math09. diferensial fungsi sederhana1

7/25/2019 Math09. Diferensial Fungsi Sederhana1

1/24

Diferensialfungsi sederhana


2/24

Materi Yang Dipelajari

Kuosien Diferensi dan Derivatif

Kaidah- Kaidah Diferensiasi

Hakikat Derivatif dan Diferensial

Derivatif dari Derivatif

Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya

- Fungsi menaik dan fungsi menurun

- Titik ekstrim fungsi parabolik

- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik


3/24

Kuosien Diferensi dan Derivatif

y = f!" dan terdapat tambahan variabel

bebas ! sebesar #x

Maka $

)()()(

)(

)(

xfxxfyyxxfy

xxfyy

xfy

+=+=

+=+=

(1)


4/24

# ! adalah tambahan !% sedangkan # y

adalah tambahan y akibat adanya

tambahan !& 'adi #y timbul karenaadanya #!&

(pabila pada persamaan )" ruas kiri

dan ruas kanan sama-sama dibagi #!%

maka diperoleh

x

xfxxf

x

y

+

= )()(


5/24

*entuk #y+ #! inilah yang disebut

sebagai hasil bagi perbedaan atau

kuosien diferensidifferen,e uotient"%yang men,erminkan tingkat perubahan

rata-rata variabel terikat y terhadap

perubahan variabel bebas !

.roses penurunan fungsi disebut juga

proses diferensiasimerupakan

penentuan limit suatu kuosien diferensi

#! sangat ke,il" Hasil proses diferensiasi dinamakan

turunan atau derivatifderivative"&


6/24

Jikay = f(x)

Maka kuosien diferensinya :

x

xfxxf

xx

y

x

x

xfxxf

x

y

+

=

+=

)()(

0

lim

0

lim

)()(


7/24

penotasian

/ara penotasian dari turunan suatu fungsi

dapat dilakukan dengan beberapa ma,am $

dx

xdf

dx

dyxfyxfy

x

y

x xx

)()()('

0

lim'

x sangat kecil maka = y / x

Kuosien diferensiy/ xslope / lereng dari

garis kurva y = f(x)

Paling lazim

digunakan


8/24

Kaidah-kaidah diferensiasi

)& Diferensiasi konstanta

'ika y = k% dimana k adalah konstanta%

maka dy/dx = 0

,ontoh $ y = 5dy/dx = 0

0& Diferensiasi fungsi pangkat

'ika y = xn

% dimana nadalah konstanta%maka dy/dx = nxn-1

contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2


9/24

1& Diferensiasi perkalian konstanta dengan

fungsi

'ika y = kv% dimana v = h(x),

dy/dx = k dv/dx

,ontoh $ y = 5x3dy/dx = 5(3x2) = 15x2

2& Diferensiasi pembagian konstanta dengan

fungsi

jika y = k/v, dimana v=h(x),maka $

2

/

v

dxkdv

dx

dy

=

6

2

23

2

3

15

)(

)3(5,

5:

x

x

x

x

dx

dy

xycontoh ===


10/24

3& Diferensiasi penjumlahan pengurangan" fungsi

jika y = u 4 v% dimana u = g!" dan v = h!"

maka dy/dx = du/dx + dv/dx

contoh : y = 4x2

+ x3

u = 4x2

du/dx = x v = x3dv/dx = 3x2

dy/dx =du/dx + dv/dx = x + 3x2

!" #i$eren%ia%i &erka'ian $un%i

ika y = uv, dimana u = (x) dan v = h(x)

444322

32

20812)8)(()3)(4(

))(4(:

xxxxxxxdx

duv

dx

dvu

dx

dyxxycontoh

dx

duv

dx

dvu

dx

dymaka

=+=+=+==

+=


11/24

5& Diferensiasi pembagian fungsi

'ika y = u/v" dimana u = (x) dan v = h(x)

2

26

44

23

223

2

3

2

2

44128

)(

)3)(4()8)((

4:

=

=

=

=

=

=

xxx

xx

x

xxxx

v

dx

dvu

dx

duv

dx

dy

xxycontoh

v

dxdvu

dxduv

dx

dymaka


12/24

6& Diferensiasi Fungsi komposit

'ika y=$(u)sedangkan u=(x),dengan bentuk lain

y=$*(x),maka $

25232

2

2323

12096)12)(54(2)12(2

2,12

54:)54(:

xxxxxudx

du

du

dy

dx

dy

udu

dy

xdx

du

uyxumisalxycontoh

dxdu

dudy

dxdy

+=+===

==

=+=+=

=


13/24

7& Diferensiasi fungsi berpangkat

'ika y=un% dimana u=g!" dan n adalah konstanta% maka dy+d! =nun-) &

du+d!"

/ontoh $

25231

2323

12096)12)(54(2

1254:,)54(

xxxxdx

du

nudx

dy

xdx

duxumisalxy

n

+=+==

=+=+=


14/24

)8& Diferensiasi fungsi logaritmik

'ika y = alog!% maka

5ln2

1

ln

1,2log:

ln

1

5 ===

=

axdx

dyycontoh

axdx

dy


15/24

))& Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik

'ika y=a'ou, dimana u=(x),

maka :

)6(

log5

)2)(3(

log5

)2(

5

2

3

log

log

)2(

5

)2(

)3()2(

)2(

)3(:misalkan

2

3log:cono!

log

22

22

=

+=

+

+

=

=

+=

++

=+

=

+=

=

xx

e

xx

e

x

x

x

e

dx

du

u

edx

dy

xx

xx

dx

du

x

xu

x

xy

dx

du

u

edx

dy

a

a


16/24

)0& Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-

berpangkat'ika y = alogu"n% dimana u = g!" dan n adalah konstanta%

maka $

exxx

exx

xx

exdxdy

xdx

duxu

xy

dx

du

u

e

du

dy

dx

dy a

log)5(log6

5

log)5(log30

)10(5log)5(log3

105misalkan

)5(log:cono!

log

22

2

22

222

2

32

==

=

===

=


17/24

)1& Diferensiasi fungsi logaritmik-9apier 'ika y = ln !% maka dy+d! = )+!

/ontoh $ y = ln 3% dy+d! = )+! = )+3

)2& Diferensiasi fungsi Komposit-:ogaritmik-9apier

'ika y = ln u% dimana u = g!"% maka $

)6(

5

)2(

5

)3(

)2(1

)2(

5

)2(

)3(:misalkan

2

3ln:cono!

1

22

2

=

+

+

==

+=

+=

+

=

=

xxxx

x

dx

du

udx

dy

xdx

du

x

xu

x

xy

dxdu

udxdy


18/24

)3& Diferensiasi fungsi Komposit-:ogaritmik-

9apier-berpangkat

'ika y = ln u"n% dimana u = g!" dan n $ konstanta

Maka $

22

2

22

2

32

)5(ln6

)10(5

1)5(ln3

105misalkan

)5(ln:cono!

1

xx

xx

xdx

dy

xdx

du

xu

xy

dx

du

udu

dy

dx

dy

=

=

==

=

=


19/24

);& Diferensiasi fungsi eksponensial

'ika y = ax,dimana a $ konstanta% maka $dy/dx = ax 'n a

/ontoh $ y = 3!%

1lns"#a#

$uga,maka,!al%alam

5ln5ln

===

==

e

edx

dyey

aadxdy

xx

xx


20/24

)5& Diferensasi fungsi komposit - eksponensial

dxdue

dxdyey

xxdx

duaa

dx

dy

xdx

du

xuy

dx

duaa

dx

dy

uu

xxu

x

u

==

===

===

=

maka,!aldalam:&!usus&asus

9ln9)6()6)(9(ln9ln

643misalkan9:ono!

ln

4343

243

22

2

ika * au dimana u * g(+), maka :


21/24

)6& Diferensiasi fungsi kompleks

'ika y = uv% dimana u =g!" dan v =h!"

Maka $

)4ln34(4

4ln1216

)3(4ln4)4(4)(

ln

3/

4/4:misalkan,4:cono!

ln

23

33

33

3

22

213

1

23

1

xx

xxx

xxxxxdx

dvuu

dx

duvu

dx

dy

xdxdvxv

dxduxuxy

dx

dvuu

dx

duvu

dx

dy

x

xx

xx

vv

x

vv

+=

+=

+=

+=

==

===

+=

+

++


22/24

)7& Diferensiasi fungsi balikan

'ika y = f!" dan ! = gy" adalah fungsi-fungsi yang saling

berbalikan inver%e $unction%"

Maka $

)25(

1

/

125

5,05

:

/1

3

3

4

ydxdydx

dyy

dx

dy

yyx

contoh

dxdydxdy

+==+=

+=

=


23/24

08& Diferensiasi


24/24

Y = !

math09. diferensial fungsi sederhana1

Documents