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MECANICA ESTADISTICA AVANZADA2do. Semestre 2007

Ricardo Ramırez

Fac. Fısica, PUC, rramirezpuc.cl

17 de noviembre de 2007

NOTAS SOBRE TEMAS DE MECANICA ESTADISTICA TOMADAS DEDISTINTOS TEXTOS QUE SE ENUMERAN MAS ABAJO. NO SOLOSIRVEN COMO TRADUCCION SINO TAMBIEN SE ACLARAN ALGUNOSPUNTOS DIFICILES Y SE COMPLETAN DESARROLLOS ALGEBRAICOS

REFERENCIAS

Equilibrium Statistical Physics. Michael Plischke, Birger Bergensen.A Modern Course in Statistical Physics. L.E. ReichlStatistical Mechanics D.A. McQuarrieStatistical Physics L.D. Landau, E.M. LifzhitzIntroduction to Superconductivity. Michael TinkhamQuantum Theory of Solids. Joseph Callaway.

INDICE DE TEMASTeorıas de campo medio

Gases reales y lıquidos

Escalamiento

Grupo de renormalizacion

Lımite cuantico de Funcion Particion

Superconductividad

TEMAS PARA PRESENTACIONESBose-Einstein

Procesos de Markov

Puntos Tricrıticos (Landau)

AF Heisenberg 1-D

Teorema fluctuacion-disipacion (Kubo)

Fluctuaciones

Teorema H de Boltzmann

Chapman Enskog

Modelo de Ising 2-D

Mapas iterativos

Relaciones Kramers-Kronig

Los alumnos deben escoger, a mas tardar el lunes 21 de Agosto, un tema para ser

expuesto en una clase de mas adelante en aproximadamente 1/2 hora.

TEORIAS DE CAMPO MEDIOModelos de ferromagnetismo

Modelo de interaccion

H = −∑<ij>

[Jx

ij Sxi Sx

j + Jyij S

yi Sy

j + Jzij S

zi Sz

j

]− gµBH

∑i

Szi (1)

donde:

g : factor de Lande µB = e~/2m : magneton de Bohr

H : campo magnetico externo

MODELO DE HEISENBERG

H = −∑<ij>

Jij~Si · ~Sj − gµBH ·

∑i

Szi

aquı ~Si · ~Sj = Sxi Sx

j + Syi Sy

j + Szi Sz

j , donde

Sxi =

(0 11 0

); Sy

i =

(0 −ii 0

); Sz

i =

(1 00 −1

)

MODELO DE ISINGUsualmente uno considera solamente las interacciones a vecinosmas cercanos y ası colocamos Jij = Jo. Si Jo > 0 decimos que elsistema es ferromagnetico en caso contrario es antiferromagnetico.

Si en (1) suponemos que Jxij y Jy

ij son despreciables frente Jzij = J y

suponemos interacciones solo entre vecinos mas cercanos, tenemosel modelo de Ising, estudiado por Ernst Ising en 1924 en su tesis dedoctorado. Ising resolvio el caso de una cadena unidimensional comoveremos mas adelante.

HIsing = −Jo

∑<ij>

Szi Sz

j − gµBH∑

i

Szi , (2)

Existen otros modelos llamados XY en los cuales Jzij es despreciable.

Usaremos el Modelo de Ising para explicarla Teorıa del Campo Medio

Tomemos un sitio cualquiera, e.g. i = 0 y llamemos h = gµBH. Ahorallamemos m = 〈Sz

i 〉 el valor de expectacion de Szi a la temperatura T ,

entonces aislando el termino i = 0 en (2):

H0 = −J∑

j

Sz0Sz

j − hSz0 = −Sz

0(qJm + h)− JSz0

∑j

(Szj −m)

donde q es el numero vecinos mas cercanos. Si despreciamos elsegundo termino obtenemos un sistema no interactuante, en quecada spin ve un campo externo efectivo qJm + h.

El promedio de Sz0 a la temperatura T esta dado por:

〈Sz0〉 =

Tr Sz0e−βH0

Tr e−βH0= tanh[β(qJm + h)]

Aquı H0 corresponde a la definicion anterior pero en que se hadespreciado el segundo termino.donde β = 1/kBT y el valor de m se obtiene en formaautoconsistente de:

m = 〈Sz0〉 = tanh[β(qJm + h)]

Esta aproximacion constituye la teorıa molecular de Weiss (1907).

Para h = 0 puede haber 1 o 3 soluciones, este ultimo caso paraβqJ > 1. Se demostrara que el estado de equilibrio paraT < Tc = qJ/kB corresponde a una magnetizacion ±mo y quecuando T → 0 mo → 1. Cuando T tiende a Tc desde T < Tc ,entonces m → 0 y podemos hacer una expansion de Taylor:

mo = βqJmo −13

(βqJ)3m3o + · · ·

de donde obtenemos:

mo =√

3(

TTc

)3/2(Tc

T− 1)1/2

El exponente 1/2 que aparece en el comportamiento singular de mo

cerca de Tc tiene el nombre general de β y en teorıas mas refinadaso en ferromagnetos reales tiene un valor diferente a 1/2.

APROXIMACION DE BRAGG-WILLIAMS

Consideremos N atomos, de los cuales N+ tiene spin hacia arriba y N− hacia abajo,i.e. N = N+ + N−.Entonces el numero de configuraciones posibles es:

Ω =N!

N+!N−!

y usando la aproximacion de Stirling:

S = kB log Ω = −kB

»N+ log

N+

N+ N− log

N−N

–= −kBN

»1

2(1 + X) log

1

2(1 + X) +

1

2(1− X) log

1

2(1− X)

–donde X = 2N+/N − 1 = (N+ − N−)/N, es decir X puede ser asimilado al parametro

de orden m. Hay 12 qN pares de spines vecinos en el cristal, de los cuales N++ son

parejas ++, N−− son parejas −− y N+− son parejas +−.

Entonces la energıa del sistema es:

E = −J(N++ + N−− − N+−)

Ahora si definimos p± como la probabilidad de que un sitiocualquiera este ocupado por un spin ±, i.e.:

p+ =N+

Np− =

N−

N

entonces, podemos hacer las siguientes aproximaciones:

N++ =12

qN+p+ =18

qN(1 + X )2

N−− =12

qN−p− =18

qN(1− X )2

N+− =12

qN+p− =14

qN(1− X 2)

Ası la energıa resulta ser:

E = −12

qJNX 2

y la energıa libre:

F = E − TS = −12

qJNX 2 + kBNT

[12

(1 + X ) log12

(1 + X )

+12

(1− X ) log12

(1− X )

]Ver Fig. 1.

El valor mas probable de X se obtiene de la condicion de equilibrio∂F/∂X = 0:

2qJkBT

= log1 + X1− X

→ tanh(

qJkBT

X)

= X

Este metodo constituye la aproximacion de Bragg-Williams. Noteseque el resultado es identico al de la teorıa de campo medio (TCM).Es decir la TCM es equivalente a a una aproximacion en que laentropıa se toma como la entropıa de una mezcla ideal y energıa esla energıa promedio sobre todas las configuraciones.

-1 -0.5 0 0.5 1X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F

T=1.5TcT=TcT=0.77Tc

Figura: 1 Energıa libre BW

Tambien se puede ver que los resultados de la TCM sonindependientes de la dimensionalidad del sistema. Este es uno delos peores defectos de la teorıa, como se puede ver mediante unosejemplos simples a continuacion.

Consideremos una cadena Ising en una dimension con extremoslibres, cuyo Hamiltoniano es:

H = −J∑<ij>

σiσi+1

Su estado fundamental tiene una energıa Eo = −(N − 1)J, en la quetodos los spines estan alineados. Ahora produzcamos una excitaciontal que σi = 1 parai ≤ ` y σi = −1 parai > `

l l+1

Figura: 2 Cadena de spines 1-D

Hay N − 1 estados como este y cada uno tiene una energıaE = Eo + 2J.La entropıa es

kB log(N − 1)

y por lo tanto el cambio de energıa libre es:

∆F = 2J − kBT log(N − 1)

que es menor que cero para todo T > 0 en el lımite termodinamicoN →∞. Como estas exitaciones desordenan el sistema la cadenaprefiere estar en un estado desordenado para todo T > 0.

Ahora consideremos el mismo tipo de excitaciones en una sistemade Ising de dos dimensiones, de N × N spines, produciendo dosdominios como se muestra en la figura.

Figura: 3 Spines en 2-D

Se puede argumentar que el largo de la pared de dominio es delorden de L = 2N y que la energıa de la pared de dominio tiene unaenergıa del orden de ∆E = 2LJ = 4NJ. Por otro lado si la paredparte del lado izquierdo, hay N puntos de partida y si despreciamoslos circuito cerrados, en cada punto del recorrido hay por lo menosdos posibilidades de continuar con el recorrido, es decir en total 2L

caminos posibles para cada punto de partida.

Esto nos da un cambio de la energıa libre igual a:

∆F = 4NJ − kBT log(N22N)

Luego hay una temperatura Tc , bajo la cual el sistema prefieremantenerse ordenado, i.e. sin pared de dominio, esta temperatura es:

Tc =2J

kB log 2=

2,885JkB

El factor 2.885 hay que compararlo con 2,2692 de la solucion exacta.

Estos simples argumentos muestran que el modelo de Ising tiene uncomportamiento muy distinto para 1 dimension que para 2dimensiones, al contrario de lo que muestra la solucion de campomedio.

TRANSICION ORDEN DESORDEN

Tomemos una mezcla de Cu y Zn (bronce) en proporciones de 50/50 %. Tieneestructura bcc.

Cu Zn

Figura: 4 Cu-Zn

A baja temperatura cada tipo de atomo ocupa preferentemente una de las dos

subredes sc que constituyen la red bcc.

Modelo

Sean NAA, NBB , NAB , el numero de pares de vecinos mas cercanos de Cu-Cu, Zn-Zn yCu-Zn, respectivamente y EAA, EBB y EAB las energıas correspondientes.

Tambien sean NA = cAN y NB = cBN el numero de atomos de Cu y Zn, donde N es elnumero total de sitios en la red.

Si llamamos 1 y 2 a las subredes sc, definimos como NA1 y NB1 el numero de atomosde cada tipo en la subred 1. Lo mismo para NA2 y NB2. Entonces:

NA1 + NA2 = NA = cAN NB1 + NB2 = NB = cBN

y

NA1 + NB1 =N

2NA2 + NB2 =

N

2Supongamos que NA ≤ NB , entonces definimos el parametro de orden:

m =NA1 − NA2

NA− 1 ≤ m ≤ 1

Es decir m varıa entre todos los Cu en la subred 2 a todos los Cu en la subred 1. Enterminos de m:

NA1 =1

2NA(1 + m) NA2 =

1

2NA(1−m)

NB1 =1

2(NB −mNA) NB2 =

1

2(NB + mNA)

Supongamos que NA ≤ NB , entonces definimos el parametro de orden:

m =NA1 − NA2

NA− 1 ≤ m ≤ 1

Es decir m varıa entre todos los Cu en la subred 2 a todos los Cu en subred 1. Enterminos de m:

NA1 =1

2NA(1 + m) NA2 =

1

2NA(1−m)

NB1 =1

2(NB −mNA) NB2 =

1

2(NB + mNA)

Ahora hacemos algunas aproximaciones:

NAA ' qNA1NA2

12 N

NBB ' qNB1NB2

12 N

NAB ' q

NA1NB2

12 N

+NA2NB1

12 N

!Entonces podemos escribir la energıa del sistema como:

E = NAAEAA + NABEAB + NBBEBB

=1

2qN(EAAc2

A + 2EABcAcB + EBBc2B − qNc2

AEm2

donde

E =1

2(EAA + EBB)− EAB

La entropıa se puede obtener del numero de configuraciones posibles del sistema:

Ω =(N/2)!

NA1!NB1!

(N/2)!

NA2!NB2!S = kB log Ω

i.e.

S/kB = −NA1 log NA1 + NA1 − NB1 log NB1 + NB1

− NA2 log NA2 + NA2 − NB2 log NB2 + NB2 + N log1

2N − N

= −NA1 log2NA1

N+−NB1 log

2NB1

N

− NA2 log2NA2

N+−NB2 log

2NB2

N

= −N

2kBˆcA(1 + m) log[cA(1 + m)] + (cB + mcA) log[cB + mcA]

+ cA(1−m) log[cA(1−m)] + (cB −mcA) log[cB −mcA]˜

Entonces podemos escribir la energıa libre de Helmholtz F = E − TS, como funcionde m y obtener el valor de m que minimiza F :

0 =∂F

∂m= −2qcAEm +

1

2kB log

(1 + m)(cB + cAm)

(1−m)(cB − cAm), (3)

Para cA = cB = 1/2 esta ecuacion se reduce a:

0 = −qEm + kBT log1 + m

1−m→ tanh

qEm

2kBT= m

resultado equivalente al de Braggs-Williams con J = E/2 Para temperaturas bajastenemos tres soluciones, la trivial m = 0 y otras dos que corresponden a mınimos deF . La temperatura crıtica la podemos obtener de la segunda derivada, en m = 0:

∂2F

∂m2|m=0 = −2qEcA +

1

2kBT

»1

1 + m+

1

1−m+

cA

cB + mcA+

cA

cB −mcA

–m=0

= −2qEcA +kBT

cB

Lo que nos da la temperatura crıtica:

Tc =2qEcAcB

kB

El comportamiento de este modelo es identico al del ferromagneto de Ising conJ = E/2, conclusion que es independiente de la aproximacion de campo medio, comoveremos ahora.

Definamos niA un numero asociado al sitio i tal que vale 1 si este sitio esta ocupadopor un atomo A y 0 si no es ası. Similarmente niB = 1− niA. Entonces:

NAA =X〈ij〉

niAniA; NBB =X〈ij〉

niBniB ; NAB =X〈ij〉

niAniB

Ahora definamos σi = ±1 por:

niA =1

2(1 + σi ); niB =

1

2(1− σi )

Reemplazando enH = NAAEAA + NABEAB + NBBEBB

obtenemos:

H = JX〈ij〉

σiσj +q

2(EAA − EBB)

Xi

σi +q

4N(EAA + EBB + 2EAB)

Como tenemos un numero fijo de cada tipo de atomo, los dos ultimos terminos son

constantes y obtenemos finalmente:

APROXIMACION DE BETHEEn la aproximacion de Bethe la interaccion entre un spin, e.g. 0 y susq vecinos se trata en forma exacta y la la interaccion de estosvecinos con el restos de los spines se hace a traves de un campomedio o campo molecular h′. Sea σ0 el spin en consideracion,entonces las interacciones de intercambio son:

−Jq∑

j=1

σ0σj − h′q∑

j=1

σj

a esto hay que agregar la interaccion de Zeeman mediante el campoexterno h, actuando solo sobre el spin central, para obtener elHamiltoniano:

HBethe= −Jq∑

j=1

σ0σj − h′q∑

j=1

σj − hσ0

El campo h′ se obtiene a traves de la condicion de autoconsistencia〈σ0〉 = 〈σj〉 Para resolver este modelo, partimos calculando al funcionparticion:

Z =∑

σ1=±1

∑σ2=±1

· · ·∑

σq=±1

∑σ0=±1

exp

ασ0 + α′q∑

j=1

σj + β′q∑

j=1

σ0σj

donde:

α =h

kBTα′ =

h′

kBTβ′ = Jβ =

JkbT

Separamos Z en dos terminos, para σ0 = ±1, Z = Z+ + Z−, con:

Z± =∑

σ1=±1

∑σ2=±1

· · ·∑

σq=±1

exp

±α+ α′q∑

j=1

σj ± β′q∑

j=1

σj

= e±α

∑σ1=±1

∑σ2=±1

· · ·∑

σq=±1

exp

(α′ ± β′)

q∑j=1

σj

= e±α

∑σ1=±1

∑σ2=±1

· · ·∑

σq−1=±1

exp

(α′ ± β′)

q−1∑j=1

σj

[2 cosh(α′ ± β′)]

Z± = e±α [2 cosh(α′ ± β′)]q

Ahora el promedio de σ0 es:

〈σ0〉 =1Z

∑σ1=±1

∑σ2=±1

· · ·∑

σq=±1

∑σ0=±1

σ0 exp

ασ0 + α′q∑

j=1

σj + β′q∑

j=1

σ0σj

=

Z+ − Z−Z

El promedio de σj se calcula de:

〈σj〉 =1q

1Z∂Z∂α′

=Z+ tanh(α′ + β′) + Z− tanh(α′ − β′)

Z

Reemplazando las expresiones de Z+ y Z− la condicion 〈σ0〉 = 〈σj〉nos da: [

cosh(α′ + β′)

cosh(α′ − β′)

]q−1

= e2α′−2α

Esta es la ecuacion que determina α′ y h′.

Para h = 0 siempre existe la solucion h′ = 0 que corresponde a lafase desordenada de alta temperatura, como se puede ver de laexpresion anterior para 〈σ0〉. Para h = 0, α = 0 y se puede demostrarque para T < Tc definido por:

tanhJ

kBTc=

1q − 1

existe una solucion de α′ 6= 0 dada por:

α′ ' 3cosh3 β

senhβ

[tanhβ − 1

q − 1· · ·]

En una red cuadrada se encuentra que la temperatura crıtica es:

Tc '2,885J

kB

Veamos ahora un metodo para calcular la energıa libre G.Consideremos el Hamiltoniano:

H = Ho + λV donde Ho = −h∑

i

σi y V = −∑〈ij〉

σiσj

En un sistema fısico λ = J, pero inicialmente lo colocamos como unparametro variable. La energıa libre esta dada por:

G = −kBT log Z = −kBT log Tr e−β(Ho+λV )

definimos tambien:

Go = −kBT log Tr e−βHo

y el promedio de un operador O, para un valor fijo de λ:

〈O〉λ =TrO e−β(Ho+λV )

Tr e−β(Ho+λV )

Entonces,

∂G∂λ

= 〈V 〉λ y por lo tanto G = Go +

∫ J

0dλ〈V 〉λ

Esta ecuacion es muy util si uno quiere calcular F en unaaproximacion donde se conoce 〈V 〉λ.

En el caso de la aproximacion de Bethe, con campo nulo, en unadimension, (q = 2), como no hay transicion, h′ = 0:

H = −hσ0 − λσ0

q∑i=1

σj

entonces:

G0 = −kBT log[e−βh + eβh]|h=0 = −kBT log 2

Ahora debemos calcular 〈∑

j σ0σj〉λ, con h = h′ = 0:

〈∑

j

σ0σj〉λ =TrO e−βλO

Tr e−βλO

con O =∑

j σ0σj . pero,

Tr e−βλO = Z (h = 0; h′ = 0) = 2[2 cosh(βλ)]q

Ası:

〈∑

j

σ0σj〉λ =1β

1Z∂Z∂λ

= q tanh(βλ)

y finalmente:

G = −NkBT log 2− N2

q∫ J

0dλ tanh(βλ) = −NkBT log(2 coshβJ)

Mas adelante veremos que este resultado es igual a la solucionexacta de la cadena Ising, lo que no es cierto para otras dimensiones.

COMPORTAMIENTO CRITICONOMECLATURA Definiendo ε = T−Tc

Tc.

Calor especifico : Ch(h = 0) ' (±ε)−α

Magnetizacion : M(T ) ' (−ε)β

Susceptibilidad: χ ' (±ε)−γ

Campo magnetico : h ' M(T )δ

En TCM encontramos que:

m ' 1(Tc − T )1/2

de la ecuacion para m en TCM, m = tanh(βJqm + h), obtenemos:

χ(h = 0; T ) =βsech2(βJqm)

1− βqJsech2(βJqm)

Para T > Tc , m = 0 y sech2(βJqm) = 1. Tambien βqJ = Tc/T .

Por lo tanto para T → T +c

χ(h = 0; T ) → 1kB(T − Tc)

. Para T → T−c , usamos la expresion para m:

|m| →√

3(

TTc

)3/2(Tc

T− 1)1/2

|m|βJq →√

3(

TTc

)1/2(Tc

T− 1)1/2

entonces sech2(βJqm) → 1− 3 (T/Tc) [Tc/T − 1] y por lo tanto

1− βJqsech2(βJqm) → T− Tc

T+ 3(

Tc

T− 1) = 2

Tc − TT

y finalmente:

χ(h = 0; T ) → 12kB(Tc − T )

En general χ(h = 0; T ) → |Tc − T |−γ .

Para TCM γ = 1, para 2D exacto γ = 7/4 y en 3d aprox. 1.25.

Una expresion exacta de la susceptibilidad se puede obtener de:

χ =

(∂m∂h

)T

=∂

∂h

(Tr σ0e−βH0

Tre−βH0

)T

Esta expresion se evalua escribiendo: H0 = −J∑

j σ0σj − h∑

i σi ,calculando,

χ =∂

∂h

„Tr σ0e−βH0

Tre−βH0

«T

= β

"Tr σ0

Pi σie

−βH0

Tre−βH0−

(Tr σ0e−βH0)(TrP

i σie−βH0)

[Tre−βH0 ]2

#

= βX

i

»Tr σ0σie

−βH0

Tre−βH0− (Tr σ0e−βH0)(Tr σie

−βH0)

[Tre−βH0 ]2

–El primer termino dentro del parentesis es 〈σ0σi〉 y el segundo〈σ0〉〈σi〉. Ası obtenemos:

χ = β∑

i

[〈σiσ0〉 − 〈σi〉〈σ0〉]

La susceptibilidad depende de la funcion correlacion spin-spin:

Γ(~ri −~r0) = 〈σiσ0〉 − 〈σi〉〈σ0〉

donde ~ri , ~rj indican las posiciones de los spines.

El comportamiento de χ cerca del punto crıtico esta asociado alcomportamiento de la funcion correlacion spin-spin. Para que χdiverja Γ(~ri −~r0) no debe decaer mas rapido que |~ri −~r0|−3.Calor especıfico en TCMLa energıa vale:

E = −J∑

〈σi〉〈σj〉 = −N2

Jqm2

para T → T +c , m = 0 y por lo tanto Ch = 0, pero para T → T−

c :

Ch =∂E∂T

∣∣∣∣∣h=0

= −N2

Jq∂m2

∂T

Con

m2 = 3(

TTc

)3(Tc

T− 1)

= 3

[(TTc

)2

−(

TTc

)3]

∂m2

∂T=

1Tc

[6

TTc

− 9(

TTc

)2]→ − 3

Tccuando T → Tc

Entonces:

Ch = −N2

Jq∂m2

∂T=

32

kBN para T → T−c

Para calcular el calor especıfico en la aproximaci on de Bethe ,debemos evaluar 〈σ0σj〉 dentro de esta aproximacion. Esto lopodemos hacer calculando esta cantidad como:

〈σ0σj〉 =1

βqZ∂Z∂J

Esto nos da:

〈σ0σj〉 =senh β(J + h′) coshq−1 β(J + h′) + senh β(J − h′) coshq−1 β(J − h′)

coshq β(J + h′) + coshq β(J − h′)

Para T > Tc , h′ = 0 y:

E = −N2

qJ tanhβJ

de aquı se puede obtener Ch. El caso de T < Tc se deja comoejercicio.

CADENA DE ISING (1D). SOLUCION EXACTA.Consideremos una cadena de N spines a la temperatura T cuya componente z puedetomar valores σi = ±1 y supongamos que la energıa del sistema esta dada por laexpresion clasica:

H = −JNX

i=1

σiσi+1

Consideremos que el sistema tiene condiciones de borde periodicas, i.e. σN+1 = σ1.

Primero calculamos la funcion particion:

Z =X

σ1=±1

Xσ2=±1

. . .X

σN =±1

eβ′P

j σj σj+1

con β′ = J/kBT .Pero:

eβ′σj σj+1 = eβ′ paraσjσj+1 = 1

= e−β′ paraσjσj+1 = −1

y por lo tanto:

eβ′σj σj+1 = coshβ′ + senhβ′ paraσjσj+1 = 1

= coshβ′ − senhβ′ paraσjσj+1 = −1

Es decir:eβ′σj σj+1 = coshβ′ + σjσj+1 senhβ′

y

Z =X

σ1=±1

Xσ2=±1

. . .X

σN =±1

Πjˆcoshβ′ + σjσj+1 senhβ′

˜Z =

Xσ1=±1

Xσ2=±1

. . .X

σN =±1

Πjˆcoshβ′ + σjσj+1 senhβ′

˜=

Xσ2=±1

. . .X

σN =±1

Πj>1ˆcoshβ′ + σjσj+1 senhβ′

˜×

Xσ1=±1

(coshβ′ + σ1σ2 senhβ′)(coshβ′ + σ1σN senhβ′)

Expandiendo la suma c/r σ1:

Z =X

σ2=±1

. . .X

σN =±1


˜×

Xσ1=±1

[cosh2 β′ + σNσ2 senh2 β′ + σ1(σN + σ2) coshβ′ senhβ′]

Vemos que el termino que contiene coshβ′ senhβ′ se anula y:

Z =X

σ2=±1

. . .X

σN =±1


˜×

Xσ1=±1

[cosh2 β′ + σNσ2 senh2 β′]

=X

σ3=±1

. . .X

σN =±1


˜× 2

Xσ2=±1

hcosh2 β′ + σNσ2 senh2 β′][coshβ′ + σ3σ2 senhβ′

i

Sumando c/r a σ2 llegamos a:

Z =X

σ3=±1

. . .X

σN =±1


˜× 22[cosh3 β′ + σNσ3 senh3 β′]

Iterando este procedimiento llegamos a:

Z = 2N−2X

σN−1=±1

XσN =±1

[coshN−1 β′ + σNσN−1 senhN−1 β′]

= 2NhcoshN β′ + senhN β′

iPara una temperatura distinta de cero coshβ′ > senhβ′ y por lo tanto para N >> 1podemos despreciar el termino senhN β′ y llegamos a:

Z = 2N coshN β′

De aquı obtenemos la energıa libre:

G = −kBT log Z = −NkBT log»

2 coshJ

kBT

–y la energıa:

E = −∂

∂β′log Z = −NJ tanh

J

kBTFinalmente el calor especıfico:

C =dE

dT=

NJ2

kbT 2 cosh2 JkBT

Notese que denominador tiene un mınimo en funcion de T , lo que produce un maximoen C.

En presencia de un campo externo, con condiciones de borde periodicas:

H = −JNX

i=1

σiσi+1 − hNX

i=1

σi

reescribimos este Hamiltoniano como:

H = −NX

i=1

»Jσiσi+1 +

h

2(σi + σi+1)

–y la funcion particion:

Z =X

σ1=±1

· · ·X

σN =±1

eβ

PNi=1

hJσi σi+1+ h

2 (σi +σi+1)i

=X

σ1=±1

· · ·X

σN =±1

NYi=1

eβ

hJσi σi+1+ h

2 (σi +σi+1)i

Ahora introducimos la matriz:

P =

„eβ(J+h) e−βJ

e−βJ eβ(J−h)

«donde:

Pσi σi+1 = eβ

hJσi σi+1+ h

2 (σi +σi+1)i

con lo cual podemos escribir:

Z =Xσi

Pσ1σ2 · · ·PσN σ1 = Tr PN

Diagonalizando P, encontramos los autovalores:

λ1,2 = eβJ coshβh ±“

e2βJ senh2 βh + e−2βJ”1/2

vemos que λ1 > λ2

yZ = λN

1 + λN2

Entonces como N →∞:

G = −kBT log(λN1 + λN

2 ) = −kBT

(N logλ1 + log

"1 +

„λ2

λ1

«N#)

→ −NkBT logλ1

Finalmente:

G = −NkBT log»

eβJ coshβh +“

e2βJ senh2 βh + e−2βJ”1/2

–y

m = −1

N

∂G

∂h=

senhβhqsenh2 βh + e−4βJ

Para T 6= 0, m = 0 si h = 0, pero en lımite de bajo T , senh2 βh >> e−4βJ y un

pequeno campo basta para producir saturacion.

Correlaciones de largo alcance en la cadena de Ising con extremos libres y h = 0: Eneste caso 〈σi 〉 = 0 y consideremos:

Γ(j) = 〈σiσi+j 〉 − 〈σi 〉〈σi+j 〉 = 〈σiσi+j 〉

Para calcular esta distribucion de pares, escribimos:

〈σiσi+j 〉 =1

Z

Xσi

σiσi+j exp

24β N−1Xl=1

Jlσlσl+1

35y

Z = 2N−1Yl=1

(2 coshβJl )

En estas expresiones se han introducido distintos Jl , los que al final del calculo se

haran igual a J.

Ya que σ2i = 1, podemos escribir:

〈σiσi+j 〉 =1

Z

Xσi

(σiσi+1)(σi+1σi+2) · · · (σi+j−1σi+j )exp

24β N−1Xl=1

Jlσlσl+1

35=

1

β j Z

∂ j Z (Ji)∂Ji∂Ji+1 · · · ∂Ji+j−1

˛˛Ji =J

= (tanhβJ)j = e−j/ξ

donde ξ = −[log(tanhβJ)]−1 > 0, ya que tanhβJ) < 1 y por lo tanto la correlacion

spin-spin decae con j , para T 6= 0. Para T → 0, ξ ' exp(2βJ) y la longitud de

correlacion crece enormemente, un aspecto tıpico de las transiciones contınuas.

0 1.0 2.0

Onsager

Bethe

Bragg−Williams

C k

T / T

B

V

C

Figura: 2 Calor especıfico para el modelo de Ising en dos dimensiones

TEORIA DE LANDAU DE TRANSICIONES DE FASES.

Transiciones de fase contınuas

Consideremos un sistema XYT (generalizacion de PVT). La energıa libre de Gibbsesta dada por:

G = E − TS − XY =X

i

µi ni (suma sobre tipos de particulas)

µj : potencial quımico por mol tipo j . En una transiciones de fase G y µi son iguales.Las siguientes cantidades sirven para clasificar las transiciones de fase:

X = −∂G

∂Y

˛˛T ,nj

y S =∂G

∂T

˛˛Y ,nj

CLASIFICACION DE LAS TRANSICIONES, SEGUN EHRENFEST: Si estas dosderivadas son discontınuas en el punto de transicion, tenemos una Transicion de 1er.Orden. Si la n-esima derivada de G es la primera derivada discontınua tenemos unaTransicion de orden n. El problema es que a veces las derivadas divergen. Por esto seprefiere decir que si la primera derivada es contınua, pero las derivadas de orden masalto son discontınuas entonces tenemos una Transicion contınua.

L. Landau propuso una expansion de la funcion G en series de potencias delparametro de orden m, cerca de Tc :

G(m,T ) = a1(T ) + a2(T )m + a2(T )m2 + a3(T )m3 · · ·

En un sistema que es simetrico para la transformacion m → −m, todas la potenciasimpares de m son nulas, y podemos escribir:

G(m,T ) = a(T ) +1

2b(T )m2 +

1

4c(T )m4 +

1

6d(T )m6 · · ·

1er. caso.Supongamos que c es positivo, que b(T ) = bo(T − Tc) en la vecindad de Tc y que losdemas terminos son despreciables. Entonces se encuentra que para T > Tc , G tienesolo un mınimo en m = 0, pero para T > Tc , G tiene un maximo en m = 0 y dosmınimos para m 6= 0, ubicados en:

m = ±r−

b

c= ±

sbo(Tc − T )

c(Tc)

En la figura siguiente se muestra el comportamiento de G para T > Tc (lınea llena) y

para T < Tc (lınea de segmentos).

-5 0 5

0

El calor especıfico se puede obtener de:

C = T∂S

∂TS = −

∂G

∂T

Si las primas indican derivadas con respecto a T , podemos escribir:

S = −a′ −1

2b′m2 −

1

4c′m4 −

1

2b(m2)′ −

1

4c(m4)′ − · · ·

Reemplazando los valores de las derivadas se puede obtener el calor especıfico:(C = −Ta′′ + Tb2

o/2c, si T → T−c ;

−Ta′′, si T → T +c

(2)

el que exhibe la caracterıstica transicion λ, como en caso del nıquel, en la figurasiguiente.

2

4

6

8

0 500250 750

10 x C [J/Kg]2

Niquel

T [K]

2do. caso Supongamos c es negativo en la temperatura de transicion, mientras que by d son positivos, entonces el comportamiento de G se muestra en la figura siguiente,para T > Tc (lınea llena) y para T < Tc (lınea de segmentos). La curva de lıneapunteada corresponde a T = Tc .

-4 -2 0 2 4

-20

0

20

40

60

En este caso existe la posibilidad de tener tres mınimos y por lo tanto la transicion esdiscontınua, i.e. de primer orden. Los valores de mo 6= 0 para los cuales G es mınimo,en el punto de transicion, se obtienen de:

G(mo)−G(0) =1

2bm2

o +1

4cm4

o +1

6dm6

o = 0 y∂G

∂m= 0 = bmo + cm3

o + dm5o

de donde obtenemos:

m2o = −

3c

4db =

3c2

16d> 0

MODELO DE MAIER-SAUPEConsideramos un modelo isotropico para un cristal lıquido nematico.Un cristal lıquido es un estado de la materia entre un lıquido y unsolido. Usualmente estan constituıdos por moleculas en forma depequenas barras, con eje de simetrıa, de entre 2 y 3 nanometros dediametro. En los cristales lıquidos nematicos las posiciones de lasmoleculas estan ubicadas en forma aleatoria, pero dentro de cadadominio las moleculas apuntan en la misma direccion.

Sea ~ri la posicion del CM de la molecula i y ni indica la direccion deleje de simetrıa. Suponemos que ni y −ni son equivalentes. Lainteraccion entre dos moleculas esta representada porW (~ri −~rj , ni , nj). Suponemos una densidad constante ρ pero lasorientaciones de las moleculas esta dada por la distribucion f (n).

Introducimos una funcion distribucion de pares g(~rij , ni , nj), con~rij = ~ri −~rj como la probabilidad condicional de que si una moleculacon orientacion ni se encuentra en la posicion ~ri exista en ~rj otramolecula con orientacion nj .

De esta manera podemos escribir la energıa promedio total para unamolecula con orientacion ni como:

ε(ni) = constante+ ρ

∫d3rij

∫dΩjW (~rij , ni , nj)f (ni)g(~rij , ni , nj)

La integracion sobre Ωj es sobre todas las orientaciones nj . Ahorahacemos la suposiciones que g no depende de las orientaciones,ası podemos escribir:

ε(ni) = constante+ ρ

∫dΩj f (ni)

∫d3rijW (~rij , ni , nj)g(~rij)

Ahora expandimos ls segunda integral en Polinomios de Legendre deargumento ni · nj :

ε(ni) = constante+ρ∫

dΩj f (ni)(γ−2UP2(ni ·nj)+OP4(ni ·nj)+. . .) (3)

donde γ y U son constantes y el signo de U se elige de tal modo quepara U > 0 las moleculas tendran la tendencia de alinearse en formaparalela. Maier-Saupe terminaron la serie en P2.

Ahora definimos:

σiαβ =12

(3niαnjβ − δαβ)

donde α, β = x , y , z y niα es una componente cartesiana de ni .Tambien usamos la identidad

P2(ni · nj) =23

3∑α,β=1

σiαβσjαβ

y definimos:

Qαβ = 〈σiαβσjαβ〉 =

∫dΩjσiαβσjαβ f (nj)

Reemplazando estos resultados en (3), obtenemos

ε(ni) = −43ρU∑α,β

Qαβσiαβ

La energıa total se obtiene integrando esta ultima expresion sobretodas las orientaciones ni , con la funcion distribucion f (ni) ymultiplicando por 1/2 para evitar un doble conteo:

E =12

∫dΩi f (ni)ε(ni) = −2

3ρUN

∑αβ

QαβQβα (4)

La entropıa esta dada por:

S = −NkB

∫dΩf n ln f (n)

donde

f (n) =exp[−βε(n)]∫dΩexp−βε(n)

El parametro de orden Qαβ se determina por un criterio deautoconsistencia

Qαβ =

∫dΩσ2

αβ f (n) (5)

Siempre existe la solucion Qαβ = 0

A bajas temperaturas existen soluciones distintas de cero con unaorientacion preferida n, la que corresponde a una fase nematica.Estas fases no tiene un ordenamiento de largo alcance. Lassoluciones distintas de cero no son unicas, por la simetrıa rotacionaldel sistema. Sin embargo debido a que Qαβ es real y simetrica,siempre habran ejes principales en los cuales Q es diagonal. En estesistema podemos definir las coordenadas esfericas de n, donde:

nx = sin θ cosϕ

ny = sin θ sinϕ

nz = cos θ

y los elementos distintos de cero son:

Q11 =12〈3 sin2 θ cos2 ϕ−1〉 Q22 =

12〈3 sin2 θ sin2 ϕ−1〉 Q33 =

12〈3 cos2 θ−1〉

Estos elementos no son independientes como se puede ver sicalculamos

A = Q11−Q22 =32〈sin2 θ cos 2ϕ〉 −B = Q11 +Q22 =

12〈3 sin2 θ−2〉

Pero −B =12〈1− 3 cos2 θ〉 = −Q33

Definiendo a = 32 sin2 θ cos 2ϕ y b = 1

2 (3 cos2 θ − 1), A = 〈a〉 yB = 〈b〉 y entonces

Q11 = −12

(B − A) Q22 = −12

(B + A) Q33 = B

Con estos resultados podemos escribir:

ε(n) = −2ρU(Bb +13

Aa) E = −NρU(B2 +13

A2)

Ahora debemos reemplazar estos resultados en la energıa libreG = E − TS.

Primero calculamos la entropıa S = −NkB∫

f (n) ln f (n)dΩ:

f (n) =e−βε(n)∫dΩe−βε(n)

ln f (n) = −βε− ln∫

dΩe−βε

S = −NkB

∫dΩ

[−βε(n)f (n)− f (n) ln

∫dΩe−βε

]Usando (4) y la normalizacion de f (n) tenemos:

S = NkB

(2β

EN

)+

∫dΩf (n) ln

∫dΩe−βε = 2ENkBβ+NkB ln

∫dΩe−βε

Entonces

−TS = −2EN

NkBTβ−NkBT ln∫

dΩe−βε = −2E − kBTN ln∫

dΩe−βε

G = E − TS = −E − kBTN ln∫

dΩe−βε = −NkBT[

ENβ + ln

∫dΩe−βε

]= −NkBT

[ln eβE/N + ln

∫dΩe−βε

]= −NkBT ln

∫dΩeβE/Ne−βε

= −NkBT ln∫

dΩe−β(ε−E/N)

Si elegimos moleculas con un eje de simetrıa, A = 0 y,

ε−E/N = −2ρUBb+ρUB2 = −ρU(2Bb−B2) = −ρU[B(3 cos2 θ−1)−B2]

Finalmente

g =GN

= −kBT ln

(4π∫ 1

0d(cos θ) exp

βρU[B(3 cos2 θ − 1)− B2]

)

Expandiendo en potencias del parametro de orden B:

g = −kBT ln(4π)+ρUB2(

1− 25βρU

)− 8

105β2ρ3U3B3+

4175

β3ρ4U4B4+. . .

(6)es decir una expresion de la forma de la expansion de Landau.

El comportamiento del parametro de orden B en funcion de latemperatura puede ser obtenido por una minimizacion de (6) ousando (5) mediante un calculo autoconsistente. Para este ultimocalculo es conveniente escribir (5) como:

B =12〈3 cos2 θ − 1〉 =

∫ 10 dµ 1

2 (3µ2 − 1)exp(3βρUBµ2)∫ 10 dµexp(3βρUBµ2)

Entonces eligiendo un valor de x = 3βρUB, podemos evaluar Bnumericamente para obtener la temperatura.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5κΒΤ/ρΥ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B

Maier Saupe expansionMaier Saupe SC

TEORIA DE GINZBURG-LANDAUEn esta teorıa se pretende incorporar correlaciones de largo alcance de una maneraaproximada. En este caso utilizaremos la energıa libre de Helmholtz F = G + hM, ysupondremos un parametro de orden (magnetizacion) dependiente de la posicion:

M =

Zm(~r)d3r

La energıa libre de Helmholtz se escribe de manera similar a la teorıa usual deLandau, pero agregamos un termino que depende de la gradiente de m:

F (m(~r),T ) =

Zd3r

»a(T ) +

1

2b(T )m2 +

1

4c(T )m4 +

1

6d(T )m6 + · · ·+

1

2f˛∇m(~r)

˛2–En un sistema homogeneo el campo h se calcula de:

h =∂F

∂m(~r)

Para un sistema inhomogeneo debemos usar la derivada funcional:

h(~r) =δF

δm(~r)

La manera de calcular una derivada funcional de este tipo se describe en el Apendice.

El resultado es:

δF =

Zd3r

nhbm(~r) + cm3(~r) + dm5(~r) + · · ·

iδm(~r) + f∇δm(~r) · ∇m(~r))

oIntegrando por partes el ultimo termino obtenemos:

h(~r) = bm(~r) + cm3(~r) + dm5(~r) + · · · − f∇2m(~r))

Los resultados de la teorıa de Landau para sistemas homogeneos sin campo externose obtienen haciendo: h = 0, ∇m(~r)) y despreciando d , i.e.:

m2o = −

b

c

Supongamos ahora un caso en que se aplica localmente una perturbacion hoδ(~r) en elorıgen y que se produce una pequena fluctuacion φ(~r) de m(~r) con respecto al casohomogeneo, m(~r) = mo + φ(~r). Entonces reemplazando en la ecuacion para h(~r) masarriba, despreciando d , tenemos:

hoδ(~r) = b(mo + φ(~r)) + c(m3o + 3m2

oφ(~r))− f∇2φ(~r) = bφ(~r) + 3cm2o − f∇2φ(~r)

Para T > Tc , m = 0 y para T < Tc , 3cm2o = −3b, por lo tanto:

∇2φ−b

fφ = −

ho

fδ(~r) T > Tc

∇2φ+ 2b

fφ = −

ho

fδ(~r) T < Tc

Suponiendo que b(T ) = bo(T − Tc) y que hay simetrıa esferica, estas ecuaciones sepueden resolver como:

φ =ho

4πf

e−r/ξ

rdonde 8><>:ξ =

“fb

”1/2T > Tc“

−f2b

”1/2T < Tc

(7)

La funcion ξ es la longitud de correlacion y diverge en T = Tc como:

ξ(T ) ' |T − Tc |−1/2

En esta teorıa el exponente 1/2 corresponde a ν, que en general tiene valores quedependen de la dimensionalidad y del problema en cuestion.La funcion φ se puede relacionar a la funcion correlacion. Para esto agreguemos al

Hamiltoniano el termino −Z

d3r m(~r)h(~r) y designando como Ho la parte del

Hamiltoniano independiente de h(~r), el promedio de m vale:

〈m(~r)〉 =Tr m(~r)exp−β[Ho −

Rd3r m(~r)h(~r)]

Tr exp−β[Ho −R

d3r m(~r)h(~r)]Ahora, como φ es proporcional a ho , podemos escribir’:

δ〈m(~r)〉δho

=δ〈(φ(~r)〉δho

=φ(~r)

ho= β

ˆ〈m(~r)m(0)〉 − 〈m(~r)〉〈m(0)〉

˜= βΓ(~r)

Ası, la funcion correlacion es proporcional al parametro de orden y por lo tanto tiene lamisma longitud de correlacion.

CRITERIO DE GINZBURG

Es posible demostrar que en un espacio de d dimensiones la funcion φ tiene elsiguiente comportamiento: 8><>:ξ =

“fb

”1/2T > Tc“

−f2b

”1/2T < Tc

Por lo tanto para hacer una estimacion de φ escribimos:

φ 'e−r/ξ

rd−2

En una teorıa de campo medio esperamos que la funcion correlacion sea muchomenor que m2

o , a grandes distancias, cuando T → Tc , por lo que podemos decir queesta aproximacion es valida si:R

Ω(ξ) dd rˆ〈m(~r)m(0)〉 − 〈m(~r)〉〈m(0)〉

˜RΩ(ξ) dd r m2

o<< 1

donde la integral esta hecha dentro de una esfera de radio ξ (longitud de correlacion),en un hiperespacio de d dimensiones. Queremos saber para que valores de d la teorıade Landau describe correctamente el comportamiento crıtico.Ahora usamos las expresiones:

m2o ' |T − Tc |2β 〈m(~r)m(0)〉 − 〈m(~r)〉〈m(0)〉 '

e−r/ξ

rd−2

entonces escribiendo como Brd el volumen de una esfera de radio r en el hiperespaciode d dimensiones, obtenemos:

BdR ξ

0 drrd−1e−r/ξr−d+2

Bξd |T − Tc |2β

Ahora hacemos el cambio de variable, r = xξ y usamos ξ ' |T − Tc |−ν :»dZ 1

0dxxe−x

–“|T − Tc |dν−2β−2ν

”<< 1

La integral es del orden de 1, por lo tanto para que la desigualdad se cumpla cuandoT → Tx , debe cumplirse que:

dν − 2β − 2ν > 0 i.e. d > 2 +2β

νEste es el criterio de Ginzburg.

EXPANSIONES DE ALTA Y BAJA TEMPERATURA.Consideremos nuevamente el modelo de Ising:

H = −JX〈ij〉

σiσj

Como ya hemos visto antes, la funcion particion se puede escribir como:

Z =X

σ1=±1

Xσ2=±1

· · ·X

σN =±1

Y〈ij〉

[coshβ′ + σiσj senhβ′]

= (coshβ′)sX

σ1=±1

Xσ2=±1

· · ·X

σN =±1

Y〈ij〉

[1 + σiσj tanhβ′]

= (coshβ′)sX

σ1=±1

Xσ2=±1

· · ·X

σN =±1

Y〈ij〉

[1 + σiσj u]

donde β′ = J/kbT , u = tanhβ′ y s = qN/2 es el numero total de pares de vecinosmas cercanos.

Esta ultima expresion se puede expandir como:

Z = (coshβ′)sX

σ1=±1

Xσ2=±1

· · ·X

σN =±1

241 + uX〈ij〉

(σiσj ) + u2X〈ij〉

X〈lk〉

(σiσj )(σlσk ) + · · ·

35donde un mismo par no aparece dos veces en el coeficiente (σiσj )(σlσk ) + · · · .Cada uno de los terminos del coeficiente de un puede ser representado por diagramasque representan ligazones para un par dado, como se muestra en la figura siguiente:

1 2 3

4

567

8

9 10 11

12

13

14 15

Esta figura representa un termino como:

7Yi=1

[(σiσi+1)](σ8σ1)[(σ9σ10)(σ10σ11)][(σ12σ13)(σ13σ14)(σ14σ15)]

Notamos que en los dos primeros factores los spines 1....8 aparecen dos veces ycomo σ2

i = 1 al sumar estos factores no dan un valor cero. Sin embargo en los ultimosparentesis cuadrados hay spines que aparecen solo una vez y al sumar c/r a susvalores producen un resultado nulo ya que

Pi σi = 0. Por lo tanto los diagramas que

contienen un numero impar de veces un spin dado dan resultado nulo. Es decir sololos diagramas formados de polıgonos cerrados pueden dar un resultado no nulo, comoen la figura siguiente:

Sin embargo los polıgonos cerrados que comparten un lado contienen un numeroimpar de veces un mismo spin y por lo tanto no contribuyen a la funcion particion,como en la figura siguiente:

Un diagrama formado solamente por polıgonos cerrados de n ligazones que nocomparten un lado hace una contribucion que vale 2Nun. Ası la funcion particion sepuede escribir como:

Z = 2N(coshβ′)s(1 +X

n

Ωnun)

donde Ωn es el numero de figuras con n ligazones formados exclusivamente porpolıgonos que no comparten un lado.

Ya que para T >> 0, u << 1 y por lo tanto esta expansion es util para altastemperaturas.Otra manera de expandir la funcion particion se puede obtener a partir del numero despines vecinos antiparalelos, r . Entonces:X

〈ij〉σiσj = (s − r)− r = s − 2r

Esto lo reemplazamos en

Z =X

σ1=±1

Xσ2=±1

. . .X

σN =±1

eβ′P

〈ij〉 σi σj

y obtenemos:

Z = 2esβ′"

1 +X

r

ωr e−2rβ′#

donde ωr es el numero de configuraciones con r pares de vecinos antiparalelos. Comoe−2rβ′ es pequeno para bajas temperaturas, esta expansion se llama de bajastemperaturas.

Redes de dos dimensiones

Consideremos una red cuadrada como la red de puntos llenos de la figura siguiente yconstruyamos otra red formada por los centros de los cuadrados de la red original.

La nueva red (circulos abiertos) de llama red dual de la red original. Obviamente lared original es la red dual de la nueva red. Este procedimiento se puede utilizar enotras redes periodicas como por ejemplo una red hexagonal la que tendra una redtriangular como dual.

Si indicamos por (*) una red dual, es posible demostrar que:

Ωn = ω∗n

Para esto consideremos un polıgono cerrado en la red original y colocamos un spinhacia arriba en los puntos de la red dual mas cercanos externos al polıgono. Ahoracolocamos un spin hacia abajo en los puntos de la red dual internos mas cercanos alpolıgono. De esta manera a cada bond del polıgono corresponde una pareja ↑↓. A lainversa podemos podemos trazar polıgonos cerrados en una configuracion de rparejas ↑↓ de spines.

Tambien es obvio que s∗ = s, entonces, podemos escribir:

Z (T ) = 2N(coshβ′)s

"1 +

Xn

Ωn(tanhβ′)n

#y

Z∗(T ) = 2esβ′"

1 +X

r

Ωne−2nβ′#

Ahora nos restringimos a J > 0 y definimos β′∗ y T∗ por:

e−2β′∗ = tanhβ′ y T∗ =J

kBβ′∗

De estas relaciones es facil demostrar que:

e−2β′ = tanhβ′∗; senh(2β) senh(2β′∗) = 1; tanh(2β) cosh(2β′∗) = tanh(2β′∗) cosh(2β) = 1

y tambien:

Z (T ) = 2N−1(coshβ)se−sβ′∗Z∗(T∗)

Se puede concluir facilmente que subir T corresponde a bajar T∗ y vice-versa. Si hayuna temperatura crıtica Tc , la correspondiente temperatura del la red dual es T∗c . Enuna red cuaduadra la red dual es identica a la original y por lo tanto Z = Z∗, en estecaso, entonces, T∗c = Tc , la cual esta determinada por:

senh2(2βc) = 1

de donde se obtiene:

βc = 0,4407 → Tc =2,269J

kB

que es el valor exacto obtenido por Onsager.Para otras redes, el calculo es un poco mas complicado. Se obtiene:

Tc =3,640J

kBred triangular

Tc =1,518J

kBred hexagonal(panal de abejas)

La expansion de alta temperatura para una red cubica simple da como resultado:

Z 1/N = 2(coshβ′)3h1 + 3u4 + 22u6 + 192u8 + · · ·

iy para el cubico de cuerpo centrado:

Z 1/N = 2(coshβ′)4h1 + 12u4 + 148u6 + 1860u8 + · · ·

iy las expansiones respectivas para baja temperatura son:

1

Nlog Z = η−3/2

»η6 + 3η10 −

7

2η12 + · · ·

–y

1

Nlog Z = η−2

»η8 + 4η14 −

9

2η16 + 28η20 + · · ·

–donde η = e−β′ .

Expansion de la susceptibilidad

Ahora debemos agregar el campo magnetico externo:

H = −JX〈ij〉

σiσj − hX

i

σi

La funcion particion que entonces como

Z =X

σ1=±1

Xσ2=±1

· · ·X

σN =±1

Y〈ij〉

[coshβ′ + σiσj senhβ′]Y

i

eβhσi

Si consideramos solamente las expansiones de alta temperatura este ultimo productose puede escribir como:

Yi

eβhσi =Y

i

[coshβh + σi senhβh] = coshN βhY

i

(1 + vσi )

= coshN βh[1 + vX

i

σi + v2X

ij

σiσj · · · ]

donde v = tanhβh.

Por lo tanto la funcion particion se puede escribir como

Z = (coshβ′)s coshN βhX

σ1=±1

Xσ2=±1

· · ·X

σN =±1

»1 + u

X〈ij〉

(σiσj )

+ u2X〈ij〉

X〈lk〉

(σiσj )(σlσk ) + · · ·–

× [1 + vX

l

σl + v2Xlm

σlσm · · · ]

Este ultimo factor introduce en la expansion diagramas abiertos y diagramas convertices impares (en los cuales dos poligonos pueden compartir un lado), los cualescontribuyen a la susceptibilidad. Esta puede obtenerse de:

m =1

β

1

Z

∂Z

∂hy

χ =∂m

∂h

Con h = 0 esto se puede expresar como:

χ = β[1 +∞X

n=1

enun]

Los coeficientes en se pueden obtener mediante un conteo de diagramas inventadopor Sykes, el cual se puede aplicar a diversas redes. Ası por ejemplo para la redcuadrada se obtiene:

χ = β[1 + 4u + 12u2 + 36u3 + 100u4 + 276u5 · · · ]Sykes obtuvo hasta el coeficiente de la potencia 21 para esta red.

Referencias.

M. Wortis, in Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and M.S.

Green, (Acad. Press, London, 1974), Vol. 3

M. Campostrini, A. Pelissetto, P. Rossi, E. Vicari, Phys. Rev. E65, 066127 (2002)

TEMPERATURA Y EXPONENTES CRITICOSSupongamos que cerca de la temperatura crıtica la susceptibilidad tiene un terminodominante:

χ '1

(u − uc)γ=

∞X0

anun =∞X0

γ(γ + 1)(γ + 2) · · · (γ + n − 1)

n!

„u

uc

«n

Los coeficientes an cumplen con la relacion:

an

an−1=

1

uc

„1 +

γ − 1

n

«Esta razon tiende a 1/uc cuando n →∞, pero:

rn = nan

an−1− (n − 1)

an−1

an−2

es igual a 1/uc , cuando χ es exactamente de la forma anterior. En general lasecuencia rn tendera a 1/uc cuando n →∞. En la figura siguiente se ve como lassecuencias pares e impares de rn, para una red cuadrada, tienden a un valor, que sepuede estimar como 1/uc = 2,4151 lo que nos da kBTc/J = 2,2701, muy cerca delvalor exacto 2.2692.

0 5 10 15 20 25 30

n

1.5

2

2.5

3

3.5

rn

Un procedimiento mucho mas exacto esta basado en expresar χ en terminos deaproximantes de Pade, i.e.:

χ =po + p1u + p2u2 + ·+ pLuL

1 + q1u + q2u2 + ·+ qM uM

en que los coeficientes p y q se obtienen de los coeficientes ei de la serie, hasta unvalor i = N, con la condicion L + M = N. La singularidad de χ viene de los ceros deldenominador. De esta manera se ha obtenido, por ejemplo, que el exponente γ parauna red cubica simple es aproximadamente 1.239.

GASES REALES Y LIQUIDOSConsideremos un sistema de N partıculas de igual masa m queesta descrito por el Hamiltoniano:

H =1

2m

N∑i=1

~pi · ~pi + U(~r1, · · ·~rn)

La funcion particion canonica clasica de este sistema es:

Z (N,V ,T ) =1

N!h3N

∫· · ·∫

e−βHd3p1 · · ·d3pNd3r1 · · ·d3rN

La integracion sobre los momentos nos da:

Z =1

N!

(m

2π~2β

)3N/2

QN

donde QN es la llamada integral de configuracion:

QN =

∫· · ·∫

e−βUd3r1 · · ·d3rN

Si la interaccion entre las partıculas es nula, i.e. U = 0, entonces:

QN = V N ; Z = zN(V ,T )/N! z(V ,T ) = [m/(2π~2β)]3/2V

En este ultimo caso obtenemos la ecuacion de estado del gas ideal:

pkBT

= ρ

la cual es aproximadamente valida para un gas muy diluıdo. Cuandola densidad crece es posible obtener la ecuacion de estado comouna serie de potencias en ρ:

pkBT

= ρ+ B2(T )ρ2 + B3(T )ρ3 · · ·

Para la derivacion de esta ecuacion es conveniente trabajar en elensemble del gran canonico, donde la funcion particion es:

Z(V ,T , µ) =∞∑

N=0

Z (N,V ,T )λN con λ = eβµ

la cual cumple las relaciones:

pV = kBT logZ N = kBT(∂ logZ∂µ

)V ,T

= λ

(∂ logZ∂λ

)V ,T

Notamos que:

lımλ→0

N = λZ (1,V ,T ) = λZ1

Entonces cuando λ→ 0, ρ→ λZ1/V la que definimos por ζ.Entonces:

Z(V ,T , µ) = 1 +∞∑

N=0

[Z (N,V ,T )V N

Z N1

]ζN

En esta expresion hemos usado en hecho que Z (0,V ,T ) = 1, debidoa que con N = 0 solo hay un estado con E = 0. Ahora definimos:

RN(V ,T ) = N!

(VZ1

)N

Z (N,V ,T )

y obtenemos:

Z = 1 +∞∑

N=1

RN

N!ζN

y por lo tanto podemos escribir:

p = kBT∞∑j=1

bjζj

donde los coeficientes bj se pueden obtener reemplazando laexpresion anterior para Z en pV = kBT logZ. Ası se obtiene:

b1 =1V

R1 = 1 b2 =1

2!V(R2−R2

1) b3 =1

3!V(R3−2R2R1+2R3

1)

etc.

Tambien podemos obtener una expansion en series de ζ paraρ = N/V :

ρ =λ

V

(∂ logZ∂λ

)T ,V

=ζ

V

(∂ logZ∂ζ

)T ,V

=ζ

kBT∂p∂ζ

=∞∑j=1

jbjζj

Esta serie se puede invertir:

ζ = a1ρ+ a2ρ2 + a3ρ

3 · · ·

donde

a1 = 1 a2 = −2b2 a3 = −3b3 + 8b22 etc.

Reemplazando la serie para ζ en la serie de p, obtenemos:

pkBT

= ρ+ B2(T )ρ2 + B3(T )ρ3 · · ·

donde

B2(T ) = −b2 = − 12V

(R2 − R21)

B3 = 4b22 − 2b3 = − 1

3V 2 [V (R3 − R2R1 + 2R31)− 3(R2 − R2

1)2]

Gas clasico monoatomico

Partamos con N = 1. En este caso no hay interacciones y por lotanto U = 0.

Z1 = Z (1,V ,T ) =

(m

2π~2β

)3/2

Q1

pero como U = 0, Q1 = V , y Z1 =VΛ3 , donde

Λ =

(m

2π~2β

)−1/2

Por lo tanto:

Z (N,V ,T ) =1

N!

(m

2π~2β

)3N/2

=1

N!

(Z1

V

)N

QN

y comparando con la definicion de RN , vemos que RN = QN . Ası:

R1 =

∫d3r1 = V ; R2 =

∫ ∫e−βU2d3r1d3r2; R3 =

∫ ∫ ∫e−βU3d3r1d3r2d3r3

Para calcular B2 suponemos que U2 = u(|~r2 −~r1|) = u(r12), entonces:

B2 = − 12V

∫ ∫[e−βu(r12)−1]d3r1d3r2 = − 1

2V

∫d3r1

∫[e−βu(r12)−1]d3r12

La primera integral cancela V y en la segunda se puede integrar laparte angular para dar:

B2 = −2π∫ ∞

0[e−βu(r) − 1]r2dr

En el caso del potencial de Lennard-Jones

u(r) = 4ε[(σ

r

)12−(σ

r

)6]

existe una expresion exacta †:

B∗2(T ∗) =

π

16√

2T ∗2e1/(2T∗)

(−4 + 5T ∗)

[I3/4

(1

2T ∗

)+ I−3/4

(1

2T ∗

)]

− (4 + 21T ∗)

[I−1/4

(1

2T ∗

)+ I1/4

(1

2T ∗

)]

donde T ∗ = kBT/ε y B∗2(T ∗) = B2(T ∗)/(2πσ3/3)

† P. Vargas et al. Physica A290, 92 (2001)

TERCER COEFICIENTE VIRIAL

Aquı necesitamos calcular R3 =∫ ∫ ∫

e−βU3d3r1d3r2d3r3, para lo cualnecesitamos conocer U3 = U(~r1,~r2,~r3). En una aproximacion usadacomunmente, llamada de aditividad a pares, uno escribe:

U(~r1,~r2,~r3) ' u(r12) + u(r23) + u(r31)

Ahora introducimos la funcion de Mayer:

fij = e−βu(rij ) − 1

entonces:

R3 =

∫ ∫ ∫(1 + f12)(1 + f23)(1 + f31)d3r1d3r2d3r3

en forma similar podemos escribir::

R1R2 = V∫ ∫

(1 + f12)d3r1d3r2 =

∫ ∫ ∫(1 + f12)d3r1d3r2d3r3

De esta expresion vemos que R1R2 tambien se puede escribir como:

R1R2 =

∫ ∫ ∫(1 + f23)d3r1d3r2d3r3 = int

∫ ∫(1 + f31)d3r1d3r2d3r3

y por lo tanto:

R3−3R1R2 =

∫ ∫ ∫[f12f23f31− f12f23− f23f31− f31f12−2]d3r1d3r2d3r3

y

2R31 = 2

∫ ∫ ∫d3r1d3r2d3r3

Reemplazando estos resultados en B3, obtenemos finalmente:

B3 = − 13V

∫ ∫ ∫f12f23f31d3r1d3r2d3r3

en la aproximacion de la aditividad a pares.

Existe un resultado general dentro de la aproximacion de aditividad apares, la cual es el siguiente:

Bj+1 = − jj + 1

βj

donde:

βj =1

j!V

∫d3r1 · · ·d3rj+1S′

j

Aquı S′j es la suma de todos los productos de funciones f que

conectan las moleculas 1, 2, · · · , j + 1 en grafos tales que laremocion de cualquier punto del grafo (incluyendo todas las lıneasque llegan a ese punto), resulta todavıa en un grafo conectado. Estosgrafos son llamados estrellas. En la figura siguiente se muestran losgrafos correspondientes a 2, 3 y 4 partıculas.

1 4 1 4

1 4 1 4 1 41 2

1 2

43 43

43

3 2 3 2

3 2

2 3

2 3

1 4

1 3

1 2

2 4

1

2

2 3

1

2 2 3

1

3

1 2

1

2 3

3

Entonces es facil darse cuenta que:

S′1 = −

S′2 = 4

S′3 =

+3 6+

Funci on de correlaci on de pares

Consideremos un sistema de N partıculas en un volumen V , a latemperatura T . Definamos la probabilidad de que la partıcula 1 seencuentra en la posicion ~r1 en d3r1, que la partıcula 2 se encuentraen la posicion ~r2 en d3r2, · · · , y que partıcula N se encuentra en laposicion ~rN en d3rN , como:

P(~r1,~r2, · · ·~rN)d3r1d3r2 · · ·d3rN =1

QN(V ,T )exp

[−βW (~r1,~r2, · · ·~rN)

]d3 r1d3r2 · · ·d3rN

donde W (~r1,~r2, · · ·~rN) =∑

i<j U(~ri −~rj).

La densidad de probabilidad de que las partıculas 1, · · · , n seencuentren en ~r1, · · · , ~rn, sin importar donde se encuentren laspartıculas n + 1, · · · , N, esta dada por:

P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn) =1

QN(V , T )

Z· · ·

Zexp

ˆ−βW (~r1,~r2, · · ·~rN)

˜d3rn+1 · · · d3rN

Entonces la densidad de probabilidad de que cualquier partıcula seencuentre en ~r1, · · · , ~rn es:

P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn) =N!

(N − n)!P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn)

Ahora introducimos la funcion correlacion g:

g(n) =P(n)(~r1,~r2, · · ·~rn)

ρn=

„VN

«n(N)!

(N − n)!

R· · ·

Rexp [−βW ] d3rn+1 · · · d3rN

QN(V , T )

De una importancia partıcular es la funcion g(2):

g(2)(~r1,~r2) =V 2(N − 1)

N

R· · ·

Rexp [−βW ] d3r3 · · · d3rN

QN(V , T )

Aquı podemos hacer un pequeno parentesis y notar lo siguiente: enexp[−βW ] podemos extraer el factor que solo depende de ~r1 y ~r2, i.e.:

exp[−βu(~r1 −~r2)]

que puede salir fuera de la integral. Ahora si tenemos bajasdensidades (i.e. u pequeno) el factor restante tiende a 1/V 2 y por lotanto para bajas densidades:

g(2)(~r) ' exp[−βu(~r)]

En un fluıdo homogeneo g(2) depende solo de ~r = ~r1 −~r2. En estecaso es conveniente realizar un cambio de variables:

~r = ~r1 −~r2; ~R =12

(~r1 +~r2)

y reescribir:

g(2)(~r , ~R) =V 2(N − 1)

N

R· · ·R

exph−βW (~R +~r/2, ~R −~r/2,~r3 · · ·~rN)

id3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

Como solo nos interesa la dependencia en~r , integramos con respecto a ~R y definimos:

g(2)(~r) =1

V

Zd3Rg(2)(~r , ~R)

=(N − 1)

ρ

R· · ·R

exph−βW (~R +~r/2, ~R −~r/2,~r3 · · ·~rN)

id3Rd3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

=(N − 1)

ρ

R· · ·Rδ(~r ′ −~r) exp

h−βW (~R +~r ′/2, ~R −~r ′/2,~r3 · · ·~rN)

id3r ′d3Rd3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

Si el fluıdo es isotropico, g(2) depende solo de r = |~r1 −~r2| y podemos escribir:

Zd3rg(2)(r) = 4π

Zdrr2g(2)(r)

(N − 1)

ρ

R· · ·Rδ(~r ′ −~r) exp

h−βW (~R +~r ′/2, ~R −~r ′/2,~r3 · · ·~rN)

id3rd3r ′d3Rd3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

=(N − 1)

ρ

R· · ·R

exph−βW (~R +~r ′/2, ~R −~r ′/2,~r3 · · ·~rN)

id3r ′d3Rd3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

Notese que la integral en el numerador es exactamente QN(V ,T ) y por lo tanto:

4πρZ

drr2g(2)(r) = N − 1 ' N

Volvamos a la expresion inicial de g(2):

g(2)(~r1,~r2) =V 2(N − 1)

N

R· · ·R

exp [−βW ] d3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

Vemos que tambien se puede escribir como:

g(2)(~r1,~r2) =V 2(N − 1)

N

R· · ·Rδ(~s1 −~r1)δ(~s2 −~r2) exp [−βW ] d3s1d3s2d3r3 · · · d3rN

QN(V ,T )

=V 2(N − 1)

N

R· · ·Rδ(~s1 −~r1)δ(~s2 −~r2) exp [−βW ] d3s1d3s2d3s3 · · · d3sN

QN(V ,T )

Aquı hemos elegido las coordenadas ~s1 y ~s2 como aquellas quefaltaran en la integracion una vez que operen las funciones delta. Sinembargo tambien podemos promediar c/r a todas las coordenadas ~si

y ~sj y escribir:

g(2)(~r1,~r2) =

=V 2(N − 1)

N

1

N2

R· · ·R P

i 6=j [δ(~si −~r1)δ(~sj −~r2)] exp [−βW ] d3s1d3s2d3s3 · · · d3sN

QN(V ,T )

=V 2(N − 1)

N3

DXi 6=j

δ(~si −~r1)δ(~sj −~r2)E

Para un sistema homogeneo en que g(2) depende solo de~r = ~r1 −~r2:

g(2)(~r) =N − 1

ρ

1

N2

DXi 6=j

δ(~r −~si +~sj )E

=N − 1

ρ

1

N2

DXi 6=j

δ(~r −~ri +~rj )E

Ahora definimos el Factor de Estructura S(~q):

S(~q)− 1 =N

V

Zd3r

hg(2)(~r)− 1

iei~q·~r

Reemplazando g(2)(~r), en lımite N →∞, obtenemos:

S(~q)− 1 =1

N

DXi 6=j

ei~q·(~ri−~rj )E− 2π3 N

Vδ(~q)

Reemplazando el 1 en el lado izquierdo por1

N

DXi=j

ei~q·(~ri−~rj )E

, obtenemos:

S(~q) =1

N

DXi,j

ei~q·(~ri−~rj )E− 2π3 N

Vδ(~q)

donde:

δ(~q) =1

2π3

Zd3rei~q·~r

Consideremos un experimento de scattering en tenemos una onda incidente de laforma:

ψ~k (~r) =1√

Vei~k·~r

la que interactua con un blanco formado por un conjunto de partıculas. La interaccionla podemos representar por: X

i

u(~r −~ri )

de esta interaccion resulta la onda:

ψ~k′ (~r) =

1√

Vei~k′·~r

y definimos:

u(~q) =

Zd3ru(~r)e−i~q·~r

y entonces la intensidad de scattering esta dada por:

I(~k − ~k ′ − ~q) ∝ |W |2 ∝ f (~q)S(~q)Io

donde Io es la intensidad incidente y f (~q) = |u(~q)|2 es el factor de forma. En el casode u ∝ δ(~r −~ri ), el factor forma varıa muy poco con ~q y

S(~q) ∝ I

y ası es posible determinar S(~q) y g(2)(~r) experimentalmente.

COMPRESIBILIDAD ISOTERMICA

La compresibilidad isotermica esta definida por:

κT = −1

V

∂V

∂PEn las expresiones para g(2) anteriores, hay que recordar que se obtuvieron dentro delensemble gran canonico y que por lo tanto todas la expersiones que involucran Ndeben considerarse como promedios termodinamico. Ası en la expresion:Z

d3rg(2)(~r) =V

N2N(N − 1)

debemos escribir: Zd3rg(2)(~r) =

V

〈N2〉〈N(N − 1)〉

por lo tanto:

Zd3r [g(2)(~r)− 1] =

V

〈N〉2h〈N2〉 − 〈N〉〈N〉2

i=

V

〈N〉2h〈(N − 〈N〉)2〉 − 〈N〉

i= V

(∆N)2

〈N〉2−

V

〈N〉

Pero del estudio del ensemble del gran canonico:

(∆N)2

〈N〉= ρkBTκTZ

d3r [g(2)(~r)− 1] =V

〈N〉ρkBTκT −

V

〈N〉= kBTκT −

1

ρ

Finalmente:

ρ

Zd3r [g(2)(~r)− 1] = ρ

Zd3rh(~r) = ρkBTκT − 1

Ahora veamos diversos casos lımites:

a) Gas ideal. Aquı g(2)(~r) = 1, h(~r) = 0 y

κT =V

NkBTque es el mismo resultado de

κT = −1

V

∂V

∂P= −

1

V

»−

NkBT

P2

–=

1

V

V 2

NkBT

b) Solido ideal. En este caso las partıculas estan en posiciones rıgidas en el espacio,por lo tanto su numero es fijo y (∆N)2 = 0, esto implica κT = 0 (compresibilidad cero)y por lo tanto:

ρ

Zd3r [g(2)(~r)− 1] = −1

c) En un fluıdo condensado, la compresibilidad es mucho menor que la del gas ideal:0 < ρkBTκT << 1 y el fluıdo es casi incompresible:

ρ

Zd3r [g(2)(~r)− 1] ' −1

Cuando el fluıdo esta cerca del punto crıtico, ∂P/∂V ' 0 y:

ρ

Zd3r [g(2)(~r)− 1] →∞

a acercarse al punto crıtico. Entonces S(~q) se hace muy grande para ~q pequeno y elscattering aumenta enormemente. Este es el fenomeno de la opalescencia crıtica.

La ecuacion de estados se puede encontrar en funcion de g(2)(r):

p

kBT= ρ− 2π

ρ2

3kBT

Z ∞

0r3u(r)g(2)(r)dr

o tambien de la compresibilidad isotermica:

kBT„∂ρ

∂p

«= 1 + ρ

Z hg(2)(r)− 1

id3r

ECUACION DE ORNSTEIN-ZERNIKE.En 1914 Ornstein y Zernike introdujeron una nueva funcion, llamada la funcion decorrelacion directa c(~r1,~r2), a traves de la ecuacion integral:

h(~r1,~r2) = c(~r1,~r2) + ρ

Zd3r3h(~r1,~r3)c(~r3,~r2)

La razon de este nombre se debe a que para bajas densidades c(~r1,~r2) tiende a lafuncion de Mayer.

Para un sistema homogeneo:

h(~r12) = c(~r12) + ρ

Zd3r3h(~r13)c(~r32)

y podemos escribir esta ecuacion en terminos de sus transformadas de Fourier:

h(~k) = c(~k) + ρh(~k)c(~k)

de donde se puede obtener c(~r) en terminos de h(~r).

Sin embargo tanto h(~r) como c(~r) son desconocidas y para resolverla hay que utilizarun procedemiento introducido por Percus y Yevick en 1958. Ası como para bajasdensidades g ' exp[−βu], suponemos que en general podemos escribirg(r) = exp[−βw(r)] y que entonces la funcion c tiene la siguiente expresion:

c(r) = gtotal(r)− gindirecta(r)

donde

gtotal(r) = g(r) = exp[−βw(r)] y gindirecta(r) = exp[−βw(r)− u(r)]Ahora introducimos la funcion:

y(r) = exp[βu(r)]g(r)

y por lo tanto:

c(r) = g(r)− y(r) = (exp[−βu(r)]− 1) y(r) = f (r)y(r)

Vemos que c(r) es una funcion de corto alcance como f (r). Reemplazando en laecuacion de Ornstein-Zernike, obtenemos la ecuacion de Percus-Yevick:

y(r12) = 1 + ρ

Zf (r13)y(r13)h(r23)d

3r3

Esta ecuacion se puede resolver por un metodo iterativo de la siguiente forma.Primero notamos que:

h(r) = g(r)− 1 = exp[−βu(r)]y(r)− 1 = f (r)y(r) + y(r)− 1

Esta expresion se reemplaza por h(r13) en la PY y se obtiene:

y(r12) = 1 + ρ

Zf (r13)y(r13)f (r23)y(r23)d

3r3 + ρ

Zf (r13)y(r13)[y(r23)− 1]d3r3

Podemos encontrar y(r) como una serie de potencias en ρ, cuyos primeros terminosson:

y(r) = 1 + ρ

Za1d3r3 + ρ2

Za2d3r3d3r4 · · ·

donde:

2a

a 1

+ +

=

=

La ecuacion de Percus-Yevick puede ser resuelta analıticamente para esferas duras.Las ecuaciones de estado que resultan son:

p

ρkBT=

1 + 2s + 3s2

(1− s)2de la ecuacion de presion

p

ρkBT=

1 + s + s2

(1− s)3de la ecuacion de compresibilidad

donde s =

√2πVo

6V, en que Vo es el volumen de un sistema de moleculas con maximo

empaquetamiento..

ECUACION DE LA CADENA SOBRE-TEJIDA( hypernetted-chain equation HNC)

Esta aproximacion resulta de la expansion de la correlacion indirecta:

gindirecta(r) = exp[−βw(r)− u(r)] ' 1 + β[w(r)− u(r)]

entonces

c(r) = g(r)− 1− log y(r) = f (r)y(r) + y(r)− 1− log y(r)

Reemplazando en la ecuacion de Ornstein-Zernike obtenemos la ecuacion de lacadena sobre-tejida:

log y(r12) = ρ

Z »h(r13 − log g(r13)−

u(r13)

kBT

–[g(r13)− 1]d3r3 HNC

En el grafico siguiente se muestra una comparacion entre las soluciones analıticas dePY y HNC con resultados obtenidos de la dinamica molecular por D. Henderson en1964.

Teorıa del funcional densidad (DFT). Teoremas deKohn-Hohenberg.

Consideremos un sistema de partıculas interactuantes descritas por el Hamiltoniano:

H =X p2

i

2m+ UN(~ri ) +

Xv(~ri )

Este ultimo termino lo llamaremos VN =P

v(~ri ) e escribiremos el Hamiltoniano como:

H = Ho + VN

TEOREMA 1.

Demostraremos que la densidad canonica en equilibrio:

zo =1

Ze−βH

produce un mınimo de la energıa libre F :

F [z] = Tr z[H+ kBT log z]

es decir, para cualquier otro z, F [z] > F [zo].

En primer lugar notemos que:

log zo = −βH− log Z

y por lo tanto

F [zo] = Tr zo[H+ kBT log zo] = Tr zo[H+ kBT (−βH− log Z )] = −kBT log Z

ya que Tr zo = 1. Esto nos permite escribir:

H = −kBT log zo − kBT log Z = −kBT log zo + F [zo]

y

F [z] = Tr zkBT logz

zo+ F [zo]

Por lo tanto, como Tr z = 1:

F [z]− F [zo] = kBT Tr

z log

z

zo+ z − zo

ff= kBT Tr zo

z

zolog

z

zo−„

z

zo− 1«ff

Ya que x ln x ≥ x − 1, obtenemos finalmente:

F [z] ≥ F [zo]

Ahora veamos el 2do. teorema.La funcion de particion canonica es ciertamente un funcional de v(~r):

Z = e−βF =1

N!h3N

Zd3N rd3Npe−β(Ho+VN )

como tambien lo es la densidad:

ρ(~r) =X

〈δ(~r −~ri )〉

A la inversa esto implica que v(~r) es un funcional de ρ(~r). El problema es que nosabemos si este v(~r) es unico.

TEOREMA 2.

Kohn y Hohenberg demostraron que esta relacion es biunıvoca, es decir que a cadadensidad ρ(~r) le corresponde un unico potencial externo v(~r).Para demostrar este teorema suponemos que existen dos potenciales v(~r) y v ′(~r) queproducen la misma densidad ρ(~r). Entonces tenemos dos HamiltonianosH = Ho + VN y H′ = Ho + V ′

N , dos densidades canonicas, z y z′ y dos energıaslibres, correspondientes a la misma densidad ρ(~r).

F [z] = Tr z[H+ kBT ln z] F [z′] = Tr z′[H′ + kBT ln z′]

por lo tanto:

F [z′] = Tr z′[H′ + kBT ln z′]

< Tr z[H′ + kBT ln z] = F [z] + Tr z(VN − V ′N)

Este ultimo termino es:

Tr z(VN − V ′N) =

Zd3rρ(~r)[v ′(~r)− v(~r)]

es decir:

F [z′] < F [z] +

Zd3rρ(~r)[v ′(~r)− v(~r)]

Ahora si empezamos por F [z] encontramos:

F [z] < F [z′] +

Zd3rρ(~r)[v(~r)− v ′(~r)]

Esto implica que si v(~r) 6= v ′(~r):

F [z] + F [z′] < F [z] + F [z′]

y por lo tanto necesariamente debemos tener

v(~r) = v ′(~r)

lo que implica finalmente que la energıa libre es un funcional de ρ(~r). Por supuestoque esto tambien es valido para la energıa total, la que tiene una unica dependenciafumcional de ρ(~r).

Ecuaci on de Kohn-Sham. Aproximaci on de la densidad local (LDA) .

Cuando E [ρ] es estacionario con respecto a variaciones de ρ, el cambio δE debe sernulo en primer orden de δρ, con N fijo. El multiplicador de Lagrange correspondientees µ:

δE − µδN = 0

La energıa total del sistema en funcion de ρ esta dada por:

E [ρ] = EK [ρ] + EH [ρ] + Exc [ρ] +

Zd3rv(~r)ρ(~r)

donde EK [ρ] es la energıa cinetica, EH [ρ] la energıa de Hartree-Fock, y Exc [ρ] laenergıa de correlacion e intercambio.

Reemplazando en la ecuacion anterior:

δEK + e2Z

d3rd3r ′δρ(~r)ρ(~r ′)/|~r −~r ′ | +

Zd3rδρ(~r)µxc [ρ(~r)]

+

Zd3rv(~r)δρ(~r)− µ

Zd3rδρ(~r) = 0

donde:

µxc [ρ] =d

dρ(ρε(ρ))

La ecuacion anterior es equivalente:

δEK +

Zd3r

ˆVefect(~r)− µ

˜δρ(~r) = 0

donde

Vefect(~r) = v(~r) + e2Z

d3r ′ρ(~r ′)/|~r −~r ′|+ µxc [ρ(~r)]

Esta ecuacion corresponde a la condicion para el estado fundamental de un sistemade electrones no-interactuantes sometidos a un potencial Vefect(~r).

La densidad de carga puede ser expresada en terminos de orbitales de una partıculaψi (~r):

ρ(~r) =X

i

′|ψi (~r)|2

donde la prima indica que la suma es solo sobre los estados ocupados. Los orbitalesψi (~r) se obtienen como solucion de la ecuacion de Schrodinger:»

−~2

2m∇2 + Vefect(~r)

–ψi (~r) = Eiψi (~r)

Esta es la ecuacion de Kohn-Sham. Ya que Vefect(~r) depende de ψi (~r) a traves de ρ(~r),esta ecuacion debe ser resuelta autoconsistentemente.

Una de las mayores dificultades en esta teorıa es el conocimiento de la energıa decorrelacion e intercambio. El unico caso en que la densidad de enrgıa εxc(ρ) esconocida es el caso de un gas uniforme de electrones interactuantes, en el cual ρ esconstante. Este resultado viene de calculos de Monte Carlo y teorıa analıtica. Laaproximacion de la “Densidad Local” (LDA) consiste en suponer que la dependenciade la energıa de correlacion e intercambio:

Exc =

Zd3rρ(~r)εxc(ρ(~r)),

tiene la misma dependencia que en el caso del gas uniforme.

A pesar que puede parecer una aproximacion burda, LDA ha tenido un exito rotundoen la prediccion de muchas propiedades de solidos y lıquidos.

La teorıa DFT ha sido aplicada en el calculo de las propiedades electronicas de

materiales, cinetica de crecimiento de metales, semiconductores y aisladores,

absorpsion, difusion y nucleacion en semiconductores, formacion de nanoestructuras,

procesos de catalisis y oxidacion de superficies, absorbcion de hidrogeno en metales

de transicion, fotoquımica, estudios de DNA, etc.

Demostraci on de la ecuaci on de Ornstein-Zernike.

Consideremos un sistema en el ensemble del gran canonico. Aquı en vez de usar elfuncional de Helmholtz F [ρ], debemos usar:

Ω[ρ] = F [ρ]− µN

el cual en equilibrio cumple con la condicion:

∂Ω

∂ρ(~r)

˛ρo

= 0

Para un gas ideal homogeneo:

Ω =3

2NkBT + kBT

»N log

„N

Vλ3

T

«−

5

2N–− µN donde λT =

„2π~2

mkBT

«1/2

donde hemos utilizado la expresion de Sakur-Tetrode para la entropıa de un gas ideal.La generalizacion de esta expresion para un gas ideal inhomogeneo sometido a unpotencial externo v(~r) es:

Ωideal[ρ] = kBTZ

d3rnρ(~r) log[ρ(~r)λ3

T ]− ρ(~r)o

+

Zd3rρ(~r)v(~r)− µ

Zd3rρ(~r)

Tomando la derivada funcional con respecto a ρ(~r), obtenemos:

δΩideal

δρ(~r)

˛ρo

= kBT log[ρ(~r)λ3T ]− µ+ v(~r) = 0

o

ρo(~r) =1

λ3T

e−β(v(~r)−µ)

En el caso de partıculas interactuantes agregamos un termino que contengan lascontribuciones debidas al potencial de pares:

Ω[ρ] = Ωideal[ρ]− Φ[ρ]

Tomando la derivada funcional:

δΩ

δρ(~r)

˛ρo

= kBT log[ρo(~r)λ3T ] + u(~r)−

δΦ

δρ(~r)

˛ρo

= 0

donde u(~r) = v(~r)− µ. Ası obtenemos:

ρo(~r) =1

λ3T

e−βu(~r)+C1[~r ;ρo(~r)]

donde:

C1[~r ; ρo(~r)] = βδΦ

δρ(~r)

˛ρo

Ahora demostraremos que la cantidad:

C2[~r ;~r′; ρo(~r)] =

δC1[~r ; ρo(~r)]

δρ(~r ′)

˛ρo

=δ(~r −~r ′)ρo(~r)

+ βδu[~r ; ρo(~r)]

δρo(~r ′)

es la funcion de correlacion directa de Onrstein-Zernike.

Para esto definamos el operador ρ(~r) =P

i δ(~r −~ri ), entonces:

Ahora partimos de la funcion particion en el gran canonico:

Z = e−βΩ =P

N1

N!h3N eβµNR

d3Npd3N re−β(H+WN )

=P

N1

N!λ−3N

T e−βP

i<j Uij−βR

d3ru(~r)ρ(~r)

donde ahora WN incluye el potencial externo.

Ω[ρo] = −kBT logP

N1

N!

Rd3N rλ−3N

T

× expn−βP

i<j U(~ri −~rj )− βR

d3ru(~r)ρ(~r)o

La derivadas funcionales con respecto a u(~r) nos dan:

δΩ

δu(~r)= ρo(~r)

−1

β

δ2Ω

δu(~r)δu′(~r ′)= 〈ρ(~r)ρ(~r ′)〉 − ρo(~r)ρo(~r ′)

Por otra parte

〈ρ(~r)ρ(~r ′)〉 =DP

i 6=j δ(~r −~ri )δ(~r ′ −~rj ) +P

i δ(~r −~ri )δ(~r ′ −~ri )E

= n2(~r ,~r ′) + ρo(~r)δ(~r −~r ′)

donde n2(~r ,~r ′) = ρo(~r)ρo(~r ′)g(2)(~r ,~r ′). Esta expresion es una generalizacion de lafuncion de correlacion a pares para un gas inhomogeneo.

Entonces:

n2(~r ,~r”)− ρo(~r)ρo(~r”) + ρo(~r)δ(~r −~r”) = −kBTδρo(~r)

δu(~r”)= −kBT

»δu(~r”)

δρo(~r)

–−1

donde la derivada funcional inversa esta definida en el Apendice 1.

Ahora multiplicamos por βδu(~r”)

δρo(~r ′)e integramos c/r a~r ′′:

Zd3r ′′

ˆn2(~r ,~r”)− ρo(~r)ρo(~r”) + ρo(~r)δ(~r −~r”)

˜×»−δ(~r ′′ −~r ′)ρo(~r)

+ C2(~r′′,~r ′)

–= −δ(~r−~r ′)

y usamos la generalizacion de h(~r ,~r ′), i.e.

[h(~r ,~r ′) + 1]ρo(~r)ρo(~r ′) = n2(~r ,~r′)

la cual la reemplazamos en la integral anterior:

Zd3r ′′

ˆ− h(~r ,~r ′′)ρo(~r)δ(~r ′′ −~r ′)− ρo(~r)

ρo(~r ′′)δ(~r ′ −~r ′′)δ(~r −~r ′′)

+C2(~r ′′,~r ′)h(~r ,~r ′′)ρo(~r)ρo(~r ′′) + C2(~r ′′,~r ′)ρo(~r)δ(~r −~r ′′)˜

= −δ(~r −~r ′)

Lo que nos da:

−h(~r ,~r ′)ρo(~r)−δ(~r−~r ′)+Z

d3r ′′C2(~r′′,~r ′)h(~r ,~r ′′)ρo(~r)ρo(~r ′′)d3r ′′+C2(~r ,~r

′)ρo(~r) = −δ(~r−~r ′)

Reordenando esta ecuacion obtenemos finalmente, la ecuacion de Ornstein-Zernike:

h(~r ,~r ′) = C2(~r ,~r′) +

Zd3r ′′ρo(~r ′′)h(~r ,~r ′′)C2(~r

′′,~r ′)

Finalmente notemos que la energıa potencial total del sistema se puede escrir como:Xi<j

U(~ri −~rj ) =1

2

Zd3rd3r ′〈ρ(~r)ρ(~r ′)− ρ(~r)δ(~r −~r ′)〉U(~r ,~r ′)

Como el promedio dentro de la integral es n2(~r ,~r ′), al reemplazar esta expresion en Ω,considerada como un funcional de U, obtenemos:

n2(~r ,~r′) = 2

δΩ

δU(~r ,~r ′)

MODELO DE ISING DE DOS DIMENSIONES

La solucion del modelo de Ising en una dimension se hizo mediante el uso de la matrizde transferencia. Ahora plantearemos el tratamiento de modelo en una dimension atraves de otro procedimiento que nos dara una guıa para una extension al casobidimensional. Seguiremos el procedimiento propuesto en el trabajo de T.D. Schultz,D.C. Mattis, E.H. Lieb, Rev. Mod. Physics 36, 856 (1964).

1 dimension

Partimos, de nuevo del Hamiltoniano:

H = −JNX

i=1

σiσi+1 − hX

i

σi

y escribimos la funcion particion en la siguiente forma:

Z =Xσ

(eβhσ1 eKσ1σ2 )(eβhσ2 eKσ2σ3 ) · · · (eβhσN eKσN σ1 )

donde K = βJ y hemos impuesto condiciones de borde periodicas.

Ahora introducimos una base ortonormal

|+ 1〉 =

(10

); | − 1〉 =

(01

)y las matrices de Pauli:

σz =

(1 00 −1

); σ+ =

(0 10 0

); σ− =

(0 01 0

); e I =

(1 00 1

)

Entonces tenemos:

〈+1|σz |+ 1〉 = 1 〈−1|σz | − 1〉 = −1 〈±1|σz | ∓ 1〉 = 0

〈+1|I|+ 1〉 = 1 〈−1|I| − 1〉 = 1 〈±1|I| ∓ 1〉 = 0

Si definimos V1 = eβhσz y usamos la relaciones σ2nz = I, σ2n+1

z = σz ,expandiendo en series de Taylor:

V1 = eβhσz = I + βhσz +12!

(βh)2I +13!

(βh)3σz + · · ·

obtenemos:

〈+1|V1|+ 1〉 = eβh 〈−1|V1| − 1〉 = e−βh

Ahora definimos:

V2 = eK I + e−Kσx

y usando

〈+1|σx |+ 1〉 = 〈+1|σ+ + σ−|+ 1〉 = 〈+1|(

0 11 0

)|+ 1〉 = 0

〈−1|σx | − 1〉 = 0

〈±1|σx | ∓ 1〉 = 1

obtenemos:

〈+1|V2|+ 1〉 = 〈−1|V2| − 1〉 = eK

〈+1|V2| − 1〉 = 〈−1|V2|+ 1〉 = e−K

Ahora escribimos V2 como:

V2 = eK I + e−Kσx = A(K )eK∗σx

donde las constantes A(K ) y K ∗ se determinan de :

A cosh K ∗ = eK A senh K ∗ = e−K

Estas ecuaciones se obtienen de la relacion:

eK∗σx = I cosh K ∗ + σx senh K ∗

la cual a su vez es consecuencia de σ2x = 1

Por lo tanto:

tanh K ∗ = e−2K A =√

2 senh 2K

Por lo tanto, con µi = ±1 y recordando que 〈µi |V1|µj〉 = 0 para i 6= j ,podemos escribir:

Z =X

µ=±1

〈µ1|V1|µ2〉〈µ2|V2|µ3〉〈µ3|V1|µ4〉〈µ4|V2|µ5〉 · · · 〈µ2N−1|V2|µ2N〉〈µ2N |V2|µ1〉

oZ = Tr (V1V2)

N = Tr (V 1/22 V1V 1/2

2 )N = λN1 + λN

2

donde λ1 y λ2 son los valores propios del operador:

V = V 1/22 V1V 1/2

2 =√

2 senh 2K eK∗σx /2eβhσz eK∗σx /2

De aquı obtenemos, para el caso h = 0, los valores propios λ1 = A exp(K ∗)

y λ2 = A exp(−K ∗), con lo cual se recuperan los resultados anteriores.

2 dimensiones

En el problema en dos dimensiones, para una matriz de M ×M escribimos elHamiltoniano, separado en filas (r ) y columnas (c):

H = −JXr,c

σr,cσr+1,c − JXr,c

σr,cσr,c+1

con las condiciones de borde periodicas:

σr+M,c = σr,c+M = σr,c

Ahora introducimos los estados bases:

|µ〉 = |µ1, µ2, . . . µM〉correspondientes a la 2M orientaciones en una columna. Introducimos tambien lasmatrices de Pauli:

σjz |µ1, µ2, . . . , µM〉 = µj |µ1, µ2, . . . µj . . . , µM〉

σ+j |µ1, µ2, . . . , µM〉 = δµj ,−1|µ1, µ2, . . . µj + 2 . . . , µM〉

σ−j |µ1, µ2, . . . , µM〉 = δµj ,+1|µ1, µ2, . . . µj − 2 . . . , µM〉

Las cuales cumplen [σjα, σmβ ] = 0 para j 6= m. Ahora, con K = βJ, la funcionparticion esta dada por:

Z =Xσ

exp

24KXr,c

σr,cσr+1,c + KXr,c

σr,cσr,c+1

35Entonces usando los estados bases anteriores podemos escribirla como:

Z =X

µ1,µ2,···µM

〈µ1|V1|µ2〉〈µ2|V2|µ3〉〈µ3|V1|µ4〉 · · · 〈µM |V2|µ1〉

donde V1 es un operador cuyo elemento de matriz es de la forma:

exp

"KX

r

σr,cσr+1,c

#para c fijo. Por lo tanto es facil demostrar que:

V1 = exp[KX

j

σjzσj+1,z ]

y V2 es un operador cuyos elementos de matriz son del tipo:

exp

"KX

r

σr,cσr,c+1

#y usando el resultado obtenido para el modelo de Ising en 1 dimension, podemosescribir inmediatamente:

V2 =MY

j=1

(eK I + e−Kσjx ) = (2 senh 2K )M/2 expn

K∗MX

j=1

σjx

o

Ahora realizamos una rotacion σjz → −σjx y σjx → σjz , ∀j y usando σjz = 2σ+j σ

−j − 1

y σjx = σ+j + σ−j obtenemos:

V1 = expn

KPM

j=1(σ+j + σ−j )(σ+

j+1 + σ−j+1)o

V2 = (2 senh 2K )M/2 expn

2K∗PMj=1(σ

+j σ

−j − 1

2 I)o

En este punto es conveniente introducir la transformacion de Jordan-Wigner queconvierte los operadores de Pauli en operadores de fermiones:

σ+j = exp

nπi

j−1Xm=1

c†mcm

oc†j

σ−j = cj expn− πi

j−1Xm=1

c†mcm

o= exp

nπi

j−1Xm=1

c†mcm

ocj

Los operadores c cumplen con las relaciones de anticonmutacion:

[cj , c†m]+ = δjm [cj , cm]+ = [c†j , c

†m]+ = 0

Se puede comprobar que esta transformacion preserva las relaciones de conmutacionde las matrices de Pauli. Por ejemplo, para k > j :

[σ−j , σ+k ] = exp

nπi

k−1Xm=j+1

c†mcm

o„cj e

πic†j cj c†k − c†k eπic†j cj cj

«

Esta relacion resulta de:cj (c

†mcm)n = cj c

†mcm(c†mcm)n−1 = c†mcmcj (c

†mcm)n−1 = (c†mcm)ncj .

Pero exp(πic†j cj )cj = cj y cj exp(πic†j cj ) = −cj . Estas relaciones se pueden probar

notando que (cj )2 = 0. Entonces la primera de estas relaciones resulta de expandir la

exponencial:

exp(πic†j cj ) =X

n

(πi)n

n!(c†j cj )

n

y notando que (c†j cj )ncj = 0 a menos que n = 0.

La segunda relacion resulta de:

cj (c†j cj )

n = cj c†j cj (c

†j cj )

n−1 = (1− c†j cj )cj (c†j cj )

n−1 = (1− c†j cj )ncj

por lo tanto:

cj exp(πic†j cj ) = exp[πi(1− c†j cj )]cj = − exp(πic†j cj )cj = −cj

entonces finalmente [σ−j , σ+k ] ∝ [c†k cj ]+ = 0

Por otra parte, de la definicion de la transformacion de Jordan-Wigner tenemos:

σ−j σ+j = cj c

†j

pero de:

[σ+j , σ

−j ]+ = 1 [c†j , cj ]+ = 1

obtenemos:

σ+j σ

−j = c†j cj


V2 = (2 senh 2K )M/2 expn

2K∗MX

j=1

(c†j cj −1

2)o

Para el calculo de V1 necesitamos algunas relaciones que se pueden demostrar:Para m < M:

σ+j σ

−j+1 = c†j cj+1

σ+j σ

+j+1 = c†j c†j+1

σ+j σ

−j+1 = −cj cj+1

Ası para una red con extremos libres tendrıamos:

V1 = exp

24KMX

j=1

(c†j − cj )(c†j+1 + cj+1)

35Para el caso de condiciones de borde periodicas debemos tratar el termino que acoplalas columnas M y 1, en la siguiente forma:

(σ+M + σ−M )(σ+

1 + σ−1 ) = expnπiPM−1

j=1 c†j cj

o(c†M + cM)(c†1 + c1)

= expnπiPM

j=1 c†j cj

oeπic†M cM (c†M + cM)(c†1 + c1)

= (−1)n(cM − c†M)(c†1 + c1)

donde hemos utilizado: eπic†k ck c†k = −c†k y eπic†k ck ck = ck . Aquı n =P

j c†j cj es eloperador del numero total de fermiones. El operador (−1)n conmuta con V1 y con V2.De esta manera podemos eescribir para el caso de condiciones de borde periodicas:

V1 = exp K

24 MXj=1

(c†j − cj )(c†j+1 + cj+1) + (−1)n(cM − c†M)(c†1 + c1)

35

o tambien como:

V1 = exp K

24 MXj=1

(c†j − cj )(c†j+1 + cj+1)

35con las siguientes condiciones de borde para los operadores c’s:

cM+1 = −c1, c†M+1 = −c†1 paran par

cM+1 = c1, c†M+1 = c†1 paran impar

Ası es necesario tratar en forma separada el caso de un numero par de fermiones delcaso de un numero impar de fermiones.Entonces, al igual que en el caso unidimensional, para el calculo de la funcionparticion es necesario diagonalizar la matriz V 1/2

2 V1V 1/22 , es decir productos de tres

exponenciales de formas cuadraticas de operadores de fermiones. Esta operacion sesimplifica a traves de una transformacion canonica que toma en cuenta la simetrıatranslacional de los operadores V1 y V2:

aq =1√

M

MXj=1

cj e−iqj

a†q =1√

M

MXj=1

c†j eiqj

y

cj =1√

M

MXq=1

aqeiqj

c†j =1√

M

MXq=1

a†qe−iqj

con q = πj/M y

j = ±1,±3, · · · ,±(M − 1) paran par

j = 0,±2,±4, · · · ,±(M − 2),M paran impar

a fin de preservar las condiciones de borde anteriores de los operadores c’s.Se puede demostrar facilmente que los operadores aq y a†q reproducen las relacionesde conmutacion de fermiones. Ahora substituımos estas transformaciones en lasexpresiones para V1 y V2 y obtenemos para n par:

V1 = exp

8<:2KXq>0

hcos q(a†qaq + a†−qa−q)− i sen q(a†qa†−q + aqa−q)

i9=; =Yq>0

V1q

V2 = (2 senh 2K )M/2 exp

8<:2K∗Xq>0

ha†qaq + a†−qa−q − 1

i9=; = (2 senh 2K )M/2Yq>0

V2q

Para n impar necesitamos:

V10 = exph2Ka†0a0

iV20 = exp

»2K∗(a†0a0 −

1

2)

–V1π = exp

h−2Ka†0a0

iV2π = exp

»2K∗(a†πaπ −

1

2)

–Ahora procedemos a calcular los valores propios del operador:

Vq = V 1/22q V1qV 1/2

2q

para q 6= 0, π. Ya que tratamos de fermiones, es facil darse cuenta que necesitamossolo cuatro estados:

|0〉, a†q |0〉, a†−q |0〉, a†qa†−q |0〉

donde |0〉 es el estado con cero partıculas, definidos por aq |0〉 = 0.

dα

dK|0〉+

dβ

dK|2〉 = 2

hcos q(a†qaq + a†−qa−q)− i sen q(a†qa†−q + aqa−q)

i× [α(K )|0〉+ β(K )|2〉]= 2iβ sen q|0〉+ [4β cos q − 2iα sen q]|2〉

y obtenemos las ecuaciones diferenciales para α y β:

dα

dK= 2iβ sen q

dβ

dK= 4β cos q − 2iα sen q

las que pueden ser resueltas con las condiciones de borde α(0) = 1 y β(0) = 0,obteniendo como resultado:

α(K ) = e2K cos q [2K cosh 2K − senh 2K cos q] β(K ) = −ie2K cos q senh 2K sen q

Ası tenemos 〈0|V1q |0〉 = α(K ) y 〈2|V1q |0〉 = β(K ). En forma similar podemosobtener:

〈2|V1q |2〉 = e2K cos q [2K cosh 2K + senh 2K cos q] 〈0|V1q |2〉 = β∗(K )

Finalmente la matriz a diagonalizar es:

Vq =

„exp(−K∗) 0

0 exp(K∗)

«ˆV1q˜„exp(−K∗) 0

0 exp(K∗)

«Vq se puede escribir como:

Vq = exp(2K cos q)

„Aq CqCq Bq

«(8)

y sus valores propios, como:

λ±q = exp(2K cos q)1

2(Aq + Bq)± [(

1

2(Aq − Bq))2 + C2

q ]1/2 = exp[2K cos q ± ε(q)]

donde

Aq = exp(−2K∗)(cosh K + senh K cos q)2

Bq = exp(−2K∗)(senh K sen q)2 + exp(2K∗)(cosh K − senh K cos q)2

Cq = 2 senh K sin q(cosh 2K∗ cosh K − senh 2K∗ senh K cos q)

y ε(q) es la raız positiva de:

cosh ε(q) = cosh 2K cosh 2K∗ + cos q senh 2K senh 2K∗

los vectores propios respectivos, pertenecientes a los signos + y − de la ecuacionanterior son los siguientes:

Ψ0 = cosφqΦ0 + senφqΦ−qq

Ψ−qq = − senφqΦ0 + cosφqΦ−qq

donde tan 2φq = Cq/(Bq − Aq).

Es posible simplificar la expresion para Vq mediante una transformacion tipoBogoliubov-Valatin, usada en una version simplificada de la teorıa de lasuperconductividad de BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957):

ξq = cosφqaq + senφqa†−q , ξ−q = cosφqa−q − senφqa†q

Es facil verificar que los cuatro vectores propios estan definidos por:

ξqΨ0 = ξ−qΨ0 = 0; Φq = Ψq = ξ†qΨ0; Φ−q = Ψ−q = ξ†−qΨ0; Φ−qq = ξ†−qξ†qΨ0

y Vq queda como:

Vq = exp(2K cos q) exp[−ε(q)(ξ†qξq + ξ†−qξ−q − 1)]

Los casos q = 0 y q = π los podemos incorporar a esta notacion si definimos:

φ0 = 0 y ε(0) = 2(K∗ − K )

φπ = 0 y ε(π) = 2(K∗ + K )

de modo que:

V0Vπ = exp[2K (cos 0 + cosπ)] exp[−ε(0)(ξ†0ξ0 −1

2)− ε(π)(ξ†πξπ −

1

2)]

Ası es posible escribir:

V± = (2 senh 2K )M/2 exp[−X

ε(q)(ξ†qξq −1

2)]

donde la suma es sobre −π ≤ q ≤ π y nos aprovechamos de la relacion,πX

q=−π

cos q = 0

En esta ultima expresion los signos ± corresponden a un numero par de partıculas,V+ y a un numero impar de partıculas, V−. Se puede demostrar que los mas grandesvalores propios de V+ y V− son exponencialmente degenerados para M →∞ y tieneel valor:

Λ0 = (2 senh 2K )M/2 exp„

M

4π

Z π

−πε(q)dq

«

La funcion particion esta dada por la M−esima potencia de Λ0:

Z = ΛM0 y F = −

1

M2log Z = −

1

MkBT log Λ0

F = −kBT»

log(2 senh 2K )1/2 +1

4π

Z π

−πε(q)dq

–

FUNCIONES TERMODINAMICAS

Recordando la definicion de K∗, cosh 2K∗ = coth 2K y podemos escribir la definicionde ε(q) como:

cosh ε(q) = cosh 2K coth 2K + cos q

Ahora consideramos la funcion:

f (x) =1

2π

Z 2π

0dφ log(2 cosh x + 2 cosφ)

derivando c/r a x y evaluando la integral por integracion de contorno obtenemos:

df (x)

dx= sgn(x) → f (x) = |x |

por lo tanto haciendo x = ε(q) obtenemos una representacion integral para ε(q):

ε(q) =1

π

Z π

0dφ log[2 cosh 2K coth 2K + 2 cos q + 2 cosφ]

Ahora consideramos la integral que necesitamos en la expresion de la energıa libre F ,la cual la llamamos:

I =1

2π

Z π

0ε(q)dq =

1

2π2

Z π

0dqZ π

0dφ log[2 cosh 2K coth 2K + 2 cos q + 2 cosφ]

Haciendo un cambio de variable x = (q − φ)/2 y y = (q + φ)/2, podemos escribir:

I =1

π2

Z π

0dyZ π/2

0dx log(2 cos x) +

1

π2

Z π

0dyZ π/2

0dx

× log»

cosh 2K coth 2K

cos x+ 2 cos y

–=

1

π

Z π/2

0dx log(2 cos x) +

1

π

Z π/2

0dx cosh−1

»cosh 2K coth 2K

2 cos x

–

=1

2log(2 cosh 2K coth 2K ) +

1

π

Z π

0log

1 +q

1− ζ2(K ) sin2 θ

2dθ

donde hemos usado la identidad cosh−1 x = log[x +p

x2 − 1] y

ζ(K ) =2 senh 2K

cosh2 2KAsı obtenemos finalmente la energıa libre:

F = − log(2 cosh 2K )−1

π

Z π/2

0dθ log

1 +q

1− ζ2(K ) sin2 θ

2El grafico siguiente muestra la funcion ζ(K ) que tiene un maximo ζ = 1 ensenh 2K = 1. Este valor de K marca el punto de transicion, como se vera masadelante y la temperatura de transicion esta definida por:

senh2J

kBTc= 1

0 0.5 1 1.5 2

K0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ζ

La energıa interna esta dada por:

u(T ) =dβF

dβ= −J coth 2K

»1 +

1

π(2 tanh2 2K − 1)K1(ζ)

–donde:

K1(ζ) =

Z π/2

0

dφq1− ζ2 sin2 φ

es la integral elıptica completa de primera clase.

La energıa interna es contınua en ζ → 1 ya que en este punto 2 tanh2 2K − 1 → 0. Elcalor especıfico se puede obtener diferenciando u c/r a T :

c(T ) =4kB

π(K coth 2K )2

nK1(ζ)− E1(ζ)− (1− tanh2 2K )

hπ2

+ (2 tanh2 2K − 1)K1(ζ)io

donde

E1(ζ) =

Z π/2

0dφq

1− ζ2 sin2 φ

es la integral elıptica completa de segunda clase.

Se puede demostrar que cuando ζ → 1, i.e. T → Tc el calor especıfico tiende a:

c(T ) = −2kB

π

„2J

kBTc

«2

log

˛1−

T

Tc

˛+ const.

Tc

c(T)

T

Bethe

BraggWilliams

El calculo de la magnetizacion espontanea es una extension no trivial de este calculo ypuede ser encontrada en el paper de Schultz et al. indicado anteriormente. Elresultado es:

m(T ) =

»1−

1

16(1− tanh2 K )4/ tanh4 K

–1/8

para T < Tc

y m(T ) = 0 para T > Tc .

Cerca de Tc la magnetizacion espontanea se comporta como:

m(T ) ' (Tc − T )1/8

es decir el exponente es β = 1/8 y no 1/2 como en las teorıas de campo medio.El comportamiento de la susceptibilidad cerca de Tc fue publicado por primera vez porC.N. Yang en 1952, a pesar de que habıa sido mencionado anteriormente por Onsageren una conferencia:

χ(T ) ' |Tc − T |−7/4

es decir γ = 7/4, valor que debe ser comparado con el valor γ = 1 de las teorıas decampo medio.

ESCALAMIENTO

Veamos primeros algunas propiedades de las funciones homogeneas, definidas por:

F (λx) = g(λ)F (x)

De esta definicion podemos concluir que:

F (λµx) = g(λ)g(µ)F (x) = g(λµ)F (x) → g(λµ) = g(λ)g(µ)

Por lo tanto:

∂

∂µg(λµ) = λg′(λµ) = g(λ)g′(µ)

donde g′(x) = ∂g(x)/∂x .

Si hacemos µ = 1 y g′(1) = p, tenemos λg′(λ) = pg(λ), i.e.:

dg

g= p

dλ

λ

e integrando entre 0 y 1:

g = λp

es decir F (λx) = λpF (x). Ahora si hacemos λ = x−1:

xpF (1) = F (x)

es decir una funcion homogenea depende de una potencia de x . Para una funcionhomogena de varias variables:

F (λpx , λqy) = λF (x , y)

si hacemos λ = y−1/q :

F (x , y) = y1/qF (x

y1/q, 1)

ESCALAMIENTO DE WIDOM.

Supongamos que podemos separar la energıa libre de un sistema magnetico en dosterminos:

g(T , ~B) = gr (T , ~B) + gs(ε, ~B)

donde gr representa la parte regular y gs la parte singular, en que ε = (T − Tc)/Tc .consideremos gs como una funcion homogenea:

gs(λpε, λqB) = λgs(ε,B)

Los exponentes crıticos pueden ser determinados como funciones de p y q. Porejemplo sabemos que:

M(ε,B = 0) ∝ (−ε)β

entonces diferenciando gs c/r a B:

λqM(λpε, λqB) = λM(ε,B)

y haciendo λ = (−ε)−1/p y B = 0, tenemos:

M(ε, 0) = M(−1, 0)(−ε)−(1−q)/p

por lo tanto β =1− q

p.

Tambien podemos determinar el exponente δ en:

M(0,B) = (sgn B)|B|1/δ

en este caso hacemos, en gs , ε = 0 y λ = B−1/q y diferenciamos c/r a B:

M(0,B) = M(0, 1)B(1−q)/q

es decir δ =q

1− q.

La susceptibilidad magnetica se comporta como:

χ =∂2g

∂B2∝(

(−ε)−γ T < Tc

ε−γ T > Tc

Diferenciamos

λqM(λpε, λqB) = λM(ε,B)

c/r a B:

λ2qχ(λpε, λqB) = λχ(ε,B)

y ahora hacemos B = 0 y λ = ε−1/p y obtenemos:

χ(ε, 0) = ε(1−2q)/pχ(1, 0)

y por lo tanto:

γ =2q − 1

pFinalmente el calor especıfico a B = const. tiene la forma:

cB = −∂2g

∂T 2∝ ε−α

por lo tanto diferenciando:

gs(λpε, λqB) = λgs(ε,B)

obtenemos:

λ2pcB(λpε, λqB) = λcB(ε,B)

y haciendo B = 0 y λ = ε−1/p, obtenemos:

cB(ε, 0) = ε−(1−2p)/pcB(1, 0)

y por lo tanto α = 2−1

pDe esta manera podemos encontrar relaciones entre los diferentes exponentes, porejemplo:

α+ β(δ + 1) = 2, γ = β(δ − 1)

y tambien podemos expresar p y q en termino de los exponentes conocidos:

p =1

β

1

δ + 1, q =

δ

1 + δ

ESCALAMIENTO DE KADANOFF.

Consideremos un modelo de Ising en d dimensiones con N spines en una redhipercubica con una separacion a entre vecinos mas cercanos. Sea s el numero devecinos de cada spin y el Hamiltoniano:

H = −JsN/2Xi 6=j

Si Sj − hNXi

Si

Ahora dividamos la red en bloques de longitud La, como se muestra en la figura, de talmodo que el numero de spines en cada bloque es Ld , el numero total de bloquesNL = NL−d y el spin total en el bloque I es:

S′I =Xi∈I

Si

Kadanoff supuso que S′I se podıa escribir como:

S′I = ZSI

con Z ' Ld y SI = ±1 y escribio un Hamiltoniano para la interaccion entre bloques:

HL = −JL

NL/2XI 6=J

SISJ − hL

NLXI

SI

donde se ha introducido una interaccion efectiva entre bloques JL y un campo efectivohL = Zh.

Como el Hamiltoniano HL tiene la misma forma funcional que H, esperamos que lasenergıas libre tambien tengan la misma forma funcional:

g(εL, hL) = Ld g(ε, h)

donde ε = (T − Tc)/Tc . En el sistema de bloques esperamos una reduccion de lalongitud de correlacion ξ y por lo tanto el reescalamiento produce un alejamiento delpunto crıtico:

ξL(εL, hL) = L−1ξ(ε, h)

La temperatura y el campo magnetico tambien debe ser reescalados. Suponemos quepara ε este tiene la forma:

εL = Lx ε donde x > 0

y para el campo:

hNXi

Si = hNLXI

Xi∈I

Si = hNLXI

S′I = hZNLXI

SI

por lo tanto,

hL = Zh = Ly h

donde y < d , ya que −Ld < Z < Ld . Entonces:

g(Lx ε, Ly h) = Ld g(ε, h)

y siguiendo la notacion que vimos en el escalamiento de Widom, tenemos que x = pd ,y = qd , es decir q < 1.

Ahora consideremos la funcion correlacion C(rL, εL, hL) = 〈SISJ〉 − 〈SI〉〈SJ〉, donde rLes la distancia entre bloques en unidades de La, entonces:

C(rL, εL, hL) = Z−2 ˆ〈S′I S′J〉 − 〈S′I 〉〈S′J〉˜

= Z−2Xi∈I

Xj∈J

ˆ〈Si Sj 〉 − 〈Si 〉〈Sj 〉

˜= Z−2L2d ˆ〈Si Sj 〉 − 〈Si 〉〈Sj 〉

˜= Z−2L2d C(r , ε, h)

Aqui r es la distancia entre los spines i y j pertenecientes a diferentes bloques, por lotanto:

rL = L−1r

por lo tanto podemos escribir:

C(L−1r , Lx ε, Ly h) = L2(d−y)C(r , ε, h)

Si elegimos L = r/a, tenemos:

C(r , ε, h) =

„r

a

«2(y−d)

C„

a, ε„

r

a

«x

, h„

r

a

«y«

En el punto crıtico ε = 0 y

C(r , 0, h) ' r2(y−d)

En las teorıas de campo medio en tres dimensiones C(r , 0, h) ' r−1. En ddimensiones C(r , 0, h) ' r−d+2, pero en una teorıa exacta esperamos uncomportamiento del tipo:

C(r , 0, h) ' r−d+2−η


d − 2 + η = 2(d − y) = 2d(1− q)

y usando otra vez los resultados de Widom:

η = 2− dδ − 1

δ + 1= 2−

dγ

2β + γ

Consideremos ahora la longitud de correlacion ξ que tiene una dependencia de latemperatura de la forma ξ = (T − Tc)

−ν . En un ejemplo anterior vimos que la funcioncorrelacion depende de la combinacion de r y ξ en la forma r/ξ = rεν , pero en laexpresion anterior vemos que esta dependencia es εr x , por lo tanto concluımos que:

x = pd = ν−1 νd = 2− α

Ası el escalamiento de Kadanoff permite encontrar nuevas identidades entre losexponentes crıticos.

GRUPO DE RENORMALIZACION

TRATAMIENTO DEL MODELO DE ISING EN UNA DIMENSION.

Consideremos nuevamente el Hamiltoniano, con condiciones de borde periodicas, i.e.σN+1 = σ1:

H′ = −JNXi

σiσi+1 − h′X

i

σi

Trabajaremos con −βH′ = H;

H = KNXi

σiσi+1 + hX

i

σi

donde K = βJ y h = βh′. Ahora consideremos la funcion particion:

Z = Tr eH =Xσ

eH =Xσ

exp

8<:NX

i=1

»Kσiσi+1 +

h

2(σi + σi+1)

–9=;Supongamos que N es par y separemos ahora los ındices pares de los impares:

Xσ

eH =X

σ2=±1

Xσ4=±1

· · ·X

σN =±1

24 Xσ1=±1

Xσ3=±1

· · ·X

σN−1=±1

eH

35y realizamos las sumatorias de los ındices impares dentro del parentesis. Por ejemploel unico termino que involucra σ1 se puede calcular como:X

σ1=±1

eKσ1(σN +σ2)+hσ1 = 2 cosh[K (σN + σ2) + h]

este termino depende solo de σ2 y σN y en toda la expresion de Z estos dos spinesaparecen ademas como el factor exp[h(σ2 + σN)/2], i.e. el factor que incluye σ2 y σNes:

2eh(σ2+σN )/2 cosh[K (σN + σ2) + h] = e[2g+K ′σN σ2+ 12 h′(σ2+σN )]

donde:

K ′ =1

4log

cosh(2K + h) cosh(2K − h)

cosh2 h

h′ = h +1

2log

cosh(2K + h)

cosh(2K − h)

g =1

8log[16 cosh(2K + h) cosh(2K − h) cosh2 h]

Estas ultimas expresiones se pueden deducir usando todos los valores posibles de σ2y σN . Todos los demas terminos dentro de parentesis cuadrado daran resultadossimilares, e.g. la suma c/r a σ3 nos da un termino similar donde σN se cambia por σ2 yσ2 por σ4, y por lo tanto la contribucion total del parentesis cuadrado es:

Xσ1,...σN−1

eH = exp

"Ng + K ′

Xi

σ2iσ2i+2 + h′X

i

σ2i

#De esta forma la funcion particion se puede escribir como una suma en la aparecensolo los ındices pares:

Z =X

σ2=±1

Xσ4=±1

· · ·X

σN =±1

exp

"Ng + K ′

Xi

σ2iσ2i+2 + h′X

i

σ2i

#Aquı vemos que hemos reemplazado el problema original de N spines por otro de N/2spines con una nueva constante de intercambio K ′ y un nuevo campo magnetico h′.Estas son las constantes renormalizadas cuya relacion con las constantes originalesestan dadas por las relaciones anteriores. De esta manera tenemos que la funcionparticion cumple con la ecuacion:

Z (N,K , h) = eNg(K ,h)Z (N

2,K ′, h′)

y la energıa libre:

−βG(N,K , h) = log Z (N,K , h) = Ng(K , h) + log Z (N/2,K ′, h′)

Este proceso se puede continuar indefinidamente:

−β

NG(N,K , h) = f (K , h) = g(K , h)+

1

2g(K ′, h′)+

1

4g(K ′′, h′′)+· · · =

∞Xn=0

(1

2)ng(Kn, hn)

Veamos ahora como se comporta K bajo sucesivas iteraciones con h = 0, en estecaso tenemos:

K ′ =1

2log cosh 2K

El caso K = K ′ se cumple para K = 0 y K = ∞Estos son los llamados puntos fijos, ya que una renormalizacion deja el valor de Kinvariante. Partiendo de un K finito, sucesivas renormalizaciones haran K maspequeno y al final llegara al valor cero. El flujo en el espacio de constante deintercambio nos lleva a un sistema de partıculas no interactuante. El punto K = 0 esestable porque partiendo de cualquier desviacion de este punto, las sucesivasrenormalizaciones nos llevara nuevamente a el.

Por otra parte K = ∞ es inestable, porque cualquier desviacion de el producira unflujo hacia K = 0.Para h = 0 tenemos que:

g(K , 0) =1

2log 2 +

1

4log cosh 2K

por lo tanto g(K , 0) tiende a 12 log 2. Ahora supongamos que despues de n

renormalizaciones podemos despreciar el termino 14 log cosh 2K entonces:

Nf (K , 0) = NnX

j=0

2−j g(Kj , 0) +N

2n+1log 2

Asıel ultimo termino representa la entropıa de las N/2n+1 partıculas que quedandespues de n renormalizaciones, y que son efectivamente no interactuantes.

El campo efectivo crece con cada renormalizacion. Esto se puede ver de :

∂h′

∂h= 1 +

1

2

»senh(2K + h)

cosh(2K + h)+

senh(2K − h)

cosh(2K − h)

–> 1 ∀ K finito

Ası mientras K disminuye a cero h′ crece.

CALCULO DE LOS EXPONENTES CRITICOS

Supongamos que tenemos un Hamiltoniano mas general que el modelo de Ising, de laforma:

H(K, Si,N) = K0 + K1

Xi

Si + K2

X(i,j)

Si Sj + K3

X(i,j,k)

Si Sj Sk · · ·

donde se pueden incluir solo interacciones a vecinos mas cercanos o extenderla avecinos mas lejanos. Aquı K es un vector que tiene como componentes las distintasconstantes Ki . Para el modelo de Ising usual K1 = −βh y K2 = −βJ, para vecinosmas cercanos y todas las demas constantes son iguales a 0.La funcion particion se puede escribir como suma sobre spines o sobre bloques:

Z (K,N) =X

i

exp[−H(K, Si,N)] =X

I

Xi∈I

exp[−H(K, Si,N)]

=X

I

exp[−H(KL, SI,NL−d )] = Z (KL,NL−d )

Tambien podemos relacionar las energıas libres:

g(K) = lımN→∞

1

Nlog Z (K,N) = lım

N→∞

1

Nlog Z (KL,NL−d ) = L−d g(KL)

En una iteracion en el proceso de renormalizacion las constantes K son reemplazadaspor KL definidas a traves de una transformacion no-lineal:

KL = T(K)

Ası despues de n iteraciones encontramos:

KnL = T(K(n−1)L)

Como hemos visto anteriormente, si no estamos en el punto crıtico, al realizar unatransformacion a bloques mas grandes, la longitud de correlacion efectiva decrece y elsistema se aleja del punto crıtico. Sin embargo si el sistema esta en el punto crıtico lalongitud de correlacion es infinito y nos encontramos en un punto fijo. Ası el puntocrıtico se caracteriza por la relacion:

K∗ = T(K∗)

Para ilustrar el flujo en el espacio de K, cerca del punto crıtico, consideremos el casode un vector bidimensional K = (K1,K2), donde el punto fijo ocurre en K∗ = (K∗

1 ,K∗2 ).

Entonces muy cerca del punto fijo linearizamos la transformacion para δK = K − K∗ yobtenemos:

δKL = ¯AδK

donde la matriz ¯A esta dada por:

¯A =

∂K1L∂K1

∂K1L∂K2

∂K2L∂K1

∂K2L∂K2

!Ahora debemos encontrar los valores propios de ¯A, entonces en termino de losvectores propios, tenemos:

δuL = Λδu

donde

Λ =

„λ1 00 λ2

«y

δu =

„δ1δ2

«Ası al aplicar n renormalizaciones los puntos K se moveran por las curvas definidaspor:

δunL,1 = (λ1)nδu1

δunL,2 = (λ2)nδu2

que llamamos curvas propias.

Por lo tanto para λ > 1 el punto se aleja del punto fijo y para λ < 1 se acerca al puntofijo. El figura siguiente se ilustra este comportamiento.

u 1

u2

K1

K2

Todos los sistemas que se encuentran en una una curva propia y tienen λ < 1 soncrıticos ya que en una secuencia de transformaciones se iran acercandoseindefinidamente al punto crıtico. Lo contrario sucede con la curva propia con λ > 1.Como vimos anteriormente, la energıa libre en terminos de los vectores propios y losvalores propios se puede escribir como:

g(δu1, δu2) = L−d g(λ1δu1, λ2δu2)

pero del escalamiento de Widom habıamos obtenido:

g(ε, h) =1

λg(λpε, λqh)

donde hemos identificado: δu1 = ε y δu2 = h. Por lo tanto comparando las dosexpresiones:

λ = Ld ; λ1 = (Ld )p; λ2 = (Ld )q

y por lo tanto:

p =logλ1

d log L; q =

logλ2

d log L

Ası tenemos los exponentes crıticos en termino de los valores propios.

EJEMPLO. RED TRIANGULAR.

Consideremos una red triangular de dos dimensiones, que ha sido dividida en bloquesde tres spines como se muestra en la figura.

La distancia entre spines es a y entre bloques La =√

3a. La funcion particion es:

Z (K, h,N) =XSi

exp[−H(K, Si)]

donde:

H(K, Si) = −KXi 6=j

Si Sj − hX

i

Si

y el vector de constantes de acoplamiento es K = (−K ,−h).Al transformar a bloques de spines definimos:

SI = sgn(SI1 + SI

2 + SI3)

donde SIi es el spin i del bloque SI . Ası SI = ±1. Ahora para cada valor de SI hay

cuatro grados de libertad internos por bloques que designamos por la letra α:

(α = 1) ↓↑↑; (α = 2) ↑↓↑; (α = 3) ↑↑↓; (α = 4) ↑↑↑Estos grados de libertad internos los expresamos por:

σαI = |SI

1 + SI2 + SI

3|y la funcion particion del sistema de bloques lo escribimos como:

Z (K,N) =XSI ,σI

exp[−H(K, SI , σI)]

Ası el Hamiltoniano de bloques queda definido por la relacion:

exp[−H(KL, SI)] =XσI

exp[−H(K, SI , σI)]

Notese que Z0 se calcula para una configuracion SI fija. Es decir la sumaP

σIse

realiza para todos los posibles valores de los spines en un bloque que seancompatibles con el valor ± de SI .Para tratar el Hamiltoniano de bloques sera necesario separar el Hamiltoniano originalen dos terminos:

H(K, SI , σI) = H0(K, SI , σI) + V (K, SI , σI)donde H0 no incluye interacciones entre bloques:

H0(K, SI , σI) = −KX

I

Xi∈I

Xj∈I

Si Sj

pero V si incluye interacciones entre bloques:

V (K, SI , σI) = −KXI 6=J

Xi∈I

Xj∈J

Si Sj − hX

I

Xi∈I

Si

Ahora introduzcamos la siguiente definicion de valor expectacion:

〈ASi〉 =

PσI exp[−H0(K, SI , σI)]ASi , σiP

σI exp[−H0(K, SI , σI)]Entonces la definicion de H(KL, SI) se puede escribir como:

exp[−H(KL, SI)] =XσI

exp[−H0(K, SI , σI)] exp[−V (K, SI , σI)]

= 〈eV 〉XσI

exp[−H0(K, SI , σI)]

El primer factor del lado derecho de esta expresion corresponde a una suma sobre losspines internos de cada bloque:X

σI

exp[−H0(K, SI , σI)] = [Z0(K)]M

y

Z0(K) =XσI

exp[K (SI1SI

2 + SI2SI

3 + SI3SI

1)] = 3e−K + e3K

El segundo factor es mas complicado y el tratamiento usual es a traves de unaexpansion en cumulantes (ver Apendice).

〈eV 〉 = exp[〈V 〉+1

2(〈V 2〉 − 〈V 〉2) + · · · ]

Supongamos que solo tomamos el primer termino de esta expansion. Entonces laenergıa de interaccion entre bloques es de la forma (ver figura)

VIJ = −KSJ3 (SI

1 + SI2) = −2KSJ

3 SI1

1 2

3

1 2

3

J

I

Y como el valor de expectacion esta definido sobre H0, que no acopla diferentesbloques:

〈V 〉 = −2KXI 6=J

〈SJ3 〉〈S

I1〉 − h

XI

Xi∈I

〈SIi 〉 = −2K

XI 6=J

〈SJ3 〉〈S

I1〉 − 3h

XI

〈SI1〉

Pero,

〈SJ3 〉 = Z−1

0

XσJ

SJ3 exp[K (SJ

1 SJ2 + SJ

2 SJ3 + SJ

3 SJ1 )]

= Z−10 SJ(e3K + e−K )

Esta ultima expresion resulta de expandir la sumatoria para cada valor de SJ . Porejemplo para la combinacion

↓↑↑ ↑↓↑ ↑↑↓ ↑↑↑obtenemos:

XσJ

SJ3 exp[K (SJ

1 SJ2 + SJ

2 SJ3 + SJ

3 SJ1 )] = +1e−K + 1e−K − 1e−K + 1e3K = (e3K + e−K )

Pero para la combinacion

↓↓↑ ↑↓↓ ↓↑↓ ↓↓↓que corresponde a SJ = −1 obtenemos

〈SJ3 〉 = −(e3K + e−K )

El mismo resultado se obtendra para 〈SJ1 〉 y 〈SJ

2 〉

Por lo tanto:

〈VIJ〉 = −2K

e3K + e−K

3e−K + e3K

!2

SISJ

Finalmente de la definicion de H(KL, SI), obtenemos:

H(SI ,KL, hL) = M log Z0 + 〈V 〉+1

2[〈V 2〉 − 〈V 〉2] + · · ·

= M log Z0 −XI 6=J

2K

e3K + e−K

3e−K + e3K

!2

SISJ −X

I

3

e3K + e−K

3e−K + e3K

!hSI

Vemos que las constantes de acoplamiento para el sistema de bloques es tan dadaspor:

KL = 2K

e3K + e−K

3e−K + e3K

!2

hL = 3h

e3K + e−K

3e−K + e3K

!

Los puntos fijos aparecen en h∗ = 0, K∗1 = 0, que corresponde a Tc = ∞ o para

h∗ = 0 y la solucion de:

2

e3K + e−K

3e−K + e3K

!2

= 1

cuya valor es:

K∗2 =

1

4log(1 + 2

√2) = 0,34

De la linearizacion de la transformacion cerca de K∗2 , obtenemos:

∂KL∂K

∂KL∂h

∂hL∂K

∂hL∂h

!K=K∗

2 ,h=0

=

„1,62 0

0 2,12

«

es decir λ1 = 1, 62 y λ2 = 2,12, esto nos da p = log 1,62/2 log 1,73 = 0,44 yq = log 2,12/2 log 1,73 = 0,68. De aquı obtenenos α = −0,27 y δ = 2,1, lejos de losvalores exactos αexacto= 0 y δexacto= 15,0.

Si retenemos los ternimos de segundo orden, 12 [〈V 2〉 − 〈V 〉2] es posible mejorar este

resultado. Este segundo cumulante requiere interacciones de mas largo alcance quevecinos mas cercanos y su tratamiento es mas complicado que el primer cumulante.En esta aproximacion se encuentra que el valor propio relevante es λ1 = 1,778 el queda α = 0,081, mas cerca del valor exacto.

Ahora veamos un metodo similar al anterior, pero con algunospequenos cambios. Consideremos de nuevo el Hamiltoniano de Isingen la red triangular anterior, el cual lo dividimos en dos partes:

H(K ,h) = Ho(K ,h, SI , σI)) + V (K , SI , σI))donde

Ho(K ,h, SI , σI)) = −∑

I

[K (SI

1SI2 + SI

2SI3 + SI

3SI1) + h(SI

1 + SI2 + SI

3)]

=∑

I

H0I

involucra solamente spines dentro de cada bloque I, mientras que Vacopla spines de diferentes bloques:

V (K , SI , σI) = −K∑I 6=J

∑i∈I

∑j∈J

SiSj

Nuevamente definimos el Hamiltoniano de bloques como:

exp[−H(KL,hL, SI)] = 〈eV 〉∑σI

exp[−H0(K ,h, SI , σI)] = 〈eV 〉Z0

Notese que el valor de Z0 depende del valor de SI , , por lo que lasuma

∑σI

se realiza para todos los posibles valores de los spines enun bloque que sean compatibles con el valor ± de SI .

Z0(HL,SI) = ΠIeA+BSI

Para calcular estos promedios debemos considerar lascontribuciones de terminos que vienen de las siguientesconfiguraciones:

conf S I H0I

=======================↑↑↑ 1 3K + 3h↓↑↑ 1 −K + h↑↓↑ 1 −K + h↑↑↓ 1 −K + h↑↑↓ -1 −K − h↑↓↑ -1 −K − h↓↑↑ -1 −K − h↓↓↓ -1 3K − 3h

Ahora para calcular Z0(HL,SI) debemos igualar

eA+BSI =∑i∈I

eH0I

para cada valor de I. Entonces de la tabla anterior tenemos:

eA+B = e3K+3h + 3e−K+h

eA−B = e3K−3h + 3e−K−h

Despejando A y B encontramos:

A =12

ln[(e3K+3h + 3e−K+h)(e3K−3h + 3e−K−h)

]B =

12

lne3K+3h + 3e−K+h

e3K−3h + 3e−K−h

Para calcular 〈eV 〉, usamos como antes la expansion en cumulantes.Con el primer termino de la expansion, calculamos:

e〈V〉

donde

〈V 〉 = −K∑I 6=J

∑i∈I

∑j∈J

〈SiSj〉 = −K∑I 6=J

∑i∈I

∑j∈J

〈Si〉〈Sj〉

Ya que los promedios se toman con respecto a un Hamiltonianodesacoplados.Por ejemplo considerando la interaccion entre el spin 3 de J con losspines 1 y 2 de I como en la ultima figura:

〈V 〉 = −K (〈S3∈J〉〈S1∈I〉+ 〈S3∈J〉〈S2∈I〉)

Escribimos:

〈Si∈I〉 = C + DSI

pero

〈Si∈I(SI)〉 =1Z0

∑i∈I

Si∈IeH0

I

depende del valor de I.Por ejemplo calculemos 〈S1∈I〉, para SI = +1,

C + D =(+1)(↑↑↑) + (−1)(↓↑↑) + (+1)(↑↓↑) + (+1)(↑↑↓)

(↑↑↑) + (↓↑↑) + (↑↓↑) + (↑↑↓)

=e3K+3h + e−K+h − e−K+h + e−K+h

e3K+3h + 3e−K+h

=e3K+3h + e−K+h

e3K+3h + 3e−K+h

Igualmente para SI = −1

C − D =(−1)(↓↓↓) + (+1)(↑↓↓) + (−1)(↓↑↓) + (−1)(↓↓↑)

(↓↓↓) + (↑↓↓) + (↓↑↓) + (↓↓↑)

= −e3K−3h + e−K−h − e−K−h + e−K−h


= − e3K−3h + e−K−h


Ası obtenemos:

C =12

[e3K+3h + e−K+h

e3K+3h + 3e−K+h −e3K−3h + e−K−h


]

D =12

[e3K+3h + e−K+h

e3K+3h + 3e−K+h +e3K−3h + e−K−h


]Como estos promedios no dependen del valor de i en Si∈I , podemosconcluir que:

〈S1∈I〉 = 〈S2∈I〉 = 〈S3∈I〉para cualquier bloque I.

Juntando la informacion obtenemos:

Ng(K ,h) +H(KL,hL, SI) =13

NA(K ,h) + B(K ,h)∑

I

SI

+ 2K∑

<I,J>

(C + DSI)(C + DSJ)

Reescribiendo el Hamiltoniano como:

H(KL,hL, SI) = KL

∑<I,J>

SISJ + hL

∑I

SI

obtenemos

KL = 2KD2(K ,h)

hL = B(K ,h) + 12KC(K ,h)D(K ,h)

g(K ,h) =13

A(K ,h) + 2KC2(K ,h)

Para h = 0, la relacion de recurrencia para K es

KL = 2K(

e3K + e−K

e3K + 3e−K

)2

El mismo resultado anterior.

Lımite cl asico de la Funci on Partici on Can onica

En esta seccion se quiere demostrar la relacion:

lımh→0

Q =

Xk

e−βek

!=

1

N!h3N

Ze−βHd3p1 . . . d

3pNd3q1 . . . d3q3

N

Para esto seguiremos un procedimiento descrito por J.G. Kirkwood Phys. Rev. 44,31(1933), 45, 116(1934).Partimos del operador Hamiltoniano que definimos como:

H =~2

2m

NXi=1

∇2i + U(~r1 . . .~rN)

y la funcion particion:

Q =X

j

Zφ∗j e−βHφj d

3r (a)

donde d3r es una abreviacion para dx1dy1dz1 . . . dzN . Las funciones φj = φj (~r1 . . .~rN)son funciones propias de H. Primero hacemos una transformada de Fourier que nospermite escribir (a) como una integracion sobre el espacio de momentos. Usamos lafunciones propias de ∇j , ∇j uj = ~pj uj :

uj (~p1 . . . ~pN) = exp»

i

~X

~pk ·~rk

–luego,

φj (~r1 . . .~rN) =

ZAj (~p1 . . . ~pN) exp

»i

~X

~pk ·~rk

–d3p1 . . . d

3pN

Ahora invertimos esta relacion para obtener:

Aj (~p1 . . . ~pN) =1

(2π~)3N

Zφj (~r1 . . .~rN) exp

»−

i

~X

~pk ·~rk

–d3r1 . . . d

3rN

substituyendo en (a):

Q =X

j

Zφ∗j (~r1 . . .~rN) exp

»−

i

~X

~pk ·~rk

–e−βHd3p1 . . . d

3rN

=1

h3N

Z 8<:Xj

φ∗j (~r1 . . .~rN)φj (~r′1 . . .~r

′N)

9=; exp»−

i

~X

~pk ·~r ′k

–

× e−βH exp»

i

~X

~pk ·~rk

–d3p1 . . . d

3r1 . . . d3r ′1 . . . d

3r ′N

El parentesis de llave corresponde la delta de Dirac δ(~r1 −~r ′1, . . . ,~rN −~r ′N), por lo quela expresion anterior se reduce a:

Q =1

h3N

Zexp

»−

i

~X

~pk ·~rk

–e−βH exp

»i

~X

~pk ·~rk

–d3p1 . . . d

3rN

En la expresion anterior el orden de los factores es importante porque ∇2i no conmuta

con los uj .Esta expresion para Q tiene la forma deseada, excepto que contiene el operadorcuantico H en vez de la variable clasica H. Kirkwood introdujo la funcionw(~p1 . . .~rN , β), definida por:

e−βH exp»

i

~X

~pk ·~rk

–= e−βH exp

»i

~X

~pk ·~rk

–w(~p1 . . .~rN , β) = F (~p1 . . .~rN , β)

(b)A fin de determinar la funcion w(~p1 . . .~rN , β), escribimos una ecuacion diferencial paraF (~p1 . . .~rN , β):

∂F

∂β=

∂

∂βe−βH exp

»i

~X

~pk ·~rk

–=

∂

∂β

„1− βH+

β2

2H2 + . . .

«exp

»i

~X

~pk ·~rk

–= −HF

Esta ecuacion cumple con la condicion de borde:

F (~p1 . . .~rN , β = 0) = exp»

i

~X

~pk ·~rk

–Ahora expandimos w(~p1 . . .~rN , β) en potencias de ~:

w(~p1 . . .~rN , β) =∞X

`=0

~`w`(~p1 . . .~rN , β)

Reemplazamos esta relacion en (b) para obtener una expansion de F , la cual sereemplaza en (c). Ası obtenemos, hasta primer orden en ~:

∂wo

∂β+ ~

∂w1

∂β− H(wo + ~w1) = −U(wo + ~w1)− K (wo + ~w1)

+i~m

"Xi

~pi · ∇i wo − βwoX

i

~pi · ∇U

#

Aquı K es la suma de las energıas cineticas de todas las partıculas y se usaron lassiguientes relaciones:

∇e−βH = e−βK∇e−βU = −βe−βH∇U

∇2e−βH = −βe−βH∇2U + β2e−βH(∇U)2

∇j exp»

i

~X

~pk ·~rk

–=

i

~~pj

»i

~X

~pk ·~rk

–∇2

j exp»

i

~X

~pk ·~rk

–= −

2m

~2Kj exp

»i

~X

~pk ·~rk

–Comparando potencias de ~ en la ecuacion (f ) obtenemos:

∂wo

∂β= 0 → wo = constante

y de la condicion de borde para F , i.e. ecuacion (d), obtenemos:

w(~p1, . . .~rN , β = 0) = 1

Por lo tanto de la ecuacion (e) obtenemos:

1 = wo(~p1, . . .~rN , β = 0) + ~w1(~p1, . . .~rN , β = 0) + ~2w2(~p1, . . .~rN , β = 0) + . . .

Es decir:

wo(~p1, . . .~rN , β = 0) = 1

wl (~p1, . . .~rN , β = 0) = 0 para l ≥ 2

Como wo es independiente de β, wo = 0 para todo β. El orden siguiente lo obtenemosde:

∂w1

∂β= −

iβ

m

Xj

~pj · ∇U → w1 = −iβ2

2m

Xj

~pj · ∇j U

Como este termino es impar en los ~pj , no contribuye a Q. El termino siguiente es deorden ~2, y se puede obtener extendiendo (f ) hasta ese orden y sigyuiendo unprocedimiento similar al anterior:

w2 = −1

2m

β2

2∇2U −

β3

3

»(∇U)2 +

1

m(~p · ∇)2U

–+β4

4m(~p · ∇U)2

ffdonde se ha usado la notacion abreviada:

~p · ~a =NX

j=1

~pj · ~aj

SUPERCONDUCTIVIDAD

El fısico holandes Kammerlingh Onnes observo en 1911 que la resistencia delmercurio decrece en forma abrupta cuando la temperatura baja de la temperaturacrıtica (Tc ) 4.2 oK. El estimo que la resistividad del mercurio habıa bajado a alrededorde 10−5 veces el valor normal.Mediciones experimentales muestran que la corrientecontınua en un circuito superconductor sin FEM tiene un tiempo caracterıstico dedecaimiento mayor que 105 anos.

Efecto Meissner

En 1933 Meissner y Ochsenfeld descubrieron que un superconductor se comportacomo un diamagneto perfecto, es decir, bajo un cierto valor, un campo magnetico esexpulsado por un superconductor. Este efecto se muestra en la figura siguiente:

enfria enfria

Superconductor

enfriaenfria

Conductor perfecto clasico

H=0 H=0

H=0H=0

/

/ /

/

El efecto Meissner no es un efecto clasico. Esto se puede ver analizando lasecuaciones de Maxwell. La resistencia cero implica, de E = Jρ, que E = 0 y por lotanto de la ley de Faraday:

∂B

∂t= 0

Es decir el campo magnetico no cambia en el tiempo, por lo tanto no cambia al pasarpor Tc . En la superconductividad el resultado es distinto y el orden en que se realicenlos dos procesos no altera el resultado final, i.e. un campo nulo dentro delsuperconductor. En conductor perfecto clasico la derivada temporal del campo es nula,pero en el superconductor lo nulo es el campo mismo. Esto se ilustra en la figuraanterior.

La superconductividad es destruıda por un campo mayor que un valor crıtico Hc , elcual, para una temperatura dada, esta dado por:

1

8πH2

c = Fs(T )− Fn(T )

Esta ecuacion representa la energıa asociada por unidad de volumen, necesaria paramantener el campo fuera de la muestra.

La dependencia de Hc con la temperatura se muestra en la figura siguiente:

H

TTc

c

Empıricamente se puede verificar que la dependencia Hc(T ) es parabolica:

Hc(T ) = Hc(0)

"1−

„T

Tc

«2#

Ecuaciones de London

En 1935 los hermanos F. y H. London demostraron que la superconductividadesta bien descrita por un par de ecuaciones que gobiernan el campo electrico y elmagnetico:

~E =∂(Λ~Js)

∂t~h = −c∇× (Λ~Js)

donde

Λ =4πλ2

L

c2=

m

nse2

Aquı ns denota la densidad de electrones superconductores y ~h y ~E los camposmicroscopicos.

El significado de la primera ecuacion es de la perfecta conductividad ya que un campoelectrico acelera la carga, al no existir resistencia a su movimiento, la segundaecuacion cuando se combina con las ecuaciones de Maxwell nos da:

∇2~h =~h

λ2L

Entonces el campo ~h decrece exponencialmente hacia el interior de unsuperconductor, por lo que a λL se le da el nombre de longitud de penetracion.

A traves de un argumento que parte del momento canonico ~p = m~v + e~A/c y de unteorema de Bloch que dice que en ausencia de campo aplicado el momento neto delestado fundamental debe ser cero, se obtiene:

〈~vs〉 = −e~A

mc→ ~Js = nse〈~vs〉 = −

~A

eΛ

Este argumento le da una motivacion a la primera ecuacion de London ya que seobtiene derivando c/r a t esta ultima ecuacion, en el calibre apropiado conocido comoel calibre de London.

Electrodinamica no local de Pippard

En 1953 Pippard introdujo la longitud de coherencia introduciendouna generalizacion no local de las ecuaciones de London. Esto lohizo siguiendo un tratamiento similar de Chambers para lageneralizacion de la ley de Ohm, en que se reemplaza ~J(~r) = σ~E(~r),por:

~J(~r) =3σ4π

∫ ~R[~R · ~E(~r ′)]e−R/lo

r4 d3r ′

donde ~R = ~r −~r ′. Esta relacion dice que la corriente ~J en ~r dependedel campo ~E(~r) en un volumen de radio lo alrededor de este punto.Pippard argumento que en un superconductor existe una cantidadcaracterısitica similar, ξo, la cual se puede estimar a traves delprincipio de incertidumbre: solo lo electrones dentro la energıa kBTc

de la energıa de Fermi juegan un papel en el fenomeno.

Estos electrones tienen un momento en el rango ∆p ' kBTc/vF yξo ' δx ≥ ~/∆p ' ~vF/kBTc . Ası Pippard escribio:

ξo = a~vF

kBTc

donde a es del orden de 1.

Para un superconductor tıpico como el aluminio o el estano, ξo >> L.Pippard argumenta que la cantidad ξo juega en el superconductor elmismo paper que lo juega en un conductor normal y propuso larelacion:

~J(~r) =3

4πξoΛc

∫ ~R[~R · ~A(~r ′)]e−R/ξ

r4 d3r ′

donde:

1ξ

=1ξo

+1lo

Pippard uso esta relacion para calcular la penetracion de h yencontro que podıa reproducir resultados experimentales cona = 0,15. La teorıa microscopica de BCS reprodujo estos resultadosy encontro que a = 0,18

La teorıa de Pippard anticipo la forma de la electrodinamica no localencontrada posteriormente por la teorıa microscopica.

La banda prohibida

La existencia de la banda prohibida entre el estado fundamental y lasexcitaciones del sistema habıa sido sugerida desde 1946. Sinembargo la primera evidencia experimental aparecio en 1954 en elestudio del calor especıfico de superconductores, cuando seestablecio su dependencia exponencial:

Ces ' γTcae−bTc/T

donde el calor especıfico del material mormal es de la formaCen ' γT , a ' 10 y b ' 1,5. Esto implica que hay un mınimo de laenergıa de excitacion del orden de 1,5kBTc

En 1956 se realizaron experimentos de absorcion electromagneticasy se encontro una banda prohibida de ' 3 veces kBTc . Este resultadoes consistente con las medidas calorimetricas solo si las excitacionesse producen en pares de electrones (pares de Cooper). Las medidasespectrocopicas indican que un mınimo de energıa de un valor Eg serequiere para crear un par excitado, pero las medidas termicas midenuna energıa Eg/2 por partıcula estadısticamente independiente.Estos resultados tambien fueron corroborados por la teorıa BCS.

Teorıa de Ginzburg-Landau

Aun cuando la teorıa BCS sirvio para dar una base firme a variosaspectos asociados con la superconductividad, una teorıafenomenologica ha tenido un tremendo impacto en los trabajossubsequentes relacionados con este fenomeno. Esta el teorıa deGinzburg-Landau de 1950. Mediante una extension de la teorıa detransiciones de segundo orden de Landau, ellos llegaron a unaecuacion similar a la ecuacion de Schrodinger para un parametro deorden ψ, relacionado con la densidad de electronessuperconductores:

ns = |ψ(r)|2

12m∗

(~i∇− e∗

c~A)2

ψ + β|ψ|2ψ = −α(T )ψ

y una supercorriente:

~J =e∗~2im∗ (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)− e∗2

m∗c|ψ|2~A

para partıculas de masa m∗ y carga e∗.

Uno de los mayores exitos de esta teorıa fue la descripcion de lainterfase normal-superconductor, como se muestra en la figura.

ξ

λ

ψ h

x

2

Superconductor Normal

A pesar de presentarse inicialmente como una teorıafenomenologica, en 1959, Gor’kov demostro que la teorıa GL es uncaso lımite de BCS, cerca de Tc , en la cual ψ es proporcional alancho de la banda prohibida ∆ y puede ser concebida como lafuncion de onda del centro de masa del par de electrones.

La teorıa de GL introduce una longitud caracterıstica, la longitud decoherencia dependiente de T , que tiene la forma:

ξ(T ) =~

|2m∗α(T )|1/2

Lejos de Tc , ξ ' ξo la longitud de coherencia de Pippard, pero cercade Tc diverge debido a que α ' (T − Tc). La razon entre λ y ξ:

κ =λ

ξ

es mucho menor que 1 para materiales tıpicos, llamados de tipo I.

Superconductores tipo II

En 1957 Abrikosov publico un trabajo en el cual analizo el caso enque κ es numero grande, i.e. en que ξ < λ. Encontro que el punto dequiebre es κ = 1/

√2. Para valores mas alto que este desaparece

una transicion discontınua del estado superconductor al normal, alaumentar el campo magnetico. Ahora existe un primer punto crıticoHc1, donde empieza a penetrar el campo magnetico y un segundopunto crıtico Hc2 donde penetra en toda la muestra. En este puntoB = H. Esto se ilustra en la figura siguiente.

B

HH

Tipo I

Tipo II

H Hcc1 c2

Abrikosov descubrio que en la region entre Hc1 y Hc2 el flujomagnetico penetra el superconductor en una red regular de tubos deflujos, cada uno de los cuales lleva un quantum de flujo magnetico:

Φo =hc2e

= 2,07× 10−7gauss− cm2

En cada celda unidad de esta red hay un vortice de corrientesuperconductora que concentra el flujo hacia el centro. La estructurade la red es triangular. Esta estructura ha sido demostradaexperimentalmente.

Efecto Josephson. Cuantizacion del flujo magnetico

La caracterıstica esencial de los superconductores es la existenciade una funcion de onda del condensado de muchas partıculas ψque mantiene una coherencia de la fase sobre distanciasmacroscopicas. Este condensado, es similar, pero no identico, a lacondensacion de Bose-Einstein en el cual los pares de Cooperreemplazan los bosones.

Ya que la fase y el numero de partıculas son variables conjugadas,hay entre ellas una relacion de incertidumbre:

∆N∆φ > 1

lo que limita la precision de ambas cantidades. Pero como N ∼ 1022,las incertidumbres son muy pequenas y φ puede ser tratada comovariable semiclasica.

Josephson predijo en 1962 que los pares de Cooper puedenatravesar una pequena region normal que separa dossuperconductores mediante el efecto tunel, aun cuando la diferenciade potencial sea cero, con una corriente superconductora de laforma:

J = Jo(φ1 − φ2)

donde φ1 y φ2 son las fases en los dos conductores.

Tambien predijo que si existe una diferencia de potencial constantese producira una corriente alterna cuya frecuencia es proporcional aesta diferencia.

En un circuito cerrado el requisito de que la fase φ(r) en una vuelta,vuelva al mismo valor modulo 2π, lleva al resultado de que el flujoenlazado por una corriente superconductora esta cuantizado, i.e.:

Φ = nhc2e

donde n es entero

Orıgen de la interaccion atractiva

La interaccion entre electrones es de la forma V~k~k ′ = V (~k − ~k ′):

V (~q) = V (~k − ~k ′) =1Ω

∫e2

rei~q·~r d3r =

4πe2

Ωq2

la cual es evidentemente simpre positiva. Si uno toma en cuenta laconstante dielectrica del medio, esta introduce un factor ε−1(~q), conε(~q) = 1 + k2

s /q2 dando:

V (~q) =4πe2

Ω(q2 + k2s )

lo cual cancela la divergencia en q = 0, mantiene una interaccionrepulsiva.

El termino atractivo resulta del movimiento de los iones. La idea esque el primer electron polariza el medio produciendo un exceso decarga positiva, la cual atrae al segundo electron. Si esta atraccion essuficientemente fuerte como para sobreponerse sobre la repulsiontendremos una interaccion atractiva neta.

Frohlich en 1950 sugirio que la interaccion electron-fonon deberıatener relevancia, dado que experimentalmente se habıa encontradoel llamado efecto isotopico, expresado por la relacion TcM1/2 = const.y HcM1/2 = const., para distintos isotopos de un mismo elemento.

Carta de Cooper

Historicamente uno de los primeros indicios de que se podıa llegar auna teorıa microscopica fue el trabajo de L.N. Cooper publicadocomo una carta a Phys.Rev. en 1956, en la cual demuestra que elmar de Fermi es inestable contra la formacion de un par deelectrones ligados, sin importar la magnitud de la iteraccion atractivainvolucrada.

Consideremos un gas de electrones a temperatura Tc = 00K, al cualse le agregan dos electrones con la condicion de que no interactuancon el mar de Fermi, excepto a traves del principio de exclusion dePauli. Esperamos que en el estado fundamental el momentum totalsea cero. En una expansion en ondas planas, la funcion de ondadebe ser de la forma:

ψo(~r1,~r2) =∑~k>~kF

g~k ei[~k·(~r1−~r2)]

en la que no hemos incluıdo el spin. De esta funcion podemos formaruna dependencia espacial tipo cos con una funcion de spinantisimetrica de singlete o tipo sen con un triplete. Ya que requerimosque exista un acoplamiento atractivo, elegimos el singlete.

ψo(~r1 −~r2) =∑~k>~kF

g~k cos[~k · (~r1 −~r2)](α1β2 − α2β1)

Reemplazando en la ecuacion de Schrodinger del problema,obtenemos:

(E − 2ε~k )g~k =∑~k>~kF

V~k~k ′g~k ′

donde:

V~k~k ′ =1Ω

∫V (r)ei(~k−~k ′)·~r d3r

donde ~r = ~r1 −~r2 y Ω el volumen del sistema.

Si existen soluciones de esta ecuacion con E < EF , podemos que losestados ligados para este par de electrones existen.A fin de evitar complicaciones matematicas, Cooper uso la siguienteaproximacion para V~k~k ′ :

V~k~k ′ = −V constante para kF < k < ~wc

Ası:

g~k = V

∑~k ′>~kF

g~k ′

2ε~k − E→ 1

V=∑~k>~kF

(2ε~k − E)−1

Transformando la sumatoria en integral y aproximando la densidadde estados D(E) al su valor en la superficie de Fermi:

1V

= D(0)

∫ EF +~ωc

EF

dE2ε− E

=12D(0) log

2EF − E + 2~ωc

2EF − E

Si consideramos un acoplamiento debil, i.e. VD(0), la energıa sepuede escribir como:

E ' 2EF − 2~ωc exp[− 1

VD(0)

]Este resultado es notable en por lo menos dos aspectos. En primerlugar se trata de electrones que tienen una energıa cinetica mayorque EF , pero la existencia del acoplamiento atractivo hace que esteexceso de energıa cinetica sea compensada, resultando de unaenergıa total menor que EF , no importando cuan pequeno sea elvalor de V . En segundo lugar la expresion no es analıtica en V = 0 ypor lo tanto el problema no es tratable por teorıa de perturbaciones.

Teorıa de BCS

En un proceso de colision de un electron con un fonon de momentum~q pasa de un momentum ~k a un momentum ~k ′, donde ~q = ~k − ~k ′.Tomemos como punto de partida el Hamiltoniano,

H =∑~kσ

E(~k)c†~kσc~kσ

+∑~q

~ωqa†~qa~q

+∑~k~qσ

[D(~q)c†~k+~qσ

c~kσa~q + D(−~q)c†~k−~qσ

c~kσa†~q

]+

∑~k~k ′~qσσ′

V(~q)c†~k−~qσc†~k ′+~qσ

c~k ′σ′c~kσ

donde el primer termino es la energıa de los electrones nointeractuantes, el segundo termino de los fonones, el tercero de lainteraccion electron-fonon y el cuarto corresponde a la interaccionelectron-electron.

Desde ahora en adelante omitiremos las flechas en los vectores ~k y~q, para simplificar la notacion, en el subentendido que se trata devectores.Llamemos Ho a los dos primeros terminos, H1 al tercero y U alcuarto, i.e. H = Ho +H1 + U. Consideremos, ahora, latransformacion HT = e−iSHeiS, donde S es un operador hermıtico,entonces, expandiendo las exponenciales y manteniendo terminoshas el segundo orden en S, se puede demostrar que:

HT = H+ i[H,S]− 12

[[H,S],S]

donde S se ha elegido de tal manera que:

i[Ho,S] = −H1

entonces:

HT = Ho + U + i[U,S]− 12

[[U,S],S] +12

i[H1,S]

Ahora aproximamos esta expresion despreciando [U,S]. Estoequivale a despreciar la contribucion de la interaccion electron-fononen la interaccion electron-electron. Ahora si |m〉 y |n〉 son vectorespropios de Ho.

〈m|S|n〉 = i〈m|H1|n〉Em − En

Entonces notando que:

〈nq − 1|aq |nq〉 = n1/2q 〈nq + 1|a†q |nq〉 = (nq + 1)1/2

donde nq es el numero de fonones con vector de onda q, podemosdemostrar que:

〈nq − 1|S|nq〉 = i∑kσ

D(q)c†k+qσckσn1/2q /[E(k + q)− E(k)− ~ωq]

〈nq +1|S|nq〉 = i∑kσ

D(−q)c†k+qσckσ(nq +1)1/2/[E(k−q)−E(k)+~ωq]

A fin de construir un Hamiltoniano que contenga los ingredientesimportantes consideramos los elementos diagonales de HT ya queestos contendran la interaccion efectiva electron-electron.Ası consideramos:

〈nq |12

i[H1,S]|nq〉 =12

i∑±

[〈nq |H1|nq ± 1〉〈nq ± 1|S|nq〉

− 〈nq |S|nq ± 1〉〈nq ± 1|H1|nq〉]

Estos elementos son facilmente calculables. Por ejemplo:

12

i〈nq |H1|nq − 1〉〈nq − 1|S|nq〉 =

= −12

∑kk ′,σσ′

c†k ′−qσ′ck ′σ′c†k+qσckσ

×|D(q)|2nq/[E(k + q)− E(k)− ~ωq]

Donde usamos D(−q) = D∗(q). Finalmente sumamos c/r a q,obtenemos la parte del Hamiltoniano que describe la interaccionefectiva electron-electron mediante fonones, la que llamamos HI :

HI =∑

kk ′q,σσ′

|D(q)|2~ωq/[E(k)− E(k − q)]2 − (~ωq)2

c†k−qσc†k ′+qσ′ck ′σ′ckσ

Esta interaccion puede ser atractiva o repulsiva, dependiendo delvalor de ~ωq .Ahora introducimos otra aproximacion. Ya que el estadosuperconductor esta formado por la asociacion de electrones enpares con momentos y spines opuestos k ↑, −k ↓, eliminamos todoslos terminos que no contienen estos pares. Juntando todos losterminos que contienen interacciones electron-electron encontramos:

12

∑kk ′,σσ′

Vkk ′c†k ′σ′c

†−k ′,σc−kσckσ′

donde:

Vkk ′ = 2|D(k−k ′)|2~ω(k−k ′)/[E(k)− E(k ′)]2 − [~ω(k − k ′)]2

+V(k−k ′)

Ya que en esta notacion +k esta asociado con spin ↑ y −k con ↓,podemos dejar el ındice de spin y escribir finalmente el llamadoHamiltoniado de pares:

H =∑

k

E(k)c†k ck +∑kk ′

Vkk ′c†k ′c

†−k ′c−k ck (9)

Este nombre se debe a que la pareja c−k ck destruye un par deelectrones en el estado k ↑, −k ↓ y lo crea en k ′ ↑, −k ′ ↓. Lasuperconductividad aparece cuando Vkk ′ < 0. De ahora en adelanteelegiremos el cero de energıa en el nivel de Fermi.

Ahora procederemos con la diagonalizacion de este Hamiltoniano,mediante el procedimiento de Bogoliubov y Valatin, que consiste enla transformacion canonica:

ξk = αk ck − βk c†−k ξ−k = αk c−k + βk c†k

y la relacion conjugada correspondiente:

ξ†k = αk c†k − βk c−k ξ†−k = αk c†−k + βk ck

Se requiere que estos operadores cumplan las reglas deconmutacion de fermiones:

[ξ†k ′ , ξk ]+ = δkk ′ [ξ′k , ξk ]+ = 0

lo que implica que α2k + β2

k = 1

Invirtiendo la transformacion de Bogoliubov-Valatin y reemplazandoen (5), obtenemos para el primer termino:∑

k

E(k)[2β2k + (α2

k − β2k )(ηk + η−k ) + 2αkβk (ξ†kξ

†−k + ξ−kξk )]

donde ηk = ξ†kξk , representa el numero de estas nuevas partıculas,llamadas bogolones en el estado k .

El termino de interaccion queda como (usando Vkk ′ = Vk ′k ):

∑kk ′

Vkk ′ [αk ′αkβk ′βk (1− ηk ′ − η−k ′)(1− ηk − η−k )

+ αk ′βk ′(α2k − β2

k )(ξ−kξk + ξ†kξ†−k ) + terminos de cuarto orden]

Es posible demostrar que los terminos de cuarto orden contribuyencon un valor muy pequeno a la energıa y pueden ser despreciados.Veremos mas adelante que los terminos no diagonales de segundoorden pueden ser eliminados con una eleccion apropiada de αk y βk .

De esta forma el Hamiltoniano queda diagonalizado y los operadoresξ†k y ξk representan la creacion y destruccion de estados excitadosdel sistema, i.e. pares correlacionados de electrones. Es decir, en elestado fundamental |G〉:

ξk |G〉 = ξ−k |G〉 = 0 ηk |G〉 = η−k |G〉 = 0

El estado |G〉 no es un estado propio del operador numero departıculas N =

∑k (c†k ck + c†−k c−k ). Con la definicion de |G〉 es

posible demostrar que valor de expectacion de N es:

〈G|N|G〉 = 2∑

k

β2k

La condicion para que los terminos no diagonales de segundo ordenno aparezcan en el Hamiltoniano es:

2E(k)αkβk + (α2k − β2

k )∑k ′

Vkk ′αk ′βk ′ = 0

En vista de la condicion anterior que cumplen αk y βk , elegimos laforma:

αk = sen θk βk = cos θk

y por lo tanto:

2E(k) sen 2θk − cos 2θk

∑k ′

Vkk ′ sen 2θ′k = 0

Ahora introducimos una nueva cantidad:

∆k = −12

∑k ′

Vkk ′ sen 2θ′k

lo que nos da inmediatamente:

tan 2θk = − ∆k

E(k)

y

sen 2θk =∆k√

∆2k + E2(k)

cos 2θk = − E(k)√∆2

k + E2(k)

con lo cual obtenemos:

∆k = −12

∑k ′

Vkk ′∆k ′√

∆2k ′ + E2(k ′)

Al igual que en la carta de Cooper, ahora se introduce unaaproximacion para Vkk ′ :

Vkk ′ = −Vo si |E(k)| y |E(k ′)| < ~ωo

= 0 para otros valores de|E(k)| y |E(k ′)|

y para ∆k elegimos una forma similar:

∆k = −∆o si |E(k)| < ~ωo

= 0 para otros valores de|E(k)|

La ecuacion para ∆o es:

2 = Vo

Xk

h∆2

o + E2(k)i−1/2

que se puede convertir en integral, introduciendo una densidad de estados:

2 = Vo

Z ~ωo

−~ωo

dED(E)[∆2o + E2]−1/2

Como ~ωo es muy pequeno con respecto a EF , y si la densidad de estadovarıa suavemente en el nivel de Fermi, podemos aproximarla a D(0) y hacerla integral y obtener:

∆o = ~ωo/ senh„

1VoD(0)

«' 2~ωo exp

„− 1

VoD(0)

«bajo la suposicion de que VoD(0) << 1

Estimacion del valor de ∆o.

Es esperable que la magnitud de ~ωo sea del orden de la magnitudde la frequencia de Debye ~ωD. Si no tomamos en cuenta lainteraccion culombiana, Vo debe ser del orden de :

Vo '|D|2

~ωD

Por otra parte dentro de la aproximacion del potencial dedeformacion de la teorıa de la interaccion electron-fonon es posible

estimar |D|2 como49

mM

E2F

~ωD, con lo cual se llega a:

Vo '49

mM

(E3/2

F

~ωD

)2

Para obtener una estimacion de ∆o suponemos D(0) ' 1/EF . ComoEF/~ωD es del orden de 100 y m/M ' 10−5, VoD(0) ' 0,2 y∆o ' 4× 10−4 eV, es decir aprox. 5o K.

Energıa del estado fundamental Eg .

De los resultados anteriores podemos ver que

Eg = 2∑

k

E(k)β2k +

∑kk ′

Vkk ′αk ′αkβkβk ′

= 2∑

k

E(k) cos2 θk −12

∑k

∆k sen 2θk

El cambio de la energıa del estado fundamental producido por lainteraccion V se puede calcular notando que si V es cero el sistemaocupa los estados hasta k = kF . i.e. la energıa del sistema normal es2∑

k E(k). Por lo tanto:

δEg = 2∑k<kF

E(k)[cos2 θk −1]+ 2∑k>kF

E(k) cos2 θk −12

∑k

∆k sen 2θk

Reemplazando las expresiones trigonometricas anteriores, seobtiene:

δEg = 2∑k>kF

(E(k)− 2E2(k) + ∆2

2[E2(k) + ∆2]1/2

)En la deduccion de esta ecuacion se usa la aproximacionE(k)(k < kF ) ' −E(k)(k > kF ) ya que ∆o es distinta de cero en unrango muy pequeno de energıas. La expresion anterior puedeconvertirse en integral, con una densidad de estado constante igual aD(0):

δEg = 2D(0)

∫ ~ωo

0

[E − 2E2 + ∆2

2(E2 + ∆2)1/2

]dE

= (~ωo)2D(0)

[1−

(1 +

∆2

(~ωo)2

)1/2]

= (~ωo)2D(0)

[1− coth

(1

VoD(0)

)]

Para un acoplamiento debil VoD(0) << 1 podemos expandir la raızcuadrada y obtenemos:

δEg = −12D(0)∆2

con la estimacion de ∆ obtenida anteriormente, llegamos aδEg ' 1,6× 10−8 eV. Es notable que tan pequeno cambio de energıaproduzca efectos macroscopicos tan dramaticos.

Vimos que el vector del estado fundamental |G〉, esta definido por:

ξk |G〉 = 0

Un estado que satisface esta condicion es:

ξkξ−k |0〉 = (αkβk + β2c†k c†−k )|0〉

ya que ξkξk = 0.

La normalizacion de este estado nos da:

〈0|(α∗kβ∗k +β2ck c−k )(αkβk+β2c†k c†−k )|0〉 = 〈0||αk |2|βk |2+|βk |4|〉 = |βk |2

y si consideramos βk real, vemos que el factor de normalizacion es1/βk y por lo tanto el estado fundamental lo podemos escribir como:

|G〉 =

[∏k

(αk + βk c†k c†−k )

]|0〉

Este es el estado empleado por BCS en su teorıa.

Tambien podemos demostrar que:

〈N〉 = 2∑

k

β2k =

∑k

[1− E(k)

[E2(k) + ∆2k ]1/2

]= 2

∑k

1 = N

Estados excitados

El estado ξ†k |G〉 es un estado excitado del sistema. De la definicion deξ†k , vemos que corresponde a la creacion de un electron en el estadok y a la destruccion de un electron en estado −k , i.e. creacion de unagujero en −k . A este estado lo llamamos estado de cuasi partıcula.

Despues de haber eliminado los terminos no diagonales y usando ladefinicion de Eg anterior, el Hamiltoniano podemos escribirlo como:

H = Eg

+∑

k

[E(k)(α2

k − β2k )− 2

∑k ′

Vkk ′αk ′βk ′

]× (ξ†kξk + ξ†−kξ−k )(1− ηk ′ − η−k ′) (10)

A la temperatura T = 0oK, ηk , el numero de excitaciones oquasi-partıculas en el estado k , es depreciable frente a 1. En estecaso definimos la energıa de excitacion por:

E(T , k) = ∂〈H〉/∂〈ηk 〉

o equivalentemente por:

E(k) = E(k)(α2k − β2

k )− 2∑k ′

Vkk ′α′kβk ′ (11)

la cual, despues de un poco de algebra, se reduce a:

E(k) = − cos 2θk E(k) + sen 2θk∆k

=[E2(k) + ∆2

k

]1/2

Esta ecuacion muestra que existe un valor mınimo de la energıa deexcitacion, i.e. ∆k . Esta es la banda prohibida que se habıa previstoexperimentalmente. Las excitaciones son creadas en pares deelectrones y por lo tanto la banda prohibida observadaexperimentalmente, como en absorbcion electromagnetica, es 2∆.

De esta forma el Hamiltoniano puede ser escrito finalmente como:

H = Eg +∑

k

E(k)(ξ†kξk + ξ†−kξ−k )

y la densidad de estado se puede calcular como:

G(E) =dkdE

dEdE

El termino dk/dE es proporcional a D(0) ydE/dE = (E2 −∆2)1/2/|E|. Por lo tanto:

G(E) = D(0)|E|/(E2 −∆2)1/2 para |E| > ∆;

0 para |E| < ∆(12)

ε

ε( )

0−1 1 /∆

G

Temperatura crıtica

Sin embargo para T 6= 0oK, esta aproximacion ya no es valida y sedebe reemplazar por una mas correcta. Esta aproximacion consisteen reemplazar ηk por su promedio termal 〈ηk 〉

〈ηk 〉 =[eE(T ,k ′)/kBT + 1

]−1

Aquı E(T , k) representa la energıa de excitacion (11), peromodificada por el factor(1− ηk ′ − η−k ′) ' (1− 〈ηk ′〉 − 〈η−k ′〉) = tanh(E(T , k ′)/2kBT ):

E(k) = E(k)(α2k − β2

k )− 2∑k ′

Vkk ′α′kβk ′ tanh(E(T , k ′)/2kBT )

De esta manera podemos escribir el parametro del gap dependientede la temperatura:

∆k (T ) =12

∑k ′

Vkk ′α′kβk ′(1− 〈ηk ′〉 − 〈η−k ′〉)

= −12

∑k ′

sin 2θk ′ tanh[E(T , k ′)

2kBT

]

Reemplazando sen 2θk ′ por su expresion:

∆k (T ) = −12

∑k

Vkk ′∆k ′(T )[E2(k ′) + ∆2

k ′(T )]1/2

tanh[E(T , k ′)

2kBT

]

Introduciendo la densidad de estados, aproximada a D(0), yutilizando las aproximaciones: ∆k ′(T ) por la ∆o(T ) y Vkk ′ por Vo,obtenemos:

1 = VoD(0)

∫ ~ωo

0tanh

[E2 + ∆2(T )]1/2

2kBT

dE

[E2 + ∆2(T )]1/2(13)

Ya que ∆(T ) se hace cero a T = Tc , esta ecuacion permitedeterminar la temperatura crıtica:

1VoD(0)

=

∫ ~ωo

0tanh

E2kBTc

EdE =

∫ ~ωo/2kBTc

0

tanh xx

dx

donde x = E/2kBTc

Con una integracion por partes:

1VoD(0)

= log(~ωo/2kBTc) tanhE

2kBTc−∫ ~ωo/2kBTc

0log x sech2xdx

Como ~ωo ' ~ωD >> kBTc , podemos reemplazar el lımite superiorde la ultima integral por ∞ lo que nos da:

kBTc =12

A~ωoe1/VoD(0)

donde

log A = −∫ ∞

0log x sech2xdx = γ + log(4/π)

dondeγ es la constante de Euler

Luego

kBTc =12

A~ωo exp[−1/VoD(0)] ' 1,13~ωo exp[−1/VoD(0)]

Comparando con el valor de ∆ a temperatura 0oK, tenemos:

∆(0)

kBTc' 1,765

Esta relacion se cumple bastante bien para muchossuperconductores.

Ahora como ~ωo ' ~ωD y ~ωD es proporcional a M−1/2, resulta que:

VoD(0) ' 49

mM

(EF

~ωD

)2

es independiente de M y Tc ∝ M−1/2, i.e. el efecto isotopico.

La dependencia de ∆(T ) en la temperatura esta dada por laecuacion (13), cuya solucion para T arbitrario requiere unaintegracion numerica:

Este calculo se simplifica haciendo un cambio de variableδ = ∆/kBT :

1VoD(0)

= sinh−1(~ωo/∆) tanh[(~ωo)

2 + ∆2

2kbT

]+ F (δ)

con

F (δ) = −δ∫ ∞

0

x sinh−1 x sech2δ(1 + x2)1/2

(1 + x2)1/2dx

Efecto tunel

Primero consideremos dos metales normales separados por unalamina delgada aisladora. La lamina actua como una barrera para elpaso de los electrones de conduccion de un metal al otro. Sinembargo si se coloca una diferencia de potencial entre los metales,es posible producir una conduccion mediante efecto tunel. Veremosque la dependencia de la corriente de la diferencia de potencial, escompletamente diferente a este caso, si uno de los metales ( o losdos) es superconductor.Consideremos la situacion descrita en la figura siguiente. Esteexperimento esta descrito por el siguiente Hamiltoniano:

HT =∑kqσ

[Tkqc†kσdqσ + T ∗

qk d†qσckσ

]donde los operadores c†kσ, ckσ se refieren al metal A, mientras qued†kσ, dkσ se refieren a B.

AISLADOR

A BMETAL METAL

Este Hamiltoniano fue derivado por Bardeen en 1961.

Ahora supongamos que el metal A se mantiene a un potencial Vsobre el metal B. El flujo neto de corriente desde A a B esproporcional a:

RAB =∑kqσ

|Tkq |2 f (k)[1− f (q)]− f (q)[1− f (k)] δ[EA(k)−EB(q)+eV ]

En esta expresion el primer termino que corresponde a latransferencia de electrones de A a B, incluye el numero de electronescon momentum k en A y el numero de huecos con momentum q enB. El segundo termino indica el proceso opuesto.

Introduciendo la densidad de estados y notando que f solo dependede la energıa, podemos escribir:

RAB '∫

dEA|T |2 [f (EA)− f (EA + eV )]DA(EA)DB(EA + eV )

La teorıa de Harrison de 1961 demuestra que |T |2 es inversamenteproporcional al inverso del producto de las densidades de estado:

|T |2 ∝ [DADB]−1

de modo que si V es pequeno podemos escribir:

RAB ∝∫

dEA [f (EA)− f (EA + eV )] = −eV∫

dEA

(dfdE

)EA

= −eV

es decir la corriente es proporcional a la diferencia de potencial y secumple la ley de Ohm.

Ahora consideremos el caso en que uno de los metales essuperconductor, en este caso el metal B. El Hamiltoniano detransferencia es entonces:

HT =∑kq

[Tkqc†k (αξq + βqξ

†−q) + T−k−qc†−k (αqξ−q − βqξ

†q)

+ Tqk (αξ†q + βqξ−q)ck + T ∗−q−k (αqξ

†−q − βqξq)c−k

]Estos terminos deben ser interpretados de la siguiente forma:c†kξq crea un electron en el metal normal (A) y destruye unacuasi-partıcula en el superconductor (B).

De la misma forma, c†kξ†q crea crea un electron y una cuasi-partıcula.

Todos los terminos describen procesos independientes, por lo quetodas las contribuciones de HT a RAB son aditivas. Es posible eliminarla dependencia en k ,q del elemento de matriz y utilizar un promediode |T |2. Las energıas de los estados electronicos del metal lasdenotamos por EA y las energıas de los estados de cuasi-partıculaspor EB. Ası es posible obtener el flujo de corriente como:

RAB = (4π/~)∑kq

|T |2α2

q[fA(EA)− fB(EB)]δ(EA − EB + eV )

+ β2q [fA(EA) + fB(EB)− 1]δ(EA + EB + eV )

Las dos deltas de esta expresion implican que:

EB = (E2B + ∆2)1/2 = EA + eV → EB = ±[(EA + eV )2 −∆2]1/2

Sin embargo se puede demostrar que:

α2q(EB) + α2

q(−EB) = β2q(EB) + β2

q(−EB) = 1

Entonces los factores α2q y β2

q desaparecen y podemos obtener:

RAB = (8π/~)

∫ ∞

−∞|T |2DA(E − eV )GB(E)[fA(E − eV )− fB(E)]dE

Usando la relacion |T |2 = [DADB]−1 y aproximando la densidad deestados a aquella del nivel de Fermi:

RAB '∫ eV

∆

E/(E2 −∆2)1/2dE = [(eV )2 −∆2]1/2

RAB = 0 para eV < ∆ y crece rapidamente cuando eV se acerca alvalor del gap.

Cuantizacion del flujo magnetico

Partimos de la expresion:

J = −ie~2m

[ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗]− e2

mc|ψ|2A

donde q = 2e y escribiendo ψ como:

ψ(r) = C(r)eiθ(r)

J =~m

(∇θ − q

~A)

Ahora consideremos un anillo con corriente. La corrientesuperconductora se encuentra en la superficie hasta una profundidadλ y decae a cero dentro de el. Por lo tanto dentro del anillo:

∇θ − q~

A = 0

Integrando esta expresion en un circuito dentro del anillo:

~∮∇θ · ds = q

∮A · ds

Pero de B = ∇× A y del teorema de Stokes, el flujo magnetico es:

Φ =

∮A · ds =

~q

∮∇θ · ds =

~q

(θ1 − θ2)

donde el punto 1 y el punto 2 coinciden en el anillo.Ahora el unico requisito fısico es que la funcion de onda sea lamisma en 1 y en 2. Esto implica que:

θ1 − θ2 = 2πn

Es decir:

Φ = 2πn~q

El flujo atrapado por anillo es un multiplo entero de 2π ~q ' 4× 10−7

gauss-cm2.

Efecto Josephson

Ahora consideremos el caso en que ambos metales sonsuperconductores. Sean ψ1 y ψ2 las funciones de onda quedescriben los electrones de los metales A y B respectivamente.Tomemos el caso simple en que los superconductores son losmismos en a ambos lados de la juntura y no ponemos campomagnetico. Las amplitudes estan relacionadas por las ecuaciones:

i~∂ψ1

∂t= U1ψ1 + Kψ2

i~∂ψ2

∂t= U2ψ2 + Kψ1

La constante K es una caracterıstica de la juntura y describe elacoplamiento de los dos superconductores.

Si los dos lados fuera identicos U1 = U2, pero vamos a suponer quehay una diferencia de potencial entre los dos superconductores, detal modo que U1 − U2 = qV , donde q = 2e.Si definimos el cero de energıa a medio camino entre los dospodemos escribir estas ecuaciones como:

i~∂ψ1

∂t=

qV2ψ1 + Kψ2

i~∂ψ2

∂t= −qV

2ψ2 + Kψ2

Ahora escribamos las funciones de onda como:

ψ1 =√ρ1eiθ1

ψ2 =√ρ2eiθ2

Reemplazando en las ecuaciones diferenciales obtenemos:

ρ1 =2~

K√ρ2ρ1 sen δ, ρ2 = −2

~K√ρ2ρ1 sen δ

θ1 =K~

√ρ2

ρ1cos δ − qV

2~θ2 =

K~

√ρ1

ρ2cos δ +

qV2~

donde δ = θ1 − θ2.Ahora ρ1 = −ρ2 representa la corriente que fluye por lossuperconductores a traves de la juntura y esta dada por:

J =2K~√ρ1ρ2 sen δ

sin embargo consideraremos que tanto ρ1 como ρ2 permanecenconstante iguales a ρo, ası llamando Jo = 2Kρo/~, tenemosJ = Jo sen δ

El otro par de ecuaciones se puede escribir como:

δ = θ1 − θ2 =qV~

→ δ(t) = δo +q~

∫V (t)dt

Es decir la corriente es:

J = Jo sin[δo +q~

∫V (t)dt ]

Esto quiere decir que si tenemos una diferencia de potencialconstante, se produce una corriente alterna cuya frequencia es:

ω =2e~

Vo

Una diferencia de potencial de 1µV, produce una corriente alterna de483.6 MHz.Si la diferencia de potencial es cero, de todas maneras tenemos unacorriente DC de valor Jo sin δo.

Efecto Meissner a partir de BCS

Mucho antes de BCS se sabıa que una relacion lineal entre ~J y ~Allevaba al efecto Meissner. Los hermanos London propusieron laecuacion:

~J = − c4πλ2

~A que nos da ∇× ~J = − c4πλ2

~B

y usando las ecuaciones de Maxwell obtenemos:

∇2~B = λ2~B

La solucion de esta ecuacion muestra un decaimiento exponencialdel campo con una longitud caracterıstica λ, llamada longitud depenetracion, la cual es infinita en un material normal y finita en unsuperconductor. Sabemos tambien que un superconductor es undiamagneto perfecto, para lo cual debe existir una densidad decorriente en la superficie, que produzca un campo magneticoopuesto al aplicado Si esta densidad de corriente es cero despareceel Efecto Meissner.

El proposito de los parrafos siguientes es demostrar que ~J esproporcional a ~A en la teorıa BCS y que en un material normal laconstante de proporcionalidad es cero.

Partimos considerando la ecuacion de continuidad:

∇ · ~J = − eΩ

∂ρ

∂tdonde Ω es el volumen del sistema y ρ es el operador densidad departıculas. Si aplicamos una transformada de Fourier a estaecuacion, encontramos:

i~q · ~Jq = − eΩ

∂ρq

∂t=

eiΩ~

[H, ρq]

Para proceder con el calculo del conmutador necesitamos algunosresultados:

1) ρ(~r) =∑~k,~k ′

ei(~k−~k ′)·~r c†k ck ′d3r

2) ρq = Ω−1∫

e−i~q·~rρ(~r)d3r

= Ω−1∫

e−i~q·~r∑~k,~k ′

ei(~k−~k ′)·~r c†k ck ′d3r

= Ω−1∑~k,~k ′

c†k ck ′δ~k−~k ′,~q

= Ω−1∑

k

c†k ck+q

El Hamiltoniano total lo dividimos en dos partes: H = Ho +H1,donde:

3) El Hamiltoniano Ho =∑

k

Ek c†k ck +∑

~k,~k ′,~q′

Vqc†k−q′c†k ′+q′ck ′ck

sin la interaccion magnetica, donde Ek = ~2k2/2m. H1 contiene lacontribucion m agnetica

4) El conmutador [Ho, ρq] = − ~2

2m~q ·∑

k

[(2~k − ~q)c†k−qck

]

5) La contribucion del campo magnetico

H1 =e

2mc

(ec~A2 − ~p · ~A− ~A · ~p

)(en 2da. cuantizacion) =

e2mc

∑~k,~k ′

〈k |~p · ~A− ~A · ~p|k ′〉c†k ck ′

=e~

2mc

∑~k,~k ′

〈k | − ~A · (~k + ~k ′)|k ′〉c†k ck ′

(con un potencial de la forma~Aqei~q·~r ) = − e~2mc

~Aq ·∑~k

(2~k − ~q)c†k ck−q

donde hemos despreciado el termino ~A2.

6) El conmutador [H1, ρq] =e~mc

~q ·∑~k

~Aqc†k ck

Por lo tanto obtenemos el conmutador:

~q · ~Jq = − eΩ~

[H, ρq] = − eΩ~

[(Ho +H1), ρq]

= ~q ·∑~k

[e~

2mΩ(2~k − ~q)c†k−qck −

e2

mcΩ~Aqc†k ck

]

Ahora debemos calcular el valor de expectacion de Jq en el estadoperturbado, usando teorıa de perturbaciones, partiendo del estadodel sistema sin campo magnetico |Ψo〉:

|Ψ〉 = |Ψo〉+1

Eo −HoH1|Ψo〉

Para evaluar 〈~Jq〉 es necesario expresar los operadores de electronesen termino de los operadores de cuasi partıculas ξ†±k , ξ±k . Para qpequeno, remplazamos αk−q y βk−q por αk y βk y ası se obtiene:

〈~Jq〉 = −2NeµB

~Ω~Aq

− 4e~µB

mΩ~Aq

∑k

〈Ψo|(ηk − ηk+q

Ek − Ek+q

)|Ψo〉

reemplazando la sumatoria por una integral sobreE y el parentesis

redondo por∂f/∂E dondef es la distribucion de Fermi− Dirac

= − Ne2

mcΩ~Aq

− 2e2~2

3m2cΩ~AqD(0)k2

F

∫∂f∂E

dE

= − Ne2

mcΩ~Aq

[1 +

∫∂f∂E

dE]

= − Ne2

mcΩ~Aq

[1 + 2

∫ ∞

∆

E(E2 −∆2)1/2

∂f∂E

dE]

Aquı usamos:

D(0) = 3Nm/2~2k2F

Para T > Tc , ∆ = 0 y los terminos del parentesis cuadrado secancelan exactamente, i.e. 〈~Jq〉 = 0 y no hay efecto Meissner. Ahorapara T = 0 la integral es cero y

〈~Jq〉 = − c4πλ2

~Aq con λ =

(mc2Ω

4πNe2

)1/2

Corrientes persistentes

Para una explicacion simple usaremos el argumento de L. Landau.Consideremos una masa M que contiene una imperfeccion, como unfonon o una impureza. Cuando una corriente fluye en unsuperconductor el gas de electrones se mueve colectivamente conrespecto a la red cristalina. Sea −~v la velocidad relativa del gas deelectrones. Cambiamos de sistema de referencia, donde el gas deelctrones esta en reposo y la masa M se mueve con velocidad ~v . Lainteraccion con las imperfecciones puede disminuir la velocidadsolamente si se pueden crear exitaciones en el gas de electrones.Para crear una exitacion de energıa Ek y momento ~k en una colision,debe cumplirse:

12

Mv2 =12

Mv ′2 + Ek , M~v = M~v ′ + ~~k

0 = −~~k · ~v +~2k2

2M+ Ek

Para valores muy grandes de M despreciamos el termino en 1/M.Sea vc el menor valor de |~v | que satisface:

Ek = ~~k · ~v

es decir vc = mınimo valor deEk/~k

Ahora nos fijamos en espectro de exitaciones elementales de figurasiguiente:

∆

E

k/kFF

k

N

S

Vemos que la relacion de dispersion de los electrones para elmaterial normal cerca del nivel de Fermi es lineal con K porque sepuede escribir como

εk =~2

2m(k2 − k2

F ) ' ~2

mkF (k − kF )

Sin embargo en el superconductor, para T < Tc existe un gap ∆.

En la figura siguiente se muestra como se puede obtener la velocidadcrıtica, en el caso de un superconductor con una banda prohibida∆ > 0

∆

E

k/kFF

k

Ya que E ∝ v2, la velocidad es proporcional a E/k , es decir lapendiente de una lınea que pasa por el orıgen.

La lınea punteada nos da la velocidad crıtica vc . Esta es la velocidadmınima para que se produzcan colisiones. Es decir, para flujos convelocidades menores que vc no se pueden producir colisiones y nohay disipacion de energıa, i.e. la resistencia es cero.

APENDICE 1. Derivada funcional.

En este apendice explicaremos un metodo para calcular una derivada funcional. Paraesto consideremos la siguiente integral:

I[α(λ)] =

Z λ2

λ1

F [α(λ)]dλ

entonces δI nos da el cambio en I cuando a la funcion α(λ) le agregamos la funcionδα(λ), la cual esta sujeta a la condicion: δα(λ1) = δα(λ2) = 0. Ası el cambio deI[α(λ)] lo podemos escribir como:

δI[α(λ)] =

Z λ2

λ1

δI

δα(λ)δα(λ)dλ

Esta forma es una generalizacion a variables contınuas de la expresion:

dA(x1, x2 · · · xn) =nX

i=1

∂A

∂xidxi

El resultamos que queremos es una expresion para la derivada funcional:

δI[α(λ)]

δα(λ′)Entonces podemos escribir:

δI[α(λ)] = I[α(λ) + δα(λ)]− I[α(λ)] =

Z λ2

λ1

δI

δα(λ)δα(λ)dλ

Ahora escribimos δα(λ) = εα(λ), con ε→ 0, y tenemos:

lımε→0

I[α(λ) + εα(λ)]− I[α(λ)]

ε=

Z λ2

λ1

δI

δα(λ)α(λ)dλ

Como α(λ) es arbitrario, lo podemos elegir como α(λ) = δ(λ− λ′) y obtenemosfinalmente:

δI[α(λ)]

δα(λ′)= lım

ε→0

I[α(λ) + εδ(λ− λ′)]− I[α(λ)]

ε

Esta es una expresion explıcita para la derivada funcional.

PROPIEDADES DE LA DERIVADAS FUNCIONALES

a)

δq(x)

δq(x ′)= δ(x − x ′)

b)

δ

δq[aF [q] + bG[q]] = q

δF

δq+ b

δG

δqc)

δ

δq[F [q]G[q]] = F [q]

δG

δq+ G[q]

δF

δqe) Regla de la cadena

Supongamos que q es un funcional de s(x), q = q[s(x), x ], entonces:

δF =

ZdxδF

δqδq =

ZdxZ

dx ′δF

δq(x)

δq(x)

δs(x ′)δs(x ′)

y por lo tanto:

δF

δs(x)=

Zdx ′

δF

δq(x ′)

δq(x ′)

δs(x)

En el caso particular de que s es un funcional de q, haciendo F = q,

δq(x) =

Zdx ′

δq(x)

δs(x ′)δs(x ′) (14)

=

Zdx ′Z

dx ′′δq(x)

δs(x ′)

δs(x ′)

δq(x ′′)δq(x ′′) (15)

(16)

Por lo tanto: Zdx ′′

δq(x)

δs(x ′′)

δs(x ′′)

δq(x ′)= δ(x − x ′)

Esta relacion sirve para definir el inverso de una derivada funcional.

APENDICE 2. Monte Carlo. Algoritmo de Metropolis.

Este algoritmo se aplica en la siguiente forma en el estudio de una red de Ising:

1) Inicialmente se construye una configuracion de spines al azar.

2) Se calcula la energıa total del sistema, i.e. E .

3) Se toma el primer spin de la red y se le da vuelta.

4) Se calcula el cambio de energıa, i.e. ∆E .

5) Si ∆E < 0, se mantiene este spin en su nuevo estado.

6) Si ∆E > 0, se elige un numero 0 ≤ η ≥ 1 al azar.

7) Si exp(−∆E/kBT ) > η, se mantiene este spin en su nuevo estado.

8) Si exp(−∆E/kBT ) < η, se mantiene este spin en su estado original.

9) Se pasa al punto 2) y se repite el proceso para todos los spines de la red.

10) Se barre la red varias veces hasta encontrar un mınimo de energıa.

APENDICE 3. Expansion en cumulantes.Si queremos obtener una aproximacion para la expresion para valor esperado 〈eV 〉,hacemos una expansion en series:

〈eV 〉 = 〈1 + V +1

2V 2 + · · ·+

1

n!V n + · · · 〉 (17)

= exp»

C1 +1

2C2 +

1

6C3 + · · ·

–(18)

(19)

Ası obtenemos:

C1 = 〈V 〉 (20)

C2 = 〈V 2〉 − 〈V 〉2 (21)

C3 = 〈V 3〉 − 3〈V 〉〈V 2〉+ 2〈V 〉3 (22)

C4 = 〈V 4〉 − 3〈V 2〉2 − 4〈V 〉〈V 3〉+ 12〈V 〉2〈V 2〉 − 6〈V 〉4 (23)

etc. (24)

(25)

Para obtener estas expresiones consideramos, con x arbitrario,:

〈exV 〉 = 1 + x〈V 〉+1

2x2〈V 2〉+

1

6x3〈V 3〉+ · · ·

que debe ser igual a:

exp»

xC1 +1

2x2C2 +

1

6x3C3 + · · ·

–Expandiendo en potencias de x e igualando los coeficiente de las potencias del mismoorden obtenemos la expresiones anteriores.Por ejemplo, para obtener C1 y C2:

1 + x〈V 〉+1

2x2〈V 2〉+ · · · = 1 + [xC1 +

1

2x2C2 + · · · ] +

1

2[xC1 +

1

2x2C2 + · · · ]2

de donde obtenemos:

x〈V 〉 = xC11

2x2〈V 2〉 =

1

2x2C2 +

1

2(xC1)

2

i.e.

C1 = 〈V 〉 C2 = 〈V 2〉 − 〈V 〉2

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