Matematika 2Egzamino klausimai 2010

Integralai:

1. Apibrėžkite pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokas, paaiškinkite neapibrėžtinio integralo pagrindines savybes.

1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija atkarpoje [a;b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose x teisinga lygybė

arba2 apibrežimas. Aibė visų duotossios funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C, čia C=const., vadinama

funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima simboliu .

Funkcija f(x) vadinama pointegraline funkcija, sandauga f(x)dx — pointegraliniu reiškiniu, ženklas —

integralo ženklu, x — integravimo kintamuoju.Vadinasi,

, C=const, kai .

Neapibrėžtinio integralo pagrindines savybes:1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, t.y.

, nes .

2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas yra lygus pointegraliniam reiškiniui, t.y.

.

3. Bet kurios funkcijos F(x) diferencialo neapibrėžtinis integralas lygus tai funkcijai, sudėtai su konstanta, t.y.

, nes .

4. Neapibrėžtinio integralo tiesiškumo savybė:

.

5.Integralo formulių invariantiškumas

Jeigu ir — funkcija turinti tolydžią išvestinę, tai .

2. Sudarykite funkcijos y=f(x) integralinę (Rymano) sumą atkarpoje [a;b]. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas. Paaiškinkite apibrėžtinio integralo geometrinę prasmę.

Jeigu funkcijos f(x) integraline suma turi baigtine riba, tai funkcija vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [a;b] arba integruojama atkarpoje [a;b] Apibrėžimas. Baigtinė integralinės sumos riba, kai λ→0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skaidymo būdo bei nuo taškų ci parinkimo, vadinama funkcijos f(x) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b].

Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu . Taigi = lim (λ→0) f(ci) Δxi.

(2)

Kreivinės trapecijos plotas S = . Tai ir yra integralo geometrinė prasmė.

3. Užrašykite apibrėžtinio integralo įvertinimo savybę ir mokėkite paaiškinti jos esmę.Sakykime , kad f(x) ir g(x) – integruojamos atkarpoje [a;b] funkcijos. Tuomet teisingi šie teiginiai:

1. = ; čia ir - bet kokie realieji skaičiai.

Įrodymas: Pritaikę apibrėžimą gauname: = =

= .

2. = 0

3. Kai a < b tai = .

4. Kad ir kokie būtų skaičiai a, b, c teisinga lygybė = , jei tik visi trys

integralai egzistuoja.

5. Jei f(x) > 0 atkarpoje [a;b], tai

6. Jei atkarpoje [a;b], tai .

7. Apibrėžtinio integralo įvertinimas. Tarkime, kad m = , M = . Tada

.

Įrodymas: Kadangi ir , tai .

Apskaičiuosime sumą = = . Dabar aišku, kad, perėję prie ribos nelygybėse,

teoremą įrodome.8. Vidutinės reikšmės teorema. Kadangi ši savybė dažnai naudojama, tai ją suformuluosime kaip

teoremą.Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja tos atkarpos taškas c, kuriame

= .

4. Suformuluokite teoremą apie integralą su kintamu viršutiniu rėžiu. Išveskite Niutono-Leibnico formulę.

Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], o jos pirmykste funkcija lygi = , tai

= šios atkarpos taškuose.

Niutono ir Leibnico formulėTeorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b] ir F(x) – kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai

= .

Įrodymas: Remiantis integralo su kintamu viršutiniu rėžiu teorema, galime teigti, kad tolydi atkarpoje [a;b]

funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią . Kadangi pagal sąlygą F(x) irgi yra funkcijos f(x) pirmykštė, tai

jos turi skirtis tik konstanta, todėl = . Įrašę į šią lygybę x = a, gauname: =

, . Taigi = . Įrašę į šią formulę x = b, turime

= , = . Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą

įprasta žymėti .

5. Apibrėžkite netiesioginio integralo su begaliniais integravimo rėžiais sampratą. Paaiškinkite jo geometrinę prasmę.

Apibrėžimas. Jeigu egzistuoja integralo baigtinė riba, kai b→∞ , tai ji vadinama vadinama

funkcijos f(x) netiesioginiu integralu intervale arba pirmojo tipo netiesioginiu integralu ir

žymima simboliu =

Geometrine prasme: begalines figuros, esancios tarp kreives f(x) ir kurios nors is kordinaciu asies, plotas.

6. Ištirkite integralo konvergavimą. Mokėkite jį taikyti, nustatant kitų integralų

konvergavimą.

Jei riba = baigtinė, tai sakome kad netiesioginis integralas konverguoja.

Priešingu atveju, kai minėtoji riba yra begalinė arba neegzistuoja, sakome, kad netiesioginis integralas diverguoja.

Apibrėžimas: Jeigu, konverguojant integralui , konverguoja ir integralas , tai

integralas vadinamas absoliučiai konverguojančiu.Tiriant integralo

konvergavimą, iš anksto nėra žinoma, su kokia funkcija reikia palyginti pointegralinę funkciją.

Labai dažnai palyginimui naudojama laipsnine funkcija y = .

Tarkime, kad

Jei taigi integralas konverguoja

Jei todėl integralas diverguoja

Kai

Vadinasi , integralas konverguoja, kai ir diverguoja, kai

Ištirti integralo konvergavimą.

A B

a b

M1

M2

Y= φ1 (x)

Y= φ2 (x)

Tiriant si integrala pointegraline funkcija lyginame su laipsnine funkcija :

Kadangi diverguoja tai taip pat diverguoja.

7.Sudarykite funkcijos z=f(x,y) dvimatę integralinę sumą uždaroje srityje D. Dvilypio integralo apibrėžimas. Paaiškinkite jo geometrinę prasmę.Dvimatę integralinę sumą uždaroje srityje D galime uzrasyti taip:

Apibrėžimas: Jeigu egzistuoja baigtine dvimates integralines sumos riba, kai 0, nepriklausanti nuo srities D padalinimo i dalis ir tasku M( ) parinkimo, tai si riba vadinama funkcijos f(x,y) dvilypiu integralu srityje D. Funkcija f(x,y) vadinama integruojama srityje D.dvilypis

integralas zymimas taip: arba , funkcija f(x,y) vadinama

pointegraline funkcija, sritis D – integravimo sritimi, ds – ploto vienetu.

Geometrine prasme: cilindroido turis V=

8.Mokėkite apskaičiuoti dvilypį integralą stačiakampėje ir polinių koordinačių sistemose.

StaciakampejeDvilypiu integralu skaičiavimas pakeičiamas pakartotinių (vienalyčių) integralų skaičiavimu. Pagal srities D nustatymo būdus išskirsime 3 atvejus.

1. Sakykime kad integravimo sritis , cia φ1 (x)ir φ2 (x) yra tolydžios funkcijos. Ir φ1 (x) φ2 (x), Dar sakysime kad bet kokia tiese, lygegreti ašiai Oy ir einanti per srities D vidinį tašką, kerta srities sieną tiktai tiktai 2 taškuose M1 ir M2 . Tokią sritį vadinsime taisyklingą ašies Oy atžvilgiu. Tarkime kad f(x,y) integruojama srityje D, t.y.

egzistuoja dvilypis integralas , jei su bet kuria

fiksuota kintamojo x reikšme iš intervalo [a;b] funkcija f(x,y) yra integruojama atkarpoje [φ1 (x), φ2 (x)] kintamojo y atžvilgiu, t.y. jeigu egzistuoja apibrėžtinis integralas

, tai teisinga formulė

. Dešnėje lygybės pusėje esantis integralas vadinamas

kartotiniu integralu. Ji reikai suprasti taip: tarus, kad kintamasis x yra fiksuotas( pastovus) ,

iš pradžių apskaičiuojamas vidinis integralas , poto gauta kintamojo x

funkcija S(x) integruojama atkarpoje [a,b]2. Jeigu sritis D taisyklinga ašies Ox atžvilgiu, t.y. ,

tai analogiškai galime užrašyti Čia pirmiausia

apskaičiuojamas apibrėžtinis integralas , tarus, kad kintamojo y reikšmė yra

pastovi, poto gaunamas rezultatas integruojamas atkarpoje [c,d]3. Atskiru atveju, kai integravimo sritis D yra stačiakampis

turime

, taigi,

kai integravimo rėžiai kartotiniame integrale yra pastovūs, tai pakeisti integravimo tvarka labai lengva.

Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemojeTai atvejais, kai integravimo sritį D riboja apskritimų lankai, tiesės, einančios per koordinačių pradžią, kreivės, kurių polinės lygtys yra nesudėtingos, dvilypį integralą patogiau integruoti

polinėje koordinačių sistemoje. Išreikškime dvilypį integralą kartotiniais

integralais polinėje koordinačių sistemoje. Kai polius sutampa su stačiakampės koordinačių sistemos pradžia, o polinė ašis su Ox teigiamąja pusaše, ryšys tarp taško M(x,y) Dekarto ir polinių koordinačių išreiškiama lygtimis:

čia - taško M polinis spindulys , - polinis kampas . Tegul f(x,y) – tolydžioji funkcija, apibrėžta uždaroje aprėžtoje srityje D. Sritį D koordinatinių linijų ir tinklu, t.y. koncentriniais apskritimais ir iš poliaus išeinančiais spinduliais padalykime į n elementarių dalių. Spinduliai ir ir dviejų apskritimų ir lankai apriboja kreivinį keturkampį abcd. Jo kraštinės ab ilgis lygus ir lanko ad ilgis lygus

. Šio keturkampio plotas . Parinkę i – toje srityje tašką - kreivinio keturkampio viršūnę, iš dvilypio integralo apibrėžimo, gauname:

, čia , - i-tosios srities skersmuo. Reiškinys vadinamas ploto diferencialu (elementu) polinėje koordinačių sistemoje. Toliau dvilypį integralą išreikšime kartotiniais integralais . sakykime, kad sritis D yra taisyklinga atžvilgiu. Tarkime, kad sritį D apriboja dvi kreivės ACB ir AEB ir spinduliai OA ir OB, kurie su poline ašimi sudaro kampus ir . Tegul kreivių ACB ir AEB lygtys yra ir . Tuomet:

.

Apskaičiuokite figūros, apribotos kreive ir tiesėmis , , plotą

pirmajame ketvirtyje.

Apskaičiuokite dvilypį integralą polinėje koordinačių sistemoje, kai

sritis .9.Sudarykite pirmojo tipo kreivinio integralo integralinę sumą. Pirmojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas.

Jei egzistuoja baigtine sumos integraline riba, kai 0 nepriklausanti nuo lanko L

padalijimo i dalinius lankus būdo bei taškų Mi( ) parinkimo, vadinama funkcijos f(x,y) pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L.

10.Užrašykite formules pirmojo tipo kreiviniam integralui apskaičiuoti, kai kreivės lygtis : a) ; b) ; c) ir mokėkite jas

taikyti.a) Kai , tai

b) Kai , tai b) Kai kreive L apibreziama

Apskaičiuokite integralą , kai kreivės lankas, jungiantis taškus

ir .

Apskaičiuokite integralą , kai pirmoji cikloidės ,

arka.

Apskaičiuokite , kai - apskritimas .

11.Sudarykite antrojo tipo kreivinio integralo integralinę sumą. Antrojo tipo kreivinio integralo apibrėžimas.

12.Užrašykite antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimo formulę, kai kreivė apibrėžta lygtimi ir mokėkite jį apskaičiuoti.

Apskaičiuokite parabolės lanku nuo taško iki

taško .13,Užrašykite antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimo formulę, kai kreivė apibrėžta lygtimi ir mokėkite jį apskaičiuoti.

Apskaičiuokite , kai , .

14Išveskite formulę kintamos jėgos darbui apskaičiuoti.

Tarkime, kad materialusis taškas juda kreive L, veikiamas kintamos jėgos - . Apskaičiuosime šios jėgos atliktą darbą. Kreivės

lanką L padaliname į n dalinių lankų . Kiekviename lanke pasirenkame po tašką . Tarkime, kad kiekviename daliniame lanke jėga yra pastovi ir lygi

, o materialusis taškas juda ne lanku , bet atkarpa . Tada

materialaus taško poslinkis bus lygus . Kadangi darbas yra lygus jėgos ir poslinkio vektorių skaliarinei sandaugai, tai jėgos atliktas darbas bus apytiksliai lygus:

, perėję prie ribos, kai

, gauname:

Apskaičiuokite darbą, kurį atlieka jėga , perkeldama materialųjį tašką tiese iš taško į tašką .

15.Užrašykite Gryno formulę, paaiškinkite jos esmę ir mokėkite ją taikyti.

Tarkime, kad sritis D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra taisyklingoji.

Teorema: Tarkime, kad srityje D, kurią apriboja uždara kreivė L, yra apibrėžtos tolydžios f-jos

P(x,y), Q(x,y), turinčios tolydžias dalines išvestines , , tada

ir kreivė L yra apeinama teigiamąja kryptimi.

Įrodymas: Tarkime, kad duota sritis D. Apskaičiuojame dvilypį integralą pakeisdami jį kartotiniu.

=

. Pirmasis integralas

yra gaunamas iš kreivinio integralo , kai integruojame kreivę l,

kurios lygtis yra . Kadangi yra lanko AEB lygtis, tai

. Analogiškai gauname, kad antrasis integralas lygus

. Iš šių lygybių gauname

. Lankai

AEB ir BCA sudaro kontūrą L, todėl kreivinių integralų suma lygi kreiviniam integralui kontūru L. Lankais AEB ir BCA yra judama neigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi. Integravimo kryptį pakeitę teigiamąja kreivės L apėjimo kryptimi, gausime

Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokite kreivinį integralą , kai -

apskritimas , apeinamas teigiamąja kryptimi.16.Antrojo tipo kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlygos: (įrodykite teoremą apie integralą uždaruoju kontūru; suformuluokite ir mokėkite taikyti teoremą apie dalinių išvestinių lygybę).

Antrojo tipo kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio tada ir tik tada, kai integralas bet kokiu uždaru kontūru L, esančiu srityje D, yra lygus nuliui.

Įrodymas: Tarkime, kad kreivinis integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, o

priklausom tik nuo lanko pradžios ir galo taškų A ir B. Tada .

Iš pastarosios lygybės gauname, kad . Iš čia gauname, kad

. Kadangi lankai ACB ir BEA sudaro uždarą kontūrą L, tai

. Dabar tarkime, kad kreivinis integralas bet kokiu uždaro kontūru L yra lygus 0,

t.y. . Tarkime, kad kontūrą L sudaro lankai ACB ir BEA. Tada . Iš

čia gauname, kad integralas . Gauname, kad , o tai reiškia, kad integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.

Patikrinkite ar integralui galioja teorema apie dalinių išvestinių lygybę.

Diferencialinės lygtys:

17. Užrašykite antrosios eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį. Jos sprendinių tiesinio nepriklausomumo apibrėžimas. Vronskio determinanto apibrėžimas, jo taikymas sprendinių tiesiniam priklausomumui nustatyti. Fundamentalioji sprendinių sistema.

Apibrėžimas: n-tosios eilės diferencialine lygtimi vadiname lygtį

. N-tosios eilės lygties bendrasis sprendinys priklauso nuo n konstantų

ir turi tokią išraišką . - n kartų diferencijuojama f-ja. Suformuluosime Koši

uždavinį: ieškomas lygties sprendinys y tenkinantis pradines sąlygas ,

, ,...

Vronskio determinantas: Tarkime, kad f-jos , yra diferencijuojamos intervale (a,b).

Determinantas yra vadinamas Vronskio determinantu.

Sprendinių tiesinės nepriklausomybės teoremos:

1 Teorema: Jei , yra tiesiškai priklausomos intervale (a,b), tai ,

Įrodymas: kadangi , tiesiškai priklausomos , tai , iš čia gauname

2 Teorema: Jei lygties (1) atskirieji sprendiniai , yra tiesiškai nepriklausomi

intervale (a,b), tai .

Įrodymas: Tarkime, kad , yra pirmos lygties sprendiniai tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Teoremą

įrodysime prieštaravimo metodu. Tarsime, kad bent viename intervalo (a,b) taške . Sudarome lygčių

sistemą . Šios sistemos determinantas yra lygus Vronskio determinantui taške , t.y.

jis lygus nuliui. Tai reiškia, kad egzistuoja sprendinys , ir bent vienas iš skaičių , yra nelygus

nuliui. Sudarome pirmosios lygties atskirąjį sprendinį . Šis sprendinys tenkina pradines sąlygas

ir . . Akivaizdu, kad f-ja , tenkina pirmąją lygtį ir tas

pačias pradines sąlygas ir . Tačiau pirmoji lygtis gali turėti tik vieną sprendinį, tenkinantį

duotąsias sąlygas, todėl atskirieji sprendiniai ir sutampa. . Kadangi bent vienas iš

skaičių , yra nelygus nuliui, tai iš pastarosios lygybės išplaukia, kad ir yra tiesiškai priklausomi. Gavome

prieštaravimą teoremos sąlygai, kad ir yra tiesiškai nepriklausomi, todėl padaryta prielaida

taške yra neteisinga. Vadinasi kiekviename taške .

3 Teorema: Jei Vronskio determinantas sudarytas iš (1) lygties atskirųjų sprendinių , yra nelygus nuliui bent

viename intervalo (a,b) taške , tai jis nelygus nuliui kiekviename to intervalo taške.

Įrodymas: Kadangi taške , tai ir yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a,b). Taip yra todėl,

kad jeigu jie būtų tiesiškai priklausomi, tai intervale (a,b) ir taške . Tai prieštarautų teoremos

sąlygai. Kadangi ir yra tiesiškai nepriklausomi, tai iš antros teoremos gauname, kad su visais iš intervalo (a,b).

4 Teorema: (1) lygties atskirieji sprendiniai , yra tiesiškai nepriklausomi tada ir tik tada, kai

intervale (a,b).Įrodymas:

Būtinumas: Iš antros teoremos išplaukia, kad jei , yra tiesiškai nepriklausomi, tai intervale

(a,b).

Pakankamumas: Tarkime, kad intervale (a,b). Jei , būtų tiesiškai priklausomi, tai

. Kadangi tai prieštarauja padarytai prielaidai tai , - tiesiškai nepriklausomi.

5 Teorema: Tarkime, kad ir sudaro (1) lygties fundamentaliųjų sprendinių sistemą. Tada ir yra tiesiškai nepriklausomi.Įrodymas: Teoremos teiginys išplaukia iš to, kad ir sprendinių fundamentalumas ir tiesinis nepriklausomumas

yra apibrėžiami ta pačia sąlyga .

Nustatykite ar sprendiniai ir yra tiesiškai nepriklausomi ir apskaičiuokite Vronskio determinantą.

18.Įrodykite teoremą apie antrosios eilės tiesinės homogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio struktūrą.

Teorema: jei , sudaro lygties (2) fundamentaliųjų sprendinių sistemą, tai lygties

bendrasis sprendinys yra lygus: ; - konstantos.

Įrodymas: iš pradžių įrodysime, kad tenkina (2) lygtį. Kadangi ir yra atskirieji antrosios

eilės sprendiniai, tai ; . Atsižvelgę į šias lygybes bei

įrašę y išraišką į (2) lygtį gauname

Įrodysime, kad y tenkina (2) lygtį. Tarkime, kad duotos pradinės sąlygos . Atsižvelgę į

pradines sąlygas ir bendrojo sprendinio y išraišką gauname lygčių sistemą . Šią

sistemą sprendžiame nežinomųjų ir atžvilgiu. Šios sistemos koeficientų determinantas

yra lygus Vronskio determinantui taške iš intervalo (a,b). Kadangi ir sudaro fundamentaliųjų sprendinių

sistemą, tai šis determinantas nelygus nuliui. Tai reiškia, kad lygčių sistema turi vienintelį sprendinį ir

. Įrašę šias konstantų reikšmes į bendrąjį sprendinį gauname atskirąjį sprendinį , tenkinantį

duotąsias pradines sąlygas. O tai reiškia, kad yra bendrasis (2) lygties sprendinys.

19. Suformuluokite teoremą apie antrosios eilės tiesinės nehomogeninės dif. lygties bendrojo sprendinio struktūrą.

Nagrinėsime lygtį (1), - tolydžios tam tikrame intervale (a,b) f-jos.

1 teorema: (1) lygties bendrasis sprendinys lygus (1)-ąją lygtį atitinkančios homogeninės lygties

bendrojo sprendinio ir (1)-os lygties atskirojo sprendinio sumai, t.y.

. Atsižvelgę į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą .

Lygčių sistemos determinantas , nes ir yra tiesiškai nepriklausomi homogeninės

lygties sprendiniai. Todėl sistema turi vienintelį sprendinį ir . F-ja tenkina duotąsias

pradines sąlygas. Vadinasi

Įrodymas: Iš pradžių įrodome, kad tenkina (1) lygtį. Įrašę y išraišką į (1) lygtį, gauname:

. Tarkime, kad duota pradinė sąlyga: ir

. Homogeninės lygties bendrą sprendinį pažymime taip: . Tada

yra bendrasis (1) lygties sprendinys

20. Antrosios eilės tiesinių homogeninių dif. lygčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas (kai charakteringosios lygties šaknys skirtingos arba sutampa - su įrodymais, kai šaknys kompleksinės – be įrodymo, bet mokėkite naudotis formule).

Nagrinėsime lygtį: (1). Norėdami rasti šios lygties bendrąjį sprendinį, turime rasti du tiesiškai

nepriklausomus lygties sprendinius ir . Tada šios lygties bendrasis sprendinys lygus: .

Tarkine, kad (1)-os lygties atskirasis sprendinys turi tokią išraišką: , - const. Tada , ,

įrašome y ir jo išvestinių išraiškas į (1) lygtį. Gauname: . Iškeliame .

Kadangi , tai f-ja bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai galios lygybė: . Pastaroji lygtis

yra vadinama (1) lygties charakteringąja lygtimi. Charakteringosios lygties šaknis pažymėkime ir ir nagrinėkime 3 atvejus:

1. yra realios skirtingos šaknys. Šiuo atveju gauname du atskiruosius sprendinius , .

Kadangi , todėl ir yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys

perrašomas taip: .

2. . Šiuo atveju gauname tik vieną atskirąjį sprendinį . Tiesiškai nepriklausomą atskirąjį sprendinį

ieškome taikydami formulę . Gauname .

Kadangi , tai pagal Vieto teoremą . Gauname . Kadangi

tai ir yra tiesiškai nepriklausomi ir (1) lygties bendrasis sprendinys lygus:

.

3. Tarkime, kad charakteringosios lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai, tai yra . Tada (1) lygties

atskirieji sprendiniai tokie: ir . Taikydami formulę

gauname ir . Kadangi kompleksinės f-jos ir yra (1)

lygties sprendiniai, tai šių f-jų realiosios ir menamosios dalys taip pat yra (1) lygties sprendiniai. Tai gauname du

tiesiškai nepriklausomus (1) lygties sprendinius ; . Todėl (1) lygties bendrasis

sprendinys lygus:

Raskite tiesinės homogeninės diferencialinės lygties atskirą sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas .