2. medidas de centralización e posición

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

ÍNDICEÍNDICE

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN E POSICIÓN

UNIDADE 2UNIDADE 2

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

ConceptosConceptos

1. Parámetros de centralización: media, mediana e moda.

2. Parámetros de dispersión: rango, varianza, desviación típica.

3. Utilización conxunta de media e desviación típica.

4. Medidas de posición non central: cuartís, decís, percentís.


1. Parámetros de Centralización1. Parámetros de Centralización

Este tipo de parámetros proporciónannos uns valores en torno ós que se centran os datos da distribución.Os principais son:

Media aritméticaMedianaModa


1. Parámetros de Centralización1. Parámetros de Centralización

Veremos tamén: – media aritmética ponderada– media a. Recortada– media a. truncada ou Winsorizada, – media cuadrática– media xeométrica – media harmónica.


1. Parámetros de Centralización. Tipos de media.1. Parámetros de Centralización. Tipos de media.

Media aritméticaA media aritmética dunha variable estatística é o cociente entre a suma de todos os valores de dita variable e o número destes.

Fórmula para datos agrupados nunha táboa estatística:

xi = valor da variable ou marca de clasefi = frecuencia absolutaN = nº de datos

N

fxx ii∑ ⋅

=_



Media aritmética ponderada:Emprégase para calcular o promedio duns valores cando estes teñen diferentes ponderacións ou pesos.Se unha variable estatística toma valores x1, x2,…,xn con pesos w1, w2, …, wn respectivamente defínese a media aritmética ponderada como:

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

w

xwx

1

1



Media recortada R(p)Se temos unha serie de n datos ordenados,X1,X2,…,Xn, defínese a media recortada nunha porcentaxe p como a media aritmética deses datos onde se suprimen en ambos os extremos os correspondentes á porcentaxe p.Se suprimimos a datos por ambos extremos, teremos que a media recortada ó p% é:

an

XpR

an

aii

2)( 1

−=

∑−

+=



Media truncada ou Winsorizada W(p):Se temos unha serie de n datos ordenados,X1,X2,…,Xn, defínese a media truncada ou Winsorizada nunha porcentaxe p como a media aritmética deses datos onde se substitúen en ambos os extremos os datos correspondentes á porcentaxe p polo máis preto dese extremo.



Media cuadráticaEmprégase cando a variable toma valores positivos e negativos e non queremos que a medida de tendencia central reflicta os efectos do signo. É moi práctica cando traballamos con erros na medida dunha magnitude. Desígnase por C e a súa expresión para datos agrupados é:

xi = valor da variable ou marca de clase fi = frecuencia absoluta N = nº de datos

N

fxC

n

iii∑

=

⋅= 1

2



Media Xeométrica:Utilízase cando calculamos números índices sintéticos (combinan unha grande cantidade de prezos e producións, como o IPC). Non se pode usar cando hai valores negativos. Desígnase por G, e a súa expresión para datos agrupados é:


N fn

ff nxxxG ⋅⋅⋅= ...21

21



Media Harmónica:É a inversa da media aritmética dos inversos dos valores da variable. É útil na comparación de velocidades promedio sobre varias distancias e na resolución de problemas estatísticos de transporte. Designase por H, e a súa fórmula para datos agrupados é:


∑=

= n

ii

i

fx

NH

1

1



Exemplo (media aritmética-media aritmética ponderada)

Un alumno obtivo en tres exames as seguintes notas: 4-5-6.A nota media, se as tres tivesen a mesma importancia sería:

En cambio, se o profesor lle dá ás notas dos exames distintas ponderacións, por exemplo: 3-2-1 respectivamente, a nota media ponderada sería agora:

67,4123

615243

1

1 =++

⋅+⋅+⋅==∑

∑

=

=n

ii

n

iii

w

xwx

53

654_

=++=⋅

= ∑N

fxx ii



Exemplo (media aritmética-media harmónica)

AB=120km. A B velocidade media=30Km/h ⇒

B A velocidade media=60Km/h ⇒

Acha a velocidade media da viaxe completa:

A velocidade media da viaxe sería:

Este promedio correspóndese coa media harmónica:

Se se considerara a media aritmética das velocidades, obteríamos:

Que é incorrecto!!!

hv

et 4

30

120 ===

hv

et 2

60

120 ===

hkmN

fxx ii /45

2

6030_

=+=⋅

= ∑

hkmv /4060

120

totaltempo

totaldistancia ===

hkmf

x

NH

n

ii

i

/40

601

301

21

1

=+

==∑=



Exemplo: Dada a serie estatística: 1- 4- 6- 6- 8- 8- 10- 12- 14- 30, imos achar a media recortada ao 10% e a media winsorizada ao 10%.

MEDIA RECORTADA ao 10%: o 10% de 10 é 1 e eliminamos 1 dato por cada extremo. Calculamos a media aritmética dos 8 datos restantes:

1 4 6 6 8 8 10 12 14 30 ⇒

MEDIA WINSORIZADA ao 10%: substituímos os datos extremos polos datos máis próximos a eles, e calculamos a media da serie:

4 4 6 6 8 8 10 12 14 14 ⇒

Obsérvase que estes valores difiren bastante da media aritmética:

debido a que hai un valor atípico: 30

5,88

14121088664

2102)10(

110

111 =+++++++=−

=−

=∑∑

−

+=

−

+= ii

an

aii X

an

XR

6,810

14141210886644)10( =+++++++++=W

9,910

30141210282641_

=++++⋅+⋅++=⋅

= ∑N

fxx ii


1. Parámetros de Centralización. Media aritmética.1. Parámetros de Centralización. Media aritmética.

Exemplo variable discretaNunha poboación de 25 familias observouse a variable número de coches que ten a familia, e obtivéronse os seguintes datos:

0 1 2 3 1 0 1 1 1 4 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1Xi fi xi⋅fi

0 2 0

1 12 12

2 7 14

3 3 9

4 1 4

N=25 39

56,125

39_

==⋅

= ∑N

fxx ii



Vexamos un exemplo gráfico de variable discreta obtido da páxina do ITE.



Exemplo variable continua

Unha estación meteorolóxica rexistrou 88 días de choiva o pasado ano, segundo se mostra na seguinte táboa:

Completemos a táboa:

Litros/m2 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35)

Nº de días 3 7 19 23 18 12 6



Litros/m2 Marcas (xi) fi xi⋅fi

[0,5) 2,5 3 7,5

[5,10) 7,5 7 52,5

[10,15) 12,5 19 237,5

[15,20) 17,5 23 402,5

[20,25) 22,5 18 405

[25,30) 27,5 12 330

[30,35) 32,5 6 195

N=88 1630

2_

/ 52,1888

1630mlitros

N

fxx ii ==

⋅= ∑


1.-Parámetros de centralización: Mediana. 1.-Parámetros de centralización: Mediana.

A mediana Me dunha variable estatística é o valor de dita variable tal que o número de valores menores ca el é igual ó número de valores maiores ca el. Ou dito doutro xeito, é o valor tal que, ordenados os valores en orde crecente ou decrecente ocupa a posición central.


1. Parámetros de Centralización. Mediana.1. Parámetros de Centralización. Mediana.

• Cálculo da mediana nas variables discretas:

• Se N é impar e os datos son simples a Mediana é o valor que ocupa o lugar (N+1)/2.

● Exemplo: 1,4,6,7,8,10,13,16,20, 24,25,27,30 N=13● ocupa a posición central ⇒ Me=13●• Se N é par e os datos son simples hai dous valores centrais e a

mediana será a media aritmética dos valores que ocupan os postos N/2 e N/2 + 1.

● Exemplo: 1,4,6,7,8,10,13,16,20,24,25,27 N=12● ocupan as posicións centrais

5,112

1310 =+=Me



• Cálculo da mediana nas variables discretas:

Se os datos están tabulados nunha táboa de frecuencias, a mediana é o primeiro valor da variable estatística no que a frecuencia absoluta acumulada supere a metade dos datos.

Se a metade dos datos coincide con algunha frecuencia absoluta acumulada , a mediana sería a media aritmética dese valor e o seguinte na táboa.


1. Parámetros de Centralización. Mediana1. Parámetros de Centralización. Mediana

• Cálculo da mediana nas variables continuas (ou para datos agrupados):

Intervalo mediano ou clase mediana [Li-1,Li]: O primeiro no que a frecuencia absoluta acumulada supere a metade dos datosMediana:

Li-1=límite inferior da clase medianaFi-1=frecuencia absoluta acumulada da clase anterior a mediana.fi=frecuencia absoluta da clase medianaN=nº de datosei=lonxitude das clases ou intervalos

i

i

i

i ef

FN

LMe ⋅−

+=−

−1

12



Exemplo variable discreta

Voltamos ao exemplo de nº de coches por familia:-Completamos a táboa calculando as Fi

N=25 impar ⇒ (N+1)/2 = 26/2= 13- Observamos cal é a primeira frecuencia absoluta acumulada que supera este valor e correspóndese co xi = 1.

Por tanto, mediana=1

xi fi Fi

0 2 2

1 12 14

2 7 21

3 3 24

4 1 25

25 25



Exemplo variable continuaVoltando ao exemplo da estación meterolóxica:

O intervalo mediano é [15,20)A mediana calcúlase:Li-1=15

Fi-1=29

fi=23

ei=5

Litros/m2

Marcas (xi)

fi Fi

[0,5) 2,5 3 3

[5,10) 7,5 7 10

[10,15) 12,5 19 29

[15,20) 17,5 23 52

[20,25) 22,5 18 70

[25,30) 27,5 12 82

[30,35) 32,5 6 88

N=882

1

1 / 26,18523

292

88

152 mlitrosef

FN

LMe ii

i

i =⋅−

+=⋅−

+=−

−


1.-Parámetros de centralización. Moda 1.-Parámetros de centralización. Moda

A moda dunha variable estatística, Mo , é o valor (ou valores) de dita variable que ten maior frecuencia absoluta.

• Cálculo da moda nas variables discretas: O valor , ou valores, da variable estatística no que a frecuencia absoluta sexa maior.


1. Parámetros de Centralización. Moda1. Parámetros de Centralización. Moda

• Cálculo da moda nas Variables continuas (ou para datos agrupados):

– Intervalo modal ou clase modal [Li-1,Li]: O intervalo no que a frecuencia absoluta sexa maior.

– Moda:

Li-1=límite inferior da clase modal fi,fi-1,fi+1=frecuencia absoluta da clase modal,anterior e posterior D1 =fi -fi-1 D2 = fi –fi+1

ei=lonxitude das clases ou intervalos

iii

iii

iiio e

DD

DLe

fff

ffLM ⋅

++=⋅

−−⋅−

+= −

+−

−−

21

11

11

11 2


1. Parámetros de Centralización. Moda. 1. Parámetros de Centralización. Moda.

Exemplo 1 (variable discreta):

Voltamos ao exemplo de nº de coches por familia:

O valor da variable estatística no que a frecuencia absoluta é maior correspóndese co xi = 1.

Por tanto, moda=1

xi fi Fi

0 2 2

1 12 14

2 7 21

3 3 24

4 1 25

25


1. Parámetros de Centralización. Moda.1. Parámetros de Centralización. Moda.

Exemplo 2 (variable continua):

Voltando ao exemplo da estación meterolóxica:

O intervalo modal é [15,20)A mediana calcúlase:Li-1=15 D1=fi-fi-1=23-19=4D2=fi-fi+1=23-18=5ei=5

2

21

11

11

11 / 2,175

54

415

2mlitrose

DD

DLe

fff

ffLM iii

iii

iiio =⋅

++=⋅

++=⋅

−−⋅−+= −

+−

−−

Litros/m2 Marcas (xi)

fi

[0,5) 2,5 3[5,10) 7,5 7[10,15) 12,5 19[15,20) 17,5 23[20,25) 22,5 18[25,30) 27,5 12[30,35) 32,5 6

N=88


2. Parámetros de dispersión:2. Parámetros de dispersión:

A parte das medidas de centralización, é necesario coñecer en que medida os datos numéricos están ou non agrupados ó redor dos valores centrais. A isto é o que chaman dispersión e os parámetros que miden estas desviacións respecto da media chámanse parámetros de dispersión.

Os máis importantes son:• Rango• Desviación media• Varianza• Desviación Típica


2. Parámetros de dispersión2. Parámetros de dispersión

RangoO percorrido ou rango dunha distribución é a diferenza entre o maior e o menor valor da variable estatística.

Desviación mediaA desviación media dunha variable estatística é a media aritmética dos valores absolutos das desviacións respecto á media.

xi= Valor da variable ou marca de clase fi=Frecuencia absoluta

N=Nº de datos Media aritmética

N

fxxD i

ii

m

∑ ⋅−=

_

=_

x



VarianzaA varianza dunha variable estatística é a media aritmética dos cadrados das desviacións respecto á media.

xi= Valor da variable ou marca de clase fi=Frecuencia absoluta

N=Nº de datos Media aritmética

Desviación Típica

A desviación típica é a raíz cadrada positiva da varianza.

2ss =

2_

22_

2 xN

fx

N

fxx

s iii

iii

−⋅

=⋅

−

=∑∑

=_

x



Exemplo 1 v. discreta

Voltamos ao exemplo de nº de coches por familia e completamos a táboa:xi fi Fi xifi xi

2 fi

0 2 2 0 0 1,56 3,121 12 14 12 12 0,56 6,722 7 21 14 28 0,44 3,083 3 24 9 27 1,44 4,324 1 25 4 16 2,44 2,44

25 39 83 19,68

xxi − ii fxx ⋅−



Rango = 4-0 = 4

Desviación media

Varianza

Desviación típica

89,056,125

83 22_

2

2 =−=−⋅

=∑

xN

fxs i

ii

79,025

68,19

_

==⋅−

=∑

N

fxxD i

ii

m

94,089,02 === ss



Exemplo 2 (variable continua)Retomamos o exemplo da estación meterolóxica e completamos a táboa.

Litros/m2

Marcas (xi)

fi xi⋅fi xi2⋅fi

[0,5) 2,5 3 7,5 18,75 16,02 48,06

[5,10) 7,5 7 52,5 393,75 11,02 77,14

[10,15) 12,5 19 237,5 2968,75 6,02 114,38

[15,20) 17,5 23 402,5 7043,75 1,02 23,46

[20,25) 22,5 18 405 9112,50 3,98 71,64

[25,30) 27,5 12 330 9075,00 8,98 107,76

[30,35) 32,5 6 195 6337,50 13,98 83,88

N=88 1630 34950 526,32

xxi − ii fxx ⋅−



Desviación media

Varianza

Desviación típica

98,588

32,526

_

==⋅−

=∑

N

fxxD i

ii

m

17,5452,1888

34950 22_

2

2 =−=−⋅

=∑

xN

fxs i

ii

75,317,542 === ss


3. Utilización conxunta de media e desviación típica.3. Utilización conxunta de media e desviación típica.

En distribucións cunha soa moda e bastante simétricas verifícase:

1. No intervalo atópase o 68% dos datos.



( )sxsx +− ,

( )sxsx 2,2 +−

( )sxsx 3,3 +−


3. Utilización conxunta da media e a desviación 3. Utilización conxunta da media e a desviación típica.típica.

ExemploComparación media e desviación típica: coa mesma media, cal interesa ou é máis rendible?

Ver Exemplo

http://www.figueraspacheco.com/CEED/DEPARTAMENTOS/MATEMATICAS/Matematicas1/ceed1bcn/pres_7q.htm

http://www.figueraspacheco.com/CEED/DEPARTAMENTOS/MATEMATICAS/Matematicas1/ceed1bcn/pres_7q.htm


4. Medidas de posición non central:4. Medidas de posición non central:

As medidas de posición non central permiten coñecer outros puntos característicos da distribución que non son os valores centrais. Entre as medidas de posición non central máis importantes están os cuantís que son aqueles valores da variable, que ordenados de menor a maior, dividen a distribución en partes, de tal xeito que cada unha delas contén o mesmo número de frecuencias.

Os tipos máis importantes de cuantís son:

– Os cuartís, que dividen a distribución en catro partes;

– Os decís, que dividen a distribución en dez partes;

– Os percentís, que dividen a distribución en cen partes.


4.- Medidas de posición non centrais: Cuartís.4.- Medidas de posición non centrais: Cuartís.

Ordenados os datos en orde crecente, os cuartís Q1, Q2, Q3 son os valores da variable estatística tales que a cuarta parte dos datos teñen valores inferiores a Q1, a metade dos datos teñen valores inferiores a Q2, e as tres cuartas partes teñen valores inferiores a Q3. A mediana coincide con Q2.


4. Medidas de posición. Cuartís4. Medidas de posición. Cuartís

Cálculo dos cuartis nas variables discretas: Q1 calcúlase buscando o primeiro valor da

variable no que a frecuencia absoluta acumulada supere a cuarta parte dos datos.

Q3 calcúlase buscando o primeiro valor da variable no que a frecuencia absoluta acumulada supere as tres cuartas partes dos datos.


4. Medidas de posición. Cuartís4. Medidas de posición. Cuartís

Cálculo dos cuartís nas variables continuas (ou datos agrupados):Primeiro localízanse os intervalos que conteñen os cuartís,[Li-1,Li], da mesma maneira que na variable discreta, e depois aplícase a fórmula:

Li-1 = límite inferior da clase que contén o cuartilN = Nº de datosfi = Frecuencia absoluta da clase que contén o cuartilFi-1 =frecuencia absoluta acumulada da clase anterior a que contén o cuartil.

ei = lonxitude do intervalo que contén cuartil

i

i

i

ik ef

FkN

LQ ⋅−⋅

+=−

−

1

14


4.- Medidas de posición non centrais:Deciles4.- Medidas de posición non centrais:Deciles

Son 9 valores da variable tales que, ordenados de maneira crecente, dividen a distribución estatística en 10 partes. Cada unha de elas contén a décima parte das observacións.

Represéntanse por D1, D2,…,D9.

D5 =Me


4. Medidas de posición. Deciles.4. Medidas de posición. Deciles.

Cálculo dos deciles

Variable discreta:Se son datos simples, calcúlanse as frecuencias absolutas acumuladas e o decil Dk será o primeiro valor da variable cuxa frecuencia absoluta acumulada exceda a K.N/10 K=1,…,9.

Variable continua (ou datos agrupados):

Calcúlase o intervalo correspondente polo procedemento anterior, [Li-1,Li], e aplícase a fórmula:

K=1,2,…,9

i

i

i

ik ef

FkN

LD ⋅−⋅

+=−

−

1

110


4.- Medidas de posición non centrais: Percentís:4.- Medidas de posición non centrais: Percentís:

Son 99 valores da variable tales que, ordenados de maneira crecente, dividen a distribución estatística en 100 partes. Cada unha delas contén a centésima parte das observacións.

Representanse coa letra P.

É o percentil i-ésimo, onde a i toma valores do 1 ó 99. O i% da mostra son valores menores ca el e o 100-i% restante son maiores.

P50=Q2=Me

P25=Q1

P75=Q3


4. Medidas de posición. Percentís.4. Medidas de posición. Percentís.

Cálculo dos percentís:

Variable discreta:

Se son datos simples, calcúlanse as frecuencias absolutas acumuladas e o percentil Pk será o primeiro valor da variable cuxa frecuencia absoluta acumulada exceda a K.N/100 K=1,…,99.

Variable continua (ou datos agrupados):

Calcúlase o intervalo correspondente polo procedemento anterior, [Li-1,Li], e aplícase a fórmula:

K=1,2,…,99

i

i

i

ik ef

FkN

LP ⋅−⋅

+=−

−

1

1100


4. Medidas de posición. Cuantís.4. Medidas de posición. Cuantís.

Exemplo variable discreta

Táboa dunha serie de datos referidos ó talle dun grupo de alumnos:

Ver exemplo

Neste exemplo só veñen calculados os cuartís:Q1= 1,22 cm (primeiro valor cuxa frecuencia absoluta supera o 25%)

Q2= 1,26 cm (primeiro valor cuxa frecuencia absoluta supera o 50%)

Q3= 1,28 cm (primeiro valor cuxa frecuencia absoluta supera o 75%)

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-5-est.htm

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-5-est.htm



Do mesmo modo calcúlanse os decís: D1 será o primeiro valor cuxa frecuencia absoluta acumulada supere o 10% dos datos, o D2 será o correspondente ao primeiro que supere o 20%,… Por exemplo:

D1=1,22 D5=1,26 D7= 1,28

Do mesmo xeito calculariamos os percentís: Pi será o primeiro valor cuxa frecuencia absoluta acumulada supere o i% dos datos, así, se queremos coñecer o valor do P35, observamos as frecuencias absolutas acumuladas, e o primeiro que supera este valor é: P35= 1,23Outros:

P71= 1,28P13= 1,21



Exemplo variable continua

Ver exemplo

E clica no punto 4: “Exemplos de cálculo”

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt153.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt153.html



Calcular cuartís gráficamente.

Nota: exemplo tomado do banco de imaxes do ITE.

2. medidas de centralización e posición

Education