mecanismos - apostila - ufsc - 62 pág

Luiz Fernando Soares Camargo

Mestre em Engenharia Mecânica pela UFSC

curso de

M E C A N I S M O S

Universidade Federal de Santa Maria

Departamento de Fabricação e Projeto de Màquinas

- 1 9 9 5 -

PREFÁCIO

Este trabalho ter por objetivo principal reunir, em um único texto, todo o

conteúdo da disciplina de MECANISMOS A do Curso de Engenharia Mecânica da

Universidade Federal de Santa Maria.

Para que tal objetivo fosse alcançado, buscou-se na literatura clássica os

conteúdos condizentes com o programa didático da referida disciplina.

Ele deve servir como um texto de apoio aos alunos, nunca devendo substituir

os livros editados por autores de renome.

A literatura consultada se encontra listada no final deste polígrafo.

Como é um primeiro trabalho, gostaríamos de receber de nossos alunos

sugestões que nos permita melhorar o conteúdo deste polígrafo.

Prof. Luiz Fernando S. Camargo, M.Sc.

Engenheiro Mecânico

ÍNDICE

ÍNDICE

Prefácio

Capítulo 1. INTRODUÇÃO ................................................................................. 01

1.1. Breve história da cinemática ............................................................ 01

Capítulo 2. CONCEITOS RELATIVOS AO ESTUDO DOS MECANISMOS ................... 04

2.1. Ciência dos mecanismos .................................................................. 04

2.2. Máquina ....................................................................................... 05

2.3. Mecanismo ................................................................................... 05

2.4. Classificação dos mecanismos ......................................................... 05

2.5. Corpo rígido ................................................................................. 07

2.6. Movimento de um corpo rígido ........................................................ 08

2.7. Graus de liberdade ........................................................................ 10

2.8. Pares cinemáticos ......................................................................... 11

2.9. Ponto morto de um mecanismo ....................................................... 16

2.10. Inversão ...................................................................................... 17

Capítulo 3. MECANISMOS CARACTERÍSTICOS .................................................. 18

3.1. Mecanimsos de quatro barras .......................................................... 18

3.2. Sistema biela-manivela ................................................................... 19

3.3. Garfo escocês .............................................................................. 20

3.4. Mecanismos de retorno rápido ........................................................ 21

3.5. Junta de Oldham ........................................................................... 23

3.6. Mecanismos geradores de reta ....................................................... 23

3.7. Pantógrafo .................................................................................. 24

3.8. Roda de Geneva ......................................................................... 25

3.9. Juntas Universais ......................................................................... 25

Capítulo 4. ANÁLISE CINEMÁTICA DOS MECANISMOS COM MOVIMENTO PLANO . 31

4.1. Introdução .................................................................................. 31

4.2. Pontos coincidentes ...................................................................... 31

4.3. Movimento linear de um ponto ....................................................... 32

4.4. Movimento angular ....................................................................... 36

ÍNDICE

4.5. Movimento relativo ....................................................................... 37

4.6. Centros instantâneos de rotação ..................................................... 38

4.7. Teorema de Kennedy ..................................................................... 40

4.8. Métodos de determinação da velocidades em mecanismos .................. 41

4.8.1. Polígono de velocidade ...................................................... 42

4.8.2. Equações vetoriais na forma complexa ................................ 43

4.8.3. Imagem da velocidade ...................................................... 44

4.8.4. Método da linha de centros .............................................. 45

4.8.5. Método barra por barra ..................................................... 47

4.8.6. Análise da velocidade pelas componentes ........................... 48

4.9. Mecanismo com contato direto ....................................................... 49

4.10. Relação de velocidades angulares ................................................... 51

4.11. Aceleração relativa de partículas em mecanismos ............................. 52

4.11.1. Aceleração relativa de partículas em uma mesma peça ............ 53

4.12. Caso geral de aceleração ................................................................ 54

Capítulo 5. SINTESE DE MECANISMOS ARTICULADOS ..................................... 59

5.1. Método de Rosenauer .................................................................... 59

5.2. Método de Freudenstein ............................................................... 62

Capítulo 6. CAME .......................................................................................... 65

6.1. Introdução ................................................................................... 65

6.2. Classificação das cames e seguidores .............................................. 65

6.3. Geometria da came radial ................................................................ 66

6.4. Diagramas de deslocamento .......................................................... 68

6.5. Desenvolvimento gráfico dos perfis da came ..................................... 73

6.6. Ângulo de pressão ........................................................................ 75

6.7. Raio de curvatura mínimo .............................................................. 78

Apêndice A. NOTAÇÃO VETORIAL .................................................................. 80

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................... 85

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 106

INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 - BREVE HISTÓRIA DA CINEMÁTICA:

Máquinas e Mecanismos tem sido inventados por pessoas desde o início da

história da humanidade. Os antigos Egípcios inventaram máquinas primitivas para construírem

as pirâmides e outros monumentos. Embora a roda e a polia não serem conhecidas em todo o

reino Egípcio, eles utilizavam a alavanca, o princípio do plano inclinado e provavelmente

usavam rolos de madeira. A origem da roda e do eixo não é conhecida. Mas provavelmente as

primeiras tenham sido utilizadas na Mesopotâmia em torno de 3.000 a 4.000 anos A.C.

Uma quantidade muito grande de esforços foram gastos na tentativa de

inventar melhores mecanismos para serem utilizados nos relógios. E muitos inventos de

máquinas primeiramente foram direcionado para as aplicações militares (catapulta, aparatos de

escalar muralhas, etc..). Inclusive o termo Engenharia Civil foi criado para diferenciar as

aplicações com finalidade civis das militares. A Engenharia Mecânica só começou na revolução

industrial, quando surgiu a necessidade de projetar(inventar) máquinas que requeriam cada

vez mais soluções complicadas e sofisticadas para o controle dos movimentos. James Watt

(1736-1819) merece o título do primeiro estudioso da cinemática, pela construção de um

mecanismo gerador de retas (ver fig. 3.8), utilizado para guiar um pistão em um curso muito

longo, de um nova máquina à vapor. Watt foi o primeiro a reconhecer o valor do movimento em

sistemas articulados nos mecanismos de quatro barras. Oliver Evans (1755-1819) foi o

primeiro inventor Americano, tendo desenvolvido sistemas articulados para geração de linhas

retas para máquinas à vapor. Euler (1707-1783) foi um contemporâneo da Watt, apesar de

aparentemente nunca terem se encontrado. Euler apresentou um tratamento analítico para

mecanismos na Mechanica sive Motus Scienta Analytice Exposita (1736-1742), que incluía

o conceito que o movimento plano é a composição de duas componentes independentes, isto

é, a translação de um ponto e rotação do corpo sobre este ponto. Euler também sugeriu a

separação dos problemas de análise dinâmica em "Geométrico" e "Mecânico", para simplificar

o tratamento dos problemas dos sistemas dinâmicos. Dois de seus contemporâneos,

INTRODUÇÃO

d'Alembert e Kant, também propuseram similar idéia. Essa é a origem da nossa divisão em

cinemática e dinâmica.

No princípio de 1800, L'Ecole Polytechnic de Paris, era a responsável pelos

mais brilhantes pesquisadores da época. Lagrange e Fourier são alguns destes

pesquisadores. Um de seus fundadores é Gaspard Monge (1746-1818) inventor da Geometria

Descritiva. Monge criou um curso de elementos de máquinas e dedicou-se a tarefa de

classificar todos os mecanismos e máquinas conhecidas pelos homens na época. Seu colega,

Hachett, completou este trabalho em 1806, e, publicou em 1811, o que provavelmente tenha

sido o primeiro texto sobre mecanismo. Andre Marie Ampere (1775-1836), também

pesquisador da escola politécnica, realizou a tarefa de classificar "todos os conhecimentos

humanos" em seu Essai sur la Philosophie des Science, usando pela primeira vez o termo

cinematique. Ele descreve o estudo do movimento sem levar em consideração o efeito das

forças e sugere que "a ciência deve incluir todos os pensamentos a respeito do estudo do

movimento em suas diferentes parte, independentemente das forças que as produzem". Este

termo mais tarde em inglês tornou-se "Kinematics" e em alemão "Kinematik".

Robert Willis (1800-1875) escreveu o texto Principles of Mechanism em

1841, enquanto professor da University of Cambridge, Inglaterra. Ele tentou sistematizar os

problemas de sintese de mecanismos, enumerando cinco caminhos de obtenção de

movimento relativo entre a entrada e a saída de uma ligação: contato por rolamento, contato

por escorregamento, contato por articulação, conecção por envoltório (correia), conecção por

cabo ou corrente. Franz Reuleaux (1829-1905) publicou Theoretische Kinematik em 1875.

Muitas de suas idéias são ainda correntemente utilizadas. Alexander Kennedy (1847-1928)

traduziu Reuleaux para o inglês em 1876. Este texto tornou-se o início da moderna cinemática

e ainda é publicado. Ele nos proporcionou os conceitos de pares cinemático (juntas), cuja

forma e interação definem o tipo de movimento que é transmitido entre os elementos de um

mecanismo. Reuleaux classificou os seis componente mecânicos básicos para mecanismos:

parafusos, barras, rodas, cames, catracas e órgãos de tração-compressão. Ele também definiu

par cinemático inferior e superior. Reuleaux é considerado, normalmente, o Pai da Cinemática

Moderna e é responsável pela notação simbólica, genericamente usada em todos os textos

modernos de cinemática.

Neste século, muitos trabalhos teórico em cinemática vem da Europa,

especialmente da Alemanha. No Estados Unidos, a cinemática era amplamente ignorada até

INTRODUÇÃO

1940, quando A.E.R. DeJonge escreve What Is Wrong with "Kinematics" e "Mechanisms",

o qual chamou a atenção da Europa sobre a educação em Engenharia Mecânica no Estados

Unidos.

Desde, então, muitos trabalhos tem sido desenvolvidos, especialmente sobre

os problemas de sintese, por pesquisadores Americanos e Europeus, por autores como: J.

Denavit, A. Erdman, F. Freundentein, A.S. Hall, R. Hartenberg, R. Kaufman, B. Roth, G.

Sandor e A. Soni, (todos dos Estados Unidos) e K.Hain (Alemanha). Muitos destes

pesquisadores tem utilizado o computador para solucionar rapidamente problemas de difícil

tratamento. Mas, tanto na área da análise como na da sintese, utilizam, ainda, muitas das

teoria de seus antecessores.

CONCEITOS

CAPÍTULO 2

CONCEITOS RELATIVOS AO ESTUDO DOS

MECANISMOS

2.1 - CIÊNCIA DOS MECANISMOS:

Ao projetar uma máquina ou quando se analisa outra já construída, se

apresentam dois problemas distintos, mas altamente relacionados entre si: primeiro, as

dimensões dos elementos da máquina e suas ligações devem permitir que cada um destes

elementos tenha seu próprio e determinado movimento; segundo, os elementos devem ser

capazes de resistir aos esforços que atuam sobre eles.

Como a natureza dos movimentos não depende das dimensões das máquinas

nem da resistência da partes móveis, pode-se estudar força e movimento em separado, por

isto, a ciência dos mecanismos é dividido em dois ramos:

- Cinemática (a ciência do mecanismos puros): se ocupa do movimento

(deslocamento, velocidade e aceleração) dos elementos das máquinas, de suas formas e da

maneira como eles são guiados, sem ter em conta as suas forças.

- Construção dos mecanismos: compreende o cálculo das forças que atuam

sobre cada parte da máquina, a seleção dos materiais mais adequados por sua resistência,

duração e demais propriedades físicas necessárias para suportar os esforços, e, estuda

também os procedimentos mais convenientes de fabricação destes elementos.

Este curso tratará somente da cinemática dos mecanismos, ou seja, da

análise, que é o estudo do deslocamento, velocidade e aceleração a partir do mecanismo

conhecido e da síntese, que é a determinação das grandezas dimensionais do mecanismo a

partir do deslocamento, velocidade e aceleração conhecidos.

Para que se possa conhecer o universo dos mecanismos é necessário que se

entenda profundamente os conceitos apresentados a seguir.

CONCEITOS

2.2 - MÁQUINA:

Uma máquina é uma combinação de corpos resistentes, dispostos de tal forma

que as forças da natureza atuam para produzir algum efeito ou trabalho útil mediante certos e

determinados movimentos.

Em geral pode-se dizer que uma máquina é um conjunto de peças interpostas

entre a fonte de energia e o trabalho que se deseja realizar, com fim de adaptar o primeiro ao

segundo. Cada uma das peças de uma máquina se move ou serve de guia para outra peça

móvel. As máquinas podem ser divididas em:

- MÁQUINAS MOTRIZES: São as máquinas que recebem energia

natural ( combustível, eólica, eletricidade, etc.. ) e a transformam em movimento ou energia

cinética de caracteristicas conhecidas. Exs: Motor de combustão, turbinas, cataventos, etc..

- MÁQUINAS OPERATRIZES: São as máquinas que recebem energia

cinéticas das máquinas motrizes (motores elétricos, motor de combustão, turbinas, etc..) e a

aplicam em qualquer trabalho útil. Exs: Máquinas-Ferramentas, prensas, etc..

2.3 - MECANISMO:

Recebe este nome toda a combinação de corpos rígidos dispostos de forma

que o movimento de um obrigue que se movam todos os demais, de acordo com leis que

dependem da natureza da combinação. Pode-se dizer, então, que mecanismo é um conjunto

de peças interligadas capazes de transmitir, modificar ou ambos

simultaneamente, um determinado movimento.

Se o mecanismo produzir força de considerável magnitude, é considerado uma

máquina, do que se despreende que todas as máquinas são mecanismos em essência.

2.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MECANISMOS:

Uma importante propriedade de um sistema classificatório seria a ajuda que

poderia dar ao projetista para encontrar as formas e disposições que melhor acolhessem

determinadas especificações. Todavia nenhuma classificação completamente unificada e geral

para todos os mecanismos foi encontrada, até os dias atuais, apesar de muitos esforços terem

sidos colocados nesse sentido.

CONCEITOS

A classificação mais utilizada é do estudioso alemão de cinemática Franz

Reuleaux, que dividiu todos os mecanismos conhecidos em seis tipos básicos, que são:

- mecanismos de parafuso

- mecanismos de barras

- mecanismos de roda, incluindo engrenagens

- mecanismos de cames

- mecanismos de catraca

- órgãos de tração-compressão, ou seja, partes contendo rigidez em um único

sentido como correias, correntes e circuitos hidráulicos.

A partir destas partes é que os mecanismos e máquinas são construidos.

Pode-se, ainda, separar os mecanismos em dois grupos no que concerne aos

movimentos transmitidos: os que transmitem movimentos uniformes, que é o caso das

engrenagens circulares, correntes, correias e similares e os que transmitem movimento não-

uniformes, que é o caso de engrenagens não-circulares, cames, catracas e mecanismos

articulados planos e espaciais.

Os mecanismos podem, também, ser classificados em planos, esféricos e

espaciais (Fig 2.1).

Figura 2.1 – Mecanismo Plano,Espacial e Esférico.

CONCEITOS

Em um mecanismo plano, todas as partes movem-se em planos que

permanecem paralelos entre si, ocorrendo o mesmo com os eixos de todos os pivôs rotativos.

No mecanismo esférico, os eixos dos pivôs se interceptam em um ponto. Os

movimentos das partes ocorrem sobre as superfícies de esferas concêntricas cujo centro é o

ponto de intersecção dos eixos dos pivôs.

Nos mecanismos espaciais, algumas das partes ou mesmo todas elas podem

se deslocar livremente na três dimensões.

2.5 - CORPO RÍGIDO:

Na análise cinemática, é costume estabelecer uma premissa bastante

importante no estudo do movimento dos corpos. Devemos admitir que, quaisquer duas

partículas em um corpo permanece sempre à mesma distância, independentemente da

magnitude das forças que possam atuar para mudar seu espaçamento. Isto é equivalente a

dizer que o corpo é incapaz de experimentar qualquer deformação, ou que ele é absolutamente

rígido.

Figura 2.2 - Duas posições de um corpo rígido.

Corpo rígido é um elemento (corpo) em que a distância entre dois pontos é

invariável. Assim, se A, B e C são três pontos do corpo (Fig. 2.2), as três distâncias AB, BC e

AC permanecem constante, mesmo que o corpo se movimente desde uma posição 1 para a

posição 2. Se três pontos não colineares A, B, C sobre o corpo rígido são conhecidos, então

outro ponto D pode ser identificado pela especificação das três distâncias DA, DB e DC.

Mesmo que o ponto D não esteja no corpo, ele é considerado com se fosse, pois quando o

CONCEITOS

corpo movimenta-se da posição 1 para 2, ele também se movimentará. O termo "rígido" é no

sentido matemático, pois sempre haverá uma pequena deformação em todos os corpos,

mesmo os mais rígidos.

2.6 - MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO:

Tratando-se do estudo dos mecanismos, é necessário definir os vários tipos de

movimentos produzidos por estes.

Consideremos o mecanismo de biela e dupla manivela da figura 2.3. Este é

composto das manivelas 2 e 4, das conectoras 3 e 5 e da corrediça 6. Todos esses membros

podem ser tratados como corpos rígidos. Se observarmos a corrediça 6 veremos que durante a

operação do mecanismo, todas as partículas de 6 tem exatamente o mesmo movimento. A isto

chama-se TRANSLAÇÃO.

A translação de um corpo rígido ocorre quando cada partícula do corpo tem

exatamente o mesmo movimento que qualquer outra partícula de que ele é composto.

Consideremos agora a conectora 3. Os pontos A e B sobre ela movem-se em

círculos que tem os mesmos raios. A medida que a conectora se move, ela é obrigada a

ocupar uma posição paralela a anterior. Desta forma, todos os pontos tem exatamente o

mesmo movimento circular, com raios iguais. Assim, a conectora 3 também se move em

translação, porque todas as partículas tem exatamente o mesmo movimento. Isto nos

possibilita definir duas espécies de translação. A translação retilínea, que ocorre quando as

partículas de um corpo rígido tem exatamente o mesmo movimento e este é uma linha reta. A

corrediça 6 tem translação retilínea. Por outro lado, se o movimento de cada partícula for

exatamente o mesmo, mas com movimento curvo - o que é verificado para a conectora 3 -

então o corpo é dito com translação curvilínea.

Na translação de um corpo rígido, o movimento de uma partícula simples

descreve o de todas as demais partículas do corpo. Isto significa que, na translação de um

corpo, necessitamos apenas considerar o movimento de uma partícula daquele corpo.

Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanecer a uma

distância constante de um eixo fixo, normal ao plano, diz-se que esse corpo tem movimento de

rotação. Esta situação ocorre nas manivelas 2 e 4 do mecanismo da figura 2.3.

Quando um corpo rígido gira, um segmento de reta traçado entre dois pontos

arbitrários do corpo não permanece paralelo a si mesmo. Por esta razão, devemos considerar

as mudanças angulares na posição.

CONCEITOS

A conectora 5 tem um movimento que consiste em rotação e translação, e é

mais complexo. A trajetória de B5 é um círculo, mas a de C5 é uma linha reta. Cada partícula da

barra entre os pontos mencionados descreve uma trajetória diferente durante seu movimento.

Diz-se, então, que um corpo animado de rotação-translação, tem um movimento plano.

Figura 2.3 - Mecanismo de biela e dupla manivela.

Movimento é o nome chave que descreve um mecanismo. Para haver

movimento, um elemento do mecanismo deve ser o condutor (elemento motor) e outro

elemento deve ser o seguidor (elemento movido). O movimento é transmitido do condutor para

o seguidor por uma das seguintes maneiras:

MOVIMENTO

Transmissão direta

Movimento de rolamento a

Movimento de deslizamento b

Transmissão por

elementos

intermediários

Através de uma base rígida c

Através de um elemento flexível d

Através de um fluído e

Figura 2.4 - Tipos de movimentos em mecanismos.

CONCEITOS

2.7 - GRAUS DE LIBERDADE:

O termo graus de liberdade, na descrição dos sistemas mecânicos exprime o

número de dimensões, ou coordenadas necessárias para especificar a posição de todas as

partes do sistema: isto é, se forem necessárias três coordenadas para descrever a posição de

um sistema mecânico, diz-se que o sistema tem três graus de liberdade.

Como exemplo de graus de liberdade, consideremos o mecanismo biela-

manivela. Se o ângulo da manivela, θ, for especificado, a posição de cada parte pode ser

achada. Assim, apenas uma coordenada, θ, neste caso, é necessária para definir a posição de

todos os elementos do mecanismo. Desta forma, diz-se que o mecanismo tem um grau de

liberdade (Fig. 2.5).

Figura 2.5 - Sistema com um grau de liberdade.

Um corpo rígido que se move no espaço, necessita de seis coordenadas para

descrever sua posição. O corpo pode girar em torno de três eixos mutuamente

perpendiculares, e pode transladar na direção de cada um desses eixos. Desta forma, são

necessários seis coordenadas para definir sua posição e, conseqüentemente, o corpo terá seis

graus de liberdades (Fig. 2.6).

CONCEITOS

Figura 2.6 - Sistema com seis graus de liberdade.

Um sistema flexível, tal como uma correia ou cabo, tem um número infinitos de

graus de liberdade porque há um número infinito de partículas, cada uma podendo ter um

movimento diferente.

2.8 - PARES CINEMÁTICOS:

As barras adjacentes de um mecanismo devem ser convenientemente ligadas

para que executem o movimento desejado umas em relação as outras. Estas ligações são

chamadas de "pares cinemáticos", - constituindo-se no aspecto mais importante do

mecanismo. Cada uma das duas partes que forma o par é chamada de elemento do par.

Os pares cinemáticos podem ser classificados em pares inferiores e pares

superiores. A diferença entre estes reside na forma em que o contato entre as superfícies é

realizado.

- PARES INFERIORES: neste caso os elementos envolvidos possuem contato

superficial, decorrendo disto que eles podem suportar cargas mais pesadas sendo por isso os

mais desejados.

- PARES SUPERIORES: nestes pares o contato entre os dois elementos é

linear ou pontual, tendo a vantagem de apresentarem menores perdas por atrito devido ao tipo

de contato.

CONCEITOS

Figura 2.7 - Pares cinemáticos inferiores e superiores.

2.8.1 - PARES INFERIORES:

Segundo Reuleaux os pares inferiores são divididos em pares inferior linear e

superficial. A subdivisão destes pares está mostrada na tabela abaixo.

f : Número de graus de liberdade

PARES

INFERIORES

Movimento linear Par rotativo R f = 1

Par prismático P f = 1

Par Helicoidal SL f = 1

Movimento superficial Par cilíndrico C f = 2

Par esférico G f = 3

Par plano F f = 3

CONCEITOS

A distinção entre os tipos de par inferior e superior baseia-se no número de

graus de liberdade ("f") do par. O movimento no espaço de um corpo rígido, como já foi visto,

possui seis graus de liberdade, ou seja, para especificar o deslocamento de um corpo rígido

são necessárias seis variáveis, isto é, três deslocamentos lineares nas direções dos eixos

lineares e três rotações em torno destes eixos.

Cada uma destas variáveis de movimento está associada com um grau de

liberdade, sendo o movimento de translação ou rotação. Para que se possa formar uma idéia

clara disso tudo, vai-se examinar em detalhes os movimentos possíveis da barra (2) em

relação a barra (1), na figura 2.8, observando a natureza da ligação:

Fgura 2.8 - Estrutura do movimento de uma barra.

1. À barra (2) é permitida somente uma rotação em torno do eixo w. Para este

caso é suficiente descrever o movimento rotativo pelo ângulo θ medido em um plano

perpendicular ao eixo w (plano u-v). Seguindo a classificação dada por Reuleaux, designa-se

esta ligação como de "ROTAÇÃO" (par rotativo), dando-lhe o símbolo R. O grau de liberdade

"f" desta ligação é expresso por f=1.

2. À barra (2) é permitida somente uma translação ao longo de w. As duas

barras (1) e (2) permaneceriam paralelas entre si e a variável que descreve o movimento

relativo seria a distância perpendicular "s" entre os planos x-y e v-u. Neste caso tem-se uma

ligação "PRISMÁTICA" com símbolo P e grau de liberdade f=1.

3. Supondo-se ser o eixo w helicoidal, como um parafuso, e o vértice A como

uma porca. A barra (2) ao girar permanecerá paralela à barra (1), embora sofrendo uma

translação ao longo do eixo w. Já que o ângulo θ e a translação "s" estão relacionadas pelo

passo "L" constante do parafuso, existe necessidade de se ter somente uma variável para o

CONCEITOS

movimento HELICOIDAL relativo das duas barras. O símbolo para o par helicoidal é SL e o

grau de liberdade é f=1.

4. Se for permitido rotação e translação ao longo do eixo w, duas variáveis

independentes, uma para a translação e outra para a rotação, serão necessárias para

descrever o movimento entre as barras. Tal ligação é denominada de CILÍNDRICA; é o caso

de um eixo e o seu mancal de deslizamento em que não há restrição axial. A sua notação

simbólica é C e o grau de liberdade é f=2.

5. Supondo z1 = 0, ou seja, barra (2) diretamente sobre o plano x-y de (1).

Então detectar-se-iam três movimentos possíveis -duas translações e uma rotação em torno de

w. Tal conexão PLANA (par plano), que ocorre raramente, tem o símbolo F e o seu grau de

liberdade é f=3.

6. Considerando que existe um junta esférica em A ligando as barras (1) e (2)

com uma conexão esférica constata-se imediatamente a ausência de movimento linear: o único

movimento possível da barra (2) com respeito a (1) é o movimento esférico, ou seja, todos os

pontos da barra (2) movem-se em esferas concêntricas com relação ao centro da esfera. O

movimento é melhor descrito com sucessivas rotações ao redor dos três eixos coordenados: a

seqüência de rotação é importante. Esta ligação ESFÉRICA (par esférico) contém três

variáveis, resultando f=3 e o seu símbolo é G.

Os seis tipos de ligações vistos anteriormente podem ser esquematizados

conforme mostrado nas figuras 2.9 e 2.10.

Figura 2.9 - Ligações rotativa, prismática e helicoidal.

CONCEITOS

Fgura 2.10 - Ligações cilíndrica, esférica e plana.

As formas particulares escolhidos para os pares helicoidais, rotativos e

prismáticos seguem Reuleaux que considera os pares rotativos e prismáticos como casos

limites e especiais do par helicoidal com passo respectivamente zero ou infinito. Esta

observação será colocada em uso para idealizar uma rotação simbólica completa para

descrever mecanismos onde todas as ligações são feitas por pares inferiores. Considerando SL

representando um parafuso com passo L, segue-se que S0 e Sα representam,

respectivamente, simbolicamente os pares rotativo e prismático, que são pares helicoidais com

L=0 e L=α, respectivamente.

Para todos os pares cinemáticos, exceto o par plano, pode-se falar de um

elemento furado (vazado) e outro sólido. Assim, para o par rotativo R a superfície do mancal da

barra é o elemento furado, escrito R- ; e a superfície do eixo, a barra 1, é o elemento sólido

escrito R+ .

2.8.2 - PAR SUPERIOR:

No caso dos pares superiores as superfícies dos elementos são formados de

tal modo que o contato se dê somente por uma linha ou por um ponto.

Contato pontual é encontrado em mancais de esferas, bem como os dentes de

engrenagens helicoidais de eixos não paralelos. Contato linear é característico de cames,

mancais de rolos e a maioria das engrenagens. O movimento relativo dos elementos dos pares

superiores é bastante complicado. As relações funcionais envolvidas entre translação e rotação

não permitem definições suscintas, e um número infinito de pares superiores existe. Assim

CONCEITOS

sendo os pares superiores não seguem uma classificação simples como nos pares inferiores

nem são descritos convenientemente por meio de símbolos.

Ligações por pares superiores podem ocasionalmente ser substituídas por

uma combinação de pares inferiores. Considere a construção da figura 2.11.

Figura 2.11 - Substituição de um par superior por dois pares inferiores.

O pino da barra 2 deslocando-se na barra 4 não é uma construção muito

prática: o mesmo movimento relativo entre as barras 2 e 4 é mantido quando interpõe-se a

barra 3. Nota-se que os dois graus de liberdade da ligação por par superior (translação e

rotação) são mantidos com a substituição dos dois pares inferiores e a outra barra que foi

adicionada.

2.9 - PONTO MORTO DE UM MECANISMO:

No mecanismo biela-manivela há duas posições em que a biela e a manivela

estão alinhadas. As duas posições da manivela, identificadas como A' e A", são denominadas

"PONTOS MORTOS" porque nestas posições a manivela pode mover-se em qualquer direção

desde que atuada por uma força externa, sobre o cursor.

Se a manivela é o elemento motor, como acontece em compressor de ar, tais pontos

mortos não ocorrem.

Figura 2.12 - Pontos mortos: A' e A".

CONCEITOS

2.10 - INVERSÃO:

Utilizando novamente o mecanismo biela-manvivela como exemplo prático (Fig.

2.13.a), pode-se ver que este sistema mantém fixo o elemento (eixo) 1. Com isto, a manivela 2

tem um movimento de rotação e o cursor 4 tem um movimento linear alternado. Agora se

mudarmos e fixarmos a manivela 2, o mecanismo terá na biela 3 uma rotação contínua, mas

com velocidade angular variável e na barra 1 haverá uma velocidade angular constante, sendo

a 1 a condutora. Este novo mecanismo pode ser utilizado em máquinas-ferramentas como

mecanismo de retorno rápido (fig. 2.13.b). Mudando novamente, e, fixando-se a biela 3, ter-se-

á um mecanismo com outras características que é utilizado em máquinas a vapor e em

bombas Fig. 2.13.c). E, finalmente, fixando-se o cursor 4, tem-se um novo mecanismo que é

utilizado em bombas manuais (Fig. 2.13.d).

Assim, este processo de fixar diferentes elementos de uma cadeia para criar

diferentes mecanismos é chamado de INVERSÃO DE MECANISMOS. Então, existe tantas

inversões, quantas barras há no mecanismo.

A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre suas

peças, entretanto modifica seus movimentos absolutos.

Figura 2.13 - Inversões de um mecanismo de quatro barras.

3 - MECANISMOS CARACTERÍSTICOS

- 1 -

CAPÍTULO 3

MECANISMOS CARACTERÍSTICOS

3.1 - MECANISMO DE QUATRO BARRAS:

Este é um dos mecanismos mais simples e mais úteis que existe. A figura 3.1,

apresenta algumas da maneiras que podem ser disposto este mecanismo. Na fig.3.1a a peça 1

é o suporte, geralmente estacionária. A manivela 2 é a peça acionadora que pode girar ou

apenas oscilar. Em ambos os casos a peça 4 irá oscilar. Se a peça 2 gira, o mecanismo

transforma movimento de rotação em oscilação. Se a manivela oscila, o mecanismo então

multiplica o movimento de oscilação. Neste caso o giro da peça 2 e 4 é contrário.

Figura 3.1 - Mecanismos de quatro barras.


- 2 -

Na fig.3.1b as peças 2 e 4 têm o mesmo comprimento e, portanto, sempre

permanecem paralelas: tendo, assim, movimento de rotação. A fig.3.1c mostra outro arranjo no

qual a peça motriz e a conduzida giram continuamente. Esta forma de quadrilátero articulado é

base para o mecanismo de manivela dupla e corrediça, que será abordada no item relativo a

mecanismos de retorno rápido. Já a fig.3.1d mostra um arranjo onde a peça 4 da fig.3.1a foi

substituída por um bloco deslizante.

O mecanismo de quatro barras é muitas vezes denominado de "manivela-

balancim" quando a peça 2 gira e a 4 oscila. Do mesmo modo, o termo "manivela-dupla"

significa que as peças 2 e 4 têm movimento de rotação. O termo "balancim-duplo" indica que

as peças 2 e 4 têm movimento de oscilação.

3.2 - SISTEMA BIELA-MANIVELA:

Este mecanismo é amplamente utilizado e encontra sua maior aplicação nos

motores de combustão interna e compressores de ar.

A fig.3.2 mostra um desenho esquemático em que a peça 1 é o bloco do motor

(considerado fixo), a peça 2 é a manivela, a peça 3 a biela e a peça 4 o êmbolo. Sobre a peça

4 atua a pressão dos gases, no motor de combustão interna. Desta maneira a força é

transmitida através da biela. Transforma um movimento linear alternativo em um movimento

rotativo. Nos compressores de ar um motor elétrico aciona a manivela que por sua vez

impulsiona o êmbolo que comprime o ar. A transformação do movimento será o contrário.

Figura 3.2 - Sistema biela-manivela.


- 3 -

A partir da posição angular da manivela pode-se calcular a posição, velocidade

e aceleração do cursor, pelas seguintes equações:

3.3 - GARFO ESCOCÊS:

Este mecanismos, antigamente era empregado em bombas a vapor, e,

atualmente, é bastante utilizado como mecanismo de mesas vibradoras.

Este mecanismo possui a capacidade de gerar um movimento de saida que

tem as características de um movimento harmônico simples. A fig.3.3 mostra como é gerado o

movimento harmônico simples. O raio "r" a uma velocidade angular constante wr e a projeção

do ponto "P" sobre o eixo x (ou eixo y) se desloca com movimento harmônico simples. O

deslocamento, medido da direita para a esquerda, a partir da interseção da trajetória de "P"

com o eixo x , a velocidade e a aceleração são dados por:

Figura 3.3 - Garfo Escocês.

θθω

θθω

θθ

2. .L

R + .R. =

dt

xd = a

2. .sen2L

R + sen. R. =

dt

dx = v

sen.L

R - 1 - 1 L. + ) - R.(1 = x

2

2

2

2

2

coscos

cos

.t = onde

.r. = A

.sen = v

) - r.(1 = x

rr

r2r

rr

r

ωθ

θω

θω

θ

cos

cos


- 4 -

3.4 - MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO:

Estes mecanismos são utilizados em Máquinas-Ferramentas para dar lhes um

curso de corte lento e um curso de retorno rápido para uma velocidade angular constante da

manivela motriz.

No projeto de mecanismos de retorno rápido, a razão entre os ângulos

descritos pela manivela motriz durante o curso de corte e o curso de retorno é de suma

importância e é conhecido como razão de tempos. Esta razão deve ser maior do que a unidade

e seu valor deve ser o maior possível para que haja um retorno rápido da ferramenta de corte.

3.4.1 - MECANISMO DE MANIVELA DUPLA E CURSOR:

Este mecanismo é derivado de um sistema articulado de quatro barras. Para

uma velocidade angular constante da peça 2, a peça 4 rodará com velocidade de rotação

uniforme (Fig.3.4). O cursor 6 irá se afastar com velocidade aproximadamente constante

durante a maior parte do avanço para dar um curso de avanço lento e retorno rápido quando a

manivela 2 girar no sentido anti-horário.

Figura 3.4 - Mecanismos de manivela dupla e cursor.

3.4.2 - MECANISMO DE WHITWORTH:

É um variação da primeira inversão do mecanismo biela-manivela em que a

manivela é a peça fixa e as peças 2 e 4 fazem voltas completas (Fig.3.5).


- 5 -

Figura 3.5 - Mecanismo de Whitworth.

3.4.3 - MECANISMO DE PLAINA LIMADORA:

Este mecanismo é uma variação da segunda inversão do mecanismo biela-

manivela em que a biela é a peça fixa, onde a peça 2 gira e a peça 4 oscila (Fig.3.6).

Figura 3.6 - Mecanismo de plaina limadora.


- 6 -

3.5 - JUNTA DE OLDHAM:

Este mecanismo (Fig.3.7) possibilita um meio de ligarem-se dois eixos

paralelos que possuem um pequeno desalinhamento, de modo que possa haver transmissão

de velocidade angular constante entre os eixo motriz e o conduzido.

Figura 3.7 - Junta de Oldham. 3.6 - MECANISMOS GERADORES DE RETA:

Estes mecanismos são projetados de modo que um ponto de uma das peças

se mova em linha reta. Dependendo do mecanismo, esta linha poderá ser aproximada ou

teóricamente exata.

3.6.1 - PARALELOGRAMA DE WATT:

O ponto "P" (Fig.3.8) está localizado de tal modo que os segmentos AP e BP

são inversamente proporcionais aos comprimentos O2A e O4B. Portanto, se as peças 2 e 4

tiverem o mesmo comprimento, o ponto "P" deverá estar no meio da peça 3. O ponto "P"

descreverá uma trajetória na forma de um 8 (oito) . Parte desta trajetória se aproximará muito

de uma linha reta.

Figura 3.8 - Paralelograma de Watt.


- 7 -

3.6.2 - INVERSOR DE PEAUCELLIER:

Este mecanismo (Fig.3.9) pode gerar uma linha reta exata. Para que isto

ocorra, na figura 3.9, as peças 3 e 4 são iguais. As peças 5, 6, 7 e 8 também são iguais e a

peça 2 tem seu comprimento igual à distância O2 O4. O ponto "P" descreverá uma trajetória

que é uma linha reta exata.

Figura 3.9 - Inversor de Peaucellier. 3.7 - PANTÓGRAFO:

Este mecanismo é usado como um dispositivo de copiar. Quando um ponto do

mecanismo seguir uma determinada trajetória, outro ponto do mecanismo, porém de outra

peça, descreverá uma trajetória semelhante a anterior, em uma escala previamente escolhida.

São utilizados em instrumentos copiadores, particularmente em máquinas de gravação ou

máquinas copiadoras (fresadoras).

Figura 3.10 - Pantógrafo.


- 8 -

Na figura 3.10 as peça 2, 3, 4 e 5 formam um paralelograma e o ponto "P"

está situado numa extensão da peça 4. O ponto "Q" está localizado sobre a peça 5, na

interseção com a linha que liga "O" a "P". Quando o ponto "P" descrever uma curva, o ponto

"Q" traçará uma trajetória semelhante, em escala reduzida.

3.8 - RODA DE GENEVA:

Este mecanismo transforma movimentos rotativos contínuos em movimento

rotativos intermitentes.

Na figura 3.11 o prato 1, que gira continuamente, possui um pino acionador "P"

que se encaixa em um sulco na peça conduzida 2. A peça 2 gira um quarto de volta para cada

volta do prato 1. O sulco da peça 2 deve ser tangente à trajetória do ponto "P" no instante do

acoplamento para reduzir o choque. Isto significa que o ângulo O1PO2 será um ângulo reto.

Pode-se ver também que o ângulo β é a metade do ângulo descrito pela peça 2 durante a

mudança de estação. No caso o ângulo β é 45º. O número de estações deverá ser de um

mínimo de 3, mas de modo geral varia entre 4 e 12.

Figura 3.11 - Roda de Geneva. 3.9 - JUNTAS UNIVERSAIS:

Uma junta universal é uma conexão entre eixos de rotação, os quais são

coplanares, mas que formam entre si um ângulo que pode variar durante o movimento. O eixo

de transmissão de um automóvel usa duas juntas universais devido a elasticidade da estrutura

e molas e a conseqüente impossibilidade de manter alinhamento.


- 9 -

A fig.3.12 mostra a conhecida junta de Hooke, ou Cardan. Ela consiste de dois

garfos que são os elementos condutores e conduzidos, e uma cruzeta que é elemento de

conexão.

Figura 3.12 - Junta de Hooke.

Uma das desvantagens desta junta é a relação de velocidades, que não é

constante durante a rotação. A fig.3.13 é um diagrama polar da velocidade angular, o qual

mostra a velocidade angular do condutor e do conduzido para uma rotação completa da junta.

Desde que se considere constante a rotação do condutor, sua representação polar é um

circulo. Mas o diagrama da conduzida é uma elipse que cruza o circulo em 4 partes. Isto

significa que há 4 instantes em que a velocidade da conduzida e condutora são iguais. Durante

o tempo restante, o eixo conduzido gira ora mais lento, ora mais rápido.

Figura 3.13 - Relações de velocidades angulares.


- 10 -

3.9.1 - JUNTA DE VELOCIDADE CONSTANTE:

É possível a conexão dupla por meio de um eixo intermediário de modo que a

irregularidade de velocidade da primeira junta seja contrabalançada pela segunda, tal como na

fig. 3.14, quando há dois eixos não coplanares 2 e 4, a serem conectados. A conexão deve ser

feita de modo a manter o mesmo ângulo β entre os eixos 2 e 4 e o intermediário 3, e também,

de forma que as juntas no eixo 3 conectem-se de modo que, enquanto uma se coloca no plano

2-3, a outra o faz no plano 3-4. Se os dois eixos a serem conectados forem coplanares, as

juntas do eixo intermediário serão paralelas.

Figura 3.14 - Juntas de Hooke com eixo intermediário. Com o desenvolvimento do sistema de tração dianteira nos veículo

automotores, se fez sentir a necessidade de uma junta universal com capacidade de transmitir

relação constante de velocidades angulares se fez sentir. É verdade que o sistema Hooke com

o eixo intermediário pode ser usado, porém não se mostra satisfatório no sistema de tração

dianteira onde o ângulo β é algumas vezes um pouco grande de modo a tornar, muitas vezes

impossível a obtenção de uma relação constante de velocidades angulares. A necessidade

deste tipo de junta introduziu nos E.U.A. os sistemas Bendix-Weiss e Rezppa, e na França o

sistema Tracta, patenteados respectivamente nos anos de 1925, 1928 e 1933.

3.9.1.1 - JUNTA BENDIX-WEISS (1925)

Na figura 3.15 apresentamos a junta Bendix-Weiss. Como mostra a figura, as

ranhuras, simétricas entre si em relação a linha de centros dos eixos, são abertas nas

superfícies dos dentes das juntas, e quatro esferas de aço são colocadas entre estes dentes no


- 11 -

ponto onde os eixos dos dentes de um lado da junta interceptam os eixos dos dentes do outro

lado. A potência é transmitida do eixo motor ao eixo conduzido através das esferas. Uma

quinta esfera ranhurada fixa a montagem das partes e recebe os impulsos das extremidades.

Durante a operação, as esferas automaticamente mudarão as sua posições no momento em

que variar o deslocamento angular dos eixos, de tal modo que o plano contendo o centro das

esferas bissectará sempre o ângulo entre os dois eixos. A literatura clássica demonstra que a

relação constante de velocidade resulta dessas condições.

Figura 3.15 - Junta Bendix-Weiss. 3.9.1.2 - JUNTA RZEPPA (1928):

A figura 3.16 mostra-nos uma junta tipo sino Rzeppa. A junta consiste em um

alojamento esférico e uma pista interna com suas ranhuras em cada uma das partes. Seis

esferas inseridas nesta ranhuras transmitem torque do eixo motor par o conduzido. As

ranhuras são feitas concêntricas com a intersecção "O" da linha de centro dos eixos. As seis

esferas são carregadas em uma gaiola cuja posição é controlada por uma haste. Uma

extremidade dessa haste é embutida num encaixe na extremidade do eixo B e a outra ocorre

em um furo no extremo do eixo A. Um alargamento esférico no corpo desta haste prende a

gaiola.

Se o eixo B é defletido com respeito ao eixo A, deverá pivotear centrada em

"O" porque a unidade é concêntrica a este ponto. A biela é acionada através do movimento

desse eixo, movendo a gaiola e, conseqüentemente as esferas, através de aproximadamente a

metade do ângulo girado pelo eixo B. Por outro lado prova-se geometricamente que o ângulo

entre os eixos e é exatamente bisseccionado pelo plano dos centros das esferas por um e

somente um ângulo diferente de zero entre os eixos e, dependendo das proporções do


- 12 -

mecanismo piloto, as derivações são assim desprezíveis para ângulos acima de

aproximadamente 40�.

Figura 3.16 - Junta Rzeppa.

3.9.1.3 - JUNTA TRACTA (1933):

A junta Tracta, figura 3.17 consiste de quatro partes: dois eixos com os

terminais em forquilha e dois hemisférios, um dos quais com lingüeta e outro com sulco para

recebê-la. Além disto, cada um dos hemisférios tem outros dois sulcos para conectá-los às

forquilhas.

As forquilhas subtendem um ângulo maior que 180º de forma a prender-se por

si quando montadas. As lingüeta e seu sulco estão em ângulos retos com os sulcos das

forquilhas. Por meio da união lingüeta-sulco na junta montada, as linhas de centro dos

hemisférios deverão permanecer no mesmo plano. Quando a junta é montada, as forquilhas

são livres de girar em torno da linha de centro dos hemisférios (corpos hemisféricos), que

repouso no plano da lingüeta e seu sulco.

Nas aplicações industriais as juntas mantém-se alinhadas por meio de um

alojamento esférico que não aparece na figura. Quando montado, isto provê uma junta do tipo

de esferas, com alojamento, que suporta os eixos de tal forma que suas linhas de centro se


- 13 -

interceptarão sempre em um ponto eqüidistante dos centros dos membros hemisféricos,

transmitindo assim movimento com razão de velocidades constante.

Figura 3.17 - Junta Tracta.

ANÁLISE CINEMÁTICA

CAPÍTULO 4

ANÁLISE CINEMÁTICA DOS MECANISMOS COM

MOVIMENTO PLANO

4.1 - INTRODUÇÃO:

O estudo da geometria do movimento plano, abrange duas áreas,

interrelacionadas que são objeto de um estudo separado. Um mecanismo ou uma situação

hipotética pode ser investigada quase sempre por suas características e propriedades. Este

estudo é chamado formalmente de análise. O inverso desse procedimento é a síntese, no qual

o mecanismo é criado reunindo a especificação de certas características e propriedades

desejáveis.

Neste capítulo apresentaremos alguns aspectos usados na análise de

velocidade e aceleração de mecanismos planos.

4.2 - PONTOS COINCIDENTES:

As propriedades dos pontos coincidentes são bastante discutidas por

considerar-se um mecanismo como sendo constituído de tantos planos superpostos quanto

existirem elos (ligações). Cada plano é de uma extensão infinita e as ligações físicas ou os

membros da máquina são somente uma porção do plano. Esta superposição de planos está

mostrada na figura 4.1.

O movimento relativo de um plano com respeito a seu vizinho é ditado pela

natureza da conexão ou contato entre planos. Assim na figura 4.1, em OB, B e C, o pino de

conexão ou par rotativo só permitirá rotação; na ligação 1-4 um par prismático ou de desliza-

mento retilíneo, limitando o movimento relativo para uma translação retilínea.


Figura 4.1 - Pontos coincidentes.

Considerando, na fig. 4.1, o pino (par rotativo) localizado em OB, temos que

este cinematicamente é só o eixo ao redor do qual se efetua a rotação entre os elos 1 e 2. Este

eixo pertence a ambos os planos em OB, e este ponto, comum para ambos os planos é

identificado equivalentemente como OB1 ou OB2, pontos sobre o elo 1 e 2 em OB, claramente

coincidentes ou superpostos. Cada um destes pontos coincidentes é firmemente anexado ao

elo que o possui como eixo de rotação, a superposição existente é mantida sempre,

chamamos esses pontos coincidentes permanentemente como "centros permanentes".

O ponto E da figura 4.1, que está no elo 3, nos designamos por E3.

Diretamente sobre este ponto, neste momento ou nesta posição do mecanismo situa-se o

ponto E2 do elo 2 e sobre este ponto o ponto E1 do elo 1. Estes três pontos superpostos são

fixados aos seus elos. Com o movimento do mecanismo, estes guardam suas posições nos

seus respectivos elos, mas não com respeito aos outros.

Portanto, pontos coincidentes de sistemas móveis são previstos como sendo

de duas classes:

1 - Aqueles que ficam permanentemente coincidentes, ocorrendo só ao redor

de eixos permanentes de rotação, como o ponto B.

2 - Aqueles que separados em movimento têm só coincidência instantânea, como no momento de uma configuração particular, como o ponto E. 4.3 - MOVIMENTO LINEAR DE UM PONTO: Nos mecanismos, os pontos de uma peça são obrigados a se moverem em

determinada trajetória, muitas das quais são óbvias, tais como circunferências e linhas retas,

outras nem tanto. As relações cinemáticas básicas para o movimento de um ponto em

translação plana já são conhecidas através do estudo da mecânica. Os parágrafos seguintes

apresentam uma rápida revisão dessas relações, com referência à figura 4.2.


Figura 4.2 - Movimento linear de um ponto.

A velocidade linear Vp de um ponto P é a taxa de variação instantânea da

posição do ponto, ou deslocamento, em relação ao tempo. Referindo-se a fig. 4.2a, em um

pequeno intervalo de tempo ∆t, o ponto se desloca de ∆S ao longo da trajetória curva, da

posição P até a posição P'. Ao mesmo tempo, o raio de curvatura da trajetória do ponto varia

de R a R+∆R e fica sujeito a um deslocamento angular ∆θr. Portanto, o deslocamento ∆S

possui duas componentes: uma devida ao deslocamento angular ∆θr do raio R e outra devida à

variação de comprimento ∆R. Partindo-se deste deslocamento, pode-se determinar uma

equação para a velocidade Vp:


onde ωr = dθr/dt é a velocidade angular instantânea do raio de curvatura e dR/dt é a taxa de

variação do raio de curvatura com o tempo.

Em muitas aplicações na cinemática o raio R é constante de modo que a

equação anterior torna-se

com a direção do vetor velocidade Vr tangente à trajetória no ponto P e com o mesmo sentido

do deslocamento do ponto P.

A aceleração linear Ap de um ponto P é a taxa de variação instantânea de sua

velocidade em relação ao tempo. Se a trajetória for curvilínea, a variação do vetor velocidade

do ponto em um pequeno intervalo de tempo ∆t poderá ser uma mudança de direção assim

como uma mudança de módulo. Na fig. 4,2b vê-se que a velocidade Vp do ponto é tangente à

trajetória em P, no instante t, e que após o intervalo de tempo ∆t sua velocidade é V'p e é

tangente à trajetória em P'. Assim, o vetor velocidade mudou em módulo e em direção através

do deslocamento angular ∆θr. Conforme mostrado no polígono de velocidades da fig. 4.2b, a

variação vetorial da velocidade é ∆Vp, a qual pode ser representada pelas componentes

ortogonais ∆Vnp ∆Vt

p que tornam-se, respectivamente, normal e tangente à trajetória, quando ∆t

e ∆θr tendem a zero. A variação da componente normal da velocidade em relação ao tempo é a

aceleração normal Anp do ponto P.

dt

dR + R . = V

t

R +

t

R .

0 t =

t

S

0 t = V

rp

rp

ω

θ

∆

∆

∆

∆

→∆

∆

∆

→∆

limlim

ω

ω

rp

rp

R. = /V/

R . = V

V . dt

d =

t

/2.senV2

0 t =

t

V

0 t = A p

rrpnpn

p

θθ

∆

∆

→∆

∆

∆

→∆

limlim


como

Portanto,

Se o raio R for constante, a equação anterior ficará:

A variação da componente tangencial da velocidade em relação ao tempo é a

componente tangencial da aceleração Atp que depende da variação do valor da velocidade, de

acordo com

Onde αr = dωr/dt é a aceleração angular instantânea do raio de curvatura.

Se o raio de curvatura for constante, a equação anterior torna-se

dt

dR + .R .

dt

d = A

dt

dR + .R = V

rrn

p

rp

ωθ

ω

dt

dR. + .R).( = A rrr

np ωωω

R

V = .V = R. = /A/

.R).( = A

2p

rp2r

np

rrnp

ωω

ωω

dt

Rd +

dt

dR. + .R = A

dt

Rd +

dt

dR. + .R

dt

d =

dt

dR + .R

dt

d = A

)V(dt

d =

t

V - V

0 =

t

V

0 t = A

2

2

rrtp

2

2

rr

rtp

p

p,p

tpt

p

ωα

ωω

ω

∆→∆

∆

∆

→∆

limlim

α

α

rtp

rtp

R. = /A/

R . = A


A aceleração resultante Ap pode ser expressa por

A fig 4.2c mostra o vetor velocidade Vp e as componentes Anp e At

p do vetor

aceleração que indicam suas direções instantâneas em relação à normal e à tangente à

trajetória. É importante notar que a direção de Anp é normal à trajetória e o se sentido é um

direção ao centro de curvatura C da trajetória. A direção de Atp é tangente à trajetória e o seu

sentido é o de aumentar a velocidade. A aceleração Ap é a soma vetorial de Anp e At

p conforme

mostrado na figura.

4.4 - MOVIMENTO ANGULAR:

A velocidade e a aceleração angulares são, respectivamente, a primeira e a

segunda derivada do deslocamento angular "θ" de uma reta em relação ao tempo t. Na análise

de mecanismos, o movimento angular de uma peça é determinado pelo movimento angular de

uma reta fixa a essa peça. Na figura 4.3 a reta AB está em movimento de rotação devido ao

seu deslocamento angular em relação ao tempo. As retas BC e AC também estão sujeitas ao

mesmo deslocamento angular em relação ao tempo, porque o triângulo ABC tem uma posição

fixa sobre a peça 3, que é um corpo rígido. Como todas as retas da peça 3 têm o mesmo

movimento angular, a velocidade e a aceleração angulares destas retas são ω3 e α3.

Figura 4.3 - Movimento angular. Um conceito importante em mecânica é que uma partícula do tamanho

infinitamente pequena tem somente movimento linear (velocidade e aceleração lineares). O

movimento angular é o de uma linha e desde que uma partícula é um ponto e não uma linha,

esta partícula não é considerada estar em movimento angular. Este conceito deve ser

entendido completamente para a compreensão do movimento relativo entre partículas. Por

A + A = Atp

npp


exemplo, a velocidade da partícula da peça 2 situada no ponto O2, representada na fig. 4.3,

relativa a velocidade de qualquer partícula da peça fixa 1 é zero. A velocidade linear está

implícita e é incorreto dizer-se que, em virtude do movimento angular da peça 2, a partícula O2

tenha a velocidade angular da peça.

4.5 - MOVIMENTO RELATIVO:

Na fig. 4.4a, P e Q são duas partículas que se movem em relação a um plano

de referência fixo, com velocidades VP e VQ, respectivamente. Deseja-se determinar a

velocidade relativa VPQ entre as duas partículas. Na determinação de VPQ será considerado o

fato de que a soma de duas velocidades iguais e opostas a cada partícula não altera a

velocidade relativa das duas partículas. Portanto, se somarmos, às partículas P e Q, duas

velocidades uma igual e outra oposta a VQ, a partícula Q ficará estacionária no plano fixo e P

ganhará uma componente adicional de velocidade -VQ relativa ao plano fixo. A nova velocidade

absoluta de P(Vp - VQ), portanto, torna-se-á a velocidade relativa VPQ porque a partícula Q está

agora fixa em relação ao plano de referência. Isto está mostrado no diagrama vetorial da fig.

4.4b da qual a equação de VPQ torna-se

De um modo semelhante VQP pode ser obtido através da soma de -VP a cada

partícula, conforme mostrado na fig. 4.4c. VQP é dado pela equação

Figura 4.4 - Velocidade relativa.

A equação vetorial para a aceleração da partícula P relativa à partícula Q tem

a forma semelhante à equação anterior

V - V = V QPPQ

V - V = V PQQP


O movimento angular de uma reta pode ser considerado em relação a outra

reta em movimento. Na fig. 4.5 as velocidades angulares ω2 e ω3 das retas sobre as peças 2 e

3, respectivamente, são consideradas em relação à reta a-a pertencente à peça fixa. Se

somarmos -ω3 às peças 2 e 3, a peça 3 ficará estacionária e a nova velocidade absoluta da

peça 2 será (ω2 - ω3), portanto, torna-se-á a velocidade relativa ω23 porque a peça 3 agora está

fixa. Portanto,

Do mesmo modo

Figura 4.5 - Velocidade e aceleração relativas. 4.6 - CENTROS INSTANTÂNEOS DE ROTAÇÃO:

Em cinemática, um dos conceitos mais importantes é o que trata de centros

instantâneos de rotação. Quando se analisa o mecanismo da fig. 4.6, pode-se ver facilmente

que a barra 2 está girando com centro em O2, que a barra 6 pode girar com centro em O6, e

que o cursor 4 se movimenta horizontalmente. Entretanto é difícil definir em que direção a barra

5 se movimentará instantâneamente.

Quando da análise de mecanismos é necessário saber determinar o centro

onde cada elemento está girando instantâneamente, a fim de poder-se determinar o

movimento do elemento em questão.

A - A = A QPPQ

ωωω 3223 - =

ααα 3223 - =


Figura 4.6 - Centros instantâneos de rotação.

Na fig. 4.7, o corpo 2 tem movimento com relação ao corpo 3 no plano xy. Um

ponto A do corpo 2 tem uma velocidade VA em relação ao corpo 3. Um segundo ponto B sobre

o corpo 2 tem uma velocidade VB em relação ao corpo 3. Duas retas são traçadas

perpendiculares a cada vetor a partir da sua origem e se interceptam em P. Uma vez que a

velocidade é perpendicular ao raio que une o centro de rotação ao ponto A ou B, é evidente

que o ponto P é o centro instantâneo de rotação 2 em relação a 3.

Figura 4.7 - Propriedades dos centros instantâneos de rotação.

Este ponto P define a posição de dois pontos, um em cada corpo, que estão

instantâneamente coincidentes e não possuem nenhum movimento relativo um em relação ao

outro. Este ponto P pode ser considerado como sendo um ponto do corpo 3 em relação ao qual

o corpo 2 está instantâneamente girando ou vice-versa. Se P é considerado como um ponto do

corpo 2, então a sua velocidade relativa a 3 é zero. Se os corpos 2 e 3 se movem em um plano


xy com diferentes movimentos, então a velocidade de P é a mesma, quer se considere ponto

de 2 ou de 3.

O conceito de centro instantâneo de rotação pode ser expresso da seguinte

maneira : "O centro instantâneo de rotação é um ponto comum a dois elementos de um

mecanismo e tem a mesma velocidade em cada, possuindo velocidade relativa entre si

nula; ele é também um ponto do elemento sobre o qual o outro esta instantâneamente

girando". Este centro normalmente não é um ponto fixo.

Nos mecanismos com movimento plano haverá um centro instantâneo para

cada par de elementos. Assim, o número de centros instantâneos por mecanismos é dado pela

expressão:

4.7 - TEOREMA DE KENNEDY:

Este teorema é utilizado para determinar graficamente os centros instantâneos

de rotação.

O teorema de Kennedy diz que: "Se três corpos rígidos se deslocam

segundo um movimento plano os seus centros instantâneos relativos estarão sobre

uma mesma linha reta".

Prova-se este teorema mostrando-se que o CI comum (relativo) não pode

estar fora da linha reta onde se assentam os outros dois e em seguida, mostrando que ele só

pode estar sobre esta linha.

Pela fig. 4.8, o centro 12 é o CI relativo aos corpos 1 e 2. O centro 13 é o CI

dos corpos 1 e 3. E o centro 23 que é o CI dos corpos 2 e 3, presume-se que esteja fora da

linha que une 13 a 12. A velocidade do ponto 23 como um ponto pertencente ao corpo 3,

relativa ao corpo 1, é dada pela perpendicular a 13.23. A velocidade do ponto 23 como um

ponto pertencente ao corpo 2, relativa ao corpo 1, é também perpendicular à reta 12.23. As

duas velocidades não são coincidentes. No ponto considerado, o elemento 2 tem velocidade

linear diferente da do elemento 3, o que não satisfaz a definição de centro instantâneo.

2

1) - n.(n = CI N”


Figura 4.8 - Centro 23 fora da linha de centro. Assim, na fig. 4.9, assume-se o centro 23 sobre o segmento que une 13 e 12.

Neste caso a velocidade de 23 como ponto pertencente ao corpo 3 coincide com a velocidade

de 23 como ponto do corpo 2, ambas em relação ao corpo 1. Como estas velocidades são

iguais, vê-se que não há velocidade relativa entres estes pontos. Desta maneira prova-se que o

CI 23 deve estar sob o segmento que une 13 e 12, o que demonstra o enunciado do teorema

de Kennedy.

Figura 4.9 - Centro 23 na linha de centro. 4.8 - MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE EM MECA-NISMOS: Neste item serão abordados algumas das maneiras de se analisar a

velocidade em mecanismos. Serão apresentados os métodos de análise usando equações do

movimento relativo as quais são resolvidas graficamente através de polígonos de velocidades;

de análise usando equações vetoriais escritas na forma complexa, e o método da imagem de

velocidade. Além disso. serão abordados os métodos de determinação de velocidade através

dos centros instantâneos de rotação.


4.8.1 - POLÍGONOS DE VELOCIDADE: Através dos polígonos de velocidade, que é um método gráfico, pode-se

determinar as velocidades lineares de todas as partículas de um mecanismo com rapidez e

relativamente com poucos cálculos. Entretanto, necessita-se de um discernimento fundamental

para a visualização dos movimentos relativos das partículas do mecanismo.

Para que possamos entender este processo, vamos considerar a roda da

figura 4.10. Neste caso conhecemos a velocidade do ponto A que é VA e queremos determinar

a velocidade do ponto B, VB.

A fim de se achar a velocidade de B, escrevemos a equação da velocidade

relativa.

Figura 4.10 - Polígono de velocidade.

Os números acima da equação indicam o número de quantidades conhecidas.

Sabemos que a direção de VB é perpendicular a OB, mas não conhecemos sua magnitude. A

magnitude e direção de VA são conhecidas. Como A e B são pontos no mesmo corpo rígido,

eles não podem se aproximar ou afastar. Desta forma, a única maneira de B se movimentar em

relação a A será na direção perpendicular a AB, a linha que os une. Assim, sabemos que a

direção de VBA é perpendicular a AB.

V + V = V

1 2 1

BAAB

rrr


A partir da equação relativa que diz que outro vetor VBA deve ser adicionado a

VA para formar VB, e dos dados (direção e sentido) determinados anteriormente, pode-se

montar o polígono das velocidades.

Assim, a partir de um pólo Ov traça-se VA. Na extremidade de VA construímos

uma linha perpendicular a AB (que é a direção de VBA). A origem de VBA estará na extremidade

de VA, e VBA estará ao longo dessa linha. O próximo passo consiste em se traçar uma segunda

linha, que tenha a direção de VB, a partir do pólo 0v. A interseção destas duas linhas fornece as

magnitudes de VB e VBA. Isto completa o polígono de velocidade.

É evidente que os vetores com origem no pólo Ov representam velocidades

absolutas, isto é, velocidade de pontos em relação a um ponto fixo, e os vetores que não têm

origem no pólo representam as velocidades relativas.

4.8.2 - DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE POR EQUAÇÕES VETORIAIS

NA FORMA COMPLEXA:

A partir da equação vetorial que relaciona dois pontos distintos de elementos

diferentes de um mecanismos pode-se determinar as velocidades lineares destes pontos.

Figura 4.11 - Velocidades existentes no ponto A. Na figura 4.11, temos a barra 2 que é o elemento motor e tem uma velocidade

angular conhecida ω2, e a barra 4 que é o elemento movido. O ponto A é um ponto que

pertence instantâneamente ao elemento 2 e ao elemento 4. Podemos dizer, então, que existe

um ponto A2 pertencente ao corpo 2 e um ponto A4 pertencente ao corpo 4. Estes pontos

possuem velocidades relativas entre si, pois senão, não haveria movimento entre estes

elementos. Como conhecemos a velocidade angular da barra 2, podemos determinar todos os


elementos de VA2 (módulo, direção e sentido). Da velocidade do ponto A4 e da velocidade

relativa entre A2 e A4 só podemos determinar as direções e os sentidos da velocidade.

A partir dos valores determinados e da equação da velocidade relativa abaixo,

obtem-se, matematicamente, os módulos de VA2 e V24.

4.8.3 - IMAGEM DA VELOCIDADE:

A fig. 4.12a ilustra uma peça de formato triangular que gira em torno do ponto

fixo 02. Por conveniência, a velocidade angular é dada por ω2 = 1 rad/seg. As dimensões dos

lados da peça são denominados por rA, rB e rBA. As velocidades dos pontos A e B, e de B em

relação a A, podem ser calculadas pela equação V = r.ω. Como a velocidade angular é unitária,

as magnitudes serão iguais, respectivamente, às distâncias entre os diversos pontos.

Figura 4.12 - Imagem de velocidade. Como os lados do polígono de velocidade são iguais, em comprimento, aos

lados da peça original, o polígono é um duplicata exata da peça, só que girada de 90� na

direção de ω2.

É fácil de ver que, se for escolhido um valor de ω2 diferente da unidade e se,

além disso, o polígono de velocidade for feito em escala, o polígono seria maior ou menor do

θθθ

θθθ

AAAAAA

AAAAAA

A.AAA

24244422

24244422

4242

.senV + .senV = .senV

.V + .V = .V

V + V = V

rrr

rrr

rrr

coscoscos


que o original, mas ainda seria semelhante; isto é, os ângulos correspondentes do polígono e

da peça seriam iguais. Os comprimentos dos lados correspondentes também estariam na

mesma proporção entre si. Isto conduz à seguinte definição: "Uma imagem de velocidade de

uma peça é uma reprodução desta na mesma ou numa escala diferente, girada de 90� na

direção da velocidade angular da peça".

4.8.4 - MÉTODO DA LINHA DE CENTROS: Este método gráfico permite determinar a velocidade instantânea de qualquer

ponto de um mecanismo.

No mecanismo de quatro barras da figura 4.13, pretende-se determinar a

velocidade dos pontos B, D e E, a partir da velocidade angular da barra motora 2 (conhecida).

VA é calculado pelos métodos tradicionais.

Para calcular a velocidade VB, primeiramente devemos determinar a linha de

centros. Esta linha é composta pelos centros 12, 14 e 24, referentes ao teorema de Kennedy

aplicado as peças 1, 2 e 4. De acordo com a definição, o centro 24 é comum as peças 2 e 4, e

tem a mesma velocidade em cada.

Considerando que CI 24 pertence a peça 2 e que VA é conhecido, a velocidade

de 24 pode ser determinada. Uma vez que a velocidade de um ponto da barra 2 (ponto A) é

conhecido, a velocidade de qualquer ponto da barra pode ser determinada. A determinação de

V24, é mostrada na fig. 4.13b. Giramos A para A'. A e A' são pontos da barra 2 com o mesmo

raio a partir de O2. As grandezas de sua velocidades são portanto iguais. Uma vez que 24 é

também um ponto da barra 2, e uma vez que ele está na mesma linha de centros, sua

velocidade esta na mesma direção que a de A'. Então, uma linha passando por O2 e pela

extremidade de VA', define a velocidade V24 do CI 24.

Agora, consideremos o CI 24 como um ponto da barra 4. Sendo V24 conhecido,

podemos definir a velocidade de qualquer outro ponto da barra 4, tal como VB' ou VE'.

A fig. 4.13c mostra a construção gráfica para determinar a velocidade dos

pontos B e E. Os ponto B e E são rebatidos, determinando os pontos B' e E'. As velocidades de

B' e E' são obtidas por semelhança de triângulos. Esta construção, então, define as grandezas

das velocidades de B e E. Suas direções são perpendiculares a O4B, e os vetores podem agora

ser transferidos com sua verdadeira grandeza e direção.


Figura 4.13 - Método da linha de centros.

A determinação da velocidade de D é ilustrada da fig. 4.13d. Aqui a barra 2

contém um ponto cuja velocidade é conhecida (ponto A), a barra 3 contém um ponto D cuja

velocidade deve ser determinada, e a barra 1 é a referência. Estas três barras definem os

centros instantâneos 12, 13 e 23, os quais definem a linha de centros. Neste caso o centro

comum é 23 e sua velocidade é a mesma do ponto A. O ponto D é rebatido,com centro em 13,

para obter D'. E a sua velocidade é obtida por semelhança de triângulos. Nota-se que B

também é um ponto da barra 3, e sua velocidade também pode ser encontrada desta maneira.

Este método pode ser resumido da seguinte maneira:

1 - Identificar a peça que contém o ponto cuja velocidade é conhecida, a peça

cuja velocidade se quer, e a peça de referência.

2 - Localizar os três centros definidos no item anterior e desenhar a linha de

centros através deles. Essa linha de centros contém um centro comum (relativo) e dois centros

sobre a estrutura.


3 - Achar a velocidade do centro comum (relativo), considerando-o como um

ponto da peça cuja velocidade é conhecida.

4 - Conhecida a velocidade do centro, considerá-lo como um ponto na peça

cuja velocidade é desconhecida. A velocidade de qualquer outro ponto naquela peça agora

pode ser achada por meio de triângulos semelhantes.

4.8.5 - MÉTODO BARRA POR BARRA:

Este método é aplicado, progredindo-se de um ponto de velocidade conhecida

através de uma peça, achando-se as velocidades dos pontos sobre cada peça no caminho.

Figura 4.14 - Método barra por barra.

Na fig. 4.14, é conhecida a velocidade do ponto k. E deseja-se calcular as

velocidades dos pontos B e C. Nesta situação é necessário determinar somente o CI 13, que é

o ponto em torno de onde todos os pontos da peça 3 estão girando. VA é determinada por

semelhança de triângulos a partir de Vk. A velocidade do ponto B é achada da seguinte forma:

gira-se VA em torno de A, até encontrar a linha que une o ponto A ao CI 13, e determina-se A'.

Por A' desenha-se a linha A'B' paralela a AB. Quando esta encontrar a linha que une o ponto B

ao CI 13, teremos B'. Assim, BB' é a grandeza de VB, e sua direção é perpendicular ao raio B-

13. A velocidade de C é determinada da forma análoga.

Por semelhança de triângulos:

V

V =

13.B

13.A =

BB

AA

B

A

,

,


4.8.6 - ANÁLISE DA VELOCIDADE PELAS COMPONENTES:

A definição de corpo rígido na análise cinemática torna possível determinar

graficamente a velocidade de pontos de um mecanismo usando-se as componentes da

velocidade. O fato do corpo ser considerado rígido torna possível dizer que: "Dois pontos sobre

um corpo rígido não podem aproximar-se ou afastar-se". Isto significa que estes dois pontos

devem ter a mesma componente de velocidade na direção da linha entre eles.

Referindo-se a fig. 4.15, temos um corpo rígido contendo dois pontos, A e B

com a velocidade de A especificada. Designando-se a linha que contém A e B como direção

"q", a velocidade de A na direção "q" é VAq. Não podemos determinar a velocidade total de B,

mas pode-se determinar a velocidade de B na direção "q". Este procedimento é a base do

método de análise da velocidade pelas componentes.

Figura 4.15 - Método das componentes.

A maior dificuldade deste método é o reconhecimento da diferença entre o

vetor velocidade total e o vetor componente de velocidade.


4.9 - MECANISMO COM CONTATO DIRETO:

Duas peças de um mecanismo que estão em contato direto entre si, podem ter

um movimento relativo que será ou de deslizamento puro, ou de rolamento puro ou uma

combinação de deslizamento e rolamento.

Na figura 4.16 temos dois corpos 2 e 3 que estão em contato direto e o

movimento é uma combinação de movimento de rolamento e deslizamento. O corpo 2 tem uma

velocidade angular ω2 e o corpo 3 uma velocidade ω3, esta ainda desconhecida em valor, mas

resulta do movimento de 2. Agora se ω2 e ω3 são conhecidos e se a localização do ponto A for

conhecida, então as velocidades VA2 e VA3 podem ser calculadas. Na figura, temos os vetores

velocidades dos pontos A2 e A3 com suas componentes normal e tangencial.

Figura 4.16 - Mecanismos com contato direto.

Analisando a figura verifica-se que existe uma direção normal e uma direção

tangencial comum a ambos os elementos.

E, isto nos permite escrever a relação

porque se estas componentes de velocidade não forem iguais, o corpo 3 penetraria dentro de 2

ou se afastaria dele. Estas alternativas não são satisfatórias em vista do fato que o corpo 2 é

condutor e o corpo 3 é o seguidor.

V = Vn

A

n

A 23

rr


Voltando agora as componentes tangenciais da velocidade, podemos escrever

a equação das velocidades relativas:

Recapitulando a definição de velocidade relativa, temos que esta velocidade é

a velocidade com a qual o ponto A3 se move com relação a A2 , ou seja, a velocidade que teria

A3 se A2 estivesse estacionário. Além do mais, a única direção com que o corpo 3 pode se

mover com relação ao corpo 2 é a direção tangencial.

As relações vetoriais da figura 4.16 são:

Uma vez que as componentes normais das velocidades dos pontos A2 e A3 são

iguais, arranjando as equações anteriores, temos:

A partir da equação da velocidade relativa, temos:

que mostra que o vetor velocidade relativa de A3 e A2 é atuante na direção tangencial. Esta

situação caracteriza o movimento de deslizamento.

E, quando não houver velocidade relativa entre estes dois pontos, estamos

diante de um movimento de rolamento puro.

Assim a condição básica do rolamento puro é:

V - V = Vt

A

t

A

t

AA 2323

rrr

V + V = V

V + V = V

t

A

n

AA

t

A

n

AA

333

222

rrr

rrr

V - V = V - Vt

A

t

AAA 2323

rrrr

V - V = V

V - V = V

t

A

t

AAA

AAAA

2323

2323

rrr

rrr

0 = V AA 23

r


Esta condição só é obtida quando o ponto de contato "A" estiver sobre a linha

de centro. Neste caso o ponto de contato é coincidente com o centro instantâneo de rotação

relativo, porque deve situar-se sobre a normal comum e sobre a linha de centro.

A fig. 4.17, mostra bem esta situação. O círculo 2 conduz o círculo 3 com

movimento de rolamento puro, ou seja, sem deslizamento. Neste caso, o ponto de contato é B,

e ele coincide com o centro instantâneo de rotação comum CI 32. Uma vez que o CI 32 é um

ponto fixo, o movimento é transmitido com relação de velocidade angular constante.

Figura 4.17 - Movimento de rolamento puro. 4.10 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ANGULARES: Na figura 4.20, vamos considerar a intersecção da normal comum com a linha

de centros. De acordo com o teorema de Kennedy todos os centros instantâneos devem estar

sobre a linha de centros. Também, o único movimento que o corpo 3 pode ter em relação a 2 é

na direção da tangente comum. Além disto a velocidade de 3 relativa a 2 é perpendicular a

normal comum, e então sua intersecção com a linha de centros é o centro instantâneo 32 por

definição.

Uma vez que O32 é um centro instantâneo, ele tem por definição, a mesma

velocidade, não importando se considerado como um ponto do corpo 2 ou um ponto do corpo

3. Se considerarmos CI 32, como um ponto do corpo 2 teremos a sua velocidade dada por:

Por outro lado, sua velocidade como um ponto do corpo 3 será:

ω 2(32) a. = V

ω 3(32) b. = V


Relacionando as duas equações anteriores, temos:

Esta é a equação que expressa a relação de velocidades angulares de dois

corpos em um mecanismo. Sendo estabelecida como: "A relação de velocidades angulares

é inversamente proporcional aos segmentos que o centro instantâneo determina sobre a

linha de centro".

Figura 4.19 - Relação de velocidades angulares. Assim, para se ter uma relação de velocidades angulares constante é

necessário que o centro instantâneo comum permaneça fixo, isto só ocorre no movimento de

rolamento puro.

Ainda, se o centro instantâneo comum cai entre os centros dos dois corpos, as

velocidades angulares terão sinais contrários, e se o centro instantâneo comum cai fora dos

centros, as velocidades angulares serão de mesmo sinal.

4.11 - ACELERAÇÃO RELATIVA DE PARTÍCULAS EM MECANISMOS: Se for conhecida a aceleração AQ de uma partícula Q, pode-se determinar a

aceleração AP de outra partícula adicionando-se o vetor aceleração relativa APQ conforme

indicado na equação vetorial, apresentada a seguir.

A aceleração relativa APQ, assim como a velocidade relativa, em mecanismos

depende do tipo dos vínculos entre as peças.

a

b =

3

2

ω

ω

A + A = A PQQP


4.11.1 - ACELERAÇÃO RELATIVA DE PARTÍCULAS EM UMA MESMA

PEÇA:

De acordo com a figura 4.19, quando se considera duas partículas P e Q na

mesma peça rígida, a distância fixa PQ obriga a partícula P a mover-se ao longo de um arco de

circunferência em relação a Q independendo do movimento linear absoluto de Q. Portanto,

como a trajetória de P em relação a Q é circunferencial, pode-se representar o vetor aceleração

APQ pelos componentes ortogonais da aceleração AnPQ e At

PQ, respectivamente normal e

tangente à trajetória relativa em P. Independentemente da aceleração linear absoluta de Q, o

movimento angular da peça em relação a Q é o mesmo que o relativo à peça fixa porque uma

partícula tal como Q não tem movimento angular. Para a trajetória circular de P em relação a Q,

a velocidade angular ωr do raio de curvatura PQ é a mesma que a velocidade angular absoluta

ω3 da peça. Também, a aceleração angular αr do raio de curvatura é a mesma que a acele-

ração angular absoluta α3 da peça.

Figura 4.19 - Aceleração relativa em uma mesma peça.

Os módulos da aceleração normal e tangencial relativa são determinadas por:

Deve-se observar que a direção de AnPQ é normal à trajetória relativa e que o

seu sentido é em direção ao centro de curvatura Q de modo que o vetor é dirigido de P para Q

α

ω

3tPQ

2PQ2

3nPQ

(PQ). = /A/

PQ

V = (PQ). = /A/


conforme mostrado na figura 4.20a. A direção de AtPQ é tangente à trajetória relativa (normal à

linha PQ), e o sentido do vetor depende do sentido de αr. Na fig.4.20b mostram-se os vetores

acelerações relativas AnQP e At

QP de Q em relação a P onde os módulos e sentidos de ω3 e α3

são os mesmos da fig.4.20a. A trajetória relativa mostrada é a do ponto Q observada de P.

Deve-se notar que AnQP = -An

PQ e AtQP = -At

PQ , onde o sinal negativo indica

"sentidos opostos".

4.12 - CASO GERAL DE ACELERAÇÃO: Em análise cinemática freqüentemente aparece a situação em que devemos

determinar a aceleração de um ponto de um corpo em movimento quando o movimento deste

corpo está referido a um segundo corpo também em movimento.

Na figura 4.20a, ilustramos o corpo em movimento, no plano xy, que pode ter

algum movimento: translação, rotação, ou combinação dos dois. O ponto A está fixado no

corpo e tem valores especificados de velocidade e aceleração. O ponto P se move em relação

ao corpo 2 e está momentaneamente coincidente com um terceiro ponto B, o qual é fixado ao

corpo.

Figura 4.20 - Caso geral da aceleração.

Os elementos dados do problema são como seguem:

1. Um corpo 2 com valores especificados de velocidade e aceleração angular,

se movendo no plano xy;

2. Um ponto A com velocidade e aceleração conhecidas, fixado e se movendo

com o corpo 2;

3. Um ponto B, fixado e se movendo com o corpo 2, e instantâneamente

coincidente com o ponto P;


4. Um ponto P, não fixado ao corpo 2, com valores de velocidade e aceleração

relativas ao corpo 2 especificadas.

A aceleração do ponto P deve ser encontrada.

A atenção deve ficar particularmente voltada para o fato de que A e B são

fixados ao corpo 2; que P momentaneamente coincide com B e que P se move através do

corpo 2; que, uma vez B fixado ao corpo 2, seu movimento é completamente determinado pelo

movimento do corpo 2; e finalmente, que o movimento de P não depende do movimento do

corpo 2, porque P tem movimento em relação aquele corpo. Estes elementos dados estão

ilustrados na figura 4.20b.

É conveniente na solução deste tipo de problema adotar um segundo par de

eixos que estão fixados ao corpo 2 e se movem com ele. Estes são designados como eixo x'y',

como mostra a figura 4.21, e são localizados com um ângulo θ com relação ao sistema de

referência xy e com origem em A. A partir da figura, as coordenadas x e y dos pontos P e B

são:

Figura 4.21 - Corpo descrito em relação a x'y'.

(a)

.y + .senx + y = y = y

.seny - .x + x = x = x

ABP

ABP

θθ

θθ

cos

cos

′′

′′


As velocidades dos pontos P e B são as primeiras derivadas desta equações

com relação ao tempo. Note entretanto que tomando a derivada para achar a velocidade de B,

x' e y' são constantes porque B é fixado ao sistema. Então:

Mas x'e y' não são constantes para achar a velocidade de P, porque se move

através do corpo 2. Então:

As equações (b) e (c) são as componentes em x e y da velocidade dos pontos

B e P, respectivamente. Elas podem ser facilmente colocadas sobre a forma de vetor.

Tomando novamente as suas derivadas temos as acelerações destes pontos. Então, para o

ponto B, temos:

e para o ponto P (e)

(b)

.sendt

d.y - .x.

dt

d +

dt

dy =

dt

dy

.dt

d.y - .senx.

dt

d -

dt

dx =

dt

dx

AB

AB

θθ

θθ

θθ

θθ

′′

′′

cos

cos

(c)

.sendt

d.y - .

dt

yd + .

dt

d.x + .sen

dt

xd +

dt

dy =

dt

dy

.dt

d.y - .sen

dt

yd - .sen

dt

d.x - .

dt

xd +

dt

dx =

dt

dx

AP

AP

θθ

θθθ

θ

θθ

θθθ

θ

′′

′′

′′

′′

coscos

coscos

(d)

.dt

dy. - .sen

dt

d.y - .sen

dt

d.x - .

dt

d +

dt

yd =

dt

yd

.sendt

d + .

dt

d.y - .

dt

d.x - .sen

dt

d.x -

dt

xd =

dt

xd

2

22

2

2

2

A

2

2

B

2

2

2

22

2

2

2

A2

2

B2

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

coscos

coscos

′

′

′

′′


Uma vez que as equações (e) contém os termos da equação (d) podemos

substituir

por estes termos. Disto resulta

Quando as equações (f) são somadas vetorialmente resulta

Onde:

θθ

θθ

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

θ

.sendt

d.y + .

dt

d.y - .

dt

d.

dt

yd -

.dt

d.

dt

yd - .sen

dt

yd - .

dt

d.x - .sen

dt

d.x -

.sendt

d.

dt

xd - .sen

dt

d.

dt

xd - .

dt

xd +

dt

xd =

dt

xd

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

A2

2

P2

′′

′

′′

′′

′′′

coscos

coscos

cos

θθ

θθ

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

θ

.dt

d.y - .sen

dt

d - .sen

dt

d.

dt

yd -

.sendt

d.

dt

yd - .

dt

yd + .sen

dt

dx. - .

dt

d.x +

.dt

d.

dt

xd + .

dt

d.

dt

xd + .sen

dt

yd +

dt

yd =

dt

yd

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

A

2

2

P

2

cos

coscos

coscos

′

′

′

′

′′′

dt

yd e

dt

xd2

B

2

2

B2

(f)

.sendt

d.

dt

yd2. - .

dt

yd + .

dt

d.

dt

dx2. + .sen

dt

xd +

dt

yd =

dt

yd

.dt

d.

dt

yd - .sen

dt

yd - .sen

dt

d.

dt

xd2. - .

dt

xd +

dt

xd =

dt

xd

2

2

2

2

2

B

2

2

P

2

2

2

2

2

2

B2

2

P2

θθ

θθθ

θ

θθ

θθθ

θ

′′′

′′′′

coscos

coscos

(g) A + 2A + A = A CPBP

rrrr


Na equação "f", AB é a aceleração absoluta do ponto B, o qual é fixado ao

corpo 2 e está momentaneamente coincidente com P. O segundo termo, AP2 é a aceleração de

P em relação ao corpo 2. O terceiro termo é a aceleração de Coriolis AC de grandeza:

A velocidade relativa VP2 é a velocidade de P em relação ao corpo 2. E w é a

velocidade angular do corpo 2.

A aceleração de Coriolis tem como direção, a direção da velocidade relativa do

ponto P em relação ao corpo, girada sobre a origem de 90� no sentido da velocidade angular

do corpo 2.

.j .sendt

d.

dt

yd2. - .

dt

d.

dt

xd2. +

.dt

d.

dt

yd2. - .sen

dt

d.

dt

xd2.- = A

.dt

yd + .sen

dt

ydj. + .sen

dt

yd - .

dt

xd = 2A

dt

ydj. +

dt

xd = A

dt

ydj. +

dt

xd = A

C

2

2

2

2

2

2

2

2

P

2

B

2

2

B2

B

2

P

2

2

P2

P

′′

′′

′′

′′

θθ

θθ

θθ

θθ

θθθθ

cos

cos

coscos

r

r

r

r

ω2.V2. = A PC

mecanismos - apostila - ufsc - 62 pág

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