s c e l e s t r i a n g l e c o n s t r u c t e d o n t h e d i a g o n a lo f t h e t r a p e z i u m a s o n a s i d e c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e .




B a s i c C a s e s o f S o l v i n g O b l i q u e T r i a n g l e s

1 9 9 . G i v e n t h r e e s i d e s :

( 1 ) a = 4 4 ; b = 5 8 ; . c = 6 2 ;( 2 ) a = 2 9 ; b = 4 4 ; c = 5 9 ;( 3 ) a = 2 7 2 . 4 ; b = 1 0 3 5 ; c = 4 3 0 5 .

2 0 0 . G i v e n t w o s i d e s a n d t h e i n c l u d e d a n g l e :( 1 ) a = 4 2 0 ; b = 3 7 1 ; C = 6 7 ° 1 9 ' ;( 2 ) a = 2 2 . 9 m ; c = 1 6 . 9 m ; B = 3 9 ° 5 2 ' ;( 3 ) b = 3 8 ; c = 5 2 ; A = 1 2 2 ° 3 4 ' .2 0 1 . G i v e n a s i d e a n d t w o a n g l e s :( 1 ) a = 7 3 0 ; B = 8 6 ° 3 ' ; C = 5 0 ° 5 6 ' ;( 2 ) b = 1 3 . 2 ; A = 2 1 ° 4 8 ' ; B = 1 2 3 ° 4 2 ' ;( 3 ) c = 9 7 . 5 m ; A = 8 7 ° 5 5 ; C = 1 2 ° 5 3 ' .

G i v e n t w o s i d e s a n d t h e a n g l e o p p o s i t e o n e o f t h e m :2 0 2 . ( 1 ) a = 2 8 . 9 ; b = 2 2 . 4 ; A = 8 1 ° 2 2 ' ;

( 2 ) b = 3 5 4 ; c = 5 2 0 ; B = 4 3 ° 5 5 ' ;( 3 ) a = 4 0 2 m ; c = 2 5 8 m ; C = 3 8 ° 1 6 ' .

2 0 3 . ( 1 ) a = 0 . 3 8 ; b = 0 . 5 9 ; B = 6 4 ° 1 1 ' ;( 2 ) b = 4 5 . 5 ; c = 2 5 . 0 ; C = 3 3 ° 1 9 ' ;( 3 ) a = 1 0 5 4 . m ; c = 1 3 5 0 m ; A = 4 8 ° 4 6 ' .

P a r t i c u l a r C a s e s o f S o l v i n g O b l i q u e T r i a n g l e s

N o t a t i o n : a , b , c = t h e s i d e s o f a t r i a n g l e ; A , B , C == a n g l e s o p p o s i t e t h e m ; S = a r e a ; 2 p = p e r i m e t e r ;

R = r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e ; r = r a d i u s o ft h e i n s c r i b e d c i r c l e ; h a , h b , h ° = a l t i t u d e s ; l a , 1 b , 1 ° _= b i s e c t o r s .

2 0 4 ( 1 ) R = 8 . 9 ; A = 8 3 ° 1 7 ' ; B = 5 8 ° 1 6 ' ;( 2 ) S = 6 0 9 . 1 ; A = 4 5 ° 2 8 ' ; B = 5 4 ° 2 3 ' ;( 3 ) h a = 5 3 . 7 ; B = 1 0 5 ° 2 0 ' ; C = 1 5 ° 3 3 .

2 0 5 . ( 1 ) l a = 7 5 . 8 ; B = 9 8 ° 3 0 ' ; C = 1 4 ° 2 0 ' ;

( 2 ) a + b = 4 8 8 . 8 ; A = 7 0 ° 2 4 ' ; B = 5 0 ° 1 6 ' ;( 3 ) a - b = 3 4 ; . A = 1 0 8 ° ; B = 2 8 ° .2 0 6 . ( 1 ) r = 5 . 4 ; A = 2 2 ° ; B = 4 9 ° ;

( 2 ) S = 1 4 6 0 m $ ; a = 3 2 . 5 m ; B = 1 1 4 ° 5 0 ' ;( 3 ) a = 7 2 ; b = 5 2 ; A = 2 B .

2 0 7 . ( 1 ) S = 2 5 ; a b = 5 8 ; s i n A = c o s B ;( 2 ) a = 1 2 0 . 0 m ; b = 2 9 . 6 m ; h ° = 2 3 . 8 m ;

( 3 ) h a = 8 ; h b = 1 2 ; h ° = 1 8 .




H e r o n ' s F o r m u l a

2 0 8 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a t r i a n g l e g i v e n i t s s i d e s :

( 1 ) 1 3 , 1 4 , 1 5 ; ( 2 ) 1 2 , 1 7 , 2 5 ; ( 3 ) 1 4 . 5 , 1 2 . 5 , 3 ;

( 4 ) 1 0 , 1 7 3 , 2 4 3 ; ( 5 ) 1 / 1 3 , 1 / 1 0 , 1 / 1

2 0 9 . D e t e r m i n e t h e s i d e s o f a t r i a n g l e i f :( 1 ) t h e y a r e a s 7 : 8 : 9 , a n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e

i s e q u a l t o 4 8 1 / 5 c m 2 ;

( 2 ) t h e y a r e a s 1 7 : 1 0 : 9 , a n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l ei s e q u a l t o 5 7 6 c m 2 .2 1 0 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a q u a d r i l a t e r a l g i v e n a d i a -

g o n a l e q u a l t o 3 4 c m a n d t w o s i d e s 2 0 c m a n d 4 2 c ml o n g l y i n g o n o n e s i d e o f t h e d i a g o n a l , t h e o t h e r t w o

1 6 c m a n d 3 0 c m l o n g o n i t s o t h e r s i d e .2 1 1 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a p a r a l l e l o g r a m w h o s e s i d e s

a r e e q u a l t o 1 5 c m a n d 1 1 2 c m , a n d o n e o f t h e d i a g o n a l st o 1 1 3 c m .2 1 2 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a p a r a l l e l o g r a m i f o n e o f

i t s s i d e s i s e q u a l t o 1 0 2 c m , a n d t h e d i a g o n a l s t o 8 0 c ma n d 1 4 8 c m .

2 1 3 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a t r a p e z i u m w h o s e b a s e sa r e e q u a l t o 1 2 d m a n d 4 d m , a n d t h e l a t e r a l s i d e s t o 2 . 6 d m

a n d 7 . 4 d m .2 1 4 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a t r a p e z i u m w h o s e b a s e s a r ee q u a l t o 5 0 c m a n d 1 8 c m , a n d t h e d i a g o n a l s t o 4 0 c ma n d 3 6 c m .

2 1 5 . T h e r a d i i o f t w o i n t e r s e c t i n g c i r c l e s a r e e q u a l t o6 8 c m a n d 1 5 6 c m , a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i r c e n t r e st o 1 7 6 c m . D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e c o m m o n c h o r d .

2 1 6 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 1 0 c m , 1 2 c ma n d 1 8 c m . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e c i r c l e w h o s e d i a m e -t e r i s e q u a l . t o t h e m e d i u m a l t i t u d e o f t h e t r i a n g l e .

2 1 7 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 2 6 c m , 2 8 c ma n d 3 0 c m . A s e m i - c i r c l e i s i n s c r i b e d i n t h e t r i a n g l e s ot h a t i t s d i a m e t e r l i e s o n t h e g r e a t e r s i d e o f t h e t r i a n g l e .C o m p u t e t h e a r e a b o u n d e d b y t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l ea n d t h e s e m i - c i r c l e .

2 '




R a d i i r a n d R o f I n s c r i b e d a n d C i r c u m s c r i b e d C i r c l e sa n d t h e A r e a S o f a T r i a n g l e

2 1 8 . C o m p u t e t h e a r e a o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e i f :( 1 ) t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e i s e q u a l t o R ;( 2 ) t h e r a d i u s o f t h e i n s c r i b e d c i r c l e i s e q u a l t o r .2 1 9 . D e t e r m i n e R a n d r f o r a t r i a n g l e w h o s e s i d e s a r e :( 1 ) 3 , 4 , 5 ; ( 2 ) 2 9 , 8 , 3 5 ; ( 3 ) 1 3 , 1 4 , 1 5 .2 2 0 . T h e s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 9 c m , 1 5 c m

a n d 1 2 c m . C a n w e c o n s t r u c t a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w h o s es i d e s w o u l d b e e q u a l t o t h e r a d i i o f t h e c i r c l e s . i n s c r i b e d

i n a n d c i r c u m s c r i b e d a b o u t t h e g i v e n t r i a n g l e ?2 2 1 . S h o w t h a t i n a n y t r i a n g l e a b c = 4 p R r .2 2 2 . P r o v e t h a t i f t h e l e n g t h s o f t h e s i d e s a , b , c o f

a t r i a n g l e f o r m a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n , t h e n t h e p r o d u c t

R r i s e q u a l t o 6 t h e p r o d u c t o f t h e e x t r e m e t e r m s o ft h i s p r o g r e s s i o n .

2 2 3 . P r o v e t h a t i n a n y t r i a n g l e9 1 I I

( 1 ) h a + h b - I h e = r ; ( 2 ) h a + h b - f - h e =

_ a b - } - 2 a c + b e = ( c o s e c A - f - c o s e c B - f - c o s e c C ) .

2 2 4 . D e t e r m i n e t h e r a d i i o f t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m -

s c r i b e d c i r c l e s i f t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e a r e a s 9 : 1 0 : 1 7 ,i t s a r e a b e i n g e q u a l t o 1 4 4 c m 2 .2 2 5 . . T h e b a s e o f a t r i a n g l e i s e q u a l t o m , o n e o f t h e

l a t e r a l s i d e s i s t o t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l ea s 2 : 3 . D e t e r m i n e t h e a l t i t u d e d r o p p e d o n t o t h e t h i r ds i d e o f t h e . t r i a n g l e .

2 2 6 . F i n d t h e a r e a o f a c i r c l e i n s c r i b e d i n a r i g h t - a n g l e d

t r i a n g l e o n e o f w h o s e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l ei s e q u a l t o 6 0 c m , a n d i t s p r o j e c t i o n o n t h e h y p o t e n u s et o 3 6 c m .

2 2 7 . . O n e s i d e o f a t r i a n g l e i s e q u a l t o 2 5 c m . T h e r a t i oo f i t s a r e a t o t h e r a d i u s o f t h e i n c i r c l e i s e q u a l t o 3 5 c m ,a n d t h e p r o d u c t o f t h e a r e a b y t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m -s c r i b e d c i r c l e t o 2 9 7 5 c m 3 . F i n d t h e t w o o t h e r s i d e s o ft h e t r i a n g l e .




2 2 8 . T h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t w o m u t u a l l y p e r p e n -d i c u l a r c h o r d s d i v i d e s o n e o f t h e m i n t o t h e s e g m e n t s o f5 c m a n d 9 c m a n d c u t s o f f a s e g m e n t 1 2 c m l o n g f r o m

t h e o t h e r o n e . F i n d t h e a r e a o f t h e c i r c l e .2 2 9 . T h e b a s e o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i s t o t h e l a t e r a l

s i d e a s 6 : 5 . T h e a l t i t u d e d r a w n t o t h e b a s e i s e q u a lt o 8 c m . D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f t h e i n c i r c l e a n d t h a to f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e .

2 3 0 . I n a c i r c l e o f r a d i u s R = 2 d m a t r i a n g l e i s i n -s c r i b e d t w o a n g l e s o f w h i c h a r e e q u a l t o 6 0 ° a n d 4 5 ° .

F i n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e .2 3 1 . A n a c u t e t r i a n g l e t w o s i d e s o f w h i c h a r e e q u a l

t o 5 8 c m a n d 5 0 c m i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e o f r a d i u s3 6 . 2 5 c m . F i n d t h e t h i r d s i d e a n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e .

2 3 2 . C o n s t r u c t a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e g i v e n t h e h y p o -t e n u s e a n d t h e r a d i u s o f t h e i n c i r c l e .

2 3 3 . C o m p u t e t h e a r e a o f a r e g u l a r o c t a g o n a n d a r e -g u l a r d e c a g o n i f : ( 1 ) R = 1 0 c m , ( 2 ) r = 1 0 c m .

2 3 4 . F i n d t h e r a d i i o f t h e i n c i r c l e a n d t h e c i r c u m s c r i b e dc i r c l e i f t h e a r e a o f a r e g u l a r i c o s a g o n i s e q u a l t o 2 7 3 . 3 c m 2 .

2 3 5 . F i n d t h e a r e a o f a r e g u l a r d o d e c a g o n i n s c r i b e di n a c i r c l e a b o u t w h i c h a r e g u l a r h e x a g o n i s c i r c u m s c r i b e d

w i t h t h e s i d e o f 8 c m .

2 3 6 . A r e g u l a r t r i a n g l e a n d a r e g u l a r h e x a g o n a r ei n s c r i b e d i n o n e a n d t h e s a m e c i r c l e o f r a d i u s R = 2 0 c ms o t h a t t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e c o i n c i d e w i t h t h o s eo f t h e h e x a g o n . C o m p u t e t h e a r e a b o u n d e d b y t h e p e r i -m e t e r s o f t h e t r i a n g l e a n d h e x a g o n .

2 3 7 . T h e a r e a o f a r e g u l a r d e c a g o n i s e q u a l t o 1 2 4 . 5 c m 2 .C o m p u t e t h e a r e a o f t h e a n n u l u s b o u n d e d b y t h e c i r c l e si n s c r i b e d i n a n d c i r c u m s c r i b e d a b o u t t h i s d e c a g o n .

2 3 8 . G i v e n t h e p e r i m e t e r P o f a r e g u l a r n - g o n d e t e r m i n ei t s a r e a .

M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s

2 3 9 . I n o r d e r t o b u i l d a r a i l w a y a t u n n e l h a d t o b ec o n s t r u c t e d b e t w e e n p o i n t s A a n d B . T o d e t e r m i n e t h e

l e n g t h a n d d i r e c t i o n o f t h e t u n n e l i n a g i v e n l o c a l i t y ,




a p o i n t C w a s c h o s e n , f r o m w h e r e t h e p o i n t s A a n d Bc o u l d b e s e e n , a n d t h e f o l l o w i n g d i s t a n c e s w e r e d e f i n e d :

A C = 3 7 0 m , B C = 4 4 2 m a n d Z A C B = 1 0 8 ° 4 0 ' . F i n do u t t h e d i r e c t i o n a n d t h e l e n g t h o f t h e t u n n e l .

2 4 0 . I n a s h a f t , w h e r e . a h o r i z o n t a l o c c u r r e n c e o f as e a m l i e s , f r o m t h e s a m e w a l l o c c u r s t w o d r i f t s A D a n dB C w i t h c o r r e s p o n d i n g l e n g t h s o f 3 2 0 m a n d 3 8 0 m .

T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n t r a n c e s o f t h e d r i f t s i s 1 2 m .I t i s n e c e s s a r y f o r t h e e n d s o f t h e d r i f t s t o b e j o i n e d w i t h

a t h i r d d r i f t . C a l c u l a t e t h e d i r e c t i o n a n d l e n g t h o f t h et h i r d d r i f t , i f t h e m e a s u r e m e n t s o f t h e a n g l e s a r e a s f o l -l o w s : a = 1 0 5 ° , P = 1 1 5 ° ( F i g . 1 5 ) .

P i g . 1 5

2 4 1 . R a d i o d i r e c t i o n - f i n d e r s , s i t u a t e d a t p o i n t s Aa n d B 4 8 k m a p a r t , p l o t t e d t h e d i r e c t i o n s a i a n d P if o r t h e e n e m y s h i p C 1 . I n 1 h o u r 1 0 m i n u t e s t h e o b s e r v a -

t i o n s w e r e r e p e a t e d t o d e t e r m i n e t h e d i r e c t i o n o f t h ea n g l e s a 2 a n d

N 2 . D e t e r m i n e t h e d i r e c t i o n o f m o v e m e n ta n d s p e e d o f t h e s h i p , i f t h e f o l l o w i n g r e s u l t s w e r e a s c e r -t a i n e d : a l = 7 8 ° 3 0 ' , P t = 5 4 ° 1 8 ' , a 2 = 5 3 ° 4 0 '

= 9 8 ° 3 6 ' ( F i g . 1 6 ) . 2

F i g . 1 6

2 4 2 . I n o r d e r t o d r a w a l i n e t h r o u g h a g i v e n p o i n t A ,p a r a l l e l t o a n i n a c c e s s i b l e l i n e o n w h i c h t w o p o i n t s Ca n d D c a n b e s e e n , a p o i n t B w a s c h o s e n a n d t h e f o l l o w i n g

m e a s u r e m e n t s w e r e n o t e d : A B= 1 0 0 m , . C A D = 2 5 ° ,




/ C A B = 1 1 0 ° , / A B C = 3 0 ° , L A B D = 8 0 ° . U s i n g t h er e s u l t s o f t h e m e a s u r e m e n t s , g i v e t h e d i r e c t i o n A x p a r a l -l e l t o C D ( F i g . 1 7 ) .

F i g . 1 7

2 4 3 . U s i n g t h e m e a s u r e m e n t s o f t h e p r e v i o u s p r o b l e m ,f r o m t h e p o i n t A d r a w a p e r p e n d i c u l a r l i n e t o a n i n a c c e s -

s i b l e l i n e o n w h i c h p o i n t s C a n d D c a n b e s e e n .2 4 4 . T o d r a w a s t r a i g h t l i n e t h r o u g h a p o i n t M a n d

e x t e n d i t t o a p o i n t C , w h i c h i n t e r s e c t s t h e l i n e sA A , a n d B B I , w h e n t h e p o i n t C c a n n o t b e s e e n f r o m t h ep o i n t M , d r a w a n a r b i t r a r y l i n e A B t h r o u g h t h e p o i n t Ma n d m e a s u r e t h e a n g l e s A A 1 B a n d B 1 B A . F i n d t h e d i r e c -t i o n o f t h e l i n e M C , u s i n g t h e f o l l o w i n g d a t a : A B = 8 0 m ,L C A B = 8 0 0 , L A B C = 6 3 ° , A M = 5 0 m , M B = 3 0 m( F i g . 1 8 ) .

F i g . 1 8

2 4 5 . T w o f o r c e s F 1 z 5 0 N a n d F 2 z 1 0 0 N a r e a c t i n go n a p o i n t a t a n a n g l e o f 1 2 0 ° . C o m p u t e t h e r e s u l t a n tf o r c e a n d t h e a n g l e s w h i c h i t m a k e s w i t h t h e f o r c e s F 1a n d F 2 .

2 4 6 . 1 . T h e f o r c e R = 8 0 N m u s t b e r e s o l v e d i n t o t w o

f o r c e s F 1 a n d F 2 . . I t i s k n o w n t h a t F l = 6 0 N a n d f o r m s




2 5 7 . T h r o u g h t h e e n d - p o i n t s o f a c h o r d w h i c h d i v i d e st h e c i r c l e o f r a d i u s R = 1 8 c m i n t h e r a t i o o f 7 t o 1 2t a n g e n t l i n e s a r e d r a w n . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e t r i a n -g l e f o r m e d b y t h e c h o r d a n d t a n g e n t s .

2 5 8 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a c i r c l e i n s c r i b e d i n a s e c t o rw h o s e r a d i u s i s e q u a l t o R , a n d t h e a r e t o a .

2 5 9 . T h e s i d e s o f a p a r a l l e l o g r a m a r e e q u a l t o a a n d b( a < b ) , a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e m t o a . D e t e r m i n e t h ea r e a o f t h e q u a d r i l a t e r a l f o r m e d b y t h e b i s e c t o r s o f t h ea n g l e s o f t h e p a r a l l e l o g r a m .

2 6 0 . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e h a t c h e d p o r t i o n o f ac i r c l e ( F i g . 1 9 ) w h o s e r a d i u s i s e q u a l t o 2 0 c m i f t h e a r c s

A B a n d C D a r e e q u a l t o 1 5 ° a n d 7 5 ° r e s p e c t i v e l y .

F i g . 1 9

2 6 1 . D r a w n t h r o u g h t h e c e n t r e o f s y m m e t r y o f a r h o m -b u s a r e i t s a l t i t u d e s w h i c h s e r v e a s d i a g o n a l s o f a r e c t a n g l e .F i n d t h e a r e a o f t h i s r e c t a n g l e i f t h e s i d e o f t h e

r h o m b u s i s e q u a l t o 1 0 c m a n d a c u t e a n g l e a m o u n t s t o 6 0 ° .2 6 2 . T a k e n i n s i d e a c i r c l e o f r a d i u s 8 c m i s a n a r b i t r a r y

p o i n t M w h i c h i s 2 e m d i s t a n t f r o m t h e c e n t r e o f t h ec i r c l e . D r a w n t h r o u g h t h i s p o i n t a r e t w o m u t u a l l y p e r -

p e n d i c u l a r c h o r d s a n d a d i a m e t e r f o r m i n g a n a n g l e o f4 5 ° w i t h e a c h c h o r d . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e q u a d r i l a t e r a lw h o s e v e r t i c e s a r e t h e e n d - p o i n t s o f t h e ' c h o r d s .

2 6 3 . T w o s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 2 4 c m a n d1 2 c m , a n d t h e m e d i a n o f t h e t h i r d s i d e t o V 2 7 9 c m .F i n d t h e a r e a o f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e .

2 6 4 . C o m p u t e t h e a r e a o f a q u a d r i l a t e r a l A B C D , i n

w h i c h A B = A C = 1 7 d m , . A D = 4 4 d m , C D = 3 9 d m ,




a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e s i d e A B a n d d i a g o n a l A C i se q u a l t o 3 0 ° .

2 6 5 . T w o s i d e s o f a t r i a n g l e a r e e q u a l t o 5 c m a n d6 c m , a n d i t s a r e a t o 5 . 2 8 c m 2 . F i n d t h e t h i r d s i d e .

2 6 6 . T h e p a r a l l e l s i d e s o f a t r a p e z i u m a r e e q u a l t o1 0 c m a n d 2 0 c m , a n d n o n - p a r a l l e l o n e s t o 6 Y 2 c m

a n d 2 V 1 3 c m . C o m p u t e t h e d i a g o n a l s o f t h e t r a p e z i u m .2 6 7 . I n a p a r a l l e l o g r a m w i t h a n a c u t e a n g l e o f 3 0 °

t h e d i a g o n a l s a r e t o e a c h o t h e r a s V 2 - y 3 : V 2 + y 3 .

F i n d t h e r a t i o o f t h e s i d e s .2 6 8 . C o m p u t e t h e a r e a o f a t r i a n g l e i f :( 1 ) i t s s i d e s a r e a s 1 5 : 2 6 : 3 7 , a n d t h e r a d i u s o f t h e

i n c i r c l e i s e q u a l t o 1 6 c m ;( 2 ) t h e s i d e s a r e a s 2 9 : 2 5 : 6 , a n d t h e r a d i u s o f t h e

c i r c u m s c r i b e d c i r c l e i s e q u a l t o 3 6 4 c m .

2 6 9 . C o m p u t e t h e a r e a o f a t r i a n g l e , t w o s i d e s o f w h i c ha r e e q u a l t o 6 c m a n d 9 c m , a n d t h e b i s e c t o r o f t h e a n g l eb e t w e e n t h e m t o 4 y 3 c m .



C H A P T E R I I I

S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S

I N S P A C E

7 . B a s i c C o n c e p t s a n d A x i o m s .T w o S t r a i g h t L i n e s i n S p a c e

2 7 0 . " l . A c i r c l e a n d a p l a n e h a v e t w o c o m m o n p o i n t s .M a y w e a s s e r t t h a t t h e c i r c l e i s c o n t a i n e d i n t h i s p l a n e ?

2 . T h r e e p o i n t s o f a c i r c l e l i e o n a p l a n e . M a y w e a s s e r tt h a t t h e c i r c l e i s c o n t a i n e d i n t h e p l a n e ? T w o p l a n e s h a v et h r e e c o m m o n p o i n t s n o t l y i n g i n a s t r a i g h t l i n e . H o wa r e t h e s e p l a n e s s i t u a t e d ?

2 7 1 . H o w m a n y p l a n e s c a n b e d r a w n t h r o u g h : ( a ) o n ep o i n t ; ( b ) t w o p o i n t s ; ( c ) t h r e e p o i n t s n o t i n a s t r a i g h t

l i n e ; ( d ) f o u r p o i n t s e a c h t h r e e o f w h i c h a r e n o t i n a

s t r a i g h t l i n e ?2 7 2 . 1 . A s p h e r i c a l s u r f a c e a n d a s t r a i g h t l i n e h a v et w o c o m m o n p o i n t s . D o o t h e r p o i n t s o f t h e l i n e b e l o n gt o t h i s s u r f a c e ?

2 . T h e s a m e f o r : ( a ) a c y l i n d r i c a l s u r f a c e , ( b ) a c o n i c a ls u r f a c e . C o n s i d e r v a r i o u s p o s i t i o n s o f t h e t w o c o m m o n

p o i n t s o f t h e s t r a i g h t l i n e a n d e a c h o f t h e s u r f a c e s .

2 7 3 . 1 . P r o v e t h a t i f a p l a n e a n d a s t r a i g h t l i n e n o tc o n t a i n e d i n t h i s p l a n e h a v e a c o m m o n p o i n t , t h e n t h el a t t e r i s a u n i q u e p o i n t .

2 . P r o v e t h a t a l l s t r a i g h t l i n e s i n t e r s e c t i n g a s t r a i g h tl i n e a a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t A n o t l y i n g o n t h es t r a i g h t l i n e a l i e i n o n e p l a n e .

3 . P r o v e t h a t a s t r a i g h t l i n e i n t e r s e c t i n g t w o p a r a l l e ls t r a i g h t l i n e s l i e s i n t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e s e l i n e s .




2 7 4 . 1 . S t r a i g h t l i n e s a a n d b i n t e r s e c t a t p o i n t M .W h e r e d o a l l s t r a i g h t l i n e s l i e w h i c h i n t e r s e c t e a c h o f t h eg i v e n l i n e s a n d ( a ) d o n o t p a s s t h r o u g h t h e p o i n t M ,( b ) p a s s t h r o u g h t h e p o i n t M ?

2 . F o u r r a y s a r e d r a w n f r o m a p o i n t o f s p a c e . H o w m a n yp l a n e s c a n b e d r a w n t h r o u g h t h e s e r a y s ? C o n s i d e r a l lp o s s i b l e c a s e s .

3 . C a n t w o o p p o s i t e s i d e s o f a n o b l i q u e q u a d r i l a t e r a lb e p a r a l l e l ?

2 7 5 . G i v e n a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e A B C a n d a p o i n t Dn o t c o n t a i n e d i n i t s p l a n e . T h e p o i n t D i s j o i n e d t o t h ec e n t r e 0 o f t h e t r i a n g l e a n d v e r t e x B . D r a w a p l a n et h r o u g h D B a n d D O . W i l l t h i s p l a n e p a s s t h r o u g h t h em i d p o i n t o f t h e s i d e A C ?

. 2 7 6 . G i v e n p o i n t s A a n d B o n o n e o f t h e t w o i n t e r -s e c t i n g p l a n e s a a n d P , a n d a p o i n t C o n t h e o t h e r . C o n -s t r u c t t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s e p l a n e s a n d t h e

p l a n e y p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t s A , B , C .2 7 7 . G i v e n a s t r a i g h t l i n e A B n o t c o n t a i n e d i n t h e

p l a n e P . C o n s t r u c t t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h i s l i n ea n d t h e p l a n e P .

2 7 8 . G i v e n p o i n t s A , B a n d C o u t s i d e t h e p l a n e P .C o n s t r u c t t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n o f t h e p l a n e s A B Ca n d P .

2 7 9 . G i v e n a t r i a n g u l a r p y r a m i d S A B C w i t h t h ea l t i t u d e S O . C o n s t r u c t a n o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f : ( a )t h e p o i n t D o f t h e e d g e S B ; ( b ) t h e p o i n t E o f t h e l a t e r a lf a c e S A B ; ( c ) t h e l i n e s e g m e n t M N c o n n e c t i n g t h e p o i n t sM a n d N o f t h e l a t e r a l e d g e s S A a n d S B , o n t h e p l a n e

c o n t a i n i n g t h e b a s e o f t h e p y r a m i d .2 8 0 . C o n s t r u c t a p o i n t E o n a l a t e r a l f a c e o f a r e g u l a r

q u a d r a n g u l a r p y r a m i d g i v e n i t s p r o j e c t i o n E l o n t h ep l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s e o f t h e p y r a m i d .2 8 1 . G i v e n p o i n t s D a n d E o n t h e l a t e r a l e d g e s S A

a n d S B o f a t r i a n g u l a r p y r a m i d S A B C . C o n s t r u c t t h ep o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e D E a n d t h ep l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s e o f t h e p y r a m i d .

2 8 2 . G i v e n p o i n t s D a n d E o n t h e l a t e r a l . e d g e A S

a n d f a c e S B C o f a t r i a n g u l a r p y r a m i d S A B C . C o n s t r u c t



C H . I I I . S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S I N S P A C E ) 4 5

t h e t r a c e o f t h e s t r a i g h t l i n e D E o n t h e p l a n e c o n t a i n i n gt h e b a s e o f t h e p y r a m i d .

2 8 3 . G i v e n p o i n t s E a n d F o n t h e l a t e r a l e d g e A S a n da l t i t u d e S O o f a q u a d r a n g u l a r p y r a m i d S A B C D . C o n -s t r u c t a s e c o n d p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e ,

p a s s i n g t h r o u g h t h e s e p o i n t s , a n d t h e s u r f a c e o f t h ep y r a m i d .

2 8 4 . 1 . C o n s t r u c t t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f a s t r a i g h tl i n e , p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t M l o c a t e d o n o n e o f t h e

s i d e s o f t h e l o w e r b a s e o f a c u b e a n d p o i n t N o n i t s a x i s ,

a n d a l l t h e p l a n e s c o n t a i n i n g t h e f a c e s o f t h e c u b e .2 . G i v e n a c u b e A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , a p o i n t M c o n t a i n e d

i n i t s f a c e D D 1 C 1 C , a n d a p o i n t N o n t h e f a c e B B 1 C 1 C .C o n s t r u c t t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n eM N a n d t h e f a c e s A B C D a n d A 1 B 1 C 1 D 1 .

2 8 5 . C o n s t r u c t t h e s e c t i o n o f a p a r a l l e l e p i p e d b y ap l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e t h r e e p o i n t s g i v e n o n t h e

l a t e r a l e d g e s . C o n s i d e r t w o c a s e s : ( 1 ) t h e c u t t i n g p l a n ei n t e r s e c t s a l l t h e l a t e r a l e d g e s o f t h e p a r a l l e l e p i p e d a n d

F i g . 2 0

( 2 ) t h e c u t t i n g p l a n e d o e s n o t i n t e r s e c t t h e f o u r t h e d g e .2 8 6 . C o n s t r u c t t h e s e c t i o n ' o f a c u b e b y a p l a n e p a s s i n g

t h r o u g h t h e p o i n t s A , B a n d C ( F i g . ' 2 0 ) .

a ° F i g . 2 1



L P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

2 8 7 . C o n s t r u c t t h e s e c t i o n o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t s A , B

a n d C ( F i g . 2 1 ) .2 8 8 . I n a c u b e w i t h t h e e d g e 8 c m l o n g c o n s t r u c t t h e

s e c t i o n b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e m i d p o i n t s o ft h r e e e d g e s e m a n a t i n g f r o m o n e v e r t e x , a n d c o m p u t e t h e

a r e a o f t h e s e c t i o n .2 8 9 . 1 . T h r o u g h a p o i n t A l y i n g o n a g i v e n s t r a i g h t

l i n e a d r a w a l i n e f o r m i n g a g i v e n a n g l e w i t h t h e g i v e nl i n e .

2 . T h r o u g h a p o i n t M s i t u a t e d o u t s i d e a g i v e n l i n e ad r a w a s t r a i g h t l i n e f o r m i n g a g i v e n a n g l e w i t h t h e g i v e nl i n e .

2 9 0 . A t t w o p o i n t s o f a s t r a i g h t l i n e t w o p e r p e n d i c u l a r sa r e e r e c t e d t o i t . H o w c a n . t h e s e p e r p e n d i c u l a r s b e m u t u a l -l y s i t u a t e d ?

2 9 1 . T h e p l a n e A B C D o f a t r a p e z i u m i n t e r s e c t s t h e

p l a n e a a l o n g a s t r a i g h t l i n e a . W i l l a a n d A C o n w h i c ha d i a g o n a l o f t h e t r a p e z i u m l i e s b e s k e w l i n e s ?2 9 2 . T w o s t r a i g h t l i n e s a r e i n t e r s e c t e d b y a t h i r d o n e .

H o w m a n y p l a n e s c a n b e d r a w n t h r o u g h t h e s e l i n e s ?2 9 3 . 1 . G i v e n t w o i n t e r s e c t i n g s t r a i g h t l i n e s . H o w c a n

o n e o f t h e m b e s i t u a t e d w i t h r e s p e c t t o a s t r a i g h t l i n e :( a ) p a r a l l e l t o t h e o t h e r o n e ; ( b ) i n t e r s e c t i n g t h e o t h e r

o n e ; ( c ) f o r m i n g w i t h t h e o t h e r o n e s k e w l i n e s ?2 . T h e s a m e f o r t w o p a r a l l e l l i n e s .3 . T h e s a m e f o r t w o s k e w l i n e s .2 9 4 . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n a d i a g o n a l o f a c u b e

a n d i t s e d g e w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t t h i s d i a g o n a l .2 9 5 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r e c t a n g l e w i t h t h e s i d e s

1 2 c m a n d 1 6 c m l o n g . T h e l a t e r a l e d g e s a r e o f t h e s a m e

l e n g t h , a n d t h e a l t i t u d e i s e q u a l t o 2 4 c m . D e t e r m i n et h e a n g l e b e t w e e n a l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d a n da d i a g o n a l o f t h e b a s e w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t t h i s e d g e .

8 . S t r a i g h t L i n e s P e r p e n d i c u l a r a n d I n c l i n e d t o a P l a n e

2 9 6 . 1 . A s t r a i g h t l i n e a i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e ac o n t a i n i n g a r h o m b u s A B C D . W h a t a n g l e s a r e f o r m e d

b y t h e l i n e a a n d t h e s i d e s o f t h e r h o m b u s ?



C H . I I I . S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S I N S P A C E 4 7

2 . A s t r a i g h t l i n e a i s p e r p e n d i c u l a r t o t w o p a r a l l e ll i n e s l y i n g i n t h e p l a n e a . H o w i s t h e l i n e a s i t u a t e d w i t hr e s p e c t t o t h e p l a n e a ?

2 9 7 . T h r o u g h t h e s i d e B C o f a t r i a n g l e A B C a p l a n e ai s d r a w n p e r p e n d i c u l a r t o t h e s i d e A B . A t r i a n g l e B D Cw i t h a r i g h t a n g l e B i s c o n s t r u c t e d i n t h e p l a n e a . H o wi s t h e s i d e B D s i t u a t e d w i t h r e s p e c t t o t h e p l a n e A B Ca n d t h e s i d e B C w i t h r e s p e c t t o t h e p l a n e A B D ?

2 9 8 . 1 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t i n s p a c e d r a w a p l a n e

p e r p e n d i c u l a r t o a g i v e n s t r a i g h t l i n e .

2 . A t a g i v e n p o i n t i n a p l a n e e r e c t a p e r p e n d i c u l a r t ot h i s p l a n e .

2 9 9 . P r o v e t h a t i f a s t r a i g h t l i n e a l i e s i n a p l a n e p e r -p e n d i c u l a r t o a s t r a i g h t l i n e b , t h e n t h e l a t t e r l i e s i n

a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o a .3 0 0 . 1 . P r o v e t h a t i f a l a t e r a l e d g e o f a t r i a n g u l a r

p y r a m i d i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e o p p o s i t e s i d e o f t h e

b a s e , t h e n t h e v e r t e x o f t h e p y r a m i d ' i s p r o j e c t e d o n t h ea l t i t u d e o f t h e b a s e .2 . P r o v e t h a t t h e o p p o s i t e e d g e s o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r

p y r a m i d a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r .3 0 1 . G i v e n i n F i g . 2 2 i s a r h o m b u s A B C D : M B = M D .

P r o v e t h a t B D i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e O M C .

F i g . 2 2

3 0 2 . P r o v e t h a t t h e d i a g o n a l o f a c u b e a n d t h e d i a g o n a lo f a f a c e , w h i c h d o n o t p a s s t h r o u g h o n e a n d t h e s a m ev e r t e x , a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r .

3 0 3 . A t t h e p o i n t 0 o f i n t e r s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s o fa s q u a r e A B C D a p e r p e n d i c u l a r O M i s e r e c t e d t o i t s

p l a n e . P r o v e t h a t M C i s p e r p e n d i c u l a r t o B D .




3 0 4 . 1 . A t t h e p o i n t A l y i n g o n a g i v e n s t r a i g h t l i n e a

e r e c t a p e r p e n d i c u l a r t o t h i s l i n e .2 . F r o m t h e p o i n t M n o t l y i n g o n a g i v e n s t r a i g h t

l i n e a d r o p a p e r p e n d i c u l a r t o t h i s l i n e .3 0 5 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n t

f r o m a g i v e n p o i n t .2 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n t f r o m

t w o g i v e n p o i n t s .3 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n t f r o m

t h r e e g i v e n p o i n t s .

4 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n t f r o mf o u r g i v e n p o i n t s . C o n s i d e r a l l p o s s i b l e c a s e s .3 0 6 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n t f r o m

t h e v e r t i c e s o f : ( a ) a s q u a r e , ( b ) a r e c t a n g l e , ( c ) a n i s o s c e -l e s t r a p e z i u m . I s i t p o s s i b l e t o f i n d i n s p a c e p o i n t s e q u i -d i s t a n t f r o m a l l t h e v e r t i c e s o f a n y p l a n e p o l y g o n ?

3 0 7 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n t f r o m

t h e s i d e s o f : ( a ) a t r i a n g l e , ( b ) a s q u a r e , ( c ) a r h o m b u s .I s i t p o s s i b l e t o f i n d i n s p a c e p o i n t s e q u i d i s t a n t f r o m a l lt h e s i d e s o f a n y p l a n e p o l y g o n ?

3 0 8 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n tf r o m a l l t h e p o i n t s o f a c i r c l e .

2 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s c o n t a i n e d i n a p l a n e a w h i c ha r e s i t u a t e d a t a g i v e n d i s t a n c e a f r o m a g i v e n p o i n t M

l y i n g o u t s i d e t h e p l a n e a . C o n s i d e r a l l t h e c a s e s . ,3 0 9 . T h e e d g e o f a c u b e i s e q u a l t o a . D e t e r m i n e t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e d i a g o n a l o f t h e c u b e a n d t h e d i a g o -n a l o f a f a c e o f t h e c u b e w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t t h ef o r m e r .

3 1 0 . 1 . G i v e n t w o s t r a i g h t l i n e s a a n d b . C o n s t r u c ta s t r a i g h t l i n e i n t e r s e c t i n g t h e g i v e n l i n e s a n d p e r p e n d i -

c u l a r t o t h e m . C o n s i d e r a l l p o s s i b l e c a s e s .

2 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t d r a w a s t r a i g h t l i n e p e r p e n d i -c u l a r t o t w o g i v e n s k e w l i n e s .

3 1 1 . G i v e n o u t s i d e t h e p l a n e o f a r h o m b u s A B C Di s a p o i n t M s i t u a t e d f r o m t h e s i d e s A B a n d C D a t d i s t a n -c e s M K a n d M L , r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t t h e s u m ( o rt h e d i f f e r e n c e ) o f t h e p r o j e c t i o n s o f t h e l i n e s e g m e n t s M Ka n d M L o n t h e p l a n e o f t h e r h o m b u s i s e q u a l t o t h e

a l t i t u d e o f t h e r h o m b u s .




3 1 2 . A p o i n t B i s t a k e n o n a p e r p e n d i c u l a r A O ( F i g . 2 3 )t o a p l a n e a ( t h e p o i n t 0 l i e s i n t h e p l a n e a ) . T h e p o i n t sA a n d B a r e f o u n d a t d i s t a n c e s A C a n d B D , r e s p e c t i v e l y ,f r o m t h e s t r a i g h t l i n e a l y i n g i n t h e p l a n e a a n d n o t p a s s -i n g t h r o u g h t h e p o i n t O . F i n d a m i s t a k e i n F i g . 2 3a n d c o r r e c t i t .

F i g . 2 3

3 1 3 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t A c o n t a i n e d i n t h e p l a n e ad r a w i n t h i s p l a n e a s t r a i g h t l i n e p e r p e n d i c u l a r t o ag i v e n l i n e a . C o n s i d e r a l l c a s e s o f p o s s i b l e p o s i t i o n s o ft h e s t r a i g h t l i n e a a n d t h e p l a n e a .

3 1 4 . F r o m t h e v e r t e x B o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e A B C( A B = B C ) a p e r p e n d i c u l a r B M i s e r e c t e d t o t h e p l a n eo f t h e t r i a n g l e . D r o p a p e r p e n d i c u l a r f r o m t h e p o i n t M

t o t h e s i d e A C , f i n d t h e l e n g t h o f t h i s p e r p e n d i c u l a r a n dt h e d i s t a n c e b e t w e e n t h i s p e r p e n d i c u l a r a n d t h e v e r t e x B

i f t h e a n g l e A B C i s e q u a l t o 1 2 0 ° a n d A C = B M = 4 d m .3 1 5 . A t t h e v e r t e x A o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e A B C

( t h e a n g l e C i s a r i g h t o n e ) a p e r p e n d i c u l a r A M i s e r e c t e dt o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h i s t r i a n g l e . D r o p a p e r p e n d i -c u l a r f r o m t h e p o i n t M t o t h e s i d e B C . A t w h a t d i s t a n c e

m u s t t h e p o i n t M b e s i t u a t e d f r o m t h e p l a n e o f t h e t r i a n -g l e f o r t h e t r i a n g l e A M C t o b e c o n g r u e n t w i t h t h e t r i a n -g l e ' A B C ?

3 1 6 . T h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e i n a r i g h t -a n g l e d t r i a n g l e a r e 9 c m a n d 1 6 c m l o n g . A t t h e m i d p o i n t

o f t h e h y p o t e n u s e a p e r p e n d i c u l a r 6 c m l o n g i s e r e c t e dt o t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e . F i n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n

t h e e n d - p o i n t o f t h e p e r p e n d i c u l a r a n d t h e s i d e s c o n t a i n -



P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

i n g t h e r i g h t a n g l e , a s a l s o b e t w e e n t h a t a n d t h e v e r t e xo f t h e r i g h t a n g l e o f t h e g i v e n t r i a n g l e .

3 1 7 . A t t h e v e r t e x o f t h e r i g h t a n g l e o f a r i g h t - a n g l e dt r i a n g l e a p e r p e n d i c u l a r 2 m l o n g i s e r e c t e d t o i t s p l a n e .T h e e n d - p o i n t o f t h e p e r p e n d i c u l a r i s 2 1 / 3 m d i s t a n tf r o m t h e h y p o t e n u s e , a n d 6 m f r o m t h e m i d - p o i n t o f t h eh y p o t e n u s e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e .

3 1 8 . A t t h e m i d - p o i n t o f t h e h y p o t e n u s e A B o f ar i g h t - a n g l e d t r i a n g l e A B C a p e r p e n d i c u l a r D M i s e r e c t e dt o i t s p l a n e . D r o p p e r p e n d i c u l a r s M E a n d M F f r o m t h e

p o i n t M t o t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e a n d f i n dt h e p e r i m e t e r o f t h e t r i a n g l e M E F i f M D = 1 2 d m ,

A C = 1 8 d m a n d B C = 3 2 A d m . P r o v e t h a t t h e p o i n t Mi s e q u i d i s t a n t f r o m t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e A B C .

3 1 9 . A t t h e m i d - p o i n t D o f t h e s i d e A C o f a r e g u l a rt r i a n g l e A B C a p e r p e n d i c u l a r D M i s e r e c t e d t o i t s p l a n e .D r o p a p e r p e n d i c u l a r M E f r o m t h e p o i n t M t o t h e s i d e

A B a n d f i n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e c i r c u m s c r i b e d a b o u tt h e t r i a n g l e D M E i f D M = B D = 1 2 c m .

3 2 0 . G i v e n i n a t r i a n g l e A B C : A B = 1 3 c m , B C == 1 4 c m a n d A C = 1 . 5 c m . A t t h e v e r t e x A a p e r p e n d i -

c u l a r A D 5 c m l o n g i s e r e c t e d t o t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e .F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t D a n d s i d e B C .

3 2 1 . A p e r p e n d i c u l a r A M i s e r e c t e d t o t h e p l a n e o f

a r e g u l a r h e x a g o n A B C D E F a t t h e p o i n t A a n d t h ep o i n t M i s j o i n e d t o t h e v e r t e x C . F i n d t h e d i s t a n c e sb e t w e e n t h e p o i n t M a n d e a c h v e r t e x o f t h e h e x a g o n i fA M = 3 c m , a n d t h e a r e a o f t h e h e x a g o n i s e q u a l t o

8 1 l / 3 c m 2 .3 2 2 . A p e r p e n d i c u l a r A M i s e r e c t e d t o t h e p l a n e o f

a p a r a l l e l o g r a m A B C D a t i t s v e r t e x A . D r o p a p e r p e n d i -

c u l a r M E f r o m t h e p o i n t M t o t h e s i d e B C o f t h e p a r a l l e -l o g r a m . C o n s i d e r t w o c a s e s : ( a ) t h e a n g l e A i s a c u t e ;( b ) t h e a n g l e A i s o b t u s e . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e p a r a l -

l e l o g r a m i f A M = 2 A D a n d t h e a r e a o f t h e t r i a n g l eA M E i s e q u a l t o 2 4 c m 2 .

3 2 3 . C o m p u t e t h e d i s t a n c e b e t w e e n a p o i n t M a n dt h e p l a n e o f a r e g u l a r t r i a n g l e A B C i f t h e s i d e o f t h e

t r i a n g l e i s e q u a l t o a a n d M A = M B = M C = b .




3 2 4 . A p e r p e n d i c u l a r O M 8 c m l o n g i s e r e c t e d a t t h ec e n t r e 0 o f a ' r e g u l a r t r i a n g l e A B C . F i n d t h e d i s t a n c e sb e t w e e n t h e p o i n t M a n d e a c h v e r t e x a n d s i d e o f t h et r i a n g l e i f i t s a r e a i s e q u a l t o 2 7 1 / 3 c m 2 .

3 2 5 . C o m p u t e t h e d i s t a n c e b e t w e e n a p o i n t M a n dt h e p l a n e c o n t a i n i n g a t r i a n g l e A B C i f A B = B C =

= 1 2 c m ; M A = M B = M C = 1 0 c m a n d t h e b i s e c t o ro f t h e a n g l e B i s 9 c m l o n g .

3 2 6 . T h e s i d e s o f a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e a r e e q u a l t o6 c m a n d 8 c m . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p l a n e o ft h e t r i a n g l e a n d a p o i n t M s u c h t h a t i s 1 3 c m d i s t a n tf r o m e a c h v e r t e x o f t h e t r i a n g l e .

3 2 7 . T h e l a t e r a l s i d e o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i s e q u a lt o 1 0 c m a n d i t s b a s e t o 1 2 c m . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n

t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e a n d a p o i n t M s u c h t h a t i s5 c m d i s t a n t f r o m e a c h s i d e o f t h e t r i a n g l e .

3 2 8 . T h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e i n a - r i g h t -

a n g l e d t r i a n g l e a r e e q u a l t o 1 2 c m a n d 9 c m . F i n d t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e a n d a p o i n t Mi f t h e l a t t e r i s 5 c m d i s t a n t f r o m e a c h o f t h e s i d e s o f t h et r i a n g l e .

3 2 9 . I n t h e t r i a n g l e s A B C a n d A B D t h e c o m m o n s i d eA B l i e s i n t h e p l a n e a . T h e p r o j e c t i o n s o f t h e s i d e s A Ca n d B D o n t h i s p l a n e a r e p e r p e n d i c u l a r t o A B ; A C =

= 8 c m , B D = 2 0 c m , A B = 1 5 c m , t h e p o i n t s C a n d Da r e , r e s p e c t i v e l y , 4 ' / 3 c m a n d 1 6 c m d i s t a n t f r o m t h ep l a n e a . C o m p u t e t h e s i d e s B C , A D a n d t h e d i s t a n c e sb e t w e e n t h e p e r p e n d i c u l a r s C C 1 a n d D D , d r o p p e d o n t ot h e p l a n e a .

3 3 0 . T h e d i a g o n a l s o f a r h o m b u s a r e e q u a l t o 3 0 c ma n d ' 4 0 c m , F i n d t h g d i s t a n c e b e t w e e n t h e p l a n e o f t h e

r h o m b u s a n d a p o i n t M i f t h e l a t t e r i s 2 0 c m d i s t a n t f r o me a c h o f i t s s i d e s .3 3 1 . A t t h e v e r t e x A o f a s q u a r e A B C D w h o s e s i d e i s

e q u a l t o 3 d m a p e r p e n d i c u l a r A M i s e r e c t e d t o t h e p l a n eo f t h e s q u a r e . T h e l i n e s e g m e n t M B i s 4 d m l o n g . C o m p u t et h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t M C .

3 3 2 . A p o i n t M i s t a k e n o u t s i d e t h e p l a n e o f a p a r a l -l e l o g r a m a t e q u a l d i s t a n c e s f r o m t h e v e r t i c e s o f a c u t e




a n g l e s a n d a t e q u a l d i s t a n c e s f r o m t h e v e r t i c e s o f o b t u s ea n g l e s . P r o v e t h a t t h e l i n e s e g m e n t M O ( w h e r e 0 i s

t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s o f t h e p a r a l l e l o -g r a m ) i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f t h e p a r a l l e l o g r a m .F i n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e p o i n t M a n d t h e s i d e so f t h e p a r a l l e l o g r a m e q u a l t o m a n d n , r e s p e c t i v e l y , i fi t s a r e a i s e q u a l t o Q , a n d M O = H .

3 3 3 . T h e f o r c e s F , = 6 N a n d F 2 = 7 N a r e a p p l i e dt o a p o i n t a t a n a n g l e o f 6 0 ° t o e a c h o t h e r . A p p l i e d t o t h es a m e p o i n t i s a t h i r d f o r c e F 3 = 1 1 N w h i c h i s p e r p e n d i -

c u l a r t o t h e f o r m e r t w o . F i n d t h e r e s u l t a n t o f t h e t h r e eg i v e n f o r c e s .

3 4 4 . A p l a n e i s d r a w n t h r o u g h a l a t e r a l s i d e . o f a t r a -p e z i u m w h o s e b a s e s a r e 1 2 c m a n d 1 6 c m l o n g . T h e p r o j e c -t i o n o f t h e m i d l i n e o n t h i s p l a n e i s e q u a l t o 8 c m . D e t e r -m i n e t h e p r o j e c t i o n s o f t h e b a s e s o n t h i s p l a n e .

3 3 5 . G i v e n , . a r e c t a n g l e A B C D . A t s o m e p o i n t 0 i n

i t s p l a n e a p e r p e n d i c u l a r O K i s e r e c t e d t o t h i s p l a n e .T h e p o i n t K i s j o i n e d t o t h e v e r t e x B . A t w h a t p o s i t i o n

o f t h e p o i n t 0 i n t h e p l a n e o f t h e r e c t a n g l e w i l l t h e a n g l eA B K b e a c u t e , r i g h t , o b t u s e ?

9 . A n g l e s F o r m e d b y a S t r a i g h t L i n e a n d a P l a n e -

3 3 6 . G i v e n i n a s q u a r e A B C D i s a p e r p e n d i c u l a r C Mt o t h e p l a n e o f t h e s q u a r e . C o n s t r u c t t h e a n g l e s o f i n c l i -n a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e s M A a n d M B t o t h e p l a n e o ft h e s q u a r e a n d t h e a n g l e a t w h i c h ' t h e s t r a i g h t l i n e

M B i s i n c l i n e d t o t h e p l a n e M A C .3 3 7 . G i v e n i n a s q u a r e A B C D : S O i s a p e r p e n d i c u l a r

t o t h e p l a n e o f t h e s q u a r e e r e c t e d a t t h e p o i n t 0 o f i n t e r -

s e c t i o n o f i t s d i a g o n a l s . C o n s t r u c t t h e , a n g l e o f i n c l i n a t i o no f : ( 1 ) t h e s t r a i g h t l i n e S A t o t h e p l a n e o f t h e s q u a r e ;( 2 ) t h e s t r a i g h t l i n e S O t o t h e p l a n e S B C .

3 3 8 . 1 . T h e d i m e n s i o n s o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e da r e 3 c m , 4 c m a n d 5 c m . F i n d t h e a n g l e s f o r m e d b y i t sd i a g o n a l a n d t h e f a c e s .

2 . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l o f a c u b ea n d i t s f a c e .




3 3 9 . P r o v e t h a t i f t h r o u g h t h e v e r t e x o f a n a n g l eA B C a s t r a i g h t l i n e B D i s d r a w n i n c l i n e d t o t h e p l a n e

o f t h i s a n g l e a n d f o r m i n g e q u a l a n g l e s w i t h t h e s i d e s B A

a n d B C o f t h i s a n g l e , t h e n i t s p r o j e c t i o n o n t h e p l a n ec o n t a i n i n g t h e a n g l e i s t h e b i s e c t o r o f t h e a n g l e A B C .

3 4 0 . G i v e n i n a t r i a n g l e A B C : t h e a n g l e B = 6 0 ° .F r o m t h e v e r t e x B a s t r a i g h t l i n e i s d r a w n i n c l i n e d t o

t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e a n d f o r m i n g a n g l e s o f 6 0 ° w i t ht h e s i d e s B A a n d B C . F i n d t h e a n g l e b e t w e e n t h s l i n ea n d t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e t r i a n g l e .

3 4 1 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e a l t i t u d ei s e q u a l t o t h e s i d e o f t h e b a s e . F i n d t h e a n g l e o f i n c l i n a -t i o n o f t h e l a t e r a l e d g e t o t h e p l a n e o f t h e b a s e a n d t h ea n g l e b e t w e e n t h e l a t e r a l e d g e a n d t h e s i d e o f t h e b a s e .C o m p a r e t h e s e a n g l e s .

3 4 2 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s e q u a l t o 1 a n d f o r m s a n a n g l e o f 3 0 ° w i t h t h e p l a n e

c o n t a i n i n g t h e b a s e . F i n d t h e s i d e o f t h e b a s e .3 4 3 . F r o m a . p o i n t t a k e n o u t s i d e a p l a n e t w o s t r a i g h t

l i n e s a r e d r a w n i n c l i n e d t o t h i s p l a n e w h o s e l e n g t h s a r e1 0 c m a n d 7 c m . T h e p r o j e c t i o n s o f t h e s e l i n e s o n t h ep l a n e a r e a s 6 : 1 / 1 5 . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e nt h e p o i n t a n d t h e p l a n e .

, 3 4 4 . 1 . A n i n c l i n e d l i n e i s e q u a l t o a . H o w l o n g i s t h e

p r o j e c t i o n o f t h i s l i n e o n a p l a n e i f t h e l i n e i s i n c l i n e dt o t h e p l a n e a t a n a n g l e o f : ( a ) 3 0 ° ; ( b ) 4 5 ° ; ( c ) 6 0 ° ?

2 . A p o i n t i s s i t u a t e d a t a d i s t a n c e h f r o m a p l a n e .F i n d t h e l e n g t h o f a n i n c l i n e d l i n e d r a w n f r o m i t a t a n

a n g l e o f : ( a ) 3 0 ° , ( b ) 4 5 ° , ( c ) 6 0 ° t o t h e p l a n e .

3 4 5 . F r o m a p o i n t A i n a p l a n e a t w o s t r a i g h t l i n e sA B a n d A C a r e d r a w n a t a n a n g l e o f 3 0 ° t o t h e p l a n e .

T h e i n c l i n e d l i n e s a r e 4 d m a n d 6 d m l o n g , a n d t h e a n g l eb e t w e e n t h e m i s e q u a l t o 6 0 ° . F i n d t h e l e n g t h o f t h ep r o j e c t i o n o n t h e p l a n e a o f t h e l i n e s e g m e n t B C c o n -n e c t i n g t h e e n d - p o i n t s o f t h e i n c l i n e d l i n e s a n d t h e a n g l eb e t w e e n t h e i r p r o j e c t i o n s .

3 4 6 . F r o m a p o i n t s i t u a t e d o u t s i d e a p l a n e d r a w t w os t r a i g h t l i n e s o f a n e q u a l l e n g t h i n c l i n e d t o t h i s p l a n e

a n d f o r m i n g a n a n g l e o f 6 0 ° w i t h e a c h o t h e r . F i n d t h e




l e n g t h o f t h e i n c l i n e d l i n e s i f t h e i r p r o j e c t i o n s e a c h 2 c ml o n g f o r m a n a n g l e o f 9 0 ° .

3 4 7 . A t t h e v e r t e x C o f t h e a c u t e a n g l e o f a r h o m b u sA B C D a p e r p e n d i c u l a r , C E i s e r e c t e d t o i t s p l a n e a n dt w o i n c l i n e d l i n e s B E a n d D E a r e d r a w n . F i n d t h e a n g l e s

o f t h e r h o m b u s i f B E = 8 d m , B D = 4 d m ' a n d t h e l i n e sB E a n d D E a r e i n c l i n e d t o t h e p l a n e o f t h e r h o m b u s a t

. a n a n g l e o f 6 0 ° .3 4 8 . F r o m a p o i n t M i n a p l a n e a t w o i n c l i n e d l i n e s

M A = 2 0 c m a n d M B = 3 0 c m a r e d r a w n o n o n e o f i t ss i d e s t o f o r m a n g l e s o f 2 0 ° a n d 4 0 ° w i t h t h e p l a n e . D e t e r -m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d - p o i n t s o f t h e i n c l i n e dl i n e s i f t h e i r p r o j e c t i o n s l i e o n o n e s t r a i g h t l i n e .

3 4 9 . O n e s i d e o f a n i s o s c e l e s r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e1 d m l o n g i s f o u n d i n a p l a n e a a n d t h e e n d - p o i n t o f t h e

o t h e r i s 2 2d m d i s t a n t f r o m t h e p l a n e . D e t e r m i n e t h e

a n g l e s a t w h i c h t h e s i d e a n d t h e h y p o t e n u s e a r e i n c l i n e dt o t h e p l a n e a .3 5 0 . D r a w n f r o m a p o i n t A i n a p l a n e a a r e a s t r a i g h t

l i n e A B i n c l i n e d a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o t h e p l a n e a n d as t r a i g h t l i n e A C a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o t h e p r o j e c t i o n o ft h e i n c l i n e d l i n e A B o n t h e p l a n e . D e t e r m i n e t h e a n g l eA B C , t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t B C a n d t h e a n g l e

a t w h i c h i t i s i n c l i n e d t o t h e p l a n e a i f A B = A C = a .3 5 1 . A l i n e s e g m e n t A B l i e s i n a p l a n e a . D r a w n f r o mi t s e n d - p o i n t s a r e t w o i n t e r s e c t i n g l i n e s A D = B C = ae a c h o f w h i c h i s i n c l i n e d t o t h e p l a n e a a t a n a n g l e o f 3 0 ° .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e q u a d r a n g l e w h o s e v e r t i c e s a r et h e p o i n t s C a n d D a n d t h e i r p r o j e c t i o n s o n t h e p l a n e ai f t h e a n g l e b e t w e e n t h e p r o j e c t i o n s o f t h e i n c l i n e d l i n e s

i s e q u a l t o 1 2 0 ° a n d A B = 4 .

3 5 2 . A l i n e s e g m e n t 2 0 c m l o n g i n t e r s e c t s a p l a n e .I t s e n d - p o i n t s a r e f o u n d a t d i s t a n c e s o f 6 c m a n d 4 c m

f r o m t h e p l a n e . F i n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e g i v e n l i n es e g m e n t a n d t h e p l a n e .

3 5 3 . 1 . F r o m a p o i n t l o c a t e d a t a d i s t a n c e o f a f r o mt h e p l a n e t w o s t r a i g h t l i n e s a r e d r a w n i n c l i n e d t o t h e

p l a n e a t a n g l e s o f 3 0 ° a n d 4 5 ° a n d a t a r i g h t a n g l e t o e a c h



C H . I I I . S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S ' I N S P A C E 5 5

o t h e r . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d - p o i n t so f t h e i n c l i n e d l i n e s .

2 . F r o m a p o i n t l o c a t e d a t a d i s t a n c e o f a f r o m a p l a n et w o i n c l i n e d l i n e s a r e d r a w n a t a n a n g l e o f 3 0 ° t o t h e

p l a n e . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n t h e i r p r o j e c t i o n s i ft h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d - p o i n t s o f t h e i n c l i n e d l i n e s

i s e q u a l t o 3 a .3 5 4 . A s t r a i g h t l i n e A B l i e s i n a p l a n e a . D r a w n f r o m

t h e p o i n t s A a n d B , o n o n e s i d e o f t h e p l a n e a n d p e r p e n -d i c u l a r t o A B a r e t w o s t r a i g h t l i n e s A D - a n d B C i n c l i n e d

t o t h e p l a n e a a t a n g l e s o f 6 0 ° a n d 3 0 ° , r e s p e c t i v e l y .D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d - p o i n t s o f t h ei n c l i n e d l i n e s i f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d - p o i n t s o f

t h e i r p r o j e c t i o n s i s e q u a l t o 1 2 c m , a n d A D = 8 V / 3 c m ,B C = 1 4 c m .

1 0 . P a r a l l e l i s m o f a S t r a i g h t L i n e a n d a P l a n e

3 5 5 . 1 . A s t r a i g h t l i n e i s p a r a l l e l t o a p l a n e . H o w i st h i s l i n e s i t u a t e d w i t h r e s p e c t t o s t r a i g h t l i n e s : ( a ) l y i n g

i n t h e p l a n e , ( b ) p a r a l l e l t p t h e p l a n e , ( c ) i n t e r s e c t i n gt h e p l a n e ?

2 . A s t r a i g h t l i n e i s p e r p e n d i c u l a r t o a p l a n e . H o w i st h i s l i n e s i t u a t e d w i t h r e s p e c t t o s t r a i g h t l i n e s : ( a ) l y i n g

i n t h e . p l a n e , ( b ) p a r a l l e l t o t h e p l a n e , ( c ) i n t e r s e c t i n gt h e p l a n e ?3 5 6 . 1 . A s t r a i g h t l i n e a i s p a r a l l e l t o a p l a n e a . H o w i s

t h e p l a n e a s i t u a t e d w i t h r e s p e c t t o s t r a i g h t l i n e s : ( a )p a r a l l e l t o t h e s t r a i g h t l i n e a , ( b ) i n t e r s e c t i n g t h e s t r a i g h tl i n e a , ( c ) c r o s s i n g t h e s t r a i g h t l i n e a ?

2 . W h a t i s t h e m u t u a l p o s i t i o n o f t w o s t r a i g h t l i n e sl y i n g o u t s i d e a p l a n e a n d p a r a l l e l t o : ( a ) i n t e r s e c t i n g

l i n e s c o n t a i n e d i n t h e p l a n e , ( b ) p a r a l l e l l i n e s c o n t a i n e di n t h e p l a n e ?

3 5 7 . T h r o u g h t h e m i d - p o i n t s o f t h e s i d e s A B a n d A Co f a t r i a n g l e A B C a p l a n e a i s d r a w n w h i c h d o e s n o tc o i n c i d e w i t h t h e p l a n e A B C . W h a t i s t h e m u t u a l p o s i -t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e B C a n d t h e p l a n e a ?

3 5 8 . 1 . H o w m a n y s t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t o a g i v e n

p l a n e c a n b e d r a w n t h r o u g h a g i v e n p o i n t ?




2 . H o w m a n y p l a n e s p a r a l l e l t o a g i v e n s t r a i g h t l i n ec a n b e d r a w n t h r o u g h a g i v e n p o i n t ?

3 5 9 . 1 . H o w m a n y s t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t o a g i v e nl i n e c a n b e d r a w n i n s p a c e ?

2 . T w o s t r a i g h t l i n e s a r e s e p a r a t e l y p a r a l l e l t o a t h i r do n e . H o w m a n y p l a n e s c a n b e d r a w n t h r o u g h t h e s el i n e s s o t h a t a t l e a s t t w o o f t h e m l i e i n e a c h o f t h e s e

p l a n e s ?

3 6 0 . A t a p o i n t A o f a p l a n e a a p e r p e n d i c u l a r A B i se r e c t e d t o t h i s p l a n e . T h e l i n e s e g m e n t B C i s p e r p e n d i -c u l a r t o A B , B C = 1 0 c m . F i n d t h e p r o j e c t i o n o f t h el i n e s e g m e n t B C o n t h e p l a n e a .

3 6 1 . G i v e n t w o q u a d r a n g l e s A B C D a n d C D E F w h o s ep l a n e s i n t e r s e c t . W h a t m u s t t h e q u a d r a n g l e A B C D b es o t h a t a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h A B i n t e r s e c t e d t h e p l a n eC D E F a l o n g a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o A B ?

3 6 2 . 1 . P r o v e t h a t i n a n o b l i q u e q u a d r a n g l e ( w h o s ev e r t i c e s d o n o t l i e i n o n e p l a n e ) t h e l i n e s e g m e n t s c o n n e c t -i n g t h e m i d - p o i n t s o f a d j a c e n t s i d e s f o r m a p a r a l l e l o g r a m .

2 . G i v e n t w o s t r a i g h t l i n e s a a n d b . P r o v e t h a t t h es t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t o b a n d i n t e r s e c t i n g a l i e i n o n ep l a n e .

3 6 3 . 1 . P r o v e t h a t f o r t w o s t r a i g h t l i n e s l y i n g i n i n t e r -s e c t i n g p l a n e s t o b e p a r a l l e l i t i s n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t

t h a t t h e y s h o u l d b e p a r a l l e l t o t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n- o f t h e p l a n e s .2 . G i v e n i n p l a n e s a a n d P a r e p o i n t s A a n d B . T h r o u g h

t h e s e p o i n t s d r a w s t r a i g h t l i n e s l y i n g i n t h e g i v e n p l a n e sa n d p a r a l l e l t o e a c h o t h e r .

3 . A p o i n t i s g i v e n o n e a c h o f t h e t w o i n t e r s e c t i n gp l a n e s . D r a w a p l a n e t h r o u g h t h e s e t w o p o i n t s p a r a l l e l

t o t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n o f t h e g i v e n p l a n e s .3 6 4 . 1 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t i n a g i v e n p l a n e d r a wa s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o a g i v e n l i n e w h i c h i s p a r a l l e l

t o t h e g i v e n p l a n e .2 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t d r a w a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l

t o a g i v e n p l a n e a n d i n t e r s e c t i n g a g i v e n s t r a i g h tl i n e .

3 6 5 . 1 . T h r o u g h t w o g i v e n p o i n t s , n o t l y i n g o n a g i v e n

s t r a i g h t l i n e , d r a w a p l a n e p a r a l l e l t o t h i s l i n e .




2 . G i v e n t w o s t r a i g h t l i n e s . T h r o u g h o n e o f t h e m d r a wa p l a n e p a r a l l e l t o t h e o t h e r l i n e .

3 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t d r a w a p l a n e p a r a l l e l t o t w o

g i v e n s t r a i g h t l i n e s w h i c h d o n o t p a s s t h r o u g h t h i sp o i n t .

3 6 6 . 1 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t o u t s i d e a g i v e n p l a n ed r a w a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o t h i s p l a n e . H o w m a n y

s u c h l i n e s c a n h e d r a w n ?2 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t d r a w a p l a n e p a r a l l e l t o

a g i v e n s t r a i g h t l i n e . H o w m a n y s u c h p l a n e s c a n b e

d r a w n ?3 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t d r a w a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l

t o t w o i n t e r s e c t i n g p l a n e s .3 6 7 . T h r o u g h t h e m i d - p o i n t o f a p e r p e n d i c u l a r t o t w o

p a r a l l e l s t r a i g h t l i n e s o n e c a n d r a w a n i n f i n i t e n u m b e r o fp l a n e s p a r a l l e l t o t h e m . P r o v e t h a t a n y o n e o f t h e s ep l a n e s b i s e c t s t h e l i n e s e g m e n t c o n n e c t i n g a n y t w o p o i n t s

o f t h e s e l i n e s .3 6 8 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s i n s p a c e e q u i d i s t a n tf r o m t w o p a r a l l e l s t r a i g h t l i n e s .

2 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e e q u i d i s t a n t f r o mt h r e e p a r a l l e l s t r a i g h t l i n e s n o t l y i n g i n o n e p l a n e .

3 6 9 . A t p o i n t s A a n d B i n a p l a n e a p e r p e n d i c u l a r sA C = 2 . 4 c m a n d B D = 1 2 c m a r e e r e c t e d t o t h i s p l a n e .

T h r o u g h t h e e n d - p o i n t s o f t h e p e r p e n d i c u l a r s a s t r a i g h tl i n e D E i s d r a w n t o i n t e r s e c t t h e p l a n e a a t p o i n t E .F i n d . t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t D E i f t h e p e r p e n d i -

c u l a r s a r e 2 8 c m a p a r t .3 7 0 . G i v e n a p l a n e a a n d a t r i a n g l e A B C . T h e s i d e A B

i s p a r a l l e l t o t h e p l a n e a a n d t h e e x t e n s i o n s o f t h e s i d e sA C a n d B C i n t e r s e c t t h e p l a n e a a t t h e p o i n t s D a n d E .

D e t e r m i n e D E i f A B = 1 5 c m a n d t h e p o i n t s A a n d Ca r e r e s p e c t i v e l y 6 c m a n d 1 8 c m d i s t a n t f r o m t h e p l a n e .

3 7 1 . A p e r p e n d i c u l a r A C t o a p l a n e a i n t e r s e c t s t h el a t t e r a t t h e p o i n t C . F r o m a p o i n t B s i t u a t e d o n t h e

o t h e r s i d e o f t h e p l a n e a s t r a i g h t l i n e B D i s d r a w n p a r a l -l e l t o A C a n d i n t e r s e c t i n g t h e p l a n e a a t t h e p o i n t D .

F i n d t h e l e n g t h o f t h e l i n e s e g m e n t A B i f i t s p r o j e c t i o no n t h e p l a n e a i s e q u a l t o 3 2 c m a n d A C = 1 5 c m , B D =

= 4 5 c m .




3 7 2 . A l i n e s e g m e n t B C 3 0 c m l o n g i s p e r p e n d i c u l a rt o a s t r a i g h t l i n e A B a n d a p l a n e a c o n t a i n i n g t h e p o i n t C .

T h e p r o j e c t i o n o f a n i n c l i n e d l i n e A D o n t h e p l a n e i se q u a l t o 1 0 c m a n d f o r m s w i t h t h e p r o j e c t i o n o f A B o nt h e s a m e p l a n e a n a n g l e o f 1 2 0 ° . D e t e r m i n e t h e p e r i m e t e ro f t h e t r i a n g l e A B D i f A B , i s 2 0 c m l o n g .

3 7 3 . A n i s o s c e l e s t r i a n g l e A B C , i n w h i c h A B = B C == 3 0 c m a n d A C = 2 4 c m , i s s i t u a t e d o u t s i d e a p l a n e a

s o t h a t t h e s i d e A C i s p a r a l l e l t o t h e p l a n e a a n d t h ev e r t e x B i s 1 8 c m f a r t h e r f r o m t h e p l a n e t h a n t h e b a s e A C .

D e t e r m i n e t h e k i n d o f t h e t r i a n g l e w h i c h i s t h e p r o j e c -t i o n o f t h e g i v e n t r i a n g l e o n t h e p l a n e a .

3 7 4 . T h e b a s e s o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m a r e e q u a l t o1 0 c m a n d 3 4 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 3 2 c m . T h r o u g h t h e

l o n g e r b a s e a p l a n e a i s d r a w n a t a n a n g l e o f 6 0 ° t o t h ea l t i t u d e . D e t e r m i n e t h e p r o j e c t i o n o f t h e l a t e r a l s i d eo f t h e t r a p e z i u m o n t h e p l a n e a .

3 7 5 . F r o m t h e e n d - p o i n t s o f a l i n e s e g m e n t A B w h i c hi s p a r a l l e l t o a p l a n e a i n c l i n e d l i n e s A C a n d B D a r ed r a w n p e r p e n d i c u l a r t o A B . T h e p r o j e c t i o n s o f t h e s el i n e s o n t h e p l a n e a r e r e s p e c t i v e l y e q u a l t o 3 c m a n d 9 c m

a n d l i e o n d i f f e r e n t s i d e s o f t h e p r o j e c t i o n o f t h e l i n es e g m e n t A B . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e f e e t o f t h e

i n c l i n e d l i n e s i f A B = 1 6 c m .

3 7 6 . S t r a i g h t l i n e s A B a n d C D a r e s i t u a t e d o n d i f f e r e n ts i d e s o f a p l a n e a a n d a r e p a r a l l e l t o a s t r a i g h t l i n e E Fc o n t a i n e d i n t h i s p l a n e . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n A Ba n d C D i f t h e y a r e , r e s p e c t i v e l y , 1 7 c m a n d 2 5 c m d i s t a n tf r o m E F , a n d t h e i r p r o j e c t i o n s a r e 1 5 c m d i s t a n t f r o mt h e s a m e l i n e .

3 7 7 . A n i s o s c e l e s t r a p e z i u m i s s i t u a t e d o u t s i d e a p l a n es o t h a t i t s b a s e s a r e p a r a l l e l t o t h e p l a n e . T h e p r o j e c t i o no f t h e t r a p e z i u m o n a p l a n e a i s a l s o a t r a p e z i u m c i r c u m -s c r i b e d a b o u t a c i r c l e . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n t h el a t e r a l s i d e o f t h e g i v e n t r a p e z i u m a n d a p e r p e n d i c u l a rt o t h e p l a n e a i f t h e b a s e s o f t h e t r a p e z i u m a r e e q u a lt o 2 d m a n d 6 d m , a n d t h e l a t e r a l s i d e t o 8 d m . _

3 7 8 . A r h o m b u s , w h o s e a l t i t u d e i s e q u a l t o 2 3 d m

a n d t h e a c u t e a n g l e t o 6 0 ° , l i e s w i t h o n e o f i t s s i d e s o n




a p l a n e a . T h e p r o j e c t i o n o f t h e r h o m b u s o n t h i s p l a n ei s a q u a d r a n g l e o n e o f w h o s e a n g l e s i s e q u a l t o 4 5 ° .

F i n d t h e a r e a o f t h i s q u a d r a n g l e a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n

t h e s e c o n d s i d e o f t h e r h o m b u s a n d t h e p l a n e a .3 7 9 . T h r o u g h t h e c e n t r e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n -

g u l a r ( t r i a n g u l a r ) p y r a m i d d r a w a s e c t i o n p a r a l l e l t oa l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d . H o w m a n y s o l u t i o n s d o e s

t h i s p r o b l e m h a v e ?3 8 0 . D e t e r m i n e t h e s e c t i o n f i g u r e o u t f r o m a t r i a n g u l a r

p y r a m i d b y a p l a n e p a r a l l e l t o t w o s k e w e d g e s i f t h e y

a r e p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r .3 8 1 . G i v e n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d S A B C D .

T h r o u g h a p o i n t M , w h i c h d i v i d e s t h e s i d e A B o f t h eb a s e i n t h e r a t i o o f 1 t o 3 , d r a w a p l a n e p a r a l l e l t ' o t h es i d e A D o f t h e b a s e a n d t h e l a t e r a l e d g e S B . C o m p u t et h e s e c t i o n a r e a i f A D = 3 6 c m a n d S B = 3 0 c m .

3 8 2 . D r a w t h e s e c t i o n o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m

A B C A 1 B 1 C 1 b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e x Ao f t h e b a s e a n d m i d - p o i n t M o f t h e l a t e r a l e d g e B B 1a n d p a r a l l e l t o t h e s i d e B C o f t h e b a s e . C o m p u t e t h e

s e c t i o n a r e a i f t h e s i d e o f t h e b a s e . o f t h e p r i s m i s e q u a lt o a a n d t h e l a t e r a l e d g e t o 2 a .

3 8 3 . C u t a c u b e b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e m i d -p o i n t s o f t w o a d j a c e n t s i d e s o f t h e l o w e r b a s e a n d o p p o s i t e

v e r t e x o f t h e u p p e r b a s e . C o m p u t e t h e s e c t i o n a r e a i ft h e e d g e o f t h e c u b e i s e q u a l t o a .

3 8 4 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m w i t h t h e - s i d eo f t h e b a s e e q u a l t o 1 0 c m a n d l a t e r a l e d g e t o 2 0 c m d r a wa s e c t i o n b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h i t s d i a g o n a l a n dp a r a l l e l t o o n e o f t h e d i a g o n a l s o f t h e b a s e . D e t e r m i n e

t h e a r e a o f t h i s s e c t i o n .3 8 5 . E a c h o f t h e l a t e r a l e d g e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r

p y r a m i d i s e q u a l t o a . D r a w a s e c t i o n t h r o u g h t h e m i d -p o i n t s o f t w o . a d j a c e n t s i d e s o f t h e b a s e a n d t h e m i d - p o i n to f t h e a l t i t u d e . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .

1 1 . P a r a l l e l P l a n e s

3 8 6 . 1 . T h e d i a g o n a l s o f a r h o m b u s A B C D a r e p e r p e n -d i c u l a r t o a s t r a i g h t l i n e a w h i c h i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e




p l a n e o f , a t r i a n g l e E F H . W h a t i s t h e m u t u a l p o s i t i o no f t h e p l a n e s c o n t a i n i n g t h e r h o m b u s a n d t r i a n g l e ?

2 . P r o v e t h a t t h e s e c t i o n o f a p y r a m i d p a s s i n g t h r o u g ht h e m i d - p o i n t s o f i t s l a t e r a l e d g e s i s p a r a l l e l t o t h e b a s e

o f t h e p y r a m i d .3 8 7 . P r o v e t h a t t w o p l a n e s p a r a l l e l t o a t h i r d p l a n e

a r e p a r a l l e l t o e a c h o t h e r .3 8 8 . P r o v e t h a t t h r o u g h t w o s k e w s t r a i g h t l i n e s i t i s

p o s s i b l e t o d r a w t w o p a r a l l e l p l a n e s . H o w m a n y s o l u -t i o n s d o e s t h i s p r o b l e m h a v e ?

3 8 9 . F i n d t h e l o c u s o f t h e p o i n t s o f s p a c e : ( a ) e q u i d i s -t a n t f r o m t w o g i v e n p a r a l l e l p l a n e s ; ( b ) s i t u a t e d a t

a g i v e n d i s t a n c e f r o m a g i v e n p l a n e .3 9 0 . P r o v e t h a t a l l t h e s t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t o a g i v e n

p l a n e a n d p a s s i n g t h r o u g h o n e a n d t h e s a m e p o i n t a r ec o n t a i n e d i n o n e a n d t h e s a m e p l a n e w h i c h i s p a r a l l e l

t o t h e g i v e n o n e .3 9 1 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d d r a w a p l a n e

p a r a l l e l t o a l a t e r a l f a c e a n d p a s s i n g t h r o u g h : ( a ) t h e

c e n t r e o f t h e , b a s e ; ( b ) t h e m i d - p o i n t o f t h e s i d e o f t h e

b a s e ; ( c ) a v e r t e x o f t h e b a s e ; ( d ) t h e m i d - p o i n t o f t h ea l t i t u d e .

3 9 2 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d d r a w a p l a n ep a r a l l e l t o a l a t e r a l f a c e a n d p a s s i n g t h r o u g h : ( a ) t h e

c e n t r e o f t h e b a s e ; ( b ) a s i d e o f t h e b a s e ; ( c ) t h e m i d - p o i n to f t h e - a l t i t u d e .

3 9 3 . D r a w a p l a n e p a r a l l e l t o a g i v e n o n e : ( a ) t h r o u g ha g i v e n p o i n t ; ( b ) t h r o u g h a g i v e n s t r a i g h t l i n e p a r a l l e lt o t h e g i v e n p l a n e .

3 9 4 . A l i n e s e g m e n t A B e q u a l t o 8 c m i s p e r p e n d i c u l a rt o p l a n e s a a n d P . A l i n e s e g m e n t C D ( 1 7 c m l o n g ) i s

s i t u a t e d s o t h a t i t s e n d - p o i n t s a r e c o n t a i n e d i n t h e s ep l a n e s . F i n d t h e p r o j e c t i o n s o f t h e l i n e s e g m e n t C Do n e a c h o f t h e p l a n e s .

3 9 5 . T h e e n d - p o i n t s o f l i n e s e g m e n t s A B a n d C D a r ec o n t a i n e d i n p a r a l l e l p l a n e s a a n d P . F i n d t h e d i s t a n c eb e t w e e n t h e s e p l a n e s i f A B = 1 3 c m , C D = 2 0 c m , a n d

t h e s u m o f t h e i r p r o j e c t i o n s o n o n e o f t h e p l a n e s i s e q u a lt o 2 1 c m .




3 9 6 . T h e p l a n e o f a t r i a n g l e A B C w i t h t h e s i d e s 1 8 c m ,2 0 c m a n d 3 4 c m l o n g i s p a r a l l e l t o a p l a n e a . A s h i n i n g

p o i n t S c a s t s a s h a d o w A 1 B 1 C 1 f r o m t h e t r i a n g l e A B Co n t h e p l a n e . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e s h a d o w i f S A

A 1 A = 5 : 3 .3 9 7 . T w o s i m i l a r r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s A B C a n d

A 1 B 1 C 1 a r e s p a c e d s o t h a t t h e i r c o r r e s p o n d i n g s i d e s a r ep a r a l l e l , a n d t h e l i n e s e g m e n t 0 0 1 w h i c h j o i n s t h e c e n -t r e s o f t h e c i r c l e s c i r c u m s c r i b e d a b o u t t h e m i s p e r p e n d i -c u l a r t o t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e A B C . F i n d t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s i ft h e s i d e s A C a n d B C c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e a r er e s p e c t i v e l y e q u a l t o 1 0 c m a n d 2 4 c m , A 1 C 1 i s e q u a lt o 2 0 c m a n d 0 0 1 t o 8 4 c m .

3 9 8 . T w o 1 2 0 - d e g r e e a n g l e s a r e s p a c e d s o t h a t t h e i rs i d e s a r e c o r r e s p o n d i n g l y p a r a l l e l , s i m i l a r l y d i r e c t e d a n d

p e r p e n d i c u l a r t o a l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e i r v e r t i c e s 0

a n d 0 1 . M a r k e d f r o m t h e v e r t i c e s o n t h e n o n - p a r a l l e ls i d e s a r e s l i n e s e g m e n t s O A = 1 0 c m a n d O 4 B = 2 0 c m .F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i r e n d - p o i n t s A a n d Bi f O O 1 = 1 8 c m .

3 9 9 . T w o r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s A B C a n d A 1 B 1 C 1w i t h t h e s i d e s A B = A 1 B 1 = 2 5 c m a n d A C = A 1 C 1 =

= 2 0 c m ( F i g . 2 4 ) a r e s i t u a t e d i n p a r a l l e l p l a n e s s o

F i g . 2 4

t h a t A l a n d B 1 a r e t h e p r o j e c t i o n s o f t h e v e r t i c e s Aa n d B o n - t h e p l a n e A 1 B 1 C 1 , w h e r e a s t h e p r o j e c t i o n o f

t h e v e r t e x C o n t h i s p l a n e d o e s n o t c o i n c i d e w i t h t h ev e r t e x C 1 . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e v e r t i c e s Ca n d C 1 o f t h e r i g h t a n g l e s i f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e

p l a n e s o f t h e t r i a n g l e s i s e q u a l t o 3 2 c m .



O R . I I I . S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S I N S P A C E 6 3

1 2 . D i h e d r a l A n g l e s . P e r p e n d i c u l a r P l a n e s

4 0 6 . F r o m a p o i n t M s i t u a t e d o n a f a c e o f a d i h e d r a la n g l e a p e r p e n d i c u l a r M N i s d r a w n t o t h e o t h e r f a c ea n d f r o m a p o i n t N a p e r p e n d i c u l a r N P i s d r o p p e d t o t h ee d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e . P r o v e t h a t t h e l i n e . s e g m e n tM P , i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e e d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e .

4 0 7 . P r o v e t h a t i f f r o m a p o i n t A t a k e n i n s i d e a d i h e d -r a l a n g l e p e r p e n d i c u l a r s A B a n d A C a r e d r o p p e d t o i t sf a c e s , t h e n t h e p l a n e A B C i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e e d g e

o f t h e d i h e d r a l a n g l e .4 0 8 . P r o v e t h a t i f i n a f a c e o f a r i g h t d i h e d r a l a n g l e

a p e r p e n d i c u l a r i s e r e c t e d t o t h e e d g e , t h e n i t i s p e r p e n d i -c u l a r t o t h e o t h e r f a c e o f t h e a n g l e .

4 0 9 . T h e e n d - p o i n t s o f a l i n e s e g m e n t A B a r e c o n t a i n e di n t h e f a c e s o f a d i h e d r a l a n g l e . T h e p r o j e c t i o n o f t h i s

s e g m e n t o n o n e o f t h e f a c e s f o r m s a r i g h t a n g l e w i t h t h e

e d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e . P r o v e t h a t t h e p r o j e c t i o n o fA B o n t h e o t h e r f a c e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e e d g e o f t h ed i h e d r a l a n g l e .

4 1 0 . P r o v e t h a t t h e d i h e d r a l a n g l e s a t t h e e d g e s o f t h eb a s e o f a r e g u l a r p y r a m i d a r e e q u a l t o o n e a n o t h e r .

4 1 1 . P r o v e t h a t t h e f a c e s o f a d i h e d r a l a n g l e a r e p e r -p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f i t s p l a n e a n g l e .

4 1 2 . T h e a l t i t u d e o f a p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h ep o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s o f a r h o m b u s s e r v i n ga s t h e b a s e o f t h e p y r a m i d . P r o v e t h a t t h e l a t e r a l f a c e s

a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t e q u a l a n g l e s .4 1 3 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e e q u i d i s t a n t

f r o m t h e f a c e s o f a d i h e d r a l a n g l e .

2 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e e q u i d i s t a n t f r o m

t w o i n t e r s e c t i n g s t r a i g h t l i n e s .3 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e e q u i d i s t a n t f r o m

t h r e e p a i r w i s e i n t e r s e c t i n g s t r a i g h t l i n e s .4 1 4 . T h r o u g h t h e e d g e o f a d i h e d r a l a n g l e d r a w a p l a n e

s o t h a t i t f o r m s e q u a l a n g l e s w i t h t h e f a c e s o f t h e g i v e nd i h e d r a l a n g l e .

4 1 5 . A t a p o i n t D o f t h e s i d e B C o f a t r i a n g l e A B Ca p e r p e n d i c u l a r D E i s e r e c t e d t o . i t s p l a n e . P l a n e s a r e




d r a w n t h r o u g h t h e p o i n t E a n d t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e .C o n s t r u c t t h e p l a n e a n g l e s o f t h e d i h e d r a l a n g l e s f o r m e d

w i t h t h e e d g e s A B , A C a n d B C .4 1 6 . C o n s t r u c t t h e e d g e a n d p l a n e a n g l e o f t h e d i h e d r a l

a n g l e f o r m e d b y o p p o s i t e f a c e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d .

4 1 7 . 1 . T h r o u g h a g i v e n s t r a i g h t l i n e d r a w a p l a n ep e r p e n d i c u l a r t o a g i v e n p l a n e .

2 . T h r o u g h a g i v e n p o i n t d r a w a p l a n e p e r p e n d i c u l a r

t o a g i v e n p l a n e .

4 1 8 . 1 . T h r o u g h a s t r a i g h t l i n e i n a p l a n e d r a w a p l a n ea t a g i v e n a n g l e t o t h e g i v e n p l a n e .

2 . T h r o u g h a s t r a i g h t l i n e o u t s i d e a p l a n e w h i c h i sp a r a l l e l t o t h i s p l a n e d r a w a p l a n e a t a g i v e n a n g l et o t h e g i v e n p l a n e .

4 1 9 . T h r o u g h a g i v e n s t r a i g h t l i n e i n t e r s e c t i n g a g i v e np l a n e d r a w a p l a n e a t a g i v e n a n g l e t o t h i s p l a n e .

4 2 0 . T w o l a t e r a l f a c e s o f a p y r a m i d a r e p e r p e n d i c u l a rt o i t s b a s e a n d f o r m a d i h e d r a l a n g l e o f 4 0 ° . F i n d t h e

a n g l e s o f t h e p a r a l l e l o g r a m s e r v i n g a s t h e b a s e o f t h ep y r a m i d .

4 2 1 . O n o n e f a c e o f a d i h e d r a l a n g l e a p o i n t i s t a k e na t a d i s t a n c e a f r o m t h e e d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e . F i n dt h e d i s t a n c e b e t w e e n t h i s p o i n t a n d t h e o t h e r f a c e i f t h ed i h e d r a l a n g l e i s e q u a l t o : ( 1 ) 3 0 ° , ( 2 ) 4 5 ° , ( 3 ) 6 0 ° , ( 4 ) 9 0 ° .

4 2 2 . T h e e n d - p o i n t s o f a l i n e s e g m e n t A B a r e f o u n di n t h e f a c e s o f a d i h e d r a l a n g l e a n d t h e s e g m e n t i s p e r -p e n d i c u l a r t o o n e o f t h e m . F i n d t h e m a g n i t u d e o f t h ed i h e d r a l a n g l e i f t h e p o i n t A i s t w i c e a s d i s t a n t f r o m t h ee d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e a s t h e p o i n t B .

4 2 3 . T h e p i t c h o f a r o o f f o r m s a d i h e d r a l a n g l e a = 4 0 °

w i t h t h e p l a n e o f t h e g a r r e t . T h e g a r r e t i s 1 5 m w i d e .A t w h a t h e i g h t f r o m t h e p l a n e o f t h e g a r r e t i s t h e r i d g es i t u a t e d ?

4 2 4 . T w o i s o s c e l e s t r i a n g l e s A B C a n d A B D h a v e ac o m m o n b a s e A B , a n d t h e i r p l a n e s f o r m a n a n g l e o f 6 0 ° .

D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e D O b e t w e e n t h e v e r t e x D a n dt h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e t r i a n g l e A B C i f t h e a l t i t u d e

D K o f t h e t r i a n g l e A B D i s e q u a l t o 1 2 c m .



C H . 1 1 1 . S T R A I G H T L I N E S A N D P L A N E S I N S P A C E 6 5

4 2 5 . A n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h t h e s i d e a i s s p a c e ds o t h a t o n e o f i t s s i d e s l i e s i n a p l a n e a a n d t h e o p p o s i t e

v e r t e x i s 4 a d i s t a n t f r o m t h i s p l a n e . D e t e r m i n e t h ed i h e d r a l a n g l e f o r m e d b y t h e p l a n e a a n d t h e p l a n e c o n -t a i n i n g t h e t r i a n g l e .

4 2 6 . A n i s o s c e l e s t r i a n g l e A B C , i n w h i c h A B = B C == a I / Y a n d A C = 2 a , i s f o l d e d a l o n g t h e a l t i t u d e B D

s o t h a t t h e p l a n e s A B D a n d B D C f o r m a r i g h t d i h e d r a la n g l e . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n t h e s i d e A B a n d

i t s n e w p o s i t i o n .4 2 7 . 1 . I n a r i g h t q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e f a c e a n g l e

a t t h e v e r t e x o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o 6 0 ° . F i n d . t h ea n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l f a c e t o t h e b a s e .

2 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e d i h e d r a l a n g l ea t t h e b a s e i s e q u a l t o a . F i n d t h e a n g l e a t w h i c h t h el a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e o f t h e p y r a m i d .

3 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d a l l t h e e d g e s a r eo f a n e q u a l l e n g t h . C o m p u t e t h e a n g l e b e t w e e n t w o a d j a -c e n t f a c e s .

4 2 8 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d c o m p u t e t h ed i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e i f t h e p l a n e a n g l e o f t h e l a t e r a lf a c e a t t h e v e r t e x o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o 9 0 ° .

4 2 9 . I n a r e g u l a r ' q u a d r a n g u l a r - p y r a m i d c o m p u t e t h e

a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l f a c e t o t h e b a s e i f t h es i d e o f t h e b a s e a n d t h e l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d a r ee q u a l t o 1 0 c m a n d 1 3 c m , r e s p e c t i v e l y .

4 3 0 . I n a ' r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f t h eb a s e i s e q u a l t o 3 0 a n d t h e a l t i t u d e t o 2 0 . D e t e r m i n e t h ed i h e d r a l a n g l e a t t h e l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d .

4 3 1 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f

t h e b a s e i s e q u a l t o 1 2 c m a n d t h e a p o t h e m t o 8 c m .D e t e r m i n e t h e d i h e d r a l a n g l e s b e t w e e n t h e l a t e r a l f a c e sa n d b e t w e e n t h e l a t e r a l f a c e a n d t h e b a s e .

4 3 2 . G i v e n a t r i a n g l e A B C w i t h t h e s i d e s A B = 7 2 c m ,A C = 5 8 c m a n d B C = 5 0 c m . F r o m t h e v e r t e x C ap e r p e n d i c u l a r C D = 9 0 c m i s e r e c t e d t o t h e p l a n e c o n -t a i n i n g t h e t r i a n g l e . T h e p o i n t D i s j o i n e d w i t h s t r a i g h t

l i n e s t o t h e v e r t i c e s A a n d B . D e t e r m i n e t h e d i h e d r a l




a n g l e b e t w e e n t h e p l a n e s c o n t a i n i n g t h e t r i a n g l e s A B Ca n d A B D .

4 3 3 . A l i n e s e g m e n t A B 8 c m l o n g t o u c h e s w i t h i t se n d - p o i n t s t h e f a c e s o f a r i g h t d i h e d r a l a n g l e f o r m i n gw i t h t h e m e q u a l a n g l e s o f 3 0 ° . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h e p r o j e c t i o n s o f t h e e n d - p o i n t s o f t h e s e g m e n to n t h e e d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e .

4 3 4 . T a k e n o n t h e f a c e s o f a d i h e d r a l a n g l e o f 6 0 ° a r ep o i n t s A a n d B w h i c h a r e e q u i d i s t a n t f r o m t h e e d g e o f

t h e d i h e d r a l a n g l e ( A C = B D = 2 7 c m ) . F i n d t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s A a n d B i f D C = 3 6 c m .

4 3 5 . I n s i d e a r i g h t d i h e d r a l a n g l e a p o i n t i s t a k e nw h i c h i s e q u i d i s t a n t f r o m i t s f a c e s a n d i s s i t u a t e d a ta d i s t a n c e o f 8 c m f r o m t h e e d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e .

W h a t a r e t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h i s p o i n t a n d t h e f a c e sa n d b e t w e e n t h e p r o j e c t i o n s o f t h i s p o i n t o n t h e f a c e so f t h e d i h e d r a l a n g l e ?

4 3 6 . A l i n e s e g m e n t A B = 2 0 c m t o u c h e s w i t h i t se n d - p o i n t s t w o m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r p l a n e s a a n d P .T h e p r o j e c t i o n s o f A B o n t h e s e p l a n e s a r e e q u a l t o 1 6 c ma n d 1 5 c m , r e s p e c t i v e l y . D e t e r m i n e t h e p r o j e c t i o n o f A Bo n t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n o f t h e p l a n e s .

4 3 7 . T h e s i d e o f a r e g u l a r t r i a n g l e e q u a l t o 1 6 1 / 3 c ms e r v e s a s t h e s m a l l e r b a s e o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m w h o s e

g r e a t e r b a s e i s e q u a l t o 8 0 c m a n d t h e a l t i t u d e t o 1 8 c m .T h e p l a n e s c o n t a i n i n g t h e t r i a n g l e a n d t r a p e z i u m a r em u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r . F i n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h ev e r t e x o f t h e t r i a n g l e n o t c o n t a i n e d i n t h e p l a n e o f t h et r a p e z i u m a n d t h e v e r t i c e s o f t h e t r a p e z i u m .

4 3 8 . T h e b a s e s o f t w o i s o s c e l e s t r i a n g l e s s e r v e a s o p p o -s i t e s i d e s o f a r h o m b u s . T h e p l a n e s o f t h e t r i a n g l e s a r e

p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f t h e r h o m b u s . F i n d t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s w h i c h d on o t c o i n c i d e w i t h t h e v e r t i c e s o f t h e r h o m b u s i f t h el a t e r a l s i d e s o f t h e t r i a n g l e a r e r e s p e c t i v e l y e q u a l t o 1 0 c ma n d 1 7 c m , a n d t h e s i d e o f t h e r h o m b u s t o 1 6 c m ( c o n s i -d e r t w o c a s e s ) .

4 3 9 . A r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e i s s i t u a t e d s o t h a t i t s

h y p o t e n u s e l i e s o n o n e o f t h e f a c e s o f a d i h e d r a l a n g l e




a n d i s p a r a l l e l t o i t s e d g e , a n d t h e v e r t e x o f t h e r i g h ta n g l e o n t h e o t h e r f a c e . T h e h y p o t e n u s e o f t h i s t r i a n g l ei s e q u a l t o 2 5 c m a n d o n e o f t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h er i g h t a n g l e t o 2 0 c m . T h e h y p o t e n u s e a n d t h e v e r t e xo f t h e r i g h t a n g l e a r e , r e s p e c t i v e l y , 8 V 3 c m a n d 4 V 3 c md i s t a n t f r o m t h e e d g e o f t h e d i h e d r a l a n g l e . F i n d t h ed i h e d r a l a n g l e a n d t h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o n o f t h i st r i a n g l e o n t h e f i r s t f a c e o f t h i s a n g l e .

1 3 . A r e a s o f P r o j e c t i o n s o f P l a n e F i g u r e s

4 4 0 . T h e a r e a o f a p l a n e p o l y g o n i s e q u a l t o 1 2 0 d m 2 .F i n d t h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o n o f t h i s p o l y g o n o n a p l a n e

f o r m i n g a n a n g l e o f 3 0 ° w i t h t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h ep o l y g o n .

4 4 1 . G i v e n a t r i a n g l e A B C w i t h t h e s i d e s a = 2 5 c m ,

b = 2 9 c m , c = 3 6 c m . T h r o u g h t h e s i d e A B a p l a n e ai s d r a w n a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h et r i a n g l e A B C . F i n d t h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o n o f t h i s

t r i a n g l e o n t h e p l a n e a .4 4 2 . T w o t r i a n g l e s A B C a n d A B C 1 h a v i n g a c o m m o n

b a s e A B f o r m a d i h e d r a l a n g l e o f 6 0 ° . T h e l i n e s e g m e n tC C 1 i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e A B C , ,w h o s e a n g l e s A a n d B a r e e q u a l t o 3 0 ° a n d 6 0 ° , r e s p e c t i -

v e l y , a n d t h e s i d e A C , t o 1 8 c m . F i n d t h e a r e a o f t h et r i a n g l e A B C .

4 4 3 . F i n d t h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o n o f a s e m i - c i r c l e o na p l a n e w h i c h f o r m s w i t h t h e l a t t e r a d i h e d r a l a n g l e . o f4 5 ° i f t h e a r e a o f a n i s o s c e l e s t r i a n g l e i n s c r i b e d i n t h es e m i - c i r c l e a m o u n t s t o 4 c m 2 , i t s d i a m e t e r s e r v i n g a s t h eb a s e o f t h e t r i a n g l e .

4 4 4 . A p i p e w h o s e i n n e r a n d o u t e r d i a m e t e r s a r e e q u a lt o d , a n d d 2 r e s p e c t i v e l y i s c u t a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o t h el o n g i t u d i n a l a x i s . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a n e l l i p t i c a la n n u l u s t h u s o b t a i n e d .

4 4 5 . A r h o m b u s t o u c h e s a p l a n e a w i t h i t s a c u t e a n g l ea n d i s p r o j e c t e d o n t h i s p l a n e a s a s q u a r e w h o s e s i d e i se q u a l t o a . F i n d t h e a r e a o f t h e r h o m b u s i f i t s s m a l l e r

d i a g o n a l i s p a r a l l e l t o t h e p l a n e a , a n d t h e d i s t a n c e3 *




b e t w e e n t h e v e r t e x o f t h e s e c o n d a c u t e a n g l e a n d t h ep l a n e a i s e q u a l t o t h e d i a g o n a l o f t h e s q u a r e .

4 4 6 . A r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e i s s p a c e d s o t h a t o n e o fi t s s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e i s p a r a l l e l t o a p l a n e aa n d t h e s e c o n d s i d e i s p r o j e c t e d o n t h i s p l a n e h a l f t h et r u e l e n g t h . H o w m a n y t i m e s i s t h e a r e a o f t h e t r i a n g l eg r e a t e r t h a n t h a t o f i t s p r o j e c t i o n o n t h e p l a n e a , a n dw h a t i s t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e p l a n e c o n t a i n i n gt h e t r i a n g l e t o t h e p l a n e a ?

4 4 7 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p r i s m i s a r e c t a n g l e w i t hs i d e s 1 0 c m a n d 8 c m . T w o l a t e r a l f a c e s h a v e t h e s h a p e o f

a r e c t a n g l e ; t h e l a t e r a l e d g e s a r e i n c l i n e d t o t h e - b a s ea t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e a r e a o f a n o r m a l s e c t i o n w h i c hc u t s a l l t h e l a t e r a l e d g e s .

4 4 8 . T h e b a s e o f a r e g u l a r p r i s m i s a h e x a g o n . T h e p r i s mi s c u t b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t w o o p p o s i t e s i d e s o f

t h e u p p e r a n d . l o w e r b a s e s . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n

i f t h e c u t t i n g p l a n e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l eo f 4 0 ° 3 2 ' a n d t h e a r e a o f t h e b a s e i s e q u a l t o 1 5 2 d m 2 .

4 4 9 . T h r o u g h o p p o s i t e v e r t i c e s o f t h e l o w e r a n d u p p e rb a s e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m a s e c t i o n i s d r a w np a r a l l e l t o a d i a g o n a l o f t h e b a s e . D e t e r m i n e t h e a r e ao f t h e s e c t i o n i f i t s d i a g o n a l f o r m s a n a n g l e o f 7 5 ° 1 0 'w i t h t h e b a s e , a n d t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p r i s m i s

e q u a l t o 1 6 c m .4 5 0 . I n a t r i a n g u l a r p y r a m i d S A B C a s e c t i o n i s d r a w n

t h r o u g h t h e e d g e A C p e r p e n d i c u l a r t o t h e e d g e S B c u t t i n go f f a t r i a n g l e w i t h s i d e s 5 , 6 , 9 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f

t h e f a c e A B C i f i t f o r m s w i t h t h e c u t t i n g p l a n e a n a n g l eo f 4 5 ° .

4 5 1 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a r e g u l a r p y r a m i d

i s e q u a l t o 1 8 0 c m 2 . T h e l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s ea t a n a n g l e o f 5 3 ° 8 ' . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e b a s e .4 5 2 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d

i s e q u a l t o 5 c m . T h e l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s ea t a n a n g l e o f 3 0 ° . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l a n d

t o t a l s u r f a c e s o f t h i s p y r a m i d .. 4 5 3 . T h e s i d e o f t h e s m a l l e r b a s e o f t h e f r u s t u m o f a

r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d i s e q u a l t o 6 c m . T h e




l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 °a n d h a s t h e a r e a o f 3 2 c m 2 . D e t e r m i n e t h e s i d e o f t h eg r e a t e r b a s e .

4 5 4 . H o w m u s t a n a n g l e b e s i t u a t e d w i t hr e s p e c t t o a p l a n e f o r i t s p r o j e c t i o n o n t h i s p l a n e t o h a v et h e s h a p e o f a n a n g l e : ( a ) e q u a l t o t h e g i v e n a n g l e , ( b )s m a l l e r t h a n t h e g i v e n a n g l e , ( c ) g r e a t e r t h a n t h e g i v e na n g l e , ( d ) e q u a l t o z e r o , ( e ) e q u a l t o 1 8 0 ° , ( f ) e q u a l t o9 0 ° ? C o n s i d e r t h e t h r e e c a s e s : t h e g i v e n a n g l e i s a c u t e ,r i g h t , o b t u s e .

1 4 . P o l y h e d r a l A n g l e s

4 5 5 . 1 . I s i t p o s s i b l e t o f o r m a t r i h e d r a l a n g l e , u s i n g

t h e f o l l o w i n g p l a n e a n g l e s :( a ) 1 2 5 ° , 8 0 ° , 3 1 ° ; ( b ) 1 1 0 ° , 8 0 ° , 5 0 ° ;( c ) 7 2 ° , 5 6 ° , 3 8 ° ; ( d ) 9 2 ° , 5 6 ° , 3 6 ° ;( e ) 1 5 0 ° , 1 4 0 ° , 8 0 ° ; ( f ) 1 4 0 ° , 1 3 0 ° , 9 0 ° ?2 . I s i t p o s s i b l e t o f o r m a c o n v e x p o l y h e d r a l a n g l e ,

u s i n g t h e f o l l o w i n g p l a n e a n g l e s :( a ) 3 0 ° , 9 0 ° , 6 0 ° , 1 5 0 ° ; ( b ) 5 0 ° , 6 0 ° , 1 1 0 ° , 1 4 0 ° ;( c ) 4 2 ° , 6 2 ° , 7 2 ° , 8 2 ° , 9 2 ° ;( d ) 2 3 ° , 3 8 ° , 8 5 ° , 9 2 ° , 9 8 ° , 1 0 0 ° ?

4 5 6 . I n a t r i h e d r a l a n g l e t w o p l a n e a n g l e s a r e e q u a lt o : ( a ) 8 5 ° 4 5 ' a n d 7 2 ° 1 5 ' , ( b ) 8 5 ° 4 5 ' a n d 1 1 2 ° 1 5 ' . W i t h i nw h a t r a n g e d o e s t h e t h i r d p l a n e a n g l e v a r y ?

4 5 7 . W h a t p l a n e a n g l e s h a s t h e t r i h e d r a l a n g l e o f - a :( 1 ) r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m , ( 2 ) r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i -p e d , ( 3 ) r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d ?

4 5 8 . I n a t r i h e d r a l a n g l e t w o p l a n e a n g l e s a r e e q u a l

t o 4 5 ° e a c h , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e b e t w e e n t h e m t o 9 0 ° .F i n d t h e t h i r d p l a n e a n g l e .4 5 9 . D e t e r m i n e t h e p l a n e a n g l e s o f e a c h o f t h e p o l y -

h e d r a l a n g l e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d i f i t sl a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° .

4 6 0 . D e t e r m i n e t h e p l a n e a n g l e s o f e a c h o f t h e p o l y -h e d r a l a n g l e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d w h o s e

a l t i t u d e i s e q u a l t o t h e s i d e o f t h e b a s e .



C H A P T E R I V

P O L Y H E D R O N S A N D R O U N DS O L I D S

1 5 . P r i s m s a n d P a r a l l e l e p i p e d s

4 6 9 . 1 . H o w m a n y e d g e s , v e r t i c e s a n d f a c e s d o e s a p e n -t a g o n a l ( d e c a g o n a l ) p r i s m h a v e ?

2 . H o w m a n y p l a n e a n g l e s , d i h e d r a l a n g l e s a n d t r i -

h e d r a l a n g l e s d o e s a t r i a n g u l a r ( q u a d r a n g u l a r , h e x a g o n a l )p r i s m h a v e ?

3 . W h a t i s t h e s u m o f t h e p l a n e a n g l e s o f a t r i a n g u l a r( q u a d r a n g u l a r , n - g o n a l ) p r i s m e q u a l t o ?

4 7 0 . 1 . H o w m a n y d i a g o n a l s d o e s a t r i a n g u l a r ( q u a d -r a n g u l a r , ' p e n t a g o n a l , n - g o n a l ) p r i s m h a v e ?

2 . H o w m a n y d i a g o n a l s e c t i o n s c a n b e d r a w n t h r o u g ha l a t e r a l e d g e o f a t r i a n g u l a r ( q u a d r a n g u l a r , n - g o n a l )p r i s m ?

3 . H o w m a n y d i a g o n a l s e c t i o n s c a n b e d r a w n t h r o u g ha l l t h e l a t e r a l e d g e s o f a q u a d r a n g u l a r ( p e n t a g o n a l ,n - g o n a l ) p r i s m ?

4 7 1 . 1 . W h a t f i g u r e s a r e y i e l d e d b y d i a g o n a l s e c t i o n s

o f a r i g h t a n d o b l i q u e p r i s m s ?2 . I n t o h o w m a n y p a r t s i s a n n - g o n a l p r i s m d i v i d e d b y

d i a g o n a l s e c t i o n s p a s s i n g t h r o u g h a l a t e r a l e d g e ? W h a tp o l y g o n i s r e p r e s e n t e d b y e a c h s u c h p a r t ?

4 7 2 . F i n d t h e p o i n t e q u i d i s t a n t f r o m a l l t h e v e r t i c e so f a : ( a ) r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m , ( b ) r i g h t p r i s m w h o s eb a s e s a r e r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s .




4 7 3 . P r o v e t h a t a s e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o a l a t e r a l

e d g e o f t h e p r i s m i s p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o f i t s l a t e r a lf a c e s .

4 7 4 . P r o v e t h a t i n a n o b l i q u e t r i a n g u l a r . p r i s m t h ed i s t a n c e b e t w e e n a l a t e r a l e d g e a n d t h e o p p o s i t e f a c e i se q u a l t o t h e a l t i t u d e o f t h e t r i a n g l e w h i c h i s a n o r m a ls e c t i o n o f a p r i s m .

4 7 5 . P r o v e t h a t a l l t h e l a t e r a l e d g e s o f a p r i s m a r ei n c l i n e d t o i t s b a s e a t a n e q u a l a n g l e .

4 7 6 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m -

b u s ; o n e o f t h e l a t e r a l e d g e s f o r m s e q u a l a n g l e s w i t h t h ea d j a c e n t s i d e s o f t h e b a s e . P r o v e t h a t t h e v e r t e x o f t h ep a r a l l e l e p i p e d f o u n d o n t h i s e d g e i s p r o j e c t e d o n t h ed i a g o n a l o f t h e b a s e .

4 7 7 . P r o v e t h a t i f t h e d i a g o n a l p l a n e s o f a p a r a l l e l e p i -p e d a r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e , t h e n t h e p a r a l l e l e p i p e d

i s a r i g h t o n e .

4 7 8 . T h e b a s e o f a p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u s . T h ep l a n e o f o n e o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s i s p e r p e n d i c u l a rt o t h e b a s e . P r o v e t h a t t h e o t h e r d i a g o n a l s e c t i o n i s

a r e c t a n g l e .4 7 9 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

t h e d i a g o n a l s A C 1 a n d B D 1 f o r m a n a n g l e o f 6 0 ° . P r o v et h a t t h e d i a g o n a l s e c t i o n o f t h e p r i s m i s a s q u a r e .

4 8 0 . 1 . C o m p u t e t h e a c u t e a n g l e b e t w e e n t w o d i a g o n a l so f a c u b e .2 . C o m p u t e t h e a c u t e a n g l e b e t w e e n t w o d i a g o n a l s o f

a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d w h o s e d i m e n s i o n s a r e 2 d m ,3 d m a n d 6 d m .

4 8 1 . T h e d i a g o n a l o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m i se q u a l t o d a n d i n c l i n e d t o t h e l a t e r a l f a c e a t a n a n g l e o f6 0 ° . D e t e r m i n e t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p r i s m .

4 8 2 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp r i s m i s e q u a l t o 2 0 c m . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ed i a g o n a l o f t h e p r i s m a n d a l a t e r a l s i d e w h i c h d o e s n o ti n t e r s e c t i t .

4 8 3 . F i n d t h e d i a g o n a l o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s mi n w h i c h : . ( a ) t h e a r e a o f t h e b a s e i s e q u a l t o 4 5 0 c m 2 ,

a n d t h e l a t e r a l e d g e , t o 4 0 c m ; ( b ) t h e a r e a - o f t h e - b a s e



C H . I V . P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S 7 3

i s e q u a l t o 2 0 0 c m 2 , a n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l f a c e t o2 1 0 1 / 2 c m 2 .

4 8 4 . T h e s i d e o f _ t h e b a s e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s mi s e q u a l t o a , a n d t h e a l t i t u d e t o 2 a . C o m p u t e i t s d i a g o -n a l s a n d t h e a n g l e s a t w h i c h t h e y a r e i n c l i n e d t o t h eb a s e .

4 8 5 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m e a c h e d g e i s e q u a lt o a . F i n d : ( 1 ) t h e d i a g o n a l s o f t h e p r i s m ; ( 2 ) t h e a r e ao f t h e s e c t i o n d r a w n t h r o u g h t h e g r e a t e r d i a g o n a l o f t h e

b a s e a n d t h e p a r a l l e l s i d e o f t h e o t h e r b a s e ; ( 3 ) t h e d i s t a n -c e b e t w e e n t h i s s e c t i o n a n d t h e e d g e s o f t h e p r i s m p a r a l l e lt o i t .

4 8 6 . D e t e r m i n e t h e d i a g o n a l s o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e -p i p e d g i v e n i t s d i m e n s i o n s : ( 1 ) 1 , 2 , 2 ; ( 2 ) 2 , 3 , 6 ;( 3 ) 8 , 9 , 1 2 ; ( 4 ) 1 2 , 1 6 , 2 1 .

4 8 7 . T h e a r e a o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n o f a c u b e i s e q u a l

t o 1 6 ' V ' 2 c m 2 . C o m p u t e t h e e d g e o f t h e c u b e , t h e d i a g o n a lo f t h e b a s e , t h e d i a g o n a l o f t h e c u b e .

4 8 8 . T h e d i m e n s i o n s o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e da r e a s 3 : 4 : 1 2 , a n d i t s d i a g o n a l i s e q u a l t o 2 6 . c m .F i n d t h e d i m e n s i o n s o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

4 8 9 . I n a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d t h e s i d e s o f t h e b a s ea r e e q u a l t o m a n d n a n d f o r m a n a n g l e o f 6 0 ° . T h e g r e a t e r

d i a g o n a l o f t h e b a s e i s e q u a l t o t h e s m a l l e r d i a g o n a l o ft h e p a r a l l e l e p i p e d . F i n d t h e d i a g o n a l s o f t h e p a r a l l e l e -p i p e d .

4 9 0 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m a s e c t i o n i s d r a w nt h r o u g h a s i d e o f t h e l o w e r b a s e a n d o p p o s i t e v e r t e x o ft h e u p p e r b a s e . ( 1 ) P r o v e t h a t t h e s e c t i o n f o r m s w i t h

t h e b a s e a d i h e d r a l a n g l e o f 3 0 ° i f t h e s i d e o f t h e b a s e

a n d t h e a l t i t u d e o f t h e s e c t i o n d r a w n t o t h i s s i d e a r ee q u a l t o e a c h o t h e r . ( 2 ) C o m p u t e t h e d i a g o n a l o f t h el a t e r a l f a c e i f t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p r i s m i s e q u a lt o a a n d t h e s e c t i o n i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l eo f 6 0 ° .

4 9 1 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m A B C D A 1 B 1 C 1 D 1t h e s i d e o f t h e b a s e i s o n e f o u r t h t h e . a l t i t u d e o f t h e p r i s m .

P o i n t s M a n d N a r e t a k e n o n t h e e d g e s A A i a n d B B 1




s o t h a t A M = 4 A A 1 a n d B N = 2 B B 1 . F i n d t h ea n g l e D M N .

4 9 2 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r h o m b u s w i t h t h es i d e o f 1 0 c m a n d a l t i t u d e e q u a l t o 9 . 6 c m . T h e a l t i t u d eo f t h e p r i s m i s 1 2 c m h i g h . F i n d t h e d i a g o n a l s o f t h ep r i s m .

4 9 3 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a p a r a l l e l o g r a m w h o s es i d e s a r e e q u a l t o 1 3 c m a n d 1 5 c m a n d t h e a l t i t u d e t o

1 2 c m . T h e s m a l l e r d i a g o n a l o f t h e p r i s m i s i n c l i n e d t o

t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e d i a g o n a l s o f t h ep r i s m .

4 9 4 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p r i s m i s a n e q u i l a t e r a lt r i a n g l e w i t h t h e s i d e a . T h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e dt o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . O n e

o f t h e v e r t i c e s o f t h e u p p e r b a s e i s p r o j e c t e d o n t h e p l a n eo f t h e l o w e r b a s e i n t h e c e n t r e o f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e .

F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m a n d t h e a r e a o f e a c h o ft h e l a t e r a l f a c e s .

4 9 5 . I n a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d t h e s i d e s o f t h e b a s e a r ee q u a l t o 1 5 c m a n d 2 V 3 8 c m , a n d t h e s u m o f t h e d i a g o -n a l s o f t h e b a s e t o 3 2 c m . T h e a l t i t u d e o f t h e p a r a l l e l e p i -

p e d i s 1 2 c m h i g h . F i n d t h e d i a g o n a l s o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

4 9 6 . 1 . I s i t p o s s i b l e t o o u t a c u b e w i t h a p l a n e s o a st o o b t a i n i n s e c t i o n a t r i a n g l e : ( a ) s c a l e n e , ( b ) i s o s c e l e s ,

( c ) e q u i l a t e r a l ?2 . I s i t p o s s i b l e t o c u t a c u b e s o a s t o o b t a i n i n s e c t i o n

a t r i a n g l e : ( a ) a c u t e , ( b ) r i g h t - a n g l e d , ( c ) o b t u s e ?3 . W h a t q u a d r a n g l e s c a n b e o b t a i n e d b y c u t t i n g a c u b e

w i t h a p l a n e ?4 9 7 . T h e e d g e o f a c u b e i s e q u a l t o 5 c m . C o m p u t e t h e

p e r i m e t e r a n d a r e a o f a s e c t i o n d r a w n t h r o u g h t h e e n d -o i n t so f t h r e e e d g e s e m a n a t i n g f r o m o n e v e r t e x .

4 9 8 . G i v e n a c u b e A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 w i t h a n e d g e a .C o n s t r u c t e d o n t h e e d g e C 1 D 1 i s a l i n e s e g m e n t C 1 L =

= 3 a , o n t h e e d g e A 1 B 1 a l i n e s e g m e n t A 1 M = a

a n d o n t h e e d g e B B 1 a l i n e s e g m e n t B 1 N =

4a . A p l a n e




i s d r a w n t h r o u g h t h e p o i n t s L , M a n d N . D e t e r m i n e t h ep e r i m e t e r o f t h e s e c t i o n .

4 9 9 . G i v e n a c u b e A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 w i t h t h e e d g ea = 8 c m . A p l a n e i s d r a w n t h r o u g h t h e m i d - p o i n t so f t h e e d g e s C C 1 i A B a n d A D . C o m p u t e t h e p e r i m e t e ra n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n t h u s o b t a i n e d .

5 0 0 . G i v e n a c u b e A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 w i t h t h e e d g e a .A p l a n e i s d r a w n t h r o u g h t h e m i d - p o i n t s o f t h e e d g e sA 1 B 1 , B 1 C 1 a n d A D . D e t e r m i n e t h e p e r i m e t e r a n d t h e

a r e a o f t h e s e c t i o n f i g u r e .5 0 1 . G i v e n a c u b e A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . O n t h e e x t e n s i o n s

o f t h e e d g e s l i n e s e g m e n t s C 1 P , B Q , D R a r e l a i d o f f ,e a c h o f l e n g t h a , a n d C P = C R = C Q = 2 A B . D r a wa p l a n e t h r o u g h t h e p o i n t s P , Q a n d R a n d c o m p u t e

t h e p e r i m e t e r a n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n t h u s o b t a i n e d .

5 0 2 . G i v e n a c u b e A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . D r a w a p l a n et h r o u g h t h e m i d - p o i n t s o f t h e e d g e s A 1 D 1 a n d B C a n dt h e v e r t e x C 1 . W h a t p o l y g o n i s o b t a i n e d i n s e c t i o n ?D e t e r m i n e ' t h e p e r i m e t e r a n d t h e a r e a o f t h i s p o l y g o n

i f t h e e d g e o f t h e c u b e i s e q u a l t o a .5 0 3 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l f a c e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u -

l a r p r i s m i s e q u a l t o Q . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e d i a g o n a ls e c t i o n .

5 0 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m a s e c t i o n i s d r a w nt h r o u g h a s i d e o f t h e b a s e e q u a l t o a a n d t h e m i d - p o i n t

o f t h e o p p o s i t e l a t e r a l e d g e . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o ni f t h e a r e a o f t h e l a t e r a l f a c e i s e q u a l t o a 2 .

5 0 5 . I n a r i g h t p r i s m t h e s i d e s o f t h e b a s e a r e e q u a lt o 4 c m , 1 3 c m a n d 1 5 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 1 0 c m .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n d r a w n : ( a ) t h r o u g ha l a t e r a l e d g e a n d t h e s m a l l e r a l t i t u d e o f t h e b a s e , ( b )

t h r o u g h t h e s m a l l e r s i d e o f t h e l o w e r b a s e a n d o p p o s i t ev e r t e x o f t h e u p p e r b a s e , ( c ) t h r o u g h t h e g r e a t e r s i d eo f t h e l o w e r b a s e a n d t h e m i d - p o i n t o f t h e o p p o s i t e e d g e .

5 0 6 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l ew h o s e h y p o t e n u s e i s 2 5 c m l o n g a n d o n e o f t h e s i d e s i se q u a l t o 2 0 c m . T h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m i s 1 6 c m .

A p l a n e i s d r a w n t h r o u g h t h e h y p o t e n u s e o f o n e o f t h e

b a s e s a n d t h e v e r t e x o f t h e r i g h t a n g l e o f t h e o t h e r b a s e .




D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n a n d t h e a n g l e a t w h i c hi t i s i n c l i n e d t o t h e b a s e .

5 0 7 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r h o m b u s w i t h t h es i d e a a n d a n g l e o f 6 0 ° . T h e s e c t i o n o f t h e p r i s m p a s s i n gt h r o u g h i t s g r e a t e r d i a g o n a l i s p a r a l l e l t o t h e d i a g o n a l

o f t h e b a s e a n d i n c l i n e d t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s ea t a n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .

5 0 8 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a t r a p e z i u m w h o s eb a s e s a r e e q u a l t o 2 5 c m a n d 1 0 c m . O n e o f t h e l a t e r a l

s i d e s o f t h e t r a p e z i u m i s e q u a l t o 2 5 c m a n d t h e a l t i t u d e

t o 2 4 c m . D e t e r m i n e t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n so f t h i s p r i s m i f t h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m i s 2 0 c m h i g h .5 0 9 . A n i s o s c e l e s r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e , w h o s e l a t e r a l

s i d e i s 1 0 c m l o n g , s e r v e s a s t h e b a s e o f a p r i s m . T h e b i -s e c t o r o f t h e r i g h t a n g l e o f t h e b a s e i s t h e p r o j e c t i o n o fo n e o f t h e l a t e r a l e d g e s o f t h e p r i s m o n t h e p l a n e c o n t a i -n i n g t h e b a s e . E a c h l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e

a t a n a n g l e o f 4 5 ° . ( 1 ) F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n p a s s i n gt h r o u g h a l a t e r a l e d g e a n d t h e m i d - p o i n t o f t h e h y p o t e -n u s e o f t h e b a s e . ( 2 ) D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ev e r t e x o f t h e r i g h t a n g l e o f t h e b a s e a n d t h e o p p o s i t e

f a c e . C o m p u t e t h e a r e a o f t h i s f a c e .5 1 0 . T h e a l t i t u d e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i s

e q u a l t o 1 6 c m a n d t h e s i d e s o f t h e b a s e s t o 1 0 c m a n d1 2 c m . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n d r a w n t h r o u g h

t h e s m a l l e r s i d e o f t h e l o w e r b a s e a n d t h e o p p o s i t e s i d eo f t h e u p p e r b a s e .

5 1 1 . 1 . I n a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d t h e s i d e s o f t h eb a s e a r e e q u a l t o 9 c m a n d 4 0 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o1 0 c m . F i n d t h e a r e a o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n .

2 . I n a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d t h e a r e a o f t h e d i a -g o n a l s e c t i o n i s t o t h e a r e a o f t h e b a s e a s 2 5 t o 2 4 . T h e

a l t i t u d e a n d d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i p e d a r e e q u a l t o1 0 c m a n d 1 0 V 5 c m , r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e s i d e s o f t h eb a s e .

5 1 2 . I n a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d t h e s i d e s o f t h e b a s e a r ee q u a l t o 8 c m a n d 1 / 6 6 c m , a n d t h e d i a g o n a l s o f t h eb a s e a r e a s 4 : 7 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e d i a g o n a l

s e c t i o n s o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i f i t s s m a l l e r d i a g o n a l i se q u a l t o 1 0 c m .




5 1 3 . T h e b a s e s a n d t w o l a t e r a l f a c e s o f a p a r a l l e l e p i p e da r e c o n g r u e n t r e c t a n g l e s w i t h t h e s i d e s a a n d b . T h e l a t e r a l

e d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h ea r e a o f e a c h s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h t w o o p p o s i t e e d g e s .

5 1 4 . T h e f a c e s o f a p a r a l l e l e p i p e d a r e c o n g r u e n t r h o m -b u s e s w i t h t h e s i d e a a n d a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h ea r e a o f i t s d i a g o n a l s e c t i o n s .

5 1 5 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u sw i t h a n a c u t e a n g l e o f 6 0 ° a n d t h e s i d e a . T h e l a t e r a le d g e i s e q u a l t o 3 a a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e

o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s i fo n e o f t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e .

1 6 . T h e P y r a m i d

5 1 6 . 1 . W h a t i s t h e s u m o f a l l p l a n e a n g l e s o f a p y r a m i de q u a l t o i n : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) p e n t a -

g o n a l , ( d ) d e c a g o n a l , ( e ) n - g o n a l p y r a m i d s ?2 . H o w m a n y a n g l e s h a s t h e b a s e o f a p y r a m i d i f t h e

s u m o f a l l t h e p l a n e a n g l e s o f t h i s p y r a m i d i s e q u a l t o3 6 0 0 ° ?

5 1 7 . I s i t p o s s i b l e f o r a p y r a m i d t o h a v e e q u a l l a t e r a le d g e s i f i t s b a s e i s a : ( a ) t r i a n g l e , ( b ) r e c t a n g l e , ( c ) r h o m -b u s , ( d ) i s o s c e l e s t r a p e z i u m , ( e ) n o n - i s o s c e l e s t r a p e z i u m ,( f ) r e g u l a r p o l y g o n ?

5 1 8 . I s i t p o s s i b l e f o r a p y r a m i d t o h a v e e q u a l d i h e d r a la n g l e s a t t h e b a s e i f i t s b a s e i s a : ( a ) t r i a n g l e , ( b ) r e c t -a n g l e , ( c ) r h o m b u s , ( d ) p a r a l l e l o g r a m , ( e ) i s o s c e l e s t r a p e -z i u m , ( f ) n o n - i s o s c e l e s t r a p e z i u m , ( g ) r e g u l a r p o l y g o n ?

5 1 9 . 1 . I f a l l t h e l a t e r a l e d g e s o f a p y r a m i d a r e o fe q u a l l e n g t h , t h e n a b o u t i t s b a s e a c i r c l e c a n b e c i r c u m -s c r i b e d w h o s e c e n t r e w i l l b e a t r a c e o f t h e a l t i t u d e o f

t h e p y r a m i d o n t h e b a s e . P r o v e t h i s .2 . F o r m u l a t e a n d p r o v e t h e c o n v e r s e .5 2 0 . 1 . P r o v e t h a t i f t h e l a t e r a l f a c e s o f a p y r a m i d a r e

i n c l i n e d t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s e a t o n e a n d t h es a m e a n g l e , t h e n a c i r c l e c a n b e i n s c r i b e d i n t h e b a s ew h o s e c e n t r e w i l l b e t h e t r a c e o f t h e a l t i t u d e o f t h ep y r a m i d o n t h e b a s e .

2 . F o r m u l a t e a n d p r o v e t h e c o n v e r s e .




5 2 1 . P r o v e t h a t t h e p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e a l t i -t u d e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d a n d t h e s l a n t h e i g h t

o f a l a t e r a l f a c e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g

t h i s l a t e r a l f a c e .5 2 2 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s a n d t h e a l t i -

t u d e o f t h e p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t o f i n t e r -s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s o f t h e b a s e . P r o v e t h a t t h e l a t e -r a l f a c e s o f t h e p y r a m i d a r e e q u a l .

5 2 3 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e

a n d t h e l a t e r a l e d g e s a r e o f e q u a l l e n g t h . - P r o v e t h a to n e o f t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e .

5 2 4 . P r o v e t h a t i f t h e b a s e o f a p y r a m i d i s a n i s o s c e l e st r a p e z i u m a n d a l l t h e l a t e r a l f a c e s a r e e q u a l l y i n c l i n e dt o t h e b a s e , t h e n t h e l a t e r a l s i d e o f t h e t r a p e z i u m i s e q u a lt o i t s m e d i a n ( m i d l i n e ) .

5 2 5 . 1 . G i v e n t h e s i d e o f t h e b a s e a a n d t h e a l t i t u d e h

f i n d t h e l a t e r a l e d g e a n d t h e s l a n t h e i g h t o f a r e g u l a r p y r a -m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .2 . G i v e n t h e s i d e o f t h e b a s e a a n d t h e l a t e r a l e d g e b

d e t e r m i n e t h e a l t i t u d e a n d t h e s l a n t h e i g h t o f a r e g u l a rp y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

5 2 6 . 1 . G i v e n t h e s i d e o f t h e b a s e a a n d ' t h e s l a n t h e i g h tm d e t e r m i n e t h e a l t i t u d e a n d t h e l a t e r a l e d g e o f a r e g u l a r

p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .2 . G i v e n t h e l a t e r a l e d g e b a n d t h e s l a n t h e i g h t mf i n d t h e s i d e o f t h e b a s e a n d . t h e a l t i t u d e o f a r e g u l a rp y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

5 2 7 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l ew h o s e b a s e i s e q u a l t o 3 0 c m a n d t h e a l t e r n a t e a n g l e t o1 2 0 ° . T h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h e

c e n t r e o f t h e c i r c l e c i r c u m s c r i b e d a b o u t t h e b a s e a n di s e q u a l t o 1 0 c m . D e t e r m i n e t h e l a t e r a l e d g e s o f t h ep y r a m i d .

5 2 8 . E a c h l a t e r a l e d g e o f a p y r a m i d i s e q u a l t o 5 2 c m .T h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s a t r i a n g l e w i t h t h e s i d e s2 j V 1 0 c m , 2 4 c m a n d 1 2 j / 1 0 c m . F i n d : ( 1 ) t h e a l t i t u d eo f t h e p y r a m i d , ( 2 ) - t h e a n g l e b e t w e e n t h e l a t e r a l s i d e

a n d t h e b a s e , ( 3 ) t h e d i h e d r a l a n g l e s a t t h e b a s e .



C H . I V . P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S ] 7 9

5 2 9 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a t r i a n g l e A B C w i t ht h e s i d e s A B = A C . - 3 4 c m a n d B C = 3 2 c m . T h ee d g e S A o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o 3 0 c m a n d p e r p e n d i -

c u l a r t o t h e b a s e . D e t e r m i n e : ( 1 ) t h e e d g e s S B a n d S C ,( 2 ) t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l e d g e s t o t h e

b a s e , ( 3 ) t h e a r e a o f t h e f a c e S B C a n d t h e a n g l e a t w h i c hi t i s i n c l i n e d t o t h e b a s e .

5 3 0 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m i se q u a l t o 6 c m , a n d t h e s i d e o f t h e b a s e t o 3 c m . T h ec e n t r e o f t h e u p p e r b a s e a n d t h e v e r t i c e s o f t h e l o w e r

b a s e s e r v e a s t h e v e r t i c e s o f a p y r a m i d . F i n d t h e a n g l e so f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l e d g e s a n d l a t e r a l f a c e s o ft h e p y r a m i d t o t h e b a s e .

5 3 1 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a p a r a l l e l o g r a m w h o s es i d e s a r e 3 c m a n d 7 c m . T h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i dp a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l so f t h e b a s e a n d i s e q u a l t o 4 c m . T h e g r e a t e r l a t e r a l e d g e

o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o 6 c m . F i n d t h e d i a g o n a l s o ft h e b a s e .5 3 2 . 1 . C o m p u t e t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s o f

a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d i f t h e l a t e r a l e d g e i s e q u a lt o 1 0 c m a n d t h e a l t i t u d e t o 8 c m .

2 . I n t h e s a m e p y r a m i d f i n d : ( a ) t h e a n g l e s a t w h i c ht h e l a t e r a l e d g e a n d f a c e a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e ; ( b )

t h e d i h e d r a l a n g l e b e t w e e n t w o a d j a c e n t l a t e r a l f a c e s .5 3 3 . C o n s t r u c t a q u a d r a n g u l a r p y r a m i d i n w h i c h a l lt h e e i g h t e d g e s a r e o f t h e s a m e l e n g t h . F i n d t h e a n g l e

a t t h e v e r t e x o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n o f t h i s p y r a m i d .5 3 4 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r e c t a n g l e A B C D w i t h

t h e s i d e s o f 1 8 c m a n d 2 4 c m . T h e l a t e r a l e d g e S B i sp e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e a n d e q u a l t o 1 0 . 8 c m . D e t e r m i -

n e t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s o f t h e p y r a m i d .5 3 5 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e a r e a o f

t h e l a t e r a l f a c e e q u a l s Q . T h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e l a t e -r a l e d g e a m o u n t s t o 1 2 0 ° . F i n d t h e a r e a o f t h e d i a g o n a ls e c t i o n .

5 3 6 . F i n d t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s o f a q u a d -r a n g u l a r p y r a m i d w h o s e b a s e i s a p a r a l l e l o g r a m w i t h

t h e s i d e s 2 3 c m a n d 1 1 c m l o n g . T h e d i a g o n a l s o f t h e




p a r a l l e l o g r a m a r e i n t h e r a t i o o f 2 t o 3 . T h e a l t i t u d e o ft h e p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t o f . i n t e r s e c t i o n o ft h e d i a g o n a l s o f t h e b a s e . T h e s m a l l e r l a t e r a l e d g e o ft h e p y r a m i d i s e q u a l t o 2 6 c m .

5 3 7 . T h e a l t i t u d e o f a p y r a m i d i s d i v i d e d i n t o t h r e ee q u a l p a r t s a n d t h r o u g h t h e d i v i s i o n p o i n t s s e c t i o n s a r ed r a w n p a r a l l e l t o t h e b a s e . D e t e r m i n e t h e a r e a s o f t h es e c t i o n s i f t h e a r e a o f t h e b a s e i s e q u a l t o 9 0 0 c m 2 .

5 3 8 . T h r o u g h a p o i n t w h i c h d i v i d e s t h e a l t i t u d e o fa p y r a m i d i n t h e r a t i o o f 2 t o 3 a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l

t o t h e b a s e . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n i s 1 0 c m 2 s m a l l e rt h a n t h e a r e a o f t h e b a s e o f t h e p y r a m i d . F i n d t h e a r e a

o f t h e s e c t i o n . ( C o n s i d e r t w o c a s e s . )5 3 9 . I n w h a t r a t i o i s t h e a l t i t u d e o f a p y r a m i d d i v i d e d

b y a s e c t i o n d r a w n p a r a l l e l t o t h e b a s e i f t h e a r e a o f t h e

s e c t i o n i s e q u a l t o : ( 1 ) h a l f t h e a r e a o f t h e b a s e ; ( 2 ) 4 t h e

a r e a o f t h e b a s e ; ( 3 ) 9 t h e a r e a o f t h e b a s e ; ( 4 ) n t h ea r e a o f t h e b a s e ?

5 4 0 . T h e a r e a o f t h e b a s e o f a p y r a m i d i s e q u a l t o2 2 4 c m 2 a n d t h e a r e a o f a s e c t i o n p a r a l l e l t o i t t o 1 4 c m 2 .

T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e m i s e q u a l t o 2 7 c m . F i n d t h ea l t i t u d e o f t h e p y r a m i d .

5 4 1 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d w i t h t h e s i d eo f t h e b a s e a a n d t h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e

r i g h t a n g l e a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e b a s e w h i c hc u t s f r o m e a c h l a t e r a l e d g e a s e g m e n t e q u a l t o m ( a sm e a s u r e d f r o m t h e v e r t e x ) . I n w h a t r a t i o i s t h e a l t i t u d ec u t b y t h e s e c t i o n ?

5 4 2 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d i s8 d m h i g h a n d t h e s i d e o f t h e b a s e i s e q u a l t o 2 d m .

C o m p u t e t h e a r e a o f a s e c t i o n d r a w n t h r o u g h t h e s i d eo f t h e b a s e p e r p e n d i c u l a r t o t h e o p p o s i t e e d g e .5 4 3 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d

i s e q u a l t o 4 0 c m a n d t h e d i a g o n a l o f t h e b a s e t o 6 0 c m .D r a w a p l a n e t h r o u g h t h e d i a g o n a l o f t h e b a s e o f t h e

p y r a m i d p e r p e n d i c u l a r t o a l a t e r a l e d g e . C o m p u t e t h ea r e a o f t h e s e c t i o n a n d t h e a n g l e a t w h i c h i t i s i n c l i n e d

t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s e .




5 4 4 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o ft h e b a s e i s e q u a l t o 3 c m a n d t h e a l t i t u d e t o 2 c m . I nw h a t r a t i o d o e s t h e s e c t i o n b i s e c t i n g t h e d i h e d r a l a n g l ea t t h e b a s e d i v i d e t h e a r e a o f t h e o p p o s i t e f a c e ?

5 4 5 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a s q u a r e . T h e t h r e el a t e r a l e d g e s a r e a , b a n d c . F i n d t h e f o u r t h o n e .

1 7 . T h e T r u n c a t e d P y r a m i d

5 4 6 . 1 . - H o w m a n y d i a g o n a l s c a n b e d r a w n i n a t r u n -c a t e d : ( a ) q u a d r a n g u l a r , ( b ) p e n t a g o n a l , ( c ) n - g o n a l

p y r a m i d ?2 . W h a t f i g u r e s a r e y i e l d e d b y t h e d i a g o n a l s e c t i o n s

o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d ; i r r e g u l a r t r u n c a t e dp y r a m i d ?

3 . H o w m a n y d i a g o n a l s e c t i o n s c a n b e d r a w n t h r o u g h

o n e l a t e r a l e d g e i n a n n - g o n a l t r u n c a t e d p y r a m i d , t h r o u g ha l l t h e e d g e s ?

5 4 7 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h es i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 5 d m a n d 1 1 d m , a n d t h e

l a t e r a l e d g e t o 4 d m . F i n d t h e a l t i t u d e a n d t h e s l a n th e i g h t o f t h e p y r a m i d .

. 5 4 8 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

a l t i t u d e a n d t h e s l a n t h e i g h t a r e e q u a l t o 1 5 c m a n d1 7 c m , r e s p e c t i v e l y . T h e a l t i t u d e o f t h e s m a l l e r b a s ee q u a l s 6 c m . F i n d t h e s i d e s o f t h e b a s e s a n d t h e l a t e r a le d g e .

5 4 9 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s 1 2 c m l o n g a n d f o r m s a n a n g l e o f 6 0 ° w i t h t h e p l a n ec o n t a i n i n g t h e l a r g e r b a s e . . T h e s i d e o f t h e s m a l l e r b a s e

i s e q u a l t o 3 j / 3 c m . F i n d t h e s i d e o f t h e l a r g e r b a s e , t h ea l t i t u d e a n d t h e s l a n t h e i g h t o f t h e p y r a m i d .5 5 0 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

s i d e s o f ' t h e b a s e s e q u a l 1 8 c m a n d 1 2 c m , a n d t h e l a t e r a lf a c e s a r e i n c l i n e d t o t h e p l a n e o f t h e g r e a t e r b a s e a t a n

a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e a l t i t u d e a n d t h e l a t e r a l e d g e o ft h i s t r u n c a t e d p y r a m i d a n d t h e a l t i t u d e o f t h e c o r r e s p o n d -

i n g n o n - t r u n c a t e d p y r a m i d .




5 5 8 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l t r u n c a t e d p y r a m i d t h es i d e o f t h e s m a l l e r b a s e i s e q u a l t o 1 4 c m . T h e s l a n t h e i g h t

o f t h e p y r a m i d e q u a l t o 8 c m i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e rb a s e a t a n a n g l e o f 3 0 D e t e r m i n e t h e s i d e o f t h e g r e a t e rb a s e a n d t h e d i a g o n a l s o f t h e p y r a m i d .

5 5 9 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r i a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 2 d m a n d 5 d m a n d t h e

a l t i t u d e t o 1 d m . T h r o u g h t h e v e r t e x o f t h e s m a l l e r b a s ea s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e o p p o s i t e l a t e r a l f a c e .

F i n d t h e a r e a o f t h i s s e c t i o n .

5 6 0 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h ed i a g o n a l o f t h e l a t e r a l f a c e i s 8 c m l o n g a n d p e r p e n d i c u l a rt o t h e l a t e r a l s i d e o f t h e p y r a m i d . T h e s i d e o f t h e g r e a t e rb a s e i s t o t h e l a t e r a l e d g e a s 5 t o 3 . D e t e r m i n e t h e a r e ao f t h e d i a g o n a l s e c t i o n o f t h e p y r a m i d .

5 6 1 . T h e d i a g o n a l s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e dp y r a m i d a r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e r a l e d g e s . T h e

l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o 7 2 c m a n d i t sa l t i t u d e t o 5 6 c m . F i n d t h e s i d e s o f t h e b a s e s o f t h ep y r a m i d a n d t h e a r e a o f i t s d i a g o n a l s e c t i o n .

5 6 2 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 1 8 d m a n d 1 2 d m a n d t h el a t e r a l f a c e s a r e i n c l i n e d t o t h e p l a n e o f t h e g r e a t e r b a s ea t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e d i a g o n a l s o f t h i s p y r a m i d

a n d a r e a s o f i t s d i a g o n a l s e c t i o n s .5 6 3 . T h e s l a n t h e i g h t o f - a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n -

c a t e d p y r a m i d i s e q u a l t o 2 0 d m a n d t h e s i d e s o f i t sb a s e s t o 1 2 d m a n d 6 d m . D e t e r m i n e t h e a r e a o f a s e c t i o n

o f t h i s p y r a m i d p a s s i n g t h r o u g h o p p o s i t e s i d e s o f t h eb a s e s .

5 6 4 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

s i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 2 0 m a n d 1 0 m , t h e l a t e r a le d g e i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° .C u t t h e p y r a m i d b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e s i d e o ft h e g r e a t e r b a s e p e r p e n d i c u l a r t o t h e o p p o s i t e l a t e r a lf a c e a n d c o m p u t e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .

5 6 5 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l t r u n c a t e d p y r a m i d t h es i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 1 2 c m a n d 1 8 c m a n d t h e

l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e g r e a t e r




b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . D e t e r m i n e t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a ls e c t i o n s .

5 6 6 . T h e b a s e s o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a r e r e c t a n g l e s .T h e s i d e s o f t h e g r e a t e r b a s e a x e e q u a l t o 3 0 c m a n d 4 0 c m ,a n d t h o s e o f t h e s m a l l e r b a s e t o 1 5 c m a n d 2 0 c m . O n eo f t h e l a t e r a l e d g e s i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e s c o n t a i n -i n g t h e b a s e s a n d e q u a l s 8 c m . D e t e r m i n e : ( 1 ) t h e l a t e r a le d g e s o f t h e p y r a m i d ; ( 2 ) t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f t h el a t e r a l e d g e s t o t h e g r e a t e r b a s e ; ( 3 ) t h e a r e a s o f t h el a t e r a l f a c e s ; ( 4 ) t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l

f a c e s t o t h e g r e a t e r b a s e ; ( 5 ) t h e d i a g o n a l s ; ( 6 ) t h e a n g l e so f i n c l i n a t i o n o f t h e d i a g o n a l s t o t h e b a s e s ; ( 7 ) t h e a r e a so f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s ; ( 8 ) t h e a n g l e s o f i n c l i n a t i o n o f

t h e d i a g o n a l p l a n e s t o t h e b a s e s .5 6 7 . T h e a r e a s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a r e

e q u a l t o 1 6 c m 2 a n d 1 4 4 c m 2 , a n d t h e a l t i t u d e t o 1 8 c m .F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e c o r r e s p o n d i n g n o n - t r u n c a t e d

p y r a m i d .5 6 8 . T h e a r e a s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a r eQ 1 a n d Q 2 . F i n d t h e a r e a o f t h e m i d - s e c t i o n a n d t h e a r e a

o f t h e s e c t i o n w h i c h i s p a r a l l e l t o t h e b a s e s a n d d i v i d e st h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d i n t h e r a t i o o f 1 t o 2 ( i n t h ed i r e c t i o n o f t h e g r e a t e r b a s e ) .

1 8 . . R e g u l a r P o l y h e d r o n s

5 6 9 . T w o t e t r a h e d r o n s w i t h e q u a l e d g e s a r e b r o u g h tt o g e t h e r s o t h a t t h e i r c o n t a c t i n g f a c e s c o i n c i d e . H o w

m a n y v e r t i c e s , e d g e s a n d f a c e s h a s t h e p o l y h e d r o n t h u so b t a i n e d ? W i l l t h e o b t a i n e d p o l y h e d r o n b e r e g u l a r ?

5 7 0 . P r o v e t h a t t h e s t r a i g h t l i n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e

m i d p o i n t o f t h e a l t i t u d e a n d t h e v e r t i c e s o f t h e b a s e o fa t e t r a h e d r o n a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r .5 7 1 . T h e e d g e o f a t e t r a h e d r o n i s e q u a l t o a . D e t e r m i n e

t h e a l t i t u d e , t h e s l a n t h e i g h t a n d t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o no f t h e e d g e t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e f a c e .

5 7 2 . P r o v e t h a t i n a t e t r a h e d r o n t h e s u m o f t h e d i s t a n -c e s b e t w e e n t h e c e n t r e o f t h e b a s e a n d t h e l a t e r a l f a c e s

i s e q u a l t o t h e a l t i t u d e o f t h e t e t r a h e d r o n .




a n d c o m p u t e i t s s u r f a c e a r e a i f t h e e d g e o f t h e o c t a h e d r o ni s e q u a l t o a .

5 8 3 . A c u b e i s i n s c r i b e d i n a n o c t a h e d r o n s o t h a t i t sv e r t i c e s a r e f o u n d o n t h e e d g e s o f t h e o c t a h e d r o n . D e t e r -m i n e t h e d i a g o n a l o f t h e c u b e i f t h e e d g e o f t h e o c t a -

h e d r o n i s e q u a l t o a .5 8 4 . A r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m i s i n s c r i b e d i n a n

o c t a h e d r o n s o t h a t i t s v e r t i c e s l i e o n t h e e d g e s o f t h eo c t a h e d r o n . T h e l a t e r a l e d g e o f t h e p r i s m i s t w i c e t h e

l e n g t h o f t h e s i d e o f i t s b a s e . D e t e r m i n e t h e e d g e s o ft h e p r i s m i f t h e e d g e o f t h e o c t a h e d r o n i s e q u a l t o a .

1 9 . T h e R i g h t C i r c u l a r C y l i n d e r

5 8 5 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e s i t u a t e d a ta g i v e n d i s t a n c e f r o m a g i v e n s t r a i g h t l i n e .

2 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e s i t u a t e d a t a g i v e nd i s t a n c e f r o m a g i v e n c y l i n d r i c a l s u r f a c e .3 . F i n d t h e l o c u s o f p o i n t s o f s p a c e s i t u a t e d a t a g i v e n

d i s t a n c e f r o m t w o g i v e n p a r a l l e l s t r a i g h t l i n e s .5 8 6 . T h e d i a g o n a l o f a n a x i a l s e c t i o n o f a c y l i n d e r

d = 4 0 c m a n d i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a == 6 6 ° 2 5 ' . D e t e r m i n e t h e " a l t i t u d e o f t h e c y l i n d e r a n d

t h e r a d i u s o f i t s b a s e .5 8 7 . 1 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e o f a c y l i n d e r i s e q u a l t o

3 m , i t s a l t i t u d e t o 8 m . F i n d t h e d i a g o n a l o f a n a x i a ls e c t i o n .

2 . A n a x i a l s e c t i o n o f a c y l i n d e r i s a s q u a r e w h o s e a r e ai s S . F i n d t h e a r e a o f t h e b a s e .

5 8 8 . T h e a l t i t u d e o f a c y l i n d e r i s e q u a l t o 1 6 d m , t h er a d i u s o f t h e b a s e t o 1 0 d m . T h e e n d - p o i n t s o f a g i v e n

l i n e s e g m e n t w h i c h i s 2 0 d m l o n g l i e o n t h e c i r c u m f e r e n c e so f b o t h b a s e c i r c l e s . F i n d t h e s h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e n

t h i s s e g m e n t a n d t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r .5 8 9 . T h e e n d - p o i n t s o f a l i n e s e g m e n t A B a r e s i t u a t e d

o n t h e c i r c u m f e r e n c e s o f t h e b a s e c i r c l e s o f a c y l i n d e r .T h e p r o j e c t i o n o f t h e e n d - p o i n t o f t h e s e g m e n t o n a

p a r a l l e l t o i t a x i a l s e c t i o n d i v i d e s t h e d i a m e t e r o f t h e

b a s e i n t h e r a t i o o f 1 : 5 . F i n d t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t




A B i f t h e r a d i u s o f t h e b a s e a n d t h e a l t i t u d e o f t h e c y l i n -d e r a r e e q u a l t o 1 8 c m a n d 3 2 c m , r e s p e c t i v e l y .

5 9 0 . A t r i a n g l e A B C i n w h i c h A B = 1 5 c m , A C == 1 4 c m a n d B C = 1 3 c m r o t a t e s a b o u t a n a x i s w h i c hp a s s e s t h r o u g h t h e v e r t e x C p a r a l l e l t o t h e s i d e A B .

F i n d t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c y l i n d e rg e n e r a t e d b y t h e s i d e A B .

5 9 1 . 1 . W h a t p o i n t i s t h e c e n t r e o f s y m m e t r y o f a r i g h tc i r c u l a r c y l i n d e r ?

2 . H o w m a n y a x e s o f s y m m e t r y h a s a r i g h t c i r c u l a rc y l i n d e r ? W h a t a r e t h e y ?3 . W h a t p l a n e s a r e t h e p l a n e s o f s y m m e t r y o f a r i g h t

c i r c u l a r c y l i n d e r ?5 9 2 . A p l a n e i s d r a w n t h r o u g h t w o e l e m e n t s o f a c y l i n -

d e r . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n c o n s t i t u t e s 7 5 p e r c e n t o f t h ea r e a o f a n a x i a l s e c t i o n o f t h e c y l i n d e r . F i n d t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h i s s e c t i o n a n d t h e a x i s o f r o t a t i o n o f t h e c y l i n -

d e r i f t h e r a d i u s o f i t s b a s e i s e q u a l t o 8 c m .5 9 3 . I n a c y l i n d e r w i t h t h e r a d i u s o f t h e b a s e o f 4 0 c m

a n d t h e a l t i t u d e 3 0 c m a p l a n e i s d r a w n p a r a l l e lt o t h e a x i s a n d a t a d i s t a n c e o f 2 4 c m f r o m i t . F i n d t h e

a r e a o f t h e s e c t i o n .5 9 4 . I n a c y l i n d e r a p l a n e i s d r a w n p a r a l l e l t o i t s

a x i s t o c u t a r c s o f 1 2 0 ° f r o m t h e b a s e c i r c l e s . T h e p e r i -m e t e r o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o 6 0 c m , a n d i t s a r e a t o2 2 5 c m 2 . D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f t h e b a s e o f t h e c y l i n d e ra n d i t s a l t i t u d e .

5 9 5 . T h e a l t i t u d e o f a c y l i n d e r i s 1 6 d m , t h e r a d i u s o ft h e b a s e , 1 0 d m . T h e c y l i n d e r i s c u t b y a p l a n e p a r a l l e lt o i t s a x i s s o t h a t t h e s e c t i o n f i g u r e i s a s q u a r e . F i n dt h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e s e c t i o n a n d t h e a x i s o f t h e

c y l i n d e r .5 9 6 . D e t e r m i n e t h e c r o s s - s e c t i o n a n d a x i a l s e c t i o n o f

a p i p e 3 m l o n g w h o s e o u t e r a n d i n n e r d i a m e t e r s a r ee q u a l t o 0 . 5 m a n d 0 . 4 m , r e s p e c t i v e l y .

5 9 7 . I n a c y l i n d e r a s e c t i o n i s d r a w n p e r p e n d i c u l a rt o i t s b a s e a n d d i v i d i n g t h e b a s e c i r c l e i n t h e r a t i o o f 1

t o 5 . F i n d t h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e g i v e n a n d a x i a l

s e c t i o n s o f t h e c y l i n d e r ,




5 9 8 . A r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m i s i n s c r i b e d i na c y l i n d e r . T h e d i a g o n a l o f t h e l a t e r a l f a c e o f t h e p r i s m

i s e q u a l t o l a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .F i n d t h e d i a g o n a l o f a n a x i a l s e c t i o n o f t h e c y l i n d e r .

5 9 9 . T h e a l t i t u d e o f a c y l i n d e r h = . 4 d m , t h e r a d i u so f t h e b a s e r = 1 4 d m . A s q u a r e i s i n s c r i b e d i n t h i s

c y l i n d e r i n c l i n e d t o i t s a x i s s o t h a t a l l i t s v e r t i c e s a r ef o u n d o n c i r c u m f e r e n c e s o f t h e b a s e c i r c l e s . F i n d t h ea r e a o f t h i s s q u a r e .

6 0 0 . A.

p l a n e i s d r a w n t h r o u g h t h e d i a m e t e r o f t h eu p p e r b a s e a n d ' a c h o r d o f t h e l o w e r b a s e o f a c y l i n d e r .T h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h i s p l a n e a n d t h e e n d - p o i n t so f t h e d i a m e t e r o f t h e l o w e r b a s e w h i c h i s p e r p e n d i c u l a r

t o t h e c h o r d a r e a s 1 : 2 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e o f t h ec y l i n d e r i s e q u a l t o 3 d m a n d i t s a l t i t u d e t o V d m .D e t e r m i n e t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e c u t t i n g p l a n et o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e b a s e o f t h e c y l i n d e r .

6 0 1 . I n a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r ( i . e . i n a c y l i n d e r w h o s ea x i a l s e c t i o n i s a s q u a r e ) a . p y r a m i d i s i n s c r i b e d w h o s eb a s e i s a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e a n d o n e o f t h e l a t e r a le d g e s i s a n e l e m e n t o f t h e c y l i n d e r . C o m p u t e t h e a r e ao f t h e g r e a t e r f a c e o f t h e p y r a m i d a n d t h e a n g l e a t w h i c hi t i s i n c l i n e d t o t h e b a s e i f t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l

s e c t i o n o f t h e c y l i n d e r e q u a l s 8 Y 2 c m .6 0 2 . A r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m w h o s e e d g e i s ai s i n s c r i b e d i n a c y l i n d e r . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e a x i a l

s e c t i o n o f t h e c y l i n d e r .

6 0 3 . A r e g u l a r q u a d r a n g u l a r , p y r a m i d i s i n s c r i b e d i na c y l i n d e r w h o s e a l t i t u d e H = 5 d m . I t s l a t e r a l e d g ei s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a = 5 8 ° 1 2 ' . D e t e r m i n e

t h e r a d i u s o f t h e b a s e o f t h e c y l i n d e r .6 0 4 . A r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m i s i n s c r i b e d i n a c y l i n -

d e r . A l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e c e n t r e o f t h e c y l i n d e rb a s e t o a p o i n t M o f a l a t e r a l e d g e o f t h e p r i s m i s e q u a lt o 1 6 c m a n d f o r m s w i t h t h e l a t e r a l e d g e a n a n g l e o f 3 0 ° .T h e p o i n t M d i v i d e s t h e l a t e r a l e d g e i n t h e r a t i o o f 1

t o 4 . F i n d t h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c y l i n d e r .

( T w o c a s e s . )




6 0 5 . T h e d i a g o n a l o f a n a x i a l s e c t i o n o f a n e q u i l a t e r a lc y l i n d e r i s e q u a l t o d . F i n d t h e e d g e s o f a r e g u l a r t r i a n -

g u l a r p r i s m i n s c r i b e d i n t h i s c y l i n d e r .6 0 6 . A c y l i n d e r i s i n s c r i b e d i n a r i g h t t r i a n g u l a r

p r i s m ; t h e s i d e s o f i t s b a s e a r e 2 6 c m , 2 8 c m a n d 3 0 c m .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c y l i n d e ra n d t h e a r e a o f i t s b a s e i f t h e a l t i t u d e o f . t h e p r i s m i se q u a l t o 4 0 c m .

6 0 7 . A l i n e s e g m e n t i s t a n g e n t t o a c y l i n d e r a n d i t se n d - p o i n t s a r e c o n t a i n e d i n t h e p l a n e s o f t h e b a s e s o f t h e

c y l i n d e r . T h e e n d - p o i n t s o f t h e s e g m e n t a r e 2 0 c m a n d1 5 c m d i s t a n t f r o m t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r . D e t e r m i n e

t h e l e n g t h o f t h i s s e g m e n t i f t h e r a d i u s o f t h e b a s e i se q u a l t o 1 2 c m a n d t h e a l t i t u d e t o 2 5 c m .

6 0 8 . T h e d i a m e t e r s A B a n d C D o f t h e u p p e r a n d l o w e rb a s e s o f a c y l i n d e r a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r . A s e c t i o no f t h e c y l i n d e r p a s s e s t h r o u g h o n e d i a m e t e r a n d t h e

e n d - p o i n t o f t h e o t h e r . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n i s t o t h ea r e a o f t h e b a s e o f t h e c y l i n d e r a s 1 : 2 V 2 . P r o v e t h a t

t h e d i a m e t e r o f t h e b a s e o f t h e c y l i n d e r i s t w i c e t h el e n g t h o f i t s a l t i t u d e .

6 0 9 . A r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d i s i n s c r i b e d i na c y l i n d e r w h o s e a l t i t u d e e q u a l s 1 0 c m . T h e e n d - p o i n to f a n e l e m e n t p a s s i n g t h r o u g h a v e r t e x o f t h e b a s e o f

t h e p y r a m i d i s 6 c m d i s t a n t f r o m i t s e d g e . F i n d t h e s i d eo f t h e b a s e a n d t h e l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d .

2 0 . T h e R i g h t C i r c u l a r C o n e

6 1 0 . O r a l l y . 1 . T h e g e n e r a t o r o f a c o n e i s e q u a l t o1 0 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 6 c m . F i n d t h e r a d i u s o f t h e

b a s e .2 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o H . T h e g e n e r a t o r

i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e r a d i u so f t h e b a s e .

3 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e o f a c o n e i s R . T h e a x i a ls e c t i o n i s a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e . F i n d i t s a r e a .

6 1 1 . 1 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e o f a c o n e i s R , t h e a l t i -

t u d e i s h . F i n d t h e g e n e r a t o r .




2 . T h e a r e a o f t h e b a s e o f a c o n e i s Q , t h e g e n e r a t o r

i s 1 . F i n d t h e a l t i t u d e o f a c o n e .3 . T h e g e n e r a t o r o f a c o n e 1 i s i n c l i n e d t o i t s b a s e a t

a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e a n d t h e a l t i -t u d e o f t h e c o n e .

4 . T h e r a d i u s o f t h e , b a s e o f a c o n e i s R , t h e a r e a o f t h ea x i a l s e c t i o n i s Q . F i n d t h e g e n e r a t o r .

6 1 2 . A r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e A B C w i t h a r i g h t a n g l e Cr e v o l v e s a b o u t t h e s i d e B C . W h a t f i g u r e s a r e o b t a i n e db y r e v o l v i n g : ( 1 ) t h e p o i n t A , ( 2 ) t h e s i d e A C , ( 3 ) t h e

h y p o t e n u s e A B , ( 4 ) t h e t r i a n g l e A B C ?6 1 3 . A t r a p e z i u m A B C D i n w h i c h A D 1 1 B C ( A D > B C )

a n d A B 1 A D r e v o l v e s a b o u t a s t r a i g h t l i n e p a s s i n gt h r o u g h t h e v e r t e x o f a n a c u t e a n g l e p a r a l l e l . t o t h es m a l l e r l a t e r a l s i d e . W h a t f i g u r e s a r e o b t a i n e d b y r o t a t i n g :

( 1 ) t h e v e r t i c e s o f t h e t r a p e z i u m , ( 2 ) t h e s i d e s o f t h et r a p e z i u m , ( 3 ) t h e t r a p e z i u m i t s e l f ?

6 1 4 . T h e a n g l e a t t h e v e r t e x o f a n a x i a l s e c t i o n o fa c o n e i s a r i g h t o n e . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n a r e a i se q u a l t o 2 5 c m 2 . F i n d t h e g e n e r a t o r o f t h e c o n e a n d t h ea r e a o f i t s b a s e .

M . 1 . T h e r a t i o o f t h e a r e a o f t h e b a s e o f a c o n e a n dt h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n i s e q u a l t o n V 3 . F i n d

t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e g e n e r a t o r t o t h e b a s e .2 . F i n d t h e r a t i o o f t h e a r e a o f t h e b a s e o f a n e q u i l a -t e r a l c o n e ( i . e . o f a c o n e w h o s e a x i a l s e c t i o n i s a n e q u i l a -t e r a l t r i a n g l e ) t o t h e a r e a o f i t s a x i a l s e c t i o n .

6 1 6 . T h e d i a m e t e r o f t h e b a s e c i r c l e o f a c o n e i s e q u a lt o 5 4 c m a n d t h e g e n e r a t o r t o 4 5 c m . D e t e r m i n e t h e a r e ao f t h e a x i a l s e c t i o n a n d t h e m a x i m u m a n g l e b e t w e e n t h e

e l e m e n t s .6 1 7 . T w o m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r e l e m e n t s o f a c o n ea r e s u b t e n d e d b y a c h o r d o f t h e b a s e c i r c l e e q u a l t o a .

T h e a l t i t u d e o f t h e c o n e e q u a l s 2 . ( 1 ) D e t e r m i n e t h e

a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e g e n e r a t o r t o t h e b a s e a n d t h ea n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c o n e . ( 2 ) I s

i t p o s s i b l e t o d r a w i n t h e b a s e c i r c l e a c h o r d l o n g e r t h a n ' a ?




e l e m e n t s t h e a n g l e b e t w e e n w h i c h a m o u n t s t o 6 0 ° . F i n dt h e a n g l e b e t w e e n t h i s p l a n e a n d t h e b a s e .

6 2 7 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e o f a c o n e i s e q u a l t o 1 6 c m .F i n d t h e a r e a o f a s e c t i o n p a r a l l e l t o t h e b a s e w h i c hd i v i d e s t h e a l t i t u d e o f t h e c o n e : ( 1 ) i n t o t w o e q u a l p a r t s ;( 2 ) i n t h e r a t i o o f 1 t o 3 ( a s m e a s u r e d f r o m t h e v e r t e x ) ;( 3 ) i n t h e r a t i o o f m t o n .

6 2 8 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o 3 6 c m a n d t h ed i a m e t e r o f t h e b a s e c i r c l e t o 2 4 c m . T h e c o n e i s o u t b ya p l a n e p a r a l l e l t o t h e b a s e s o t h a t t h e a r e a o f t h e s e c t i o ne q u a l s 6 4 g c m 2 . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ec u t t i n g p l a n e a n d t h e b a s e o f t h e c o n e .

6 2 9 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o 1 5 c m . A t ad i s t a n c e o f 6 c m f r o m t h e b a s e a s e c t i o n p a r a l l e l t o t h eb a s e i s d r a w n w h o s e a r e a i s 3 6 a c m 2 . F i n d , t h e r a d i u so f t h e b a s e c i r c l e .

6 3 0 . T h r o u g h t h e m i d - p o i n t o f a n e l e m e n t 1 = 1 0 c mo f a n e q u i l a t e r a l c o n e a p l a n e i s d r a w n p e r p e n d i c u l a r

t o t h i s e l e m e n t . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n t h u so b t a i n e d i f t h e p r o j e c t i o n o f t h e s e c t i o n o n t h e p l a n eo f t h e b a s e o f t h e c o n e i s a c i r c l e .

6 3 1 . . I n a c o n e w i t h t h e a l t i t u d e h = 1 5 c m a r e g u l a rt r i a n g u l a r p y r a m i d i s i n s c r i b e d . I t s f a c e s a r e i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e o f a = 3 6 ° 3 4 ' . D e t e r m i n e t h e

g e n e r a t o r o f t h e c o n e .6 3 2 . A r e g u l a r t e t r a h e d r o n c a n b e i n s c r i b e d i n a g i v e n

c o n e . C o m p u t e t h e m a x i m u m a n g l e b e t w e e n t h e e l e m e n t so f s u c h a c o n e .

6 3 3 . A c u b e w i t h t h e e d g e a i s i n s c r i b e d i n a n e q u i l a -t e r a l c o n e . F i n d t h e g e n e r a t o r o f t h e c o n e .

6 3 4 . I n a n e q u i l a t e r a l c o n e a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r i si n s c r i b e d s o t h a t t h e i r a x e s c o i n c i d e . F i n d t h e a r e a o f

t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c o n e i f t h a t o f t h e c y l i n d e r i se q u a l t o a 2 .

6 3 5 . I n s c r i b e d i n a n e q u i l a t e r a l c o n e i s a r e c t a n g u l a rp a r a l l e l e p i p e d w i t h a s q u a r e b a s e . T h e a l t i t u d e o f t h ep a r a l l e l e p i p e d i s t w i c e t h e l e n g t h o f t h e s i d e o f t h e b a s ee q u a l t o a . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e

c o n e .



C H . ' I V . P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S 9 3

2 1 . T h e T r u n c a t e d C o n e

6 3 6 . A r h o m b u s A B C D ( A C b e i n g t h e g r e a t e r d i a g o n a l )r e v o l v e s a b o u t a s t r a i g h t l i n e w h i c h i s p e r p e n d i c u l a r t ot h e d i a g o n a l A C a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e x C .W h a t f i g u r e s a r e o b t a i n e d b y r e v o l v i n g t h e v e r t i c e s o ft h e r h o m b u s , t h e s i d e s o f t h e r h o m b u s , t h e d i a g o n a l so f t h e r h o m b u s , t h e r h o m b u s i t s e l f ?

6 3 7 . A n . i s o s c e l e s t r a p e z i u m A B C D ( B C 1 1 A D a n d

B C < A D ) r e v o l v e s a b o u t a s t r a i g h t l i n e p e r p e n d i c u l a rt o t h e b a s e A D a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e x A . W h a tf i g u r e s a r e o b t a i n e d b y r e v o l v i n g t h e v e r t i c e s o f t h e

t r a p e z i u m , t h e s i d e s o f t h e t r a p e z i u m , t h e d i a g o n a l s o ft h e t r a p e z i u m , t h e t r a p e z i u m i t s e l f ?

6 3 8 . 1 . T h e r a d i i o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r e

e q u a l t o 8 i n a n d 5 i n , t h e a l t i t u d e t o 4 m . F i n d t h e g e n e -r a t o r .

2 . T h e r a d i i o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r e Ra n d r ; t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e

o f 4 5 ° . F i n d t h e a l t i t u d e .3 . T h e a l t i t u d e o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o H .

D e t e r m i n e t h e g e n e r a t o r i f i t i s i n c l i n e d t o t h e b a s ea t a n a n g l e o f 3 0 ° .

6 3 9 . 1 . T h e r a d i i o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r ee q u a l t o 7 c m a n d - 2 2 c m , a n d t h e g e n e r a t o r t o 2 5 c m .F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e c o n e .

2 . T h e g e n e r a t o r l o f a t r u n c a t e d c o n e ' i s i n c l i n e d t ot h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° .T h e r a d i u s . o f t h e s m a l l e r b a s e i s e q u a l t o r . D e t e r m i n et h e a l t i t u d e a n d t h e r a d i u s o f t h e g r e a t e r b a s e o f t h ec o n e .

6 4 0 . T h e a l t i t u d e o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o 1 2 c m ,t h e g e n e r a t o r t o 1 3 c m . F i n d t h e r a d i i o f t h e b a s e s o f t h e

c o n e i f t h e i r r a t i o i s 3 : 4 .6 4 1 . T h e g e n e r a t o r o f a t r u n c a t e d c o n e e q u a l t o 1 i s

i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° a n d p e r p e n d i c u l a rt o t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n . F i n d t h e r a d i i o f t h e

b a s e s a n d t h e a l t i t u d e .



9 4 P 1 1 O $ L E M S I N G 1 O M E T A Y

6 4 2 . T h e r a d i i o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r e Ra n d r , t h e a l t i t u d e i s h . A c i r c l e c a n b e i n s c r i b e d i n t h e

a x i a l s e c t i o n . P r o v e t h a t h = 2 Y R r .6 4 3 . T h e a r e a o f t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n t h e a x i a l s e c -

t i o n o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o Q . T h e g e n e r a t o r i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e r a d i i

o f t h e b a s e s .

6 4 4 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e d i a g o n a l s o f . t h e a x i a ls e c t i o n a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r a n d d i v i d e d a t t h e

p o i n t o f i n t e r s e c t i o n i n t h e r a t i o o f 7 t o 2 4 . T h e g e n e r a t o ro f t h e c o n e i s e q u a l t o 5 0 c m . D e t e r m i n e t h e r a d i i o ft h e b a s e s a n d t h e a l t i t u d e o f t h e c o n e .

6 4 5 . A t r i a n g l e w h o s e s i d e s a r e 2 5 c m , 2 9 c m a n d 3 6 c ml o n g r o t a t e s a b o u t a n a x i s p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e xo f t h e m e d i u m a n g l e a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e g r e a t e rs i d e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e t r u n -

c a t e d c o n e g e n e r a t e d b y t h e m e d i u m s i d e o f t h e t r i a n g l e .6 4 6 . T h e a x i a l s e c t i o n o f a t r u n c a t e d c o n e i s a t r a p e -

z i u m i n w h i c h t h e d i a g o n a l i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e -r a l s i d e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n i ft h e g e n e r a t o r a n d t h e a l t i t u d e o f t h e t r u n c a t e d c o n e a r e

e q u a l t o 1 5 d m a n d 1 2 d m , r e s p e c t i v e l y .

6 4 7 . I n s c r i b e d i n a t r u n c a t e d c o n e w h o s e r a d i u s o f t h es m a l l e r b a s e c i r c l e i s e q u a l t o 5 d m i s a n o t h e r t r u n c a t e dc o n e . T h e i r a x e s c o i n c i d e , a n d t h e s m a l l e r b a s e o f t h eg i v e n c o n e s e r v e s a s t h e g r e a t e r b a s e o f t h e n e w o n e .T h e r a d i u s o f t h e s m a l l e r b a s e c i r c l e o f t h e i n s c r i b e dc o n e i s e q u a l t o 2 d m . T h e g e n e r a t o r s o f b o t h c o n e s a r e

e q u a l t o e a c h o t h e r a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e o f t h e g i v e nc o n e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e a r e a s o f t h e a x i a l

s e c t i o n s o f b o t h c o n e s .6 4 8 . 1 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n e

a r e R a n d r . F i n d t h e a r e a o f t h e m i d - s e c t i o n p a r a l l e lt o t h e b a s e s .

2 . T h e a r e a s o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r e1 6 n c m 2 a n d 4 9 n c m 2 . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n w h i c hi s p a r a l l e l t o t h e b a s e s a n d d i v i d e s t h e a l t i t u d e o f t h e

c o n e i n t h e r a t i o o f 1 t o 2 . ( C o n s i d e r t w o c a s e s . )




6 4 9 . T h e d i a g o n a l s o f t h e a x i a l s e c t i o n o f a t r u n c a t e dc o n e a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r , i t s a l t i t u d e b e i n g e q u a lt o H . F i n d t h e a r e a o f a s e c t i o n o f t h i s t r u n c a t e d c o n e

b y a p l a n e d r a w n t h r o u g h t h e m i d - p o i n t o f t h e a l t i t u d ea n d p a r a l l e l t o t h e b a s e s .

6 5 0 . T h e a r e a s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r ee q u a l t o 3 6 3 1 c m 2 a n d 1 0 0 3 1 c m 2 , t h e a r e a o f a s e c t i o np a r a l l e l t o t h e b a s e s t o 6 4 3 1 c m 2 . I n w h a t r a t i o i s t h ea l t i t u d e d i v i d e d b y t h i s s e c t i o n ?

6 5 1 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 1 6 c m a n d 1 2 c m , t h e a l t i t u d e t o 8 c m . F i n d

t h e a r e a o f a s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h t h e p a r a l l e l c h o r d so f t h e b a s e c i r c l e s o n o n e s i d e o f t h e a l t i t u d e o f t h e c o n ei f e a c h c h o r d d i v i d e s t h e b a s e c i r c l e i n t h e r a t i o o f 1 t o 3 .

6 5 2 . T h r o u g h t w o . e l e m e n t s o f a t r u n c a t e d c o n e a p l a n ei s d r a w n c u t t i n g o f f t h e b a s e c i r c l e s a r c s o f 1 2 0 ° . D e t e r m i n e

t h e a r e a o f t h e s e c t i o n a n d t h e a n g l e a t w h i c h i t i s i n c l i n e d

t o t h e b a s e i f t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s a r e e q u a l t o1 0 c m a n d 2 c m , a n d t h e g e n e r a t o r t o 1 2 c m .

6 5 3 . I n a t r u n c a t e d c o n e A B a n d C D a r e d i a m e t e r so f t h e b a s e s p a r a l l e l t o e a c h o t h e r . T h e p o i n t M b i s e c t st h e s e m i c i r c l e C D o f t h e g r e a t e r b a s e c i r c l e . F i n d t h ea r e a o f t h e t r i a n g l e A B M i f t h e g e n e r a t o r o f t h e c o n ei s e q u a l t o 1 3 c m , a n d t h e r a d i i o f t h e b a s e s t o 4 c ma n d 9 c m .

6 5 4 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 9 c m a n d 1 5 c m , t h e a l t i t u d e t o 8 c m . T h r o u g ht h e d i a m e t e r A B o f t h e s m a l l e r b a s e c i r c l e a s e c t i o n i sd r a w n w h i c h i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t t h e s a m e a n g l e a st h e g e n e r a t o r o f t h e c o n e a n d i n t e r s e c t s t h e g r e a t e r b a s ec i r c l e a t p o i n t s C a n d D . F i n d t h e a r e a o f t h e t r a p e z i u m

A B C D .6 5 5 . T h e g e n e r a t o r , a l t i t u d e a n d r a d i u s o f t h e g r e a t e r

b a s e c i r c l e o f a t r u n c a t e d c o n e a r e e q u a l t o 1 0 c m , 6 c ma n d 1 2 c m , r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o no f t h e l a t e r a l s u r f a c e o n t h e p l a n e o f t h e g r e a t e r b a s e .

6 5 6 . T h e a r e a o f t h e p r o j e c t i o n o f t h e l a t e r a l s u r f a c e

o f a t r u n c a t e d c o n e o n t h e p l a n e o f t h e g r e a t e r b a s e i s

e q u a l t o 1 8 9 3 1 d m 2 . T h e g e n e r a t o r a n d t h e a l t i t u d e o f



C H A P T E R V

A R E A S O F P O L Y H E D R O N S

A N D R O U N D S O L I D S

2 2 . A r e a s o f P a r a l l e l e p i p e d s a n d P r i s m s

6 5 8 . 1 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f a c u b e w h o s ee d g e i s e q u a l t o : 1 0 c m , 2 . 5 c m , 5 c m .

2 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f a c u b e i f i t s d i a g o n a li s e q u a l t o : 6 c m , 4 c m , 3 c m .

3 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f a c u b e g i v e n t h e a r e a Qo f i t s d i a g o n a l s e c t i o n .

4 . D e t e r n r i n e t h e e d g e o f a c u b e i f i t s s u r f a c e a r e aa m o u n t s t o : 3 8 4 d m 2 , 8 . 6 4 m 2 .

6 5 9 . T h e e d g e o f a c u b e i s e q u a l t o 8 c m . D r a w t h ed e v e l o p m e n t o f i t s s u r f a c e a r e a . W i l l a s h e e t o f p a p e r4 0 c m x 3 0 c m s i z e b e s u f f i c i e n t f o r t h i s p u r p o s e ? D e t e r -

m i n e t h e l a t e r a l a n d t o t a l s u r f a c e a r e a s o f t h e c u b e .6 6 0 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f a r e c t a n g u l a r p a r a l -

l e l e p i p e d i f : ( 1 ) i t s d i m e n s i o n s a r e e q u a l t o 4 c m XX 6 - c m x 8 c m ; ( 2 ) t h e s i d e s o f t h e b a s e a r e e q u a l t o

6 c m a n d 8 c m , a n d i t s d i a g o n a l t o 2 6 c m ; ( 3 ) i t s d i m e n -s i o n s a r e a s 1 : 3 : 5 , a n d t h e a r e a o f t h e s m a l l e r f a c ei s e q u a l t o 2 7 d m 2 .

6 6 1 . T h e s i d e s o f t h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i -p e d a r e e q u a l t o 1 6 c m a n d 1 8 c m , a n d i t s d i a g o n a l t o3 4 c m . D e t e r m i n e t h e r a t i o o f t h e t o t a l s u r f a c e a r e a t ot h e l a t e r a l o n e .

6 6 2 . T h e s i d e s o f t h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i -p e d a r e e q u a l t o 2 0 c m a n d 2 1 c m , a n d t h e d i a g o n a l

4 - 1 2 2 4




s e c t i o n s a r e s q u a r e s . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

6 6 3 . T h e p e r i m e t e r o f t h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e -l e p i p e d i s e q u a l t o 1 4 d m , i t s d i a g o n a l a n d a l t i t u d eb e i n g e q u a l t o 1 3 d m a n d 1 2 d m , r e s p e c t i v e l y . D e t e r m i n e

t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .6 6 4 . T h e a r e a s o f t h e f a c e s o f _ a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e -

p i p e d a r e a s 3 : 5 : 1 5 , a n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h ep a r a l l e l e p i p e d i s e q u a l t o 1 8 4 d m ' . F i n d i t s d i m e n s i o n s .

6 6 5 . 1 . H o w m a n y c o n t a i n e r s o f t h e r e c t a n g u l a r s h a p ec a n b e m a n u f a c t u r e d f r o m a n i r o n s h e e t 1 4 0 c m x 7 0 c ms i z e i f t h e d i m e n s i o n s o f t h e c o n t a i n e r m u s t b e 3 5 c m x

x 2 0 c m x 1 0 c m .2 . H o w m u c h l i n e n ( 8 0 c m w i d e ) i s i t r e q u i r e d t o p a c k

a b o x w h o s e s i z e i s 2 . 4 i n x 1 . 6 i n x 1 . 5 m ? A d d 2 p e rc e n t o f t h e f o u n d a m o u n t f o r s e a m s .

6 6 6 . H o w m u c h m o r t a r i s i t r e q u i r e d t o p l a s t e r a b u i l d -i n g 4 2 . 5 i n l o n g , 1 2 . 5 i n w i d e a n d 6 . 4 i n h i g h ? T h e b u i l d -i n g h a s 3 0 w i n d o w s o f s i z e 1 . 4 i n x 2 . 2 i n . M o r t a r c o n -s u m p t i o n i s 2 0 k i l o g r a m s p e r s q u a r e m e t r e .

6 6 7 . A b o x w i t h o u t a c o v e r i s m a d e u p f r o m e i g h tb o a r d s . E a c h b o a r d i s 6 i n l o n g a n d 0 . 4 i n w i d e . T h e b o xi s 2 . 5 i n l o n g , 1 . 4 i n w i d e a n d 1 . 2 i n h i g h . T h e o v e r l a p

i n f a s t e n i n g t h e b o a r d s a m o u n t e d t o 4 p e r c e n t o f t h et o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e b o x . W h a t p e r c e n t a g e o f t h em a t e r i a l r e m a i n s u n u s e d ?

6 6 8 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m t h e d i a g o n a l i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 3 0 ° , a n d t h e l a t e r a l

s u r f a c e a r e a o f t h e p r i s m i s e q u a l t o 4 8 V 6 m 2 . D e t e r m i n et h e s i d e o f i t s b a s e .

6 6 9 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m t h e s i d e o f t h e b a s ei s e q u a l t o a . T h e d i a g o n a l o f a l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e dt o t h e p l a n e o f a n o t h e r l a t e r a l f a c e a t a n a n g l e o f 3 0 ° .

F i n d t h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a o f t h e p r i s m .

6 7 0 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m i s e q u a lt o 1 4 _ V 3 c m , a n d t h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e b a s e a n dt h e l a t e r a l f a c e i s 2 : 7 . D e t e r m i n e t h e s i d e o f t h e b a s e

o f t h e p r i s m .



C H . V . A R E A S O F P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S 9 9

6 7 1 . T h e d i a g o n a l o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m i si n c l i n e d t o t h e l a t e r a l f a c e a t a n a n g l e o f 3 0 ° . T h e s i d eo f t h e b a s e i s e q u a l t o a . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e p r i s m .

6 7 2 . 1 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m t h e s i d e o f t h eb a s e i s e q u a l t o t h e l a t e r a l e d g e . D e t e r m i n e t h e a r e a o ft h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m i f t h e a r e a o f t h e s m a l l e r

d i a g o n a l s e c t i o n i s e q u a l t o 2 5 i 3 c m 2 .2 . T h e a r e a o f t h e g r e a t e r d i a g o n a l s e c t i o n o f a r e g u l a r

h e x a g o n a l p r i s m i s e q u a l t o Q . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e -

r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m .6 7 3 . 1 . T h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a o f a r e g u l a r h e x a g o n a l

p r i s m i s e q u a l t o 4 8 d m 2 . F i n d t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a ls e c t i o n s . -

2 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m i se q u a l t o a . T h e g r e a t e r d i a g o n a l o f t h e p r i s m i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t - a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e t o t a l s u r f a c ea r e a o f t h e p r i s m .

6 7 4 . T h r o u g h a s i d e o f t h e l o w e r b a s e o f a r e g u l a rt r i a n g u l a r p r i s m a p l a n e i s d r a w n w h i c h i n t e r s e c t s t h eo p p o s i t e l a t e r a l e d g e a t i t s m i d - p o i n t a n d i s , i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e l a t e r a l s u r f a c ea r e a o f t h i s p r i s m i f t h e s i d e o f i t s b a s e i s e q u a l t o 1 0 c m .

6 7 5 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m t h e b a s e i s a r i g h t -a n g l e d t r i a n g l e w h o s e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e

a r e e q u a l t o 1 0 c m a n d 2 4 c m . T h e d i a g o n a l o f t h e g r e a t e rl a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o - t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m .

6 7 6 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u sw h o s e g r e a t e r d i a g o n a l i s f o u r t i m e s l o n g e r t h a n t h e

r a d i u s R o f t h e i n c i r c l e . T h e s m a l l e r d i a g o n a l o f t h e

p a r a l l e l e p i p e d i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p a r a l l e l e -p i p e d .

6 7 7 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r h o m b u s w h o s e s i d ei s e q u a l t o a a n d t h e a c u t e a n g l e t o 6 0 ° . T h e s e c t i o n d r a w nt h r o u g h t h e l o n g e r d i a g o n a l o f o n e b a s e a n d t h e v e r t e xo f a n o b t u s e a n g l e o f t h e o t h e r b a s e r e p r e s e n t s a r i g h t -

a n g l e d t r i a n g l e . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p r i s m .4 *



1 0 0 P R O B L V M 3 I N G E O M E T R I C

6 7 8 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u sw i t h a n a c u t e a n g l e o f 6 0 ° . T h e a r e a o f t h e l a r g e r d i a g o n a ls e c t i o n i s e q u a l t o Q . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

6 7 9 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u s ;t h e a r e a s o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n s a r e e q u a l t o 6 0 c m 2a n d 8 0 c m 2 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o ft h e p a r a l l e l e p i p e d .

6 8 0 . I n a r i g h t t r i a n g u l a r p r i s m A B C A 1 B 1 C 1 t h e a r e ao f t h e f a c e A A 1 B 1 B i s e q u a l t o 2 6 d m 2 . T h r o u g h t h e

e d g e A A 1 a p l a n e i s d r a w n p e r p e n d i c u l a r t o t h e f a c eB B 1 C 1 C . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e

p r i s m i f t h e a r e a o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o 2 4 d m 2 a n dt h e a n g l e C o f t h e b a s e a m o u n t s t o 5 3 ° 8 ' .

6 8 1 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r a p e z i u mw h o s e b a s e s a r e e q u a l ' t o 2 2 c m a n d 1 2 c m . A p l a n e i sd r a w n t h r o u g h t h e g r e a t e r b a s e o f t h e t r a p e z i u m , w h i c h

i s t h e l o w e r b a s e o f t h e p r i s m , a n d t h e o p p o s i t e s i d e o ft h e u p p e r b a s e . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e p r i s m i f t h ea r e a o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o 4 0 8 c m 2 a n d i t i s i n c l i n e d

t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .6 8 2 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a p a r a l l e l o -

g r a m w i t h t h e s i d e s 4 d m a n d 9 d m l o n g a n d a n g l e o f 6 0T h e g r e a t e r d i a g o n a l o f t h e b a s e i s e q u a l t o t h e s m a l l e r

d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i p e d . D e t e r m i n e t h e t o t a ls u r f a c e a r e a o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .6 8 3 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m

i n w h i c h a c i r c l e o f r a d i u s 8 c m c a n b e i n s c r i b e d . T h el a t e r a l s i d e o f t h i s t r a p e z i u m i s e q u a l t o 2 0 c m . F i n d

t h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m i f t h e a r e a o f i t s l a t e r a l s u r f a c ei s e q u a l t o 1 6 0 c m 2 .

6 8 4 . T h e s i d e s o f t h e b a s e o f a r i g h t t r i a n g u l a r p r i s ma r e t o o n e a n o t h e r a s 3 : 2 5 : 2 6 . T h e l a t e r a l e d g e i s

e q u a l t o 1 0 c m , a n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a a m o u n t s t o2 8 8 c m 2 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e

p r i s m .6 8 5 . A w o o d e n b e a m o f a s q u a r e c r o s s s e c t i o n ( 6 0 c m x

X 6 0 c m ) i s 3 m 2 5 c m l o n g . A t a d i s t a n c e o f 1 m 5 7 c mf r o m t h e e n d i t i s c u t i n t o t w o e q u a l p a r t s . D e t e r m i n e t h e

s u r f a c e a r e a o f t h e c u t - a w a y h a l f .



C I I . V . A R E A S O F P O L Y H E I I R O N S A N D R O U N D S O L I D S 1 0 1

6 8 6 . 1 . I n a n o b l i q u e t r i a n g u l a r p r i s m t h e d i s t a n c e sb e t w e e n t h e l a t e r a l e d g e s a r e e q u a l t o 3 c m , 4 c m a n d5 c m , a n d t h e l a t e r a l e d g e t o 6 c m . F i n d t h e a r e a o f t h e

l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m .2 . I n a n o b l i q u e q u a d r a n g u l a r p r i s m t h e l a t e r a l e d g e

i s e q u a l t o 3 d m , a n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e t o6 6 d m 2 . F i n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e n e i g h b o u r i n ge d g e s o f t h e p r i s m i f t h e y a r e t o o n e a n o t h e r a s 1 : 2 : 3 : 5 .

6 8 7 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p r i s m i s a r e g u l a r t r i a n g l ew i t h t h e s i d e a . T h e l e n g t h o f t h e l a t e r a l e d g e i s b . O n eo f t h e l a t e r a l e d g e s f o r m s w i t h t h e a d j a c e n t s i d e s o f t h eb a s e a n g l e s o f 6 0 ° . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p r i s m .

6 8 8 . I n a n o b l i q u e t r i a n g u l a r p r i s m t w o l a t e r a l f a c e sa r e p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r , t h e i r a r e a s b e i n g e q u a l

t o 6 0 c m 2 a n d 8 0 c m 2 . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p r i s m i f i t s l a t e r a l e d g e i s 1 0 c m l o n g .

6 8 9 . T h e b a s e . o f a p r i s m i s a r e g u l a r t r i a n g l e w i t h t h es i d e e q u a l t o 6 V 3 d m . A v e r t e x o f t h e u p p e r b a s e i sp r o j e c t e d a t t h e m i d - p o i n t o f a s i d e o f t h e l o w e r b a s e .T h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m i s 1 2 d m h i g h . F i n d t h e a r e ao f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m .

6 9 0 . T h r o u g h t h e m i d - p o i n t o f t h e a l t i t u d e o f a r e g u l a rt e t r a h e d r o n a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e b a s e .A n o t h e r s e c t i o n i s d r a w n t h r o u g h a s i d e o f t h e f i r s t o n ep a r a l l e l t o t h e o p p o s i t e e d g e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h el a t e r a l s u r f a c e o f t h e o b l i q u e p r i s m - t h u s o b t a i n e d i f t h ee d g e o f t h e t e t r a h e d r o n i s e q u a l t o a .

6 9 1 . T h e b a s e o f a p r i s m i s a r e g u l a r t r i a n g l e w h o s es i d e i s a . O n e o f t h e v e r t i c e s o f t h e u p p e r b a s e i s p r o j e c t e di n t h e c e n t r e o f t h e l o w e r b a s e . T h e l a t e r a l e d g e s o f t h e

p r i s m a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n dt h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p r i s m .6 9 2 . T h e b a s e o f a p r i s m i s a s q u a r e w i t h t h e s i d e a .

O n e o f t h e l a t e r a l f a c e s i s a s q u a r e , a n o t h e r i s a r h o m b u sw i t h ' a n a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a

o f t h e p r i s m .6 9 3 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u s

w h o s e s i d e i s e q u a l t o 1 5 c m a n d a c u t e a n g l e t o 6 0 ° .



1 0 2 P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

T h e g r e a t e r d i a g o n a l s e c t i o n o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i sp e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c ea r e a o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i f t h e l a t e r a l e d g e i s 1 0 c m

l o n g a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .6 9 4 . T h e b a s e o f a p a r a l l e l e p i p e d i s a s q u a r e w i t h t h e

s i d e a . T h e a l t i t u d e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i s a l s o e q u a lt o a . T h e p r o j e c t i o n o f o n e o f t h e l a t e r a l e d g e s o n t h e

p l a n e c o n t a i n i n g t h e l o w e r b a s e c o i n c i d e s w i t h h a l f i t sd i a g o n a l . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e . o f t h ep a r a l l e l e p i p e d . '

6 9 5 . I n a n o b l i q u e h e x a g o n a l p r i s m a p e r p e n d i c u l a rs e c t i o n y i e l d s a r e g u l a r h e x a g o n . T h e c u t t i n g p l a n e f o r m sw i t h t h e b a s e o f t h e p r i s m a d i h e d r a l a n g l e o f 6 0 ° . F i n dt h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m i f t h e a r e a

o f i t s b a s e i s e q u a l t o 7 2 ' V 3 c m , a n d t h e l a t e r a l e d g e t o1 0 c m .

2 3 . A r e a s o f P y r a m i d s

6 9 6 . G i v e n t h e s i d e o f t h e b a s e a a n d a l t i t u d e h d e t e r -m i n e t h e t o t a l a r e a o f a r e g u l a r p y r a m i d : ( 1 ) t r i a n g u l a r ,

( 2 ) q u a d r a n g u l a r , ( 3 ) h e x a g o n a l .6 9 7 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a r e -

g u l a r ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a lp y r a m i d i f t h e s i d e o f t h e b a s e i s e q u a l t o a a n d t h e a n g l eo f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l f a c e t o t h e b a s e i s e q u a l

t o 6 0 ° .6 9 8 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a r e g u l a r p y r a m i d

i s e q u a l t o Q , t h e s i d e o f t h e b a s e t o - a . F i n d t h e l a t e r a le d g e a n d t h e a l t i t u d e i f t h e p y r a m i d i s : ( a ) t r i a n g u l a r ,

( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .6 9 9 . T h e a r e a o f t h e b a s e i s t o t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e a s 1 2 ; t h e s i d e o f t h e b a s e i s e q u a l t o a . . F i n dt h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n -g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

7 0 0 . T h e d i a g o n a l s e c t i o n o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d i s e q u a l t o t h e b a s e w h o s e s i d e i s a . F i n d t h e

a r e a , o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .



C H . V . A R E A S O F P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S 1 0 3

7 0 1 . 1 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f a r e g u l a r t e t r a -

h e d r o n w i t h t h e e d g e a .

2 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f a r e g u l a r o c t a h e d r o n

i f i t s e d g e i s e q u a l t o 5 c m .7 0 2 . T h e s i d e o f t h e ' b a s e . o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r

p y r a m i d i s e q u a l t o 5 d m ; t h e d i h e d r a l a n g l e s a t t h el a t e r a l e d g e s t o 1 2 0 ° . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p y r a m i d .

7 0 3 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d i se q u a l t o 8 c m , a n d t h e s i d e o f t h e b a s e t o 4 1 c m . D e t e r -

m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .7 0 4 . 1 . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f a r e g u l a r

t r i a n g u l a r p y r a m i d i f t h e s i d e o f i t s b a s e i s e q u a l t o a ,a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e t o 6 0

2 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l . s u r f a c e o f a r e g u l a r p y r a m i da m o u n t s t o 3 6 c m 2 a n d t h e a r e a o f t h e b a s e t o 9 c m 2 .D e t e r m i n e t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e .

7 0 5 . H o w m a n y i r o n s h e e t s a r e r e q u i r e d t o c o v e r a r o o fw h i c h h a s t h e s h a p e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i dw i t h t h e s i d e o f t h e b a s e e q u a l t o 4 . 2 m a n d t h e p i t c h

6 . 5 m l o n g ? T h e s i z e o f t h e m e t a l s h e e t s i s 1 4 0 c m XX 7 0 . c m . A d d 1 0 p e r c e n t f o r j o i n t s a n d w a s t e .

7 0 6 . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d p a s s i n g t h r o u g h a s l a n t h e i g h t a n d t h e a l t i t u d e

i s e q u a l t o 9 d m 2 . T h e l a t e r a l f a c e o f t h e p y r a m i d i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h ea r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 0 7 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f ar e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d w h o s e l a t e r a l e d g e i s e q u a lt o 1 5 c m , a n d t h e d i a m e t e r o f t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n t h e

b a s e t o 1 8 c m .

7 0 8 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e d i h e d r a la n g l e s a t t h e l a t e r a l e d g e s a r e e q u a l t o 1 2 0 ° . P r o v e t h a tt h e d i a g o n a l s e c t i o n o f t h i s p y r a m i d i s e q u a l t o i t s l a t e r a lf a c e .

7 0 9 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f t h eb a s e i s e q u a l t o 2 0 c m , a n d t h e o p p o s i t e l a t e r a l e d g e i s

1 5 c m d i s t a n t f r o m i t . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l

s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .




7 1 0 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d a c u b e i si n s c r i b e d s o t h a t f o u r o f i t s v e r t i c e s l i e o n t h e l a t e r a l

e d g e s o f t h e p y r a m i d . T h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d i st w i c e t h e l e n g t h o f t h e e d g e o f t h e c u b e . F i n d t h e r a t i oo f t h e a r e a s o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d a n d t h e

t o t a l s u r f a c e o f t h e c u b e .7 1 1 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a p y r a m i d i s a . O n e o f t h e

l a t e r a l e d g e s i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e a n d e q u a l t oi t s s i d e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h ep y r a m i d i f i t s b a s e i s a : ( a ) r e g u l a r t r i a n g l e , ( b ) s q u a r e ,

( c ) r e g u l a r h e x a g o n .7 1 2 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r e c t a n g l e w h o s e a r e a

a m o u n t s t o 1 0 0 d m 2 . T w o l a t e r a l f a c e s a r e p e r p e n d i c u l a rt o t h e b a s e , a n d t w o - o t h e r s a r e i n c l i n e d t o i t a t a n g l e s

o f 3 0 ° a n d 6 0 ° . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .

7 1 3 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r e c t a n g l e w h o s e d i a g o -n a l i s e q u a l t o m , a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e - d i a g o n a l s

t o 6 0 ° . T h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e r a l e d g e t o t h eb a s e i s a l s o e q u a l t o 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e -r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 1 4 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s w i t h t h e s i d ea a n d a c u t e a n g l e o f 6 0 ° . T h e d i h e d r a l a n g l e s a t t h e b a s ea r e a l s o e q u a l t o 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e ao f t h e p y r a m i d . -

7 1 5 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s w i t h t h e s i d ea a n d a c u t e a n g l e o f 6 0 ° . T w o a d j a c e n t l a t e r a l f a c e sc o n t a i n i n g a n a n g l e o f 6 0 ° a r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s ea n d t w o o t h e r s a r e i n c l i n e d t o i t a t a n a n g l e o f 4 5 ° .D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 1 6 . O n e o f t h e l a t e r a l f a c e s a n d t h e b a s e o f a p y r a m i da r e e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s f o r m i n g a r i g h t d i h e d r a l a n g l e .

T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t oY 3 ( 1 + y 5 ) m 2 . D e t e r m i n e t h e s i d e o f t h e b a s e .7 1 7 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e

w h o s e s i d e s a r e 1 5 c m a n d 2 0 c m ; e a c h l a t e r a l f a c e i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e - t o t a l

s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .7 1 8 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m

w h o s e p a r a l l e l s i d e s a r e e q u a l t o 1 0 d m a n d 2 0 d m . T h e



C I i . V . A R E A S O F P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S 1 0 5

l a t e r a l f a c e s o f t h e p y r a m i d a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a te q u a l a n g l e s . T h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d i s 1 0 d m .

F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .7 1 9 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s w i t h a n a c u t e

a n g l e o f 6 0 ° . T h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d p a s s e s t h r o u g ht h e v e r t e x o f t h e o b t u s e a n g l e o f t h e r h o m b u s a n d i se q u a l t o H . T w o f a c e s f o r m w i t h t h e b a s e a n g l e s o f 4 5 ° .

F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .7 2 0 . T h e s i d e s o f t h e b a s e o f a t r i a n g u l a r p y r a m i d a r e

e q u a l t o 2 6 c m , 2 8 c m a n d 3 0 c m . T h e l a t e r a l f a c e s a r ei n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e t o t a ls u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .

7 2 1 . I n a c u b e w i t h t h e e d g e a t h e c e n t r e o f o n e f a c ei s j o i n e d t o t h e v e r t i c e s o f t h e o p p o s i t e f a c e . D e t e r m i n e

t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d t h u s o b t a i n e d .7 2 2 . T h e c e n t r e o f t h e u p p e r b a s e o f a c u b e w i t h t h e

e d g e a i s c o n n e c t e d w i t h t h e m i d - p o i n t s o f t h e s i d e so f t h e l o w e r b a s e w h i c h a r e a l s o j o i n e d t o o n e a n o t h e r

i n a c o n s e c u t i v e o r d e r . C o m p u t e t h e t o t a l s u r f a c e a r e ao f t h e p y r a m i d t h u s c o n s t r u c t e d .

7 2 3 . A r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d a n d a r e g u l a r p r i s mh a v e e q u a l b a s e s , a l t i t u d e s a n d a r e a s o f l a t e r a l s u r f a c e s .

T h e s i d e o f t h e i r b a s e i s e q u a l t o a . D e t e r m i n e t h e a l t i -t u d e .

7 2 4 . T h e p l a n e a n g l e s a t t h e v e r t e x o f ' a p y r a m i d a r ee q u a l t o 6 0 ° , 6 0 ° a n d 9 0 ° . E a c h o f t h e l a t e r a l e d g e s i se q u a l t o a . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e t r i a n -g u l a r p y r a m i d .

7 2 5 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s . T h e a l t i t u d eo f t h e p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h e v e r t e x o f a n a c u t ea n g l e o f t h e r h o m b u s . D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f i n c l i n a -

t i o n o f t h e l a t e r a l f a c e s t o t h e b a s e i f t h e a r e a o f t h el a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d i s j / 3 t i m e s t h e a r e a o f i t sb a s e .

2 4 . A r e a s o f T r u n c a t e d P y r a m i d s

7 2 6 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a -m i d a r e e q u a l t o 1 0 c m a n d 6 c m , a n d s l a n t h e i g h t t o

1 5 c m . C o m p u t e t h e l a t e r a l a n d t o t a l s u r f a c e a r e a s o f




t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a -g o n a l .

7 2 7 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r h e x a g o n a l t r u n -c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 1 8 c m a n d 1 2 c m , a n d i t sa l t i t u d e t o 1 3 c m . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p y r a m i d . ,

7 2 8 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a -

m i d a r e a a n d b ; i t s a l t i t u d e i s a + 1 '

2

. F i n d t h e a r e a o ft h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b )

q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .7 2 9 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a r e

e q u a l t o 1 6 c m a n d 1 2 c m . T h r o u g h t h e m i d - p o i n t o f t h ea l t i t u d e a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e b a s e . I n w h a t

r a t i o i s t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e d i v i d e d b y t h i ss e c t i o n ?

7 3 0 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d a r e t o e a c h o t h e r a s 1 : 5 ; t h e a l t i t u d eo f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o 2 1 c m , a n d t h e a r e a o f t h ed i a g o n a l s e c t i o n t o 6 3 0 c m 2 . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l

s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 3 1 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n -c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 6 d m a n d 4 d m . T h e l a t e r a l

f a c e s a r e i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h i s t r u n c a t e d p y r a m i d .

7 3 2 . . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h es i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 2 0 c m a n d 1 0 c m , t h e l a t e r a le d g e i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° .

C o m p u t e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h i s t r u n c a t e d p y r a m i d .

7 3 3 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

s i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 1 8 c m a n d 1 2 c m , t h e l a t e r a le d g e s a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d

t h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a o f t h e t r u n c a t e d p y r a m i d .

7 3 4 . T h e a r e a s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r h e x a g o n a l

t r u n c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 6 0 c m 2 a n d 4 0 c m 2 , a n dt h e l a t e r a l f a c e s a r e i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n

a n g l e o f 6 6 ° 2 5 ' . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f

t h e t r u n c a t e d p y r a m i d .




7 3 5 . I n a t r u n c a t e d p y r a m i d t h e s i m i l a r s i d e s o f t h eb a s e s a r e t o e a c h o t h e r a s 7 : 3 . I n w h a t r a t i o i s t h e a r e ao f i t s l a t e r a l s u r f a c e d i v i d e d b y a s e c t i o n w h i c h i s p a r a l -

l e l . t o t h e b a s e a n d d i v i d e s t h e l a t e r a l e d g e i n t h e r a t i oo f 1 t o 2 ?

7 3 6 . T h e a r e a o f t h e s m a l l e r b a s e o f ' a r e g u l a r q u a d r a n -g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d i s e q u a l t o a 2 , a n d t h a t o f t h el a t e r a l s u r f a c e t o Q . T h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e l a t e -r a l f a c e t o t h e g r e a t e r b a s e i s e q u a l t o 6 0 ° . F i n d t h e s i d eo f t h e g r e a t e r b a s e o f t h e p y r a m i d .

7 3 7 . T h e a r e a s o f t h e g r e a t e r b a s e , l a t e r a l f a c e a n ds m a l l e r b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d a r e a s2 5 : 1 6 9 . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h i s t r u n c a -t e d p y r a m i d i f t h e a r e a o f i t s d i a g o n a l s e c t i o n e q u a l s

1 6 T 1 c m 2 .

7 3 8 . T h e d i a g o n a l s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e dp y r a m i d a n d o f t h e l a r g e r b a s e f o r m a n a n g l e o f 6 0 °a n d a r e e q u a l t o 8 d m a n d 5 d m , r e s p e c t i v e l y . D e t e r m i n et h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .

7 3 9 . T h e l a t e r a l e d g e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e dp y r a m i d i s e q u a l t o 2 0 c m a n d i n c l i n e d t o t h e l a r g e r b a s ea t a n a n g l e o f 3 0 ° . T h e s i d e o f t h e s m a l l e r b a s e o f t h e

p y r a m i d i s e q u a l t o 1 2 c m . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 4 0 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h ea r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e i s e q u a l - t o 1 2 j / 6 0 1 c m 2 ,a n d t h e a l t i t u d e a n d l a t e r a l e d g e t o 1 2 c m a n d 1 3 c m ,r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e s i d e s o f t h e b a s e s .

7 4 1 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l t r u n c a t e d p y r a m i d t h ea l t i t u d e i s e q u a l t o t h e s i d e o f t h e s m a l l e r b a s e a n d a m o -

u n t s t o 6 d m . T h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e rb a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r -f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 4 2 . I n s i d e a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i da n o n - t r u n c a t e d p y r a m i d i s c o n s t r u c t e d w h o s e b a s e i st h e g r e a t e r b a s e o f t h e g i v e n t r u n c a t e d p y r a m i d , a n dt h e v e r t e x i s t h e c e n t r e o f t h e s m a l l e r b a s e . T h e s i d e s

o f t h e b a s e s a r e a a n d b . T h e a r e a s o f t h e l a t e r a l s u r f a c e s




a r e e q u a l t o e a c h o t h e r . D e t e r m i n e t h e a l t i t u d e o f t h ep y r a m i d s .

7 4 3 . T h e b a s e s o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a r e r i g h t - a n g l e di s o s c e l e s t r i a n g l e s w h o s e h y p o t e n u s e s a r e e q u a l t o 4 V 2 - d m

a n d 6 1 / 2 d m . T h e l a t e r a l e d g e j o i n i n g t h e v e r t i c e s o ft h e r i g h t a n g l e s o f t h e b a s e s , i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e

b a s e a n d e q u a l t o 4 d m . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

7 4 4 . T h e b a s e s o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a r e r h o m b u s e s

w i t h t h e r e s p e c t i v e s i d e s a a n d b a n d a n g l e o f 6 0 ' . T h ea l t i t u d e o f t h e p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t s o fi n t e r s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s o f t h e r h o m b u s e s a n d e q u a l s

t o T ( a - b ) . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h ep y r a m i d .

7 4 5 . I n a t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d A B C A 1 B 1 C 1t h e l a t e r a l f a c e A A 1 C 1 C i s a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m p e r p e n -

d i c u l a r t o t h e b a s e s . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r -f a c e o f t h e p y r a m i d i f A C = 8 0 c m , A B = B C = 5 0 c m ,A 1 C 1 = 4 0 c m a n d t h e a l t i t u d e H = 1 6 c m .

7 4 6 . I n a t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d A B C A 1 B 1 C 1t h e b a s e s a r e r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s . T h e l a t e r a l e d g eA A 1 i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e s a n d e q u a l s 7 c m .T h e s i d e s A C a n d B C c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e a r e

r e s p e c t i v e l y e q u a l t o 4 8 c m a n d 1 4 c m , t h e h y p o t e n u s eA 1 C 1 = 2 5 c m . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c eo f t h e t r u n c a t e d p y r a m i d .

7 4 7 . T h e . s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 2 5 c m a n d 1 5 c m . A s e c -t i o n p a s s i n g t h r o u g h a s i d e o f t h e l o w e r b a s e a n d a n o p p o -s i t e s i d e o f t h e u p p e r b a s e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e r a lf a c e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h i s s e c t i o n i f t h e a r e a o f t h e

t o t a l s u r f a c e o f t h e t r u n c a t e d p y r a m i d a m o u n t s t o2 0 5 0 c m 2

2 5 . A r e a s o f C y l i n d e r s

7 4 8 . H o w m u c h v a r n i s h i s i t r e q u i r e d t o p a i n t t h ee x t e r n a l s u r f a c e o f a c y l i n d r i c a l t u b e 2 m l o n g , w h o s eo u t e r d i a m e t e r i s e q u a l t o 5 0 c m , i f t h e v a r n i s h c o n s u m p -

t i o n i s 2 0 0 g r a m s p e r s q u a r e m e t r e o f t h e s u r f a c e ?




7 6 6 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c e o f a c y -l i n d e r i f t h e a r e a o f i t s b a s e i s e q u a l t o 4 9 0 3 1 c m 3 , a n dt h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n t o 4 0 0 c m g .

7 6 7 . A l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e e n d - p o i n t s o f p e r p e n d i -c u l a r d i a m e t e r s o f t h e b a s e c i r c l e s o f a c y l i n d e r i s e q u a lt o 1 0 c m a n d i s 4 c m d i s t a n t f r o m t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r .

F i n d t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r .7 6 8 . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n o f a c y l i n d e r d r a w n t h r o u g h

t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n a n d p e r p e n d i c u l a r t ot h e l a t t e r i s e q u a l t o 2 4 n c m 2 . . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h et o t a l s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r i f t h e c u t t i n g p l a n e i s i n c l i -n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .

7 6 9 . T h r o u g h a p o i n t o n t h e c i r c l e o f t h e u p p e r b a s eo f a c y l i n d e r a s e c t i o n i s d r a w n a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o

t h e b a s e . F i n d t h e c u r v e d a r e a s o f t h e p o r t i o n s t h u so b t a i n e d i f t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s e q u a l t o 1 0 c m ,a n d t h e a l t i t u d e t o 5 0 c m .

7 7 0 . P o i n t s M a n d N d i v i d e t h e a x i s o f a c y l i n d e r i nt h e r a t i o o f 1 : 2 : 3 . T h r o u g h t h e s e p o i n t s p l a n e s a r e

d r a w n w h i c h a r e n o t p a r a l l e l t o t h e c y l i n d e r b a s e s a n dd o n o t i n t e r s e c t t h e m . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f

t h e c y l i n d e r i s e q u a l t o Q . I n w h a t p o r t i o n s i s t h e a r e ao f t h e l a t e r a l s u r f a c e d i v i d e d b y t h e c u t t i n g p l a n e s ?

7 7 1 . A t a n a n g l e o f 6 0 ° t o t h e b a s e o f a c y l i n d e r a p l a n e

i s d r a w n w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t i t s b a s e . F i n d t h ea r e a o f t h i s s e c t i o n i f t h e l a t e r a l a r e a o f t h e c y l i n d e r i se q u a l t o Q , a n d t h e a l t i t u d e t o H .

7 7 2 . F i n d t h e . a r e a o f a s e c t i o n o f a c y l i n d e r w h i c h i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° a n d c u t s f r o m o n eo f t h e b a s e c i r c l e s a n a r e o f 9 0 ° i f t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e c y l i n d e r i s e q u a l t o Q , a n d t h e a l t i t u d e

t o H . ( C o n s i d e r t w o c a s e s . )2 6 . A r e a s o f C o n e s

7 7 3 . 1 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c o n e i s e q u a lt o R , a n d t h e a l t i t u d e t o H . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l

s u r f a c e o f t h e c o n e .2 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o I I , t h e g e n e r a t o r

t o 1 . F i n d t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c e o f t h e c o n e .




7 9 0 . D r a w t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s u r f a c e o f a c o n ei f t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s e q u a l t o 4 c m , a n d t h eg e n e r a t o r i s t h r e e t i m e s i t s l e n g t h . D e t e r m i n e t h e a r e ao f t h e t o t a l s u r f a c e o f t h e c o n e , t h e a r e a o f i t s a x i a ls e c t i o n a n d t h e m a x i m u m a n g l e b e t w e e n t h e e l e m e n t s .

7 9 1 . 1 . G i v e n a c i r c u l a r s e c t o r o f 9 0 ° w h o s e r a d i u s i se q u a l t o 1 8 c m . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f a c o n e

w h o s e l a t e r a l s u r f a c e i s m a d e u p o f t h i s s e c t o r .2 . T h e l a t e r a l s u r f a c e o f a c o n e i s m a d e u p o f a q u a r t e r

o f a c i r c l e . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h i s c o n ei f t h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a i s e q u a l t o Q .

7 9 2 . 1 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o 8 c m , t h er a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e t o 6 c m . T h e l a t e r a l s u r f a c e o f

t h e c o n e i s d e v e l o p e d o n a p l a n e . F i n d t h e a n g l e o f t h eo b t a i n e d s e c t o r .

2 . C o m p u t e t h e a n g l e o f t h e d e v e l o p m e n t o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f a c o n e : ( a ) i f t h e m a x i m u m a n g l e b e t w e e n t h ee l e m e n t s i s a r i g h t o n e ; ( b ) i f t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .

7 9 3 . 1 . A c o n i c s u r f a c e i s m a d e u p o f a s e m i c i r c l e .F i n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e e l e m e n t s o f t h e a x i a l s e c t i o n

. o f t h e c o n e .2 . T h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a o f a c o n e e q u a l s 2 0 c m 2

a n d i s d e v e l o p e d i n t o a s e c t o r w i t h a n a n g l e o f 7 2 ° .D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e c o n e .

7 9 4 . T h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e , a t a n a n g l eo f 4 5 ° . I n s c r i b e d i n t h e c o n e i s a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r

w h o s e a l t i t u d e i s a . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e c o n e .

7 9 5 . A n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r i s i n s c r i b e d i n a n e q u i l a -t e r a l c o n e . F i n d t h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e l a t e r a l

s u r f a c e s o f t h e c o n e a n d c y l i n d e r .7 9 6 . A r e g u l a r p y r a m i d w i t h . t h e s i d e o f t h e . b a s e a i s

i n s c r i b e d i n a n e q u i l a t e r a l c o n e . F i n d t h e a r e a o f t h el a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e i f t h e p y r a m i d i s : ( a ) t r i a n g u -l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

7 9 7 . F i n d t h e r a t i o o f t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e

t o t h e g e n e r a t o r o f t h e c o n e i f i t s l a t e r a l s u r f a c e i s t h e




m e a n p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a o f t h e b a s e c i r c l e a n d t h et o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e c o n e .

- 7 9 8 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e i s t h e m e a n p r o p o r -t i o n a l t o t h e a r e a o f t h e b a s e c i r c l e o f a c o n e a n d t h ea r e a o f i t s t o t a l s u r f a c e i f : ( a ) t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e c o n e i s e q u a l t o t h e a r e a o f a c i r c l e w h o s er a d i u s i s e q u a l t o t h e a l t i t u d e o f t h e c o n e , ( b ) t h e a r e ao f t h e t o t a l s u r f a c e i s e q u a l t o t h e a r e a o f a c i r c l e w h o s er a d i u s i s t h e g e n e r a t o r o f t h e c o n e . P r o v e t h i s .

7 9 9 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s e q u a l t o R , a n dt h e a l t i t u d e o f t h e c o n e t o H . A c y l i n d e r w i t h t h e m a x i -m u m a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e i s i n s c r i b e d i n t h e c o n e .

F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c y l i n d e r .

2 7 . A r e a s o f T r u n c a t e d C o n e s

8 0 0 . 1 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 4 c m a n d 2 0 c m , t h e a l t i t u d e t o 3 0 c m . F i n dt h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e t r u n c a t e d c o n e .

2 . T h e r a d i u s o f t h e s m a l l e r b a s e c i r c l e o f a t r u n c a t e dc o n e i s e q u a l t o 8 c m , t h e a l t i t u d e t o 6 c m . T h e g e n e r a t o r

i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e a r e ao f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e t r u n c a t e d c o n e .

8 0 1 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a t r u n c a t e d c o n e

i s e q u a l t o 1 2 8 n c m 2 , t h e g e n e r a t o r t o 8 c m . F i n d t h er a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s i f t h e y a r e t o e a c h o t h e r a s 2 t o 5 .

8 0 2 . A v e n t p i p e h a s t o b e f i t t e d w i t h a h o o d h a v i n gt h e s h a p e o f a t r u n c a t e d c o n e w h o s e a l t i t u d e i s e q u a l

t o 6 0 c m , a n d t h e d i a m e t e r s o f t h e b a s e c i r c l e s t o 2 ma n d 4 0 c m . H o w m u c h s h e e t i r o n ( i n s q u a r e m e t r e s ) i si t r e q u i r e d t o c o n s t r u c t t h e h o o d i f 5 p e r c e n t o f t h e

m a t e r i a l i s p r o v i d e d f o r t h e s e a m s ?8 0 3 . H o w m u c h v a r n i s h i s i t r e q u i r e d f o r t h e o u t s i d ea n d i n s i d e p a i n t i n g o f 5 0 0 b u c k e t s h a v i n g t h e f o r m o fa t r u n c a t e d c o n e i f t h e d i a m e t e r s o f i t s b a s e c i r c l e s a r ee q u a l t o 2 5 c m a n d 3 0 c m , t h e a l t i t u d e t o 4 0 c m , a n d t h ev a r n i s h c o n s u m p t i o n t o 1 6 0 g r a m s p e r s q u a r e m e t r e ?

8 0 4 . T h a g e n e r a t o r o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o 1

a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e




t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c e o f t h i s t r u n c a t e d c o n e i f t h er a t i o o f t h e a r e a s o f i t s b a s e c i r c l e s i s e q u a l t o 9 .

8 0 5 . T h e g e n e r a t o r l o f a t r u n c a t e d c o n e i s p e r p e n d i c u -l a r t o t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h i t .T h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .

D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e .

8 0 6 . T h e g e n e r a t o r o f a t r u n c a t e d c o n e i s i n c l i n e d t ot h e l o w e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° a n d p e r p e n d i c u l a r t oa s t r a i g h t l i n e j o i n i n g i t s u p p e r e n d - p o i n t t o t h e l o w e r

e n d - p o i n t o f t h e o p p o s i t e e l e m e n t . D e t e r m i n e t h e a r e ao f t h e t o t a l s u r f a c e o f t h e t r u n c a t e d c o n e i f t h e r a d i u so f i t s g r e a t e r b a s e c i r c l e i s e q u a l t o R c m .

8 0 7 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e . r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e sa r e e q u a l t o 8 c m a n d 2 0 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 1 6 c m .

F i n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c y l i n d e r h a v i n gt h e s a m e a l t i t u d e w h o s e t o t a l s u r f a c e a r e a i s e q u a l t o

t h a t o f t h e t r u n c a t e d c o n e .8 0 8 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n e

a r e e q u a l t o 1 5 c m a n d 3 0 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 2 0 c m .F i n d t h e d i m e n s i o n s o f a n e q u i l a t e r a l c o n e w h o s e t o t a l

s u r f a c e a r e a i s e q u a l t o t h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a o f t h e

g i v e n t r u n c a t e d c o n e .

8 0 9 . T h e a r e a s o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n e

a r e e q u a l t o 1 0 0 n c m 2 a n d 2 5 6 n c m 2 , a n d t h e a r e a o f t h ea x i a l s e c t i o n t o 2 0 8 c m 2 . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h i s t r u n c a t e d c o n e .

8 1 0 . T h e r a d i u s o f t h e s m a l l e r b a s e c i r c l e o f a t r u n c a t e dc o n e i s e q u a l t o 6 c m , t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e t o9 0 n c m 2 , t h e d i f f e r e n c e o f t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e st o h a l f t h e l e n g t h o f t h e g e n e r a t o r . F i n d t h e r a d i u s o f

t h e g r e a t e r b a s e c i r c l e .8 1 1 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s

a r e e q u a l t o 6 c m a n d 1 0 c m , a n d t h e g e n e r a t o r t o 5 c m .R e m o v e d f r o m t h i s c o n e i s a n o t h e r t r u n c a t e d c o n e w h o s e

g r e a t e r b a s e c i r c l e i s t h e s m a l l e r b a s e c i r c l e o f t h e g i v e nc o n e , a n d t h e g e n e r a t o r i s e q u a l t o 5 c m . D e t e r m i n e t h e

a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c e o f t h e o b t a i n e d s o l i d w i t h a

t h r o u g h h o l e .




8 1 2 . A c i r c l e c a n b e i n s c r i b e d i n t h e a x i a l s e c t i o n o fa t r u n c a t e d c o n e . P r o v e t h a t t h e a r e a o f t h e l a t e r a l

s u r f a c e o f t h e c o n e i s e q u a l t o t h e a r e a o f a c i r c l e w h o s er a d i u s i s e q u a l t o t h e g e n e r a t o r o f t h e c o n e .

8 1 3 . A s e c t i o n o f a t r u n c a t e d c o n e b y a p l a n e p a s s i n gt h r o u g h t w o e l e m e n t s h a s a n a c u t e a n g l e o f 6 0 ° , c u t s

o f f f r o m t h e b a s e c i r c l e s a r c s e q u a l t o 9 0 ° , a n d h a s a na r e a o f 1 5 0 c m 2 . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o ft h i s t r u n c a t e d c o n e .

8 1 4 . A n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h t h e s i d e a r o t a t e sa b o u t a n a x i s p a r a l l e l t o o n e o f i t s s i d e s a n d a t a d i s t a n c ea f r o m i t . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d t h u s o b t a i n e d .

8 1 5 . A r e g u l a r h e x a g o n w i t h t h e s i d e a r o t a t e s a b o u t

o n e o f i t s s i d e s . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d t h u sg e n e r a t e d .

8 1 6 . A r h o m b u s w i t h t h e s i d e a a n d a c u t e a n g l e o f

6 0 ° r e v o l v e s a b o u t a n a x i s p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e xo f t h e a c u t e a n g l e o f t h e r h o m b u s p e r p e n d i c u l a r t o i t sd i a g o n a l . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n .

8 1 7 . I n a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m t h e b a s e s a r e e q u a l t o1 5 c m a n d 9 c m , a n d t h e l a t e r a l s i d e t o 5 c m . T h e t r a p e -z i u m r e v o l v e s a b o u t a n a x i s p a s s i n g t h r o u g h t h e e n d - p o i n to f t h e g r e a t e r b a s e a n d p e r p e n d i c u l a r t o i t . C o m p u t e

t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d t h u s g e n e r a t e d .8 1 8 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n e

a r e e q u a l t o 1 2 c m a n d ' 6 c m , a n d t h e a r e a o f i t s g r e a t e rb a s e c i r c l e i s t h e m e a n p r o p o r t i o n a l b e t w e e n t h e a r e a so f t h e l a t e r a l s u r f a c e a n d t h e s m a l l e r b a s e . F i n d . t h ea r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h i s c o n e .



C H . V I . V O L U M E S O F P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S O L I D S 1 1 9

8 2 4 . 1 . T h r e e l e a d c u b e s w i t h e d g e s o f 6 c m , 8 c m a n d1 0 c m a r e m e l t e d i n t o o n e - c u b e . W h a t i s t h e l e n g t h o ft h e e d g e o f t h e o b t a i n e d c u b e ?

2 . A l e a d c u b e w h o s e e d g e i s 2 0 c m l o n g i s m e l t e d i n t ot h r e e c u b e s w h o s e e d g e s a r e i n t h e s a m e p r o p o r t i o n a s3 : 4 5 , F i n d t h e v o l u m e s o f t h e c u b e s t h u s o b t a i n e d .

8 2 5 . 1 . T h e o v e r a l l d i m e n s i o n s o f a r e c t a n g u l a r p a r a l -l e l e p i p e d a r e 1 c m , 5 c m a n d 1 0 c m . F i n d i t s v o l u m e .

2 . T h e e d g e s o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d a r e i n t h es a m e p r o p o r t i o n a s 2 : 3 : 6 , t h e d i a g o n a l b e i n g e q u a lt o 1 4 c m . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 2 6 . T h e d i a g o n a l o f t h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e -l e p i p e d i s e q u a l t o 6 d m a n d f o r m s a n a n g l e o f 3 0 ° w i t h

t h e l a r g e r s i d e o f t h e b a s e . F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e p a r a l -l e l e p i p e d i f i t s v o l u m e i s e q u a l t o 5 4 d m s .

8 2 7 . L . T h e a r e a s o f t h e t h r e e f a c e s o f a r e c t a n g u l a r

p a r a l l e l e p i p e d a r e e q u a l t o 2 0 c m 2 , . 2 8 c m 2 a n d 3 5 c m 8 .F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .2 . G i v e n t h e a r e a s o f t h e f a c e s S 1 , S . a n d S 3 , f i n d t h e

v o l u m e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d .3 . T h e a r e a s o f t h e t h r e e f a c e s o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e -

l e p i p e d a r e i n t h e p r o p o r t i o n 3 : 6 : 1 0 . T h e v o l u m e o ft h e p a r a l l e l e p i p e d i s e q u a l t o 1 5 0 c r o s . F i n d t h e d i m e n -s i o n s o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 2 8 . H o w m a n y t r i p s m u s t a 3 - t o n d u m p e r - c a r r y o u tt o t r a n s p o r t 1 0 , 0 0 0 . b r i c k s t o a c o n s t r u c t i o n s i t e , i f t h ed i m e n s i o n s o f a b r i c k a r e : 2 . 5 d m x . 1 . 2 d m x 0 . 6 5 d m ,

i t s d e n s i t y b e i n g 1 . 8 . 1 0 8 m s ?

8 2 9 . 1 . A s t a c k o f d e a l s ( p i n e b o a r d s ) 8 m X 8 m x 4 mi n s i z e i s l o a d e d o n a b a r g e . W h a t i s t h e w e i g h t o f t h i s

l o a d ( i n t o n s ) i f t h e d e n s i t y o f p i n e i s 0 . 5 . 1 0 3 m g ?

2 . A t i m b e r b e a m h a v i n g t h e f o r m o f a r e c t a n g u l a rp a r a l l e l e p i p e d ( 5 d m x 3 0 d m x 2 d m ) i s l o w e r e d i n t ow a t e r a n d a l o a d i s p l a c e d o n i t s u c h t h a t t h e b e a m t u r n so u t t o b e s u b m e r g e d 0 . 9 i t s v o l u m e . D e t e r m i n e t h e m a s s

o f t h e l o a d i f t h e d e n s i t y o f w o o d i s e q u a l t o 0 . 8 4 . 1 0 3 m g




8 3 0 . A r a f t i s m a d e u p o f 1 6 t i m b e r s o f a r e c t a n g u l a rc r o s s s e c t i o n e a c h h a v i n g t h e s i z e 3 . 6 m x 0 . 2 m x

X 0 . 2 5 m . W h a t w e i g h t c a n b e t r a n s p o r t e d b y t h i s r a f ti f f o r t h e s a k e o f s e c u r i t y i t i s l o a d e d o n l y 8 0 p e r c e n to f t h e m a x i m u m l o a d ? T h e d e n s i t y o f w o o d i s 0 . 7 . 1 0 3 m 3 .

8 3 1 . A d i t c h 1 . 6 m d e e p i s t o b e d u g a l o n g t h e c o n t o u rs h o w n i n F i g . 2 5 . H o w l o n g w i l l i t t a k e t w o n a v v i e s t oc o m p l e t e t h i s j o b i f e a c h o f t h e m i s a b l e t o d i g o u t 0 . 6 2c u b i c m e t r e p e r h o u r ? _

5 m

3 m

3 m

F i g . 2 5

8 3 2 . A t a n k h a v i n g t h e f o r m o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e -p i p e d w i t h t h e b a s e 3 . 2 m X 1 . 2 m c o n t a i n s 9 0 0 , 0 0 0 k g o fw a t e r . H o w m u c h g a l v a n i z e d i r o n ( i n m 2 ) w a s s p e n tt o m a k e t h e t a n k , p r o v i d e d t h e s e a m s t o o k 5 p e r c e n to f t h e m a t e r i a l ?

8 3 3 . A t a n k h a v i n g t h e f o r m o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e -p i p e d w i t h a s q u a r e b a s e a n d b r i m - f i l l e d w i t h w a t e r i s

p l a c e d o n a n e d g e s o t h a t t h e b o t t o m o f t h e t a n k f o r m sa n a n g l e o f 3 0 ° w i t h t h e h o r i z o n t a l p l a n e . H o w m u c hw a t e r ( i n p e r c e n t ) r a n o u t o f t h e t a n k i f i t s a l t i t u d e i st w i c e t h e l e n g t h o f t h e s i d e o f t h e b a s e ?

8 3 4 . 1 . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f a c u b e w h i c h i s e q u a lt o a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d w h o s e d i m e n s i o n s a r e

4 d m X 6 d m X 9 d m .2 . A c u b e a n d a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d h a v e e q u a l

s u r f a c e a r e a s . T h e d i m e n s i o n s o f t h e p a r a l l e l e p i p e d a r ea s 1 : 6 : 6 , i t s v o l u m e b e i n g e q u a l t o 5 6 2 . 5 d m 3 . F i n dt h e v o l u m e o f t h e c u b e .

8 3 5 . G i v e n a c u b e w i t h t h e e d g e 1 2 c m l o n g a n d a r i g h tp a r a l l e l e p i p e d e q u a l t o t h e c u b e . T h e a c u t e a n g l e o f

t h e b a s e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i s e q u a l t o 3 0 ° , a n d i t se d g e s a r e a s 1 2 : 9 4 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e t o t a l

s u r f a c e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .




8 3 6 . P r o v e g e o m e t r i c a l l y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s :( 1 ) ( a + b ) 3 = a s + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 8 ,( 2 ) ( a - b ) 3 = a s - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 .8 3 7 . T h e d i a g o n a l o f t h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e -

p i p e d i s e q u a l t o 1 6 c m . T h e g r e a t e r s i d e o f t h e b a s es u b t e n d s a n a r e o f t h e c i r c u m s c r i b e d c i r c l e c o n t a i n i n g

1 2 0 ° . T h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i s e q u a lt o 2 4 c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 3 8 . T h e a l t i t u d e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d w i t ha s q u a r e b a s e i s e q u a l t o 4 0 c m , a n d i t s t o t a l s u r f a c e a r e a

t o 2 2 0 8 c m 2 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .8 3 9 . I n a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

t h e s i d e s o f t h e b a s e a r e e q u a l t o 8 c m a n d 6 c m , a n d t h ea r e a o f t h e s e c t i o n A C D 1 t o 4 8 c m 2 . D e t e r m i n e t h e v o l u -m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 4 0 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e dw h o s e e d g e s a r e e q u a l t o 4 m e a c h , a n d t h e a n g l e o f t h eb a s e t o 6 0 ° .

8 4 1 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u sw i t h t h e s i d e a a n d a n a n g l e o f 6 0 ° . T h e a r e a o f t h e l a t e -r a l s u r f a c e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i s e q u a l t o 8 a 2 . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 4 2 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a p a r a l l e l o -g r a m w h o s e s i d e s a r e e q u a l t o a a n d 4 a , a n d t h e a c u t ea n g l e a = 6 0 ° . T h e g r e a t e r d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e -p i p e d i s e q u a l t o 5 a . D e t e r m i n e i t s v o l u m e .

8 4 3 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a p a r a l l e l o -g r a m w h o s e g r e a t e r s i d e i s e q u a l t o 2 5 c m , a n d t h e s m a l -

l e r d i a g o n a l s e r v e s a s t h e a l t i t u d e o f t h e p a r a l l e l o g r a ma n d i s e q u a l t o 1 5 c m . T h e s m a l l e r d i a g o n a l o f t h e p a r a l -

l e l e p i p e d i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d

t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .8 4 4 . T h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u s

w i t h t h e s i d e a . T h e s e c t i o n o f t h e p a r a l l e l e p i p e d p a s s i n gt h r o u g h t w o o p p o s i t e s i d e s o f t h e b a s e s h a s a n a r e a e q u a lt o Q a n d i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 4 5 . A s e c t i o n i s d r a w n t h r o u g h t h e s i d e o f t h e l o w e r

b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d e q u a l t o 1 2 c m a n d t h e




o p p o s i t e s i d e o f t h e u p p e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° t o t h eb a s e . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o 1 9 2 c m 2 . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

8 4 6 . T h e d i a g o n a l o f t h e b a s e o f a r i g h t p a r a l l e l e p i p e di s e q u a l t o d . T h r o u g h t h i s d i a g o n a l a n d t h e e n d - p o i n to f t h e l a t e r a l e d g e w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t t h i s d i a g o n a la s e c t i o n i s d r a w n a t a n a n g l e o f 3 0 ° t o t h e b a s e . T h ea r e a o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o Q . F i n d t h e v o l u m e o f t h ep a r a l l e l e p i p e d .

8 4 7 . A r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d w h o s e d i m e n s i o n sa r e 1 0 d m , 6 d m a n d 8 d m i s d e f o r m e d s o t h a t t w o o f i t sl a t e r a l f a c e s t u r n e d o u t t o b e . p a r a l l e l o g r a m s w i t h a n

a c u t e a n g l e o f 3 0 ° . H o w i s i t s v o l u m e c h a n g e d ?8 4 8 . A n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d h a s a r e c t a n g u l a r b a s e

w i t h t h e s i d e s e q u a l t o 7 c m a n d 2 4 c m . O n e o f t h e d i a g o -n a l s e c t i o n s i s a p a r a l l e l o g r a m w h o s e p l a n e i s p e r p e n d i -c u l a r t o t h e b a s e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d a n d t h e a r e a i s

e q u a l t o 2 5 0 c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .8 4 9 . T h e b a s e o f a p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m b u s w i t h

t h e s i d e a a n d a n a c u t e a n g l e o f 6 0 ° . T h e v e r t e x o f t h eo b t u s e a n g l e o f t h e u p p e r b a s e i s p r o j e c t e d i n t h e c e n t r eo f t h e l o w e r b a s e . T h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h eb a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e -p i p e d .

8 5 0 . I n a n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d t w o l a t e r a l f a c e sh a v e a r e a s o f S l a n d S . a n d f o r m a n a n g l e o f 1 5 0 ° . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i f i t s l a t e r a l e d g e i se q u a l t o l a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .

2 9 . V o l u m e s o f P r i s m s

8 5 1 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r p r i s m i s e q u a lt o a , t h e l a t e r a l e d g e t o b . F i n d t h e v o l u m e i f t h e p r i s mi s : - ( a ) t r i a n g u l a r ; ( b ) q u a d r a n g u l a r ; ( c ) h e x a g o n a l .

8 5 2 . A s t e e l p i p e w h o s e c r o s s s e c t i o n i s a r e g u l a r h e x a -g o n w i t h t h e s i d e e q u a l t o 5 c m h a s a . l o n g i t u d i n a l h o l eo f 3 c m X 3 c m . D e t e r m i n e t h e w e i g h t o f o n e l i n e a r m e t r e

o f t h e p i p e . T h e d e n s i t y o f s t e e l i s 7 . 8 6 . 1 0 3 m $ .




8 5 3 . A f i e l d h a v i n g t h e s h a p e o f a t r i a n g l e w i t h t h es i d e s . o f 2 2 2 m , 1 5 6 m a n d 9 0 m i s t o b e f e r t i l i z e d . T ot h i s e n d i t h a s t o b e c o v e r e d w i t h a p e a t l a y e r 0 . 6 c mt h i c k . H o w m u c h p e a t ( i n t o n s ) i s ' i t r e q u i r e d f o r t h i sp u r p o s e ? T h e d e n s i t y - o f p e a t i s e q u a l t o 0 . 4 . 1 0 3 m 9

8 5 4 . D e t e r m i n e t h e c a p a c i t y o f a s h e d w h o s e d i m e n -s i o n s a r e : a = 2 5 m , b = 1 0 m , c = 4 m ( F i g . 2 6 ) .

F i g . 2 6

8 5 5 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m t h e p e r p e n d i c u l a rd r o p p e d f r o m a v e r t e x o f t h e b a s e t o t h e o p p o s i t e s i d e

o f t h e o t h e r b a s e i s e q u a l t o a a n d i n c l i n e d * t o t h e b a s ea t a n a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .

8 5 6 . T h e v o l u m e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m i s e q u a lt o 9 0 c m 3 , a n d t h e r a d i u s o f t h e i n c i r c l e t o 3 c m . F i n d - t h e

a l t i t u d e o f t h e p r i s m .8 5 7 . I n a ' r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m a p l a n e i s d r a w n

t h r o u g h a s i d e o f t h e l o w e r b a s e a n d t h e o p p o s i t e v e r t e xo f t h e u p p e r b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o t h e b a s e . T h ea r e a o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o Q . D e t e r m i n e t h e v o l u m eo f t h e p r i s m .

8 5 8 . T h e g r e a t e s t d i a g o n a l o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m

i s e q u a l t o l a n d i n c l i n e d t o t h e l a t e r a l f a c e o f t h e p r i s ma t a n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .8 5 9 . T h e l a t e r a l f a c e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m i s

a s q u a r e w h o s e d i a g o n a l i s e q u a l t o d . F i n d t h e e d g e o fa c u b e w h i c h i s e q u a l t o . t h e g i v e n p r i s m .

8 6 0 . W h e n d i g g i n g a f o u n d a t i o n p i t h a v i n g t h e s h a p eo f a r e g u l a r o c t a g o n a l p r i s m w i t h t h e s i d e o f t h e b a s e

6 m l o n g t h e e a r t h e x c a v a t e d a m o u n t e d t o 6 0 0 t o n s .




D e t e r m i n e t h e d e p t h o f t h e p i t i f t h e d e n s i t y o f e a r t hi s e q u a l t o 1 . 8 . 1 0 3 k k

m

8 6 1 . T h r o u g h t w o o p p o s i t e v e r t i c e s o f t h e b a s e o fa r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m a p l a n e i s d r a w n w h i c h c u t se q u a l s e g m e n t s f r o m f o u r l a t e r a l e d g e s o f t h e p r i s m .

T h e s e c t i o n a r e a i s e q u a l t o 2 7 1 / 3 d m z , a n d t h e c u t t i n gp l a n e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h ev o l u m e o f t h e p r i s m .

8 6 2 . C o m p u t e t h e m a s s o f a m e t a l h o l l o w b a r w h o s ec r o s s s e c t i o n a n d d i m e n s i o n s ( i n m i l l i m e t r e s ) a r e g i v e n

i n F i g . 2 7 . T h e b a r i s 1 . 5 m l o n g , t h e d e n s i t y o f t h e m e t a l

b e i n g e q u a l t o 7 . 8 . 1 0 3 m g

F i g . 2 7

8 6 3 . T h e c r o s s s e c t i o n o f a n i r r i g a t i o n c a n a l h a s t h es h a p e o f a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m w h o s e b a s e s a r e e q u a lt o 3 m a n d 2 . 5 m . T h e d e p t h o f t h e c a n a l i s e q u a l t o 1 m ,t h e d e p t h o f t h e w a t e r f l o w i n t h e c a n a l t o 0 . 7 m , t h er a t e o f f l o w t o 2 m . F i n d t h e a m o u n t o f w a t e r p a s s i n g

t h r o u g h t h e c r o s s s e c t i o n o f t h e c a n a l d u r i n g 2 4 h o u r s .

8 6 4 . A l e a d b a r , w h o s e m a s s i s e q u a l t o 1 8 k g , h a st h e s h a p e o f a r i g h t p r i s m 3 0 c m h i g h . T h e b a s e o f t h ep r i s m i s a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m , t h e p a r a l l e l s i d e s o fw h i c h a r e e q u a l t o 3 . 5 c m a n d 1 1 . 5 c m a n d t h e l a t e r a ls i d e t o 8 . 5 c m . F i n d o u t w h e t h e r t h e b a r i s s o l i d o r i t

h a s b l o w h o l e s ( i n t h e l a t t e r c a s e d e t e r m i n e t h e i r v o l u m e ) .

T h e d e n s i t y o f l e a d i s e q u a l t o 1 1 . 3 . 1 0 3 m 3




8 6 5 . T h e c r o s s s e c t i o n o f a c o n c r e t e s l a b h a s t h e s h a p eo f a r i g h t - a n g l e d t r a p e z i u m , w h o s e p a r a l l e l s i d e s a r ee q u a l t o 1 5 c m a n d 1 0 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 2 5 c m .T h e s l a b i s 3 m l o n g . H o w m a n y s l a b s c a n a 5 - t o n l o r r yc a r r y a t a t i m e ? T h e d e n s i t y o f c o n c r e t e i s e q u a l t o

2 . 6 . 1 0 3m g

8 6 6 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l ew h o s e s i d e s a r e e q u a l t o 2 0 c m a n d 2 1 c m . T h e g r e a t e rl a t e r a l f a c e o f t h e p r i s m i s a s q u a r e . D e t e r m i n e t h e v o l u -

m e o f t h e p r i s m .8 6 7 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a t r i a n g l e w h o s e s i d e sa r e 6 c m , 2 5 c m a n d 2 9 c m l o n g . T h r o u g h t h e m i d - p o i n t so f t w o g r e a t e r s i d e s o f t h e b a s e a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e lt o t h e l a t e r a l f a c e . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o2 4 c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .

8 6 8 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a t r a p e z i u m A B C D .

T h e d i a g o n a l B 1 D o f t h e p r i s m f o r m s w i t h t h e d i a g o n a lB D o f t h e b a s e a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h ep r i s m i f : ( a ) t h e p a r a l l e l s i d e s A D = 2 5 c m a n d B C =

= 1 6 c m a n d n o n - p a r a l l e l s i d e s A B = 8 c m a n d C D == 1 0 c m ; ( b ) p a r a l l e l s i d e s A D = 3 4 c m a n d B C == 2 2 c m , a n d n o n - p a r a l l e l s i d e s A B = 1 7 c m a n d C D =

= 2 5 c m .

8 6 9 . I n a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r w h o s e a l t i t u d e i s e q u a lt o 4 d m a t r i a n g u l a r p r i s m i s i n s c r i b e d . T h e s i d e s o f t h eb a s e o f t h e p r i s m d i v i d e t h e b a s e c i r c l e o f t h e c y l i n d e ri n t h e p r o p o r t i o n 3 : 4 : 5 . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .

8 7 0 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a t r a p e z i u m . T h e a r e a so f i t s l a t e r a l f a c e s a r e a s 1 : 1 : 1 : 2 . T h e v o l u m e o f t h ep r i s m i s e q u a l t o 1 2 1 / 3 d m 3 , a n d i t s a l t i t u d e t o t h e

g r e a t e r s i d e o f t h e b a s e . F i n d t h e s i d e s o f t h e b a s e .8 7 1 . G i v e n a c u b e w i t h t h e e d g e o f 1 5 c m a n d a n e q u a lt r i a n g u l a r p r i s m i n w h i c h t h e s i d e s o f t h e b a s e a n d t h ea l t i t u d e a r e a s 8 7 : 7 5 : 1 8 : 5 0 . D e t e r m i n e t h e a r e a o ft h e t o t a l s u r f a c e o f t h e p r i s m .

8 7 2 . T h r o u g h o n e e d g e o f a c u b e a s e c t i o n i s d r a w nd i v i d i n g a n o t h e r e d g e i n t h e r a t i o o f 3 t o 5 . I n w h a t

r a t i o i s t h e v o l u m e o f t h e c u b e d i v i d e d b y t h i s s e c t i o n ?




b e i n g i n c l i n e d t o i t a t a n a n g l e o f 4 5 ° . T h e d i a g o n a l o ft h e l a t e r a l f a c e o f t h e p r i s m c o r r e s p o n d i n g t o t h e s m a l l e rl a t e r a l s i d e o f t h e b a s e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e o ft h e p r i s m a n d f o r m s w i t h t h e l a t e r a l e d g e a n a n g l e o f 3 0 ° .

F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .8 8 3 . I n a n o b l i q u e t r i a n g u l a r p r i s m t h e a r e a o f o n e o f

t h e l a t e r a l f a c e s i s e q u a l t o Q a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e nt h i s f a c e a n d t h e o p p o s i t e e d g e i s e q u a l t o d . F i n d t h ev o l u m e o f t h e p r i s m .

8 8 4 . I n a n o b l i q u e h e x a g o n a l p r i s m t w o o p p o s i t e l a t e r a lf a c e s a r e p e r p e n d i c i a l ' a r t o t h e b a s e a n d r e p r e s e n t r h o m -b u s e s w h o s e d i a g o n a l s a r e e q u a l t o 6 c m a n d 8 c m ; , t h eb a s e o f t h e p r i s m i s a r e g u l a r h e x a g o n . F i n d t h e v o l u m eo f t h e p r i s m .

8 8 5 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p r i s m i s a q u a d r a n g l eA B C D w h o s e d i a g o n a l s a r e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r . T h ed i a g o n a l s e c t i o n A A 1 C 1 C i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e ;

B D 3 2 . d m , t h e s e c t i o n a r e a A A 1 C 1 C = 1 0 0 0 d m 2 .D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .8 8 6 . I n a p r i s m A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 t h e d i a g o n a l s o f t h e

b a s e A C a n d B D a r e p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r , B D == 6 d m . T h e d i a g o n a l s o f t h e p r i s m B D 1 D B 1 = 1 0 d m .

T h e s e c t i o n B D D 1 B 1 i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l eo f 6 0 ° . T h e d i a g o n a l A 1 C o f t h e p r i s m i s e q u a l t o 2 V 2 1 d m .

D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .

3 0 . V o l u m e s o f P y r a m i d s

8 8 7 . F i n g t h e v o l u m e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r , q u a d r a n -g u l a r a n d h e x a g o n a l p y r a m i d s i f : ( 1 ) t h e s i d e o f t h e b a s ei s e q u a l t o a , t h e l a t e r a l e d g e t o b ; ( 2 ) t h e a l t i t u d e i se q u a l t o h , t h e l a t e r a l e d g e t o b ; ( 3 ) t h e s i d e o f t h e b a s e

i s e q u a l t o a , t h e s l a n t h e i g h t t o 1 .8 8 8 . 1 . I n a r e g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f t h e b a s e i s

e q u a l t o a , t h e l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a na n g l e o f 6 0 ° . C o m p u t e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d : ( a )

t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .2 . I n a r e g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f t h e b a s e i s e q u a l

t o a , t h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e




o f 3 0 ° . C o m p u t e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u -l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

8 8 9 . O r a l l y . 1 . H o w w i l l t h e v o l u m e o f a p y r a m i dc h a n g e i f t h e a l t i t u d e a n d t h e s i d e o f t h e b a s e a r e i n c r e a -s e d t w o t i m e s , f i v e t i m e s , n t i m e s ?

2 . T h e a l t i t u d e o f a p y r a m i d i s r e d u c e d t o o n e f o u r t hi t s l e n g t h , a n d t h e s i d e s o f t h e b a s e a r e d o u b l e d . H o ww i l l t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d c h a n g e ?

8 9 0 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s t w i c e a s l o n g a s t h e a l t i t u d e . T h e s i d e o f t h e b a s e i se q u a l t o a . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

8 9 1 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i di s e q u a l t o 2 d m , a n d a p e r p e n d i c u l a r d r o p p e d f r o m a v e r -t e x o f t h e b a s e t o t h e o p p o s i t e f a c e b i s e c t s t h e s l a n th e i g h t . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

8 9 2 . T h e c e n t r e o f t h e u p p e r b a s e o f a r e g u l a r p r i s m

a n d t h e m i d - p o i n t s o f t h e s i d e s o f t h e l o w e r b a s e a r e t h ev e r t i c e s o f a p y r a m i d . B y h o w m a n y t i m e s i s t h e v o l u m eo f t h e p r i s m g r e a t e r t h a n t h a t o f t h e p y r a m i d ? C o n s i d e ra t r i a n g u l a r , q u a d r a n g u l a r a n d h e x a g o n a l p r i s m s .

8 9 3 . D r a w n f r o m t h e v e r t e x A o f a c u b e a r e d i a g o n a l so f t h e f a c e s c o n t a i n i n g t h e p o i n t A . T h e e n d - p o i n t s B ,C a n d D o f t h e d i a g o n a l s a r e j o i n e d t o o n e a n o t h e r .

F i n d t h e v o l u m e o f t h e t e t r a h e d r o n A B C D i f . t h e e d g eo f t h e c u b e i s e q u a l t o a .8 9 4 . F i n d t h e v o l u m e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a -

m i d i f : ( 1 ) t h e s e c t i o n o f t h e p y r a m i d p a s s i n g t h r o u g ht h e a l t i t u d e a n d l a t e r a l e d g e i s a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l ew i t h t h e s i d e a ; ( 2 ) t h e l a t e r a l f a c e i s a r e g u l a r t r i a n g l e

w i t h t h e s i d e a .

8 9 5 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d i s e q u a l t o a ; d i h e d r a l a n g l e s a t t h e l a t e r a l e d g e sc o n t a i n 1 2 0 ° e a c h . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

8 9 6 . G i v e n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d . T h e a r e ao f t h e s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h a d i a g o n a l o f t h e b a s ea n d p e r p e n d i c u l a r t o a l a t e r a l e d g e i s e q u a l t o S . T h e

p l a n e o f t h e s e c t i o n i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e

o f 6 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .



C H . V I . V O L U M E S O F P O L Y H E D R O N S A N D R O U N D S D L I D S 1 2 9

8 9 7 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d a c u b e i s i n -s c r i b e d s o t h a t f o u r o f i t s v e r t i c e s a r e f o u n d o n t h e l a t e -r a l e d g e s o f t h e p y r a m i d a n d b i s e c t t h e m . F i n d t h e v o l u -m e o f t h e p y r a m i d i f t h e v o l u m e o f t h e c u b e i s e q u a l t o2 7 d m 3 .

8 9 8 . 1 . A s p h e r e i s i n s c r i b e d i n a - r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d w h o s e a l t i t u d e i s e q u a l t o 9 6 c m . D e t e r m i n e t h ev o l u m e o f t h e p y r a m i d i f t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i s2 1 c m l o n g .

2 . A s p h e r e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a r e g u l a r q u a d r a n -

g u l a r p y r a m i d w h o s e a l t i t u d e i s 3 2 c m h i g h . D e t e r m i n et h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d i f t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i sk e q u a l t o 2 5 c m .

8 9 9 . T h e l a t e r a l f a c e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i di s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° a n d h a s t h e a r e ao f Q c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 0 0 . F i n d t h e v o l u m e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l . p y r a m i d

i n w h i c h t h e s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h t h e s m a l l e r d i a g o -n a l o f t h e b a s e a n d t h e v e r t e x o f t h e p y r a m i d i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° a n d h a s a n a r e a o f Q c m 2 .

9 0 1 . T h e v o l u m e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d i se q u a l t o 4 5 j / 3 d m 3 a n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n p a s s i n g

t h r o u g h t h e g r e a t e r d i a g o n a l o f t h e b a s e a n d t h e a l t i t u d eo f t h e p y r a m i d t o 1 5 d m 2 . F i n d t h e l a t e r a l e d g e o f t h ep y r a m i d .

9 0 2 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i di s e q u a l t o a , a n d t h e a l t i t u d e d r a w n f r o m a v e r t e x o ft h e b a s e t o t h e o p p o s i t e l a t e r a l f a c e t o b . D e t e r m i n et h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 0 3 . A s t a c k o f s t r a w h a s t h e s h a p e o f a r e c t a n g u l a rp a r a l l e l e p i p e d w i t h a p y r a m i d m o u n t e d o n t h e u p p e rb a s e . T h e s t a c k i s 6 m l o n g , 4 m w i d e a n d 5 I n h i g h ( l e s s

t h e h e i g h t o f t h e p y r a m i d ) . T h e s m a l l e r - l a t e r a l f a c e so f t h e p y r a m i d a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .

F i n d t h e w e i g h t o f t h e s t r a w s t a c k , i f t h e d e n s i t y o fs t r a w i s e q u a l t o 8 0 m s

9 0 4 . T h e h i g h e s t o f t h e E g y p t i a n p y r a m i d s - t h ep y r a m i d o f C h e o p s i s 1 4 4 m h i g h , a n d t h e s i d e o f i t ss q u a r e b a s e i s 2 3 0 i n l o n g . T h e i n t e r n a l p a s s a g e s a n d

5 - 1 2 2 4




r o o m s o f t h e p y r a m i d c o n s t i t u t e 3 0 p e r c e n t o f i t s v o l u m e .H o w m a n y t r i p s w o u l d b e r e q u i r e d f o r t e n 6 - t o n l o r r i e st o c a r r y t h e t o t a l a m o u n t o f s t o n e u s e d f o r i t s c o n s t r u c -

t i o n ? T h e d e n s i t y o f s t o n e i s e q u a l t o 2 . 5 . 1 0 3 m

9 0 5 . G i v e n i n F i g . 2 8 a r e t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a lp r o j e c t i o n s o f t h e u p p e r p o r t i o n o f a m i l e s t o n e w i t h

t h e d i m e n s i o n s i n c e n t i m e t r e s . D e t e r m i n e i t s w e i g h t i f1 m 3 o f t h e m a t e r i a l w e i g h s 2 5 . 4 8 k N .

6 0 - F i g . 2 8

9 0 6 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f a t r i a n g u l a r p y r a m i di s e q u a l t o o n e s i x t h t h e v o l u m e o f a p a r a l l e l e p i p e d c o n -

s t r u c t e d o n a n y t h r e e e d g e s o f t h e p y r a m i d e m a n a t i n gf r o m o n e v e r t e x .

9 0 7 . 1 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l eo n e o f w h o s e s i d e s i s e q u a l t o a a n d t h e a d j a c e n t a n g l e

t o 3 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d i f t h e l a t e r a le d g e s a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .

2 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a t r i a n g l e w h o s e s i d e s a r ee q u a l t o 1 2 c m , 2 0 c m a n d 2 8 c m . E a c h o f t h e l a t e r a le d g e s i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . C o m p u t et h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 0 8 . 1 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l ew h o s e s i d e s a r e e q u a l t o 2 4 c m a n d 3 2 c m . E a c h o f t h e

l a t e r a l e d g e s i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° .C o m p u t e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .2 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w h o s e

b a s e i s e q u a l t o 1 2 c m a n d a l t i t u d e t o 1 8 c m . E a c h o f t h el a t e r a l e d g e s i s 2 6 c m l o n g . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e

p y r a m i d .9 0 9 . A w o o d e n t r i a n g u l a r p y r a m i d i s s a w n u p i n t o

t w o p i e c e s . T h e c u t t i n g p l a n e i n t e r s e c t s a l l t h e t h r e e




9 1 6 . D e t e r m i n e t h e c a p a c i t y o f t h e p l a s t i c c o n t a i n e rw h o s e s h a p e a n d d i m e n s i o n s a r e s h o w n i n F i g . 2 9 .

F i g . 2 9

9 1 7 . A u n i f o r m b o d y h a s t h e s h a p e o f a r e c t a n g u l a rp a r a l l e l e p i p e d . A p i e c e i s c u t a w a y f r o m i t s o t h a t t h ec u t t i n g p l a n e p a s s e s t h r o u g h t h e m i d - p o i n t s o f t h r e ee d g e s e m a n a t i n g f r o m o n e v e r t e x . W h a t i s t h e p e r c e n t a g eo f t h e c u t - a w a y m a t e r i a l ?

9 1 8 . P r o v e t h a t i n a r e g u l a r p y r a m i d t h e s u m o f t h e

d i s t a n c e s b e t w e e n a n y p o i n t o f t h e b a s e a n d t h e l a t e r a lf a c e s i s a c o n s t a n t .9 1 9 . T h e p l a n e a n g l e s a t t h e v e r t e x o f a t r i a n g u l a r

p y r a m i d a r e r i g h t o n e s , t h e l a t e r a l e d g e s a r e e q u a l t o a ,b a n d c . A p o i n t M t a k e n o n t h e b a s e i s x , y a n d z u n i t sd i s t a n t f r o m t h e f a c e s o p p o s i t e t h e e d g e s a , b a n d c ,r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t

x y za + 6 + a . - 1 .

9 2 0 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s w h o s e s i d ei s e q u a l t o 1 6 c m a n d a c u t e a n g l e t o 6 0 ° . D i h e d r a l a n g l e sa t t h e b a s e o f t h e p y r a m i d c o n t a i n 4 5 ° e a c h . C o m p u t et h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 2 1 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a p y r a m i d w h o s e a l t i -

t u d e i s e q u a l t o 1 0 c m , e a c h o f t h e d i h e d r a l a n g l e s a tt h e b a s e t o 4 0 ° 3 2 ' a n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e t o6 6 0 c m 2 .

9 2 2 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s , w i t h t h e s i d ee q u a l t o 6 c m a n d a c u t e a n g l e t o 5 3 ° 8 ' . O n e o f t h e l a t e r a le d g e s i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e a n d e q u a l t o t h e g r e a -t e r d i a g o n a l o f t h e r h o m b u s . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f

t h e p y r a m i d .




9 2 3 . P l a n e s p a r a l l e l t o t h e b a s e , o f a p y r a m i d t r i s e c ti t s a l t i t u d e . I n w h a t p r o p o r t i o n i s t h e v o l u m e o f t h ep y r a m i d d i v i d e d b y t h e s e p l a n e s ?

9 2 4 . P l a n e s p a r a l l e l t o t h e b a s e d i v i d e a p y r a m i d i n t ot h r e e e q u a l p o r t i o n s . I n w h a t r a t i o i s t h e a l t i t u d e . o f

t h e p y r a m i d d i v i d e d b y t h e s e p l a n e s ?9 2 5 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f

t h e b a s e i s e q u a l t o a a n d t h e l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . A p l a n e i s d r a w n t h r o u g ha s i d e o f t h e b a s e a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e o p p o s i t el a t e r a l f a c e . F i n d t h e v o l u m e s o f t h e p o r t i o n s i n t o w h i c ht h e p y r a m i d i s d i v i d e d b y t h e c u t t i n g p l a n e .

9 2 6 . T h r o u g h t h e c e n t r e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r t r i a n -g u l a r p y r a m i d a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l t o a l a t e r a lf a c e . F i n d t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f t h e o b t a i n e d p o r -t i o n s .

3 1 . V o l u m e s o f T r u n c a t e d P y r a m i d s

9 2 7 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a -m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l , i n

e a c h o f w h i c h t h e s i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 4 d ma n d 2 d m , a n d t h e a l t i t u d e t o 5 d m .

9 2 8 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a -

m i d a r e e q u a l t o 1 2 d m a n d 8 d m , t h e l a t e r a l f a c e s a r ei n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . C o m p u t et h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u -l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

9 2 9 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a -m i d a r e e q u a l t o 8 c m a n d 4 c m , t h e l a t e r a l e d g e s a r ei n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . C o m p u t e

t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n -g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .9 3 0 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r u n c a t e d

p y r a m i d a r e e q u a l t o 6 m a n d 4 m , , t h e a c u t e a n g l e o ft h e l a t e r a l f a c e t o 6 0 ° . C o m p u t e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d :( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

9 3 1 . T h e l a t e r a l e d g e o f a r e g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d

i s e q u a l t o 1 / 4 8 c m , t h e s i d e s o f t h e b a s e s t o 1 0 c m a n d




4 c m . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d : ( a ) t r i a n g u l a r ,( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .

9 3 2 . T h e s i d e s o f t h e b a s e s o f a r e g u l a r t r i a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d a r e e q u a l t o 9 c m a n d 3 c m ; t h e s l a n th e i g h t e q u a l s t h e s u m o f t h e r a d i i o f t h e i n c i r c l e s . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 3 3 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h el a t e r a l e d g e i s e q u a l t o t h e r a d i u s R o f t h e c i r c l e c i r c u m -s c r i b e d a b o u t t h e g r e a t e r b a s e a n d i n c l i n e d t o t h i s b a s e

a t a n a n g l e o f 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .9 3 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

a r e a s o f t h e b a s e s a r e e q u a l t o 4 1 / 3 d m 2 a n d

43

d m 2 ,

a n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e t o 3 1 . 5 d m 2 . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 3 5 . T h e s l a n t h e i g h t o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a -

t e d p y r a m i d i s e q u a l t o 1 0 d m , a n d t h e s i d e s o f i t s b a s e st o 2 4 d m a n d 1 2 d m . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e t r u n c a -t e d p y r a m i d .

9 3 6 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d i f i t s d i a g o n a l e q u a l t o 4 0 c m i s

p e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e r a l e d g e e q u a l t o 3 0 c m .9 3 7 . T h e v o l u m e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d

p y r a m i d i s e q u a l t o 1 0 9 c m 3 , i t s a l t i t u d e t o 3 c m , a n dd i a g o n a l s o f t h e b a s e s a r e t o e a c h o t h e r a s 5 : 7 . F i n dt h e s i d e s o f t h e b a s e s o f t h e p y r a m i d .

9 3 8 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h ea r e a o f t h e s m a l l e r b a s e i s e q u a l t o 1 6 c m 2 , a n d t h e a r e ao f t h e l a t e r a l f a c e t o 6 4 c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h ep y r a m i d i f i t s l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a na n g l e o f 6 0 ° .

9 3 9 . I n a t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e a l t i t u d ei s e q u a l t o 6 m , t h e s i d e s o f o n e b a s e t o 2 9 m , 5 2 m a n d2 7 m , a n d t h e p e r i m e t e r o f t h e o t h e r b a s e t o 7 2 m . D e t e r -

m i n e t h e v o l u m e o f t h e t r u n c a t e d p y r a m i d .9 4 0 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

r a d i i o f t h e c i r c l e s i n s c r i b e d i n t h e b a s e s a r e e q u a l t o

2 . 5 1 / 2 d m a n d 3 . 5 _ V 2 d m ; t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e




o p p o s i t e s i d e s o f t h e b a s e s i s e q u a l t o 9 d m . F i n d t h ev o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 4 1 . T h e v o l u m e o f a r e g u l a r h e x a g o n a l t r u n c a t e dp y r a m i d i s e q u a l t o 2 8 0 8 d m 3 , a n d t h e s i d e s o f t h e b a s e sa n d t h e a l t i t u d e a r e a s 2 : 5 : 6 V 3 . F i n d t h e v o l u m eo f t h e c o r r e s p o n d i n g n o n - t r u n c a t e d p y r a m i d .

9 4 2 . T h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e dp y r a m i d i s 9 : 4 , i t s v o l u m e i s e q u a l t o 1 5 2 d m s , a n d t h ea l t i t u d e t o 6 d m . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e c o r r e s p o n d -

i n g n o n - t r u n c a t e d p y r a m i d .9 4 3 . I n a t r u n c a t e d p y r a m i d t h e a r e a s o f t h e b a s e sa r e e q u a l t o S l a n d S 2 , a n d t h e a l t i t u d e t o h . D e t e r m i n et h e v o l u m e o f t h e c o r r e s p o n d i n g n o n - t r u n c a t e d p y r a m i d .

9 4 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h es i d e o f t h e g r e a t e r b a s e i s e q u a l t o 5 0 c m . T h e a r e a o fa s e c t i o n d r a w n t h r o u g h a s i d e o f t h e g r e a t e r b a s e a n d

t h e o p p o s i t e v e r t e x o f t h e s m a l l e r b a s e a m o u n t s t o5 0 0 y 3 c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d i f t h ec u t t i n g p l a n e i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e r a l e d g e .

9 4 5 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h es i d e o f t h e g r e a t e r b a s e i s e q u a l t o 9 d m , a n d t h e v o l u m et o 3 2 5 . 5 y 3 d m s . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e c e n t r e o ft h e s m a l l e r b a s e a n d t h e s i d e o f t h e g r e a t e r b a s e i s e q u a l

t o t h i s s i d e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p y r a m i d .9 4 6 . T h e a l t i t u d e o f a t r u n c a t e d p y r a m i d i s e q u a l t o

3 m , a n d i t s v o l u m e t o 9 5 m s . T h e r a t i o o f t h e p e r i m e t e r so f t h e b a s e s i s 2 : 3 . D e t e r m i n e t h e a r e a s o f t h e b a s e s .

9 4 7 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h es l a n t h e i g h t a n d s i d e s o f t h e b a s e s a r e a s 5 : 9 : 3 , a n d

t h e v o l u m e i s e q u a l t o 1 2 4 8 m s . D e t e r m i n e t h e t o t a ls u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .9 4 8 . I n a t r u n c a t e d p y r a m i d t h e a r e a o f o n e b a s e e x c e e d s

t h a t o f t h e o t h e r b a s e b y 2 4 c m 2 . T h e a l t i t u d e o f t h et r u n c a t e d p y r a m i d i s e q u a l t o 1 8 c m a n d i t s v o l u m e t o3 3 6 c m 3 . D e t e r m i n e t h e r a t i o o f t h e s i d e s o f t h e b a s e s .

9 4 9 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r

t r u n c a t e d p y r a m i d i n w h i c h t h e s i d e s o f t h e b a s e s a r e




e q u a l t o 8 m a n d 4 m , a n d t h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c ei s t w i c e t h e s u m o f t h e a r e a s o f t h e b a s e s .

9 5 0 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h ed i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e i s e q u a l t o 6 0 ° . T h e s e c t i o no f t h e p y r a m i d p a s s i n g t h r o u g h t h e s l a n t h e i g h t a n dt h e c e n t r e s o f t h e b a s e s i s a t r a p e z i u m i n w h i c h a c i r c l eo f r a d i u s r c a n b e i n s c r i b e d . F i n d t h e v o l u m e o f t h e

p y r a m i d .9 5 1 . G i v e n a t r u n c a t e d p y r a m i d A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

w h o s e b a s e s a r e . s q u a r e s w i t h s i d e s 3 0 c m a n d 1 2 c m l o n g .T h e l a t e r a l f a c e A A 1 B 1 B i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e s ,

t h e a n g l e A A 1 B 1 = 1 2 0 ° , a n d t h e d i a g o n a l A B 1 i s e q u a lt o 2 8 c m . A p l a n e A B 1 C 1 D i s d r a w n . F i n d t h e v o l u m e so f t h e p o r t i o n s i n t o w h i c h t h e p y r a m i d i s d i v i d e d b yt h i s p l a n e .

9 5 2 . T h e b a s e s o f a t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d a r ei s o s c e l e s t r i a n g l e s w i t h t h e s i d e s e q u a l t o 1 4 c m , 2 5 c m ,

2 5 c m a n d 2 . 8 c m , 5 c m , 5 c m . T h e l a t e r a l f a c e c o n t a i n i n gt h e b a s e ' s o f t h e i s o s c e l e s t r i a n g l e s i s a n i s o s c e l e s t r a p e -z i u m w h o s e p l a n e f o r m s a r i g h t d i h e d r a l a n g l e w i t h t h eb a s e o f t h e p y r a m i d , a n d t h e o p p o s i t e l a t e r a l e d g e i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . D e t e r m i n e t h ev o l u m e o f t h e p y r a m i d .

9 5 3 . A r i g h t q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d i s c u t

b y p l a n e s d r a w n t h r o u g h t h e e n d - p o i n t s o f t h e d i a g o n a l so f t h e u p p e r b a s e a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e m . D e t e r m i n et h e v o l u m e o f t h e r e m a i n i n g p o r t i o n o f t h e t r u n c a t e dp y r a m i d i f i t s a l t i t u d e i s e q u a l t o h , a n d t h e s i d e s o f t h eb a s e s t o a a n d b .

9 5 4 . O u t o f a t r u n c a t e d p y r a m i d a p r i s m i s o u t w h o s eb a s e i s e q u a l t o t h e s m a l l e r b a s e o f t h e p y r a m i d a n d t h e

a l t i t u d e t o t h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d . W h a t i s t h ev o l u m e ( i n p e r c e n t ) o f t h e w a s t e i f t h e c o r r e s p o n d i n gs i d e s o f t h e b a s e s a r e a s 2 : 3 ?

9 5 5 . I n a t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h r o u g h a s i d eo f t h e s m a l l e r b a s e a p l a n e i s d r a w n p a r a l l e l t o a l a t e r a le d g e . T h e c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e b a s e s a r e a s 5 : 2 .

I n w h a t r a t i o i s t h e v o l u m e o f t h e t r u n c a t e d p y r a m i dd i v i d e d b y t h i s p l a n e ?



C H . V I . V O L U M E S O F P O L Y H E D R O N S A N D , R O U N D S O L I D S 1 3 7

9 5 6 . T h e c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e dp y r a m i d a r e a s m : n . F i n d t h e r a t i o i n w h i c h t h e m i d -

s e c t i o n d i v i d e s i t s v o l u m e .

3 2 . V o l u m e s o f C y l i n d e r s

9 5 7 . 1 . W h a t i s t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f a c y l i n d e ra n d i t s m o d e l m a d e t o t h e g r a p h i c s c a l e 1 : 2 , 1 : 3 , 1 : n ?

2 . W h a t i s t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f t w o c y l i n d e r s

h a v i n g e q u a l a l t i t u d e s , e q u a l d i a m e t e r s o f t h e b a s ec i r c l e s ?9 5 8 . H o w w i l l t h e v o l u m e o f a c y l i n d e r c h a n g e i f :

( a ) i t s d i a m e t e r i s i n c r e a s e d t w i c e , a n d t h e a l t i t u d e t h r e et i m e s , ( b ) t h e d i a m e t e r i s r e d u c e d t o h a l f i t s l e n g t h , a n dt h e a l t i t u d e i s i n c r e a s e d f o u r t i m e s ?

9 5 9 . P r o v e t h a t a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r i s e q u a l t o

a p r i s m i n w h i c h t h e b a s e i s a s q u a r e w h o s e s i d e i s ; e q u a lt o t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f t h e c y l i n d e r a n d t h ea l t i t u d e t o t h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e b a s ec i r c l e .

9 6 0 . 1 . G i v e n t w o c y l i n d e r s w i t h e q u a l a l t i t u d e s . T h ev o l u m e o f t h e f i r s t c y l i n d e r i s e q u a l t o 0 . 2 5 m 3 , a n d t h ed i a m e t e r o f i t s b a s e c i r c l e t o 0 . 7 5 m . T h e d i a m e t e r o f t h es e c o n d c y l i n d e r i s e q u a l t o 1 . 5 m . C o m p u t e t h e v o l u m eo f t h e s e c o n d c y l i n d e r .

2 . T w o c y l i n d e r s h a v e e q u a l b a s e s . T h e v o l u m e o f t h ef i r s t c y l i n d e r i s e q u a l t o 7 . 5 d m 3 , a n d i t s a l t i t u d e t o2 1 c m . T h e a l t i t u d e o f t h e s e c o n d c y l i n d e r i s e q u a l t o7 c m . C o m p u t e t h e v o l u m e o f t h e s e c o n d c y l i n d e r .

9 6 1 . I t i s r e q u i r e d t o m a k e a c y l i n d r i c a l o i l e r c o n t a i n -i n g 6 0 0 g o f m a c h i n e o i l . T h e h e i g h t o f t h e o i l e r i s t o

b e e q u a l t o 1 0 c m . D e t e r m i n e t h e d i a m e t e r o f i t s b o t t o mi f t h e d e n s i t y o f o i l i s e q u a l t o 9 0 0 m

9 6 2 . W h a t i s t h e w e i g h t o f t h e i r o n w i r e i n t e n d e df o r t w o - w i r e c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n p o i n t s A a n d Bi f A B = 2 k m , t h e d i a m e t e r o f t h e w i r e i s e q u a l t o 0 . 8 m m ,

a n d t h e d e n s i t y o f i r o n t o 7 . 8 . 1 0 3 m e ?




9 6 3 . H o w m a n y b a r r e l s o f t h e c y l i n d r i c a l f o r m ( 1 . 5 ml o n g a n d 0 . 8 m i n d i a m e t e r ) a r e r e q u i r e d . t o t r a n s p o r t

1 6 . 5 t o n s o f k e r o s e n e c o n t a i n e d i n a t a n k - c a r ? T h e d e n -

s i t y o f k e r o s e n e i s e q u a l t o 0 . 8 . 1 0 3 m .

9 6 4 . H o w m u c h s i l a g e w i l l g o i n a s i l o o f t h e c y l i n d r i -c a l f o r m i f t h e i n n e r d i a m e t e r o f t h e s i l o i s e q u a l t o3 . 7 0 m , a n d t h e h e i g h t t o 6 . 9 8 m ? ' T h e a v e r a g e d e n s i t y

o f s i l a g e i s e q u a l t o 6 7 0 s m

9 6 5 . W i r e 4 m m i n d i a m e t e r i s d r a w n f r o m a s t e e l p i gh a v i n g t h e f o r m o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d w h o s ed i m e n s i o n s a r e : 1 0 0 c m x 3 0 c m x 3 0 c m . D e t e r m i n et h e l e n g t h o f t h e w i r e o b t a i n e d f r o m t h e g i v e n p i g

9 6 6 . I t i s r e q u i r e d t o l e a d - c o a t a c a b l e 5 0 m m i n d i a -m e t e r . H o w m u c h l e a d i s i t r e q u i r e d f o r t h i s p u r p o s e i ft h e c a b l e i s 5 k m l o n g a n d t h e l e a d c o a t 3 m m t h i c k ?

T h e d e n s i t y o f l e a d i s e q u a l t o 1 1 . 4 . 1 0 3 ! .

9 6 7 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f e a r t h t o b e e x c a v a t e di n d i g g i n g a f o u n d a t i o n d i t c h f o r a w a t e r t o w e r o f t h e

c y l i n d r i c a l f o r m . T h e o u t e r d i a m e t e r o f t h e t o w e r e q u a l s8 m , t h e d i t c h i s t o b e 2 m d e e p a n d 1 m w i d e .

9 6 8 . A c o n s t r u c t i o n s i t e . r e q u i r e s a w a t e r s u p p l y o f

1 0 c u b i c m e t r e s p e r h o u r . A s s u m i n g t h e r a t e o f f l o wi n t h e w a t e r p i p e t o b e e q u a l t o 1 . 5 m

, d e t e r m i n e t h e

d i a m e t e r o f t h e p i p e t o b e u s e d f o r t h i s p u r p o s e .

9 6 9 . T o r e d u c e t h e w e i g h t o f a n i n t e r m e d i a t e f l o o r t h el a t t e r i s m a d e f r o m p r e f a b r i c a t e d h o l l o w c o n c r e t e s l a b s .A s s u m i n g t h a t t h e s l a b i s m a d e o f a u n i f o r m m a t e r i a l ,

d e t e r m i n e t h e p e r c e n t a g e b y w h i c h t h e w e i g h t o f a s l a bh a v i n g t h e d i m e n s i o n s 5 8 6 c m x 1 1 9 c m x 2 2 c m c a nb e r e d u c e d b y m a k i n g c y l i n d r i c a l h o l l o w s s o t h a t t h em i n i m u m t h i c k n e s s o f t h e c o n c r e t e l a y e r e q u a l s 3 . 5 c m ,a n d t h e a x e s o f t h e c y l i n d r i c a l h o l l o w s a r e p a r a l l e lt o t h e s l a b e d g e e q u a l t o 5 8 6 c m .

9 7 0 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c y l i n d e r i s e q u a lt o 1 0 c m . T h e a r e a o f t h e s e c t i o n w h i c h i s p a r a l l e l t o t h e




c y l i n d e r i f t h i s s e c t i o n i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l eo f 6 0 ° .

9 8 0 . 1 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a n e q u i l a t e r a l c y l i n -d e r i f i t i s n u m e r i c a l l y e q u a l t o t h e t o t a l s u r f a c e a r e ao f t h e c y l i n d e r .

2 . . D e t e r m i n e t h e v o l u m e a n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e ao f a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r i f i t s v o l u m e i s n u m e r i c a l l ye q u a l t o i t s l a t e r a l s u r f a c e a r e a .

9 8 1 . 1 . T h e l a t e r a l s u r f a c e o f a c y l i n d e r i s d e v e l o p e di n a s q u a r e w i t h t h e d i a g o n a l d . F i n d t h e v o l u m e o ft h e c y l i n d e r .

2 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c y l i n d e r i s R , a n di n t h e d e v e l o p m e n t o f i t s l a t e r a l s u r f a c e t h e g e n e r a t o rf o r m s w i t h t h e d i a g o n a l a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e v o l u m eo f t h e c y l i n d e r .

9 8 2 . A m e t a l s h e e t 2 0 ' c m x 1 0 c m i s b e n t t o m a k ea t u b e . F i n d t h e v o l u m e o f t h e t u b e . ( C o n s i d e r t w o c a s e s . )

9 8 3 . T h r o u g h a c h o r d o f t h e b a s e c i r c l e o f a c y l i n d e rw h i c h d i v i d e s i t s c i r c u m f e r e n c e i n t h e r a t i o o f 1 t o 2a p l a n e i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e g e n e r a t o r . I n w h a t r a t i oi s t h e v o l u m e o f t h e c y l i n d e r d i v i d e d b y t h e p l a n e ?

9 8 4 . I n a c o n e w i t h t h e g e n e r a t o r 1 = 2 5 c m a n d a l t i -t u d e H = 2 0 c m a c y l i n d e r i s i n s c r i b e d w h o s e s u r f a c e

a r e a a m o u n t s t o 3 0 6 n c m 2 . F i n d t h e v o l u m e o f t h i s

c y l i n d e r .

F i g . 3 0

. 9 8 5 . H o w m a n y b r i c k s a r e r e q u i r e d t o c o n s t r u c t a na r c h w i t h a c y l i n d r i c a l v a u l t w h o s e d i m e n s i o n s a r e g i v e n

i n F i g . 3 0 i f 1 m s o f m a s o n r y t a k e s 4 0 0 b r i c k s ?




3 3 . V o l u m e s o f C o n e s

9 8 6 . 1 . W h a t i s t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f t w o c o n e s

w h i c h h a v e e q u a l a l t i t u d e s , e q u a l d i a m e t e r s o f t h e b a s ec i r c l e s ?2 . W h a t i s t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f a c o n e a n d i t s

m o d e l m a d e t o t h e s c a l e 1 : 2 , 1 : 3 , 1 : n ?3 . I n w h a t r a t i o w i l l t h e v o l u m e o f a c o n e c h a n g e i f

i t s a l t i t u d e a n d r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e a r e r e d u c e d .t o

9 8 7 . 1 . T h e d i a m e t e r o f t h e b a s e c i r c l e i s i n c r e a s e dt h r e e t i m e s . H o w m u s t i t s a l t i t u d e b e c h a n g e d s o t h a t

i t s v o l u m e r e m a i n e d u n c h a n g e d ?2 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s r e d u c e d t o h a l f i t s l e n g t h .

H o w m u s t t h e d i a m e t e r o f i t s b a s e c i r c l e b e c h a n g e ds o ' t h a t i t s v o l u m e r e m a i n e d u n c h a n g e d ?

9 8 8 . 1 . H o w w i l l t h e v o l u m e o f a c o n e c h a n g e i f i t sg e n e r a t o r a n d a l t i t u d e a r e i n c r e a s e d t h r e e t i m e s ?2 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c o n e i s i n c r e a s e d

t h r e e t i m e s , a n d i t s a l t i t u d e i s r e d u c e d t o o n e t h i r d .H o w i s t h e v o l u m e o f t h e c o n e c h a n g e d ?

3 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s i n c r e a s e d t w e l v e t i m e s .H o w m u s t t h e d i a m e t e r o f t h e b a s e c i r c l e b e c h a n g e d s ot h a t t h e v o l u m e o f t h e c o n e i s i n c r e a s e d t h r e e t i m e s ?

9 8 9 . 1 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f t h e c o n e i s e q u a l t oo n e t h i r d t h e p r o d u c t o f t h e l a t e r a l s u r f a c e a r e a b y t h e

d i s t a n c e b e t w e e n t h e c e n t r e o f t h e b a s e a n d g e n e r a t o r .2 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f t h e c o n e i s e q u a l t o o n e

s i x t h t h e p r o d u c t o f t h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o ft h e b a s e c i r c l e b y t h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n .

9 9 0 . A c y l i n d r i c a l a n d c o n i c a l v e s s e l s h a v e e q u a l b a s e sa n d a l t i t u d e s . B y h o w m a n y t i m e s d o e s t h e c a p a c i t yo f t h e c y l i n d r i c a l v e s s e l e x c e e d t h a t o f t h e c o n i c a l o n e ?

9 9 1 . S o r t e d g r a i n i s g a t h e r e d i n a c o n i c a l h e a p 0 . 7 mh i g h . W h a t i s t h e m a s s o f t h e g r a i n i f t h e g e n e r a t o r o ft h e c o n e h a s a n a t u r a l s l o p e ( i t i s i n c l i n e d t o t h e h o r i -

z o n t a l p l a n e a t a n a n g l e o f 4 5 ° ) . T h e d e n s i t y o f g r a i n

i n t h e h e a p i s e q u a l t o 7 0 0 a




p a r a l l e l t o t h e b a s e . T h e v o l u m e o f t h e c o n e i s e q u a l t o V .F i n d t h e v o l u m e o f i t s m i d - p o r t i o n .

1 0 0 0 . T h r o u g h a p o i n t d i v i d i n g t h e a l t i t u d e o f a c o n ei n t h e r a t i o o f 1 t o 2 a p l a n e i s d r a v n p a r a l l e l t o t h e b a s e .I n w h a t r a t i o i s t h e v o l u m e o f t h e c o n e d i v i d e d b y t h e

c u t t i n g p l a n e ?1 0 0 1 . A v e s s e l h a s t h e f o r m o f a c y l i n d e r w i t h a c o n i c a l

b o t t o m . T h e h e i g h t o f t h e c y l i n d r i c a l p o r t i o n i s f o u rt i m e s t h e h e i g h t o f t h e c o n i c a l p o r t i o n . H a l f t h e v o l u m e

o f t h e v e s s e l i s o c c u p i e d b y a l i q u i d . W h a t p o r t i o n o f

t h e v o l u m e o f t h e c y l i n d r i c a l p a r t o f t h e v e s s e l r e m a i n se m p t y ?

1 0 0 2 . A c o n i c a l v e s s e l i s m a d e u p o f a m e t a l s h e e t w h i c hh a s t h e f o r m o f a c i r c u l a r s e c t o r w i t h a c e n t r a l a n g l e o f

1 2 0 ° a n d r a d i u s R . F i n d t h e c a p a c i t y o f t h e v e s s e l .

1 0 0 3 . T h e v o l u m e o f a c o n e i s e q u a l t o3 3

n V 5 m 8 ,

a n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e t o 4 m . D e t e r m i n e t h ec e n t r a l a n g l e o f t h e d e v e l o p m e n t o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e c o n e .

1 0 0 4 . F i n d t h e v o l u m e o f a s o l i d g e n e r a t e d b y r e v o l v -i n g : ( 1 ) a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e a b o u t i t s s i d e a ; ( 2 ) a ni s o s c e l e s t r i a n g l e w i t h t h e b a s e 1 0 d m a n d l a t e r a l s i d e1 3 d m l o n g a b o u t a l a t e r a l s i d e ; ( 3 ) a t r i a n g l e w i t h t h e

s i d e s 7 c m , 8 c m a n d 9 c m a b o u t t h e l o n g e r s i d e ; ( 4 ) at r i a n g l e w i t h t h e s i d e s 1 5 c m , 1 8 c m a n d 2 7 c m a b o u tt h e s m a l l e r s i d e .

1 0 0 5 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f a s o l i d o b t a i n e d b yr e v o l v i n g a t r i a n g l e a b o u t i t s s i d e i s e q u a l t o o n e t h i r dt h e p r o d u c t o f t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e b y t h e l e n g t h o ft h e c i r c l e c i r c u m s c r i b e d b y i t s v e r t e x .

1 0 0 6 . P r o v e t h a t a s o l i d g e n e r a t e d b y r e v o l v i n g ar h o m b u s a b o u t i t s s i d e i s e q u a l t o a c y l i n d e r w h o s eg e n e r a t o r i s t h e s i d e o f t h e r h o m b u s , a n d r a d i u s i s i t sa l t i t u d e .

1 0 0 7 . A n i s o s c e l e s t r a p e z i u m w h o s e b a s e s a n d l a t e r a ls i d e a r e r e s p e c t i v e l y e q u a l t o 5 c m , 2 1 c m a n d 1 7 c m

r o t a t e s a b o u t t h e s m a l l e r b a s e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o ft h e s o l i d o f r e v o l u t i o n .




1 0 0 8 . A t r a p e z i u m w h o s e b a s e s a r e e q u a l t o 5 c m a n d1 2 c m , a n d l a t e r a l s i d e s t o 2 4 c m a n d 2 5 c m . r e v o l v e s

a b o u t a s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e x o f t h es m a l l e r a n g l e a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e s . C o m p u t et h e v o l u m e o f t h e s o l i d o b t a i n e d .

1 0 0 9 . C o m p u t e t h e v o l u m e o f a s o l i d g e n e r a t e d b yr e v o l v i n g a t r i a n g l e a b o u t a s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g ha v e r t e x o f t h e t r i a n g l e a n d p a r a l l e l t o t h e l o n g e r s i d e

i f i t s s i d e s a r e g i v e n : ( 1 ) 2 9 c m , 2 5 c m , 6 c m ; ( 2 ) a d m ,a d m , a d n i .

1 0 1 0 . C o n e s a r e i n s c r i b e d i n , a n d c i r c u m s c r i b e d a b o u ta r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d . F i n d t h e r a t i o o f t h e v o l u -m e s o f t h e c o n e s .

1 0 1 1 . I n a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s t w i c e t h e l e n g t h o f t h e b a s e . T h e a p o t h e m o f t h e b a s ei s e q u a l t o 6 c m . F i n d t h e v o l u m e s o f t h e c o n e s i n s c r i b e di n , a n d c i r c u m s c r i b e d a b o u t , t h e p y r a m i d .

1 0 1 2 . A c u b e i s i n s c r i b e d i n a n e q u i l a t e r a l c o n e s o t h a to n e o f i t s f a c e s l i e s i n t h e p l a n e o f t h e b a s e o f t h e c o n e ,a n d f o u r o f i t s v e r t i c e s a r e f o u n d o n t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e c o n e . F i n d t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f t h e c o n ea n d c u b e .

1 0 1 3 . 1 . P r o v e t h a t i f a t r i a n g l e A B C r e v o l v e s a b o u tt h e s i d e B C = a , t h e n t h e v o l u m e o f t h e s o l i d t h u s g e n e -

r a t e d V =3

n Q a , w h e r e Q i s t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e .2 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e s o f t h e s o l i d s g e n e r a t e d b y

r e v o l v i n g a t r i a n g l e c o n s e c u t i v e l y a b o u t e a c h o f i t s

s i d e s a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s i d e s .

1 0 1 4 . A c o n e i s i n s c r i b e d i n a c u b e s o t h a t t h e b a s e o ft h e c o n e i s i n s c r i b e d i n o n e o f t h e f a c e s o f t h e c u b e a n d

t h e v e r t e x o f t h e c o n e i s t h e c e n t r e o f t h e o p p o s i t ef a c e . . F i n d t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f t h e c u b e a n dc o n e .

1 0 1 5 . A c o n e i n - w h i c h R = 1 8 c m a n d 1 = 3 0 c m i sp r o v i d e d w i t h a c y l i n d r i c a l h o l e . s o t h a t t h e i r a x e s c o i n -

c i d e . T h e d i a m e t e r o f t h e h o l e i s e q u a l t o 6 c m .F i n d t h e v o l u m e a n d ' s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d o b -

t a i n e d .




3 4 . V o l u m e s o f T r u n c a t e d C o n e s

1 0 1 6 . T h e r a d i i o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e a r ee q u a l t o 1 d m a n d 3 d m , a n d t h e g e n e r a t o r t o 2 . 9 d m .F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e .

1 0 1 7 . W h a t i s t h e c a p a c i t y ( i n l i t r e s ) o f t h e v e s s e lh a v i n g t h e f o r m o f a t r u n c a t e d c o n e t h e r a d i i o f w h o s e

b a s e c i r c l e s a r e e q u a l t o 3 5 c m a n d 2 0 c m , a n d t h e g e n e r a -t o r i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° ?

1 0 1 8 . A v e s s e l h a s t h e f o r m o f a t r u n c a t e d c o n e i nw h i c h t h e l e n g t h s o f t h e c i r c u m f e r e n c e s o f t h e b a s ec i r c l e s a r e e q u a l t o 9 6 c m a n d 6 6 c m a n d t h e a l t i t u d e t o

2 7 c m . C o m p u t e t h e c a p a c i t y o f t h i s v e s s e l ( i n l i t r e s ,a c c u r a t e t o o n e d e c i m a l p l a c e ) .

1 0 1 9 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e a l t i t u d e i s e q u a l t o . t h er a d i u s o f t h e s m a l l e r b a s e ; t h e r a d i u s o f t h e g r e a t e r b a s e

i s e q u a l t o 1 2 c m , a n d t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h eb a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e .

1 0 2 0 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 3 c m a n d 1 0 c m , a n d t h e v o l u m e t o 1 1 1 2 a c m 3 .

F i n d t h e a l t i t u d e a n d g e n e r a t o r o f t h e c o n e .1 0 2 1 . T h e a l t i t u d e o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o

8 . 4 d m , a n d t h e r a d i u s o f o n e o f t h e b a s e c i r c l e s t o 0 . 7 d m .F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e i f i t s

v o l u m e i s e q u a l t o 1 6 . 4 9 2 n d m s .1 0 2 2 . T h e g e n e r a t o r 1 o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o

t h e d i a m e t e r o f t h e s m a l l e r b a s e c i r c l e a n d i n c l i n e d t ot h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o ft h e c o n e .

1 0 2 3 . T h e v o l u m e o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o4 1 6 n c m 3 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s a n d t h e g e n e r a t o r

a r e a s 5 : 2 : 5 . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h i s t r u n c a t e dc o n e .

1 0 2 4 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e d i a g o n a l s o f t h e a x i a l

s e c t i o n a r e p e r p e n d i c u l a r t o e a c h o t h e r a n d t h e g e n e r a t o r

i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° a n d e q u a l s1 . F i n d t h e v o l u m e o f t h i s t r u n c a t e d c o n e .

1 0 2 5 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e l i n e s e g m e n t 1 , w h i c h

c o n n e c t s t h e c e n t r e o f t h e g r e a t e r b a s e w i t h t h e e n d -




p o i n t o f t h e d i a m e t e r o f t h e s m a l l e r b a s e , i s p e r p e n d i c u -l a r t o ' t h e g e n e r a t o r a n d i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a ta n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h i s c o n e .

1 0 2 6 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 6 c m a n d 8 c m , a n d t h e v o l u m e o f t h e r e g u l a r

q u a d r a n g u l a r p y r a m i d i n s c r i b e d i n i t i s e q u a l t o 1 4 8 0 c m - 1 .F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e .

1 0 2 7 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 4 c m a n d 1 0 c m . P l a n e s d r a w n p a r a l l e lt o t h e b a s e s d i v i d e t h e a l t i t u d e o f t h e c o n e i n t o t h r e ee q u a l p a r t s . I n w h a t p r o p o r t i o n i s t h e v o l u m e o f t h et r u n c a t e d c o n e d i v i d e d b y t h e s e p l a n e s ?

1 0 2 8 . T h e r a t i o o f t h e a r e a s o f t h e b a s e s o f a t r u n c a t e dc o n e i s 1 : 2 , a n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n t h ea x i a l s e c t i o n i s e q u a l t o R . F i n d t h e v o l u m e o f t h e t r u n -c a t e d c o n e .

1 0 2 9 . T h e l a t e r a l s i d e s o f t h e a x i a l s e c t i o n o f a t r u n c a -t e d c o n e a r e t a n g e n t t o t h e i n s c r i b e d c i r c l e a t p o i n t st h e d i s t a n c e b e t w e e n w h i c h i s e q u a l t o a . T h e a n g l e o f

i n c l i n a t i o n o f t h e g e n e r a t o r t o t h e b a s e i s e q u a l t o 4 5 ° .F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e .

1 0 3 0 . F i n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r a d i i o f t h e

b a s e s o f a t r u n c a t e d c o n e i f t h e c o n i c a l s u r f a c e , w h o s ev e r t e x l i e s a t t h e c e n t r e o f t h e l o w e r b a s e a n d w h o s eb a s e i s t h e u p p e r b a s e o f t h e t r u n c a t e d c o n e , d i v i d e s

t h e v o l u m e o f t h e g i v e n c o n e i n t h e r a t i o o f 4 t o 1 5 .

1 0 3 1 . A c o n e i s i n s c r i b e d i n a t r u n c a t e d c o n e s o t h a ti t s v e r t e x c o i n c i d e s w i t h t h e c e n t r e o f t h e u p p e r b a s eo f t h e t r u n c a t e d c o n e , a n d i t s b a s e w i t h t h e l o w e r b a s eo f t h e g i v e n c o n e . F i n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h er a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f t h e t r u n c a t e d c o n e i f t h e v o l u m e

o f t h e i n s c r i b e d c o n e c o n s t i t u t e s h a l f t h e v o l u m e o f t h et r u n c a t e d c o n e .

1 0 3 2 . G i v e n i n a t r u n c a t e d c o n e : t h e r a d i i o f t h e b a s ec i r c l e s R a n d r , a n d t h e a l t i t u d e H . O u t o f i t t w o c o n e sa r e o u t a w a y w h o s e b a s e s c o i n c i d e w i t h t h e b a s e s o f t h eg i v e n c o n e , a n d t h e g e n e r a t o r o f o n e c o n e s e r v e s a s t h ee x t e n s i o n o f t h e g e n e r a t o r o f t h e o t h e r . D e t e r m i n e t h e

v o l u m e o f t h e r e m a i n i n g p o r t i o n .




1 0 3 3 . A t e t r a h e d r o n i s i n s c r i b e d i n a t r u n c a t e d c o n es o t h a t o n e o f i t s ' f a c e s i s i n s c r i b e d i n t h e s m a l l e r b a s ec i r c l e o f t h e c o n e , a n d t h e o p p o s i t e v e r t e x i s f o u n d a tt h e c e n t r e o f t h e g r e a t e r b a s e o f t h e c o n e . T h e e d g e o f t h et e t r a h e d r o n h a s t h e l e n g t h a a n d i s e q u a l t o t h e g e n e r a t o r

o f t h e c o n e . F i n d t h e v o l u m e o f t h e . t r u n c a t e dc o n e .

1 0 3 4 . 1 . G i v e n t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s R a n d r ;d e t e r m i n e t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f t h e t r u n c a t e d c o n e

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g n o n - t r u n c a t e d c o n e .

2 . I n w h a t r a t i o i s t h e v o l u m e o f a t r u n c a t e d c o n e d i v i -d e d b y t h e m i d - s e c t i o n ?

1 0 3 5 . A t r u n c a t e d c o n e , w h o s e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e sa r e e q u a l t o R a n d r , a n d t h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o ni s t h e m e a n p r o p o r t i o n a l b e t w e e n t h e a r e a s o f t h e b a s e s ,

i s p r o v i d e d w i t h a c o a x i a l c y l i n d r i c a l h o l e o f r a d i u s V 3

F i n d t h e v o l u m e o f t h e r e t r a i n i n g p o r t i o n .1 0 3 6 . F i n d t h e d i m e n s i o n s o f a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r

e q u a l t o a t r u n c a t e d c o n e i n w h i c h t h e a r e a s o f t h e b a s ec i r c l e s a r e e q u a l t o i t c m a a n d 1 6 n c m 2 , a n d t h e a r e a o f

t h e a x i a l s e c t i o n t o 6 1 4 c m 2 .

1 0 3 7 . A r e g u l a r t r i a n g l e w i t h t h e s i d e a r e v o l v e s a b o u t

a n a x i s p a s s i n g t h r o u g h o n e o f i t s v e r t i c e s a n d p e r p e n d i -c u l a r t o i t s s i d e . F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i d t h u s g e n e -r a t e d .

1 0 3 8 . A r h o m b u s w i t h t h e s i d e a a n d a c u t e a n g l e o f6 0 ° r e v o l v e s a b o u t a n a x i s d r a w n t h r o u g h t h e v e r t e x o f

t h i s a n g l e a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e s i d e . F i n d t h e s u r f a c ea r e a a n d v o l u m e o f t h e s o l i d o b t a i n e d .

1 0 3 9 . A s q u a r e w h o s e s i d e i s e q u a l t o a r e v o l v e sa b o u t a n a x i s p a s s i n g o u t s i d e t h e s q u a r e t h r o u g h o n eo f i t s v e r t i c e s a n d p e r p e n d i c u l a r t o i t s d i a g o n a l . F i n dt h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h e s o l i d o b t a i n e d .

1 0 4 0 . A n i s o s c e l e s t r a p e z i u m i n w h i c h a d i a g o n a l i sp e r p e n d i c u l a r t o t h e l a t e r a l s i d e 6 d m l o n g a n d t h e a c u t ea n g l e a t t h e b a s e i s e q u a l t o 6 0 ° r e v o l v e s a b o u t a l a t e r a l

s i d e . F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n .6 *




1 0 4 1 . A r e g u l a r h e x a g o n w i t h t h e s i d e a r o t a t e s a b o u t

o n e o f i t s s i d e s . F i n d t h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h eo b t a i n e d s o l i d .

1 0 4 2 . A r e g u l a r h e x a g o n w i t h t h e s i d e a r e v o l v e s a b o u ta n a x i s p a r a l l e l t o o n e o f i t s s i d e s a n d c o n t a i n e d i n i t s

p l a n e . T h e a x i s o f r e v o l u t i o n i s a u n i t s d i s t a n t f r o m t h ec e n t r e o f t h e h e x a g o n . F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i dt h u s g e n e r a t e d .



C H A P T E R V I I

T H E S P H E R E

3 5 . S p h e r e s

1 0 4 3 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s p a s s i n gt h r o u g h t w o g i v e n p o i n t s .

2 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s p a s s i n gt h r o u g h t h r e e g i v e n p o i n t s w h i c h d o n o t l i e i n o n e s t r a i g h tl i n e .

3 . T h r o u g h w h a t f o u r p o i n t s c a n a s p h e r e b e d r a w n ?C o n s i d e r t h e c a s e s w h e n t h e p o i n t s a r e c o n t a i n e d a n d n o tc o n t a i n e d i n o n e p l a n e .

1 0 4 4 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n tt o a g i v e n s t r a i g h t l i n e a t a g i v e n p o i n t .

2 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n t t oa g i v e n p l a n e a t a g i v e n p o i n t .3 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n t t o

a g i v e n s p h e r e a t a g i v e n p o i n t .1 0 4 5 . 1 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n t

t o t w o g i v e n s t r a i g h t l i n e s c o n t a i n e d i n o n e p l a n e . C o n s i -d e r t h e c a s e s o f p a r a l l e l a n d i n t e r s e c t i n g l i n e s .

2 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n t t ot h r e e g i v e n s t r a i g h t l i n e s c o n t a i n e d i n o n e p l a n e . C o n s i -d e r t h e f o l l o w i n g c a s e s : t h e l i n e s a r e p a r a l l e l ; t w o l i n e sa r e p a r a l l e l a n d t h e t h i r d o n e i n t e r s e c t s t h e m ; t h e l i n e si n t e r s e c t p a i r w i s e ; t h e l i n e s i n t e r s e c t a t o n e p o i n t .

3 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n t t ot w o g i v e n p l a n e s . C o n s i d e r t h e c a s e s o f p a r a l l e l a n d n o n -

p a r a l l e l p l a n e s .




4 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s t a n g e n t t ot h r e e g i v e n p l a n e s . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c a s e s : t h e

p l a n e s a r e p a r a l l e l ; t w o p l a n e s a r e p a r a l l e l , a n d t h et h i r d o n e i n t e r s e c t s t h e m ; t h e p l a n e s i n t e r s e c t p a i r w i s e ;t h e p l a n e s p a s s t h r o u g h o n e s t r a i g h t l i n e ; t h e p l a n e s h a v e

o n l y o n e c o m m o n p o i n t .

1 0 4 6 . F i n d t h e l o c u s o f t h e c e n t r e s o f s p h e r e s o f a

g i v e n r a d i u s t a n g e n t t o : ( a ) a s t r a i g h t l i n e ; ( b ) a p l a n e ;

( c ) a r i g h t c i r c u l a r c y l i n d r i c a l s u r f a c e ; ( d ) a s p h e r e .

1 0 4 7 . 1 . T h e s i d e s o f w h a t q u a d r a n g l e s . c a n a s p h e r eb e t a n g e n t t o ?2 . T h e v e r t i c e s o f w h a t q u a d r a n g l e s c a n a s p h e r e p a s s

t h r o u g h ?1 0 4 8 . S e v e r a l p l a n e s a r e d r a w n t h r o u g h a p o i n t M

s i t u a t e d i n s i d e a s p h e r e . P r o v e t h a t t h e l e a s t s e c t i o n o f

t h e s p h e r e i s o n e w h o s e c e n t r e i s t h e p o i n t M .

1 0 4 9 . T h e a r e a s o f t h e g r e a t a n d s m a l l c i r c l e s a r e e q u a lt o 2 2 5 a c m 2 a n d 1 4 4 3 t c m 2 , r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e d i s t a n -c e b e t w e e n t h e s m a l l c i r c l e a n d t h e c e n t r e o f t h e s p h e r e .

1 0 5 0 . 1 . T h e l a t i t u d e o f M o s c o w i s 5 5 ° 4 5 ' . C o m p u t e t h er a d i u s o f t h e p a r a l l e l o n w h i c h M o s c o w l i e s a s s u m i n gt h a t t h e E a r t h i s a s p h e r e w h o s e r a d i u s i s e q u a l t o 6 3 7 0 k m .

2 . C o m p u t e t h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e

P o l a r c i r c l e i f t h e r a d i u s o f t h e E a r t h i s a p p r o x i m a t e l ye q u a l t o 6 4 0 0 k m .

1 0 5 1 . T w o p a r a l l e l p l a n e s d i v i d e t h e d i a m e t e r o f as p h e r e i n t h e p r o p o r t i o n 1 : 2 : 3 . I n w h a t p r o p o r t i o ni s t h e a r e a o f t h e s p h e r e d i v i d e d b y t h e s e p l a n e s ?

1 0 5 2 . T h e d i a m e t e r o f a s p h e r e i s d i v i d e d b y s e v e np o i n t s i n t o e i g h t e q u a l p a r t s . T h r o u g h t h e f i r s t a n d f i f t h

p o i n t s p l a n e s a r e d r a w n p e r p e n d i c u l a r t o t h i s d i a m e t e r .B y h o w m a n y t i m e s d o e s t h e a r e a o f o n e s e c t i o n e x c e e dt h a t o f t h e o t h e r ?

1 0 5 3 . T h e a n g l e b e t w e e n t w o r a d i i o f a s p h e r e i s e q u a lt o 6 0 ° a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e n d - p o i n t s o f t h er a d i i t o 1 5 c m . F i n d t h e s h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e n t h e

e n d - p o i n t s o f t h e r a d i i a s m e a s u r e d a l o n g a n a r c o n t h es u r f a c e o f t h e s p h e r e .



C H . V I I . T H E S P H E R Et

1 5 1

1 0 5 4 . T w o p o i n t s A a n d B s i t u a t e d o n a s p h e r e o fr a d i u s 5 4 c m a r e j o i n e d t o t h e c e n t r e o f t h e s p h e r e . T h es h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s A a n d B a s m e a s u -r e d a l o n g a n a r e o n t h e s p h e r e i s e q u a l t o 1 3 2 c m . C o m p u t et h e a n g l e A O B , w h e r e 0 i s t h e c e n t r e o f t h e s p h e r e , a n dt h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s A a n d B a s m e a s u r e da l o n g a s t r a i g h t l i n e .

1 0 5 5 . A p l a n e i s d r a w n t h r o u g h t h e e n d - p o i n t o f t h er a d i u s R o f a s p h e r e a n d a t a n a n g l e o f 3 0 ° t o i t . F i n dt h e a r e a o f t h e c i r c l e y i e l d e d b y t h i s c u t t i n g p l a n e .

1 0 5 6 . T h r o u g h a p o i n t o f a s p h e r i c a l s u r f a c e a p l a n ei s d r a w n a t a n a n g l e o f 4 5 ° t o a p l a n e t a n g e n t a t t h i s

p o i n t . F i n d t h e , a r e a o f t h e s e c t i o n i f t h e r a d i u s o f t h es p h e r e i s e q u a l t o R .

1 0 5 7 . A t a n g e n t p l a n e a n d a c u t t i n g p l a n e a r e d r a w nt r o u g h a p o i n t o f a s p h e r i c a l s u r f a c e . F i n d t h e d i h e d r a la n g l e f o r m e d b y t h e s e p l a n e s i f t h e a r e a o f t h e s e c t i o n i se q u a l t o o n e f o u r t h t h e a r e a o f t h e g r e a t c i r c l e .

1 0 5 8 . T h e r a d i u s o f a s p h e r e i s - e q u a l t o 1 3 d m . A tw h a t d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e o f t h e s p h e r e m u s t a c u t t i n g

p l a n e b e d r a w n s o t h a t i t p a s s e s t h r o u g h p o i n t s o f t h es p h e r i c a l s u r f a c e t h e r e c t i l i n e a r d i s t a n c e s b e t w e e n w h i c h

a r e e q u a l t o 6 d m , 8 d m a n d 1 0 d m ?

1 0 5 9 . T h e r a d i u s o f a s p h e r e i s e q u a l t o 1 2 . 5 c m . A c u t -t i n g p l a n e i s d r a w n a t a d i s t a n c e o f 9 c m f r o m t h e t a n -g e n t p l a n e . F i n d t h e r a d i u s o f t h e s e c t i o n .

1 0 6 0 . A c o n i c a l s u r f a c e c o n t a c t s a s p h e r e a l o n g a c i r c l ew h o s e r a d i u s i s e q u a l t o 1 2 c m . T h e r a d i u s o f t h e s p h e r ei s e q u a l t o 1 3 c m . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e v e r t e xo f t h e c o n e a n d t h e c e n t r e o f t h e s p h e r e .

1 0 6 1 . A n e q u i l a t e r a l c o n e h a s a b a s e e q u a l t o 1 6 c m .A s p h e r e i s c o n s t r u c t e d o n i t s a l t i t u d e a s o n t h e d i a m e t e r .D e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e l i n e o f i n t e r s e c t i o n o f t h e

s p h e r e a n d c o n e .1 0 6 2 . 1 . T w o e q u a l s p h e r e s o f r a d i u s R a r e a r r a n g e d

s o t h a t t h e c e n t r e o f o n e o f t h e m i s s i t u a t e d o n t h e s u r f a c eo f t h e o t h e r . F i n d t h e l e n g t h o f t h e l i n e a l o n g w h i c h

t h e y i n t e r s e c t .




2 . T h e r a d i i o f t w o s p h e r e s a r e e q u a l t o 1 5 d m a n d2 0 d m , a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i r c e n t r e s t o 2 5 d m .

F i n d t h e l e n g t h o f t h e c i r c l e a l o n g w h i c h t h e i r s u r f a c e si n t e r s e c t .

1 0 6 3 . T h e b a s e a n d a l t i t u d e o f a h e m i s p h e r e s e r v e a st h e b a s e a n d a l t i t u d e o f t h e c o n e i n s c r i b e d i n i t . A p l a n e

i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e b a s e w h i c h b i s e c t s t h e a l t i t u d e .P r o v e t h a t t h e a r e a o f t h e a n n u l u s c o n t a i n e d b e t w e e nt h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e a n d t h e s u r f a c e o f t h eh e m i s p h e r e i s e q u a l t o h a l f t h e a r e a o f t h e b a s e o f t h e

c o n e .1 0 6 4 . - A h o l l o w s p h e r e i s c u t b y t w o p l a n e s o n e o f

w h i c h p a s s e s t h r o u g h i t s c e n t r e a n d t h e o t h e r t o u c h e si t s i n n e r s u r f a c e . P r o v e t h a t t h e s e c t i o n s c o n t a i n e d b e t -w e e n t h e i n n e r a n d o u t e r s u r f a c e s o f t h e h o l l o w s p h e r ea r e e q u a l t o e a c h o t h e r .

1 0 6 5 . T h r e e e q u a l c i r c l e s l i e o n a . s p h e r e a n d h a v e

a c o m m o n p o i n t p a i r w i s e . T h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i se q u a l t o R . F i n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e s i f t h e i r c o m m o np o i n t s l i e o n t h e g r e a t c i r c l e .

3 6 . A r e a s o f S p h e r e s a n d T h e i r P a r t s

1 0 6 6 . H o w m u c h m a t e r i a l i s i t r e q u i r e d f o r m a n u f a c -t u r i n g t h e s h e l l o f a b a l l o o n 1 0 m i n d i a m e t e r i f t h es e a m s c o n s t i t u t e 5 p e r c e n t o f t h e s p h e r i c a l s u r f a c e a r e a ?

1 0 6 7 . 1 . T h e r a d i u s o f o n e s p h e r e i s e q u a l t o 0 . 5 m ,t h e r a d i u s o f t h e o t h e r t o 2 m . F i n d t h e r a t i o o f t h e s u r -f a c e s o f t h e s p h e r e s .

2 . T h e s u r f a c e o f o n e s p h e r e i s n t i m e s t h e s u r f a c e o ft h e o t h e r . D e t e r m i n e t h e r a t i o o f t h e i r d i a m e t e r s a tn = 4 , 5 , 9 .

1 0 6 8 . P r o v e t h a t i f t h e d i a m e t e r s o f t h r e e s p h e r e s f o r ma r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e , t h e n t h e s u r f a c e o f t h e g r e a t e r

s p h e r e i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e r e m a i n i n g t w o .1 0 6 9 . P r o v e t h a t t h e t o t a l s u r f a c e o f a n e q u i l a t e r a l

c o n e i s e q u a l t o t h e s u r f a c e o f a s p h e r e w h o s e d i a m e t e ri s t h e a l t i t u d e o f t h e c o n e .



C H . V I I . T H E S P H E R E 1 5 3

4 0 7 0 . P r o v e t h a t t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a n e q u i l a t e r a lc o n e w h o s e b a s e i s t h e g r e a t c i r c l e o f t h e s p h e r e i s e q u a lt o h a l f t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e .

1 0 7 1 . P r o v e t h a t t h e t o t a l s u r f a c e o f a c y l i n d e r w h o s eg e n e r a t o r i s e q u a l t o t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s

e q u a l t o t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e i n w h i c h t h e b a s e c i r c l eo f t h e c y l i n d e r s e r v e s a s t h e g r e a t c i r c l e .

1 0 7 2 . F i n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c y l i n d e rw h o s e a l t i t u d e i s e q u a l t o 0 . 6 m i f t h e t o t a l s u r f a c e o ft h e c y l i n d e r i s e q u a l t o t h e s u r f a c e o f a s p h e r e w h o s er a d i u s i s e q u a l t o 1 2 d r r i .

1 0 7 3 . A p l a n e i s d r a w n t a n g e n t t o a s p h e r e . A p o i n tM i s t a k e n o n t h i s p l a n e a t a d i s t a n c e o f 8 c m f r o m t h es u r f a c e o f t h e s p h e r e a n d 1 6 c m d i s t a n t f r o m t h e p o i n to f t a n g e n c y . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s p h e r e .

1 0 7 4 . O n d i f f e r e n t s i d e s o f t h e c e n t r e o f a s p h e r e t w o

p a r a l l e l s e c t i o n s a r e d r a w n ; t h e i r a r e a s a r e e q u a l t o3 6 r z d m 2 a n d 6 4 1 1 d m 2 , a n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e m t o8 d m . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e .

1 0 7 5 . P r o v e t h a t i f a n e q u i l a t e r a l c o n e a n d a h e m i s p h e r eh a v e a c o m m o n b a s e , t h e n t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e

i s e q u a l t o 3 t h e s u r f a c e o f t h e h e m i s p h e r e , a n d t h el i n e o f t h e i r i n t e r s e c t i o n t o h a l f t h e c i r c u m f e r e n c e - o ft h e b a s e c i r c l e .

1 0 7 6 . T h e d i a m e t e r o f t h e b a s e c i r c l e o f a s p h e r i c a ls e g m e n t i s e q u a l t o 1 0 c m . T h e a r e o f t h e a x i a l s e c t i o nc o n t a i n s 1 2 0 ° . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e o f t h i s s e g m e n t .

1 0 7 7 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a s p h e r i c a l s e g -m e n t a r e e q u a l t o 2 0 c m a n d 2 4 c m , a n d t h e r a d i u s o f t h e

s p h e r e t o 2 5 c m . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r i -c a l z o n e ( C o n s i d e r t w o c a s e s . )

1 0 7 8 . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s p h e r i c a l s u r f a c e o fa s p h e r i c a l s e g m e n t g i v e n i t s a l t i t u d e e q u a l t o 3 0 c m

a n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e t o 4 0 c m .

1 0 7 9 . A s h i n i n g p o i n t i s f o u n d a t a d i s t a n c e f r o m a s p h e -r e e q u a l t o i t s r a d i u s . W h a t p o r t i o n o f t h e s u r f a c e o f

t h e s p h e r e i s i l l u m i n a t e d b y t h e p o i n t ?



C H . V I I . T H E S P H E R E 1 5 5

o f w h i c h i s t h e g r e a t c i r c l e . F i n d t h e a l t i t u d e o f t h es p h e r i c a l s e g m e n t i f t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i s e q u a l t o R .

1 0 8 9 . P r o v e t h a t t h e a r e a o f a s p h e r i c a l s e g m e n tS = n V 4 r ; h 2 + - ( r $ - r , + h 2 ) 2 ,

w h e r e r l a n d r 2 a r e t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f t h es e g m e n t a n d h i s i t s a l t i t u d e .

3 7 . V o l u m e s o f S p h e r e s a n d T h e i r P a r t s

1 0 9 0 . P r o v e t h a t a c y l i n d e r w h o s e a l t i t u d e c o n s t i t u -t e s 4 t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s e q u a l t o a s p h e r e

o f t h e r a d i u s e q u a l t o t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o ft h e c y l i n d e r .

1 0 9 1 . 1 . T h e a r e a o f t h e s u r f a c e o f a s p h e r e i s e q u a lt o 1 0 0 a c m 2 . F i n d i t s v o l u m e .

2 . F i n d t h e a r e a o f t h e s u r f a c e o f a s p h e r e i f i t s v o l u m ei s e q u a l t o V .

1 0 9 2 . H o w w i l l t h e v o l u m e o f a s p h e r e c h a n g e i f :( 1 ) i t s r a d i u s i s i n c r e a s e d t w i c e , b y 2 0 0 p e r c e n t ? ( 2 ) i t sd i a m e t e r i s r e d u c e d b y 7 5 p e r c e n t , t o o n e t h i r d ?

1 0 9 3 . 1 . T h e d i a m e t e r o f t h e M a r s i s 0 . 5 3 t h e d i a m e t e ro f t h e E a r t h . W h a t a r e t h e s u r f a c e a n d v o l u m e o f t h eM a r s a s c o m p a r e d w i t h t h o s e o f t h e E a r t h ?

2 . T h e d i a m e t e r o f t h e J u p i t e r i s 1 1 t i m e s g r e a t e r t h a nt h a t o f t h e E a r t h . B y h o w m a n y t i m e s d o e s t h e J u p i t e re x c e e d t h e M a r s i n s u r f a c e a n d v o l u m e ?

1 0 9 4 . T h e a v e r a g e d e p t h o f a l l t h e o c e a n s i s e q u a l t o4 k m . K n o w i n g t h a t t h e o c e a n s c o v e r 7 0 p e r c e n t o f t h eE a r t h s u r f a c e , f i n d t h e a p p r o x i m a t e v o l u m e o f t h e w a t e rc o n t a i n e d i n a l l t h e o c e a n s .

1 0 9 5 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f t h e w a l l s o f a h o l l o ws p h e r e i s e q u a l t o t h e v o l u m e o f a t r u n c a t e d c o n e t h er a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f w h i c h a r e e q u a l t o t h e r a d i io f t h e s p h e r i c a l s u r f a c e s , i t s a l t i t u d e b e i n g f o u r t i m e sg r e a t e r t h a n t h e t h i c k n e s s o f t h e w a l l s o f t h e s p h e r e .

1 0 9 6 . W i l l a h o l l o w i r o n b a l l f l o a t o n t h e w a t e r s u r f a c ei f i t s o u t e r d i a m e t e r i s e q u a l t o 2 8 c m , a n d t h e w a l l

t h i c k n e s s t o 0 . 5 c m ?



1 5 6P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

1 0 9 7 . A h o l l o w i r o n b a l l , w h o s e e x t e r n a l r a d i u s i se q u a l t o 1 5 . 4 c m , i s f l o a t i n g i n w a t e r h a l f - s u b m e r g e d .

C o m p u t e t h e t h i c k n e s s o f t h e w a l l s o f t h i s b a l l i f t h e

d e n s i t y o f i r o n i s e q u a l t o 7 . 8 . 1 0 3 m 3

1 0 9 8 . T h e r a d i i o f t h r e e b a l l s a r e a s 1 : 2 : 3 . ( 1 ) P r o v et h a t t h e v o l u m e o f t h e g r e a t e r b a l l i s t h r e e t i m e s t h es u m o f t h e v o l u m e s o f t h e t w o s m a l l e r o n e s . ( 2 ) C o m p u t et h e v o l u m e o f e a c h b a l l i f t h e v o l u m e o f t h e g r e a t e r b a l le x c e e d s t h e s u m o f t h e v o l u m e s o f t h e s m a l l e r b a l l s b y

1 9 2 n c m 3 .1 0 9 9 . ( 1 ) F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f a s p h e r e , w h o s e

v o l u m e a n d s u r f a c e a r e a a r e e x p r e s s e d b y e q u a l n u m b e r s .( 2 ) T h e s a m e c o n d i t i o n f o r a h e m i s p h e r e .

1 1 0 0 . A n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r a n d a s p h e r e h a v e e q u a lv o l u m e s . F i n d t h e r a t i o o f t h e i r s u r f a c e a r e a s .

1 1 0 1 . F i n d t h e d i a m e t e r o f a s p h e r e w h i c h i s e q u a lt o a c o n e t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f w h i c h i s e q u a l

t o 6 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 2 4 c m .1 1 0 2 . T h r e e l e a d b a l l s 3 c m , 4 c m a n d 5 c m i n d i a m e t e r s

a r e m e l t e d t o y i e l d o n e b a l l . D e t e r m i n e t h e r a t i o ( i n p e rc e n t ) o f i t s s u r f a c e a r e a t o t h e s u r f a c e a r e a o f e a c h o f

t h e g i v e n b a l l s .

1 1 0 3 . A m a x i m u m p o s s i b l e b a l l i s m a d e o u t o f ( a ) a ne q u i l a t e r a l c y l i n d e r , ( b ) a n e q u i l a t e r a l c o n e , a n d ( c ) ac u b e . H o w m u c h m a t e r i a l ( i n p e r c e n t ) i s r e m o v e d a s

w a s t e i n e a c h c a s e ?1 1 0 4 . A c y l i n d r i c a l v e s s e l w h o s e d i a m e t e r i s e q u a l t o

1 2 c m , a n d a l t i t u d e t o 7 2 c m i s f i l l e d w i t h w a t e r t o h a l fi t s h e i g h t . W h a t w i l l t h e i n c r e a s e i n t h e w a t e r l e v e l b ei f a b a l l 1 0 c m i n d i a m e t e r i s p l a c e d i n t h e v e s s e l ?

1 1 0 5 . A c y l i n d r i c a l p i p e 2 8 c m l o n g e n d s i n a h e m i s p h e -r e . C o m p u t e t h e c a p a c i t y o f t h e p i p e i f i t s d i a m e t e r i se q u a l t o 3 . 6 c m .

1 1 0 6 . A v e s s e l h a s t h e s h a p e o f a n o v e r t u r n e d c o n ew h o s e a x i a l s e c t i o n i s a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h t h es i d e 2 0 c m l o n g . T h e v e s s e l i s f i l l e d w i t h w a t e r s o t h a ti t s s u r f a c e t o u c h e s a b a l l o f r a d i u s 4 c m p l u n g e d i n t o



C H . V I I . T H E S P H E R E 1 5 7

t h e w a t e r . F i n d t h e l e v e l o f t h e w a t e r i n t h e v e s s e l a f t e rt h e b a l l i s r e m o v e d .

1 1 0 7 . T h e d i a m e t e r o f t h e b a s e o f a s p h e r i c a l s e g m e n ti s e q u a l t o 1 6 c m , a n d t h e a r e o f t h e a x i a l s e c t i o n c o n -t a i n s 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e s e g m e n t .

1 1 0 8 . C o m p u t e t h e v o l u m e o f a s p h e r i c a l s e c t o r i f t h er a d i u s o f t h e c i r c l e o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e g m e n t i s e q u a lt o 1 2 c m , a n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e t o 1 5 c m .

1 1 0 9 . T h e r a d i i o f p a r a l l e l s e c t i o n s o f a s p h e r e a r ee q u a l t o 2 0 c m a n d 2 4 c m , a n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r et o 2 5 c m . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p o r t i o n o f t h es p h e r e c o n t a i n e d b e t w e e n t h e s e s e c t i o n s . ( C o n s i d e r t w oc a s e s . )

1 1 1 0 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a s p h e r i c a l s e g m e n tg i v e n i t s a l t i t u d e e q u a l t o 4 c m a n d t h e r a d i u s o f t h eb a s e c i r c l e e q u a l t o 8 c m .

1 1 1 1 . H o w m a n y i r o n r i v e t s o f t h e c y l i n d r i c a l s h a p ec a n b e m a n u f a c t u r e d f r o m o n e k i l o g r a m o f m e t a l i f t h eh e a d o f t h e r i v e t r e p r e s e n t s a s p h e r i c a l s e g m e n t w h o s ea l t i t u d e i s e q u a l t o 6 m m a n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e

t o 1 8 m m , t h e l e n g t h o f t h e r i v e t t o 2 0 m m , a n d t h e d i a -m e t e r o f t h e c y l i n d r i c a l p o r t i o n t o 1 0 m m ? T h e d e n s i t y

o f i r o n i s 7 . 8 . 1 0 3 g m

1 1 1 2 . U s i n g t h e f o r m u l a V = a h 2 R - 3 ) , d e d u c et h e f o l l o w i n g f o r m u l a f o r c o m p u t i n g t h e v o l u m e o f

a s p h e r i c a l s e g m e n t :

V = 6 a s h ( 3 r 2 - i - h 2 ) ,

w h e r e r i s t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f t h e s e g m e n t .

1 1 1 3 . T h e v o l u m e o f a s p h e r i c a l s e c t o r i s d i v i d e d i n t ot w o e q u a l p o r t i o n s b y t h e b a s e o f a s e g m e n t ( t h e s p h e r i -c a l s e g m e n t i s e q u a l t o t h e c o n e ) . F i n d t h e r a t i o o f t h ea l t i t u d e s o f t h e s e g m e n t a n d c o n e .

1 1 1 4 . A b a l l w h o s e r a d i u s i s e q u a l t o 3 0 c m i s p r o v i d e dw i t h a c y l i n d r i c a l h o l e b o r e d a l o n g i t s d i a m e t e r . C o m p u t et h e v o l u m e o f t h e r e m a i n i n g p o r t i o n i f t h e r a d i u s o f t h e

c y l i n d r i c a l h o l e i s e q u a l t o 1 8 c m .




1 1 1 5 . T w o e q u a l s p h e r e s a r e s i t u a t e d s o t h a t t h e s u r -f a c e o f o n e p a s s e s t h r o u g h t h e c e n t r e o f t h e o t h e r . W h a tp o r t i o n o f t h e v o l u m e o f t h e s p h e r e d o e s t h e c o m m o np a r t o f t h e t w o s p h e r e s c o n s t i t u t e ?

1 1 1 6 . A c i r c u l a r s e c t o r w i t h a n a n g l e o f 1 2 0 ° a n dr a d i u s R r o t a t e s a b o u t t h e m e d i u m r a d i u s . F i n d t h ev o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n .

1 1 1 7 . A c i r c u l a r s e c t o r w i t h a n a n g l e o f 9 0 ° a n d a r e aa m o u n t i n g t o 1 5 7 c m 2 r e v o l v e s . a b o u t a s t r a i g h t l i n ep a s s i n g t h r o u g h t h e c e n t r e o f t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e

p e r p e n d i c u l a r t o t h e m e d i u m r a d i u s o f t h i s s e c t o r . F i n dt h e v o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n t h u s g e n e r a t e d .

1 1 1 8 . A l i n e s e g m e n t A B 1 6 c m l o n g i s d i v i d e d b ya p o i n t C i n t o t w o p a r t s w h i c h a r e t o e a c h o t h e r a s 1 t o 3 .C o n s t r u c t e d o n e a c h o f t h e s e g m e n t s A B , A C a n d B Ca s o n t h e d i a m e t e r s a r e s e m i c i r c l e s l y i n g o n o n e s i d e o f

t h e s e g m e n t A B . T h e f i g u r e b o u n d e d b y t h e t h r e e s e m i -

c i r c l e s r e v o l v e s a b o u t t h e a x i s A B . F i n d t h e v o l u m e o ft h e s o l i d o f r e v o l u t i o n .1 1 1 9 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f a s o l i d g e n e r a t e d b y

r e v o l v i n g a s e g m e n t o f a c i r c l e w i t h t h e c h o r d a a b o u t

t h e d i a m e t e r p a r a l l e l t o t h i s c h o r d i s i n d e p e n d e n t o f t h er a d i u s o f t h e c i r c l e .

1 1 2 0 . C o n s t r u c t e d o n t h e b a s e A C o f a n i s o s c e l e s

t r i a n g l e A B C w h o s e a l t i t u d e B O i s e q u a l t o t h e b a s e A Ca r e a s e m i c i r c l e a n d a t a n g e n t l i n e D E p a r a l l e l t o A C .P r o v e t h a t t h e s o l i d s g e n e r a t e d b y r e v o l v i n g t h e t r a p e -z i u m A D E C a n d t h e s e m i c i r c l e a b o u t t h e a x i s A B a r ee q u a l t o e a c h o t h e r .

1 1 2 1 . T h e s u r f a c e a r e a o f a s p h e r i c a l s e g m e n t i s e q u a lt o S . F i n d t h e v o l u m e o f t h e s e g m e n t i f t h e r a d i u s o f t h es p h e r e i s e q u a l t o R .

1 1 2 2 . D e t e r m i n e w h a t p a r t o f t h e v o l u m e o f t h e s p h e r ei s c o n s t i t u t e d b y t h e v o l u m e o f a s p h e r i c a l s e c t o r w h o s e

. s p h e r i c a l a n d c o n i c s u r f a c e s a r e e q u a l t o e a c h o t h e r .1 1 2 3 . T h e r a d i u s o f a s p h e r e i s e q u a l t o 5 c m . A t w h a t

d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e s h o u l d a s e c t i o n b e d r a w n s ot h a t t h e v o l u m e a n d s u r f a c e o f t h e s m a l l e r s e g m e n t a r e

e x p r e s s e d b y e q u a l n u m b e r s ?



C H . V I I . T H E S P H E R E 1 5 9

3 8 . I n s c r i b e d a n d C i r c u m s c r i b e d S p h e r e s

1 1 2 4 . 1 . I s i t p o s s i b l e t o c i r c u m s c r i b e a s p h e r i c a l

s u r f a c e a b o u t a n o b l i q u e p r i s m ?2 . A t w h a t c o n d i t i o n i s i t p o s s i b l e t o c i r c u m s c r i b ea s p h e r e a b o u t a r i g h t p r i s m ?

3 . A t w h a t c o n d i t i o n w i l l t h e c e n t r e o f a s p h e r e c i r c u m -s c r i b e d a b o u t a r i g h t t r i a n g u l a r p r i s m b e s i t u a t e d o n o n eo f t h e f a c e s o f t h e p r i s m ?

1 1 2 5 . 1 . I s i t p o s s i b l e t o i n s c r i b e a s p h e r e i n a c u b e ,

i n a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d ?

2 . A t w h a t c o n d i t i o n i s i t p o s s i b l e t o i n s c r i b e a s p h e r ei n a r i g h t o r o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d ?

3 . A t w h a t c o n d i t i o n i s i t p o s s i b l e t o i n s c r i b e a s p h e r ei n a r i g h t t r i a n g u l a r p r i s m ?

1 1 2 6 . 1 . A b o u t w h a t p y r a m i d i s i t p o s s i b l e t o c i r c u m -s c r i b e a s p h e r e ? H o w a r e t h e c e n t r e a n d t h e r a d i u s o ft h e s p h e r e f o u n d ?

2 . P r o v e t h a t i f a p y r a m i d i s a r i g h t o n e , t h e n a s p h e r ec a n b e c i r c u m s c r i b e d a b o u t a n d i n s c r i b e d i n i t .

1 1 2 7 . 1 . I s i t p o s s i b l e t o c i r c u m s c r i b e a s p h e r i c a ls u r f a c e a b o u t a n y r i g h t c i r c u l a r c y l i n d e r ?

2 . A t w h a t c o n d i t i o n a s p h e r e c a n b e i n s c r i b e d i na r i g h t c i r c u l a r c y l i n d e r ?

3 . P r o v e t h a t a s p h e r e c a n b e i n s c r i b e d i n a n d c i r c u m -

s c r i b e d a b o u t a n y r i g h t c i r c u l a r c o n e .1 1 2 8 . 1 . T h e e d g e o f a c u b e i s e q u a l t o a . F i n d t h e

r a d i i o f t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d s p h e r e s .2 . T h e r a d i u s o f a s p h e r e i s e q u a l t o R . F i n d t h e e d g e s

o f t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d c u b e s .1 1 2 9 . A s p h e r e i s t a n g e n t t o a l l t h e e d g e s o f a c u b e .

T h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i s e q u a l t o R . F i n d t h e a r e a

o f t h e p o r t i o n o f t h e s p h e r e c o n t a i n e d i n s i d e t h e c u b e .1 1 3 0 . T h e r a d i u s o f a s p h e r e i s e q u a l t o 1 8 d m . A r e g u -l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m w h o s e a l t i t u d e i s e q u a l t o 2 8 d mi s i n s c r i b e d i n t h e s p h e r e . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h i sp r i s m .

1 1 3 1 . A s p h e r e o f r a d i u s R c a n b e i n s c r i b e d i n a r i g h tp a r a l l e l e p i p e d t h e a c u t e a n g l e o f w h o s e b a s e i s e q u a l

t o 4 5 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .




1 1 3 2 . A s p h e r e o f r a d i u s 2 m i s c i r c u m s c r i b e d a b o u ta r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m . T h e s i d e o f i t s b a s e i s e q u a l

t o 3 m . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .1 1 3 3 . A r e g u l a r p r i s m i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e

w h o s e r a d i u s i s R . F i n d t h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o ft h e p r i s m . C o n s i d e r a : ( 1 ) t r i a n g u l a r , ( 2 ) q u a d r a n g u l a r

a n d ( 3 ) h e x a g o n a l p r i s m .1 1 3 4 . A r e g u l a r h e x a g o n a l p r i s m i s c i r c u m s c r i b e d

a b o u t a s p h e r e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m i fi t s a l t i t u d e i s e q u a l t o h .

1 1 3 5 . A r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m i s i n s c r i b e d i n a s p h e r e ,w h o s e r a d i u s i s e q u a l t o 1 4 c m . T h e d i a g o n a l o f i t s l a t e -r a l f a c e i s 2 6 c m l o n g . F i n d t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h i sp r i s m .

1 1 3 6 . A r e g u l a r p r i s m i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e ,a n d a n o t h e r s p h e r e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t t h i s p r i s m .

F i n d t h e r a t i o o f t h e s u r f a c e a r e a s o f t h e s p h e r e s i f t h e

p r i s m i s : ( a ) t r i a n g u l a r , ( b ) q u a d r a n g u l a r , ( c ) h e x a g o n a l .1 1 3 7 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r n - g o n a l p y r a m i d

i s e q u a l t o a , t h e a l t i t u d e i s a l s o e q u a l t o a . F i n d t h er a d i i o f t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d s p h e r e s i f :

( 1 ) n = 3 , ( 2 ) n = 4 , ( 3 ) n = 6 .1 1 3 8 . ( 1 ) I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e a l t i t u d e

i s e q u a l t o h a n d t h e l a t e r a l e d g e t o b . . F i n d t h e r a d i i o f

t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d s p h e r e s . ( 2 ) T h e s a m ec o n d i t i o n f o r a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d . ( 3 ) T h es a m e c o n d i t i o n f o r a r e g u l a r h e x a g o n a l p y r a m i d .

1 1 3 9 . G i v e n t h e e d g e a o f a r e g u l a r o c t a h e d r o n d e t e r -m i n e t h e r a d i i o f t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d s p h e r e s .

1 1 4 0 . I n a r e g u l a r p y r a m i d t h e a l t i t u d e i s e q u a l t o h ,a n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e c i r c u m s c r i b e d a b o u t t h e

b a s e t o r . A t w h a t r a t i o o f h a n d r t h e c e n t r e o f t h e c i r -c u m s c r i b e d s p h e r e l i e s : ( 1 ) i n s i d e t h e p y r a m i d , ( 2 ) o ni t s b a s e , ( 3 ) o u t s i d e t h e p y r a m i d .

1 1 4 1 . I n a g i v e n p y r a m i d e a c h o f t h e l a t e r a l e d g e s i se q u a l t o 1 8 c m , a n d t h e a l t i t u d e t o 1 0 c m . D e t e r m i n et h e r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e d s p h e r e .

1 1 4 2 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o ft h e b a s e i s e q u a l t o a , a n d t h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x



C H . V I I . T H E S P H E R E 1 6 1

t o 6 0 ° . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r e i n s c r i b e di n t h e p y r a m i d .

1 1 4 3 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a rp y r a m i d i s e q u a l t o a , a n d t h e l a t e r a l e d g e s a r e m u t u a l l yp e r p e n d i c u l a r . F i n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e ds p h e r e .

1 1 4 4 . T h e b a s e o f a r e g u l a r p y r a m i d i s a t r i a n g l e w h o s es i d e i s e q u a l t o 1 5 d m . O n e o f t h e l a t e r a l e d g e s i s e q u a lt o 1 0 d m a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e . F i n d t h e r a d i u s

o f t h e c i r c u m s c r i b e d s p h e r e .

1 1 4 5 . A s p h e r e t o u c h e s a l l t h e s i d e s o f t h e b a s e o f ar e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d a n d a l l i t s l a t e r a l f a c e s . F i n dt h e v o l u m e o f t h e p o r t i o n o f t h e s p h e r e c o n t a i n e d i n s i d et h e p y r a m i d i f t h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o3 d m , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e t o 6 0 ° .

1 1 4 6 . P r o v e t h a t t h e v o l u m e o f a c i r c u m s c r i b e d p y r a m i di s e q u a l t o o n e t h i r d t h e p r o d u c t o f t h e s u r f a c e a r e a o f

t h e p y r a m i d b y t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e .1 1 4 7 . A s p h e r e i s i n s c r i b e d i n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r

p y r a m i d w h o s e a l t i t u d e i s e q u a l t o 2 4 d m a n d t h e s i d eo f t h e b a s e t o 1 4 d m . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e s p h e r e .

1 1 4 8 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d i s e q u a l t o a , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s et o 6 0 ° . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e i n s p h e r e .

1 1 4 9 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d e a c h o f t h el a t e r a l e d g e s i s e q u a l t o b a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a ta n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e c i r c u m s c r i b e ds p h e r e .

1 1 5 0 . T h e s l a n t h e i g h t o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e i s e q u a l

t o a . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .

1 1 5 1 . A r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d i nw h i c h t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e i s e q u a l t o 6 0 ° i sc i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e o f r a d i u s R . D e t e r m i n et h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .

1 1 5 2 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i dt h e s i d e s o f t h e b a s e a r e e q u a l t o 6 m a n d 8 m , a n d t h e

a l t i t u d e t o 1 4 m . F i n d t h e r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e ds p h e r e .




1 1 5 3 . 1 . A s p h e r e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a n e q u i l a t e r a lc y l i n d e r . F i n d t h e r a t i o s o f t h e i r v o l u m e s a n d s u r f a c ea r e a s .

2 . A c y l i n d e r i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e . F i n dt h e r a t i o s o f t h e i r s u r f a c e a r e a s a n d v o l u m e s .

1 1 5 4 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e o f r a d i u s R i s a c y l i n d e r ,t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n o f w h i c h i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 3 0 ° . F i n d t h e v o l u m e o f t h e

c y l i n d e r .1 1 5 5 . T h e d i a m e t e r o f t h e c i r c l e o f a c y l i n d e r i n s c r i b e d

i n a s p h e r e d i v i d e s t h e g r e a t c i r c l e i n t h e r a t i o o f 1 t o 2 .F i n d t h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h e c y l i n d e r i f t h e

r a d i u s - o f t h e s p h e r e i s e q u a l t o R .1 1 5 6 . F i n d t h e r a t i o o f t h e v o l u m e s o f a n e q u i l a t e r a l

c o n e a n d a s p h e r e i n s c r i b e d i n ( c i r c u m s c r i b e d a b o u t ) i t .

1 1 5 7 . T h e g e n e r a t o r o f a n e q u i l a t e r a l c o n e i s e q u a l

t o 1 . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a s a n d v o l u m e s o f t h ei n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d s p h e r e s .

1 1 5 8 . A n e q u i l a t e r a l c o n e i s i n s c r i b e d i n a s p h e r e o fr a d i u s 6 m . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o ft h e c o n e .

1 1 5 9 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o h , t h e g e n e r a -t o r t o 1 . F i n d t h e r a d i i o f t h e i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e d

s p h e r e s .1 1 6 0 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o h a l f t h e d i a -m e t e r o f t h e s p h e r e c i r c u m s c r i b e d a b o u t i t . H o w m a n y

t i m e s i s t h e v o l u m e o f t h e s p h e r e g r e a t e r t h a n t h a t o ft h e c o n e ?

1 1 6 1 . I f a c o n e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e a n dt h e a l t i t u d e o f t h e c o n e i s t w i c e t h e d i a m e t e r o f t h e s p h e -

r e , t h e n t h e v o l u m e a n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h ec o n e i s t w i c e t h e v o l u m e a n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h es p h e r e . C h e c k t h i s .

1 1 6 2 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o 4 0 c m , a n d t h eg e n e r a t o r t o 5 0 c m . F i n d t h e r a d i u s o f t h e i n s c r i b e dh e m i s p h e r e w h o s e b a s e l i e s o n t h e b a s e o f t h e c o n e .

1 1 6 3 . A s p h e r e i s i n s c r i b e d i n a n e q u i l a t e r a l c o n e w h o s e

v o l u m e i s e q u a l t o V . T h e p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e



C H . V I I . T H E S P H E R E 1 6 3

c i r c l e o f t a n g e n c y d i v i d e s t h e s p h e r e i n t o t w o s e g m e n t s .F i n d t h e v o l u m e o f e a c h s e g m e n t .

1 1 6 4 . A s p h e r e i s i n s c r i b e d i n a t r u n c a t e d c o n e , t h er a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f w h i c h a r e e q u a l t o 9 c m a n d2 5 c m . D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h es p h e r e .

1 1 6 5 . T h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e s o f a t r u n c a t e d c o n ea r e e q u a l t o 9 i n a n d 1 2 i n , t h e a l t i t u d e t o 2 1 i n . F i n dt h e r a d i u s o f t h e c i r c u m s c r i b e d s p h e r e .

1 1 6 6 . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o fa t r u n c a t e d c o n e c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e i f t h eg e n e r a t o r i s e q u a l t o 2 6 c m , a n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e

t o 1 2 c m .1 1 6 7 . T h e s u r f a c e a r e a o f a s p h e r e i s e q u a l t o S . C i r c u m -

s c r i b e d a b o u t t h e s p h e r e i s a t r u n c a t e d c o n e w h o s e g e n e -r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f 6 0 ° . F i n d

t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e t r u n c a t e d c o n e .1 1 6 8 . P r o v e t h a t i f i t i s p o s s i b l e t o i n s c r i b e a s p h e r e

i n a t r u n c a t e d c o n e w h o s e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h eb a s e a t a n a n g l e o f 4 5 ° , t h e n t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h ec o n e i s t w i c e t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r e .

1 1 6 9 . I n s c r i b e d i n a s p h e r i c a l s e c t o r a r e t w o m u t u a l l yt a n g e n t s p h e r e s w h o s e r a d i i a r e e q u a l t o 2 d m a n d 6 d m .F i n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e .

1 1 7 0 . T h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f a s p h e r i c a l s e g m e n t i st h r e e t i m e s g r e a t e r t h a n t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r e

i n s c r i b e d i n i t . D e t e r m i n e t h e a l t i t u d e o f t h e s e g m e n t .i f t h e r a d i u s o f i t s s p h e r i c a l s u r f a c e i s e q u a l t o R .

1 1 7 1 . A n e q u i l a t e r a l c o n e i s i n s c r i b e d i n a s p h e r i c a ls e c t o r w i t h a n a n g l e i n t h e a x i a l s e c t i o n e q u a l t o 9 0 ° .T h e v e r t e x o f t h e c o n e i s f o u n d o n t h e s p h e r i c a l s u r f a c e

o f t h e s e c t o r , a n d t h e b a s e o f t h e c o n e r e s t s a g a i n s t t h ec o n i c a l s u r f a c e o f t h e s e c t o r . F i n d t h e r a t i o o f t h e v o l u m e so f t h e c o n e a n d s e c t o r .



C H A P T E R V I I I

A P P L Y I N G T R I G O N O M E T R YT O S O L V I N G

G E O M E T R I C P R O B L E M S

3 9 . P o l y h e d r o n s

1 1 7 2 . F i n d t h e s i d e s o f t h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l -l e l e p i p e d i f i t s a l t i t u d e i s e q u a l t o H , a n d a a n d P a r e

t h e a n g l e s a t w h i c h t h e d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i p e da n d t h e d i a g o n a l o f t h e l a t e r a l f a c e a r e i n c l i n e d t o t h eb a s e .

1 1 7 3 . T h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i sa s q u a r e w i t h t h e s i d e a . T h e d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i -p e d i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e o f a . F i n d t h ea r e a o f t h e s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h t h e d i a g o n a l o f t h e

p a r a l l e l e p i p e d a n d m i d - p o i n t s o f t w o o p p o s i t e l a t e r a le d g e s .

1 1 7 4 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r h o m b u s w i t h a na c u t e a n g l e a . A t w h a t a n g l e t o , t h e b a s e m u s t a c u t t i n gp l a n e b e d r a w n t o o b t a i n i n s e c t i o n a s q u a r e w i t h t h ev e r t i c e s l y i n g o n t h e l a t e r a l e d g e s ?

1 1 7 5 . T h e a n g l e s f o r m e d b y t h e d i a g o n a l o f a r e c t a n g u -l a r p a r a l l e l e p i p e d w i t h i t s e d g e s e m a n a t i n g f r o m t h e

s a m e v e r t e x a r e e q u a l t o a , P a n d V . P r o v e t h a t c o s t a ++ t o s s P + c o s y y = 1 . C o m p u t e t h e a n g l e y i f a =

= 4 1 ° 1 0 ' a n d P . = 5 9 ° 2 0 ' .1 1 7 6 . T h e d i a g o n a l o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d

f o r m s w i t h t h e f a c e s a n g l e s a , P a n d V . P r o v e t h a t : ( 1 )s i n e a + s i n 2 + s i n 2 y = 1 , ( 2 ) c o s t a + c o s t ++ c o s t y = 2 .



C H . V I I I . T R I G O N O M E T R Y I N G E O M E T R I C P R O B L E M S 1 6 5

1 1 7 7 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m t h e p e r p e n d i c u l a rd r o p p e d f r o m a v e r t e x o f t h e b a s e t o t h e o p p o s i t e s i d eo f t h e o t h e r b a s e i s e q u a l t o d a n d i n c l i n e d t o t h e b a s ea t a n a n g l e a . F i n d t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p r i s m .

1 1 7 8 . D r a w n t h r o u g h a , s i d e o f t h e b a s e a n d t h e m i d -p o i n t o f t h e o p p o s i t e l a t e r a l e d g e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a rp r i s m i s a s e c t i o n w h o s e a r e a i s e q u a l t o Q a n d t h e a n g l e

a t t h e v e r t e x t o a . F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m .1 1 7 9 . T h r o u g h a s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r

p r i s m a p l a n e i s d r a w n t o o b t a i n a t r i a n g u l a r s e c t i o n .T h e p e r i m e t e r o f t h e t r i a n g l e i s t w i c e a s l o n g a s t h e p e r i -m e t e r o f t h e b a s e o f t h e p r i s m . F i n d t h e a n g l e b e t w e e n -t h e c u t t i n g p l a n e a n d t h e b a s e o f t h e p r i s m .

1 1 8 0 . T h e b a s e o f a r i g h t t r i a n g u l a r p r i s m i s a n i s o s c e -l e s t r i a n g l e w i t h a n a n g l e o f 1 2 0 ° . A p l a n e i s d r a w nt h r o u g h t h e b a s e o f t h i s t r i a n g l e a n d t h e o p p o s i t e v e r t e x

o f t h e u p p e r b a s e . T h e s e c t i o n o f t h e p r i s m i s t u r n e d o u tt o b e . a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e . F i n d t h e a n g l e o f i n c l i n a -t i o n o f t h e c u t t i n g p l a n e t o t h e b a s e .

1 1 8 1 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r a p e z i u mw i t h a n a c u t e a n g l e a a n d l a t e r a l s i d e a e q u a l t o t h e

s m a l l e r b a s e . F i n d t h e a r e a o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n o ft h e p r i s m i f t h e d i a g o n a l o f t h e p r i s m i s i n c l i n e d t o t h e

b a s e a t a n a n g l e o f 2 .

1 1 8 2 . T h e b a s e o f a n i n c l i n e d p r i s m i s a n i s o s c e l e st r i a n g l e w h o s e a l t i t u d e i s H . E a c h o f t h e l a t e r a l e d g e s

o f t h e p r i s m i s a l s o e q u a l t o H , o n e o f t h e m f o r m i n g a na n g l e a w i t h e a c h o f t h e a d j a c e n t s i d e s o f t h e b a s e . F i n dt h e a l t i t u d e o f t h e p r i s m .

1 1 8 3 . I n a r e g u l a r p y r a m i d t h e p l a n e a n g l e a t t h e

v e r t e x i s e q u a l t o a . C o m p u t e t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o no f t h e l a t e r a l f a c e t o t h e b a s e o f t h e p y r a m i d a t n = 4a n d a = 7 2 ° 3 4 ' .

1 1 8 4 . I n a r e g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e d i h e d r a l a n g l e a tt h e b a s e o f t h e p y r a m i d .

1 1 8 5 . I n a r e g u l a r p y r a m i d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e

b a s e i s e q u a l t o a . C o m p u t e t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f




t h e l a t e r a l e d g e t o t h e b a s e o f t h e p y r a m i d a t n = 6 a n da = 6 3 ° 2 6 ' .

1 1 8 6 . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n t w o a l t i t u d e s d r a w nf r o m t w o v e r t i c e s o f a r e g u l a r t e t r a h e d r o n t o t h e o p p o s i t ef a c e s .

1 1 8 7 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a le d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . D e t e r m i n e t h e

d i h e d r a l a n g l e a t t h e l a t e r a l e d g e .1 1 8 8 . T h e a r e a s o f t h e l o w e r a n d u p p e r b a s e s a n d l a t e -

r a l s u r f a c e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i da r e a s m : n : p . F i n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e l a t e r a l f a c ea n d t h e l o w e r b a s e .

1 1 8 9 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e a n g l eb e t w e e n t h e o p p o s i t e l a t e r a l e d g e s i s e q u a l t o a . D e t e r m i n et h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x a t a = 5 0 ° 2 8 ' .

1 1 9 0 . F r o m a p o i n t s i t u a t e d a t a d i s t a n c e h f r o m a p l a n et w o s t r a i g h t l i n e s a r e d r a w n a t a n a n g l e a t o t h e p l a n e ,t h e i r p r o j e c t i o n s f o r m i n g a n a n g l e P . D e t e r m i n e t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e f e e t o f t h e i n c l i n e d l i n e s .

1 1 9 1 . A r e c t a n g l e A B C D w i t h t h e s i d e s A B = a a n dB C = b ( a < b ) i s p r o j e c t e d o n a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h

t h e s i d e A B . F i n d t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e p l a n eo f p r o j e c t i o n t o t h e p l a n e o f t h e r e c t a n g l e i f t h e p r o j e c -t i o n o b t a i n e d i s a s q u a r e .

1 1 9 2 . I n a t r i h e d r a l a n g l e t w o p l a n e a n g l e s a r e e q u a lt o e a c h o t h e r , t h e t h i r d o n e b e i n g e q u a l t o a . D e t e r m i n ee a c h o f t h e t w o e q u a l p l a n e a n g l e s i f t h e d i h e d r a l a n g l e -b e t w e e n t h e m i s a r i g h t o n e .

1 1 9 3 . D e t e r m i n e t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n

t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d w h o s e e d g e

f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e a l t i t u d e , a n d t h e v o l u m e i s

e q u a l t o V .1 1 9 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s e q u a l t o a a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e a l t i t u d e .A s e c t i o n i s d r a w n t h r o u g h a s i d e o f t h e b a s e p e r p e n d i -

c u l a r t o t h e o p p o s i t e l a t e r a l e d g e . F i n d t h e a r e a o f t h es e c t i o n .

1 1 9 5 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f t h e

b a s e i s e q u a l t o a a n d t h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e




b a s e a t a n a n g l e a . T h r o u g h t h e c e n t r e o f t h e b a s e a p l a n ei s d r a w n p a r a l l e l t o t w o n . o n - i n t e r s e c t i n g e d g e s o f t h e

p y r a m i d . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n a t a = 8 . 4 d ma n d a = 6 2 ° 1 7 ' .

1 1 9 6 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o ft h e b a s e i s e q u a l t o a , a n d t h e a n g l e b e t w e e n t h e a l t i t u d ea n d l a t e r a l e d g e t o a . T h r o u g h a p o i n t , d i v i d i n g t h es i d e o f t h e b a s e i n t h e r a t i o o f 1 t o 3 , a p l a n e i s d r a w n

p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e o f t h e p y r a m i d a n d p a r a l l e lt o t h e s i d e o f t h e b a s e . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .

1 1 9 7 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a le d g e i s e q u a l t o b a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .

F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n p a s s i n g t h r o u g h t h e d i a g o n a lo f t h e b a s e o f t h e p y r a m i d p a r a l l e l t o t h e l a t e r a l

e d g e .

1 1 9 8 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i di s e q u a l t o H . D r a w n t h r o u g h a d i a g o n a l o f t h e b a s e o f

t h e p y r a m i d a n d t h e I n i d - p o i n t o f t h e o p p o s i t e e d g e i sa s e c t i o n w h i c h f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e d i a g o n a l p l a n ep a s s i n g t h r o u g h t h e s a m e d i a g o n a l o f t h e b a s e . F i n d

t h e a r e a o f t h e s e c t i o n a t H = 1 2 . 4 c m a n d a = 5 1 ° 4 3 ' .

1 1 9 9 . T h r o u g h a s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u -l a r p y r a m i d a s e c t i o n i s d r a w n p e r p e n d i c u l a r t o t h eo p p o s i t e l a t e r a l f a c e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n

i f t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o a a n dt h e s e c t i o n i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .

1 2 0 0 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s a n d i t sv e r t e x i s p r o j e c t e d i n t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h ed i a g o n a l s o f t h e b a s e . C o n s t r u c t t h e s e c t i o n o f t h e p y r a m i db y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e s m a l l e r d i a g o n a l o f t h er h o m b u s p a r a l l e l t o t h e l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d .

F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n i f t h e s i d e o f t h e r h o m b u si s e q u a l t o a , i t s a c u t e a n g l e t o a , a n d t h e g r e a t e r l a t e r a le d g e o f t h e p y r a m i d i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P .

1 2 0 1 . T h e d i a g o n a l o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a -t e d p y r a m i d i s t w i c e t h e l e n g t h o f t h e d i a g o n a l o ft h e s m a l l e r b a s e e q u a l t o d a n d i s i n c l i n e d t o t h eg r e a t e r b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e a r e a o f t h e d i a g o n a l

s e c t i o n .



i 6 8P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

1 2 0 2 . T h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l ew i t h t h e l a t e r a l s i d e b a n d t h e a n g l e a t t h e b a s e a . T h e

l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . F i n dt h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d .

1 2 0 3 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l ew i t h t h e b a s e a a n d t h e a n g l e a t t h e v e r t e x a . T h r o u g h

a g i v e n s i d e o f t h e b a s e a s e c t i o n i s d r a w n w h i c h f o r m sa d i h e d r a l a n g l e a w i t h t h e b a s e o f t h e p r i s m . D e t e r m i n et h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i n s c r i b e d i n t h e p y r a m i d t h u so b t a i n e d .

1 2 0 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h ed i h e d r a l a n g l e f o r m e d b y t h e g r e a t e r b a s e a n d l a t e r a lf a c e i s e q u a l t o i p , a n d t h e s i d e s o f t h e b a s e s a r e e q u a lt o a a n d b . F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e p y r a m i d .

4 0 . R o u n d S o l i d s

1 2 0 5 . T h e d i a g o n a l o f a r e c t a n g l e e q u a l t o d i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e a . T h e r e c t a n g l e i s b e n t t o f o r ma c y l i n d e r . F i n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f t h e c y l i n -d e r . ( C o n s i d e r t w o c a s e s . )

1 2 0 6 . I n a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r a p o i n t o n t h e u p p e rb a s e c i r c l e i s j o i n e d t o o n e o f t h e p o i n t s o f t h e l o w e rb a s e c i r c l e . T h e a n g l e b e t w e e n t h e r a d i i d r a w n t o t h e s ep o i n t s i s e q u a l t o 1 2 0 ° . D e t e r m i n e t h e a n g l e b e t w e e n t h el i n e s e g m e n t c o n n e c t i n g t h e s e p o i n t s a n d t h e a x i s o f t h ec y l i n d e r .

1 2 0 7 . I n a n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r t h e r a d i u s o f t h e b a s eo f w h i c h i s e q u a l t o R c m a p o i n t o f t h e u p p e r b a s e c i r c l ei s j o i n e d t o a p o i n t o f t h e l o w e r b a s e c i r c l e . T h e s t r a i g h t

l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e s e p o i n t s i s d c m d i s t a n t f r o mt h e a x i s o f t h e c y l i n d e r . D e t e r m i n e t h e a n g l e s o f i n c l i n a -

t i o n o f t h i s s t r a i g h t l i n e t o t h e b a s e s o f t h e c y l i n d e r i fR = 1 5 a n d d = 1 2 .1 2 0 8 . I n a c y l i n d e r a s e c t i o n i s d r a w n p a r a l l e l t o t h e

a x i s w h i c h c u t s o f f t h e l o w e r b a s e c i r c l e a n a r e e q u a l t o a .T h e l i n e s e g m e n t j o i n i n g t h e c e n t r e o f t h e . u p p e r b a s ec i r c l e t o t h e m i d - p o i n t o f t h e c h o r d s u b t e n d i n g t h e a r e a

i s e q u a l t o m a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .

F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .




1 2 0 9 . C o n s t r u c t e d i n a c y l i n d e r i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l eA B C ( A B = B C ) , a n d A C i s t h e d i a m e t e r o f t h e l o w e rb a s e c i r c l e , a n d B i s a p o i n t l y i n g o n t h e u p p e r b a s ec i r c l e ; t h e a n g l e A B C i s e q u a l t o a a n d t h e a l t i t u d e o f

t h e c y l i n d e r t o h . F i n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o ft h e c y l i n d e r .

1 2 1 0 . T h e s e c t i o n o f a c y l i n d e r b y a p l a n e p a r a l l e lt o i t s a l t i t u d e i s a s q u a r e a n d i s s i t u a t e d a t a d i s t a n c e df r o m - i t s a x i s . T h e c u t t i n g p l a n e c u t s a n a r e a o f f t h e

b a s e c i r c l e . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n i f d = 9 . 5 c m

a n d a = 1 5 2 ° 3 0 ' .1 2 1 1 . D r a w n i n t h e b a s e c i r c l e o f a c y l i n d e r i s a c h o r d

A B s u b t e n d i n g a n a r e o f 9 0 ° . T h e e n d - p o i n t s o f t h e c h o r da r e j o i n e d t o t h e c e n t r e 0 o f t h e o t h e r b a s e c i r c l e . T h ea r e a o f t h e t r i a n g l e A O B t h u s o b t a i n e d i s e q u a l t o Qa n d i t s p l a n e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e o f t h e c y l i n d e r a ta n a n g l e a . F i n d t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e a n d a l t i t u d e

o f , t h e . c y l i n d e r .1 2 1 2 . A t a n g e n t l i n e i s d r a w n t o a c y l i n d e r a t a n a n g l e at o i t s e l e m e n t s . D e t e r m i n e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ec e n t r e o f t h e l o w e r b a s e c i r c l e a n d t h i s l i n e i f i t s d i s t a n c ef r o m t h e p o i n t o f t a n g e n c y i s e q u a l t o d a n d t h e r a d i u s

o f t h e b a s e c i r c l e t o R .1 2 1 3 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o H , a n d t h e

a n g l e b e t w e e n t h e a l t i t u d e a n d g e n e r a t o r t o a . F i n dt h e a r e a o f t h e s e c t i o n d r a w n t h r o u g h t w o e l e m e n t s ,t h e a n g l e b e t w e e n w h i c h i s e q u a l t o P .

1 2 1 4 . T h e g e n e r a t o r o f a n e q u i l a t e r a l c o n e i s e q u a lt o L . F i n d t h e a r e a o f t h e s e c t i o n d r a w n t h r o u g h t w oe l e m e n t s i f t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e c u t t i n g p l a n et o t h e b a s e i s e q u a l t o a .

1 2 1 5 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a c o n e i s f o u rt i m e s t h e a r e a o f t h e b a s e c i r c l e . F i n d t h e a n g l e a t w h i c ht h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e .

1 2 1 6 . T h e m a x i m u m a n g l e b e t w e e n t h e e l e m e n t s o fa c o n e i s e q u a l t o a . F i n d t h e r a t i o o f t h e t o t a l s u r f a c ea r e a o f t h e c o n e t o i t s l a t e r a l s u r f a c e a r e a .

1 2 1 7 . T w o e l e m e n t s o f a c o n e a n d a c h o r d o f t h e b a s e

c i r c l e f o r m a n i s o s c e l e s t r i a n g l e w i t h t h e a n g l e a t t h e




v e r t e x a a n d a r e a Q . T h e p l a n e o f t h e t r i a n g l e i s i n c l i -n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . F i n d t h e a l t i t u d e o f t h ec o n e .

1 2 1 8 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c o n e i s e q u a lt o R , a n d t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e

a . I n t h i s c o n e a p l a n e i s d r a w n t h r o u g h i t s v e r t e x a n da t a n a n g l e P t o t h e b a s e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h es e c t i o n .

1 2 1 9 . T h r o u g h t h e v e r t e x o f a c o n e a p l a n e i s d r a w nw h i c h c u t s a n a r e a f r o m t h e b a s e c i r c l e . T h e a n g l e a tt h e v e r t e x o f t h e s e c t i o n t h u s o b t a i n e d i s e q u a l t o P .F i n d t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e s e c t i o n t o t h e b a s e

i f a = 1 2 0 ° a n d P = 9 0 ° .1 2 2 0 . T h e a n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n o f

a c o n e i s e q u a l t o a . F i n d t h e c e n t r a l a n g l e o f t h e d e v e -l o p m e n t o f i t s l a t e r a l s u r f a c e .

1 2 2 1 . T h e c e n t r a l a n g l e o f t h e d e v e l o p m e n t o f t h e

l a t e r a l s u r f a c e o f a c o n e i s e q u a l t o a . F i n d t h e a n g l ea t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c o n e .

1 2 2 2 . T a n g e n t t o t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a c o n e i s as t r a i g h t l i n e f o r m i n g a n a n g l e a w i t h t h e e l e m e n t o f

a c o n e p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t o f t a n g e n c y . T h e a n g l eo f i n c l i n a t i o n o f t h e g e n e r a t o r t o t h e b a s e i s e q u a l t o P .

T h e p o i n t o f t a n g e n c y i s l o c a t e d a t a d i s t a n c e d f r o m

t h e p l a n e o f t h e b a s e . F i n d t h e s e g m e n t o f t h e t a n g e n tl i n e a s m e a s u r e d f r o m t h e p o i n t o f t a n g e n c y t o t h e p o i n to f i n t e r s e c t i o n w i t h t h e b a s e o f t h e c o n e .

1 2 2 3 . I n a t r u n c a t e d c o n e , t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e so f w h i c h a r e e q u a l t o R a n d r , a p l a n e i s d r a w n a t a na n g l e P t o t h e b a s e . T h i s p l a n e c u t s a n a r e a f r o m e a c h

b a s e c i r c l e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .

1 2 2 4 . I n a t r u n c a t e d c o n e , t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e so f w h i c h a r e R a n d r , a p l a n e i s d r a w n a t a n a n g l e at o t h e b a s e , t h e a r e a o f t h e s e c t i o n w h i c h d o e s n o t i n t e r -s e c t t h e a x i s o f t h e c o n e i s e q u a l t o Q . D e t e r m i n e t h e

l e n g t h o f e a c h o f t h e a r c s c u t o f f b y t h i s p l a n e f r o m t h eb a s e c i r c l e s .

1 2 2 5 . T h r o u g h t w o e l e m e n t s o f a t r u n c a t e d c o n e c o n t a i n -

i n g a n a n g l e a a p l a n e i s d r a w n w h i c h i n t e r s e c t s t h e




b a s e c i r c l e s o f t h e c o n e a l o n g t h e c h o r d s e q u a l t o a a n d b .( a > b ) . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e s e c t i o n .

1 2 2 6 . T h e a l t i t u d e o f a t r u n c a t e d c o n e i s e q u a l t o h ;t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e l o w e r b a s e a t a n a n g l e aa n d f o r m s a n a n g l e P w i t h t h e s t r a i g h t l i n e p a s s i n gt h r o u g h i t s u p p e r e n d - p o i n t a n d t h e l o w e r e n d - p o i n t o ft h e o p p o s i t e e l e m e n t . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e a x i a ls e c t i o n o f t h i s c o n e .

1 2 2 7 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e w i t h a s u r f a c e a r e a S i s

a c y l i n d e r , t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n o f w h i c h i si n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e a r e a o f t h ea x i a l s e c t i o n o f t h e c y l i n d e r .

1 2 2 8 . A n e q u i l a t e r a l c y l i n d e r i s i n s c r i b e d i n a c o n e .F i n d t h e a l t i t u d e o f t h e c y l i n d e r i f t h e a l t i t u d e o f t h e

c o n e i s h a n d t h e a n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o ni s e q u a l t o 2 a .

1 2 2 9 . T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e o f a c o n e i s e q u a lt o R , a n d t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a na n g l e a . A s p h e r e i s i n s c r i b e d i n t h e c o n e . F i n d t h ed i s t a n c e b e t w e e n t h e v e r t e x o f t h e c o n e a n d t h e p l a n eo f t h e c i r c l e a l o n g w h i c h t h e s p h e r i c a l s u r f a c e c o n t a c t st h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e .

1 2 3 0 . C i r c u m s c r i b e d a b o u t a c o n e i s a s p h e r e , t h e

a r e a o f t h e g r e a t c i r c l e o f w h i c h i s e q u a l t o Q , a n d a s p h e -r e i s i n s c r i b e d i n a c o n e . F i n d t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ec e n t r e s o f t h e s p h e r i c a l s u r f a c e s i f t h e g e n e r a t o r o f t h ec o n e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .

1 2 3 1 . C i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e i s a t r u n c a t e dc o n e , w h o s e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a ta n a n g l e a . T h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f t a n g e n c y

i s e q u a l t o C . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r e .1 2 3 2 . I n a t r u n c a t e d c o n e t h e r a d i i o f t h e b a s e c i r c l e sa r e e q u a l t o R a n d r , a n d t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h eg r e a t e r b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e r a d i u s o f t h e s p h e r ec i r c u m s c r i b e d a b o u t t h e t r u n c a t e d c o n e .

1 2 3 3 . G i v e n a s p h e r i c a l s e g m e n t . D r a w n t h r o u g h ap o i n t d i v i d i n g t h e a l t i t u d e o f t h e s e g m e n t i n t h e r a t i o

o f 1 t o 4 a n d p e r p e n d i c u l a r t o i t i s a s e c t i o n , w h o s e a r e a




i s e q u a l t o o n e f o u r t h t h e a r e a o f t h e b a s e o f t h e s e g m e n t .D e t e r m i n e t h e a r e o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e s e g m e n t .

1 2 3 4 . T h e a n g l e o f t h e a x i a l s e c t i o n o f a s p h e r i c a ls e c t o r i s e q u a l t o a . I n w h a t r a t i o i s t h e a r e a o f t h e c o n i c a ls u r f a c e o f t h e s e c t o r d i v i d e d b y t h e p l a n e d r a w n t h r o u g ht h e m i d - p o i n t o f t h e m e d i u m r a d i u s a n d p e r p e n d i c u l a rt o i t . A n a l y s e t h e f o r m u l a o f t h e r a t i o . C o m p u t e i t a ta = 4 5 ° , 6 0 ° , 9 0 ° , 1 2 0 ° .

4 1 . A r e a s a n d V o l u m e s o f P r i s m s

1 2 3 5 . T h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i sa s q u a r e w i t h t h e s i d e a . T h e d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i -p e d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e l a t e r a l f a c e . . F i n d t h ev o l u m e a n d l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

1 2 3 6 . T h e d i a g o n a l o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i s

i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . T h e s i d e s o f t h e b a s e sa r e e q u a l t o a a n d b . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e -l e p i p e d .

1 2 3 7 . I n a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d t h e d i a g o n a l i se q u a l t o d a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . O n e o ft h e s i d e s o f t h e b a s e f o r m s w i t h t h e d i a g o n a l o f t h e b a s ea n a n g l e P . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

1 2 3 8 . T h e d i a g o n a l o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i se q u a l t o d a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e b a s e a n d a n

a n g l e P w i t h t h e s m a l l e r l a t e r a l f a c e . D e t e r m i n e t h ev o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

1 2 3 9 . T h e a r e a o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n o f a r e c t a n g u l a rp a r a l l e l e p i p e d i s e q u a l t o Q . T h e d i a g o n a l o f t h e b a s ee q u a l t o d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e s i d e o f t h e b a s e .

D e t e r m i n e t h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e -p i p e d .1 2 4 0 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r

p r i s m i s e q u a l t o a . F r o m o n e v e r t e x o f t h e b a s e d i a g o n a l sa r e d r a w n i n t w o a d j a c e n t l a t e r a l f a c e s . T h e a n g l e b e t w e e nt h e d i a g o n a l s i s e q u a l t o a . C o m p u t e t h e a r e a o f t h e

l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m a t a = 2 5 . 3 c m . a n d a

= 8 0 ° 1 6 ' .




1 2 4 1 . T h e b a s e o f a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i sa r h o m b u s w i t h a n a c u t e a n g l e a a n d s m a l l e r d i a g o n a l d .T h e g r e a t e r d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i s i n c l i n e d

t o t h e b a s e a t a n a n g l e 2 . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a

a n d v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

1 2 4 2 . I n a r i g h t p a r a l l e l e p i p e d t h e a c u t e a n g l e o f t h eb a s e i s e q u a l t o a , o n e o f t h e s i d e s o f t h e b a s e t o a ; t h es e c t i o n d r a w n t h r o u g h t h e o t h e r s i d e o f t h i s b a s e a n d t h eo p p o s i t e s i d e o f t h e o t h e r b a s e h a s a n a r e a Q a n d i s i n c l i -n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . D e t e r m i n e t h e v o l u m e ,

o f t h e p a r a l l e l e p i p e d a n d c o m p u t e i t a t a = 1 2 . 3 c m ,Q = 2 0 3 . 8 c m 2 , a = 4 8 ° 2 5 ' , P = 6 3 ° 2 6 ' .

1 2 4 3 . F i n d t h e v o l u m e o f a r i g h t q u a d r a n g u l a r p r i s mw h o s e d i a g o n a l i s e q u a l t o d a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a ta n a n g l e a , a n d t h e a c u t e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l so f t h e r e c t a n g u l a r b a s e i s e q u a l t o P .

1 2 4 4 . T h e d i a g o n a l o f t h e l a t e r a l f a c e o f a r e g u l a rq u a d r a n g u l a r p r i s m i s e q u a l t o d a n d f o r m s a n a n g l e a

w i t h t h e d i a g o n a l o f t h e p r i s m . D e t e r m i n e t h e a r e a o ft h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m .

1 2 4 5 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p r i s m t h e d i a g o n a li s e q u a l t o d a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e l a t e r a l e d g e .

D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .1 2 4 6 . I n a r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d t h e l a t e r a l e d g ei s e q u a l t o H a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e d i a g o n a l o ft h e p a r a l l e l e p i p e d . T h e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l a n dt h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i s e q u a l t o

D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

1 2 4 7 . T h e a r e a o f t h e d i a g o n a l s e c t i o n o f a r e c t a n g u l a r

p a r a l l e l e p i p e d a m o u n t s t o Q , a n d t h e d i a g o n a l o f t h eb a s e i s e q u a l t o d a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e s i d e o ft h e b a s e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d

a n d c o m p u t e i t a t Q = 2 4 4 . 6 c m 2 , d = 3 0 . 2 c m a n da = 6 3 ° 2 6 ' .

1 2 4 8 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p r i s m t h e d i a g o n a l o ft h e l a t e r a l f a c e i s e q u a l t o d a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h

t h e p l a n e o f t h e b a s e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .




1 2 5 7 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r i g h t - a n g l e d t r i -a n g l e w i t h a n a c u t e a n g l e a . T h e d i a g o n a l o f t h e g r e a t e rl a t e r a l f a c e i s e q u a l t o d a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a na n g l e P . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p r i s m a n d t h e a r e a

o f t h e l a t e r a l s u r f a c e a n d c o m p u t e i t a t d = 8 . 3 d m ,a = 8 1 ° 1 9 ' a n d P = 5 8 ° 5 3 ' .

1 2 5 8 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l ew i t h a n a c u t e a n g l e a . T h e a r e a o f t h e g r e a t e r l a t e r a lf a c e i s e q u a l t o Q . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l

s u r f a c e o f t h i s p r i s m .1 2 5 9 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l e

w h o s e p e r i m e t e r i s e q u a l t o 2 p a n d t h e a n g l e b e t w e e nt h e e q u a l s i d e s t o a . T h e p e r p e n d i c u l a r d r o p p e d f r o mt h e v e r t e x o f t h i s a n g l e t o t h e o p p o s i t e s i d e o f t h e o t h e rb a s e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . D e t e r m i n e t h ev o l u m e o f t h e p r i s m .

1 2 6 0 . A r i g h t p r i s m w h o s e b a s e i s a r i g h t - a n g l e dt r i a n g l e w i t h t h e h y p o t e n u s e c a n d a n a c u t e a n g l e ai s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e . F i n d t h e v o l u m e o f t h ep r i s m .

1 2 6 1 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d i s a r h o m -b u s w i t h t h e s i d e a a n d a n a c u t e a n g l e a . O n e o f t h e

v e r t i c e s o f t h e u p p e r b a s e i s p r o j e c t e d i n t h e p o i n t o fi n t e r s e c t i o n o f t h e d i a g o n a l s o f t h e l o w e r b a s e . D e t e r m i n e

t h e v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d i f t h e l a t e r a l f a c e s a r ei n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . C o m p u t e i t a t a == 8 3 c m , a = 7 8 ° 1 6 ' , P = 6 4 ° 4 9 ' .

1 2 6 2 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a p a r a l l e l e p i p e d , i nw h i c h e a c h o f t h e e d g e s i s e q u a l t o a , a n d e a c h o f t h ep l a n e a n g l e s a t o n e o f t h e v e r t i c e s i s e q u a l t o a ( a < 9 0 ° ) .C o m p u t e i t a t a = 6 9 ° 2 0 ' a n d a = 3 0 . 3 c m .

1 2 6 3 . T h e a r e a o f t h e b a s e o f a n o b l i q u e p r i s m i s e q u a lt o Q , a n d t h e l a t e r a l e d g e e q u a l t o b i s i n c l i n e d t o t h eb a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .

1 2 6 4 . T h e b a s e o f a n o b l i q u e . p r i s m i s a n e q u i l a t e r a lt r i a n g l e . O n e o f t h e v e r t i c e s o f t h e p r i s m i s p r o j e c t e di n t h e c e n t r e o f t h e b a s e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h ep r i s m i f e a c h o f i t s l a t e r a l e d g e s e q u a l t o b i s i n c l i n e d

t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .




1 2 6 5 . T w o l a t e r a l f a c e s o f a n o b l i q u e t r i a n g u l a r p r i s ma r e c o n g r u e n t r h o m b u s e s w i t h t h e s i d e b a n d a n a c u t e

a n g l e a . T h e a n g l e o f t h e b a s e o f t h e p r i s m f o r m e d b ye q u a l s i d e s i s a l s o e q u a l t o a . F i n d t h e v o l u m e o f t h e

p r i s m .

1 2 6 6 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l ew i t h t h e b a s e a a n d o p p o s i t e a n g l e a . T h e a r e a o f t h el a t e r a l s u r f a c e o f t h e p r i s m i s e q u a l t o t h e a r e a o f t h e

b a s e . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .1 2 6 7 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r a p e -

z i u m w i t h a n a c u t e a n g l e a a n d t h e s m a l l e r b a s e a e q u a lt o t h e l a t e r a l s i d e . T h e d i a g o n a l o f t h e p r i s m i s i n c l i n e d

t o t h e b a s e a t a n a n g l e 2 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e

p r i s m .1 2 6 8 . I n a n o b l i q u e p a r a l l e l e p i p e d o n e o f t h e d i a g o n a l

s e c t i o n s i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e , t h e s m a l l e r d i a g o n a l

i s e q u a l t o t h e l a t e r a l e d g e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d , a n dt h e a c u t e a n g l e o f t h e s e c t i o n i s e q u a l t o a . T h e b a s e o ft h e p a r a l l e l e p i p e d i s a r e c t a n g l e w i t h t h e s m a l l e r s i d e a

a n d a c u t e a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o n a l s 2 a . F i n d t h ev o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d .

1 2 6 9 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e o f r a d i u s R i s a r e g u l a rq u a d r a n g u l a r p r i s m w h o s e d i a g o n a l i s i n c l i n e d t o t h e

b a s e a t a n a n g l e a . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e a n d t h e v o l u m e o f t h e p r i s m .

4 2 . A r e a s a n d V o l u m e s o f P y r a m i d s

1 2 7 0 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s e q u a l t o b a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e s i d e o f t h e

b a s e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h ep y r a m i d .1 2 7 1 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g e

i s e q u a l t o b a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 7 2 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e s l a n t h e i g h ti s e q u a l t o m , a n d t h e l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e

a t a n a n g l e a . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .




1 2 7 3 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e r a d i u s o ft h e c i r c l e c i r c u m s c r i b e d a b o u t i t s b a s e i s e q u a l t o R .T h e s l a n t h e i g h t i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .

1 2 7 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a l e d g ei s i n c l i n e d t o t h e a l t i t u d e a t a n a n g l e a . T h e r a d i u s o ft h e i n c i r c l e i s e q u a l t o r . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h ep y r a m i d .

1 2 7 5 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e l a t e r a le d g e i s e q u a l t o b , a n d t h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x t o a .D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d a n dc o m p u t e i t a t b = 0 . 7 2 m a n d a = 4 8 ° 5 2 ' .

1 2 7 6 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e s l a n th e i g h t i s e q u a l t o m . T h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h ep l a n e a t a n a n g l e a . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o ft h e p y r a m i d .

1 2 7 7 . T h e a l t i t u d e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i di s e q u a l t o H , a n d t h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x t o a .D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 7 8 . T h e l a t e r a l e d g e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d i s e q u a l t o 1 , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s et o a . F i n d t h e v o l u m e a n d t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a -m i d .

1 2 7 9 . T h e b a s e o f - a p y r a m i d i s a t r i a n g l e w h o s e p e r i -m e t e r i s e q u a l t o P , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s et o a . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 0 . I n a r e g u l a r n - g o n a l p y r a m i d t h e s l a n t h e i g h ti s e q u a l t o m , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e t o a .F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 1 . T h e a r e a o f t h e t o t a l s u r f a c e o f a r e g u l a r q u a d -

r a n g u l a r p y r a m i d i s e q u a l t o Q , a n d t h e d i h e d r a l a n g l ea t t h e b a s e t o c p . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .1 2 8 2 . T h e v o l u m e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d

i s e q u a l t o V . F i n d t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p y r a m i di f t h e a n g l e b e t w e e n t h e l a t e r a l e d g e a n d t h e a l t i t u d ei s e q u a l t o a .

1 2 8 3 . A s p h e r e o f r a d i u s R i s i n s c r i b e d i n a r e g u l a r

q u a d r a n g u l a r p y r a m i d . T h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e




o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o a . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e a n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 4 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d a p e r p e n d i c u l a re q u a l t o p i s d r o p p e d f r o m t h e f o o t o f t h e a l t i t u d e t oa l a t e r a l f a c e . T h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x i s e q u a lt o a . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 5 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e .T h e l a t e r a l e d g e o f t h e p y r a m i d p a s s i n g t h r o u g h t h ev e r t e x o f t h e r i g h t a n g l e o f t h i s t r i a n g l e i s e q u a l t o l

a n d p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e . T w o o t h e r l a t e r a l e d g e so f t h e p y r a m i d a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n g l e s a a n dD e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 6 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l ei n w h i c h o n e o f t h e a c u t e a n g l e s i s e q u a l t o a . E a c h o ft h e l a t e r a l e d g e s o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o b a n d i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e P . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 7 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l eA B C , i n w h i c h t h e s i d e B C a a n d t h e a n g l e A i se q u a l t o a . T h e l a t e r a l f a c e s o f t h e p y r a m i d p a s s i n gt h r o u g h t h e s i d e s A C a n d B C , c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l ea r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e , t h e t h i r d l a t e r a l f a c eb e i n g i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . F i n d t h e v o l u m eo f t h e p y r a m i d .

1 2 8 8 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e ,i n w h i c h o n e o f t h e a c u t e a n g l e s i s e q u a l t o a . I n s c r i b e di n t h e p y r a m i d i s a c o n e , t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l eo f w h i c h i s e q u a l t o R , a n d t h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h eb a s e a t a n a n g l e P . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 8 9 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e .E a c h l a t e r a l e d g e i s e q u a l t o l a n d i n c l i n e d t o t h e b a s e

a t a n a n g l e a . T h e l a t e r a l f a c e o f t h e p y r a m i d p a s s i n gt h r o u g h o n e o f t h e s i d e s c o n t a i n i n g t h e r i g h t a n g l e f o r m sa d i h e d r a l a n g l e P w i t h t h e b a s e . F i n d t h e v o l u m e o f t h e

p y r a m i d .

1 2 9 0 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l ew i t h t h e l a t e r a l . s i d e b a n d p l a n e a n g l e a a t t h e v e r t e x .E a c h o f t h e l a t e r a l e d g e s i s a l s o ' e q u a l t o b . F i n d t h e

v o l u m e o f t h e p y r a m i d .



C B : . V I I I . T R I G O N O M E T R Y I N G E O M E T R I C P R O B L E M S 1 7 9

1 2 9 1 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l e ,i n w h i c h t h e a n g l e a t t h e v e r t e x i s e q u a l t o P , a n d t h eb a s e t o b . T h e l a t e r a l f a c e s a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a ta n a n g l e a . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a -m i d .

1 2 9 2 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a t r i a n g l e w i t h a n g l e s aa n d P ; e a c h o f t h e l a t e r a l e d g e s i s e q u a l t o b a n d f o r m sa n a n g l e y w i t h t h e a l t i t u d e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o ft h e p y r a m i d .

1 2 9 3 . I n a t r i a n g u l a r p y r a m i d t w o o f t h e l a t e r a l f a c e s

a r e i s o s c e l e s r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e s , w h o s e h y p o t e n u s e sa r e e q u a l t o c ( e a c h ) a n d f o r m a n a n g l e a . D e t e r m i n et h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 9 4 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a r h o m b u s w i t h t h es i d e a . T w o o f t h e l a t e r a l f a c e s o f t h e p y r a m i d a r e p e r -

p e n d i c u l a r t o t h e b a s e a n d f o r m a n o b t u s e a n g l e P ; t w oo t h e r s a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e

a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .1 2 9 5 . T h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s a r h o m b u s . T w o

l a t e r a l f a c e s o f t h e p y r a m i d f o r m i n g . a n o b t u s e a n g l e aa r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e b a s e , a n d t w o o t h e r s a r e i n c l i -n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h ev e r t e x o f t h e o b t u s e a n g l e o f t h e b a s e o f t h e p y r a m i d

a n d t h e p l a n e o f t h e i n c l i n e d f a c e i s e q u a l t o d . F i n d

t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e p y r a m i d .1 2 9 6 . F r o m a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d w i t h t h e

s i d e o f t h e b a s e a a n d t h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x aa t r i a n g u l a r p y r a m i d i s c u t o f f b y a p l a n e p a s s i n g t h r o u g ha d i a g o n a l o f t h e b a s e o f t h e g i v e n q u a d r a n g u l a r p y r a m i da n d p a r a l l e l t o i t s l a t e r a l e d g e . D e t e r m i n e t h e v o l u m eo f t h e c u t - o f f p y r a m i d . C o m p u t e i t a t a = 7 . 8 1 d m a n d

a = 6 3 ° 1 7 ' .1 2 9 7 . T h e b a s e o f a ' p y r a m i d i s a r h o m b u s w h o s e g r e a -t e r d i a g o n a l i s e q u a l t o d , a n d t h e a c u t e a n g l e t o a .E a c h l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e

F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p y r a m i d .

1 2 9 8 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a p a r a l l e l o g r a m w h o s ed i a g o n a l s i n t e r s e c t a t a n a n g l e a . T h e a l t i t u d e o f t h e

p y r a m i d p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n o f t h e7 *




d i a g o n a l s o f t h e b a s e a n d i s e q u a l t o H . T h e l a t e r a le d g e s a r e e q u a l t o b a n d c . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d .

1 2 9 9 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a s q u a r e . T w o o p p o s i t el a t e r a l f a c e s o f t h e p y r a m i d a r e i s o s c e l e s t r i a n g l e s w h o s ep l a n e s f o r m d i h e d r a l a n g l e s a a n d 0 w i t h t h e b a s e . T h ep r o j e c t i o n o f t h e v e r t e x o f t h e p y r a m i d o n t h e p l a n e o ft h e b a s e i s f o u n d o u t s i d e t h e b a s e o f t h e p y r a m i d a t ad i s t a n c e m f r o m t h e n e a r e s t s i d e . F i n d t h e v o l u m e o f t h ep y r a m i d .

1 3 0 0 . T h e b a s e o f a p y r a m i d i s a s q u a r e . T w o l a t e r a l

f a c e s o f t h e p y r a m i d a r e p e r p e n d i c u l a r t o i t s b a s e , a n dt w o o t h e r s f o r m a n a n g l e a w i t h t h e b a s e . A c u b e i si n s c r i b e d i n t h e p y r a m i d s o t h a t f o u r o f i t s v e r t i c e s l i eo n t h e l a t e r a l e d g e s o f t h e p y r a m i d , a n d f o u r o t h e r so n t h e b a s e o f t h e p y r a m i d . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a ls u r f a c e o f t h e p y r a m i d i f t h e e d g e o f t h e c u b e i s e q u a l t o a .

1 3 0 1 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d t h e a l t i t u d e

i s e q u a l t o H a n d f o r m s a n a n g l e q w i t h t h e l a t e r a l f a c e .D r a w n t h r o u g h o n e o f t h e s i d e s o f t h e b a s e i s a c u t t i n gp l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e o p p o s i t e f a c e . F i n d t h e v o l u m e

o f t h e p y r a m i d c u t b y t h i s p l a n e f r o m t h e g i v e n p y r a m i d .

1 3 0 2 . T h e l a t e r a l e d g e s o f a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a -t e d p y r a m i d a r e i n c l i n e d t o t h e p l a n e o f t h e g r e a t e r b a s e

a t a n a n g l e a , a n d t h e s i d e s o f t h e b a s e s . a r e e q u a l t o a

a n d b ( a > b ) . F i n d t h e v o l u m e o f t h i s t r u n c a t e d p y r a -m i d .1 3 0 3 . I n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d t h e

s i d e o f t h e g r e a t e r b a s e a n d t h e s l a n t h e i g h t a r e e q u a lt o a ( e a c h ) . T h e s e c t i o n o f t h e p y r a m i d b y a p l a n e p a s s i n gt h r o u g h a s i d e o f t h e g r e a t e r b a s e p e r p e n d i c u l a r t o t h el a t e r a l f a c e f o r m s a d i h e d r a l a n g l e a w i t h t h e p l a n e o f

t h e g r e a t e r b a s e . D e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c eo f t h e p y r a m i d a n d c o m p u t e i t a t a = 8 2 . 5 c m , a = 1 8 ° 2 8 '

1 3 0 4 . T h e l a t e r a l e d g e o f . a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rt r u n c a t e d p y r a m i d i s i n c l i n e d t o t h e s i d e o f t h e g r e a t e rb a s e a t a n a n g l e q . F i n d t h e v o l u m e o f t h e p y r a m i d i ft h e s i d e s o f i t s b a s e s a r e e q u a l t o a a n d b .

1 3 0 5 . I n s c r i b e d i n a r e g u l a r t r i a n g u l a r t r u n c a t e d

p y r a m i d i s a . s p h e r e o f r a d i u s R . F i n d t h e a r e a o f t h e




l a t e r a l s u r f a c e o f t h e t r u n c a t e d p y r a m i d i f t h e d i h e d r a la n g l e a t t h e g r e a t e r b a s e i s e q u a l t o a .

1 3 0 6 . T h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f a r e g u l a r q u a d r -a n g u l a r t r u n c a t e d p y r a m i d i s e q u a l t o Q . F i n d t h e v o l u m eo f t h e p y r a m i d i f t h e a r e a s o f i t s b a s e s a r e a s 1 : 2 , a n dt h e l a t e r a l f a c e i s i n c l i n e d t o t h e g r e a t e r b a s e a t a n a n g l e a .

1 3 0 7 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e i s a p y r a m i d , w h o s e b a s ei s a r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e w i t h t h e h y p o t e n u s e c a n d a na c u t e a n g l e a . T h e l a t e r a l e d g e s a r e e q u a l t o o n e a n o t h e ra n d a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e P . F i n d t h ev o l u m e o f t h e p y r a m i d .

4 3 . A r e a s a n d V o l u m e s o f R o u n d S o l i d s

1 3 0 8 . 1 . T h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n o f a c y l i n d e ri s e q u a l t o d , a n d f o r m s a n a n g l e a w i t h t h e b a s e . D e t e r -

m i n e t h e v o l u m e a n d a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e

c y l i n d e r a n d c o m p u t e i t a t d = 1 0 . 3 d m , a = 7 1 ° 4 3 ' .. 2 . T h e a r e a o f t h e a x i a l s e c t i o n o f a c y l i n d e r i s e q u a lt o Q , t h e a n g l e b e t w e e n t h i s s e c t i o n a n d t h e a x i s o f t h ec y l i n d e r t o a . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e c y l i n d e r a n dc o m p u t e i t a t Q = 4 7 8 . 6 c m 2 , a = 6 2 ° 1 3 ' .

1 3 0 9 . T h e s e c t i o n o f a c y l i n d e r b y a p l a n e p a r a l l e lt o t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r r e p r e s e n t s a s q u a r e . D e t e r m i n et h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h e c y l i n d e r i f t h e s e c t i o n

c u t s a n a r e a f r o m t h e b a s e c i r c l e a n d i s d r a w n a t a d i s t a n -c e d f r o m t h e a x i s o f t h e c y l i n d e r .

1 3 1 0 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a r i g h t - a n g l e d t r i -a n g l e w i t h a n a c u t e a n g l e a a n d a l t i t u d e h d r o p p e d t o

t h e h y p o t e n u s e . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e c y l i n d e rc i r c u m s c r i b e d a b o u t t h i s p r i s m i f i t s g e n e r a t o r i s a l s oe q u a l t o h . C o m p u t e i t a t h = 0 . 7 m , a = 3 8 ° 5 3 ' .

1 3 1 1 . A r e c t a n g u l a r p a r a l l e l e p i p e d i s i n s c r i b e d i na c y l i n d e r . F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h ec y l i n d e r i f i t i s k n o w n t h a t t h e s m a l l e r s i d e o f t h e b a s ei s e q u a l t o a , t h e a c u t e d i h e d r a l a n g l e b e t w e e n t h e d i a g o -n a l p l a n e s t o a , a n d t h e d i a g o n a l o f t h e p a r a l l e l e p i p e df o r m s a n a n g l e 0 w i t h i t s g r e a t e r l a t e r a l f a c e .

1 3 1 2 . A p y r a m i d i s i n s c r i b e d i n a c y l i n d e r s o t h a t i t s

b a s e i s i n s c r i b e d i n t h e l o w e r b a s e o f t h e c y l i n d e r , a n d




t h e v e r t e x i s f o u n d a t t h e c e n t r e o f t h e u p p e r b a s e o f t h ec y l i n d e r . T h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l ew i t h a n a n g l e P a t t h e v e r t e x . T h e l a t e r a l e d g e s o f t h e

p y r a m i d a r e i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h ev o l u m e o f t h e p y r a m i d i f t h e r a d i u s o f t h e b a s e o f t h e

c y l i n d e r i s e q u a l t o R .1 3 1 3 . I n s c r i b e d i n a r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d i s

a c y l i n d e r , i n w h i c h t h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s e q u a lt o t h e g e n e r a t o r . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e c y l i n d e r

i f t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o a , a n d

t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e b a s e t o a . C o m p u t e i t a t a == 2 8 . 3 c m , a = 1 5 ° .1 3 1 4 . D e t e r m i n e t h e v o l u m e a n d s u r f a c e a r e a o f a c o n e

g i v e n : ( 1 ) t h e g e n e r a t o r l a n d m a x i m u m a n g l e a b e t w e e nt w o e l e m e n t s ; ( 2 ) t h e a r e a Q o f t h e a x i a l s e c t i o n a n d a n g l e

a b e t w e e n t h e g e n e r a t o r a n d t h e b a s e .1 3 1 5 . T h e a n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n o f

a c o n e i s e q u a l t o a , a n d i t s p e r i m e t e r t o P . F i n d t h et o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e c o n e .1 3 1 6 . D e t e r m i n e t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f a c o n e i f t h e

a r e a o f i t s b a s e c i r c l e i s e q u a l t o n Q c m 2 , a n d t h e a n g l eb e t w e e n t h e g e n e r a t o r a n d a l t i t u d e t o a . C o m p u t e , i t a tQ = 4 2 8 . 6 c m ' , a = 3 6 ° 5 6 ' .

1 3 1 7 . F i n d t h e a n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n

o f a c o n e i f t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e i se q u a l t o Q , a n d t h e t o t a l s u r f a c e , a r e a t o S .

1 3 1 8 . T h e a x i a l s e c t i o n o f a c o n e i s a n i s o s c e l e s t r i a n g l e ,i n w h i c h t h e a n g l e a t t h e b a s e i s e q u a l t o a . T h e r a d i u so f t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n t h i s t r i a n g l e i s e q u a l t o r .D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f a c o n e a n d c o m p u t e i t a t r =

= 9 . 2 d m , a = 7 0 ° 1 4 ' .

1 3 1 9 . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e g e n e r a t o r a n d a l t i t u -d e o f a c o n e i s e q u a l t o d , a n d t h e a n g l e a t t h e v e r t e x o ft h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c o n e t o 2 a . D e t e r m i n e t h e v o l u m eo f t h e c o n e a n d c o m p u t e i t a t d = 8 . 4 c m , a = 8 3 ° 2 8 ' .

1 3 2 0 . I n s c r i b e d i n t h e b a s e o f a c o n e i s a s q u a r e , w h o s es i d e i s e q u a l t o a . T h e p l a n e p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e x

o f t h e c o n e a n d o n e o f t h e s i d e s o f t h i s s q u a r e c u t s t h e

c o n e f o r m i n g a t r i a n g l e i n t h e s e c t i o n w i t h t h e a n g l e a




a t i t s v e r t e x . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h e c o n e a n dc o m p u t e i t a t a = 0 . 3 9 m a n d a = 7 2 ° 3 2 ' .

1 3 2 1 . F i n d t h e v o l u m e o f a c o n e i f i t s t o t a l s u r f a c ea r e a i s e q u a l t o Q , a n d t h e a n g l e a t t h e v e r t e x i n t h ea x i a l s e c t i o n i s e q u a l t o a .

1 3 2 2 . T h r o u g h t h e v e r t e x o f a c o n e a n d a t a n a n g l e at o t h e b a s e a p l a n e i s d r a w n c u t t i n g f r o m t h e b a s e c i r c l e

a n a r e P . F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e i f t h i s p l a n e i s d c md i s t a n t f r o m t h e c e n t r e o f t h e b a s e c i r c l e .

1 3 2 3 . A c i r c u l a r s e c t o r A B C i s b e n t t o f o r m a c o n e .F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e i f t h e c h o r d A C i s e q u a lt o a a n d t h e a n g l e A B C t o a .

1 3 2 4 . A r i g h t - a n g l e d t r i a n g l e w i t h t h e h y p o t e n u s e ca n d a n a c u t e a n g l e a r o t a t e s a b o u t t h e h y p o t e n u s e .F i n d t h e s u r f a c e a r e a a n d . v o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u -t i o n t h u s o b t a i n e d .

1 3 2 5 . A n i s o s c e l e s t r i a n g l e A B C , i n w h i c h A B =B C = b a n d L C = L A = a , r o t a t e s a b o u t a l a t e r a ls i d e . F i n d t h e s u r f a c e a r e a a n d v o l u m e o f t h e s o l i d o fr e v o l u t i o n .

1 3 2 6 . I n a n i s o s c e l e s t r a p e z i u m A B C D w i t h a n a c u t ea n g l e P A B = C D a n d 0 i s t h e m i d - p o i n t o f t h e g r e a t e rb a s e A D . F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i d g e n e r a t e d b y t h e

r o t a t i o n o f t h i s t r a p e z i u m a b o u t t h e g r e a t e r b a s e i f O C == m a n d t h e a n g l e B O C i s , e q u a l t o a .

1 3 2 7 . C o n s t r u c t e d o n a c o m m o n b a s e a r e t w o c o n e s ,o n e i n s i d e t h e o t h e r , s o t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e i rv e r t i c e s i s e q u a l t o d . F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i d b o u n -d e d b y c o n i c a l s u r f a c e s o f t h e c o n e s i f t h e a n g l e a t t h ev e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e g r e a t e r c o n e i s e q u a l

t o a , a n d t h e s m a l l e r o n e t o P .1 3 2 8 . T h e b a s e o f a r i g h t p r i s m i s a n i s o s c e l e s t r a p e -

. z i u m w i t h a n a c u t e a n g l e a . A c o n e i s i n s c r i b e d i n t h ep r i s m s o t h a t i t s b a s e i s i n s c r i b e d i n t h e b a s e o f t h e p r i s m ,

a n d t h e v e r t e x i s f o u n d i n t h e p l a n e o f t h e o t h e r b a s e .T h e r a d i u s o f t h e b a s e c i r c l e i s e q u a l t o R , a n d t h e a n g l e

a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c o n e i s e q u a l

t o P . F i n d t h e t o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e p r i s m .




( t h e a x i s o f r e v o l u t i o n i s c o n t a i n e d i n t h e p l a n e o f t h et r i a n g l e A B C ) .

1 3 3 8 . 1 . A n i s o s c e l e s t r i a n g l e w i t h t h e a n g l e a t t h eb a s e a a n d l a t e r a l s i d e b r e v o l v e s a b o u t a n a x i s p a s s i n gt h r o u g h t h e e n d - p o i n t o f t h e b a s e p e r p e n d i c u l a r t o i t .

F i n d t h e v o l u m e o f t h e s o l i d o f r e v o l u t i o n .2 . S o l v e t h e s a m e p r o b l e m f o r t h e c a s e , w h e n t h e a x i s

o f r e v o l u t i o n p a s s e s t h r o u g h t h e e n d - p o i n t o f t h e b a s e

p a r a l l e l t o t h e l a t e r a l s i d e .

1 3 3 9 . 1 . A r h o m b u s w i t h t h e s i d e a a n d a n a c u t e a n g l ea r e v o l v e s a b o u t a n a x i s p a s s i n g t h r o u g h t h e v e r t e x o ft h e o b t u s e a n g l e p e r p e n d i c u l a r t o t h e s m a l l e r d i a g o n a l .F i n d t h e v o l u m e a n d s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d o f r e v o l u -t i o n .

2 . S o l v e t h e s a m e p r o b l e m f o r t h e c a s e w h e n t h e a x i so f r e v o l u t i o n p a s s e s t h r o u g h t h e v e r t e x o f t h e a c u t e

a n g l e p e r p e n d i c u l a r t o t h e s i d e o f t h e r h o m b u s .

1 3 4 0 . A s e c t o r o f a c i r c l e , w h o s e r a d i u s i s e q u a l t o Ra n d t h e a n g l e a t t h e v e r t e x t o a , r e v o l v e s a b o u t a d i a m e -t e r , w h i c h d o e s n o t i n t e r s e c t t h e a r e o f t h e s e c t o r a n df o r m s a n a n g l e P w i t h t h e n e a r e s t r a d i u s . F i n d t h e v o l u m eo f t h e s p h e r i c a l s e c t o r o b t a i n e d a n d t h e s u r f a c e a r e a o ft h e c o r r e s p o n d i n g s p h e r i c a l z o n e .

1 3 4 1 . A s e g m e n t o f a c i r c l e o f r a d i u s R , h a v i n g a n a r ee q u a l t o a , r e v o l v e s a b o u t a d i a m e t e r w h i c h d o e s n o ti n t e r s e c t t h e a r e o f t h e s e g m e n t a n d f o r m s a n a n g l e Pw i t h t h e r a d i u s d r a w n t o t h e n e a r e s t e n d - p o i n t o f t h e a r e .F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s o l i d g e n e r a t e d b y r e v o l v i n gt h i s s e g m e n t . C o m p u t e i t a t R = 5 . 7 c m , a = 9 2 ° 3 2 ' ,

= 1 6 ° 5 8 ' .1 3 4 2 . I n a r e g u l a r t r i a n g u l a r p y r a m i d t h e s i d e o f t h e

b a s e i s e q u a l t o a a n d t h e l a t e r a l e d g e i s i n c l i n e d t o t h eb a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e v o l u m e o f t h e c i r c u m s c r i b e ds p h e r e .

1 3 4 3 . T h e s i d e o f t h e b a s e o f a r e g u l a r q u a d r a n g u l a rp y r a m i d i s e q u a l t o a , a n d t h e d i h e d r a l a n g l e a t t h e

b a s e t o a . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e i n s p h e r e .

1 3 4 4 . A s p h e r e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a r e g u l a r q u a d -

r a n g u l a r p y r a m i d . F i n d t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r e i f




t h e s i d e o f t h e b a s e o f t h e p y r a m i d i s e q u a l t o a a n dt h e p l a n e a n g l e a t t h e v e r t e x o f t h e p y r a m i d t o a .

1 3 4 5 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e o f r a d i u s R i s a c y l i n d e r ,i n w h i c h t h e d i a g o n a l o f t h e a x i a l s e c t i o n i s i n c l i n e dt o t h e b a s e a t a n a n g l e a . D e t e r m i n e t h e v o l u m e o f t h ec y l i n d e r a n d c o m p u t e i t a t R = 0 . 9 2 m , a = 7 8 ° 1 2 ' .

1 3 4 6 . C i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e o f r a d i u s r i s ac o n e w i t h a n a n g l e a a t t h e v e r t e x , o f t h e a x i a l s e c t i o n .

F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e .1 3 4 7 . A c o n e i s i n s c r i b e d i n a s p h e r e o f r a d i u s R .

F i n d t h e v o l u m e o f t h e c o n e i f t h e a n g l e a t t h e v e r t e xo f t h e a x i a l s e c t i o n o f t h e c o n e i s e q u a l t o a .

1 3 4 8 . T h e a l t i t u d e o f a c o n e i s e q u a l t o H , a n d t h eg e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h es u r f a c e a r e a o f t h e i n s p h e r e . C o m p u t e i t a t H = 2 4 . 2 c m ,

a = 3 2 ° 1 4 ' .1 3 4 9 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e , t h e a r e a o f t h e g r e a t c i r c l e

o f w h i c h i s e q u a l t o Q i s a c o n e , w h o s e g e n e r a t o r i s i n c l i -n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a . F i n d t h e v o l u m e o f t h e

s p h e r e i n s c r i b e d i n t h i s c o n e .1 3 5 0 . I n s c r i b e d i n a s p h e r e i s a c o n e w i t h a n a n g l e a

a t t h e v e r t e x o f t h e a x i a l s e c t i o n . F i n d t h e t o t a l s u r f a c ea r e a o f t h e - c o n e i f t h e s u r f a c e a r e a o f t h e s p h e r e i s e q u a lt o Q . C o m p u t e i t a t Q = 3 0 4 . 6 c m 2 , a 1 2 2 ° 1 8 ' .

1 3 5 1 . A t r u n c a t e d c o n e i s c i r c u m s c r i b e d a b o u t a s p h e r e .F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e a n d t h e v o l u m e o f

t h i s c o n e i f t h e r a d i u s o f t h e s p h e r e i s e q u a l t o r , a n dt h e g e n e r a t o r i s i n c l i n e d t o t h e b a s e a t a n a n g l e a .

1 3 5 2 . A t r u n c a t e d c o n e i s i n s c r i b e d i n a s p h e r e o fr a d i u s R , a n d a n a x i a l s e c t i o n i s d r a w n . T h e b a s e s o ft h e o b t a i n e d t r a p e z i u m s u b t e n d t h e a r c s a a n d 0 ( a > P )

o f t h e g r e a t c i r c l e o b t a i n e d i n t h e s e c t i o n b y t h i s p l a n e .F i n d t h e a r e a o f t h e l a t e r a l s u r f a c e o f t h e c o n e . ( T h ea r e A i s n o t s u p e r i m p o s e d o n t h e a r e a . )



A N S W E R S

1 . ( b ) A C a n d C D a r e i n c o m m e n s u r a b l e ; A C a n d D B a r e c o m -

m e n s u r a b l e . 3 . i ( a ) ( 1 2 . 0 ) ( b ) 1 1 0 . 0 ) ( c ) ( 1 6 . 0 ) 2a n

, m - r na n d m a n n . 4 . ( a ) ( 5 ; 8 ) , ( b ) ( 6 ; 9 3 ) . 5 . i . 1 : 5 0 , 0 0 0 , 2 . i k m

9 6 0 m . 6 . 2 5 d m . 7 . 2 : 1 , 3 : 2 , 1 1 : ` 4 . 8 . 9 m . 1 0 . ( 1 ) n h ( 3 ) m h

n h

m - n m - { - n

a n d . 1 1 . N o t l e s s t h a n 9 k m . 1 2 . 3 3 m . 1 4 . 1 1 . 2 5 c m a n dm

+n

2 9 . 2 5 c m . 1 5 . 8 c m . 1 6 . 4 1 1 c m . 1 7 . 4 c m . 1 8 . 2 4 c m ; 1 2 1 c m

a n d 1 2 1 / 3 c m . 1 9 . 5 c m a n d 1 9 c m . 2 0 . 9 . 6 c m ; 7 . 2 c m a n d 5 . 4 c m .

2 1 . b . 2 2 . 1 2 c m . 2 5 . H i n t . I t i s r e q u i r e d t o . p r o v e t h a t t h e g r e a t e r

s i d e o f t h e r e c t a n g l e i s t h e f o u r t h p r o p o r t i o n a l q u a n t i t y , f o r t h eb a s e o f t h e t r i a n g l e , a l t i t u d e a n d s u m o f t h e a l t i t u d e a n d h a l f t h eb a s e . 2 7 . 3 . ( a ) c = 1 0 , a = 8 , a c = 6 . 4 , h = 4 . 8 ; ( b ) h = 3 ,c = 1 0 , a = i 0 , b = 1 V 9 - 0 ; ( c ) a c = 3 2 , ' c = 1 4 4 . 5 , b = 1 2 7 . 5 ,b e = 1 1 2 . 5 . 3 0 . 2 0 c m . 3 1 . T h e c o n s t r u c t i o n i s p o s s i b l e a t a > b ,

si f b { - 1 1 a b > a . 3 2 .

m a. 3 3 . 4 c m a n d 4 c m : 3 5 . 1 7 c m , 1 5 1 3 c m

a n d 6 1 3 c m . 3 6 . 1 . X 2 0 . 1 c m . 2 . 5 . 7 , c m . 3 7 . 3 2 c m a n d 2 4 c m ;c m . 3 8 . 2 1

3

c m a n d 8 c m . 3 9 . 1 5

7c m . 4 0 . 9 V 6 - c m

a n d 9 c m . 4 1 . f w 1 9 8 2 k m . 4 2 . ( 1 ) I f 2 , ( 2 ) 1 / 1 3 . 4 3 . 2 4 c m

a n d 1 0 c m ; 1 0 1 / ' c m . 4 4 . 2 1 / 1 3 c m . 4 5 . 7 8 c m o r 1 8 c m . 4 6 . 9 6 c m




a n d 6 0 c m . 4 7 . 1 . 2 . 5 c m . 2 . 4 0 c m . 4 8 . 4 8 c m a n d 1 2 1 / c m o r1 2 0 c m a n d 4 8 1 / c m . 4 9 . 6 4 c m a n d 3 6 c m . 5 0 . 3 c m a n d 4 c m .

5 1 . 3 . 2 c m . 5 2 . 1 5 c m . 5 3 . 2 5 c m a n d 7 c m . 5 4 . 3 h ( 1 / - 1 ) .5 6 . 1 . 5 2 d m . 2 . 1 6 c m a n d 3 0 c m . 5 7 . 1 0 c m a n d 1 7 c m . 5 9 . 1 4 c ma n d 1 2 c m . 6 0 . 1 3 d m , 8 d m a n d 7 d m . 6 1 . ( 1 ) I n a d m i s s i b l e , ( 2 ) p e r -m i s s i b l e . 6 2 . 6 7 . 6 m m . 6 3 . 2 . ( a ) P o s s i b l e , u s i n g t w o d i f f e r e n t w a y s ,( b ) i m p o s s i b l e , ( c ) p o s s i b l e , ( d ) p o s s i b l e . T r i a n g l e s a n d h e x a g o n s ;o c t a g o n s a n d s q u a r e s . 6 5 . 4 1 / 3 c m . 6 6 . 4 1 / 3 , 1 2 , 4 1 / , 4 1 r ,2 1 / 3 , 2 V - 6 . 6 7 . 4 1 C c m . 6 8 . X 1 5 . 8 c m . 7 0 . - - 3 0 . 6 c m . 7 1 .8 1 6 . 4 m m . 7 2 . 1 . 5 m . 7 4 . 3 . n R . 7 . 5 . n 3 6 9 c m . 7 6 . 1 . 2 8 8 ° . 2 .

2 1 . 6 d m . 3 . 8 c m . 4 . 1 4 4 ° . 5 . - - 1 1 1 . 6 k m . 7 7 . 4 3 7 8 .2

. 7 9 . 3 . 2 c m

a n d 8 c m . 8 0 . 1 4 4 1 / d m 2 . 8 1 . 8 1 9 . 2 d m 2 . 8 2 . - _ 1 1 . 4 2 m 2 . 8 3 -; w 1 2 . 5 6 c m 2 . 8 4 . 3 3 9 . 5 c m a . 8 5 . 2 2 c m a n d 4 6 c m . 8 6 . 1 . 3 8 4 d m 2 -

2 . - - 6 5 1 . 1 d m 2 . 8 7 . 1 8 ( u n i t ) a . 8 8 . X 3 2 9 . 9 c m 2 . 8 9 . 1 8 1 / c m 2 .

9 0 . a . 9 1 .( m + a ) a

m . 9 3 . 7 . 1 c m . 9 4 . 3 2 ( 1 / 2 - - 1 ) d m 2 .4 1 / n

9 5 . d m 2 . 9 6 . X 2 1 1 . 1 d m 2 . 9 7 . 4 8 1 / 3 c m 2 . 9 8 . 2 1 6 m 2 .

9 9 . 1 2 8 r o u b l e s . 1 0 0 . 3 3 d m 2 . 1 0 1 . 1 4 2 4 m m . 1 0 2 . 1 2 . 7 d m .1 0 3 . 1 1 . 3 3 c m 2 , 1 0 4 . 1 2 a c m 2 . 1 0 5 . 1 . 2 0 . 8 m 2 , 2 . - - 3 . 3 9 m 2 .1 0 6 . 4 8 n ( 7 - 4 1 / s ) c m 2 . 1 0 7 . X 1 0 . 5 c m 2 . 1 0 9 . a 2 . 1 1 0 . 2 5 p e r c e n t .

1 1 1 . 1 k m 2 , 4 k m . 1 1 2 . 3 9 . 4 a . 1 1 3 . 1 . 1 6 : 9 . 2 . 2 9 8 3 c m 2 . 1 1 4 . B y

1 2 5 p e r c e n t . 1 1 6 . 1 . ( a ) 0 . 4 5 9 9 ; ( c ) 0 . 9 2 3 9 ; ( f ) 0 . 0 6 5 1 ; ( h ) 0 . 0 6 7 6 ;2 . ( a ) 1 . 5 7 6 0 ; ( c ) 2 . 5 7 7 6 ; ( f ) 1 . . 0 7 5 9 ; ( h ) 0 . 5 5 2 2 . 1 1 7 . ( 1 ) 1 2 ° , 2 7 ° 3 0 ' ,8 0 ° 2 0 ' , 3 ° 1 9 ' ; ( 2 ) 3 0 ° 1 2 ' , 4 9 ° 3 2 ' , 7 9 ° 2 2 ' , 8 5 ° 8 ' ; ( 3 ) 5 1 ' , 4 4 ° 2 1 ' ,

5 1 ° 3 0 ' , 7 8 ° 1 3 ' ; ( 4 ) 4 9 ° 5 4 ' , 3 7 ° 5 8 ' , 2 5 ° 4 4 ' , 8 4 ° 4 0 ' . 1 1 8 . ( 1 ) 1 4 ° 4 7 ' ,5 8 ° 3 8 ' , 8 ° 3 2 ' , 4 4 ' ; ( 2 ) 6 4 ° , 7 5 ° 3 1 ' , 5 7 ° 5 1 ' , 8 5 ° 5 8 ' ; ( 3 ) 5 ° 1 4 ' , 8 6 ° 5 0 ' ,3 1 ° 2 ' , 8 7 ° 3 3 ' ; ( 4 ) 7 1 ° 4 0 ' , 7 ' , 5 8 ° 4 9 ' , 7 ° 3 9 ' . 1 1 9 . ( 1 ) 0 . 5 3 , 0 . 5 4 , 0 . 5 4 ,0 . 9 5 , 0 . 0 8 ; ( 2 ) 0 . 8 7 , 0 . 2 7 2 , 0 . 1 5 3 , 0 . 0 5 8 ; ( 3 ) 0 . 0 4 4 , 0 . 0 6 3 , 0 . 9 4 ,3 . 1 7 ; ( 4 ) 2 8 . 6 , 4 . 4 7 , 1 . 0 7 5 , 0 . 0 7 6 . 1 2 0 . ( 1 ) 3 2 ° , 3 ° , 4 ° 2 0 ' , 4 4 ° ; ( 2 )8 0 ° 3 5 ' , 8 6 ° 5 ' , 4 0 ° 1 5 ' , 3 1 ° 1 0 ' ; ( 3 ) 2 ° 5 0 ' , 7 0 ° 3 5 ' , 4 0 ° 5 0 ' , 5 3 ° 3 0 ' ;( 4 ) 5 0 ° 3 0 ' , 3 3 ° 1 0 ' , 8 6 ° 2 0 ' , 4 9 ° 5 3 ' .

1 2 1 .

a b ° I A B S

1 7 . 1 5 4 . 7 0 ( 8 . 5 3 ) 5 6 ° 4 1 ' 3 3 ° 1 9 ' 1 6 . 8

2 ( 3 6 0 ) 2 6 6 4 4 5 5 3 ° 3 0 ' ( 3 6 ° 3 0 ' ) 4 7 , 8 0 0

3 ( 1 6 . 4 ) 2 3 ( 2 8 . 2 ) 3 5 ° 2 5 ' 5 4 ° 3 5 ' 1 9 0

4 ( 2 8 4 ) ( 1 7 0 ) 3 3 0 5 9 ° 1 0 ' 3 0 ° 5 0 ' 2 4 , 1 0 0



A N S W E R S

1 2 2 .

1 8 9

I

a b c A I B I S

1 5 2 . 9 2 4 . 4 ( 5 8 . 3 ) ( 6 5 ° 1 4 ' ) 2 4 ° 4 6 ' 6 4 5 . 3 8

2 ( 6 3 0 m ) 4 6 6 m 7 8 4 m 5 3 0 3 0 ' ( 3 6 ° 3 0 ' ) 1 4 6 , 7 9 0 m z3 ( 6 1 . 4 ) 5 4 . 7 ( 8 2 . 2 ) 4 8 ° 2 0 ' 4 1 ° 4 0 ' 1 6 7 9 . 2 9

4 ( 4 2 8 m ) ( 7 1 0 m ) 8 2 9 m 3 1 ° 5 ' 5 8 ° 5 5 ' 1 5 1 , 9 4 0 m 2

1 2 3 .

1 2 9 . 8 1 9 . 8 ( 3 5 . 8 ) ( 5 6 ° 2 4 ' ) 3 3 ° 3 6 ' 2 9 5 . 0 2

2 ( 3 0 6 m ) 6 1 5 m 6 8 7 m 2 6 ° 2 8 ' ( 6 3 ° 3 2 ' ) 9 4 , 0 9 5 m 23 1 7 . 5 ( 1 4 . 6 ) ( 2 2 . 8 ) 5 0 ° 1 2 ' 3 0 ° 4 8 ' 1 2 7 . 7 5

4 ( 2 8 4 m ) ( 1 7 0 m ) 3 3 1 m 5 9 ° 6 ' 3 0 ° 5 4 ' 2 4 , 1 4 0 m 2

1 2 4 .

I G = C I b I A = C B I h I h , I 2 P I S

1 ( 5 9 0 m ) 6 5 0 m ( 5 6 ° 3 6 ' ) 6 6 ° 4 8 ' - - - 1 6 0 1 a2 ( 2 7 6 m ) 4 8 5 m 2 8 ° 3 0 ' ( 1 2 3 0 ) - - - - 3 1 , 9 5 0 m 23 1 9 . 8 ( 2 5 . 6 ) ( 4 9 ° 4 5 ' ) 8 0 ° 3 0 ' - - 1 9 3 . 5

4 4 8 7 . 5 ( 5 4 7 . 8 ) 6 9 ° 3 9 ' 4 0 0 4 2 ' - - - 2 0 2 , 2 0 0

1 2 5 .

1 ( 8 7 . 5 ) ( 1 3 9 . 6 ) 3 7 ° 0 5 ' 1 0 5 ° 5 0 ' - - - 3 6 8 3

2 8 5 . 9 ( 9 2 . 6 ) 5 7 ° 2 4 ' 6 5 ° 1 2 ' ( 7 2 . 4 ) - - 3 3 5 2

3 ( 2 0 0 m ) 1 9 7 m 6 0 ° 2 7 ' 5 9 ° 0 6 ' ( 1 7 4 m ) - - 1 7 , 1 3 9 m 24 7 0 3 ( 8 2 0 ) 5 4 ° 1 8 ' 7 1 ° 2 4 ' - ( 6 6 6 ) - 2 3 4 , 0 9 9

1 2 6 .

1 6 8 . 6 ( 1 2 0 . 7 ) 2 8 ° 2 2 ' 1 2 3 ° 1 6 ' ( 3 2 . 6 ) - - ( 1 9 7 0 )

2 1 0 0 . 2 m 3 8 . 2 m 7 9 ° 0 1 ' 2 1 ° 5 8 ' ( 9 8 . 4 m ) - - ( 1 S 8 1 i m 2 )3 1 5 6 . 4 9 3 . 7 ( 7 2 ° 3 6 ' ) 3 4 ° 4 8 ' - - ( 4 0 6 , 5 ) 6 9 8 2

4 ( 1 6 ) 8 . 6 7 4 ° 2 9 ' 3 1 ° 0 2 ' - - - ( 6 6 )

1 2 7 . 4 5 ° 3 4 ' . 1 2 8 . - . 2 2 0 0 m . 1 2 9 . : . 3 . 5 k m . 1 3 0 . - - 0 . 3 5 m . 1 3 1 .X 8 . 7 m 2 . 1 3 2 . 6 6 ° 0 2 ' . 1 3 3 . 3 0 ° 0 2 ' . 1 3 4 . X 4 0 . 6 c m . 1 3 6 . X 4 8 m .

1 3 7 . - - 5 . 6 m ; X 2 4 ' . 1 3 8 . 2 0 . 1 N a n d 3 6 . 9 N . 1 3 9 . c 5 4 N a n d




7 3 N . 1 4 0 . 1 . k ; 2 6 0 N . 2 . ; : e 2 3 . 8 m . 1 4 1 . - - 1 0 ° 1 0 ' a n d 8 . 4h m

1 4 2 . T h e m i s t a k e i s 1 ° 1 0 ' . 1 4 3 . X 2 7 4 c m . 1 4 4 . X 3 . 8 7 k m . 1 4 5 . 6 5 ° 9 ' ,

1 1 4 ° 5 1 ' , 8 . 5 i n . 1 4 6 . 6 9 ° 2 7 ' , 4 1 ° 0 6 ' . 1 4 7 . X 1 3 c m . 1 4 8 . - - 5 . 5 c m ,22 . 3 c m . 1 4 9 . 1 0 0 ° 2 8 ' . 1 5 0 . X 1 0 . 6 c m . 1 5 1 . ( 1 )

s n a . ( 2 ) s n a .1 5 2 . 1 . - - 6 4 . 6 c m . 2 . X 1 1 . 3 c m . 1 5 3 . 1 . X 5 7 6 . 8 c m . 2 . X 1 3 c m .

1 5 4 . d [ 1 / 2 c o s ( 4 5 ° - a ) + c o t 2 ] 5 9 . 3 c m . 1 5 5 . 7 0 ° 3 2 ' ,

4 0 - b e3 8 ° 5 6 ' . 1 5 6 . 5 6 ° 1 9 ' a n d 3 3 ° 4 1 ' . 1 5 7 . X 2 1 9 m 2 . 1 5 8 . 2 a r e c o t

b - { - 2 a

1 5 9 .c o s

2 a( 4 5 ' 2 a ) ' 2 c o s t ( 4 5 ° - a ) ' N O . 5 6 ° 1 9 ' , 3 3 ° 4 1 ' . 1 6 1 .

P c o s aa. 1 6 2 . R ( u + 2 t a n 2 ) . M . 2 0 . 6 c m . 1 6 4 . 5 4 ° 1 9 ' .

c o s t4

1 6 5 . N 5 . 3 c m . 1 6 6 . i w 5 6 . 4 d m a n d 9 8 d m . 1 6 7 . 4 4 ° 3 6 ' , 1 3 5 ° 2 4 ' .1 6 8 . X 1 1 0 c m a n d 7 8 c m . 1 6 9 . X 6 4 . 9 c m a n d 6 5 . 6 c m . 1 7 0 . - - 9 . 3 c m

a n d 1 3 . 6 c m . 1 7 2 . X 1 3 3 4 . i n . M . - - 4 5 8 k m . 1 7 4 . X 1 1 . 2 N . 1 7 5 .1 2 8 ° 1 4 ' a n d 1 4 0 ° 0 1 ' . 1 7 6 . 9 3 ° 3 7 ' . 1 7 7 . 1 . 1 0 m , 8 m a n d 6 i n . 9 0 ° ,

5 3 ° 8 ' a n d 3 6 ° 5 2 ' . 2 . 1 2 6 d m , 5 0 d m , 1 0 4 d m , 1 0 4 ° 1 5 ' , 2 2 ° 3 7 ' , 5 3 ° 8 ' .1 7 8 . : . . 1 . 2 2 5 . 1 7 9 . X 1 7 . 3 c m . 1 8 0 . 5 6 ° 2 ' . 1 8 1 . - - 7 8 . 6 c m , 5 1 . 3 c m ,3 9 . 9 c m . 1 8 2 . ^ ^ 1 8 . 3 c m . 1 8 3 . - - 2 0 8 . 3 i n . 1 8 4 . - - 9 0 m . M . - - 1 0 . 7 i n .1 8 6 . - ~ 5 1 . 3 N o r 2 5 . 7 N . 1 8 7 . ( 1 ) 5 8 3 . 2 m 2 ; ( 2 ) 9 5 8 . 1 d m 2 , ( 3 )3 1 , 2 5 0 m 2 . 1 8 8 . 6 2 ° 4 4 ' o r 1 1 7 ° 1 6 ' . 1 8 9 . ( 1 ) 8 6 5 . 2 d m 2 ; ( 2 ) 2 6 . 4 m 2 ;( 3 ) 4 1 6 5 m 2 . 1 9 0 . 5 3 ° 1 2 ' a n d 1 2 6 ° 4 8 ' . 1 9 1 . ( 1 ) 1 8 3 1 m e ; ( 2 ) 2 8 0 . 2 c m 2 .1 9 2 . ( 1 ) 3 2 3 . 9 c m 2 ; ( 2 ) S = 0 . 0 8 1 0 6 ( u n i t ) 2 . 1 9 3 . ( 1 ) 3 2 . 1 5 d m 2 ;( 2 ) 7 1 9 . 5 c m 2 . 1 9 4 . ( 1 ) 8 9 9 . 3 c m 2 ; ( 2 ) S = 0 . 1 8 c m 2 . 1 9 5 . 2 R 2 s i n a .

1 9 6 . 2 R 2 s i n a X s i n P s i n ( a + ) .1 9 9 .

a b I ° I A B C S

( 4 4 ) ( 5 8 ) ( 6 2 ) 4 2 ° 5 1 ' 6 3 ° 4 3 ' 7 3 ° 2 6 ' 1 2 2 3

2 ( 2 9 ) ( 4 4 ) ( 5 9 ) 2 8 ° 1 2 ' 4 5 0 4 7 ' 1 0 6 ° 1 ' 6 1 3 . 2

3 ( 2 7 2 . 4 ) ( 1 0 3 5 ) ( 1 3 0 5 ) 1 ° 4 4 ' 6 ° 3 4 ' 1 7 1 ° 4 2 ' 2 0 3 4

2 0 0 .

1 ( 4 2 0 ) ( 3 7 1 ) 4 4 0 6 1 ° 3 9 ' 5 1 ° 2 ' ( 6 7 ° 1 9 ' ) 7 1 , 9 0 0

2 ( 2 2 . 9 ) 1 4 . 7 ( 1 6 . 9 ) 9 2 ° 3 6 ' ( 3 9 ° 5 2 ' ) 4 7 ° 3 1 ' 1 2 4 . 1

3 ( 3 8 ) ( 5 2 ) 1 2 2 ° 3 4 ' 2 3 ° 5 1 3 3 ° 3 6 ' 8 3 2 . 8



A N S W E R S

2 0 1 .

1 9 1

1 ( 7 3 0 ) 1 0 6 8 8 3 1 4 3 ° 1 ' ( 8 6 ° 3 ' ) ( 5 0 ° 5 6 ' ) 3 0 2 , 7 0 0

2 5 . 9 ( 1 3 . 2 ) 9 . 0 2 1 ° 4 8 ' ( 1 2 3 ° 4 ` 2 ' ) 3 4 ° 3 0 2 2 . 0 3

3 4 3 7 m 4 2 9 . 5 m

7 . 5 m ) ( 8 7 0 5 5 ' )

7 9 ° 1 2 ' ( 1 2 ° 5 3 ' ) 2 0 , 9 2 0 m 2

2 0 2 .

1 ( 2 8 . 9 ) ( 2 2 . 4 ) 2 1 . 9 ( 8 1 ° 2 2 ' ) 5 0 ° 1 ' 4 8 ° 3 7 ' 2 4 2 . 9

( 3 5 4 ) ( 5 2 0 ) - ( 4 3 ° 5 5 ' )3 ( 4 0 2 m ) 3 8 3 m ( 2 5 8 m ) 7 4 ° 4 8 ' 6 6 ° 5 6 ' ( 3 8 ° 1 6 ' ) 4 7 , 7 1 0 m 2

2 4 8 i n 1 0 5 ° 1 2 ' 3 6 ° 3 2 ' 3 0 , 8 7 0 m 2

2 0 3 .

1 ( 0 . 3 8 ) ( 0 . 5 9 ) 0 . 6 5 3 5 ° 2 6 ' ( 6 4 ° 1 1 ' ) 8 0 ° 2 3 ' _ 0 . 1 1 0 6

2 3 8 . 0( 4 5 . 5 ) ( 2 5 . 0 ) 5 6 ° 4 1 ' 9 0 ° ( 3 3 0 1 9 ' ) 4 7 5

3 ( 1 0 5 4 m ) 1 1 7 1 m ( 1 3 5 0 m ) ( 4 8 1 4 6 ' ) 5 6 ° 4 4 ' 7 4 ° 3 0 5 9 4 , 8 0 0 m 26 0 8 m 2 5 ° 4 4 ' 1 0 5 ° 3 0 ' 3 0 8 , 8 0 0 m 2

2 0 4 .

1 1 7 . 7 1 5 . 1 1 1 . 1 ( 8 3 ° 1 7 1 ) ( 5 8 ° 1 6 ' ) 3 8 ° 2 7 ' 8 3 . 2

2 3 2 . 9 3 7 . 5 4 5 . 5 ( 4 5 ° 2 8 ' ) ( 5 4 ° 2 3 ' ) 8 0 ° 9 ' ( 6 0 9 . 1 )3 1 7 8 . 2 2 0 0 . 3 5 5 . 7 5 9 0 7 ' ( 1 0 5 ° 2 0 ' ) ( 1 5 ° 3 3 ' ) 4 7 8 7

2 0 5 .

1 2 1 1 . 7 2 2 7 . 3 5 6 . 9 6 7 ° 1 0 ' ( 9 8 ° 3 0 ' ) ( 1 4 ° 2 0 ' ) 5 , 9 5 8

2 2 6 9 . 3 2 1 9 , 8 2 4 5 . 8 ( 7 0 ° 2 4 ' ) ( 5 0 ° 1 6 ' ) ( 5 9 ° 2 0 ' ) 2 5 , 4 5 0

3 6 7 . 1 3 3 . 1 4 9 . 0 ( 1 0 8 ° ) ( 2 8 ° ) 4 4 ° 7 7 2 . 7

2 0 6 .

1 1 5 . 7 3 1 . 6 3 9 . 6 ( 2 2 ° ) ( 4 9 0 ) 1 0 9 ° 2 3 4 . 7

2 ( 3 2 . 5 m ) 1 1 6 . 5 m 9 9 . 0 m 1 4 ° 4 1 '

( 1 : )

1 4 ° 5 0 5 0 ° 2 9 ' ( 1 4 6 0 )

3 ( 7 2 ) ( 5 2 ) 4 8 9 2 ° 2 2 ' 4 6 ° 1 1 4 1 ° 2 7 ' 1 2 4 0



1 9 2

2 0 7 .

P R O B L E M S I N G E O M E T R Y

1 1 4 . 6 4 . 0 1 3 . 1 1 0 5 ° 1 4 ' 1 5 ° 1 3 ' 5 9 0 3 3 ' ( 2 5 )

2 ( 1 2 0 m ) ( 2 9 . 6 m ) 1 3 5 . 2 m 5 3 ° 3 0 ' 1 1 ° 2 6 ' 1 1 5 ° 4 ' 1 6 0 8 . 8 8 m 21 0 0 . 0 m 1 2 6 ° 3 0 ' 4 2 ° 4 ' 1 1 9 0 m 2

3 3 3 . 9 2 2 . 6 1 5 . 1 1 2 7 ° 1 0 ' 3 2 ° 6 ' 2 0 0 4 4 ' 1 3 5 . 6

2 0 7 . ( 3 ) H i n t . F i r s t f i n d t h e r a t i o o f t h e s i d e s o f t h e t r i a n g l e a n d

t h e n i t s a n g l e s . 2 0 8 . ( 1 ) 8 4 ; ( 2 ) 9 0 ; ( 3 ) 1 5 ; ( 4 ) 6 9

3

; ( 5 ) 3

2

.

2 0 9 . ( 1 ) 1 4 c m ; 1 6 c m ; 1 8 c m ; ( 2 ) 3 6 c m ; 4 0 c m ; 6 8 c m . 2 1 0 . 5 7 6 c m 2 .2 1 1 . 1 6 . 8 d m 2 . 2 1 2 . 4 8 9 6 c m 2 . 2 1 3 . 1 9 . 2 d m 2 . 2 1 4 . 5 7 6 c m 2 . 2 1 5 .

1 2 0 c m . 2 1 6 . s e 6 9 . 8 c m 2 . 2 1 7 . - - 9 3 c m 2 . 2 1 9 . ( 1 ) 1 a n d 2 . 5 ; ( 2 ) 2 3

a n d 2 4

6; ( 3 ) 4 a n d 8 1 . . 2 2 0 . P o s s i b l e . 2 2 4 . 4 c m a n d 2 1

4

c m .

2 2 5 . h = 3 . 2 2 6 . - 1 2 5 6 c m 2 . 2 2 7 . 1 7 c m a n d 2 8 c m . 2 2 8 . - 2 0 7 c m 2 .

2 2 9 . 3 c m a n d 6 . 2 5 c m . 2 3 0 . ( 3 + i ) d m 2 . 2 3 1 . 1 4 4 0 c m 2 .2 3 3 . ( 1 ) 2 0 0 - / 2 c m 2 a n d X 2 9 4 c m 2 , ( 2 ) : , 3 3 1 c m 2 a n d X 3 2 5 c m 2 .2 3 4 . ; . . 9 . 4 c m a n d , ^ j 9 . 3 c m . 2 3 5 . 1 4 4 c m 2 . 2 3 6 . 3 0 0 c m 2 . 2 3 7 .

°4 . 0 4 n c m 2 . 2 3 8 .

4 2

nc o t 1 1 8 0 . 2 3 9 . , 3 9 ° 1 8 ' w i t h r e s p e c t t o t h e

nd i r e c t i o n o f A C . A B 6 6 1 m . 2 4 0 . I - B C D = 5 7 ° 6 ' , X 2 5 8 m .

2 4 1 . L A C 1 C 2 = 1 2 9 ° 1 8 ' ; - - 5 0 h r . 2 4 2 . L B A X = 7 8 ° 5 1 ' . 2 4 3 .

L C A Y = 5 8 ° 5 1 . 2 4 4 . L A M C = 7 5 ° 5 0 ' . 2 4 5 . X 8 6 . 6 N ; 9 0 °

a n d 3 0 ° . 2 4 6 . ( 1 ) , : x 6 1 . 9 N ; 4 , 7 ° 5 6 ' . ( 2 ) , s 1 7 4 . 7 N a n d 2 1 5 . 4 N .2 4 7 . - - 4 6 . 3 c m a n d 3 9 . 4 c m . 2 4 8 . a e 1 9 5 . 5 d m 2 . 2 4 9 . d k =

a - s i n [ 1 8 0 ° ( k + i ) ]L .

1 8 0 °k = 1 , 2 , . . . , n

2

2i f n i s e v e n ,

s i n -n

k = 1 , 2 , . . . , n2

3 i f n i s o d d . 2 5 0 . 4 R ( s i n 2 a c o s a + c o s 2 a ) .

2 5 1 . R ( 2 - } - 3 ) , R ( 1 / 2 - + - 1 ) , R . 2 5 2 . a V 3 - ( 2 n 3 a ) 2 5 3 .6 c o s

2

2 R ( s i n 2 + s i n 2 + 2 c o s a2 ) . 2 5 4 . 1 4 4 c m 2 . 2 5 5 . O f t h e

n R 2 s i n ga

r h o m b u s . 2 5 7 . X 6 1 9 . 4 c m 2 . 2 5 8 . 2 2 5 9 .

4 c o s 4 ( 4 5 °

4 )



A N S W E R S 1 9 3

2 ( a - b ) 2 X s i n a . 2 6 0 . 1 0 0 ( 3 n + ) c m 2 . 2 6 1 . - - 3 5 . 2 c m 2 .

2 6 2 . 1 2 4 c m 2 . 2 6 3 . 1 5 3 . 6 c m 2 . 2 6 4 . 4 0 2 . 2 5 d m 2 . 2 6 5 . 2 . 2 c m a n d

X 1 0 . 8 c m . 2 6 6 . ; . . 1 5 . 2 c m a n d 1 7 . 1 c m . 2 6 7 . 1 . 2 6 8 . ( 1 ) 2 4 9 6 c m 2 ;( 2 ) 2 4 0 c m 2 . 2 6 9 . 1 4 . 1 c m 2 . 2 7 0 . 1 . N o . 2 7 1 . ( d ) G e n e r a l l y s p e a k i n g ,n o n e . 2 7 4 . 1 . ( b ) I n v a r i o u s p l a n e s p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t M .

2 . O n e o r f o u r , o r s i x . 3 . C a n n o t . 2 8 8 . 8 i c m 2 . 2 9 2 . O n e o r n o n e .2 9 3 . 1 . ( a ) S k e w , o r i n t e r s e c t i n g , ( b ) , ( c ) s k e w , o r i n t e r s e c t i n g , o rp a r a l l e l . 2 . ( a ) P a r a l l e l , o r c o i n c i d e s , ( b ) , ( c ) s k e w , o r i n t e r s e c t i n g .3 . ( a ) S k e w , o r i n t e r s e c t i n g , ( b ) e i t h e r s k e w , o r i n t e r s e c t i n g , o rp a r a l l e l . 2 9 4 . - - 5 4 ° 4 4 ' . 2 9 5 . 8 3 ° 4 9 ' . 2 9 6 . 2 . E i t h e r p e r p e n d i c u l a r ,o r i n c l i n e d , o r p a r a l l e l , o r c o n t a i n e d i n t h e p l a n e a . 2 9 8 . 1 . a n d 2 .

S i n g l e . s o l u t i o n . 3 0 4 . 1 . M a n y s o l u t i o n s . 2 . S i n g l e s o l u t i o n . 3 0 9 .a 6 6 . 3 1 0 . 2 . S i n g l e s o l u t i o n . 3 1 4 . ; . 4 . 2 d m a n d 1 . 1 d m . 3 1 5 .

A M = B C . 3 1 6 . 1 0 c m , 7 . 5 c m , - - 1 1 . 7 c m . 3 1 7 . 1 6 m 2 . 3 1 8 . - - 5 3 . 4d m . 3 1 9 . 3 S c m . 3 2 0 . 1 3 c m . 3 2 1 . 3 c m , X 7 . 9 c m , X 1 3 . 1 c m ,

1 5 c m . 3 2 2 . 2 4 c m 2 . 3 2 3 .

3

1 / 9 b 2 - 3 a 2 . 3 2 4 . 1 0 c m a n d - - 8 . 5 c m .

3 2 5 . 6 c m . 3 2 6 . 1 2 c m . 3 2 7 . 4 c m . 3 2 8 . 4 c m . 3 2 9 . 1 7 c m , 2 5 c m ,

1 7 o r b . 3 3 0 . 1 6 c m . 3 3 1 . 5 c m . 3 3 2 . 4 ' n 2 m 2 + Q 2 a n d 4 n 2 Z 2 + . Q 2 .

3 3 3 . X 1 5 . 8 N . 3 3 4 . 9

7

c m a n d 6 c m . 3 3 8 . 1 . 2 5 ° 6 ' , 3 4 ° 2 7 ' ,

4 5 ° . 2 . 3 5 ° 1 6 ' . 3 4 0 . 5 4 ° 4 4 ' . 3 4 1 . . - - 5 4 ° 4 4 ' a n d 6 5 ° 5 4 ' . 3 4 2 . 1 . 5 1 .

3 4 3 . - - 3 . 5 c m . 3 4 4 . 1 .1 / 1 '

a s 2 . 2 . 2 h , h , 2 h .3 4 5 .

2 2 3

3 i c m , 7 0 ° 3 2 ' . 3 4 6 . ; . . 2 . 8 c m . 3 4 7 . 6 0 ° a n d 1 2 0 ° . 3 4 8 . - - 4 3 . 6 c m .

3 4 9 . 4 5 ° a n d 3 0 ° . 3 5 0 . a , 4 5 ° . 3 5 1 .8

a 2 . 3 5 2 . 3 0 ° . 3 5 3 . ( 1 ) a V 6 .( 2 ) ' 1 2 0 ° . 3 5 4 . 1 3 c m . 3 5 5 . 1 . ( a ) E i t h e r p a r a l l e l , o r s k e w ; ( b ) e i t h e rp a r a l l e l , o r s k e w , o r i n t e r s e c t i n g ; ( c ) e i t h e r s k e w , o r i n t e r s e c t i n g .2 . ( c ) E i t h e r i n t e r s e c t i n g , o r s k e w , o r p a r a l l e l . 3 5 6 . 1 . ( a ) P a r a l l e lt o t h e s t r a i g h t l i n e , o r p a s s e s t h r o u g h i t ; ( b ) e i t h e r i n t e r s e c t s t h es t r a i g h t l i n e , o r i s p a r a l l e l t o i t ; ( c ) e i t h e r p a r a l l e l t o t h e s t r a i g h tl i n e , o r i n t e r s e c t s i t , o r p a s s e s t h r o u g h i t . 2 . ( a ) E i t h e r i n t e r s e c t ,o r a r e s k e w ; ( b ) p a r a l l e l . 3 6 1 . P a r a l l e l o g r a m , r h o m b u s , t r a p e z i u mw i t h t h e b a s e s A B a n d C D . 3 6 2 . 2 . T h e p r o b l e m h a s n o s o l u t i o n i f b

i s p a r a l l e l t o a . 3 6 4 . 2 . N o s o l u t i o n i f t h e g i v e n s t r a i g h t l i n e i s p a r a l l e lt o t h e g i v e n p l a n e a n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e n . t h e p o i n t a n d p l a n e ,

a n d b e t w e e n t h e s t r a i g h t l i n e a n d p l a n e a r e d i f f e r e n t . 3 6 5 . 1 .M a n y s o l u t i o n s i f t h e g i v e n p o i n t s l i e o n a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e lt o t h e g i v e n o n e . 2 . N o s o l u t i o n i f t h e g i v e n l i n e s i n t e r s e c t . 3 . O n es o l u t i o n , o r m a n y s o l u t i o n s . 3 6 9 . 3 7 c m . 3 7 0 . 2 2 . 5 c m . 3 7 1 . 6 8 c m .3 7 2 . X 9 1 . 6 c m . 3 7 4 . 2 0 c m . 3 7 5 . 2 0 c m . 3 7 6 . 2 8 c m o r X 4 1 . 0 c m .3 7 7 . 3 0 ° . 3 7 8 . 0 . 5 d m 2 , - - 0 . 7 d m . 3 7 9 . M a n y s o l u t i o n s . 3 8 1 . 1 8 9 c m 2 .

3 8 2 . 4 a 2 1 / 7 - . 3 8 3 . 2 4 a 2 . 3 8 4 . , - - 1 7 3 . 2 c m 2 . 3 8 5 . 1 6 a 2 1 .




3 9 4 . 1 5 c m a n d 1 5 c m . 3 9 5 . 1 2 c m . 3 9 6 . 3 6 8 . 6 4 c m a . 3 9 7 . 8 5 c m .3 9 8 . 3 2 c m . 3 9 9 . 4 0 c m . 4 0 0 . 6 5 c m . 4 0 1 . 5 2 c m . 4 0 2 . 1 8 0 d m 2 .

4 0 4 . 2 ( 2 - V 5 + i / 1 7 ) . 4 0 5 . 2 5 2 d m a . 4 1 3 . 2 . T w o p l a n e s . 3 . F o u r

s t r a i g h t l i n e s p e r p e n d i c u l a r t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g t h e , g i v e n l i n e s .4 1 8 . 1 . T w o p l a n e s . 2 . T w o p l a n e s . 4 1 9 . L e t a b e t h e g i v e n a n g l e ,a n d 0 t h e a n g l e b e t w e e n t h e g i v e n s t r a i g h t l i n e a n d t h e g i v e n p l a n e .T h e n , i f a < P - n o s o l u t i o n , i f a = P - o n e s o l u t i o n , i f S < a <

< 9 0 ° - t w o s o l u t i o n s , i f a = 9 0 ° - o n e s o l u t i o n . 4 2 0 . 4 0 ° a n d

1 4 0 ° . 4 2 1 . 2 ,a , a ,

a . 4 2 3 . - - 6 . 3 m . 4 2 4 . - - 1 0 . 4 c m . 4 2 5 .2 2

6 0 ° . 4 2 6 . 6 0 ° . 4 2 7 . 1 . - - 5 4 ° 4 4 ' . 2 . a r e t a n ( 2 t a n a ) . 3 . - - 7 0 ° 3 2 ' .4 2 8 . - - 5 4 ° 4 4 ' . 4 2 9 . - - 6 5 ° 2 2 ' . 4 3 0 . - - 1 1 1 ° 6 ' . 4 3 1 . - - 1 2 4 ° 1 4 ' , 4 1 ° 2 4 .4 3 2 . - - 6 6 ° 2 ' . 4 3 3 . 4 c m . 4 3 4 . 4 5 c m . 4 3 5 . 4 - V 2 c m a n d 8 c m . ,4 3 6 . 9 c m . 4 3 7 . 1 6 - / 3 c m a n d 5 0 c m . 4 3 8 . - - 1 8 . 4 c m o r 2 6 . 4 c m .4 3 9 . 6 0 ° , 7 5 c m a . 4 4 0 . - - 1 0 4 d m 2 . 4 4 1 . - - 2 5 5 c m 2 . 4 4 2 . 1 0 8

a a

c m a ' . 4 4 3 . a c m 2 . 4 4 4 . n ( d 4 1 ) . 4 4 5 . a 2 ( / . 4 4 6 . T w o

t i m e s , 6 0 ° . 4 4 7 . 4 0 i c m 2 . 4 4 8 . 2 0 0 c m a . 4 4 9 . 1 0 d m a . 4 5 0 . 2 0 ( u n i t ) e .4 5 1 . 1 4 4 c m a . 4 5 2 . 7 5 c m a a n d - - 1 4 0 c m a . 4 5 3 . 1 0 c m . 4 5 5 . 1 . ( b ) ,

( c ) p o s s i b l e ; ( a ) , ( d ) , ( e ) , ( f ) i m p o s s i b l e . 2 . ( a ) , ( c ) p o s s i b l e ; ( b ) , - ( d )i m p o s s i b l e . 4 5 6 . ( a ) 1 3 ° 3 0 ' < x < 1 5 8 ° ; ( b ) 2 6 ° 3 0 ' < x < 1 6 2 ° .

4 5 7 . ( 3 ) T h e p l a n e a n g l e s o f t h e t r i h e d r a l a n g l e s a t t h e v e r t i c e so f t h e b a s e : o n e - 6 0 ° , t h e t w o o t h e r s a r e e q u a l t o e a c h o t h e r , e a c hb e i n g m o r e t h a n 3 0 ° , b u t l e s s t h a n 9 0 ° . T h e p l a n e a n g l e s o f t h et r i h e d r a l a n g l e a t t h e v e r t e x a r e e q u a l t o o n e a n o t h e r . E a c h o f t h e mi s m o r e t h a n 0 ° , b u t l e s s t h a n 1 2 0 ° . 4 5 8 . 6 0 ° . 4 5 9 . A t t h e v e r t e x

6 0 ° e a c h , a t t h e b a s e 9 0 ° , 6 0 ° , 6 0 ° . 4 6 0 . A t t h e v e r t e x 4 8 ° 1 2 ' e a c h ,a t t h e b a s e 9 0 ° , 6 5 ° 5 4 ' , 6 5 ° 5 4 ' . 4 6 1 . 6 0 ° . 4 6 2 . 6 0 ° e a c h . 4 6 3 . 7 5 ° 3 1 ' .

4 6 4 . ( 1 ) - - 3 5 ° 1 6 ' ; ( 2 ) 9 0 ° . 4 6 5 . a s i . 4 6 6 . - - 6 2 . 4 c m a . 4 6 7 . 3 a .

4 6 8 . 6 5 c m . 4 6 9 . 2 . n = 3 . 1 8 , 9 . 6 , n = 4 , 2 4 , 1 2 , 8 , n = 6 , 3 6 ,1 8 , 1 2 . 3 . 1 4 4 0 ° ; 2 1 6 0 ° , 7 2 0 ° ( n - 1 ) . 4 7 0 . 1 . 0 , 4 , 1 0 , n ( n - 3 ) .

2 . 0 , 1 , n - 3 . 3 . 2 , 5 , n ( n 2 3 ) . 4 7 1 . 2 . n - 2 . 4 8 0 . 1 . 7 0 ° 3 2 ' .

2 . - - 3 3 ° 1 2 ' , - - 5 0 ° 1 2 ' , - - 6 2 ° . 4 8 1 . d r 3 . 4 8 2 . u 1 4 . 1 c m . 4 8 3 . ( a )

5 0 c m , ( b ) 2 9 c m . 4 8 4 . a / ; 2 a V 4 - ; 4 9 ° 6 ' , 4 5 ° . 4 8 5 . ( 1 ) 2 a , a j / 5 ,a

( 2 ) 34 7 a

, ( 3 ) a V 1 1 " 7 I /, 2 a 7 . 4 8 7 . 4 c m , 4 1 c m , 4 c m .

4 8 8 . 6 c m , 8 c m , 2 4 c m . 4 8 9 . m 2 + n 2 - F m n a n d V m 2 +n 2 + 3 m n .4 9 0 . ( 2 ) 2 a 1 / 1 3 . 4 9 1 . 1 2 0 ° . 4 9 2 . 2 0 c m a n d 1 2 J / 2 c m . 4 9 3 .



A N S W E R S 1 9 5

a 2 T 3 - a 2 1 - 3- - 2 2 c m a n d ; z - , 2 8 c m . 4 9 4 . a , 2 a 2 3 3 ' 2 Y 3 ' 2 3

4 9 5 . 1 3 c m a n d N 2 9 . 6 c m . 4 9 6 . 1 . ( a ) Y e s , ( b ) y e s , ( c ) y e s . 2 . ( a ) Y e s , ( b )

n o , ( c ) n o . 3 . S q u a r e , r e c t a n g l e , p a r a l l e l o g r a m , r h o m b u s , t r a p e z i u m .

4 9 7 . 1 5 / c m , 2 5 1 / 3 c m 2 . 4 9 8 . 8 ( 2 1 / 1 7 + 5 1 V + 1 / 6 5 ) .

4 9 9 . p = 4 ( 1 / z + 2 1 / 1 0 ) c m , S =5 6

31 1

c m . 5 0 0 . 3 a 1 r ,- V "

5 0 1 . 3 a ,a $

23 . 5 0 2 . 2 a 1 , 2 a s 1 r 6 . 5 0 3 . Q 1 / 2 .

5 0 4 . 2 . 5 0 5 . ( a ) 3 2 c m 2 , ( b ) X 3 1 . 2 c m 2 , ( c ) ; , 4 5 . 5 c m 2 . 5 0 6 .2 5 0 c m 2 ; 5 3 ° 8 ' . 5 0 7 . a 2 . 5 0 8 . 6 0 0 c m 2 a n d X 5 8 8 c m 2 . 5 0 9 . ( 1 ) 5 0 c m 2 .( 2 ) 5 c m , 1 4 1 . 4 c m 2 . 5 1 0 . 2 0 0 c m 2 . 5 1 1 . 1 . 4 1 0 c m 2 . 2 . 1 2 c m

a n d 1 6 c m . 5 1 2 . 4 8 c m 2 a n d 8 4 c m 2 . 5 1 3 . a b , a b , 2 1 / 3 a 2 + 4 b 2 .

5 1 4 . a 2 a n d a 2 1 / . W . 9 2 2a n d 3 a 2 . M . 1 . ( a ) 7 2 0 ° , ( b ) 1 0 8 0 ° ,

( c ) 1 4 4 0 ° , ( d ) 3 2 4 0 ° , ( e ) 3 6 0 ° ( n - 1 ) . 2 . 1 1 . 5 1 7 . ( a ) Y e s , ( b ) y e s ,

( c ) n o , ( d ) y e s , ( e ) n o , ( f ) y e s . 5 1 8 . ( a ) Y e s , ( b ) n o , ( c ) y e s , ( d ) n o ,( e ) b o t h y e s a n d n o ( f ) b o t h y e s a n d n o , ( g ) y e s . 5 2 7 . 2 0 c m . 5 2 8 . ( 1 )4 8 c m , ( 2 ) 6 7 ° 2 3 ' ; Q ) 8 2 ° 3 0 ' ; 7 1 ° 3 4 ' ; 8 2 ° 3 0 ' . 5 2 9 . ( 1 ) - - 4 5 . 4 c m a n d

~ - 4 5 . 4 c m , ( 2 ) 4 1 2 6 ' , ( 3 ) - - 6 7 8 . 8 c m 2 ; 4 5 ° . 5 3 0 . 7 3 ° 5 4 ' ; 8 1 ° 4 7 ' .5 3 1 . 6 c m a n d ~ - 8 . 9 c m . 5 3 2 . ( 1 ) 4 8 c m 2 ; - ~ 4 4 . 4 c m 2 a n d - - 4 4 . 4 c m 2 .

2 . ( a ) 5 3 ° 8 ' a n d 5 7 ° , ( b ) 1 3 0 ° 2 4 ' . 5 3 3 . 9 0 ° . 5 3 4 . 1 6 2 c m 2 a n d 2 7 0 c m 2 .5 3 5 . Q . 5 3 6 . 3 6 0 c m 2 a n d 2 4 0 c m 2 . 5 3 7 . 4 0 0 c m 2 a n d 1 0 0 c m 2 . 5 3 8 .

1 2 1 c m 2 o r 5

8

c m 2 . 5 3 9 . ( 1 ) - V 2 - - l , ( 2 ) 1 , ( 3 ) 1 : 2 , ( 4 ) ( 1 / - - V - m ) :

5 4 0 . 3 6 c m . 5 4 1 . a - m 1 / . 5 4 2 . 1 4 d m 2 . 5 4 3 . 7 2 0 c m ,m V

3 6 ° 5 2 ' . 5 4 4 . 9 6 : 2 5 . 5 4 5 . a 2 + c 2 - V . 5 4 7 . 2 d m , - V T d m . 5 4 8 .4 1 / 3 c m , 2 0 1 / 3 c m , - - 2 1 . 9 c m . 5 4 9 . 9 - V 3 - c m , 6 1 / s c m , 1 / 1 1 7 c m .5 5 0 . 1 / c m , J 1 c m , 3 1 / 3 c m . 5 5 1 . 1 0 c m , 1 0 c m , 1 0 c m . 5 5 2 .

a = P = 7 = 3 6 ° 5 2 ' , 9 0 ° , 5 1 ° 2 0 ' , 4 3 ° 9 ' . 5 5 3 .a b 3 a - b ) ,

( a - b ) 1 / 1 5 . 5 5 5 . ( a - b ) ] f 3

V - 6

, a - b ,

4 5 ' , ,

I f 2 ( a - b ) . 5 5 6 .6 2 2

1 5 1 / c m , 3 0 c m , 1 0 1 / 5 c m , 5 1 / c m , 1 0 1 / c m . 5 5 7 . 8 c m .5 5 8 . 2 2 c m , - - 3 6 . 2 c m , X 3 1 . 7 c m . 5 5 9 . - - 1 9 8 c m 2 . 5 6 0 . - - 2 8 . 7 c m 2 .5 6 1 . 8 1 c m , 1 7 c m , 2 7 4 4 1 / c m 2 . 5 6 2 . X 2 1 . 8 d m , N 1 1 0 . 2 d m 2 .5 6 3 . X 1 9 5 . 5 d m 2 . 5 6 4 . X 1 8 3 . 7 m 2 . 5 6 5 . 1 8 0 c m 2 a n d X 1 7 4 . 3 c m 2 .5 6 6 . ( 1 ) 1 7 c m , ~ - 2 1 . 5 c m , X 2 6 . 2 c m , ( 2 ) 2 8 ° 4 ' , 2 1 ° 4 8 , 1 7 ° 4 5 ' ,

( 3 ) 1 8 0 c m 2 , 2 4 0 c m 2 , 5 1 0 c m 2 , X 4 8 4 c m 2 , ( 4 ) 9 0 ° ; 9 0 ° , 2 8 ° 4 ' ; 2 1 ° 4 8 ' ,( 5 ) , , , 2 6 . 2 c m , : . . 5 0 . 6 c m , - - 4 3 . 5 c m , : 3 6 . 9 c m , ( 6 ) , : : 1 7 ° 4 5 ' ,




- - 9 ° 5 ' , X 1 0 ° 3 6 ' , - - 1 2 ° 3 1 ' , ( 7 ) 3 0 0 c m 2 _ a n d ~ - 5 4 0 . 9 c m 2 , ( 8 ) 9 0 °

a n d N 3 3 ° 4 2 ' . 5 6 7 . 9 c m . 5 6 8 . (Q i

4y Q 2 ) Z a n d ( 1 / + 9 2 Q 2 ) Z

5 6 9 . 5 , 9 . 6 . N o . 5 7 1 . a i , a 5 4 ° 4 4 ' . 5 7 3 . X 2 2 . 1 d m 2 . 5 7 4 .

1 . 3 2 . 2 2 5 c m 2 . 5 7 5 . ( 1 ) a 2 , ( 2 ) a 1 2 , ( 3 ) 1 0 9 ° 2 8 ' , ( 4 )a

( 5 ) N 0 . 8 a . 5 7 6 . 1 . 5 a ( 1 / + 1 ) . 2 . 5 ( 1 / + 1 ) . 5 7 7 .a

. 5 7 8 .

a 2 - V 2 . 5 7 9 . T w o r e g u l a r q u a d r a n g u l a r p y r a m i d s a n d 2 4 e q u a l

2t r i a n g u l a r p y r a m i d s . 5 8 0 . 2 : 1 . 5 8 1 . 1 . ( a ) t h r e e , ( b ) f o u r ( c ) t h r e e .

2 . ( a ) 6 , ( b ) 9 , ( c ) 9 . 5 8 2 . 4

3. 5 8 3 . a ( 1 / - 1 ) . 5 8 4 . a ( 1 / - 1 )

a n d 2 a 5 8 6 . 3 6 . 7 c m , 8 c m . 5 8 7 . 1 . 1 0 m . 2 .

4

A S . 5 8 8 .

8 d m . 5 8 9 . 4 0 c m . 5 9 0 . N 2 6 . 9 c m . 5 9 2 . - - 5 . 3 c m . 5 9 3 . 1 9 2 0 c m 2 .5 9 4 . 5 V c m , 1 5 c m . 5 9 5 . 6 d m . 5 9 6 . - - 7 . 1 d m 2 , 0 . 3 m 2 . 5 9 7 . 1 : 2 .

5 9 8 .

1 , :5 9 9 . 4 0 0 d m 2 . 6 0 0 . 6 0 ° 6 0 1 . 2 0 j r 3 c m 2 , 5 3 ° 8 ' . 6 0 2 .

a 2 1 / i . 6 0 3 . X 4 . 4 d m 2 . 6 0 4 . 1 6 0 1 / 3 c m 2 o r 6 4 0 1 / 3 c m 2 . 6 0 5 .d

2

2 d6 0 6 . 6 4 0 c m 2 , 6 4 n c m 2 . 6 0 7 . , : ; 3 5 . 4 c m . 6 0 9 . 7 . 5 1 / 2 c m ,

1 2 . 5 c m . 6 1 4 . 5 c m , 2 5 n c m 2 . 6 1 5 . 1 . 3 0 ° . 6 1 6 . 9 7 2 c m 2 , 7 3 ° 4 4 ' .6 1 7 . ( 1 ) 4 5 ° , 9 0 ° , ( 2 ) n o . 6 1 8 . 2 ' 1 / 1 0 c m , 4 1 - 1 0 c m , 2 1 / 3 0 c m .

6 1 9 . ( 1 ) ^ 1 6 2 1 1 2 , ( 2 ) 4 2 . 6 2 0 . h 2

33 . 6 2 1 . 4 8 d m 2 . 6 2 2 . 6 c m . 6 2 3 .

2 R 2

3, 6 2 4 . 2 1 6 m 2 . 6 2 5 . n . 6 2 6 . 3 1 ° 4 ' . 6 2 7 . ( 1 ) . 6 4 n c m 2 , ( 2 ) 1 6 n c m 2 ,

2 2 2 2

( 3 ) ( m + n ) 2 o r ( m + R ) 2 . 6 2 8 . 8 c m . 6 2 9 . 1 0 c m . 6 3 0 .7 5 8 3 c m 2 .

6 3 1 . , 4 3 . 1 c m . 6 3 2 . 7 0 ° 3 2 ' . 6 3 3 . a ( 2 6 ) . 6 3 4 .a 2 1 / 3 (

1 2

7 + 4 1 / 2 )3

6 3 5 .a 2 ( 1 2 4 j / 6 - )

6 4 0 . 2 0 c m , 1 5 c m . 6 4 1 . R = 1 , r = 2H =

1 2 . 6 4 3 . R = Q ( 1 / 2 + 1 ) , r =Y Q ( 1 / 2 - 1 ) .

6 4 4 . R = 2 4 1 / 2 c m , r = 7 1 / 2 c m , H = 3 1 1 / 2 c m . 6 4 5 . 1 0 2 0 c m 2 .

6 4 6 . 1 9 2 d m 2 . 6 4 7 . 3 9 1 / 2 d m 2 a n d 2 1 i d m 2 . 6 4 8 . 1 . 4 ( R + r ) 2 .

2 . 2 5 n c m 2 o r 3 6 n c m 2 . 6 4 9 . 1n H 2 . 6 5 0 . I n t o t w o e q u a l p a r t s .



A N S W E R S 1 9 7

6 5 1 . 1 6 8 c m 2 . 6 5 2 . 7 2 1 / 2 c m a , 6 5 ° 5 4 ' . 6 5 3 . 6 0 c m 2 . 6 5 4 , 3 0 ( 1 / 2 1 -+ 3 ) c m a . 6 5 5 . 1 2 8 i c c m 2 . , 6 5 6 . 6 4 8 d m 2 . 6 5 7 . 1 1 . 2 c m . 6 5 8 . ( 3 )

3 Q 2 . 6 5 9 . S u f f i c i e n t . 2 5 6 c m a , 3 8 4 c m 2 . 6 6 0 . ( 3 ) 4 1 4 d m 2 . 6 6 1 .2 3 : 7 . 6 6 2 . 2 3 7 8 c m 2 . 6 6 3 . 1 9 2 d m 2 . 6 6 4 . 2 d m , 6 d m , 1 0 d m . 6 6 5 .1 . 3 . 2 . - - 2 5 , 1 m . 6 6 6 . - - 2 3 t o n s . 6 6 7 . - - 3 0 . 4 p e r c e n t . 6 6 8 . 6 c m .6 6 9 . 3 a 2 1 6 c m . 6 7 1 . 4 a 2 1 / f . 6 7 2 . 1 . 1 5 0 c m 2 . 2 . 3 Q . 6 7 3 .1 . 1 6 d m 2 a n d 8 1 / 3 d m 2 . 2 . 1 5 a 2 1 V - 3 . 6 7 3 d m 2 . 6 7 5 . 1 5 6 0 1 / 3 c m 2 .

6 7 6 .6 4 Y R . 6 7 7 . a s ( 2 1 / + 1 / 3 ) , 6 7 8 .

V 3 -6 8 0 .

. 6 7 9 . 2 0 0 c m 2 .

8 4 d m 2 . 6 8 1 . - - 1 6 5 5 c m 2 . 6 8 2 . - - 2 8 3 . 1 d m 2 . 6 8 3 . 2 c m . 6 8 4 .2 7 0 C m 2 . 6 8 5 . 4 . 6 2 6 m 2 . 6 8 6 . 1 . 7 2 c m 2 . 2 . 2 d m , 4 d m , 6 d m ,1 0 d m . 6 8 7 . a b ( 1 / 3 + 1 ) . 6 8 8 . 2 4 0 c m 2 . 6 8 9 . - - 4 2 2 . 3 d m 2 . 6 9 0 .

4 ( 1 + V - 3 ) . 6 9 1 .a 2

3 2 )( 1 1 + , 6 9 2 . a 2 ( 4 + 1 / s ) . 6 9 3 .

- - 9 3 1 c m 2 . 6 9 4 . 2 a 2 1 / 5 . 6 9 5 . - - 2 9 4 c m 2 . 6 9 9 . ( a ) 2 , ( b )a 2

( c ) 2 . 7 0 0 . W . 7 0 1 . 1 . a 2 1 / 3 . 2 . - - 8 6 . 6 c m 2 . 7 0 2 . 2 5 V 2 - d m 2 .

7 0 3 . 1 9 2 V - 3 c m 2 . 7 0 4 . 1 . 3 a a 4 3 . 2 . 7 5 ° 3 1 ' . 7 0 5 . 6 2 . 7 0 6 . - - 4 1 . 5 7 d m 2 .

7 0 7 . 6 4 8 c m 2 . 7 0 9 . - - 6 2 4 . 5 c m 2 . 7 1 0 . 2 . 7 1 1 ( a ) a 2 ( 1 +3 4

( b ) a 2 ( 1 - { - 1 / 2 ) , ( c ) a 2 ( 3 - } 2 7 ) . 7 1 2 . 1 0 0 ( 1 / + 2 ) d m 2 . 7 1 3 .

8 ( 1 / 1 5 + 1 / ) . 7 1 4 . 3 a 2 2 3 ,7 1 5 , a 2

2( 1 + V 2 - ) . 7 1 6 . 2 m .

M . 4 5 0 c m 2 . 7 1 8 . - - 5 7 9 . 5 d m 2 . 7 1 9 . 2 3 a 1 / 3 ( 2 + 1 / ) . 7 2 0 .

1 0 0 8 c m 2 . 7 2 1 . a 2 ( 1 / 5 + 1 ) . 7 2 2 . 2 a 2 . 7 2 3 . 6 . 7 2 4 .2 2

( 2 + V 3 ) .

7 2 5 . 9 0 ° a n d 3 0 ° . 7 2 7 . 1 2 6 0 c m 2 . 7 2 8 . ( a ) b 3 ( a 2 + a b + b 2 ) ,

( b ) ( a + b ) 2 ( a 2 + b 2 ) , ( c ) 3 ( a + b ) V a 2 - a b + b 2 . 7 2 9 .1 3 : 1 5 . 7 3 0 . , ; ; 2 1 4 8 c m 2 . 7 3 1 . - - 3 9 8 4 c m 2 . 7 3 2 . - - 1 0 1 9 . 6 c m 2 . 7 3 3 .

4 5 1 / 1 5 c m 2 . 7 3 4 . 5 0 c m 2 . 7 3 5 . 1 1 : 3 4 o r 2 6 : 1 9 . 7 3 6 . a 2 + 1 Q .2

7 3 7 . 3 9 2 c m 2 . 7 3 & - - 9 5 . 4 d m 2 . 7 3 9 . . : 1 0 7 2 c m 2 . 7 4 0 . ( 8 + 2 . 5 1

c m a n d ( 8 - 2 . 5 1 s ) c m . 7 4 1 . 1 6 2 1 d m 2 . 7 4 2 .r 2 / ( 2 2 a + b ) b ,

7 4 3 . 7 0 d m 2 . 7 4 4 . a 2 - P . 7 4 5 . 3 9 . 6 d m 2 . 7 4 6 . 1 1 9 7 c m 2 . 7 4 7 .4 0 0 c m 2 . 7 4 8 . - - 0 . 6 2 8 k g . 7 4 9 . - - 6 6 3 5 c m 2 . 7 5 0 . ; . . 1 3 . 5 k g . 7 5 1 .

2 . 6 5 7 6 1 m 2 . 7 5 2 . - - 3 1 m 2 . 7 5 3 . 1 . M 2 . 2 , F o u r t i m e s . 7 5 4 . 1 . n Q .




2 . n 1 4 3 ' . 7 5 6 . H = 8 R . 7 5 7 . R = 4 t 2 V 3 - . 7 5 8 . 3 . 7 5 9 . ( a )

n

, ( b ) 4 . 7 6 0 . ( a ) 1 , ( b ) a . 7 6 1 . R 6 H 7 6 2 . 2 n Q Y . 7 6 3 .d 2 ( 1 / s + 2 n ) . 7 6 4 . 2 0 0 ( 5 R

3

3 1 s ) 7 6 5 . 6 . 4 m . 7 6 6 .

1 3 8 0 n c m 2 . 7 6 7 . 1 6 n X ( 2 1 / + 3 ) c m 2 . 7 6 8 . 2 4 n ( 1 + 2 1 / 3 ) c m 2 .

7 6 9 . 2 0 0 n c m 2 a n d 8 0 0 n c m 2 . 7 7 0 . 6 ,6

,Q

. 7 7 1 . 7 7 2 .

( n - 2 )Q a o r

( 3 n + 2 )8 n a H an 2 H 2

Q 2 . 7 7 3 . 1 . n R 1 / R 2 + H 2 2 . R 1 2 - H 2 X

X ( 1 + 1 2 - H 2 ) . 7 7 4 . 5 0 2 . 6 c m 2 . 7 7 5 . 2 . W i l l b e i n c r e a s e s

1 2 t i m e s . 7 7 7 . 2 . . 7 7 8 . 4 5 ° ; 9 n / c m 2 . 7 7 9 . 1 . 1 2 0 ° . 2 . 1 .

s7 8 0 . 6 0 ° . 7 8 1 . ; . , 4 4 3 m a . 7 8 2 . 2 1 r o u b l e s 3 0 k o p e c k s . 7 8 3 .

( V 2 - - 1 ) . 7 8 4 . 1 . N 3 1 3 . 8 n c m 2 . 2 . 1 3 4 4 n . 7 8 5 . 2 R a e 1 / X

X ( 5 + 1 / s ) . 7 8 6 . 2 n a s 1 / . 7 8 7 . 3 n a 2 1 / 5 . 7 8 8 . 3 n Q ( V 3 +1 / 6 ) .

7 8 9 . 1 . 2 0 c m . 2 .3 6 0 ° R

7 9 0 . X 2 0 1 c m 2 , X 4 5 . 3 c m 2 , - - 3 8 ° 5 6 ' .

7 9 1 . 1 . X 3 1 8 . 1 c m 2 . 2 . 1 . 2 5 Q . 7 9 2 . 1 . 2 1 6 0 . 2 . ( a ) . : : 2 5 4 ° 3 6 ' . ( b )

1 8 0 ° . 7 9 3 . 1 . 6 0 ° . 2 . 2 4 c m 2 . 7 9 4 . 4 n a g V 2 - . 7 9 5 .

6

( 7 + 4 1 / s ) .

7 9 6 . ( a )

3

n a g , ( b ) R a e , ( c ) 2 n a 2 . 7 9 7 . ( 1 / 5 - 1 ) . 7 9 9 . 0 . 5 n R H .

8 0 0 . 1 . 8 1 6 n c m 2 . 2 . 1 3 2 n / c m 2 . 8 0 1 . 1 1 c m a n d 4

7

c m . 8 0 2 .

, - 6 4 m 2 . 8 0 3 . : 8 7 . 2 k g . 8 0 4 . 8 n 1 2 . 8 0 5 . 2 n 1 2 . 8 0 6 . 4 n R 2 c m 2 .

8 0 7 . 1 6 c m . 8 0 8 . R - - 1 9 . 4 c m . 8 0 9 . 2 6 0 n c m 2 . 8 1 0 . 9 c m . 8 1 1 .. . . 6 7 8 . 6 c m 2 . 8 1 3 . - - 7 6 9 . 5 c m 2 . 8 1 4 . n a 2 ( 6 + - V - 3 ) . 8 1 5 . 6 n a 2 1 / L

8 1 6 . 4 n a 2 1 / 3 . 8 1 7 . N 1 6 0 3 c m 2 . M . ^ 5 6 5 . 8 c m 2 . 8 2 0 . 5 4 . 3 9 k g .8 2 1 . ( 3 ) I n c r e a s e d b y t i m e s . 8 2 2 . J . 2 7 c m 3 . 2 . 6 4 ( u n i t ) 3 .

8 2 3 . 6 . 8 2 4 . 1 . 1 2 c m . 2 . 1 d m 3 , 2 3 7 0 2 7 c m 3 a n d 4 6 2 9 2 7 c m 3 . 8 2 5 .

2 . 2 8 8 F m s . 8 2 6 . - - 3 . 5 d m . 8 2 7 . 1 . 1 4 0 c m 3 . 2 . 1 / S 1 S 2 4 3 . 3 c m ,5 c m , 1 0 c m . 8 2 8 . 1 2 . 8 2 9 . 1 . 1 2 8 t o n s . 2 . 1 8 k g . 8 3 0 . ; . 6 7 7 2 N .8 3 1 . 4 0 h r s . 8 3 2 . - 2 9 . 8 m 2 . 8 3 3 . . - - 1 4 . 4 p e r c e n t . 8 3 4 . 1 . 2 1 6 d m 3 .2 . 1 m 3 . 8 3 5 . T h r e e c a s e s : 1 3 9 2 c m 2 ; 1 3 4 4 c m 2 ; 1 1 0 4 c m 2 . 8 3 7 .

4 8 ( 3 - V - 3 ) c m 3 . 8 3 8 . 5 7 6 0 c m 3 . 8 3 9 . - - 3 9 9 c m 3 . 8 4 0 . 5 5 . 4 3 m 3 .

T4 1 . a s 1 / 3 . 8 4 2 . 4 a 3 V 3 - . 8 4 3 . 4 . 5 d m 3 . 8 4 4 . 2 a . 8 4 5 . 7 6 8 1 / 3 ' c m 3 .



A N S W E R S 1 9 9

8 4 6 . Qz

d3 . 8 4 7 . R e d u c e d b y 2 4 0 d m 3 . 8 4 8 . 1 6 8 0 c r o s . 8 4 9 . 4 a s .

8 5 0 . S 2 S ' , 8 5 2 . X 4 3 1 N . 8 5 4 . 1 6 2 5 m 3 . 8 5 5 . 8 a s . 8 5 6 . 1 . 9 c m .

8 5 7 . 2 - Q a 6 a ' . 8 5 8 .

8

1 $ V 2 - . 8 5 9 . d . 8 6 0 . - - 1 . 9 m . 8 6 1 .

8 1 V T 2 2 d m s . 8 6 2 . , : x 9 0 . 7 k g . 8 6 3 . 8 9 , 8 8 0 m 3 . 8 6 4 . 9 4 . 6 c r o s . 8 6 5 . 2 0 .8 6 6 . 6 0 9 0 c r o s . 8 6 7 . 4 8 0 c r o s . 8 6 8 . ( a ) x - 3 7 0 0 c r o s , ( b ) X 1 8 7 3 c m ' .

8 6 9 . 4 ( 3 + 1 / ) d m ' . 8 7 0 . 2 d m , 2 d m , 2 d m , 4 d m . 8 7 1 . 2 5 2 0 c m ' .

8 7 2 . 1 1 . 8 7 3 . 1 4 4 0 c r d s . 8 7 4 . 1 1 . 5 2 d m s . 8 7 5 . 4 Q c m ' a n d 2 Q r c m ' .

8 7 6 . - - 1 3 7 . 6 d m ' a n d , 9 6 d m s . 8 7 8 . 6 0 0 d m s . 8 7 9 . 8 6 4 c r o s . 8 8 0 .a ' . M . 9 4 s . 8 8 2 . 2 2 2 d m s . 8 8 3 . 2 Q d . 8 8 4 . - - 3 1 1 . 8 c m 3 .

8 8 5 . 1 6 m s . 8 8 6 . 2 0 7 . 8 d m s . 8 8 7 . ( 1 ) 1 a s 3 b ' - a ' ,

a 2 1 / 4 b ' - 2 a ' , 2 a s V 3 ( b 2 - a s ) ; ( 2 ) 4 ( b ' - h 2 ) h 1 / 3 ,

3

( b ' - h ' ) h , 2 ( b ' - h 2 ) h 1 / ; ( 3 ) 2 4 a s 1 2 1 ' = a ' ,

6 a 2 1 / 4 1 ' - a ' ,

4

a s 1 / 3 ( 4 1 '- 3 a 2 ) . 8 8 8 . 1 . ( a )2 4

a s

1a s 1 4 3 , ( c )

3a s 1 5 . 2 . ( a )

1a s 1 / , ( b )

1a s X 1 / 6 , ( c ) 1 a s .6 4 3 6 1 8 2

8 9 1 . - - 0 . 7 5 d m s . 8 9 2 . 1 2 , 6 , , 4 . 8 9 3 . 3 a s . 8 9 4 . ( 1 )

2

1 a s V 3 - ; ( 2 )

6 a s 1 / . 8 9 5 .

6

a s . 8 9 6 . 4 S 6 S . 8 9 7 . 7 2 d m 3 . 8 9 8 . 1 .

1 0 0 . 3 5 d m s . 2 . 1 2 . 2 9 d m s . 8 9 9 . Q 3 Q- V 3

9 0 0 . Q Q - V 3

9 0 1 . 6 . 5 d m . 9 0 2 .a 3 b

9 0 3 . , : s 1 2 6 . 7 k N . 9 0 4 . 7 4 , 0 6 0 .1 2 1 / 3 x 2 - - - - 4 T 2

9 0 5 . 2 7 5 3 . 8 . N . 9 0 7 . 1 .a s

1 83 . 2 . 5 6 0 c r o s . 9 0 8 . 1 . 2 5 6 0 1 / 3 c r o s .

2 . 8 6 4 c m 2 . 9 0 9 . 2 4 . M . 1 . 2 4 c 3 . 2 . 2 1 6 c r o s . 9 1 1 . 1 4 . 4 d m 3 . 9 1 2 .

1 m s . 9 1 3 . 3 6 6 . 5 d m ' , 2 5 0 d m s . 9 1 4 . 5 : 9 . 9 1 5 . Q Q3 2 1 / 3

M . x y 9 . 5 1 . 9 1 7 . 2 . 1 p e r c e n t . 9 2 0 . 5 1 2 9 2 1 . V - ~ 1 6 7 1 c m ' .

9 2 2 . x - 1 0 3 c r o s . 9 2 3 . 1 9 : 7 : 1 . 9 2 4 . ( - V 2 ) : ( V 2 - 1 ) : 1 . 9 2 5 .

9 2 6 . 8 : 1 9 . 9 2 7 . ( a ) 2 0 . 2 d m s , ( b ) 4 6 . 7 d m ' ,a s 1 6

a n d5 a s V 3 5

4 8 *

( c ) 1 2 1 . 2 d m s . 9 2 8 . ( a ) : 8 7 . 8 d i n s , ( b ) 3 5 1 . 0 d m s , ( c ) 1 5 7 9 . 6 d m s .




9 2 9 . ( a ) 3 7 . 3 c r o s , ( b ) w 1 0 5 . 6 c r o s , ( c ) 3 8 8 . 0 c r o s . 9 3 0 . ( a )1 7 . 9 m 3 . ( b ) 3 5 . 8 m 3 . ( c ) 0 ; H p y r , 0 . 9 3 1 . ( a ) 7 8 1 / c m 3 , ( b )

5 2 1 0 c m 3 , ( c ) 4 6 8 c r o s . 9 3 2 .

1 1 7 l nc r o s . 9 3 3 .

2

3 2 s s . 9 3 4 .3 7

1 0 7 d m s . 9 3 5 . 2 6 8 8 d m s . 9 3 6 . 1 3 , 5 8 4 c r o s . 9 3 7 . 7 c m a n d , 5 c m .2 4

9 3 8 .8 3 2

c m 3 . 9 3 9 . 1 8 0 ( 5 + 1 / 6 ) m s . 9 4 0 . 1 8 8 . 8 d m s . 9 4 1 .

3 m 3 . 9 4 2 . 2 1 6 d m s . 9 4 3 . h S 1S 1

9 4 4 . 1 2 , 5 3 7 c r o s . 9 4 5 .3 ( S l - 8 2 )

2 6 5 . 6 d m 2 . 9 4 6 . 4 5 m 2 a n d 2 0 m 2 . 9 4 7 . 8 4 0 s . 9 4 8 . 2 . 9 4 9 . N 2 4 . 9 m s .

9 5 0 .1 0 9 4 r s . 9 5 1 . 1 0 8 0 1 / c r o s a n d 3 6 0 0 1 / c r o s . 9 5 2 . 1 3 3 3 c r o s .

9 5 3 .

3

h ( 5 a b - a 2 - b 2 ) . 9 5 4 . X 3 6 8 p e r c e n t . 9 5 5 . 4 : 9 . 9 5 6 .

7 m - 2 + 4 m n + n 2. 9 6 0 . 1 . 1 m s . 2 . 2 . 5 d m s . 9 6 1 . - - 4 . 6 c m . 9 6 2 .

7 n 2 + 4 m n + m 2P s 1 5 . 7 k g . 9 6 3 . 2 8 . 9 6 4 . - - 5 0 . 3 t o n s . 9 6 5 . X 7 1 6 3 m . 9 6 6 . X 2 8 . 6 t o n s .9 6 7 . - - 4 4 m s . 9 6 8 . 4 9 m m . 9 6 9 . 4 0 . 5 p e r c e n t . 9 7 0 . 5 0 0 n c r o s .

9 7 1 . 2 5 2 c r o 3 . 9 7 2 . 3 2 . 9 7 3 . L S S . 9 7 4 . 1 . 9 6 L d m 2 . 2 . / 1 6 n V 2 .

9 7 5 . 1 . 2 1 . 5 p e r c e n t . 2 . - - 3 6 . 3 p e r c e n t . 9 7 6 . ( a ) 4 , ( b ) 2 , ( c ) 1 3

9 7 7 . ( 1 )4 V

, ( 2 ) 3 1 v . 9 7 8 . Q Q 2 V 3 . 9 7 9 . 5 4 n - V - 3 . 9 8 0 . 1 .

5 4 L . 2 . 1 6 n a n d 2 4 L . 9 8 1 . 1 .d

1 6 Y 2 .

2 n 2 R 3 Y . 9 8 2 . 1 0 0 0o r

0 0 .9 8 3 .

8 a + 3 Y9 8 4 . 6 4 8 n . 9 8 5 . 1 5 , 1 3 4 . 9 8 7 . 2 . I n c r e a s e

a 4 n - 3 V 3 - .

1 / t i m e s . 9 8 8 . 2 . I n c r e a s e d t h r e e t i m e s . 3 . R e d u c e b y h a l f . 9 9 1 .

2 5 1 . 3 k g . 9 9 2 . 3 2 . 9 9 3 . 5 . 9 9 4 .C 2

2 4 1 1 9 - 0 2 . 9 9 5 . 1 . 1 6 1 1 d e .

2 . 1 2 L d m s . 9 9 6 . 3 2 0 L c m 3 o r 6 0 0 L c r o s . 9 9 7 . ( 1 ) H =3 R

R 2 - 9 'R > 3 , ( 2 ) H = R 2 R 29 , R > 3 , ( 3 ) H = 3 , R - a n y . 9 9 8 . 8 c m

s - j /9 9 9 . - - 0 . 2 6 V . 1 0 0 0 . 1 : 2 6 o r 8 : 1 9 . 1 0 0 1 . 2 4 . 1 0 0 2 . 2 L 8 i 2

1 0 0 3 . 2 4 0 ° . 1 0 0 4 . ( 1 )L a s ( 2 ) 4 8 0 0 n d m s ,

( 3 ) 3 2 0 n c r o s , ( 4 ) 1 4 4 0 n c r o s .4 ' 1 3 3

s

1 0 0 7 . 3 5 2 5 L c r o s . 1 0 0 8 . 3 0 6 4 L c m 3 . 1 0 0 9 . ( 1 )9 6 0 0 a

c r o s , ( 2 ) 2 d m s .2 9



A N S W E R S 2 0 1

1 0 1 0 . 4 . 1 0 1 1 . 1 4 4 n c m 3 a n d 1 9 2 n c m 3 . 1 0 1 2 .n ( 2 6 - 1 5 1 / 3 )

7 2

1 0 1 4 . 1 . 1 0 1 5 . 2 4 0 0 n c m 3 , 9 6 0 n c m 2 . 1 0 1 6 . - - 2 8 . 6 d m 3 . 1 0 1 7 .6 3 . 3 1 . 1 0 1 8 . - - 1 4 . 3 1 . 1 0 1 9 . - - 1 5 8 3 c m 3 . 1 0 2 0 . 2 4 c m , 2 5 c m .

1 0 2 1 . 2 2 . 9 5 n . 1 0 2 2 . 2 4 n 1 l s . 1 0 2 3 . - - 8 0 4 . 3 c m 2 . 1 0 2 4 .5 n 1

4 8

2 ) n R 31 0 2 5 .

3 7 2 I 3

. 1 0 2 6 . - - 2 3 2 5 c m 3 . 1 0 2 7 . 1 9 : 3 7 : 6 1 . 1 0 2 8 .( 2 + 3 3

1 0 2 9 .7 n a 6

1 0 3 0 . R = 1 . 5 r . 1 0 3 1 . R = r ( v 2 + 1 ) . 1 0 3 2 .

2 7 n a s 1 / r l l 3 7 R 2 + 4 R r + r 23

n R r H . 1 0 3 3 .2 7

. 1 0 3 4 . 1 . 1 - ( R 2 R 2 + 4 R r + 7 r 2

1 0 3 5 .

3

n 2 R 2 r . 1 0 3 6 . H = 7 c m , R = 3 . 5 c m . 1 0 3 7 .n a 3 4 . 1 0 3 8 .

6 n a 2 ,3 " V 3 - n a s

. 1 0 3 9 . 4 n a 2 V - 2 . 1 0 4 0 . z t 1 2 1 7 . 5 d m 3 . 1 0 4 1 . 6 n a 2 1 ,4

4 . 5 n a 3 . 1 0 4 2 . 3 n a 3 1 0 4 9 . 9 c m . 1 0 5 0 . 1 . 3 5 8 5 k m . 2 . 1 5 , 9 2 0 k m .

1 0 5 1 . 5 : 9 . 1 0 5 2 . 2 . 1 0 5 3 . 1 5 . 7 c m . 1 0 5 4 . 2 . 4 4 r a d i a n s ,

1 0 1 . 5 c m . 1 0 5 5 . ! n - R 2 . 1 0 5 6 .n 2 2 2

. 1 0 5 7 . 3 0 ° . 1 0 5 8 . 1 2 d m . 1 0 5 9 .

1 2 c m . 1 0 6 0 . 3 3 . 8 c m . 1 0 6 1 . - - 7 5 . 4 c m . 1 0 6 2 . 1 . n R x / 3 . 2 . - - 7 5 . 4 c m .

1 0 6 5 . L r . 1 0 6 6 . - - 3 3 0 m 2 . 1 0 6 7 . 2 . 2 , , 3 . 1 0 7 2 . 1 4 . 2 3 d m .

1 0 7 3 . 5 7 6 n c m 2 . 1 0 7 4 . N 8 6 7 . 8 d m e . 1 0 7 6 . 1 8 3 . 2 c m 2 . 1 0 7 7 .

w 3 4 5 6 c m 2 a n d 1 2 5 7 c m 2 . 1 0 7 8 . 2 5 0 0 n c m 2 . 1 0 7 9 . 0 . 2 5 . 1 0 8 0 .2 6

1 0 8 1 . 1 . 4 2 ( 5 - 2 - V 2 - ) . 2 .2 1 n Q 1 0 8 2 . 4 0 0 ( 4 - ' l / 2 ) n .

4 n - 3 - V - 3.

1 0 8 3 . 1 5 c m . 1 0 8 6 . 1 2 c m 2 . 1 0 8 8 . R ( 1 - 1 ) . 1 0 9 1 . 2 . s3 6 n V 2 .

1 0 9 2 . ( 2 ) W i l l b e r e d u c e d t o 6 4,

2 7 . 1 0 9 3 . 1 . 3 . 6 t i m e s , 6 . 7 t i m e s .

2 . 4 8 4 t i m e s , 1 0 , 6 4 8 t i m e s . 1 0 9 4 . 1 , 3 6 2 , 3 8 5 t h o u s a n d k m 3 . 1 0 9 6 .

Y e s . 1 0 9 7 . - - 0 . 3 c m . 1 0 9 8 . ( 2 )

3n , 2 3 6 n , 2 8 8 n . 1 0 9 9 . ( 1 ) 3 . ( 2 ) 4 . 5 .

1 1 0 0 . , : s 1 . 1 4 . 1 1 0 1 . 1 2 c m . 1 1 0 2 . 7 2 p e r c e n t . 1 1 0 3 . 3 3 . 3 p e rc e n t , - - 5 5 . 5 p e r c e n t , - - 4 7 . 6 p e r c e n t . 1 1 0 4 . 4 . 6 c m . 1 1 0 5 .

2 9 7 . 2 c m 3 . 1 1 0 6 . 2 . 9 c m . 1 1 0 7 .5 1 2 ( 1 6

3

9 V - 3 ) nc r o s . 1 1 0 8 .

3 7 5 3 2 n 1 1 , 9 6 8 a 4 1 6 n2 8 2 7 c m 3 . 1 1 0 9 . ' 3 c m 3 o r 3 c r o s . 1 ( 1 0 . 3 c m 3 .




s

1 1 1 1 . 4 4 . 1 1 1 3 . 2 1 . 1 1 1 4 . 1 8 , 4 3 2 n c m a . 1 1 1 5 . 1 6 . 1 1 1 6 .n 3

.

S 2 ( 6 n R a - S )

1 1 2 2 .1 1 7 . 3

8 0 0 0 n

c m a . 1 1 1 8 . : . . 1 2 0 6 c m 2 . 1 1 2 1 . 2 4 n 2 R 30 . 2 . 1 1 2 3 . V 2 1 - 4 . 1 1 2 4 . 2 . I f a c i r c l e c a n b e c i r c u m s c r i b e d a b o u tb a s e . 1 1 2 5 . 2 . I f t h e b a s e i s a r h o m b u s a n d t h e d i s t a n c e s b e t w e e no p p o s i t e f a c e s a r e e q u a l t o e a c h o t h e r . 1 1 2 6 . 1 . I f a c i r c l e c a n b ec i r c u m s c r i b e d a b o u t t h e b a s e o f t h e p y r a m i d . 1 1 2 7 . 1 . P o s -

2 R V 33s i b l e . 2 . I f i t i s a n e q u i l a t e r a l o n e . 1 1 2 8 . 1 . 2 a n d

.

a n d 2 R . 1 1 2 9 . 2 n R 2 ( 3 1 / 2 - 4 ) . 1 1 3 0 . 2 3 0 4 d m 2 . 1 1 3 1 . 8 R 3 V 2 .

1 1 3 2 . . : 7 7 9 4 d m a . 1 1 3 3 . ( 1 ) 1 8 R 2 V 3 , G R a V 3 , ( 2 ) 2 4 R 2 , 8 R 3 , ( 3 )

1 2 R 2 V 3 , 4 R 3 1 1 / 3 . 1 1 3 4 . h a2

3 . 1 1 3 5 . 1 0 1 4 c m a . 1 1 3 6 . ( a ) 1 ,

( b ) 3 , ( c ) 3 . 1 1 3 7 . ( 1 )a ( y 1 2 - 1 ) 2 a , ( 2 ) a ( V 5 - 1 )

4

4

a , ( 3 ) a ( 1 2 1 - 3 ) a . 1 1 3 8 . ( 1 ) a3 1 x + b z + b 2 - h 2 ' 2 h

( 2 ) h V b 2 - h 2 b 2 ( 3 ) h 1 / 3 ( b 2 - h 2 )'b + h 2 + 1 / b 2 - h 3 b 2 + h 2 + V 3 ( b 2 - h 2 )h

2

2

6 2 -1 1 3 9 a a 1 1 4 1 n a 2 ( 2 - V 3 ) .6 2 c m 1 1 4 2

h. ,

6 2. . .

1 1 4 3 V 6 1 1 4 4 1 1 4 5 1 1 4 7 : s 6 D 6 1 d m s2 3 6 c m 3. .m . . .. ,

1 1 4 8 .3 2

. I M . W 2 . 1 1 5 0 . n a t . 1 1 5 1 . 1 0 4 R 2 . 1 1 5 2 . 1 0 m . 1 1 5 3 . ( 1 )

4 V 2 4 2 2 3 n R 3 n R 2 ( 3 + 2 V 3 ) 3 n R 33 ' 3 ' ( 2 ) 3 , 3 . 1 1 5 4 . 4 . 1 1 5 5 . 2 4

9 n 1 2 n l s 1 / 3 4 n 1 2 - W 3 V 31 1 5 6 . 2 . 2 5 a n d 5 2 1 1 5 7 . 3 ' 5 4 3 2 7

1 1 5 8 .

2 5 4 . 5 m 2 . ^ 2 5 4 . 5 m a . 1 1 5 9 .1 2 - 1 : 2 ( 1 1 2 - 1 t 2 ) 1 2

h ' 2 h3

. 1 1 6 4 . 9 0 0 n c m 2 , 4 5 0 0 n c m 3 .1 6 0 . 4 . 1 1 6 2 . 2 4 c m . 1 1 6 3 .

7 2 a n d 81 1 6 5 . 1 5 m . 1 1 6 6 . 1 0 6 4 n c m 2 , 4 2 5 6 n c m a . 1 1 6 7 .4 3

. 1 1 6 9 . 1 8 d m .

1 1 7 0 . h = R - a h e m i s p h e r e . 1 1 7 1 .( 9 - 5 1 / ) ( 2 + 1 / 2 ) . 1 1 7 2 .

8

H s i n ( a - } - S ) s i n ( - a )a 2

s i n a s i nH c o t P . 1 1 7 3 .

c o s a. 1 1 7 4 . a r e

c o s ( t a n 2 ) . 1 1 7 5 . 6 5 ° 2 5 ' . 1 1 7 7 . 3 V 3 d c o s a . 1 1 7 8 .



A N S W E R S

V 2 Q s i n ( 3 0 ' + 2 - ) s i n ( 3 0 ' - ' )4

s i n a

2 0 3

1 1 7 9 . 6 9 ° 1 8 ' . 1 1 8 0 .

2 H s i n ( 3 0 ` { - a ) s i n ( a - 3 0 ° )5 4 ° 4 4 ' . 1 1 8 1 . 2 a 2 s i n a . 1 1 8 2 .°

1 1 8 3 . a r c c o s ( t a n

2

c o t 1 8 0 ) , 4 2 ° 4 6 ' . 1 1 8 4 . a r c t a nt a n a

c o s1 8 0

n0

1 1 8 5 . a r c t a n ( t a n a c o s 8 ) , 6 0 ° . 1 1 8 6 . 7 0 ° 3 2 ' . 1 1 8 7 . 2 a r c -n

1 / 2 2 s i n a

t a n ( s i n a i .1 1 8 8 . a r c c o s I n -

n.

PM . 2 a r e s i n 2 , 3 5 ° 6 ' .

1 1 9 0 . 2 h c o t a s i n 2 . 1 1 9 1 . a r c c o s 6 . 1 1 9 2 . a r e s i n ( 1 s i n 2 )

13

6 V 31 9 3 . 7 / 1 1 9 4 . _ / 3 a 2 s i n 2 a s i n a . 1 1 9 5 .2 / 2 c o t a 8

2 a 2 3 a 2 c o t a b 2 c o s a H Z t a n a. 1 1 9 8 .1 9 7 .1 6 . 2 d m 2 . 1 1 9 6 .2 7 c o s a 1 6 2 2 c o s a

1 5 7 . 2 c m 2 . 1 1 9 9 . a 2 c o s 3 a . 1 2 0 0 . 4s i a

1 2 0 1 . 2 d 2 s i n 2 a . 1 2 0 2 .c o s 0

ab t a n

a c o s

2 s i n a '1 2 0 3 . a

4 c o s t. 4

. 1 2 0 4 .( a - b )

6t a n t Q . 1 2 0 5 . d c o s

o a

d s i n a

o r

.

1 2 0 6 . _ - 4 0 ° 5 4 ' . 1 2 0 7 . a r c t a n R - d 2

I t s i n Z

5 9 ° 2 ' . 1 2 0 8 .

m 2 s i n 2 a t a n a . 1 2 0 9 . 1 2 1 0 . 4 d 2 t a n 2 6 0 3 0 c m 2 .2 / C O s a 2

1 2 1 1 . 2 Q c o s a , 1 / Q c o s a t a n a . 1 2 1 2 . l / d 2 s i n g a - ) - R 2 c o s 2 a .H 2 s i n 0

c o s s a '1 2 1 4 .

L 2 3 s i n ( a2

i 6 n 2 0 ° a s i n ( a - 6 0 ° )1 2 1 5 .2 1 3 .

2

7 5 ° 3 1 ' . 1 2 1 6 . 2 c o s t ( 4 5 ° 4 ) . 1 2 1 7 . s i n 0 J Q c o t 2 . 1 2 1 8 .

R 2 s i n a 1 / s i n(

s i n (- a ) 1 2 1 9 . a r c c o s ( c o t

2t a n

c o s 22 ) ,a s 2

5 4 ° 4 4 ' . 1 2 2 0 . 2 n s i n - a . 1 2 2 1 . 2 a r e s i n - S L . 1 2 2 2 . a2 2 n s i n - a s i n 0

1 2 2 3 :( R 2 - r 2 ) s i n a

1 2 2 4 . R a r c s i n2 Q c o s 0

r a r e s i n2 Q c o s P

2 s i n P.

( R 2 - t 2 ) ' ( R 2 - r 2 ) .




( a 2 b 2 ) c o t a1 2 2 5 .

21 2 2 6 . - h 2 c o t ( a + P ) . 1 2 2 7 .

S s t n 2 a

3 aQ c o s 21 2 2 8 .

2a t a n

22

Y

Q s i n s ( 4 5 ° -4 ) .

1 2 3 2 . V R a - }s i

2 2 R r c o s 2 a2 c x

t a n a1 2 3 3 . 1 1 6 ° 5 0 ' . 1 2 3 4 . 2

a( a < 1 2 0 ° ) ; 1 ,

2

, 1 ,

2 s i n a + t a n2

n o s o l u t i o n . A t a = 1 2 0 ° t h e c o n i c a l s u r f a c e i s n o t i n t e r s e c t e d b y

a 3 c o s 2 a 4 0 , c o s 2 at h e p l a n e . 1 2 3 5 .

s i n a ' s i n a1 2 3 6 . a b a a - f - b s X

X t a n a . 1 2 3 7 . 4 d 3 s i n 2 a c o s a s i n 2 p . 1 2 3 8 . d 3 s i n a s i n 0 X

X / c o s ( a + P ) c o s ( a - 0 ) . 1 2 3 9 . d 2 s i n 2 a - { - 2 - V - 2 Q c o s ( a - 4 5 ° ) .a v - d 2 ( 2 + c o s a )2 Q d s i n 2 a . 1 2 4 0 .

2 a 2 a c o s a ,1 1 5 4 c m 2 . 1 2 4 1 .

a 2

s i n2

s i n 2

2 d 3 c o t 2 . 1 2 4 2 . a Q s i n a s i n 0 , - - 1 6 7 7 c m 3 . 1 2 4 3 .

4d 3 X

X s i n 2 a c o s a s i n P . 1 2 4 4 .U 2 t a n a c o s 2 a

1 2 4 5 .1

d 3 Xc o s a 4

X s i n 2 a s i n a . 1 2 4 6 . 2 H s t a n s a s i n 2 0 . 1 2 4 7 . 2 Q d s i n 2 c & ,

2 9 5 5 c r o s . 1 2 4 8 .d 9 1 / 3 s i n 8 2 a c o s a

1 2 4 9 .

a s l / 3 s i n ( 3 0 ° { - 2 ) s i n ( 3 0 ° - x )3 d 3 y 3 s i n 2 a c o s a

1 2 5 0 .as i n

2

1 6

1 . 5 d 2 s i n 2 a , - - 2 . 8 3 d m s , 1 1 . 9 5 d m a . 1 2 5 1 . 1 2 d 2 s i n

2X

X I / s i n ( 3 0 ° + 2 ) s i n ( 3 0 ° - 2 ) . 1 0 8 8 d m s . 1 2 5 2 .

2 a 3 s i n a s i n 2 0 . 6 4 3 1 m s . 1 2 5 3 . Q s i n a Y V 3 Q c o s a .



A N S W E R S

1 2 5 4 . 1 2 Q s i n a ,

d s s i n a s i n 2

8

X s i n 2 ( z

2 0 5

2 Q s i n a 1 / Q c o s a . 1 2 5 5 . 1 . 5 d 2 s i n a ,

, . . . . I , _ a

1 2 5 6 .s i n a

s i n 2 p c o s 0 , d 2 Y s i n 2 f l c o s

2

c o s

1 2 5 7 .

8

d s X

( 4 5 ° . 2 )9 . 7 5 4 d m s , 6 5 . 1 9 d m 2 . 1 2 5 8 . 2 Q c o s

2

c o s ( 4 5 ° - 2 ) .

1 2 5 9 . p s t a n s 4 5 - - a ) t a n a t a n o . 1 2 s o .3c s i n 2 2 a 2

4 ) 21 6 c o s a c o s ( ( . 1 - 4 5 -

2 1 21 2 6 1 .

2

a s s i n a t a n p , 5 8 2 . 9 d e . 1 2 6 2 . g a s - s i n 2 X

X v s i n2 s i n 2

U s i s i n 2 a c o s a8

a 3 c o t 2 c o s

a

3 2 s i n s ( 4 5 ° + 4 )

2 3 . 5 d m s . 1 2 6 3 . b Q s i n a . 1 2 6 4 .

1 2 6 5 . b a s i n 2 s i n 3 2 s i n a . 1 2 6 6 .

a 31 2 6 7 . 2 a 3 s i n 2 a c o s 2 . 1 2 6 8 .

2 - s i n a1 2 6 9 .

4 R 2 s i n 2 a ; 2 R 3 s i n 2 a c o s a .b s 1 s i n 2 a c o s a

8

3 8 2 1 c o s $ 2

2 c o s a

1 2 7 0 . 1 . 5 b 2 s i n 2 a . 1 2 7 1 .

1 2 7 2 . 0 . 5 m 3 i s i n 2 a c o s a . 1 2 7 3 .

1 2 7 4 . 2 r s i c o t a . 1 2 7 5 . 4 1 / 2 b 2 s i n2

c o s X

X ( 4 5 ° - 2 ) . 1 2 7 6 .4 m 2 c o s a ( c o s

1 h a s n 2

- / 1 + s i n e a ) .1 2 7 7 .

4 H s s i n a3 2

3 c o s a 21 2 7 8 . V =

3 1 / ( 2 - +t a n

n a g a ) 3 'S =

( 2 + t a n l a ) c o s a

1 2 7 9 .

p s 6 4 t a n

8 a . 1 2 8 0 . 2 m 2 n c o s a c o s 2 2 t a n 1 8 0 ° , 6 m 3 n X

X s i n 2 a t a n 1 8 0 c o s a . 1 2 8 1 .n

Q t a n

Z1 / Q c o s p

. 1 2 8 2 .

6 1 / 2 c o s 2

a a1 6 R 2 c o s 4 - 3 2 R 3 c o s ° -

V 3 V j r 2 t a n a . 1 2 8 3 .s i n e a c o s

a 2 2

' 3 s i n e a c o s a

1 2 8 4 .




9 p 3 0 0 9 3 a

2 1 2 8 5 . 1 1 3 c o t a c o t

4 s i n2

s i n ( 6 0 ° + . a ) s i n ( 6 0 ° - 2 )

6

1 2 8 6 . 6 b 8 s i n 2 a s i n 2 0 c o s P . 1 2 8 7 . 6 a s c o s a c o t a t a n P . 1 2 8 8 .

3 R 8 c o t ( 4 5 1 - 2 ) c o t

2

t a n P . 1 2 8 9 .

2 1 3 s i n s a c o t P V s i a + P ) s i n ( n - a ) .1 2 9 0 .

s

b 8 s i n 2 X3

b 2 c o tA

t o s s

a

X T s i n ( 2 + 6 0 ° ) s i n ( 6 0 ° - a ) 1 2 9 1 .2 c o s a 2

1 2 9 2 . 3 b 8 s i n s y c o s y s i n a s i n P s i n ( a + P ) . 1 2 9 3 . 6 1 c 3 s i n 2 X

d s c o t ( 4 5 ° - )X c o s a . 1 2 9 4 . a 2 s i n c o t ( 4 5 ° - 2 ) . 1 2 9 5 . s i n e s i n a

1 2 9 6 .a s

C O a a , 2 5 . 3 9 d m 8 .2 4 s i n 2

d 2 t a n 2 c o s y 21 2 9 7 . 1 2 9 8 .

2 m 8 t a n a s i n s ( ( x - - 0 )922( b ) s i n a . U . N .H - H( c

3 s i n s 0 c a g e a

U s s i n s ( 4 5 ° + a ) c o t ( 4 5 ° - 2 )1 3 0 0 .

s i n s a1 3 0 1 . 3 H 8 t a n c p s i n 4 1 p .

1 3 0 2 . 1 2 ( a 8 - b 3 ) t a n a . 1 3 0 3 . B a s c o s 2 ( 4 5 ° 2 ) , 1 8 6 d m 2 .

1 3 0 4 .( a s - b 8 ) - c o s 2 w .

1 3 0 5 .1 2 V R .

1 3 0 6 . 1 X6 c o s c s i n e a 6

X Q ( 2 1 / 2 - 1 ) s i n a Q c o s a . 1 3 0 7 .C 3 s i n 2 a t a n

2 4. 1 3 0 8 . 1 .

8

n d 3 s i n 2 a c o s a , 8 0 . 3 2 c m 3 , 2 a d s s i n 2 a , 9 9 . 2 6 c m 2 . 2 . 0 . 2 5 n Q X

f i n d s s i n ( 1 5 ° - {

4

) c o s ( 1 5 ° -4

)

X Q t a n a , - ~ 1 1 3 2 d m 8 . 1 3 0 9 .c o s s 2

a d s s i n 2 U P1 1 0 3 d m 3 . 1 3 1 1 .

s i n s 2 a '1 3 1 0 .

ac o s 3

2



A N S W E R S 2 0 7 '

n a s l / ( a s i n ( 2

s i n e 2 s i n

1 3 1 2 .

2 R 3 s i n p t o s s

2

t a n a

3

1 3 1 3 .n a 3 s i n 3 a 8 3 . 8 3 c m 3 . 1 3 1 4 . ( 1 )

6

n 1 3 s i n a s i n 2 ,1 6 1 / 2 c o s 3 ( a - 4 5 ° )

2 n 1 2 s i n 2 c o s t ( 4 5 0 4 ) , ( 2 ) n Q Q c o t a , n o c o t a . 1 3 1 5 .

a p e s i n a 2 n Q c o s t 4 5 0 - a2 2

1 3 1 6 . 3 5 8 7 C O .

8 c o s t ( 4 5 ° - s i n a

1 3 1 7 . 2 a r c s i n SQ

Q . 1 3 1 8 .

3

n r 3 c o t 3 2 t a n a , 6 5 2 5 W .

a d 3 c o t 2a

a1 3 1 9 .

2c o s

, 1 0 0 . 1 c m 3 . 1 3 2 0 .n a 3 c o s a ,

- - 1 4 . 3 2 d m 3 .

6 s i n - ' 1 2 s i n

1 3 2 1 .

Q J / 2 n Q s i n 21 3 2 2

2 n d 3.

2 4 a s i n " 2 c o s 3 4 5 - - a ) 3 s i n 2 a s i n a c o s 22

7 8 0 7 0 d m . 1 3 2 3 .a 3 a 2 4 3 X 2 - a 2

1 3 2 4 .n j / 2 c 2 s i n 2 a c o s ( 4 5 ° - a )

1 9 2 n 2 s i n 3 2 2

n c 3 1 3 X 3 2 a 1 3 2 5 . 4 n b 2 s i n 2 a c o s ( 3 0 ° = , 2 ) c o s ( 3 0 ° 2 )a c o t )n r n 3 c o s t a ( 3 s i n

2+ c o c 2

3 n b 3 s i n e 2 a . 1 3 2 6 .3 . 1 3 2 7 .

n d 3 s i n 2 2 s i n e - 8 R 2 s i n 4 5 0 + - E 2 ) n m 3 c o s a1 3 2 8 . . 1 3 2 9 .

3 s i n e a 2 i s i n a s i n 2 1 2 s i n Z

2 n d 2 c o t 2 r 2 c o t 2 c o t ( 4 5 ° - 2 )7

1 3 3 0 .9 s i n 2 a

1 3 3 1 .c o s

.1 3 3 2 .

63 X 1 3 X

X s i n 2 a c o s a . 1 3 3 3 . 2 n 1 2 s i n ( * + 1 5 ° ) c o s ( 2 - 1 5 ° ) . 1 3 3 4 .

n 1 2 s i n a t a n a . 1 3 3 5 . 2 4 n 1 3 s i n 2 a c o s a . 1 3 3 6 . 0 . 5 n 1 2 ( 1 +




- } s i n e a - t a n g 2 ) ' 6 a 1 3 t a n2

( c o s y 2 - C O S2

0 0 83 a + c o s t

3 2 ).

1 3 3 7 . 3 s t a g s i n a c o s ( 3 0 ° + 2 ) c o s ( 3 0 ° - 2 ) 1 3 3 8 . 1 . a b 3 X

X s i n 2 a c o s a , 2 . 2 n b 3 s i n s 2 a . 1 3 3 9 . 1 . 2 n a 3 s i n a s i n 1 ,

8 n a 2 s i n 2 , 2 . 2 n a 3 s i n a c o s t 2 , 8 n a 2 c o s t 2 . 1 3 4 0 . 4 t R 3 X

X s i n ( 2 + P ) s i n 2 , 4 n R 2 s i n ( - . + S ) s i n 2 . 1 3 4 1 . 8 n R 2 s i n X

1 / 5X ( 2 - + P ) s i n

2c o s t 4 , 4 4 5 . 4 c m 2 . 1 3 4 2 .

4 n a 3

s i n g 2 a .1 3 4 3 .

2 7

n a g t a n 2 2 . 1 3 4 4 .a 2

1 3 4 5 . n R 3 s i n 2 a c o s a ,4 s i n e

2c o s a

2 0 0 . 3 d m 3 . 1 3 4 6 . 3 n r g c o t s ( 4 5 ° - 4 ) c o t 2 . 1 3 4 7 .

s3 R 3 X

X s i n e a c o s t 2 . 1 3 4 8 . n N 2 c o s a ; 1 5 4 5 c m 2 . 1 3 4 9 . 3 - Q x, 0 S 4

2

XY

Q s i n g 2 a t a n 3 2 . 1 3 5 0 . Q s i n a c o s

2c o s t ( 4 5 ° - 4 ) ,

9 3 . 6 9 c m 2 . 1 3 5 1 .4 n r 2 n ( 7 + c o s 2 a )

1 3 5 2 . 2 n R 2 s i n XS i n g a ' 3 s i n g a

X ( a - P ) c o s a + 02

M i r P u b l i s h e r s w e l c o m e y o u r c o m m e n t s o n t h e

c o n t e n t , t r a n s l a t i o n a n d d e s i g n o f t h e b o o k .W e w o u l d a l s o b e p l e a s e d t o r e c e i v e a n y p r o p o s a l sy o u c a r e t o m a k e a b o u t o u r f u t u r e p u b l i c a t i o n s .

O u r a d d r e s s i s :U S S R , 1 2 9 8 2 0 , M o s c o w I - 1 1 0 , G S PP e r v y R i z h s k y P e r e u l o k , 2

M i r P u b l i s h e r s

P r i n t e d i n t h e U n i o n o f S o v i e t S o c i a l i s t R e p u b l i c s



O T H h ' . R E M I R P C L I L I S H L R S ' 1 3 0 O K S F O R Y O U R L I B R A R Y

D e s c r i p t H y ' G e o m e t r y

b y N . K R Y i o % , U . S c . ,

P . L O R A N O I Y V : V S K Y , C a n d , S c . , S . N I F . N

G e o m e t r y

b y P . A N D R E E V , C a n d , S c .

a n d E . S I I U F . A L O V A , C a n d . S c .

P r o b l e m s i n E l e m e n t a r y M a t h e m a t i c sf o r H o m e S t u d y

I r y N . A N T O N O V ' ; M . V Y C O D S K Y , D .

mir - kutepov a. and rubanov a. - problems in geometry - mir 1978

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