meca1 armadura sfinal

ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO MATERIAL DE APOYO

CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA

CONCEPTOS QUE DEBE SABER PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO En el presente capítulo consideramos un tipo de estructuras como lo son las armaduras, estas son muy importantes, ya que son de utilidad en la ingeniería civil, principalmente en el diseño de puentes, techos etc. Las armaduras están compuestas por un conjunto de elementos rectos, unidas por nudos o juntas. En este curso se aprenderá a calcular la magnitud de la fuerza que actúa sobre cada elemento y si está sometido a tensión o compresión. Para ello aprenderemos 2 métodos: Nudos y Secciones. Elementos sometidos a tensión Elementos sometidos a compresión Las fuerzas se alejan Las fuerzas se acercan Calculo de fuerzas internas de la armadura usando el Metodo de nudos: Procedimiento:

Primero, si es necesario se analiza la armadura completa, tomando en

cuenta únicamente fuerzas externas, es decir las que producen otros agentes

sobre la armadura, calculando aquí las reacciones en los soportes con las

condiciones de equilibrio.

0xF, 0yF

,

∑ ⃗⃗⃗ (Forma vectorial)

Segundo, se analiza cada uno de los nudos para encontrar las fuerzas

internas, aplicando las condiciones de equilibrio 0xF, 0yF

Calculo de fuerzas internas de la armadura en los elementos usando el Metodo de secciones: Procedimiento:

Primero, si es necesario se analiza la armadura completa, tomando en

cuenta únicamente fuerzas externas, es decir las que producen otros agentes

sobre la armadura, calculando aquí las reacciones en los soportes con las

condiciones de equilibrio.

0xF, 0yF

, ∑ ⃗⃗⃗ (Forma vectorial)

Segundo, se realiza un corte de tal forma que el corte entre a la armadura

atravesando 3 elementos incluyendo los que se preguntan.

Luego se analiza una de las dos seccione aplicando las condiciones de

equilibrio 0xF, 0yF

∑ ⃗⃗⃗

1



PROBLEMA 1 En la armadura de la figura, determine las magnitudes de las fuerzas que actúan sobre cada elemento indicando si se encuentran a tensión o a compresión.

Nodo A

Asumiendo a (tensión), es decir que el elemento

AB y AC jalan al nodo A, como se muestra

180 lb AB

AC

Luego aplicamos: +

0xF

- -180 + AB = 0 obtenemos AB

AB = 180 lb, ya que AB tiene signo positivo

se ha asumido bien a tensión.

Por lo tanto el elemento AB jala al nudo A y al

nudo B, como se muestra.

A B

Luego aplicamos :

0Fy +

AC = 0 obtenemos

AC = 0 lb, no hay tensión ni

compresión.

Nodo B

Se conoce del análisis anterior que B es jalado

por el elemento AB como se observa en el nudo

B y asumiendo que el nudo B es jalado por el

elemento BD (tensión) y BC

AB =180 lb

BD

BC

Luego aplicamos: +

0xF

- 180 - BC cos36.87° = 0, obtenemos BC

A B 180 lb 9 p

180 lb C D 9 p E F

12 p

RESOLUCION:

PRIMERO:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA

ARMADURA COMPLETA.

En E es un pasador (dos reacciones) y B una reacción

ya que es un rodillo.

A B 180 lb 9 p

180 lb C D 9 p Ex Fy

Ey

En este caso no es necesario calcular las

reacciones ya que debemos empezar por un nodo

que una solo dos elementos, ejemplo el nudo A,

luego aplicar las condiciones de equilibrio.

2



BC = - 225 lb, el signo negativo, indica que

asumimos mal, el elemento no jala a B sino

que lo comprime. (compresión)

Por lo tanto el elemento BC comprime al nudo B.

como se muestra.

B

C

Luego aplicamos, sin corregir el diagrama de cuerpo libre.

0Fy +

-BD – BC sen36.87° = 0, sustituyendo

-BD – (-225) sen36.87° = 0 BD = 135 lb, obtenemos BD

BD = 135 lb, el signo positivo indica que

BD jala al nodo B y D (TENSION)

B

D Nodo C

Del análisis de los nodos anteriores se conoce la

fuerza del elemento BC comprime a los nudos B

y a C. Asumiendo a tensión CE y CD, es decir

que el elemento CE y CD jalan al nodo C.

BC = 225 lb

C

180 lb CD

CE

Luego aplicamos:

+

0xF

- -180 + CD – 225 cos36.87° = 0 obtenemos CD

CD = 360 lb, ya que tiene signo positivo, T

(tensión)

Por lo tanto el elemento CD jala al nudo C y

al nudo D, como se muestra.

C D

Luego aplicamos :

0Fy +

-225 sen36.87° - CE = 0 obtenemos CE

CE = - 135 lb, el signo negativo, indica

que asumimos mal, el elemento no jala a C

sino que lo comprime. (compresión)

C

E

Nodo D


fuerza del elemento CD = 360 lb jala a los

nudos C y a D, además BD = 135 lb a tensión

jala a los nudos B y D. Así mismo asumiendo a

tensión DE y DF, es decir que el elemento DE y

DF jalan al nodo D.

DB = 135 lb

CD = 360 lb

DE DF

3



Luego aplicamos:

+

0xF

- 360 - DE cos36.87° = 0, obtenemos DE

DE = - 450 lb, el signo negativo, indica que

asumimos mal, el elemento no jala a D sino

que lo comprime. (compresión)

Por lo tanto el elemento DE comprime al nudo

D. como se muestra.

D

E

Luego aplicamos :

0Fy +

135 - DF – DE sen36.87° = 0

135 - DF – (-450) sen36.87° = 0

obtenemos DF, sustituyendo DE = - 450 lb

DF = 405 lb, el signo positivo, indica que

asumimos bien, el elemento jala a D y F.

(Tensión)

D

F

PROBLEMA 2 En la armadura de la figura, determine las

magnitudes de las fuerzas que actúan sobre

los elementos AD, AB, BD, BC, CD indicando

si se encuentran a tensión o a compresión.

5 m 2.5 m 2.5 m Q

A B C

5 m

D

F

E P

P = 3, 500 N, Q = 500 N

Para Este caso no es necesario calcular las

reacciones en F y E, ya que podemos empezar

por el nodo C donde están conectados solo 2

elementos.

Nodo C

Asumiendo que el nudo C es jalado por los

elementos CD y CB (tensión).

500 N

CD

Aplicamos :

0Fy +

-500 - CD sen45° = 0 obtenemos CD,

CD = - 707.11 N, el signo negativo, indica

que asumimos mal, el elemento CD no jala

a C sino que lo comprime. (compresión)

C

D

4



Luego aplicamos:

+

0xF

- CB - CD cos45° = 0,

- CB – (-707.11) cos45° = 0,

sustituyendo CD = - 707.11 N

obtenemos CB – (-707.11) cos45° = 0,

CB = 500 N, el signo positivo, indica que

asumimos bien, el elemento CB jala al nudo

C (Tensión)

Por lo tanto el elemento CB jala al nudo C

como se muestra.

B C

Nodo B

Se conoce del análisis anterior que el nudo B es

jalado por el elemento BC y asumiendo que el

nudo B es jalado por el elemento BD y BA.

(tensión)

BA BC = 500 N

BD

Aplicamos: +

0xF

-BA + 500 = 0, obtenemos BA

BA = 500 N, el signo positivo indica que

BA jala al nodo B (TENSION)

A B

A continuación aplicamos :

0Fy +

BD = 0, Ni jala al nudo B ni lo comprime.

Nodo D


fuerza del elemento DC = 707.11 N © y DB = 0.

Así mismo asumiendo a tensión DA y DE, es

decir que el elemento DE y DA jalan al nodo D.

DA DB = 0

DC = 707.11

DE 3500 N

Aplicamos: +

0xF

-707.31cos45° - DAcos45° - DEcos45° = 0,

Simplificando : DAcos45° + DEcos45° = - 500

DA + DE = - 707.11 Ec. 1


0Fy +

-707.31sen45° + DAsen45° - DEsen45° - 3500 = 0

DAsen45° - DEsen45° = 4000

DA - DE = 5656.85 Ec. 2

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 obtenemos:

DA = 2474.87 [ ] (TENSION) Es

decir DA jala al nudo D

DE = -3181.98 [ ] (COMPRESION) Es

decir DE comprime al nudo D

A D

D E

PROBLEMA 3

Para el problema anterior determine usando el

método de secciones las fuerzas en los elementos

AB y AD.

5



Q

A B C

D

F

E P

P = 3, 500 N, Q = 500 N

El corte atravesó los tres elementos, incluyendo

a los que se pide encontrar AB y AD, podemos

trabajar con la sección izquierda o la derecha, pero

si trabajamos con la izquierda debemos encontrar

las reacciones F y E, pero si trabajamos con la

sección derecha no es necesario. Asumiendo que

BA jala al nudo B, DA y DE jalan al nudo D

(TENSION)

Q = 500 N

A B C

D

E P = 3, 500 N

Se observa que los nudos A y E no se encuentran

en la sección derecha.

∑ ⃗⃗⃗ + Suma de componentes respecto al eje z, en D

- (2.5 m)( 500 N) + (2.5 m)( BA) = 0

BA = 500 [ ] a Tensión ya que jala al

nudo B.

Aplicamos: +

0xF

-BA –DA cos45°- DEsen45°=0

Simplificando BA = 500 [ ] : DAcos45° + DEcos45° = - 500

DA + DE = - 707.11 Ec. 1


0Fy +

-500 + DAsen45° - DEsen45° - 3500 = 0 DAsen45° - DEsen45° = 4000

DA - DE = 5656.85 Ec. 2


DA = 2474.87 [ ] (TENSION) Es decir

DA jala al nudo D

DE = -3181.98 [ ] (COMPRESION) Es

decir DE comprime al nudo D

A D

D E

PROBLEMA 4

Para la armadura mostrada, determine: a) Usando el método de nudos, las fuerzas en

los elementos BD, BC. b) Usando el método de secciones, las fuerzas

en los elementos DF, EF, EG. c) Escribir en ambos casos si se encuentran a

tensión o compresión cada elemento.

600 lb

600 lb D 600 lb

B F 300 lb 300 lb

A 8 p C 8 p E 8 p G 8 p

H

6



1. CALCULAR REACCIONES EN A y H

600 lb

600 lb D 600 lb

6 p

B F 300 lb 300 lb

6 p

AX C E G

HY

AY 8P 8 P 8P 8P

∑ ⃗⃗⃗ + Suma de componentes respecto al eje z, en A

- (8 m)( 600 N) - (16 m)( 600 N) - (24 m)( 600 N)

- (32 m)( 300 N) + (32 m)( Hy) = 0

Hy = 1200 [ ] Aplicamos :

0Fy +

-300 - 600 -600 – 600 -300 + 1200 + AY = 0

obtenemos AY ,

AY = 1200 [ ], Aplicamos: +

0xF

AX = 0

NODO A 300 N AB AC 10 6

1200 N 8

Aplicamos :

0Fy +

1200 - 300 + AB = 0 obtenemos AB,

AB = - 1500 [ ], el signo negativo,

indica que asumimos mal, el elemento AB

no jala a A sino que lo comprime.

(compresión)

B

A

Aplicamos: +

0xF

AC + AB = 0 obtenemos

AC + (- 1500) (8/10) = 0 obtenemos

AC = 1200 [ ], el signo positivo, indica

que asumimos bien, el elemento AC jala al

nudo A. (Tensión)

A C

Nodo C: Se conoce del análisis anterior que el

nudo C es jalado por el elemento AC y

asumiendo que el nudo C es jalado por el

elemento CE y CB. (tensión) CB

CA=1200 N CE

Aplicamos +

0xF

CE - 1200 = 0, obtenemos CE

CE = 1200 [ ], el signo positivo indica

que CE jala al nodo C (TENSION)

C E

7




0Fy +

CB = 0

CB = 0, Ni jala al nudo C ni lo comprime.

Nodo B


fuerza del elemento AB = 1500 N © y BC = 0.

Así mismo asumiendo a tensión BD y BE, es

decir que el elemento BD y BE jalan al nodo B.

600 BD

AB = 1500 N BE

BC = 0

Aplicamos: +

0xF

1500 + BD + BE = 0,

Simplificando :

1500 + BD + BE = 0,

BD + BE = - 1500, Ec. 1


0Fy +

1500 + BD - BE - 600 = 0,

BD - BE = -300

Simplificando: BD - BE = -500 Ec. 2


BD = - 1000 [ ] (COMPRESION) Es decir

BD comprime al nudo B

BE = - 500 [ ] (COMPRESION) Es decir

BE comprime al nudo B

B D

E B

PROBLEMA 5

Para la armadura mostrada, determine:

Usando el método de secciones, las fuerzas en

los elementos DF, EF, EG.

600 lb

600 lb D 600 lb

B F 300 lb 300 lb

A 8 p C 8 p E 8 p G 8 p

H

El corte atravesó los tres elementos, DF, EF,

EG, los cuales se pide encontrar. Podemos

trabajar con la sección izquierda o la derecha.

Así mismo se conoce Hy = 1200 [ ] y

asumiendo FD, FE y GE a tensión.

D 600 lb

F

300 lb

E G Hy

8



∑ ⃗⃗⃗ + Suma de componentes respecto al eje z, en D - (8 m)( 300 N) - (6 m)( GE) +(8 m) (1200 N) = 0

Aplicamos: +

0xF

Simplificando :

Ec. 1


0Fy +

Simplificando

300

Simplificando :

Ec. 2


FE = - 500 [ ] (COMPRESION) Es decir

FE comprime al nudo F

FD = - 1000 [ ] (COMPRESION) Es decir

FD comprime al nudo F

D F

F

GE = 1200 [ ] a Tensión ya que jalan

al nudo G.

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