matematicki list 1973 viii 2

7/15/2019 Matematicki list 1973 VIII 2

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1973-viii-2 1/18

VAZNA OBAVESTENJA

1. UredniStvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale dita-oce da Salju svoje priloge za list: Elanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnihispita i matematidkih takmi6.enja, razne zanirnljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi(osim u6enidkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom ma5inom s proredom, acrteZi izraileni na posebnoj Evr5ioj hartiji. Rukopisi se ne vraiaju.

2. ,,Matematidki list" namenjen je svim uienicima V-VI[ raz. osnovne5kole. List izlazi 5 puta u toku Skolske godine.

3. GorliSnja pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 25 dinara. Narudiocima zavi5e od l0 kompleta odobravamo rabat (20/", l5%, lO%), zavisno od roka dokojeg se isplati celokupna pretplata (I.XII, 1.II, LIV). Nikakvi drugi odbici neuvaZavaju se.

NarudZbine se Salju na adresu lista, a novac na iiro-raCun ,,MatematiCkoglista" broj 60806-678-14627. Pri tome obavezno treba navesti tainu adresu na kojulist treba dostavljati i jasno naznaEiti na Sta se narudZbina odnosno uplata odnosi.

4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968169. god. (br. IIL I-5),5k. 1969/70. eod. (br. IV. 1-5), sk.1970/71.eod.(br.V.3-5), 5k. 1971/72. god.(br. VI. 1-5) i 5k. 1972173 god. (br. VIL l-5). Od ovih godi5ta prodaju se III,IV, VI i VII po sniienoj ceni od 6 dinara za komplet, a godi5te III po cenicd 3 dinara.

5. Mole se poverenici ,,Mat. lista" da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo na adresu:

Matenatidki list, p.p. 728, 11001 Beograd

SADRZAJ

l. D. Lazit: Konstruisanje pravouglog trougla

2. D. S.: Tablica mnoZenja

3. Misli o matematici

4. Dr M. Ilii-Dajovit: Krug i prava..

5. U.: Grdki matematidar Euklid .

6. Testovi za proveravanje udenika

7. Odabrani zadaci .

8. Konkursni zadaci .

9. Re5enja konkursnih zadataka 189-194

10. Sedmo republidko takmidenje mladih matematidara SR. Srbije ..

11. Nagradni zadatak br. 36..12. Rezultati konkursa za nagratlene zadatke br. 33 i 34.. .... .. ..13. Matematidka razonoda .. ,.korice14. Obaveitenja pretplatnicima .. . . . ..korice

33

37

39

40

46

47

52

53

55

58

6262

3

4

CENA 5 DINARA

MATEMATICKI LISTZA U(-EN IKE OSNOVNE STOTE

VTII

2

BEOGRAD1973.



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMAJUGOSI,AVIJE

NIATEMATIEKI LIST

za uienike osnoyne Skole

God. VIII, broj 2 (1913174)

lzlazi pet puta godiSnje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihajlova 35iIV, p. p. 728.

Urednici:

Platon Dimit (gl. ured.) i Miroslav Zivkovit (odg. ured.)

Redakcioni odbor:

Yiinja Brkit-Deviit (Zagreb), Kosta Mijatovit (Sarajevo)

Sreiko Kadunc (Ljubljana), Veljko Zivkovrc (Titograd)

Vladimir Stojanovit (Beograd)

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevoclenja zadriava

DruStvo matematiiara, fizidara i astronoma SR Srbije

Osloboeieno pla6anja poreza na promet na osnovu re5enja Republidkog sekretarijata

za kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od ll. l. 1973. godine

Darinka Lazi6 (Novi Sad)

KONSTRUISANJE PRAVOUGLOG TROUGLA*

Pokazaiemo nekoliko primera u kojima se pomoiu Sestara ilenjira konstri5e pravougli trougao kad su poznate: a) dve njegove

sftanice; b) jedna stranica i jedan o5tar ugao; c) jedna stranica i vi-sina,

isl.

l. Primer l.-

Konstruisati pravougli trougao L,ABC kadsu date dve njegove katete AC i BC.

O bj a S nj e nj e. U pravouglom trouglu uvek je poznatjedan ugao

-to je prav ugao (sa temenom C, prema prethodnoj oznaci).

Re 5e nj e je veoma prosto: najpre se konstrui5e prav ugao(na poznati nadin), pa se zatim iz temena tog ugla na njegove krakeprenesu odsedci a:CB i b--CA; tako dobijene tadke ,4 i,B su ostaladva temena trougla. Preostaje joS da se povude hipotenuza AB; time jezadatak reSen (sl. l).

Primer 2.-

Konslruisati pravougli trougao LABC kad jeclata'njegova hipotenuza AB, a jedan oitar ugao ima 60".

ObjaSnjenje. OStri uglovi a i p pravouglog trouglaleZe na hipotenuzi ; njihov zbir je

"*P:90". To znaEi da, ako je cr :60o,

* Ovaj dlanak,kao i neki drugi koji su vei bili objavljeni u ovom listu, ili ie biti objav-ljeni u njemu, napisan je tako da se moZe neposredno iskoristiti za rad sa udenicima na dasovimaslobodnih aktivnosti iz matematike. Nastavnik moze pre dasa uputiti udenike na to da proditajupo jedan orakav dlanak i da pokuSaju samosralno da reSe zadatke koji su u vezi sa njim postav-ljeni. Zatim ie, na dasu, oni koji su najbolje usVojili ono Sto je u dlanku releno referisati o pro-eitanom i isloziti relenja zabataka. Zaro na kraju dlanka i nisu data reSenja zadataka - to trebada bude udinjeno na dasovima slobodnih aktivnosti.

sl.

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode MiSiia br. l?

33



tada je 9:30', pa, prema tome, u datom primeru znamo hipotenuzui dva nalegla ugla.

R e 5 e nj e. - Treba na odsedku lB konstruisati ugao a:60osa temenom u tadki A i ugao 9:30" sa temenom u tadki B; slobodnikraci ovih uglova sedi ie se u treiem temenu (C) pravouglog trouglaL ABC Gl. 2).

2. Oko svakog trougla moZe se opisati krug, to jest moZe se, kadje trougao ve6 nacrtan, nacrtati krug koji prolazi kroz sva tri temena

tog trougla; takav krug, kao Sto znate, zoYe se opisani krug trougla.

- Da bi se oko trougla opisao krug, potrebno je odrediti centar togkruga, a centar se odreduje na osnovupoznate osobine simetrala stranicatrougla:

Sve tri simetrale stranica trouglaseku se u jednoj taiki; ova taika jecentar opisanog kruga tog trougla.

Na primer, za L, ABC na sl. 3a

tadka O je centar opisanog kruga(pa je, zbog toga, OA:OB:OC)... Za razlidite trougle centar opi-

sanog kruga ne nalazi se uvek na

Sl.'3cl. 3b

istom mestu; i sami ste se ne jedanput uverili da se centar opisanogkruga oStrouglog trou gla nalazi u trouglu (sl. 3a), a centaropisanog kruga tupouglog trougla nalazi se van trougla(sl.3b). Zasve pravougle trougle karakteristidnoje to da se

centar opisanog kruga nalazi na hipotenuzi, i to ba5 na sredini hipotenuze

34

(sl. 3c). To znadi, drugim redima, da se pravougli trougao nalazi ceo

u jednom polukrulu diji je prednik hipotenuza.

Iz toga izvodimo sledeii vaian zakljudak:

Svi pravougli trougli sa istom hipotenuzom AB nalaze se a (jednom

ili drugom) polukrugu koji je opisan nad odseikom AB kao nad prei-nikom (sl. 4l.

sl. 4 sl. 5

3. Ugao dije se teme tnalazi na krugu (K) a kraci su mu tetivetog kruga zove se periferijski ugao kruga (K); na sl. 5 su +P i +Cperiferijski uglovi; pri tome je 4P periferijski ugao nad tetivon MN,

a 4Cje periferijski ugao nad prednikom AB. Na istoj slici vidimo daje (rK) opisani krug za L MNP i zla L, ABC, a treba zapaziti i to da se

L ABC nalazi ceo u polukrugu nad prednikom AB. Na osnovu toga

zakljudujemo:

Periferijski ugao nad preinikom kruga je prav.

(To, razume se, vaZi ne samo za ugao na sl. 4 nego za svaki peri-ferijski ugao nad prednikom bilo kojeg kruga.)

Sada moZemo to vaZno svojstvo periferijskog ugla nad prednikomkruga koristiti za konstruisanje pravouglog trougla u nekim sludajevima.

4. P ri me r 3.-

Konstruisati pravougli trougao kad su date

njegova hipotenuza i jedna njegova kateta.

ObjaSnjenje. -Date su dve stranice c i a; znamo da je

prav ugao +C:90' periferijski ugao nad prednikom c.R e 5 e n j e. Nad odsedkom AB: c opi5imo polukrug, a

zatim iz temena -B poluprednikont a presecimo taj polukrug; presedna

tadka C je teme pravog ugla. TraZenipravougli trougao A lBCdobijamokad povudemo odsedke AC i BC.

I

I

III

sl. 3b

35



Primer 4.-

Konstruisati pravougli lrougao LABC kad su

clate njegova hipotenuza c i 't,isina h.

O b j a 5 n j e n j e.-

Red je o visini h:CD spu5tenoj iz temena

C pravog ugla na hipotenuzu lB.

ReSen j e.-

Prenesimo na pravu p odsedak AB:c i podig-

nimo u proizvoljnoj taEki M te prave normalu, na koju jo5 treba prenetiodsedak MN: h (sl. 6).

Opi5imo nad' AB kaonad

t {_- p..6nikom polukrug, a

kroz tadku N povucimopravu 4 paralelnu pravoj p.

Prava q seii ie polukrugu dvema tadkama (C i C');ako bilo koju od njihspojimo sa tadkama A i B,

dobidemo traZeni trougao.Lako se moZe videti da je konstrukcija zaista tadna: pre svega,

{C je prav (periferijski ugao nad prednikom AB), a odsedak CD:_ MN:il.

Zadacil. Konstruisati pravougli trougao ako su dati jedna kateta i jedan oStar ugao.

2. Konstruisati pravougli trougao L ABC ako su dati odsedci p:AD i q-nOna koje visina i:CD deli hopotenuzu AB.

3. Konstruisati pravougli trougao L ABC ako su dati jedna njegova kateta a

i visina lr.

Napomena. - Visina I mora biti manja i od jedne i od druge katete.(ZaSto?)

4. Konstruisati pravougli trougao L ABC ako su dati njegova kateta ABi odsedak ,4D hipotenuze (pri demu je sa D obeleZena tadka u koju se spuSta visina

iz temena C tog trougla).

5. Date su dve paralelne prave: p i p',i na pravoj p odsedak l-8. Konstruisatipravougli trougao sa hipotenuzom AB lako da mu se teme C nalazi na ptavoj p'.

-Kada zadatak ima re5enja, a kada ih nema?

6. Dati su krug (K) i odsedak AB tako da centralno rastojanje OD tog odsedkaleZi na niegovoj simetrali. Konstruisati pravougli trougao kojem je dati odsedak ,48hipotenuza, a teme C nalazi se na krugu (K).

Kakve sve moguinosti post9je za poloZaj L ABC prema krugu (K)? Kadazadatak ima reSenja, a kada ih nema?

36

TAEJII,IIIA MHOXEIbA

1. Kao u ra6Jrl{qa ca6uparra xojy crro np[Ka3anl{ y MauteMa-ututrrcoM ,tucwy, VIII. I, ra6rnua MHoxelba o xojoj herrao osAe roBopllTl,lje neoH.ra rpocra, HaKo He ta yo6fiqajeua; rbeHe oAnLIKe cy y roMe rrrro

HaM Ha Oq[rreAaH HaqHH noxaryje HeKa oA r(apaKTepI.{cTI{tIHI,IX CBOjCTaBa

MHOXelba.

Eso xaxo r43rneAa rarna ra6luua Muoxeba 3a bpojene Ao

I lo l0:

Kao ruro B\trvre, ro je xnaaparHa ra6nuua, ca u:4nojeuuu3arraBrbeM (ro cy 6pojeou 7,2,3, 4, 5, 6,7,8,9, l0 Hanucauu H3Ha,q

xopr,r3oHranHe upre) n n:4eojeHnM JleB[M crynueM: 1,2,3,4,5,6,'7, 8, 9, 10, xoju je neprnxa:rHoM uproM o4nojen oA ocraJror, yHyrparu-

lber Aena ra6rr4rle.

V rarranny n nr4nojeHoM crynuy cy 6pojeou xoju ce MHoxe

-qr.rHr.roq[ (Saxropra),

-a y yHyrparxrbeM Aery rabruue cy rbI,IxoBI,I

npor,I3BoAl,I (npo4yrru). Taro cy y rlpBoj BpcrLI I'IcnoA xopl43oHranHe

Upre npou3eoara 6poja I (y lenorur I.r3ABojeHoM crynqy) u, peAoM,

bpojena 7,2,3,..., l0 r{3 3arraBJba; y Apyroj Bpcrl4 cy rpon3BoAlr

6poja 2 r4, peAoM, bpojena l, 2, 3, . . . , 10 H3 3arJIaBJba , HTr.i y AecerojBpcrn cy npor.I3BoAr 6poja l0 rI, peAoM, 6pojena l, 2, 3, . . . , l0 n:3afJIaBJLa.

O.rnrre4uo,y yHyrparlrbeM

AeJIyra6n[ue je:

upnu crybaq ncrr.r Kao r,I npBa Bpcra,

Apyru cry6aq r{crll Kao I{ Apyra BHcTa,

l0

I23

45

6

7

8

910

123456789102468r01214161820369121518212427304812162024283236405101520253035404s5061218243036424854607t42t2835424956637081624324048566472809182736455463728190r0 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Aecerr.r crybaq ucrr,r Kao r{ Aecera Bpcra.

37



T

To :saqu ga je uaua ra6lnqa cuMerpuqHa y oAHocy ua gujarouanyxoja noraan H3 JreBor roprber yrna H ua xojoj nexe dpojenu 1,4,9, 16,25,36, 49, 64,81, 100; ru 6pojenr.r (y ra6nNqn cy HarxraMraHr,r MacHr.rMqr$pava) cy, peAoM, KBa,qparr.r npnpoAHnx bpojena 1, 2, 3, . . . , l0;cBaxr{ o,{ H,r.rx Hana3u ce y AecHoM AorbeM yrry no je4Hor oA KBaAparaunja cy ABa reMeua oberexeHa HcrHM 6pojev y 3arnaBJby r y ll:gooje-HoM crynuy; Ha npr.rMep, 6poj 16 je vernpro reMe r(BaApara rojeu ce

y rrpBoM TeMeHy HaJra3r,r 3HaK MHoxerba .,4y ocTaJrr.rM ABaMa TeMeHr{Ma

y 3arnaBJby lr y u:gnojeHoM cryrruy 6poj 4.. Ha cBaKoM TaKBoM KBaApary pauuronaheMo: roprby crpaHnrry

(ro je ogronapajyhn Hr.t3 bpojena r.{3 3arJraBrba), leoy crpaHr.rqy (roje ogronapajyhn 4eo lenor nr4rojeHor crynua), Aor+,y crpauHrly lrAecHy crpaHnrly; KapaxrepucTurrHo je aa je cnaru 6poj na 4ecnojcrpanllqn nehu oA 6uro xojer 6poja xoju ce HaJra3r.r y llcroj npcrureBo, r{ cnarr.r 6poj Ha gorroj crpaHuqr{ sehn oA 6uno xojer 6poja xojuce Hana3r,r y lrcroM crynuy rope. llperraa roMe, y cBaKoM KBaAparyHajnehn je 6poj y AecHoM AolbeM yrry (na rpr,rMep, y r(BaApary Ha

unjoj ropnoj crpaHr{qr nexe 6pojenw 1,2, 3, 4, 5 najnehu je 6poj 25(- 5,)).

2. Kaxo ce ra6rnua xopllcru? FIa npnvep, npou3BoA 6pojena6 u 9 je 6poj na.npeceKy xopr.{3oHranHe nnnuje xoja.nona:n oa 6poja 6

y JreBoM n:geojeuovr crynuy H Beprr.rKanHe ruulrje xoja ce clyrxrao4 6poja 9 y earranry; rar(o HaJra3r{Mo aa je 6 '9:54.36or cnverpujeje, raxofe, 9'6:54.

Tuve je yKa3aHo Ha BaxHo caojcrao MHoxerba- xouyuiawuo-

HOCUL,-

IUTO 3HaqI{ .Ua Ce npOMeHOM MeCTa qHHHnaqa He Merba npo-H3Bo.q; raxo je:

|'2:2 w 2'l:2| ' 3:3 u 3' l:3,

9' 10:90 n l0' 9:90.

Aro qunnoue (Qaxrope) o6e.uexnuo cJroBr.{Ma a u b, raga cnoj-

crBo xoMyraruBHocrr.r MHoxerba r,r3paxaBaMojegnaxourhy

s.b:b.o;

ra ry jegnaKocT xaxe ce raxole .qa H3paxaBa 3qKoH rcouyuta4uje ea

ca6upa*e 6pojeea.

38

IrI ynparo ro rrrro sarua ra6.nuua Ha oqurre.qaH HaqI,IH noxaryje

Aa 3a MHoxerre 6pojena BaxI{ 3aKoH xouyraquje, jecre meuo ocHoBHo

o6e.nexje K rrpeAcraBJba lbeHy npeAHocr y oAHocy Ha ra6Jrlruy MHo-

xena xoja ce yql{ y rrpBHM pa3peAl{Ma ocHoBHe luKoJIe.

3. Mu cMo HanKcaJrI{ caMo ra6-unuy MHoxelba :a bpojene ogI ao 10. Mefyrnru, jacro je Aa ry ra6rutly MoxeMo rlpoAyxuru raKo

urro 6ucvo joj ncronpeMeHo AonlacttBarln HoBy Aolby Bpcry rI HoB

4ecHn cry6au, TaKo 6n je4aHaecra Bpcra 6Iao Hna npon:noga 6poja

1I n, pegou, 6pojeea l,2,3,. . . , 10, Il, gnaHaecra Bpcra 6no 6u nnrnpor.r3BoAa 6poja 12 H, peAoM, bpojena l, 2, 3, . . . , 10, ll, 12, ura.36or currerpuje, uonu AecHI,I cryrqn 6n 6unu lIcrLI Kao ogronapajyheHOBe BpCTe.

KonayrarnnHocr MHoxerba KoptIcrI,IMo npI,IJII,iI(oM nI,IcMeHor H

ycMeHor MHoxelba; Ha npllMep, axo 6poj 20 rpe6a noMHoxI{rI4 6pojerrl

78, vru yMecro npolr3BoAa 20'78 u3paqyHaBaMo npou3BoA 78'20.

4. Ha nauroj ra6nprqu MoxeMo, pa3yMe ce,:r'ara3wrt4 I,t KoJrrIttHI,IK

guajy npr,rpo4unx 6pojena aro je nehu 6poj AeJbI,IB MaH,LIM 6es ocrarxa.IIpu rove rpe6a 4a nMaMo y Bt{Ay Aa ce y yHyrpaurueM reny ra6rnqeHaJra3e AerbeHuur,r (rj. bpojear xoje 4eluvo), a gereuur (rj. 6pojxojurr.r AenuMo) Hana3u ce y urgeojeHoM crynuy Anw, ruro je ncro,y 3arnaBJby.

flurarra1. Kollrxo r.rMa y ygyrpar[rleM Aeny ra6nnue MHoxe]ba ea 6pojene oa I

ao l0: a) parnuurrux npocrr,Ix 6pojena; b) jeanolrl,lt[peHux 6pojena; c) ano-qutbpeuux 6pojeea?

2. KonNxo r.rMa y yHyrpau*eM aeJry rablnqe MHoxelba :a bpojere o4 Iao 20: a) pa3nnqurr.rx npocrnx 6pojena; b) jeaHoqfiOpeuux 6pojena; c) anouu$-peHnx 6pojeoa; d) rpoqr$peHux 6pojeoa?

A. C.

Muc.nu o MareMar[qil

Epojenu ynpaerajy cBeroM. (I-p.rrlr $n.noroQ nfiaroff.)

feonrerpr.rje I.IMa cByrae. (Herraauru MareMarllqap Jlaj6nuu.)

VHanpefe*e H ycaBplxaBar$e MareMarr,IKe AonplrHoclr onlITeM ynanpefe-

I6y ApxaBe. (@panuycxu rojcronofa Hanoreon.)O rrrareMarn.rKllM r.rcrunaMa HeKa .cyAe MareMarl,Iqapt. (florcrr MareMa-

Tur{ap H acrpoHoM KonepHur.)

3Haqu + H - npeA 6pojeonua uuajy ynory npltAeBa npeA I{MeH}tuaMa.

(Opanuycxn MareMarn'rap Koiru.l

39



Dr M. Ilid-Dajovid

KRUG I PRAVA':'

II

5. Resiiemo zadatke 8, 9, l0 i ll izl dela ovog Elanka i videiemokakve sve koristi mogu ti zadaci da nam pruZe.

Zada t a k 8.-

Konstruisati tqngenlu datog kruga koja prolazi

kroz datu tsiku A.

Podrazumeva se da je tadka I van kruga. Zadatak se svodi na toda se na krugu odredi tadka M u kojoj tangenta povudena iz tatke A

dodiruje taj krug (to je tzv. dodirna tadka tangente).

Reienje.-

Pretpostavimo da je zadalak vei reSen i nacr-

tajmo** krug (K) sa centrom O i tangentu / povudenu iz taEke A, a

zatim nacrtajmo i dodirni poluprednik OM i odsedak OA (to je cent-

ralno rastojanje tadke l). Trougao L OAM (sl. la) mora biti pravougli

(s pravim uglom kod temena M i hipctenuzom OA), jer je dodirnipoluprednik normalan na tangentu (vidi zad. 4 u ML VIII, l).

Prema tome, A OAM je pomotna figuro koja nas lako dodovi do

re5enja. Zato treba najpre konstruisati taj trougao, tj. konstruisati

pravougli trougao kad se zna njegova hipotenuza OA i zna se da mu

teme M pravog ugla leZi na krugu (rK), To teme Mtnora se istovremeno

nalaziti i na krugu (K') opisanom nad odsedkom OA kao nad prednikom

(vidi dlanak >Konstruisanje pravouglog trougla< u ovom broju ML).

Preostaje, dakle, da se nad prednikom OA opi\e krug (K') (sl. 1b);

ovaj krug sede dati krug (K) u dvema tadkama \M i M'), Sto znaii da

smo dobili dva podudarna pravougla trougla: LOAM i LOAM',

i dve tangente: I (na kojoj leZi tzv. tangentna dui OM) i l'(na kojojleZi tangentna dui, OM').

rNastavak elankE ,,Krug i prava, I.' (ML VIII, t*+U tom trenutku radi se o skici, a jos ne o konstrukciji,

Re5enjem zadatka 8 utvrdili smo:

l) Iz tadke Avan kruga mogu se povuii dve tangente tog kruga'

2) Tetiva MN'. (sl. lb) Sto spaja dodirne tadke tih tangenata

normalna je na centralno rastojanje tailke A'

Zaista, iz podudarnosti trouglova OAM i OAM' proizlazi da su

im i visine jednake, to jest da je

MN: M'H (MH LOA i M,H LOA),ato znali da se tadka H nalazi na tetivi MN'ili, drugim redima, da je

tetiva MM' normalna na OA:

MM'LOA.

Sl. 1a

6. Zad a t a k 9.-

Dva kruga se seku' Ako su Ot i 02 niihovi

centri, a Mr i M2 dodirne taike niihote zajedniike tangente, dokazqli

da je ietvorougao OlO2MzMt trapez.

R e 5 e n j e. Pretpostavimo da se nejednaki krugovi (K1) i

(K2) seku. Nairtajmo prauu t koja dodiruje te krugove i povucimo u

[ru'gu (lfr) dodirni poiuprednik-OrMt,

a u krugu ('K1) dodirni polu-

prednik Ozptz Gl. 2a); neka je, pritom, OlMf>O2M2'

Kakojedodirnipolupredniknormalannatangentu(vidizad.4

u ML VIII, l), to je

a to znadi da je

'iO r M tM z : +.O 2M zM I : 90o,

sl. 1b

40

oiMr ll ozMz,

4t



to jest da su dve stranice detvorougla OrOzM2Mr paralelne. Dakle, tajdetvorougao je trapez (i to pravougli trapez), Sto je i trebalo dokazati.

Ako bi krugovi koji se seku bili jednaki, tada bi dodirni polu-prednici bili ne samo paralelni nego i jednaki, pa bi detvorougaoO 10 2M 2M 1 bio paralelogram.

LL

sr. 2b

3. Re5enjem zadatka 9 utvrdili smo karakteristidno svojstvozajednidke tangente dvaju krugova koji se seku:

Odsedak MtMz zajednidke tangente izmedu dodirnih tadaka,dodirni poluprednici O 1

M 1 i O 2M 2 i centralno rastojanje O 1O 2 obrazujupravougli

trapzna osnovicama O1M1

iO2M2

inormalnim

krakomMrMz.Visina O2H trapeza O1O2M2M1je paralelna kraku M1M2, & to

znadi da je trougao O1O2H pravougli, s pravim uglom kod temena ,F/

i sa hipotenuzom O1O2; pri tom je (sl. 2a):

O2H ll t,

OrH: O1M1-O2M2: rr-r2

(gde je 11 poluprednik veceg, a 12 pouprednik manjeg kruga).

Iz toga vidimo da se zajednidka tangenta r dvaju (nejednakih)krugova koji se seku lako konstrui5e ako je prethodno konstruisanpomoini pravougli trougao O1O2H, sa hipotenuzom O1O2 i jednom

krugova koji se seku lako konstrui3e ako je prethodno konstruisanpomoini pravougli trougao O1O2H, sa hipotenuzom O1O2 i jednbmkatetom O 1H: r1-r2.

Preostaje nam, prema tome, da nad odsedkom OyO2 kao nadprednikom opi5emo krug (K') i taj krug presedemo kruZnim lukom

42

poluprednikl r1-r2 iz talke O1 (sl. 2b). Dobiiemo dve presedne tadke,

H i H', od kojih prva mora leiati na dordinom polupredniku O1M1.

Zato 6emo odsedak O1H produliti preko .F1 do preseka Ml sa krugom(K), a iz 02 povuti iemo poluprednik paralelan sa OyH (tako 6emo

dobiti na krugu (K2) tadku M).TraLena tangenta je prava I koja prolazi

kroz M1 i M2.

Time smo, u stvari, re5ili nov zadatak:

Zadatak 9'. -Konstruisati zajedniiketangente dvaju krugova

koji se seku.

Taj zadatak imadva reSenja: jedno je tan-genta I ll OzH, a drugoje tangenta t' ll O2H'(sl. 2c).

4. Za d a t a k 10.-

Konstruisati seiicu (sekantu) datog kruga

ako je dato njeno centralno rastojanje d.-

Koliko reienja ima taj zadatak'!

ReSenje. - Pretpostavimo da je zadatak re5en i nacrtajmokrug (K) i proizvoljnu sedicu; obeleZimo sa Ai B presedne tadke sedice

i kruga. Povucimo joS centralno rastojanje OD odsedka AB (sl. 3a).

Trougao OAD je pomotni pravougli trougao, kojem znamo hipotenuzuOA (to je poluprednik kruga (K)) i katetu OD (dalo centralno rastojanje

d). Prema tome, treba jo5 samo odrediti tadku D.

Sl. 3a sl. 3b

43



Odatle je jasno kako treba reSiti zadatak: u datom krugu (K)trebapovuii proizvoljan poluprednlk OA i nad tim odsedkom

opisati krug (K') (sl. 3b), a zatimovaj krug preseii krugom (K") dijije centar u tadki O, a poluprednik jejednak d. Dobijene presedne tadkeD i D' pripadaju sedicama koje pro-laze kroz I i imaju dato centralno

rastojanjed.

Kako je taEka A na krugu (K)izabrana proizvoljno, to znadi datakvu konstrukciju moZemo izvriitima gde se tadkal (kraj poluprednikaOA) nalazila na datom krugu. ZatokaZemo:

6, Dva kruga koji su jeCan van drugog imaju dve vrste zajednidkih

tangenata: a) tzv. spolja5nje tangente (to su zajednidke tangente

koje ne seku centralno rastojanje tih krugova), i b) tzv. unutra5nje

tangente (to su zajednidke tangente koje seku centralno rastojanje tih

krugova). Konstrukcija spolja5njih tangenata dvaju krugova koji su

Jedan van drugoga izvodi se kao i konstrukcija zajednidkih tangenata

dvaju krugouf toli se seku. Na osnovu toga nije te5ko reSiti sledeii

)adatak:

Z a d at a k 13. - Konstuisati spoljainie tangente dvaiu krugovako.ji su jedan van drugoga ako su ti krugovi: a) neiednaki; b) jednaki.

-ObrazloZiti konstrukciiu.

Zadaci

1. Zajednidke tangente r i r'krugova ((r) i (f2) koji se seku prolaze kroz

tadku ,4. Dokazati da centri tih krugova leZe na simetrali ugla A.

2. Dva jednaka kruga (Kr) i (K2) prolaze jedan kroz centar drugog. U njihovimpresednim tadkama M i N povudene su tangente kruga (Kr) (koje se seku u tadki ,4)

i tangente kruga (Kz) (koje se seku u tadki B).

1) Izradunati povr5inu detvorougla AMBN.

2) Izradunati povr5inu dela ravni koji je zajednidki krugovima (Kr) i (Kz).

3. Dva kruga (Kr) i (Kz) seku se tako da je njihova zajednidka tetiva MNjednaka polupredniku veceg kruga (Kr), a polupreEnici O rM i OrN tog kruga dodiruju

manii krug.

l) Izradunati poluprednik 12 manjeg kruga u funkciji poluprednika rl vedeg

kruga.2) Dokazati da su O2M i O2N tangente veieg kruga.

3) Izradunati povr5inu detvorougla OrMOzN.

4. Zajednidke tangente t i t'krugova (Kt) i (K2) koji se seku prolaze kroztadku ,4 i u ioj tadki obrazuju ugao od 60". Ako su Mr i M2 dodirne tadke tangente ti datih krugova, a Mr'i M:'dodirne tadke tangente r'i tih krugova, i ako se centar

veieg krugi (K) nalazi na manjem krugu (Kr), izradunati: a) povrsinu delvorougla

UMiUi'niz u funkciji poluprednika rr manjeg kruga; b) povr5inu dela ravni

ogianie"nog odsedcima AMzi AMz'. - Posebno, izradunati povriinu i jedne i druge

figure ako je r1:2.

5. Re5iti zadatak 2 u slulaju kad se krugovi (1(r) i ((?) dodiruju spolja.

6. Data su dva koncentridna kruga: spolja5nji krug (K), s poluprednikom -R,

i unutra5nji krug (k), s poluprednikom r.

Kakav je odnos poluprednika r prema polupredniku R ako sedica spolja3njeg

kruga (K) koji istovremeno dodiruje unutra5nji krug (k) ima odsedak u krugu (K)jednak: a) 2 r; b) 8 Rl5?

Zadatak ima neogranideno mnogo (ili, bto je isto: beskonadnomnogo) reSenja; sve sedice sa zadatim svojstvom dodiruju krug (K')opisan iz centra O poluprednikom d (sl. 3c).

Zadatak ll.-

Konstruisati seiicu datog kruga iiji odseiakAB u krugu imq datu duZinu s.

-Koliko reienja ima taj zadatqk?

ReSenje. Nasuprot prethodnom zadatku, sada je data

duZina s tetive l^B u datom krugu. Na osnovu re5enja prethodnogzadatka, treba u krugu (K) povu6i proizvoljnu tetivu AB dale duZine ]i njeno centralno rastojanje OD; sve tetive koje dodiruju krug (rK,)opisan iz tadke O poluprednikom OD jednake su medu sobom. Frematome, zadatak ima beskonadno mnogo re5enja: to su sve prave kojedodiruju krug (K').

Zadatak ima smisla ako je O<s<2r (gdeje 2r prednik datogkruga (K)). Posebno, ako je s:2r, tada svaka sedica koji prolazikroicentar datog kruga zadovoljava postavljeni uslov.

5. Dva kruga koja se dodiruju spolja imaju i zajednidku tangenrtukoja.prolazi kfoz njihovu dodirnu tadku. Konstrukcija njihovih 2ajed-nidkih ta.ngenata koje ne prolaze kroz dodirnu tadku tih krugova izvodise- kao

_ikonstrukcija zajednidkih tangenata dvaju krugova koji se

seku. Na osnoyu toga Iako je sada resiti zad.atak:

Zadatak 12. Konstruisati zajedniike tqngente krugova((l) t (K) koii se dodiruju spolja ako su ti krugovi: a) nejetlnaft Aljednaki.

-Obrazloiiti konstrukciju.

44

SI. 3c

45



IZ ISTORIJE ELEMENTARNE MATEMATIKE

GrEki matematiEar Euklid

_. Matematika je jedna od najstarijih nauka. vei na nekoliko hiljadagodinq pre na(e ere starim Egipianima, vaviloncima, Kinezima, Indani-ma i Grcima bile su pozuate mnoge matematidke istine koje se sad udeu osnovnoj Skoli. Do njih su ljudi dolazili najpre posmatrlnjem, u vezisa potrebama svakodneurogiivota. Docnije

su se pojedinci p-odeii bavitimatematidkim istrazivanjima i nezavisno od svojih svakodnevnih prak-tidnih potreba, osetivsi sav dalekoseini znaEaj naudnih istraZivanjna.Ali su ta njihova matematidka znanja dugo viemena bila medusobnonepovezana i dosta nesredena. 4 p.ui koji je pokusao da u potpunostisredi. _sva dotadaSnja matematidka znanja bio je griki mitematidarEuklid.

O Euklidovom Zivotu ne zna se skoro ni5ta. pouzdano je samo daje. Ziveo

_oko_-30_0.g. pre n. e. u Aleksandriji, gradu koji je osnovao

Aleksandar veliki, a u kome je tada bilo okupljeno -nogo nauinika.Od njegovih .dela najznadajnije je ono koje noii naslov ,,Elementi,., akgje 1e sastoji od 13 knjiga (prvih 6 knjiga u prevodu'danas iznosioko 200 strana srednjeg formata). ono je ostllo saiuvano i poslecvetanja kulturnog Zivota.l_ Aleksandriji. a imalo je ogroman uticaj

na dalji razvoj matematidkih nauka.. Na. podetu prve knjige Euklidovih elemenata nalazimo njegovih

23 definicija. Da bi se raspravljalo o neiem, mora se pre svega'znati oiemu se radi i zato Euklid pokusava da najpre tadno odredi sta-su taEka,prava, ugao, itd. Zatim dolaze njegovih 5 postulata i 9 aksioma. Euklidje uodio da se neke od matematidkih istina ne mogu dokazivati putemzakljudivanja nego se znaju samo iz iskustva i mogu se samo primiti itine primiti kao taine. Te istine je on poku5ao da izdvoji kao p.-ostulate iaksiome.-Kao svoj prvi aksiom Euklid navodi, na primer, tvr-dnju da sekroz svake dve taike moZe povu6i prava. Kao osmi aksiom ori navoditvrdnju da je celina veia od svakog svog dela. zatim sve ostale tvrd.-nje svoje dokazuje, iduii od prostijih ka sloZenijim.

.lygj" dokazivanje Euklid sprovodi na taj nadin Sto uvek najprenavodi 5ta ie dokazivati, pa onda to i dokazuje. Te njegove tvrdnjenazivaju se teoreme. Izvodenje dokaza je svugde vrlo stroio.

Danas se u Euklidolim podetnim izlaganjima uodivaju mnogenepotpunosti, Ipak, i danas se ovo njegovo delo smatra za-jednu Jdnajgenijalnijih tvorevina ljudskog duhi.-

U.

46

TEST

ZA PROVERAVANJE STNCNNOC ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

1. Pomoiu sabiranja (zbrajanja) pokazati da je 827-549:278 i navesti

svojstvo razlike, prema kome se moze posle toga bez radunanja, odrediti 3827-3549.

Odgovor:

2. Odrediti element skupa ,{:{6, 2, 8,4} koji predstavlja vrednost brojnogizraza 12: 3.2,

Odgovor:

3. Odrediti sumu (zbir) broja skupa P:{a,b,c} i broja skupa Q:{x,v}.

Odgovor: ......:4. Koliko se prednika kruinice moZe provuii kroz a) centar kruinice i b)

tadku na kruZnici?

Odgovor:

5. Ako je na kruZnici MN:PQ (sl. 1), dokaZi

da je MP:NO.

Odgovor:.

6. Konstruisati kruZnicu poluprednika r:2cm koja dodiruje datu pravu /

u datoj tadki 7 (sl. 2).

a) Gde se nalazi centar trazene

kruZnice?

Odgovor:

p_i/'

'tn\______-'

sl. I

)

b) Koliko zadatak ima re5enja?

Odgovor:

\T

\

st. 2

47



TESTZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZRED

1. Napisati skup A znamenaka (cifara) koje se mogu nalaziti umesto * dabi Sestocifreni broj 43+256 bio deljiv sa 3.

Odgovor:

, , l. Pri deljenjujednog

prirodnog broja sa 5, ostatak je 3; odrediti ostatakpri deljenju sa 5 broja koji neposredno prethodi prvome.

Odgovor:

3. Odrediti broj reciprodan broju 0,75+0,05.

Odgovor

4. Koliko osa simetrije imaju figure: a) kruZnica s tangentom u jednoj taCki;b) dve kruZnice koje se seku; c) kruZniCa i jedna njena sedica?

Odgovor: a) ....

TEST

ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKEVII RAZRED

1. Izradunati numeridku (brojnu) vrednost algebarskog izraza 2 a-b zaa--3: -b.

Odgovor:

2. Znajuei da m izralava negativan broj, odrediti kdji od znakova :, <,> treba staviti umesto m* n v izrazu I -ml, * m da bi se dobio istinit iskaz.

Odgovor:.....j.

3. Uzimajuii elemente skupa P: {-3 , -2, -l , 0, l, 2} za r. odrediti skup Qbrojeva za koje je istinito l-t> 2.

Odgovor:

4. Koliko ose simetrije ima: a) pravilan petougao; b) pravilan osmougao?

Odgovor: a).... .......... b) ........

5. a) Koliko ukupno dijagonala ima mnogougao sa 7 stranica?

b) Koliko stranica ima mnogougao kod koga je zbir unutraSnjih uglovat620'2

Odgovor: a) .... . b) ..

6. Sredine stranica pravilnog Sestougla su temena tlrugog pravilnog Sestougla.Nacrtaj i dokaZi.

Odgovor:

7. Konstrui5i pravougli trougao dije su katete23

= a i-_-

a,gde je

a duZ koju si sam izabrao. AkoJ5je a-- l0 cm, kolika je povr3ina tog trougla?

0

I

A.

| ,,/i

'rr) ,\// I\

5. Datoj figuri konstrui5i sime-tridnu figuru u odnosu na pravu .t(sl. I ).

..1I

sl. l

a) Koliko ima takvih

b) Kad ne postojiOdgovor:

6. Na datoj pravoj / odredicentar kruZnice koja prolazi krozdve date taEke A i 3 (sl. 2). Kon-struiSi kruZnicu.

9'

sl. 2

kruZnica i zaSto?

takva kruZnica (kad zadatak nema re5enja)?

a)

b)

48

Odgotor:

49



TEST

ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIVIII RAZRED

1. Proveriti da li .ie jednadina (jednadZba) 2 x-l:-l ekvivalentna jednadini(jednadZbi) y-r :3 y'15.

Odgovor:

2. Odrediti numeridku vrednost algebarskog izraza 3 (t-5)-2 (l-3 r) kadaje vrednost promenljive I re5enje jednadine 5(y-3)-3:5-2(y!_l).

Odgovor;

3. Odrediti za koliko procenata treba uveiati 600 da bi se dobilo 750, a zakoliko procenata treba umanjiti 750 da bi se dobilo 600.

Odgovor:

4. Koliko se ,pravih paralelnih s datom ravni moZe povuii kroz tadku vandate ravni?

Odgovor:

5. Kroz tadku van ravni moZe se povuii na tu ravan:a) bezbroj normala; b) jedna normala; c) dve normale.

ZaokruLi tadan odgovor

6. Data je ravan a i prava p. Koliko ravni normalnih na ravan a prolazi krozpravu p?

Odgovor:

7. Koliko najmanje ivica moZe da ima a) piramida i b) prizma?

Odgovor:

Napomena u vezi sa datim testovima

Namena ovih testova je semo da se uEenici veibaju u davanju odgovora prilikom testiranja.Ono za lta nema mesta na listu, treba uraditi u svesci Merite vreme koie vam je bilo potrebno

za davanje odgovora i proveravajte njihovu tadnost upore<lujuii ih sa odgovorima vasih drugova.Za sludaj spora, zamolite nastavnika da vam objasni ko je u pravu.

50

3AAAIII,I

OAAEPAHI,I 3AAAUI4

A) 3a yaeuuxe V, VI, VII u VIII pnpega

363. Eboj 30 urparr.rru noMohy rpl{ rlcre qIa$pe. flpnroM Mory Aa ce Kopr{cre6ruro xoje paqyHcxe onepaqnje. Hagecru 6ap rpn pa3ntlqnTa HaqrHa.

864. Y cabaparry: 2*2*

+ *6**

2#*-

r.n6pucaHe cy HeKe uu$pe. 3HaMo Aa cBaxoM noje4nuov 6pojy ueaocrajy jeguaxequ$pe. (fla:u! V paanuuurnM peAoBLrMa uory ueAocrajarr.r pa3nlrqlrTe un$pe!).Karo je 6r,rro aanscano ono ca6lrparre?

865. flocne firpe xnr4Kepr.rva 3opaH je urtao jegan xlraxep varre oA Tove.Paae je rlvao najnurue, rta je Aao 3opaHy oHonLIKo KoJIIiKo je nlrao Torr.ra, a TouuKoJrr{Ko je r,rvao 3opan. flocne rora cBr,r cy ilMailil no ner Knnxepa. Kolr,rro je ravaocBaK[ npe Hero rrro je Paae noAenr,{o cBoje ltrI,tt<epe?

[Per: 3opan je ur',rao 2, Towa 3, a PaAe l0 x.nlrxepa]

866. Haaa n Bepa cxynn ajy cnrquqe ra al6yv >Oayua r.r $nopa<.HaAa nva qerlrpll AynJrnKara xoje HeMa Bepa, a Bepa lrva rplr xoja neva HaAa.Ha ronnro pa3Hr{x Haqr,rHa Mory aa [3Bprue saveuy?

VnyrcrBo.

-

flocroju Br.rue pa3Hr.rx xovbuuaqllja sa verrarre je4rre

cntlql,tqe sa jeany, ABe 3a ABe, lrrA. 9nM y xovbnHaqujy y3Meru cavo je4uy uorycnlllrnqy, To Mopau 6pojarn Kao HoBy voryhnocr 3aMeHe.

[Pe:.: 34 pa:ua uavNna]

867. Ha nparoj p ,qara je raqxa O. florynpane Oa u Ob, xoje nexe ca ucrecrpaHe npaBe p, rpare ca npaBoM p jegHare yrroBe, a yrao Nrvefy Oa u Ob je 40".Ilonynpaea Om uopwanua je ua Oa lr noJrynpaBa On uopwanta je na Ob.

l4zpauyuatu yrroee roje ca npaBoM p rpaae Om u On aKo ce: a) Om u OnHaJra3e ca oHe r{cre crpaue npaBe p, ca xoje ce HaJra3e Oa u Ob;6) Om u On se natageca ilcre crpaHe npaBe p, ca xoje ce Hana3e Oa u Ob.

lPes.: a) 20'; 6) 20'l

868. flpane au b cexy ce y raqKr4 O. Taqra O oapebyje na npanoj 6'nonyrpuu"Om u On, a Ha npanoj f nonynpane Op u Oq. Vrao urr'refy noJrynpaBux Om u Opje 72". florynpaea Or je cuverpara yrna Omp, a noJrynpaBa Os je noplranHa Ha

Or. l4tpauynarn yrao Ons.

lPer.:126"1

B) 3a yueuuxe VI, VII u VIII patpega

869. Hafra Hajnehu 3ajeaHxqKx Aenr{naq :a 6pojeee 420 u 126, a 3arr.rM yqnHn

To r{cro ta 132 u 1080. Moxeur ,rn, xopucrehu Ao6xjeHe pe3yrrare, aa oApeAr.rur

HanaMer najoehu 3aj€aHil.rKr.r aelrr{raq ra cea uerr,rpn 6poja?

[Per.: 6. O6parnoxu!]

5t



870. Epojeeu *40 u 8*2 r.rMajy 3aje.qHr4rrxr{ Aenunaq 42. fia nuje ro guxonuajnehu eaje.quavxr Aelulaq?

[Pe:.: Jecre]

871. I4rpavyHarn yHyrpaurse yrnoBe je4uaroxparor rpoyrna aKo:

a) Bncr.rua roja ogrouapa jeauonr xpaxy rpaAr.r ca .upyrr.rM (paxoM yraootr 32.

b) Bxcune xoje o.qroeapajy xpaqrMa ceKy ce roA yrnoM oA 48'.

c) BncnHa xoja ogronapa Kpaxy t,r Br,rcrrHa xoja ogroeapa ocHoBHIlH ceKy cenoA yrnoM op,127".

d) Cnnrerpana yrna Ha ocuoBr,rq[ ca HacnpaMHr,rM Kpar(oM rpagu yrao o4 69".[Per.: a) 58",61',61';6) 48",66',66"; c) 74',53', 53'; d) 32',74",74']

C) 3a yuenuxe VII u VIII pa3pega

872. fiparauje noruao y Krlr{xapy Aa Kynr.{ r6upry 3aaaraKa r{3 MareMarr{xer{ floHeo ra.{Ho 25 ar{Hapa, Konuxa je 6nra qeHa Krsxre. Mefyruv, qena je y Meby-BpeMeHy nogehaHa n3O)(, na ce.{paraH Bparilo ryhu 6er:6rpxe. flocle r:secHorBpeMeHa noueoje )Meceq AaHa Krb[rd<(, na cy ce cBe Knr{re npoaaBane ca nonycroMov 30/.1

.{paran je oAuax orrrlrao y Krbuxapy, 3arpax[o r6Hpry 3aaaraKa n npyxr{oflpoAaBrry 25 guuapa. Onaj uyje Aao s6npxy 3aAaraKa n Bparro 2,25 annapa.

>>Bn cre florpeuru:ur(<, pe.re .{paran.>>Hucav<<, oAroBoplr npoAaBarl.

Ko je norperuxo?

[Pe:.: florpeuruo je AparaH]

873. Cabpanr cMo ceAaM y3acronHrx npxpoAHrrx 6pojeaa, oA Kojrx jeHajrvarru r. Karas je 6poj n, axo je y(ynaH :6lrp: a) napaH 6poj; b) nenapan 6poj?

[Per.: a) z je Henapau 6poj; b) z je napaH 6poj]

874. Koncrpyrcarrr rpoyrao ABC axo uy je crpanr.rqa AB:5 cm r norry-npeqHlrK otrucaHor xpyra 3 cm, a cr{Merpana yHyrpaurber yrra KoA TeMeHa C EenucrpaHruy AB y patuepn 3 :2. Vrao Koa reMeHa C je ourrap.

V n y r c r B o, - Cuuerpara yrr.ra xoA TeMena C nonosu Marrlr nyK onr,rcauorxpyra - raruro?

875. OA Tpr{ MeraJrue KorIKe r.{Br{ua 3 cm, 4 cm u 5 cm r.r3lrr{BeHa je xoaaxorlra. Kornxa je nonpuruHa Hoee xouxe?

[Per.: 216 cm2]

C) 3a yuenuxe VIII pazpega

876. Tpouu$peHr 6poj ir'aa jeanaxe npBe ABe ur.r$pe, a rpeha je sa rpn nehao.u npBe. Axo .{aru.6poj noMHoxnMo ca 4, ao6nhenro 6poj xoju je :ra 45 sehn ou6poja rojN 6ucr,ro Ao6lrnu ra cMo 3aan,y qu$py aaror 6poja npeMecrr{nn }tcnpeaocrane ABe. KojN je npno6nrHo 3aAarr.r aeour.r$peun 6poj?

lPe:.:1141

52

perur.rTr{ Je.qEaquHy:

l0 000 000 000-lVnyrcrBo.-Co6:npovHaroAaje I lll lll lll:

r.r3Bpruurr.r noAecHy rpancSopvaqujy r{3pa3a Ha aecHoj crpaHr.r jeAuaqnse.

[Per.: 33 333]

NAPOMENA

Navedeni zadaci su razdvojeni ugrupe pod

A,B,C i D s obziromna

deo nastavnoggradiva

koji treba da j€ poznat uienicima V, Vl, vII i VIII razreda do izlaska ovog broja Isita. To je uainjenoda udenici mladih razreda ne gube vreme pokuSavajudi da re5e i one zadatke za koje nemaju nuZnupredspremu. No, ako neko od njih ipak uspe da re5i neki od ovih zadataka, to je, razume se, tim boljepo njega.

Ovi zadaci treba da vam sluze za vezbu, pripremanje za prijemne ispite i matematidka takmi-eenja. Zadatke treba samostalno da resite, a navedeni rezultati neka vam slule za kontrolu.

KONKURSNI ZADACI

A) Za utenike V, VI, VII i VIII razreda

195. Pri mnoZenju jednog broja sa 408 udenik je zaboravio da mnoZiteljpomnoZi nulom i tako je nadinio gre5ku 270 000. Odrediti tadan proizvod.

196. Osobe A, B i C zaradile su 600 dinara, pri demu je A zaradila dva puta

viSe od B, a C zaradila l8 dinara vi5e od A i B. Odrediti zaradu svake osobe.

197, Livada povrsine 3 ha 8 a 45 ca, dija je cena 3 800 dinara po hektaru,zameniena je livadom pravougaonog oblika duZine 100 m, dija je cena 5890 dinarapo hektaru. Odrediti Sirinu druge livade kada se zna da je njena vrednost jednaka

vrednosti prve livade.

198. Cana i Dragica skupljaju markice. Cana ima 6 duplih markica, koje nema

Dragica, a svaka vredi I dinar. Dragica ima 4 duplikata, koje nema Cana, i svaka od

njih vredi 2 dinara. Odrediti na koliko razliditih nadina Cana i Dragica mogu razmenitiduplikate, tako da svaka razmena bude pravedna.

B) Za uienike VI, VII i VIII razreda

199. Sirina pravougaonika, diji je obim 78 m, iznosi pet osmina njegove

duiine. Odrediti povr5inu ovog pravougaonika.

200. Odrediti najmanji prirodan broj kojim treba pomnoZiti 46 103 904,

da bi se dobio kvadrat nekogprirodnog

broja.201. Pri.iednom deljenju kolidnik je izneo jedanaest petina deljenika; odrediti

delilac.

202. V ednokrakom trouglu simaterala ugla na osnovici i visina povudena

iz istog temena grade uago od I 5". Izradunati unutra5nje uglove tog trougla.

877. Kopucreh[ ce $opMynoM 3a r(BaApar 6r.rHoMa

x2:l lll lll lll-22222.

53



C) Za uienike VII i l/Iil razreila

203. Odrediti cifre umesto kojih se nalaze x,/ i z u tvrdenju 1:0,8yz,kadax'8

se zna da ie razlomak- manji od l6

204. Odrediti najmanji prirodan broj koji izraiava n tako da su ekvivalentni40 3n+ I

razlomci-

i-.93 7n+2

205. Odrediti skup A vrednosti promenljive x za koje je brojna vrednost

algebarskog izraza 5.r*21 prirodan broj manji od25, a deljiv sa 2 i 3.206. Iz temena I trougla ABC povuiena je visina d i simetrala s., ugla a.

Izradunati ugao izmedu ho i so u zavisnosti od uglova a i p.

D) Za uienike VIII razreda

1. Dokazati: ako prirodni brojevi a, b, c i d obrazuju proporciju a : b:c : d,onda je njihov zbir sloZen broj.

2, Dva kruga (sl. 1a), odnosno tri kruga (sl. lb) prolaze jedni drugima krozcentar. Izradunati, u obasludaia, povr5inu njihovogzajednidkog dela u zavisno-sti od poluprednika.

3. Pokazati da xs*+x-l:(x:f xs-l)(xz--x*I) i po analogiji izra-ziti xs*xll kao proizvodpolinoma stepena 3 i poli-

noma stepena 2.4. Odrediti koliko li-

tara vode temperature l2'Ctreba pomeSati sa 5 litaravode temperature 70'C dabi se dobila me5avina tem-perature 37' dovekovog tela.l.la Sl. lb

Uputstvo re5avateljima konkursnih zadataka

Navedeni zadaci su razdvojeni u grupe pod A, B, C i D iz istog razloga iz koga je to udinjenoi sa odabranim zadacima. Medutim, svaki udenik ima pravo da po5alje re5enje kog bilolaiatka.

Najbolja re6enja (sa imenima uienika koji su ih poslali) objaviie se u narednom broiu lisla.U poslednjem broju za ovu Skolsku godinu objaviie se spisak (popis) svih udenika koji su r;Sili barnajmanji broj zadataka predviden za razred u kome se nalaze.

Najboljim resavateljima za svaki razred dodeliie se nagrade na kraju ikolske godine.Zadatke re5avajte samostalno, ne traZeii pomod ni od koga. Slike crtajte preiir.o, a re5enja

pi5ite obrazloieno i ditko. Neuredna, neditljiva re5enja (rezultati, odgovori) bez obrazloZenja neie ieuzimati u obzir.

- Svlko reSenje (s tekstom i rednim brojem zadatka) treba pisati na jednoj strani papira. Svakore5enje ditljivo potpisati punim imenom i prezimenom, navodeii razred i oieljenje. ikolu i mesto. Naprimer: Mirjana Rakii, ud. Vllc raz. Osnovne Skole DFitip Fitipovii<,32000 Cadak.

Reienja zadataka iz ovog broja poslati najkasnlje do 15. I, 1974, g.Adresa: Matematiiki lisr, pp. 728, t l00l Beograd.Na koverti obavezno naznaditi: Konkursni zadaci.

. Molimo re5avatelje da se u svemu pridrZavaju oyog uputstva. Resenja ialjite obiinom postom(a ne preporuieno), kako se ne biste izlagali nepotrebnim troskoyima.

54

RESENJA KONKURSNIH ZADATAKA 189-194 TZ ML VI[. 1

189, Odrediti broj kojim treba pomnoiiti 315 da bi se dobio proizvod veti za

39 824 od proizvoda broja 216 i broja koji je za 4 manji od kvadrata broj 15.

Broj za 4 manji od kvadrata broja 15 jeste: 152-4:225-4:221; proizvod

ovog brojt i broja 216 je216.22l:47 736, a broj veciza3g 834 od ovog proizvodaje 47 736'139 834:87 570. TraZeni broj je broj koji pomnoZen sa 315 daje 87 570'

odnosno to je kolidnik broja 87570 i broja 315 ili 278.

190. Znajuti da se razlomak L uvetava kada se brojilac i imenilac umanjuie

q't)

za isti broj, odrediti kako se menia L kada se niegov brojilac i imenilac uvetavaiuq

za isti broj.t)

Ako se razlomak I uveiava kada se brojilac i imenilac umanje za isti broi,q

onda se brojilac 1 umanjuje manje nego imenilac q, odnosno imenilac 4 umanjuje

se viSe nego brojilac p, pa se zbog ovoga razlomak 4 umanjuje kada se brojilac i

imenilac umanje za isti broj.

l9l. Teiina tela na Mesecu mania je za 0,16 svoie teZine na Zemlji, na Marsuje manja za 0,38 svoje teZine, a na Jupiteru je 2,64 puta veta nego na Zemlji. Odrediti-teiinu-tela

na Mesecu i na Jupiteru, kada je njihova teiina na Marsu 3lkg.

Neka je t merni broj teZine tela na Zemlji Eiji je merni broj teZine na Marsu 31.

Tada je /-0;38 t:31 ili l:50. Prema tome, telo koje na Marsu teZi 3l kg, na Zemlji

teZi 50 kg, na Mesecu teZi kilograma 50-0,16 . 50:0,84 .50:42; telo koje naZemlji teii 50 kg, na Jupiteru teZi kilograma 50 '2,64:132.

192. Odredi momenat izmedu 5 i 6 tasova d kome kazaljke iasovnika a) iednadrugu poklapaju i b) tine prav ugao.

Kazaljka koja pokazuje minute kreie se l2 puta brZe od kazaljke koja pokazuje

dasove; zato prva; za isto vreme, prelazi 12 puta veii put od druge, odnosno drugaprelazi 12 puta manji put od prve. Prema tome, dok prva nadini x minuta, druga

Inadini -l- x minuta. U momentu kada se kazaljke poklope, izmetlu 5 i 6 dasova.

12I 11

x je broj takav da ie x-l2x:25 iliUx--25.

3

Prema tome, x:Zl l-,Sto znadi da se kazaljke poklapaju u 5 dasova i 27 ill'-'- ll

minuta.

U momentu kada kazaljke dine prav ugao, izmedu 5 i 6 dasova, x izraiavaI 1l -10 ..

broi takav da ie x-' x_25-15 ili i-: x:10. Prema tome je x:10 - -, Sto znadi da12'- 12 - 1l '

t0kazzljke dine prav ugao u 5 dasova i l0 - minuta.

55



193, Krug (K) polupreinika r:2 inta centar u ta[ki O; obeleiimo sa AB jedan

preinik tog kruga i povucimo polupreinik OMIAB. Iz sredine O1 duii OM opiiintokrug (K) polupreinikom rt:r12, iz sredine O2 duii O2M opiiimo krug (K) polu'preinikom rz:rr12, iz sredine O3 duii O2M opilimo krug (Kt) polupreinikom rt:rz12,itd,, a zatim, paralelno pretniku AB, povucimo kroz Ot telivu ArBr kruga (K), kroz

02 tetivu AzBz kruga (K), kroz O3 tetivu A3B3 kruga (l(:), td. (sl. l).

l) Dokazati da taike Ar, Az, At, . .., M leie na jednoj pravoi i da tatke81,82,83, ..., M leie takode na jednoj pravoj.

2) Izraiunati duiine tetiva: A$1, A282, A$t, i na osnovu toga izvesti forttrulu

za duiinu tetive Arc&rc. M M

l) Povucimo u krugu (K) odsedak OA1 (:r); dobiienro L OMA: (sl. 2), u

kojem visina ,4rOr polovi osnovicu OM, ito znadi da ie MAr:OAr, a kako je

OA1:9p1-r, to je i MA1:,', pa zakljudujemo da je L OMA: iednakostranidani da je { A:MO:6O'.

Na slidan nadin utvrduje se da su i A OrMAz, L' O2MA3, . . ., kao i L OMBrL,OrMBz, LOzMBt,.. . jednakostranidni, pa je, prema tome,

4 A:MO- 4 AtMOt:4 AtMOz:''' :60"4 BtMO:4 BzMOr:4 BtMOz: ' ' ' :60",

a kako se tadke O,Or,Oz, ..., M nalaze na istoj pravoj, to znadi da se i tadke

At, Az, A3, . . . , M nalaze sve na jednoj pravoj, i tadke .Br, B:. Bt, .. . , M takode

sve na jednoj pravoj.

2) Tetiva Afir:2,9ttrr, gde je OrAr visina jednakostranidnog trouglaOMAti stoga je

A,B,-:2'O,A,:2'!; / l: r1t 3 .

Isto tako je, u jednakostranidnom trouglu Jr*nr,

A.Br-2.O2A.- 2.r;l' 3 .r'l 3i,a'

a u jednakostranidnom trouglu O2MA3".

56

r. r ,-A3Bl--2.03Ar-2. ;l/3-rr l 3-

2,l 3.

57

Sada nije tesko utvrditi da je

4a,-f,,,'1 i AnBn=''oV t

S obzirom na to da nam je bilo dato r:2, imaiemo:

L-I,-I.,=A,B,:zy' i, ArB2-V 3, ArBr:71/ 3, A,rB,o:

2rVl-

fiZl/3'

194. Iloiimo kocku ivice a i jedno njeno teme A; ktoz sredine,sve.btri ivice koie

potor" ii temena A postavimo ,oron; to ,avan odseca od kocke iednu lrosyanu.piramidu.

bdsecimo, na isti iaiin, po iednu iostranu piramidu kod svakog od preostalih temenl;

dobitemo lelo koje ima 14 strana-

Izraiunati povriinu i zapreminu tog tela ako ie a:l'

Navedenim odsecanjem dobija se telo ogranideno sa 6 j"9f\i! kvadrata

i .u S jednukitr jednatostianidnih tiouglova;-to-telo ima 36 jednakih ivica a1; pri

tome jJ ta ivica iednaka polovini dijagonale d jedne kockine strane:

d alTar: 2: 2

obeleZimo saPl povrsinu jednog od kvadrata sa stranicom ar,asaP2 povrsinu

jednog oAleOnatostrariienin trouglovi; tada je povr5ina P dobijenog tela:

p : 6a,r. B.+ / t :la,'(t + l/ i,

,:r(+)'r, rl rt:,,(3+V \.

Ako je sa v1 obelelenazapremina date koclre' a sa v2zapremina jedne odse-

dene piramide, tada je zapremina Z dobijenog tela

IV:Vt-8.Y2:a3-8'- B'H'

, | \Osnova pirmide je osmina osnove kocke(gdakle: o:+*) a visina piramide je

a

H:n' Pa le r a2 a salV:a3_9.3,_.,=

za a:l imaiemo: P:3+/ 3, V:516-



MATEMATIEKA TAKMIEENJA

SEDMO REPUBLIEKO TAKMIEENJE MLADIH MATEMATIEARAosNovNrH Sror,n sR SRBTJE

Ovo takmidenje je odrZano 13.5. 1973 godine na Prirodnomatematidkomfakultetu u Beogradu. U takmidenju su udestvovali udenici VII i VII razreda osnovnihSkola - oni koje je odabrala Republidka komisija za mlade matematidare izmedukandidata predloZenih od strane metluikolskih komisija. Broj takmidara je biosledeii: iz Yll razreda 92, iz Ylfi razreda 251. Udenici su bili iz raznih mesta SR

Srbije i zadatke su mogli reSavati svaki na svom maternjem jeziku. Takmidenje jeorganizovalo Drultvo matematidara, fiziiara i astronoma.

Zadatke za ovo takmidenje sastavila je, pregledala je i ocenjivala je Republidkakomisija za mlade matematidare. Udesnicima iz svakog razreda bilo je postavljenopo 5 zadataka. Za svaki zadatak moglo se dobiti po 5 bodova, tako daje svaki tak-midar mogao dobiti najvi5e 25 bodova. Izrada zadataka trajala je 120 minuta.

Onim udesnicima, koji su postigli najbolji uspeh, dodeljene su nagrade i pohvale.

Spisak nagradenih i pohvaljenih udenika je sledeii:

VII razred

f negradq: Grujit Ljubomb (Negotin, 24,5 b.); Todorovii Branislav (Zemun,24 b.).-

II nagrada:

Jovonovii Moza (NiS, 23,5 b.).-

III nagrada: Tucakovii Kristinka (Beograd, 22b.); Blaiit Novica(Krusevac, 2lb.); Rakonjac Dragojlo (Kraljevo, 20b.); Bobot Vlqdimir (Zrenjailn,20b.); KqlievitMitoi (Yaljevo, 2O b,): Birianin Dragan ((atak,2O b.): laniiit Ljil7'ana (Kruievac, 2Ob.); Savii Slailana(Arandelovac, 19,5b.): Ramit Luka (TovariS;, lg,5b)i Stankovit Siniia (Sabac, 19,5); Sroiadinovit

Ne6oj.ic(Kru5evac,

19,5 b.); lokit Nebojia(Arandelovac,

19,5b.); Popovit Liiljana(Yaljevo, 19,5b.);

stoiljkovii Yladimir ((aEak, 19,5b.); Dokovii Vidan (Beograd, 19,5b.\; Drasitevii Mi4ana (Kr^ga-jevac, t9 b'). .._ Pohvala: Terzi| Julkica (Perlez, 18,5 b,); Bogojevit Drusan (Svilatnac,18,5b.): Kerepei

Toaai (Subotica, 18,5 b): Mandit Dragan (Zrenjanin, 18,5 b.); Minjevit Zeliko (Beograd, 18 b); Zdrav-

koviiVinko (Izvor, l7b'); AdnadiviiLjiljana (Beograd, 16b.);SakitBorislav(Topola, 16b,):PodobnikIea (Beograd, 16b.).

VUI razred

I nagrada: Agoiton litvqn (Novi Sad, 24b); Cejovit Milo.f (Kraljevo, 24b.); Dostanii Milutin(ea6ak, 24 b.); Sevit Dragutin (Zrenjanin, 24b.').

-If nagrada: Lazit Aleksandar (Valjevo, 23,5 b.);

Androvii Predrag (Belosavci, 23 b.): IIit Dragan (eaEak, 23 b.); Dorit Sozla (Varvarin, 23 b.)', ZakoiekZlatko (Majdanpek,22,5b.);

-III nagrada: Davidov Stevan (N. Kozjak, 21,5b.); Mitovit Ljubiig

(Grdelica,2l b.): CvetitaninBranko (Kat,2O,5b.); Savit Nada(3abac,20b.)ileremii Godana(Krzljevo,2Ob.): Todosii Snelana (Loznica,2Ob.); Cvetkovit Zoran (dadak, 20b.); Pletevit Zoran (T. UZice,

20b.\i Ktstit E/cdaza (NiS, 2Ob,); Sokit Jelena (Beograd,20b.)i Stankovit Aleksqndqr (Zrenjanin,

20b.); Prekajac Zora (Sombor, ZQb.): Garunovit Goran (Beograd,2ObJ; Peiit Radivofe (CaEak,2Ob.\;Tioi;avljevit; Slavomir (dadak, 20b,); Antonijevii Predrag (T. Utice, 19b.); Pakovi4 lvana (Beograd

l9b.): PeftiC Vukemir (OstruLnica, Beograd, 19b.): Mirkovit Zvoz&o (Smederevo, l9b.);-

PohYala:

Zatkalik Miloi (Beograd, 18b.); Markovit Jasminka (T. UZice, 18 b.\; Luiii Nebojia (T. Utice, 14 b.);

KostiClvics (Nis, l8b.); MarkoviiZoran(Nii, 18b.):IvenoviiElen(Yrcnje, 18b.);Vuli6Milivoj(Va-ljevo, l8b'); Jablanovit Slavica (Despotovac, 18b.): Goiit Jadranl<a (Beograd, 17,5b.); Bugariit Yladan

(daiak, 17 b.)i Rakit Dejan .(Y. Sillegovac, 17 b.): Panit ,Sa,ic (Beograd, 17 b.); Kneievii Aleksandar(Kraljevo, 16,5b.); Obid Milaz (Pandevo, 16b.); Stoikovid Sre/ez (Krusevac, 16b.); Jovit Biliana (KzE,l6b.); Joviit Stanko (Lazarevac, 16b.); Krstii Ljiljam (Arantlelovac, 16b.); Durlit Slavi.ic (Rudna

Glava, 16b.); Rosit Mirjana (Zemu;, 16b.).

58

Otvaranju takmidenja i zavr5noj svedanosti prisustvovao je velik broj nastav-

nika i roditelja udenika. Meclutim, zbog nedostatka finansijskih sredstava Drudtvomatematidara, fizi(ara i astronoma SR Srbije nije moglo obezbediti nikakav program

boravka takmidara u Beogradu, niti je moglo udestvovati u troSkovima dolaskai sme5taja takmidara. Sve nagrade su date u knjigama, i to iz fonda za nagradivanjeMatematidkog Iista.

Zrdaci na takmiienju za uienike VII razreda

l. Zbir dvocifrenog broja i broja sa istim ciframa, ali u obrnutom poretku,jednak je kvadratu prirodnog broja. Koji je to broj? Na6i sve dvocifrene brojevekoji imaju navedenu osobinu.

2. Udaljenost izmedu mesta A i mesta B je 55 km. Pe5ak je krenuo iz mestaA u mesto B brzinom 5 km/h. Dva dasa kasnije poiao mu je u susret iz B drugi pe5ak

brzinom 4 km/h. Posle koliko dasova, radunajuii od polaska prvog, ie se pesaci

sresti? Na kojoj udaljenosti od A 6e to biti?

3. Izradunati povr5inu trapeza kome je jedan krak 8 cm, a rastojanje sredi5tadrugog kraka od datog kraka je 6 cm.

4. Konstruisati trougao ABC ako je dato: sredi5te stranice AC (neka je totadka F), sredi5te stranice.BC.(neka je to tadka D) i podnoZje visine iz temena A nastranicu .BC (neka je to tadka I/).

5. Jedna legura cinka i srebra, teSka 3,5 kg, sadrZi 76\ srebra. Kad su ovuleguru stopili s drugom legurom cinka i srebra, dobijena je nova (treia) Iegura, teika10,5 kg, koja je sadrZavala 84\ srebra. Koliki je bio procenat srebra u drugoj leguri?

Zardrci na takmidenju za udenike VIII razreda

1. Po zavrietku bioskopske predstave deo gledalaca otiSao je kuii autobusima,pri demu je svaki autobus u5ao isti broj gledalaca, a bilo je 6 autobusa. Ostali gledaoci,

kojih je bilo za 157" viSe, otiSli su pe5ice. Koliko je svega gledalaca bilo u bioskopu,ako se zna da bioskopska sala u kojoj su bili ne moZe da primi vise od 400 gledalaca,

a autobusima je otiSlo vi5e od 150 gledalaca?

2. Komad legure cinka i bakra, teiak 40 kg, kad se sasvim potopi u vodu,izgubi u teZini 5 kg. Naii koliko u njemu ima cinka, a koliko bakra, ako je poznato

2tda u vodi cink gubi 14=7", a bakar ll ^ I svoje teline.

793. Naii dvocilren broj koji podeljen svojom cifrom jedinica daje kao kolidnik

tu cifru jedinica, a ostatak je njegova cifra desetica..

4. Konstruisati trougao ABC, ako je dato: tadka E - podnoZje visine iz temena,4 na stranicu BC, taEka F

-podnoZje visine iz temena .B na stranicu lC i dve tadke

(M i N)-

proizvoljne tadke na stranici AB.

- 5. Omotad prave kupe, razvijen u ravni, daje kruZni isedak s centralnim uglom

od 36'i povrSine ll0rscmz. Izradunati povr5inu i zapreminu te kupe.

59



Rezultati, uputstva i re5enja zadatakt

VII razred

1. Neka je traZeni broj 10 x + y. Tada je l0 x * y-(1 0 y * x\ : nz, (n : l, 2, 3...).Sleduje: ll (xf-y):nz. Kako je z prirodan broj, bar jedan dinilac broja xfy morabiti 11, a kako je 2(x*y(18, mora biti x*y:ll, tj. y:ll-x. Ako se x-u daju

vrednosti 2,3 . . .9, mogu se izra-dunati sve odgovarajuie vrednostiza y, pa tako i dobiti sve vredno-

sti broja lO x+y.2. Neka se do trenutka sus-

reta prvi pe5ak kretao t dasova, adrugi r-2 dasa Tada je

5 t+4 (t-2):55, t:7.Do susreta je doilo na udaljenostiod 7.5 km:35 km od.mesta A.

3. Neka je kod trapeza ABCD(sl. 1) strana lD:8 cm, i nekaje M sredi5te kraka BC. Neka je,dalje, PQ ll AC i neka je MN nor-mala, spuStena iz tadke M napravt

,4D. Sleduje: APBM=L, QMC, usled dega je povr5ina trapeza ABCD jednaka po-vr5ini paralelograma APQD.

Kako je MNLAD, povr3inaparalelograma APQD -

pa, prematome, i povr3ina trapeza je: P::8'6:48 cmz.

4. Pretpostavimo da je tro-ugao ABC vei konstruisan (sl. 2).U njemu je AB ll DF i AB::2 DF. Usled toga je: L DHE--ABHA, AH: EH:AB: DF,AH:EH:2, AH:2EH.

Tako moZemo najpre da od-redimo tadku A, a zatim, pomoiunje,itaeke3iC.

5. U prvoj Ieguri je bilot't^JU

:r,uukg srebra. U trecoj leguri je bilol0'5'85

100

:8,82 kg srebra. Prema tome, u drugoj leguri je bilo 8,82-2,66:6,16 kg srebra.

Druga legura je bila te5ka 10,5-3,5:7 kg. prema tome, u njoj je bilo6.16.100

7:28 procenata srebra.

60

D

sl. 2

VIII razred

l.Nekajeusvakomautobusubilopoxputnika(xjeprirodanbroj).Tada6x.15'69-r l69x

ie oeSke otiSlo 6 x.+ - "1-- putnika 1".^' :, prirodan broj, Sto znadi da je100 l0 \ 10

\ ._ 69xx deljivo sa l0). Na osnovu datih podataka imamo:6x> 150, 6xl .^ q400' -->

lrol

25<x<31 . . Kako je x ceo broj, deljiv sa 10, to je x:30.129

2. Akoje

bakar teZakx kg,

acink y kg, imamo jednadine: x4'y--40,

100 x 100 v:::. 1 +:::.-1-:5. Na osnovu toga se dobija: x:17,5; y:22,5.9 100 7 t00

3. Neka je trazeni broj lo x*y. Tada, s obzirom na postavljene uslove, imamo:

lox+v x '^ :v2rx. 9x:v(v--n. x:!o-D. Kakosuxiy jedno-::'-: -.y- " , l0 x)y:y2lss,92a:y(y-1), x'oy)'

cifieni prirodni brojevi, to -da bi .x bio ceo broj - mora biti ),:9. Usled toga

je x:8, a traZeni broj je 89.

4. Pretpostavimo da je traZeni trougao vee konstruisan' Tadke E i F nalaze

se na kiuznici diji je centai u sredi5tu stianice AB, a du7 EF predstavlja tetivu

te kruZnice.- *UsieAtoga tra2eni trougao dobijamo na sledeii nadin: povladimo pravu

kroz date ta(ki M i N i konstiuisemo iimetralu GD tetive EF' Ta simetrala sede

o."""-rrzlv u t"eLi D, koja je srediste stranice AB. zatim konstruisemo kruznicu

lu iriOist.- u tadki D koja prolazi kroz tadke E i F. Ta prava sede pravu MN u teme-

"irnu

iruz"nog trougla A'i B.'teme C se nalazi u presednoj tadki pravih AF i BE.

J

---)a

Sl 4a Sl. 4b

5. S obzirom na obrazac za izradunavanje povrSine kruznog isedka imamo:

36tt':110r,odakte dobijamo: s:to y'il . Kako je tut G(st.+a)jednakobimu

360

osnovice kripe, imamo : , * ,:tl V lrld'!l, odakle se dobija r: y' t L odatle sleduje:

P:B+ M : ll r* I l0 n :121 tt (sl. 4b). Isto tako imamo: 1t:1i tz -i=r r2h: l,tloo. ll-ll:33, v:

-:l2lic.

sl. 3

61



NAGRADNI ZADATAK BR. 36

Izbrojre do milijarde. -Jedna miliiarda (l 000000000) re hiljada miliona:

1000000000: 1000.1000000: l000. 1000. 1000, ito se moie napisati u iobliku 1 0m1 (iitatii I ON na kub). Koliko je taj broj veliki, Iako tete se uveriti akopokuiate da broiite od I do I 000000000 i ako kontroliiete vreme koje vamje za to

potrebno. S tim u vezi postaviiemo sledeti zadatak:

Ako se za I minut moie izbrojati proseino 125 brojeva, koliko je vremena (u

danima i godinama) potrebno da bi se izbrojalo od I do 1000000000?- Razmotriti

dve varijante: a) broji se dan i not bez prestanka; b) broji se svakog dana po 8 iasova.

Za tai]no reienje ovog zadatka nagradiiemo 50 uienika matematidkim knjigama. Po potrebiodluiiie Zreb.

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 33

ReSenje zadatka.

l. re5enje

2. re5enje

3. reSenje

4. reSenje

5. re5enje

6. reSenje

Od ukupno 474 prispelih odgovora bili su uzeti u obzir oni u kojima su biladata bar 4 .tadna re5enja i izmedu njih su Zrebom izvudena imena 50 nagt'atlenih

udenika. Nismo uzeli u obzir resenja onih udenika koji nisu naznadili razred ili svoju

adresu.

Knjigom ,,Gdje je pogre5ka?" od M. Krajnoviia, nagradujemo sledede udenike:

IV razred: Arsit Jasmina, OS >N. Popovii<, Kruievac; Guia Tanja, OS >>I-

Grdki<<, Smildii.

V razred: Gaiic Biliana, OS )1. maj<<, Zenica; Hristova Gordana, OS )V.KaradZii<, NiS; Krsrrc Sneiana, OS >V. Karad-orde<, Ni(i Milu-tinovit Dragoslav

oS >Dan'n!adosti<<, Belu5ii; Nikolii- Anica, OS >A. Sinadinovie<, Loeikat PeiiiMiroslav. OS >D. Jak5ii<, euprija: Skundrit Branka, OS >1. Gundulii<, Beograd;

Vetit Ljubimka, OS >V. Marinkovii<, Majdanpek; Zerajit Miroslav, OS >1. maj<,

Zenica.

VI razred: Blagojevit Radut, OS >J. Dukanovi6<, Varda; Dragiiic llija, 03,

>Mikleus<, Mikleus; Georgievski Meri,OS >K. Ohridski<<, Ohridl GolubovitGordana,

OS )S. Miljkovii<, Brestovac; Iluinjak Dragica, OS >Mikleu5<, Mikleu5; JankoviiVetiko. OSI>V. KaradZii<, Zrenjanin: Lazarivit Zoran, OS pp. $tirnkovii<, Svrljig;Lazarevit Borie, OS >K. Ohridski<<, Ohrid: Lekovski Mir\9, ol->K,t Ohridski<<'

Ohrid; Lopina Vjera, OS >R. eajevac<, Zagreb; Markovski Olga, OS >K. Ohridski<,

Ohrid; Markovii Gordana, OS >8. Radidevii<, Smederevo; Milosavlievit Ratomir,

62

E I J K LO S U V

693520478698520473729630854724630857837260549839260549

OS >S. Milenkovi6<, Ruplje; Milosavlievit Slavica, OS )D. Jakdii<, euprija; Naneva

Lidija, OS >K. ohridski<, Ohrid; Pejit Spasenka, oS >J. Dukanovii<, Godedevo;

Pujavac Radmila, OS >Mikleu5(, Mikleu5; Ristevska Kristina, OS ))K. Ohridskk,

Ohrid: Rumenov Saio, >K. Ohridski<<, Ohrid; Stanievit Martin, OS >Mikleu5(,

Mikleus; Stojanovska Vera, OS >K. Ohridski<<, Ohrid; Todoroska Lenie, OS ,>K.

Ohridski<, Ohrid; Vetjenoski Jovan, OS )K. Ohridski<<, Ohrid; Zivkovit Branko,

OS )V. Karadorde<, NiS.

VII razred: Blaiit Novica, OS )V. KaradZii<, KruSevac; Georgievska Danica,

OS )K. Ohridski<, Ohrid; Kneiev Mitan, OS >A. Santii<, Hrasnica; Milenkovii

Ljubontir, OS >L. Ribar<, Osipaonica; Mititevit Saia, OS >D. Obradovii<<, PoZarevac;.Mioclrag Pje.iivat', OS )D. Obradovii<, Zabllak; Reljanovit Ziran, OS >8. Kidrid<,

Zuparya; Sakit Borislav, OS >Karaelorde<, Topola; Sarenac Bojana, OS >D. Jak5ii<,

Meda.

VIII razred: Boi4iala Ankica, OS )S. V. diea<, llok; Davidov Stevon, OS

>L. Aldan<, Novi Kozjak; Delit Ljiijana, OS )D. Jak5ii<, Cuprija; Ilit Dragan,OS>P. Mitrovic<, eahk; Jokit Krstivoje, OS "V. Dugo5evii<, Beograd.

Nagradne knjige poslademo po5tom. Dobitnicima destitamo!

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK 8R.34

ReSenj e zad atka:

I

Od ukupno 1136 prispelih odgovora bili su lll9 tadnih, i izmedu njih su

zrebom izabrani 100, diji su davaoci nagradeni. Nisu uzeta u obzir resenja onih ude-

nika koji nisu naznadili razred ili svoju adresu.

Knjigom >16 geometrijskih tijela< nagradujemo sledeie udenike:

III razred: Jankovit Duiko, OS >V. KaradZii<, Zrenjanin; Manasijevit Milan,

OS >J. J. Zmaj<, Pandevo.

IV razred: Mitiievit Jasna, OS >D. Obradovii<, PoZarevac; MomiilovitSnjehana, OS >Samarica<, Mali Gradac.

V razred: Antonit Mirjana, OS )V. Blagojevi6<, Banja Koviljata; Bojanovit

Milovan, oS >M. Pijade<, Vrdnik; Boikovit Raika, oS >S. Pejanovii<, Titograd;

Brankovit Vesna, OS >D. Dragovii<<, Sokobanja; Carevit Zvonko, OS >M- Pavlovii<,

eadak: Cujit Sne1ana, OS )I. Milutinovii<, ViSnjica; Durit Branka, OS )I. G. Ko-

va(i&<, Zenicai Galit Olivera, OS >D. Natoievii<, Novi Sad; Gligorova Sne2ana,

OS >G. Dimitrov<, Bosilegrad; Hristova Gordana, OS )V. Karaclorde<, ]"liS; 1/lGoran, OS >Uditelj Tasa<, NiS; ilit Liitja, OS >R. Kovadevii<, Lece; Kocii Radmila,

OS >J. Milanovi6<, Sopot; Lazarevit Jelena, OS >D. Jakdii<, Cuprija; Lazii Nadica,

OS >N. Tesla<<, Zrenjanin; Milenkovit Rajka, OS )25 maj<, Popovac; Militev Mi-

hajlo, OS >N. Tesla<, Zrenjanin; Milosavljevit Liiljana, OS >V. Dugo5evii<, Beogradl

63



Neiit RuZa, OS )2. Popovii<, Vladimirci; Nikodi,ievit Svetlana, OS )D. Jak5i6<,

Cuprija; Nikolit Vera, OS >Dr. J. Cvijic<, Smederevo; Ogar Dragoslav, OS >F'

Kljaji6-Fiia<, Beograd; Popov Milena, OS )N. Tesla<, ?renjanin; Popovit Biljana,

OS"S.

S. Xianjeevi6<, Zagreb; Raspopovit Jadranka, OS >V. I. Lenjin<, Beograd;

Stamenit Mitijina, OS > -.Blagojevii<, Pilica; Strprc lrena, OS >G' Jankovii<,

BlaZuj; Stojanovit Dragana, >Banovii Strahinja<, Beograd; Veliikovit-Dobrila,OS )O. MiloSevii<. Smederevska Palanka; Veljkovit Mira,OS >V. Nazor<<, Zeljeznik;Vujasinovit Nenad, OS >M. Pupin<, Veternik; Zivanovit Goran, OS >D. Stambolii<,

Svrljig.

VI razred: Atimovit Veiibor, OS ,,V. Markiievii<, Majdanpek; Boiii Boiana,

oS >V. R.<. Omarska: Braievit Mato. oS >M. Avlii-Mikota<, Gruda; predevitIrena. OS >i-. Perusko<i, Pila: takarevit vesna, oS >M. Pajic<, Vida; CirakovitGoricia, OS >S. Rankovii<, Arandelovac: Gruiit Sneiana, OS >P. Drap5in<, Badka

Palanka; Hajdukovit Danica, OS >Sv. Markovii<, Kragujevac; Jelit Svetlana, OS

>F. Kljajii-Fiia<, Beograd; Jovit Miroslav, OS-)V. Nazor<, Skopje; K6jovit Jasminka,

OS,,lt oktobarn, Pranjani; Kovat Liiliana, OS >Braia Lju5tin(, Visujivac; Kozomora

Helena. OS >Gornja VeZica<, Rijeka; Kunit Mirsad, OS )M. Kupres<, Turijea;Martinovit Mitiia, OS >Sv. Markovii<, Kovilje; Miikovit Vesna, OS >J' Pandii<'

Beograd; MladLiovit Jasmiina, oS >M: Munjis<, lJb Naumova Gordana, oS >v'Fitii, Siip; ntrti niamiu, oS >c. D-eld6v<,'Zemun; Novakovit Radmila, oS>Braia Gruiovi6<, Be5ka; Orgi Dragica, OS3>P. Petrovii-NjegoS<, Saryjevo; Poteiica

Borka, OS >D. Tomasevii-eirko<, Velika Zupa; Poiarev Milica, OS >Sv-. Miletii,

-Mosorin: Rilkova Elena.OS >K. Ohridski<, Ohrid; Stanojlovit Branislav,'OS, Prdanj;' Stoikovii Liiliana, OS >v. KaradZii<, Vranje; Stratiieva Vesna, OS >I. L. Ribar<,

Klisura; Sijit naa*o, OS )J. J. Zr-na|<, Sre-mska Mitrovica; Tokat Magdalena,

oS >M. Gubec<, Tavankut; Veinovii Zetjko, OS >J. Kablar<, Kistanje.

VII razred: Babii Miriana.OS >J. Kozarac<<, Vinkovci; Banovii Ksenlja,

OS ),F. Bevka<, Ljubl.iana; Bariii| Zoran, OS >Heroj D. Vukasovii<,-Nova Pazova;Bla2ej Marko, OS >29 novembar((, Sarajevo; Cyietoievit Mira, OS >Bratstvo-Je-

dinstvo<, Trnovitidki Popovac; Durit Nemania, OS )M- Pijad,e<, Lukiievo; DurdevitMarina,bS rs. filipoviik, Beograd; Fortunat Juliian, OS >M. Strukelj<, Nova Gorica;Grujit Suntica, OS >S. Petrovii<, Obudovac; Ilijev Denica, OS >M. Pijadeq Dimit-rovlrad; Matit Slavica, OS )D.'JakSii<, Kragujevac; Niiiforovii Jelica, OS >1. L.niUi.n, RaSka; Pantovit Slobodan, OS ,;D. Dl;idii<, Beograd; Petrovit Rajko, oS>Heroj R. Trifunovii<, Aleksandrovac: Rac l/aleriia,-OS >M. Pijade<, Debeljada;Ruiitin Milan, OS >S. Filipovi6<, Divci; Sa.r'e Metod, OS >K. Rupena<, Novo Mesto;

Simit Obrad, bS olj. Maksii<, Bioska; Stevi| Mirjana, OS >V. Dugo5evii<<, PoZa-

revac; (Jroievii Verica, OS )M. Pijade<, Malo Crni6e.

VIII razred: Aleksit Vesna, OS )20 oktobaK, Beograd; Bohnec lvan, OS

>rP. Voranc<<, Jesenice; Cerovina Neboiia, OS >Sv. Mirkovii<, Mala Plana<; JelinoviiVladimir, OS >16 novembar<<, Kosovska Kamenica: Koliievska lrena, OS->>K. Racin<,

Skopje;'Kovaievit

Vtado, QS >25 maj<, Mostar; Lalit Jadranka, OS >Bratstvo-

Jedinitvo<. Brati5kovci: Markovit Gordana, OS >25 maj<, Svetozarevo; Mitit Sne'

iana, OS n22 oktobatn, Surdin; Nikotit Zorica, OS, Titovo lJiicn; S-iplianovit Liu-bomir, OS <Lj. Jovanovii-Radosavljevii<, Podvr5ka; Sturm lvica, OS >I.-Tavdar<,Gorenja Yas; Todorovit Milorad, OS )P. Krsti6<, Pirot; Tomil Olgica, OS >A. Bu-

torac<, Osijek.

Nagradne knjige poslacemo po5tom. Dobitnicima destitamo!

64

MATEMATIEKA RAZONODA

Malo Sale

l. Neko je imao u kasi 500 dinara. Posle toga je izveo sledeii radun:

Uzeo:

200 din.r50,,90 ,,

Svega 500 din.

Ostaje:

300 din.150 ,,60 ,,

0,,Svega 510 din.

I tako je njemu, kad je potro5io svih 500 dinara, ostalo joS 510 dinara!

2. >Dokaz< da je 45:0!Lako je utvrditi da je:

9+8+7+6+5 + 4+3 +2+ | :45,

| +2+3 +4+ 5 + 6+7+ 8 +9:45.

Ncko je oduzimao levu stranu druge jednakosti od leve strane prve jednakosti

naslcdeiinadin:9od I ne moZe, 9 od 11 ostaje2; 8 i 1 su 9, 9 od 2 ne moZe, 9 od

12 ostaje 3; itd. I, tako je dobio:

8+6+1+9+7 +s+3+2:45.

Ali, kadje oduzeo desnu stranu drugejednakosti od desne strane prvejednakostitlobio jc: 45-45:0.Usled toga je zakljudio da je 45:0!

Matematiike igre

t. Neki dedko rede svom drugu: >Napi5i neki trocifreni broj' kod koga se

Irrva i poslednja cifra razlikuju za 5. Napisi zatim drugi broj, dije su cifre is_te kao kod

irrvog broja, ali se javljaju u obrnutom redu' Oduzmi manji od ta dva broja od veieg

i ttotrijcnu razliku podeli sa 33. Jesi li to uradio? Dobio si 15!< Kako je taj dedko

rrrogao znati koliki ie biti krajnji rezultat radunjanja?

2. Lice A rede licu B: >Zamisli neki jednocifreni broj, dodaj mu 2, zbir pom-

rrozi su -1, od proizvoda oduzmi 4, razliku pomnoZi opet sa 3 i onom Sto dobije5

ttotl:rj prvobitni broj. Reci mi zatim koliko si dobio i ja iu ti odmah reii koji si brojz:rrnislio.< Kako je to lice A moglo da udini?

Zaniml/ivosti o brojevima

t. Vidimo da je 111:1331; 101::1030301 ; 1001::1003003001. Uodite

;rr:rvil<r po kome se javljaju cifre u rezultatima. ovakvih dizarila na kub i,ispitajteill li cc ic one javljai po istom pravilu i u sludaju svih slidnih dizanja na kub!

matematicki list 1973 viii 2

Documents