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EDICIONS UPC AULA POLITÈCNICA / INGENIERÍA MECÁNICA Josep M. Bergadà Graño Mecánica de fluidos Problemas resueltos

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  • 111

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    9 788483 018330

    El presente libro es fruto de la experiencia adquiri-da durante toda una carrera universitaria. Muchos de los problemas que se exponen fueron, en su mo-mento, problemas de examen de la asignatura Me-cnica de Fluidos. Por una parte, esta obra cubre y se dedicada a presentar, de manera sencilla, diver-sos temas bsicos de la mecnica de fl uidos, que todo estudiante de la asignatura debe conocer. Asi-mismo, pretende ser un libro de repaso para quie-nes, habiendo estudiado Ingeniera y trabajando en la industria, precisan fi jar determinados conceptos sobre la materia. Finalmente, se desea que esta obra sirva de apoyo a todas las escuelas de los pases de habla hispana que imparten las diversas ingenieras, y que sea un instrumento til de repaso de la tem-tica presentada.

    Josep M. Bergad es Ingeniero Industrial (espe-cialidad: Mecnica) desde 1990 y Doctor Ingenie-ro Industrial desde 1996. Ejerce como profesor del Departamento de Mecnica de Fluidos de la Escola Tcnica Superior dEnginyeries Industrial i Aeronu-tica de Terrassa (ETSEIAT) de la UPC desde hace ms de 15 aos, y es profesor titular de escuela universitaria desde 1993. Durante este perodo, ha impartido clases de las asignaturas Mecnica de Fluidos, Maquinas Hidrulicas y Oleohidruli-ca, y en la actualidad se centra especialmente en la mecnica de fl uidos. Su labor investigadora se ha orientado a la oleohidrulica, campo en el que realiz la tesis doctoral. En los ltimos aos, ha for-mado parte de un grupo de investigacin del Insti-tuto de Investigacin Textil, donde ha trabajado en diversos proyectos internacionales. Es autor de varios libros, publicados tanto por Edi-cions UPC como por editoriales externas a la UPC, y de ms de ochenta artculos publicados en revistas y congresos nacionales e internacionales.

    EDICIONS UPC

    AULA POLITCNICA/ INGENIERA MECNICA

    Josep M. Bergad Grao

    Mecnica de fl uidos Problemas resueltos

  • AULA POLITCNICA 111

    Mecnica de fluidos Problemas resueltos

  • EDICIONS UPC

    AULA POLITCNICA/ INGENIERA MECNICA

    Josep M. Bergad Grao

    Mecnica de fluidos Problemas resueltos

  • Primera edicin: febrero de 2006

    Diseo de la cubierta: Jordi Calvet

    Josep M. Bergad Grao, 2006

    Edicions UPC, 2006 Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 93 401 68 83 Fax: 93 401 58 85 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es A/e: [email protected]

    Produccin: TECFOTO, SL Ciutat de Granada 55, 08005 Barcelona

    Depsito legal: B-9274-2006ISBN: 84-8301-833-0

    Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o proce-dimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos.

  • Prlogo I

    Prlogo La mecnica de fluidos tiene sus orgenes en la hidrulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor del ao 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidrulicas que aseguraban el regado de vastas zonas. Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusin de las construcciones hidrulicas. A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo que hoy se denomina mecnica de fluidos, algunas de las cuales son las realizadas por: Arqumedes (287-212 a.c.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotacin. Leonardo da Vinci (1452-1519), muestra la aparicin de vrtices en la zona de separacin de flujo; describe los principios de funcionamiento de mquinas voladoras. Pascal (1623-1662), en el estudio de la esttica de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton (1642-1727), realiza el anlisis espectral de la luz; define la teora de gravitacin universal; establece los principios de clculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot (1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (1700-1782), populariza la ley que define la energa asociada al fluido a lo largo de una lnea de corriente, estudia problemas sobre esttica y dinmica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemtica para el estudio del flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios bsicos del flujo a lo largo de un conducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidrulico. Henri Navier (1785-1836), basndose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, que posteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (1797-1884), estudiando el flujo en conductos cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento, y observa que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, as como del dimetro y la rugosidad del conducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determina experimentalmente la relacin entre presin y caudal en capilares. William Froude (1810-1879), se dedic durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueron continuadas por su hijo R.E. Froude (1846-1924), el cual defini el nmero adimensional que lleva su nombre y que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logr derivar la ecuacin de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contraccin, hallndolo para el caso de orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus ms conocidos estudios sobre los flujos a alta velocidad, deduce el nmero de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenmeno de cavitacin; define los regmenes laminar y turbulento, y el nmero adimensional que los identifica. Su teora sobre la lubricacin hidrodinmica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparicin y define la teora de la capa lmite, se considera como uno de los creadores de la mecnica de fluidos moderna. Theodor Von Karman (1881-1963) estudia los vrtices detrs de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentacin de cuerpos en el seno de un fluido en rgimen turbulento. Durante el siglo XX, los avances en la mecnica de fluidos son continuos, siendo la dinmica de gases, la aerodinmica y la aeronutica los campos que han experimentado y seguirn experimentado una especial proliferacin. Quisiera dedicar este libro a las personas cuyo apoyo he tenido constantemente, sin olvidar a las generaciones de estudiantes de los cuales se aprende a diario, y gracias a los cuales este libro es una realidad. Quisiera agradecer al profesor Eugenio Valencia el apoyo que durante los ltimos aos me ha prestado. Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales que necesiten repasar conceptos de mecnica de fluidos.

    Josep M. Bergad

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • ndice III

    ndice

    Pg. Captulo 1. Propiedades de los fluidos Problema 1 ...............................................................................................................................................................1 Problema 2 ...............................................................................................................................................................3 Problema 3 ...............................................................................................................................................................5 Problema 4 ...............................................................................................................................................................7 Captulo 2. Tensin y deformacin en medios continuos Problema 5 .............................................................................................................................................................11 Problema 6 .............................................................................................................................................................13 Problema 7 .............................................................................................................................................................17 Problema 8 .............................................................................................................................................................21 Captulo 3. Esttica Problema 9 .............................................................................................................................................................27 Problema 10 ...........................................................................................................................................................31 Problema 11 ...........................................................................................................................................................37 Captulo 4. Ecuacin de continuidad Problema 12 ...........................................................................................................................................................43 Problema 13 ...........................................................................................................................................................45 Problema 14 ...........................................................................................................................................................49 Problema 15 ...........................................................................................................................................................51 Problema 16 ...........................................................................................................................................................53 Problema 17 ...........................................................................................................................................................55 Captulo 5. Ecuacin de cantidad de movimiento Problema 18 ...........................................................................................................................................................59 Problema 19 ...........................................................................................................................................................61 Problema 20 ...........................................................................................................................................................65 Problema 21 ...........................................................................................................................................................67 Problema 22 ...........................................................................................................................................................71 Problema 23 ...........................................................................................................................................................73 Problema 24 ...........................................................................................................................................................75 Problema 25 ...........................................................................................................................................................81 Problema 26 ...........................................................................................................................................................85 Captulo 6. Ecuacin de Momento cintico Problema 27 ...........................................................................................................................................................93 Problema 28 ...........................................................................................................................................................97 Problema 29 .........................................................................................................................................................103 Problema 30 .........................................................................................................................................................109

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • IV Mecnica de fluidos

    Captulo 7. Ecuacin de la energa Problema 31 .........................................................................................................................................................111 Problema 32 .........................................................................................................................................................113 Problema 33 .........................................................................................................................................................117 Problema 34 .........................................................................................................................................................123 Captulo 8. Flujo con viscosidad dominante Problema 35 .........................................................................................................................................................127 Problema 36 .........................................................................................................................................................131 Problema 37 .........................................................................................................................................................135 Problema 38 .........................................................................................................................................................141 Problema 39 .........................................................................................................................................................145 Problema 40 .........................................................................................................................................................149 Problema 41 .........................................................................................................................................................151 Problema 42 .........................................................................................................................................................159 Captulo 9. Anlisis adimensional Problema 43 .........................................................................................................................................................169 Problema 44 .........................................................................................................................................................173 Problema 45 .........................................................................................................................................................175 Problema 46 .........................................................................................................................................................179 Captulo 10. Sistemas de tuberas Problema 47 .........................................................................................................................................................181 Problema 48 .........................................................................................................................................................185 Problema 49 .........................................................................................................................................................191 Captulo 11. Capa lmite Problema 50 .........................................................................................................................................................205 Problema 51 .........................................................................................................................................................207 Problema 52 .........................................................................................................................................................211 Problema 53 .........................................................................................................................................................215 Captulo 12. Flujo no estacionario Problema 54 .........................................................................................................................................................221 Problema 55 .........................................................................................................................................................227 Captulo 13. Gas dinmica Problema 56 .........................................................................................................................................................233 Problema 57 .........................................................................................................................................................249 Problema 58 .........................................................................................................................................................255 Bibliografa ..........................................................................................................................................................259

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Nomenclatura V

    Nomenclatura a = Aceleracin. [m/s2] Cd = Coeficiente de descarga. CP = Calor especfico a presin constante. [J/Kg K] CV = Calor especfico a volumen constante. [J/Kg K] CD = Coeficiente de arrastre. Coeficiente de resistencia para la capa lmite. CL = Coeficiente de sustentacin. D = Fuerza de sustentacin. [N] D = Dimetro. [m] Dh = Dimetro hidrulico. [m] F = Fuerza. [N]. f = Coeficiente de friccin. g = Aceleracin gravitatoria. [m/s2] H = Energa por unidad de peso. [J/Kg g] H=h=Z = Nivel de referencia, (cota). [m] h = Entalpa. [ J/Kg] L = Longitud. [m] L = Fuerza de arrastre. [N] M = Par. [N m] m = Caudal msico. [Kg/s] N = W Potencia. [W] [Kw] NPSH = Altura neta positiva de aspiracin. [m] P = Presin. [Pa] P*= Presin reducida. [Pa] R, r = Radio. [m] R = Constante caracterstica de cada gas. [J / Kg K] Re = Nmero de Reynolds. S = Seccin de paso. [m2] Q = Caudal volumtrico. [m3/s] Q = Flujo de calor. [J/s] T = Temperatura [C; K] t = Tiempo. [s] U = V= Velocidad del fluido. [m/s] u = Energa interna. [J/Kg] V = Velocidad. [m/s] W = Potencia. [W] [Kw] = Volumen. [m3] Y = Energa por unidad de masa. [J/Kg] YT = Energa terica por unidad de masa. [J/Kg] Z = Nivel de referencia, (cota). [m] T = Coeficiente de expansin trmica. [K-1] = Mdulo de compresibilidad volumtrica. [N/m2] h = Prdidas de carga por rozamiento. [m2/s2] P = Variacin de presin. [N/m2]. x = Variacin de posicin [m].

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • VI Mecnica de fluidos

    = operador diferencial nabla. 2 = operador diferencial laplaciano.

    = circulacin. [m2/s] = Rugosidad. [m] = Rendimiento. = Viscosidad dinmica. [Kg /s m] = Viscosidad cinemtica. [m2/s] = Densidad. [Kg /m3] = espesor de la capa lmite. [m] = Tensin superficial. [N/m]. = Esfuerzo cortante. [N/m2]. = Velocidad de deformacin angular. [s-1] = = Vorticidad. = =Velocidad angular [rad / s]

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 1 1

    Problema 1 1.1 Enunciado Entre los extremos de un tubo de 0,006 m de dimetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia de presin relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de -6 2Q = 3,5 10 m s , halle la viscosidad del fluido circulante (considerando rgimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hiptesis.

    1.2 Resolucin La velocidad media de paso del fluido por el conducto ser:

    -6

    2

    Q 3,510 mU = = = 0,1237S s 0,006

    4

    Dado que no se puede determinar el nmero de Reynolds, se considerar que el rgimen de flujo es laminar; al final de proceso se comprobar esta hiptesis.

    Considerando que el fluido fluye segn la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribucin de velocidades en direccin radial segn Poiseulle es:

    ( )2*

    2 2

    *2

    P 1 1 r U = r - R = Umx 1-x 4 R

    P 1donde Umx = - Rx 4

    La relacin velocidad mxima-velocidad media UmaxU =2

    donde * 2P RU = -

    x 8

    La diferencia de presin entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzos cortantes en la pared del mismo, as:

    2 2*

    totalD 0,006Fp = P = 50.000 = 1,4137 N4 4

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 2 Mecnica de fluidos

    El esfuerzo cortante se define como:

    2

    mx

    mx 2

    U r= = U 1-r r R

    2 r= - UR

    El esfuerzo cortante de la pared valdr:

    mx

    mx

    r = R2= - URU

    como U =2

    U= - 4R

    El esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo ser:

    UF = S = 2 R L = - 4 2 R LR

    como - F = Fp

    1,4137 = 8 U L = 8 0,1237

    2

    NS = 0,4547m

    Para que el flujo sea laminar se debe cumplir:

    UD 0,12370,006 Re = = < 2.400 0, 4547

    Para cumplir la igualdad, se tiene que debera valer 3 = 1.470.331Kg m ; como esto es imposible, se concluye que la hiptesis es acertada. En concreto, para una densidad de 3800Kg m , se obtiene Re = 1,3.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 2 3

    Problema 2 2.1 Enunciado Halle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosmetro cilndrico de la figura. (Considrense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.) Datos: H = 10 cm R1 = 3 cm h = 0,1 cm = 710-3 Ns/m2

    2.2 Resolucin En la cara lateral se tiene:

    du = dy

    1 1v 0 R du = =

    dy h h

    Los valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen:

    Hh

    h

    R1

    Fig. 2.1

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 4 Mecnica de fluidos

    21L 1 1

    R F = dS = 2 R H = 2 HR

    h h

    31L 1 1 1 1

    R M = FR = 2 R H R = 2 H Rh h

    El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales ser:

    23

    L 1 N = M = 2 H Rh

    En la base del cilindro, se tiene:

    i iV rdu = =dy h h

    Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, sern:

    R3R i i

    B i i0S 0

    r r2F = dS = 2 r dr = h h 3

    3

    B RF = 2 h 3

    R4

    3 iB B i i i

    0

    R 2 2M = dF R = r dr = h h 4

    4

    B 2 RM =

    h 4

    La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, ser:

    NB = M = 2 4 2 Rh 4

    con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro ser:

    NT = NL + NB = 42

    3 11

    R 2 H R +h 4

    = 710-32 4

    310 0,032 0,10,03 +0,001 4

    NT = 0,0127 [W]

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 3 5

    Problema 3 3.1 Enunciado Halle la expresin del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.

    e

    da

    d

    R

    Fig. 3.1 3.2 Resolucin Las tensiones cortantes existentes se pueden definir como:

    V R r cos = = =n e e

    ;

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 6 Mecnica de fluidos

    Estudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como:

    32

    r cos r cosdF = dS = 2 r da = 2 r cos r d =e e

    r= 2 cos de

    As mismo, el momento resistente resultante valdr:

    idM = dF R = dF r cos 3

    2 rdM = 2 cos d r cose

    o

    o

    4903

    -90

    rM = 2 cos de

    con lo cual, la potencia necesaria para hacer girar la esfera sera:

    o

    o

    4 902 3

    -90

    rN = M = 2 cos de

    y quedara:

    o

    o

    904 902 2

    -9090

    r 1 2N = M = 2 cos s e n cos de 3 3

    +

    90 904

    2 2

    90 90

    r 1 2N = 2 cos s e n sene 3 3

    +

    4

    2 r 8N = e 3

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 4 7

    Problema 4 4.1 Enunciado Se hace rotar un cuerpo cnico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene un dimetro de 5 cm, y el espesor de la partcula de aceite es de 0,1 mm. Si la viscosidad del aceite es de 710-3 [NS/m2], halle el par necesario para mantener el movimiento.

    iR5 cm

    Figura 4.1. Esquema del cuerpo cnico. 4.2 Resolucin Se divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base. En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genrico vale:

    i = id

    dn = i

    R

    e = i

    h tg

    e;

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 8 Mecnica de fluidos

    e

    X

    En la base:

    i = id

    dn = i

    R

    e;

    dri

    dzdhi

    La fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral:

    idF = dS = 2 R dZ cos =dhdz

    ;

    i idh dhdF 2 R 2 h tg

    cos cos= =

    2 2

    idhdF = h tg 2

    e cos

    32 2h

    2 ii

    0

    h tg tg F = 2h dh = 2e cos e cos 3

    La fuerza en la base ser:

    idF = dS = 2R dR

    2i

    dF = R 2dRe

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 4 9

    3R2i

    0

    RF = 2 R dR = 2e e 3

    El par necesario en la superficie lateral:

    i

    i

    M = F RdM = dF R

    2

    2i i

    tg dM = 2h dhRcos e

    i iR = h tg

    3 3 4h

    3L i

    0

    tg tg hM = 2 h dh = 2cos e cos e 4

    El par en la base:

    2i i idM = dF R = 2 R dR Re

    4h

    3b i

    0

    RM = 2 R dR = 2e e 4

    El par total necesario para mantener el movimiento ser:

    TM = L bM + M

    4 43 3

    4 4T

    h Rtg 2 tg M = 2 + 2 = h + Rcos e 4 e 4 e 4 cos

    Sustituyendo el radio por su equivalente:

    4 3T

    1M = h tg + tge 2 cos

    La potencia necesaria para mantener el sistema en movimiento ser:

    24 3

    T 1N = M = h tg + tge 2 cos

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 5 11

    Problema 5 5.1 Enunciado Sea un volumen de agua de 1 m3, sometido inicialmente a una presin de 105 Pa y a una temperatura de 280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presin del fluido son de 300 K y 3 105 Pa, determine el volumen que ocupar el lquido en estas condiciones. Datos:

    4 1

    T 1,5310 K = (coeficiente de expansin trmica)

    9

    2

    N1,96 10m

    = (mdulo de compresibilidad volumtrica)

    5.2 Resolucin La definicin del mdulo de compresibilidad y del coeficiente de expansin trmica es:

    dpd

    =

    T

    1 ddT =

    La variacin de volumen con la presin y la temperatura se define:

    d dp dTp T

    = +

    de donde:

    d dp dT = +

    Integrando:

    P T

    P T

    final final final

    inicial inicial inicial

    d dp dT

    = +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 12 Mecnica de fluidos

    ( ) ( )final final inicial final inicialinicial

    1ln p p T T

    = +

    ( ) ( )final inicial final inicial final inicial1ln ln p p T T = +

    ( ) ( )1 p p T T

    final inicial

    final inicial final iniciale e =

    Sustituyendo valores, se obtiene:

    final inicial 1,002961 = El volumen del fluido al final ser ligeramente mayor que el inicial.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 6 13

    Problema 6 6.1 Enunciado Dados un fluido de densidad constante que fluye en un canal convergente con una altura media de

    0YY =x1+L

    y una velocidad en direccin x de 2

    0x yu = u 1+ 1-L Y

    , siendo u0 =1 m/s

    L = 5m

    xYo = 1m

    Ys = 0,5m

    Calcule: La velocidad transversal, v(x, y). La aceleracin lineal, la velocidad angular, la vorticidad, la velocidad de deformacin volumtrica y la velocidad de deformacin angular para dicho fluido. 6.2 Resolucin Para un fluido incompresible y flujo bidimensional, la ecuacin de continuidad puede expresarse:

    v u= -y x

    ;

    En funcin de los datos del enunciado, la velocidad en direccin x se puede dar:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 14 Mecnica de fluidos

    2 32 2

    0 02 20 0

    x y x x y xu = u 1+ 1- 1+ = u 1+ - 1+L L L LY Y

    derivando respecto a x se obtiene:

    220

    20

    uu 3y x- = - 1- 1+x L LY

    ;

    con lo cual la velocidad en direccin y ser:

    2 2220 0 0

    2 20 0

    u u u 3y3y x xv = - 1- 1+ dy = - dy + 1+ dyL L L LY LY

    23

    0 02

    0

    u y u y xv = - + 1+ + C(x)L LLY

    ;

    Condiciones de contorno: v = 0; cuando y = Y y para cualquier x;

    2

    30 0 0 0

    2 30

    x1+u Y u Y L0 = - + + C(x)

    x LY xL 1+ 1+L L

    Sustituyendo para x = 0

    C(x) = 0; por lo tanto:

    2 20

    0

    u y y xv = - 1- 1+L Y L

    Eligiendo el sistema cartesiano de coordenadas, la aceleracin en direccin x e y ser:

    xDu u u ua = = + u + vDt t x y

    yDv v v va = = + u + vDt t x y

    Puesto que se est en rgimen permanente: u v= = 0t t

    Derivando las velocidades u y v respecto las direcciones x e y se tiene:

    22

    0 20

    u 1 3y x 1= u - 1+x L L LY

    ;

    3

    0 20

    u 2y x= u - 1+y LY

    ;

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 6 15

    3

    0 20

    v y x 1= u 2 1+x L LLY

    ;

    22

    0 20

    v 3y x 1= u 1+ -y L LLY

    ;

    Sustituyendo en las ecuaciones para la aceleracin, se obtiene:

    2 43 520

    x0 0

    u x y x y xa = 1+ - 2 1+ + 1+L L Y L Y L

    2 452 3

    0y 2 2 4

    0 0

    u y x y xa = y - 2 1+ + 1+L LL Y Y

    La velocidad angular se define como:

    z1 v u= - ;2 x y

    Obsrvese que: x1 w v= - = 02 y z

    y1 u w= - = 02 z x

    Sustituyendo, queda:

    220

    z 2 20

    yu x y x= 1+ + 1+L LY L

    ;

    Puesto que la vorticidad se define como el doble de la velocidad angular, z = 2z ;

    220

    z 2 20

    yu x y x = 2 1+ + 1+L LY L

    ;

    la velocidad de deformacin volumtrica est dada en este caso por:

    ( )d 1 u v= + dt x y

    Al sustituir u vyx y

    , se llega a:

    ( )d 1 = 0

    dt

    ;

    la velocidad de deformacin angular viene dada por:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 16 Mecnica de fluidos

    xy1 u v= +2 y x

    ;

    puesto que:

    xz1 u w= + 02 z x

    = ; yz

    1 v w= + 02 z y =

    ;

    Sustituyendo, se llega a:

    2 20

    xy 2 20

    yu x x y= 1+ - 1+ +L LY L

    ;

    Cabe recordar que, aunque matemticamente se puedan separar, la rotacin, la dilatacin y la deformacin angular, ocurren en el fluido de forma simultnea, y no se pueden separar desde el punto de vista fsico.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 7 17

    Problema 7 7.1 Enunciado Sea un flujo definido por una distribucin de velocidades tal como:

    xu =1+ t

    ; yv =1+ 2t

    ; w = 0

    Halle la lnea de corriente, senda o trayectoria y la lnea de traza que en el instante t = 0 pasa por el punto

    0, 0, 0(x y z ) . 7.2 Resolucin Puesto que w = 0, el flujo es bidimensional y, todas la lneas de corriente sern paralelas al plano XY La determinacin de las lneas de corriente se basa en la ecuacin: dx x= u =ds 1+ t

    dy y= v =ds 1+ 2t

    Integrando para t = cte, queda: dx ds=x 1+ t

    ; slnx = + cte1+ t

    ( )variables x,y s

    1+t1x = c e

    2s

    1+2ty = c e Para calcular las constantes, se impondr la condicin: s=0; x=X0; y=Y0, y se obtendr C1= x0; C2= y0; Eliminando s, queda:

    ( ) ( )0 0

    x yln . 1+ t = ln . 1+ 2tx y

    Reagrupando en x e y, se obtendr:

    0 0

    x 1+ t yln . = lnx 1+ 2t y

    ; 00

    yx 1+t lnln .yx 1+2te = e

    ;

    1+t1+2t

    0 0

    x y=x y

    ;

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 18 Mecnica de fluidos

    Se obtiene as la ecuacin de las lneas de corriente que pasan por (x0, y0) en cualquier instante t:

    1+t1+2t

    00

    xy = yx

    Para t = 0 0 0

    y x=y x

    La lnea de corriente ser una lnea inclinada 45 que pasa por el punto (X0, Y0), ver figura 7.1:

    y

    x

    aumentando t

    t = -1/3t = -1/6

    t = 0

    t = 1/3

    t = 1

    t = infinito

    yo

    xo

    Fig. 7.1. Lneas de corriente que pasan por el punto X0 Y0 para diferentes estados temporales Las lneas de corriente se pueden determinar tambin utilizando la ecuacin: dx dyu v

    =

    Sustituyendo los valores de u y v se obtiene:

    dx dyx y

    1 t 1 2t

    =

    + +

    de donde: dx dy 1 2tx y 1 t

    +=+

    Integrando entre lmites, se obtiene:

    X Y

    X Y0 0

    1 t dx dy1 2t x y+ =+

    de donde: 0 0

    1 t x yln ln1 2t x y

    + = +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 7 19

    o bien:

    1 t1 2 t

    0 0

    x yx y

    ++

    =

    Vase que se obtiene la misma ecuacin que en el apartado anterior. Las sendas o trayectorias se determinan integrando las ecuaciones A y B

    (A) dx x=dt 1+ t

    (B) dy y=dt 1+ 2t

    Integrando,

    dx dt=x 1+ t

    ; ( ) 1lnx = ln 1+ t + k ; ( )ln 1+t +k1lnxe = e ( ) 1x = 1+ t .k' (C)

    dy dt=y 1+ 2t

    ; ( ) 21lny = ln 1+ 2t + k2

    ; ( )1 ln 1+2t +k2lny 2e = e ( )

    12 2y = 1+ 2t .k' (D)

    Aparecen dos nuevas constantes, k1 y k2, que corresponden a 1ke y 2ke Aplicando las condiciones de contorno t=0, x=X0, y=Y0, queda:

    0 1X = k' ; ( ) 0x = 1+ t .X

    0 2Y = k' ; ( )12 0y = 1+ 2t .Y

    Eliminando el tiempo se obtiene la ecuacin de la senda o trayectoria.

    12

    00

    xy = 1+ 2 -1 .YX

    sta se muestra en la figura 2.Vase que no coincide con la ecuacin de la lnea de corriente en t=0. Para hallar la lnea de traza, se parte de las ecuaciones integradas de las sendas, ecuaciones C y D, y se calcula la familia de partculas que pasaron por (X0, Y0) en instantes < t. As pues, para t = , x =X0, y =Y0, se obtiene:

    (C) ( ) 1x = 1+ t .k' ; 01 Xk' =1+

    ( ) 01+ tx = X1+

    (D) ( )12 2y = 1+ 2t .k' ;

    ( )0

    2 12

    Yk' =1+ 2

    ( )( )

    12

    012

    1+ 2ty = Y

    1+ 2

    Estas expresiones corresponden a las lneas de traza que pasan por (X0, Y0) en cualquier instante t.

    Para t =cte, se igualan los valores de de las dos ecuaciones.

    ( ) ( )2

    00

    1+ t Y 1 = .X -1 = 1+ 2t . -1x y 2

    ( ) ( )2

    0 01+ 2tX 1 Y1+ t - =x 2 2 y

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 20 Mecnica de fluidos

    Despejando 0

    yY

    , se obtiene:

    0

    yY

    = ( )

    ( )

    12

    0

    1+ 2tX2 1+ t -1x

    Para t =0 0

    yY

    =

    12

    0

    1X2 -1x

    = 1-20X2 -1

    x

    Lnea tambin representada en la figura 2. Fsicamente, la lnea de traza refleja el comportamiento de las lneas de corriente antes del instante t =0, mientras que la senda refleja lo que ocurre despus. Una lnea de traza se genera experimentalmente por medio de la inyeccin continua de partculas marcadas (tinta, humo o burbujas) desde un punto fijo. Como ltima observacin, cabe decir que en caso de flujo estacionario, las lneas de traza, senda y corriente coinciden.

    Lnea de traza

    Lnea de corriente

    Senda

    y

    x

    YO

    XO

    Fig. 7.2 Lnea de corriente, senda y lnea de traza que pasan por X0 e Y0 en T = 0

    Lnea de traza

    Lnea de corriente

    Senda

    placa oscilanteFlujouniforme

    Puntoemisor

    Fig. 7.3 Flujo no estacionario alrededor de una placa oscilante, visualizado con burbujas desprendidas de un punto fijo. Adaptado del problema 1-14 del libro Mecnica de Fluidos del autor Frank M White edicin 1988, publicado por McGraw-Hill..

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 8 21

    Problema 8 8.1 Enunciado Sea el movimiento en rgimen permanente definido en coordenadas eulerianas y dado por el campo de velocidades: v = (2x - 3y)i + (3x - 2y)j Se pide: 1. Demuestre que el fluido es incompresible. 2. Determine el campo de aceleracin a y el campo de vorticidad ( ). 3. Determine las lneas de corriente e identifique aquella que pasa por el punto x =1; y =1; z =0. 4. Determine la ecuacin de las lneas de torbellino (vector remolino ) 5. Calcule la circulacin del vector velocidad a lo largo de la lnea de corriente que pasa por el punto x =1; y =1; z =0. Calcule tambin el flujo de vorticidad a travs de la superficie que tiene por lnea frontera aquella lnea de corriente.

    6.- Calcule la velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario 2 2 r = i - j2 2

    8.2 Resolucin 1. La ecuacin de conservacin de la masa en forma diferencial se enuncia:

    ( ) + .v =t

    0 ;

    Si el fluido es incompresible,se ha de cumplir: V 0 = Sustituyendo:

    x y zv v vv = + + = 2 - 2 + 0 = 0

    x y z

    fluido incomprensible

    2. ( )va = + v vt

    Por ser el movimiento estacionario, vt

    = 0

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 22 Mecnica de fluidos

    ( ) ( )( )

    x y z

    x y z

    x y z

    v v vx x xv v vv v 2x 3y 3x 2y .y y yv v vz z z

    =

    = ( )( )2x - 3y 3x - 2y .23

    32

    =

    = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x - 3y 2 + 3x - 2y - 3 i + 2x -3y 3 + 3x - 2y -2 j = = [ ] [ ] 4x - 6y -9x + 6y i + 6x -9y - 6x + 4y j = -5xi - 5yj El campo de vorticidad est definido por V rot V = =

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    i j k

    = = 3x - 2y k - 2x -3y k = 6kx y z x y

    2x -3y 3x - 2y 0

    El fluido est girando respecto al eje z. 3. Las lneas de corriente se definen por la ecuacin diferencial:

    x y

    dx dy=V V

    ; dx dy=2x -3y 3x - 2y

    ; ( ) ( )dx 3x - 2y - dy 2x -3y = 0

    Se llega a una ecuacin diferencial del tipo: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Se debe comprobar si se trata de una diferencial exacta:

    Para ello, se ha de cumplir M(x, y) N(x, y)=y x

    Recordando que

    N(x,y) = ( )- 2x -3y

    Se observa que la ecuacin diferencial es exacta, dado que las dos derivadas tienen el mismo valor.

    M(x, y)y

    = N(x, y)x

    =-2

    Puesto que se trata de una diferencial exacta, la solucin de la ecuacin ser del tipo:

    ( )2xF(x, y) = M(x, y)dx = 3x - 2y dx = 3 - 2xy + C(y)

    2

    y debe cumplirse que F(x, y)N(x, y) =y

    ,

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 8 23

    con lo cual: ( )- 2x - 3y = -2x + C'(y) C'(y) = 3y 2

    03yC(y) = + C2

    Por tanto la funcin queda:

    2 2

    03x 3yF(x, y) = - 2xy + + C = 0

    2 2

    (Si en lugar de igualarla a 0 se iguala a cualquier otro nmero, se obtendrn elipses concntricas.)

    Sustituyendo para el punto x =1; y =1; z =0, queda:

    03 3F(x, y) = - 2 + + C = 02 2

    0C = -1

    En este punto, la funcin ser:

    2 23x 3y+ - 2xy -1 = 02 2

    Ecuacin de la lnea de corriente que pasa por el punto (1,1,0) y representa la ecuacin de una elipse centrada en el origen pero inclinada un ngulo .

    Con el fin de hallar la ecuacin de la elipse referida a sus ejes centrales, se debe determinar el ngulo de rotacin de la misma. La expresin de una elipse plana en cualquier punto del eje de coordenadas y girada un ngulo viene dada por:

    2 2Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 El trmino x y es el que da la rotacin.

    Los trminos en x e y dan el desplazamiento (en este caso, no existe desplazamiento)

    El ngulo de giro viene dado por: ( ) A - Ccotg 2 =B

    La ecuacin hallada es: 2 23x 3y+ - 2xy -1 = 0

    2 2. Y se puede expresar como:

    2 23x + 3y - 4xy - 2 = 0 (1)

    Se deduce que A =3; B =-4; C =3.

    ( ) 3-3cotg 2 = = 0-4

    2 = 90 = 45

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 24 Mecnica de fluidos

    x

    45

    x'

    y'y

    Fig. 8.1 Inclinacin de la elipse respecto a los ejes coordenados

    Para transformar la ecuacin de la elipse referida a los ejes x y respecto a los ejes xy se debe realizar el cambio:

    x = x'cos - y'seny = x'sen + y'cos

    x = x'cos45 - y'sen45y = x'sen45 + y'cos45

    Sustituyendo en la ecuacin (1):

    2 22 2 2 2 2 2 2 23 x' - y' + 3 x' + y' - 4 x' - y' . x' + y' - 2 = 0

    2 2 2 2 2 2 2 2

    Desarrollando se llega a 2 2x' + 5y' - 2 = 0 La ecuacin de la elipse respecto a los ejes x e y ser:

    2 21 5x' + y' -1 = 02 2

    La ecuacin genrica de una elipse centrada es:

    2 2

    2 2

    x y+ = 1a b

    ;

    siendo a y b los semiejes principales, que en este caso valdrn:

    a = 2

    2b =5

    4. El vector remolino se define como .

    1 = 2

    ( = 6k ) apartado 2 = 3k

    5. La circulacin del vector velocidad se define como:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 8 25

    ( ) ( ){ }{ } = v.dl = i 2x -3y + j 3x - 2y i.dx + j.dy

    Esta integral hay que realizarla a lo largo de la lnea de corriente (que es la elipse); para integrar se deben transformar todos estos parmetros en uno solo e integrar respecto a dicho parmetro. Consecuentemente, se han de dar los valores de x, y, dx, dy en funcin de los semiejes principales de la elipse y el ngulo de giro. Las relaciones de transformacin son:

    ysen =bxcos =a

    x = acos = 2cos

    2y = bsen = sen5

    dx = -asend = - 2send

    2dy = bcosd = cosd5

    x

    yb

    a

    Fig. 8.2. Relaciones de transformacin para una elipse Sustituyendo estos valores en la integral se obtiene como nica variable el ngulo , que se integrar entre 0 y 2;

    ( ) ( ) ( )2 20 0

    2 2 2 = 2x - 3y dx + 3x - 2y dy = 2 2cos - 3 sen . - 2sen d + 3 2cos - 2 sen . cos d5 5 5

    De realizar la integracin se obtiene que 12 =5

    Se observa que este camino elegido es largo. Un mtodo alternativo sera la aplicacin del teorema de Stokes:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 26 Mecnica de fluidos

    ( )l s s s s

    vdl = v ds = .ds = 6k.nds = 6 ds = 6ab rea de la elipse

    2 126ab = 6 2. = = 5 5

    6. La velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario 2 2r = i - j2 2

    se calcula

    mediante la expresin:

    ij i j1 d. dr = e dr dt

    2i = 2

    2j = - 2

    de donde eij valdr:

    ij =

    u 1 u v 1 u w+ +x 2 y x 2 z x

    1 v u v 1 v we + +2 x y y 2 z y

    1 w u 1 w v w+ +2 x z 2 y z z

    Sustituyendo:

    ( )

    ( )

    212 -3 + 3 0 22 21 d 1 2. dr = -3 + 3 -2 0 . - = 2dr dt 2 2

    00 0 0 0

    La velocidad de deformacin lineal vendr dada por 2 i 2 j.+

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 9 27

    Problema 9 9.1 Enunciado Sea una esfera de radio la unidad, sumergida parcialmente en agua. Se conoce que, en la posicin de equilibrio, el punto de tangencia del casquete esfrico que sobresale del lquido con el eje de abscisas que pasa por el centro de la esfera forman un ngulo de 45 grados. Determine: 1. La densidad del material de que est compuesta la esfera. 2. Si la esfera se sumerge en mercurio, determine el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera.

    Agua

    Esfera

    45

    Figura 9.1. Esquema de la esfera parcialmente sumergida.

    9.2 Resolucin

    1. El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura 9.2.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 28 Mecnica de fluidos

    Figura 9.2. Esquema del elemento diferencial empleado

    y

    s s s

    E = - dF = - dFsen = - gy2rRdsen;

    puesto que: r R cosy h R se n=

    =

    ( )

    2

    2 3 2

    2 2

    2 32 3

    2 2

    E g(h R s e n )2 R cos Rs e n d ;

    E gh2 R cos s e n d g2 R s e n cos d ;

    s e n s e nE gh2 R g2 R 12 3

    =

    = +

    = +

    ( );Para = h=Rsen Rsen 454 4

    =

    ( )

    2 2 2 3 3 3

    2 3

    1 1E gh2 R sen sen g2 R sen sen ;2 4 2 3 4 21 1 1E gh2 R 1 g2 R 0,353553 1 ;2 2 3

    = + = +

    ( )

    ( )

    2 3

    2 3

    1 1E gh2 R g2 R 1,353553 ;4 3

    R RE g2 h 1,353553 ;4 3

    = +

    = +

    h y

    x x

    y

    y

    F

    R

    r

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 9 29

    ( )3 3

    3 3 3

    R sen45 RE g2 1,353553 ;4 3

    sen45 1,353553E g2 R g2 R 0,62796 g R 1, 25594 3

    = +

    = + = =

    El peso de la esfera ha de ser igual a su empuje, con lo cual se ha de cumplir:

    2

    2

    3 3E H O

    H OE 3

    4w g R E g R 1,25593 1,2559 Kg941,94 4 m3

    = = =

    = =

    Vase que, tal como caba esperar, la densidad es menor que la densidad del agua. 2. Si la esfera se sumerge en el mercurio, y dado que la densidad del mercurio es 13,6 veces la densidad del agua, se puede realizar una estimacin inicial calculando si la mitad de la esfera quedar o no cubierta por el mercurio. Para ello, se ha de evaluar si se cumple:

    3 3esfera esfera esfera Hg

    4 1 4Peso W g R g R3 2 3

    >

    t 0v 2

    0 x X

    Donde V1 y 1 son la velocidad y la densidad de referencia; por ejemplo, la velocidad y la densidad del fluido a la entrada del conducto.

    S

    dx

    dV

    Ve Vs

    xX

    Fig. 16.1

    Halle la diferencia de flujo msico que entra y sale del conducto en funcin del tiempo. 16.2 Resolucin La ecuacin de continuidad se expresa:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 54 Mecnica de fluidos

    c ss se

    d0 = d + vds + vdsdt

    ;

    c ss se se ss

    d d = - vds - vds = vcosds - vcosdsdt

    ;

    c

    e sd d = m - mdt

    ;

    La variacin de flujo msico se obtendr de resolver esta ecuacin, de donde:

    c

    X X1 1

    1 10 0

    v t v td d x d xd = 1- sen S dx sen S 1 dxdt dt 2X X dt X 2X

    = =

    X2

    1 11 1

    0

    v t v td x d 3= sen S x - = sen S Xdt X 4X dt X 4

    =

    = 1 11v t v3= S X cos

    4 X X ; simplificando

    c

    1e s 1 1

    v td 3m m d = S v cosdt 4 X

    = Por otro lado, si en lugar de realizar el proceso de integracin inicialmente y luego el de derivacin se realiza a la inversa, se obtiene:

    c

    X X1 1

    1 10 0

    v t v td d x x dd = 1- sen S dx S 1 dx sendt dt 2X X 2X dt X

    = =

    c

    X1 1

    10

    v t vd xd S 1 dx cosdt 2X X X

    = =

    Integrando:

    c

    X1 1 1

    1 1 10

    v t v v td x 3d S 1 cos S V cosdt 4X X X 4 X

    = =

    Obsrvese que en ambos casos se obtiene el mismo resultado.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 17 55

    Problema 17 17.1 Enunciado En el esquema de la figura 17.1, halle la ecuacin diferencial que determina la variacin temporal de presin en la cmara del cilindro, conocidas las ecuaciones de los caudales de fuga, QL1; QL2.

    Ao

    Pd

    Pn

    PoutQL1

    QL1

    QL2

    V

    Q

    Fig.17. 1 17.2 Resolucin La ecuacin de continuidad en modo integral y rgimen transitorio se enuncia:

    vc scd d + Vr ds = 0dt

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 56 Mecnica de fluidos

    vc s s s0 1 2

    d d + Vr ds + Vr ds + Vr ds = 0dt

    puesto que la densidad y el volumen de control dependen del tiempo.

    0 1 2vc vc s s sd dd + d + Vr ds + Vr ds + Vr ds = 0dt dt

    inicial salida 0 salida1 salida 2

    d d+ + m + m + m = 0dt dt

    dp dp dp 1 dp dp = - = - = -v = - = ;d m dv d1d d

    m

    d dp= ;

    d dp= ;dt dt

    inicial salida 0 L1 L2 dp d+ + Q + Q + Q = 0 dt dt

    Despejando la densidad:

    outlet0 L1 L2dp d+ + Q + Q + Q = 0

    dt dt

    velocidadd dx= S = S V ;dt dt

    salida 0 L1 L2dp d= -Q - Q - Q -dt dt

    ( )salida 0 L1 L2 velocidaddp = -Q - Q - Q -S Vdt (A) La variacin temporal de presin en la cmara cilndrica puede ser determinada si se conocen las ecuaciones de los caudales de fuga en funcin de la presin Pn necesitndose tambin el valor temporal de la velocidad del pistn. A modo de ejemplo, y para el pistn de la figura 17.2, estas ecuaciones se podran dar de la siguiente manera: Suponiendo que en t = 0 el pistn se halla en el PMI (punto muerto inferior), la velocidad del pistn se puede dar como:

    ( ) ( )velocidad nV = -r tan sen ; n = posicin angular = t r = radio del plato inclinado = ngulo de inclinacin del plato inclinado El caudal de salida del fluido hacia el exterior de la bomba se da por:

    ( ) ( )salida 0 n d 0 n d2Q = signo de P - P Cd A P - P ;

    Cd = coeficiente de descarga A0= rea de salida.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 17 57

    r4

    L4 L6 L8 L10L5 L7 L9 L11

    L2L1 L3

    r0

    r1r2

    PinletPoutlet

    r3

    Figura 17.2. Conjunto pistn y patn deslizante Para el pistn de la figura 17.2, el caudal de fugas temporal viene dado por la ecuacin:

    ( )( )1 pL1

    h R tan sen tQ D

    2

    =

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    10 1Tank n p 2 4 6 8 103

    10

    1 2 3 11 p 2 4 6 8 103 3 311 2 1

    h hP P 6R tan sen t l l l l lhD

    12 0,0195 1 1l l l ..... l R tan cos t l l l l l2h h h

    + + + + + + + + + + + + +

    Obsrvese que el caudal depende de la velocidad temporal del pistn y de la longitud del pistn en el interior del cilindro. Para el patn deslizante de la figura 17.2, y considerando que el patn se desliza paralelo al plato inclinado, el caudal de fugas vendr dado por:

    n outL2

    32 43 3 3

    1 2 31 2 3

    p pQ

    6 rr r1 1 1ln ln lnr r rh h h

    =

    + +

    La integracin de la ecuacin diferencial (A) con las correspondientes ecuaciones asociadas da lugar a la variacin de presin en la cmara del pistn, en funcin del tiempo.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 18 59

    Problema 18 18.1 Enunciado El chorro de agua que sale por una tobera es de 10 mm de dimetro y choca contra una superficie semiesfrica. Halle la fuerza que hay que realizar para que la superficie semiesfrica no sufra desplazamiento alguno. Aplquelo para el caso de que el caudal volumtrico entrante sea de 0,001 m3/s. Comente las hiptesis realizadas.

    Fig. 18. 1 18.2 Resolucin El empuje que el chorro de fluido ejerce sobre la superficie semiesfrica tiene la misma magnitud y sentido contrario a la fuerza que hay que ejercer para que la semiesfera no se desplace. La figura 18.2 muestra un esquema de las fuerzas actuantes sobre la semiesfera. La ecuacin de cantidad de movimiento establece:

    Q

    +j+i-i

    -j

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 60 Mecnica de fluidos

    Ps Pe Ps

    PL

    Vs Vs

    Ve

    Fig. 18.2 Fuerzas que actan sobre la semiesfera

    ySe Ss Sl Sl VC Sc

    d F = - P dSj- P dSj+ dSj- P dSj = vdV + vvndSdt

    trabajando en presiones relativas y rgimen permanente.

    ( ) ( ) ( )

    Ly e sSe Ss

    F = v vn dS + v vn dS = -m v + v suponiendo que la velocidad de entrada y salida del agua en el volumen de control es la misma.

    Ly e eF = -2 m v = -2 Q v Siendo esta la expresin de la fuerza de reaccin en funcin del caudal de entrada. Para agua y un caudal entrante de 0,001 m3/s, la fuerza tendr un valor de: FLY = - 25,46 N

    FLy

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 19 61

    Problema 19 19.1 Enunciado Dado el esquema de la figura, que representa el flujo de un fluido, que se puede considerar incompresible, a travs de una vlvula de asiento cnico, y sabiendo que la relacin de presiones entrada-salida es Pe-Ps; determine la fuerza debida a la cantidad de movimiento que se ejerce sobre la corredera cnica. Denomnese el flujo volumtrico circulante Q; la densidad del fluido ; el dimetro del conducto del flujo entrante, De, y la distancia perpendicular entre la superficie lateral del cono y el asiento cnico e. Supngase que el ngulo del cono es .

    D2

    oe

    Pe

    Ps

    ds

    Pe

    Psds

    Fig. 19.1 Fig. 19.2 19.2 Resolucin Son conocidos los siguientes datos: Q, , Pe, Ps, De y D2 La ecuacin de cantidad de movimiento en direccin y ser:

    y y y rvc scFext v d v v ds

    t= +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 62 Mecnica de fluidos

    Desarrollando la expresin anterior, se obtiene:

    e sy y r y r y e e y s sse ssFext v v ds v v ds v v s v v s= + = +

    Resolviendo para el caso en estudio (v. figura 19.3):

    2 2y e e s sFext v s v s cos 2= + ( 1 )

    A continuacin, se determinan las variables necesarias para resolver la expresin anterior:

    e 2e

    QvD4

    =

    ; ss

    Qvs

    = ; 1 2r r e cos 2 =

    La superficie saliente tendr un valor (v. figuras 19.4, 19.5 y 19.6) de:

    ds 2 r dl= ; r2

    r1

    drds 2 rsen 90

    2

    =

    ;

    ( )2 22 1s

    r r2s2sen 90

    2

    =

    ( )2 22 1

    s

    r rs

    sen 902

    =

    Vys

    Vs

    Fig. 19.3

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 19 63

    D1

    D2

    Fig. 19.4

    r

    dr

    dh

    Fig. 19.5 Fig. 19.6 Por otro lado, las fuerzas superficiales que actan sobre el volumen de control se enuncian:

    y

    y e s 1se ss sl sl

    Fl

    Fext P n ds P n ds P n ds ds= + +

    (2)

    con lo cual, igualando las expresiones (1) y (2), se obtiene la ecuacin siguiente:

    2 2ly s s e e s ess se

    F s v cos s v P ds P ds2= +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 64 Mecnica de fluidos

    Resolviendo las integrales, se llega a:

    ( ) ( )2 2 2 2 2 2ly s 2 1 e e e e s 2 1F v cos r r s v P s P r r cos2 2sen 90 sen 902 2

    = +

    Agrupando trminos, se obtiene:

    ( ) ( )2 2 2 2ly 2 1 s s e e e eF r r cos P v s v P s2sen 902

    = +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 20 65

    Problema 20 20.1 Enunciado En la figura 20.1 se ha representado la seccin recta de un azud con algunas dimensiones principales. Suponiendo que en las secciones de corriente sealadas por lneas de trazos las distribuciones de velocidad son uniformes y conocidas, se pide determinar la fuerza que la corriente realiza sobre el azud. Considrese que el azud tiene una profundidad L y que la altura del nivel del lquido es de 10 m.

    Fig. 20.1 Seccin transversal de un azud 20.2 Resolucin Dado que el enunciado indica que las distribuciones de velocidad son uniformes, el flujo msico circulante ser: m Q s v 1 L v L v= = = = La fuerza que la corriente ejerce sobre el azud se podr determinar aplicando el principio de conservacin de cantidad de movimiento al volumen de control englobado entre las dos superficies marcadas en lneas a trazo discontinuo.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 66 Mecnica de fluidos

    La ecuacin de cantidad de movimiento en rgimen permanente se establece:

    xSL SL SE SS SCg d ds pds pds pds v vds + = Las fuerzas msicas no tendrn componente respecto al eje de abcisas, con lo cual:

    x xSE SS SCF pds pds v vds= + + Los trminos que definen la fuerza debida a la distribucin de presiones en la entrada y la salida son:

    10210

    SE SE 00

    zF pds g z L dz g L g L502

    = = = =

    12

    1SS SS 0

    0

    z LF pds g z Ldz g L g2 2

    = = = =

    El flujo de cantidad de movimiento entre las secciones de entrada y salida del volumen de control es:

    x ESE

    x SSS

    v v ds = - v Q

    v v ds = v Q

    Sustituyendo los cuatro trminos en la ecuacin de cantidad de movimiento, se tiene:

    x E SLF g L50 g v Q v Q2

    = + +

    Obsrvese que la fuerza que se obtiene es la fuerza de reaccin, la que ejerce el contorno sobre el fluido.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 21 67

    Problema 21 21.1 Enunciado Se desea evaluar la viabilidad de creacin de helicpteros personales, con fines ldicos. Para ello, se pretende estudiar la potencia necesaria para mantener inmvil en el aire dicho equipo en funcin del dimetro D del rotor. Se estima que el peso mximo de equipo y pasajero podra ser de unos P Kg. En la figura 21.1, se esquematiza el rotor con el volumen de control alrededor del mismo y se supone que en la parte inferior del rotor todo el chorro del fluido se desplaza en sentido vertical. Determine: 1. La potencia necesaria en funcin del dimetro del rotor y del peso de equipo y pasajero. 2. Para una velocidad de giro de 400 rpm, un dimetro de rotor de 2 m y un peso del conjunto de 200 kgf, determine la potencia y el par necesarios del motor. 21.2 Resolucin

    S

    SV

    Vi

    p

    p

    Ss

    Fig. 21.1 Esquema de las hlices del rotor y el volumen de control considerado

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 68 Mecnica de fluidos

    1. Estableciendo el volumen de control definido en la figura 21.1, para el cual se supondr que la parte superior del mismo est suficientemente alejada del rotor como para considerar que la velocidad de las partculas es nula, mientras que en su seccin inferior el fluido fluye a una velocidad genrica, Vi. De la aplicacin de la ecuacin de cantidad de movimiento se tiene:

    2y y i i i i i

    sc F V V ds S .V .V S V= = =

    dnde Si es la seccin del chorro cilndrico. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre las superficies superior e inferior del volumen de control elegido, se tiene:

    2 2s s i i

    s iP V P V

    g z Y g z2 2

    + + + = + +

    Asumiendo que la presin en cualquier punto de la entrada o salida se mantiene constante, Pi = PS, y suponiendo despreciables los trminos de energa potencial, se establece:

    2iV PY

    2= =

    La P se entiende entre caras del rotor. La fuerza de sustentacin producida por el rotor debera ser asimismo igual a la diferencia de presin entre ambos extremos de las palas, multiplicada por la superficie barrida, obteniendo:

    2i

    y P PVF PS S2

    = =

    Igualando a la ecuacin de cantidad de movimiento, se obtiene:

    22i

    y P P i iVF PS S S V2

    = = =

    de donde: SP = 2 Si Suponiendo un rendimiento unitario, la potencia transmitida al fluido ser la que ha de comunicar el motor. La potencia comunicada al fluido ser el producto del gradiente de presiones por el caudal circulante, o bien la energa cintica comunicada al fluido al pasar por el rotor, por el mismo caudal circulante, de donde:

    2 2i i

    a P P i i P iV VN PS V S V S V2 4

    = = =

    Despejando la velocidad de la ecuacin de cantidad de movimiento, se tiene:

    y yi

    i P

    F 2FV

    S S= =

    3

    32 2yi 2a P i P y 0,5

    P P

    2FV 1 1N S V S F4 4 S (2 S )

    = = =

    o bien:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 21 69

    2 3 3a y y 2

    P

    1 2N F F2 S D

    = =

    Expresin que relaciona la potencia de accionamiento con la fuerza de sustentacin y el dimetro del rotor. 2. Para un peso de 200 Kgf, un dimetro de rotor de 2 m, y suponiendo la temperatura y la presin del aire atmosfrico de 20 C y 105 Pa, se obtiene una potencia de:

    3P 100.000 Kg1,189

    RT 287 293 m = = =

    2 3 3a y 2 2

    2 2N F (200 9,8)D 1,189 2

    = =

    Na = 31.747,04 W

    Dado que el rotor se quiere que gire a 400 rpm, el par necesario deber ser de:

    a2N M M 400 31.747,04 W60= = =

    M = 303,16 Nm

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 22 71

    Problema 22 22.1 Enunciado Sea el turborreactor de un avin de pasajeros, el cual se desplaza a una velocidad V, (el aire atmosfrico se considera sin movimiento), el flujo msico entrante al reactor es Em , siendo el caudal msico del combustible que entra lateralmente FUELm . Se conoce, adems, que los gases de combustin salen de la tobera a una velocidad relativa al motor Vr. Calcule la fuerza realizada por el soporte del motor. (Se puede considerar despreciable la cantidad de movimiento asociada al caudal msico de combustible,

    FUELm .)

    Vsoporte

    avin

    Ae As

    me P

    Fig. 22.1 Esquema del motor de avin 22.2 Resolucin La ecuacin de cantidad de movimiento en rgimen permanente, aplicada a la superficie que envuelve el volumen de control formado por el motor, y en direccin X, ser:

    ext .x x xse ssvds vdsv v F + =

    Teniendo en cuenta que el trmino de fuerzas msicas no tiene componente en direccin X, y puesto que las fuerzas exteriores estn formadas por las fuerzas de presin y los esfuerzos cortantes, que se pueden considerar concentradas en el soporte del motor, considerando que actan en direccin positiva del eje de abcisas, se establece:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 72 Mecnica de fluidos

    xsoporte x r rxse ssv vds v v dsF = +

    La velocidad en la entrada ser Eee

    m VA

    =

    (velocidad de vuelo del avin).

    Para el caso en estudio, se establece: Vx = V; r rxV V= . Slo existe componente de velocidad en direccin x,

    Obtenindose:

    soporte E E F rx V ( )VF m m m= + + puesto que el caudal msico saliente es E FUELm m+ . La fuerza que el soporte ejercer sobre el motor se establece:

    soporte E Fr rx (V V) VF m m= + La fuerza, o empuje del motor, vendr dada por:

    motor E Fx r r(V V ) VF m m=

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 23 73

    Problema 23 23.1 Enunciado Sea un cohete que se desplaza verticalmente acelerndose desde el reposo, el consumo de combustible del mismo es de m , siendo la velocidad de escape del fluido constante e igual a ve (velocidad relativa a la superficie de salida del cohete). Si se puede considerar constante la densidad del fluido, y despreciar la variacin temporal de la cantidad de movimiento del cohete, determine: 1. La ecuacin que determina la aceleracin en funcin del tiempo del cohete. 2. La ecuacin que determina la velocidad en funcin del tiempo.

    xy

    x

    Ve

    v.c.

    Fig. 23.1

    23.2 Resolucin 1. La ecuacin de cantidad de movimiento para coordenadas no inerciales cuando se desprecian los esfuerzos por rozamiento se puede expresar como:

    m sicas y y rvc vc scF a d v d v v ds

    t = +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 74 Mecnica de fluidos

    msicas vcF M g= ; Mvc = es funcin del tiempo.

    Aplicando la ecuacin de continuidad al volumen de control del cohete, se obtiene la siguiente expresin:

    vc scd v ds 0

    t + = ; salida salidavc sd v ds mt

    = =

    vcsalida

    dMm

    dt= ;

    masa cohete t

    vc salidaM inicial 0dM m dt=

    cohete inicial salidaM M m t = ; cohete inicial salidaM M m t= de donde: ( )msicas inicial salidaF g M m t=

    ( )vc vc inicial salidaa d a dM a M a M m t = = =

    yvcv d 0

    t = , segn el enunciado.

    salida

    y r y salidassm

    v v ds v m =

    Sustituyendo en la ecuacin general, se llega a: ( ) ( )inicial salida inicial salida e salidag M m t a M m t v m =

    e salida

    inicial salida

    v ma g

    M m t

    =

    2.

    dvadt

    = ; ( )t

    t e salidainicial salida0

    salida 0

    v mv a dt ln M m t g t

    m

    = =

    ;

    inicial salientee

    inicial

    M m tV V ln g t.

    M

    =

    o bien:

    inicialeinicial saliente

    MV V ln g t.

    M m t

    =

    Obsrvese que la velocidad del cohete tiende a aumentar con el tiempo.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 24 75

    Problema 24 24.1 Enunciado Sea un avin en vuelo ascendente con una inclinacin respecto a la horizontal, = 22. Sea V la velocidad de escape de los gases de combustin, velocidad relativa a la velocidad del avin, considrese V = constante. Sea D la fuerza de arrastre debida a las fuerzas superficiales, que se opone al movimiento del avin,

    2avin

    DV

    D C s2

    = .

    = densidad del aire. Considere como primera aproximacin la densidad media entre las alturas de vuelo. S = superficie del avin proyectada en un plano perpendicular a la direccin del movimiento. (Es un dato del problema.) CD = coeficiente de arrastre. ( Se supone constante y conocido). En un instante considerado, el avin vuela a una velocidad Vinicial y se halla a una altura H inicial. Dicho avin est acelerando con el fin de obtener una velocidad V final y una altura H final en un tiempo t, en todo momento se mantiene la inclinacin. Determine: 1. El flujo msico que sale por los motores del avin en funcin del tiempo durante el periodo de aceleracin considerado. Considere que la masa del avin se mantiene constante. 2. El flujo msico que sale por los motores del avin en funcin del tiempo durante el perodo de aceleracin considerado. Considrese variable la masa del avin y tngase en cuenta que el caudal msico de combustible es el 5% del caudal entrante a los motores. 3. La altura final a la que se encontrar el avin despus del perodo de aceleracin t considerado. Determine la densidad media del aire atmosfrico entre las alturas de vuelo consideradas, sabiendo que la temperatura en la atmsfera en funcin de la altura h varia segn la relacin: T= T0 Bh; T0 y B son constantes conocidas. Datos: V inicial; V final; H inicial; ; V; CD; S; t; T0; B; m inicial avin; . (Considrese conocida para los apartados 1 y 2.)

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 76 Mecnica de fluidos

    24.2 Resolucin 1. Se eligen los sistemas de coordenadas XY; XY.

    y

    x

    g

    y

    x

    2278

    a y

    x

    v = cte

    La ecuacin de cantidad de movimiento aplicada a un sistema no inercial se enuncia:

    2

    x' 'y' x ' y ' x ' y ' x ' y 'c sc sc 2

    sc sc c

    d R dV d V V ds ( r ) (2 V ) ( r ) dt dtdt

    Fext P n ds ds g d

    + + + + + = = = + +

    Puesto que las aceleraciones de Coriolis, centrpeta y la debida a la velocidad de giro variable no son relevantes para el caso de estudio, se tiene:

    2

    x ' y ' x ' y ' x ' y 'c sc sc sc sc c2

    d R V d V V ds d P n ds ds g dt dt + + = + +

    Las fuerzas superficiales han sido dadas en funcin del coeficiente de arrastre:

    2avin

    DV

    D C s2

    =

    Estas fuerzas tienen la direccin del eje X y se dirigen hacia la parte negativa de dicho eje.

    2

    x ' y ' x ' y ' x ' y 'c sc c c 2

    d RV d V V ds D g d dt dt + = +

    Para el sistema de coordenadas no inercial situado en el avin, se tiene:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 24 77

    Eligiendo como volumen de control el avin, se tiene que nicamente existe flujo de cantidad de movimiento entrante y saliente en los motores.

    x ' y ' x ' y ' avin avin gases escape gases escapesc se ss

    2 2avin entrada gases escape salida entrante avin saliente gases escape

    V V ds V V ds V V ds

    V s V s m V m V

    = + = =

    En este primer apartado, se va a despreciar la aportacin del combustible al caudal msico saliente, con lo cual se tendr:

    entrante salientem m= En lo que a la variacin temporal de cantidad de movimiento se refiere, se va a suponer que la densidad del flujo en el interior del volumen de control es constante; por otro lado, la velocidad de salida del flujo por los motores del avin se ha supuesto tambin constante, segn el enunciado, con lo cual:

    x ' y 'c V d 0;t =

    y se obtiene:

    ( )2

    saliente gases escape avin c c 2

    d Rm V V D g d ddt

    = +

    Proyectando la gravedad en la direccin del movimiento del avin

    avinc g d g cos(90 ) m g cos(90 ) = =

    Puesto que 2

    2

    d R adt

    = ,aceleracin del avin

    ( )2avin

    saliente gases escape avin D aire avin c

    Vm V V C s m g cos(90 ) a d

    2 =

    ( )2avin

    saliente gases escape avin D aire avin avinV

    m V V C s m g cos(90 ) m a2

    =

    avin inicialV V at= +

    ( )

    ( )

    2inicial

    D aire avin avin

    salientegases escape inicial

    V atC s m g cos(90 ) m a

    2mV (V at)

    + + +

    = +

    2. Si se considera que la masa del avin vara con el tiempo, se tiene, conociendo que la masa de combustible es el 5% de la masa total:

    avin, av.inicial entrantem m m t 0,05= Segn la ecuacin de continuidad:

    entrante fuel saliente.m m m+ =

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 78 Mecnica de fluidos

    f

    i

    f

    e

    Vi

    h

    h

    V

    22

    entrante entrante saliente.m 0,005m m+ =

    entrante saliente.1,05 m m= con lo cual:

    avin, av.inicial saliente0,05m m m t1,05

    =

    El flujo de cantidad de movimiento a travs de los motores del avin, al considerar que el flujo msico de combustible es el 5% del flujo entrante, se establece:

    salientex ' y ' x ' y ' entrante avin saliente gases escape avin saliente gases escapesc

    avin inicialsaliente gases escape saliente gases escape

    mV V ds m V m V V m V

    1,05V V at

    m V m V1,05 1,05

    = = =

    + =

    La ecuacin de cantidad de movimiento quedar:

    ( )

    inicialsaliente gases escape

    2inicial

    D aire av.inicial saliente av.inicial saliente

    V atm V

    1,05

    V at 0,05 0,05C s m m t gcos(90 ) m m t a2 1,05 1,05

    + =

    + + +

    ( )

    ( ) ( )

    inicialsaliente gases escape saliente

    2inicial

    D aire av.inicial

    V at 0,05m V m g t cos(90 ) t a1,05 1,05

    V atC s m g cos(90 ) a

    2

    + + + =

    + + +

    ( ) ( )

    ( )

    2inicial

    D aire av.inicial

    salienteinicial

    gases escape

    V atC s m g cos(90 ) a

    2mV at 0,05V g t cos(90 ) t a

    1,05 1,05

    + + +

    =+ + +

    ;

    La aceleracin que experimenta el avin se halla:

    2final inicial

    2

    V Vd Ratdt

    = = ;

    3. Si a la velocidad inicial le corresponde una altura inicial, hi, al final del perodo de aceleracin considerado, t, la altura del avin ser:

    2

    f i

    2f i i

    1e at ;2

    h hsen22 ;

    e1h esen22 h at sen22 h ;2

    =

    =

    = + = +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 24 79

    La densidad media del aire atmosfrico entre las dos alturas de vuelo consideradas se determinar hallando la densidad del aire a cada una de estas alturas, y posteriormente obteniendo la media de dichas densidades:

    hf hiaire

    hfhf

    hf

    hihi

    hi

    ;2

    P;

    RTP

    ;RT

    + =

    =

    =

    Puesto que la temperatura del aire en la atmsfera terrestre viene dada por:

    hf

    o

    o

    o

    P P h hfP Patm h 0

    0

    0 fhf

    atm 0

    gRB

    0 fhf

    0

    T T Bh;KT 15 C i B 0,0065 ;m

    P Pgdp gdh gdh dh;RT R(T Bh)

    dP gdh ;P R(T Bh)

    T BhP gln ln ;P RB T

    T BhP ;

    T

    = == =

    =

    = =

    = = =

    =

    =

    =

    expresin que da la presin del aire a una altura h genrica; sustituyendo h por hf y hi se obtienen las presiones a las dos alturas consideradas. Dado que la temperatura tambin es conocida, se puede determinar la densidad del aire para estas dos alturas y, consecuentemente, la densidad media.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 25 81

    Problema 25 25.1 Enunciado Se desea realizar un experimento en la estacin especial internacional. El experimento consiste en determinar la fuerza de reaccin del contorno sobre el fluido, cuando este fluye a lo largo de un tramo de tubera recta de 1 m de longitud y 1 cm de dimetro. El satlite donde ir montada la instalacin tiene, en el momento de realizar el experimento, una aceleracin respecto a un sistema de referencia inercial de:

    2a=10j +10k (m/s ) , siendo su velocidad angular = 0,2i + 0,2j - 0,01k (rad/s) . El tramo de tubera respecto al centro de gravedad del satlite est situado en un plano XZ, y el conducto est alineado con el eje Z. El centro de gravedad del conducto est situado en X=0,5 m; Y=0,5 m; Z=1 m. Se conoce, adems, que el flujo es en sentido positivo del eje de las Z, y la presin a la entrada del tramo recto es de 2 105 Pa (presin absoluta). Debido a que el flujo es laminar, para determinar la presin en el extremo opuesto del conducto se

    utilizar la ecuacin: 2c

    8 LvP =r ; P =Y

    L = longitud del conducto v = velocidad del fluido en el conducto, (considrese 1 m/s.) = densidad del fluido = 850 Kg/m3 = viscosidad cinemtica del fluido = 30 10-6 m2/s Considrese despreciable el efecto de la gravedad terrestre sobre el satlite.

    Figura 25.1. Esquema de la instalacin, con los dos ejes coordenados utilizados

    x'

    z'

    y

    x

    z y'

    Tramo del conductoa estudiar

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 82 Mecnica de fluidos

    25.2 Resolucin La ecuacin de cantidad de movimiento para un sistema no inercial de coordenadas se establece (v. figura 25.2):

    Figura 25.2 Esquema de los dos ejes coordenados con el vector R que los une

    c

    Vdt

    2

    2se ss

    d R dVVdS VVdS rdtdt

    + + + +

    ( ) ( )c

    (ijk)se ss c

    2 V r d

    pdS pdS F gd

    + + =

    = + +

    ( ) ( )2

    e s (i, j,k)2c se ss

    d Rm V k m V k 2 V r d pdS pdS Fdt

    + + + + + + =

    El radio r en un elemento diferencial de tubo ser de la forma:

    r 0,5 i 0,5 j Z k

    = + +

    2

    2

    d R 10j 10kdt

    = +

    ( ) [ ]i j k

    2 V 2 0, 2 0, 2 0,01 2 0, 2i 0, 2 j 0, 4i 0, 4 j0 0 1

    = = =

    ( ) ( )i j k

    r 0,2 0,2 0,01 0,2Zi 0,50,01j 0,20,5k 0,20,5k 0,50,01i 0,2Zj0,5 0,5 Z

    = = + + =

    x'

    z'

    y'

    Tubera

    v

    dS

    dS

    x

    z

    y

    R

    x

    z

    y

    0,5

    0,50,5

    1,5

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 25 83

    ( ) ( )0,005 0, 2Z i 0,005 0, 2Z j= + + ;

    ( ) ( )

    i j kr 0, 2 0,2 0,01

    0,005 0,2Z 0,005 0,2Z 0 = =

    + +

    ( ) ( ) ( ) ( )( )r 0,01 0,005 0, 2Z j 0, 2 0,005 0, 2Z k 0, 2 0,005 0, 2Z k 0,01 0,005 i = + + + +

    ( ) ( ) ( )5 3 5 3 3 2r 510 210 Z i 510 210 Z j 10 410 Z 2 k = + + + La presin a la salida del conducto respecto a la entrada del mismo ser:

    ( ) ( ) ( )1,5 5 3 5 3 3 2tubo tubo (i, j,k )0,5 S 10 j 10 k 0, 4 i 0, 4 j 510 210 Z i 510 210 Z j 210 810 Z k dZ 8.160S k F

    + + + + + =

    1,5 1,5 1,52 2 2

    5 5 3 3 3 2tubo

    0,5 0,5 0,5

    tubo (i, j,k)

    Z Z ZS 10 j 10 k 0, 4 i 0, 4 j 510 i 510 j 210 k 210 i 210 j 810 k2 2 2

    8.160S k F

    + + +

    =

    2 23 3 3

    (i, j,k )0,01 0,01850 0,39995 i 9,5995 j 9,998k 210 i 210 j 810 k 8.160 k F

    4 4

    + + =

    2 1 2(i, j,k )F 2,6566710 i 6, 4074810 j 2,1229310 k

    = + +

    2e e

    e

    P V2

    +

    2s s

    es

    P VgZ

    2+ = +

    s 2c

    8 LVgZr+ +

    Las fuerzas msicas se consideran despreciables.

    s e 2c

    5 5s

    8 LVP Pr

    P 210 8160 1,918410 Pa

    =

    = =Ve

    VsPs

    Pe

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 26 85

    Problema 26 26.1 Enunciado Sea un fluido de viscosidad dinmica y densidad que circula por una tubera de dimetro D. Sabiendo que el caudal circulante es Q y que la presin en la entrada del conducto es P, determine la expresin que caracteriza la fuerza de reaccin del contorno sobre el fluido, cuando el sistema est inmvil y cuando el sistema gira respecto a su eje central vertical a una velocidad angular . Considere que la tubera es lisa. Las dimensiones principales del conducto se esquematizan en la figura 26.1.

    h

    w

    Vsalida

    Ventrada

    a

    a

    D

    R

    A

    B

    Fig. 26.1 Esquema de la instalacin

    Nota. A los efectos de prdida de carga, los codos y los tramos curvados de la tubera se considerarn como prdidas lineales, con una longitud igual a la de su desarrollo.

    Ventrada

    Vsalida

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 86 Mecnica de fluidos

    26.2 Resolucin 1. La fuerza de reaccin que el conducto realiza sobre el fluido ser debida al balance de cantidad de movimiento entre la entrada y la salida del sistema. En este primer apartado, y dado que no existe giro alguno, la ecuacin de cantidad de movimiento para sistemas inerciales se enuncia:

    SA SB SL SL C C SCp ds p ds p ds ds g d vd v vdst + + = +

    de donde las fuerzas de reaccin (contorno sobre el fluido) y para rgimen permanente se definen:

    CF SC C SA SB SA SB C SA SBF v vds g d p ds p ds v vds v v ds g d p ds p ds = + + = + + + Una vez realizada la integracin, se obtiene:

    ( )CF A B F 2m v k s p p k g Ls= + + de donde: v = velocidad de circulacin del fluido, que se calcula mediante la ecuacin de continuidad m = caudal msico PA = presin en la entrada del conducto, punto A. (dato del problema) PB = presin en la salida del conducto, punto B (se determina mediante la ecuacin de Bernoulli) Ltotal = longitud desarrollada del conducto. Segn la figura 26.1, valdr:

    totalL 2 h a R= + + La presin a la salida del conducto, punto B, se hallar:

    2 2 2

    A BP PV V L V+ = + + f 2 2 D 2

    As:

    2A

    BP L VP - f D 2

    =

    El factor de friccin se determinar a partir del diagrama de Moody, mediante la determinacin previa del nmero de Reynolds y asumiendo, segn el enunciado que la tubera es lisa. 2. En el segundo apartado, cuando todo el sistema gira a una velocidad respecto al eje Z, se deber utilizar la ecuacin de cantidad de movimiento para sistemas no inerciales, que se enuncia:

    SA SB SL SL C C SC

    2

    C 2

    p ds p ds p ds ds g d vd v vdst

    d R d r 2 V r ddtdt

    + + = + + + + +

    Puesto que para el caso en estudio nicamente aparecen las aceleraciones centrpeta y de Coriolis, y dado que se tiene rgimen permanente, la ecuacin anterior queda:

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 26 87

    CFSA SB C SA SB Cp ds p ds F g d v vds v vds 2 V r d + + = + + + de donde:

    [ ]CF Y SA SB C CF m 2V k p ds p ds g d 2 V r d = + + + +

    [ ]CF Y A B total C F m 2V k P S k P S k g L Sk 2 V r d = + + + Las aceleraciones centrpeta y de Coriolis se calculan (v. figura 26.2):

    2v r

    R r2

    v

    R

    i (+)

    j (+)

    Figura 26.2 Representacin direccional de las aceleraciones

    a) En la curva principal Coriolis:

    i j k 2 V 2 0 0 V cos j Vsen i

    vcos vsen 0 = = +

    Centrpeta:

    i j k R 0 0 R sen j R cos i

    R sen R cos 0

    = = + =

    2 2

    i j k 0 0 R cos j R sen i

    R cos R sen 0= =

    La fuerza sobre la curva principal debida a las aceleraciones de Coriolis y centrpeta ser:

    2 2CF(a) 0

    F Vsen i V cos j R sen i R cos j d = +

    puesto que

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 88 Mecnica de fluidos

    d SR d = despus de la integracin se tiene:

    2 2CF(a)

    F 2 SR V i 2 SR i 2 S R (R V) i= + = b) Las aceleraciones centrpeta y de Coriolis en los dos codos se obtienen (v. figura 26.3):

    a

    v

    a

    i (+)

    z (+)z (+) z (+)z (+)

    i (-)

    z (+)

    90

    v90

    Figura 26.3 Esquema de los dos codos con el vector velocidad de fluido asociado

    Coriolis, codo 1:

    i j k2 V 2 0 0 0

    vcos(90 ) 0 vsen(90 ) = =

    Coriolis, codo 2:

    i j k2 V 2 0 0 0

    v cos(90 ) 0 vsen(90 ) = =

    Los radios desde el centro de coordenadas hasta un elemento diferencial genrico en los codos 1 y 2 se definen en la figura 26.4:

    '1

    R a cos i R j (a a sen ) k= +

    '2

    R a cos i R j (a a sen ) k= con lo cual la aceleracin centrpeta para el codo 1 ser:

    i j k R 0 0 a cos j R i

    a cos R a(1 sen )

    = = =

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 26 89

    z (+)

    R'2

    R

    a

    a

    R'1

    i (+)

    Figura 26.4 Esquema de los elementos diferenciales de radio

    2 2

    i j k 0 0 R j a cos i

    R a cos 0= =

    y para el codo 2 se tendr:

    i j k R 0 0 a cos j R i

    a cos R a(1 sen )

    = = + =

    2 2

    i j k 0 0 R j a cos i

    R a cos 0= =

    La fuerza debida a la aceleracin centrpeta para los codos 1 y 2 ser:

    CF(b1,2) C(codos1,2)F 2 V r d = + El diferencial de volumen vendr dado por: d S a d = , de donde:

    2 2 2 2 2CB(b1,2) 0

    F a cos i R j R j a cos i S a d = +

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 90 Mecnica de fluidos

    2 2CB(b1,2)

    F 2 S a i= c) Fuerzas debidas a las aceleraciones de Coriolis y centrpeta en los tramos rectos. El radio genrico de un elemento diferencial de tubera al eje de coordenadas se define en la figura 26.5, de donde:

    ''x y z R R i R j R k= + +

    por lo que sus componentes para los tramos rectos conectados a los codos 1 y 2 sern: Tramo unido al codo 1 Tramo unido al codo 2 Rx= a Rx= a Ry= R Ry= -R Rz= -(a+z) Rz= -(a+z) La aceleracin de Coriolis en los tramos rectos ser: Tramo recto unido al codo 1:

    z

    i j k2 V 2 0 0 0

    0 0 V = =

    z (+)

    Vsalida

    Ventrada

    a

    A

    B

    Codo 1

    Codo 2

    z R''

    j (+)

    j (-)i (-)

    Figura 26.5 Esquema de un elemento diferencial de conducto

    Ventrada

    Vsalida

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 26 91

    Tramo recto unido al codo 2:

    z

    i j k2 V 2 0 0 0

    0 0 V = =

    La aceleracin centrpeta ser: Tramo recto unido al codo 1:

    i j k R 0 0 a j R i

    a R (a z)

    = = = +

    2 2

    i j k 0 0 R j a i

    R a 0= =

    Tramo recto unido al codo 2:

    i j k R 0 0 a j R i

    a R (a z)

    = = + = +

    2 2

    i j k 0 0 R j a i

    R a 0= =

    Al sumar las fuerzas debidas a las aceleraciones de Coriolis y centrpeta en los tramos rectos del conducto, nicamente aparece:

    a z 2 2tubo recto a

    F ( 2 a i) Sdz S 2 a z i+ = = Si se denomina L a la longitud del tramo recto, la fuerza actuante sobre los dos tramos rectos ser:

    2tubo recto

    F S 2 a L i = La fuerza resultante sobre todos los diversos tramos del conducto se expresar:

    [ ] ( ) 2 2 2CF Y A B total F m 2V k P S k P S k g L S k 2 S R V R i 2 Sa i 2 Sa L i = + + + Obsrvese que la fuerza resultante tiene componentes en las direcciones i y k nicamente.

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 27 93

    Problema 27 27.1 Enunciado En el conducto de la figura, el fluido sale de la ranura con una velocidad uniforme que vara linealmente con la distancia Y, tal como se muestra en la figura adjunta. Si el caudal volumtrico que entra por el conducto es Q, determine:

    1. El valor de la velocidad mxima. 2. Los momentos que el fluido crea sobre el anclaje. 3. Si la parte inferior del conducto pudiese girar respecto al eje z (seccin de giro A-A) cuyo par antagonista al giro est dado por M=K, siendo K=cte; =vel de giro (rad/s), halle la velocidad de giro.

    x y

    z

    e

    Umx

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • 94 Mecnica de fluidos

    27.2 Resolucin 1. Segn la ecuacin de continuidad en rgimen permanente: 0 vds= Para las secciones de entrada y salida:

    ess

    m v ds

    = o bien:

    ess

    Q v ds

    = La ecuacin que determina la distribucin de velocidades en funcin de la distancia ser:

    mxua0,6 0,1

    =

    ov v ay=

    mxo

    uv v y

    0,6 0,1=

    Siendo la velocidad en el origen de coordenadas, V0.

    mx 0u V0,5 0,6

    =

    mx0

    0,6uV

    0,5=

    de donde la ecuacin que determina la velocidad ser:

    mx mx0,6u uv y0,5 0,6 0,1

    =

    o bien:

    [ ]mxuv 0,6 y0,5

    =

    Sustituyendo en la ecuacin de continuidad:

    0 0,1 0,6 Y

    V

    V0

    El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

  • Problema 27 95

    0.60,6 2mx

    e mx mx0,1 0.1

    u0,6 - Y YQ = u e dy = e 0,6Y - = u e 0,250,5 0,5 2

    2. La ecuacin de momento cintico en rgimen permanente se enuncia:

    0se ss

    M = (r v)vds + (r v)vds Puesto que el flujo entrante no causa momento respecto a ningn eje, se tiene:

    0ss

    M = (r v)vds el trmino vds representa el flujo msico saliente, que se puede dar como: mxQ u e0, 25 = , aunque en este caso, puesto que la V depende del ds, es necesario hacer la inte