Matematika és a művészetek kapcsolata

(Aranymetszés)Verebély László Szakközépiskola és Szakiskola csapataTagok:Tagok: Gáll Patrik (12.B)

Grenyó Dávid (12.B)

Nagy Herda Dániel (12.B)

Felkészítő tanár:Felkészítő tanár: Nagyné Bodó Beatrix

Budapest, 2011. február 2.

Az aranymetszésAz aranymetszés• A matematika, a

művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt igen szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár

• Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez

• Képlettel felírva:  a/b=b/(a+b) 

• Igazolható, hogy ez csak egyetlen felosztás esetén állhat elő

• a·(a+b)=b·b • A kifejezést

másodfokú egyenletté alakítva kapjuk a következőt: a2+a·b-b2=0

• Ezt általában Φ-vel (fi) szokták jelölni

Az aranyszögAz aranyszög• Aranyszögnek nevezik

azt a szöget, melynek cosinusza éppen az aranymetszés hányadosával egyenlő: cosα=0,618034. . .

• A szög értéke: 51°49’43”

• Az aranyszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztését visszavezethetjük az aranymetszésre

Az aranyszög szimbolikájaAz aranyszög szimbolikája• Az aranyszöggel sok

más, jelképet hordozó relikvián, emléken találkozunk

• Aranyszöget zárnak be az ismert Krisztus-monogram X jelének szárai a P betű szárával, és szintén aranyszöget fedezhetünk fel Szent István királyunk REX ST (Rex Stephanus) betűjeleit tartalmazó ligatúrás kézjegyén is

• Ugyanez fedezhető fel a korai keresztény időből származó Krisztus-monogrammal egyesített (az életet jelképező) ankh-kereszten

• A kereszt rajza az V. századból származó kopt gnosztikus papirusz-kódexben szerepel, mely felfedezőjéről, James Bruce-ról (XVIII. sz.) Codex Brucianus néven vált ismertté

Aranymetszés a Aranymetszés a matematikábanmatematikában

• Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög

• Bizonyítható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre, sőt: az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok Φ-szeresénél találhatók

• Az átlók a Pithagorasz csillagot határolják körül

A pentagramA pentagram• Az ábrán látható ABCDE

csúcspontú csillagötszöget (pentagram) úgy kapjuk meg, hogy a szabályos HIKFG ötszög oldalait a metszéspontjukig meghosszabbítjuk

• A püthagoreusok ezt a jelet használták egymás üdvözlésére és felismerésére, lerajzolva azt a homokba

• A pentagram szögeinek összege: 5·36°=180°, ugyanannyi, mint egy háromszög belső szögeinek összege

Az aranymetszés szerkesztéseAz aranymetszés szerkesztése

• Legyen adott az EP=a szakasz, az E pontban állítsunk merőlegest EP-re, és mérjük rá az EP szakasz felét, kapjuk az O pontot, az O pont körül OE=PE/2=a/2 sugárral kört rajzolunk

• A szakasz másik (P) pontjából húzzunk egy szelőt a kör középpontján át, ez metszi a kört az A (közelebbi) és B (távolabbi) pontokban, és a PA szakaszt P körül PE-re leforgatva kapjuk az M pontot

• PE2=PA·PB (érintőszakasz tételéből)

• Bevezetjük az ábra szerinti jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=a AP=MP=q, AB=a, és PB=a+q

• A szelő tételt ezekkel a jelölésekkel átírva: a2=q·(a+q)

• A jobb oldalon felbontva a zárójelet: a2=aq+q2

• Az aq tagot a bal oldalra átvíve: a2-aq=q2

• Itt a-t kiemelve: a(a-q)=q2 • Mivel: a-q=p, ezért: ap=q2 • Az a=p+q jelölést is

felhasználva: (p+q)p=q2 • Ezt aránypárba átírva: p:q=q:

(p+q)• Tehát az M pont valóban az

aranymetszésnek megfelelő arányban osztotta fel a PE=a szakaszt

• Aranymetszéssel lehet szabályos öt és tízszöget szerkeszteni

• Az r sugarú körbe írt szabályos 10 szög oldala a kör sugarának aranymetszéssel kapott hosszabbik szelete

• Szabályos 10 szögből természetesen könnyű szabályos ötszöget szerkeszteni

Aranymetszés a Aranymetszés a művészetekben, építészetben művészetekben, építészetben

és a természetbenés a természetben• Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és

előszeretettel használták• Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel

osztott távolságok általában kellemes benyomást keltenek a mű szemlélőjében

• Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok

• Kairótól nem messze, Giza városában található a világ talán leghíresebb, legtöbbet tanulmányozott építménye: a Kheopsz-piramis

A Kheopsz piramisA Kheopsz piramis(i.e. 2500)

• Az ókorban nem volt toronydaru, sőt, Egyiptomban a vasat sem ismerték

• E hatalmas monstrumok elkészítése pedig (egyes vélemények szerint) még a mai technológiával is lehetetlen lenne

• A Kheopsz-piramis eredetileg 146 méteres magasságával, 230×230 méteres alapterületével és 31 millió tonnás súlyával mindenesetre kemény kihívást jelentene bármely mai építésznek is

• A Rhind-papírusz tekercsek betekintést engednek a kor matematikai eszköztárába

• Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvető módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani egyszerűbb egyenleteket

• Bizonyosan tisztában voltak a Pitagorasz-tétellel, ám a trigonometrikus függvények közül valószínűleg csak a cotangenst ismerték (bár egyes vélemények szerint azt sem)

• Mindazonáltal a piramisok elhelyezkedése és méretei meghökkentően pontos számításokat sejtetnek a háttérben

• A Kheopsz például pontosan a Baktérítőre épült, sarkai pedig minimális (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott

• További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint feletti magassága maximum 1 cm-es eltérést mutat

• Írásos emléket a piramisokról elsőként (a történetírás atyjaként tisztelt görög utazó) Hérodotosz hagyott ránk

• Lejegyezte az építmények elbűvölő geometriai tulajdonságait, többek között, hogy a piramis magasságának négyzete megegyezik az egyes oldallapok területével

• Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem megközelítőleg 100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte az építkezés javát

• Egy részük az Arábiai-hegységből követ fejtett és juttatott el a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig vonszolták a többtonnás tömböket

• Tíz évig tartott, amíg az építő-anyag szállítására szolgáló út elkészült, majd az építkezés további húsz évet vett igénybe

• A simára faragott kőtömböket lépcsőzetesen, mérleghintához hasonló emelők alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre

• Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az emelőket nem ismerték

• Modernebb elméletek szerint Kheopsz kezdetben mindössze egy szerény, csonkagúla-alapú, földszintes síremléket (masztabát) tervezett magának, és csak később építtetett erre további szinteket

• Észrevehető, hogy egy oldallap magassága (s) és az alapjának fele (b) között fennáll az s/b=(s+b)/s összefüggés, ami éppen az aranymetszés

• Bár szinte biztos, hogy Egyiptomban ezt nem ismerték

• A piramis magasságának négyzete az oldalak területével azonos

• Az ábra jelöléseivel: h2=s·b• A Pitagorasz-tételből következően: h2=s2-b2 • A két egyenletből: s·b=s2-b2

• Némi átrendezés után: s2=b·(s+b), amiből pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után megkapjuk az s/b=(s+b)/s összefüggést

• Rejtély persze még így is maradt bőven…• Többen a Föld alapvető fizikai adatait vélik

felfedezni a piramis paraméterei között, mások bibliai utalásokat találtak bennük, sőt: némelyek földönkívüli lények munkáját sejtik a sokat látott építmények falain

Az athéni AkropoliszAz athéni Akropolisz

• Főépítésze (Pheidias) a Tympanon tervezésekor rengeteg helyen élt az aranymetszés lehetőségével

• Már az oszlopcsarnok homlokzatának alakja is egy ún. aranytéglalapra épül

• Ennek az a speciális tulajdonsága, hogy az oldalait a-val és b-vel jelölve teljesül rájuk az aranymetszés

Egyéb építészeti remekművek Egyéb építészeti remekművek az aranymetszés jegyébenaz aranymetszés jegyében

• A római Szent Péter Bazilika, mely több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonyában hordozza az aranymetszésnek megfelelő arányokat

• A Firenzében ma is látható Santa Maria Novella homlokzata

• A firenzei Strozzi palota• Gustav Eiffel Párizsi

világkiállításra készült híres tornya

• A világhíres francia építész, Le Corbusier épületei

• Lechner Ödön tervezte budapesti épületek homlokzatai

Leonardo da Vinci: Mona Leonardo da Vinci: Mona LisaLisa• Leonardo da Vinci

leghíresebb műve, a Mona Lisa több „láthatatlan”, aranytéglalapot tartalmaz

• A festő (a reneszánsz mesterek hagyományait követve) több évig dolgozott a képen, így nem kizárt, hogy a kompozíció kialakításakor szántszándékkal alkalmazott matematikai eszközöket

Leonardo da Vinci:Leonardo da Vinci: Angyali üdvözlet Angyali üdvözlet

• A képen a könyvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a kép terét pontosan aranymetszés szerint osztja

• Mária, illetve az angyal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranymetszésnek megfelelően helyezkedik el úgy, hogy mindkettő az adott térrész ugyanazon oldalára esik

• Ezzel olyan aszimmetria jön létre, mely a kép egyensúlyát biztosítja

Jan Wildens: MocsárvidékJan Wildens: Mocsárvidék

• A Rubens nyomdokain haladó flamand festő, Jan Wildens 1629-ben alkotott Mocsárvidék címet viselő hangulatos képén az előtérben játszó gyermek pontosan a kép szélességének rövidebb aranymetszetében van

• A kép másik oldalán álló facsoport alacsonyabb, egyenes törzsű fája jelöli ki a hosszabbik aranymetszetet

• A horizontvonal, mely egyúttal az épület előtt álló kőkapu tetejét is érinti és átmegy az épület egyik alacsonyabban fekvő tetősíkján, a kép magassági méretének aranymetszete

August Renoir: Nő a August Renoir: Nő a BékástanyánBékástanyán

• August Renoir: Nő a Békástanyán című képe valódi impresszionista festmény, ám üde színfoltjai és elmosódott kontúrok keltette könnyedsége mellett is jól átgondolt kompozíciós törvények szerint készülhetett

• Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egyenes pontosan a kép szélességi méretének az aranymetszetébe kerül

• Az erkély korlátjának felső széle, melyen a hölgy karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhez annak aranymetszetében illeszkedik, az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egyenes egyúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad

De divina proportioneDe divina proportione (Az isteni arány)

• Az elvont tudományok kutatása mellett természetesen nem feledkezett meg „tanult szakmájáról” sem

• A festészetben sok társához hasonlóan a reneszánsz művészetek elsődleges témáját, az ember ábrázolását tekintette fő feladatának

• Ehhez az időszámításunk előtti első században élt római tudós, Vitruvius megfigyeléseire támaszkodott

• „Az emberi test középpontja természetesen a köldök. Ha egy kinyújtott karral és lábbal háton fekvő ember köré egy körzővel a köldökét középpontnak véve kört húzunk, akkor a kéz- és lábujjai érinteni fogják az így megadott kört. Ha pedig megmérjük a távolságot a talptól a fejtetőig, majd ezt összevetjük a kinyújtott karok hosszával, úgy találjuk, hogy a szélesség megegyezik a magassággal.” – írta Vitruvius

• A tétel igazolását Leonardo egyik legismertebb vázlatán láthatjuk

• A Vitruviánus ember egy idealizált férfialakot ábrázol, az emberek nagy részére természetesen nem teljesülnek a fenti arányok

• A fejtető és köldök távolsága úgy aránylik egymáshoz, mint a köldök és a talp távolsága a testmagassághoz, 3:5:8

• A fejtető és a köldök, valamint a köldök és térd között azonos a távolság

• Ugyancsak egyenlő messze van egymástól a köldök és a szeméremdomb; az állcsúcs és mellbimbók vonala; a köldök és a mellbimbók vonala

• Hasonlóképpen egyenlő a távolság szeméremdomb és a térd; a fejtető és a mellbimbók vonala, a térd és a talp között

• Ezt az arányt annyira szépnek tartották, hogy nagyon sok műemléken is felfedezhető

• Így például a Belvederei Apollón szobron, amely Kr. e. 350 körül készült

• Az "I" vel jelölt vonal az egész testet az aranymetszés arányának megfelelően osztja fel, azaz:

• AI:IB=IB:AB

Aranymetszés a Aranymetszés a természetbentermészetben

• Tipikus példa a napraforgó tányérján elhelyezkedő magok

• De az állat- és növényvilág számtalan lehetőséget nyújt az aranymetszés megfigyelésére

• Az ábrán látható csigaház soron következő eleme például mindig Φ-szerese az előzőnek

• A juharlevél formája is több helyen rejtegeti a nevezetes arányt

• A fenyőtoboz pikkelyei

A nautilius• A nautilius egy - a

Csendes-óceán nyugati részén élő, a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van

• Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB=FG:EG) arány aranymetszés

Aranymetszés egyéb Aranymetszés egyéb műalkotásokbanműalkotásokban

• Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekéből a 62.-ben (amelyet lehet 100 aranymetszetének felfogni) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje

• Kodály Zoltán Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a 245. (vagyis a 395∙0,618-adik) taktus kezdetével esik egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása: "Istenbe vessed bizalmadat."

• A Szonáta két zongorára és ütőhangszerekre című teljes Bartók-mű aranymetszete az első és második tétel határvonala, a 78 taktusból álló bevezetés és főtéma kisebbik aranymetszete a 32. taktusnál van, a visszatérő főtag a 61. taktus, mely a főtémát 3 : 5 arányban osztja

• Az ötfokozatúság az ember ősi zenei hagyományaihoz kapcsolódik, és kialakulásában az élő szervezetre vonatkozó legáltalánosabb törvényszerűségek is szerepet játszottak

• Számos ősi kultúrához tartozó hangszeren öt húr található, vagy a hangszer maga ötfokozatú hangolású

• A magyar népzene legősibb rétegei is ötfokozatú skálára épülnek, és főként a lá-pentatónia nyomait őrzik

• A pentatónia más népek zenéjében is megtalálható, de elemeiből műzenei alkotásokban is gyakran építkeznek

• A pentatónia az aranymetszés zenei hordozója

• A lá-pentatónia tiszta megjelenését illusztrálja Kodály gyűjtéséből a Sej Dunáról fúj a szél kezdetű jól ismert népdal

A Fibonacci sorozatA Fibonacci sorozat• A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt

matematikus egyike volt azoknak, akik a hindukhinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították

• Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze, melyben megtalálható a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek:

• Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?

• Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre

• A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő, az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik

• A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik

• Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe

• A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege

• A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1

• A sorozat definíciója ennek megfelelően: a1=1, a2=1 és an=an-1+an-2, ha n>2

• A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa nem állandó

• Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a Φ-hez közelít

• Írjuk fel a Fibonacci sorozat első néhány elemét és vizsgáljuk meg a szomszédos elemek hányadosát

• A hányados értéke a 10. elemtől közelít a 0,618-hoz, azaz az aranymetszési állandóhoz, a Φ-hez

n an an+1/an

1 1 1

2 1 2

3 2 1,5

4 3 1,667

5 5 1,6

6 8 1,625

7 13 1,615

8 21 1,619

9 34 1,617

10 55 1,618

Fibonacci négyzetekFibonacci négyzetek• Azokat a négyzeteket,melyek

oldalainak mérőszámai a Fibonacci-sorozat elemei, Fibonaccinégyzeteknek nevezik

• Az első n négyzet egymáshoz illesztésével olyan téglalapokat kapunk, melyek oldalhosszai megegyeznek az n-edik és (n+1)-edik négyzet oldalának hosszával

• Vegyünk két egységnyi oldalhosszúságú négyzetet, (F1 és F2), és ezek fölött helyezzük el a 2 egységnyi odalhosszúságú F3 négyzetet

• Az így kapott alakzathoz illesszünk (jobbról) olyan négyzetet, melynek odalhossza megegyezik az előző két négyzet oldalának összegével (F4)

• Az így kapott téglalap fölé illesszük az F5, majd ezekhez ismét jobbról az F6 négyzetet, és így tovább…