Matematika és tapasztalat 2.

A véletlentől a statisztikus világig

A matematika forradalma

• A tizenhetedik század során alapvető átalakuláson megy át a matematika– növekvő igények, egyre több diák– algebra terjedése– a hivatásos számolómesterek mellett megjelennek a

pénzügyileg nem érdekelt „műkedvelők”– jellemző a különbség pl. Faulhaber és Descartes között

„Csoda” helyett rendszer

• Tipikus szemlélet: matematikai gyönyörök kertjének még le nem szakított kis virágocskái

• E helyett Descartes: pár szabály, feladatok tipizálása, a matematikai tudás, mint a bizonyossághoz vezető út.

A matematika mint hatalom

• A tudományos diskurzusban a matematika, az egzaktság retorikai előnyt is jelent– Newton: prizmakísérletiben fokperc pontossággal adja

meg a prizmák törési szögeit, holott a kor prizmái nem mérhetők ilyen pontossággal, sőt, a Nap mozgása nagyságrendekkel nagyobb pontatlanság forrása

• Mindmáig „hat” ez a hozzáállás reklámokban, ismeretterjesztő munkákban, stb.

A statisztikus-valószínűségi gondolkodási stílus megjelenése

• Ma egészen természetes: reklámok, hírek, stb. matematikai kultúránk alapvető része

• régen, pl. egy görög számára, teljesen ismeretlenek voltak az erre vonatkozó fogalmak

• egyfajta „gondolkodási stílus” (Ian Hacking): az újkorban jelent meg új fogalmi lehetőségek

• „valószínűség” fogalma: kb. 1660-as évek• statisztikus gondolkodás: 19. sz. első fele: alapos

forradalom, átalakítva a 20. sz-i gondolkodást

A véletlen matematikájának születése• Első kérdések (16. sz.): szerencsejátékok (Cardano)• 1654: De Méré lovag kérdése Blaise Pascalhoz:

osztozkodási probléma (megszakított játék)• 7 levél Pascal és Pierre Fermat között: megteremtik a

valószínűségszámítás klasszikus alapjait• klasszikus megközelítés: ha egy játéknak m egyenlően

valószínű kimenete van, és ebből n nyerő, akkor a nyerés valószínűsége n/m

• ezt aztán „tapasztalatilag” is igazolják: egy játék sokszori megismétlése azonos körülmények között

„Vizsgáljuk hát meg ezt a kérdést, és állapítsuk meg: »Vagy van Isten, vagy nincs.«… E végtelen távolság legvégén szerencsejáték folyik, s az eredmény fej vagy írás lesz. Melyikre fogad maga? … Mérlegeljük, mit nyerhet vagy veszíthet, ha fejre, vagyis arra fogad, hogy van Isten. Értékeljük ezt a két eshetőséget: ha nyer, mindent megnyer; ha veszít, semmit sem veszít… Minthogy egyforma a nyerés és vesztés esélye, még akkor is fogadhatna, ha csupán két életet nyerhetne egy ellen; ha pedig három életet nyerhetne, akkor már feltétlenül bele kellene mennie a játékba (hiszen úgyis kényszerítve van rá)… Ám itt az örök élet és az örök boldogság a tét… Így ez már nem is fogadás: ahol a végtelen forog kockán, és nem áll szemben végtelen számú vesztési esély a nyerési eséllyel, nincs helye a mérlegelésnek, mindent fel kell tennünk.”

(Pascal: Gondolatok, 233.§)

Pascal valószínűségi istenérve• Mire érdemes fogadni: van Isten vagy nincs?• 1. fogadás: van• 1/a: ha tényleg van, akkor végtelen a nyereség (üdv.)• 1/b: ha nincs, akkor véges veszteség: tévedésben élek• 2. fogadás: nincs• 2/a: ha tényleg nincs, akkor véges nyereség: élvhajhászat• 2/b: ha van, akkor végtelen veszteség: kárhozat• Σ: végtelen nyereség / véges veszteség

a véges nyereség / végtelen veszteséggel szemben a hülyének is megéri Isten létére fogadni

A val.szám. korai története• a Pascal-Fermat levelezés híre gyorsan terjed• Christiaan Huygens, 1657: De Ratiociniis in Aleae Ludo

Az alapok + 14 probléma megoldással (5 m. nélkül) kb. 50 évre minden hasonló témájú munka alapjául szolgál

• Pepys Newtonhoz 1693. november 22 (29 évesen megtanul szorozni)

– „A — 6 kockája van egy dobozban, amellyel egy hatost dob.– B — egy másik dobozban 12 kockája van, amellyel 2 hatost dob– C — egy másik dobozban 18 kockája van, amellyel 3 hatost dob– K[érdés]: egyforma szerencsét feltételezve B-nek és C-nek ugyanolyan könnyű dolga

van-e mint A-nak?”[i]

• Newton elmagyarázta miért A-nak a legjobbak az esélyei és megadta Pepysnek egy 1000 fontos fogadás esetén a pontosan várható nyereményeket fontban, shilligben és pennyben.

Politikai és orvosi aritmetika• egy másik vonal: halálozási adatok• Jacob Bernoulli, 1713 (1690): Ars Conjectandi

szerencsejátékok, halálozási jegyzékek + permutáció, kombináció, binomiális tétel, nagy számok törvénye

• Centralizált fellépés járványok ellen: ismertetők, táblázatok, karantének, pestisdoktorok– 1662 John Graunt: Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality.

London lakossága, katonaképes férfiak száma, legveszélyesebb betegségek, gyermekhalálozás.

fél évszázados adatsorok elrendezése, általános tanulságok biztosítási matematika alapjai, adózás, statisztika, stb.

– 1720 James Jurin. Himlőoltás (himlős sebből emberi sebbe kenet). A Philosophical Transactions-ben és egyéb helyeken hirdetések – adatok, ki mit tud. Európaszerte sokan válaszolnak: milyen veszélyes az oltás 1: 90 vs.1: 7,5

– Később adótáblázatok, születési adatok használata is. • Orvosoknál levelezési láncok –orvosi és betegadatok.• Kórházi szülés (fogó), bábaiskolák

A valószinűségi érvelés

• 1710 John Arbuthnot „Argument for Divine Providence”– Londonban az ezt megelőző 82 évben mindig több fiú

született, mint lány.– Egyenlő esély feltételezése esetén ennek a

valószínűsége 1/(2^82)– Ez olyan kicsi szám, hogy minden bizonnyal a

gondviselés a felelős • ez a reductio ad absurdum érvelési forma elterjed

Georges-Louis de Buffon

• Hogy a hat bolygó mind egy irányban kering: 1/26, vagyis 1/64. Ez valószinűtlen, így valószínű, hogy Buffon üstököselmélete helyes (ez szakította ki a napból a bolygókat)

• Matematika bizonyosság (nincs bizonytalanság)• Morális bizonyosság (1/10 000 a tévedés val.)• Fizikai bizonyosság: ki kell számolni!!

– pl. mi az esélye, hogy egy 56 éves férfi meghal a következő 24 órában?

A napfelkelte valószinűsége

1777 Essai d’arithmétique morale– Gondolatkísérlet – felnőtt minden korábbi érzékelés

nélkül – Meglátja a napot, az azonban eltűnik– Milyen biztos abban, hogy újra fogja látni? ½– Ahogyan telnek a napok egyre több adata van, egyre

bizonyosabb, hogy újra fel fog kelni a nap– 6000 év alatt 2 190 000-szer (n) látta– a valószínűség, hogy újra látja: 2n-1 az 1-hez.

A véletlen a 18. században• Csak egy puszta szó, de semmit sem jelent• De Moivre, 1738 (1711, 1756): Az esélyek tana

„A véletlen szónak esztétikai értéke van, de különben minden jelentést nélkülöz. A létezés semmilyen módozatával nem áll kapcsolatban, sem magával a létezéssel, sem pedig a nemlétezéssel; sem meghatározni, sem megérteni nem lehet, és nem lehetséges a rá vonatkozó kijelentéseket sem igazolni, sem cáfolni, kivéve ezt: ‘Ez nem több, mint egy puszta szó.’”

• David Hume, 1739: Értekezés az emberi természetről„Általánosan elfogadott, hogy semmi sem létezik ok nélkül, és a véletlen, ha szigorúan megvizsgáljuk, egy pusztán negatív szó, és semmi olyan valódi erőt nem jelent, amely bárhol is létezne a természetben.”

a determinisztikus világban nincs helye

A statisztikai forradalom• P.-S. Laplace, 1814: Filozófiai értekezés a valószínűségről

„Minden esemény, még ha olyan jelentéktelen is, hogy látszólag nem követi a természet törvényeit, valójában ugyanolyan pontossággal következik belőlük, mint a nap keringései.” nála az észlelési hibák kezelésére kell a val.szám.:

a dolog a tudatlanságunk mértékével áll kapcsolatban• C.S. Peirce, 1893: „Válasz a szükségszerűség híveinek”

„A véletlen beszivárog az érzékelés minden útján: minden dolgok közül ez a legszembeötlőbb. A legnyilvánvalóbb szellemi meglátásunk az, hogy a véletlen abszolút. Hogy létező, élő és tudatos – ezt még a racionalitás unalmas önképének is aligha van mersze tagadni.”

• Hát elég sok minden történt a közben eltelt időben...

„Statisztika”• a szó eredeti jelentése: olyan adatgyűjtés, amely az állam

politikai és gazdasági érdekeit szolgálja• Poroszország, 18. sz.: központi statisztikai hivatal

korábbi népszámlálások: gyarmati kolóniák (16. sz-tól)• Félig öncélú adatgyűjtés (Leibniz):

emberek száma nem szerint, társadalmi rang szerint, fegyverviselésre képes férfiak száma, házasságképes nők száma, népességsűrűség és -eloszlás, gyermekhalandóság, várható élettartam, betegségek eloszlása, halálozási okok, stb. (56 kategória) átfogó és részletes népszámlálások (egyre több kategória)

• 1733: az adatokat titkosítják (az ellenségnek segítség)• század második fele: a statisztika amatőr hobbi lesz, majd sorra

jönnek létre a helyi statisztikai intézetek

„Statisztikus” törvények• Kell hozzá rengeteg adat: Napóleon államszervezete

iszonytató mennyiségűt produkál• Kell hozzá a társadalmi törvény fogalma: a francia

Felvilágosodás racionalista hagyományában a természetet a természet törvényei, az emberi természetet saját törvényei igazgatják

• Kell hozzá egy induktivista szemlélet: adatokból általánosítás programja „törvények”

• + a matematika alkalmazása: Laplace és Gauss: a hibák „normál-eloszlást” mutatnak sok társadalmi adat is az „emberi természet” fogalmát felváltja a „normális ember” fogalma

Néhány alkalmazás• Orvostudomány: statisztikus betegség-törvények

Egy brit bizottság, 1825: „Megállapítható a betegség mennyisége, melyet egy átlagos egyén évente átél 20 és 70 éves kora között.”

• Empirikus szociológia születésePl. öngyilkossági adatok (orvosok gyűjtik, mert az őrültség egy fajtája) az életszínvonal számszerű indikátora

• Bűnüldözés: a bűnözési statisztikák meglepő állandósága a törvényalkotásnál is figyelembe kell venni a devianciát

• Bíróságok összetételeCondorcet, Laplace: a bírósági tévedés valószínűségének a priori meghatározása (pl. 7-5 arányú döntés: 1/4 a tévedés esélye) statisztikai adatok: biztosabbá teszik a képet

„Számokba fojtva”• Charles Babbage, 1832:

„ Pillanatnyilag a legszükségesebb, kollektív erőfeszítéséket igénylő tudomány, amely a legtöbb hasznot fogja hozni… az, amelyet úgy kellene nevezni, hogy ‘A természet és a művészet állandói’. Ennek kell tartalmaznia mindazokat a tényeket, melyek számokkal kifejezhetők.”

• Babbage 19 állandó-kategóriája:Naprendszer állandói; atomsúlyok; fémek adatai; optikai tulajdonságok; állatfajok számai; emlősök adatai; emberek adatai; emberek munkavégző-képessége; növények; földrajzi eloszlások; légköri jelenségek; anyagok; sebességek (pl. madarak, nyíl, fény); földrajzi adatok; népességek; épületek; súlyok és mértékek; betűk előfordulásai különböző nyelvekben; könyvtári könyvek, egyetemi hallgatók, intézeti dolgozók, stb. száma

A mérték és mérés világa• Az egész világ számokban kifejezhető• Figyelem: ez nagyon messze van akár a 17. sz. geometriai

felfogásától!!! mérés, mérték alapvető• 18. sz.: rengeteg különböző mértékrendszer

(pl. Franciaország: kb. 800, összesen kb. 250000 variánssal (?))• 1790: Súly- és Mértékügyi Bizottság (Lagrange, stb.) SI• a fizikai világ számszerű viszonyai matematikai viszonyokkal

visszaadhatók, pl:

,,DP ,,M(testek, könnyebb, additivitás — valós számok, kisebb, összeadás)

a kettő között homomorfizmus

A statisztikus perspektíva

• A számokba fojtott világ statisztikailag értelmezhető:• nemcsak szociológia, kriminológia, stb, hanem• statisztikus fizika: Maxwell, Boltzmann az „atomok

társadalma” segítségével újraértelmezi a klasszikus fizikai fogalmakat

• evolúcióelmélet• stb…• 20. sz.: kvantumfizika

a világ eleve nem determinisztikus

Az ember mérése

• Szemben a szimmetriaviszonyok, stb. mérésével (ld. Dürer) – a tizenkilencedik század az emberi teljesítményt (is)kezdte kvantifikálni– gyárak (munkaidő, teljesítmény, táplálék)– megfigyelések pontossága (obszervatóriumok, stb.)

Reakcióidő-mérés

• 1796 Newill Maskellyne királyi csillagász kirúgja segédét, mert 800 msec-es késéssel jelezte a csillagok áthaladását a greenwichi obszervatórium felett– „az áthaladás megítélésén múlt a greenwichi óra

működése, az óra működésétől függött a hosszúsági fokok beállítása, s a hosszúsági fokoktól függött a Brit birodalom”

Bessel, 1820

• Csillagászok leolvasási idejeinek szisztematikus összevetése: szisztematikus eltérések– személyi egyenlet: A-S=0,202

• (Algerander átlagosan 0,202 mp-vel később látta az áthaladást, mint Strube)

– De mi volt a valódi áthaladás? Nincs „biztos pont”

A kronoszkóp / kronográf

• Mesterséges „időgenerálás”• csillagáthaladások mesterséges modellhelyzetei• de ki kell zárni az egyéb hatásokat (ezek növelik

a reakcióidőt és a készülék maga is hangot ad…)

• személy-egyenlet, hangszigetelő fülke – a kísérleti pszichofizika megszületik

Irodalom

• Ian Hacking: The Emergence of Probability.• Ian Hacking: The Taming of Chance.• Loveland, J. Buffon, the Certainty of Sunrise,

and the Probabilistic Reductio ad Absurdum. Arch. Hist. Exact Sci. 2001 (55) 465-477

• Pléh Csaba. A lélektan története. 2000. Osiris