meccanica razionale esercizi
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Meccanica Razionale EserciziTRANSCRIPT
GIANCESARE BELLICARLO MOROSIENRICO ALBERTI
MECCANICAESERCIZI
RAZIONALE
SECONDA EDIZIONE
MASSONMDMilano . Parigi . Barcellona1994
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INDICE
Cop. 7 Qinematice\ ^c/Cop. fi Distribuzíoni di masso\
Cop. 9 'Stotica dei sistemi di puntiCap. I Statíca d,el corpo rigidoCap. 5 Statica d,ei sistemi d,í corpi rigidiCop. 6 Azioni ínterne in sistemi orticoloti .Cop. 7 Statica dei fiIi . .Cop. 8 Principio dei lauori uirtualiCap. . 9 Dinamica del pvnto\- /Cop. ,\ Dinamico del corpo rigído-\) /Cap. X. Dínamica d,ei sistcmi .' { \
Cop..X Equazioni di LagrangeCap. fr Meccanica relotiua ..<\Cop. X Stobílità e piccole oscillazioniCap. 75' Principio di d'Alembert
pag. Ipag. 23pag. 35pag. 45pag. 57pag. 7Lpag. 87pag. LOLpag. J-L9pag. L37pog. L59pag. L87pag. 2O5pag. 229pag. 24L
Cap.1Cinematica ,a
In questo capitolo presentiamo alcuni esempi la cui discussione è utile per la suc-cessiva soluzione di problemi sia di statica sia di dinamica. Le note introduttive siriferiscono solo agli aspetti particolari che saranno considerati negli esercizi, e cheriguardano prevalentemente il calcolo della velocità e dell'accelerazione per il puntoe I'analisi dello spostamento infinitesimo e dell'atto di moto per il corpo rigido.
CAICOIO DEttE VELOCITA'
La velocità v di un punto può essere calcolata, in base alla definizione, come derivatatemporale della sua posizione, per cui si ha:a) forma cartesiana (rispetto ad assi fissi):
ùa:ù , uy:ù , az:2 , ( r ' :ù2 l t l2+221
r\.DJ lorma lntrrruieca:
lr.r j
v : it , (t versore tangente alla traiettoria) Ir.zlc) nel moto piano, le componenti uo e u, secondo le direzioni radiale e trasversasono:
up: i , , r :p i ) , (o ' : i2+p2ò2) Ir.e]essendo p e 0 le coordinate polari del punto.Per un punto appartenente ad un corpo rigido, la velocità, può essere calcolata ancheutilizzando le formule dell'atto di moto rigido (vedi osservazioni successive). Peril calcolo della velocità con il teorema di Galileo, si veda il Cap.l3 di MeccanicaRelativa.Le relazioni [1.1] e [f.Z] possono scriversi in termini di spostamento infinitesimod,P : vd,t.
lo'rlcalwl:lapl' (c-a)rap
aqr an8as [S'f] e11ep olu"1red 'odroc il uor el€p$os auolzarlp Bunpe oluarurJeJrJ Ir uof, essg euorza.rrp eun ep e.rdrues eru torrerotlue po oIJ"Jo osuas uIoleJnslur orasso gnd aqc'odrol Iap auolz"Ìor tp olo8ue,l 0 opuessa ' lflpl: t olnpolueq pa ouerd 1e eleuo8olro ? €urlsalpgur auorz"lor arolle^ [ '(lp.: a) odroe 1apstrrrsalrugur euorz"loJ alollarr II ? , pa euouolo.t D?u|rluo$t ,p ollu?1 M c a^oP
le'rlb-a)v':dP"ruroJ
e11au allqg4rdsaQolr ? od.roc 1ap 2' olund oor.rauaE un Ip dp oluaurelsods o1 'olJol"loJ Q ossa((Ò'a)n Òp : aù orrolelserî ? uou oluauelsods ol as'ota1ng tp Dtuato?l lr rad
ONYId TtrN OOIDIU OdUOC NO IO OTSSJINIJNI OINII^IYTSOdS
'lPou Iap ass"rllaP eJosJaÀ Irp a 'odroc Io) alsprlos oJîl?(l a ossg óun; 3,2 a z tsse tlEap trosraa I r{ a :t opuassa
[r'r]NA*,:t4i]{'ltlt:o
"IuJoJ sllau IsJertlJcs gnd o a
[s't]6soc(t + rfu : 'n I
tft,sot guls I - {tuls Q : o, )I 4f urspuls 4 + !tso)0: "o )
n\p 'm ( fr'm (am rlueuoduroe al eJoll?rp oloEue 4l 'auorzelnu rp oloEue p) od.
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ouos essg BuJal ?un pe olledspo\p 'm' frm'am rI1e (epdord auolzsÌoJ tp olo3ue d 'auorssacard
odroo 1ap oJalnfl tp tlo8ue t1E ouos 'ó'fr'0 aS
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:rlenEn ouos rlund anp t alueEunrEuor e1 oEunl Òl e drr Rîl3ola^ailap llueuoduror a1 'arelocrlred u1 'oppr.r odroc 1ap ereloEue -q.ll"olo^ 3l Q ra eÀoP
[r'r] (Ò - a) v."+ a^ - d^
auorz"lar e11ep a1eta1 ouos oplEF od.rol 1ap 11und anp IP Ò,r a d,r Rllcola,r a'I
OOIOIU OTOil I(] OTJY
o?rloru?urC :7'dog z
Cop.7: Cinematico 3
cioè lo spostàmento d,P è sempre perpendicolare al vettore (P - C) ed ha moduloproporzionale alla distanza di P dal centro di istantanea rotazione (diagrammatriangolare degli spostamenti).Per le [f.S]' [f.OJ, noto e ed il centro di istantanea rotazione è noto pure lo sposta-mento di un puntol noto lo spostamento di un punto ed il c.i.r. è nota la rotazioneinfinitesimaLo spostamento infinitesimo non traslatorio può comunque essere sempre analizùatocome rototraslatorio, cicÈ, per la [1.4], con la formula
d,P: dQ +e n (P - Q) Ir.ro]Lo spostamento di un generico punto P può quindi essere determinato se sono notie e lo spostamento di un altro punto Q, owero si può determinare dalla [r.rOj larotazione infinitesirna e :
Ir.n]se \no noti due spostamenti d,P e dQ di due punti del corpo.Se Ylpota la direzione degli spostamenti non paralleli d,P e d,Q, la posizione delc.i.r.rrè determinata dall'intersezione delle perpendicolari alle direzioni di dP e d"econdotte per P e Q (teorema di Chasles).Se invece sono noti due spostamenti paralleli e lo sposternento non è traslatorio,daila [f .11] si ottiene la rotazione infinitesimae, m.entre dalla [f .O] segue che il c.i.r.è sulla perpendicolare comune agli spostamenti dp e de per p e e, a distanza Fddata da:
Ir.rz]Per un corpo rigido con un gradé di libertà, la direzione di due spostamenti è notae quindi il c.i.r. è determinabile con il teorema di Chasles. Per un corpo rigid.o conpiù di un grado di libertà, il suddetto teorema non.è di comoda uppti..riJ.re ed èopportuno analizzare lo spostamento come rototraslatório (formule {rrro-rzl).Le relazioni precedenti possono scriversi in termini di otto d,i moto:
e : ldl l :VHg
Pd:##,
. vp:.ùrA(P-C)
w = lf l l : vplPc
v; '=vq*wn(P-Q)
a : l0 l : lvp - vel l pe
,lr.a'l{r.g']
I t .ro'][1.11' ]
I
i
[,rrr]b- òy fa:d,tt' (Ò- òv F+7^--t,^:llenplÀ Rtlrole^ a1 rad a
(c-a)vt:ag ' (O- d)vt+Ò9:dg [rrr]:rlenlJr^ rluaruelsods q3 rad oruerairlJf,s pr rad 'eralalca
(ossg q olund un es olJol"loJ.ouol"ls?JlotoJ Q oraqq opp1.r odroe un IP el?ntJl^ oluaurelsods o1 'erelortlred u1
'(,r aqr e)eÀul ,l) errde un
uor rl"n?Jr^ RlIroIa^ a1 'p uoc aqf, a3aitul 9 uo) It"f,lPul ouos qenplrr lluaurelsods gp.al"npr^ oloú Ip ott€ Ip e1.red rs 'ttlcola,r Ip ruolznqrrlslP oueJaPlsuot !s opuen[
'al"npl^ oluaurelsods oun 3I{ olund ons ru3o es al"n}JrÀ ? "ruelsls un IP
oluaurelsods orl .oluauelsods ol sJePISuot ts IIlf, uI alu"lsl(llau tssg tlesuad 'r1oeur,r
re aruJoJuot ourlsallugu olueruelsods oun ? 2'olund un IP al"nyl^ oluau"lsods o1
ITYNTUIA OTOW IC OJJY fl OJNSI^IYJSOdS
'(o'sg lPer') outouolouD olotq^ IP
eped 1s 3e11esa Pe IIIqlrnPIr gu 'a11ese ouos uou llslzualaglP luolsserdsa al eîaxrl €S.( g
" Z.rt rpa,r) ourouolo olotut^ un Q Pe auotzern8guol lp aleqPJoot el "JÎ
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ruorz"lal er11dur1 olo)q^ II eJoll" 'a11esa errrJoJ e tluap'unba po 'a11esa ouos llelzuar
-agrp ruotssardsa qe1 aS '"ruelsls lap auolz"JnEguor IP aleulProot elleu I"IzueJaStPruorssardsa ep ollop,EJî lpu1nb q pe 'gl1ro1a,r allns ruolzlJlseJ allep qotl auod roetleut
-aurf, olo)urÀ un Q oluatuelolor ornd 1p olotul^ U 'lglfl euolzlugaP e11ep an8as aruoC.(...cea,a1qour elornJle)-essg elof,nJJuf, od11 1ep pralqs) FpslP ns aler?slJls szuas
ouo31o,r,re rs aq) IIg uof, rlrq"zztl"uarlf,s ossads 'a1e1uap alonl ns ello^Àe eual?) uof, o
rEEeuerEul uor lllq"zzllear lluaurelddoeee 11E aqf,Il? olualllslolo.r ornd tp IIof,uI^ ouos
rl't U arauaE q ? ltou ossa ouerd oloru lau ereloqlred uI :o[nu
oluaurelsods arauaE uI eq uou oll"luot rp olund II 'Uqoru ouos 1d'ror I anPaqru€ eS
'olleluof, 1p olund 1t rad essed auolz?loJ "ausluslsl
rp ass?.1 ouerd uou oloru IP
oser lau ''r'l'e ll ? ott"luof, 1p olund 11 'oueld osel IeN 'opoteloJ ? ellqour odrol1ap
oluaruelsods o1 gpulnb 'o11nu oluaruelsods eq oll"luot 1p olund p aqe anEas [tI'I]e11ep. (essg eptnE eun ns eJelcslJls
"zues "loloJ aqf, €lonJ eun IP oset Iau aruoe 'ossg
olosul^ un ezzlleuaqts enP IaP oun opuenb ordurasa pe) ossg q 1d'ror anp IoP oun aS
lerrlGx1s,: rxL ' zNP : IXP
:slltole^ alenEn lpupb a orutsellugur oîuaur€lsods elenEn ouu"q ';4' auorztsod e11au
rluoplf,ulot lzy e ty oÌ1"1uot e 11und 1nr I (ouralse olof,ur^ un pe oppp odroe un
"r1 areloîrl.red ur) rpl8F 1d.ror enp
"Jl oluaruetddolt" lp of,tlslueult olof,ulÀ un ,s
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Cap.7: Cinematico 5
un sistema si dice olonomo se ha tanti spostamenti virtuali indipendenti.quantesoao le coordinate di configurazione indipendenti: il numero di tali spostamenti è,detto il numero di gradí di tibertàe le coordinate sono d,ette coordi"ro'" lri"i. -"' '
si possono avere casi in cui il numero di spostamenti virtuali i"aip""a"it uì"t"ra*al numero di coordinate di configurazione (vedi Es.g): i' trr ".so, .rrir-"ru*oancora numero di gradi di libertà il numero di spostamenti virtuali indipendenti.
COMPOSIZIONE DI ROTAZIONI E SPOSTAMENTI INFINITESIMIPer un sistema olonomo con vincoli fissi e bilateri e con n gradi di tibertà; indi_chiamocongl ' . . - rgn lecoordinatel iberee condq1,. . . ,dq, i lorodif ferenzíal i ,condtP, . . - , dnP gli spostamenti infinitesimi che uno stesso punto p, perajtro generico,subisce quando si variano una alla volta le coordinate (ad esempio dLp èlo sposta.mento di P quando si varia la coordinata 91 di dg1 mantenendo costanti i valori di82t Qst. . . t eni ecc...) .Lo spostamento del punto P è la somma vettoriale degli spostamenti parziali oradefiniti, cioè
or : fd*p-S'ar,-'b=1 ku6-"or
Analogamente, in termini di velocità si ha:
nlt
vp=)--v&p: i" .'
" r 'ar
- Au*or
Nel caso particolare di moto piano, s€ €1r€2, ...s€nsono le rotazioni infinitesimàparziali (contate tutte nelro stesso verso prefissatoj che ";r r"r;;i.;#;ffi.variando ad una ad una le coordinate libere del sistema, la rotazione infinitesima è:
[1.15j
I1.ts11
l+'rol€:€1*ez+.. :*eo
ed analogamente la velocità angolare è:
w:ur*wz+.. .*wo[1.16']
se i vincoli sono mobili, l'espressione [r.rs], in cui convenzionalmente d è sostituitocon ó' dà lo spostamento virtuale del punto. Lo spostamento e la velocità effettivisono invece dati da
":Tffiar++,":T ffoor+ffat , [1.17]
'(auorzerala)f,e rp oJluar Iuot aleJeuet ur eegrluapr Is uou 1pu1nb a 'e1lnu euorzeJalef,)e .alerauaE ur (uou eru
"llnu Rll)ole^ "r{ 'r'r'f, II aql lprolr.r 1s) elpu auorz"Jelef,f,e
"q aq) olund Ir auorz"J
-elaf,r€ rp oJ+ual "rrr"fq3
ts 'os?) olsenb ul :[rz.I] "llap
oJqurau opuof,es ? eururralolrenb Ir ollnu g (ouerd os"tr IaN 'oppF olour lap arelo3ue auorzeralarf,".l nr opuesss
lrz'rl4(Ò - a) x.) + (Ò - d)"n - (Ò - a) y t.a* Òe: dg
:auorz€lal "ll?P a1e8a1 ouos @ a 3, 11und enp Ip Òe a de ruorz"ralef,re e1.,op1Ep Q olour rp o11"(l eS
ooIDIU OJOI^I TgN gNOIZyUgTgCCy,llgO UNOIZOflUJSIO
'8r.d"cIr epa^ rs 'sr1orro3 rp erualoal It uo) auorz"JeleDe.flap olorle) Ir Jad .(aalsseecnsruorzs Jasso lpaa) oprErr odror p rad auorzelalef,r"(llep aFruroJ al opuszzlllln ar{f,u"e}€lof,lef, alasse gnd auorzeralacf,efl toprErr odroe un p" aluouelJedde olund un Jad
loz'tl042*6d:"o ' "Qd-!:oo:ouos
"sJe^seJl e alerp"J ruorzeJrp al opuotas to ? dD rluauoduror a1 6ouerd oloru 1au (c
'o1und Iap "rJolloreJl sllap ernÌe rnf, rp or3Eer p pa
aledrcurrd alpruJou aJosJe^ y 'a1uaEue1 eJosrel Ir aluaue^rlladsr.r ouos J ,u .1 aaop
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"rasurJlur eturo; (q
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(1ssg lsse pe olladsp) eu?tsolrer eurro; (u:3rl rs rnJ lad ,rr aroîle^ Iep
e}?ÀrJeP auror 'auorzrugap 3ll" es"q q 'rs.re1or1ec gnd olund un Ip B euorz?Jeler3?.T
gNolzYuflTgccY,11go oTOCTYC
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1pa,r) olocurrr lep otoru I3 lln^op o?u?ruour?81ttt !p Rllloleir "l a oluauelsods o1 uor
olotul^ le n+oPt Rtltole^ "l e oluau"lsods o1 €tuaurl"lJollea e.rrodurof, aorf, aJJorf,O
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Cap.7: Cínematica 7
ESERCIZI RISOLTI
Es.l.l Studiare Ia cinematica di tn puntomatefiale mobìle lungo un'elica cilindrica dinggioRepassop.
Con riferimento alla terna ca,rtesiana destradi figura, l'elica cilindrica ha equazione pa-rametrica
r :Rcosl , U:&sind , " :#e la posizione del punto è individuata dal vet-tore
P(0) _ o : s(0)i+ y(0[ + z(o)k
Essendo inoltre
d,s:@:od,o
la terna intrinseca è data dai versori I
t : # : # # : *r*sindi *,Rcosdj * #ul- - d2P , ,d 'P,n: Nl ld" , l : -cosdi-s indj
b : t A o : -P-lr indi - cosdj) + 4tZtra ' o ' a
Osserviamo che, in ogni punto della linea, n è ortogonale alla superficie cilindrica,cioè, per una nota proprietà, l'elica cilindrica è una geodetíca della superficie cilin-drica. La velocità e I'accelerazione di P sono:
con o2 = (*'. #l
d,va: -- : - :
dt
" :
#: (-Rsin 0ài+ Rcostl/ i + *0k) : dot : . i t
-(.8ísin0 + Rl2cosd)i * (ftàcos 0 - Ròzsind)j n l!o:.it * #ur^
P)
o=ga_q' :of,rîeruautJ olo)ur.À U an3as rnf,
"p ,0 : IfA eJasse alep
'ossg asse,1 oEunl o1uaure1o1o.r ornd rp eJolJalln olof,ur^ II orqp 1e orueruodrur "Jo es
9A - q: tuo
:sP "î"p ?'Eo aluauoduror e1 aqr antas
{c - ù Vn'* e'r: rrrr
:9qe1od rc asse,11e e1a11e.red eluerueluapl^aq aqt (ossg asse(l uof, olî?luo) rp ,p olund Iap Rlrf,ola^ "l eJqout oureuaprsuoC
40-:n' I?:94
:e ?uersalJ?l auorssardsa oJol "l
(ctTeapeuerselJ?r euJa? rp osn
"J rs er{f, opueprorrr)
e.rnEg Ip Iss" rlEe oluarurraJrJ uof, hr.r-"Jo eJtsl-oEue qlleola^ €l a al?luozzrro
"roll" ? g IpRqlole^ €T elnEg ur eurof, lllaes r(olueru-lJaJIJ II uof,
"ssg euorzsrrp ?un uoJ eruJoJ
orsrp Ir uor epptlos auorzenp errraueE eunaqe o1o3ue,1 ?olt) A euorzelor yp olotue,gep aI oJlue) ons lep ?sslosefll"p elep a.rassa ondareqrl eîeurproo) Ip egddoe €un :Rpaqll rp1pe.r3 anp alueuaîuepl^e ?q ossa rorE3odde
IP olof,ur^ of,run6ll"p ol"lof,ur^ a orstp Ir as
.oeurytllar ossgr ess.s un Peorery[lq olorrrtl uoc o1etttodde g ofitet yporslP rn lP erlFw"up eI ere{pnls z.r!89
'(ùe auolzunJe1 o (l)s ouuro c66a7 el eleuEasse
"rs aqtr
"lloÀ sun alou eî.uaru"1a1druor pulnbousllnslr (l)e '(l),r '(l)4, aquleruaurf, Rtrtu"nb ".1
.U znt I zd + A : U I zo : r eF^ e
aluelsof, Q ef,IJPUIII) sf,Ilarllep "rnl"AJnf,
rp orEEe.r I ar{3 ol"{nslJ Ir oul"rÀor1r.r lnr.rad
ocrloru?utC :y.dog
Cop.7: Cinemotica I
Si tratta di una relazione difierenziale banalmente integrabile, per cui possiamoporre, con una scelta opportuna di r e d ad un istante prefissato, r: R0. Conclu-dendo, la ruota che rotola e striscia è un^sistema olonomo con due gradi di libertà;il vincolo di puro rotolamento è in questo caso un vincolo olonomo e riduce ad unoil numero di gradi di libertà, (si veda al riguardo l'Es.1.9).
8s.1.3 Un disco di raggio R è gbevole at-torno aI proprio centro 1îsso O. Estetna-mente,ad esso, è appoggiato un dìsco di cen-tro A e raggio i, ,on A collegato ad O daun'a.sta dì lunghezza I : R * r.Studiare la cinematìca del sisúema.
Indichiamo con 0, a, p gli angoli di rotazione,orari, del disco grande di raggio ,R, dell'astaO.4 e del disda piccolo di raggio r.Se il disco piccolo è semplicemente appoggiato al disco grande, lè tre'coordiiratesono chiaramente indipendenti e il sistema ha tre gradi di libertàu: si può ad esempioruotare il disco grande di ód mantenendo fissi I'asta e il disco piccolo (6p :0, óa :0), oppure ruotare la sola asta di óa senza ruotare i due dischi (6d:0, 6g:Oilospostamento del disco piccolo è allora traslatorio) o infine far ruotare di órp attornoal suo centro r{ il solo disco piccolo.La situazione è del tutto differente se imponiamo che i due dischi siano vincolatida un vincolo di puro rotolamento, cioè che i punti a contatto abbiano ugualevelocità: v E : v K. Infatti osservando che, se r è un versore ortogonale alla direzionedell'asta, si ha:
YH :tttR A (H - O) : Ril,yK : yA +tt î A (K - A): ((n * )a - rrr) t
il vincolo di puro rotolamento si traduce nella relazione difierenziale:
n0 : (R -l r)a - rcp
nelle coordinate 0, a, g. Tale relazione è direttamente integrabile e corrisponde,con una scelta opportuna delle costanti di integrazione, alla relazione finita:
n0:(R*r)a-r9
€l mr red 'F{es1p snp r €JT ofuarrrsloloJ o.rnd p euorzrpuoJ e1 a olomrd oaqp 1e 5J lpezuaualredderl ortr€lzz
Cap.l: Cinemotico l l
velocità può calcolarsi anche nel seguente modo:
Poiché
YB : yK *w, A (B - K):vr , * w, n (B _ K)
vlr=r l , r* t tnA(H-A)
= ii * (- iol n (r? din 0i + Rcos dj): i (1,+ cosd) i - is indj
w, A(B - K) =.c,r-k n (rsindi * rcosdj) = a.rrsin 0j - urcos0isegue che
vs : (i(1 * cos d) - t,lr cos 0)i + (wr _ i) sin dj (Z)Dalle (1) e (2) deduciamo atlor" che la velocità angolare del disco piccolo ha unacomponente antioraria
, :2-R+r6r7
Anche questa relazione è banalmente integrabile, per cui se rp è l,angolo antiorariodi rotazione del disco piccolo, si ha yr : (c - (R + r) e lr , a meno di una inessenzialecostante additiva.
Es.l.5 Determinare Ia velocità angolare ela velocità, del centro G di un disco di raggioR, che rotola senaa strisciare su un,asta ret_tilinea mobile, incernierata nell,estrema O.Supponendo poi che l,asúa sj 'muova di motoassegnato, ad esempio con una rotazìone uni-forme di velocità angolare oraria 1, deter-minare la velocità angolare e la velocità delcentra G, nonché Ie corrispondenti grand.ezzevirtuali.
I) Si può caratterizzare la configurazione delsistema con I'introduzione di due coordinateIibere, per esempio I'angolo orario d di rota_zione dell'asta e la coordinata s = OIf cheindividua la posizione del disco sull 'asta: i l sistema ha quindi due gradi di l ibertà.
(x-ùvl'l+xA-o^
:3r{ Is Int rad'rleururrelaP ouos ol a X,t aqr aluasard oPueua?,[,Of.t] sl augur ourelqelldde 'oesrp 1ap areloEue R]ltola^ sl eraualto rad '(1) e11ep
' alep Rl!)ola^ "llap en e oÍ au?rsalreo rluauoduror a1 ouoEuallolr Is '{Z) "t opu" ua(I
, sot A' - 0uls s : Qso) ){P - |uls NO : en(z) - . .- - ' 1ursg*Asof,s'-6tulsYP *gsotNO-cs
:eq gs ternBg Ip ou€IsalJ"t ?uralsls I" olueurlJaJtJ uo) lauotz
-lugop 'gl uof, aîualu,Pllarlp Isrelotl?s essod g IP Rt!)ole^ "l etuoJ eugul oulsl^Jesso
- r, sof, uof, 'r, oloEue un ou"rrrroJ ezo e groaqr oll€J "î#ft"i;
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I//AZ+ z? + zl(zs + za): ?o ì0so)05'*pu1s (eA +s):0uls cza* (p+ra)ursoto: on
I (t) ' ,' ,' ^--^^,^, /^, -\^^^., t \>' pqsrs-psof, (gA +9) = 0sotDZa+ (A+o)sorclo: "* | i
alî+o-zm*rm:m )
(ernEg 1pa,r) aua111o 1s
[,srr] a [,grr] al opuof,as oloul !p Iî1e anP Iero opuauoduroC 'S 3 alenEn e els".lls slalleJ
-ed eza Rîlrole^ "un orluat 1t pa'gf s - zn
?rJ?Jo areloEue Rtlf,ola^ eun eq o)sIP II Inî
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elol
-or ar{3 of,slp IaP oset olou ueq il ll}"Jut euoll
-îorJ rs !e1se,1 uof, o1î"1uo) lP N olund ons I"ouJolle olJol"loJ ? otslP IaP oîour IP.olle,l 'A?î€ulPJoof, 3l sssS eualluelu Is e)errul opuen$
'(1e1se,11e uou a (9 - ,)) " a.reloelpuad.rad a cr,r aqe ourellop)
0zs +eUA^-0ro+ @-C)VIo:otzr
[O'f] e11ep 31"P eI^ Rtltola^ eun "q I erluau 'g - rm .glr"ro a'reloaue Rll)ola^ ,eun
sr{ o)srp g tnt red opl3F odloe olos un ouotslnlllsot otslP a else 'osec 1e1 ul :ossg
olnualueur g s opuenb otslp IeP otoru IP o11s.l otlntlzue oru"IJeplsuoC '"llo^ sil"
sun alerJs^ ouoEuaa s a A eJaqll aleulPJoof, a1 opuenb otslP l" ouoladurol eqt otoru
Ip llle anp I [,gI.I] ,[igI.I] el opuores opuauodurot otselqtlr oluenb oluelullurele0
D?tlpru?ur7 :7'do9
Cap:7: Cinematica lg
II) Se la velocità angolare dell'asta è assegnata, possiamo considerare il solo discocome un corpo rigido corl un solo grado di libertà, vincolato dal vincolo di purorotola^urento 'al vincolo mobile dato dall'asta (il punto .úf non è quindi il centro diistantanea rotazione del disco, avendo la stessa velocità
"d d"l punto corrispondente
dell'asta). La velocità, angolare del disco e del suo centro G si ottengono alloradai precedenti risultati (1) e (B) semplicemente ponendo à : r. Ben d.iversa èla situazione se vogliamo calcolare le grandezze virtuali d e v,"; ricordando ladefinizione, dobbiamo considerare I'atto di moto del disco pensando l,asta fissata,cioè porre 0 :0 nelle (r) e (a). L'atto ài moto virtuale del disco è n"ilt;;;;;;con 'Il centro di istantanea rotazione, la velocità v'" è parallela all'asta evale 6sf 6t,mentre la velocità angolare r./ ha una componente oraria 6sl R6t. Detto altrimenti, ,le coordinate di G sono le (Z) con 0 :1t per cui si ha:
c:scoslú*.Bsinf t Ac=ssin?ú_.Rcos1ú (4)
Calcolare v6 vuol dire derivare le (a) rispetto a t, per cui:
i. : PqEA.' * dsc(s, ú)-dsAt
ed analogamente per úc' mentre per calcolare la velocità virtuale occorre considerareú come costante
6tós.., _ dc6(s, ú) 6svzG - ------;-- ;:
8s.1.6 Si analizzì Io spostanento vìrtualedel sistema canucola fssa-carruc ola mobiledi frgwa.
Assumiamo che il filo, di lunghezza costanre,sia vincolato alla periferia dei dischi da unvincolo di puro rotolamento é che i tratti difilo liberi siano Íerticali. In tali ipotesi, ilsistema è olonomo con due gradi di libertà,la sua configurazione essendo determinata sesi conosce, ad esempio,lg,Lg.lglrg?a s dellS_molla e la quota y del punto .4.Analizziamo ora lo spostamento virtuale del sistema mediante il principio di sovrap-posizione.
'else.ilaP a .rrIrsIP reP olou lp olle,Ia
"uraîsrs PP PlJeqil lP lper? ! "reulrrrrele(I 'ossg ess?.[" ol13ds[J p oIoEve unlp ewul|3u! ? pe otuerdJe|rclor ornd lp op"u!^un uol lrlJslp rns eletttodde ? eperl rossg aoewqllar ass'P un ns aJ".psrJls ezues oueloloIlqrsp anp r turn8g Ip "ura?s1s IaN t'T'sg
Iulrrrreî q ("''s F sg '0 *- ng)eruarrr'îrerrp ernp"rt rs eruaparar.,*|J;;rtl;HJ:tluatuelsods anp t red rfl a I 'r'!'? | olou ouos a.rluaur'o1ou g uou (o.rapg rp erualoalp rad 'elsrsa alerauaE u1 aqc) elrqou
"lornJrer e1 rad 'J'l'? II eqr eugut rÀJesso rS
z -cno' IZ :z)'" -r, frg-"g " sg+ng ftg
:auorzrsodderrr-os gp oldleugd g red 'ouos apqoru elornJJ"f,ellap g oJluar Iap otuau"tsods o1 a alornJJetenp ellep uol€lor rlueurelsods gE oluepa4
_ong 6' o-tt
arelorllred q "q Is lernEg uI
"ts)lpur Qauorzenlrs e1 's eleulpJooc elle sg auorzprJeeun oru"rp a 'ossg /l oureruelueru af,e^u aS
z)_ong .az
ng:Z) (
:"q rsarelorrlred u1 lapqour ?lof,nJJ"f, ellep 'J'r'e IIq g 'olereprsuor al"rzJud olueruelsods o11eu'aqr a oluanrelolor ornd eq rs elornJJsr a olgeJt aq) oît"J lep oluof, oînue1 q rs aaop 'ern8-g q !t"3lPul ?Joll? ouos rlo^alou rîuaru?îsods pnele !/i eleurproor
"n" /19 auorzerrel
eun orusrP a s elu"lsot ollnllzue olllelualusl^l
o?r?oru?urc :7'dog
[z :2, s97rs9
t_;13fr9
zN_
Cap.l: Cinematico
Per il vincolo di puro rotolamento tra di-schi e asta e tra dischi e arise fisso, il sistemaha un solo grado di libertà; infatti, nota laposizione del centro G del disco grande, adesempio mediante la sua ascissa r, la confi.-gurazione del sistema è completamente de-terminata e la velocità di ogni altro punto èesprimibile in funzione di r e ù.L'atto di moto del disco grande è rotatorioattorno al punto ff di contatto con I'assefisso, con velocitàr angolare oraria un: ilRmentre, per le stesse ragioni, I'atto di motodel disco piccolo è rotatorio attorno al puntoIl di contatto con I'asse fisso. con velocitàangolare or.osserviamo ora che le direzioni H A e K B sono parallele, formando un angolo a/2con I'asse u, per cui va e vB sono parallele. Poiché però le loro componenti lungoI'asta devono essere uguali, per la proprietà caratteristica [1.S] dell'atto di motorigido, ne segue che va : vB e quindi che I'atto di moto delliasta è traslatorio. convelocità diretta come in fi.gura e data da:
ne. : 2Rcos(aIz)#.: rOcos(aI2)
ln particolare, l'inclinazione c dell'a.sta rimane costante. Infine, da
YA =vB 2ù cos(al2) : 2r cos(al2)a,
segue che la velocità angolare oraria del disco piccolo è c.r, : ilr. In conclusione, siha:
wn: àlR , u, : ùlr t aaeta: Zùcos(al2)
con c costante, dipendente dalla configurazione del sistema in un istante prefissato.ln particolare, la distanza tra i punti di appoggio dei dischi (o tra i loro centri)rimane costante.
t5
'o80)az --;Y::Q ' Puerq-F
:"Joll" ouosRq)ola^ aT 'p sotg1f r : 0'lo u?lt : tî 'eu-orzer8alur rp ltuslsoî allap
"unpoddo e11ees
eun uof, 'anod tsopualod'qlraqtl 1p oper8 unuo) ornouolo alueurererq) ? ernalsls g pr .rad
osotg1f xg: gg ' ouel,rg: frgr?ulsUU 0g = frg ' nwgig09 : s9
:"Jolle
"q Is (C -1;) v t: X9" (C - H) vt : Hg:oPuessg
'(ern3g Wa^) NHC o1otue11e.r oloEuepl 1apactltal totstIp lep errayrad
"II9 eluaueî.redde g olund I" ouJolls olJotetoJ ? oJslp
Iap otoru Ip 011",1 'sa1seq3 Ip eualoal 11 .rad (o1ue1ra6 '11otue1.r1 I uot olt"luote ossrp lap )/ a .g 11und anp Iap lluauelsods pE 'o1uarue1o1or o.rnd Ip olotu1,r IIrad 'ouellnsrr rl"? 'fr,g e zg nutsallugut tluaruelsods anp tlo8uelJ? enp Ie our"lP eS
'(a1ee1yar') 6a (aleluozzgo) z a,r111adsg q11eo1aa uof, IJol-3ls"J1 eluaurer^ o ouos olorn IP ltt" !n) I(11oEueg1 anp lap potze.rnEguor el ou"nPIÀlP-ut er{f, alsulproof, a1 /î a t uof, olu"n{llPul
'"roue1rrr olo?veuy IeP ?14rol"^ eneP euolz-unJ uI aror.radns oloBueytl pp ?l!ro1a.^ eI " gorluer ons lap ?ry)op^ e1 'ocsrp pp ercp?ue?XroIe^ el el, lzudse pa 'V1taqy1 yp opefi uneq 'go8tn11at go8ueytT anp laP esnuegodl a1otunl ercycsrtls ezuas e1oloJ ols.rp I epnb pu'eta8g Ip suragsls U eq) eJeJgIJeA 8'T'sg
orqou?utC :y'dog gI
Cap.7: Cinematico LI
Es.l.9 Analizzare Ia cinematÍea dì un dì-sco, di raggio R e centro G, che rotola senza.súrisciare su un piano fsso, mantenendo ìlproprio asse parallelo al piano.
Nelle condizioni assegnate, la configurazionedel disco è individuata da quattro coordi-nate, ad qgmpiq le coordinate t e y del suocentro G rispetto alla terna ca.rtesiana di fi-gura e due angoli di Eulero, che possiamoassunere, senza perdita di generalità, comegli angoli ú e p di precessione e rotazionepropria rispettivamente.Indicando infatti come in figura una ternacartesiana destra solidale con il disco, il vin-colo per cui I'asse si mantiene parallelo alpiano si traduce nella condizione
o: î t : r l2
per il terzo a.ngolo di Eulero. Dalla defini-zione di angoli di Eulero, segue poi che rpr ge I'assé dei nodi, di versore N, sono come in.dicato in figura. Studiamo ora la condizionedi puro rotolamento sul pia,no fisso, per cuisi ha:
vr t :0 + vc*uA(IJ-G) :o
Con riferimento alla terna fissa, tale equazione diventa allora:
ài + új +Lt ^
(-.Ek) : o
da cui segue che:ù-Rwr:9, ù+Rw":g
Utilizziamo ora le formule [f.Ot che danno le componenti di r.r sugli assi fissi edotteniamo così le seguenti relazioni differenziali per le coordtnate di configurazionedel disco:
(1)i t+ Rcosry 'y2 -9, ú+l?sin{tP :g
ar"r'srrîs "zuas "roror orrr "ron' errep "rranb e alrr*s .tfffii:TiffiT::;-,j eudo'rd euorz"îoJ rp o1oEue,1 ordruasa ps alasse gnd e.raqrl "reurpJoo, eun) qpaqu rp oper8 un uor ourouoro euralss un rpurnb Q oJpurrr) I .r1rqe.rEa1ur eluaru?r^Ào ouos a
g-olo4tursA + 0, 0: eorfusotg at
ruorzerar enp ar oîue'ad .e?u"rso) : o.t -^ #ffifft:,f):T"#::ffJffi# olo)ur^ a1e1 'ro tp tluauoduror a1 rad tluapaca.rd ruorsserdsa allap otuo) opuauoJ
o:2m + o:(x-H)Vo + 0:x,r-lt,r + 0:xA,O:rr^
:erolls "rI
rs'g1und II"f
'n enp N a lT uof, opu")lpuJ ."llnu plr)ola^ ouuer{ o?leluoJ rp acr.rle.rauaE e11ap rlund I ltlnî rnc rad olof,ur^ aJorraîln.l eq rs .r11e;ur ,os?f, olsenb uI .o^ltFlu!
oîsal IaP atuot 'eluautFtlp"J "tqu"t auorzsnlrs e1 salrrlerauaE eun o3unl e.rercsrrls szues eloloJ aqr oJpurlrf, un eJeprsuo) rs al"luozzrro essp uo3 o)srp un rp a)a^ul as
dtg $ursg- : frg , óg rftsotg_ _ tg
(t) a1 e11tue q (fig e ó9 rp rreau[ ForzunJ auroe assardsa ouos /l a r Ip frg e rg ruorz?rJ?^ "I
r$ a a W 0g e óg ruorzerJ?^ el ordurase p" aîep :rluapuadrpur rFntJI^ rluatuulsods enp ?orc ,araqrl ar"urpJoo) ?np o "vouetnEguoc rp al"ulPJoos 0't770nb uo)'outoTtorouD
"ruel$s un ? orsry II eq) apnrluof, au es .(nen3nalueruef,rîuapr ouelua^rp a)oJf, ur arerrrJep al rnr .rad ruorzun;
"r,p o,ro1"1rn aro,, eqt ollqns ?f,glra^ Is) e11esa 1l"rzuaJegrp arrrJoJ ur rnqtf,npeJl ouos uou ruorssardsa
\e+ '(ó'rfi'fi"t)21 " (ó',rr'fr'x)r* ruorzunJ -red (r) a1 opuecrldrlroru eq)us .ar11ou1
_ *e +ó8 , _fie rdtg (4"r"a)e - (o)e (l.",d4 r Ola:aqf, aJe^Jasso ordtuase ps ets?q rrlenEn
aluerrrsf,rruepr ouos .(aroJf, Ur er"^rJap.. el allnt uou oluenb ur .e11eSe ouos uou Iuolz"lar e1'a11r.rcs ouos rnf, ur eruroJ e11eu ,111egu1 .(11ue.rta1u1 po11eg) or"urproo, a11ep auorzun; aunpoddo .red euorzeel1d111our sl aîu"rperu aîîesa p" Ipqr]nplJ ?u 'a11esa uou rrsrzualagrp ruorssa.rdsa rp "rîeJt
rs .arelgr.ra,r eruarrreueJrp Qnd rs aruoc
gNoIZY^UffSSO
o?rlou?urC :y.dog gT
Cop.7: Cinematica 19
PROBLEMI PROPOSTI
Problema 1.1 NeI sisúema di frgwa, iI di-sco rotola senza strìscìarc, ìI frIo è àvvoltosul disco con un vincolo dì pwo rotolamentoe passa su un pìolo /îsso a quota R.Detta s, l'ascissa dì G rispetto a B, dare lavelocitàt di A ìn funzione di r e ù.
Iro: t1t + 1/t - flP) , verticale ascen-dente I
Problema 1.2 Nel sisúema di frgwa, iI dì-sco di nggio r rotola senza striscìare all'in-tetno del profiIo semicircolare dì raggio R,mobìle lungo I'asse t, con ì1 centro G vinco-lato a scorîeîe lungo l'asse verticale y lîsso.Detta c I'ascissa di A rispetto ad O, espri-mere in funzione di x e ù Ia velocìtàr angolarcdel disco.lw: à:(R-r) / ,ria I
Problema 1.3 L'asta AB di frgura è ap-poggiata ad un asse fsso e ad un disco diraggio R, con víncolo di puro rctolamento. IIdisco rotola senza strisciare lungo l'asse lîsso.NeIIa confrgurazione in cui l'asta forma unangolo d, con I'asse lîsso, esprimere Ia velo-cìtà di B e Ia velocità, angolare dellrasta infunzione dì a e della velocitàt angolare {l deldisco.f ," : nn(l + cosa)f cosc ; t^r : -o(1 -cos a)/ cos a I
| (etrctotrye)gKrzlo)- : &m'res9)_, I - - rrl ' psDt
.eqe.1rip atelo&ue gl'rlo., ,^eil?p e auorzetntguoJ ellap ouonunJ u! !q)s-!p
"ap pp uep?ue ?TcoIa^ e[ erewurrole7
.o'stp opuoc"s Ie olueureplor otnd rp oIoJUlA un uo) eleIoJutl? pe v ur olvrotuJoJur ourolls?J erl cv e1É'|e.I'essg epynt
"IIns arcIrs.rJis ezuas .oue1o1ot ,.t
or88et pn8n 1p,y6tqp enq g.T Brrralqord
oss"g f osral ale4pa^ , Zll i ?10_ : oaauerorpre , tAZll + eAVf n_ : to
zU lA_ _ zo ,rAZ/0 : rnl
'D tP ?lr"oP^ ele e[o?wrer erl allep uep?ue ?IJoIe^ eI ale^-rrop oJoI enap e e rfr eyeutptoo" eryep auoru-un1 u! etearytdsa ,(zA + rA : eA?,) etnilgrp
"IoJnrre'.rp "aretsls Ia r g.T BuralqoJd
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IQ+ g : n tQg(7/t - asoeT)1+ ?lzízt + zl(ò"oc17 - vl"t i
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ewp*rrc ?rrolo^ e1 e la erernwo,rop EI;!, tp yo8rn yE dt a A ", Cq : I,&V_- I ene1
ourolle elo^enl , O CO egserl otuny ,r"^:?r:; nrcr?se IE eq gV elsr.,I y.T Èuralqord
Cop,7: Cinematico 21
Problema 1.7 Un'asta AB ha l'estremoA incernierato nel centro di un disco di tag-gío r che totoLa senza stúsciarc lungo un asselîsso, ed è vincolata a passare per un puntoO di tale asse.Determínare in funzìone della confrgurazionedell'asta e della sua velcr;ità, àngolarc i medulÍ delle velocítàt di A e del punto dell,astaa contatto con O.
. I rà | l r i rs inal-l r t t : l - - - - ; -1, aO: l - - - - - ; - l I
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Distribuzioni di rnassa
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Cap.2
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riferendosi al centro di
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BARICENTRO E CENTRO DI MASSA
Per una distribuzione discreta o continua di materia, il centro di massa è I'unicopunto F definito rispettivamente dalle condizioni
D*rer-F) : o , [2.1]
essendo p la densità (l'integrale di volume va naturalmente sostituito dà un integraledi superficie o di linea per distribuzioni di maÉrsa bi e monodimensionali).Per un corpo rigido, il baricentro è il centro delle forze peso. Esso è ancora datodalle [2.1] (le ma.sse m; e la densità p potendo essere sostituite rispettivamente daipesi p; : trtig e dal peso specifico k: Èc).Per semplicità., nel seguito si parlerà. di baricentro anchemassa.
CATCOLO DI F
La coordinata E di F lungo un generico asse Í è data da:
r_I p(P - P)d'r :o
J
t f- I prarrLJ
1s-- ) , rn;r ;m-I
12.21
PROPRIETA'
Pl) n baricentro di n sistemi materiali S;, ciascuno di massa rn; e baricentro F;,è il baricentro delle t? masse poste ognuna nel rispettivo baricentro P; (proprietàdistributiva). ' ,P2) Per corpi omogenei, la posizione di F non dipende dal valore del peso specifico(o della densità) e coincide con la posizione del "centro geometrico" del corpo.
Ig'zl
Is'z]
[v'z]
Ie'z]
'p 11ue1qp (r1a1pred ? a D rsse anp e o11ad.r,,r"""rrttnti-:i;*;1i"jTTrXii;
,YJgIUdoud
,y olund 1e olladsu ?rzJaurrp oluoruoru,11 tglr'rerq rad 'o11ap a vrr uor or"rrpur RJ"s y olund un rad altressed a ouerd p apuoEol.ro asse un pe o11adsr.r erzJeur.p oluerrforrr F ,ruerd rd.roe ra4 .?uorzu?ouoc
.as$.lpp tur esseru e11ap "zu"lslp el l.l opuassa
e r zraurs p o luauour 1 r, e r raleur,, lilffifi:l : Ìil iil:,il :T, "til .,JT:Ì :;YIZUflNI.C IJNSI^IOW
.(ourplng rp"tueroal u) sluz: .ri "{ ts 'd, orlueelJ"q a s, eaJs rp ,eaueEouro euerd areg.radns eun Ip ess? un pe ouJoîle auorz"loJ
"JIep olnuetlo opqos lap aumlo^ II e / aS (gd
ezu"lsrp"r4opuassa_,uy?,:";fi :lF,l"",:il:itJ#r:,J#_:""#:tÍ:.{i; .un Ip ass? un p" ouJoî1" euorz"loJ,11"p r1nr"11o arrgladn",11"p ""r*,, ,
" ", in" '(oue1d a o^Jnr alsuorsuarurprq o arsuorsuarurprJl aîuarrrs^rrladsrr) odroe II eîuauaîuoc (eeuq o aregredns) ossa,ruoc ouJoluo) ourrur[r leu ornualuo] Q d (rd 'oue1d I" a assErJJe auatgedde d' 'a1er.re1eru erJlauru,s rp ass" un ur{ pa ouerd e odror 11 ag 'ouerd lau srs 4, 'alerrafiru ?rJraunurs rp ouurd un eq odroe' as (sd
rt uls o soc ̂"J7 + r, zurs \ + o "sot
a7 _ u1
:"JorJ' 'rt IS '3 ass?(r uo) g -rad u asse un rp o103ue.J p ?rs a g aur'rro uor od'roe 1ap ouerd 1au ruerseîJsf, Isse Ip srddoc eurr fr,,rers ro ouerd odroc un Jod (gI
frI +'I :.1
,apuoEol.ro "uersau"r sular "un,o,.J;?L, T,, ;ti?[l;Tf i::JT::. i.; '(suaEdng rp o .o1.rodsot1
I?p Dut?toa1) ap1o1 ?sspru lu uo)
APU+of:of
ocsout ,p tuorznquystq :6.dog VZ
f!tp".tdl:", , lttu3:"1
Cap.2: Distribuzíoni di massa 25
d,ove f,u è definito da I,u: - Iopryd,o (lrodotto d'inerzia).
14) Per un corpo tridimensionale r, sia (O; ryz) una terna cartesiana ortogonale esia n un asse per O con coseni direttori drsd2;as . Si ha allora:
I r . : n lon
dove n è il vettore colonna dei coseni direttori dell'asse, E è il vettore trasposto e
-16 è la matrice d'inerzia rispetto ad O, definita da:
l.t .711.. ' l
[2 .8]( t, Jry 1,"\
'o: \'r:', !:, 'í: )con i momenti d'inerzia ed i prodotti d'inerzia definiti da:
I , :1pfu2+22)dr , ry: lné+22)d,r , r " : l ré+yz)d.r [z.s]
fIry:- I payd,r , Ivr :
J
fpyzdr , I r " : - I przdr i2.101t'
, ,: Ilt : Irt: O) è frequente la notazionelnerzta
I(L.,Per i momenti principali di
I r : A, Iy: B, I r : C.i5) Se in un punto O concorrono tre assi di simmetria materiale per il corpo, taliassi coincidono co;t gli assi principali d'inerzia del corpo rispetto ad O.
16) Se un corpo piano ha un a.sse di simmetria materiale, in ogni punto dell'asse laterna principale d'inerzia è data dall'asse di simmetrra, dall'asse ad esso complanareed ortogonale, e dall 'asse perpendicolare al piano e passante per i l punto.
a y orlua) Ip orsrp un IP e { of,grf,ads osed eAr orEE"r rp o)srp un Ip euorzrsodd"J^os eil"p
"lnua?îo aurof, sJntg "l oJeJeprsuor our?rssod
{d gp olorler Iap eug p1 'em3g rp z esse.l1ns srroJl Is d er{r ereÀJasso ollnllzu? our?rs-sod ,errlaurulls 1p qlagdord a1 opu"zzÍllfl
'en?g tp eauetouo euvtd eutw-eI eilep orluerrreq It arewwalaQ 4'4'8I,
eyazyqry._ft reV+zV+rVtytfr+zyzfiaryrfitvts + zvzÍ +'tylgrt
ep "lenpr^lpul Q d :p auorzrsod
"l olu"Ued
"(r- I *p):ey' (r-q-D){{ -a):zy.' U -a)o-ty
. :ouos sa.re rluapuodsrrror al aJîuaur
'(#-'fal:zd'(Í'f,1:'":"Joll? ouos ed 'zd 'rA 1p polzrsod
a1 'ern8g Ip lu"lsap") Isse gEe oluaul.ragyruoC 'Irluer 1,r111eds1.t g lpupb ouos sd 'zd6Id ulua)u"q Int I serntg q el?rlpur rJel<Eue11ar eururel eJt elleu
"ururel "l opuepp
-Ip '(Id) e.ÀIlnqlrtslp Rlapdord "l ouretzzlll+n
( z '. z ):rJ 'c-oZ I -p+a'
luolswawrP al alou ouos "[
-enb ey1ap 'etn8g rp eeue8ouo pe euerd euru-eI enaP orluerrreg I! areulwrapcl r'6'89
IJTOSIU IZICUSSS
Dssaut rp tuownguystg :6'dog gl
Cap.2: Distribuzioni dí massa ZT
raggio r' con peso specifico "negativ& -k (si ricordi che il centro esiste per forzeparallele, non necessaîiamsntrs equiverse, purché con il risultante .R I 0). per laproprietà distributirra avremo allora (ro : O, ra : o)
ar2R2-r2
(Si osservi che 7 ( 0, come deve,essere per la tmancanza di massa" nella parte delsem.ia.sse positivo delle r rispetto alla parte a sinistra di O).
Eg.2.3 Determinare il baricentro di un arcodì circonferenza omogeneo, di raggio R edapertura 2a.
Per simmetria, il baricentro P appartiene alraggio di simmetria OC . Assumiamo I'asse ce I'angolo d come in figura, e denotiamo con& la densitàr (costante). Si ha allora:
d,m: kd,s : kRd,0, r tp) :Rcosd
Pertanto dalla [2.2] segue che:
r f I :x:1 I z(P\dm- -m J,G(Osserviamo che essendo sin a (convesso racchiudente I'arco. dato
(i? cos 0)kR d0 _slnaak(2Ra)
a ( tan a, F è all ' interno del minimodall 'arco stesso'e dalla corda ,4.B).
contorno
Es.2.4 Determinare il baricentro del trian-golo rcttangolo ABC di frgwa, Ia cui den-sìtà è funzione fineare della distanza dal ca-teto AC e dì cui sono note le dimensioni e Iama,ssa m.
Trattandosi di un corpo non omogeneo, senzaparticolari simmetrie, dobbiamo utilizzare la
v r2 1O3 -a
v r7u3î-o
9D
cD p 1o) j-rttg
rl
'es'eq "ll?p
arrlrsd e'ezze?leilap oîr?nb un p" olsod lpulnb ? orluaf,rreq'(t,l plo, tu! : /t ? ouo3 lap strmlo^ II eql oll"J IeP oluol olnuel q rs arr.op)
eqe enEas Inl "p
zp z(pvra1z - g)u: ry
. :?q rs raseq e11e o lads.r z elonbe olsod 'zp ezzaqle rp oJpul11] un aumlo^ rpou4salrugul oluelllela errrof,
"Joll" oPqeJapls
-.,3uoc 'erJ?aullurs rad ouor PP ess€fll" eualî-.redde d.'oauaEouo odror un rp Isopuelîs.r;
'o etngtad-?ruras e g oy8?et tp 'oeua8owo pe olleJ ou4J un rp or?rrartJeq Ir eJeulwrepa 9'z'89
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Cap.2: Distribuzioni di massa 2,9
8s.2.6 Determínare ìI momento d,inerzìarispetto al centto C, ad un diametro e adun asse tangente, dì una cfuconferenza ed undisco omogenei, di rnassa m e raggio R.
Ricordiamo che per momento d.,inerzia ri_spetto a C si intende il momento d'inerziarispetto ad un asse passante per C ed or_togonale al piano del corpo. Nel caso dellacirconferenza, ogni elemento di massa dnz èad uguale distanza R da C, per cui
I" : I r2 d,m: R, I a*: *n,J^ J^Nel caso del disco, può essere comodo utilizzare coordinate porari p, 0 conoriginein C; si ha allora
dm: kd.o = 4od,od.oper cui
' rs : I^r, d.m: ft, Io" o" oo Io'" do : *:'volendo calcolare il momento d'inerzia.ri.petto ad un asse diametrale, osserviamoche per simmetria il momento d'inerzia rispetto ad. ogni diametro r è uguale; dalla[z.s] segue allora che per la circonferenza e per il cerchio si ha,i.p"tti;;;";;;.-.\
f . : rnR2lZ , f . :mvzf+
Applicando infine il teorema di Huygens [2.4] segue che
It : I r*rnR2
per cui per la circonferenza è .Q : emRz f2 e per il cerchio è .I1 : SrnR2 /4.
'srzJaur.p ollopoJd Ip a oluallloru rp euorzrugap €lI"P eîueú"}lallp an3as alnoît =nI , O:frrI , O:rI
z'lu:Q
"lse(l .rad aqr og"J lap oluof, olnuaî ? Is e^op
8- p zurs -): : frusotrusotfr,74 * @l ,soc nI + ry rsotsl : a1
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"rzJaurrp oluaurour g aqe god auarî.lo rs'suaEfn11 rp
"ureJoel 11 opueellddy)
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opuassa oî.u"lJad 'eJaJs ellap oJluaf, lep z eztJelsr.p e 'zp ezzolle pe zr)L aseq Ip
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antas [9'g] elpg'y rad aluessed e
r pe alelof,rpuadrad ft'gV aruof, ollerlp t 'uasse6llep e
"}ss(llaP ruorzeJlP all"P rlsnplÀIpul
ouerd 1au rss€ anp /î a c rsse aurof, olrrelrunssy
'uy elztaulrp olveurow
f ?JeunrrropcI 'y nd u asss un pe oggads-tt a olo?tte un tp eryu
8s.2.9 Determinare il momento d'ìnerziarispeúúo alla dìagonafie, aí lati e ad un ver-tìce, di un rettaagolo omogeneo, di massa me lati o e b, noti i momenti d,inenia rispettoaIIe mediane.
Teniamo conto del faJto che i momenti d'-inerzia di un rettangolo omogeneo rispettoalle mediane sono
I": rnbn lLZ , Iv = mo2l lz
come segue irnmediatamente dalla definizione.Poiché inoltre gli assi mediani sono anche principali d'inerzia rispetto al centro Gdel rettangolo, dalla [2.6] segue che:
rn : r rcos2ft ,a lur ' ^ mo2b2:os- tzY = a1o' a t7
utilizzando il teorema di Huygens, segue poi che i momenti d,inerzia rispetto ai latisono
ro: ' b2 mb2 r , - r ,ma'2 -rna2t"**n: t ' rb:r '+t : - tInfine, per la [Z.S] si ha .-r/' I
Es.2.1O Un rcttangolo ha lati a,b, ma.ssam e densità, proporzionale al quadrato delladistanza da un vertice O.Determinare ìl momento d,inerzia 16.
Con riferimento agli assi di figura, un elemento di area ds: d,ady si trova a distanzatF+y2dao.
Io: Io* 16:tg*n
'(oauatoruo osuf, II rad of €lzJeuI.P oluauour IaP
'o1o8ue11ar Iap euorsuaurp ruEo rad 'arorEEeru ardrnes Q "IzJaulsp olueuloUl e1e1 ro'r11
{nlul olsar lep aruof,'aqo rqrgtra,t 1s'olzprasa aluapemrd leP ol"lpslJ II oPu"z4llln)
z9*zD 9l -oIeq6 + zqzÚol * ,o6 ut
1"n + "4ftq : nPrP (2fr * ",)'t II : *v-f : *
q pe rad
? euolzlugeP rad aqr IPJollJ Is '{ IP euolzsunrrJalaP "l
Jed
"n ,of nn rn,of '* " "'
(ugo + a97oor+ uoo)#'t:
"ol uo"o nof ,r*xpf ,of o,
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"Iolls 3fl
nPsP rQ,n * "4 ll 't: tuP ,'-l : o7
:"q Is lne
rad'(.1 * z4E: d q pllsuap e1 'pllleuorzrodord tP etu"lsor ?un { uo) oPIr"rtPuI
ossout rp ruounqlt1elq :6'do3 48
Cap.:p: Distribuzioni di massa gg
PROBLEMI PROPOSTI
Probfema 2.1 II rettangolo hasità, p(P) proporzìonale a Op2.Determinare il baricentro p ed id'inerzia f"rlyrfo.
IE : o(so2 -f 2b2) /+1az 1 621Ù : b(2a2 .+ zbz)f efu2 + br)r": mb2(5a2 +sbi)/ts(aí + bzlI:: :ú(n!2-+ st271rsi", + t )lo: I" . | Iy l
una den-
momenti
Problema 2.2 per il quarto di cerchio u:ogeneo di frgurardi rnassa rn e raggio B,determinare iI baricentro ua.i
^o^íiii a,i_nerzia fr, fy, fo.
I,, =, ^.4!l3n , r, : Iv : mTz /4I" : mR2 /21
Problema 2.8 per il semicerchio omoge_neo di frgura, determínare I naricentroia imomenti d,inerzia rispetto al diametro e al":ntr?.O, 7o1ché gli assi púncipalì d.,inerziarrcpetto ad O.
[-A: +R/_1tr , g:0 , fy : mR2 f IIg 7 mR2 /2; gli assi "óno ,, y,'o- due qual_siasi assi ortogonali nel piano,-e ; l--
'"'
P
lotl "g*g: 11'9'2, olztJJ"Sîr.Ue lw lP
oaua8owo ovo? F nd esserlle o11adsrt eruraa-t.p o?rîaurcu, [t arel@Pc g'z Bulalqord
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It,l "t*z:
"I ' ?,Tf zlul : uI ' ?'Íl ,1ut : &o1:g rad z asserl taluap
-aeard I" aJ"lorlpuadrad g rad z asse,1 699rad asse,1 ouos ?IzJaur,p rledleu.rra rsse ug I
'Cttyo oauo8owo o1etpenb ppg pe olgadsrt elzreuLp yledycuytd ryuaurcurr pa rscs qE ercurunyag f'U €uralqoJd
o
Cap.3
Statica dei sistemi di punti
PUNTO MATERIALE
L'equazione di equilibrio èl'equazione del risultante :
* iD:o [3.1]
dove F e iD sono rispettivamente il risultante delle forze attive e delle reazionivincolari applicate al punto.La proiezione della [3.1] su una terna cartesiana dà luogo alle equazioni scalari:
Fr+iD":0 , Fv* iDy:Q , F" l i ; r :O [3.2]
Per un punto vincolato ad una linea, proiettando sulla terna intrinseca della lineasi ha:
I ' r+Or:g , Fn*(D2:9 , fa+06:g [3.3]
Vincoli l isci
L'equazione del risultante [3.1] è sufficiente alla determinazione d.elle eventuali po-sizioni di equilibfio e della reazione vincolare. Equazioni pure di equilibrio possonoessere ottenute proiettando la [3.1] tangenzialmente al vincolo (linea o superficie).
Vincoli scabri
La reazione vincola,re amrnette una componente tangente al vincolo. Sono posizionidi equilibriotutte e sole quelle per cui è soddisfattalarelazione di Coulomb:
lor l < plorvl [3.4]
owero, per la [3.1], quelle per cui
lr'rl I rrlrivl [3.5]
'oÀlllsodeluaurerJsssof,au uou 'oil1e1ar oJarunu un rpurnb eluasardde.r oloqurs ll :"rllaJJ
"ll"p"lenprlrpur auorzalrp e1 oBunl aluauodruoe sns
"l lsuaq .aro11a^ Jep olnpotu II "llpul uou oloqrllrs 1r 'eleluarJo ?rf,?a{
"lI" oîu"f,f," (. ..,+ ,O) al"l"rs oloqurs un auod
ls (':"'qlrrolarr 'ezroy) aloîle^ un rp "f,g"Jt
auorzeluasa.rdde.r "nau
?llg^lenbpE6
auorzua^uoc
'euorzerntguof, rp a?"urproof, a1le olladsrr aq)rzu" rrlaure.rzd r" o ezJoJ a1le o11ads-u 'qruolnoc rp euorzelal
"l aluarulsnlua^a pa 'orrqrFnba 1p luolzenbe al erallosrJ
IP rsopu"ll"r1 'aqcrueal rrelorrlred eparqf,rJ uou (os.laout ouzpod) auorzeJnEguoteleuEasse ?un ur orrqrlrnba,l
"lslssns il{l$€ lressa)au (o1rr11e Ip eluel'seor 11 o1d-Iuaso pe) rrlaurered rp o e^rîl" ruorz"lr)allos allap euorz?urruJalep
"lJap erualqord 1
ISUSANI U^IUTSOUd
'rJq"ls rlof,ur^ "
tl"lorurl glund rlenlua,ra r1E rad qruolnogrp auorzelar €ll" olu")f," 'ellalsrs 1ap olund luEo rad [t.g] et opue^losrJ qol3 .o1undtuEo rp orrqrFnba,l opu"zzrleu" rsJ?urruralap gnd orrqggnba 1p auolzerntguor z1
rTYIqgMi IINnd IC IW$,LSIS
'sllnu Q a.relotur^ auorz?al e1 ,olorurrr lep o??Dlsrp eq rs opuen$
"lsrsa uou olof,ur^ Il ar{f, opueuoddns
"l"JJe) aluaurp^onu alassa a^ap orJqtlrnba rp auorzrsod "l
rluarrrrJlle .apqrssod q or.rq1pnba,1'o1und Ie olof,ul^ Iep "lloruJ "?JnsrJ
elsanb es :arelo)url auorz?al aluapuodsu.rorel euoPu"ulurraîap a oratelrq arrrof, olof,ur^ Ir oprneJaprsuof, oî"zzrl"u" a.rassa gndotrqtltnba,l 'o1und II osral olotrut^ Iep olos
"llortrJ eJessa ond arelorurl euorz"al
"Tlra+?Ilun qorrrl^
'al1urll orrqrlmba rp ruorzrsod al alatluo{aruof, ouuerl opq111nba Ip luroîur r1E :(rla : itr6/.zg) ?tlury ougtpnbz gp luog4sodal oPue^orl e [f'g] auotzenba,ll"p
^IO a JO opuurrrJalep rl"^"f,rr eJasse ouossodrrrJolur rlsan$ '(o : rt; rf,srl rlof,ur^ uof, oJoqqar.À" rs arlf, or.rqrlnba rp ruo1ze.rnt-guo) allap tuJolur rlEap ouoesrugep a elrugur ouos ouqrlrnba 1p ruorzerntguor a1
'of,lîpls ollr11? rp aîuallgaor g zl opuessí)
4und tp luto-îsls t?p o?r?o?S :g.dog gg
Cop.9: Stotico deí sistemi di punti 3f
ESERCIZI RISOLTI
Es.3.1 Un punto materiale P, di peso p, ècollegato a tre punti fissi O, A, B con tremolle, di costantì elastiche kt, Icz, ks. I trepunti sono pasúi in un piano orizzontale, conD7.: a,OB : b e con le direzioni per OA eOB ortogonali.Determinare Ia posízione dí equilibrio di P.
Indichiamo con tr, y, z le coordinate carte-siane di P rispetto alla terna cartesiana destra di figura.Le forze elastiche applicate in P dalle molle sono dirette da P verso O, A, Brispettivamente, la forza peso è verticale discendente; pertanto le forze sono dateda:
Fr:kr(O-P), Fz:kz(A-P) , Fs:kz(B-P) , P:Pk
Ricordando al lorache,4,e Bhannocoordinate A: (a,0,0), B : (0,ò,0) , l 'equazionedi equilibrio [3.1] dà luogo al seguente sistema
F,FvF.
:0:=0::0:
-ktr ikz(o-r)-k3x:o- lcf l - kz! t , ts(ó * 9) :0
P-ktz-kzz-ksz:O
da cui segue che P è in equilibrio nell'unica posizione corrispondente a:
ksb pv: k ' " :E (k: fu*kz-tks)Iczo
lct
(z)l"rot1 + dld ) l(Q, zn + rh - da7)zl:qOIJ
'(I) auorzenbasrp e11ap ruorznros er elos e eunÌ ouos orJqrlrnba rp ruorzrsod a1 rnr.rad(d +
"xos1)y : u X d+ u x (a- O)q : "t
(doz+ (zxznz+I)ry-)ry : I x d+ I x (d - O)tt : +f
:"Jolls "r{ rs
(f +ttla6-1y: u:eP ol"p a (eloqered
"ilap Rîr^eruof, er osJa^ olro^ a /rz ouerd leu r " apuo8ol.ro .., arluattr
zrzP?*Tt\/1 - l uoe (lroZ+t)U:ffi:+
:? 1 alua8uel arosJo^ Ir
lrrloalr:O-d
:q el0qered elrap aqorzsnba,l aqe erolrs 'puspro?ru
'e10qe.red "JI"
al"rrrroua alua8uel auorzalrp ur rluepareJd az.rog anp allap rxuauodmoe el *Jf e lg, opuassa
(r)l",tlrt > P,rl:rne :ad ruorzrsod eJ eros a aî1nt ur ouqrpnba eq rs'qnrolnoc rp euorzsreJ
"r Jed'Q - O)E - d "rllsele ?zroJ
"l e [d: d osad 11 ouos alerrldde aar11u azJoJ are,rrletau s uof, auorzrsod etoleue .un opuepuoaq.rroc
earlrsod s uo3 auorzrsod ruEo pe ,0 ? s uo) ruorznlos eJ?JJaf, e rpumb oruaJaîIo,lltr :e10qered sllap ass?.lle o11eds.r ?rru?f,f,arrr e ?f,rJlauroat er.rlaunurs eluap1^e
"un"q
rs eq) eluaruJ"rfiuil1ard ourerarasso pa dr rpsJaqrl el€utpJoor auro? Í es$?s"rl oruepEacg
do7 - tl olar'qr.s lp efiow evn ep eloqercdelap a?rye^ ye oye8a11ot ? ossa aqc opuedes'd lp oltqlqnba tp ruorzrsod eI eJev:rruslLoe
.etn8g tp owercelJe? oluauilreprIav zso - ft euowenba yp epqeted eun pe ttleluengeo) tp .oJqeJs a oJetr-lrq oloJutt uozo?eloJutt'ayeugtat ouerd an ar olJql11nbe urp'd osad yp 34 a1eyta1ew o1und up Z:g.sfi
t7und tp ua?lcrs r?p o?rlols :6.dog gg
Cap.9: Statica dei sistemi di punti 39
Si ha la soluzione evidente z : 0 (per ogni valore di k ); inoltre poiché k : 2ap, la(Z) ha soluzioni (positive) corrispondenti a 0 1 r 1-, con s unica soluzione realedell'equazione cubica:
2a3r3 -2a2ptrz - F:o
corrispondente alla posizione di equilibrio limite. Si tra"quinai equilibrio per un arcodi parabola corrispondente a lrl (
-, con punto medio nel vertice O.
Es.3.3 Determinare Ie posizioni di equili-brio di un punto materiale P, di peso p, ap-poggiato ad un piano scabro, di coeffi.cientep,, inclinato di un angolo a rispetto aI pianoorizzontale e collegato ad un punto O deloiano da una molla di costante k.
\ aul
\ / 'Yk\
\ \
Indichiamo con Í e y le coordinate libere di Prispetto alla terna cartesiana di figura (y assedi massima pendenza del piano inclinato, znormale al piano).Proiettando I'equazione di equil ibrio [e.fl su tale terna otteniamo
-kr i lDTr:O , psina-kV+O?y:0 , -pcosofép:Q
da cui segue che le componenti della reazione vincolare O tangente e normale alpiano sono:
lorl : {o'r1a'rv:l0iv l :pcoso
Pertanto le posizioni di equilibrio sono tutte e sole quelle per cui:
loz l <ploiv l : 12*(-0";q +y)2<fupff3 '
e corrispondono ai punti non esterni alla circonferenza di centro f, : (0,psin a lk,O)e raggio R - p,pcosa lk. In particolare, se il piano è liscio (p : 0) l 'unica posizionedi equilibrio è lungo la linea di massima pendenza, a distanza psina lk da O.
yv
(-psino *
(d7fd)rurstlr--!-n
:e.r+lou ?q rs sruorzrpuol llel rrJ
dz>d , b:d
:as olos orrqrpnba,l allqrssod g aqr an8as (Z) " (f) alpp rno .rad
Ea-e1-va_cg
;:n:::;,;T.ffi I! '!?s!l rp?urn uo? o?olo?ula ? fa ,apgo.rncmtl osad tp ? "fqryu'?sau 7 o1{un as (rr
:llg lap "lr?"ls elFp ollopap olsllnslr opuo)as un ero orrrslzzrlrto
(z)b:Ea ' d=Ctr
:uor .r1err1.raa eJassa ouo.a\epgg e VC olg Ip lîl"rl I ,.? pa p rsadderl-uoJ anp rap opq11lnba,1 eprentrl oluenb.ra6
!u1s ag + ra urs n! - ,O! soc atr -: n so)v1
, :e.rnE-g elle oluarurJeJrJ uoe 6ero11e oureJÀ? ,gO ev0 r.+le4 anp rap ounf,ssrl
"p o q "}?lrf,Jasa auorsueî. sllap eJole^ V eJ
" rg uoe opuerrpul
olgf 1t autoa o*?rtp ,auotsua. Dns ol .oztol oun op ossatdea 7 o1{ un ,, ,"::::T(,:aqr ouerddes (2.de3) IIg Iep sf,rt"îs el.r"e .gO a Oy oru 1p I1?"rî rap a osad
otrdord lap auorz'(lle ollaE8os ? er{t ,O olund Ir ollntrzue "r"r"pr.,ro, ounl.roddo,g
'g ,O 6p rleualeur rlund ar1 tep orJq-1lrnba, 1 aluaureî" Jrdas' e.rezzrleu" ourcr ss d
."ulels.rsyep ouqnrnba lp wotzern7guoc q arewúrlalr.e
'g à V essg outlo?nrr"r ellns a+rl1tr-ezues
"loteJJors a p? efqelnJszt1 osad tp eerygryaa$aur ? oB II . d, osad eq,olg Ins oyrl-le ezues ory[gu! ,q oury1aue1,b a d wad ou-ueq g pa C ryeqapw tqund t ,eleuqtal. ouerdan ur o1sod Atn&g rp
"rrralsrs IaN f.g.Eg
(r)
a'' f'
;:i;.; !, ., ;,,.. -:, ._
t7und, tp tut?lsrs t?p D2tîoîS :g.dog OV
Cap.S: Stotica dei sístemí di punti 4l
Chiaramente, le quote di C ed E sono arbitrarie (dipendendo tra I'altro dalla lun-ghezza del filo) per cui si hanno infinite posizioni di equilibrio per C ed E. nrisultato è inoltre indipendente dall'essere le carlucoline ,4 e B a quote uguali odiverse.
Es.3.5 Due punti materiafi P e Q, di ugualp6o p, sono appoggíaúi su una semicirconfe'renza frssa, di raggio R e diarnetro orizzon-tale. I due puntí sono collegati da un frfio dìpeso úrascunbìLe e lunghezza I : nRl2; ilfr\o e iI punto Q sono appoggiati senza at'trito, P è appoggiato con attrito di coeffi-ciente p.Determinare Ie confrgurazionì di equilibrio diP eQ.
lndichiamo con d l'angolo che individua laposizione di Q (vedi figura) e considerianoseparatamente I'equilibrio dei due punti.Per il punto P si ha (utilizzando le precedentiosservazioni sulla tensione del filo):
pcos0:Qri-Tp , psind:Or
mentre per il punto Q è:
psinî :Tq , pcos0: \ ! r
Utilizzando ora il fatto che îp :?q (vedi leosservazioni del precedente esercizio) la rela-zione di Coulomb [a.l] per P implica che:
lor l S plarvl ' lcos0-sin0l (psind
Da tale disequazione segue che le posizioni di equilibrio sono tutte e sole quelle percui(0<0<rlz) :
tand ) ( i r2t) , tand ( (p<1)1L- t t
1aI+ t t
Il+ t t
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"IIn sory4w ezuas o1sod '4 ouyyaue,gap ouqrynbarp ruorzysod a[ erewvrJale1 g.g Brfialqord
I azln- duls uot' j olo8ue un rp al?luozzuo.llnsrl"urlsur aluaulenEn ouos ,Br a €ry ltl"Jl I'zb - zdVf l(dZ+ b) : auel uo) o oloBueun Ip apluozzrro.llns oleurlf,ur a yg .osecFl r{I 'd7 2 ó as olos or.rqgllnbe eq IS I
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'eItqeJwserT osad p a lqqpvalsaw rqurerlueouos eV oIg U pa VO olg 1y,oytsy1? g ownau-e1 :etn8g tp
"uralsrs pp ouqrynbe tp tuotz-etn8guoc el ercwurrelac[ U.g BuralqoJd
1!/:l <,1'd lp oyqlqnba.rp woyzysod eI enwurrape
'd aTuangeoJ tp a p : frr euoyzenberp 'etqecs enleynba aloqtedy lp oweJ rrn pe.
"p)rlJea ouetd un w oTer88odde I ,d osed
rp '4 eyel;eqew oyund ug T.g Buralqord
IJSOdOUd rI^rgTgOUd
tTund tp nue$B pp o?r?D?S :6'dog Z?
(b)€
Problema 3.4 Due anellini P e e, di pesirispettivi p e 2p, soflo scone voli senza attritosu una circonferenza di raggio R e sono col-Iegati tra loro da una molla di costante k.Determinare Ie posizìoni di equilibúo.[0 : *nl21p: *n12; s inp - (e + l2) /+1,sind : (^2 -qp^ per 1 ( À ( A,- i :zplkRl
Problema 3.5 Tre anellini A, B, C, diugual peso p, sono scorrevoli senza attritolungo gli a.ssi di una terna caúesiana Oryz esono collegatÍ tra Isro da tre molle di ugualcostante elastica lc.Determinare Ie forze Fa, Fr, F6, direttecome gli assi, da applicare agli anellini perchésiano in equìlìbrio equidistantì da O.IFn:Fa:2ka; Fc:p+2kol
sìr
Problema 3.6 Un punto malerìale p, dipeso p, è appoggiato esternarnente aI parabeIoide di frgura, di equazìone z : d(xz * y2),ed è collegato ad O da una molla di costantek.Detetmìnare Ie posìzioni di equìIibrio.Ic: y -g; ,2 +y2:(Zpa-k) lzazk(se Zpa > ,t) I
o(ep)
iril
ffi
ill
lrt +ouel 7 bld>d -nue1:auolzelgul €l uo) tqfnsotd: tl
'eie41tet ottetd un ur o1sod'etn8g rp
"rue?srs g nd oltqlgnbe lP luolz
-etntguot "I aleulto;l.ralo1 !'8 BuralqoJd
tqund tp rru?1lts r?P DttloIS :5'do9 V?
Statica del corpo rigido
Cap.4
[4.1]
EQUAZIONI CARDINALI
R+f, . ' :0 , Mo+M'o:O
llff:,",:*:':í:'";:,::'i::":::,u..,'Qui e nel seguito le quantità senza aplce
:T"-1ltiffi:fiJT;"î::.n si possono ottenere più di sed equazioni indipendenti'
valendo la formula di trasPorto:
M4:Mr*(B-A) nn [+.2]
Caso Piano
Le [a.1] danno luogo al sistema:
Rr*R'r :Q ' RY*R' ' :o '
Mo*Mb--0 [4 '31
Comeusualenelcasopiano,M6denotaj lmomentor ispettoadunasseortogonalealpiarroepassanteo",o"aèdettoperbrevi tàrmomentor ispettoado; imoment isono allora distinti in momenti orari ed antiorari'
Ognuna delle prime i*-"n**ioni delle [a'al può essere ::t::t"tt"
da un'equazione
del momento ,i.p"ttJ "l i. urtro polo (r" 'rr"rr*orro sostituite entrarnbe' i tre poli
non devono essere allineati)'
Nelcasopiano. ionsipossonoottenerepiùditreequazioni indipendent i '
'(oueld un ut ?
odroc p as eueld) elruEorur aluaruelaldtuo)'?sse u1 e1er11dde 'ezro; eun ? arzlo'ull
auorzsal e1 (olrn3as u1 prrgddns rs ardruas auror) ?ltsll ? zlsanb es :"JeIuJax ?l
rad aluessed asse un P€ ouJo11" olJo?eloJ oÌrqse1ru$ur oluarnelsods oun tololul'r p
olladsrr 'a11aru:a4 '(ouerd os?f, lau olddop) oldFl oloauyr 1p elred Is :?lraqll tp ryer3Ip orarrrnu p (ouerd ose) Iau anp) a.r1IP alnPIJ 1pu1nb a olund un IP euolzlsod e1esslg
BJOIrrJac
.elerreleur olund y .rad elloporrul [?'8] qlrxoFoC lP "ll131sauorz?lar e1 e8lea ouqtpnba,11" arlf,
"lnlsod 1s'orqers ? olof,ulÀ U as :olls1 q olsanb
es olof,ur-{r 1e aleuoEolro Q er?lo3ulÀ auolz?al e1 '(al11duas olorupr) Rpeqll rp perE
Ip oJalunu II oun Ip esnplJ a (ossg) olof,ul^ I" eluerul"tuJou olueurelsods o1 alslped
-u.I au :opt8tr odror 1ap olund un P" olsodun orelsllq oltEodde IP ololu1,r un 'fl
ora+Bl.rq oltEodde o ouarrBc
INOIZYSU OUOT g IIOCNIA ITYdICNIUd
'arrgleEau alassa ouo^aP uou gQ 'dO 'VO olnuelu"Ill e1s o1E3odd".l il{tJad
ls'rl0:cO+sO+YO+^/U'
:(odroc Ir osrarr ouerd 1ep elloarr) ouetd 1e N alqurou €llaP auolza'rrp u1 e1e11a1o'rd
alu"llnsrr lap auorz"nba,llep "qnlllsos
aluarullln eresse o-nd polzenbe 11"1 IP "un
lv'v)"uluraîep o: clw + oaW
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oluaurorx 1ap ruorzenba el elu"lPa111 alue6€1"J"das tsreurnualeP ouossod',9O 'giD.yO ruorz?eJ ol'C'g'V l1und er1 ul olezzll"ar q ol8Eodd"(l as luolzlpuo3 Ileî uI
.ouerd Ir osJe^ ollo^rJ e a^!ll" azJoJ ellaP elusllnslJ II es arllout pa ol3Sodde p 11und t
apnrr{f,reJ al{f, €ssaluol eaull stulu$tr "l
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Q "llal alel as 'alueqnsp lep auolz"tlldde,p sllal ellsrrru" e^ltî" azJoJ elleP
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optitt odtoc pp o"l?ots :f'do) S?
v6sOcq
Cap.l: Statico del corpo rígido 4l
Incastro
Rende solidale il corpo con il vincolo, per cui il corpo non ha più gradi di libertàrispetto ad esso. La reazione vincolare è equivalente ad una forza, applicata nelvincolo, e ad una coppia (nel caso piano la forza giace nel piano ed il momento dellacoppia è ortogonale al piano).
Pattino
E' un vincolo quadruplo (doppio nel caso piano) che permette, rispetto ad. esso,spostamenti infinitesimi solo traslatori e tangenti al vincolo. La reazione vincolareè equivalente ad una forza ortogonale al vincolo (se liscio) e ad una coppia (il cuiinomento è ortogonale al piano nel caso piano).
Manicotto
Consente lo scorrimento relativo lungo un :ìsse e una rotazione attorno all,assestesso: lo spostarnento relativo è quindi elicoidale ed il vincolo è quadruplo. Lareazione vincolare è costituita, per vincolo liscio, da una forza normale all'asse e dauna coppia di momento normale all,asse.
Puro rotolamento
Fissa, ad ogni istante, la posizione del punto di contatto. E' assimilabile alla cer-niera, ma a differenza di questa il punto di contatto è mobile rispetto al corpo.Mobilità e reazioni vincolari sono le stesse della cerniera. Qualora il vincolo sia rea-lizzato mediante I'attrito radente, deve essere soddisfatta la relazione di Coulomb[3.4].Per maggiori dettagli circa il vincolo di puro rotolamento si veda il cap.l.
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:oureruel?o' [r'r] luorzenba a1 ùroII" opuecllddy'd oJluerlJ"q IaP aleuproof, el /î a c ouels
'ernEg Ip lu"lsalrel lsse lpe oluelrrlreJlr uoC
188odde "JI leu weloJull luorveer eI erev
-rrrrJelap 'gy oyayet [eP ezuzlsgP eileP eJeau
4I euolzun! q otgrnds osad g eqt opuadeg'olrs
Rr+RI:o1Mo*Mb:o,
dove si è tenuto conto del fatto che per unsemidisco omogeneo è CP : 4RlJn (si ap_plichi ad esempio il secondo teorema di Gul_dino, Cap.2, P6). Otteniamo così :
@r : lkot i - - -4 'z ' z7r) ' QN:P (2)
Perché il semidisco sia appoggiato all'asse ye non scivoli lungo I'asse r deve essere alloraHe 2 0 e deve essere verificata la relazionedi Coulombl pertanto dalle (1) e (2) segueche:
Es.4.3 La lamina rcttangolare omogenea d,ifrgura ha peso p, base b, altezza h. Essa èappoggiata ad una linea inclinata di a sull,_orizzontale, con appoggio liscio in B e scabro,con coeffi.cìente p,, in A.Determìnare Ie limitazìoni per il rapporto h/bp erché 1' equilìb rio sia possibile.
Cap.l: Stotico del corpo rigido 49
Le forze applicate al semidisco sono indicate in figural se il semidisco rimane appog_giato agli assi r e y' esso ha un grado di libertà ed una possibile coordinata liberaè l'angolo di inclinazione d (orario) che il diametro forma con l,asse r. Appricandole equazioni [4.3] otteniamo allora:
R"+R!, :O: f f . { . - iFr :0Orv-p:ú
rb.p2.Rcos 0 - HAZRsind - p(Rcos 0 a
tHA
4R (1)
;s in0):o
o(cotu_#Ur,Le configurazioni di equilibrio sono quindi tutte e sole queile per cui è:
arctan 3r < 'z a / ^---- - 3n
4 + 6Tp, \ o <\ arctan -
(Per p:0 si ha I 'unica conf igurazione di equi l ibr io èot 0: lLtr ,che si determinadirettamente imponendo che il baricentro sia su'a verticale per B ).
(oue1 z>rt) nloc! |t"*r1-l ' (o,otz<rt) oloe;9q
:qf q nd tuolz"llunl tluenEas al "Jolls
ouon3as luolzeleJ II"t "O
@+ot9-!l<! . I I' q
:aqr erldtut epuof,as "l
eJîueur
olor;9q
:aqc erqdrul (t) auotztpuor erurrd "l alu"l:ed
(^r*,.14osor) 1 = *O' rautsd-ro' (outs ! -r,sotlfi:an \- , ,rl' ,d x q
:aqe anEas In3 "p
(r)O : D "otla - î? uls 9d + qa1: 1W + vW
qt1
6 - osord - ruO + sA : \A+ ^rll0: JO _ oulsd : lg * tA
:ruotzenba al aporuolal"llnslJ ouossod tNO tJé (ad al"ulrure?eP.ra6 '(e1eu11tul
"auII e1 o3unl auotztsod ruto
alualeatnba aluaurel^ o g'ruotzrpuol I"l qI)
(r)l{ol'r I lrol o< aA
:(ernBg
"l1e oluatulrajrr uoe) as ?olf, 'y u1 o1uerue19,r
-rf,s ?.f, uou as " ( f rt op3odde,11ap eJerr"u
-rad p or^ o opuassa) g u1 oluelri?^allos ?rf,uou es ol"lnf,Isse ? "ururc1 "llaP
olJqqlnba,l
Îsì \Ii
optîtt odloc 1ap D?!?aIS :l'dog Og
Cap.l: Statica del corpo rigido 51
8s.4.4 La lamina quadrataomogenea dì fi-gura, di peso p e lato l, è vincolata ad un a"sseorizzontale liscio n da due anellìni in A e inB ed è mantenuta in equilibúo in posizioneorizzontale da tre molle, di ugual costante k,che collegano B, C , D con un punto fsso O,posto nel piano verticale per n a distanza hda esso.Determinare per quali valori dei parametridel problema si ha equilibrio con la laminaorizzontale, e calcolare Ie reazìoni vincolariinAeìnB.
Con riferimento al sistema cartesiano di figura, con origine in O, indichiamo con rI'ascissa. dell'anellino B e decomponiamo le forze applicate alla lamina (il peso, letre forze elastiche in B, C, D,lereazioni negli anellini lisci u{ e B ) nel piano dellalamina (Fig.la) e in direzione ortogonale (Fig.lb).
Ve+kh
B
D rtÉl KX
Le equazioni di "diiliffff.ll dan
i. 1"" * Rt!,,: o\8_v*f t | -oR,+R!, :O
Mrc.o*M'eo:aM,c.a*M'en:OMt" -f Mr, -- o
no luogo alle
k( l - r ) -2kr:o :He-fHn-2ls l :OYe*V,B+3kh-P:o /
p l12-(zkh+Vs)I :o2khl - p l f2:oHal - kl l + krl - k(l - r) l : o
Dalla quinta equazione segue che I'equilibrio con la lamina orizzontale può sussisteresolo se p : 4hk. In tal caso, segue dalla prima equazione che r : J/3; in tale
i@"2-qt)à:sfrA:AI , b-vA , (,q"-qz)l-A-vH
:aqc an8as [e.?] geu,pr*cruorzenba a1 opuerrlddy .ern3g ur aî"JrpurazJoJ allap oluotr opuaual oî"rpalulur o tJelos-ur^ ruorz?al allap olocler p .o1und olsanb y
(r)qp -qz g: frp [ft qoz - qt,q ^, "1--.0*"ìi'
I,'l +
:Sft
: Q ,sf etonb sns "l
rnt rad .aqegrcadsazJoJ allap eruurerEerp 1ap orzaderl 1e eleerld-de (olluaerreq
lap I Z.Z] rl.,.trroJ "l
uo, rsr"l-o)Fr af,aÀur qnd S auorzecrldde rp olund g
:tnc rad'frpt ? elerrldde ezJoJ
"l €lse Ip ftp o11ut1 un ns aq) orusr^Jasso.g areloepe ra4
.S' euorzef,rldde rp olund uoe elJ oleluozzrJo aluellnsrr 1p ,ez.rog ?lrun.un petlualearnba ouos assa .e1a11ered ouos
"ls".llap orlsruls olel Ins ellnqlrlslp azroJ al grl)lod
.v olls-exuriuau ueIoJutt fuorzeor aI aleurwJelacl
'@o(q'o<q'o<e)Q * fr,e- - t ecgtcads ayueuodtto) a euo:rl-satd 1p eillsrJat4eJec uot ,rleyuozzruo ?zroJIp
"trralsrs un oyecrldde ? grtslu1s olel ons FS
'V ut ollseJur tp olo?url uot ,elecrytat ouotz-1sod u1 etn8g gp fr,r oued pu oytqrynbe w 7'q ezzeTle pa b osad W ,gV eqe.un g.f.sg
O:aA , ,rl:sH , qq:vA , ,r2:vH:"p elep ouos rurllaue rlEau luorzsal a1 reuorzernEguoc
@" - qz)l: frp ! ool = *
ffiù
opl6t! odtoc yap DttlrD?S :f.dog Z,g
Cop.l: Stotico del corpo rigido 53
OSSERVAZIONI
i) Se ó : ah,si ha /(à) :0, cioè i l diagramma delle forze specifiche è triangolare:come segue dalla (1), il centro di spinta S è allora a quota hf 3 zpartíre dal basso.
Se o :0, si ha un diagramma rettangolare (forze specifiche costanti) e ^9 è a metà
dell'asta. Nel caso generale qui esaminato, il diagramma di forze è a trapezio, e
ri può utilmente analizzare, inyece che come mostrato nel precedente svolgimento,
sopmando i risultati per i più semplici diagrarn'ni rettangolare e triangolare, cioèpensando una forza R : hbposta a metà asta ed una forza R : ahz 12 posta a 1/3dell'asta a partire dal basso.
ii) in ogni caso, il modulo I del risultante è sempre uguale a quello della forza
ottenuta moltiplicando la lunghezza h dell' asta per la forza specifi.ca {Zb - ah)12
che si ha nel suo baricentro.
iii) Se b: ohr la situazione schematizza, anche se in modo grossolano, il caso di unaparatia che sostiene un fluido omogeneo pesante, di peso specifi.co a. Vale Ia pena
di osservare che ai fini del calcolo delle reazioni è inessenziale pensare la paratia ed
il fluido posti nel vuoto (nel qual caso ó : aà, cioè la pressione sulla superficie del
fluido è nulla) od immersi in aria. In questo secondo ca-so, infatti, b - ah - po è lapressione atmosferica (supposta owiamente costante lungo il dislivello à ), ma al
sistema delle forze di sinistra occorre aggiungere un sistema di forze costanti sulladestra, dovute alla pressione atmosferica, per cui la pressione complessiva, a quotay, dà luogo ad una forza specifica
î : (b - o.y) - (b - ah) = a{h - v)
corrispondente al caso di assenza di aria.
Igtld"t, : cg;4sf ULs * gl)d - aO - YO Itttod
-de g&au yelúull ruorre?J a[ erewwJe1e1'gv ortauzlP IeP ezrnls[P eile
ayeuotztodord .41suap evn eq olrp.reJlwes LI'etn?g W C'g 'y y1und
"r? lau al:sry eleluoz-zrio oueyd un pe oye8todde e'd osad e goy8?et yp 'oyrpncrwas un g'? Btualqord
Igf lr?a hn ) tl'eleJnJe^
epns gf :t, lp ete-ullru! ogrqyynbt q "ls "ts".[ gqcted rl e 7 ns luolzeywq eI aleufirrlalo1
'C u! rt alue:ogeor Ip ollrne uo? a V u! olyl-le ezuas ege8&odde 7'Tezzeq?unl a d oradlp 'gV eaua8owo elce,I Z'7 ruralqoJd
1",91$ - Yt)d: v,6:asf (v+!E)d - oAia- ogty7[)Lgl&-"e1a: q1
'Y v! " o a! luolze"J eI eJeu
-lrrral.ap ? 'oleluozzqo.gns gf u lp opuycv!oyqyynba uy els'g orttet e d asad yp 'aaue8awo orslppras f yptad q lp arole^ E ereultlr-le1.p'llltne lp ezaasse tI T'? Buralqord
Irsodoud Il^tgrgoud
optitt odtoc 1ap o?tllls :f'dog ?g
Cop.l: Stotica d,el corpo rígid'o 55
Problema 4.4 In un piano verticale, unalrr ìna omogenea, a fotma dì triangolo equi-Iatero di lato I e peso p, si appoggia nei vetticiA e B a diue guìde rettilinee a e à, pa.ssaaúiper O e inclinate di r l3 e r f6 sull' orizzon-tale.Assumeado come coordìnata libera I'angolog che A - B forma con 7'otizzontale, si d*terminino, ín assenza di attúto, Ia confr.gura-zione di equilibrio della lamìna e Ie teazioniv incolar i inAeB.
I t .op : t f \ l5; Os : pJz12;Qa: pf 2 l
Problema 4.5 Determinare le reazioni nel'I'ìncastro O per I'arco di frgura, di peso qe lunghezza rrf2, nel caso in cui I'arco siaomogenec, e nel caso in cui la sua densiúà iaun punto P sia proporzionale alla lunghezzadell'arco OP
I In ambedue i ca.si si ha Oe - g, verticaleascendentel il momento è antiorario e valeMo : qr\r -2)lr rrel primo c&so, Ms :qr(r2 + 8 - 4tr)fr2 nel secondo caso I
Problema 4.6 Un'asta omogenea AB, dipeso p e lunghezzal, ha I'estremo A appog-giato, con attrito di coefficíente p,, ad un a,sseverticale ed ha il punto medio G collegato adun punto fsso O deJl'asse verticale da unamolla di costante k.Determinare la confr.gurazione di equilibrìo.
I Detti c, :6A, 0 : fi7, si ha: d : o,s: t12+plk;0 :7r t r : p lk- l12; a: p lk,lcotdl < p I
Cap.5
Statica dei sistemi di corpi rigidi
trc equazioni ca.rdinali [a.t] sono valide sia per I'intero sistema sia per ogni sottosi-
drma (anche costituito da un singolo corpo) estraibile da esso'
trc fotze che compaiono nelle equazioni cardinali scritte per un sottosistema sono
qrdle estcrncal sottosistema considerato. Poiché la suddivisione in sottosistemi non
è unica, è conveniente privilegiare quelle che permettono di introdurre il minimo
úiltero di incognite oltre a quelle esplicita,rnente richieste.
Nd caso piano per ogni sottosistema si possono scrivere al massiFo tre equazioni
cerdinali indipendenti.1c forze che le varie parti si scambiano tra loro sono conformi al principio di asione
c teazione.
Yincoli perfetti (lisci o di puro rotolamento)
te i vincoli sono perfetti le equazioni cardinali applicate ai sottosistemi sono suff-
Gient; alla determinazione delle configurazioni di equilibrio'se non,vi sono iperstaticitìr esse sono anche sufficienti a determinare le reazioni
rincolari (si hanno iperstaticità quando più vincoli impediscono !l medesimo spo-
úanento infinitesimo: se un sistema è vincolato con il minimo numero di vincoli
etto a determinarne la configurazione, si dice staticamente determinato o isostatico)'
Yincoli scabri
oltre alle equazioni cardinali devono essere soddisfatte le relazioni di coulomb [3'4]h corrispondenza ad ogni vincolo scabro'
Vincoli unilateri
Per i vincoli unilateri, sia esterni sia interni, si veda il Cap'3'
'olsoddoose? Iau ?uo?und'(auorzerl rp euorze)
"ls?úllap ouJalur.l osle^ aîîaJrp ouos mrallse
tlBns elrtrasa ?ssa eqt azJoJ aI as ?lu'ttl "îlap ? ?ls€ ?lt"S!s
"un arclof,rlr"d uI
.assa rP ns rPou I"p aÌ"tr)JasaIuorzsal al aluo) rsol'rrrarlsa r13 aluaBunrtuor e1 eluof, al?anp e oJol
"Jl elsoddo ouos
^?lll[arlserp IPou lns ousllf,Jasa luraJlsa rlte aleralure)ur aq)rr"f,s elw al eqtr ruorz" eT'ulserur pa rurlled rsnlf,sa ouos alluaur
'"'eea (tE8odde 't11ar:ee (atatutaf, qon terddor ouo?lartrs'eJl uou ar{f, rlorurrr rp firreJlsetlBe e1e1op ef,rJ?f,s ?lse.un apuelur rs rutzlls? q6a olotatuta?ur D?rJDes rrlsîr Jad
'(e1turar1sa,p olos eJassa ouorrap tlo)ur^ r pa alrqsJntserl arassde,rap og6ú Jr \laJÈ1ói1iÈd ùr) e,rr11ear ?u e^rile qu tlmqulslp ?u elsrîuef,uof, qu .eu.ra1sa
",ror"*1r" i]-ollos Buns|? sl"lrcrasa a uou ruJalur rlund rnf, rns ?1s-Búun epualut rs o?rto?s oqso ;p.1"Jl
Iua.rlsa rl8e alera.ruiaru aqJtJBJs olBV
'(l'sU lpaa) olrede ol"lof,rlr" eruelsrs rp eluepa)ard osee 1etsof, rsopuaf,nprJ a (rurarlsa qEau elrrrasa ?sse er{f, ruorz" al ezuaprÀe ut euopuaîî.aura) else,un opu"urrrrrla al"zzrl"ue ouossod rs rssauuo) aluaruaerldnp Isnr{l rrua}$s I
'(e'su 1pa,r) auralur pe euralserJ"lof,ur^ luorzeal al ouo)sruroJ alu"llnsrJ lap ruorz"nba a1 alluaur .oFrqrqnbe,lapauorz?urrrrJelep
"l ouoluesuof, ruorzenba II"1 : uy,...,r*tl .ty alse anep eual?x
all€p rlrnlrlsof, rrrralsrsoilos lap {lpou) ly IIod re olladsrr llualrloE rap ruorzenbe a1uof, a.Ia loslr ouossod rs tutrd I tturatlsa t13e tllerrec o alaruJas uof, als? rp os"J IaN
.asilr{3 arltutu oueruJoJalse Inf, a1 'rsseuuoo alueurarlldallou rrsnrv? rrualss a (olopuad-u) elrade elezzadseun p" oEonl ouuep aqr (u, ' . .,0 : t) ry ruraJlsa Ip als" u rp aualef,
"p Ilrnllîsol (Issauuof, aluaruarrldrues'tltedo rîelof,rlJ" ruralsrs er1 aranEurlsrp oporuor eJas$ end.essa P3 ouJol.l? eJ"lOnJ
aîuaurereqll ouossod aqf, lrualslsollos "
el"slldde 'ararurar a1lu olladsrJ rîuaurotn raptuotzenba al alezzlllln Pa lr"lof,urrr luorz?a.r rp rluauodruos rp oJarrrnu ormunu II eJJnp-oJlul PP oporu uI 3ltr41$s 1t ,a.rezzads, ounlroddo a 't.tu1orur.ir ruorz?eJ a1 o/a orrqrl-tnbe rp ruorzernEguof, al eJeururJalap
" a1le ruorzenba allep oJarunu Ir eJBlrurrl Jad
' 'lta.rur11ed .tllarrec ralarural alu"rpau ouJalse(luo) a orol er1 r1eta11ol (a3sa) rleuorsuarulpouoru euoLo) rlezztl"uar{f,s rprEr.r rdror epIlrnlllsof, (1uotd oueruoddns glrrrlduas rad aqe) rrual$s ouos rl€lotrrîJ" rrua+$s I
IJYTOCIJUY IWtrJSIS
tpútt tdtoc tp na?Isrc r?p a?qals :g.dog gg
Cap.S: Stotica dei sistemi di corpi rigidi 59
In ua sistema articolato si possono eliminare le aste scariche incernierate agli estremisctituendole con forze, uguali ed opposte e con la stessa retta d'applicazione, ap-plicate ai nodi di estremità. Con questo procedimento i nodi in cui convergono astescariche risultano equivalenti a punti materiali soggetti, oltre che ad eventuali forzeesterne, a forze dirette come le aste: I'equazione del risultante applicata ai nodi dà,quindi relaziorii atte à determinare le azioni esercitate dalle aste {metodo dei nodí).Utilizzando questo rnetodo conviene iniziare, ove possibile, da nodi in cui conveî-gono non più di due aste la cui azione è incognita: in tal modo si determinano leazioni esercitate dalle aste nodo per nodo (vedi Es.l).Se, eliminando alcune aste scariche, il sistema articolato risulta separato in parti,le equazioni cardinali applicate a queste parti danno relazioni àtt" u determinarele azioni delle aste eliminate (metdo delle sezíonfi. Utilizzando questo metodoconviene iniziare dalle partizioni ottenibili eliminando tre aste al più: in t4l modo leequazioni cardinali applicate ad una parte permettono di determinare direttamentele azioni di queqte aste (vedi Es.2).
Calcolo dei gradi di liberta
Nei sistemi articolati si possono avere nodi in cui concorrono più aste: per il calcoloalgebrico dei gradi di libertà ricordiamo che, trattandosi di sistemi piani,.ugs cer-niera in cui concorrono rù aste toglie al sistema ?!" _ LI glad! -di libertà se internae-2-rlgradi di libertà se esterna (cerniera a terra).se un sistema articolato costituito da n qplq è iso_sf,atico, il numero complessivo udei vincoli esterni ed interni (ognuno .or,t.to con la propria molteplicitài a uguut"a 3rz. se il sistema è mobile (o ipostatieo) è u < Bz, mentre se u > Brz il sistema èiperstotíco.
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ovcTT D: nufs&v1g t Q:l?soî AvN + gAN
- :?Joll,€ ousluello al"f,IFa^ a
elsluozzrJo auorzallp ut opou tuEo red e1ue11núr 1ap auolzenba.l oPlrullalold 'g'"P
arrlred € rpou r oursrJeprsuol a trluerrl ellnî aJassa e.ro rad ornetuoddns aqr taqrpeos
als? alÌou luolze al N uoD oIIIsII{llpqI 'tPau np oPot?ut 11 a.rerlldde oruerssod 'aau11-rl}al a ar{f,rrers ats" IP IsoPueu"jJ "t* "t*:Ti'J"1t1"il::fi,H:.:Trl_T*rJ"?uauala aqlllelsosl alnllnJls
"p "llntllsor q gqrrod €f,l1"1sosl 1pulnb q errlssald
-ruof, "Jn1înrîs 3T .aluapaeard ef,r1€1sofl
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Cap.S: Statica dei sistemi di corpí rigidi 6I
mentre le aste BC, CD e .4,D sono puntoni: t.*e)trIac : Nc.o : -Gcota , N,-o: -(tr * G)/sina
Dalle precedenti equazioni si ricava inoltre che:
Ho--Hs:(F+2G)cota , -Vo:O , Vo:F+G
(Ho, IIo sono le componenti orizzontali, assunte verso destra, e V6,I/22 sono lecomponenti verticali, verso I'alto, delle reazioni vincolari in O e in D). Le reazioniviícolari esterne hanno in O una componente orizzontale rivolta verso sinistra, chevale (F,* 2G) I sinc, mentre in D la cerniera esercita una reazione vincolare concom/onente olizzontale uguale ed opposta alla precedente e con una componenteverticale verso I'alto che vale (.t' + G). Si può agevolmente verificare che tali reazionivincolari, insiene con Ie forze attive applicate in B e c, verificano le equazionicardinali [4.f] per I' intiero sistema.Osserviamo infine che il metodo risolutivo non è naturalmente univoco: si sarebbead esempio potuto procedere in usenso opposto', valutando cioè prima le reazionivincolari esterne in O e in D e poi procedendo da tali nodi verso destra fi.no al nodoB.
/- \i 8s.5.2 )La struttura isosúaúica di frgura è\esúiúfiÍia da aste scariche, tutte di ugual lun-
ghezza, ed è soggetta a due caricliì p e q, oriz-zontale e verticale, nei nodi E e D.Dpterainarc I'azìene dell'a.sta B C .. ' f r .
f
Essendo interessati all'azione della sola astaBC, possiamo utilizzare il metúo delle se-zíoni.A tal fine, calcoliamo prelimiiarmente, con I'equazione del.momento rispetto ad oper I'intiero sistema, la reazione vincolare nel carrello F, e quindi eliminiarro le treaste I'c, BC, BD, che supponiamo tiranti, considerando la parte di destra dellastruttura, come in figura.
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Cap.S: Stotico dei sistemi di corpi rígidi bg
g enFio I'angolo antiorario d che la manovella"OA forma con I'orizzontale.Si haÉrdi (valutando i momenti in verso antiorario):
Mo : o - -nf,ror, - of,rcosd f vB2tcoso : oMîB :0, -cf.ora -,@,o.rh*g *vBtcosd : o' f t t1 '
{rcui segue che sono configurazioni di equilibrfi'quelle per cui cos0 : 0, cioè
0 : r l2: B : O (Aal d i sopra di B)0 : -r l2: B : O (Aal di sotto di B)
c b due configurazioni simmetriche rispetto alla verticale per O corrispond.enti a
sino:PiQ8ÈI
cùe però sussistono solo se i parametri del problema verificano la relazione p * q 1rH.
8s.5.4 II rombo articolato di frgura, costi-hifo da quattro aste omogenee, di ugual lun-gftaza I e peso p, è in equilìbúo ìn un pìanovwtícale, con Ia cerniera a terra O collegatat B da una molla dì costante k.I)eterminare Ie confrgurazioni di quilibrio det,sB'fema.
Supponiamo il sistema posto già in una con-figurazione con B sulla verticale per O: sitratta allora di determinare una sola coordi-nata di confi.gurazione, ad esempio l,angolo ddi semiapertura del rombo formato dalle direzioni oA e oB (che B debba es-sere sulla verticale per O discende da evidenti considerazioni di simmetria, ovverodall'equazione del momento totale rispetto al nodo o). Avend.o già. utilizzato lasim'nshin del sistema, le equazioni cardinali danno luogo a due sole equazioni nonbaaali, quelle del risultante, da cui segue che la reazione in O è verticale ascend.entee vale ap (si ricordi che le forze elastiche dovute alla molla sono forze interne alsistema), mentre il valore di d rimane indeterminato. Occorre quindi analizzare
ored aq? 'Irlld :6sof, a (O rp erdos Ip I" o otlos !p ,* t '"*t"ll;:t:;f:1[:Iuolznlos al l.sof, ou"ÀoJî Is '/ e lT oPu"ururrlg '(auolzeal e auolz" 1p old1eu1ld ppoluo? opuaue? a) ,? olod 1e olledsr €IC elw; rad oluaruoru II oPuellnuue slnua+1o
o - osor I H - gulsl/ - gur"9 a
:auorzenba,ll"p €llnlllsos alassa gnd auotzenba "zJal
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"oo/ht'o: onSh['o: vXW luorzenba el opuaÀu)s'{VOC
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ezroJ al l^opuenllîsos'gg "ls?(l ourelunulla 'otdruase PY '"rue?qs 1ap 11red aloEuts
0 so3 lzì
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rigidi 65
8s,5.5 II sisúema di figura si compone diquattro lamine ugualì, omogenee, di base b..Esse sono sovrapposte in modo tale che Iospigolo inferìore sinisúro dí una lnmina si,az distanza h dallo spigolo superiore sinisúrodella laminasu cui si aPPoggiaSí determìni il massimo valore di h che per-mette l'equilibrio del sisúema.
Consideriamo I'equilibrio della lamina supe'riore.si tratta di un corpo rigido pesante appoggiato, per. cui la verticale passante per il
suo baricentro deve cadere entro la linea di appoggio sulla lamina sottostante, cioè:
h<
Consideriamo ora nel loro insieme le due lamine superioril calcolando la posizione
del baricentro a partire dal punto medio della lamina loro sottostante otteniamo:
ph+ p2h
corpi
b2
2p3,:-n,
per cui la condizione di non ribaltamento diventa:
lnr . !2 -2
considera.ndo infine il blocco delle tre lamine appoggiate sulla lamina inferiore e
procedendo in modo analogo otteniamo:
2h<
Poiché la lamina inferiore non può mai ribaltarsi, non si hanno ulteriori limitazioni,
ed è quindi bh^o, : tr
Notiamo infine, come del resto intuitivo, che tale limitazione è più forte della li-
mitazione horot : ó/3 che si avrebbe se le quattro lamine fossero saldate assiemenella configurazione descritta e costituissero quindi un solo corpo rigido.
b+ h<i
! + 6a!2 -4
'(asse,11eolladsrr ollnu olualuoru ouu"q ass? un ns rluaprf,ur pa a1a11ered azJoJ al{f, rproeF 1g)
7'sQ - i:
noo ' zfr(b - d - zaP ' o: ssQ -'aQ
aqc oueerldurt
e:oro6 c g:oicl 6' 0:9a+e"oQ-ofraQ :0:sItr
d:zfrq+'oe t 0:frge+froO ' 0:'fl6trog :0:1I
tlsurpJef, ruorzenba a1 tnc rad'ernEg uI a?e)IPUI azJoJ al ouu"q F gO elw.l Jad'areloEuellal eultuel sllaP a flg e+se.l
= -laPotrqtltnba,laluetu"lsJ"dasouretraptsuo3
.EI ,fl ,V
ur auJalsa fielozurÀ ruoÍzeor eI oJeuturJo+ac['D ezuelstP e Y rcd ale)qJa^ eqns
fl uoJ 'd osad tp eaua8owo 'g(I e9r;e.IFPelnualsos ? Pa 'g oilalreJ a V erctura) eI
ayrcIpaw aleluozzuo auotztsod ut oltqtltnbeu elnualuew ?'q "
p rlel e b osad rp'etn8gtp eeua8otuo atelo8ueTTeJ euwrelel 9'9'sU
d(r + u)(ttu+...*rtz+q)d
aqqeJes auotzelrrull e1 (a1se I + u eP ollnlllsof, a toprSg
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as€q eJarlur.l rad et3Eodde aroFa;ul "ululel
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aql oJerqs 1pu1nb .g
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Cap.5: Statica dei sistemi di corpi rigidi
Îeomdo conto dei precedenti risultati, e del principio di azione e reazione, le forzecsscitate sulla larnina sono indicate in figura, per cui le equazioni cardinali
R.:0: Or1":Q , lb,+y* iDz"1O"u:pi , (DA"*aDa"*eer:p+q
M,1 :s, a(p-es")*ol : bea"- t f , :o, OBy:oimplicano che le reazioni vincolari esterne in A, B,z sono date da
o, t : (0,-#,0) , iDa:10,0, f ) , ÍDn:@,T,rLf l
67
lgfrlo - aEz: Noglla: xo : Ha :agl?ld, :'"?*41
'IqrsIP ! erl a?elrr-r6se ezroJ aI ?q)uou 'oytqypnba 1p e1s e1eu8as-se auonern?guoc e1 gqcrcd ,! tp orcIeA oruwlrn F alewwJeTep 'o7ug7e ru8o tp ezuasse uI
'q aluelso) rpeilow eun ep rye?a11ot g a V uoc'g orB?et ad osed pnBa rp'rcua8orno !{tslp a4 ep oynr-Itsor ? etn?g rp ewapls II g'g BtualqoJd
IgtAzlF: 6 tYf 7d: C tqf :'u!'ort I'else Pa o)stP erl H u! ewlq
-rrreJl vzJoJ e[Iap oppow y 'auorzetn?guoca1el u 'a altqrssod erc "leluozzyoJlns tlu lpvleuq?w V O uor oyqrllnbel gqcted C lp orot-e^ U pa d tp eJoIeA orillulw F eJeururnlaq
'alllp p egecrldde 'g oyueanout tp 'ettetoetddoc eun pa (d a1uelcgaot uoc) orqezs Hur or88oddel e?uoddns rc e'e11orn eI lutwqaîs aluapa?ard eualsls ;ap' Z'g BuralqoJd
lagt-6'ldf"sq:Yuoz 'g1so)psurs - gsoîy :!p auonnyos 6 |
'ourlwtuào tp ezuasse ut 'a1ecrylat ouetd un ur o?s-od'etn?g tp ewaqls y rcd ouqt1rnba 1p 1uolz-etn?guot aI
"Jeuftrrrela(I T'g BtualqoJd
IJSOdOUd II [SlBOUd-
tptîtt tdtoc tp na?lsrs pP o?rlols :g'dog 89
Cap.S: Statica dei sistemi di corpi rigidí 6S
T'
Prolrlema 5"4 I due rcmbi artìcalati di fi-gura sana cosúiúuiúi da quattra asúe omoge-nee, di egual lunghezza I e peso p, mant*nute in una confr.gura,ziane con BOC :7116rispettivamente da un tirante OC e d,a unpuntone AB"Determinare I'aziane del tirante e del pun-tone"[ ,Voc -- 2p ; NtB : ZplJi l
Problema 5.5 Il sisúema di frgura, in equi-librio in un piano verticale, sí compone di undisco di raggio 2R, girevole attorno al pro-prio centra fisso O, di un discb di raggio R epeso úra.scu rabile, che rotola senza stdsciaresuJ primo, e di un'a.súa amagenea di peso p elunghezzaSR che unisce i centri dei dischi.Si deúerminina Ie candizioni cui devono sod-disfare i momenti C1 e C2 di due coppìe ap-plìcate ai díschi perché l'equilíbrio sia possi-bile, nonché Ia confrguraaione di equilibrio.Izct : cz I pR; cos d :2ct lpRl
Problema 5.6 Nelsisúema di fi.gun, postoin un piano verticale, i due dischì di raggi Re2R possono rotolare senza strisciare rispeú-tìvamente sugli assÍ orizzantali r e nt, postìa dìstanza2R" Un frIo di peso trascura,bile èavvolto sul secondo dt'scon si appoggia senzasúrisciare sul primo, passa per un punfo fissoO dell'a,sse n e scende verticalmenúe sosúe-nendo un cantrappesa p"DetermÍnare iI mamento C della coppia daapplicare al disca dí raggìa 2R affinché il sì-súema sia rn equiJibrio con I'angolo di frgura0:r13.IC:3pf i1
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lp olylrc uoc 'e8yorrtte rs ossa rp nS 'eÍe)rl-tat eprn8 eun o?unl e[qow oJlua) I erl ror8?et e d osed lp o"slp rrn !'g BrualqoJd
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Cap.6
Azioni interne in sisterni articolati
In questo capitolo esaminiamo più in particolare sistemi articolati piani isostatici,cioè dotati di vincoli, esterni e interni, necessa,ri e suf6cienti a mantenerli fissi. Ivincoli sono supposti lisci (l'eventuale presenza di carrelli, appoggi o pattini scabririchiederebbe semplicemente I'uso della relazione di Coulomb [3.a] in tali punti).In queste condizioni la configurazione di equilibrio è assegnata e le reazioni vincolariesterne ed interne sono univocamente determinabili.Per il calcolo delle reazioni vincolari si possono utilizzare i metodi indicati nel ca-pitolo precedente, che completiamo con ulteriori informazioni che ne rendono piùveloce I'esecuzione
REAZIONI VINCOLARI ESTERNE
Per il calcolo delle reazioni vincolari esterne si possono ulilizzare le equazioni car-dinali applicate all'intiero sistema.Se queste tre equazioni non sono suffi.cienti, si possono impiegare le equazioni car-dinali applicate a parti del sistema. Risultano in particolare utili, per sistemi arti-colati, le equazioni dei momenti rispetto alle cerniere applicate a parti del sistema,evidenziando eventualmente anche reazioni vincolari interne.
REAZIONI VINCOTARI INTERNE
Le reazioni vincolari irÍterne sono reazioni di vincoli interni sulle aste: per il principiodi azione e reazione, le aste esercitano sui vincoli azioni uguali ed opposte allereazioni.Trattandosi di vincoli interni, essi esercitano reazioni su più aste ed in generale talireazioni sono diverse tra loro. Non è quindi opportuno "tagliare" i vincoli, ma èpreferibile "tagliare" le aste in prossimità dei vincoli, evidenziare cioè la reazione delvincolo su una determinata asta e, tenendo conto del principio di azione e reazione,evidenziare anche I'azione dell'asta sul vincolo. Per determinare le reazioni così
ruorzeurquro) rlrqrssod al apnt aurof, rsof, 'popadns arqg al epuel eî{f, /;zg a or.re.roglueg 'auotssardurof, s itr uof, asJeÀrp ruorzua^uor alunsse eJess.a ouossod eluerul"Jnl"N
'(osa1 auara eJorJaJur o11anb tossardurol auar,rolerpenb 1ap arorradns olsl p 'o1ee1pur eurof, ? atuallag oluertrour p as) rrouagurarqg al epual aqr /.;zg a1ua11ag oluarnorn p pa (or.rero osuas ur arelonJ e aqqarepuatolerpenb o1uaua1a,1) erJ?Jo g or1Ee1 rp auorz"(l'(*o1e.n1, q olerpenb o1uarua1a,1)arrolz"Jl p lV. aprsse euorz?31 :e^rltsod errrof, elunsse ouos Is ol"slpq ordrnasa,galq
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'rluauodtuor,alo3urs ellep o$a^ 1e opren8r.r "rs "îeraprsuot
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"l]ap ? o]uaruour 1ap aluauodurof, ?f,run.l aJlueur '9 o11,6o7 pp?uotzp eleursu{f, (eaur1 e11e aleru.rou) elsanb e eJ"lo)rpuedrad auorzaJrp
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'ossa p" aleuo8olro auorzaJrp ur oluauroru 1ap aluauoduor "l a oueld 1eualu"lln$r 1ap rluauodruof, anp al auJalu ,:o,* qrrrad ou"uretrlf, gs nrerd tmalqord ra.p
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Cap.6: Azioni interne in sístemi articolatí 7g
di queste e di quelle.A volte le azioni interne vengono riportate in diagrammi che ne visualizzano l,an-damento lungo l'asta' In tari diagramrni, è indicato il segno secondo re convenzioniassuntel in particolare, il diagrarnma del momento flettente è riportato dalla partedelle fibre tese.iii) Per determinare le azioni interne in un puato p in genere si utilizzano le equa-zioni cardinari appricate ad una dete due p*ii irr."t ii*,oe .asta.se entrambi gli estremi dell'asta sono vincolati, si procede alla uliber azione, di unodi essi mediante il calcolo delle reazioni vincolari interne o esterne (vedi paragrafiprecedenti).Tagliata allora I'asta in un punto P ed evidenziate le azioni interne si ha un tratrodi asta totalmente libero' Applicando a questo tratto l,equazione del risultanteproiettata in direzione di .r/ e ? si hanno ,i"o"rrir.."*ì" t,u"ior,e assiare ed iltaglio, applicando invece I'equazione d.ei momenti con polo in p si ha il momentoflettente.Non sempre è però necessario ricorrere a questo metodo generale. se ad esempiotagliando in P il sistema esso risulta diviso in due parti dì cui almeno una libera,le azioni interne possono essere determinate direttamente utirizzando le equazionicardinali applicate a questa parte, in generale non rigida.Ricordiamo anche che per determinare il taglio
"i tiirr-u"to flettente in un puntoP di un'asta rettilinea, incernierata agli estremi basta utiliz zare le equazioni deimomenti con polo negri estremi per i due tratti in cui p divide |asta, In questomodo non occorre calcolare in preced.enza alcuna reazione vincolare (ved_i.Es.l).un'osúc rettilinen, scarica e incernierata agri estremirè soggetta a sola azione assialecostante in ogni suo punto. se invece l'asta è scarica, ma non ;il;*;i|,anche un taglio ed un momento flettente (vedi anche Cap.S).
iv) In generale le azioni interne variano da punto a punto in una medesima asta.se in un punto interno ail'asta è concentrata una forza, attiva o reattiva, l,azioneassiale ed il taglio hanno nel punto una discontinuità a salto pari alle componentidella forza, mentre il momento flettente è continuo. se in un punto è applicatauna coppia' il momento flettente ha una discontinuità a salto pari al momento dellacoppia' mentre I'azione assiale ed il taglio sono continui. Nei punti di discontinuitàle azioni interne non sono definite.osserviamo espricitamente che a differenza di un carico concentrato, il peso propriodi un'asta è una forza distribuita con continuità che non provoca quindi discontinuità,nelle azioni interne. ,-'v'vLo
Le azioni interne negli estremi di un'a-sta coincidono con le reazioni esercitate daivincoli ivi presenti o con le forze ivi applicate. In particolare, se in un estremo vi è
'"rîls(un "p "uJalul
auorz?(unaîuarrresrlrleu" eJJnpap Jad opolaur aruof, er{f, oîsollnrd 'r1e11nsrl lep "lg!Je^
a11tnaruof, alrnqlJlslp azJoJ al a auralur luolue al
"Jl ruorzela.r IIE1 aresn ounlJoddo grad ,g
'ouJa1ul luorz€ e1 rad alunsse ruorzueluof, all"p apuadlp ruEas g "Jl
ezuapuods.rroe e1
"llnqlJîslp ergrrads szroJ "llap aluaE'e1 eluauodurof, "l olnpo.o ,rr trla*r,aìTJ:I
auolz"(llep r e olladstr sl"Arrep "T
'"îm,l oEunl elmqlrtslp €lglmds ezrog e11apalelrrJou aXuauodrnor
"l olnpou ur erl3enBn or18e1 1ap r pe olladqr el? lJap sT
'osoloEue olund un eîuelîag oluaîtroru p .rad 1pu1nb er11dr4 ollE"l leu .î1nulluorqpeun 'or13e1 lr olnpotu ur eqEen8n alua11ag oluaurour lap u pe olledsrr
"l" rrap
"rI'a1e8a1 orol
"J1 ouos 'else,l oEunl z €ssrrse(llop luorzunJ 'auralur ruorz?
"l ùaulfg?t slse(un r{
'axuallag oluernour Ir aJellnuus aAep rs oura.Ilsa alel uI ollaJr"f, un o eJaluJat ?un
!?op?t?tD tut?lsts ut ?ur??ut ruotzv :g'dog lL
Cop.6: Azioní ínterne in sistemi orticolati 16
ESERCIZI RISOTTI
Es.6.l Un arco a tre cerniere OAB è posúoin un piano verticale, con O e B alla súessaquota. Le aste OA e AB hanno ugual lun-ghezza l, pesi p e q rispettivnmsnfs, s 16t-mano un angolo a con I'oúzzontale.Determìnare Ie rcaaioni vìncolari nelle cer-niere O e B ed il momento flettente nelleasúe.
Per quanto riguarda il calcolo delle reazionivincolari nelle cerniere esterne O e B, pos-siamo scrivere tre equazioni per tutto il si-stema:
f io:0: Ho-EnE, :0 : Vo{V6 : p* q
t s-Mo : O : prcosa+ t l lcosc : VB2lcosa
e, come quarta equazione, Itequazione del momento per una sola asta, ad esempioO.'4., rispetto al polo l. (così da non far intervenire la forza esercitata in ,4, dall,astaAB):
Ml^:o, f f6 ls in "+e*cosa:
V6lcosaDa queste quattro equazioni segue che:
Eo:HB-4l lcotc , Vo=4A questo punto, possiamo agevolmente determinare il momento fl.ettente nelle aste. perI'asta di sinistra OA consideriamo l,equazio.ne del momento rispetto a P per il genericotratto OP, di lunghezza c, così da eliminarele altre due azioni interne lf e ?; si ha così(indicando in figura le sole forze che hannomomento non nullo rispetto a p):
vo
BHa
Sptc4t
tr P*Sq,B- - 4
Cap.6: Azioní ínterne in sistemi orticoloti 75
ESERCIZI RISOTTI
Es.6.1 Un arco a tre cernìere OAB è posúoin un piano verticale, con O e B alla súassaquota. Le aste OA e AB hanno ugual lun-ghezza l, pesi p e q ríspettivzmente, e for-rna.no un angolo a con |'orizzontale.Determinare Ie reazionì vincolari nelle cer-nìere O e B ed iI momento flettente nelleasúe.
Per quanto riguarda il calcolo delle reazionivincolari nelle cerniere esterne O e B, pos-siamo scrivere tre equazioni per tutto il si-stema:. Vo
f io:0: Ho-HBfir :0 z Vo*VB:p+q
IBMs - O: prccxa+ l l tcosc: VB2lcosa
er come quarta equazione, Itequazione del momento per una sola asta, ad esempioO/, rispetto al polo .4 (così da non far intervenire la forza esercitata in L dall,astaAB):
MÎ^:0. I fs ls in "+e*cosc:
V6IcosaDa queste quattro equazioni segue che:
BHs
E6-HB=P]3cota , Vo=4A questo punto, possiamo agevolmente determinare il momento flettente nelle aste. perI'a.sta di sinistra O,4 consideriamo I'equazio.ne del momento rispetto a P per il genericotratto OP, di lunghezza r, così da eliminarele altre due azioni interne tr/ e î; si ha così(indicando in figura le sole forze che hannomomento non nullo rispetto a p):
3p*q4'
rr P*Sq,B:- 4-
'?f,IJ?tS "aullll
-lal elserun Q cg eql ollnllzu" olu"IÀJasso
'a?se ?IPU al"rsse auolze.I oJermarclecl'lzezuerylPe oradaF)
-tya^ e1ns g vo) 'I!1L ezzar7?unl a a[gern"s
-et1 osad Ip ? Cg 'Igt7ezzeqtunl a d osed 1p'eeua&outo q yg'apctyat ouerd un u1 e1sod
'etntg lp uJltr-lsost ern11nr1s e;1ap Z'g'sg
'(t) olelpsu II "roJu" anEas'g oPu"ugrlla 'tnr ep
o: : ^psoc:!ó- (s- t)t- tw :o: alry s'-l s'-l
o:9o.o, 1ó - sa + lw : o: aEAI " s :erole
eq rs (auorz?eJ a auolze rp otdrcugrd II opusprof,ga) l7a7 ns lluepo)ald tuorzua,tuoeal uoC '(eaurl11ar else(l oPuasse o1*r alersse auorze.l a g e V alaluJaf, allau azJoJ al
rsor oruprurulla) g. e a V pv olladsu luorzas enp al red oluaurou IaP luolzenba a1
oruel^IJts'Ag"d'yluolzas ol ?guDt?u? oPu"Japlsuo)atgV els""losells-?Ìl)Iduasrad reopuaraJrg 'elr"ssa)au
"lels aqqalss uou y q a O ul IJslof,ul^ luolzeal allaP
auolz?ulluJalap e1 'a1ua1lag otuaruoru olos II olsalq)lJ olels assoJ as taql oIu"I^IessO
("-r)";frb:@)t711:lnr ?P
0:î?socs&zl-puls ssH *oro"! lt+tW :O: aíW
' :"q rs 'o11os Ip alqg al epual eq) alualleg oluaruoru IeJo)ue opuarunsse 24g oye4octraua8 un tp ezzaq8unl
"l dg - s ets'gy e1se,1 ladoEoleue oîînl Iap opolu uI oPuapacoJd 'atddoo ouollerus?rl uou aq) tlolÙ1'tr IP y a
O rruarlsa r13au ezuasard e1 red arassa alap aruof, 'O : (l){W : @)t IN at[) I^rasso IS
@ _ ù"#*: @)r7r:INf, "P
O:psorro1-lasof, 2lO*pursso1 + tIN :O: aShl r,r
(r)
llolo?t?to na?lsrs ur ?ur?lur luolzv :g'dog sL
Cep.6: Azioni ínterne in sistemi artieolati 7l
Conformemente all'intuizione, supponiamo che sia un puntone: la sua azione assialeiY è quindi costante in ogni punto e può calcolarsi dall'equazione del momentorispetto ad O per I'asta O,4.:
M3^:0, d 'n+-Nactt /Z:o =>vz
N-J=rL:o +2l\/2 ,/Z
L'azione assiale in OA è quindi una funzione lineare della distanza da A, ed ha unvalore massimo N = plJi nella cerniera O.
N"a: hPer quanto rigua^rda I'azione assiale 'rrL OA, osserviamo che essa è continua in quantoL;a pressione del puntone è ortogonale all'asta (e quindi provoca discontinuità nel ta-sho î ma non in N): essa può quindi essere calcolata considerando un solo trattodi asta. Inoltre, poiché .4 è un estremo libero, è senz'altro opportuno considerareI'equazione del risultante in direzione dell'asta per il tratto AP (AP: c): supponendo N a trazione si ha allora:
N:efr
8s.6.3 La struttura rigida di figura, in *quilibfio in un piano vertìcale con un incastroin O, è omogenea, di peso specifrco k.Determinare Ie azioni interne in un geneúcopunto della struttura.
Si può procedere in diversi modi. Un primomodo è quello di considerare un tratto CP(m : r ,0 ( x <-b), un trat to BQ (BQ :y, 0 S y ( o)e l'asta a ? ottenuta sezionandoin S (73: s,0 < s ( t), come in figura.Con le convenzioni adottate in fi.gura per leazioni interne si ha allora:
CP: ' t r [ :0 ,T- lcx:O, Mr*kr l :g2da cui:
î2lV=0 , T: kr , Ml- -kî
J"lI
'auorznlos rp oporn orurJd Iau orol olrnqlJî1e ol"lgluBls ourtsepaur II ouu"q 6' rfi 's aao
",,$^+^ :luolzes tluen8as a1 olduasa p" oPueJePrsuol'9 ep arepaeo.rd 1p
rod a 6 ur euJalsa aJEIof,urA euolz?al efiap oW'oA'oH lXuauodruoc a1 'e.rn11nr1ssJar?ur.l rad rleurprec tuotzenba el uof, 'eurtrd ar€loclef, rp o11enb eressa gnd (o1z1l-rasa rad olorlef, rp r18e11ap I opu"lf,s"l our?Iuue?)e olos tnb aql) oporu oPuof,as uO
.?,lGq- zo)rl : oN oluaruour tp egddoc
"un pe e
0+q+o)q - o/t alef,llrel ?zroJ "un Pe IîuaP
-uodsrrroe torlseeur,llau IJ"lotuIA luorz"al el(f) agep ouoEuallo Is I : e rad aqr arlloulortrer^Jassg '(auolzear a euotze p oldltupdII opu"pJo)u a) aluauerrtlladsu 0 : I 3o : /['q : s rad au.ralut Iuolze allep olo3l") eluapet-a.rd 1ep alnuallo 'e.rn8g Ip ezJoJ a1 ouorsÉee,ro 'y ul ?rnl"pl"s
"naP oFq111nba,1 oPlres
-grra^ Il"llnslr 1 e.rejlorluoc tp euad "l al"
O:J' ("+g*a)1-:a1:ln3 eP
0:J , 0:("+q+p)l+.nf
:ruorzenba el ouueq Is J ? e1se,1 .rad augul
lg -r"l \
,r-",Î
(r),,-Jh1;.., ("q-"4í:lw '
o:go"tt -lq't + tw (
3E-:ln ' frrt-:J' o:.^t:rnf, sP-
o: Ínt1+ tyal'o:frq*J'0:.rllr tbg
1À-e)t
Cap.6: Azioni .interne in sistemi articolati Tg
8s.6.4 Il ttiangolo rigido di frgura, ín equì-Iibrio in un piano verticale, è formato da treaste omogenee, dì ugual peso p e lunghezzat.Determinare I'azione assiale in AB.
Per calcolare I'azione a.ssiale in un genericopunto dell'asta .AB, determiniamo anzituttole forze applicate in un suo estremo, ad esem-pio B. Queste si determinano agevolmentecon le equazioni:
MSt:o, -0
+ EBt+ - ol: oda cui segue che Vs - O, Ha : plzr/g.A questo punto, consideriamo una sezioneBP (EF: s) e supponiamo lf a compres-sionel I'equazione del risultante nella dire_zione dell'asta fornisce allora .ff:
-0 =+
Il metodo qui indicato si estende in modo owio alle azionicalcolo per le altre due aste (per quanto riguarda però ? eI'osservazione finale dell'Es. 1).
Mi.B :0 , vBl
vBt- u"tf + n!
n(")- r (#r . /q. sr /Z. f Í - - t /n ' -Vo"" --2 - z -PI z
sr/3 \+_l 2t)
interne T e My, ed alMy, si tenga presente
o: $Fo +9a
o: sron#u'^n:';:r:i;,- sA' - î
:tuorzenba al aluarrrelllladsrr ouopuodstuof, Inf,
lli.l frl, il:lill
iilr, iiirlilji
:rluanEesluaq)sllEerolleouueqIseuolzealeauolz"lpoldleulrdIep otuo) opueual e Og lP " gV lp IuoIzeJIP eilau ezJoJ qe1 opuauoduoea6 'g
opou Iau elrf,rasa gV èqr szJoJ €llep lluauoduror ellsp el"p alptorul enP artl" alleu
a 1; eyu8of,ur{llau ruotzenba eJl [so) ornslqqe Q Cg "rue]sls y 'rad 6' e olladqr
'tg else,l rad p e olledsr 'gy else,l rad y pe olladqr rolueurour 1ap luotzenbaarÌ al our"r^r.rls a'a1uer1l orueluoddns aqî'Og elsr-rl our"Iullulla'o1und olsanb y
dz-re + o--1tr-tf,o*!o iQ- nn'Y:sîse(l osJa^ elloÀ e cB' "
e.r€l
-orrpuadrad ,g ortEodde,lleu uro a.relof,ur^ euolz?al e1 'erua1s1s p .rad g pe olladsu
oluaruour 1ap auolzenba(l alu"Ipew 'a1uau.reunul1e.rd ouellorlec 'epeurruJalaP led'elrl"lso) E el"Iss? auolz" ?ns
"l Inf, .lad rect.rtls e eeullllleJ ? AA else,l
?Qg e?se.fiau al"lss" ouo!n4[ eleÚtvIJalecl'oIssII ott&odde un olsod Q 'Cg lP olPeú
oqund 'g w at1uew 'etta1 e oleJelvracu! Q'gV lp olpaw'g oTund U 'aqqernrse4 osad
ouverl e4 e4le aI eJlualrr 'd osad ouueq O C a
gV "+se
e1'etntg rP "rnttnr?s "IIaN 9'9'sg
tlolo?t?Jo tuta1sti,s ut zur??ur luolzv :g'dop 08
iirili
Cap.6: Azioni interne in sistemí articolati 81
da cui segue che Nr.o :0.
Es.6.6 NeI sisúema di frgura Ie a.ste omo9e-nee AB e BC dì lunghezza I hanno rìspettì-vamente pesì p e q, mentre gli altri compo-nenti del sisúema hanno peso úrascurabile.Calcolare le azìoni interne nell'arco EB.
Determiniamo le forze esercitate in uno deidue estremi dell'arco, ad esempio -E: essesono una forza orizzontale Npp dovuta alpuntone ED, ed una forza diretta come Iacord.a AE, dovuta all'asta AE, che è scaricama non rettilinea e che supporremo compressa. Esse possono determinarsi con leequazioni:
MEB : o, wro* - QotL^: o. vzDA I IMEo:o, er-vel*Qna n:o
Osservando che la reazione verticale nel carrello ,4. vale Vn: (3q + ù14 (come siottiene direttamente dall'equazione Ms : 0 per I'intiera struttura) segue allorache:
rr p+q À p+qtrnO:
2 t , tAE: Zrt
A questo punto, considerando un genericotratto EP di arco, individuato dall'angolod di figura, le equazioni del risultante oriz-zontale e verticale e I'equazione del momentorispetto a P danno luogo al sistema:
. l f cosd - ?sin 0: Nso - OorL^yz
Nsind*îcos/ :Ant4vz
Mt : urof,G- cosd) - r"'#t(l- cos 0) - onr#f,"r^e
l.rl :z(zlg6 : s)
opuassa ,or13e1 lr arols ur e11Ben3e s e olladsu eluatlau olueluolu IeP ?1"^IJaP el aqJ
a'rpou anp o e a'opuasse arasse alep aruo) 'o= (zlt'\!y1 : @)tw ar{t hrasso Is
(0.rtr-0so?-rh,..fu:!w ' ,(psoe+ruls- 1-J_ : a
(psoeapurs);j7:,V
,G)a :4' olund leu auJalul luolze al atsturoJ auolznlos Int el
rlplr l"plTwpl Z: lTwpl
PROBLEMI PROPOSTI
Problema O.l Nella súruúú ura îapresen_tata in figura, le aste AB, BC, CD e DAhanno ugual lunghezza I e peso p.Si determìni l,azione a.ssia]e n"il,ut^ AC dilunghezza y'Bl e peso trascurabile.
I lf : 2p * F, tirante I
Problema 6.2 II sistema articolato di fr_g-uta, posto in un piano verticale, è costituitoda cinque aste di ugual peso p e lunghezza l.II sistema è vincolato all'esteino meliante trecarrelli in A, C e D.Determinare l,azione a.ssiale in BD.
Iu: e(7+6î l t ) l4y 'ga compressione I
( r :BP)
Problema G.B Nella struttura di frgura, Ieaste BC e C D hanno peso p, mentîe tutte lealtre hanno peso úra.scu nbile.Determinare le azioni assiafi nelle a.ste.I Nn, - p(cos s/I + sin sll)12," - fr;Nec - Jlpla; NBs : pf2';Nco - p(t3lo --r/t)l\/, @:Dp)a compressione l
Cap.6: Azioni interne in sistemi articolati gg
IGv:r) vl(tl"-r)xa:{w
: gnla : J :tzlttt - gfzla- - N :'t <s: ÍW :gnla- : 7 :qtzld- - 1.r 2 I> r
dc:t2ocU1a : "1 tzl\z-s)w : t1a1 : 7 <r
rcltry:tW il>xlLlW-:at7Vd---N:gVl
a 'oc e gv u: "uralq luolze eI enp)Fc
frv eqa.ilaP ?pú e eyex1d4e W olvaurour rp eyddot eun eP eley)qlrcs
" ag?nral ouetd un ur e1sod q 'd osad tP
eaue8owo 'Cg Ip euoue))a Pe afqernJslr-Jlosad owrcq '117 ezzaqtuq IP 'gV 'OC 'Cg?Fe eI a 'g ezzaq?uq W 'gV e1sel aPnb e1-pu oetn8g lp ernnnrls e1 g'g Burotqord
:vl0l"z-r)d: t:zrl(tlq+r)g/\d: N : cv(ag : ,) (r - tl")w : tw | ?,1î < r
llsry:lya1 :7f7>xtlw_ : a :gLldz_ îLtlw : N I cs
O:tW:glgL|ld_:N igVO: lW: LtlgtlWZ-Zlgvd: N : CICI
'a!se eilau aunlu! tfrowe aI eJePxPc'g C lp ?pw e egecllddv 14{ oluawoú tP
ertreJo etddot eun uoJ ? e[eluozzlJo O C aox'ayeultat ouerd un ur o1sod q aruagsls p- 'd
' osad tp eauatowo 'CY rP "vorzeJJe Pe silqeJ
-n?s'er? osad e 7 ezzaq?unl len8a ouueq a1seal etn8g rp
"rn?tnrts "IIaN 9'9 ?uralqord
*sFrlIIItdp/ * gll"a: rIN9ll"d -
I euotssardruoc edV : r :gvvld + gtlnz - îzlgnta - voNdEI:s 2gLvld+gtlov+tzlgnxa - aoN
glzlVi + d) : va71 ls: ca71l
'b apc11rcaoilre> un atsBe C u! 'gV lP oqPou olundIou oleraturarq ? go e?s.e.fi"P g orÚeJlxrrT'ql;qetn)se4 osad e 77 ezzatl8unl eq CV erl-uaw 'd, osad a l ezzaq8unl ouveq gO a VO'etn8g tp ernllnrls
"IIaN 7'9 BtuolqoJd
tIDIo?tIJo ua?lsrs ur ?ur?1ut ruorzv :9'do9 ?8
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ín sistemi ortiealoti 85
i$l
l
I vz
Problema 8.7 Nefla súruútura rappresen-tata in fr.gura, Ie aste omogenae AE ed EDhanno lunghezza I e peso p, Ie asie rìmanentihanno paso úrascurabitre. Una forza, di rcedulo F ed ìnclìnata di r la rispetto all'orìz-zontale, è applicata in C.Si deúerminino Ie azionì a"ssiali nelle aste dipeso úrascurcbile.
INt, - Nae:Fl2r/ l -PlzNne - -F12 + pl/z; !"t: Flz + plJzNcD : -plz - 3F l2{2 (a trazione)l
Problema 6.8 .lfeJ/a struútura di fi.gura,Ie aste hanno ugual lunghezzal e peso p, adeccezione di AC che àa peso úra.scumbìle.Determinare le azioni interne in AC.
IiV : +plJl; î:0; MÍ : a ftirante)l
ÉD
t\,f tvl.
Cap.7Staticà dei fili
EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUITIBRIOIn ogni punto interno del filo, p : p(s), vargono le equazioni differenziali:
F+o*#:o , #Ar:o [7.1]dove Î(s), F(s),o(s) sono rispettivamente la tensione, laforzaspecifica attiva e laforza specifica reattiva distribuite con continuità rungo il filo.La tensione T(s) è la forza esercitata in P(s) dal tratto di filo di ascissa curvilineam.aggiore di s sul tratto di ascissa minore.se negli estremi A e B, di ascisse rispettive s : 0 e s : l, sono applicate le forze fae fs , si hanno le condizioni al contorno:
fe*T, l :0 , fe-Ta:0
Per vincoli lisci e forze specifiche attive conservative si ha l,integrale primo:
T +U: costante
dove [/ è il potenziale delle forze specifrche attive.
CASO PIANO
Proiezione su assi cartesiani ffssi cryLe equazioni [2.1] diventano:
Fr+Qr*#:o
[7.2]
[7.3]
Fy+oy *#T, - T"y'(x)
-0
-04s: 1/t lyn@ dr [2.+)
'ruorz"J8alur szues auorsual €l ef,sluJoJ er{t r[S'Z]
al€r8alur(l uor "llnîIlsos
elueltrllln eJessa qnd sEIJd "l
(ellqlssod opu"nb orurJd
[o'2,]
lg'rl
elsan$
Is'rl
0:qo*t{ , 0:{+"o+ir , 0: !*r,r LJP
:ou"îue^lp [g'l] Folzenna aT
olcsll ofl.{oud
'aluauodruo) ?ns eun o auolsua? "l
€?ou ? as'h'll e1 a'ruarlsa rltap auotztsod e1
"lou a es'[g't]
"l QoIl opue)eJslppos'aruesa ur eualqord 1ap aqegtmds ouJoluof, I"ruorzrpuof, al uo) a [g'f] tsl uol el€ulluJa]aP eJassa ouolaP O 'C 'P l]u"]so) eJl arl
[e'r]t(c + fr)uqs - (, + fi)wt'ìo : I:ep sl"p Q (er > vs) g e y rlund 1er1 osarduor olg Ip oll"rî 1ap 1 ezzaqEunl "rI
[r'r](s - n)d,: g ' (c + |)Uwrao: nt, ' d,p -'J
:"p slep rod q auorsual "T'atuepuaf,se
el"tlpaa /l a al"luozzlJo 3 uol
.p(c+f)u'otn*cr=@)n
:euogzenba Ip "auII "l
opuof,as auodstp Is olg 11'outrd olsanb u1'orrraJlse oJll?(lleP a oJaqll ouraJlsa
un ur "ls?rldde
ezro3 sllap auolzarlp "lFP
arnddo (11essg as) o1g IaP ruraJlsa enp 1ePol"npl^rpur 1od q ouerd g 'orgreads osed 1ap euoIzeJIP 3l aluaualuoc /îz ouetd un u1erEFalle rs 'l ezzaqEunl a d orgttads osad 1p 'a11q1pua1seul Pa oaueBoruo'o.raq11 olg un
YIUYNgTYD
'auorzern8guof, el ?lou "Is In) IP Iru .rad elezzqtln 4td o1 .rad q auolzelord
'olg II erE8alle rs tn) opuof,as eaull "llaP "rnleÀJnl
IP olt3er F e I aÀoP
6:e6aeg, 0:1+"o+ir' 0= sP a16+t/ -JJP
:ou"lua lp [t'l] tuolzenra e'I
Bîasu.rJlur BuJa+ B[[ns arrolualord
'euolzernE
-guor €l elluEorur q 11enb 1ap faqrl 1g .rad "l€zzrIln 4ld ol rad q auorzarord elsen$'olg II erttalle Is IR) opuoms
"aull "lleP "u"Isó1.rer auorzenba,l q (z)f - /i a,rop
!l{ l?p o?tîols :;'dop 88
Cop.7; Statica dei fiIi 89
FROFILO SCABRO
In un filo teso su un profilo piano e convesso, scabro di coefficiente p, in assenza diforze specifiche attive e in condizioni di equilibrio limitc la tensione vale:
T{0) : TasPe [7.10]
dove îr1 è la tensione in un punto .4 e d è I'angolo di awolgimento, contato positi-vamente da .A nel verso di î crescente
p- qqst?z : I (e)
aulPro ozral I" (e) e1 ero11e opueddnlras le1erra1a q sauorsuel e1 pupb a ,re aluelsol"l ?or? 'olorrrd 3 rad auorznlos
"q (S) e1 ,(ag = 1) osal oîlotu ets olg U lnl q os€l IaN
(oZ < I aqe aluasard opuaual ,0 < ? rad l qurs : /i eaul1 "Uap
eD?'l u : I auorzenba rp e]]ar e11ap rrgerE r opu"ruo'Juot a n fo - I opuauod aJrnpapaluaulo,laEe gnd rs auorznlos ?f,run(un rp
"zualsrsa,l) aluaueuJaTrrnu eJsuruualapqnd ts (o < ,, rad) auorznlos ?f,run rnr e1 'ra '' aruapuars'er1 auorzenberun rp
"lî"Jr rs
p ns "^rlnlosrr
auorzrpuof, "l
elue^rp (Z) et erlueruD-r{sof,D- -6. , O:C
:rroleA I 0 n Q.rad ouerrldrul (f) a1.7op,(c + ;-)uursr? - (c + ;)u"lsn - I
:"ssals eaull "llep
ezzaqtunl e1 a
g: (?)f , 0: (")n
g rad a y .rad eawl "llap
or8Eessed 1ep at"p ouJoluof, I" mor4puo) alopuauodrur O , C ,p r?u"lsol el areurrrrJalep Ip rpurnb
"tleJt IS .g'y Ip o1paú olund1au autEtro uol 'e:n8g IP ou"Isolr"t srualsrs Ie orrrsrraJrJ IJ .?tlpornor arorE3eru.ra6
'[e'l] '[r'r] '[g'l] "Ft",taE auorznlos efiop osnoruer)r"J'rurallsa enp lau ol"ssg ,aluesad oau-a8otuo olg un rp orrqrpnba.llap rsopu€11"1tr
'(oZ = ù osr,l o4ow eBo[g It lw ur oss, f
"relo)tged uy enznleuy'ox,ezveprP e a eTonb
"ssals epe gsod g e V ryund enp u! .ruraJ?se
. v8e o1essg 'd otgnads osad a 7 ezzaqàuny yp'oeue8owo p" eqqlpuelsav! o[g un 1p oytqynb-e tp aúoveJntguoc eI alewwJale1 T.t.Bg
(z)
(r)
IJ1OSIU IZICUSSS
lî{ l?p o?ttols :2.dog 06
Cap.T: Statica dei fili 9t
ia ú si deduce che q - a3/2 (z(t -za))-r/2 ;in questo ordine di approssimazione, laconfigurazione del filo è allora la parabola di equazione:
u : {3.(l ==2o) (r2 - az)' 2o"/2 \"
8s.7.2 Un frlo OB, omogeneo ed inesten-dibile, di peso specifrco p e lunghezza /, è fs-saúo in un estremo O ed è appoggiato senzaattrito su un piolo liscio A, posto aIIa súessaquota di O a distanza2a: iI tratto rimanenteAB del frlo pende liberamente.Determinare Ia lunghezza del tratto AB.
Ponendo ), : AB,la parte di fi lo OA sidispone secondo una catenaria di lunghezzaJ-) .Lungo il tratto verticale AB la tensione varia linearmente con la quota, come seguedall'integrale primo [7.3]; in particolare, è nulla in B, non essendovi forze applicate,e in ,4, vale:
Ta: pÀ (1)D'altra parte, poiché il piolo in ,4 è liscio, la tensione ha lo stesso valore immedia-tamente a sinistra di ,4 (vedi figura) ancora come conseguenza della [2.3]. possiamoquindi studiare I'equilibrio del tratto di sinistra ancora con le lT.6l,[7.7], [z.g], conil riferimento cartesiano come in figura. In base a quanto ottenuto nel preced.enteEs.1 si ha allora:
C:O , D: -o.orh9d.
mentre a è determinata dall,equazione trascendente
(2)
/-) (3)
Osserviamo infine che per la [?.2]
Te: p(ye - D) : -pD (4)
T
A (a,o)
: 2asinh Ia
per cui il calcolo di À è ricondotto al calcolo di a.si ha:
ZI c\,
'olg ll .rad orrqrlmbe rp ruorz-e.rnEguor anp lpupb a ruorznlos enp ouueqIs ! < t rad a.rluaru 'auorznlos "q !s uou I > Irad :o1g 1ap ezzaq8unl e1 lad I eîrurrl arol-€À un rp
"zuel$se.l ef,npep ts (0 < n f o : 7
uot' o7f 7l-: 6 Ip a lqsoeg/1 * ?qu1s : nrp rrge.rt r opueluo.q;uoe ordruase pe) olzrt-Jesa aluepe)erd 1ap o11anb e oSoleue orge.rEolpn+s oun ?p laluaueer.rawnu
"?losF eJossa
ond (S) el aq) aJe/uasso pe 1nb orrrerlrurl rCp
;{soer+-qqst,z-l
aluapuof,s?r1 auorzenbarllep auorznlos (a1en1ua,ra) *l Q o ar{r erolle an8as (p)-(1) "ll.C
!ú !?p o?t?otg :2'dog Z6
!ursd1p7 - zD * "l"d:
\Oo:Y0+p+!1d-
:rpulnb ? :y q auorz?eJ "ll"p
a g' q EezJoJ €llsp '!1d- a1e1o1 osad 1ep alep 'au.re1saezroJ allap eîuellnsrr II olFu
"rs er{f, orJessat
-au ? olg 1ap opqlpnba,l rad 'e1red "rtl?rgand -,) : YO' &Í)+sJ:v11qvA
:rnt .red tg- aa tv6 - Y; aqe lll"Jul eq rs .e.rntg e1rcolueurreJrr uo3 '[g'l] oupA a1erta1ur,1pp, lz't]1 oluoluor Ie euorzrpuoJ
"llep osn J"J
aluar)gns e g' 1p elonb "l
eJ"urrrrJelap Jad
'g e v firlaJls-a ryE et1 e1onb rp ezu"ragtp eI eleu[wrop(I
'qeluozzlro.fins golo?rn vn lp erywpu! D olnpoú rp ezro! euneP g u! o?nuslsos ? pa v ow?rlsa.il"u ol"ssgp '7 ezzeq7unl e d ocgrnds orad rp 'eEqW-ualsaul pe oaua8oano '€IV olg un g.!.sg
(s)
Cop.7: Stotico dei fili 99
[,e due precedenti relazioni forniscono la quota di B:
G-Q.t G-yB=-:-_pp
Gcosp
* * , ' -p'2Gl sin p
(1)
Per ottenere tale risultato non è quindi necessario far uso della teoria dela cate-narial è però orrvio che anche per questa seconda via, che consente di determinarecompletarnente Ia configurazione del filo, si perviene alla quota di B. Le costantia, c, D e I'ulteriore incognita 16 si determina.no con le condizioni: . -
passaggio per A: D * acosh C : Otensione orizzontale costante: ap: GcosFpendenza della catenaria in B: sinh(39 * C) : 1an p
lunghezza del la catenar ia: , : or i rh( f + q -asinh C
Naturalmente si potrebbero scrivere condizioni diverse, ma equivalenti: ad esempioalla terza delle (2) può sostituirsi la condizione:
valore della tensione in B:
Dalle (2) si ottiene così:
c: p(ya - D)
(2)
sinhC - tang - =!-- ; sinh(34 * C) :1anp' Gcosî ' - - - - - - ' . , - t
D : _G cos o, / , * ( ,ur, 6 _ ^_lp ^1,P V ' GcosP'
per cui la configurazione del filo è completamente determinata. In particolare ilprecedente risultato (1) si ottiene richiedendo che yp : y{r: na), da cui segueche:
YB:
--*lttnP
(z)(zl"t,t a ! o)o?(a)o 'o7(ùtj
:aJassa ?or) a ep terlEg elle oluerulJayr uoc 1o1g
II osra^ ezueraJuof,Jrr ellep ello^rr arassa aaap (ezùareJuoJJr) "ll"
al"rlrJou) erggradsauorzsal e1 .a 'osa1 aJassa a^ap olg l\ CV rp olund ruEo ur tapqtssod Ers
"llrJ)sapauotze.rnEguoc el aq)Jad 'yd : ca auorsual
"un C ur arrnpo.rd tp o11anb aluatue*ndopuassa CBr al"f,rtJa^ olleJl lap ottaJa(l 'ezuera;uolrrJ "lls
olet3Eodde CV o11l-r].lolos Ir areraprsuor aleJnl"u Q 'olg Iap "rurunu
ezzaqEunl ellap olollet Iep eug Iy
2I<Yo<ht
:arassa "roll"
a^ap orJ"Jorlu" oluaruoru un elqqe etddoe el ?q)Jad
"Ud - UYd: AI
:a erddor r-ilap W oluaruotu II otuepad
. zf vlv z, zaa: î lFTuu "':(ezuaraguocrte rpoauaSouro o)Je un rp oJlua)rJ"q Ins t'Z'sg(llap oletlnslr 1 rad) alei\ a olJpJollue augul
î gy otg Ip op"rt 1ap osad lap oluaruoru 11 'ollnu g arotradns ezuara]rorrl)Ituas BII"olerEEodde olg Ip eC oIW4 Iap a orsrp 1ap gsad rap olueruoru II erluaru'gydalerra orrsro Q ale)rpa^ olg Ip ollsrl 1ap osad Iap O ps olladsr oluatuoru ll 'Cg : yolsod a al"f,rlral olg Ip op"rt U CA olleq 'errralsrs orarlulsl rad 6 pe olladsroluaruoru 1ap auorzenba.l aleJaprsuor els"q 'erddoc "llap .ru oluaruoru II aJ"lo)lef, Jad
'alrqrssod ers orJg-1ynbe tp euornernBguoc ap\ gt1crad oEI lepezzaq?unl eu4ulu el ?q)uou 'e1onb era[ulwrp euoyztsod eilau e$ y oytqrllnbe lp !uo[z!p-uoJ u! gqcted oJstp p atettldde ep eqeJoll-ue erddot eilep W oluaurorrr I! eJeulwJepe
'O oJlual oudotd 1eourolle elol.ett8 ? o?slp U '@$p F olessy Vo(aalls" ouytd 1y uot'g orZ?ut rp'oaua8owoorsrp un pe etn?g vr ouro? ol!4p ezues oTet8-Eodde e '7 ezzaq?unl a d ocgtceds osad rp
'elrqrpuaTsaw pa oaua8owo olg un p't'sg
!t{ l?p o?ttols :2'dog V6
(r)
r* .tto
Cap.T: Statica d.ei fiIi 9E
Per quanto riguarda il calcolo di ?, I'integra-le primo [7.3] implica che:
f@) + p-Rcos 0: p\
mentre l'equazione [7.5], relativa allaizione n, diventa:
(3)
dire-\
-O(d)-pcosd:0 c ioè:
ìo(d) : , ( ; -2cos0) (4)
Dalle (3), (4) segue allora che le relazioni (2) su ? e O sono entrambe verifi.cate se
^ > 2R. Poiché tale limitazione è più restrittiva della (1), segue che la lunghezza
minima del filo è I : .r?(2 + zn lz).
Ds.7.5 Un frIo di peso tra"scurabile e di lun-ghezza (tr - 2a)R è appoggìato, con attritodi coefficiente p,, ad una semicirconîerenzafissa, di raggio R e diametrc orizzontale. AgIìesúremi A e B del frIo sono posti due puntimateriali, di pesi rispettivi p e q (q ) p), ap-poggiati senz a attrito alla semìcircorferenz a.Determinate iI massl'mo valore del rapportoqfp perché all'equìlibrio A e B siano allasúessa quota.
Poiché i punti materiali.A e B sono appoggiati senza attrito, proiettando le rispettiveequazioni di equilibrio sulla tangente alla semicirconferenza otteniamo:
T4:pcosa. , TB-gcos0 TalTa: qlp
D'altra parte, il filo è vincolato con vincolo scabro, con un angolo di awolgimento(zr - 2a): la condizione di equilibrio limite [7.10] implica allora che il massimorapporto dei pesi è:
qlp: TnlTe - 4t(t-2a)
r(0)R
'auwu ouqfilnbe lP lvolz-lpuor u! epln8 eile oglttodde ernwu aqcoW lp olle4 pp ezzaqtanl eI ereurwrelog
'q ezúe$-!p e V tp ollos ry p eTsod 3rl eguengeoclp seJqe?s e[e$rozzyo eplnE
"un ns e8&od
-de rs " V oureJlsa.fieu opssg q .lezzeqîuny
e d otgoeds osad 1p 'egqypue1nw pa oauatewo olg un seletrgtez. oueld un a7 t L.Eg.
.(a1ue1sor elonb "
olg II opùassa ,[g.l]ourrrd a1erEa1ur,11ep aqf,u" an3es aluelsor stsJ aqr otî"J II) 'nlottd ._ J el€̂ a olg notunl eluelsol Q J oluts1.rad .u7f7 - t uot
O:d -r?uls6' O:psolO - 1, O: 3 J. TP
:"roll" oru?ruello [9./,] ere"uFt-ul "ural "ilns
alellarord ouqplnbe rp 1uolz-enba a11eq 'epluozzrro ouerd un q ? o1g II'ezuara;uourf, ?un opuo3as olsodslp opuassg
'o1undons Juto ul oH 1ap euosuel eI eJeulwrap1
'a etnTtadetwesrp
" elez!y"^ ess'" Ip oller ouo) an lp apg
-radns eile "lueure-alelse
opyàEodde ,ezuateg
-voJ4J eun opaolírs o1e€teqle oyqygnba uyq td otgpads osad a 7 ezzeq?unl rp .oaaa3-owo pe eilqlpuafsau.r 'osnrr;r oIg vn g.l.sg
It{ l?p o?ttaîS :2"dog S6l
l;tl ,'
-.:?
_.__1--
Cap.I: Statica dei fiti gT
Denotiamo con À la lunghezza del tratto ap-poggiato, che indichiamo con BE. Incondi-zioni di equilibrio limite, la distribuzione diforze è quella indicata in figura, per cui:
Tp = p,p\ (1)Consideriamo ora il tratto di filo libero .4.8.Con riferimento agli assi di figura, abbiamole seguenti condizioni per determinare le in_cognite a, C, D, rg, Tg:
passaggioper A: D*acosh C:hpassaggio per E: D + acosh(2 + Cl:O
'a t
lunghezza: I _ À : asinh(19 + q _osinhC
tensione in E: o: ltp
pendenza in E: sinh(I9 * C) :6Dalle condizioni (1)-(?) segue allora che À è soluzione d.ell,equazione algebrica:
A2-2^(t+ph)+t2-hz:oda cui, tenendo conto che deve essere r ) À, r ) hrsegue l,unica soruzione:
(2)
(3)
A: l* ph-\ lLz(JTó+zt lhNoto l, gli altri par4metri introdotti sono dati da:
a:-D:pÀ, coshg:Ll_h*^
t tE:
OSSERVAZIONE
All'equazione (A) si può pervenire più rapi_damente utilizzando I'integrale primo [2.31.Infatti dall'equazione del risultante vertìcaleper il tratto libero .48 sì deduce che Tau :p(f - À) e quindi che
Ta- pn( l -Aj2apzoz1zPertanto la condizisn e T6 - Ts : pÀ diventa
f f i -pp\ :phequivalente alla (3).
-tt^C (C < 0)
I{go.: r) s lld: (g/cd)qurs I'ortgryrnba rp ruourpuoc ut'apm8 eilep O eu
-orzasrelwJlep g lp ezlJ|e9.stp eI eteururrels(I.ú aleluazzuo e^tlle ezJoJ eun
acsr8e g oure4sa;1ns .eleluozztro eJt.leJ ae[eJtlJ?A eun ,alsq aptn8 anp e lWIoJu!^ g
" V rrrre4se lF eq ,1 ezzeqtunl e d otgoedsosad rp toaua8ouo olg vn g.t Buralqord
Id:rl.ouqryrnbe tp tuolnpuot w elonb
srzrrsssrrr rp auomrsod eilau erc g gqctad q ryeJoIeA U areunrrJayep .o1uq1e tp ezuas* uI
'ZlAu ezzaq7unl a d ocgneds osadrp'oaua8orao ? (IV oW U Z.! Buralqord
l(slqsotg : neluapuaf,s?J1 auorzenba.llap auorznlos
"crun(l q /i a elonb "ssaîs "lle arassa ouo^ap g e y I
'oltqyrnba rpauorzetn8guo) e)urn.un eq ls eq" areJglJa1
.a1traurvJaqq apued a rg ot88et rp?Jelozrlr olgotd un pe ory4le ezues o1ertfiodAe q 7f gtt, - 7 ezzaqtuq lp ,gV e3qlpuaq-eq pa oauatowo oH vn T.l BtualqoJd
aàil$-*t'1
It"Jt
ilr{
t
IISOdOIId II^[gTsOUd
lN gp D?t?ots :2.dog
ìl-
Cap.T: Statica dei fiti 99
Froblema 7.4 (Jn semicerchio omogeneo,di nggio R e peso q, è incernierato ii O edè mantenuto in equilibrio col diametro oriz_zontale da un frlo amogeneo, dì peso specifrcop e lunghezza rR, frssato in O e tirato in Ada una forza verticale F.Determinare ìl valore della forza ed il mas_simo valore di p perché tale configurazianesia possibile.
I F : (c + pnL)lz; pmas, : clR(4 - ") I
Problema 7.5 (Jn'asta omogenea AB, dilunghezza L e peso q, è vincolata agli estremia due guide, una orìzzontale e l,iltra verti-cale. In B è frssato un fiIo omogeneo pesantedi peso specifrco p, che ha l,altio esúremo jî,s_sato nel punto O di incontrc delle guide.Determinare Ia lunghezza I del fiIo affinchéin condizioni di equìIibrio l,asta formi un an_golo dì r fB con l,orìzzontale.
I , : f t " i^hry-#l
Problema 7.6 Un disco di raggio R puòrotolare senza stfisciare su una guida iriz_zontale, soggetto ad una coppia antiorariadi momento M. AI suo centro è fssaúo 1,_estremo A di un frlo omogeneo pesante dipeso specifico p e lunghezza l, che ha I'altroestremo B fissato alla stessa quota di A.Determinare Ia freccia del frIo in condizionidi equilibrìo.
I î : 6/4M, + t, p, R, - zM) lzuel
î'l r
r"
l8
I4q.q= L = rl 'Pd " t7'.VEPP
ezr:naqlp elqqe g soytqlgnbe lP laolqPuú u!,?WuWe oW PP 7 ezzagtuq eI ereulrnta?€Q
: g apluozzlto ezJo! eun Pe ol}ettos 'yrad aluesse d epsyl aleluozzgo epya8 evn PeoleIoJurl'g orret1srrl a ossg V ovra.4sra; erl.1ezzerqtun1 a d ocglnds osad 1p 'agqypuags+lv! pa oauetowo olg un 8'l erualqord
Í (tlu" - zl*q - u + ry)! = vt' '-(nluu-ùagf:tl'v
rrJ auorsual el ?r1ouou 'glu lP o)Ís- un nd o1go.rd;ns fiEodde F oIg $'oJ'rq;;pba W ryolslP-uor ul '?rpugfe g IP oInPoID f ereulEJa?B(I
'úepluoz
-firo esJoJ ean Pe o11ettos tI oÚe4fi.l eqpe 'o4e qrgd olund leu of"ssg V ov'atltèJ uor;o""g i oltql a;rlpttlt olgotd un ns.eyîtoddep'Tezzaqilanl a d ocg1nds osad Jp 'ayqgpuels-arr! p" auaaouo olg un l'l Btualqord
Iú l?p orllrrîS :2'doP 0OT
i,,' ii]$
TfitiII
-TII- lII
Cap.,8
Principio dei lavori virtuali
Si può utilizzare per lo studio dell'equilibrio di sistemi soggetti a vincoli perfetti(lisci o di puro rotolarnento).Per vincoli bilateri assume I'espressione:
N6*L: f" ,xó4-o VóPi,
d=l
con F; risultante delle forze attive agenti su JD; e 6p; spostamento virtuale di p;:Il lavoro virtuale relativo alle forze applicate a ciascun punto P può essere espressosia in forma intrinseca:
F x óp: lFl lóplcos0con d angolo tra F e óP, sia in forma cartesiana:
[8.2]
FxóP:F,6r*Fr69*F"62 [8.3]
dove argrz sono le coordinate cartesiane e 6s,6yr6z i loro differenziali.Il principio dei lavori virtuali è pa^rticolarmente significativo nel caso di sistemiolonomi: il lavoro virtuale, espresso in funzione delle coordinate libere gr t . . . t gn edei loro differenziali 6qt,... ,6qn, aÉrsume la forma:
6* L: D q*(ot , . . . ,Qn) 6q1,lc:1
e, dovendo essere nullo per ogni scelta di dgp, dà luogo ad un sistema dÌ n equazionipure di equilibrio, indipendenti, in numero pari al numero di gradi di libertà, delsistema:
Q*(qr," ' ,9n) : 6 (k : 1, . . . ,n) [8.51
[8;r]
[8.4]
'(rr'"g tp"n) o > T*g :o'r111sod sls uou auotzernBguoee1?appns
"llep afilr"d " Ilenllega llueltrelsods e eluapuodsruor el?nlJl^ oJoÀ"I II
ar{f, eJ")grJa^ eÌuarf,gns e (O ? Ióg oldrnasa pe 'rllqtsrar'eJrl tuolzelJ^ ouueq rs rró
otu"rf,rp ,eleurprooe eun ouaurl" :ad qenb a11au) ueuguo) IP, ruorzernEguol tleleadsrad ouqrilnba,11ap "zualslsa
rp ??rlrqrssod e1 areururesa rad '1pu1nb 'artloltlred u1'A > 7,g rnc rad a11anb alos e allnt otrqtllnba 1p luolztsod
ouos rl"nlJr^ rJo^"I rap ordrrurrd I rad 'ua1e[un qo]ul^ e o11a8?os ? ?ulatqs il es
gNolzv ugsso
09 C:7,9
:Q O oluatuoru 1p erddoc "un
IP alenîJIA oro^sl
uI 'apJof,uof, osJa^ ul llunss" ouos oy'{ a'auorzelol 1p oloEue'9 alop
[rra]
p'are1orr1.red
lorsl090w+c9xlr:7*9
:?îrrroJ e11au ergllduras Is [6'8] auorssardsa,l 'ouetd ost) IaN'6l olod
1e olladsrr a?uellnstr oluaurour Il Q oI11 a eÀIî13 ezroJ ellaP aluetlnslJ II ? U e^oP
[o'e] txoItr+ogxll:7*9:3p
ossardsa alassa aqrue ond onir' odror un pe alectldde ezJoJ ellep al"nlr,,, oJo^el II.(1.dec nan)
"ursa?rugur auorz"lor "l E t a odror 1ap olund un rP aFnlrl^ olueu"+sods o1 ? 09 a^op
[e'e] {o-a)vt*og:dg
:opt8tr otulsallugut oluaurelsods ollap elilIrJoJ el uo) oî"1of,1"f, alessa
gnd opr3rr odroc un P" atuaualJedde 4' olund un IP d9 alsnlJl^ oluauelsods o1
rbgîfr
:rpulnb Q {ó eleulProof, el oPuof,es "^I}1"
euolue}If,allos ellaP {@ aluauoduor pEg
I:{
útf :r*s
rl"nlJr^ rro^el r opusrrnuos a aJaqq eleurPloof, el "tlorr "lls "un
oPuslJsir olnuallo
aJassa gnd alenlrrl oJolel II mlouolo lulalsls leu :auolzlsodderrros rp ordpupd II ale
:rlnuello tso) ?19
Cap.8: Principio d,eí lavori virtuali
TEOREMA DELLA STAZIONARIETA, DEL POTENZIALEse il sistema è olonomo, i vincoli perfetti e bilateri e le forze attive conservative,con potenziale U, si ha la condizione caratteristica di equilibrio:
6U:O
se il potenziale è espresso in fùnzione delle coordinate libere:n equazioni pure di equilibrio sono:
AU;-:Qoqh ( /c:1,2. . . ,n)
[8.12j
U : U(qr," ' ,8n), le
[8.1s]
Potenziali delle sollecitazioni più frequentiForze centrali: se F è una forza centrale, di componente radiare ]r(r), il potenziareè:
tr(r) : f' r6y au [8.14]ln particolare si ha:
forza elastica tr'(r) : -lv .+ U(r)forza coulombiana F(r) = + =+ U(r) :
Forze di direzione costante: se F : r(vD è una forza di direzione costante i,con componente dipendente dalla sola coordinata corrispondente y, si ha:
u(v): lu ,pyo, [8.1b]
forza peso F(V) : *p =+ U : *py .,-s\
dove il segno * corrisponde ad una scelta della quota y in verso concorde alla forzapeso, il segno - ad una scelta di gr in verso opposto al peso.coppia : se il momento di una coppia, di direzione costante, ha componentei11'1 : M(0) secondo tale direzione, il potenziale è:
S0U(0):11 M(u)du
J [8.16]
I
: - !kr ,2
_9r
In particolare si ha:
xIII
lrt:-t
ttII!
lorsl
[lt'e] L=")
"r#!*,"-o:r*e:"urroJ e11au ossardsa alessa lpurnb gnd a1en1r1'r oJo^el g 'auorzeltrallos
ellap e^I1€̂rasuot alred e11ap aletzualod 1t zP uor €llpq Is eS 's^11€ Jasuof, ezJoJ
allap e1*g olnqrJluo? un IP a a^Il" resuol uou azJoJ allaP I?'9 olnqllluoî un IP
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ESERCIZI RISOLTI
DÉ.E.I- II sistema articolato di frgura (pan-r'44:afo) è costiúuiúo da quattrc a.ste OA, AB,h{ E, N H, di rispettive lunghezze 2J, Zl, l, l,con M e lI punúi medi rispettivarnente diOAe AB- II srsúema è posúo in un piano orizzon-úale, coa O lîsso, ed è soggetto ad una forzaÍ applicata ìn B e parallela ad AB.Determìnare Ia forza f da applicare in Hperché iJ sisúema sia in equilibrio in una a.s-qnata cohfigurazione.
Si può osservare che lo spostamento del punto.U. poiché per ogni configurazione si ha:
T! '
Cap.8: Principio dei lauori virtuali 105
,r /
B è il doppio dello spostamento di
B - O :2(H - O) =+ 68 :26H
Dal principio dei lavori virtuali si ha allora:
6* L:F i<. 68 +f ;6H: (2F + f ) x 6H : oda cui, per l'arbitra^rietà di 6H, segue che f : -2F.
/8s.8.2 .[Isisúema biella-manovella di frgura,costituito da due aste omogenee di ugual lun-ghezza I e peso p, è posto in un piano verti-cale. Al piede di biella B, scorrevole su unaguida orìzzontale liscia, è applicata una forzaF.Determinare Ia posìzione di equilibrio del si_stema.
Il sistema, soggetto a vincoli lisci, ha un solgrado di libertà, caratterizzabile con la coor-dinata libera d di figura.
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ggx.{+^I9xd+Wgxd:?*9
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Cap.S: principio dei lavori uirtualí .tOI
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(z) o: xg gl + n9 + I urs z9 - : lsor rî9
:aJellnsu 1pulnb arrap lpg " eleurJou I" opuof,as aluauoduroc
ltnEn ouerqq" oîleluoJ e ldror anp rep 11und lap rl"nlrrÀ rluaurelsods qt aqr auodnrrl7 uI olleluof, rp olof,ura g 'oloEuelrt lap a olelpenb lep eluerrrQ^r11adsrr rJolels?Jltluaurelsods rlEap rleurpJoof, rss? r1E opuoeas rluauodruoc al ouos frg a tg alenb e11au
frgd - x9 t-
:auorssa.rdsa aluanEas "[
ertrnsse aFnlJrA oJo "l
p .g ezroy e1 aelerpenb surur"l e11ap osad Ir ouos oro^el ouorduor eq) a^rlÌ" azroJ arl)run al gr{]rod
'oltqrynba ur'srs "rlTalsrs ll ?Vluge I
tp erop^ IÍ eJeunnJelep ,g1t77e rp ezuosse uIzrntg ry 1
e[eluozzrro ezJoJ eI eyeuldde ? g vI .r apl-uozzrJo assz,; oEun; elolauloJs ? DZ oryl rporcTeynbe o1oíue1t1 lp ewJoJ e eurrrrel el ?r?-uew 'fr ale)rl.l:el eplnt ey otanl
"Io^eiloJs ?'o o7e7 a d osad rp eeua8owo. etntg lp el:-Jp-enb eurwel eI elerryreA ouzrd un u1 p.g.sg
i
ilIItlI
6rh:R 6,p-r
Sostituendocosì:
Cap.8: Principio dei lauori uir,tuali I0g
De.8.5 NeI sisúema di frgur4 posto in unpiano verticale, ìI disco di centro A (peso7t, raggìo r) è gircvole attorno al suo centîofisso, menúre il dìsco di centro B (peso Zp,taggio R) può rctolare senza strisciare lungof'asse yerúicale y. Sul disco dì centro C (pesop, raggio r) agisce una coppia di momentoMs.Determinare i momentì Ma e Me delle cop-pîe da applicare úspettìvamente ai dischi dicentri A e B affinché iI sisúema sia in equili_brio.
Si possono scegliere come coordinate libere I'angolo 0 di rotazione del disco di centroz{' e I'angolo g di rotazione del disco di centro B. Indicando con y un Íìsse verticaleascendente e con ry' I'angolo di rotazione del disco di centro c, il lavoro virtualedelle forze attive può essere espresso nella forma:
6* L: MA60 i Mc 6ú _ p6vc * Mn 69 _ 2p6yB
Il rotolamento senza strisciamento del discodi centro B sulla guida verticale comportache sia: .h\
.B
\4,tlfro \V.A
S--?rò0
, t-.1
6pt
Klre\\#
(1)
6Yn : R6p
mentre, in virtù del non strisciamento del filosul disco di centro C, dalla legge dello spo_stamento rigido del disco si deduce che:
(2)
!oe2
^ I . i ' .6yc:R6p+ir tg , r ' - "
2 I " ' t ' - ' a ; ' " ' - ' '
tali espressioni nella (1) e raccogriendo rispetto a 60 e ó9r si ottiene
6*L: (Mn-**" - f ,oO, lo +(Me -2pR* ù": - .pR)6p (3)Applichiamo ora il principio dei lavori virtuali, imponentlo che la (3) sia identi-camente nulla per valori arbitrari di 60 e ó<p, ovvero annulland.o separatamente
.t,lîZ >î/ arasse IPuInb 3^aP (olrqlllnba 1p auotztsod el"l "lqsa
grpUSY
-0uts + o:(0)ú
:auorzenba,llep ruorznlos al alos a a$n} ouos oFqllnba tp tuotztsod e1 a
(otorrll - 0sof, 7)d: xftd I Hftd: I's
:a^IllPPe lluelsof, rl"rzuassaul IP oualu e '1pu1nb ale^ /? alelzuelod p
(psorl * Bloa'1 -'ù1: "nTr:'n ( psor \
* t '"'u
-q - Hn
:ouos els? eileP FluallJBq IaP x6 a rrft alonb
al.ernBguIo}gf,Ipul9o1oEue.1"raqll"}"uIPJoo?auorbpuarunssY.elslzualodlap
?}alJ"uolz"tssIIaPslueJoa}11a.rerr1ddeo1ue1radgndls:?Àtl"ÀIasuo'"^I11"euolz"}-lrallos e pa rtsll IIo)ulA e o11a33os a (Rlraqll rp oper3 Ios un IP oÌ"loP 'eualsrs 11
-ysod e1 aleutrrrJa?eP
'otrqrftnba lP auotz
'ogu11e lP ezuasse uI'epl.n8
adt + "N;-
Iep eJeqll al"ulPJoot al oPuo"as
aI egareJlua eP q ezue?srp e ogsod g o1o1d
un ns eàEodde rc a fr e1el.rqal ePmE eun
ns eJaJJof,s e olelo?ut1. v oÚre4sal eII gv
elsr..I "Jluaú'x eleyuozzuo epln8 eun ns "lot
-?rJoJs ? cg lP c oÚÉ4sa.7 'g flt er?rur"?
" e7"a"11ot ouos'd osed a Tezzaq?unl 1'z'n8n
lp , cg a gy ae:ríeao$rc else enP e7 9'8'sd
n9 +'wtr:ow:alddor allap llueruortr r fsof, ouoBuallo 1s leualsrs
*ni*1. auolzellf,allos "llaP a6 e efi tluauoduoe a1
- dAI
rpn:rlrn rtoool r?p otdtcurt1 :g'do7 OII
rl
iI
Cap.8: Principio d,ei lauori virtuali lll
8s.8.7 In un piano verticale, quattro astedi ugual peso p e lunghezza I sono incernie_rate tra loro e, in O, allresterno.Determìnare il valore del momento M dellacoppia da applicare su OA e quello della co_stanúe lc della molla per assicurarc l,equilibrionella confrgurazione di figura,
Il sistema ha due gradi di libertà: si possono
uguale a metà della quota di B:
1y: ; ( lcosd+/cosp)
Pertanto il potenziale [/ assume l,espressio_ne:
U : 4py - Ir"' : 2pl(cosd +cos p) - kl2[t + cos(p _ 0)]Il lavoro virtuale di tutte le forze attive è quindi:
6*L: M 60 + AU ̂ - aaòo Òu * *0,
: IM - 2pl sinl _ kt2 sin(p _ 0)] 60 + [_zpl sinp + kt2sin(p _ o)] 6ePer l'equilibrio devono quindi essere soddisfatte le equazioni:
M - Zplsind - kl2 sin(tp _ d) : O-2plsinp * kl2 sin(p _ d) : O
In corrispondenza ai valori d:0 e p : l.^llsi ottiene così:
k :? , M: / ipt
assumere come coordinate libere gli angoli de gr che le aste oA e AB formano .o., l. verticale. Il lavoro virtuale deila coppiavale M60' mentre il lavoro delle forze peso e della molla, tutte forze conservative,è facilmente calcolabile come differe.r"iul" del loro potenziale u.L'angolo ry' di figura è uguale u (p _ e)/2 ela lunghezza s della molla è s :'ZI ro"((, _E12).La quota y del baricentro del.irìu_u,posto all'incrocio delle diagonali del rombo è f;
0 : (r + A)b * gsoe (, + U)(n + a)- : (e),í)
:opq111nba rp euolzlpuor ?l ?q?lod
gU + a)b * puls (r + u)(r * d)- : 17:"P
ossardsa rpurnb "?lnsrJ /l al"rzualod g 'eag11pp" eîuslsof, alerzuassaur,un Ip ouaur ?
G-eurs)(.rag):Òfr,
:auarllo rs eurrrrJel e aururJal opue.rtalul
Ag {r + A) - egpsor (.r + U) : Hng : bfrg
:o1ue1rad "llnslg 'ggQlF + U)) al"^ r eretuaruere euorz"tor
"l eq? opu"prof,rr ,(C - g) v t* gi : Hg
auorz"lal "l alu"rpetu osserdsa lT lp olueur
-elsods ollap euorzero,rd aruor "1elof,l"f,
auer^aluauodruor a1et :olslp lgp "ll"ls Is olg il1nr ul ll olund 1ap e11anb e e1en3n q @ olundlap eltsnlJl^ oluaurelsods onep Ò69 eleqlr"r'aluauodn:or
"l 'olg Iap Rllllqlpue1saulrl red
i bfrb.-0urspag)d-:n
:al"^ al.rll" ezroJ allep alelzualod 11 'el"îuozzrJoauolzarrp EI uo) eruJoJ eprn8 e11ap oJluaf, p aluaEunr8uor
"l aqr g olo3ue.l
"JeqI eÌeulpJoof, auro? ?urnsse rS 'elerzualod lap ttarr"uotz"ls ellep ?tueJoel II a11q€]-11dde oluepad ? :a^rlslJasuof, e^rlls ezroJe a 111e;rad rlof,ur^ e ollaBEos e "ural$s I
'elelvozzrJo(1 uot V f u, 1p olo8ue an rurroJFtu"r 1 apa?uny7uo? el opqylnba lp luolztpao? ut gqctad d yp etoyer I! e:r.ulwra:r,7
.b osad un ??FueJls€.fie enJ
"W olg un oUoAAe ? ossa Ip nS 'g oy88et
rp slleloa.ll:twas epm8 ?un ns alelosrrls ezu?selolor t ot88et a d osad lp orslp an 8'8'Bg
qon1"rr;r uoool op otdtcutt4 :g'dog ZTT
Cap.8: Principio dei louori uirtuoli 113
d.eve essere soddisfatta per d : rf 4, devequindi essere:
p: q(rt - L)
8e.8.9 La struttura aúicolata di figura ècosúiúuiúa da cinque a,ste di ugual lunghezzal, in equilibrio ia un piano vertìcale con Csu.lla verúicale per O. L'asta AB ha pesotrascurabile (puntone) e Ie altrc, omogenee,hanno ugual peso p.Determinare I'azione del puntone AB.
Per determinare I'azione del puntone "48,eliminiamo I'asta sostituendola con le azioniche essa esercita negli estremi.Trnpostiamo il problema come problema in-ve$io: vogliarno determinare il valore N delleforze in .A e in B perché si abbia equilibrioper 8 : rlfi. A questo punto poni"-o il si-stema in una generica configurazione, carat-terizzata dall'angolo 0 di apertura del romboarticolato; essendo le forze peso conservative,il loro lavoro virtuale è semplicemente la va-riazione del potenziale U:
6* L : 6U : 6(4plcos0) : -4plshfl 60
mentre il lavoro virtuale delle azioni del puntone è:
6*L: N 6x,s+ (- I f ) 616:2N 6( ls in0) : ZNlcos0 60
Si ha allora equilibrio per i valori di 0 per cui ó*.L : 0, per cui:
2Nlcos0-4pls ind:0
Ricordando ora che 0 : r 16 e che I'incognita del problema è N otteniamo:
f, l : L,{z'
'azI o i 0 :auorzrpuor ell"p elsodrq'rlarnered ns (7f t-r)d<{ auorz"îmrl
"l uol
dz-tl:gu(v - v)d
:ar{r eroll" anEas g : (t),O auorzenba,lleq'eluslsos elonb
e oJluaf,rJ"q ons Ir opuas sè 'go of,Je(1ap osad 1ap aprzual0d Ir o1+lJrs ? rs uou alop
"(r + st. - ug)01*
"(, - az)ol +
"rr1!- : I
:?roll" aa^11?" ezroJ allap ozr.rssalduoo aprzualod l\ lgfr , gO ,OV rîl"rl lau olg I opuapr^tpolg Iap osad 1ap alerzual0d Ir oul"rlo)Ier 'e110ru e11ap ezzaq?unl
"l r uof, oprl"rrprrI
I'"ufalsF IaP
oltqrlrnba rp euovleJntguoc el eleurwJela(I'o
lp ogos lp p AZ e1onb e oTsod p oyund unpe q ?yre1sol rp enow eun uo) oge&elyot q y'otaqg ? EI otn"Jlsa.T .g oy?Eet e O orqr;o tp
"ssg "Ioonfi"3 ?un ns aJ?trsrJls ezaas er88od
-de gs 'g.g ezzaq?unl e d ocgtnds osad tp , gyoaueàowo pa eqq;puelseu! o[g un OT.g.sg
- .dz,: ^I
:epsl"p ? urnBg rp
"rnîlnrls e11au (apqern)serlosad rp
" ùLlezneqEunl p olg un rp euorsuaîe1 oraaao) CO "ItJr-ill lep euorz(l eql elueur-loaaEe "f,grre^ rs,o3opue ollnl lap opour r{J
gNolzY ugsso
!îonyln uoool np otdtcutt1 :g.dop tfT
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Es.8.ll In un piano verticale, iJ sisúema difrgura è costituito da due aste omogenee O Ae OB, di ugual lunghezza I e pesi rispettivip e q. Esse sono ìncernie:rate a terra in Oe sono collegate da un frIo AB di peso tra-scurabile e di lunghezza costante l. II frhopa.ssa suI/'astremo C di una parete verticalefrssa OC , di altezza l, alla quale Ie a.súe pos-sono appoggiarsi ma che non possono oltrePassane.In assenza di attriti, determinarc Ie posizioniili equilibrio del sisúema.
Cap,8: Principio dei lauori uirtuali 115
c^ |
-x{\
o lc
\t/
B
o
Individuiamo la configurazione del sistema, supponendo che il filo sia sempre teso,con I'unica coordinata libera r:TC.Osserviamo preliminarmente che, per la presenza della parete verticale OC e perI'inestendibilità del filo, si hanno due configurazioni di confine, in corrispondenzaalle quali gli spostamenti del sistema sono irreversibili. Nella prima configuraaione,I'asta o.4 è verticale, appoggiata alla parete, mentre l'asta oB è inclinata di r13sulla verticalel in corrispondenza si ha:
x:O , 6r)O
Nella seconda configur azionersimmetrica rispetto alla precedente, l'asta oB è ap-poggiata alla parete, per cui si ha:
r : I , 6c(0
Escludendo per ora I'eseme di tali configurazioni, ricerchiamo eventuali posizioni diequilibrio con 0 ( n 1 l, per le quali gli sposta.msnti sono reversibili (62 di segnoarbitrario). Essendo le forze peso conseryative, possiarno far uso del teorema dellastazionarietà del potenziale nella forma [8.13]. Con riferimento agli angoli 0 e 9 difigura, si ha allora:
U:-paT-qyKIt: -Picosd- l rcosp
Poichè per il teorema del coseno è:
12 : 212 (L - cos 0) ; (, - c)2 : ztz (t - cos 9r)
'À
ilj*j,:
.t
else er!1e, 1 troe'alared e11e elerB'odde q alse "r,n ;f :ffìJitJ,:1#:JtTJ:::ier{eqe ogrqllpba !p ou"tlnslr aqe 1pu1nb our€rpnlf,uoJ ,euorzrnlur(ll" elueurerrrJÒJuoC
z O>x97:T*9
lpnyla Uoîtù1lxp'6$1tugr4 :g'dog gTf
:' :.:"qrs0)qg'î-rradeqra
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:?q ls 0 7'og 'O - s rad erlf, etueu{oira?e ourerqrglJa^
rsl(r - t)b+ - za&l: ,1*s i t9 [(r - ilb: - rd=]: T +g Itri,-:..:I ropuessg '0 > ?*9 ?rl rs assa uI arlf, eJ"f,grJaÀ eluor)
[-Uns e orrqtpnba,lep ezuelqsa.l al?ultqrelap .rad'111q1s.raia.rriduos lluaurelsods g1tl'?tittod 'a$IJ"sap olueuraluapalard euguof, Ip luolz"Jn8guoc anp a1 ele oru"rzzq€uy
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:a lllpps llu?lsol ll"rzuassaur Ip ouaru e'aqr anEas
rF
ilqrú
ffiPROELEMI PRCIPCISTI
Protrlema 8"1 L'asta arnag,enea OC, diIunghezza I e peso p, è fissaúa a cerniera in Oe collegata a cerniera con I'a"sta AB, di peso3p e lunghezzaSl, netr punto C (con CB : l).II punta D dell'a"sta (con AD : ,) è scoîre-vole ìn una gwida verticale passanúe per O.Negli esúremi A e ts dell'astasono /îssaúe duenîasse puntiforcni di peso p ed il punto Bè coltregata ad O da una molla dÍ costantek.Calca|are Ie posìzioni di equilibrio del sìstema.
I sin d : 0; cos 0 : 2plkl (se 2p < kr) ]
Froblema 8.2 In un piano verticale, I'a-nellina P, di pesa p, è scorrevole lungo unaguida verúfcaJe ed è collegato ad H da unamalla di cosúanúe &. Esso è inoltre scorrevoleIvnga l'a*sta OA, di peso p e lunghezza l, in-cerníerata in 0 (OE : a).Determinare, in a.ssenza di attrito, iI valoredÍ k perché íl sisúema sia in equìIìbúo conI'asúa incfin ata di r f 4 sulla verticale.
I k : p(t + +'/za) l+Jiaz I
Problema 8.S NeIsisúema articolato di fi-gura, l'a.sta AB, di lunghezza2l e peso 2p, èinfrIata ne| manicotto incernierato in C, bnsto sull'orizzontale per O a distanzal da esso.Determinare iI momento M della coppia daapplicare all'a"sta OA ( di lunghezza I e pesop) affinchéil sisúema sia in equilibrio con O Ainclìnata dì 2a sall'orìzzontale.
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o W orpou oyund ons lau eTetarutecut e 317ezzaq8unl
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Cap.9
Dinamica del punto
\.TEGGE FONDAMENTALE
.\
In un sistema di riferimento inerziale, la legge fondamentale della dinamica delpunto materiale è tradotta dall'equazione:
rna:F+O [e.1jdove m è la massq a l'accelerazione, F il risultante delle forze attive e O quello dellereazioni vincolari applicate al punto. Queste ultime non possono essere assegnate apriori e costituiscono degli elementi incogniti.Dia'no qui di seguito le proiezioni secondo le terne più comunemente usate.
Terna cartesiana ortogonale fissa
mÈ:Fr*Q, , rnù:Fr*O, , m2:F, lQ.
Terna intrinseca
[e.2]
m5:,Fr*Ot , mà2fr :Fr*Oo , Fu1-Oa:0 [e.3]dove s è I'ascissa curvilinea misurata lungo la traiettoria a partire da un puntoprefi.ssato e r è il raggio di curvatura della traiettoria. Questa forma dell'equazionefond"mentale è prevalentamente usata se è nota la traiettoria del punto.
Coordinate cilindriche
m(F-p02):Fo+iDo , *bà+2òù:F,+Q, , nE:F,*e. 19.41
.**/*
x^v(o-d)
:oloru IP ?illu"nb "llaP oluauoltr IaP
ass?(llns auorzaroJd "l
aluelsor e?lnsrJ tasse,llap olund un O uof, a al"IJal"u olund
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oTund pp.rr?truvutg :6'dog OZ1-
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Cop.g: Dínomiea del punto I'L1-
Conservazione della velocità areolareNel moto centrale si conserva la velocitàr areolare, per cui:
p2il : cost.
dove p e d sono le coordinate polari nel piano del moto.
[e.10]
fntegrale dell'energia
Se i vincoli sono fissi e lisci e le forze attive sonosussiste la relazione
T-U:Eche può anche scriversi nelle forme equivalenti
conseryative, con potenziale U.
[e.11]
Tt - Ur : Tz - (Jz oppure L,T : L,U [o.rz]dove gli indici 1 e 2 indicano le configurazioni del punto a due istanti successivi. Laquantità T - U è detta energia meccanica del punto.
EQUAZIONI PURE DI MOTOsono equazioni di moto in cui non compaiono le reazioni vincolaril per determinareil moto del punto è sempre necessario ridursi ad equazioni pure- euesto obbiettivopuò essere raggiunto o mediante procedimenti di eliminazione delle reazioni vincolari
. dalle equazioni di moto oppure mediante rice'rca diretta. Tutte le equazioni diconservazione precedentemente illustrate sono esempi di equazioni pure deducibilidirettamente.
VINCOLI LISCI
In vincoli di tale tipo, la reazione vincolare non ammette componente tangente/:l ",t"t"t: .
si ottengono quindi equazioni pure di moto proiettand.o l,equazionel: Iondamentale nelle direzioni tangenti al vincolo.r
VINCOLI SCABRI
La reazione vincolare ammette anche una componente tangente al vincolo, che èsempre diretta parallelamente alla velocità del punto rispetto al vincolo e con versoopposto ed il cui modulo è dato dall'equazione di Coulomb:
lor l : / loivl [e.13j
sulal$s lap llund Irî1" IIE uol otund lap trolzsJalur.J ouof,npeJ? aq] ("rualsrs I" euJelur .ezroJ a1;ap a ossa pe alerqdde aîueu ll1allp ?ruel$s I3 auJalso ezJoJ allap euorz?.r o110s .o1und oJoturs ruEo alueruele.red ls oPu"JaPIsUo) elezzrleus alassa ond rlerraleru rlund rp srual$s un rp sf,rureqp e1
IJNNd IO IWSJSIS'oilnu aluaruetrîuepr Q sl oulurral ll rfrrx ouerd 1au "rs
oloru Ir Jc opuauoddns '[r.'o] "rJau "]ep "f,i]aurf, erEraua,gap auorssardsa ezror aeun.rd elJau tloul '1u'u, a [e'o] '[z'o] Fuetsts rau auorzenba erur11n,r e]r"Jslppos aîua,oesrluapr tu"îlnslr 'ouerd lau [T'6] "Jrep ruorzarord anp er ouos eleruaîrrepuog euorzenba,llap tlecgru'rs rluauoduror a1 'ouerd ua ur aEJoas rs oruerrrraorrr I! rn3 uI ruralqo.rd ra4
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auer^ ?1rur tuor ereÌ rnf, ur euorzlsod eqau 1010cura J1 0puelladsrJ e^onur rs olund [ .o.ra1e1runttrut^ IEP alrq?lrf,Jasa e11anb e aruJoJuo) ? euorzal el"l ?rpug :eJ"lo)ur^ euorzsal PJolrer rs a olund lep otua*I^our [ "urrtrJalap rs ,oralepq orof,url r olsoddng 11"1s os".) g rad g'de3 Iau oîelrp'' o11anb e oEopue g arrn'as
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oTund I?p D?rutourg :6.dog ZZT
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ESERCIZI RISOLTI
Es.9.1 ÍJn punto mateúale p, di massarn,è mobile in un piano verticale ed è collegatocon una molla dì costante k ad unpunúo /îssoO. Inizìalmente ìl punto è fermo alla súessaquota di O e Ia molla ha lunghezza l.Determìnare il movimento del punto, speci_frcandone la traiettoria e la legge oraria.
Assunte come coordinate libere le coordinatecartesiane di P nel riferimento di figura, leproiezioni sugli assi dell'equazione fondamen_tale sono:
-__ *Í t : -k,
- , ) mú: mg - Icy (1):
La determinazione del moto richiede l,inte_grazione del sistema (l), con le condizioniiniziali assegnate r(O) : /, y(0) : i(0) :ú(o) : o.si tratta di due equazioni lineari a coefficienti costanti, la cui soluzione è ben nota:la prima è l'equazione dell'oscillatore armonico libero e non smorzato, la secondaha un termine forzante costante.La prima delle equazioni ha la soluzione:
Cap.9: Dinomica del punto Jtzg
(2)c: rcos t [8,vmmentre la seconda ha soluzione:
v : f fG-cos (3)
Eliminando ú tra le (z) e (a) si ricava immediatamente l,equazione della traiettoriain forma cartesiana y : y(E):
v : f fO- i l ; - t1r{ t (4)
kr)tTt
D UIS 6U'
^ C * 1: ^ -;- llquetcr"oqsfry [ -_* l
:q alerauaE alerEalur In) II I e o ur rlrq"redas tpqetrerr e auotzenba,un IP etl?Jl IS
(r) zatl - Pursfur : L*ap
:olou 1p ernd auotzenba,l af,sluJoJeprn3 e11e aluatuel euolzaltp uI elelueruep-uo; auorzenbasllep auolzato.rd e1 a ern3g utaruof, ellallp oluelrad ? aluelslsal ezro! erI
'alarnb rp olsls oÀonuun rp oluarurEunrEEer al"nluala(lls ouls auallusru ol a osJa^ al"1 oPuo)as oluepaderzrur oloru Ir :oss"q Ir osra^ e11oa eprnE e1 oEunl aluauodruor eun 3q olund 1ealerrldde azroJ allap alu"llnsrJ 1t 'a1etztu1 alu"lsl.lle 'aqt ernlrssr alatnb IP al"Izluleuolzlpuor sT 'Rl!)olaÀ elle elsoddo 'zay : dr etlneJPl szroJ sllaP a 'eptn3 e11ealsrurou t6 ereloeur,r auolz?al u11ep'6ut osad ezroy ellap auolz"(l1e ollaEEos q olund 1
'eprn3 ey o8unl Rll)ola^ sllap eluauodwoe e1 s - o uo) a '6 alerzrurauorzrsod
"llep aJrpsd e elernstru 'eptnE e1 oEunl d Ip "s$îs?(l
s uof, otueIIItIPuI
'alatnb eqep arrl-nd e oTund pp oluourruoru F aleutwJala1I
'zatl : I oqpow lP 'o"!I-nerpr odll lp alualsrsal eztoleun pe oTTeEEos
l pa 'apguozzuo.Ilns n olo?ue un rP e+ewpur
'enx1 eeury11et epm8 eun o8unl "Io^ailo?s ?
tu), essetil rp '4 a1eueTew oTund un Z:6'sg
,u.th .,tt l(r; l, soc - 1) "(h) + r frr: (3)s
:aqe anEas '(g) tt rad 'tnc ep
0qla* - rauel) ouls(r)s : (t)ft
:"lruuroJ ell€p ellqluallo Q (l)s : s etJ?ro aEEal e1 'alerzrurauorzrsod e11ep errlred e 'etrollatert "llns
eauIII^Jnt "sslîss.l
s uof, augur oPuetIPuI'@lA*'0) aleurprooe rp
olund 11 rad a (O't) "pl"l.r
auorzrsod e1 rad aluessed ellar eun tp auorzenba(l ? aqf,
oTund pp oînuautq :6'dog VZT
--
Cap.9: Dinamica dcl punto L25
La condizione iniziale u(o) :0 permette di attribuire alla costante il valore c :0:risolvendo allora la (2) rispetto a u si ottiene:
, : , f rg"i"".urrhV@,La funzione u(t) non ammette owiamente altri zeri, oltre a quello iniziale, per cuile (1) e (s) sono valide per tutto il movimento. Sostituendo infine nella (3) u : .i ed.integrando con la condizione iniziale s(O) = 0 si ottiene la legge di moto richiesta:
osserviamo infine che la velocità del punto ha un valore asintotico v : y'fiffiffi,che si deduce dalla (B) o, più semplicemente, dalla equazione di moto (1) ponendoda f dt : 0, imponendo cioe che la resistenza idraulica uequilibri, la componentetangente della forza peso.
8s.9.3 Un punto materiale p, d.i ma.ssam,è mobìle in un pìano ofizzontale Liscio, colle-gato ad un punto rîsso O da un frIo dj massaúrascurabile e lunghezza l. Il punto è sog_getto ad una forza resrsúenúe di tipo yiscosoF = -àv ed ha inizialmente una velocità,ao:4trhllm dìretta notmalmente al frlo.Determìnare d.opo quanti giri il fi/o sí arresta, I'energia persa dura,nte il primo gìro edil tempo ìmpiegato a percorrerlo.
La traiettoria del punto è una circonferenzadi raggio I: la resistenza viscosa è quindiuna forza diretta normalmente al filo. Sceltacome coordinata libera I'anomalia d di figura,calcolata a partire dalla configurazione ini_ziale del filo, dalla proiezione dell'equazionefondarnentale in direzione trasversa ottenia_mo:
trrer: ft, + mt6 : -7r1g
(3)
" :Tlogcosh,tg sin a .
m
(z)
e 0 : (O)g gerzrur Forzlpuor afiap
' oa evluozzlto ?lt"oletuo) ezuala|UoJrr? ?ilep ?$wt,f)s "IIns
alaewle!z!u! olopueuoddns,ezuatasuo?Jn e1ep ol-und pp o;rreptp yp auoptsod eI lwwlopp lS
.a[erllqaa ouerd un ur
"ssgr 3g ott?et lp e:r,srl ezual
-?tuo)tt? eun pe eluaureuJelsa ogey88odde 2'utessew yp,4 eyepagew o1und un p.6.Bg
' t t t > g .rad earleEau uou q mr .rad, -lu q,\0-aP1-=^Qîu=,L
I Z,'l
:"P ?l"P ? euorsual "l
er{3oruel)npap alerp"J euotzalrp uJ aleluaruepuoJ euorz"nba,llap auorzarord elpp srllegau1 'o1und lap olour I aluernP (o < -f)
osel eueuru olg il ml .rad .1 orEEeJ rp "zueJ -oJuof,rrc eun a^rJrsep olund I alenb
"l opuof,es alerzrul 1sa10d1,1 eugq oruraryrglra1
7fio1! : "
:ortE orurrd I ararroc.rad e oletardun -l odrual Ir euerîîo ls vz- 0 (z) eilau opuauod7U
aV8ol*, ,-
: (0 - rp)to1
:o: (o)a al"rzrur auorzrpuoJ el uof,'rsoc auarllo rs :rllqsu"a rp euorze.redasrad (r) e1 ouetrEelut ortS ounrd 1t ararror.rad e oletardtur odual Ir ar"urrureîep Jed
uJ /.-\ Z ,^, --.2zîlt ztL,
: lrz) eQ zlui - (o) 'Q "l*i
: gv
:"roll? elln$r (f) e1 opuezzlplg .o.qt un odop olund I"p "înpessod e11anb a
eplzlur Ef,rleur3 er8raua,1 "rî
ezualeslp "llep
et"p ? orr8 un odop es.rad gy ertraua,l
Z:u + lr- l0:tsrorrad
IriE Ip oJarrrnu Ir pa olsarr" rp /g ol08uerl orreÀ?f,rr Is 0 : g (r) rn",r opueuod
(r) (e- "v)î: ?:"îlnqr ulrlyV: (O)g
oluoJ opuaual e eurrrrJaÎ ? eu[rrJe1 opue.rEaluJ
oyund î?p o?ru.outg :6.dog gZT
i
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i
Iì
,*
il:
I
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Cap.9: Dinomico del punto I2'I
Il vincolo di appoggio (unilatero) può eserci-tare solo una reazione normale alla circonferenza, volta verso il punto: con riferimentoalla figura, il punto abbandona allora il vin-colo quando la componente iD della reazionevincolare passa da valori positivi a valori negativi.Le equazioni di moto del punto in coordinatepolari, con l'anomalia d di fi.gura:
mR| : mgsinl , -mRàz - O - mg cos|
' permettono di determinare la dipendenza é(d) della reazione vincolare dalla posi-zione. Moltiplicando entr"mbi i membri della prima equazione per d ed integrandotermine a termine rispetto al tempo si ottiene infatti:
L;*nà'z:- l r rgcosg+C2
All'istante iniziale si ha d : 0, d : aolR, per cui:
mR02: matR * Zrng(L - cos d)
Dalla seconda delle (1) e dalla (2) otteniamo così :
Q : Bmscosú - (z*c +#)
che si mantiene non negativa per tutti i valori di d per cui
,a$t 3gR
Se u52 > gR,la condizione (a) non può mai essere soddisfatta e pertanto il puntosi distacca dalla guida immediatamentel in caso contrario, il punto si mantieneappoggiato alla guida sino al raggiungimento di una posizione corrispondente ad unangolo 0:
D='r" .o"(3+JLl3 3gR'
in corrispondenza al quale awiene il distacco.
(1)
cosd )
(2)
(3),5
(z)(5* - arù! : to g*- u{ : No
Aou,r + 2o*1 : gsotglut + "?r{*1
+ E : n - J
:€q rs rlteJr{ 'ertraua.11ap auorz€desuottp auorzenba.lpp eluarue11arlp eJauallo e1n1od aqqeJes $ A e g
"tl (Z) auorz"lal
"T
:(f) a11ap szral a epuof,as sll"p JO a lrp opue,recrg'"lsalJe rs uou olund g opuenb e ours ouarulu 0 < JO sls
aqo auodrur olrJll" rp ezuelsrsal "llap
sJnleu "l
allualu szuaraJuof,rll ?ll3 ouJa?saoiE8odde rp auorzrpuor e1 rad 0 < Aro alassa alap ,e.rnEg rp ruorzua^uof, al uo3'oluenb ur ruorz?al allap rlnpo.n r rleururrla erE ouos rs qurolnoc rp auorzenba,lleN
'^/63f : J6
(r) nl-aq:4*zF
JO_ _ gut
:ruorzenba tp "unls -ls II "Jolle
auarlîo rs .alerzrur Rtr)ole^ "llap osJa^ Iau s "aurp^Jn3
essrf,se.l "llalg
.[gt.O]qrnolnoC rp auorzenbe(l ar"Jstppos or.ressat-au g '[e'O] "sasurrlur "ural elps auorzarord
"l eJ"zzrlrln euar^uol InJ Ip ,aleluaruepuo;
auorzenba,11" aJllo'orqecs olof,ur^ Ir opuassg
'zlA'ulql : oo elewwt ?Y?oI4A eI elou bTsatte lp aryreq!.1 aleutwnlo7
'epyn8 eryap o4u"r p eye?a11ot ,! apretso?lp enow eun tp euolze.ye olla88os q pa ,aye1-uozzuo ouerd un nr egsod .g ot88et Ip "ssg ?J"IaJJIJepmt eun pe aluaureulr4ta . { a1uan-WeoJ lp oJlrueulp olr4le uot (ogert8oddea uf
"s'6'err tp "IerJalew
oTund un g.6.sg
gNolzY^ugsso
oSund pp o?truourg :6-dog gUT
i
Es.9.6 (ln punto materìale p è mobile sen-=a attrito sulla superf cie interna di un conodi asse vertìcale e semiapertuta a. Inizial-mente íl punto p sì trova a quota h aI dìsopra del vertice del cono ed ha velocitàt oriz_zontale uo.DetermÍnare la componente veúicale dellavelocità del punto ìn funzione della quota.
la prima delle (1) fornisce I'equazione pura di moto:
mE : -f (kn - *{lSi tratta di un'equazione a variabili separabili in .d e indizioni iniziali otteniamo così :
Cap.9: Dinomica del punto f:}g
(3)
t; integrandola con le con_
*!;ry},,,1*ú-,og3Ponendo nella (4) .i :0 si determina infine l,istante r di arresto:
f rnlogZ' -VkUosserviano che nella soluzione del problema si è supposto che ir vincolo venga ri_spettato' cioè che il punto rimanga effettivamente a contatto della circonferenza;tale ipotesi va però verificata, accertandosi che durante il moto sia iDry ) 0, con_formemente aile condizioni di uppoggio, .iò segue immediatamente osservando cheoff è positiva all'istante iniziale ed è una funzione crescente durante il moto delpunto, essendo decrescente, per la (2), con la sua velocità.
(4)
(s)I
lz)
(z)Qo(" + 4Í - 6s) n rsot (z - q) : "?
aluauoduroc "rrap "zuapuadrp e1 aus.,, euarrl" ,"',t;T lJi:t"1':t,il'ffi['jl'.? -rpuo) a1 uoc) odrual 1e olladsrr opuerEelur pa z rad rJqruau r oqrus opuecrldrlloyg
(s) 6-rr.soe6 +{o""oria;t-?
:z ur ernd auorzenba,l aosruroJ (Z) "t
,(S) a (f) a11ap oluof, opuauaJ
(s) W:seq rs (ra uelqf oa: (O)A a q : (g)z
r"lzrul Iuorzrpuof, allep otuo3 opuaual a z \p auorzunJ q d (v) e11au opuaurrrdsg(r)'7soc - g"d
. :ounrd aler8alurr1 auarpois odrual p olladsrr opuerEelur pa d rad (e)
"11"p rrqruaru r oq..,e opuecrldrllotrrq
o: (0/z + sd)u:aqr an8as [l.Ol a11ap
"puo)as sllÈO
6-aueq,("gd-l)-:? ., ,
:aqr anEas ,q, opueururrla .1ne ep
12 sof, O- : ("?d - !)*
6ut -pursO - zut:auarllo
Is []'6] auorzenba eurrrd "lpp
a ezrol "lleq . .ouof, 1ap auorzenba,l rad
(t) lougtz : d
:"p elsp opuassa del"urpJooJ ezJo1r.I sernEg rp aqrrJpurlr) aleu-rproof, rp euaîsrs 1au olund lap , erlerrrou" ela z elo.nb sl alaqtl al"urpJoor arnor oruerlEaag
.ouo, IeP ass"rl aluaPrf,ulpumb q eJ"rorur^ auorz?al
"l :auorz"?oJ rp
"lf,sll aregradns eun ns aÀomu rs olund 1
oyund I?p Di?NtuDut1 :6'dog OgI
6uJI
/
fi
Càp.9: Dinamicà'del punto 131
OSSERVAZIONE I
Si potrebbe risolvere il problema con un procedimento più rapido utilizzando l'in-tegrale dell'energia:
11,-,*Q2 i i2 + p'ò\ + rnQZ :
)muz, + moh (8)
e la conservazione del momento della quantità di moto rispetto all'asse del cono,dovuta al fatto che le uniche forze applicate sono il peso e la reazione vincolare,rispettivamente parallelo ed incidente l'asse del cono. Decomponendo la quantitàdi moto del punto nelle componenti radiale mp, trasversa *p0 . verticale m2 siottiene allora immed.iatamente I'integrale primo (a). Eliminando dalla (4).e,dalla(8) d2 si riottiene così I'equazione (7).
OSSERVAZIONE II
Analizziamo più in dettaglio il tipo di moto corrispondente alla (7), All'is.tanteiniziale il punto è a quota h con velocità solo orizzontale, per cui per sapere seil punto sale o scende lungo il cono occorre valutare il valore iniziale della suaaccelerazione verticale 2(à). Introdotto per comoditàr il parametr o \ : uZ llrs, dalla(6) segue allora che se À > 1 il punto sale lungo il cono, sino a'raggiungèie unii,quota:
z: lÍ* ú*jl (e)che è ottenuta ponendo 2 : 0 nella (7) e scartando la soluzione corrispondente aduna quota inferiore ad à.Se invece À : 1, il punto rimane a quota costante, descrivendo una circonferenza dimoto uniforme (come segue dalla (b)).Infine, se ) < 1 il punto scende lungo il cono, sino a raggiungere una quota Z d,ataancora dalla (9).In ogni caso, il moto è periodico: il punto si muove sul cono.rimanendo sempreentro le quote à e Z, e non raggiunge mai il vertice del cono.
(z) Ary lsot - r)3- : r: rsor euarîlo 1s !(O : (O)g : (O)") aleuEasse rlerzrur
Iuolzlpuos al uor ?rualsrs 1ap auorzenba eurrrd e1 opuerEalur e/\?f,rJ rs oloru 1p aEEel e1(r)(rt1+ au\9 : aeuotzrsod ellep J rp ezuapuadrp
"l aluarueterpauul auor?îo rs'r opueururrla (rnc ep
gu.t - 6u.t - 1' 6u.t, : ttl | !ut(:"rualsrs Ir
otueluallo eurrrd ellou opuanlrlsos e g e olladsrr auorzenba "puoras "l
opua losrgJ-6ul:gut ' sq-J:eru
:arJollarsrl a,rrlladsr a1le aluaE-us1 ellns oloru rp yuorzenba al oue rJ)s rs O
"p tsl?msrlu d rp essrf,sB.l Í uo) oPu")lpul
'olnporu lenEn 1p auorz"Jelaf,r" paRtrrola^ ouueq rlund anp r arlf, "Jnrrsse olgIap Rflllqlpualsaur(l arllour :o1g 1ap auorsuale1 a osad p telecryarr auorzaJrp ur 'rlecrlddeouos S olund Ins erluaru 'olg lep auorsualel a
"llotrr ellep
"zJoJ e1 'eleluozzrJo auorzar
-rp ur 'alerrldde ouos 2' olund Fs olu"Fad'auorsual rp erell"Js) rlua^e (oeg1e1s a.roTe^
I"p osra^Ip aleraua3 ur) g olnpotu lentn rp a ossels olg Il euro) ellarlp ezJoJ anp
Iruallsa rlEe elnresa olrJll" rp ezuasse ur pe alrq"JnrseJl ess?ru a alu"îsot ezzaq3unl
Ip olg un oloru rp ruorzrpuor ur aqf,u" '(g'de3 Ir "pa^ 1s) oerlels os?î Iau ol" JassoetB auror 'aqc aluasard opuaual 'b e d 11und anp r aîuaru"leJedas ourraprsuos rS
'eynu ezzaq7-unl ??ue^e eilow el uoc e1etnb lp epglulauotzetn7guo? eun ep enynd e 'auotzfsodeilap
"uouury u! oIg IeP euotsuel e[ o ewaF
-!s pp olow f !p)p) rs'o1u1ge rp ezuasse uI'aIe)qJaA epyn8 ?un ns ofio)s S e4ueu'q
o?uelsoJ lp eilow eun ep g pe optego" ? paaleluozzrJo epln8 ?un ns aJJoJs 4 lalyqents-eJl ess'pur lp a aryqlpueparr! olg un ep 4eE-enoJ ouos 'ut essew pn?n rp 'Ò a d lIelrol-eu ryund enp 'a1ect1nt ouetd un u7 .l'6'sg
oTund pp D?nuourg :6'dog 7tT
Cap.9: Dinomico del punto 1Ba
(1) otteniamo che ?,,.;,, -vincolo del filo di esercitare
Si osservi che, per la (2), è r^io: 0, per cui dallaurSlz > 0; il moto descritto è quindi compatibile con ilmlo azioni di trazione e non di compressione.
8s.9.8 Un punto matefiale p, dì massa rn,zppoggìato ad un píano orizzontale, è collegato mediante un fr.fio, di lunghezza costante I?.rnassa tnscurabile, ad un punto e di massam, scorrevole lungo una guida verticale. Ini-zialrnsnss Q è fermo a quota h, mentre p havelocità, uo.In asseaza dí attúto, determinare ín funzìonedella pasìzíone l,atto di moto del sìstema e Iatensioae del frlo.
I sistema ha due gradi di libertà: si assu_nano come coordinate libere le coordinatenlari di P nel piano, rispetto ad un riferi_nento con origine in O.adicando con y la quota di e al di sotto di), I'inestendibilità del filo implica che:
p*y: t ( t )ialla quale segue owiamente che f : _p.)onsiderando separatamente il moto dei due punti, il moto di p è un moto centrale,unica forza nel piano essendo la tensione ? del filo, direttacome la direzione radiale)P: pertanto la velocità areolare si conserva. La legge fondamentare per p diventauora:
m(ì-p0') : - f
p20:( t_h)v.'ell'equazione (3) si è tenuto conto dete condizioni iniziali: i(0)t l ( t - h) .a proiezione in direzione verticale discend.ente dell'equazione di moto per e (te-:ndo presente che ù : -p) dà luogo all'equazione:
-mi:mg-T
(2)
(3):0eO1o;:
14)
'O ut l€ru aEunrt uou d olund p sosel 1e1. ur eqluy
+ r)y(v - r): !:uof,
'q - t ) d > lelglof,Jrf, ?uoJof, "llau
auar^ "
ororu il r > v as 3aru.roglrm aJ?lof,Jrf,e d IP oloru Il I : Y es '4 > d ) q - I ar"lo?Jrf, ?uorof,
"11"., "r"r.nir dr rp olourII I < 1 es eq? (0 : / aqr eEuodru ls a algrzrur alu"q.$.Il" y' .rp ou3as Ir lJeprsuor Is'g'sg.1au eurof, olueru"11esa) eroru? auarlto Is ,(V - ù6lpo: y llî"Jul ópo4 jlpurisotlotu raluaruerrllelrlenb touels tluaurl^oru rluapuodsrrol r .orzt)rasa eluasald 1ap ag'sg,llaP nirals.ts I
"4 RllsJe.Àlp a1 a1ùe1sò uou 'eurof, eJ? Jasso aluessa.ralul alesse Qnd
II SNOIZYAUSSSO
.9. opnd g .radarcloafe Rllrola^ ellep a erualsrs II oîlnt .rad elE.raua,llap auorzeuesuos el rluarur.rdsa
.?so?-Qrd , g:n_J
:ruorzenba anp al "rt A opueururrla alueup11a.rlp 41d a4u
-anred gnd rs (r) "att 1ap auorzenbaúun pe'g'.g,1 rad o11ap o1uenb r
"1r"**io1*,ryI trNOIZV^USSSO
(ffi - r)íoz+ (d -, - )D: 7t: lsof, opuauello ,îl _ 1: (g)d
elernul euorzrpuor 3l uof, odrual 1e olladsr ouerrEalul pa / red (s) e1 0rnerqendtrio*'o1'rarnelalduro) ons g .rad lolorn !p olte,l aluaul"rzr"d olos aaFf,sap (g) auolzenla,l
(g) (^ ld ,+6\u9:r \|o"('t-î)'-'-T-*
:€tuelsrs lep euolz"Jntguoe "nep
auolzunJ ur euolsual "ilep
auorsserdsa,l pulnb a
(s) 9-= .Edz ,:dín'('l - ù
. , . :oq?lyaxlo (Z) e11ep.geo11adsr (l) qageolladn.r (g) elopuaalosrg
(r)
oTynd pp o?ruall6,:g:6ot fgT
PROBLEMI PROPOSTI
Problema 9.1 Nel sisúema di frgura, pesúo in un pìano vettìcale, ì punti materiali Pe Q hanno ugual massa m, iI frIo ha ma.ssatrascurabìIe e lunghezza costante.Supponendo lisci úuúti i vincolì, si calcoli ilmovimento a partire dalla confrgurazione ini-ziale di quiete, con Ia molla di lunghezza nul-la.. 1 o rr lo.1r : )et2 - #( t - cos /znl* t )4 4k
Cap.9: Dinomica del punto 135
mvz/ |
mo.s-; f (1-cos2k 1/llr-lmt11
Problema 9.2 Un punto mateúale P, dimassa m, è mobìIe in un piano orìzzontaleIiscio, collegato ad O da un fiIo di lunghezzaI e massa trascurabile e soggetto ad una re-sistenza idraulica di modulo F : maz llNoúa la velocità iniziale us, determinare iImoto e calcolare Ia perdita di energia cìn*tíca duratúe il púmo giro.
Id : log(1* vstl l) ; AE : mvfi(t-e-4"7121
Problema 9.3 Un punto P, di massa rn,è vincolato ad una guida vertìcale e circo-lare lìscia, di raggio R. Esso è soggetto adunaforza orizzontale F cosúanúe ed è atfuattovers C da una molla di costante k.Sapendo che inizialmente P è in quiete in C,determinare, ín funzione della posizìone, lavelocità di P e la reazione vincolare.
I o' : zR((ms - eB)(1 - cos d) + F sinl) lrnO : 3.F'sind - rng + J(*g - &,?)(1 - cos d)con 0 : COP, lD centripetal
Cap.1O
Dinamica del corpo rigido
In un sistema di riferimento inerziale le equazioni necessarie e sufficienti per ladeterminazione del moto di un corpo rigido sono l'eguozíone della quantità di moto
8. :R+R,dt
e I'equozionc del momento delle quantítà dí moto
+:Mo*M,o-voAeessendo O un polo scelto arbitrariamente e vp la sua velocitàr. R e R' sono ri-spettivamente il risultante delle forze attive e quello delle forze reattive agenti sulcorpo, Mo è il momento delle forze attive rispetto al polo O e }l{'s il momentodelle reazioni vincolari rispetto allo stesso polo.La quantità di moto Q e il momento delle quantitàr di moto rispetto al polo O,Îo,sono così definite:
Q: l ,* 'a, , [10.3]
Poiché si dimostra che Q - ffii,cioè la quantità di moto è uguale al prodotto dellamassa del corpo per la velocitàr del suo baricentro, la [10.1] può scriversi sotto laforma di equazione del moto del boricentroz
rîo: l {P -O)Al. , l ' rd.r
Jr
Iro.r]
[10.2]
[10.4]
il baricentro o un punto la cuia"ssume la forma più semplice:
úIi l rna:R+R'r
Se come polo O si prende un punto fisso oppurevelocità, è parallela a quella del baricentro la [fO.Z]
J f.? :Mo * M'oto,
che è quella più comuneor"diu utilizzata.
Iro.sl
:r!
lrrorl
YIDUSNS.TTSO YI^IfiUOgJ
'2,'de1 Ir epa^ rs ?rzraul Ip Iluaruoru lep olof,lef, II Pe llstuau"puol plapdord a1 la6
'rleJluallJeq "IzJauI.p
rledpupd lluaruoru I ouos O e g'y a,rofl
[ot'ot]1.tl + lbA +$y: é7
:"llnsrr IîleI{I 'd; e arep gnd 1s aqcatrlduas aluerrrJ"loorlred auorssardsa.lle
"lnÀop ? oluau4pe)ord olsanb Ip R+lllln,T
lo'orllyutv(o-d)+dJ:oJ
:olrodserl Ip elnuJoJ ?llaP IsoPuaÀres
d. orluaf,rreq 1e olladsrr olour 1p q111uenb ellap oluetuotu II aJ€lo3l"f, el"raua8 ul , It
auarauoc['auorz"lor "au€lue]sl Ip esse(llp auatl.redde uou O olod 1i rellqtssod ? ell li t'.!
opuenb aqeue'as o olrol"ÌoJ oloru IP ol?" un Pe allqllnplr ? uou oloru IP olterl eS (t I'.rss? ["] oPuo?as f|,
arelo8ue qlr)ola^ ellap Iîuauodwor a1 t'b 'd letzraul 1p lpdputrd lsse l1Eep lJosra^ Iouos { '[ 'l lO e olladsr odroc 1ap ?rzraur rp rledtrut.rd lluauroru t ouos 3 'g 'y arcp
Is'ot]\rc + tla +ldy : o7auolssardsa,l
alu"Ipetu aJ"lof,l"3 gnd 1s auolzsloJ "auelu"lsl IP ass?.11" aluaualredde p olund un
pe olladsrr oloru rp Rllluenb allap oJ oluauroru y 'oíJlyi\ot ? olou 1p o11e,1 eg (q
lrorl*utv (O - d) : oJ:od.ror 1ap
or?ua)rreq II d. uo) opu"rlpur'e11nstr ^
qll"ola^ uo"Effiiffiq oloru IP o11e,1ag (e
'olotu rp q111uenb allap oluarnow lap olo)1"f, 1t ossalduoc q1d q arluau
lg'orl:"lilrrroJ el aluelpau elof,le) Is oloru tp g111uznb e1
,U+U:lLJP
:auorzenba.l "ts)grra^
q op1E1.t odror un Ip ololn II elu"Jng
oJ Ip o Ò lp oloclBC
optîtt odtoc 1ep D?rruvur1 :67'dog 8gT
lri'oillf *I: LJP
:auorzenba,l el"f,ErJa^ q optEp odror un IP oloru II alusrng
YICUgNg,llgo YWguogJ
'Z'\EC Ir "pa^ Is tsIzraul IP lluaruoru tap olof,l"f, II Pe 1eluau"puol 11a1'rdord q1 'ra6
'rleJluatlr?q "tzJauI.P lledleurrd lÌuaruout I ouos C a g'y a'roir
lororlI,t +f.bA+rdY:4J
:"îpslr I?teJqI 'd; e areP gnd 1s aqe
arrldu:as aluarxrelo)r1red auorssardsa,lle €1n^op Q oluaulPetord olsanb Ip Rllllln.l
lo'orlmlv (o - d) +'J: oJ
:olrodserl Ip "lnuroJ "llaP IsoPua^res
d. orluaru?q 1e olladsrr oloru gp q111uenb ellep oîuaruoru II eJ"loelec alerauaE utI
-:- -t-- ;r .r.r t. .
-: " )
*"r,r,ror['"uolz"]or "auslu"lsl IP esse.ll€ auatlredde uou O olod 1i 'altqtssod e qll I
opuenb alcue 'as o orrolplor oîou Ip o1l" un Pe allqlmPlr Q uou oîoru IP o11e,1 eg (e I'rss" q"l oPuo)as r,
areloBue RII)olaA "llap lluauodruor a1 t'b'd !e1zrau1 rp 11ed1cur'rd lsse y8ap uosre^ r
ouos { '!'\ iO e olladstr odroc 1ap sIzJauI 1p rledtrurrd lluarnoln I ouos 3 3 g '7 atop
le'otlXrC + lnA +$y - oJ.auolssardsa,l
alu"rpsru axeloJl"f, gnd 1s euolz"loJ "auelu"lsr IP ess?Élle aluaualredde I olund un
pe olladsrr oloru rp -q*lllusnb ellaP oJ olueuroru y'íuillo-foi ? olour lp o11e,1 ag (q
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orlua)rrecl Ir d. uor opu"f,lpur 'e11nsr ̂ Rlpola^ uotTffifrffi7q olour Ip o11e,1 ag (e
'olour 1p q1l1uenb ellaP otueruou laP olo)lsf, 11 ossaldtrroe q1d q arluau
lg'orl|Ur: b
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oJ Ip a O Ip olotl€C
opt|tt odtoc l?p o?rruautq :g7'dop 887
Cap.70: Dinamica d,el corpo rigído 1Bg
dove II e il' sono le potenze delle forze esterne attive e reattive e ? I'energia cineticadel corpo. ?, II, II' sono così definite:
1îr : i . l *u2ar , I [ : I " rXyd, , nr : f iD;xv;zJr d i
essendo v; le velocità dei punti cui sono applicate le forze.
Calcolodi îeI t
Iro.rz]
I'11 r: f ,*u, [10.131u
b) Se I'atto di moto è rotatorit I'energia cinetica si può calcolare mediante l,espres-sione:
I , : *(oo, +Bq2 *cr2): t=l . r , [10.14]n z ' 2-dove,4,, B,c, prg, rrJorro riferiti agli assi principali di inerzia relativi ad un puntodell'asse di istantanea rotazione e ^f, è il momento di inerzia rispetto all'asse diistantanea rotazione.
I
l"ì :" I'atto dimoto non è riducibile ad un atto di moto rotatorio,f.i deve ricorrere
f al teorema di Koenig, traducibile, nel caso di un corpo rigido, nell;espressione:
a) sè I'atto di moto è traslatorio con velocità v, I'energia cinetica vale:
Iro.rs]
Iro.ro]dove f, il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrale parallelo ad o.Osserviamo che la [to.ts] è un caso particolare della [ro.ts] e che, anche nel caso diatto di moto rotatorio, può talvolta essere opportuno utilizzareil teorema di Koeniganziché la [ro.u].Per quanto riguarda il calcolo delle potenze delle forze attive e reattive, si devenotare che se le forze applicate sono in numero finito si può utilizzare la defini-zione data nelle [to.tz], mentre nel caso di sollecitazione continua è meglio ricorrereall'espressione:
I I : R x vg *Mg xo Iro.rz]valida per un sistema di forze qualsiasi agente su un corpo rigido, al quale il puntoQ deve appartenere.
i l ,
I (: )mo2 + )tno' +Ec" + cr2)o nella equivalente: \ -
" : |m'+Ir , r '
[zz'or)
lrz'orl
:eruroJ ellau eqJlr" altqr.u4rdsa
'p aletzualod uor ta,rtle,uasuos ouos e^Ille azJoJ el e Issg:auorzenba,l elstssns
a rllapad ouos IIof,uIÀ I eS
ert.raua,gap apl3a1n1
loz'orl.lsoo - roJ + O: to,N + tory
:oloru lp plrluenb allep oluauotn Iap r auolza4P "l
oPuo)esaluauoduroc pl € Jasuof, ts 'odlol ps 11uaEe ezJoJ ellap 'o11appns odtl 1ep '9 olod un
rf.:--.# __*_=i:=l-*;;
pe olladsrr oluauroru Iap l "ssg
auolzaltP ?un oPuof,as alueuoortrof, "un
olos "llnu ? aS
[ot'oi]C:oJ + 0:9ru+ortr
T)Y: JY {
fl: n- J f
:6 olod 1e olladsrr oîotu rp q111uenb a11apoluaruoru Ir s^Jasuof, rs 'olluaf,rJeq 1ap e11anb e e1a11ered ?lllola^ alua^? o oJluatlJ"q
Iotra1uapI)ulotroossg.9o1odunpeo11adstr11uaEe"zro3a11apffi
teroil
oloru !p Ell+uenb a11ap olrraruour 1ap auolz€,r.rasu{C <rff*-
-ì*1. erl u^'1 è
'1soe - rfl + g: jg *'U
:oloru rp q1l1uenb ellaP esse.l opuof,as alueuodruor "l "^Jasuo) 1s 'odror
1ns rlueEe azroJ allap a?u"lln$r lep J ossg ass? un oPuof,es aluauoduor "l "llnu ? aS
asse un opuoJas olour !P ElItIrBnb e11ap auolze JasuoS<l *
oprEp odror un IP oloÌn I alueJnp alalqssns ouossod aqrrurrrd rler8alur rp rJrîsrralleJer rdruasa runf,le gnb ourelg 'suolz?^Jesuor tp ruotzenbaa1 ouopuodslJJof, assa p" e oîotu 1ap gurrd tle.rEalut a1"ru"tllf, ouoEua,r ttlerztut ruotz
-.Ipuol allsp o?ue+los aluapuadtp 'a1ue1sor aJol"^ un olour II e$r"JnP oufirnss? aq?
?lltola/r a auorzrsod rp rIrqsrr"^ allap ruorzunJ rl"nlua^a'6'dec Iau ol" Jasso ptE auo3
OúOW TtrO IWIUd ITYUDSTNI
oprîtt odtoc l?p D?tuÍrurq :97'dog OPT
c*
Cap.70: Dinam:íco del corpo rigído
ATTO DI MOTO IN FUNZIONE DELLA POSIZIONEL'atto di moto in funzione della posizione può essere determinato mediante duediversi procedimenti.Il primo consiste nell'integrare completamente le equazioni di moto, determinandola dipendenza delle coordinate di configurazione dal tempo. Si possono così calcolarele derivate delle coordinate rispetto al tempo e sostituire in queste l,espressione diú ottenuta dall'inversione del moto. Questo procedimento è laborioso ed inoltrespesso non è possibile integrare esplicitamente le equazioni di moto.Il secondo procedimento necessita dell'individuazione di un numero di integrali primidi moto pari al numero di gradi di libertà del corpo. In questo caso gli integrali primiforniscono equazioni finite nelle coordinate e nelle loro derivate prime, che, risolterispetto a queste, danno direttamente I'atto di rnoto in funzione della posizione,senza integrazioni di equazioni differenziali.
PROBLEMI PIANI <+--" ' 1 *
Un problema è piano se il corpo giace sempre nel medesimo piano e se tutte le forzeagiscono in tale piano.
IT n""*: caso la proiezione secondo la normale al piano dell'equazione della quantitàldi
moto [ro.r] e le proiezioni sul piano dell'equazione del momento delle quantità difmoto [fO.Zl o [tO.Sl sono identicamente soddisfatte.ft- Rimangono così le equazioni:
+ :R+R'dtle cui componenti significative sono d.ate dalle due proiezioni sul piano, e
dI oÉ:Mo+Mb
intesa già' come componente normale al piano, con la convenzione di utilizzare lostesso verso positivo (orario o antiorario) per fe, Mo e Mf. Naturalmente la[to'z+) è valida solo se il polo o appartiene alla categoria dei poli accettabili per laforma [10.5] dell'equazione del momento delle quantità di moto: se il polo_o nonè di questo tipo è necessario ricorrere alla [ro.z], la cui forma scalare non è peròaltrettanto significativa.
Il teorema dell'energia ha nel caso piano le stesse forme [10.21] e [to;.zz] d.el casogenerale.
Nel caso piano risulta notevolmente semplificato il calcolo delle quantità meccanicheÎ6 eT.
[10.23]
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.eragl8eruart-èluap elonr erddor'rtEeuer8ur rp elddoe) o)llernaqf, oluaruelddor-)? un alu"lpalu o?tTzzz\lear aJassa gnd'1'de3 lpaa'o1uarue1o1o.r ornd tP ololu!/\ II
oJNgwYlo,lou ouod Io olocNl^
.3 rad aluessed a ouerd IE aleruJou ass€.lle olladsr ?rzJaul Ip oluetllottr II I'OPuessa
Iez'ot]:"IIIJOJ
"l eurnss€ ,p euolzelor ?eu?lu"lsr rp orluel I opu€zzlllln
"1elof,l"f, eual^ es 'aJlueIu
lt z'orl"rtl+ "o*l:.rauorsseJdsa,l arunss€ tEtuaoy rp sIIIaIoal I aluelParu
"1slof,let as t; erllaure et3raua,l
'ouetd
os"f, lau azJoJ allap ItuaIuoIII r rad elesn "rru3al "ssals
sl uol al.Plocl"f, gnd 1s'd' ut
o1er11dde ^t,t,l
erollal lap O PB olladqr oluaruoru II E er{l'opuappe oPuotes II sJluaur
'ouetd Ie aJ"lollPuadrad aprluef,IJ"q ess?{ll" olladstr slzJaul IP oluaruou II q f a^op
[gz'or]ny:4i:? oPuaPPs orugd 1
[O.Of ] "11n1,1 'auorzarlp al"t ut lluauodruoe al uor aretado apqtssod 1pu1nb q pe oueld
I" alualulsurrou Illarlp ouos lJolla^ I lî1nl al{l otl"J 1ep elerglldues ? auotzerado,l
r[O.Oi] el e]usrpe111 arrn3asa ardrnas gnd 1s euolz"loJ "au"luel$ !P orluaf, U uol
aluopr?urof, uou O olod un pe olladstr olotn Ip Rllluenb ellaP olueurolr lep ololpl II'[rZ'orl srrrroJ "l allqezzllln Q uou 1pu1nb a
oJlualrJ€q 1ap e11anb e e1a11ered R+Iloleir uor elsods Is uou alerauaE uI ossa oluenb
ur ,o1od aurof, auolz?loJ "eueîu"î$
lP oJlual IaP osn.ileu ePln"t "?ra) "un
or11e.rad
erJsssaoau g .(orterorlue o orrero) o,r11rsod osJa/r ossa?s ol rD a o;.rad eJalunss?
Ip olrlrq"ls alueureltrqdu4 ? Is [Se'Of] "lleN 'euolz"îor
"aÌrelu"tq Ip orluae 1t rad
aluessed a ouetd I" al"lollpuadrad asst,11e olladsr eIzJauI IP oluaruoru II ? f a^op
[sz'or] mI: oJ
:ellnslJ 'auotzelot "au"lu"1$ IP oJlual Il aurnsse 1s I olod aurof, as IflsJuI
optitt odtoc l?p D?rutîutq :gy'do7 6VT
,'11: I
Cap.I|: Dinamica del corpo rígido L4g
"*ff,*T,*,i:5,i:li:*statico e 02" e (Dv sono da carcorarsi medianre re
:""t;l?ii';i-1î soddisfatra,
'rororamenro awiene senza srrisciamento; in casoscabro, ."","*.;,";J::;; j""*L:::TT:h# j*:L:,,*.,,,,' ;;;llTlll:illlill Jiì" J;;ffi ;; íhî j, ""d;ffi d i p uro ro r o, ame nr o:U::-'azione
dei vincoli unilateri edeuo strisciemento s.tt uincori scabri sirinvia
CORPO RIGIDO CON UN PUNTO FISSOrndicatí con r' y e z griassi principari di inerzia r*petto al punto fisso, con p, q ed, rte componenti di ar secondo tali assi
" .or, ,, B e Ci momentivalgono le equazioni di Eulero:
rr' D e u t momenti principali di inerzia,
Ioo*(C-B)cr=tr ["l "A*(A-c)pr:My(ci1(B-A)pq=*t , f ro.eoj
Mentre I'integrazione delle fl0.30] non è .determinare facilmente Ie sollecitaziror, .r/,L^*1"*il: possibile, esse permettono di
un moto assegnato. - --'-v'vozrv'r' aú[lYe o reattive, da applicare per mantenere
(z)gsotDu.tg +JO:1yug
g urs 6utV + ^rO_ : zQ[utg_
:ruorzenba al aluaruelerparurul ouoEuallo rs rlenb a11ep
|Aug - ZtDut t, ftyutf,,
70Yut$- : zQAt* - z1yut- - zdpu + rdpulg
:"îlnsrJ ollaue.llap a sts€rllap rînqrJluof, r aluarusleJ"das opuelocle3'o10tu rp g111uenb
"llap auorzsnba,Jlap
"sJa s?JÌ a alerpsJ auorzalrp ur ruorzarord a1
aJ"zzrlr?n aluarua^uor a 'e1se,11e aleruJou a e1a11ered (ernEg rp ouorzuaÀuoc e1 uoo)J6 a AIq rluauoduroe ar arusrpau essardsa (a.relorura auorzear BIIap ororl'f, Ir Jed(r)er"tff : î + gsotghu,tg : ;z7ul1l
:e^r.If,s Is oîotu rp auorzenba,l'a1e1uozzr.to a
"lse er1 o1o8ue,1 , uo) ol"rrpuJ
zAulVI: zÍ6u-t * "Aut
+ **t + t' z!.v___/
:al?À auorz"loJrp ass?(lle olledsrr I erzlorrr rp otuaruoru I
'oW : rn7 oîotu rp ernd auorzenba,l .ossgasse uof, oprErr odroc rp o1otu rp rs?t r rîlntur aruof, 'alsrurog p olod 1e olladsr oloru1p qlgluenb allap o?uaurour lep auorzenba,l
.euorutsodenep auowury u! o ur alelo?utt auoneal eIeJeloJ[e) a o?o(a 1p etnd auotzenbal araA:-;lJS
'"leluozz!rc VO uo" a1a1nb ut elvewle!z!u! a olopuad il .VO rro) oleawile ? orl-u?) !n? y .g or8?et ? ur essew rp .oaue&otnooilaue un V u! oyprys e elenb erye ,A7ezzaqE-un[ e rug essz.trr lp ,VO eaue8outo else.unep oTsodutot q en?g p olopuad p T.OT.sg
UE.txe
rJloslu lzlcugstr
opt6t,r odtoo pp o?rutDutq :gy.dog V?T
La costante di integrazioned(0) :0, risulta nulla.
Cap.10: Dinamica del corpo rígido jL4S
sostituendo neta seconda dete (2) r,espressione di 6 dutedara (r) si ricava:
ór : -#*scoso,
Htii:TfflJ:1ffT1" i membri dena (r) ed integrando rermine a termine
|n": ftsino+cC, determinabile con le condizioni iniziali d(0) : g
"sostituendo neta prima dere (2) I,espression e di 02 deducib'e dara (J) si ha infine:
si noti che è possibile ottenere direttamente l,espressione (3) dal teorema del'energiaT -u: E e da questo, per derivazione rispetto al tempo, ricavare ra (r)
(3)
Q* : T^c"ini ,
Es.tO.2 In un piano verticale un disco diraggio B e rnassa m rotola senza strìsciaresu ura guida orizzontale. SuIIa sua periferiasi avvolge un frlo d.g ato i n u n "" t, u -J :f:: "";;;' # ::,:r"::î,k. Un secondo frIo di rnassa trascurab,ile siavvolge su un rilievo circolare dÍ raggio Rf 2,collegato ancà'esso ad una molla dlf,ostante/c. Sul disco agísce una coppia di momentoC costante.
Supponendo Ie lunghezze dei frli tali che Ieelongazìonì delle molle sì annullino ,o*u_poîaneamente, determinare il moto del discosapendo che all'istante ìniziale esso è fermocon Ie molle di lunghezza nulla.
Si assuma come coordinata libera l,ascissa cdel centro O del disco, misurata a partiredalla posizione iniziale.
so)-r)#:":auolznlos 3l af,sluroJ 'O : (o)g = L,g)" Il"rzrul ruorzlpuof, el uo, e1er3a1u1 ,aqr
A _ .; ' .-il-- b7r:"rnr+surs + "q: rqv-|:o*Í
:olotu rp ernd auorzenba,l orsruJoJ ,(I) yuolznlrîsos al alrnEasa
T.t 7' z ,r,r; tfrttvz-C-îry*i
:_p olod p olladsrr oloru rp elrluenb allap oluauour Iap auorzenba.l',fr e rfr''s rad alunss" rrtsrzrur ruorzrpuof, ar ar"ruof,s erers ouos rpnb alJau
,9:"n ix7_16, ,X:,
:zA !gg7:rq !q:0A
:aqf,tîeueurf, luotzeleJ rluanEas aJ aluatu"1elperuurrouo)npaP rs ferddoe ellap osJe^ Ir uoJ apJoruo) 0 auo.o,erot rp o10Eue un orlaf,s 'o)srp lap auorz?îor
"eu"ru"l$ rp oJîuaf, 11 q'e1pu Rtlrore^ opue^" ,eprnt o o)srp"Jl
0l131uo) rp _p olund Ir arls "Jnf,rss?
oluaruercsrJls "zuas
oîualll"lolor rp rsa10dr,1zfra1-zA : rn!:V
:?oI) e rluapuodsruof, allo.' ail'p al"trf,Jesa azJoJ a1le yenEn aluourer^Ào ouosIIg anP 9P zJ a Ig tuotsual al :olslp 1ns rluaEe azroJ el el"rzuapr^a ouos e.rn8g u1
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Cop.70: Dinomico del corpo rigido L4I
Es.lO.8 Ia un pìano verticale, un frIo dìmassa trascurabile sì avvolge su un disco dirn:Ésa m e raggìo R ed ha lres,tremo A sog-getto all'azione di una molla di costante k.Determinare iI moto del disco a partire dallaquiete, con la molla inizialmente di lunghezzanulla (iI centro del disco si muoye vertical-men:!e).
Poiché C si muove verticalmente, risultanoincognite solo due coordinate libere, che pos_sono essere individuate nella lunghezza s, del-la molla e nella quota y del centro del disco rispetto ad O.Dal momento che la tensione Î del filo libero è uguale alla forua,tc esercitata dallamolla nell'estremo .r4,, le equazioni pure di moto p-oi;; ;;;ffi il ffi Jnente verticale dell'equazione di moto del baricentro e d.all'equaziorie del momentodelle quantità di moto rispetto a C:
mú:mi-kxmR2 (1)-
2 'j 't: Rka'
dove con cu si è indicata la velocità angolare xdel disco secondo la convenzione di figura.In virtù dell'inestendibilità del filo, la velecità del punto B del disco ha una compo.nente verticale É, per cui la velocità angolare ipuò essere calcolata in funzione di i e ú uti-lizzando la relazione vc : vB +w n{C _ B):
ù:ù+wR
La seconda delle (l) diventa allora:
,n(t l) : Zkz e)da cui, tenendo conto delra prima deile (1), si perviene all,equazione differenziale:
mù * Slcz: mg
ro
(r)ffO_0sot6ut= ú(r+y)*JO - ptrrs 6ut : g(t, + A)uj
:oJluaf,IJ€q lap oloru rp auotzenba ,llap esJals?Jl a el"tper ruorzarord el our€lJaprsuof,'ocsrp 1ap c orruar Ir uo? eprnE e11ap o orlual p aluaEunrEuor
"1"p ol"rrrroJ 0
o108ue,1 eJaqll eleurpJoof, arrro) slunssy 'qltrolno J rp D?r!2ls euorz"lal "l "l"rgrJa^ arassa s^ap oloIII Ir alu€Jnp 'eprnB ellns of,srp lap oîuarrrsrf,srJls
"rs r^ uou gqrusy
'aJ"r?sfJls ezues o1gotdIep ozzaw yp oyund y ataEunr?Eet essod ocsrpI ?tpurye rl tp atoyet owlulw F eteurwrep1
'e77e 4td euorzrsod eyapelrunssord u! owreJ ? orslp y ayuawyercwl .tl?luar?gaoJ tp o)rle?f' ourne un lp ?lJ!^ u!tg or7?et rp ezueraJuo?tn tp oTnnb un nsaJ?fos.rJfs ezuas e1oloJ ,,t ot88et a ut essewlp 'orslp vn eleuyet ouetd un u1 ?.gT.sg
'el"f,IlJo^ oJaqrl oJg I opuauoddns a ar - z opuaurnss? slleJsrppos aîuaureJrluapr ?'o.rluarrreq lap olo.o rp auorzenba.llap al"ruozzrJo aruauodruor u11ep elep (o1our rpauotzenba p.zJal eI'orgrrads os?r IaN 'eualqord lep euorznlos
")run.l Q esse rlsrzrulIuolzlpuos al a IFIzuaJaJIp luolz"nba a1 e;srppos slsloJl auorznlos pl as eqt ar"rrrJe$"tp ellarnrad rl"rzrur ruorzrpuo? aleuEasse rad olorn Iap auorz"urruJalap e11ap ztualqordIap auorznlos
"ilap ?lr'run(T .(aluaruletrlle^ e/\onur rs C aq, rsa1odr,1 uot) g elu"lsoJerols^ F rrorrd e oleuEassr olels a ,o - c alolla^ lap z aFluozzrJo aluauodruot e1aluaruesrf,ard .oprtrr odroo 1ap alaqrl eleurproo) allap eun p? arp eJ"?ou end tS
tJ"rzrut ruorzrPuof, el uo3
(a)
sot -
:auguropuertalur pa (1) a11ap
sof, -
*ofr:fr'
euer?to !s (9: (O)0 ,on : (O)n)eurrd e11au (g) sl opuentrlsos
x
ùffi+ 4a9
ù#=:ourcIuallo (O : (O)+ : (6)z) aleuEasse tlerzrq ruorzrpuof, al uof, opuerEalEl
optbtt odtoc I?p D?navut6 :gy.drg g?f
,ut (3 - '{8
.ut (3 - '{8
Cop.70: Dínamica del corpo rigido 149
che, una volta calcolate d e d2 in funzionedella posizione, permettono di determinareOr e Or.Per la determinazione di 6 e ò2 Aconvenienteutilizzare il teorema di conserr"azione dell'-energia osserrrando preliminarmente che, invirtù del rotolamento senza strisciamentó, ri-sulta tr : g(n + r) lr. Si ottiene così I'equa-zione:
O
f,|^e+ù2 à2 +^c(R+r) cos d : ms(R+r)
dove si sono poste le condizioni iniziali d(0) : A1O; : g.Risulta pertanto:
02: 4 9(1 - cos d)
e, per derivazione:(2)
(3)
R+rt; 2gsinf l0r:--
3-RirDalle (f) otteniamo così:
c I I ^^F: i
' r : 5me sin0^ Oiv : |mg(I cosl - 4) " i \ruk/\9 Nlrt\p
Poiché nell'arco interessato è Q;-pÍ" o,v ) 0, non si ha distac.r, "*m non si
verifichi strisciamento, il valore p del coefficiente di attrito statico deve essere noninferiore al rapporto lorl/loivl per tutti i valori di 0 compresi tra 0 e rf +:
t'. -#=
ve e 10, fl (4)La funzione a secondo membro della (a) è chiaramente crescente con 0,per cui è :
Fnin.: p(b : rf t) : --{'z--zt/z - s
(e)0:4
-enba epuoeas sr auarrlo rs '(T) arrap "zrar e1 e etuud "r err ro ilffi:il:i:r-"-(z)
"g!- : Q
:olotu rp ernd auorzenba,laualîlo rs g1r,rr1rséd oJol ellap qlrrir ur 6ruorz-enba anp arurrd all"p tl"p ,116 a J6 Ip lrol-"it r
"urlln,lsanb u! ItteJul opuenlllsos .ol-uaurrrroru lap auorz"unuralep e1 ouollaured'qruolnog rp auorzenba.lle aluauelrun .aqe
(r)aro- :4"artl
Ne: z|awto-: ouw
:erualsrs p o8onl ouupp oJlueclJ"q 1e o11adsr.roloru Ip p111uenb ollap oluauour lap auorzenb-e,1 e 'esra,rseJl a aprpsr auorzeJrp ur el"l-larord ,orluacrreq
lep oloru rp auorzenba,l'oluaruerrsrJls ollep eutruJal Ie outs (alerzrur euorzaJrp
Ens 3ll" aurroJuoc) ernEg ur "le)rpur auorzeJrp
"l auarlu"Iu .o10rd 1ns oluaruerf,srJls
lP Rll)ola^ e11e olsoddo osra^ uI "?laJlp 'a1ua8ue1 aluauoduroc e1 lezuaraguoerrr
cflap ouJalsarl osJa^ sllallp arassa a^ap a''Jof,ura auorz?oJ "llap
aleruJou alueuod 'rrroJ 3T '(or tp osJe^ Ir uor apJof,uoe) o11aue,lap euorzsroJ rp o1 010Euerl a al"rzrur)uolzeJlp
"ns er uo) srrrJoJ oJleuerilap oJîuar F uor o10rd g aluaSunlEuo) ?r er{) d
ryo3ue,1 eJaqII ar"''pJoof, a.'o) ouerunsse rs :"l,aqq rp rpe.rt enp aparssod odroe g
'olueunef,suî.s lP ?l!"ol-aA eI eilnuu? rs fnJ u! aFrell./!.I aleufirrrala(I
-etnt-g lp lryaweluoyo yE uot rpJo)uoJ eqtnerl-ve'oa ?*JoIoA apalssod oJlua) ons F po omatelo?ue ?WJoIe^ uoJ elonl olpueJ eluaw9:rz-!q '! oJrtrneutp olyltr- tp e?uorlg:ao? rp org-eJs ol?eluo? un vol ossg olord un pe oler?-Eodde e g o8?et e W esirzw rp oaueiloanooryaue un 'eleluozztto ouerd un u1 g.Ol.sg
optítt odtoc pp o?uavurg :6y.dog OSf
i
ii
Cap.70: Dinamica del corpo rígid,o l5l
Integrando una volta rispetto al tempo le (2) e (3), con le condizioni iniziali a1o; :uo/R e p(0) : ar6, si ottiene:
, ,2f5,a-, . "oJs 'P - -o - R(RT;orù0- R + a6ft
la velocità di strisciamento si annulla all'istante f1 in cui risulta nulla la velocitàRò + R9 del punto dell'anello a contatto con il piolo .tf . Dalle (4) si ottiene allora:
t , - R(ro+woB)' faokto - woB)
Come evidente dalla (5), affinché lo strisciamento possa aver termine è necessarioche i valori iniziali delle velocità verifichino la condizion e vs > uoL.
Es.lO.6 In un pìano vertìcale unrasta omo_genea, di rnassa m e lunghezza l, ha lrestremoA scorrevole lungo una guida orizzontale Iì_scìa ed è ìnízialmente in posizìone veúicalediscendente.Determinare, in funzìone della posizione del-I'asta, il valorc del momento M della coppìada applicare all'asta affinché Ia sua velocità"angolare u sì mantenga costante durante ìlmoto.
Assumendo come coordinata libera I'ascissa c dell'estremo ,4, e l,angolo d che l,astaforma con la direzione verticale, si osservi che nel problema si impone la legge dimoto 0 : arú' Essendo liscio il vincolo in .4, la reazione è diretta verticamlite-equindi si conserva la quantità di moto secondo l'asse c di figura: esprimendo
"" ,"funzione delle coordinate ribere si ha z6r : î * (rl2) sin0 e pertanto:
Qx : cost. + mùc - rn(ù + f,à.o"d) :.ort. (1)
Il moto risulta così determinato note che siano le condizioni iniziali.Per quanto riguarda il calcolo di M,è da escludere il ricorso al teorema di conser-vazione dell'energia in quanto si ignora se la coppia, incognita, ammetta potenziare.
(4)
(5)
' .erEraui(llep el"J8alul,l ?olr .o1oul Ip ourlrdapr3alur un uo) lsJenllaJa Qnd otour lep euorzeurrrrJaîap ol ral"lúozzlJo euorzaJrp
"l uof, elsanb
"p oleurroJ p o1oEue,1 elu"lparu
"lse.Ilep euorzrsod
"l "lenprÀrpql
essrag r.rrd euolzlsod e1 rcd essed egseryap youorlsal arprone opar lP olle.I eJeutwJaloo
'aleluozzrJo euowls-od ug a(ara! ? "ts",I ?luauIevrul 'or1ueJ lepe1anb
"ssals eye oXsod " ezuar"Jrro)JrJ eIIa
ayuauagtedde Br ossg oTund Ie ouJolle aIoAeJ1t outed un rp ouJolrr\Ile efio)s el*rL "Uoy?Eet Ip "ssg ezuereluo?rrJ evn ns aqqola vourcrlseJ eq 7 ezzetrytunl e ra
"sspru rp eaueí-ouro else.vn'a1ecrytat oueld un u1 t.OT.sfl
(z)l1zuq ffi* 6rurs lqut : y,t1
:augu eualtlo Is 'îo - 0 aqt e (t) e1 a1e,r eq) 'J Ip euoTze lrap "llau 'opuep.rorrg
, ?,r v ^,7, l"Qe ezu$zQ d+"28)*i:
"aft|* tZu + c"ù*l: a:auarllo rs 'Eruaoy rp
"ural-oat I uof, J !p oloJle] 1 opuanEesa 'alluaru
7,-1urs 0:6ut - ?N : ofrùut * 0W : lI
ta1e,r rluaEe azro;ellap U ezualod e1 :[f f 'òf l errrroJ e11au erEreu-a,llap srua.roal Ir a.r"zzlllln e11q1ssod ara^tn .S
optîtt odtoc pp o?rraour1 :6y'dog ZgT
Il calcolo dell'energia cinetica mediante il te.orema di Koenig e del potònziale della forzapeso richiede la determinazione della posi-zione del baricentro G dell'asta in funzionedi 0. Poiché:
cc: R( l *cos20) - f .o,a'2
lc : Rsin2o - f , " rneI'energia assume la forma seguente:
1 o, Lmlz t -r - u = ;m(ùL + ùU * ; u er - meuc7t2,: !m(40z + ! - 2atcoso\o2 -, 'Z \ - - - B ---- , - 'ng(.Rsinrt - rs ind). :0
dove si è tenuto conto delle condizioni iniziali d(0}: O1O; : 0. Si ottiene così;
Àz _ q^ Rsin2î - ( l l2)sinîo=rgm
C.op.10: Dinamica d,el corpo rigido tbg
(2)
espressione che deve essele non negativa per tutti i valori di 0 nell'intervallo inesarne,cioè0<0<rl+. : . . , -Il denominatore della (1) è sempre positivo, mentre ir numeratore è positivo per:.
t^(cost > -4R
l
iìIilIiiil
1i.li
(1)
Essendo cosd decrescente con d, è sufficiente verificare la-(2) in corrispondenza.alvalore massimo richiesto 0 : r/4. Pertanto se i parametri del sistema verificano Iacondizione I a ztfzn il movimento richiesto può aver luogo, e la velocità angolareò1 vale:
. r n_tp\/z0r: t lzo '' V '4R2+tr l t_r /zm
OSSERVAZIONE :.
Si noti che, essendo il punto C di figura il centro di istantanea rotazione d.eJl,asta,I'energia cinetica può essere calcolata anche con la formula
I .^f : -rhe2 (Ic = Ic + mCGz)
., l i.ì i
\J ' , .
-- ,t!
: l0J
:rllnsrr er{r orJssse)au a auorzenba epuof,as "l
aJeJsrppos Jad eJlueru ,e11e;s-lppos a auorzrpuoe eurlrd q'7,1)L - g rcd aorr'oa1eug, auorzerntguo] sllau :elerz-Iur
"lrrola.fi ellns auorzrpuoJ
"l arauallo aîuatulrf,"J rod gnd ls €ruelsrs ossals oll"o
'aurpJo orurrd I" elîoprJ erE 'o1otu rp arnd ruorzenba anp arsruJoJ srual$s aleJ
2o*1:0J * (rurs yqrc - z,.zI r "ù*1.+ "+*!
O: (durspl - q)ut +qut
:"ruroJ e1 rpurnb ouour-nss" oloru rp ruorzenba anp aT .p1 aluauod-ruof, uor els".lle aleuoEolro opuof,es II pa ?alueuodruoo uo) Í asse.l eruof, oîleJrp ourrrd1 'rro11aa anp ur elsodruoaap ,ernEg ut elef,-lpul Q €. rp glrJola^ el arluaru ,u a1e,r y rp€lrrola^ e1'aluauretalo .erruef,Jaur erEraua,la olotu rp elrluenb sllap el"luozzrro eluauod-ruor el 1pu1nb ou?^Jasuo) rs :onsrl orEEod-de,11au aJelorur^ auorzear
"ll"p a (a1ue1sot)
erddor ellep atrnlrtso) ouos auJalsa azJoJ aT'eprnE el uo) oleruJoJ essa
"p p o1oEue,1 e
"îs?.llep y orua.rîsa(llap
t "ssr)se(l aJeqrl a?"urproof, aluo) oueElars rs !q1raqr1 rp rperE enp eq
"Iuel$s I
'Zf u YP e7e7-onJ a essa opuenb r1nuue rc elce.ilap olornlp oneJ arp opou ur oa ate[ocle) a olou rptprzuercglp ruorzenba eI aJeArJ?s ,ft, esser1reeste/únba oo gllcolea elqqe g oq) e e\nu?T)oIe^ elqqe V eluewplztu! aqc o1soddng
.etnE
-g ur ataoJ olelueuo elueFo) J olvawou tperddoc eun ats?e e$41ns .ut esseut len8ntp ryeualeu qund enp rur"Jls? q?e ecet a rass?úIl" olylry ezues olelo)urÀ v oureJlsalerl'elrqetncsetl "ss'sur
a 1 ezzaq7unl rp . gy e1s-e,un fr't eleyaozztto ouetd un u7 g.OT.sg
optDt.t od,toc pp D?rutourg :97'dop ?gT
+ 9ou"9 or
v-
Cap.70: Dinamico del corpo rigid,o lE5
Es.1O.9 II corpo rigìdo omogeneo di figuraè cosúiúuiúo da due dischi, di ugual m'assa me raggio r, collegati tra loro da unra-sta CD,di massa m e lunghezza2l, ed è girevole at-torno aI punto medìo O dell'asta.Determinare iI momento M della coppia daapplicate aI corpo affinché esso ruoúi con ve-Iocità angolare u costante attorno all'a.sseverticale fsso passante per O, mantenendosiin un pìano verticale con l,a.sta C D inclinatadi un angolo a sulla verticale. .i)-
Dovendo determinare la sollecitazione che imprime ad un corpo rigido con un puntofisso un moto (non piano) assegnato, è naturale il ricorso alle equazioni di Eulero[10.30].A tal fine, determiniamo anzitutto gli assi principali d'inerzia ed i reiativi momentid'inerzia del corpo rispetto al punto fisso O.Osserviamo (vedi Cap.2) che, essendo il corpopiano, l'asse z perpendicolare al piano delcorpo è un asse principale d'inerzia. Il cor-rispondente momento d'inerzia C si calcolasomma.ndo i momenti d'inerzia dell'asta e deidue dischi:
n _ m(zt)2 , ^ , f f i r2 . r , \ , ìt : -d-azl z imlt*r) . )à
: iml2 * 3mr2 l4rnlr3
L'asse c, coincidente con la direzione dell'asta, appartiene al piano del corpo ed è disimmetria materiale; esso è quindi principale d'inerzia ed il corrispondente momento-4 è:
A:2^" : r r l r242
II terzo asse principale d'inerzia, asse y, giace allora nel piano del corpo ed è per-pendicolare all'asse c, cioè all,asta; il momento d,inerzia B è:
B : Y(2!: * rl+ + m(t +,),1 : I*,, + f,*,, t 4rntr
:
'eîIrlsor oInPoIu "q pa odrof, lap ou"rd I€ alueulrelorrpuadrad €lterrp lpupb ? a.rf,lldd?
"p "!ddo3 er
rr sor r2 ur.s "m(t1u'
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+ 4*9r) : 'w lo : nw : ,N
:euarllo ls !,p,q,trbrd lpe C'€I 'y 1p lrolerr rlueparard I [Og.Of] oJalng 1p ruorzenba allau"roII" opuanllîsos
'alu"lsol rn opuessa elFu elînl ouos rlerodual els rJap oJol al a
0:l . loutsfl):ó , psof,fn:d
:"rzreur6p pedreupd rsse ptoPuQlas arel0aue R{)o{a^ "llep
rluauodruoe a1 elou ouos 'oleuEesse Q olotll II ?qrlod
op16gt odtoc pp oelral;oulg :gy.dog g9T
Cap.10: ,Dinamica d,el corpo rigido L57
PROBLEMI PR,OPOSTI
Problema 1O.l lln'asta, dí massa m e lun-ghezza l, è girevole in un pìa,no orizzontaleattorno all'estremo O ed è soggetta ad unaresìstenza dì tipo viscoso (ognì suo elementods è soggetto ad una foma ka ds dìretta insenso opposto alla sua velocìtàt)Inìzialmente l'asta possiede una velocità an-golarc ws: determìnare ìI moto dell,asta.
l0 : u9.1r - e-ktt/m) l' k t_ '
Problema 10.2 Ln un piano verticale un,-asta omogenea ha l'estrcmo B scorrevole lun-go una guida orizzontale e si appoggia ad unpiolo fsso E. Inizialmente l,asta è in quieúein posizione prossima alla vertìcale.In a.ssenza di attrîto, determinare Ia velocìtàtangolare wy dell'a.sta quando vìene a man-care l'appoggio sul píolo.
Irt = t6ffi l
Problema lO.3 (Jna lamina omogenea, díba.se b e altezza h, si appoggia in A e in Bad un piano inclinato di a sull,orizzontale;l'appoggìo ìn A è liscìo, quello ìn B è scabro(coefrcìente d'attrìto f ).All'ìstante iniziale Ia lamina tra.sla verso ilbasso con velocità us: determinare il mas-simo valore del thpporto hf b perché duranteiI moto non si abbía rìbaltnrnento.
frl lLo)^," =
: ,o*0 ,t-hprsoc?l.-ersorgl ITr@6e
'olow lt alueJnp 0 tp "Jole^
oursssrrr /r paeuorzrsod ery"p euomunJ u! eqe.nep anlo7ueeJrrola^ eI areuuare1ap .o1u1qe rp ezuesse uI
'eleluozztJo euorzrsod u! eurJa'J ? eq,z-r1a?u"wplzlul -eptn8 enep I ezuelstp e H ossl1olord un pe e8todde rc a eIe?rUeA eptn? eunns aJaJJors e olelo?utl v owe4so.l eq ,I'ezzeq8unl W,gV el*,I g.OT Btualqord
I @* + aùy'lgfrt ) ota I'olou Ir alueJnp oluaraen$JF lrpwJe^ rs uougrl"ulge oa tp atolet ourrsspur I! aleurwrelacl
'"frslJls uou o)stp y pa oo ?y)op^ eqg'g ezzeq7ury eq eilow eI eryew1z.lzyl -rtaluepor lp eilow eun ep eplnt eilop O ossgoyund un pe oge8ayoc C orlue" p eq pa (rlo)ryep ory4le.p aTuengaoc) eJqers oleluoz-zuo eprnt ?un ns aJerJsuls ezuas
"Jelolor gnd 'A ol?Eet a 7u esseur tp ,oauetowo otsrpun 'a1euytat ouetd un a1 7.OT BtualqoJd
opt6t,r odtoc pp o?nuDurq :gy-dog ggf
Itl "=
"Ql
Cap.11Dinamica dei sistemi
I metodi per studiare la dinamica dei sistemi con le equazioni cardinali sono analoghia quelli descritti nel Cap.5 per lo studio del loro equilibrio.
EQUAZIONI CARDINALI
Durante il moto sono verificate le equazioni della quantità di qoto e del momentodelle quantità di moto: f
dqdt
:R*R' ' #*voAQ:Mo+M'o Ir r. r]
sia per I'intiero sistema che per ogni sottosistema parziale estraibile da esso.Il risultante ed il momento risultante a secondo membro delle equazioni sono quellidi tutte e sole le forze esterne, attive e reattive, del sistema parziale che si considera.La quantità' di moto ed il momento delle quantità di moto sono quelli del sistenaparziale che si considera, e possono utilmente essere calcolati come somme vettorialidelle corrispondenti quantita per i singoli corpi rigidi e punti materiali costituentiil sistema in esame.Se i vincoli sono perfetti, utilizzando le equazioni cardinali anche per sistemi parzialiè possibile ottenere equazioni sufficienti a determinare il moto e, in assenza di ,,iper-staticità", le reazioni vincolari. In presenza di appoggi scabri, occorre introdurre,per ogni singolo appoggio, I'equazione di coulomb [9.19 ], per la quale si rimandaal Cap.9.Non essendo sempre possibile ottenere direttamente equazioni in cui figurano comeincognite solo le quantità che si intendono calcolare, ed in particolare equazioni puredi moto, è necessario opetare in modo da introdurre il minor numero possibile diincognite ulteriori oltre a quelle esplicitamente richieste.
:
if
III:i
'0I a 6'd"C rluapaf,ardrau alnualuof, ruorze^Jasso all€
"pu"urrJ rs ('f,f,a ttuerd ruralqord r ttralellun nof,ulrr
t 'o1uaure1o1or ornd rp rlof,ur^ r 'o1ou lp FEIJd tler8alut t1t ep.renttr oluenb .ra6
[e't t]fl: fl- J
:sf,ruef,3aur er8.raua,11ap aprtalur,lalsrssns '11 alerzualod uor 3ant1e^Jasuof, ouos tautalsa eq) euJalul ets 'aar11e azro;a1 rod as 1o1oru rp ernd auorzenba,un e [Z'II] e1 gtte;:ad ouos 'tutalul eqf, luralsaets 'liolura I Iltnt a rssg ouos ruJalsa IIof,uI^ I as aqf, arelottped ut oE"tPJof,IU
'rl"uTpref, ruorzenba tluaperard all"p aluapuadrput alerauaE ut q auotzenba a1e1
'opt8rr odror oloFurs p rad apef,'" oluenb "p
aluaúesJaltg '"rnalsts II lluanîIlsocrl"rJaleur rlund rap a rprErr rdroe rap Rlrluenb arrrlladsrr ellap suttuos aruot eloll"l lsaqe (erualsrs
lap ")rlaurr erEraua,l q ; laa111ea.r al{f, a^Il}s ?ts teuralsts le ?un?ur
"zro!ollap
"zua+od e1 q rz a a^rîlqar e alrlls ?uJels? ezroJ allap azualod el ouos /U e II aÀop
[z'rr])L+lf+u=TPJP
:auorzenba,llsp ollopeJl a ertraua,llap euraJoal I
YIDUgNg.TlgO YrugUOgJ
tut?lsts r?p p?tunur6 :yy'dog ggf
ESERCIZI RISOLTI
:l1T* condizioni o" >;;;;';sistema:
&dt
!9rdt
Cap.ll: Dinamica dei sistemi 16l
Es.I.I..l II carrello-scheaatizzato in fr.gura.si compone di due_&scùj omogeneì, di ugualnea.ssa m e raggío R, che rctolano i"*" "rr,scr'afe su ura guída orízzontale e dí un,astaom.ogenea, di lunghezza,
" _*"" M, ,huunisce i loro centú. (Jn aotote interno aJsisúeaaa esercìta unzmento orarîo
" ,rr'r;::::i::ri';* me
Sí determìnì íl motd ur r. q,;;;' "; ;;:;,: :," í,i,ui, : "t;: ;;quale viene meno ilguida.
contatto tta carrello e
fi.assuma come coordinata libera l,ascissa ndel punto u{, a partire dalla posizione iniziale.L'asta rigida di collet""ur-"o't";;';"#il:,11",.,:.T[:::J;
II
Oltre alla determina:rie'ioJ^ r_ __ -zione
del movimento, sirichiede ra verifica a"rr" .oip'il;;#::,,:Il€
;:i::t l_,,":olari negli .oo"*u, .", ;;;.-teralità del vincolo: f"."rrdo iifuil;;.t*rfatte le "orrairiorri orv I 0 e lp - ) ,., ", ^11 _l*ura, devono quindi risultare soddi-r soddi-> 0. Si scrivano Ie seguenti equazioni per l,intiero
=R"+RL:
= Ru + RI:d,l p-F=Mx*turh:
(2* + tut) i : 'O, 1y,(2m+ù[)c- o,rr-rpr:o
(1)(3-+ M)Ri=Mo!_r_tmOL_úuL
e, per cia"scuno dei dischi, liequazione del momento delle quantità di moto rispetto
Ic
{s)
(z)
.olu"tueL-onu eralal rs
"ura?s.rs y odwaT oTuenb odop
aleururralap :osodrt lp auolzlplr@ w eiloweI uo) 'a1ernb u! aluewprzlu! ? e:ociaqts II
'Zll > t otlweulporyrlry rp aluaegao? uoJ . otqecs g epm? e1e 4 oyund Ir eJ? oll-eluo) U .ap)qtez. ouerdun ur ogsod 1 etn?g rp
"rzatsrs il. e.TT.sg
'(Z) "t
a (1) a11ep eurrrd e1 er1 rluaEuel ruorz"ar aloPueururla ar{f, af,a^ur t(s) erno euorzunba,l aluau"}leJrp a)sruJoJ auorzs^rJap rad eqc'etEraua,ylep a1er8a1ur,1 uof, rsr"nuaJa gnd olour lap oro)reJ Ir ar{) augur o-rr,rrn..g
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:olou rp ernd auorzenba,l arnpap 1s (7) a11ep a (1) a11ap eurrd e11eq'ouJalur o alol'ru Ir aq) a
"rua?srs lep oJluef,rJ"q I3 'luaue1a11ered a^onu rs 4r olod F aq) oueJ lep oluo) ornuol e Is (r) allap szral "l
ara^r's ollau eql oru"r^rasso
atn-:::= : s,,w * ta: {^ 3 7Au' e JPare-":lh :'{,wt"^:#
:oJîua) I3
rut?lsrc np octutautq :yy.dog Z,gT
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.Ì'ì,iril {tf li,
Cap.71: Dinomica dei sistemi
Dando per scontato che il centro del disco simuova verticalmente, il sistema ha un sologrado di libertà; come coordinata libera scegliamo la lunghezza o della molla, ed analiz-ziamo separatarnente il moto del punto P edel disco. Sul punto P agiscono le forze in-dicate in figura. Si osservi che il verso dellacomponente 01 della reazione è noto graziealle condizioni iniziali, poiché il punto è ini-zialmente fermo e la molla non esercita al-cuna forza: il moto ha quindi inizio nel versoconcorde con la tensione del filo e la reazione ha verso opposto sino all,arrestodel punto. Dall'equazione fondamentale della dinamica applicata al punto p si haquindi:
rn i .=T-@7-ler , eN:m0da cui segue che o7v è sempre positiva. L'equazione di coulomb [s.rsj, in cuipossono essere eliminati i moduli per le precedenti considelazioni, assegna quindi ilvalore ilr: Ímg, per cui dalla (1) otteniamo:
mi+kE:T-îrng (2)
Si consideri ora il disco. L'inestendibilità del filo e I'assenza di strisciamento tradisco e filo a.ssicurano che il.punto .I/ ha velocità nulla e che il punto K ha velocità.i verso il ba.sso; si deduce quindi che la velocità angolare ha componente orariau : ù12È.. Dall'equazione del momento delle quantità di moto rispetto al polo r/si ottiene allora:
3 _Tmrr: rngr - 2rT (3)
Eliminando ? tra le (z) e (s) si ottiene così l'equazione pura di moto: L11 . li * r*kx=(r- f )*o
che, integrata con le condizioni iniziali r(O) : t(0) :0, ha la soluzione:
t :g=.Dm!( l_cos f f i r lDerivando rispetto al tempo ed imponendo che à : 0 otteniamo infine che si haarresto per:
(r)
llm8et:T
(z)
(r)
g o1oEue,1 e 1so)AZolund lap Rlrrola^ "T srrraloal p 'oleuEasse
(g1sot * gsot)g6u,rZ =.ft{
:oupruelîo (f) elpp ,(Z) rt opu"^rreg
ewsvT- Dn ' gTursg - aft
:96 rcd eleluozzrJo oJleurerp1ep, a.nlred e alslnl"A ouos d olund lap a else(llap g orluecl&q lep alonb a1 a,rop
O : afrîut - gfríut - 0I4l : lI
:auorzunba,l oluepad apn'0: u euorzrpuof, elle etnprJ rs ert.raua,11ep
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:opuassg 'g rp uelod eîurprool al ouos: g o - d eq) opue^resso ?lelolFt eluaulrf,"J eJessa gnd B.'JlV oluaruoru lap auotz"urwralep elp atuarlgns E er8raua,llap? oloru Ir pe R$aql1 rp oper8 olos url^
"q "tua1$s ll il{?lod
'owneve.Ilns eF].lesa ezuel-elao)Jr3 el ar[z erelo}urÀ euotreeJ eI ?wuoutawogtun ?vornelot el eÍrtryrenE nd egsergearcctldde ep eddot eilep W oluarnorn g etn8-g W e olo8ue,lpp euoruunJ w ?JeúrÍrrJeIaCI
('epTuozzrtogg nd orpurerp g uoc}A : CO oy?Eet a gaJlua) Ip "ssg
ezualoJuosJrJ "IInS
rsJa/ronrlr ?ole[orurt eqrve q apnb p .utessew lp'g aull-Iau" un eJaJJoJs ond sssa Ip nS .O eJeruleJeIIe oulone o eyre?svl atelotuz ?g;aop^ uoJeqont 'gV ezzaq?unl a ut ?ss?Er gp ,yg eau-e8owo else1 o[erlltal' ouerd un u1 g.TT.sfi
tru?lsrs t?p o?tutourg :yy,dog fgT
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Cap.17: Dinamica dei sistemí 165
Per il calcolo della reazione vincolare tra a-nellino e circonferenza, si consideri il motodel solo anellino, che percorre la circonfe.tenza con velocità di modulo costante 2R0 :ZEw ed ha quindi la sola accelerazione cen-tripeta:
(3)o^:* :4u.fR
Il punto è soggetto, oltre che al proprio peso, alla reazione vincolare ú dell'asta,diretta normalmente ad essa, ed alla reazione O della circonferenza, diretta radial-nl
mentel proiettando I'equazione di moto del punto nella direzione dell'asta otteniamoallora:
tn&,.cosd: - iDcosd * mgsinl
da cui segue, tenendo conto della (3):
Q : rng tan d - 4rnu2 R
Es.l.I..4 In un piano orizzontale un'asta o-mogenea OA, di massa M e lunghezza l, ègirevole attorno a.d O. Un punto mateúaleP, di massa m, si muove lungo I'asta da.Oveîso A, frenando opportunamente in modada mantenere costante iI modulo u della sua.velocìtà rispetto all'asta. Inizialmente P è inO e l'a.sta ha una velocìtà angolare ws.Determinare Ia potenza del freno,
Il sistema ha due gradi di libertà, potendosi scegliere come coordinate libere I'angolod di rotazione dell'asta e I'ascissa s, misurata a partire d.a o, del punto p lungoI'asta. Poiché il moto di P rispetto all'asta è assegnato: s : îrú, e I'unica forza attivaagente sul sistema è la forza internaesercitata dal freno, I'equazione di conseryazionedel momento delle quantità di moto del sistema rispetto alla cerniera O è sufficientea determinare il moto; una volta determinato il moto, la potenza n del freno puòcalcolarsi con il teorema dell'energia.
.ernEg ut al"Fodlr a (1.degaln^op ruorz"Jalaf,rs ol aluaruJ?rJolla^'d rp oîoul I ollnlrzue oErrJaprsuoc
.Br "p
eJrlJed e ,esnu-a1odr,i o8unl 3,Ip s' essrf,s?rl a y Ip s ?ssrf,s?.I eJaqtl aî"urpJoof altrof, ou?urnss? rs
.oluaurt^o{E [! ?JewwJel€P
:EI : d uoc alarnb ut a?uau9lztq ? "ua?qs,I]" 'cg o?eryTIns olrJlrc ezues oyer?Eodde I .ut essew rp'4 ayeuaqera oqund uy1 .! otranwp ol!4prP e?ueQwaoJ uo? eJqezs
"leluozztlo eplnaeun pe CV esnualodlrl uot egBodde rs a eI"J-ryaa ouerd un ur etet? .ut essr.lvt tp eauaíewo 'CgV enlo?ueuT eurrrre[ e7 g.f f .sg
zG?znut * zIW)lln7nvllh[ru
:oua{ 1ap ezualod "l
rsotr ourcruallo .odrual 1e olladsrr opu"^rJaq
.n*!*zlznut'*zîAI9:l - - , Z 9 -"'-*i - zovlzW i - (rfrt + rn)*i*
"Q* : J
:?uralsrs lap "trlaull er8raua,l €Jo oru"rJoll"C
zîznu't + zIW __n;rîw_ = g:IN)
"Poo t -e(-l,nu,t+ t )
:"roll"zlht Y\z'z'--' zlryt
e'rl"rzrur luorzrpuof, allap oluo) opuaual .f(r**+t,lzlry) _ J :oîou rp elrluenbaliap oluallolu Ir a-rpJo)i"r alualulr?eg gnd rs ,e1se,11e arelorrpuadred ,gs
"$a^seJ? eluauodruor elleu a n elprpsJ aluauoduror eilau olund lap ?lr)olaÀ e1 0puauodruocg
rut?lcts t?p o?tutDurg :yy.dog ggT
rpaa) s a r a1"urpJoo) allap auorzerre^ ?lleopuauodurot aJelo3l€t ond rs auotz"Jalaf,f,".T
:lPJP
t,
',o l.i
Íi '
,y
Si ottengono così Ie equazioni:
m(.i + Í cos a) : rng sin arnisinc : ú - rr lgcosa (1)
Poiché I'azione del punto sulla lamina è voltaverso I'interno della stessa, nelle condizioniiniziali di moto incipiente Ia sua componenteorizzontale determina il moto della lamina,che awiene pertanto verso sinistra, almenosiao ad un eventuale arresto.
Dalle (r) e (2) segue che:
La relazione di Coulomb Or :ssendo i loro argomenti positivi,
r cui soluzione, con le
úegrando poi rispetto,0) : 0, si ottiene:
La componente tangente alla guida delle reazioni vincolari della guida sulla laminaè quindi diretta verso destra, concordemente ale notazioni di figura. L,equazione
::[11ffiJ:,:|,ili:, della sola lamina, in direzione orizzontatee verticare, dà
-tlsin a * 02"Qy-mg-Vcosa
or = m(l * sin2 a)i + mgsinc cos cOlv : rng(l + cos2 c) * misina cos c
Cap.77: Dinamico deí sistemi t6I
(2)
iniziali s(o) :
n1,I :
0=
/iDry, nella quale sono stati eliminati i modulifornisce I'equazione pura di moto:
(1+. i t t 'a - /s ina cosa)Í * gsinc cosc: f C( l +cos2 a)
condizioni iniziali Í(0) = i(0) : g 6.s inccosa+ f( l - - | :s1ù-,z* - tGJ.i"%=sinc cos a) "-
al tempo la prima delle (f), con Ie condizioni
"_ s i { ra_/cosc _*z1*sin"a-/s ino.o.o""
, j
a_\ x-\
\\,
Dt1
rì t,
el "luo) psnue?odr,J o3unl epuars 6r olund p
(r.soo + I) _;so;r?ur. < ?/
Dueî?- = r?ursUrn- = /t
.D r.p r essrf,s?(J eraqrl "r"urpJoof, aurof, oru*"r"ln;o.'#;j ralqs lap o?oru lr a'nurruraîap
" alue'gns u;;, ;;,;;i",ffirrralurrl el.,ssns rjrad riocura r opuassa pa a^rl?^Jasuo) a^rlle azJoJ
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:rpqnb a o)slp 1ap (er.rer +11ue) areloEue R?!eo1aa e.I .E "p
rrursAr eC eP n solAr
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"JoJ[" e^oJl ts of,srp Jep euorz€îor eauelúe1srIp oJluat 11 ."uTrtr?J
"JIap auorz"ls"rl Ip f Ftlsola^ e11e aJenEn q 17 olund 1np q1rro1n,, e1 'eurtuel "JJns "rf,srJ+s uou of,slp II ?q)lod
'p etunl silow el uo) owJal oluaaqevtutogsoddns ,?trra3srs
["p olow 11 "rrir_r"1"q 'aprn8 ailap onarJw.ne elessg ,EalueFor tp .epou eun rp auoneJ[e o77"àao,g 'e.rcq; epluozzlJo eprni
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Cap.77: Dinamica d,ei sistemi 169
Integrando rispetto al tempo la (1) si trova poi la relazione geometrica:
A:_stana-|cost .
L'equazione di conservazione dell'energia:
'=u1'+:yÍJ=- +Lrnù2tanz a+:kr ' - msrtana: E2" ' - '2 2 Rzcos2o ' 2 ' rÚ' ' 2 'uÙ
derivata rispetto al tempo dà, luogo all'equazione differenziale:
{ }u + tY * m)tan2 a) i + kr : mstana
che, integrata con le condizioni iniziali assegnate c(O) : d,ù(O): 0, ha la soluzione:
rng tan e , , mg tan a,' : r , +[4- k Jtot
Es.1l.7 In un.piano verticale un disco edun anello omogenei, di ugual raggio ed ugualmÍùssa, rotolano senza strisciare lungo unaguida rettilinea, inclinata di un angolo c su/-I'oúzzontale. Tra disco ed anello si ha at-trìto, di coeffi,ciente dinamico f .Determinare il moto del sistema a partiredalla quiete.
La presenza dell'attrito tra disco ed anello esclude la possibilità di determinare ilmoto senza scomporre il sistema nelle sue parti; infatti nelle equazioni cardinaliscritte per I'intiero sistema compaiono le reazioni esercitate dalla guida inclinata,che comportano I'introduzione di quattro funzioni scalari incognite, ed il teoremadell'energia non è sufficiente a determinare il moto per la presenza in tale equazionedella potenza della reazione vincolare interna tra disco ed.anello. Poiché è quindiin ogni caso necessario considerare il moto di una parte del sistema, analizziamoseparatamente il moto del disco e dell'anello.
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T)Z-Purs6u.r4- I) + nursbru
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-uol "il"
eluaruarrrJoJuof, ra ollau"(l osJarr ossrpI"p "llo^rJ
ezualeJuof,JrJ ells al"rrrJou eluau-odrnor eq auotz€al a1e1 ,ortEoddz arrlduasrp rsopuellq.rl lorsp Ir uof, ol1"?uor I" elnlopeJ"lo?ur^ auorzeal e1 elerqdde ? ollauerllns'eprnE "JI"p
€l"lr)Jasa aJ?lof,ur^ auotz"ar "JI" a osad Is aJllg .alerzlut auorzrsod
"llsp arr?
-red e €l"Jnstltr .orlual ons lap "ssr)s?(l s uof,
oprr"rrpur rollaue olos Ir aurpsa ur ourcrpuard
: gult
: gut7,
:t"**l
8s.11.8 In un piano verticale due dischiomogenei, di ugual m:ìssa m e raggìo R, han_no uno il centro.lîsso e lraltro iI centro mo_bile lungo una guida verticale e collegato adun punto .lîsso O da una molla di costantek. Un frlo si avvolge sul disco di centro mibile , passa su quello a centro frsso e recaall'estremità uma massa puntiforme m.Calcolare il movimento del srsúem a sapendoche inizÌalmenúe esso è fermo con Ia molla diIunghezza R.
Tr
mg
Cap.71: Dinamica dei sistemi JrÍJ-
un punto della circonferenza (I : JmR2 12) è minore, a parità di massa e raggio, delcorrispondente momento d'inerzia dell'anello (I : zmni). L,accererazione angoraredell'anello, a parità di forze applicate, è quindi inferiore a quelra d.el disco, per cuise il disco è posto superiormente all,anello non se ne distacca.
si assumano come coordinate libere del sistema l'angolo di rotazione d della carru-cola fissa e la lunghezza r della molla, per le quali si hanno le condizio'i iniziali:
'!o) : o1o; : 0, r(0) : ,R, i(0) : 0. Si .or,ria"rir,ì ;;;;;nte le due carrucoleed il punto P, evidenziando tra le forze agenti le tensioni dei due rami verticali difilo.
Per l'inestendibilità e il non strisciamento del filo, p ha velocità Bd verticale di-scendente, ed uguale valore ha la componenete verticale ascend.ente della velocitàdi 11: come segue dalla relazione yH -yc :wA(H - C),lavelocità angolare dellacarrucola mobile è allora 0 + l:/ n.si scrivano ora le seguenti equazioni di moto: componente verticale d.ell,equazioneili moto per P, equazione del momento delle quantità di moto rispetto al centro per
i
0L
, u-tTr(? ,18
a rl"rzrur ruorzrpuof, al
(z)
soe - 1)(49I - il * fl: ,
:auarllo 1s (7) e11ap oluos opuauaîuo) aurrural
" aurrural (f ) a11ap
"puof,as "l augur opuer8alul
J!- * ,*t'A ro,' {7 \Dutt ttg | \b*t,-a):r
:a aleuEasse rlerzrur ruorzrpuo) al uol euolznlos ln) el
bru!:xx*ru!8 .. II
: alerzualaJrp euorzenba(l auarllo rs ruorzenba anp allep , opu"urrurlg
(r)otu: rZ + 1auz " u'r'
Lquu^+rq--gu)-u
:oloru gp arnd ruorzenba anp ouo)sruro;.erddor epuof,assllau alrntrlsos 'aqc ruotsual al aJauallo ouossod rs ruorzenba rp erddor eurrd e11eq
T,Z azJ:G*ù"r*zJ-rq-A*:r*
AzJ - AV: eL*- -zU
ra_6ut:eyut
:erl rs autpJo,llau lalrqoru
"lo)nJref, e1 rad c oJluas 1e olladsrr ololu rp qlllusnb ellap oluatuoul lap auorzenba
pe oloru rp qlrluenb ellap auorzenba,llap alef,rlJa^ aluauodtuot .essg eloenJJ") pl
rut?lcrs r?p o?naourq :yy'dog ZLI
Es.U.9 In un pìano orìzzontale due a.sreomogenee AB e CD, di ugual massa m elunghezze rispettìve I e 21, sono incernieratein B ed hanno gli estrcmi A e C vincolati ascorrere su ula guida rettilìnea liscia, coll*gati da una molla di costante k.IJ sisúema è inizìalmente ìn quiete con Ie agtealliheate lungo Ia guida: calcolare Ia velocitàtcon cui, durante íI moto, A e C vengono acontatto.
Il sistema ha due gradi di lìbertà: si scelgano come coordinate libere I'ascissa rl diB lungo la guida e I'incliìazione d dell'as ta AB sulla guida. La differenza tra leascisse di -4 e c vale 2lcosfl,.per crti la loro velocità relativa è :
u = -2|.0 sinfl
Indicando conàs econ u/ ivalor i nel laconf iguraaione . f inale,, incui d :0f : r lz,risulta:
uÍ : -2t01per la cui determinazione è quindi necessario conoscere I'atto di moto nella confi-gurazione finale.Il sistema ammette due integrali primi di moto: la componente orizzontale dellaquantità di moto (per I'assenza di f.orze esterne con componente orizzontale) eI'energia meccanica. Per il calcolo di entrambe le quantitàr è utile valutare pre-fióinirrmente la velocità, dei baricentri G dell'asta AB e B dell,asta DC infunzionedelle coordinate libere e delle loro derivate: esse si ottengono agevolmente derivandole relazioni geometriche:
t trG:E-5cos0 , Vc:1sinîtB=t t UB: ls inf
Tenendo conto delle condizioni iniziali, le leggi di conservazione sono allora:
e, :o : m(ù+ f,à"iro) + mà :o
r - u : E : I*Uo+ f ,ò" in i l1, +làrcos2dl +l$ar++Lrn(t:'z + P02cos2 d)
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:r-uorzeegndrues eunlJoddo a1 odop'auar11o Is J Ip a J Ip ruorssardsa aileu o
"lFsrJ Ir opuanrrrsos a (t) a1 opuealrag
(r).{dt 1 g)sot óU - (ó* p)u1s ú : fr(d 1p)urs óA + (a * p)sor U : z:ouos or rp al"ulpJoox el(odo rp al€lz
-rur euorzeJlp "l
uot aprJurof, r oss?.I tnJ ur'e.rn3g Ip olueurrraJrJ !p "urelqs IeN ."-nrrl-ls lap "f,rlaurf, erE.raua.11ap
" O pe olleCsuloloru Ip lllluenb a11ap oîueuroru 1"p ",rorr.,, I-Iasuof, "l eJnrrss? elrll" ezJoJ !p ezuasse;r1
| . (o11oar,r aluarnelalduror golg Ir opusnb oxund lep euorzrsod'0d red orSEer r olunss" Q !s orslp Ir uor.el"prloseuolzarrp atuor) o)srp Ins olg lap oluaurEl0as 1p d o10Eue(l a o?srp lep euorzeloJ rpp o1oEue,1 araqrl aleurproo) aruof, ousrunsse rs !ts1raqll 1p per8 anp
"q "rue1$s I
'or"ro r"o fl arlue? Iep AZ ezuerytp e eloll.ls opmnb o1 f-und pp ?tlro1e^ eyep oqpow 1y "rrur-rr4"q I .om erclo8ue?y)op^ eq arip .oasrp 1ns oUoAAE e?uawqlal ? olg F atuewrylzluI .ossg o o4uer tp'g orE7et e W essew.rp o?Ep an ns atloz^lreIs erIs e1geJaJsell ?ssBrrr ry a epgrpualsauloyyj an lp ?ywa4sa.ge oqsod ? u essew tp dogund un eleluozzrJo ouetd un ay OT.TT.sU
19: l/nl
:Q olleîuot e ouoEued 11und .t Inf, uo? eq.rrolaa e1 rne rad
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:"rolp euarllo rs al"ug auorzerntguo) sllaN
uttl,19
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tru?lcrc r?p ttzrruot]r6 :y7.dag VLT
Cap.77: Dinomica dei sístemi 175
,: *! ' , '+!*ln' i t2 + n2e'1it+,r) ' l (3)42'
Nella configurazione iniziale I'angolo p è nullo, mentre nella configurazione."fi.nale",in sui OP - ZR,l'arco di filo svolto è uguale a \/3R e quindi pt : Ji. Sostituendonelle (Z) e (S) tale valore si ottiene allora (ponendo per semplicità di scritturab:6ml(M +2m)): .
i ts+t{à1*v):a6à?*u( i t1+pòr:rZ
Escludiarno la soluzione data da:
0f : ro , 0Í*gl :O
corrispondente ad un moto rigido rotatorio uniforme attorno ad O, inaccettabile peril vincolo unilatero di appoggio di P sulla circonferenzal la soluzione significativa èallora la seguente:
; \wo ; l -be1+vy:f f i , 0Í : f f i "0 (6)Tenendo conto di tale risultato otteniamo infine:
,? : R'à't + 3R2 (o r + p ì2 : \fi! n'r3
OSSERVAZIONE
In virtù dell'inestendibilità del frlo, la velocità di P può essere calcolata mediante lalegge dell'atto di moto rigido applicata agli estremi H e P del tratto di frlo libero.Dalla relaziore vp : vlr * r.r n (P - -tl) si deduce rh.e vp è somma di due"vettori:il primo, diretto come P - II, v4le.Rd, il secondo, perpendicolare a P - -F/, è pariz R9(à +,è). La condizione di non strisciamento assicura infatti che la velocità del
-punto ff del frlo è uguale a quella del corrispondente punto del disco.
(4)
(5)
ut+w)(zf-z)uvz:?rolp orr"ruallo (a) e11au o1ellnslr al"l opuanîrlsos a
,@-u)*!-.,K-:n;(r) elpp opu"^p)ru .(rt1", rpar,) ourllnrlsanb
" ",{r}"ler e11anb
rp a ollaJJer lap Rtrloia^ "llap sunxos aurof, 'ql1miaa allap euorzrsoduror rp euraJoal
lr uo) 'el"loll"l "l"ls Q ollarJ"l lep orluetr.req lap elr)ole^
"l a TLEIAV: p alop
tz) tft - ùp 6ut : z.Gp - *r*1* "rn (p -s) + nl*|*
"" ̂1 : t 2- I I : ?a- ! a
(r)O:nN +lr(p-A)+nlut tt,b- !"O:aleug auorzernEguol
"llau or$pnuas 1ap arelo3ue
Slllola^ €l a ollarrsr IeF ?}:)ole^ el lî? e a uof, opu€f,lpul pa rl€lzlu: ruorzrpuo) allapoluor opuauel (o1oru rp rprFalur anp r ous^rJls rs a (apluozzrro orlaureJp) .(el?ugDa (ylu Ip olqulrur orlauerp) aFlzrur ruorzernEguor el alue.o"rlarrp ouFaprsuo) rs
/'?(p_u)+n
'o10urtp eltluunb ellap ei"luozzrJo aluauodwor e1 a ertraua,llap euorz"^Jasuor el .o1orugp lutrd rprEalur anp ar"zzrlrln ounpoddo q rqlraqrl rp lperB enp eq
"unlsrs Ir paauotzerntguo] erslo)rlJ?d eun ur oloIII rp olî".llns auorzsruJoJur.un aparqf,rJ Is gq)lod
'ofeluoz-z!rc1 rad ess?d oJlevrerp ons U opvenb ors-.rp.ruras 1ap ercp?ue ?y)op^ el aleutwrela1
'eleluozzuosllnsVlu lp olewl?ut of,srpruras pp or:aurr.tp p)ourleJ a
"uralsrs Ir aluewrylztul -olleJreJ InseJ"rrsrJ?s ezuas e1oloJ a g oúEet a ut esceareq o?slplwas y 'ayeTuozzuo eprn3 e1 o?unloltrlle ezuas eIoAaJJo?s ? pa w "ssetll "q oilaJJe? 1t 'etn?g rp
"rueîsts IeN TT.fT.sg
rut?îsrs r?p o?tutour1 :yy.dop g.LT
-
Dinamica dei sístemi 1-77Cap.17:
che fornisce la velocitàl angolare 'finale' richiesta.Riportiamo qui di se$uito I'espressione delledue quantitàr meccaniche nella generica con-figurazione del sistema, caratterizzata dallecoordinate libere z à 0 di fignr". Calcolandole velocità del centro C del semidisco e delsuo baricentro G con le relazioni:
vc :vH+qrA (C - H), YG:vcr*r . rn(G-C)
si ottengono le seguenti espressioni:
Q, :Mi * m(ù + Ro - dcoso it)2g - u) :Mù2 + rn[(ù + Rù2 + d2à2 - z?t + ntacose à]+
+(mR2 lz - ma\à2 - 2rnsd, cos o
che, valutate nelle configurazioni iniziale e finale, assumono le espressioni particolariuti l izzate nelle (1) e (2).
8g.11.12 In un piano oriízontale, una La-mina quadrata, di n:iù,ssa m e lato l, è gire.vole attotnoal suo centro O, Lungo un lato èmobile un'asúa di ugual massa e lunghezza l,con un esúremo collegato ad O da una molladi costante k.Supposúo iI sr'súema inizÍalmente fermo, conl'a.sta sovrapposta aI lato, si determini Ia v*locità angolare dell'asta quando essa si ò spostata di lf 2 rispetto aIIa lamina.
Il sistema amm6lfs due integrali primi di moto, il momento delle quantità di motorispetto ad O e I 'energia meccanica.,A,ssunte come coordinate libere l'angolo d di rotazione della lamina e I'ascissadell'estremo A rispetto al vertice del quadrato con cui coincide all'istante iniziale,valutiarno preliminarmente la velocità.del baricentro M deli'asta, o con il teoremadi Galileo o componendo gli atti di moto relativi alla variazione delle due coordinate
IeP ?)rl?ruaur? lsrleus(l Jad .o olund IB olladsrJ olleù?(llep oJîua) Iap s "ssr)s"rl
e e?s".llap auolz?ror rp d olo8u".l q.'etsls Iap araqrl er"urpJoo, aruoJ ouepuaJd rs
.6 rcd oneueJ[ap og?essed.p C lp ey?ola\ e[ a olow F a?uernp ardraotelse.l
"q? Motzerynso e17ap ezzatdrter[ aleu
-lwrapp :eyce.nop owal?s" un w oqul?EoddeolpueJ uoc a1amb w aluauleurw ? ewaqrc lI . O uo) oryaueJlap C orlu$ p e&elIoc ,l alueJsor$ eilow eun .o otpaw olundIe ouJolle elo,tax8 .gg ezzaq?unl a essewyen?n ry ,eauailottto b1serun ns oJl'rrsuls ezuase[olor 'g or8Bet a W essir-w tp .oaua&outooryaue un ale?uozzrJo ouetd un u1 gf.TT.sg
: !0
:areloFue qll)ola^ ellap otsarqrlr aJole^ Il a)sluJoJ ,(e) ,11",, elrnlrlsos ,eqcrC,01 ̂ : t?'t
orueruatlo (r) nlpp ,zlI =:eJoIIss e tluepuodsrJror
"lr)olaa a1 /s ttot a l g uol opue)rpuJ' zs * vl zI Lzf 7 : osot alop
irl: [,(" - 9,t. ilri* ,?#l**[osocgzsr!"1\r, ' b' ,2, ^ e z .
ztt -z8lz'+ ,)+"rl*i*"Uft,; i fl:n-J
o:ezl +rz 'b I u -Y"\ut',1 -?lzs*-)ut*A;* : o-oJr"Jolls
olu"Iuallo'g : (g)p.: (O)p "
g : (O)l : (O)s rl"rzrur ruorzrpuof, allap oluos opueueJ
"urru"l e11ep e11anb e alenEn
q'ot'ro1e1s€r1 aluaure.rnd otoru rp orle un eq olerpenb 1e olladsrr aqc .e1se,11ap a..el-o8ue g1leo1a,r e1 'augur 'lzs*vlzIi lwo "
areloerpuadrad elreolaa eun pa .s'e1se,1Je elaJlered err)ora^ nrrn
"p*.ioduror elnua?lo rsof, "?JnsrJ Rlr)ora^ "J
:aJaqrl
(z)
(r)
ut'gtl
Cap.77: Dinamíco dei sístemi lZ9
sistema, si rimanda all'Es. del Cap.1; qui basta ricordare che la velocità di C è comeindicato in figurae che lavelocitàr angolare (antioraria) dell'anellò è: r.; : à - ulr.Per calcolars I' arnpiezzadelle oscillazioni del-I'asta occorre valutare d nella configurazionein cui li : 0 (inversione del moto), per cuidobbiamo anzitutto determinare I'atto di mo-to del sistema in funzione della configura-zione: a tal fine, sono utili i due integraliprimi di moto dati dal momento delle quan-tità, di moto rispetto ad O e dall'energia mec-canica. Si ha allora, tenendo conto delle con-dizioni iniziali d(0) : O1O; : 0 e s(O) :3.R,3(o) : o:
_. to:3MR2à+tvt"rr +MR(RI-.6) +MR2p-* l :0 (r)
T-u - BMR202+)[" ,àr+(f t , -é)2l +r |ua,1i . -* , ,* t r r" ,+R\: sk}2 (2)ta (t) dà luogo all'equazione a variabili separabili:
1sR2 + s2)o :2&it
che, integrata con le condizioni iniziali, fornisce la rotazione dell,asta indella posizione dell'anello:
e=afurtanj--"r . t . r ,a)\/5 ' Rt/5 t /5 '
Eliminando poi .i tra le (2)
(tn2 +
e (3) si ottiene:
(3)
funzione
{4)
s2_)!1R2 + s2) Mò2 : È(982 - s2) (5)2R2Dalle (3) e (5) segue che il moto si inverte per s : *3ft" e dalla (a) si ottiene quindil'ampiezza A delle oscillazioni dell'asta:
e: 4"r. turr 9\/5 {S
Per quanto riguarda il calcolo della velocità di c, ponendo nelle (B) e (s) s : 0 edindicando con il suffisso / le quantità, relative a tale confi.gurazione, otteniamo:
6h5M
15k2M
ot: - , èf : -R
-u"nb "llap oluaurour Iep asse
{^*1 * t #1='t:"q rs al"ug auorzern8guor "JIaN
2."1*!+9r-!-!:" , om,lu.r+o,, I :rJ I u zlWT 7't--'
"tW :"rolle eq rs l10o al"^ aq? ,eurrneJ "JIe
a?uaulerurou "llaJrp
,(et.de3 pair) olu?utDut?c3l? rp "lrf,ora^
sros eI aredruoa aq)ru"3?aur elrluenb ailap oJorrsl lau rnl-rad 'eururel e11e olladsu slJnu R?Irole^ eq olund Jr eprzrur alu"tsrúlly .y ep d Ip oiESessed 1e aluapuodsrrroc r.e1?ug, e11anb a al"rzrur auorz"n?rs
"l our"rJaprsuoc
.sJru?f,-ratu et8raua.r a orour rp qlrluenb allap orua.ooTn lap ass?rll€ olladsrr aluauoduroc e1 Due^Jasuo? rs surarsrs lap olo.o Il elu"Jnp (asse,11e e1a11ered (osad ezro; eJ a 3Ar113ezroJ €f,run(r a ossg asse{ile alerrldde alrnr ouos auJalsa rJ"rof,ui^ ruorz?al ar ?qlrod
.c eP d Ip s "zu?lsrp ?J a sulursl e11ap ouerd lap auorzeloJ Ip a o108ue,1 eJaqrl alusrpJoof, arrrof, ou?urns
'se Is :R?Jaq11 1p tpert enP "q
pa ouerd euralqord un o uou aru?sa ur eualqord g
a(ry:^- _19_J:"roll€ als^ '"lse.lJap auorzanp 3ll"
"lall.r"d'o11aue.1ap orlua) Iap ?l,"ole^ 3rI
wzl/cT
on N -ln utt, + w:"Jolle ourcruallo t; : /; euorzenba,lpq
.y rad orE8esssd 1e olund lap otoru Ip Rll?,1p olladsrr alueuodtuoc
"l "lpu aluawlern+eu opuassa
' lm t -lrzIW
'y ur a8un6 opuenbolund PP ?lpop^ el areururrelr,1l .om a1a11o7-{re ?lrxoIa| eq evturel eI a c e?rlJe| Ieu eunr-eI eile o11adsu owreJ e oyund y aluaw.r.lzlul
'îrr sssertr tp oyund un oy4le ezues a[ol-erro3s. ? CV ayeuo8elp e1 o?unT . gV elerll-JeA olel ons Ie ourol?e alotatl8 p ,7 o7e1 e 7ag?ss?trr rp .e1etpenb euruey eu11 ?T.TT.sg
)=/g-lgg:la
,ut?lcts t?p D?rutDur1 :yy.dog OgT
1!ì
Qap.17: Dinamica'dei sistemi 181
valore che, sostituito nell'equazione Tt - T; : A(J, fornisce u]:
u? :2s,t - (r + s#)aBPAffinché la (1) abbia soluzione i parametri del problema dev<rno quindi soddisfarela relazione:
ao1
OSSERVAZIONE
Riportiamo qui le espressioni della componente di î secondo l'asse e dell'energiameccanica in una configurazione generica del sistema, dalle quali si possono ottenerele precedenti espressioni come casi particolari;
, : ryà+m(t- AYUr -u: iYf +LU*1*+ ( , - Uf e ' l -^nf t
Si ricordi che d : u (velocitàr, angolare della lamina), che "i è la velocità, del puntorispetto alla lamina mentre (t - sllf\ò è la sua velocitàr di trascinamento e che ledue velocità componenti sono tra loro perpendicolari.
(1)
2sMI M +3n
#H'y'{
16lUyot/\ : gl.ot? un
ouordcgot lrpslp t odwaT oquenb odop enu4wJslep :eyatnb rrr e ?trre?sts F eluerr[emwl
'!qwerl-ua ns a?yor'te Is eqJ olg un ep yTeFeyol ouos'elrqow oJlual uo) o4IeJ a ossg oJluar).vo?oun 'g orE?et e W essz-rrr pn8n ry .F{cqp
"np ery)ryet ouetd un u1 g.IT EuralqoJd
l*egltttZf :4.o"stp p" ol?eluo" e a8unrt y
opuenb "rualsts
pp o?ow lp oXeJ etewÍl'Jel-ap 'orpara oTund ons lau eTerîEodde elser1uo? otEJoJ aluewlewru!
"ural$s ;r olsoddng'O uoJ y e8alyoc 5l apretsoJ lp eilou
eun lossg O ot+ua) uot ,g ot7?et e ?sserrrpn3n tp of,srp un ns ar"rJsrJîs ezuas etE&oddels 'AZ vzzaq?unl a ut essr'rrr lp ,gV elce.unaleluozzuo ovetd un uJ Z.TT BtualqoJd
l("loolt) z,f"n-fn - r :"q ts (/t - g^s)l{6{ - o olsod I'oo g?ynyat erl orslp pp orluer E olzluI.Ue
atp opuades ?urals.rs pp opar F aleurwreleq. t ocweurp ol!4p.p alue:og1a
e) uo) e1sanb ns ?rosrJls elseJ1ep EI otrroJls-a; a epyn8
"IIns aJ"nsrJls ezuas eploJ ols
-rp y etn8g rp "tzaîsrs IaN T.f T Buralqord
IJ,SOdOUd IhtgTgoud
rut??crs rap Dirutpurg :yy.dop UgI
!uttgl1gt
Cop.71: Dinomica dei sistemi 183
Problema 1L.4 un disco, di ma'ssa M eraggio R, rotola senza sttisciare su vn cat-,"llo ai massa m, che è mobile su una guidaorizzontale liscia e sul quale è applicata unaforza costante l -Supposto il sisúema inizialmente fetmo coniI disco appoggìato in A, determinare dopoquanto temPo esso giunge in B '
f r :
Problema 1L.5 II bìpendolo di frguta è
costituìto da due aste di ugua/ massa m ed
ugual lunghezza, ed è mobile ìn un piano
olizzontale, con O e B collegati da una molladí costante k, lnizialmente Ie aste sono fetmee pressoclré allineate, con Ia molla in posi-
zione di masstlma elongazione'Determinare le velocità angolaú delle a"stequando diventano perpendicolati tra fioro'
l , ron: \Fl to*t uAB = - lwot l
Problema 11.6 Nel sistema di frguta, mebile in un piano orizzontale, |'asta AB haIunghezza l, Ia lamina quadrata ha lato 2a
" Àuru m uguale all'a.sta' Inizialmente il
sisúerna è in quieúe con Ia lamìna nella posi-zione più esterna (s: I - 2a)'Determinare |'atto di moto del sistema quan-do Ia la ina giunge in A.
I posto: b : 12 +8a2, c : 12 +542 si ha: d :' l i"ti -rq r/f/aA, s = -1t -z e) \ffi/ rncl
larn + M)IlF I
:.ri::1. ,'Ì::
l6utg: 3l'6 uy a8un6 eu!úel el opuenb
oru pp euors'ua? eI erelorleJ 'gf r = g uotagemb u! eryadxglzlul "uralsrs y opuauoddng
'a{EJOItl .lr'.
-und esszru eún oúallsa un pe enJ 'aygetncs-"Jî
"s's?ru lp 'olg U 'a[eTrazztJo assqf o8unloy4ry ezuas
"lotaJJots ? eTetpenb eulweIey'a1etrytat ouerd vn u7 6'TT Buralqord
=?l
'eI-elvozztJo elua^tp eqz-.l opuenb euurel elpp?U)op^ vI '!U4le tp ezuasse ur ( ?reunnrale1l
'ourral ? "Iua?srs U pa (O : g)eulwel e11ns eyeÉEodde I e1sz,y alu"wryrzlvl'W ess*ra eq (ylt : g) a;r-lotueu1 eurw-eI eI alluaw '7 ezzaq8unl e uJ essetn eq VOeaua8oano eTsery talect1nt ouerd un uI o?s+d 'etn?g rp
"ua?sls iap g'Tf Buralqord
Íorv- : co :utgf q9f+ : om l'ot88et ossa?s o1 o?unl ryeaurrye ou?ó.oJl rs
ryund anp t opuenb ?ura?srs pp opar lp one1awuuÍnla1'gsoddo eylaurle4aurelp wenbC " V uot aqarnb ur a
"ura?srs [r alu"wrylztul'oilaIn.ilep v
oTund un uo, p e8alloc E epreryo) rp e11ori:eun 'oluaunìlctot otnd lp op?v!^ un uoJtlelo)ur^ ouos o oJlÍI?f, lP oilatn.I e c oJl-ua? Ip oJllp l! 'aleguozzrto ouerd un ur o?s+d 'etntg rp
"&ralsrs IeN l'TT BuralqoJd
tutels$ t?p DxrutDutg :yy'dog ?8f
Izf(* + hyt)l76us
i
-1T-
Problema 11.10 Una semici.rconîerenza,di ma^ssa M e raggìo.E, è scorrevole lungoun a-sse orizzontale e teca infrlato un anel-Iino, di massa m. Inizialmente il sisúema è inquiete, con P ìn B.Determinare Ia velocìtà e lo sposúarn ento del-Ia semìcirtonferenza quando P pa.ssa per Iaposizìone dì minima quota, in assenza di at-triti.
; Ao:#hl
Problema 11.11 II sistemadifgurasimu-oYe in un pìano vertìcale con iegge dì motoassegnata: 0 : wt.Determinare iI momento C della coppia chea.ssicura ìl moto e le componenti verticali del-Ie reazioni nelle cernìere A e B.
I C : -ngrsint,rf; V,q. : VB : IOM +m)c + mu2rcoiwt l l2 l
Problema l.l.l2 Determinate if ma.ssr'movalore della foma F necessaria per mantenerefermo il semidrsco durante il moto dì P, sa-pendo che inizialmente |'anellino è a massr'maquota con velocit à, tr a.scurabile.
I F^or. : mg sin d(3 cos D - Z) con
cosd-: (1 + y'ib)/6 |
,ì
2m(ms + kR)RM(M + m)
[ (rue a ut)6u171{w + *) - "t-d I'"Ilralsrs pP olow l! ?rrer
-np eufurel "IIns
aJel?s'Il?s ezuas Î|ploJ orslpp gqr.rad eurlrrcI a otsrp e4 rl octle1s ol!J?W.paluanwaoJ IaP alole^ oultu!ÍE II aJeuftrrJa+ao
' 1 ezzaq?unl lP efiow eI úo? 'a1arnbu! aluawlerzlu! ? 'elect1taz' ouerd un uI eltqow 'etn8g Ip "rualsls IJ 8f 'Tf BrrralqoJd
rttt?lsts rap o?rutvurg :7Y'dog 987
Cap.12Equazioni di Lagrange
se il sistema è soggetto a vincoli perfetti, bilateri e olonomi, ai fini del calcolo delmovimento si possono utilizzare le equazioni di Lagrange:
ATaqr: Q* <
daTdt adk - gl.r1
con 91 si sono indicate le coordinate libere e con e* le componenti della sollecita-:::l::lt:1,1::""uo ]" 'o:'lî'te q*. Le ep si possono carcorare come coefficienridelle óg1 nell'espressione del ravoro virtuare. per il calcol" di ;;;;';:r*'ff:;:
ll:_t" **" attive sono conservative, indicato con u il ioro potenziare, le equazioni
ldi Lagrange assumono la formardAL ALdt a\k al.1,: o <iL-*- [tz.zi
essendo L: T * I/ ra funzione dt tril;c". ffiilicolo di {/ rinviamo al cap.8.L'utilità delle equazioni di Lagrange risiede nel fatto che esse forniscono diretta-mente un sistema di equazioni pure di moto in numero pari ar numero di gradi dilibertà ed inoltre costruite mediante un'unica funzione. Nei confronti delle equa-zioni cardinali esse hanno minore generalità e non permettono il calcolo delle rea-zioni vincolari a meno di trasformare il problema in un problema equivalente: taleprocedimento non verrà qui mai utilizzato.Nel caso di problemi inversi, in cui sono incognite delre sollecitazioni attive, questenon possono esseîe considerate a priori conservative: non si possono perciò utilizzarele equazioni di Lagrange nella forma ltZ.Zl.Qualora risulti 0Ll0q1 = 0 sussiste l'integrale del momento cinetico aLladk :c, che spesso rappresenta la conservazione di una quantità, meccanica nota. Gliintegrali primi di moto però, ove sussistano, non sono in generale direttamentericavabili dalle equazioni di Lagrange come conservazioni di momenti cinetici. perciòse il problema richiede il reperimento di integrali primi di moto non è conveniente:utilizzate le equazioni di Lagrange.
r' l
Í ,,! j
ì l
UIsff : f
_ :ouos rl"rauaE rl"r8alw rnf, r rfruortr.rB rlortr Ip luolz"nbe ouos (z) e (r) ar(z) 6ut : frt17 q gut
rnf, "p $w :6/7 2 frqZ - 6tu: n/7
:eq rs /î "l"urpJoof, "puotes
e1 .rad aluaureEoleuy
?4:îEz+gut:? c
"Jaqq el"ulproo) €lls "^rlEIaJ
aEuerEel rp auorzenb",l 4u - q/7, (rZ-p)rt : r/7 opuassg
(r)
(rp - ,fr * zr)tt - fr6ut+ (20 + "ùul
= I:a rlrpp€ .rlu"lsol r1?rzuesseu rp ouaru e 3e11nsrr euertuer8el,"l elerad
, ^ ,t:_Gn+,r)!_fr6u.r_p l,Tntalr-o),0 s.rl
:ep ol"p a alerzualod il a.rluaru,ó
l7'! + a?)u1: J:eluaur
-aarJ dr:ras arur.rdsa, rs ef, rîaurf, ertraua, l,e.rnt gIp otuaurlrsJlr Iflf d lp,apulprme'a1 /i.e r a1*aC '[Z'Zf ]
"rl?"Ar,asuof, eruroJ q aEue.rEel rpruorzenba a1 .rpqetrldde ouos .agerlsela az.ro;a1le a osad 1e olos o11aE?os olund Ir opuessg
.rO u! orrrJe! eluewleruru!olopuauoddns olund;ap olow lî eJeufnrete.(I
.P ezwFtP e alsluozzrJo
"ssals e1;ns glsod zg a t6 ryund enp osnz'
ouo88etT1e ol eq3 q eîu"lsor rp eqr:4sz.le ezJoJanp e oTTaEEos taptynt otnld un u aqqoura ur ?sspur lp ale:!.ralew oTund uj T.8T.8U
ITTOSIU IZICUSSg
.^ a6uot6o7 tp tuovonbg :6y.dop ggT
d. tlk ,t (1 -cos!-ú)
,: f f( l - cos , l '*r)Si può notare che il moto risulta armonico lungo il segmento di retta avente estremi(o,o) e (d, ,mslk) .
r(o) : o; y(o) : o; ó(o) : o; 3i(o) : s
e determinano i valori delle costanti:
A:C :O; B:-dlz i D:-mgl2k
Perciò le equazioni di moto sono:
E,s.l2.2 Un punto materiale P di massa mè appoggiato ad un piano orizzontale lìscìo.Esso è collegato ad un punto Q, di massa m,con un fr.lo inestensibile e di massa úra-scura-bile passanúe in un foro O nel piano.Determinare Ie equazioni di moto del sisúe'ma.
L'unica forza attiva agente sul sistema è laforza peso. Assumendo come coordinate li-bere le coordinate polari del punto P, I'ener-gia cinetica del sistema è data da:
I , .o e, ic, 1 ," ,o I ,f : ' r^( i '+p2Ò2)*r* i , : mp2 *i*rrt ,
Il potenziale, a meno di inessenziali costanti, è [/ :r isulta:
Cap.12: Equazioni di Lagrange 189
-rngp per cui la lagrangiana
mmnlou : c sinlf :t* Dcos tl ;, * à
Le condizioni iniziali assegnate si esprimono così :
L:mif +f ,* ,0 '02 *msp
o: (tnutsy - la)art + g"a*l
:aÀrJrs rs a3uerEel rp euorzenba,l a
(rou1s y-oa)a,t--e/T : e,a*?:Q/I t ,rpurnb ,g
/ \z 7,2,(?oulsy - 0A); - rgrT*ii :,
:"llnsrJ euelEuer3el e1 ralerzrur euorzrsode11ep arrlred
" of,srp Iap , auorzelor rp o1o3u3.l aJaqrl alsurpJooc aruor opualunssy
'?Àrî?^Jasuof, .errrJoJ ur aEuer3el rp ruorzenbaa1 lltqecrldde gnrad ouos :e^rl? Jesuor a^111"ruorzslr)allos
" pa (e11our
"llap O oruarlsa,l)alrqou ouJalsa olorur^ un pe ollaEEos e11ns-rJ ossa opolu I31 uI 'ellour sllep a of,srpI?p oltnlrlso)
"uralsrs Ir alsJaprsuof, oru"rssod
'o = c uo) owral aluowlsrzrurolopuauoddns oJsrp pp olow It aleurwJala1
'?(ry)ulsY - oa:eTeu8asse a?Eel uoc a nd oleluozzuo.Ilns
aryqou'g oqund un pe E "Nue+so" rp eilow
eun uo) oye8a11oc a C oJlual ons 11" 'agl-uozzrJo epm8 eun ns aJerJsrJls ezuas eIoloJg o88et a ul essera lp olslp un g.ZT.sg
O-6u.t*.,gdut-!*Z -bi
:auotzenba "puo)as
e1 rpurnb a
dutT:!/7 ! 6u,t- "gdut:d/T
:uq rs d "Jaqll
eleurproor "puo)as
e1 1od oprreJaprsuoC
, 'd Ip aJ"paJB Rll)ola4 "llap auorz'eÀJesuot el eurrrdsa
aqe 'a1ue1sot - gdut" : 8/ I of,rlaur) olueruotu 1ap alertelul,l er{ Is g : 0/7 opuassfl ' YC
a6uot6o7 tp tuouonbg :6y'dop 06I
cioè:-2k^.3m0*2k0=fsinut
che è I'equazione di un'oscillazione forzata, di pulsazione propria :
che, se u * fl, ha integrale generale:
0 : AsinOt * Bcos Oú * 2k^R{zk - 3mw2)
Con le condizioni iniziali d(0) : O e a(O) : 0 risulta:
B:0i A:- 2k^ @R{2k - 3mu2) Q
Cop.12: Equozioni di Logrange 191
sin t,rú
ed il moto è dato da:
6 = ---2kì-- (p ,ir, rt - r.r sin oú)nB(zk - 3mw2)
se invece tu : o (condizione di risonanza), cioè 2k : 3mw2,l'integrale generale è:
0 : Asinwt* B cos t,,ú - #rcos t rú
e, pet le confl izioni inizial i , r isulta B:0 ; A: \ lpR) per cui:
a : fr{rir, wt - wtcosr,;ú)
ógg puls I - óg Afrul + ógg6u't + ógAòA'l- = 11g
:Q oro.Àsl 11 1Pu1nb a
óg a tposs"q II osra^ arueurl"f,llraÀ "lserl gy els"'l ossip lap d9 auotztlot t"l;".{
-rpJoo? erll"(l "ssg oPuauelu"ur Ld\g
"uorzelJeÀ ?un tp ezuapuodslJros ur al"nlJlA
oJo^"I1roure|lnleÀ,c|cleutproo?eIoPuof,as"^t}l"auolz"llf,allossllaPolo]Ie3IIJad
es s'tr.sw*1- "Q "u*X1,* "u ?,*1= ":"llnslJ "rlralsls lap "lllaui)
etBraua'1 rpuinb a
(e,,1' g \+ a, - "A, +,4' "ù*l* "a ft'1 = "t:q '81uaoy IP eruaJoal p opuerrldde 'e1s'e'11ap eilanb alluartr
"4"a*X1: o":aAIJ?s Is of,sIP Iap "?llaull
erErauatl
'[r'zrì "urroJ "llau luolz"nba a1"roll" ou€tzzllllll
ou.suoN,"*,,"J;::;T;:;Ti:';l,l*i:ili'::'#';H!"[-:]i'l?:'::':'^g A r'uls d - 0g l'{ : 'I '9
:"llnsrr s "zroJ €llap alenlrl^ oroÀ"i II gqllod
'ertralsrs PP ol,oar yp yorrenba eI a-Ja^IJJS
'"ssels e,ls,r..I1e erclocrpuadtod etd
-tuas d' eqreqe) o1nPoril rP ezJoJ eun eyex1d
4e a elserlqP g oweJ?sa'JJns oJ+naÚ'eprn8
ell"p O oÌund Jl osa^ er!++e oI ari:? t! a'Ir?-lse)
,p ,rrrn1, ezJoJ eun eTexldde ? Y uI 'ots'lro
,"0 oJlua) Ieu olerorur.,u! v ouIe\sal erI
aqt 7 ezzaqfrunl e ul ?ss'?ur lp gV eaua8orrro
elssrun ep a'aIelrlJaz-epn7 ?un ns eJsltsJJls
ezuas eloloJ "q) 'A ot|Eet a uteswrr rp oauaB
4trro o)sÍP un eP olln?I1soc q telecrTtaz. oueld
rrn ,r, olrod 'etnilg IP "rrat$s
11 ?'lT'E.g
e6uaúo7 tP ruouonbg :Vy'da7 l6f
Cap.72: Equazioni d,i Lagrange 193
Perciò: 6:L
e" : 6
_ _lsR.p _t 2rngil _ F.Rsind
Analogamente per il calcolo di Q6 diamo una rotazione ód all'asta, tenendo fissa r1r,cioè il disco: r
6; L : -mg sinl ,60 + Fl60
or: If - -*orsind + FIInfine, valutando che:
:
T/ , : o i T/Ò :Z*rrO - *r*s indd
T16 : -mlLrro" e à,p ; T16.: frLA - **:sinl p
le equazioni di Lagrange si scrivono:
Z** 'O - *r ts in|6 - ^r tcoslò2 : -kRze i2mgT- F.Rsind
(e - *nf,"in, è : Ft - *of,"inoche costituiscono le equazioni pure di moto richieste.
Es.l2.5 In un piano verticale un'asta, dimassa m e lunghezza l, ha ltesúremo A scor-rcvoIe lungo una guida orizzontale liscia.Determinare iI valore del momento M. dellacoppìa da applìcate all'a.sta affinché la suavelocità angolare crr si manten ga costante du-nnte il moto.
Essendo il momento M incognito, non pos-siams a priori supporre che la coppia am-metta potenziale. Utilizziamo perciò le equa-zioni di Lagrange nella forma non con'serva-t iva [rz.r ] .
.els?{lJap alef,r}ra^ auotzrsod slJspeJlîxed
" rdual r opu"luof, '?n : 0 ar.rod e1s'eq aluslsr ruEo ur arore^ Ir auopuaro^
.auorzrsod ru8o ur oluaurour lap aJol" p arur:dsa aqr'v
0 soJ 0 uls rn_ur + t urs Fut _ W
:eq Is 'J2tI pe olladsrr EliosrJ (el,uolas sllau opuanlrlsos a eurrrd ell"p g opu"^elru
6ursp6ut- ll[ - g1sotLIlu
O - Puts ,'9 - q"T
:eq rs,olsarrJf,rJ o?o.o lau a.'of, ,O: î..
_ ? ruorzenba allau opuauod
.( r asse,1oPuof,as o?o.' rp elrluenb €llap auorzE^rasuo? e1 eluasardde.r aqe) .?so? - ?/aouttdaler8alur aurof, ala^rJf,s ar{)u€ e1n1od aqqaJ"s rs auorzenba €urrJd
"l eqî ourerloN
gur.sybu.t - Jl[ :rAsor p! + g tT t zîur
z?. O : z? ?urs lut= - rsor 0 îu: + g ul -r-I
:ouo^rJîs rs aEuerEel rp ruorzenba a1
oso)r p: * g+ :'?/l : i-ur"617*!_ : e/a | :zlut ' Y" I
0 gsú r*1.* Su"r - +/tr ; 6 - o/3
6u'"9a*-trr-#il:rO:tn) sp ,g turs 1o* - eg AI : r lg
:"ls€(llap 0g evotzelor elos eJ radalsnlJr^ oJo^31 Ir opu"tnl"^ alauallo gnd rs a "leurpJoo)
el opuo)as aluauoduror e1'oJo^"I unll" opuardruor uou aluaurJsluozzrJo els€Jl e1se,l .essg p rad roluenb
u' "ll.u
sllnsrr r sleurpJool "l
opuo)es e^rlrs auorz"rr)oJlos "llap
alauauodruor e1
1so)yqpr! *,gJ-! +.o*9 : -n! z, | ̂^^^ -z--, -v . \ z - : " T "Y z'l*T ' z= I z!
"1uti + tasorî-qz*
"? "r+ "+)uti: J
:ellnsrr.rErueoy Ip eruaJoaÌ Ir opuezzrltln ,e1se,11ap sf,rlaur) erEraua,l
aîuotîoT tp tuotzonbg :6y.dog ?6f
;elln$r ?qllod
I
I
Cap.12: Equazioni di Lagrange lgb
OSSERVAZIONE
si può osservare che essendo il lavoro elementare della coppia dato da 6* L : M 60,ai fini della scrittura delle equazioni esso può essere visto come differenziale esattodel Potenziale :
u : [ ' M(o) doJ'
dove M rimane una funzione incognita della posizione.Sarebbe pertanto possibile utilizzare le equazioni di Lagrange conservative espri-mendo il potenziale della coppia nella suddetta forma.
Es.l2.6 Un disco, di massa M e raggio R,rotola senza strisciare su una guida orizzon-tale. AI suo centro C è incemietato lrestremodi un'asta, di ma.ssa m e lunghezza l, che haíI secondo estremo A scorrevole lungo unaguida verticale liscia.Determinare, in funzione della posizione, IaforuaE orizzontale da applicare a C affinchél'asta tuoti con velocità, angolare w costante.
Essendo F incognita non supporremo I'esi-stenza di un suo potenziale. Utilizzeremoperciò le equazioni di Lagrange nella forma[12.1] .Introducendo la coordinata ausiliaria d diesprime:
figura, I'energia cinetica del disco si
13ra: i lun2ezmentre quella dell'a.sta, applicando il teorema di KJenig, è:
_ _ l*12 .rz , 1ml2 ,^z _ mlz , ;zra:rn9' i , +p-: te-
La coordinata 0 è legata alla tp dalla relazione imposta ,Jai vincolo in c :
(1)dr6 : -Rd,0 : d(l cos p) : -tsinp dg + R0 : t sinp tp
.euorssaldsa "lIJf,s"rdos
3lJ rp al"rzualod aIIIor opu"zzrlrln ?uraîsrs lap "rl?rSusJ8sl
3l eJa^rJrs QllJad gnd Is.ó eleurprool
"llap elruBorur euorzunJ J uo)
fr dtp d,urs Tg l : 0p A,t l : n ó'J gJ
:auorzunJ ?llap elerzuareglp II Q aq) ,0gAtr : I *g a.rqluatualeoJo^"l eq elruSorur fr
"zJoJ "J er{l eJs^rasso ond 1s aluapaoard otzrf,Jasa.llau eúoc
trNOrZY^UgSSO
emalqord lap "pu"ruop elle apuodsr aqt
ó1otnu9 a ós zI
ot znll^[;: '{
r"q rs dr pu olladsrr opuo^losrJ a O: q , m : e?ssa ur opuauod ...\
ó"ot!6u- óuts 't.,t : ó(J- + ó ---' 7" ^ . ---- -- -ZI
-' *r-,d - z,'t "1ut
-t- u; .uIS dW;) + zq ó soe a uls gl,7VC
:ellnsu aEuerEel rp auorzenba,l
a(t + 7" 7' 'zlu dtuts zlw;):4/a: z4ósocduts TIWy:ò/1
:oPuassg
órotlaur- aturs îi : óÒ + óg(dsoa \u* - óurs1g) :7*gI "- t
:"Joll? fg
óqósotZ : nQ + ó:rnsl: fr -tl
:a '/î 'e1se,11ap or?uecrr"q 1ap elonb ur oluaru"zleuurrl e (f ) elpp olsp ? grg e^op
frg 6ut - 3xg t- : I,g
:al"nlJr^ oJo^"I Ir opue?ni"^ eJauello gnd 1s ó opuoeas "Ar11"
auorzslrf,allos "T
"a+ * "Q
o\"urs ztwf, : .r
:eq rs 'ó el"urpJoo) "los
sllau .rnc .rad
eîuotîoT tp tuotzonbg :gy.dog 96I
Es.l2.7 In un piano verticale due dischiuguali, di ma.ssa m e raggio R, hanno unoil centro fisso e I'altro il centro mobile lungouna guida veúìcale ed attratto da una mollavertìcale di costante k. Un fiIo si avvolgesuJ drsco dí centro mabile, pa.ssa su quello dìcentto fsso e reca all'estremità, una ma.ssarn.Calcolare il movimento del sistema sapendoche inizialmenúe esso è fermo con Ia molla diIunghezza R.
Il sistema è soggetto a vincoli perfetti e forueattive conservative: sono perciò applicabili leequazioni di Lagrange nella forma ll2.2l.Utilizzando, oltrt alle coordinate libere 0 e r,cinetica del sistema è data da:
Cop.12: Equazioni dí Lagrange 197
la coordinata ausiliaria gr, I'energia
' i '
j
,
T : Tp * Ta, * Td" : f,*nrà, . tu#r + Lrmt, * l#r,mentre il potenziale è:
(J : [Jp I Upd,, * Up: -mgh| + nge - !*
Utilizzando la formula dell'atto di moto rigido per il disco .-."r,rro mobile:
Yc : vH +wn(C - H)
proiettata sull'asse verticale discendente, si ha:
ù: R0+Rp +
Sostituendo nell'espressione di î:
Rp:ù-Rà
la lagrangiana asisume la forma:
L: mR2o2 +l**Risulta allora:
1 _.,mnr
T :1*R2il ' + lr*t ' + ln*1t, - Ri/) '
- f,*nú - rnsR| * rnsr - i"'
L/ , : -ngR ; L/à:2mR20 -
T' -,I - ffi,rff_lrsoe - 1) : | -T, - ff :,:al"rzrur auorzrsod e11ep arrlred
" g opusluor ,augur e^sf,rr gs (1) e11eq
#-r+'# 1""'tffi-a):':?p 0 : (O)+ n g : (g)r rlerzrur ruorzrpuof, el uol ar{tr
:a alerauaE alerEalu rnl Ir r3tuourJ" rlour rap auorzenba{l ? er{l
6rug*rtlg+eutll
:eq ls "Puof,as "llau
opuanlllsos a
(r)@-1\9:eu ' g'r :
o: îtt+ 6ut - ga*|.- r*l
^(. o-aDu+Tau;_gcauz,t
:"^elu rs eurrrd e11eq
qa*Í - u*l:ouoÀrns rs aEuerEel rp ruorzenba a1 a
- E/I ! ,r! - 6ut - "/I
aîuotíoT tp tuotzonbg :67.dog g6T
Es.12.8 Sapendo che inizìalmente iI discodí centto A ha velocìtà nulla rispetto aI car-relio di rnassa M e che Ia molIa, di costantek, ha lunghezza nulla, determinare in fun-zìone del tempo iI momento C della coppiada applicare aI disco dí centro O affinché iIcanello salga con velocìtàt costante u.
Essendo incognito il momento C, non sup-porremo che ammslta potenziale ed utiliz-zeremo le equazioni di Lagrange nella formaIrz.r].Scelte le coordinate libere r e 0 di figura, I'espressione dell'energia cinetica è datada:
T:T"*Tt*To
dove il carrello, che ha moto traslatorio con velocitàr Àd, ha energia:
1T" : '-1Y1 Pz;'z ,
per il disco di centro O è:
-- - rryE;,,o: i_n_" ,
mentre il disco di centro .4 ha velocità angolare antioraria à: I R e velocitàr del bari-centro v,q.: Rà - ó, somma della velocità del carrello e di quella relativa ad esso.Perciò:
LmRz i2 I' I "q ' : i , fu+rm(Ro-i) '
Si ha così :1. 3 ^:^ 3 ^r : ;(M + lm)R202 + imàz - mRù|
La sollecitazione attiva secondo la coordinata r si può ottenere fissando d e valu-tando il lavoro corrispondente ad una variazione 6n:
6;L : rngsina6r - lcr 6x + e, = m,gsina - kn
Analogamente per la sollecitazione atliva e6 :
6;L : C 60 - (M +m)ssin aR60 + ee - C - (M + rn)sRsir :a
Cap.12: Equazioni di Lagrange
.€rddor e11ap aierzualodarnof, auorssardsa elsanb opu"zzrlrln
"urel$s 1ap euer8ue.rEel e1 araar.rcs onrad qnd ls'auorzrsod e11ap e11utof,ur auorzunJ C uof,
ep(ùc ,f : n:alerzualod
"llaruru" "ssa eqt aJaualrJ
gnd ts 'o11esa el"rzuaraJrp urr 0g C :7,g erddoo "llap
eJelua.oala oJo^"l Ir opuessg
gNOIZYAUgSSO
A# l\.or-I - u +.p{)nurs u6 : J '5lzl z
:odua1 lap euorzunJ ul C "q rs ?puo)as EIIau opuan+rlsos e
b# lrsoc - 1) outs L : x
:"lua^rp ' O : (O)? a g: (6)u llerzrur ruorzrpuos a1 uor (aqr
:?r{ rs .rJtuoulre l}oru rap rauorzenba eurrd e1 opuerEalul
?Aur-nwsg6(ut* Ig): C
ra uts 6t, : xt1 | xu,!-t
:oueluaÀrp assa 'oleuEass'e oloru leu euros ,O: î e n: eA opuauod
oursgf(r.n + W) - C : e[ut - g"a$ug + W)
zq -o.rrs.Dur : gU* - g*Íu
:ouo^urs rs aEuertel rp ruorzenba e1qru - ?zAF ! + W) : 9/t I o- e/1
U
?a* - q*:: t/1 ! s:'/J b:rod opuassg
a6uo.t6o7 tp tuotzonbg :7y-dog OOZ
#"""-"3
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PROBLEMI PROPOSTI
Problema 12.1 Un punto materiale P, dimassa m, è vincolato ad una citconferenzaverticale liscia di raggio,R. Esso è attrattoda una forza ela.stica orizzontale di costantek verco ÍI diametrc vertìcale della circonf*tenza.Determinare I'equazione di moto del punto.I mRz i - rr,gLsin d * /c-R2 sin dcos d : 0 I
Problema 12.2 Due punti materìalì dìmasse M e m sona collegati da una molladi costante k e sono mobili lungo una guidaorizzontale lìscia.Determinate dopo quanto tempo si incon-trano, supposúo che all'ìstante ìnizìale essìsîano fermi a dístanza d.
I r :
Problema 12.3 Un'a.sta di ma-ssa m eIunghezza I è posúa in un piano verticale edha I'estrcmo A vincolato ad. una guida oriz-zontale liscia.Determinare Ie eguazioni di moto.
I I - i nI t+ ,àcos0
: cost . ; ,à*;cosd+ ls in l :
o l
Cap.12: Equaziohi di Lagrange
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I"îwnuetADW - C :01
eueP oPua",d "uralsls PP o'ow ,, u.::;::";
1p elddot ean acsl*e ,;:";ti:{"'r;iz::# epg? eun ns ar"r?srJ?s ,ru"i "1o7or'ayt g oyl
-Eet e ra escetu lp.orslp un yp ,ru"i"1uo?4?eilns Cg esnveloldlJ uot er7ùodde 1"-r r1rr17-let eptn8 eun o?unl IUJIW ezuas eIotarno:lsgV opry) E erI 'W ?s'spur lp , CgV eeuaf,out-o ercyo?ueul eauyel eun g.eT Bura1qoJd
: o tros rJ zsoJ. AE,r uls7u,, + 3nt sof, Éf * 3o urs y - g l
.oryrne tu8o tp ezues-s1e ut eur€lsts pp aluaun\our E luttrrJo|tr/p lsalpp o',orru!.ile ercssg E arae*o. * "írll|
eun tp auoue.Ile oTga8flos a .a1eTuozzrto eplníean o8un1 aMoar bcsrp yep orluoJ II .eulw-eI eilap esnua1odrrllns er"rrsrr?s ezuas elol-oJ au) g or88et a W essr;w rp oeuailornoo)stp un lp o apuyat eptn? ?un ns a1qow',u.t, esfl(Í rp etelo&uer4 eurwel eun rp'"euod-uro? ts ,elexgtat oueyd un w olsod .etntg u1oTeguesatddet
"tualsrs 11. g.Zf Btualqord
9JL:tl."ssals eilap ozzaw tp ogund pu eE
'uryE ocslp E lw u! epre?slJ lurwJa:tr/p rc.e(E-togelged enep ?Uwa4se.un ns orqp U uorayarnb w alu€t(aIerunry ewopls 1, opuiuóaang'eutoSeyTeyd e11ap o11enb uo? orlslp pp orlue"y e8opoc q
"Itrz.llso) lp elow eun ! g otilteto Ta.esseur lp oJslp un ere!?sl.rls ezu?s elre,lor"ssa rp nS ."rls{ qeluozzlJo epmt eun o7an1alelse4 gnd 'K, ezzerltuny a uZ - 14[ es-s"u Ip ,ewtoSeTyerd eun ?.ZT BruolqoJd
r#
e0uo.t6o7 tp tuotzonbg :6y.dog ZOZ
203
rr . \
Problema 12.7 IIsisúema di figurasi conxpone di un disco omogeneo di ma.ssa M : 2me raggio 3R che rotola senza strisciare sudi una Iamina rettangolare di lunghezza Le ma.ssa fn, scorrevole senza attrìto su unaguida orizzontale. Un frIo di massa úrascura-bile si avvolge su un profiIo circolare dì rag-gio R concentúco e solidale col disco e îecaall'estremità, un punto materiale di massarn.Determinare ì1 rnovìmento del sisúema sup-ponendo che ínizialmenúe sia in quiete.[0:0 | x:c l l l l l
Problema 12.8 In un piano verticale undisco, di massa M e raggìo R, ha il cen-trc mobile lungo una guida verticale ed ècollegato con un fr.Io avvolto su di esso adun punto fsso O. Un altrc fiio avvolto suldisco ha all'estremo una molla di costantele ele 1o collega ad un punto P di massafiv.Determinare Ia massim a lunghezza della mol-la durante iI moto supponendo iI sisúema i-nizialmente fermo, con la molla di lunghezzanulla.,2Ml r^or:
f* r* * r*O I
Problema 12.9 Un'a.sta AB, di ma,ssa rne lunghezza l, ha I'estremo A scorrevole suuna guida otizzontale e si appoggia senzastrisciare su un disco di massa rn e raggio R,che rotola senza stfisciare su un'altra guidaorizzontale. L'estremo A dell'asta è collegatomediante una molla di costante k aI puntofrsso O della guìda superiore, mentre aI discoè applicata una coppìa dì momento costanteC. Inízialmente iI sisúema è fermo con A inO e con |'asta appoggìata nel suo punto dimezzo.Calcolare iI movimento del sistema ed iI minimo valore di I affinché I'asta rimangaappoggiata aI dìsco.
c TBk . :gtl0 : ;U$ - cosoú); , : \ ,1 f i ; t^*" kR,
:nuo) aL216
*(?osoe-r)u186 : g t(tnsoe-1; 3{ : u ; '- -' 6vtl, DIu'etaa?srs pp olow
l! lulwrapp rc ,e11nu auorze8uola pe eilow eluoc a1ernb u! aluawplzlur e(aelils F olsoddng
aunrao) oJlua? P OUJAI-7e alotatt7 a oraud loJ "[el.sseoc
,7f g oy?-?et e ut ?s's.pur 1p ,ot71e1 a (eleguozznto epm7?un ns' alerc.s:.r?s ezuos elolot er1c ,tu
"sssur a g o88et rp .oun :I{rslp anp vp oynqq-oc e etnBg lp ewapts U ZT.ZT Btualqord
1 ^A uO9
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'ourlat ?rs os,s'a olerurulalueJs!.ile aq) opuauoddns etn8g rp
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aíuotîoT tp tuouonbg :6y-dog VOI
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Meccanica Relativa
CINEMATICA RELATIVA
Dati due osservatori mutuamente in movimento, per comodità detti uno fisso elialtro mobile, e dato un punto P in moto generico, risulta:
Teorema di GalileoV : V7 f Vg ,. -f^*.+ r!" [13.1]
dove v (velocità assoluta) è la velo.ià;t ;;;ffiall'osservatore fi.sso, v" (velocitàrelativa) è la velocitàr rispetto all'osservatore mobile e v, (velocità di trascinamento)è la velocità, rispetto all'osservatore f.sso, che avrebbe P se fosse solidale con la ternamobile.Se o è I 'origine della terna mobile risulta (Cap.1):
vs:vo*wn(P-o)ffi::;;::::::H
con or velocità. angolare della terna mobile rispetto alla terna fissa.
Teorema di Coriolisà:àr*aa*ac [1s.3]
dove a (accelerazione assoluta) è I'accelerazione di P rispetto alla terna fissa, a"(accelerazione relativa) è I'accelerazione rispetto alla terna mobile, a" (accelerazionedi trascinamento) è l'accelerazione, rispetto alla terna fissa, che avrebbe P se fossesolidale con la terna mobile, e ac (accelerazione complementare o di Coriolis) vale:
a. :2w Avr
L'espressione dell'accelerazione di trascinamento risulta (Cap. 1) :
[13.4]
àe : Ao+óA (P - o) - r2(P -o) + (r . r x (P - o))r . r Irs.s]
."lpu a srlorJoC rp "zroJ "l (0: ,,r) o,r11e1ar opqulnba Ip os"J [aN
ezrolel'(0 = ra) al"rzreln erole^-rassorlle olledsrr "lserl
el"rzrern ""tJ::t'*':]
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"p IsJaArp elerauaE ur ouos rr€nrr^ ezualod "r
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"zuatod a oroael eq rpurnb ,qî1eo1arr e11e aleuoEolJo a $lorJoC lp "zJoJ eT
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la'etl=oJluerrr€q ons leu
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.olueureurf,s?Jl tp auorzeJalef,f,"sl q re aaop
lg'er j"eut_ _ rt
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oluorueîrlrseJl Ip lluaredde azrod
'sllorroC rp e oluaur"urrs"Jl rp ,rlueredde azroJ a1 .aar11eare e^rîî" sarrrllaga ezJoJ all" er'a3unr38e rp rnd el"rzJeur
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SHCINVCDSI^I INOIZVNbg
Dotlal?a o?tuo???w :57'do3 gaz,
Cep.19: Meccanica Relatiua 2OT
In un corpo continuo le forze di Coriolis sono applicate su ogni elemento di volumedr e valgono:
dF" : -Zkw Av, dr Irr.ro]Il risultante delle forze di Coriolis è pari alla forza che si avrebbe concentrando lamassa del sistema nel suo baricentro:
R.c: -2mu Avr [13.11]
In generale il sistema delle forze di Coriolis non ammette retta d'applicazione delrisultante.
Moti particolari del sistema di riferimento
Se il riferimento trasla, le forze apparenti di trascinamento agenti su un corporigido di massa m sono equivalenti ad un'unica forza, pari a -rna, applicata nel suobaricentro.Le forze di Coriolis sono nulle. : '
R i f e r iln g n ! s -! gi! .otsp g e nt e r u o t ant e c o n v e ! og it-Z:l q :l g l: y_
Se il riferimento ruota uniformemente attorno ad un asse fisso le forze apparenti ditrascinamento si riducono alle forze centrifughe.Per un punto di ma.ssa mlaf.orza centrifuga vale:
F"l : rnw2 P
con p distanza del punto dall'asse di rotazione.La forza centrifuga ammette il potenziale:
Irs.rz]
IJ: !*r 'o2: !^r?- 2 ' - - - r 2"-- t I re.ra]dove v" è la velocità di trascinamento del punto.Per un sistema materiale di ma.ssa m il risultante delle forze centrifughe giace nelpiano contenente il baricentro e I'a^sse di rotazione ed è perpendicolare a questo. Ilsuo modulo vale:
R"! : rnw27
con p distanza del baricentro dall'asse di rotazione.
113.141
lot'er]
[srer]
[2, t'er]
lgre ri
"ural "llaP auorzeloJ tp
lsi'erl
1au) apraua8 ur ,a1ue11nsrJ Ip rred ,ezro1
o a1a1p:ud o?uaw"lrlladsrr ouellnsrr aqrauorz€loJ rp ass?rJ aluauoluof, ouerd un
"'\l
"oI4I + "oI4I + uI4I : b v o,r + W l" Jp
'lr+"u*u: wlbpú)tutDurp DIpp tputpJoc tuotzonbg
o: ("n + n)gapuuayod I?p Dl?rttuorzvîS
ottdg x (r"{+tfr)3
o: "or^I + or4l
o:"?I+?I
ouloîs oll?p rpurptoc tuotzonbg
.sllorroc rp azroJ ell" tluapuodsrrroo a11anb ? af,rpur(J uof, 'oluaureurrs?Jl rp rluaredde azJoJ arJe rluapuods-IJror Fîrluenb a1 0uerrpur rs a af,rpulrl uof, :rl"rzJaur uou oluarulJaJJJ Ip rrualsrs rad splle^ auorzelnrrrJoJ e11au eluanbar3 41d osn rp eq)ru€f,f,arrr ruorzenba al oue,-"rrlJlu
sJ,N[Obgu$,ord osn Ia INOrZYnbs
ass?(lle olledsrr surolsrs lap "rzJaur
'oluaurrJaJrJ rPrp o1uaruour J1 q a; aaop
: {"n:aprzual0d Ir ouotlaururs
"ruelsrs un ns rluaEe aqEnJr.rluar ezroJ arr. Jp tl : îtp u"luaurala asseIII elle Iluapuodsrrror [zl.gr] aqEngr.rluar azroJ alJap rrua.oortr rap auorzer8o]w e?rrprp
-eru ourlln,lsanb or"ururralap allqrra3ard opuassa (oluauour Iap oJo)ls) lap rug l3 aruarua^uof, a uou aîuelJnsrr lep auorzecrJdde.p
"TlaJ slJap auorz.urrrrJa?ap e1 0ssadg
'oJluatrJ"g 1au elecgldde uou (oset orurrdsf,run.un p" rluale^rnba ouos ,rluarroruol
'aqEngrrluar azJoJ al ,ossa pe apuoBolro op" eluaualJedde opgEr.r odroc rp osel JaN
ootloleg o?tuoe??W :g7.dog gOU
Teorcma de!l' encrgia cinetico
Int egral c dell' ener gíe
Eqvazioni di Lograngc
'dTldt: II * IIe
T -U -U": E
Cap.79: Meccanica Relotiva 209
[13.20]
[13.21]
lls.z2l*#- #: Q**Qr"rQx"Ricordiamo che la [tf.ta] e la [fe.Zf] valgono per vincoli fissi e perfetti, forze attivee di trascinamento posizionali e conservative.Non abbi^ttro riportato le equazioni di Lagrange in forma conservativa in quantola loro scrittura richiede una generalizzazione del concetto di potenziale al caso disollecitazioni, quale quella di Coriolis, dipendenti dalla velocitàu.
.e^tl?Eau eqqalatlnsrr olg IaP auorsuaî eI 40 -, rad oîu.nb ul rd Ip erols Il oJos alrqeilaf,r" "qn",r elueur"rÀ^o
rL+r0-20 2 Ffaveprc-r0 + 6fo:gve1 : a*srl.Itsml"p
0 - I soe fou - guts 76ut : oh[
.(olg 1e alsurJou auorzaJlpuI aîusllnsrr lap euorz"nba,l 0) olund 1ns rluaEe azJoJ ellap g ()100 p olladsu olueur-olu Iap auorzenba,l arerrldde
"îs?q olJqrllnba p e.rnd auorzenba,un eJausllo Jad
'ollar-J"r lap euorz"Jalef,f," a.rolla^ yz opoddo osrarrIp a apluozzrro ,Dut opporu tp
"zJoJ "un 2. olund 1e e1ec11dde lpugnb our€treprsuog'os?f, oJîsou lau elu?lso) .e pe r.red
g pa olund ruSo ur apnEn ? olueureurf,serlrp ouorzsJelarre,l .elserl oluetulraJlJ II gr{tlod
.oluaru-"ut)s"rl 1p rlueredde ezroJ ellap aqeue ,(o1glap auotsual a osad) olund 1ns rluate a,rr1-leJe ezJoJ ellep aqr ar11o roluor rauel ornalÀ-op ouqrpnba.llap rug re 3o11arrer [o] el?pllosralerzraur uou olueurrJaJl{ Ip "uralsrs un ql
.ogund pp o^!l-eIer oyqlqnbe tp euo1z1rcd e1 anuiwta1ag
'e a?uslsoJeuoveJola)Je uo? aluerEIeluozzrJo else4 er!)'oyetrct un lp O oyund un pe .ayqetntsetT?ss'Brn e Tezzaq?uq lp,olg rrn aor o1efia11ot Iruesceur lp d eley"terlr ogund un T.gf.sg
rIloslu Izrcusss
ool?Dl?a frcruD)??N :67.dog oTz
Cop.7S: Mecconica Relotivo 2LL
8s.13.2 Un punto materiale P di ma.ssamè collegato con un frlo di lunghezza I e massatrascurabile ad un punto O ed è posúo in unpiano uniformemente ruotante con velocità,angol are w attor no all'asse vertic a[e pa.ssan úeper O.Determinare Ie posizioni di equi/ibrio relativodel punto.
In un riferimento solidale col piano, ai frnidell'equilibrio dobbiamo tener conto anchedella forza appa,rente di trascinamento.Poiché la terna ruota uniformementè attornoad un asse fisso, questa forza si riduce allasola forza centrifuga, pe rpendicolare all'a.sse,voltaverso I'esterno e di modulo pari a mw2 g,dove p : t sin d è la distanza del punto dall'-a^sse. Utilizzando I'equazione del momentorispetto ad O (o del risultante lungo la nor-male al filo) si ha:
Mo : mgl sinl - mwzlz sin d cos d : 0
da cui:s in0 :0
". ,g: gf wzl
(1)
0r:oi0z--r
0s,4: Larccosgf wzl
=+
Di queste soluzioni la d2 è da scartare perché implica una tensione negativa, 0s e 0aesistono solo se g 1 ,21e rappresentano due posizioni simmetriche rispetto all'assedi rotazione.In alternatina, notando che la forza apparente centrifuga è conservativa così comeil peso, si può utilizzare il metodo della stazionarietàr del potenziale.Poiché per il potenziale delle forze centrifughe vale la [fS.f5]:
(J : mglcos f * l*r'1" sin2 d.2
Derivando rispetto a d si ha:
Ut(0): - rngls in l -y rnw2lz s indcosd :0
ì
o "uls "nJ-! * 9"o196*: "r,t1 + 9"o196*: I fi zIuI-1o-I"I"Y
'a1etzua10d lap "larJ"uorz"ls rp srualoal Ir al"sn o1n10d eqqoJ"s rs "Àrl"uJelF
uI'lznZ > ó'g as olos riear ruorzrsod eluasardder aqc
I"n7f6g-rsor o rL:26 lg:rg + 0-pu1s
:luolznlos."q er{f,r 0 - 5lsoc | 0u7s1r.r*- rqs g6ut: oW W 7, I" î III
:g pe olladsrJ oluaruoru 1ap eJlanb g orrq[rnba rp ernd auorzunba,ug
erutuerEerp Iep orluatrr"q) O "p
'(areloEuerrlarped
" ets?(llap ezzeqEunl el1pp SIZ e essed
euolzeerldd".p ellal sns sl a oJluaf,rJeq iaussspru
"l opu"Jluatuof, aqqeJ^" rs eq, o11anb
e rred ? azJoJ rp "ualsrs
olsanb rp atu"qns-lr eT '(.O q o)rpa^ uoe) aleloEuelrl.sllnsrre1se,1 oEunl auotznqrJlslp oJol e1 ,auo1ze1o.r 1passe.llep ezuelslp
"ll" tleuorzJodord ouos eqE
-nlJluaf, azJoJ el gr{Jlod :qlrnurluoe uof, alrnq-lrtslp e1a11ered azroJ lp eruaî$s un opuanî-r1sor 'else.llap
"ss?ru rp oluatuela ruEo ns
alerrldde ouos alsen$ .aq3qrrluae rlua.reddeazJoJ allap oluof, Jaual ouerqqop or.rqrpnba,l1ap lug re ,ouerd Jor al"prlos oluerurJaJrr unopu"zzurln raluapaeard orznJasa.llau auroC
.else.ilapoutlepr oyqtynbe rp ryo1ùtsod aI ?Jeuuaralo(I
g nd eleilyea?sseJ1e oulolle o atelo8ue ?T"op^ uoJ aluel-onJ olueÍaawJolun ormld un w e1sod g peO orllaJpa ons I?v eler"ruJ"Jur q,7.azzat17un1e ul, essrlur tp eaua&owo elw.un
\."g
'(f) e11e aluale,rmba auorzenba
DaqoI?A D?tuo???W :g7.do.g" ZtZ
Cap.79: Meccanico Relatiua 2L3
u ' (o) : -*ots ino * +"sindcosd : oche è equivalente all'equazione del momento già ottenuta.
Es.l3.4 Un semidisco di nggio R può ro-tolare senza stúsciare su una guida oúzzon-tale che ruota con velocità, angolare @ co-stante attotno ad un a.sse verticale. II vin-colo è a.ssegnato in nodo tale che quando iIdiametro del semidisco è orizzontale un suoestremo appartenga all'asse di rotazione.Determìnare ìI valore di w affinché, in con-dizìoni di equilibrio rcIativo, il diametro siainclinato di r 16 sull'orizzontale.
Anche in questo problema le forze apparenti da considerare si riducono alle forzecentrifughe. Queste forze, tutte orizzontali, sono applicate con continuità sul semidi-sco ed ammettono certamente retta d'applicazione del risultante: la determinazionedi questa retta non è però agevole comportando il calcolo di un integrale doppio suldominio semicircolare.Risulta più comodo perciò utilizzare il teo'rema della stazionarietà del potenziale. Det-ta d,: 4Rl3n la distanza del baricentro dalcentro C, il potenzia,le si scrive:
U : rngdcosd +
dove.I, è il momento di inerzia del semidiscorispetto all'asse di rotazione. Per il teoremadi Huygens si ha:
Ir: Ic + m(L'2. - A,L' l
Data la condizione iniziale sul puro rotolamento, la distanza del centro C dall'assedi rotazione in funzione dell'inclinazione d risulta R + R0 e perciò:
,,,,,,
I,: q,@ * m(R + Ro -dsind)2 - md,2 sin2 o
z)Lt^ __D =TLt/
:e^?f,rJ rs al"f,rlJa^ "l
o8uni eîusllnsrJ lap euorz"nba,lleq 'oJlua)iJ'q lau esseur "J
opusJîualuo? aqqar^" rs arrf, o11enb e rred "r,rnr1n.rr'r! pa orzade'r1 e eurwer'erp eq 'auorz"l'J rp asse(1'p
'?se.1ep rlund rap €2u"1$p.JI" rl"uorzrodord rrsluozzrJo azJoJ
"p olrnlrlsol ,aqEnJr:1uar azJoJ rp
"urelsrs IJ
.elvJr?Jat el uo? Sly lp olo?ue unrwJoJ eWeJ otrlelal oltqumba lp ruorzrpuo)u! ?q"urye rl rp ato1et orrrlrrlw Ir "Jewtnlala([
'a[el-uozztJo eptn8 eun pe rf aluangeo? rp ol!4?euo) olelo?ur^ ? v o('J.e4sa{I .ele?ryJa| ass?un pe ouJol+e a are1o?ue Wrrole^ vo) a+rrel-onJ a?uearcwJoJrun ouerd un w elsod I 7 ez-zaq?unl a u)essew W gV eqz-.un g.gT.Bff
bq"1 +z)".nu-r,g, I
6u.t- u6
(g[Yz - zt - glzt - v8I * r.rzg)g6zr
:ale?uozzrJo,l oEunl a
:eugur ?P ar{l
--r+f,)a"n
.:"lua^lp ,glu - g .red ,aqr
0 : (, sú eYp - gur.s8:p - d sor Ap - zA * grg) "nut
* gu1sp6u,t_ : (g),n
:ellnsrr orrqrlrnba rp auorzenba,l e
(gu1s ggpT- ,uts apz - i.zaz+ z0za)"r*L* gsotp6u.t - 11
:a^rrf,s rs ai"rzualod F 'a-rrr11rpp" r1u"1so3 rr"rzuasseur rp ouaru e ,Jpurn$
DaqDpA D?tuD?J?W :gy.dop ?TZ
(9J-ut-gnt,_ z rLt'rLE/\V I? tf ?
Cop.79: Meccanico Relatiuo 215
e,per0:r l6rvale: ' ^ t .(bT" : rnuz (r" + n)
Un'equazione pura di equilibrio è quella delmomento rispetto ad .4. Essendo la forzacentrifuga elementare agente sul tratto postoa distanza s da .d pari a:
dF":?r '@*ssind)ds Io-- t \ '
il suo momento rispetto ad -A vale:
dM,+": s cos 0 dF" : lr'1r+""in d)s cqs d dst '
per cui I'equazione del momento si scrive:
M.e. : *tf,rine - I"t Tr' rz * s sind)s cos d ds
- *otsind - mw2 cos, ( t *f , s ino) : o(1)
Per 0: n/6 quesh da:sIr":
{suz - i
Infine dalla relazione di Coulomb si ha:
IIgApl
Itw2 I . r r 1 w2l tu2l7@, * n) l : le- n l
I Osservazionc.' Il calcolo del momento delle forze centrifughe può essere effettuatosenza eseguire I'integrazione.A questo scopo si può decomporre il dia-gtamrna a trapezio delle forze centrifughe nel-la somrna di uno costante, con valore paria quello in 1,, e di uno triangolare con ver-tice in ,4,. Il primo sistema equivale ad unafona F1s : mu)2 ts applicata nel baricentrodell'asta, mentre il secondo equivale ad unaforza F2" : mu2 sh|l12 applicato a 2Il3 apartire da A. Risulta quindi:
^ I ^T 2MA" : mwz z= cos d * mwz : sin dlf cos d223
a re?srrJlap oJ+uaf, lau "ts)rldde îrmu _ ctg
:rl€luozzrJo azJoJ enp e Jlualearnbe elJ"raprsuoe oruerssod aluap-erard euralqord leu a.ooc 'orzaderl e euruer8erp ouu"q essa o,? "lse.ileu
eJlueur'?,f î"otu e tred aluellnsrJ uor 'e1se,1 oElrnl aleqldde ouos azroj alsanb Olz "ts"(JIaN
s oc eff "rJt; 'g a O ,O lpou rns 3euorzeJl e aarlrsodelunsse 3A N e OAilr .al"lrf,Jasa esse ep ruor'?el uor alJrnîrlsos rpurnb oruerssod :rlu"lsof,IFIss" ruorz? alos e allaEtos rpupb e arlf,rJ"f,souos CrB. e CEI els? al alu"lonJ ouerd 1atr1
'alse al aun? u! rl"rsse luolze e[ eJeIo?FC,ur essew ouveq
A C a Ov al+uaur .epqetncsetl "sssur ouveq
eg e Cg elfr "rI
.n aprelsol arclotue e1rc-oIeA uoJ elonJ erp eg?rt;;.A ouzrd un ut ols+d q etnBg tp orylúlye
"urelsrs [L g.gT.sg
'(f) e1p alualearnba
o : (dsorp + 0so)0"t.lz),.r*!* 6urs !o*- : @),fl zl-'" I - 1
:q auorzenba,l a(gus,,x *
", + g zÍ4s1)zn*|* gror96*: 2
;INf, ?P
0utslxut r ,zu.r,* 6rurs h
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^.rg t n-r!6*- , 'tt"t'n' Ip ?uxeJoal 1t rad a
zn,'Il-t os I ..
:"llnsru '(esse,11ep a eflr"lsrp ,ossg olund un ps ?îeJeruJef,ul assoJ "lserl y ur as
aruoc) ossg s opu"raprsuor 'a1erzua10d 1ep g1a1reuorz.ls "JJap "ueroal Fp €lnuelro
ernd auorzenba,gep etrnîlrsos a.rassa gn{ orua.'o.o 1ap e-uorzenb ".rr :?uorzD(r*?sso II
oaqol?a o?rutt???n :67.dog g1.z
Cop.19: Mecconico Relatiua 2L7
F2": mwzlf 2 applicata a2f 3 dell'asta a partire da D
Mediante I'equazione del momento rispetto aD della sola asta CD :
uo :^gf,+ Nact'fsl - *"tf+"12- mwz , i t fst =o
si ricava
NBC:f,*r't - ff iCon I'equazione del momento rispetto ad A per le due aste si ha:
Mr: *c;+ NBDîI {t * *o1t + N ac,,fst - *r't .É'f i . t -* , r !?, / i , :o2 23
da cui:
Nno : -fi*cConsiderando ora un tratto dell'asta CD, lun-go t a partire da C, e la parte delle forzepeso e centrifughe che ad esso compete, chehanno risultante rispettivamente pari a fp:mgrlzl e fc: mwzr(21- rlt)1il, e proiet-tando le forze lungo I'asta, si ha:
NcD:X,+ +fr,212t -i l i- Nu'L,- ^ ({t,o + wzrx -
2' 2 lConsiderando infine anche I'asta AD persuo tratto lungo r a Partire da D, suagiscono forze centrifughe di risultante:
ri: lrQ - i)"'e valutando le componenti orizzontali deileforze agenti su CD e sul tratto r, si ha:
rYea - Fl- Nnof;* *r ' t * mw2f,- Nu"
: z1*t /fu + u2 t) + mu2 n - #r' r"
mw2c2 m, g 5. .2,r-L - l . - : - -U Ll
161 4 ' t /3 3uncui
I
t------n .^tzlJ-zm (l.') uls ; - 3U ursJ -:--___:_ Y - suzU
rn) "P
!"u.'"'-:v : o:g, U ZUY
:9P 0 : (O).t " O: (6)s ll"lzrq ruolzrpuor al uof, er{,
?Uqs #t + ?.,sorÉr + t"nu.sts : s zU:aprauaE apr3alur eq (r) q'u + m ?orr as sezu?uosrJ rp ruorzrpuor ouu"q rs uou as
(r) !- - ",
uo, ?[J urs zuy : ,2, +g .l
,lezrol ruorz"Jlrf,so elJap auorzenbe,l eq rs tnf, €p
tU uls zuYtl + s-{- : gut - s{- : S?tt
:alrJ)s Js aleluaruepuo; aE3al el ,O pe o11adsr.r d. tp essrf,s?61 s ellag'c e olsoddo osJa^ Iau rut oIeA aluared
-de ezrc1el ,s Ip osJa^ Ieu c alueuoduroe rpaleluozzrJo auolz?Jalarr? uot elseJl olleJJst Irgrplod .oluarueurf,seJî rp elua.rsdde ezro; e1a^lllaga azJoJ oll" araEunrEEe a.rJof,ro ,a1ue1s-er1 'o11arre) Ior al"prlos oluarurJeJtJ un uI
'(o11attec p o11edsrrt) g,u! owr"J
"lueurylzlur olopuauoddns ollaile?p o1ledsu o1und pp olow [t "reurrmole(I
tU qs y : :E :eleuaessee7?el uot atonra rc ol[erre) II .E
"Trelrrn ryeilow eun ep o1sanb tp .g oqund un pe oqeÎay-P) ? pe olloJrez un ns oytlle ezuas auqow ?utesseta lp d eleqolew o1und un t.gT.sg
'euragord lap auorznlos e1 elaldruoe aqc
i
oaqol?A o?ruo??elry :5y.dog gEZ
Cap.19:
Se invece si ha risonanza, se u): O, I'integrale generale è:
s : Asin Oú + B cos Oú - l9t cos Oú2e con le condizioni iniziali risulta:
À.s:
; (s inOt - OtcosOú)
Meccanico Relativo ?lg
Es.l3.8 Un punto mateúale p dì massarrrè-gobile lungo uha guida rettilìnea inclinatadi un angolo a úspetto alla vertìcale, uni-fotmemente ruotante con velocìtà angolarew attorno ad un asse verticale incidente sullaguida.Determinare il moto del punto sulla guidasupponendolo inizialmente fermo sull'asse dirotazione.
In un sistema di riferimento ruotante con laguida bisogna aggiungere alle forze effettivele forze apparenti: di trascinamento, che siriduce alla forza centrifuga, e complemen-tare. Quest'ultima risulta ortogonale al pia-no e quindi non influenza il moto del puntolungo la guida.Detta u la coordinata di p lungo la guida apartire da O, la forza centrifuga è orizzontalee ha modulo rnuzrsinq,.Scrivendo la legge fondamentale della dinamica lungo la
tTIr, : lng cos a I rnw2 rsin2 a
da cui si ricava:î-u2sinzar-gcosa
che è I'equazione di un moto iperbolico, che ha integrale
guida si ha:
generale:
I COSd
" ' r i ; t ;r : /. sinh(a.r sin a ú) * B cosh(ar sin a t) -
znzî --.162': [0"t
a ,sot znzl - îrct 1,67 : "Q zl
:?^e)rr 1s (1) e11e6.rlelzlul ruorztpuof, alleu etelnle^
"1"1s ? fl. a^op(r)
"r"t*|.- - E-f,rurs
"r"I*1-,eor put-
"?d*tr Zz 0 zrns zndut, + Asor pu - n 2 "e"tuti
: Jtgin-,tr
et8raua,llap auolz"AJasuof, Ip "ureJoal
p arecrldde oruerssod .arr,rle,rlasuor eEnyrluaaezrcI eI a osad ezJoJ
"l oPuassa :olour tp orutrd ale.rtalur un oruerzztpln ,auorzrsod
arelortlred sun ur d lp Rlllola^ ellap euorz?lnle^. ?l apan{crr etualqo.rd p aqtlo6F 'eEnyrluae alua.redde EzJoJ
"r eJsJaprsuof, elseq apnb g .rad .o1und
Iap o^It"leJ oloIu Ir uou ?ur oueld 1ap auorzeal €l ezuangul pulnb essa :ouerd 1ealeuoEol.ro ? eJ"luaurelduror alua.red.de eztol EI alu"lonJ oluerurJaJrJ rp
"Iuel$s IeN
'o1und 1ns orerd pp alelolut^ auo[teal eI'euoyzlsod elsanb w .e alecytet ey nd essadotg E opuenb d 1p ?lrrolc^ eI eteu[wrapcl
'aFl-uazzrJo ? olg I pa ouztd p ol1ads1t ornJe!? d aryaarlelz1ul .g nd aluessnad eIe):4JaAass? un pe oulolle o
"TnelsoJ enlo?uz VTrt
elet uo) e$relonr eluew?rrrJopuà ouerd unpe auarqtedde pa g ognd an pe ,qrqernJserl?sspur a Tezzaq?unl lp ,oB un uol oleloJtrrt outesseur lp d e[eyalew o1und u2 6.gT.sS
ro zuls zo _ n [r - (rPulst]t{.or];.ot 6 - -
:"p ol"p orrrad Q otour Ul2 _UIS ,lf)
;Éî:s ! 0:v:eualllo Is-o : (O)f'"'O : (g),2 llsrzlu! ruorzlpuor el uoD
:6-p.rada
oaqol?a D?tut?g?w :67.dog ozz
Cap,,79: Meecanica Relatiua 221
che rappresenta il qupdrato della velocità richiesta.Naturalmente affinché il punto possa transitare per la posizione richiesta occorreche 29 > w2l.Notiamo che nella posizione finale, essendo P sull'asse di rotazione, la velocitàrelativa coincide con quella assoluta ed è orizzontale. Per quanto riguarda il verso,questo si alterna ad ogni passaggio ed al primo passaggio è opposto a P - O iniziale.Considerando le componenti ortogonali al piano delle forze agenti sul punto si notache la reazione vincolare del piano derae equilibrare la forza di Coriolis. La reazioneè quindi ortogonale al piano e vale:
Q :zmulEgt - u2t2
con verso uguale a quello iniziale del prodotto vettore (P - O) n w.
Es.l3.lo Un'asta di massa m e lunghezzalha I'estremo O incernierato in un piano ver-ticale unìformemente ruotante con velocità,angolare w attorno ad un a-sse drsúanúe d, daO. Inizialmente I'asta e orìzzontale e fermarispetto aI pìano.Detertninare iI massimo valore di w affinchéessa possa tra.nsitare per Ia verticale.
Come nel problema precedente, in un riferimento solidale col piano le forze appa-renti complementari risultano ortogonali al piano stesso e non influenzano il motodell'asta.Le forze apparenti di trascinamBnto si riducono alle forze centrifughe, che sonoconservative: possiamo perciò uflizzarc la conservazione dell'energia ? - (J : E.Detto d l'angolo dell'asta con I verticale, si ha:
, : f ,#n, , u - *ntcosd + ! ; . , ,dove per il teorema di Huygens:
*'T"mI2^t- '3I- : "ll sinz d + rn(d + 1 sin d) 2-L2\2'
" t"1 q ?: .t.
'1" t-tt'
lz, - *?1ru2:
Av outz- - jE
:rreluaualduoe a1 red a
(o - a) "'*:
/"1r
:rpurnb "lJnsrJ
aq8ngrrluar ezJoJ al Jad'oJluef,rJscl Ieu ?ss?III
"l elln? opu"Jl
-uaf,uoJ oJaqqar^" rs aqc a11anb e rlenEn ouos rluaredde azroJ alsanb Ip lluellnslJ er'rreluaruaiduiof, a aq8nprluar .rluaredde azJoJ el ouor$Be
"?s"(llap olualuale ruSo ns 'a1ue1onr ouerd 1or al"prlos oluaurrJeJrJ rp
"uelsrs un uI
'VO pe e1ayend ? "tsp,l opuenb etaw
-Ja? eilev eJeIoJUtA euorzeeJ e[ eJeuftrrJeleo.VO pe eleuoBogto E pa otnld p
o11edstt eurJeJ ? el*J eluawlenwl .7 ezzaq7-anI a ut esseur lp gv ?îs?(un lp ?TwaJ,'nJe?eratuJe)ut ? ,O ep ?,f 7 ezueysrp e pa .ossa
Ip nS 'g nd agressed e[e?rytel ass" un p"ouJo??e o an1o8ue ?IJoIa^ uol ?lueurewJoJ-tun elonJ aleluozzrJo oueld un TT.gT.sg
'r4 tp aJole^ ottrrss?ur I arsluJoJ er{]
ú#r", € o?(p+l),,_aaqf, arJosao arap"3r" essod grr ?ql.rad
@+l)"'-o:{Al:eq rs (0 - p) alecrlraa e1 .rad
"lrsrr"Jl e1se,1 opuenS
.zly(O)B n O : (O)A rl"rzrur ruorzrpuof, alle
"zuapuodsuror ur e1e1np,r slels a fl. e^op
(p + !)1".*-: g: "n(gursp*6rrurs
\!*- g"ot96r'. -9-.. \r ' lt lz"* zI't\Au.éP-r Uz""7r7*- V.vJi"*- "Q d*
:e^rlltpp" Ilu"lsol rl?lzuessaur rp ouaur e rrpurn[
oarppy oJruoz?ry^{ :gy,dog ZZZ
Y
r
Nella configurazione finale del problema laforza centrifuga e la forza di Coriolis sonoparallele e dirette come I'a.sta, per cui I'equazione cardinale della quantità di moto,proiettata sulla normale e sulla tangente allatraiettoria del baricentro, dà luogo alle equa-zioni:
e derivando rispetto al tempo:
Cop.19: Meeconica Relativo 223
(1)
(2)
(al primo passaggio)
i Ov:0
1
Qrlmwtl Í+mw2l:-*Lò' ,
ou: ̂f ,F,dove con 01 e 0y si sono indicate la velocità e I'accelerazione angolare dell'asta inquesta posizione.Per valutare queste quantità possiamo awalerci della conservazione dell'energia,tenendo presente che in essa non compare la forza di Coriolis che ha potenza nulla.
î : 1Ú-ò, : IJ: ' - t ,^r , con2 3 2 '. nlz ," 2arnIr: ; + rnl2 cos2 0f 2
e trascurando inessenziali costanti addittive I'equazione si scrive:
fft l2 , , ,126
0" -n ' t t t )n;cosd: E:O
dove E è stata valutata nelle condizioni iniziali d(0) : tr lZ e 0(p) -- O.Da questa equazione si ricava:
Ò2 :1r, ,o"0
6 : -?r2 " in i .4
J"
Risulta perciò per d :0
6r:o , i r ] : f , r ' + àt: -Sostituendo nelle (1) e (2) si ottiene infine:
lDz: -mlw'(1-
32
|t
I(tgfzla*tl"n7)ut:4|' .a[e?rt.;ea eye o11ads.t gf t rp
oyo?ue un ryveralo7 alsz- aI voc.ott1e1e.r oIJgltnba ur ?fs ?uralsrs F ypury eyow e11ep tleJrlseP alus?sor eilap alole^ Ir eJeururJal?o
'aanp8ue eT"oIaA uoJ aluawearJoyun eyrelew ale)r+Jal' ouerd un w ogsod a ernEy rp ey-P^ouew-euarq ewa?srs lI g.gT BuralqoJd
[(Pe + ù169,t: z*I'"ye?qral eye oyyadxt glrL lp olo8ve
un rurJot elseJ olrlept ortqryrnbe tp luowlp-uoJ ur ?tlzuwe n tp aJoIeA Ir areutí]Jlala(I
' o eP P eFre3stp e[errl-Ja^ assp un pe ogTadsu m atelo8ue ?N!)op^uao e+uelonJ
"lueurcurJolun ep)rytat auerd
un ur oleJeruJe)ur O otrreJpa1 eg 7 ezzaq8-un| e ur ?sspur lp else.un z.gT BuralqoJd
I osoe 1lA : rfn I (orurs î"n * osoef)u.r : g I"ep1nE
eye oye68odde erys ogund y ?WUWe ntp eral-?,r ounss'eur U pe oru lau euorsae1 e7 .ouqey-et ougrpnbe lp luolzlpuoJ u! .ateurwtaqaq
'm "lrrel'soJ are[
+tw glytolaa uoJ g rcd almssned eler.ryJelass"rll" ouJolle eTont ouerd g zprn8 egepg oqund pu olessg '7 ezzar1?unl e elrq?Jnos-"rl "ss'eru lp olg un ep olnu?ylerl ? pe a|"-)-tye^ erye oTgedsrt D rp eleurlJw epm? eunpe orySBodde q u
"ss?ur lp olege?ew a1undun elelqrat ouerd un u7 T.gT BrxolqoJd
IJSOdOUd lhtgTgoud
Daqopy o?tuo???W :97'dop ?Z4
Cap.73: Meccanica Relotiuo 225
Problema 13.4 In un pìano vertícale uni-formemente ruotante con velocità, angolareut un punto materiale F di massam è vìnceIato ad unz guida oùzzontale, mantenuto adìstanza d, dall'a.sse di rotazione da un filo dimassa trascurabìle. Al panto P è collegztoun punto Q , pure di massa m , medianteuna molla dí costante k .Determinare la tensìone nel frIo ìn condizionedi equíIibrío relptivo.IT:mu2d,fr+. - ! ^ t tr- \ - f r_mwzrl
Problema 13.5 L'asta AB di figura è ptsúa in un piano verticale unifgrmemente.ruotante attotno all'asse y con velocità angolarew. L'appoggio in B è scabro con coeffi.cientedi attrito 1t.Determinare iI massímo valore dì w ed iI mi-nìmo di p affinché in condizione di equilibrioIimite I'asta formi un angolo dì r l3 rispettoall'oúzzontale e non si abbia distacco.
J'îr:z'/z! ; w211,6n * rBl
Problema 13.O In un pìano vertìcale unì-formemente ruotante con velocità angolarco; è posúo un sisúema costìtuìto da un dìscodi raggio -P e massa 3m e da un'asta AB,di massa m e lunghezza l, incernierata adesso ia r{. II disco è incernierato al pianoruotante in O, dìarnetralmente opposto adA.Determinare w e I affinché in condizione diequìIìbrio relatìvo OA e AB formino con Iavertìcate rispettìvamente angoli dí r 16 e r 13.
lr' : tfsg lna i I : tL\/lgl
ei lo
l(gsoc"ng-ó)purs *:tt' t 9- (d ,soc 2
- e "ut"1g
zmru + gsot 6uta : {O I
.opluozzyo O rcd otgawerp yuoc ouetd p oT1adsrt orrrJal
"rs orsrp U apu
-!u! a?uelslJIe aq) opuauoddns euorztsod ey-Pp auotzunJ ur rJelo?utÀ tuouear aI arcp)Fc
'O eratuJa) e1 nde1uessed eleJryra^ assp un pe ouJolle m arel-o?ue eycolal uoJ eluelonJ alueurc(arogunale?rlral ouetd un w o1sod e .g or?Eet a u,r,?s'serrr 1p'etn?g W úslp U 6.gT BtualqoJd
Ikles"r? - bsoe + 1)g).oltu: JlarrcruunJ ur olg pp auo*uar:r":':::i::Jl:',
'lZ: dO uo) ouIJaJ od oluawplzlul .eFz.IIop v ower1,salle arqer-nJspJl ?s's'Bur e 7 ezzaq8unl W olg un ep oTeE-aqo) a ' ut esseur lp , d eleuoletv oTund un'o owalpe ons I" ouJo??e ayrelsoJ o anlo?-ue elrJolat uoJ e?onJ 7 ezzaq?unl rp else(uneleluozmo ouerd un uI g.gT BuralqoJd
l(euorzety e a4ysod) (aA: s) gtzlîut - r(771r - 1)"nut : cW
(4v-: t) ztlQ,n + ryfùul- ftlt(1"n - agVT)u - IBl"a)nut-i cr71gf la* - sYN 2gf 7"ou"ra4l0*g,t: voTJl
'alce a[ ennl u! Ilelss" luolze eI areulwra.loQ
aletryrc^ asse.Ile ouJol?e elue*o? , "rrr;gr1 eJno["A uo? elonl ,eyqetncsetl esse{E ouuvq
gV po VO lm lp ,alw ot1Tenb ep eynryts-oc'etn8g rp etnllnrts eI l.gT Br.rralqoJd
ooqopy n?tuD???W :6y.dog gZZ
Cop.73 : Meccaníca Relativa
Problema 13.10 Un dìsco omogeneo, dinggio,R e massa m, rotola senza striscìarcsu ur carrello mobile lungo I'orizzontale conmoto assegnato: z,: Àsinarú.Determìnarc il moto del disco rispetto aI car-rcllo supponendolo inìzialmente fer mo.
I d : -2.\(sinwt - wt) I sR I
Problema 13.11 II rombo articolato di fr-gura, formato dalle tre aste AB, BC, CDdi ugual rna,ssa m e di lunghezza l, è po-súo in un pìano veúìcale ruotante con velo-citàt angolare w costante attorno all'asse petAD. Inìzialmente il sisúema è in confrgura-zione quadrata, fermo rìspetto aI piano.Determinare il ma.ssirno valore di w affinchéAB possa transitare per la posizione verti-cale.I r ' . : r2gls l l
Problema I.3.12 II sistema difigura ruotacon velocìtà" angolarc costante w attorno al-l'asse vertìcale y. Inizialmente l,asta AB , dimassa tra.scurabile, è in quiete relativa con Acoincidente con O.Determìnate iI minìmo valore di k afrnchéI'asúa possa passaîe per Ia posizìone veúicalee determinate, in tale posizione, la reazionevincolare in B.Ik^: mu2-2mgfl ; Oa : k l-mlw2+amgl
227
I (o - c)(t - "r*zltt
+ tfz)"nut: 61'O q eíunr? opuen6ZEslry né olofiuegtl
pp "relorutl
euolzeoJ eI "Jeulurrapp
qg4;1r-lata1amb u! pe Cu! eluewlz-lzluy g opuauoddng
'g nd e1uessed ' o ezzeqtunle eqqeln"seJ?
"ss?ur lp 'olg un epretpa.w Vogund F pe q e$rcIsor lp e1ow eun
"yrvtp au (I eo4rel p oye&eyot q g o1und U 'OCe CO lppJ ms aguernea.tg1adqt oyllle ezuesouotrJo?s 'ut essew pn8n 1p 'g e V lleysryarlgund en6 'g rcd e1eilluel esseJle ourolleolrlruggJ n etelo?ue ?yJoI"A uoJ elonr 'o llal-er lp 'O CO alarsoq olofiue11et olofirlr.luT yepguozztto ovetd un u1 gT.gT BtualqoJd
oarppq o?ruv??eq :gy'dog gZZ
l
riII
r
Stabilità e piccole oscillazioni
Una configurazione di un sistema è di equilibrio stabile s€, per qualsiasi configura-zione iniziale obbostonza prossimo ad essa e per velocità iniziali abbastonza piccole,durante il moto il sistema mantiene configurazioni comvnque prossíme e velocità,cotnunque piccole .Per sistemi soggetti a vincoli fissi, bilateri e perfetti, con sollecitazione attiva conser-vativa vale il teorema di Dirichlet: condizione sufficiente affinché una configurazionedi equilibrio sia stabile è che in tale configurazione il potenziale abbia un massimoproprio.
PICCOLE OSCILLAZIONI ATTORNO AD UNA POSIZIONE DI EQUILIBRIOSTABILE DI SISTEMI CON UN GRADO DI TIBERTÀSe si considerano sistemi clonomi con un sol grado di libertà, soggetti a vincoli fissi,bilateri e perfetti, con sollecitazione attiva conservativa, il movimento può esseredesunto dall'equazione pura:
T-U:E [14.1]Indicata con g la coordinata libera, le funzioni T ed,Il hanno espressioni del tipo:
1-r : :o(c)c ' ; u:u(c) [ t+.2]Tra le configurazioni di equilibrio, ottenibili come soluzioni dell,equazione:
u'(q) : oanalizziamo quelle in corrispondensa alle quali risulta:
u"(c) < oche sono configuraaioni di equilibrio stabile in virtù del teorema di Dirichlet (quellein corrispondenza alle quali risulta tI"(q) > 0 sono di equilibrio instabile in virtù diun teorema di Liapounov).
Cap.14
[14.3]
]+.al
lot'prl{{L)!toy : V , {(A;.rtn1 - Br uor O: lV ",
+ B,lrap
:(a oper8 rp eerrqaEle) auorzenba.ilap 1uotznlos eilep alsp ouos {o polzeEnd aT
[o'rr]!bgrb€
- ttq : tbtb(b)tt"3tr: t az8
{h"}orad
le'rrl
r :al"rzualod 1ap {fig} aerrleru €l a €Jr}eurf, ert.raua,gapaf,rJl"ru
"l areJaprsuof,
"ls?q eur 'lleurrou el"urpJoof, al eJelof,J"f, orJ?ssÍrf,eu
e. uou {o Iuolzeslnd a11ap olo3l") II Jad .ts "leurpJoof,
?un ur ?unf,serf,
o : ttxln +'tx
rap ruorz"nba'u auror (rlerurou aleurprooe) {c aîeurproo" ",ro1roa}l::1l":i:: ouossod oloru rp alszztxeaurl luorzenba el ?ol3 .rf,ruortrJ" Itou Ip euorzrsodruor
eun Q alrqsls auorzernEguor "llep
ouJolurrllau "ulal$s lap oîoru p (ouerssaq,llap
orpnls oll"p apqrrnpop "rs
aql alerzualod 1ap otursseur un pe aluapuods.uor {{ó}"llq-nt. opqrpnba rp auorz"rn8guoo ?un uof, 'Rlraqll rp 1per3 z
"q "ruelqs II as
YJUtrgIT IO OOYUD Nn IC QId NOC II^ISJSIS IO INOIZYITIDSO grOCCId
'ruorzBlirf,so a11ap ezzardu".l ? eloreld qrd olrrenb alorlErru olu"l a euorz-erurssordde,l a a|outrssotddo olour Ip ruorzenba ersruJoJ [s.lr] "t
eqr ousr^Jasso
llrtl:opor.rad rp e
ls'rtl:auorzeqnd
Ip '0ó - à uor auorze:nEguoe "lle
ourolle of,ruourJs oîoru un 1p auogzenba.l ? aqt
ls'etloÒ[(oó),,n-] : b[(ob) t/]-l + p(oo)"
:euorzenba,lp elrod gtr'[Z'ffJ a1 aluasa.rd opueue]e alrq"ls olrqllrnba rp auorz"Jntguot e11au ó ep olunsse a.rol"^ p oó uoe opu"clprrJ
'?lopu"zzrJeaurl a odrual p olladsrr [t.ft] auogzenba,l opue.uJap o erpnîseJassa gnd aFqels orrqrpnba rp ruorzern8guo3 rl"1 Ip ElTulsso.rd ur oluaruhoru I
ii
| (ob),,n-
I -T'D-
ruotmipcso a1octtd ? plflqo$ :fy'dog OgZ
ESERCIZI RISOLTI
Es.l4.l In un pìano veúicale un punto ma-teúale P di massa m è vincolato senza attritoad una panbola di equazione y :
^r2.DetermÍnare iI peúodo delle piccole osciJla-zioni attorno aIIa posizione di equilibrio sta-bile.
Essendo il punto soggetto a vincoli lisci e a forze attive conservative, possiamoindagare la stabilità dell'equilibrio studiandone il potenziale. poiché:
U : -mTU: -mg\r,2
le posizioni di equilibrio sono individuate dall'equazione:
U'(x) : -2mg\x:o
che ha I'unica soluzione s :0.Essendo poi:
u"(r) : -2mg\ <o
il teorema di Dirichlet permette di affermare che la posizione di equilibrio è stabile.Per determinare la pulsazione ed il periodo delle piccole oscillazioni del punto at-torno all'origine, dobbiamo considerare I'espressione dell'energia cinetica:
|*$'+ ù2) : f;^g + tx2r2)ù2 : !ra@)i:2
essendo a(x) : m(l* 4\2x2).Per la [1a.6] la pulsazione è data da:
t-u"n": V-Ad-
:1/2s\
ed il periodo risulta:
Cop.1l: Stabilità, e piccole oscillazioní ZgL
L.xTu: = (o)o -Lr
:eq rs ,rsaluared e.r1 auorssardsa,l (p)a e11aq
"g(zle zu' zauv * "r**)Í: z?["(z/eqsaz)u * #* + "u*f,rl = r,
:ellnsrr'odroc lep auolz"lor
"arrc1rr?îq !p oJluel F l?.opuessa .aqr trglaun erE.raua,11apauorssardsa,r aJa rJf,s a,'ap F ruorz"ilrf,so al0rrrd enap oporJed 1 a.rewuuarep Jad 'nounoderl rp eurarool Iep nîrl^ ur elrqelsut orrqrtlnba Ip ? t _ , eJluag ,lelqllJlglP etuaroal Jep etJr^ '' elrqe+s olrqqlnba rp auorzrsod ? 0 : 0 aq, ef,npap rs me
"pO <A6u : (u),,n a 0> U6ut- : (A),,fi
:arlf, "q
rs
gsotg0ut- : (0),,n
:"puo)as qs^lrap e1 1od opu"tnl?^.y _ z0 a 0 _ r, ruorznlos
"q eq,
g - gursgfut-: (g),Í1
:q olrqllrnba rp auorzenba.l a
6sol.g6ut, - 17
:a.ÀIJf,s rs al"rzualod p .a1ue1sor elonb "
euetîu"ru rs of,srp Jep oJlua, II gqllod.alerzualod auorzunJ
"l atu"rpeu, ?qllq"ls "ns "l "
orrqqrni",leJsrpn?s rpu;nb ourerssod losad ez.ro3 e1 q odroc 1ns alueEe
"^rne "zJoJ "los 3T
, _erq-"ts o1Jg.rl.rnba yp auowysod epe ovlolle ruoru-enl:so elocctd silap opoqad g ercururaa1ag
.e[eluozzuo eplnt ?un nsaJ"rf,suts enns e[oloJ oJsJp IJ .ezueJaluoJJts
"ns "IIns oureJlse un uoJ o"slp pp o4eúr".rp
un o8unl epp1z"s .ut essz.w e gV ezzeqtunylp eqe.un ep
" A ottFlet e ur ?sssru rp o?glpun ep oynq1soc q oplùtt od;ot u2 Vlf ,g
./
luolzollr?so apcxd ? ?mlqal.g g7.dog (,gZ
Cop.1l: Stobilità e piccole oscillozioni
e per la [1a.7]:î :2zr
Eg.l4.3 Nel sisúema rappresentato ìn frgu-ta, unla,sta di massa m e lunghezza 4R è gi-revole in un piano verticale ìntorno aI suoesúremo A. Un disco di raggio R e massa Mha iI centrc C sconevole su una guìda oriz-zontale e totola senza súrisciare sul['a.sta. lldisco è inoltre soggetto in C all'azione di unamolla di costante elastica k: mgl4R.Si determini iI periodo delle piccole oscilla-zionÍ del sistema attorno aIIa confrgurazionedi equìlibrio súabile.
che si annulla per
Studia'no il potenziale del sistema, che risulta:
u(0): -mg2lsind - ir#fLa sua derivata prima è:
U' (0) = -2mglcos d + Traz ltfl
cosd :0 e
Considerando fisicamente significativi solo valori diequilibrio per d : r f2 e per 0 : r 16.Valutando poi la derivata seconda del potenziale:
sins d : &ft2mg
: l '8
d nel primo quadrante, si ha
si osserva che:
u" {o) : Zmg Rsino - *oI+*#4
u"Qrl2) :2rnsR-ry : l rngl> O e
17R6c
6urVg71'.- " urzt + w66
:"roll" e [l'tt] "l red
, t, z, ,.e(*gl +,{tl:l$/tr,)o
:"llnsrJ allqets ouqrpnba rp auogzrsod "lleu
e
,,2 , Z O"uls I"e(ù"1: ",rla i"';w + zuwffi+ "u**ll:
: zQo rrot "r^1* "A#r"aw\.+ "Q"a**l: t
:grrrad Q "rual$s lep "f,tlaurf, e18.raue,1
, sof, /1r , -uls8 o ,+ot T |ffiu- : u tnt "P co: cH ú
:eqc rod "q Is 't rad a1err1.ra^ ellns a
"ls?6llns e^oJl rs eq)'Il olund Ir a of,srp lap auolzeloJ sau"luelsr rp oJlua) I! aql oprÍe Jesso
,'ffia-:'ornr rad-9suo) Ox-Oa
:"tpslg 'Epaoytp
"uaroal II ol"zz1lln Q rs of,srp g .red e,rop
"u#tr*Z^^1* " g,.*;*l:.r,:"uralsrs IeP "ll1
-eure er8raue(llap auolssardsa,l "Jo
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Es.14.4 NeJ sisúema di frgura, posúo in unpiano verticale, iI dìsco di massa m e îag-gio .B è vincolato a rotolare senza strîsciaresull'asse verticale ed ha il centro collegato adO mediante una molla dì castante k, mentrel'estremo B dell'asta AB può scorîere senzaattfito sull'a.*se orizzontale. L'asta AB, dìmassa m e lunghezza l, ha densità propor-zionale alla dìstanza da B.Determinare Ia posizione dì equilibrio stabiledel sisúema ed il periodo delle pìccole osciJla-zioni, nell'ipoúesi che sia & > Smgl\l.
Avendo I'a.sta una distribuzione triangolare di densità, il suo baricentro si trova a2ll3 d,a B.Detto d l'angolo antiorario dell'asta con I'orizzontale, il potenziale delle forze agentisul sistema è:
u{0) : *ot t" inl + mgtsind - f ;{ t" ini l , : Z*orsind -
Le configurazioni di equilibrio sono date dall'equazione:
u' {0) : }rnot co, 0 - kP sin 0 cos 0 : 0
che ha le soluzioni:
cos0:O + 0:7112 e s ind:
Derivando ancora il potenziale si ha:
e risulta:
perciò d :mentre:
U"(0): -i*nrsind - tet2 cos20
u"Qr12):- f ,*ot+kP>0r 12 è posizione di equilibrio instabile per il teorema d.i Liapounov,
( t " (s ino: f f i1:T+-kP <o
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Cap.7l: Stabilità e piccole oscillozioni Zg5
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Cop.ll: Stobilità e piccole oscillazíoni
Es.l4.5 Un bÍpèndolo, costituito da duea.ste di ugual raa.ssa m e lunghezza l, è mo-bìÍe ìn un piano verticale con Ia cerniera inO fssa"Determìnare le frequenze angolarì di oscilla-zione attorno aIIa posizione di equilìbrìo sta-bÍle.
Per determinare la configurazione di equili-brio stabile, peraltro evidente in questo caso,dobbiamo studiare il potenziale del sistema.Con le coordinate di figura esso risulta:
t^. IRIU(0r,02) - *c;cos d1 f ms(t cos 0, + ;cos d2) : | ,*orcos d1 f *oIro" 0z
Le configurazioni di equilibrio sono date dalle soluzioni del sistema:3U/t , : - i *0, s indl : Q
U/r" : -*ots ind2: oche sono:
sindl :g + 0r:0 € 01:v
sinó2:g + 0z:ó e 02:vEssendo poi:
Ulrrr , : - !*glr*0, ; U1ere, :U10"0, : O ; U1e"e. : -mS*cos0z
la matrice associata al potenziale risulta:
e l'hessiano è quindi:
3H(0r dz) : det B: í*rCrlz cos01cos02
considerandone il valore nelle diverse posizioni di equilibrio, si ha:
B : ( - lmstcosol
_*o!r""rr)
1) f l (o,o) : l* '0"t2 > o
+ r);l: lnr th
-r)6t:2n " (12,^ :J
T: :eJasso ousllnslJ eqf,
s : ea! * "n679
- ,r"tT)"* : (v zr+ g)rap:[Of 'lf] auorzenbe,llap ruorznlos all"p etep ouos euorz?lllrso !p azuanbarg a1 a
' ^ '*9 + tîu.t!- ,n,rut| \\"''' "'? ";,,:z*î- .,",J)E"'í,8*E_ ) -- o r, * *
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Cap.1l: Stabilità e piccole oscillazíoni 239
PROBLEMI PROPOSTI
Problema 14.1 In un piano vertìcale unpunto materÍale P di massa rn è vincolato aduna circonferenza lìscia di raggìo R ed è col-Iegato con una molla di costatúe lc aI puntoO di massima quota deIla circonferenza.Supponendo lc < nglH, determinare ìl pe-riodo delle píccole oscillazionì del punto in-torno aIIa posizione dì equilibrío stabile.
- f *R.1r:znl *r :* l
Problema 14.2 In un piano verticale un,-asta ha gli estremi A e B vincolatì rispetti-vamente ad una guida orizzontale e ad unaverticale. L'estrcmo A è atttatto con unaforza elastica di costante k dalpunto O diintersezione delle guide.Detetminare Ia condizìone sui patametrí af'frnché Ia confrgurazione vertìcaie, con B so-pra A, sia di equilibúo stabíIe e valutare iIpetiodo delle piccole osci,Ilazioni nell'intornodi tale confr.gurazìone.
lmg <2kl i r :zn^l , ,=7* l , I-" \ s(2kl - rns) '
Problema 14.3 In un piano verticale 1'a-sta AB, di lunghezza I e ma.ssa rn, ha I'e-stremo A vincolato ad una guìda orizzontalee si appoggia ad un profilo circolare fisso diraggio R a cui la guida è tangente nel puntoO. IJna molla di costante k collega I'estremoA dell'a.sta aI punto O.Determìnare iI valore di Ic affinché I'a.sta siainclinatadir l3 rìspetto all'orizzontale in con-dizioni dì equilibrio, veúfrcare Ia stabilìtà' ditale posizìone e calcolare iI periodo delle pic-cole oscìIlazioni nel suo intorno.
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tuorzonttso a1otttd ? ?l!pqo$ :fy'dog O?z
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{tNs, + ('tt - ztt * 8l zùuz
Principio di dtAlernbert
Per un punto materiale di massa rn, soggetto ad una forza attiva F e ad una reazionevincolare O , la legge fondamentale della dinamica può scriversi:
F+O -rna:o [15.1]Chia,mando forza d,i inerzia il prodotto -nra risulta che durante íl :moto le forzeeffettiue e le forze di inerzia ai fonno cquilibrio.Generalizzando a sistemi materiali qualsiasi si può postulare il principio di d'Alem-bert:Le equazioni di moto di un sistema possono essere ottenute considerandolo soggettooltre che olle forze efettiue onche alle forze di inerzio e imponendone l'equilibrio.Naturalmente, per vincoli scabri va però utilizzata I'equazione dinamica di Coulomb( lOrl : /l0rl ) e non la relazione statica.Le forze di inerzia sono applicate ad ogni elemento di massa del sistema: per i corpicontinui, su ogni elemento di volume dr, intorrio del punto P, di densità k(P) èapplicata una forza elementare d'inerzia:
df : -k(P)a(P)d,r
In particolare il sistema di forze di inerzia applicate ad un corpo rigido è equivalentead una forza risultante R;,", applicata nel baricentro del corpo' e ad una coppia dimomento M;,n. Il risultante R;,n vale:
Rd," : -rna (a accelerazione del baricentro)
Il momento M;," ha nel caso tridimensionale un'espressione complessa. Nel caso dicorp-o piano muoventesi nel proprio piano la sua espressione è semplice:
M;o: -1 i rdove rir è l'accelerazione angolare ed 7 il momento di inerzia rispetto all'asse bari-centrale normale al piano.In generale le forze di inerzia non sono conservative, per cui con il principio did'Alembert si possono usare le equazioni cardinali ed il principio dei lavori virtuali,ma non il metodo del potenziale.
Cap.15
[15.2]
[1s.s]
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:rl"rnur ruorfiPuof, al rluas-ald opuaual a oduel I" oltedsrr eîlo^ enpopu"J8aîrn ,e ?,16: g + 6ut: rutT:rnf, sp
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-ladsrr r rluauodruos ouueg Ò a a rp ruotz"Jelarf,e al .4. rp eleurpJooJ "l
c "11aC 'srzJaur rp azJoJ rluapuodsr.rrof, el eq)u" surel$s pp ess.eul
enP all" alecqdde aJeJeprsuof, orrrcrgqop r1.raqrua1y,p rp ordreurrd II opu"zz[rlfl
.e1arnb eyepatyted ? suîals.rs pp olow F etewucJole1'ru esse(E lp O oynd un ouraJ?sa opuo;ies peJer e oytxl olotd un ns essi?d .4 ur owatTsaun
"rJ eqgeJnzseq ?ssprll lp o,H un .?rf,s
1 oplvozzgo eprn8 eun o?unl eyqow q .ut?ss'pur lp ' A eleueleur ogund u11 f.gT.sg
ITTOSIU IZISU$SS
U\utary,p tp ordtcurt4 :gy.dog Z?Z
Ee.15.2 Un dìsco di massa m e raggio R èsosúenuúo da un fr.fio, inesúensibile e di massafuascurabìle, che ha un esúremo .6sso, si av-volge senza súriscíare su meúà dìsco ed ha ilsecondo estrcmo collegato con una molla dicosúanúe k ad un punto O fisso.Determinare il moto del disco supponendoloinìzìalmente fermo con Ia molla di lunghezzanulla.
Dobbiamo imporre I'equilibrio del disco ag-giungendo alle forze effettive agenti su di essole forze di inerzia.Queste costituiscono un sistema di forze distribuite equivalenti ad una forza -maapplicata nel baricentro, e ad una coppia di momento -1ó.Detto d I'angolo di rotazione antioraria deldisco a partire dalla posizione iniziale, I'acce.lerazione del baricentro vale .Rd, rivolta versoil basso, mentre I'accelerazione angolare valed, antioraria. Il sistema delle forze di inerziaè quindi equivalente ad una forza R;n : rnR6verso I'alto, applicata nel baricentro, e aduna coppia di momento Mio : Qnn2l\à,oraria.Un'equazione puîa di equilibrio si ottiene an-nullando il momento rispetto ad f/ delle forzeagenti sul disco. Tenendo presente che, perla scelta di d, la molla ha lunghezza 2R0, siha:
Ms : msy - k2R02R - mn6n - $eda cui:
3-,mRî*4kR0:mg
che è un'equazione dei moti armonici, avente integrale generale:
d: rsin ,lg**Bcos ,l-Xr+ ff i
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Cap.75: Principio di d,'Alembert 249
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1ns rluaEe azJoJ ellap y pe olladsrJ oluaruornII pa r asse,l oEunl alu"lln$r I opuellnuuy'"îs".llap orluatrr"q yau elerqdde ,z e olsod-do osraa ur
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-tn8 e1 auo? ellalrp 'g eztol el el:-urwJalee'elelaozzrJo.ge o11adsu n
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I Cap.15: Príncipio di d'Alembert
E€.15.4 In un piano orizzontale un sisúemabiella- m.anov ella è costituito daII' ast a O A, dilunghezzal e ma.ssa trascurabìle, e dall'astaAB di massa m e lunghezzal. La manovellaOA è mantenuta a velocità angolare w costaate.Determinare, ìn funzìone della posìzìone, ilvalore del momento fl.ettente nel punto dimezzo della biella AB.
Poiché le aste hanno velocità angolari uguali ed opposte, anche la biella ha velocitàangolare costante e quindi ha accelerazione angolare nulla.Le forze di inerzia sono quindi equivalenti ad un'unica forza, di componenti -rnice -múc rispetto agli assi r e y di f igura, applicata nel centro C di AB.Essendo:
, , -11"o"g i ac: ! r ino
si ha:
ec : -f,tr2 cos d ; ùc :
{0 = wt)
-f,w2 sine
Annullando il momento rispetto ad L delleforze agenti su AB si determina la reazioneOa:
MA : ^O"tsin0 f *!cf,"o"0 - Q ntcosd : 0
O" : T?"tand + úc) : -mlwz sin|Consideriemo ora la metà, biella C B. Le forze di inerzia su questo tratto hanno risul-tante, applicato nel centro del tratto, di componenti -(m12)î e -(ml2)ii rispettoagli assi.Essendo:
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o - osor lefr*r"*l+ft*r,o"!as-ryag:auarllo lE gC ns rlua8e azrog
ailap C e olladsr oluaurour Ir opu"llnuuv
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PROBLEMI PROPOSTI
Problema 15.1 In utn piano verticale unquad.rato, dì lato o e rnÍLssa tra.scurabile, èìncernìetato nel suo vertice O. Un punto pdi massa m scorîe lungo Ia dìagonale AB delquadrato, attntto vetso A da una molla dicostante k. Inizìalmente r'l srsúema è fermocon P: A.Determínare, ín funzione del tempo, iI memento C della coppìa da applìcare aI qua-drato per tenerlo fermo durante iI moto dìP.IC{ù: lLtU-(*ot/nl^lProblema 15.2 In un piano verticale unr-asta OA, di massa m e lunghezza 4R, è in_cernierata in O. Su di essa può scorrere unanellìno B, di massa m, vincolato altresì aduna circonferenza frssa dì centro C e raggioOC : R (con OC orízzontale).Determinare ìn funzione dell,angolo 0 di fr_gwa ìI momento M deila coppìa da applicarcall'asta affinché essa ruoti con velocità, angeIarew costante, nonché Ia reazione víncolaredella circonferenza sull, anellino.I M : 2mgh(cosd + cos 20) ; A : 4mRtt2 -mgtanî(verso C) |
Problema 15.8 In un piano verticale un,_asta, di rnassa m e lunghezzal, ha lrestremoA scorcevole lungo una guida orizzontale Iì-scia.Determìnare iI valore del momento M dellacoppía da applicare all,asta affinché Ia suavelocità angolare w si mantenga costante du_rante ìl moto.- l - tI M : *(c + rwz coso) rs ino, o : wt l
Cap.75: Príncipio di d,Alembert 247
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