medidas de localización - edug531 · conocer las medidas de posición o ... acumula la cantidad...
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Medidas de
PosiciónPreparado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
© 2007 Derechos de Autor Reservados
Revisado 2010
Objetivos de Lección
1. Conocer las medidas de posición o
localización más comunes y cómo se calculan las
mismas para datos crudos y para datos
agrupados.
2. Conocer y aplicar el proceso para hallar
cuartiles y percentiles en un grupo de datos.
3. Conocer el significado y proceso para hallar el
rango percentil de una puntuación dada.
4. Utilizar la Ojiva para hallar percentiles y
rango percentil en una distribución de datos.
Medidas de
Posición
Medidas de Posición
Son medidas que establecen la posición o localización exacta de un valor específico de un grupo de datos.
Se utilizan para comparar la posición que ocupa un valor específico en relación a los demás valores del grupo de datos.
Algunos ejemplos de las medidas de posición son: cuartiles, deciles y percentiles.
Enfatizaremos solo los cuartiles y percentiles.
Cuartiles
Los cuartiles dividen el grupo de datos
en 4 partes iguales. Estos son: Q1, Q2, y
Q3
El primer cuartil (Q1) es el punto tal
que hasta él, se concentran una cuarta
parte (1/4) de los datos y tres (3/4) cuartas
partes de los datos se hallan por encima
de él.
L Q1 Q2 Q3 H
25% 25% 25% 25%
Recuerda que: ¼ = 0.25 = 25%
L es valor menor
H es valor mayor
Cuartiles
El segundo cuartil (Q2) es el punto tal
que hasta él, se concentran dos cuartas
partes (2/4) de los datos y dos cuartas
partes (2/4) de los datos se hallan por
encima de él.
Observa que el segundo cuartil (Q2)
divide el grupo en dos partes iguales o
sea, en la mitad.
L Q1 Q2 Q3 H
25% 25% 25% 25%
Recuerda que: 2/4 = 1/2 = 0.50 = 50%
Por eso, Q2 equivale a la
mediana. L es valor menor
H es valor mayor
Cuartiles
El tercer cuartil (Q3) es el punto tal que
hasta él, se concentran tres cuartas
partes (3/4) de los datos y una cuarta
parte (1/4) de los datos se halla por
encima de él.
L Q1 Q2 Q3 H
25% 25% 25% 25%
Recuerda que: 3/4 = 0.75 = 75%
Percentiles
Los percentiles dividen el grupo de datos en
100 partes iguales. Estos son: P1, P2, ..., P100
El primer percentil (P1) es el punto tal que
hasta él, se concentra el 1% de los datos.
El percentil 25 (P25) es el punto tal que hasta
él, se concentra el 25% de los datos.
El percentil 50 (P50) es el punto tal que hasta
él, se concentra el 50% de los datos.
Observa que P25 = Q1 y P50 = Q2 = Mediana
L P1 P2 P3 ... P98 P99 H
1% 1% 1% 1%1% ...
¿A qué percentil equivale el tercer cuartil?
Ejercicios de
Cuartiles para Datos
sin Agrupar
¿Cómo calcular un cuartil?
Paso 1: Ordenar datos de menor a mayor
Paso 2: Hallar la posición deseada usando la
siguiente fórmula:
Q1 = (n+1)
4
Q3 = 3(n+1)
4
¿Por qué no tenemos una fórmula para Q4?
Q4 es el valor mayor.
¿Por qué no tenemos una fórmula para Q2?
Q2 es la mediana.
La fórmula para hallar la
posición de la mediana
es:
Q2= (n+1)
2
Continuación...
☻ Paso 3: Hallar el valor que representa el cuartil en la lista de datos
Si el resultado de la fórmula es un número entero, se localiza la posición que representa este dato.
Si es fraccionario y la fracción es igual a 0.5, se localizan los dos valores centrales que corresponden a la fracción y luego se halla el punto medio de estos dos valores.
Si es fraccionario y la fracción no es 0.5, se redondea hacia arriba o hacia abajo, al entero más cercano, y se localiza la posición que representa este dato.
Ejemplo 1: Calcula Q1
e interpreta el
resultado.
Las puntuaciones representan resultados del
examen de estadística en un grupo de 50
estudiantes.
Datos ordenados: n = 50
39, 44, 47, 50, 55, 58, 58, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 68, 68,
70, 70, 70, 72, 72, 72, 72, 74, 74, 75, 76, 77, 77, 77, 78,
78, 80, 82, 82, 83, 85, 86, 86, 88, 88, 89, 90, 90, 91, 92,
94, 95, 95, 97, 98
Observa que ya están
ordenados de menor a
mayor y que n = 50.
Ejemplo 1: Calcula Q1
e interpreta el
resultado.
Datos ordenados: n = 50
39, 44, 47, 50, 55, 58, 58, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 68, 68,
70, 70, 70, 72, 72, 72, 72, 74, 74, 75, 76, 77, 77, 77, 78,
78, 80, 82, 82, 83, 85, 86, 86, 88, 88, 89, 90, 90, 91, 92,
94, 95, 95, 97, 98
Q1 = 50+1 = 12.75
4
Como 12.75 es fraccionario y la fracción es distinta a 0.5,
redondeamos al entero más cercano y obtenemos 13.
Localizamos la posición 13. La posición 13 la ocupa el 67.
Así que Q1 es 67.¿Qué significa el valor obtenido en Q1?
Ejemplo 2: Calcula Q3
e interpreta el
resultado.
Datos ordenados: n = 17
10, 20, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 32, 32, 32, 33, 35, 37, 38
Q3 = 3(17+1) = 13.5
4
Como 13.5 es fraccionario y la fracción es igual a 0.5, se localizan los
dos valores centrales que corresponden a la fracción 13.5, o sea, los
valores que están en la posición 13 y 14, y se halla el punto medio de
estos dos valores.
La posición 13 la ocupa el 32 y la posición 14 la ocupa el 33. El punto
medio es 32.5. Así que Q3 es 32.5. (No se redondea)
¿Qué significa el valor obtenido en Q3?
Percentiles para
datos agrupados
en clases
Fórmula
inf
inf x
x
x
( % )
Frontera inferior de clase P
( % ) x% del total n
= frecuencia acumulada de clase anterior a P
frecuencia de clase P
intervalo
x
x n faP F i
f
F
x n
fa
f
i Recuerda que para calcular
el x% de n hay que convertir
x% a decimal
Pasos para calcular percentiles
1. El primer paso para calcular los percentiles es
determinar las frecuencias acumuladas.
2. El segundo paso para calcular los percentiles
es determinar la posición donde están
localizados los percentiles. Para determinar la
posición de los percentiles se multiplica el total
de datos de la muestra (n) por el decimal que
corresponde al por ciento indicado por el
percentil. El resultado obtenido se redondea al
entero más cercano.
Pasos para calcular percentiles
3. El tercer paso es determinar la clase que
corresponde al percentil deseado. Se localiza en
la tabla de distribución de frecuencias donde se
acumula la cantidad determinada por la posición
obtenida en el paso anterior.
4. Ahora se tiene toda la información necesaria
para aplicar la fórmula. Se aplica la fórmula con
los datos de la tabla.
5. El último paso es contestar cuál es el
percentil deseado de acuerdo al resultado
obtenido en la fórmula.
Ejemplo 1
Calcular P88. Puntuaciones en Prueba
de Aptitud Sicológica
para 200 estudiantes
x f
55-59 10
60-64 10
65-69 40
70-74 60
75-79 40
80-84 20
85-89 10
90-94 10
Total 200
¿Qué se
necesita
para aplicar
la fórmula?
Añadir
columna de
frecuencias
acumuladas.
Ejemplo 1
Calcular P88.
P88 = 83.5
Puntuaciones en Prueba de
Aptitud Sicológica para 200
estudiantes
x f fa
55-59 10 10
60-64 10 20
65-69 40 60
70-74 60 120
75-79 40 160
80-84 20 180
85-89 10 190
90-94 10 200
Total 200
5.83
45.79
58.05.79
520
165.79
520
1601765.79
520
16020088.05.7988P
88% de 200 = 0.88 x 200 = 176
Reflexión
¿Por qué no hay una fórmula para cuartiles
agrupados en clases?
Observa que todo cuartil se puede convertir a
percentil.
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
Por tanto, solo se necesita una fórmula, la de
percentiles
Ejercicios de
cuartiles y
percentiles
Ejercicio 1: Hallar Q1 , Q3 , y P15 e interpretar los resultados.
Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia
x f
55-59 2
60-64 4
65-69 8
70-74 10
75-79 13
80-84 8
85-89 7
90-94 5
95-99 5
100-104 5
105-109 4
110-114 4
115-119 3
120-124 2
Total 80
Recuerda que para
poder calcular los
cuartiles y
percentiles
necesitamos
añadir la columna
de frecuencia
acumulada.
Ejercicio 1: Hallar Q1 , Q3 , y P15 e interpretar los resultados.
Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia
x f
55-59 2
60-64 4
65-69 8
70-74 10
75-79 13
80-84 8
85-89 7
90-94 5
95-99 5
100-104 5
105-109 4
110-114 4
115-119 3
120-124 2
Total 80
5.72
35.69
56.05.69
510
65.69
510
14205.69251 PQ
Ejercicio 1: Hallar Q1 , Q3 , y P15 e interpretar los resultados.
Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia
x f
55-59 2
60-64 4
65-69 8
70-74 10
75-79 13
80-84 8
85-89 7
90-94 5
95-99 5
100-104 5
105-109 4
110-114 4
115-119 3
120-124 2
Total 80
5.97
35.94
56.05.94
55
35.94
55
57605.94753 PQ
Ejercicio 1: Hallar Q1 , Q3 , y P15 e interpretar los resultados.
Puntuaciones obtenidas por una muestra de 80 sujetos en una prueba de inteligencia
x f
55-59 2
60-64 4
65-69 8
70-74 10
75-79 13
80-84 8
85-89 7
90-94 5
95-99 5
100-104 5
105-109 4
110-114 4
115-119 3
120-124 2
Total 80
5.97
35.94
56.05.94
55
35.94
55
57605.9415P
Rango Percentil
Rango Percentil
El rango percentil de una puntuación es el porcentaje de las puntuaciones menores o iguales que esa puntuación, o sea, el por ciento de las puntuaciones que se concentra hasta ese valor dado.
Por ejemplo: El rango percentil de 63 es el por ciento de las puntuaciones en unadistribución que caen bajo la puntuación de 63, incluyendo a 63.
Diferencia entre rango percentil y percentil: El rango percentil de una puntuación es un punto en la escala percentil mientras que unapercentila es una puntuación en la mismaunidad que la escala de medición original.
Rango Percentil
La fórmula para determinar el rango percentil de una puntuación x es:
100
inf
n
fi
Fxfa
RPx
x es la puntuación de donde se desea hallar el rango percentil
fa es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene la
puntuación x
Finf es la frontera imferior de la clase que contiene a x
i es el intervalo de las clases
f es la frecuencia absoluta de la clase que contiene a x
n es el total de puntuaciones en la muestra
Rango Percentil
Ejemplo: Halla RP61 de la distribución de frecuencias que está en la Tabla 3.2, pág. 47 del libro de Hinkle e interpreta el resultado.
83.90100180
5.4159
100180
155
5.5961159
61RP
90.83 % de los datos de la distribución se concentran
hasta la puntuación 61 (están en y bajo 61)
Ojiva
Se puede utilizar una ojiva para hallar la percentila y el rango percentil de una puntuación.
Mostrar ejemplo en Figura 3.1, pág. 49 del libro de Hinkle.
Reflexión
El grupo de referencia es importante cuandose vayan a interpretar resultados de percentilas. La interpretación dependeexclusivamente de la posición en un grupodado.
Las percentilas representan puntos no-uniformes. Diferencias iguales en percentilasno significa diferencias iguales en los datos crudos.
Las percentilas representan escala ordinal. Esto plantea una limitación en el uso de los percentiles. No están sujeto a manejoalgebraico. No se pueden sumar, combinar o promediar.
Fin de la Lección