MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN Autor: Marianela Araujo Ramírez.C.I: 22.168.925.Carrera: Ingeniería Eléctrica.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLa medida de tendencia central se refiere al punto medio de una distribución, es decir, los valores ubicados al centro de un conjunto de datos que describen algunas características. La medidas de Tendencia Central son: Media aritmética, La media, La Mediana y La Moda.

MEDIDAS DE TENDENCIA POSICIÓNEstos dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. La medidas de posición son:• Cuartiles: Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.• Deciles: Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.• Percentiles: Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

MEDIDAS DE TENDENCIA DE DISPERSIÓNEstos miden el grado de dispersión de los valores de la variable, es decir, indican que tan alejados están del centro del grupo cada uno de los datos.En estadística la utilidad de las medidas de dispersión tienen gran importancia ya que:• Proporcionan información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia

central. • Permite comparar varias muestras con promedios parecidos. • De esta forma, ambos tipos de medidas usadas en conjunto permiten describir un conjunto de

datos entregando información acerca de su posición y su dispersión. 

El promedio en matemática y estadística.Es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. El promedio se emplea con frecuencia como mecanismo para resumir un conjunto de cantidades o números. También son frecuentemente usados para comparar un grupo de datos con otro. Los tipos de promedios más conocidos en estadística son:1).- La media aritmética.2).- La mediana.3).- La moda.4).- La media geométrica.5).- La media armónica.

Cálculo y aplicación de la media aritmética. Los métodos para calcular la media aritmética son:• Para datos no agrupados: es el cociente de la suma de los valores divididos por el número de valores.

X = Representa el conjunto de valores. n = Es el número de valores en el conjunto. Σ = Es la letra griega sigma y representa "sumatoria". = es la media o el promedio de la variable X.

Ejemplo: En un recorrido 10 ciclistas tardaron en completar un circuito 49, 39, 43, 52, 39, 44, 40, 51, 44, 55 minutos respectivamente.

Solución: para calcular el aproximado que se tarda un ciclista en completar dicha ruta se sumaran todos los tiempos de los ciclistas (estos representan el conjunto de valores X) y se dividirá por el numero de ciclistas (el numero de valor del conjunto).

el resultado es un promedio general de 45,6 minutos, es decir un ciclista se tarda aproximadamente 45,6 minutos en completar el circuito.

• Para datos agrupados: primero se calcula el punto medio (promedio) de cada clase. Después se multiplica cada punto medio por la frecuencia absoluta de cada intervalo .

= marca de clase (es el punto medio del intervalo). = frecuencias absolutas acumuladas (cantidad de veces que se repite el valor).n = número de valores en el conjunto. Σ = sumatoria. = la media.

Ejemplo: Usando el ejemplo anterior se construirá una tabla de frecuencia.Primero se tomaran rangos de tiempo donde entran cada ciclistas.

intervalos mi fi mi · fi

30 – 40 35 2 70

40 – 50 45 5 225

50 – 60 55 3 165

Aplicando la formula de la media aritmética se tiene:

= 46

Que es un valor muy aproximado al resultado anterior.

Los ciclistas que les tomo 52, 51 y 55 fueron 3.

Cálculo y aplicación del promedio geométrico.La media geométrica de una cantidad arbitraria de números es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Ejemplo: La media geométrica de 20 y 38 es:

27,568

Algunas aplicaciones: La altura de un triángulo rectángulo cumple h, siendo m y n las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Un cateto b cumple b , m su proyección y a la hipotenusa. La tangente t a una circunferencia , s es secante y k la parte interna. El lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo es la media geométrica de los lados de este; el radio de un

círculo equivalente a una elipse es la media geométrica de los semiejes de esta. Lo mismo el caso de la esfera con la elipsoide.

El lado (arista) d de un cubo equivalente a un ortoedro de lados a, b, c es . El peso w de una sustancia que tiene pesos hallados por dos balanzas u y v , resulta

Cálculo y aplicación de la moda.Es el valor que más se repite en un conjunto de datos. • Cálculo de la moda para datos no agrupados: es el valor de la variable con mayor frecuencia.Ejemplo: Se midieron os siguientes valores de la tensión de fractura (megapascales) para una muestra de 24 mezclas de asfalto mezclado.

Hay tres modas: 80, 179 y 232. estos valores aparecen dos veces.

• Cálculo de la moda para datos agrupados: se selecciona el intervalo de clase que tiene mayor frecuencia llamado clase modal. Para determinar un solo valor de este intervalo para la moda se utiliza la siguiente ecuación:

Se utiliza para datos cualitativos nominales u ordinales y para datos cuantitativos. No se ve afectada por los valores extremos. Se puede utilizar cuando la distribución de frecuencias tenga clases abiertas.

30 75 79 80 80 105 126 138 149 179 179 191

223 232 232 236 240 242 245 247 254 274 384 470

Moda.: Límite inferior de la clase modal. frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior a ella (=). frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase posterior a ella (=).h: amplitud del intervalo de clase.

Cálculo y aplicación de la mediana.Es el valor que divide al conjunto ordenado de datos, en dos subconjuntos con la misma cantidad de elementos. Es decir divide a la serie en dos partes iguales en la que la primera mitad de los datos están por debajo de la mediana y la otra mitad está por encima de ella.• Cálculo de la mediana para datos no agrupados:1) Ordenamos los datos de menor a mayor.2) Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

Ejemplo: 2, 2, 3, 3, 5, 8, 8, 9, 10    Md= 53) Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Ejemplo: 3, 7, 9, 10, 15, 16   Md= 9.5

• Cálculo de la mediana para datos agrupados: La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

Se puede utilizar para datos cualitativos ordinales y para datos cuantitativos. Se puede utilizar cuando la distribución de frecuencias tiene clases abiertas, a menos que la mediana caiga en una de las

clases abiertas.

Mediana.: Límite inferior de la clase mediana.n: cantidad de datos. frecuencia acumulada absoluta de la clase anterior al intervalo mediana.: frecuencia absoluta de la clase mediana.h: amplitud del intervalo de clase.

Cálculo a partir de series simples y agrupadas de las medidas de dispersiónHacen referencia a la variabilidad, o la evaluación de cuán separados o extendidos están los datos o bien cuanto difieren unos de otros. Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes:

Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo. ; ..

Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.

: Varianza de la población.x: Elemento u observación.μ: Media de la población.N: Número total de elementos de la población.

Datos no agrupados. Datos agrupados.

PreciosDe a

55 67

67 79

79 91

R= 91- 55=3630 40 45 30

40 50 45 40

50 30 45 30

R= 50 - 30=20 Valor máximo menos el mínimo

• Desviación estándar: Llamada también desviación típica; es una medida que informa sobre la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable. Es la raíz cuadrada de la varianza.

• Desviación Media: indica que tan alejado esta la media aritmética del grupo al que pertenece.

• Desviación media para datos agrupados: Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

• Coeficiente de Varianza: describe la cantidad de variabilidad en relación con la media aritmética.

: Desviación estándar.x: Elemento u observación.m: Media de la población.N: Número total de elementos de la población.

DMDM= desviación media. = valor absoluto.

n = número de valores en el Conjunto. Σ = sumatoria. = la media.

DMDM= desviación media. = valor absoluto. = frecuencia.

n = número de valores en el Conjunto. Σ = sumatoria. = la media.

CV =

Cálculo y aplicación a partir de series numéricas las medidas de posición.

La medidas de posición son:• Cuartiles: Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos

ordenados en cuatro partes iguales.• Cálculo de los cuartiles no agrupados.Se realiza Ordenando los datos de menor a mayor.Se busca el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión.

• Cálculo de los cuartiles para datos agrupados.En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

• Deciles: son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.Cálculo de los deciles: En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

en la tabla de las frecuencias acumuladas. ; k= 1,2,…,9

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.

• Percentiles: Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.Cálculo de los percentiles: En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra 

99en la tabla de las frecuencias acumuladas.

; k= 1,2,…,99

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.

Referencias bibliograficas. Prof. Rafael E. Rasse Cabrera (2015). MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. v(Documento en línea

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