meccanica razionale - alberto strumia

7/21/2019 Meccanica Razionale - Alberto Strumia

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PREFAZIONE

Quando ero studente di Fisica,a dire il vero, la Meccanica razionalenonera tra le discipline che mi entusiasmavano di pi. Cos quando, dopo la

mia laurea, il Prof. T.A. Ruggeri mi chiese di tenere le esercitazioni per

il suo corso di Meccanica razionale decisi di seguire le sue lezioni e di

quellesperienza gli sono ancora profondamente debitore, in quanto da esse,

insieme a rinfrescare nella memoria i contenuti di una disciplina, ho ricavato

il vantaggio di avere imparato un metodo. E stata questa esperienza a farmi

cambiare idea nei confronti della materia. Credo che una delle cose pi

importanti della didattica sia proprio quella di comunicare a chi ascolta un

metodo corretto di approccio alla materia trattata; entrare nel metodo di una

disciplina consente di impararla, di gustarla mentre la si studia, di fare entrare

quel metodo nel proprio patrimonio scientifico-culturale per poterlo utilizzarenel seguito degli studi e magari della futura attivit di ricerca.

Il materiale raccolto in queste pagine nasce da questo itinerario. Il

metodo espositivo, pur con tutti i suoi limiti, cerca di seguire litinerario

naturale dellapprendimento, riportato nella costruzione delle discipline

fisico-matematiche e, in questo caso della Meccanica. Per questo,

trattandosi di un corso del secondo anno, ho preferito evitare unimpostazione

eccessivamente formalistica e troppo astratta. Ho ritenuto pi efficace e pi

utile per lo studente adottare la via dellastrazione progressiva: si parte da un

problema di natura fisica e si cerca di formularlo in termini matematici. Un

altro aspetto che ho cercato di tenere presente consiste nel dato di fatto chela Meccanica razionale , in un certo senso, una disciplina di sintesi nella

quale si utilizzano insieme contenuti e metodi che provengono dalla Fisica,

dallAnalisi matematica e dalla Geometria. Per questo utile che di ogni

problema e di ogni risultato si facciano vedere, collegandoli, gli aspetti fisici,

analitici e geometrici. Abituarsi a vedere i problemi meccanici sotto questi


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tre aspetti crea un allenamento mentale formidabile e un gusto per lunit

interdisciplinare culturalmente prezioso.

Sarei molto contento se qualcosa di questa bella esperienza che ho fatto io

potesse passare e servire a chi sta studiando oggi.

A.S.


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Introduzione

La meccanica razionale una disciplina che tradizionalmente si

collocata, fin dalla sua origine, nel quadro della fisica matematica: ci

significa che i suoi contenuti provengono interamente dalla fisica, mentre

i suoi metodi non sono di natura sperimentale, ma sono completamente

deduttivi come nellamatematica.

La meccanica razionale non ha perci il compito di preoccuparsi della

parte sperimentale con la quale la fisica raggiunge le sue leggi fondamentali:

viceversa presuppone come assiomi i principi della meccanica e parte da

questi per costruire, facendo uso dellanalisi matematica e della geometria,

una teoriadimostrativae completamentededuttiva.

Usualmente un corso di meccanica razionale sviluppa la trattazione

basandosi sui principi della meccanica newtoniana, escludendo dalla propria

considerazione sia lateoria della relativitche lameccanica quantica.

Per aiutare a farsi unidea di come viene organizzata la trattazione diciamo

che essa comprende:

1 - una prima sezione, piuttosto ampia, che potremmo caratterizzare con

il titolo un po generico di preliminari, nel senso che ci fornisce tutti gli

strumenti, ledefinizionie i teoremiche si possono sviluppare senza far ricorso

alla meccanica newtoniana vera e propria. In questa sezione includiamo:

la teoria deivettori applicati

la cinematica

lageometria delle masse, cio quel capitolo che riguarda i concetti di

baricentro e dimomento dinerzia

la cinematica delle masse, cio il capitolo relativo alla quantit di moto,

al momento della quantit di motoe allenergia cinetica.


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2 A. Strumia, Meccanica razionale

lintroduzione del concetto diforza, dilavoroe dipotenziale

2 - La seconda sezione introduce i principi della dinamica newtoniana, il

concetto diequilibrioe sviluppa la staticadei sistemi.

3 - La terza parte, infine, dedicata alla dinamica.

Ogni sezione viene poi sviluppata in relazione ai vari tipi di corpi dei

quali considereremo rispettivamente lequilibrio o il moto. In particolare

ci occuperemo dei seguenti sistemi: il punto, il corpo rigido, il sistemaolonomo, il continuo deformabile. Per ragioni didattiche, data la sua maggiore

complessit, la meccanica del continuo sar svolta alla fine, in un capitolo a

parte, mentre il punto, il corpo rigido, il sistema olonomo vengono trattati

in parallelo. Il capitolo della cinematica comprender cos la cinematica

del punto, del corpo rigido, del sistema olonomo; allo stesso modo saranno

strutturati il capitolo della statica e quello della dinamica.

Sono previste poi diverse appendicial testo base, per consentire richiami

ed approfondimenti abbastanza ampi, senza intralciare il filo conduttore

dellesposizione corrente.

Possiamo riassumere questo schema introduttivo nel seguente quadro.

Vettori applicati

I - Cinematica punto corpo rigido sist. olonomo continuo

Geometria delle masse

Cinematica delle masse punto corpo rigido sist. olonomo continuo

Lavoro e potenziale punto corpo rigido sist. olonomo continuoII - Statica punto corpo rigido sist. olonomo continuo

III - Dinamica punto corpo rigido sist. olonomo continuo

Stabilit e oscillazioni

Piano delle fasi


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PRELIMINARI


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OG. Osservatori e grandezze

Per partire nella trattazione abbiamo bisogno di assumere, come acquisiti

dalla fisica, il concetto di osservatore e le nozioni di grandezza scalare e

vettoriale.

Un osservatore viene comunemente identificato, in meccanica classica,

con un sistema di riferimento, generalmente cartesiano ortogonale levogiro

ma si possono usare anche altri tipi di sistemi di coordinate, a seconda

delle necessit, come le coordinate polari ad esempio che consente di

riferire ad unorigine e agli assi le misure di spazio, e un sistema di orologi

sincronizzati, posti in ogni punto dello spazio, per misurare il tempo.

O

x1

x2

x3

metro orologio

FiguraOG. 1: un osservatore

Scalari

La fisica ci dice che esistono delle grandezze la cui misura si pu

identificare con un semplice numero: ad esempio il tempo, la massa,

lenergia, ecc. Queste quantit vengono dette scalari. Va sottolineato,


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osservatori e grandezze 5

per che non tutte le quantit caratterizzabili con un solo numero sono,

propriamente parlando, degliscalari.

Una grandezza si dice scalare quando il valore della sua misura non

dipende dallorientamento degli assi del sistema di riferimento.

Perci due o pi osservatori che effettuano, nello stesso istante e nello

stesso punto dello spazio, la misura di quella quantit, pur avendo sceltosistemi di assi diversamente orientati, otterranno lo stesso risultato.

Vettori

Altre grandezze necessitano, invece, di ulteriori specificazioni oltre al

numero che misura la loro intensit, in quanto sono caratterizzate anche

da una direzione e da un verso nello spazio. Queste quantit come lo

spostamento, lavelocit, laforza, ecc. si possono descrivere geometricamentemediante deisegmenti orientatie vengono dettevettori.

FiguraOG. 2: composizione di vettori

Non tutte le grandezze dotate di intensit o modulo , direzione e verso

per sono vettori, ma solo quelle per le quali si pu dare come regola di

somma (composizione ) la cosiddetta regola del parallelogrammo. Per cui


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leffetto complessivo di due grandezze vettoriali risulta averedirezione,verso

emodulo dati dal vettore posto lungo la diagonale del parallelogrammo i cui

lati sono i vettori relativi alle grandezze da comporre.

Una grandezza dotata di modulo, direzione e verso si dice vettore se

obbedisce alla regola di somma del parallelogrammo.

Useremo le seguenti notazioni:

scriveremo AB per indicare il vettore di estremi A e B orientato da A

verso B

oppure useremo una lettera sola in carattere grassetto, come, per

esempio v. Nei testi scritti a mano useremo la sottolineatura al posto del

grassetto: v.

Il modulo di un vettore sar indicato con |AB| oppure con |v| o anchesemplicemente con una lettera non sottolineata, come v.

A

Bv

FiguraOG. 3: notazioni per un vettore

Nellesempio di figura (??) si ha che v= AB

Operatori lineari

Esistono, poi in fisica, altri tipi di grandezze che non sono n scalari

n vettori, ma compaiono in relazioni matematiche che legano tra loro due


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osservatori e grandezze 7

vettori. Per esempio, consideriamo lazione di unoggetto che denotiamo con

la scrittura A

che agisce su un vettore trasformandolo in un nuovo vettore.

Lazione di A

trasforma il vettore v nel nuovo vettore w. La grandezza A

prende il nome dioperatore lineare. La sua azione tra vettori si scrive allora

nella forma:

w = Av

Notiamo che le propriet di A

sono determinate dal fatto che se il vettore

di partenza obbedisce alla regola di somma del parallelogrammo, anche il

vettore trasformato deve obbedire alla stessa regola. Unoperatore descrive

matematicamente leffetto di unagente cheprende un vettore, loruota e lo

deforma allungandolo oaccorciandolo.

Una grandezza si dice operatore lineare se trasforma la somma di due

vettori nella somma dei loro trasformati.

wv A

FiguraOG. 4: azione di un operatore lineare su un vettore

Richiami di calcolo vettoriale e matriciale si possono trovarenellappendiceAL - Algebra vettoriale e matriciale.


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VA. Vettori applicati

I vettori, considerati da un punto di vista matematico, vengono tutti riferiti

allorigine degli assi, in quanto si considerano equivalenti tutti i segmenti

orientati di uguale direzione, verso e modulo, indipendentemente dal loro

punto di applicazione nello spazio. Una teoria dei vettori che prescinde dal

punto di applicazione dei vettori stessi, viene detta teoria dei vettori liberi.

Tuttavia, in non pochi problemi fisici non sufficiente considerare i vettori

liberi, perch le grandezze fisiche vettoriali possono avere comportamenti

differenti in dipendenza del loro punto di applicazione. Lesempio pi

evidente quello di una forza applicata ad un corpo, che a seconda del punto

di applicazione pu lasciare che il corpo stia in equilibrio oppure no.

FiguraVA. 1: azione di una forza in dipendenza dal suo punto di applicazione

Un altro esempio di vettore applicato dato dalla velocit di un punto di

un corpo rigido che dipende, con una legge ben precisa dal punto considerato.

Nasce, perci, lesigenza di introdurre il concetto di vettore applicato,

come un ente a sei parametri, dei quali tre sono le coordinate del punto di

applicazione e tre sono le componenti del vettore. Simbolicamente un vettore

applicato si denota con una coppia ordinata di elementi dei quali il primo il

punto di applicazione e il secondo il vettore: (A,v).

Oltre ai vettori applicati in un punto si pu definire anche una categoria

di grandezze vettoriali le cui propriet sono legate indifferentemente ai punti


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vettori applicati 9

della retta alla quale appartengono (retta dazione) e perci sono dettivettori

scorrevoli ocursori, in quanto possono essere fatti scorrere lungo la propria

retta dazione senza alterare il loro effetto fisico.

v

( A , v )

FiguraVA. 2: cursore

Uncursore pu essere denotato con la coppia(r,v)il primo termine dellaquale indica la retta dazione del cursore.

Tuttavia dal momento che questi enti rappresentano una sottoclasse dei

vettori applicati ad un punto lo studio delle loro propriet specifiche non ci

strettamente necessario.

Momento polare di un vettore applicato

Dato unvettore applicato ad un punto(A,v)e un puntoQ nello spazio,si dicemomento polare di vrispetto al poloQla quantit:

MQ= QA v (VA. 1)

Lindice al piede del vettore momento denota il polo di riduzione e il

vettoreQA costruito in modo che la sua origine sia il polo Qe il suo vertice

sia il punto di applicazione del vettore. Notiamo, per inciso, che se v unvettore vero il momento polare uno pseudovettore.

Il modulo di MQ si pu scrivere

|MQ|=|v| |QA| sen=|v| d (VA. 2)


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A

d

Q

FiguraVA. 3: braccio di un vettore applicato rispetto a un polo

dove: d=|QA| sen dettobraccio del vettore vrispetto al poloQ.

Ilmomento polare di un vettore applicato risulta esserenullo:

quando il vettore nullo

e/oppure

quando il polo coincide con il punto di applicazione del vettore

oppure

quandoQA parallelo a v ovveroQ appartiene alla retta di azione div.

Negli ultimi due casi si ha che il braccio risulta essere nullo.

Notiamo che, data la definizione, il momento un vettore ortogonale al

piano individuato dal vettore ve dal polo.

Q

A (A , v)

v

MQ

FiguraVA. 4: momento di un vettore rispetto a un polo

Il momento polare di un vettore varia al variare del polo, come pure al


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vettori applicati 11

variare del punto di applicazione del vettore; tuttavia facile verificare che se

si fa scorrere il polo lungo una retta parallela alla retta di azione del vettore,

oppure si fa scorrere il vettore lungo la propria retta dazione il momento non

cambia.

Q

Q'

v

r

r'

FiguraVA. 5: scorrimento del polo lungo una retta parallela alla retta di azione

A

A'

r

v

v

Q

FiguraVA. 6: scorrimento di un vettore lungo la retta di azione

Infatti, nel primo caso si ha:

MQ0 =Q0A v= (Q0Q+QA) v= Q0Q v +QA v

ma Q0Q v= 0 essendoQ0Qparallelo a v. E quindi:

MQ0 =QA v= MQ


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Nel secondo caso abbiamo:

MQ= QA0 v= (QA+AA0) v = QA v +AA0 v

ma

AA0 v= 0

perch AA0 parallelo a v, quindi anche in questo caso il momento noncambia.

Momento assiale di un vettore applicato

Se si fa scorrere, invece, il polo lungo una retta qualsiasi (in generale non

parallela alla retta dazione di v) il momento polare varier dal momento che

si ha:

Q0A v= QA v +Q0Q v (VA. 3)

e il termine di cui varia Q0Q v risulter ortogonale aQ0Q, cio alla rettasu cui scorre il polo. Questo ci di ce che se si proietta il momento polare

sulla retta in questione otterremo una quantit invariabile rispetto alla scelta

del polo sulla retta.

Infatti, detto u il versore della retta r su cui scorre il polo Q si ha,moltiplicando (VA. 3) scalarmente per u:

Q0A v u =QA v u+Q0Q v u

Ora:

Q0Q v u = 0


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dal momento cheQ0Q parallelo ad u e quindi i tre vettori sono sicuramentecomplanari.

QMr u

u

MQ

r

FiguraVA. 7: momento assiale di un vettore applicato

Allora naturale introdurre la quantit:

Mr = QA v u = MQ u (VA. 4)

che prende il nome di momento assiale div rispetto alla rettar . Se v unvettore veroMr unopseudoscalare e non dipende dalla scelta del polo sullaretta, ma solamente dalla rettar.

Va sottolineato che il momento assiale non la componente di MQrispetto ad una retta qualunque, ma rispetto ad una retta che contiene il polo.

Ilmomento assiale di un vettore applicato risulta esserenullo quando il

prodotto misto che lo definisce si annulla e cio quando i tre vettoriQA, v eu sonocomplanari.

Ora Q sta sulla retta di u e A sulla retta dazione di v: dunque perchi tre vettori u, v e QA siano complanari occorre e basta cheu e v sianocomplanari; in questo modo anche QA sta sullo stesso piano. Dunque il


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Q

A

u

vr

Figura VA. 8: il momento assiale si annulla quando la retta e il vettore sono

complanari

prodotto misto si annulla, in generale, se la retta r e la retta dazione di vsono complanari.

Di conseguenza: condizione necessaria e sufficiente affinch il momento

assiale di un vettore applicato non nullo v, rispetto ad una rettar, sia nonnullo che la rettar e la retta dazione di vsiano sghembe.

Q A

v

u

MQ

Mru

r

Figura VA. 9: il momento assiale si annulla quando la retta e il vettore sonocomplanari


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Sistemi di vettori applicati

La teoria dei vettori applicati trova una sua utilit quando anzich limitarsi

ad un solo vettore applicato ci si trova ad operare con unsistema di pi vettori

applicati.

A

A

A

A

Q

1

2

n

s

n-1

polo

v

v

v

v

v

1

2n-1

sn

FiguraVA. 10: sistema di vettori applicati

Un sistema di vettori applicati si denota con a, definito come linsieme

dei vettori applicati di cui ci stiamo occupando:

a= {(As,vs) ; s= 1, 2, , n} (VA. 5)

Per caratterizzare un sistema di vettori applicati sono utili i seguenti

vettori:

R=nX

s=1

vs (VA. 6)

che prende il nome di vettorerisultante e viene ottenuto eseguendo la somma

dei vettori del sistema come se fossero liberi.


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Inoltre il vettoremomento risultante riferito ad unpolo Q:

MQ=nX

s=1

QAs vs (VA. 7)

che si ottiene sommando i momenti polari, calcolati rispetto allo stesso polo

Qdei singoli vettori applicati del sistema.

Si vede immediatamente dalla (VA. 7) che, in generale il momento

risultante di un sistema di vettori applicati differisce dal momento del vettore

risultante, pensato applicato in un qualche puntoA.

Legge di distribuzione dei momenti

Come varia il momento risultante di un sistema di vettori applicati al

variare delpolo Q?

Scelto un nuovo polo Q0, per la definizione di momento risultante (VA.7) abbiamo:

MQ0 =nX

s=1

Q0Asvs=nX

s=1

(Q0Q+QAs)vs =nX

s=1

Q0Qvs+nX

s=1

QAsvs

Dal momento cheQ0Qnon dipende dall indices si pu riscrivere:

MQ0 =Q0Q

nXs=1

vs+nX

s=1

QAs vs

E facile riconoscere il vettore risultante definito da (VA. 6) nella prima

sommatoria e il momento rispetto al polo Qdefinito da (VA. 7) nella seconda.


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In conclusione si ha la seguente legge di distribuzione dei momenti al

variare del polo:

MQ0 = MQ+Q0Q R (VA. 8)

che si pu leggere in questo modo:

Il momento risultante rispetto al nuovo poloQ0 uguale al momentorisultante rispetto al vecchio polo Q pi il momento del vettorerisultante pensato applicato inQ, calcolato rispetto al nuovo poloQ0.

La regola mnemonica per scrivere correttamente il termine aggiuntivo

Q0QRconsiste nel ricordare che nel vettoreQ0Qil primo punto da scrivere il nuovo polo, cio quello che compare nel momento a primo membro della

legge di distribuzione e che il vettore Rdeve essere il secondo fattore delprodotto vettoriale.

Invarianza del momento rispetto al polo

Ci chiediamo, anzitutto, se pu accadere, e a quali condizioni, che il

momento risultante sia indipendente dalla scelta del polo. Imponendo nella

legge di distribuzione dei momenti la condizione di invarianza del momento

risultante rispetto al polo:

MQ0 = MQ (VA. 9)

otteniamo che la (VA. 9) pu essere verificata se e solo se risulta:


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Q0Q R= 0 (VA. 10)

Se si esclude il caso banale in cui Q0 Q, la (VA. 10) pu esseresoddisfatta nei seguenti due casi:

a. sistemi a risultante nullo

Un primo modo per soddisfare la (VA. 10) si ha quando il vettore risultante

nullo:

R= 0 (VA. 11)

In questo caso il momento risultante lo stesso qualunque sia il punto

dello spazio che viene scelto come polo: sar, perci sufficiente indicare il

momento risultante semplicemente con Msenza specificare il polo.

Coppia

Un esempio notevole di sistema a risultante nullo dato dalla coppia.

Si dice coppia un sistema di due vettori applicati a risultante nullo.

Il fatto che il risultante sia nullo ci dice che i due vettori sono tra loro

paralleli, di verso opposto e di uguale modulo.

Il momento dellacoppia indipendente dalla scelta del polo e pu essere

facilmente calcolato scegliendo come polo il punto di applicazione di uno

dei due vettori della coppia, il quale risulta avere allora momento nullo;

procedendo in questo modo si ottiene:


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d

A

Q-v

v

M

FiguraVA. 11: coppia

M=QA v (VA. 12)

In modulo abbiamo:

|M|=|v| d (VA. 13)

dove il bracciod=|QA| sen uguale alla distanza fra le due rette dazionedei vettori della coppia.

Ne consegue che: una coppia di vettori non nulli ha momento nullo se e

solo se il suo braccio nullo.

In tal caso i due vettori sono uguali e contrari e sulla stessa retta dazione.

Per una coppia di braccio nullo si ha R= 0, M= 0.

b. sistemi a risultante non nullo

Il secondo modo per soddisfare la condizione di invarianza del momento

risultante (VA. 9) si ha quando il risultante non nullo eQ0Qrisulta paralleloal risultante. In questo caso il momento risultante lo stesso per qualunque


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A

B

C

D

v

-v

w

-w

FiguraVA. 12: coppie di braccio nullo

polo appartenente alla retta passante per Q e parallela ad R e non pi perqualunque punto dello spazio, preso come polo, come accadeva nel caso

precedente. Scegliendo i poli su di una retta parallela ad R, ma diversa, il

momento risultante cambia.

A

Q

Q'

r

r'

R

FiguraVA. 13: invarianza del momento polare rispetto ai punti di una retta parallelaal risultante

Si pu anche formulare questo risultato nel modo seguente:

In un sistema di vettori applicati a risultante non nullo il momento

risultante non cambia se si fa scorrere il polo lungo una retta parallela

al risultante.


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Possiamo anche concludere, tendendo conto di tutti i risultati ottenuti che:

Condizione necessaria e sufficiente affinch il momento risultante di un

sistema di vettori applicati sia completamente indipendente dalla scelta

del polo che il vettore risultante sia nullo.

Sistemi a momento nullo rispetto a un polo

Abbiamo finora analizzato, nella legge di distribuzione dei momenti che

cosa succede quando si annulla il termineQ 0Q R; resta ora da analizzareche cosa succede quando si annulla, invece, il momento risultante rispetto ad

un poloQ dello spazio:

MQ= 0 (VA. 14)

In tale situazione la legge di distribuzione dei momenti (VA. 8) si riduce

a:

MQ0 =Q0Q R (VA. 15)

relazione che ci dice che se il momento risultante rispetto ad un polo Q nullo, allora il momento risultante rispetto ad un altro polo Q0 uguale almomento del vettore risultanteRapplicato nel puntoQ. In questo caso e soloin questo caso il vettore momento risultante coincide con il momento del

vettore risultante.

Teorema di Varignon

Un sistema di vettori applicati in uno stesso punto, o tali che le loro rette

dazione passino per lo stesso punto, ha momento risultante uguale al

momento del vettore risultante applicato in quel punto.


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DIMOSTRAZIONE

Scelto come polo il punto comune alle rette dazione di tutti i vettori,

che pu essere anche il punto di applicazione, almeno di alcuni di essi, e

che chiamiamo Q calcoliamo il momento risultante rispetto al polo Q, chesecondo la definizione (VA. 7) vale:

MQ=

nXs=1

QAs vs

Ora, se la retta dazione del generico vettore del sistema passa per Q oaddiritturaQcoincide con il punto di applicazioneAssegue immediatamente:

QAs vs = 0, s= 1, 2, , n

dal momento che QAs risulta parallelo a vs quando la retta dazione di vspassa perQ e nullo quandoAs Q. Ne viene di conseguenza che:

MQ= 0

e quindi ci troviamo nel caso b che abbiamo esaminato prima; perci risulta

soddisfatta la relazione (VA. 15) cio verificato lenunciato del teorema.

Momento assiale di un sistema di vettori

Anche per un sistema di vettori applicati conveniente introdurre il

concetto di momento assiale relativo ad una rettar che contiene il polo. Siha anche in questo caso:

Mr = MQ u


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identica alla (VA. 4). Grazie alla legge di distribuzione dei momenti (VA.

8) anche per un sistema di vettori applicati il momento assiale risulta

indipendente dalla scelta del polo lungo la retta r assegnata. Infatti abbiamo:

Mr = MQ0 u = MQ u+Q0Q R u

Ma dal momento che Q0 e Q appartengono alla retta r di direzione usegue che Q0Q parallelo ad u e quindi il prodotto misto Q0Q R u certamente nullo, perch i tre vettori Q0Q,R e u risultano complanari.Dunque il momento assiale risulta indipendente dal punto che si sceglie come

polo lungo la rettar.

Trinomio invariante

Dato un sistema di vettori applicati a i vettori Re MQ vengono detti

vettori principali del sistema. Con questi due vettori possibile costruireuno pseudoscalare che prende il nome di trinomio invariante o anche,

brevemente invariante:

J = MQ R (VA. 16)

La denominazione di invariante deriva dal fatto che la quantitJ nondipende dalla scelta del poloQnello spazio. Infatti, cambiando polo, la leggedi distribuzione dei momenti (VA. 8) comporta:

J = MQ0 R= MQ R+Q0Q RR

dove il prodotto misto Q0Q R R evidentemente nullo contenendoaddirittura due vettori uguali.


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Notiamo che, in generale, se il risultante non nullo lannullarsi

dellinvariante equivale a dire che il momento risultante ortogonale al

risultante oppure nullo. Ci accade, per esempio, come vedremo, per i

sistemi divettori paralleli e per i sistemi di vettori appartenenti ad uno stesso

piano (sistemi piani).

Asse centrale di un sistema di vettori applicati

La teoria dei vettori applicati trova una delle sue principali applicazioni

nella statica dei corpi rigidi: in questo capitolo della meccanica i vettori

applicati in gioco sono le forze e i momenti sono i momenti delle forze

che occorrono per mantenere in equilibrio un corpo. Tali forze e momenti

dovranno essere esercitate da appoggi, incastri, strutture di sostegno. Ci sono

perci delle evidenti ragioni di convenienza che conducono a ricercare le

condizioni per le quali si rendono minime le sollecitazioni a cui le strutture di

sostegno vengono sottoposte.

Ora in un sistema di vettori applicati i vettori principali sono Red MQ:

di questi due il primo fissato una volta che si sia assegnato a, mentre MQ variabile in dipendenza del polo. Nasce, perci il problema di ricercare, se

esistono, dei punti che presi come poli di riduzione rendono minimo il modulo

del momento. Questa ricerca conduce, come vedremo allintroduzione del

concetto diasse centrale di un sistema di vettori applicati.

A questo scopo introduciamo un punto O dello spazio, rispetto al qualesupponiamo di conoscere il momentoMOe un polo variabile Pcaratterizzatodal suo vettore spostamento rispetto adO:

OP = x (xi) (x1, x2, x3) (VA. 17)

Con queste notazioni il momento rispetto al polo variabile viene espresso

come una funzione della variabile vettoriale x:


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MP = MO+P O R= MO+ R x (VA. 18)

dove abbiamo scambiato lordine del prodotto vettoriale. A noi interessa

ricercare, se esistono, i minimi del modulo, ovvero del modulo al quadrato, il

cui studio risulta pi semplice. Allora la funzione da studiare :

f(x) = (MO+ R x)2

(VA. 19)

Per cercare i minimi di questa funzione dobbiamo imporre la condizione

necessaria di minimo relativo che richiede di annullare il gradiente della

funzione.

Differenziando otteniamo:

df(x) = 2(MO+ R x)Rdx (VA. 20)

Mediante le propriet del prodotto misto possiamo scambiare lordine deiprodotti ottenendo:

df(x) = 2(MO+ R x) Rdx (VA. 21)

Poich per qualsiasi funzione differenziabilef(x)si ha:

df(x) = f(x)dx

immediato ottenere il gradiente della nostra funzione:

f(x) = 2(MO+ R x) R (VA. 22)

Ora la condizione necessaria perch un punto sia un estremante che:


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f(x) = 0

che nel nostro caso si traduce in:

(MO+ R x) R= 0 (VA. 23)

A questo punto si presentano tre possibilit:

a. prima possibilit

R= 0

Ma questo caso non di alcun interesse perch se il risultante nullo

allora il momento indipendente dal polo ed perci una funzione costante e

non vi sono quindi minimi per il suo modulo. Dora in poi perci supponiamo

senzaltro che:

R6= 0 (VA. 24)

b. seconda possibilit

MO+ R x = 0 (VA. 25)

c. terza possibilit

MO+ R x parallelo ad R

I casi b) e c) si possono conglobare nella seguente equazione:

MO+ R x = R , R (VA. 26)


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che d il caso b) per = 0e il caso c) per 6= 0.

Lequazione vettoriale (VA. 26) rappresenta il luogo geometrico dei punti

dello spazio che sono estremanti del modulo del momento risultante. Si

tratta di unequazione vettoriale lineare in x, contenente un parametro erappresenta perci, come vedremo meglio, in seguito una retta. A tale retta si

d il nome di asse centrale.

Mostriamo ora che si tratta effettivamente di punti di minimo. Mediantela (VA. 18) ricaviamo che la condizione (VA. 26) equivale a dire che il

momento calcolato rispetto ai punti dellasse centrale presi come poli, vale:

MP = R (VA. 27)

dove si ricava facilmente prendendo il prodotto scalare della relazione (VA.

27) con R:

MPR= R2

Tenendo conto della definizione di invariante (VA. 16) e del fatto che il

risultante supposto non nullo ricaviamo:

= J

R2 (VA. 28)

e dunque, rispetto ai punti dellasse centrale presi come poli il momento vale:

= MP= J

R2R (VA. 29)

Esso risulta essereparallelo al risultante e inoltre indipendente dal polo

considerato sull asse centrale stesso.


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Se calcoliamo ora il momento rispetto ad un polo qualsiasi Q che,in generale, pu non appartenere allasse centrale , mediante la legge di

distribuzione (VA. 8), abbiamo:

MQ= MP+QPR= +QPR

ovvero:

MQ= +NQ (VA. 30)

dove:

NQ= QPR (VA. 31)

rappresenta la componente del momentoMQnormale al risultanteR, mentre

rappresenta la componente parallela al risultante.

P

Q

NQ

MQ

asse centrale

FiguraVA. 14: asse centrale

Di conseguenza il modulo del momento risultante calcolato rispetto al

poloQ dato dalla composizione pitagorica delle due componenti (parallelae normale al risultante) e vale:


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|MQ|=q2 +NQ

2 (VA. 32)

Poich NQ2 sempre positivo quandoQ non appartiene allasse centrale

ed nullo se e solo seQappartiene allasse centrale, ne viene di conseguenzache il modulo del momento sullasse centrale minimo e vale ||.

Notiamo che il momento risultante calcolato rispetto ad un polo qualsiasi costituito da due componenti: una parallela al risultante e indipendente dal

polo () e una, normale al risultante, che nulla sullasse centrale e cresce

linearmente allontanandosi da esso (NQ) in quanto risulta :

|NQ|=|R| d (VA. 33)

doved la distanza del poloQdallasse centrale.

Riassumendo:

Lasse centrale la retta luogo geometrico dei punti dello spazio, che

presi come poli di riduzione, rendono il momento risultante parallelo al

risultante e di minimo modulo oppure nullo.

Notiamo che lasse centrale una retta parallela al risultante: si puvederlo facilmente applicando la legge di distribuzione dei momenti (VA. 8)

per due poli P e P0 appartenenti allasse centrale per i quali il momento identico e vale . Risulta allora:

= +P0PR P0PR= 0

e dunque, essendo R6= 0, supposto P0 6= P, segue P0P parallelo ad R, equindi lasse centrale che diretto come P0Prisulta parallelo ad R.


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Considerazioni analitiche

Dal punto di vista analitico va detto che il minimo per la funzione f(x)che rappresenta il modulo al quadrato del momento risultante non un

minimo relativo proprio, perch non si verifica in un solo punto del dominio

della funzione. Abbiamo trovato, infatti unintera retta di punti di minimo

(asse centrale): si tratta di un minimo cilindrico. In questo caso, definito

lasse centrale come linsieme:

A={x R3 ; MO+ R x = R, R }

si ha:

f(x)> ||2 x / A

e

f(x) =||2 x A

Nel nostro caso la funzione f(x), essendo polinomiale, si purappresentare mediante uno sviluppo finito di Taylor, del secondo ordine,

nellintorno di un puntoA dellasse centrale. Detto:

OA= a (a1, a2, a3)

otteniamo il seguente sviluppo:

f(x) =f(a) +f(a) (x a) +1

2(x a)H (x a)


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Il termine del primo ordine evidentemente nullo sullasse centrale,

avendo imposto la condizione di gradiente nullo. Il termine del secondo

ordine dipende dalla matrice hessiana che ora calcoliamo.

Ricordiamo che la matrice hessiana si ottiene calcolando il differenziale

del gradiente ed definita mediante la relazione seguente:

d[f(x)] =H

dx

ovvero in rappresentazione indiciale:

d

"f(x)

xi

#= 2f(x)

xixjdxj

Perci i suoi elementi di matrice sono le derivate seconde della funzione

f(x):

H =2f(x)xixj

Nel nostro caso il gradiente dato dalla (VA. 22) e quindi:

d[f(x)] =d[2(MO+ R x) R]

Sviluppando il doppio prodotto vettoriale abbiamo:

(R x) R= R2xR(R x)

Ricordiamo che per le propriet del prodotto tensoriale si ha:

R(R x) = (RR) x


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Dunque, tenendo conto che il vettore R indipendente da x abbiamo

finalmente:

d[f(x)] = 2[R2 IRR]dx

da cui abbiamo la matrice hessiana cercata:

H = 2[R2 IRR]

Ora per avere un minimo cilindrico, cio sui punti di una retta, che nel

nostro caso lasse centrale, occorre che la matrice hessiana sia definita

positiva per tutti i vettori dello spazio privato della retta. Ci significa che

la forma quadratica(x a)H (x a)deve risultare sempre positiva al difuori della retta e sempre nulla sulla retta.

E questo proprio quanto accade. Infatti, indicando, per brevit con:

w= x a

abbiamo:

w Hw= 2w [R2 IRR]w= 2[R

2w2 (Rw)2] =

= 2R2w2(1 cos2) = 2R2w2sen2

dove con si indicato langolo tra i vettori w e R. Evidentemente la forma

quadratica, essendo il risultante non nullo per ipotesi, pu annullarsi solo se

w nullo oppure parallelo al risultante e cio solo sullasse centrale, mentre

sempre positiva altrove.


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Rappresentazione cartesiana dellasse centrale

Abbiamo scritto in precedenza lequazione vettoriale dellasse centrale

(VA. 26) nella forma:

MO+ R x = R

Se proiettiamo questa equazione vettoriale su di un sistema di assicartesianiOx1x2x3 Oxyzotteniamo le seguenti equazioni:

MOi = ijkRixk = Ri, i= 1, 2, 3 (VA. 34)

Denotando con x, y ,z gli indici relativi agli assi cartesiani, abbiamo il

sistema di tre equazioni lineari inx,y,ze nel parametro :

MOx+Ryz Rzy = Rx

MOy+RzxRxz= Ry

MOz+Rxy Ryx= Rz

(VA. 35)

Queste sono le equazioni parametriche dellasse centrale. Eliminando il

parametro si ottengono le equazioni cartesiane dellasse centrale. Pu essere

pi semplice tener conto dellespressione per ottenuta mediante linvariante

(VA. 28). In tal caso, le tre equazioni precedenti, dopo aver sostituito

lespressione per risultano essere linearmente dipendenti. Prendendo allora

due di esse che risultano linearmente indipendenti abbiamo le equazioni

cartesiane dellasse centrale; per esempio, poniamo siano indipendenti leprime due:

MOx+Ryz Rzy= JR2

Rx

MOy +Rzx Rxz= JR2

Ry

(VA. 36)


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Ora, due equazioni lineari in x,y , z, e tra loro linearmente indipendenti,rappresentano nello spazio una retta.

Notiamo che lasse centrale risulta essere definito solo se il risultante non nullo, come abbiamo precedentemente ipotizzato; in caso contrario

si annullerebbero i denominatori nella (VA. 36). Anche da un punto di

vista geometrico si comprende come, essendo lasse centrale il luogo dei

poli rispetto ai quali il momento di minimo modulo e quindi parallelo alrisultante, non sia possibile determinare una direzione parallela ad un vettore

nullo. Perci se il risultante nullo lasse centrale risulta non definito.

Operazioni elementari

Si chiamanooperazioni elementari su di un sistema di vettori applicati le

seguenti operazioni:

laggiunta o la soppressione di una o pi coppie di braccio nullo;

la sostituzione di pi vettori applicati in uno stesso punto con il loro

risultante, applicato nello stesso punto; o viceversa la decomposizione di un

vettore applicato in un punto in pi vettori applicati nello stesso punto, il cui

risultante uguale al vettore di partenza.

Una conseguenza di queste due operazioni elementari consiste nel:

trasporto di un vettore lungo la propria retta dazione.

Questa terza operazione elementare non indipendente dalle prime due

in quanto il trasporto del vettore lungo la sua retta dazione si pu pensarecome laggiunta di una coppia di braccio nullo seguita dalla soppressione di

unaltra coppia di braccio nullo o dalla sostituzione di due vettori applicati

nello stesso punto con il loro risultante.


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A A

B B

v

v

v

-v

v

r r r

FiguraVA. 15: trasporto di un vettore lungo la propria retta dazione

Per come sono state definite:

Le operazioni elementari non alterano n il risultante n il momento

risultante di un sistema di vettori applicati.

e in questo sta la loro importanza ai fini della riducibilit dei sistemi di vettori

applicati.

Sistemi riducibili

Diamo la seguente definizione diriducibilit di due sistemi:

Due sistemi di vettori applicati si dicono riducibili quando possibile

passare dalluno allaltro mediante operazioni elementari.

E inoltre la definizione disistema riducibile a zero:

Un sistema di vettori applicati si dice riducibile a zero, o equilibrato

o nullo quando, mediante operazioni elementari, pu essere ridotto a

coppie di braccio nullo.


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Osserviamo che se un sistema di vettori applicati 0a riducibile ad un

altro sistema 00a allora vero anche il viceversa e cio che 00

a riducibile a

0

a. Infatti, se per passare da 0

aa 00

aoccorre aggiungere, mediante operazioni

elementari un sistema nullo 000a, invertendo tutte le operazioni elementari

(cio scambiando loperazione diaggiungere con quella disopprimere, ecc.)

si ritorna da 00a a 0

a.

Teoremi di riducibilit

Il teorema pi importante della teoria dei vettori applicati riguarda la

riducibilit di un qualunque sistema di vettori applicati ad un sistema di vettori

applicati particolarmente semplice. Lo enunciamo:

Un sistema di vettori applicati di risultante Re momento risultante

MQ calcolato rispetto a un polo Q riducibile ad un solo vettore Rapplicato inQ e ad una coppia di momento MQ.

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione di questo teorema pu essere fatta in tre stadi successivi,

ciascuno dei quali costituisce un teorema a se stante: a questi tre teoremi, che

ora enunciamo e dimostriamo, si d il nome diteoremi di riducibilit.

a. un sistema di pi di tre vettori applicati riducibile a tre vettori

Supponiamo di avere un sistema di pi di tre vettori applicati:

a= {(As,vs) ; s= 1, 2, , n; n >3}


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e di assegnare tre punti non allineati P0, P00, P000. Allora, dato il genericovettore vs, applicato in As, congiungiamo As con i tre punti P

0, P00, P000.Qualunque sia As, se i quattro punti non sono complanari, i versori che sipossono assegnare alle tre rette congiungenti ottenute, costituiscono una base

dello spazio. Allora possibile decomporre su questa base qualunque vettore

dello spazio e, in particolare vs.

Se invece i quattro punti risultassero complanari, mediante unoperazione

elementare, possiamo far scorrere il vettore vslungo la propria retta dazioneportando il suo punto di applicazione al di fuori del piano e riconducendoci in

tal modo al caso di non complanarit. Se poi anche il vettore fosse complanare

con i quattro punti basteranno due soli versori di base per decomporlo nel

piano e questi esistono sempre grazie al fatto che i punti P0, P00, P000 non sonoallineati.

Eseguita la decomposizione risulter:

vs = v0

s+ v00

s+ v000

s

dove gli apici denotano i tre vettori componenti di vs nelle tre direzioni.

Facendo uso della seconda operazione elementare sostituiamo al vettore vsi tre vettori componenti. Ora facciamo scorrere ciascuno dei tre vettori lungo

la propria retta dazione fino a raggiungere i punti P0, P00, P000.

As

P'

P''P'''v'

v''

v'''

v

s

s

s

s

FiguraVA. 16: riduzione di un sistema a tre vettori


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Ripetendo loperazione per ogni vettore applicato del sistema ci

riconduciamo a tre sottosistemi di vettori ciascuno dei quali risulta applicato

inP0, P00, P000:

0

a= {(P0,v0s) ; s= 1, 2, , n}

00a= {(P00,v00s) ; s= 1, 2, , n}

000

a ={(P000,v000s) ; s= 1, 2, , n}

Sostituendo i vettori applicati nello stesso punto con il loro risultante si

giunge ad un sistema di soli tre vettori applicati nei tre punti assegnati:

(P0,n

Xs=1

v0s), (P00,

n

Xs=1

v00s), (P000,

n

Xs=1

v000s)

b. un sistema di tre vettori riducibile a due vettori applicati

Se si pensa di partire da un sistema di tre vettori applicati

{(P1,v1), (P2,v2), (P3,v3}, oppure si fatto uso del teorema precedente,questo ulteriore teorema ci consente di ridurre il sistema di partenza ad un

sistema pi semplice, costituito da due soli vettori applicati.

Si hanno casi banali se almeno due dei tre vettori del sistema sono

complanari, perch, allora si hanno due possibilit:

i) i due vettori complanari hanno rette dazione incidenti: allora i due

vettori si possono far scorrere lungo le rispettive rette dazione fino al punto

di intersezione delle rette stesse; i due vettori ottenuti hanno lo stesso punto


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di applicazione e si possono sostituire con il loro risultante ottenendo subito

un sistema di due soli vettori applicati.

Il procedimento illustrato in fig.(VA. 17).

P

v

v

v v

1

2 3

P1

P3P2

Figura VA. 17: riduzione di tre vettori di cui due complanari incidenti a un sistemadi due vettori

ii) i due vettori complanari sono paralleli e, allora, aggiungendo una

coppia di braccio nullo ci si riconduce al caso dei due vettori incidenti.

P

P

P

1

2

v

v

v

12

P3

v3

FiguraVA. 18: riduzione di tre vettori di cui due paralleli a un sistema di due vettori

Altri casi banali si hanno quando la retta dazione di almeno uno dei tre

vettori contiene il punto di applicazione di un altro di essi, perch in questo


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caso basta far scorrere il vettore in questione lungo la propria retta dazione

fino al punto di applicazione dellaltro vettore e sostituire poi i due vettori con

il loro risultante.

Se si eccettuano questi casi la retta dazione, ad esempio di v2 e il punto

di applicazione P1 individuano un piano distinto dal piano individuato dallaretta dazione div3 e daP1. Questi due piani risultano incidenti in una rettapassante perP1. Ora scelto ad arbitrio un punto Q sulla retta di intersezione

dei due piani, distinto daP1si decompongono i vettori v2e v3, nel loro pianolungo le direzioni di P1P2, QP2 e rispettivamente di P1P3 eQP3. Nei pianipredetti ognuno di questi vettori identificato completamente da due sole

componenti. Abbiamo cos:

v2= v0

2+ v00

2, v3= v

0

3+ v00

3

A questo punto si fanno scorrere i vettori con un solo apice lungo la loro

retta dazione fino al puntoP1e i vettori con due apici fino al punto Q.

Dopo questa sequenza di operazioni elementari ci siamo ricondotti aiseguenti sistemi di vettori applicati:

{(Q, v002

), (Q, v003

)}, {(P1,v1), (P1,v0

2), (P1,v

0

3)}

che si sostituiscono con i rispettivi risultanti ottenendo un sistema di due soli

vettori applicati inQ e inP1.

c. un sistema di due vettori riducibile ad un vettore e a una coppia

Partendo da un sistema di due vettori applicati uno nel punto Q cheprendiamo come polo e laltro nel punto P, indichiamo questi vettori con:(P, v1)e (Q, v2).

Aggiungendo inQuna coppia di braccio nullo di vettore v1, possiamo poi


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Q

P P

P

1 2

3v

vv

v'

v''

3

32

2

3

2

1

v'

v''

FiguraVA. 19: riduzione di tre vettori a un sistema di due vettori (caso non banale)

P

Q Q

P

P P

Q Q

v

v

v

v

-v

-v

v

v R

v v

-v

R

2

1

1

1

2

11

1

11

2

a)b)

c) d)

FiguraVA. 20: riduzione di due vettori a un vettore e a una coppia

comporre il vettorev2 con il vettore v1 appena trasportato. Il loro risultante

coincider con il risultante Rdel sistema, applicato inQ. Rimane inoltre lacoppia di momento: MQ= QP v1.

Sistemi a invariante nullo

Grazie a quanto visto a proposito dellasse centrale e dei teoremi di

riducibilit possiamo concludere che:


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se si sceglie come polo un punto dellasse centrale, un sistema arisultante non nullo riducibile a un vettore applicato nel polo, uguale al

risultante, e ad una coppia il cui momento parallelo al risultante e ha minimo

modulo rispetto a quello delle coppie relative a poli non appartenenti allasse

centrale.

Un caso particolarmente notevole dato dai sistemi ad invariante nullo.

Infatti se si ha che:

J = MQ R= 0 (VA. 37)

si possono presentare le seguenti possibilit:

R e MQ non nulli e ortogonali tra loro: il sistema si riduce al

vettore risultante applicato nel polo e ad una coppia di momento ortogonale al

risultante. Lasse centrale in questo caso esiste e la componente del momento

parallela al risultante nulla. Questa situazione si verifica per i poli che

non appartengono allasse centrale;

R= 0 In questo caso il sistema si riduce alla sola coppia essendonullo il risultante;

MQ = 0 , (R 6= 0) Questa situazione si verifica per i poliappartenenti allasse centrale: infatti sullasse centrale il momento uguale a

, che per un sistema a invariante nullo nullo grazie alla (VA. 29). Abbiamo

allora la circostanza notevole per cui:

Un sistema a invariante nullo e risultante non nullo riducibile ad unsolo vettore applicato ad un punto dellasse centrale. Inoltre il momento

rispetto ad un polo non appartenente allasse centrale ortogonale allasse

centrale stesso ed uguale al momento del vettore risultante rispetto a quel

polo.

Esistono due classi notevoli di sistemi a invariante nullo e sono: isistemi

di vettori piani e isistemi di vettori paralleli.


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Sistemi di vettori piani

Un sistema di vettori si dice piano quando le rette dazione dei vettori

che lo compongono e i loro punti di applicazione appartengono a uno stesso

piano, che si dice piano del sistema.

Scelto un polo su questo piano il momento QAs vs di ciascun vettoredel sistema(As,vs)sar ortogonale al vettore stesso e al vettore del piano checongiunge il poloQ con il punto di applicazioneAs; perci sar ortogonaleal piano. Di conseguenza anche il momento risultante MQrisulta ortogonale

al piano dei vettori e quindi al loro risultante, che appartiene pure al piano

essendo la somma di vettori del piano; oppure risulta nullo.

Di conseguenza linvariante di un sistema di vettori piani nullo. Si noti

che se si sceglie un polo esterno al piano dei vettori il nuovo momento non

sar pi ortogonale al piano pur rimanendo sempre ortogonale al risultante

dovendo rimanere nullo linvariante.

A

QA

vQ

s

s

! Vs

FiguraVA. 21: il momento di un sistema di vettori piani normale al piano o nullo

In ogni caso rispetto a un polo scelto sullasse centrale il momento nullo.Per dare una rappresentazione cartesiana dellasse centrale di un sistema di

vettori piani conveniente scegliere un sistema cartesiano ortogonale il cui

piano xy coincide con il piano dei vettori. In questo caso, poich il risultante

un vettore del piano e il momento risultante ortogonale al piano, abbiamo

le seguenti informazioni:


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Rz = 0, MOx = 0, MOy = 0, = J

R2 = 0

che introdotte nelle equazioni parametriche dellasse centrale (VA. 35) danno:

z= O

MOz+Rxy Ryx= 0

(VA. 38)

Lasse centrale risulta essere una retta del pianoz= 0, che il piano deivettori, parallela al risultante.

Sistemi di vettori paralleli

Si dice che un sistema di vettori applicati un sistema di vettori paralleli

quando le rette dazione di tutti i suoi vettori sono parallele.

Un sistema di vettori paralleli non , generalmente un sistema piano,

tuttavia anche un sistema di vettori paralleli un sistema a invariante nullo.

Infatti il risultante R ha la direzione comune ai vettori paralleli, mentre il

momento di ogni vettore normale a ciascun vettore del sistema, e quindi il

momento risultante normale alla direzione comune di tutti i vettori e quindi

anche al risultante. Perci linvariante risulta essere nullo.

Dunque, anche in questo caso il momento risulta essere nullo quando

calcolato rispetto a un punto dellasse centrale scelto come polo e il sistema

riducibile al solo vettore risultante applicato in un punto dellasse centrale.

Per la determinazione delle equazioni cartesiane dellasse centrale

conveniente scegliere il sistema cartesiano in modo che la direzione dellasse

z coincida con la direzione comune dei vettori paralleli: in questo caso il


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risultante ha solo la componente lungo lasse z diversa da zero, mentre il

momento, essendo normale al risultante ha la componente z nulla.

Rx= 0, Ry = 0, MOz = 0, = 0

dove = 0, grazie alla (VA. 28) perch linvariante nullo.

Dalle equazioni parametriche dellasse centrale (VA. 35) abbiamo dunque:

MOx = Rzy

MOy = Rzx(VA. 39)

Di qui si vede subito che lasse centrale proprio una retta parallela

allasse z, cio al risultante.

Centro dei vettori paralleli

Sia a un sistema di n vettori applicati (As,vs), paralleli di versorecomune u. Possiamo rappresentare ciascun vettore del sistema nella forma:

vs = v0

su (VA. 40)

dove:

v0s= vs u = |vs| (VA. 41)

la componente del generico vettore del sistema rispetto al versore u, che

risulta positiva o negativa a seconda che il vettore sia concorde o discorde con

u.

Anche il risultante si pu esprimere allo stesso modo:


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R=R0u (VA. 42)

con:

R0 = R u = |R|=nX

s=1

v0s (VA. 43)

Scriviamo lequazione vettoriale dellasse centrale (VA. 26) per il sistema

di vettori paralleli; abbiamo:

MO+P O R= 0

essendo = 0 per un sistema di vettori paralleli. Tenendo conto delleinformazioni precedenti abbiamo:

n

Xs=1

OAs v0

su+P O R0u = 0

essendoPun punto dellasse centrale. Raccogliendo il prodotto vettoriale peru e tenendo conto cheP O= OPpossiamo scrivere:

nXs=1

OAsv0

s OP R0

! u = 0 (VA. 44)

Questa equazione, essendo sempre u 6= 0equivale a richiedere che esistaun Rper cui si ha:

nXs=1

OAsv0

s OP R0 = u

Essendo R0 6= 0, in modo che lasse centrale esista, lequazioneprecedente si pu risolvere rispetto aOPottenendo:


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OP = 1

R0

nXs=1

OAsv0

s u

! (VA. 45)

che rappresenta, in forma parametrica, lequazione dellasse centrale per il

sistema di vettori paralleli.

Si vede facilmente che lasse centrale ha la direzione di u e che tra tuttii punti dellasse centrale ne esiste uno e uno solo, corrispondente al valore

del parametro: = 0, le cui coordinate non dipendono dal versore u.Immaginando di ruotare tutti i vettori del sistema di vettori paralleli di uno

stesso angolo, anche u risulter ruotato di questo angolo e allo stesso modo

lasse centrale: tuttavia il punto in questione, non dipendendo dal versoreu

rimarr immutato e si trover allintersezione di tutti gli assi centrali che si

ottengono ruotando i vettori di un angolo qualsiasi. A questo punto si d il

nome dicentro dei vettori paralleli e si denota conC. La sua definizione siottiene ponendo = 0nella (VA. 45):

OC= 1

R0

nXs=1

OAsv0

s (VA. 46)

Il centro soddisfa lequazione della stella di tutti gli assi centrali che siottengono ruotando il versore u e perci rappresenta lintersezione di tutti gli

assi centrali dei sistemi di vettori paralleli ruotati. Osserviamo che al tendere

diR0 a zero il centro tende ad un punto improprio in quanto le sue coordinatetendono all infinito.

Evidentemente la definizione del centro dei vettori paralleli nondipende dalla scelta del punto O, che del tutto arbitraria, come si vedeaggiungendoO0Oad entrambi i membri della (VA. 46) per cambiare lorigineinO 0: la formula del centro non modifica la sua struttura.


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r

A

A

A

A

A A

1

2

n

n-1s

3v

v

v

v

vv

u

1

2

n

n-1

s

3

FiguraVA. 22: sistema di vettori paralleli

Vi poi unulteriore propriet notevole del centro dei vettori paralleli, che sussiste quando il sistema costituito da vettori non solo paralleli ma

ancheconcordi, cio aventi oltre che la stessa direzione anche lo stessoverso.

Dato un sistema di vettori paralleli e concordi i cui punti di

applicazione cadono non esternamente ad una superficie (o a una

curva nel caso che i punti di applicazione appartengano ad uno stesso

piano) convessa il centro cade non esternamente alla superficie (curva)

convessa.

Ricordiamo cheuna superficie (curva) regolare si dice convessa quando il

piano tangente (la retta tangente) in ogni suo punto lascia lintera superficie

(curva) nello stesso semispazio (semipiano).

curva convessa curva non convessa

FiguraVA. 23: curve convessa e non convessa


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DIMOSTRAZIONE

Vediamo la dimostrazione nel caso di un sistema di vettori i cui punti

di applicazione appartengono ad un piano e sono racchiusi da una curva

convessa: lestensione al caso di una superficie convessa immediata.

Osserviamo anzitutto che essendo i vettori concordi e u il loro versore

le componenti dei vettori e del risultante, definite dalle (VA. 41) e (VA. 43),

sono uguali ai rispettivi moduli.

yx

O

A

A A

A

A1

2 3

n

s

FiguraVA. 24: centro di un sistema di vettori paralleli concordi

Scegliamo ora un sistema cartesiano ortogonale nel piano della curva

convessa Oxy in modo che lasse delle ordinate risulti tangente alla curva

in un suo punto qualsiasi e scriviamo lascissa del centro dei vettori paralleli

proiettando la (VA. 46) sullasse delle x. Otteniamo:

xC= 1

|R|

nXs=1

xs|vs| (VA. 47)

Evidentemente, tenendo conto che il risultante per ipotesi non nullo

abbiamo:

|vs| 0, s= 1, 2, , n; |R|> 0


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Inoltre nellipotesi che tutti i punti di applicazione dei vettori paralleli

siano non esterni alla curva, essendo la curva convessa, essi si troveranno nel

semipiano chiuso che contiene la curva, e dunque risulter anche:

xs 0, s= 1, 2, , n

Di conseguenza dalla (VA. 47) risulta che:

xC 0

Ora, data l arbitrariet della scelta del sistema cartesiano, possiamo

ripetere il ragionamento per gli infiniti sistemi di assi il cui asse delle ordinate

risulta tangente in un punto della curva, ottenendo, in conclusione che il

centro deve trovarsi non esterno allintersezione di tutti i semipiani delle

ascisse non negative, cio non esterno alla curva convessa.

Centro di due vettori paralleli

Un esempio interessante di sistema di vettori paralleli dato dal caso pi

semplice, quello di un sistema di due vettori paralleli.

Dalla (VA. 46) possiamo determinare il centro per via analitica:

OC=OA1v

0

1+OA2v

0

2

v01+v0

2

(VA. 48)

a condizione che v01+ v 0

2 6= 0, cio a condizione che il sistema non sia una

coppia, cio abbia risultante non nullo.

Scegliamo un sistema cartesiano nel piano dei due vettori con lasse delle

ascisse coincidente con la retta congiungente i due punti di applicazione. In

questo modo la (VA. 48) proiettata sullasse dellex diviene:


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xC=x1v

0

1+x2v

0

2

v01+v0

2

(VA. 49)

mentreyC= 0 dal momento che i punti di applicazione hanno ordinata nulla.

Distinguiamo ora il caso in cui i vettori sono concordi da quello in cui i

vettori sono discordi.

Vettori concordi

Se i vettori sono concordi abbiamo:

v01

= |v1| , v0

2= |v2|

e il centro si trova non esterno al segmento congiungente i punti di

applicazione. Possiamo vederlo facilmente, per esempio, scegliendo lorigine

delle ascisse coincidente conA1: in questo modo abbiamo:

xC= x2|v2|

|v1|+|v2|

Allora lascissa del centro risulta non negativa e non maggiore di x2, dalmomento che:

0 |v2|

|v1|+|v2| 1

Stabilito che il centro non esterno al segmento congiungente i punti di

applicazione conveniente scegliere lorigine degli assi coincidente con il

centro stesso e definire le distanze in modulo dei punti di applicazione dal

centro:

d1= |x1| , d2= |x2|


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abbiamo di conseguenza:

x01

= d1, x0

2= d2

Per cui la (VA. 49) si pu riscrivere:

|v1| d1= |v2| d2 (VA. 50)

che si legge in questo modo:

il centro di due vettori paralleli concordi si trova non esterno alsegmento congiungente i loro punti di applicazione a distanze da questi che

sono inversamente proporzionali ai moduli dei vettori.

Nel caso di due vettori il centro pu essere determinato facilmente anche

per via grafica, mediante laggiunta di una coppia di braccio nullo ai due

vettori del sistema, come mostrato nella fig.(VA. 25).

A

C

A

P

1

2

v

v

R

asse centrale

1

2

FiguraVA. 25: determinazione grafica del centro di due vettori paralleli concordi

Il nuovo sistema ottenuto in questo modo e riducibile al primitivo

sistema, non pi costituito da vettori paralleli, tuttavia riducibile al


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solo risultante applicato nel punto di intersezione delle due rette dazione.

Questo punto si trova certamente sullasse centrale sul quale il sistema,

essendo a invariante nullo riducibile a un solo vettore applicato. Gli assi

centrali dei due sistemi evidentemente coincidono, dal momento che i due

sistemi hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante e lasse

centrale determinato dai soli vettori principali di un sistema di vettori

applicati. Ora il centro del sistema dei due vettori paralleli e concordi si deve

trovare contemporaneamente sulla congiungente i due punti di applicazione e

sullasse centrale: quindi si trova nel loro punto di intersezione.

Vettori discordi

In questo caso per la determinazione analitica del centro dobbiamo tener

conto che i due vettori hanno verso opposto, per cui convenendo di scegliere

uno dei due orientamenti come positivo e laltro come negativo, avremo:

v01

= |v1| , v0

2= |v2|

Questo comporta nella relazione (VA. 49), scegliendo lorigine in A1:

xC= x2|v2|

|v1| |v2|

dalla quale abbiamo linformazione che il centro si trova sulla retta

congiungente i due punti di applicazione, ma esternamente al segmento

congiungente, dalla parte del vettore di modulo maggiore. Infatti:

se|v1|> |v2|risulta esserexC


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|v2|

|v1| |v2|=

1

1 |v1||v2|

< 1

e, dunque il centro si trova a destra di A2, cio, dalla parte del vettore dimodulo maggiore che in questo caso v2.

Scegliendo ora lorigine nel centro possiamo introdurre le distanze dei

punti di applicazione dal centrod1 ed2 come nel caso precedente. In questocaso avremo per le ascisse dei punti di applicazione:

x1= d1, x2= d2

dove il segno positivo va preso nel caso in cui il centro si trovi a sinistra diA1e il segno negativo nel caso in cui il centro si trovi a destra di A2.

Queste informazioni sostituite nella (VA. 49), avendo posto xC = 0(origine) ci danno come nel caso dei vettori concordi una relazione di

proporzionalit inversa:

|v1| d1= |v2| d2

che si pu leggere in questo modo:

il centro di due vettori paralleli discordi si trova sulla retta congiungentei loro punti di applicazione, esternamente al loro segmento congiungente a

distanze da questi che sono inversamente proporzionali ai moduli dei vettori

e dalla parte del vettore di modulo maggiore.

Per quanto riguarda la determinazione del centro per via grafica laprocedura del tutto analoga a quella che si conduce nel caso dei vettori

concordi ed illustrata in fig.(VA. 26).


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A A

C

1 2

R

V

V

1

2

P

asse centrale

FiguraVA. 26: determinazione grafica del centro di due vettori paralleli discordi


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Cinematica


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CP. Cinematica del punto

Per iniziare a trattare la cinematica presupponiamo come primitive le

nozioni di spazio e di tempo che assumiamo come note dalla fisica ed

iniziamo subito ad esaminare come si caratterizza il moto di un punto. Ilpunto

geometrico costituisce la prima e pi rudimentale schematizzazione di un

corpo, del quale si trascura la struttura interna, pensandolo come concentratoin un unico punto.

Il punto caratterizzabile mediante un vettore posizione OP, riferibile

ad unorigine O e ad un sistema di assi cartesiani ortogonali propri di

un osservatore munito di un regolo per la misura delle lunghezze e di un

sistema di orologi per la misura dei tempi. La conoscenza del vettore OP

comefunzione del tempo caratterizza completamente il moto del punto.

O

x

y

z

P

OP(t)

FiguraCP. 1: moto di un punto riferito ad un osservatore

Conoscere il moto del puntoPequivale a conoscere la funzione vettoriale

del tempo:

OP =OP(t) (CP. 1)


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cinematica del punto 59

ovvero, proiettando sugli assi cartesiani del sistema di riferimento, conoscere

le tre funzioni che danno le coordinate del punto in ogni istante:

xi= xi(t), i= 1, 2, 3 (CP. 2)

che scriveremo anche indifferentemente:

x= x(t)

y= y(t)

z= z(t)

(CP. 3)

Dal punto di vista geometrico queste tre funzioni rappresentano la

parametrizzazione di una curva rispetto al parametro t: tale curva viene detta

traiettoria del moto ed la curva che il punto Pdescrive nello spazio durante

il suo moto.

E conveniente, per introdurre unaltra parametrizzazione per la curvache si pu ottenere mediante lascissa curvilinea s sulla traiettoria. Come

noto dalla geometria lascissa curvilinea definita, rispetto ad unaltra

parametrizzazione della curva (nel nostro caso quella int) come:

s=Z t0

ds( t ) (CP. 4)

dove:

ds(t) =vuutdx

dt

!2+

dydt

!2+

dzdt

!2dt (CP. 5)

Mediante questa nuova parametrizzazione la traiettoria viene descritta

in modo puramente geometrico, senza includere il tempo come parametro,

attraverso lequazione vettoriale:


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OP=OP(s) (CP. 6)

o equivalentemente, proiettando sugli assi cartesiani:

x= x(s)

y= y(s)

z= z(s)

(CP. 7)

La legge che regola il cambio di parametrizzazione da tads esprimibile

come un legame funzionale del tipo:

s= s(t) (CP. 8)

e prende il nome diequazione oraria olegge oraria del moto. Mentre la (CP.

6) contiene solamente le informazioni geometriche relative alla traiettoria,indipendentemente dalle informazioni sullevoluzione temporale del moto,

cio sul modo come la traiettoria viene percorsa, la legge oraria non

contiene nessuna informazione sulla forma della traiettoria, ma descrive

propriamente il modo in cui essa viene percorsa nel tempo, cio contiene

tutte le informazioni sullevoluzione temporale del moto.

Perci questa rappresentazione del moto particolarmente conveniente,

perch consente di separare le informazioni pi propriamente geometriche

da quelle strettamentecinematiche.

Cinematica lungo una traiettoria assegnata

Se si suppone assegnata la traiettoria del moto, cio lequazione vettoriale

(CP. 6), o equivalentemente le equazioni (CP. 7), lo studio del moto si


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riconduce allo studio della sola legge oraria (CP. 8), che pu essere riportata

in grafico fornendo quello che si chiama diagramma orario del moto.

Si introduce, poi, il concetto di velocit media del punto, in un intervallo

di tempo di estremit1 e t2, come:

vm =s(t2) s(t1)

t2

t1(CP. 9)

e di velocit istantanea nellistante genericot, come:

v= ds

dt = s (CP. 10)

dove con il punto si indica loperazione di derivaizone rispetto al tempo.

Questa velocit viene propriamente denominatavelocit scalare del moto

lungo la traiettoria.

Un moto che avviene con velocit positiva un moto in cui la

funziones(t), avendo derivata positiva, crescente: viene perci detto motoprogressivo, mentre un moto in cui la velocit scalare negativa viene detto

regressivo, in quanto s(t)decresce. I punti in cui la velocit si annulla sonodetti punti di arresto: quando i punti di arresto corrispondono a massimi

o minimi relativi della funzione s(t) vengono detti punti di inversione delmoto, in quanto attraversandoli il moto cambia il verso di percorrenza della

traiettoria.

Nel grafico riportato nella fig. (CP. 2) il moto risulta progressivo negli

intervalli:0 t < t1,t > t2e regressivo nellintervallo: t1 < t < t2. I punticaratterizzati dai valori del tempot1e t2sonopunti di inversione.

Per poter condurre lo studio della funzione s(t) dal punto di vista analitico,in modo da valutarne gli estremanti, occorre introdurre anche la sua derivata

seconda rispetto al tempo, che prende il nome di accelerazione scalare:


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O t

t

t

s

so

1

2

FiguraCP. 2: diagramma orario del moto

a=d2s

dt2 = v= s (CP. 11)

Si caratterizzano poi alcuni moti particolari:

Moto uniforme

Un moto si diceuniforme quando la sua accelerazione nulla:

a= 0 (CP. 12)

Questa equazione si pu riscrivere esplicitamente nella forma:

s= 0 (CP. 13)

che rappresenta lequazione differenziale della legge oraria per il moto

uniforme.

Integrata essa d:


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s(t) =v0t+s0 (CP. 14)

dove i valori delle due costantiv0ed s0 sono dati dalle condizioni iniziali:

s0= s(0), v0= s(0) (CP. 15)

essendo s0 la posizione iniziale del punto lungo la traiettoria e v0 la suavelocit iniziale.

Moto uniformemente vario

Un moto si dice uniformemente vario quando la sua accelerazione

costante:

a= a0 (CP. 16)

ovvero:

s= a0 (CP. 17)

che integrata fornisce l equazione oraria:

s(t) =1

2a0t

2 +v0t+s0 (CP. 18)

Il moto uniformemente vario si dir uniformemente accelerato sea0 >0euniformemente ritardato sea0


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Moto vario

Un moto si dicevario quando non rientra nelle due categorie precedenti:

in questo caso la funzione a(t) qualunque e per determinare la legge orariasi dovr procedere caso per caso a due successive integrazioni, una volta

conosciuta la funzione accelerazione scalare. Lequazione differenziale del

moto si scrive:

s= a(t) (CP. 19)

Integrando una volta si ottiene la funzionevelocit:

v(t) =Z t0

a( t )dt+v0 (CP. 20)

Integrando una seconda volta si ha la legge oraria del moto:

s(t) =Z t0

v( t )dt+v0t+s0 (CP. 21)

Cinematica vettoriale

Una descrizione complessiva del moto, che includa anche la traiettoria,

si pu fare considerando non appena la legge oraria (CP. 8), ma la funzione

vettoriale (CP. 1). A questo scopo si definiscono:

la velocit vettoriale del puntoP:

v= dOP

dt =

dP

dt (CP. 22)


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dove la notazione abbreviata, che ometteO per sottolineare che P il punto

variabile, quella che useremo pi frequentemente;

laccelerazione vettoriale del puntoP:

a= dv

dt =

d2P

dt2 (CP. 23)

Per evidenziare, nelle formule, ci che dipende dalla geometria

(traiettoria ) e ci che dipende dal tempo (legge oraria ) necessario

pensare la funzione vettorialeOP(t)come unafunzione composta del tempoattraverso s:

OP =OP(s(t)) (CP. 24)

in modo da evidenziare il legame tra le caratteristiche geometriche della

traiettoria e le grandezze cinematiche.

In questo modo la velocit vettoriale si esprime come:

v= dP

ds

ds

dt

ma:

T = dP

ds (CP. 25)

il versore tangente 1 alla traiettoria nel puntoP. Di conseguenza si ottiene:

1Richiami sulla geometria delle curve si possono trovare nellappendiceCU - Propriet

differenziali delle curve.


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v= sT (CP. 26)

relazione che ci informa che:

La velocit vettoriale un vettore sempretangente alla traiettoria e dimodulo uguale al valore assoluto della velocit scalare

La rappresentazione (CP. 26) prende il nome di rappresentazione

intrinseca della velocit vettoriale.

Derivando la (CP. 26) rispetto al tempo ricaviamo laccelerazione

vettoriale:

a= d

dt

(sT) = sT+ sdT

dt

(CP. 27)

ma T funzione composta del tempo attraverso s, per cui possiamo scrivere:

dT

dt =

dT

ds

ds

dt (CP. 28)

Ora, dalla teoria delle curve sappiamo che:

dT

ds

=CN=1

N (CP. 29)

dove N il versorenormale principale alla curva e:

C=1

(CP. 30)


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la curvatura principale e il raggio di curvatura ed uguale al raggio

delcerchio osculatore.

Dunque sostituendo nella (CP. 28) otteniamo:

dT

dt =

s

N

e quindi nellequazione dellaccelerazione (CP. 27), abbiamo:

a= sT+s2

N (CP. 31)

Questa larappresentazione intrinseca dellaccelerazione vettoriale.

Il vettoreaccelerazione possiede due componenti:

una componentetangenziale, cio diretta come il versore tangente alla

curva, il cui valore uguale allaccelerazione scalare:

aT = a T = s (CP. 32)

una componente normale , cio diretta come il versore normale

principale all curva, il cui valore dato da:

aN= aN= s2

(CP. 33)

Il termine aT responsabile delle variazioni del modulo del vettore

velocit; infatti:

d |v|

dt =

dv2

dt =

vv2

dvdt

= v

|v| a= T a= aT


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Laccelerazione normale , invece di conseguenza, responsabile delle

variazioni delladirezione del vettore velocit.

Osserviamo, ancora, che se si richiede che v sia costante durante il moto,

il che equivale a dire, che il vettore accelerazione sia nullo:

v= costante a= 0

dalla (CP. 31) abbiamo:

sT+s2

N=

Dal momento che T e N sono vettori linearmente indipendenti, la

condizione precedente equivale a dire:

s= 0,

s2

=Cs2

= 0 (CP. 34)

La prima delle condizioni (CP. 34) equivale alla richiesta che il moto sia

uniforme (CP. 13) e il suo integrale dato dalla legge oraria (CP. 14); la

seconda, dal momento che, in generale s 6= 0, altrimentiPsarebbe in quiete,equivale a richiedere che C = 0, ovvero che , e cio che il moto siarettilineo.

Poich allistante inizialet = 0abbiamo:

s(0) =v0, v0 T0= v0 (CP. 35)

e allistante genericot la velocit vale:

v= v0 T (CP. 36)


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lequazione della traiettoria sar data dalla condizione sulla tangente:

T = T0 dPds

= T0= v0

v0(CP. 37)

Integrando rispetto ad s si ottiene lequazione vettoriale di una retta nel

parametros:

OP(s) = (s s0) v0v0

(CP. 38)

che evidentemente lequazione vettoriale di una retta passante per la

posizione inizialeOP0= s0 T0.

Come si visto in questo semplice esempio, dalla cinematica vettoriale si

hanno informazioni sia sullalegge oraria che sullatraiettoria.

Integrazione dellequazione vettoriale del moto

Noto il vettore accelerazione in funzione del tempo:

a (ax, ay, az)

lequazione differenziale del moto, in forma vettoriale :

d2P

dt2 = a(t) (CP. 39)

che proiettata su un sistema di assi cartesiani ortogonali rappresenta un

sistema di equazioni differenziali del sesto ordine:


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x= ax(t)

y = ay(t)

z= az(t)

(CP. 40)

Sistema che integrato una volta fornisce le componenti del vettore velocit

in funzione del tempo:

vx(t) =v0x+Rt0

ax( t ) dt

vy(t) =v0y+Rt0

ay( t ) dt

vz(t) =v0z+Rt0

az( t ) dt

(CP. 41)

e integrato una seconda volta d le coordinate del punto in funzione del tempo

(integrale del moto):

x(t) =x0+Rt0

vx( t ) dt

y(t) =y0+Rt0

vy( t ) dt

z(t) =z0+Rt0

vz( t ) dt

(CP. 42)

Questi risultati si possono riassumere in rappresentazione indicale come:

vi(t) =v0i+Z t0 ai(

t ) d

t (CP. 43)

e rispettivamente:

xi(t) =x0i+Z t0

vi( t ) dt (CP. 44)


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ovvero nella rappresentazione vettoriale simbolica:

v(t) = v0+Z t0

a( t ) dt (CP. 45)

OP(t) =OP0+ Z t

0

v( t ) dt (CP. 46)

Questi risultati significano che lintegrazione di una funzione vettoriale

equivale allintegrazione di ogni sua componente.

Moti piani in coordinate polari

Diamo anzitutto la seguente definizione dimoto piano:

Un moto si dice piano quando la sua traiettoria contenuta in un piano

invariabile rispetto all osservatore, che si dice piano del moto

Di conseguenza nel caso del moto piano i versori tangente e normale

principale appartengono al piano del moto, che coincide con il piano

osculatore della traiettoria, mentre il versorebinormale costante e normale

al piano del moto: questo sufficiente a garantire che il vettore velocit e il

vettore accelerazione, in base alla (CP. 26) e, rispettivamente alla (CP. 31),

appartengano al piano del moto.

Spesso pu essere conveniente, quando si analizza un moto piano

proiettare le equazioni vettoriali del moto, anzich su di un sistema cartesiano,

su un sistema dicoordinate polari (r,)disposto come in figura (??).

In questo sistema di coordinate:


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O

x

y

P

r

!u

w

FiguraCP. 3: rappresentazione di un moto piano in coordinate polari

r= |OP| (CP. 47)

il modulo del raggio vettore che individua il punto P e langolo formato

daOPcon lorientazione positiva delle ascisse.

Anzich fare uso della base ortonormale degli assi cartesiani ortogonali:

{ei, i= 1, 2}

si introducono i nuovi versori:

u= R e1, w= R e2 (CP. 48)

essendo:

R cos sen

sen cos

(CP. 49)


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la matrice di rotazione 2 2 che definisce una rotazione di un angolo nel piano del moto. Si ottengono subito le componenti cartesiane dei nuovi

versori di base:

u (cos,sen), w (sen,cos ) (CP. 50)

che sono manifestamente ortonormali essendo stati ottenuti mediante

rotazione di una base ortonormale.

Il legame tra le coordinate cartesiane e le coordinate polari nel piano

risulta allora esprimibile nella forma:

x= OP e1

y= OP e2(CP. 51)

Ma essendo:

OP =ru (CP. 52)

segue:

x= r cos

y= r sen (CP. 53)

A questo punto siamo in grado di caratterizzare le grandezze cinematiche

ve a, per il moto piano, in coordinate polari.

Per la velocit, derivando rispetto al tempo la (CP. 52) abbiamo:

v=dP

dt =

d

dt(ru) = ru +r

du

dt (CP. 54)


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Ma u funzione composta del tempo attraverso , dunque svilupperemo

la derivata nel modo seguente:

du

dt =

du

d

d

dt (CP. 55)

Dalla (CP. 50) ricaviamo:

du

d (sen,cos ) w (CP. 56)

Quindi:

du

dt = w (CP. 57)

Sostituendo questi risultati nella (CP. 54) otteniamo lespressione finale

per la velocit nei moti piani, in coordinate polari:

v= ru +rw (CP. 58)

Per valutare laccelerazione in coordinate polari procediamo

analogamente. Scriviamo:

a=dv

dt =

d

dt(ru+rw) = ru+ r

du

dt+ r w+rw+r

dw

dt (CP. 59)

Ci occorre valutare ancora:

dw

dt =

dw

d

d

dt (CP. 60)


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E dalla (CP. 50):

dw

d (cos, sen) u (CP. 61)

Quindi:

dw

dt = u (CP. 62)

In conclusione, inserendo la (CP. 57) e la (CP. 62) nella (CP. 59) otteniamo

la rappresentazione dellaccelerazione per i moti piani:

a= (r r 2)u + (r + 2r )w (CP. 63)

Sia per la velocit che per laccelerazione vengono denominate come:radiale la componente secondo ue trasversale la componente secondo w.

Si utilizzano le seguenti notazioni:

vr = r velocit radiale

v= r velocit trasversale

ar = r r 2 accelerazione radiale

a= r + 2r accelerazione trasversale

(CP. 64)


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Velocit areale

Trattando dei moti piani particolarmente utile definire anche una

grandezza legata allarea che il raggio vettore descrive durante il moto: si

dice velocit areale larea che il raggio vettore descrive nell unit di tempo .

Considerando un intervallo di tempo t il raggio vettore OPruoter di

un angolo attorno ad O a partire dalla direzione che aveva allinizio

dellintervallo. Pensando che tsia abbastanza piccolo larea descritta dal

raggio vettoreOP, nellintervallo di tempo tsar uguale allarea del settore

circolare di raggio r e angolo al centro , a meno di infinitesimi di ordine

superiore al primo. Cio si avr:

A=1

2r2 +O[()2] (CP. 65)

O x

y

r

r'

PP' r

!

"!

"!

FiguraCP. 4: are

meccanica razionale - alberto strumia

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