matematicki list 1970 iv 4

7/28/2019 Matematicki list 1970 IV 4

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1970-iv-4 1/16

VAZNA OBAVESTENJA

l. UredniStvo poziva nastavnike i profesore nratenrtrtikc kao i ostalc eit.r-oc'e da Salju svoje priloge za list: elanke,odabranezadatkc, zadatkc sa pri.icrrrtrilr

ispita i matematiikih takmiEenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je tla svi rrrkopist(osim udeniEkih re5enja zadataka) budu pisani pisadonr nraiinonr s prrttctkrttt. a

(rrte:i izradeni na posebnoj dvriioj hartiji, Rukopisi se nc vracaju,

2..,Matematiiki list" n.amenjen je.rlizr uieni<ittru V-Vlll lrr/. ()str('\Irc

ikole, a izlazi 5 puta u toku Skolske godine.

3" Prodajna cena pojedinom broju je 1,50 dinara. Godiinja prctplata {z:t

svih 5 brojeva) iznosi 7,50 dinara, Narudioci za viie od l0 konrplct;r irrtrt;tt

l0o;i rabato od prednje cene, a ukoliko unapred, t-i. prilikorrt narttiiv:ttt.;rt.uplate celokupni iznos pretplate-im.aju 20'.1.i, rabata od prodajnc ccnc (li. plitc'atu

1,20 din. po komadu, odnosno 6 dinara za kontplet od pct bro-ieva). Nik;rkvrdrugi odbici ne uvaZavaju se.

NarudZbe se lalju na adresu lista, a novac na iiro-radun ,,Malt'ntrtlit'ko,llista" broj 6m-&1433-10. Pri tonre obavezno treba navesti lui'nu ulrcsu tt:t krt;ttlist rreba 6651nvljati i jasno naznaditi na ita senarudZbinaodnosno uplitlit otlrrorr(na koje brojeve i po koliko primeraka od svakog broja).'LJplatnic;t s;t ttrt'r''deninr podacinra takode nroZe slu2iti kao narudZbenica.

4, RaspolaZemo joS izvesnint kolidinama svih brojeva lista iz ik. l()()7r(,x

god. {br. II.l---5) iik. 1968/69. god. (br, lll"l-5) i isporui'ujenlo ilt orlrrr:rl,

5. Mole se poverenici ..Mat. lista" da izmire sva zaostalii tltrgov;ttll:t

6. Sve priloge. prinredbe i narudZbe slatiiskljuiir'<t naadresu:

Matematitki list. Beograd. p.p. 728.

s

SADRZA.}

l. J. Byxullutroczlr. Peu,lanan'e KoHcrpyKrt-lBHHx saAa'raKa. lll.2. lllra joLu rpe6a sHilrr o \erBopoyFny (oqronoprt Ha nnra*a)3. R Nlarinkoyftl. Azbuka kibernetikc, lll. Raiunanje sa iskitzitrra (nastavak)4. Zadaei sa prijenrnih ispita ra rrpis u sredn-ie \kole5. Oaabpaun ]arauH ,

6. Konkursni zadaci7. ReSenja konkursnih zadataka iz.,Mat. lista" 1V.3.8. ReSili konkursni zadatak br. 78 .

9. Marevarrq(a raKMnqelba ygeHxKa ocHoBHHx ruKoJra (3aAauLL). . .

10. Matematiika razonoda (Zanimljivosti o brojevima. Matematieke igre.Zrnca - sitne zanimljivosti). - .

ll, Nagradni zadatak br. 16

br. 15 3. str.

rl7t.1 r

l4^lt4t{r48r52t53159

164

r66

- 168

korica

it*il

!t\

,,\:,,I

MATEMATIEKI LISTZA IJ(\ENIKE OSNOVNE STOIN

IV

4

BEOGRADt970.

J2. Rezultati konkursa za nagradni zadatak

Cl.lNA 1"50 l)lN\ttA



JAVE:Z DRUSTAVA MAIEMATTCARA, FIZICARA I ASTNONOI\IAruGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

zr uEenike osnoYne Slole

God. lV, broj 4 (196e/70)

Izlazi pct puta godiSnjc

IZI}AJE DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Boognd, Knez Mibcilova 35/IV, p. p. 791,

Uretluje Redakcioni odbor

Glavni urednik prof. dr M. ILIC-DAJ)VIC

Odgovorni urcdnik B. MARINK()VtC, pn2l.

Sva prava umnolavanja, pre$tAmpavanja i prevodenjt zadricva

Drultvo matematitara, fiziEara i astronoma SR Srbije

J. ByxaaunoBrh (BeorPaA)

PEIIIABAIbE KOHCTPYKTI{BHIIX 3AAATAKA

III

V nperxoaHa ABa {JIaHKa (MJl. IV' l-2, 3) nora,aH je uauNH

peuaBaba KoHcTpyl(THBHr.rx 3aAaTaKa nouohy BHCHHS-,Ha oCHOBHUy

jaa"o*o*pu*or rpoyrna H oco6HHe cHMerpare AyxH. y oBot\r t{raHKy-6nhepeureuo HeKOJtltKO 3aAaTaKa novohy oco6sHe chMeTpaJle yrfla.

lUra je ct{MerpaJla yrna u xojy oco6uHy ur'lajy 'ra{Ke Ha boj'l

Cuverparta yrra je rrpaBa Koja npora3u Kpo3 reMe yrna H

noJroBrt ra. HeKa je poq Ma Koju yrao (crHKa l) rl npaua .l lberoBa

cHMerpana. Taaa rro .ae{ruHuuujn cHMerpare

yrJra npaBa .t npona3H Kpos 'reMe yrla oH i (i?..r):.) (s.ql'

Moxe ce norataru ga .ie rtQxt ulaqxa

cuMewparrc yi.,ru Ha jegnarou pactiio.iatb)) og

KpaKo*a yirla, l,lr tra roje laqKe S npaee s

noByttHMo HopMare SP n Sp Ha npaBe p H q, CI. I

rAe cy P n Q raqKe Ha 0BHM llpaBaMa. Ta[a

cy npanoyrnH rpoyrnr OPS n OQS noayaapun. jep -tYajy :ajea-*i.rxy xunorenyry. OS n je.aHare orulpe yrnoae POS u QOS'

OAarne cJle.qn rla je SP=S0. rj. raura S je Ha .ieaHarov pacro'

jaruy oa KpaKoBa yrrc pOq, To je oco6nua cBfix raqaKa npane 'r'

Ha ocuouy noMeHyle oco6nue cuMerpaxe yrna Moxe ce pe'

UIHTH Bnrue KoHCTpyKTHBHHX ]aAaTaKa.

. Alnoxwhevo ner raKBHx jalla'rara.

3 a a aT a r I . '-- Ha gauqi ilpaeoi oqpesutuu utaqKr xoia le

ua ieqnaxoLrt paouoiatoy trg KPaK(,su qatttt't .t'i!M.

Pe lu e !b e. -- llpeo vopa aa ce ucnt,tTa KaKct ce voxe oApe-

Alrru lpaxgHa raqKa. Hera je / qara llpaoa. ' aob uatu yrao'

a M 'rpaxeHa l.aqKa (clrra 2)^ At ra'rKe M nouyl(y ce HopMare

MA u ll'iB ua ilpaBe 4 tl b, rne je ,4 raura ua npaooj a. u B'ra"xaua npauoj D. Ta,{xa M uopa na 3aAoBoil,aua ycJloB MA MB, tt

cBe raqKe roje urvrajy ry Hcry oco6uHy rexe Ha cuMerpaJlH yrna'

3Haqu raqra M ce voxe ao6H'rH Kao npeceK clrMerpare aaror yula

E /rare IIpuBe, Onaj raxDyuax ce KopHcrH y r'rrnoleruy xoucutpt'ttu4ie"

Stampa: Boogradski grafidki zavod, Bcograd. Bul. vojvodc Mi3iia br, 17l3?



l) xoucrpyuue ce cuMeopana ,r' yrna aob;2) oapelH ce 'rajeAunrKa ra{Ka npannx J ,.t /; Hexa je ro

ra\xa M (clurca 3). *.{oxarahevo ila je M tpaxeHa raqKa, rj. aa cylbeHa pacrojana o4 KpaKoBa yraa je4uara, O6elexuvo ca P u e

21 rajeauu.rxe rilqxe cuvelpa.n'e .t H lcpyra i o6e,lexe cc ca P

u Q. -floxarahuvo na cy ro rpaxeHe raqxe. Ht taqxe P cnyc're cc

HopMare PM u PN ua Kpal(e o u h. llou.rro raqKa P ttexn Ha

cuMeTpaJlr{ J. a cBe TaqKe oBe rpaBe.cy Ha jeaHaKoM pac:] 0,jaroy olKpaKoEa yrJta, ro je PM. PN. rj. aoKa?aHo je aa je P rpa-xeua

TaqKa.

flpN peLuaaarby onol 3aAa"Txa Ao6HnH cMo aBe rpaxene raqre,

rj. raxeuo Aa 3aAarax HMa ABa petrre$a. Mefyruv' [paBa r ]le

Mopa Aa ceqe xpyr k wnu Moxe ,lla HMa ca B,HM caNlo JeAllyrajegHu.rxy raqKy. O6erexnrtro ca r1 pac'rojarue ueHrpa O rpyra k

oA rrpaBe s, rj. d-" OD (cttwxa 6a). Y npaBoyrloNl rpoyr,rry ODP.

1brCirsxa 6

crpaHnua r/ je rarela. na je Matta oa xnnol'eHy3e r lpoylJla. r.1'

axo je d<r tal'arax HMa ABa perueba" Axo je r/"'r (cl. 6 b) npana 'r

qoqHpyje Kpyr k, na nocroju je,rtHo peureue. 3a t/ > r (cl . 6 c)

Kpyr k H [paBa -r Hevajy 3aje.4HI'IqKHx raqa6a. na 3a,rrarax I{eMa

peIxelba.

3aAarar 3. - lufue cy ilpu upare o. b u r' Ha trpaeoi ,

uahu raaax"r'rco,ia ie tn.iegtrarau padua.ia*.v ug tTpaeux a u b'

TpaxeHa la.qra ro6uja ce xao npeceK cHMerpana yr.nora Ko.le

rpaAe rpaBe a n h c.a npaBoM ., Peruen,e sa,aarKa cBorllt ce Ha

3aAaraK l. na ce ocraB.Iha qt,{] aouHMa.

3 a A a r a rc 4. -' Ha gafliau xpyi.v uuhu {raurr xo.iu ie ttQ

.jeguarcan pacilojan'.t ag ganu.Y itpattux p u q.

Tpaxcira ravra.ie

3a;ieAHH.tKa raqKa Aarot l(pYr'a',l

cuuerpaliyrroua xoje o6paryj! ;rare npaee. Sato c,e peurerbe 3aAalxa cBo/ll4

Ha raAarax 2.

3an,arax 5. - O(lpeguutu aauxv xoia ie na ieguaxott put''

ulojaruy og iTrprr go0e ilpuae (cnnxa 7).

t

;

i

I

AO

Cn. 2

Pa

C.rr. 3

noAHox1a HopMaJla crryureHux H3 TatrKe M ua npaae g u D, Kaxota,txa M rexn Ha crlMerpalu .r. a oco6uHa cBUx ra{axa c[rvrerpaJreyrna je Aa cy Ha jellraxor.l pacrojany oa r(paKoBa yrna, ro jeMP MQ, To noxatyje Aa je raura M rpaxeua rayKa.

Ko.nHxo faAaraK HMa peuretta? llourro ce Ase npaBe ceKyHajauue y jeaHoj raeKr 3aAaraK HMa je4uo perueu,e. Aro cy fipaBes u I napaneJrHe. 3a,rrarax HeMa peuerba. Aro ce npaBe .r g / nox-nanajy raAarax Nva 6er6poj peurelba.

3 a a a 'r a x 2. '* Ita gqito.it rcpyit, tuhu tAa.tr), ttaja .ie tut.ieguaxou pacwojorcy og Kpa\o\a garuoi viJru.

P e ur e tt e. * O6elexnrrlo ca 'k Aaru Kpyr, ca aob tarw yraou ca P rpaxeHy ra.rry (cruxa 4). Hexa je PA ..j. a. PB L b, rrcra.{xa .4 rrexu Ha c, TaqKa B na b, T'aqxa P uv.a oco6xHy aa jeHa je4uaxou pacrojamy oa KpaKoBa a u h Aaror yrra, na 3aroIrpHnaAa cuMerparl.t rora yrJla. 3aro ce xoucrupvrc4u./a moxe lllBecrfira cleaehu HaquH:

i,!

\

Cn. 4

I ) xouclpynue ce

npeceqe aaru xpyr & c

138

Cr. 5

cuMerpaJra J Aaror yraa a Ohqeu'rpoM 0 u nolynpeqH[KoM r

H Ca [boM(clHxa 5):

139



I'Peruerue.

- Aare cy npaBe a, b u c rcoje He npona3e Kpo3Hcry raqKy, seh ce ceKy ABe no roe y ra{KaMa A, B u C. Hera j-e SrpaxeHa raqKa, a SM, SN x SP HopM.urue .ayxn noByqeHe peloMHa npaBe a, b u c., TaqKa S vopa Aa 3aaoBoJbaBa ycJroB aa je HajeAuarov pacrojany o,q aarr{x npanHX. l-lorrrro je Ha jeauaxovpacroJarby oA npaBgx a H c, oua rexx Ha cuMerparu yrna oapefeuor

OBI{M,IPABHMA; A KAKO JE HA JCNHAKOM

pacrojalby oA npaBrx a w b, oHa rexlr

Ha cHMeTpanH yrra oapelenor oBnMrpaBaMa. 3arruyvyjevo aa je ravra S3AJCAHHqKA. TAqKA 3A OIrc ABC CUMCTPAIE.na ce Ha ocHogy rora H3BoAH cneAehar<ottt'utpyrc4uja:

Karo raqxa S, lexn ua npaooj .s-i ro cy neHa pacrojalba o;t

rrpaBxx a w b jegaara, rj. S, M:5, N; ra'txa S, lexn x.Ha npaaoj s,.na cy x }beHa pacrojallaa oA npaBl{x a B c jeAsaxa, rj' S, M: S, P.

Ha xpajy je S, M: Sr l/:,S, P, rj. ra.uxa S, je ua jeAHaxoM pac-

rojaruy oA aarux npannx o, b u c, na je ro rpaxeHa raqra' Hcroce Moxe noxa3aru H 3a raqxe S, Sr, u S'..

flpn peuraualty 3aAarxa ,[o6HjeHe cy qemupu rarre xoje cy na

je4Haxou pacrojany oA Tpl{ .[are npaBe xoje ce cexy rBe no ane'

Axo cBe rpx Aare npaBe npona3e xpo3 Hcry raqKy He Moxe ce

lo6srl uu je4Ha raxBa raqKa, jep ce cuMerpaJle yrroBa xoje npane

oApebyjy cexy caMo y npeceunoj ra{KH Aa'lux npaBHx. TaAa ce raxe

Aa y roM cnyvajy 3aAarax HeMa pevrerba. Axo je a|, b c :aaaraxraxolie HeMa petuerra. V cnyvajy KaA cy aBe oa Aat Hx npaBnx

flapanenHe, ra.qa nocroje gsa pewel*,a.(Hacutaauhe cel

IIITA JOIIJ TPEEA 3HATI,T O TIETBOPOYTJIY

(Oqronopr Ha nocraBrbeHa nurarta)

l, flpocr qerBopoyrao uoxe 6nrn xoHBeKcaH nnn HeKoHBeKcaH; npeMa

loMe, cBaKH flpocr {erBopoyraoHe r.aopa

6nrur.{croBpeMeHo

},KoHBeKcaH.

-Mebyrnlr, xaKo KoHBeKcaH qerBopoyrao HeMa crpaHHua roje ce ceKy, ro lHaqll

na je cnarN KoHBeKcaH qerBopoyrao HcroBpeMeHo H npocr,

2. 3Hajyhn aa je Henpocr oiaj qerBopoyrao xojeu ce .aBe HecyceaHe

crparrfiue ceKy. a aa Ko.tr xoHBeKcHor qerBopoyrna ro rrnje cryraj. rar.ruyvyjer.'ro

ua KoHBeKcaH qerBopoyrao He Moxe 6urn uenpocr. -HexonseKcaH qerBopo-

yrao Moxe 6urx npocr HnH Henpocr; npocr je axo HeMa ane crpaHrlte roje ce

cexy. a Henpocr je y cynporrou cnvrajy.

3. Karo je ronnercaH \erBopoyrao HcroBpeMeHo H npocr. 4oeo.runo ie

yMeclo ,,KoHBeKcaH npocr rrerBopoyrao" pehu cauo ..KoHBexcaH qer8opoyrao".

-- Mefyruv, npocr {erBopoyrao Moxe 6urn 6nno xoHBeKcaH 6uno uexoHnercaH,

TaKo Aa ce Hlpal ,,xoHBeKcaH npocr qerBopoyrao" He Moxe 3aMeH[TH HSpa3oM

,,npocT qeTBopoyrao".

4. I-lonarehx on rora Ar je HeroHsercaH oHaj qerBopoyrao ra xoju ce

uoxe sahu npana xoja ra ceqe y rpu Hnr.r qerHpn Tarxe, pa3nHKyjevo npocr u

HenpocT HeKoHBexcaH leTBopoyrao; TpH ToMe, Hecyce.qHe crpaHuue npocTor

HexoHBeKcHor qerBopoyrna (rao x 6uiro KaKBor npocror qerBopoyrna) nevajyHnjeqny rajeaHxuxy raqKy, aoK aBe Hecyceage crpaHHue Henpocror qerBopo-

yrna urvajy jeaHy rajeanr.rKy raexy.

5, Kaxo y 3aaar(y Hrje perero.rta nH ce paax o jeanaruv cynporHxMxln jeararxv cycenHuM crparlruaMa qernopoyrna. paruorpuhevo o6e moryh-HOCI H.

l) npeo ce KoHcrpyuuly cnMerpare .$r H .$J uaflopeaHnx yt-J,loB {r

u f/ o4pefeHnx npaBaMa. a H ('(clnxa g);

2) aarue ce KoHcrpyntxy cHMerpare .rr H .r4 HaropeArulx yt-Jrona), H t oape[eHnx npaBaMa a w h..

3; o6enexuuo npeceqHy raqKy npaBHX rr H s-1 ca .S, flpaonxJr H J{ ca Sr. npaBilx J) H -r4 ca E, a npaBhx .r" u .r_. ca .S_}.

C"rr. g

llora:ahepr<l aa cy Ao6: rl:c rauKe .rpar(eue

Hera je S, M _la, S, r!-j. b, S, p-| c, rAenpr{naAaJy peAoM [paBaMa a, b u c.

t40

Taqxe.

TAqKE M,NnP

C;r. 7

l4t



a) Hexa cy leAHafie crpaHfille c y rr D o r fl e; -raAa Je qerBopoyao HJutflpocl, ]r ro napanerorpaM (cil. l. rj. nHje HeKoHBeKcaH) Hnrl Henpoc.r (cn. 2)t

cMo jeanaxoxpaxr rpoyrao ICS (.ielHaxoxpax je 3alo rrro cy 'vy yrJ-IoBH Ha

ocHoBlruH ,{C jeaxarn)l ro jecr

..{s cs,

olaxne npox'Jra']e ,tra je x

DS.BS,

nrro lHaqn aa je s A DBS jeanarorpax. C o6:r'tpov xa nonoxaj rilx rpoyrnoBa

raxnyryjeuo ra cy yrJ-roBH Ha ocHoBllut{ jeaxor jearaxn yrroBHMa Ha ocHoaHut{

Apyror, urro lHaqn aa cy HM ocHoBHue napanerHe. naxle, lalcra' aujilroHane

AC u BD aHT,napare'rofpaMa cy ilapiuler*e. ''rro je u rpe6alo lto*a3aTt,.

Cn. 4 Cit. .5 Crr- 6

8. Axo cy 4ujaroua.rte rret<or rterBopoJ'rlla napanenne. la1 {erBopoyraoMOpa npe caera 6nru Henpocr.. a aa fle Mopa npH rorrr 6nrx H aH'rllnapanelo-

rpau, noxaryje cr. 6.

9.t{ernopoyrao

c jeuuaxxlr n naparerHHM nU.laroHarfi:na .ielHrunapa'

.rrerorpaM {ao, Ha nplrMep. onaj na cl. 7.

:)a

f-----T//

AaKIe. HH y .leaHoM HH. .y ApyroM c.ny{aJy's__--:r" HeMaMO npocr HeKoHBeKcaH treTBopoyrao.

\<,- rare aa ooa uoryfiuocr He aoralrl y

-.- \ obtrp.i r tl) npeocraje ra ,{erBopoyrao HNra

(-n ) naa napaje4Harux cryceaHHx crpa-Nnua. Hexa cy AI) u BC nne je4xaxecyceaHe uTpaHlrue llauJer qeTBopoyrla

(c.:r" 3a1. a .,lC jeana $eroua lujaroxara. OqxnreaHo, . AIIC je jeanaxoxpar,LtlTo lHa{Ir- Aa ce }seron epx R Ha,ta:u Ha cnMerpanH .r cTpaHnue ,4C. KaofiTo je nojHaro. cBaKa raqKa *lnja c_v pacrojarr,a oa raqaKa .4 n C jeaHara Mopace Hana3HTrr Ha c[MerpaJlu J ayxu ,4C; raro ce qergpro reMe ger-Bopuyrna *.raqra f) y xojoj ce cacraje apyrn nap jeaHarrx cycetHux crpaHHua AD x CD- Mopa Hara3HTn ua npano.i s a ln.iaroHara BD lropa Jrexaru ua npaaoj .t,

ro jecr tancra je BD: AC.

C;r, I

(;r.'J a

lle

$D

(1.n. .l cn. .l h

Jaaarax rrta nBa peme*,a: l) ra{xa Duanatu ce ca oHe crpaue npare,4Cca xoje rexr{ H r!'Me ll; 2; rarra D Hc uanaru ce ca oHe crpaue npare lC caroje ,rexu .reve B. V lrpnorr clyvajy aobnja ce HeKoHBexcan qeleopoyrao(r:n. 3 b), a y trpyroM e;ryra-iy xoHBeKcaH qerBopoyrao (N ro ae,rtona, cn. 3 c;ln jenaH r,r apynr \eruopoyrao unajy Hopvanuc arjarouale. .le;1ano Kira cy cBe

qernpH crpaHune qerBopoyrna je4uare aoblrja ce cano jenro perxene (roje uc

oJlroBapa ycnoBy laaarKa;; porvr6.

6. h.r o,rronopa Ha nperxoano rruralsg Rn,lln ce aa neKonReracirH npocrqe rgopoyrro cir .aBa naprt jeaHaxu.x cyceaHhx crpaHHrla HMa HopMilnHe anja-rOHaIt: H nA Je JcAHa o/:l Tnx AnJaroHala Ha cHMeTpa,'lH Apyre AHJaroHaJle'

Aononso je aa cartro osaj ttocnenrr-H ycr'roB HHje vcnylbcH. r.i. na HrjeaHa

nr.rjaronara He rexn Ha cr.{Merpanu apyre. na ila }a./r:rTx. liernopoyrao HeMa

aBa napa cyce.uHfix JeAHaKHx c]'paHuua xaxo cy My r(rl.laroHajle HopManHe(n. cn, 4). flpeua roue. aro ey y npocroM HeKoHBeKcHoM {e.rnopoyrry ANja-

roria.nc HopMarrHe. TaKaB qelMll()yrao He Mopa HMdrr{ aaa napa jeaHaxxxcTpaHnila.

7. Ha cl. 5 je irnruna.piureirorpaM ABCD (AB CD. AD .8C1. flonyuuvctarriaronary ,4C n yorntro rpoyrnoBe ACB n ACDI otsH rpoyrnoru c;; uoayaapuN

iep cy cne rpfi crpaHrue jeauor rpoyr,'ra jeaHaxe oAroBapajyhHM crpannuaMa

xpyror: crora je .II).4C dBC,4. npoayxwwo AD u l?C no rtpeceKa S; ao6rt-nn

142

10. flpocr HexoHBeKcaH H oclto crMerpnqaH qerBopoyrao Mopa llMaru

HopManxe agjaronane; TaKBx cy {erBopoyrtoBn Ha cJI' 3 b' Henpocr H ocuo

cHMerpnrrat qerBopoyrao t*opa 6nrv altrllnapane.norpaM u Kao raraB Mopa

rMarH 6ap jeaHy ocy cnverpuje (n. cn. 8 a); aro cy nttjarouare aHrHnaparero'

rpanra jou H. jeanaxe, TaAa raKan qernopoyrao Htita ABe y3ajavHo HopManue

oce c}{NreTpHJe, a npeceK nBejy cynporH]tx crpa]r!{ua je uexrap cnuetpu.ie rorqerBopoyr.la (n. c,r. 8 b).

C,r. 8 a

I

C.n. 8 b

Be3H Ca O,OTOBOpOM Ha OBO nfiTatl>e BH,nerB C]AIO'

T.

I

t_ - _ --

I

Cir. 7

HanoneHa. - V

Bope Ha nxrama 5 il 7'

143



B. l\{arinkorid (Beograd )

AZBUKA KIBERNETIKE(nastarak I

III. KAKO SF, RACUNA SA ISKAZIMA(Algebra iskaza)

-1, Logifke operacije

Kao it. .jc u preth.dnonr nastavku bilo istaknuto, sa iskazinra rnozenrovrsiti operacije, rj. polazeci od elementarnih iskaza nrogu sc obrazovati novi iskazipornocrr rcdi (tzv. logidkih vcznika) >>i<<, >>ili<<, >>ako. .. onda<<, >>rada i sorno racla.katkt.<. >rre<<i 1ri tome nas interesuje jedino to da li su iskazi (polazni i dobijeniiistiniti ili neistiniti.

f1 taj nadin. pojavljujc se svo.jcvrstan >raiun<< za koji bi se nroglo reci da.ic eak jcdnostavnili, na prinrer, od onog sa prirodninr brojevima,.ier. prifudnih bro-jcva inra beskonaeno nlnogo, dok u logiikinr operacijanra-inranro sanio dve vre<ino,sti: / i l-, otlnosno I i 0. ovih operacija (veza nredJ iskazinra) inra nckoliko i oneza vas i nisu sasvirrr nove,jer ste ih i do sada upotrebljavali i vrsili na svakonr koraku(posebno u ntatentatici), sanlo ito niste z,nali Dda jc to to<. Nenra te ntatentatiekeknjige u kojirrra ih nenta.

O kakvinr sc to vezantt radi, ni-ic tcsko ulvrditi, pogotovu nrarenratidaru, i,aki kad ne zna.sve svetske jezike. 'I'l.cba

sanro uzeti nratenritidku knjigu napisanu nanepozn?torr1 jeziku i obratiti paTnju na ro kakve su redi kojc pri-a-itanj; naiieicetreba traZiti u redniku. I ;:le duclal ['osle izvesnog vrenlena diralac neodekivano dolazido. zakljuekl: ako jc irrvei' dobro naudio (shvCrio, usvojio) vei por'enute r.eii >i<.

',ili<, rne<,, >ako.. ., on<.la<, Dtada i sanro tada, kada<, kao i reei'>svaki<, >prrstoji<.

',onaj koji<, i.evenrualno

-ioineke, onda on neie ni prirlctiti da dita knjigu napisanu

na srr'?nonr jcziku..icr cc skoro sve razumeti. To jc i razurrljiro, .iei -lbrnrule suinternacionalne. l reksr ih sa.ro objainjava i u vciini sludajevi i ni.ic ncophodan. Apotrebni vc,:nici plaktiino su svi napred nabrojani.

I r (laltenr izlaganju podrobnije cemo videti ka.ko sc sa iskazirrra >raiuna<<.tj. kakvu ulogu inra.iu pojedini logidki veznici.

4 Lrrgiiko nrnoienjc (Ktrriru*t.iittlL l.yi.n:i .rt' trurglt trtttttiili. MoZda

.jcva. nroZc joi 'neiro nrnoZiti'l Maternatiiaril)roj roSjgkata<, koji se nr()cu ))nrnoiiti(.

l.) ovoj algcbri. koju si suda poeeo daA kako sc lo radi'a Fvo kako.

Primer l. - Ako sa z{ oznaiimo iskaz >Sutra ce u Beogradu biti lepo

vreme(, a sa B iskaz >Sutra u Beogradu nece padati kiSa<, onda 6e iskaz A'Bglasiti: >Sutra de u Beogradu biti lepo vreme i (sutra) neee pada.ti ki5a(.

Ovakvu prognozu svakako cete smatrati netaEnom ako sutra u Beogradu

vreme bude hladno, ili ako bude padala kiSa, ili ako istovremeno bude hladno i

ki5ovito; smatraCete je taenom samo u sluEaju da sutra bude lepo vreme i ne bude

kiSe. tj. kada su oba iskaza A i B latna.

Prime r 2. -- Svakako 6e5 se sloZiti i sa slededim zakljuecima:

l. LogiEki proizvod (konjunkcija) ne moZe biti istinit (tadan) ako nisu isti-nita oba >>dinioca<; na primer:

15 je vece od 8) i (5 je manje od 2).Odigleilno, ovaj iskaz uzet kao celina nije taEan. lskazi od kojih je sastav-

ljen takode nisu tadni.

2. Oiigledno da ni ovakvi logiEki proizvodi ne mogu biti taini:(5 je vece od 8) i (5 je vece od 2) ili(5 je manje od 8) i (5 je manje od 2).

Vidimo da je u oba sluiaja bio neistinit (netadan) ili prvi ili drugi od pola-

znih iskaza.

3. LogiEki proizvod (konjunkcija) dva iskaza ta6an (istinit) je tada i samo

tada kada su taEna oba data iskaza:(5 je manje od 8) i (5 je vece od 2).

Primcr l. - Ako prihvatimo Cinjenicu da DKroz Zagrcb protide Sava(, a takodc i cinic-nicu da rBihad leZi na Uni<, onda demo se svakako saglasiti i s tvrdnjom da DKroz Zagreb protiae Sava

i Bihad leZi na Uni<. Analogno, prihvatajuii da je D2.2-=4(, mozemo prihvatiti kao lacno da DBihac

leii na Uni i 2.2:4<. Zna8i, prihvatamo da je konjunkcija dvajx isrinilih iskazo uvek istinito, bez ob.zira na to sto sami iskazi molda jcdan s drugim i nemaju nista zaiedniCko; naime, ako oba iskaza, uzetaponaosob, smatramo istinitim, onda demo tb smatrati i kad ih uzmemo zajedno. StaviSe, u navedenom

primeru, iskaz >Bihad teli na Uni i 2.2:4< je gotovo bcsmislcna (berciljna) konjunkcija (mada i isti-nita) i nema nikakvu interesantnu primenu ni u-geografiji, a joS manje u matematicii naprotiv, iskazrKroz Zagreb Drotiac Sava i Bihai leti na Uni< moie upuCivati i na neke interesantne zakljudke (re'

cimo, u tuiistidkom smislu). Na raj nadin, snatrademo istinitom konjunkciju proizvoljnih istinitih iskaza,

mada su mnogi od njih strani kako nauci, tako i svakodnevnom Zivotu.

Prenra tome, logiiki proizvod ili konjunkcija iskaza A i I jeste novi iskaz.A'Rili A A 8 (iita se >>A i B<\ koji ie taion (istinit) tada i samo tada, kada ie taian (i.;tinil)svaki od iskaza A i B, tj.

A-8.=, /'ako je A -.8- l: A'B-L u svim ostalim slu6ajevima'

Nainre: I.l=. I,ali l.L:L.L. I:L,L.L..L.ZapiSimo gornju definiciju u drugom. \'eoma pogodnom i u nlatematiekoj

logici Eesto upotrebljavanom obliku:

:B l,aiB

III

A : B A|,B,

lll

stc se vec zapitali: Zar sc. osinr bro-odgovara.iu da rroZe; dak .le prilidan

upoznajes, ntoguce je ntnoZiti iskaze.

Dogov.rir'o se cla spoj dvaju rskaza u novi iskaz pornoiu,,cznika >ri< nazi-t,anto .logiikittt ntno)enlent. (Tek ce ti kasnije bitijasno zaito se i st!ari, ko.ic na prvipogled jedna na drugtr ne li6e. iesto nazivajtr istinr inrenonr)

. Lvku: koii se drtbiia kuda se dtto (!olo i.skazu poveln t,eznikont >>i<<, nuzitut sehtgi('Airn proi:wdorn i!i kon.iuuk.cii<t,r. ova se operacija obifno oznada'a sinrbo-

I.rrr ' ili ili &. Poslednji znak teiko je pisati. pa gi nccenro ni upotrebljavari.Prcrlra rrrrrre , 4't ili proslo -lB (ili .4 r B) jesre konjunk(iio iska:t A i B. (pazite!( rta_ttr i t;/govalajrc kon-junkc:ija. a ne ko(nj)ukcijal)

Operaciju \r'Sin1(1 nad iskazirla ikao rezultat tlr,bijanro oFe( iskaz. I, na_rirvno, zaninta nir-s kako istinitc-rst krgidkog proiz.voda (kon.iunkcije) zavisi od isti.rritosti prirstih iskaza ot1 kolih ig on sastAvlien.

144

1 ili

L

L

ILLI

LL

ililoo0r0000

r45



Odgovarajuce vrednosti nalaze se u istoj vrsti; na primer, u treioj vrsti iitamo:ako je ,4 neistinito a B istinito, onda je ,48 neistinito.

Prethodna tablica je tzv, tablica isrinitosti za konjunkciju (logi6ki proizvod)iskaza ,4 i B. U njoj je navedeno kako istinitost >>proizvoda< AB zavisi od istinitostiprostih iskaza (>Einilaca<) ,4 i 8.

Leva dva stupca (kolone) gornje tablice sadrZe sve moguce istinitosne vred-nosti iskaza A i B, a u desnom stupcu nalaze se odgovarajuce vrednosti konjunkcijeAB.

Lako je videti da se tablica istinitosti logiEkog mnoZenja podudara sa tabli-com mnoZenja u aritmetici binarnog s-istema (ML, tV. l-2, str, 27).

Printedba. - Zanimljivo je da se poslednja tablica (kojom je odredeno kakoistinitosna vrednost konjunkcije AB zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza A i 81moZe napisati i krace:

AB:min (Al B),

Sto treba 6itati ovako: istinitosna vrednost iskaza AB (tj. konjunkcijeiskaza A i B)jednaka je manjoj od istinitosnih vrednosti tih iskaza (ako su istinitosne vrednostijednake. onda je jednaka upravo toj vrednosti): min (0;l):0, min (l;l):1, -in(0;0) --.0.

Kao ito se vidi. navedena definicija konjunkcije u potpunosti odgovara snisluveznika >i<<,

2. Napomena. - Takode moZemo imati i logi-ki proizvod vi5e od dva iskaza,I u tom sluEaju logidki proizvod (konjunkcija) iskaza A.8.C.....X biie istinit

onda ijedino

onda kada su istiniti svi prosti iskazi ,4, B, C, . .., X koji u njega ulaze(a neistinit, netaEan je kada je nestinit nrakar i jedan od tih iskaza).

Primer. - Konjunkcija iskaza A:>>l)naje pritoka Save<, B:'>Drina jepritoka Save< i C.' >N4orava je pritoka Dunava< biie iskaz ABC: >>Unaje pritokaSave i Drina je pritoka Save i Morava je pritoka Dunava<<. (Naravno, ukoliko biintervenisali razni stilski propisi, ovaj bi se iskaz mogao izreci i ne5to krace), tj. bezsuvi5nih ponavljanja). Poslednji iskaz, uzet kao celina, nije istinit (ABC: O), jernjegov tredi >dinilac< nije istinit a prva dva jesu (C:0, A:1, B:l).

3. Kao 5to ste primetili, ako su I i -B iskazi, onda je i njihova konjun-kciXa AB takode iskaz. Ako, pak, bar jedno od slova A i B oztaEara iskaznuformu, onda ce i njihova konjunkcija AB biti iskazna forma.

Neka, na primer, A oznaEava iskaznu formu ,,x-y:2", a B - iskaznuformu ,,x-tsy:4"; tada ce konjunkcija AB znaEiti iskaznu formu ,,-r-y - 2 ix+ y:4", Sto se obiino piSe u obliku:

*-y:2\x +Y:4 )

Ova forma, u kojoj prepoznaje;o sistem jednadina sa dve nepoznate,postaie tadan iskaz za one i samo te vrednosti promenljivih x i y, za kojesvaka od formi ,,x-.u:2" i,,x+y:4" jeste tadan iskaz. Taj par vrednostiza x i y predstavlja reSenje datog sistema jednaiina.

146

4. Zadaci za veibu, - Poku5aj da samostalno re5i5 sledede zadatke, a ondasvoje odgovore sravni sa odgovorinr4 navedenim posle ove grupe zadataka!

l) Evo tri sastavne rea€nice, kojc predstavljaju iskaze odr€dene istinitosti. Odredi kojc suta.dne. a koje netaCne.

a) Zagreb leZi na Savi i 5 - 2. 7:b) 2<3<5ic) (15 je deljivo sa !)A(12 je deljivo sa 5).

2) Neka je iskaz ,{ : >Kod pravougaonika su uglovi oiri<<, a iskaz r: )tKod pravougaonikasu dijagonale jednake<, Kakav je iskaz C: A,B!

3) Koju istinitosnu vrednost imaju iskazi,{ i dako je:,4 A(2'l:6) - taean iskaz, A,',(2,3:6)

-

nctadan iskaz?

4) Pomoiu znaka ri napiSi uslove pri kojima de biti taen€ (istinite) sl€d€dc rec€nicc:

a, ab/.Oi bl a:b:0; c) 2<r<5; d\ a2+b2...0; e) lxl<35) Sist€m jednacina -v'i-y*-5, x-3J,:0 zapisi pomoiu znaka ,'..

6) lskaZi pomoiu veznika >ri< i zapisi koristeii znak konjunkcijc ( li ) slcdciu rcaenicu (iskaz) :

Svaki od brojeva 9. 12. 15 deljiv je sa 3;

7) Popuni tablicu istinitosti za konjunkciju tri iskaza:

Al\B^C

I

0

I

0

I

0

I

0

t]t

Odgovori. -l) a) taena; b) 2<l i 3<5 - tadna; c) netadna'

2) Iskaz C glasi; >Kod pravougaonika su uglovi o5tri i dijagonalc jcdnake<. lskaz ,l i( ircL.ean (l:0), a iskaz 8je taCan 1tr1: l), pa je C: Ar,B.-Oi',1:0, tj' iskaz Cjc nctaCan'

3) I je ladan, a I-

netadan iskaz,

4) a) (4-30)A(t,:0); b) (a:0),r(b*0); c) (x>2)ri(x<5); d) (a:0)A(6:0);e) (-v.-3).,(-x<3) ili (-y<3)n (.t>-f); ustvari data nejednakost znati isto sto i -3<r-:3.

5) (-t '1- J : 5) A (.r- 3y : 0).

6) (9 je deljivo sa l)A(12 je deliivo sa 3)A(15 ie delj.sa 3). Matematieari bi to zapisali or$o:(319)A(3i12)A(3115), gde na primer, 319 znadi: >9 je deljivo sa 3< ili >l jc delilac broja 9( i sl.

'll AAB^C: I samo u prvoj vrsti tablice. inade AABAC-O.

(Nastavite sel

Matematika je kraljica i ropkinja nauka, ona sluZi drugim naukama, ali

u svim prilikama njoj pripada prvo mesto.

Gaus, veliki nemadki matematidar, fiziiar, i astronom

I

I

0

0

I

I

0

o

0

0

0

141



T,ADACI 534. Hahx najnehx 6poj xojxu rie6a no,uennrr cBaxr{ oA pa3noMa(a

Zadaci sa prijemnih ispita za upis u srednje Skole

Beograd, 29. VIil 1969. (naknadni rok)

1. Izracunati: (4,8-5)'z,(,

*-t t

t r)

73 l0lt,ru " t

rro'

Aa 6n xonnxHxr 6no npnpoaan 6poj.

535.HahxcBepa3JroMKecje4xounQpeHl{M}IMeHI{oqeMoAKoJl{xJecBaxnrehu o.q 4/5, a rrrartn-oA 9/10. (Oiaj maarax je rreruro rexrr oA 58' xoxxypqror

3aAarra nr .,Mar. n".rul' itt. z1* t516, 617' 718' 819, 9llll

Hahn x xt jeauavnxa (536- 538):

s36. 4,e8-,ro,,r'[ s.oot.(z,zars,t"?.ryi)

].0,0,--o,o' tx'=01

t#l

[0,0161

lbrojnu vrednost za a ---4, b -4.

3. Traktori su uzorali prvog dana fr rcf.io, drugog dan Z! puta vi5€

nego prvog dana, a tredeg dana su uzorali 87 ha.

2. Uprostiti izraz (a-x)z-(a+x)2+0,25 ax, a zatim izradunati njegovu

1-1,75 axi U

Kolika je povr5ina tog polja? [240 ha] t7 7 7 7 7 7 1 7 \538. l- | -'- : - -'- j -:- -"""' \z's'e.16 16.zr. ti'i0'lo'lz 3'1'44 44'51 sl'58/

[x - 291

Vnyrcrlo. - Coaxx parrouaK y 3arpaAn 3aMeHure pa3JInKoM aB:l

p"rnot*ui'(To je npxueb[Ba'o B,ure nyra xoA 3aAaraxa objarruurauux y MJI)

539. Tpu ceaMHHe yKynnor 6poja.yrenura jeaxor osenert1 y-11 3euoj-

"nrra.

A*o 6u aorune joul vernpx aenojqnue, raAa 6n y oAeJbeby bno JeAnax

Opoj .uatoj"nqa x Aeqara. OApeauru xoJluxo je 6uno cBnxyqeHHXa y roM

oaererty?V n yrcr Bo. -

JeAna ceAuuua npro6urxor 6poja crux yqefiHKa H3HocH

C (saurot, re xnje teruxo 3axJby{Hrl qa je cnnx yqenuxa 6uno 28'

540. a) Kynreno je uaxoluro -xunorpaua-ja6yraucre npcre.n-o l'20

auxapa sa I kg t"cro

iolxxo no 0,80 Arxapa. Hahn cpea*y ueHy I Lg *yn-

i.rr'i j"ov*".- [l 'qrs'l

b) Kyn:reno je reronuxo runorpaMa jabyxa no 1,20 gnnapa ra I kg x ra

r{cro ronxKy cnory HoBqa xyn:bege cy-ja6yx'e no qerrq 0,80 annapa ra I kg'

ii-"ri,r"iJiitv-ui"v

r kg xvnnengx idoixa. [0'96 aur'l

541. Jlybenuua x Aurba rexe 7'2 kp'^Hahu rexnHy lybexuqe -x r-exrrgy

lr*", u*o je'45/;rexune'Anlf,e je,uuaxo i6y" rcxwte ny6enxue [akp; 3'2kp]

5,f2. Itpeuujy tobnjexy Ha lyrpnju, rprr opara,noAenllJla cy xa cneAohn

"u""rr'"j"ioi"in j" ioot,t ie.t" u;n; "-peylit u joru 80,ursapa; cpe*su:40/o;;;;," ;ori, ieo Au'apa, a najvnabr _1al uosor ocrarxa x joru 2zl0 An*apa.

K;;i; ie-buaa

ra nper'rxja r xoJlHI(o !e .uo6uo coaxu 6par?-iflpevnja:240Onrn; cBaKrr no 8OOAnHl

. A**Bno A. fl. tr(ozc, Bomorpaa (CCCP).

[x - 0,001ll

4. Obim pravougaonika iznosi 28 cm, a stranice mu se razlikuju za 2 cm.

Izraiunati povr5inu kruga opisanog oko tog pravougaonika! [25 rt cm'zl

5. Povr5ina osnove (baze) kupe odnosi se prema povrSini omotaea te

kupe kao 3:5. IzraEunati povr3inu i zapreminu te kupe ako preinik--osnove(bize) te kupe iznosi 12 cm. IP :96 n cm'?; Z : 96 zt cmsl

O4a6panu 3aAtqr

OBff 3aAaur (a xua sx 3a cBaxE pa3pcr) rpc6a aa BaM trmyxc ra ncx6y, npnn-peMaBc 3a nprjcwHc xcnHTc H MareMarusf,a raxMH{cBa. 3aaarxc tpc6a cauocralxo-qa pcurre, a BaBcnGHH pc3ynrartr, ytryrcTBa f, peucba Hc(a BaM cnyxc 3a KoHTpony

Apuwuewuxa

530. Hahn cre 6pojene, sehr oa 10000 n Marra 04 15000, xojx npu

Aeibelby xaro ca 453, raro u ca 755, aajy ocrarar 175'

fl I s00; 13 7651

531. Hahx 6poj rojt npu .serbeli'y ce 7 aaje ocraraK 5, npx aenetty ca

ll - ocrarar 9, a npu aeibeby ca 13 - ocrarax ll'

532. Objacrrre, 3aluro MoxeMo TBpABTH ga je par,rrxa

18796.123042'20?3-3281 ' 1574'l 'E994 Aenusa ca 10.

VnyrcrBo, - H yuarsexxx 1{ yMa}txJrau raopuranajy ce ncrou qrS-por"r (6), na he ce pa3nHKa 3aDplrraBarn unSporu ryna. Aaxae?

533. Hahx najua*n ap[poAan 6poj xojn noaeJbeu cnax[M oJI pa3noMaxa

9135, 6125 u 517 aaie npuponax 6poj. [901

148149



Afie6pa

543. I4sparyHarr{ Ha najxpahu narlra;

a) 6,377r-3,6212;

b) 15,862*4,14r;

, ('+)'-(*)'

V nyrcrEo. - ilpnuentre oz-gz :(a-b) (a+6).544. 3aruro ce Moxe rBpAt{Tr.r 4a je npounoA cBux rrpocr[x 6pojena r"ra-

rsxx oA 100, Aenun ca 10, ca.E99, ca 3599?

Vnyrcrro:l0:2.5899 : 900-l : (30- l) (30+ l) : 2e,31

1599:3600- I - (60- l) (60 + l): 59.6 I

545. Moxe nn ce 6poj 10t 010 nprrxa3arxqenfix 6pojeBa? O6parnoxu!

f -e.urerte, * Ilpe4nocraaurrro Ea je l0l 010:ar-02, rAe cy a u b-qenn 6pojepx: raAa l0l 0l0:(a+b)(a-b:1, te uMaMo qerr{pu cny,raja:

l) a- uapan 6poj, 6- napax 6poj;2) o- napan 6poj, 6* xenapax 6poj;3) a- nenapax, 6poj D- napan 6poj;4) a- renapax 6poj D- renapan 6poj,

V cnyuajearva 2) u 3) 6pojenr.r (a+b) u (a-b) cy Herapnu, re-ie x nsxonnpou3BoA HelapaH x npeMa roMe, He uoxe 6rrn je4uar napxov 6pojy l0l 010.

V cayrajeauua l) n 2) 6pojerr (a+b) u (a-b) cy napru na he u rrxxosnpol{3Bojl 6uru napan rr aelbr{B ca 4 u fipeMa roMe, He Moxe 6uru je4nan6pojy l0l 010 (xoju Hnje ,qerus ca 4)

Ogrorop; He uoxe

. 546. Ilocxaro je na je x.0,25:0,0125. He rpaxehu xr oapeArrr{ ueny jejennax r6up x'2,5 -lx.2500 Il2S, tisl

5{1. rrpu peuraBar 5 x- 3 3 x-5ryje4xarune

2 - 4:5jeaan ylexnxjeno-

rpeluHo rrpenilcao xoe$nqujeur y MonoMy 3 x, na ny je perue*e go6ujeHe

jeAnaqnne 6uno ga 18 aehe oA crBapuor peuelsa tare je.qnavnue. Kojll jexojn je roesuq4iexr 6no uanncao raj yuenxx? tgl

feouewpuin

549. .{oxasart{ aa y cBaxoM rlpaBoyrnoM Tpoyrny rexuulxa luxxja x

Eilcr,rHa Ha xlrloreHy3y qHHe yrao je,nnar pa3nHu?I olxrp[x yrnoBa ror rpoyrna'

550. V xpyxnxuil norynpeqHuxa (pa4ujyca) R ynucaH je npaeoyraouur'

Cpeanurra lberoBl{x crpaHilua cy cnojeua. Koluxx je obrv raro Aoox1enor

rernopoyma?P e ru e rs e. - .(o6njexr eerBopoyrao je porvrE (gaurro?). Craxa crpaxnua

tor *"t"opoyrna, rj. portrbi jeqxara je x, na je, npeva roue, rrerou obuujeauax 4fi.

551. Oq xoMaAa na[rpa (c:rrra Aole .neno) ca cBux crpaHa oApe3arl{Tpaxy BcTe ruupHHe TaKg Aa ocTaHe npaBoyraoHIK xojt he I|MaTH CaMO noJIO-

"r"y'norpunneseher npaBoyraonxra. Koluxo he 6uru rrrupoxa ra rpaxa?

552. llrpa.ryraj noopulxuy por'a6a, (cn, rope Aecno) Aobrreuor pacnoJroB-

ibaBaEeM crpaHnrla tpu.r"ta (a :44 mm, 6 -- 30 mm' /r -- 20 mm). Konnxo-nyra je

""nuno"p*"ta rpan;3a? [2 nYral

553.* a) ,{are cy Aoe napaJleJlne npaBe rl [pou3soJbHa raqxa BaH Tux npaBlrx'

Kpor gary raqxy noBy{ege cy rprr [onynpaBe xoje cexy Aare npaBe'

' Ilpeceqrre ra,{x-e .qsjaiorrina go6ujenux rpane3a (rpu rpanera!) lexe uaje.qHoj npasoj, xoja je y3 ro napanenua AarxM rpaBaMa''

,{oxararrt Taq{ocr oaor rrpferm. Vonurtnrr jaAarax ja cnyqal npou3'

BoJEHor 6poja nolynparnx.

b) Ha ocrony roraOernfiTX cleaehl 3aAaraK' xoprcrehl caMo-;IeILtrp

6er no4enaxi: Aare cy.{se naparenxe npa'e x npoH3BoJL'Ha ra-qra nrvely 15ux'

Kp.; fr- ra..ry-nouyhll npaBy napaneJllry-c-a

aarrM npaBaMa' (Bnleru ogabpaHe

raaarxe 6p. 359 u 361 y MJl. III.I crp. 22)

3aAarxe (554-556) peuHrll cauo novohy uecrapa'r

554. ,[are cy qerxpu tarre ,{, B, C u D: npaw AB x CD xncy napaneJrxe'

Koucrpyucarn flpeceqxy ra{xy rux flpaBrx.

555. y .qary xpyxxl{tly, {[jr ueHrap Huje aar' ynxcarx xralpar' [Oeaj

3anaraK ie neurro cnoxexujn oA 5. raAatra y qnagxy o KoHcrpyKqxjaMa caMo

urecrapo-v, xojn je o6jaeneu y MJI' IIl.2' crp. 37-38'

556. V aary xpyxHuqy yrrtrcarnnpaBXJIaH

neroyrao tro:

a) axo je uexrap KPYxHHqe Aar;

b; axo qenrap Kpyxlllrqe xrje Aar'

i 3aAarxc 553-556. aocraBso ie A, fl, Komu.3acn. y{srenb urolrr PC@CP' nonH-

rcxnu{ccrui uxcruryr' Bomorpaa. CCCP'

l5l

xao pa3nnl(a xBaApara ABaJy

14 Aana, a axo nrjexoJrnxo 6u Aaxa caua

{30 .uaual

548. Hex,u qoBex Moxe 4a norurje 6ype uuxa rarajegxo ca caojou xexov nouuhe ra ga l0 Aana. 3axexa flonltlra cBo BnHo ns ror 6ypera? (Mainuryuj)

150



t{

i)

Konkursni zsdaci

90. Pet trka(a A, B, C, D i E zauzeli su prvih pet mesta na jednoj trci.Na pitanje: koji je trkai zauzeo koje mesto, dobijeni su sledeii odgovori odpet gledalaca:

l) C je bio drugi, a "B - tredi;

2) E je bio treii a D -peti;

3) f,je bio drugi, a D - prvi;4) C je bio drugi. a A- Eetvrtii

5l B je bio prvi. a A - detvrti.

U svakom od tih odgbvora (iskaza) jedan deo je tadan, a druginetaian. Odrediti koje j9 mesto zauzeo svaki od trkada.

91. U jednoj posudi ima 3 puta vise mleka nego u drugoj. Kada se uvedu posudu dospe 6 litara, a u manju 7 litara, onda ie u prvoj (ve6oj) posudibiti 2 puta vi5e mleka nego li u drugoj.

Koliko je u poEetku bilo mleka u svakoj posudi?

92. Naci x ako je

(!\zs.zt zs.zt 27.28 28.2s 2e.3il ""93. Dat je trougao ABC i taEka D na stranici AB. Kroz ru taiku pcvuii

dve prave tako da njima trougao bude podeljen na tri delajednaka po povr5ini.

94. Mesta A i B nalaze se na razliditim stranama od kanala dije suobale paralelne. Mesta su razlidito udaljena od kanala. Odrediti (konstrukiijomlgde treba izgraditi most preko kanala tako da put izmettu tih mesta 6udenajkraii.

Uputstvo re5avateliima konkursnih zadataka

Resite ovc zadatkc i r.€senja posaljitc ur€dnistvu ,,Matematickog lista.'. Najbol.ia rc{.nja,a lakodc i imena svih udenika koji su sve zadatkc ili neke od njih sasvim tacno reiili, objavide se u lisiu,

Zadaci 90-91. dostupni su za reiavanjc svim uCcnicima V-Vlll r. Z^daci 92-94. dostupnisu ud€nicima VI-VIII razr€da.

Najboljim reiavateljima za svaki razred dodelis $ dog.ade \a kraju Skolske godinc.

Fond za nagradc rcSavateljima konkursnih zadataka ove godinc je povedan.

. Svako re$enjg (1 rckstom i rednim brojem zadatka) treba pisati na jednoj straoi papir&.S_vako.re$enjc trcba Cirljivo potpisati -punim imenom i prezimenom, navodedi ralred i,odiljinjc,Skolu i mesto, na primer: Mirjano Roki[, ut. Vlt raz. Osnovnc Skole ,,Filip Filipovid.'. dadal.

- '

Zadatkc resavajte s a m o s I a I n o nc traZeii pomodi ni od koga,.slik€ crtajte precizno,a rescnja pisilc o b r a z I o 2 e n o i d i I k o, Neuredna, neCitljiva

rclenja iresenja (rciultiti,

odgoivori) bez obrazloienja ned€ s uopst€ uzimati u obzir,Reieoie zrdeteke iz ovog broie posleti nelkeuije do 15. VI 1970. godire.

Adresr: MrtemrtiCki lis1, Beogred, p,p. 72tNa koverti oblvezno naznaditi: Konkursni zadsci.

lvlolimo re5avat€lje da sc u svcmu pridrtavaju ovog upotstvt. Rcscnja Saljitc obidnompostom (a nc preporua.no) kako sc nc bis6 izlagali ncpotrcbnim'lroskovima!

- -

t52

Re5enja konkursnih zadataka iz ,,MatematiEkog lista" IV.3

lt,[

78, Odrediti x iz 100 : i[(7x I 24) l Jl' 4 :

Prinrenonr poznatih svojstava radunskihIll. 2. str. 44 -461:

84. Pogledajte rebus no desrutj strani! Unte-sto crnih kruiifu stttvite odgovarajute riJre tokoda naznatene aritnutiike operacije budu laino izvr-iene, Innjte no ilmn joi i lo da je zbir brojeva prve

kolone (stup<'a) jedr.wk rezullatu koji se dobije kadse izvrie operacije u prvom horizontalnom redu (prvoj

imacemo redom (ML,

l(7.r t 24l: 5l .4 | 36 - 100.

[(7x t 241 : 5l' 4 - 100-36 (i/r.rcunavanje nepo?naros sabirkat

Itl.r 24):51 '4-64,(1.r f24l :5 : 64 :4 (izrlcun,rvaDje nepoznarog cinioca)

('l.r:741 :5:16.7.r '24 - l6'5 (i/rraurrn\'illi( ncn('znilt()8 dcljenikil),

7.rr24:80.7.r -- 80-24 (izriiCun:rvlnie nepo2n{rog sabirki},

7.r .- 56,

.r : 56 : 7 (izra{$navanjc nepoznrrog ciniocai.

.r :8.Slavi<'a Tiosovlievi(, Y r. OS ..v. KaradZic"' Caeak

oa:5 o'.4'-.-"- 4o.- l aaJ-'a aa--

7 4taa2 .a-5 to

{

il

ao a0 raa aavrsli), zhir hrojeva u drugoj koloni jednak je s rezul,,atom u drugoj vrsti, itd. Nijedanbroj u ovont rebusu nije jednak nuli niti poiitle <'ition nula (nada se nulont brojevintogu zavriiti). Dajte potpuno ohrazloienje .tvog odgowtru!

Prethodna nepomena. -- Prilikom reSavanja ovog zadatka nrnogi reiavateljinisu obratili paZnju na redosled vr5enja radunskih opcracija u pojedinim vrstamaovog rebusa (po horizontalama), tj. shvatili su da rad. operacije treba vrSiti onimredonr kojim su napisane. Svakako ih je zavaralo i to Sto se tako )sve lepo dobija<.Medutim rebus je namerno tako sastavljen. a u stvari nije moguc. To je trebalo i

pokazati.

I. Prema uslovu zadatka, zbir brojeva u nekoj koloni (na primer, prvoj;jednak je rezultatu dobijenon'r kad se izvr5e operacije u odgovarajucoj vrsti (ovde:prvoj). Imajuii to u vidu, rebus moZemo sada napisati ovako:

ao: 5 0 7 4ta4:a-- 4 o orr--l- o 2 o0

.3'-..ra- 5 o.4o a o0 oo..oa

Zbir sva detiri broja prve kolone je 4o, tj. nile veci od 49. a kako nijedan ne

moZe poiinjati nulom, onda svaki od njih nrora podinjati sa l, tj. lo, 14, lr, 13.

Prvi broj u toj koloni, posto mora biti deljiv sa 5, nloZe biti ili l0 ili 15. Broj 15 ne

153



dolazi u obzir, jer bi tada zbir u prvoj koloni bio veci od 49. Znati, prvi broj u prvojkoloni je l0 (a tredi je ili 12 ili I I ili l0), tako da je zbir u prvoj koloni najmanjc 47.

Sada prva vrsta glasi:

l0:5*o x7:4., tj. 2*l x7 :4o.

Drugi sabirak o x 7 mora biti vedi od 38, ali ne vedi od 49. Taj sabirak je deljivsa 7. Izmedu 38 i 49 samo je broj 42 deljiv sa 7. Znati, sabirak r x 7 glasi 6 xl,pa 6e

zbir rr prvoj vrstibiti 216x7,tj.44; ali, prema uslovu, taj zbir mora biti isti kao izbir u prvoj koloni, za koji smo utvrdili da je najmanje 47. Prema tome, rebus,

kako je postavljen, nije mogud,Zoran Branislav, VIIz r. OS >G. DelEev<, Zemun

Il. Da bismo pokazali Citav postupak re5avanja ovakvih zadataka, pret-postaviiemo da treba deiifrovati sledeci rebus:

(or:5'1 .)' 7-4.(r4:r- 4)' o._ .(ro*l- t). 2.-.oo3-o+aa - 5..oaffi

lstim postupkom kao napred (vidi l) najpre utvrilujemo da svaki od brojevau prvoj koloni potinja sa I, pri Eemu je prvi od tih brojeva 10. Posmatrajmo prvuvrstu: (10 :5*o)'7 :4r ili (2 1-o)'7 :4o. Umesto kruZica u zagradi moZe

biti samo 4 ili 5. Cetvorka ne dolazi u obzir, jer bi u tom sluiaju rezultat bio 42,

a prema uslovu zadatka isti toliki bi zbir mora biti i u prvoj koloni; medutim,vec smo utvrdili daje taj zbir vedi od 47. Preostaje. da.kle. petica, tj. prva vrsta rebusaglasiie:

(10 : 5+5)'7

: 49.

Prema tome, treii broj prve kolone mora biti 12. Rebus sada izgleda ovako:

(10:5 5)' 7-4e(14:c- 4). o- o(12-l- .). 2-o0l3-r+oa - 5-.oo49+.r r o 0 : t o .. o o

Broj 14 u drugoj vrsti na celo se moZe Dodeliti jedino sa 2 i 7 (l ne uzimamou obzir, jer tada rezultat u drugoj vrsti ne bi bio jednocifren). Sedmica otpada, jer

tada ne bismo mogli oduzeti 4 (rezultat je prirodan broj). Ostaje. znadi. dvojka'Ta vrsta ie sada glasiti ovako: (14 :2-4\ '. _'- . ili 3 'o : r. A to znaEi da je:3.r :3 ili 3.2 :6 ili 3.3 -9.

Cetvrti broj u. drugoj koloni moZe biti samo I i zbir te kolone iznosi 9 (jerprva ri broja u toj koloni ved daju'zbir 8). Na taj nadin, poznata je sada i

prva vrsta: {d.4:2-41.3:9: iakode i detvrta kolona. Sada imamo:

(10:5i. 5',.7'49(l4i,2- 4). 3 s(12-r- o). 2-'..0l3-l-r ro - 5-. 17

49+9-o0.17:aa

154 155

Sada je lako de5ifrovati i Eetvrtu vrstu. Imademo redom: l2+rc-5 5 : l'1 ,

12*or - 22,'c1 : 22-12, rc : 10.

Treda kolona je tada: 5*4+ o *10:0r. Odmah se vidi da umesto kru2icana levoj strani ove jednakosti moZe biti samo cifra l.

Prema tome. konadno bismo imali:

(10:5+ 5) 'l-49(t4:2- 4)' 3: 9

(r2-r - r) 2 -- 20

-]1-b-lo -1= 11

49-r7+2O +17:95.

85. Koliko se razliiitih prirodnih desetocifrenih brojeva ntoie zapisati pomotudeset cifara (1,2, 3, . . . , 9 i O), upotrebivii svaku cifru samo jedanput? Odgovarobrazloii !

Prema uslovu, brojevi ce se razlikovati jedan od drugoga samo rasporedomcifara.

Prvi naiin. - Uzmimo jednu cifru, recimo l. Ona moie zauzeti bilo kojeod deset mesta u broju. U svakome od tih brojeva (desetocifrenih) ostaje jo5 po 9

slobodnih mesta i na svako od njih moiemo staviti neku drugu cifru recinro 2.

Tako ce nastati vec l0 . 9:90 brojeva, a u svakome od njih bice joS po 8 slobodnihmesta za treiu cifru. Popunivli ta mesta nekom novom (trecom) cifrom, recimo 3,dobiiemo 10.9. 8 : 720 brojeva, pri €emu u svakome od njih ima joS po 7 slo-bodnih mesta za Eetvrtu cifru. Sve moguce varijante razme5taja detvrte cifre, recimoietvorke, dace l0'9 ' 8'7 : 5040 brojeva s Sestim slobodnim mestom u svakome

od njih.ProduZujuci tako, naci cemo da se l0 cifara na i0 mesta moZe razmestitina l0'9'8'7'6'5'4.3.2'l:3628800 naiina. Ali po5to medu ciframa imai nula, to ne6e u svih tih 3628800 sludajeva svaki formirani broj biti desetocifren.Naime, kada je nula na prvom mestu (na poEetku) sleva (recimo u broju 0123455789),onda se ona ne smatra vrednosnom cifrom, te broj ustvari nije desetocifren vecdevetocifren i ne udovoljava uslovu zadatka. Medutim, svaka od l0 cifara mora bitina prvom mestu isti broj puta. Prema tome, u l/10 od 3628800 moguiih sludajevaprva cifra ce biti 0, tj. broj ee biti devetocifren. U ostalim, pak, sluEajevima (dijibroj iznosi 9il0 od 3628800) dobicemo traZene desetocifrene brojeve.

Na taj nadin, upotrebiv5i svaku od deset cifara samo jedanput, moZe se

9. 3628800obrazovati - _ :3265920 desetocifrenih brojeva.

l0Miroslav Jovanovit, VIIIr r. OS >Sv. Sava<, Beograd

Drugi nadin. - Ako bismo imali samo jednu citiu, onda bismo njome moglizapisati samo jedan

broj.Sa

dve razlidite cifre(a

danijedna

nije nula) moguse na-

pisati dva razlidita dvocifrena broja: Sa tri razlidite cifre (od kojih nijedna nije nula)moie se napisati 6 razliEitih trocifrenih brojeva (naime, svaka od tri cifre moZebiti na prvom mestu, dok se cifre na drugom mestu u svakonr od njih mogu raz-mestiti na 2 nadina, te bi svih mogucnosti bilo 3 . 2, tj. 6). Ako bismo imali detirirazlidite cifre (razlidite od nule), onda bi svaka od njih mogla stojati na prvom mestu,

I

t

J



dok bi se ostale tri cifre u svakome od tih slucajeva, kako smo vec videli, mggle

r.rp.*Oi,i na 6 raznih na6ina, tako da se sa Eetiri razliiite cifre moZe napisati

uf.,ipno-q . 6, ti. 24 razliEita prirodna broja. Na slitan nadin, dobili bismo da. se sa

j radieitih cifira (mettu kojima nema nule) moie napisati ukupng 5'24'^tj. 120

i"rfiEiiit brojeva; ia 6 cifari - moglo bi se napisati ukupno 3' 120, tj. 720 bro-jeva itd. Vidimo, dakle, sledece:

Broj razlieitih cithra(bez nulc)

I

23

4

5

(t

Broj razlid. prir. broieva koji sc mogu napisati

t).t )

3.2 3.2.1'64-6 4.3.2.t -.24

5.24 5.4.3.2.1 t20

6.r20".6.5.4.3.2.1 720

e e.40320 9.8.?.6.5'4.J.2' I 3628E0

Na osnovu toga, lako dobijamo da bi se sa svih deset cifara (!r?,3'...'9 i 0), upotrebivsi svaku cifru samo jedanput, moglo napisati l0' 36-2880 razli-

ditih deseiocifrenih brojeva, ali. poSto bi svaki deseti od tih brojeva na pocetku imao

cifru 0 (tj. ne bi bio desetocifren). to bi ukupan broj razlititih prir" brojeva napisan

sa svih deset cifara (pri Eemu je svaka upotrebljena samo jedanput) iznosio

9 . 362880, tj. I 265 920.Jovan Attiit, VlIlu r, OS >1. Gundulid<, N. Beograd

86. Odrettiti s, h i c ako ie ibcr'-iia, tj. treba nati trociJ'reni broj napisanu broinom sistemu baze 7, ako se zna da se on i u sislemu boze 9 piie istim ciframa,

ali simo u obrnutonr poretku. Napisati toi Qroi i u dekadnom sistemu!

Uslov abc, - cbi" moie se napisati u obliku (u dekadnom sistemu):

j2a | 7b .i. c :92c | 9b l. a, tj.

49a L 7b r c : 8lc + 9b -l a. odakle je

2b : 48a - 80c ili

b : 24a - 40c. odnosno

D:8(3a-5c).

Po5to je D cifra u brojnom sistemu baze 7 to je 0<6<6' a iz (*) vidimo da

mora biti deljivo sa 8: znadi: r):0. a tada 3a-5c:0, odakle i, ,: I o.5

Po5to je a.:-7, a nrora biti deljivo sa 5 (r

-

ceo broj), to je a:5 i tada c:3.Prema tome, traZeni broj je 503r, odnosno 3050, a u dekadnom sistemu:

503,: 5'72-lO'7 -r' l: S'?S + 3 :24810

(ili: 3050:3'92-l 0'9 + 5:3'81 1- 5:24810).

Znadi: 503, :305, : t48ro.

Stanislava Grebovii, VIIr r. OS >S. Markovid<, Sjenica

r56

87. Nati Cetvorocifreni broi koji je jednak kvadratu broia koieg iine niegove

zadnje dve ci.fre (uzete istim redom).

Prema uslovu zadatka t*u11_

abcd : (cd)2,

Sto se moZe napisati i ovako:

10004 * 100, + l0c 'f d: (l0c * /)z ili

100 (t0a + 6) + (l0c + /) : (lOc + d)2, odakle:

tOO (lOa + ,) : (lOc { d)z- (l0c + d).Ako stavimo l}c -l d: k (pri 6emu je /c < 100, tj. k-dvocifreni broj),

imademoi00(l0a + r): k2'--:k ili 100(lOa + b): k(k-t).

Kao Sto vidimo, proizvod k (k-l) mora biti deljiv sa l'00. Znaii' od dva

uzastopna broja k-i i t jedan mora biti deljiv sa 4, a drugi sa 25. Imamo samo dve

nrogucnosti: ili je &:25 ili k:16.l. sludaj: k:25, ti. 100(l0a+ bl-25'24, odakle l0a+b".6' Sto znaEi da

ie a:0, Sto protivredi uslovu da je bro'1 abcd Eetvorocifren.

2. sluiaj: k:76,ti. 100(l0a+D) -16'75, odakle l0a+.6-57, Sto znaEi daje n:5 i b=='l , Tada 76:l0c+d,pa je c-7 i d-6.

Prema tome, traZeni Eetvorocifreni broj je at"i:SnA-Zaista jel 5776:76'z,

Marina PaniSit, VllI,r, OS

,,8.P. Pinki" Srem. Mitrovica

P r j m e d b a. - Neki Eitaoci su zadatak re5ili neposrednim zakljudivanjem.

Najpre su utvrdili da dolaze u obzir samo brojevi u kojima je poslednja cifra0, l;5, 6 i da je pretposlednja cifra veia od 3', l;5, 6 i da je pretposlednja cifra veia od 3'

Utvrdiv5i da poslednja cifra moZe biti samo 6.

lako su medu ,,kandidatima" (36, 46' . .., 96)

pronaili onog pravog: 76. I tako: 5776='-76'z.

EE. Date su dve koncentriine kruinice;duiina tetive vete kruinice, koja dodiruie manjukruinicu, iednaka je 8 cm. Naii povr|inu kruinogprstena ( vijenca ) obrazovanog dat im kr uinicama.

Po Pitagorinoj teoremi je (v. sliku!):

R2_r2:42 ili R2_rz:16,.. (*),

Povriina kruZnog prstena ili vijenca (tj.figure koja je na slici prekrivena taikicama)biie:P - R2r-r2r - 1pz-r2) n ili, s obzirom na (*),

P== 16re (cm':).

loiek Stucin, vIIIa r. OS ,,F, Moinik", Cerkno

t57



89. Nad svakom stranicon, kvadratastrarrice a konstrt isani su jednakostraniinitrouglovi, pa su vrhovi (temeno) tih troug-lova spojeni (v. sliku desno!).

a) Kolika je povriino osenienog deluslike u funkciii od o?

b) Koliko pro(enato povrSi veiegkvadrata je osenteno?

c) Ako se od komada papira izreiefigura koja na ovoj slici nije osentena tako

da bude a '.6 cm i sastavi jednakoiviinaietvorostrana pirantida (jednakobridna kva-dratska piranida), kolika te biti nienapovriina (oploije), a kolika zaprenina(volumen)?

P, 2oz*-ptl'3 oz12;l'3) 2il3

Ako ovaj razlomak prosirimo sa 2-l 3, intacemo

P

Pt t2 illl (2-l 3) 2r-(l 3:), 4-3

(Primedba. -- lsto se dobija i bez pro5irivanja razlonlka, tj. ako se I

podeli sa pribliinom vrednoScu za 2 | 3 , tj. sa 3,7321,

t58

Ia) Povr3ina velikog kvadrata na slici je P, -

7.d-'z,zde je r/ njegova dija-

gonala. Kako je d..o;2h'ai2'!.y'l .otaN3 (jerieta;11

- visitra2--Z

svakog od jednakostranidnih trouglova konstruisanih nad stranicama kvadrata;,imacemo:

tllP, : lu al 3 )': - (u2. 2a'z.a1 3 az'31,- ^ (4u2 2a:1 3 ). tj.'222

P,- 2u2 , cttl'l .

Povr5ina neosendanog dela slike (koji se sastoji iz jednog kvadrata stra-nice q i ietiri podudarna jednakostranidna trougla stranice a) je

P, o'-4'o'l!. a',azl3.-4

Prema tome, traZena povrsina (tj, povr5ina oseneenog dela slike) bi6e:

P Pt-P.' (2a' u'zl 3)-(u2 , a'I J ) u2.

b) Odnos povr5ine oseienog dela veceg kvadrata prema povrSini tog

kvadrata je:

Pa2u2l

c) Mreia piramide, o kojoj je reE, je neosenEeni deo slike, te 6e povr3inate piramide biti

Po- Pr:42 162 y'l -az tt r /3 ), Sto smo ved naSli pod a).

Visinu piramide odrediiemo uz pomoi Pitagorine teoreme (primenjene na

oseneeni trougao na slici desno):

tl \2Hz_az_l=-a|2 l, tj.

\2 t'

ta'H2':-'

odakle je:l.-

H--al'2.2

Zapremina piramide bide:

v --l BH:l .o,.-l-oliz332

Za a-6 cm imademo:

(Uzeli smo da jepribliZnost).

P:36 (I +l/T) cm2x98,35 cm2 i

V-16V, cmr e 50,911cmr.

/3 x1,732 i lI pt,4142, kako bismo osigurali Sto bolju

Radoslav Dinitrit, VlIl, r. OS ,,Kadinjada", Loznica

Napomena uredniJtva: Vecina re5avatelja uzimala je l/3 n, l'73 i J"2 t 1,41,

te su sva re5enja u kojima je to uEinjeno prihvacena kao ispravna'

Re5ili konkursni ztdatrk br. 78

AbaziCerim,Vl{r.OSrf.okrobar(Bor; AdamoviiKenal,\ll1r'OS"S.Radovanovii-Cana(Novi Pazar; Adannv Milan, Vllll r. OS >Brada- Baruh< Bcograd; ,IdLft fovan, Vlllr r. OS "1. Gun-dulid< N, Bcograd; Ahlia triarina, vtlll r. OS '2, J. Spanac,. N' Bcograd; Aktrntiierit Liubiid,yl\ r.OS "J. J. Zmai" Obrcnovacl Aleksandrii Vesna,Ylls r. OS rJ. l.Zmai< Obrcno-vac; Aleksit Nenad,

Vlllr r. OS "V. Dug.< Bcogradi Aleksii Rodoliub, VIll3 r. OS rBraia JcrkoYiC< Zrlcznikk!8.; Alek'

sii 'iwiin. Vll r. OS "R. Krstiiu Popina,p. Vrnicii

Andtit Drugiia,Y1 r. OS

"V.puricin" Jarkovac:

Anitit ilsdovan, Vlll r. OS Skcla kod Obrcnovca; Antataskotii Dragana, Vllr r, OS "BraCa JcrkoviC<

trlczniki An,it Lolico, Vllt3 r. OS >D. Stamboli€< Svrljig;

Bqbit Gordana; Vllr r, OS >Vojv. S. Stcpanovic< Kumodral; Baitsnski Rodoslav' VII r' OS

"S.Baiii-Paia< Pc(-itcit Bikalo|ii Biljsna, Vlr r. OS >V. Kar4dtid< Ripanj; Eokii Nikola i Slavica,

VtI r.-OS >S. B. Paia" Pciinci: Sazidevid Branislata, Ylltr r. OS >8, P, Pirrki< Srcm. Mirrovica;Barbis;uo;,bS ptu"ri"!'i: iarsi oiP, itt r. oS "z'. Glotanski" Bcdcj;8osic La4ar,Y r. oS D25. maj(Subotiia;lairtZintina,Yt r' OS >V. Tuniid< Lukavaci Eeteniak Nada'\'lt r. OS "V. S. S'" Kumodraz;

l.-t

ot lr2'

159



MATEMATIEKA TAKMTCENJA

Zsda,ci na republiEkom takmiEenju ulenikaosnovnih Skola u SR Hrvatskoj Skolske

196E169. godine.

VIII razred

l. U tvornici se izraduju dvije vrste hladnjaka, Tvornidka cijena jefti-

nijeg manja je za 116 od cijene skrrpljeg hladnjaka, Za koliko se ,o/. pove6atvorniika cijena jeftinijeg hladnjaka u trgovaikoj mreZi ako se tamo prodajejeftiniji hladnjak po cijeni koja je jednaka 9/8 tvornidke cijene skupljeghladnjaka?

2. Ako voda zauzima 314 volumena posude, onda teZina posude zajednos vodom iznosi 8100p, a ako Livazauzima 5/12 volumena iste posude, ondateZina posude zajedno s Zivonr iznosi 49386 p. lzraiunaj volumen posude injezinu teZinu ako je specifidna teiina iive 13,596p/cmr.

3. Baza. uspravne (prave) trostrane priznre je pravokutan trokut (pravo-

ugli trougao) kome je jedna kateta 9 cm, a druga kateta za J cm manja od

hipotenuze. Koliko je oplo5je prizme (povr5ina cele prizme) ako je najvecapoboEna ploha (strana) pravokutnik kome je visina 1,4 puta veea od osnovice?

Nacrtaj sliku tog tijela u kosoj projekciji u mierilu l:3 ako je a.=45", q-. ll2lNacrtaj tlocrt i nacrt tog tijela u jednakom omjeru (u istoj razrneri) ako jenajveca ploha tog tijela u ravnini r,, a baza u r,!

4. a) Zadan je pravac p i dvije taEke D i M, od kojih D pripada pravcu

p, a M ne pripada. Konstruirati kruZnicu koja prolazi talkom M a dodirujepravac p u zadanoj taeki D.

b) Zadana je kruZnica t i dvije ta6ke E i M, od kojih E pripada

kruZnici, a M ne pripada. Konstruirati kruinicu koja dodiruic zadanu kruZnicuk u zadanoj tadki E i prolazi taikom M.

Razultati i t.putstva. - l. Tvornitka cijcna jefiinijeg je 5i6 cijcne skupljeg' a prodajna

cijcna jell. je 9i8 prod. cijene skupljeg; povecanje ciiene jc 9/8-5/6...1124:ijetc skupljeghladnjaka'a to u odnosu sa 5/6 iznosi 7l24tS16,'7120:J5/100.-0.35. tj. 15y;.

2. tzJ v, rp.-.8rooi .5 n.,3,510 :-Tp-49386 dobijamo 1's . t.,.tru i ) u. +rzeo. loau-4 12 ' \lz al

zimanjem) odaklc ie lu..=8,lO0cmr.--8,4dmr. Teiina posude biie fp 8,1kp '6.3kp l,8kp (jcr

3/4 od 8,4 iznosi (6,3).

J. lz 9t-(c 'J):-.1 dobijamo da jc hipoterruza r'-l5cnr. Druga Lateta jc D-.l2cm.Oplo5jc prizmc (povrsina cijele prizmcl jc jednako zbiru povr3ina obeju baza i svih boCnih ploha.

ri, P:2(abtzl;i(a-i.b-;.c), ti, P.='qb .r(a';b;.e;, gde je r-,.1,4'tr='1.4'l5mm--2lcm - visina

prizme. Poslijc supstirucija imademo: P lO8:Zl (9i 12-i l5), lj' P-=864cm:. Dinrenzije tijela u

nrjcrilu l:J su 3cm,4cm,5cmi7cm. lc sami moZcle nacrtati to tijelo ukosoj projekciji'kao i njcgov tlocrt i nacrt.

4. a) Sredistc (centar) S kruznice nalazi se u prcsjeku okonricc (nornrale) laekon f) na

Dravac /r i simetral€ d\ti MD" a r...Sf, SAt.

b) Neka jc f) srediSte (centart radanc kruinice /i. r r --- rinretrala duti,{ttt. Sredistc lra-Z.nc kruztricc.s nalazi se u presjeku pravca s i O€, a poluprecnik i,ri je .-'.tn''ti/.

164

Vll razrei

l. lzraiunaj vrijednosr izraza;

l-.^-.'1 ^5\ -15.127 I 4.8711 l:0.5\ 12 t2l

r-48.12: |

5-. 0.2:.2.J1.250

2. Nad svakoni srraniconr ronrba s dijagonalanra e i l le-,9cnr,/'..6cnrlnacrtaj polukruZnice u unutra5njosti ronrba" lzradunaj zatinr povrSinu figurekoju onreduju ti kruini lukovi. (Zadatak rijeii najprije u opcinr brojevimal.

3. Konstruirai skup srediita svih kruZnica koje docliruju:

a; zadani pravac (pravu; u zadanoj tadk.i tt'g pravca:

b1 dva zadana pravcir koja su paralelna;

c; dva z.adana pravca koja se sijeku.

4. Zemlji5te je pripremljeno za sjetvu za J dana. Prvog dana jc pri-l3

prcntljeno .^ zenrlji5tl, drugog dana _ ostirrka. a treci dan - ostalo. Kolikal0 5

je povr5ina tog zemlji5ta ako je treceg dana obradeno I 1.2 ha n-ranje negodrugog dana. Koliko .ie obradeno svakog dana?

R!:Lltati i uputstvr. -- l. Posto je 5,127..4.8?l tO; I ].,.1 -r 5, t(, {c brojnik {talog

12 12izraza biri jcdnrk lJ:0.5..10. Nazivnik (inrenitacl ie jednak 48,t2: t,2.,0.04.250.2,51..40,t --10.:,51 40.1 25,1 '15. Premr tonre, dati iznz je jednak lO:15 -2, (Koia svojstva srbiHnja

(zbrajanja) odnosno flrnoZen1r smo prinrjenili?;, Do istog .ezultat3 dosli hisnro iko bi se traiprijcsvi brojevi u zadanorn izrazu prctvorili u irhilnc ruzlom\e, a zatim izvr\ila nrrznirdent raiunanjr,pjzeci nx lgilrsljed rudunskih oFerrcija.

2. Vidi sliku desno! Clrtilj: Trrzen! povrsina jednrko je diferenciji izmedu I porrsine

polukrugorr i p.r'r(ine romhr. ri. p {. 11" \tr '"'l l ,rr; .t'f I

icz.r./:\- "". i tn. r\:, : -' : :1.4 1! :

t: l:nacnor'- - r

i{

4. t'r\()g dnni ic nrrprcnrljcnt,I

rcnrljiir:r. (lrrtg{rs arn" -l " 1

r05lodrnr ie ohrr(tr. ,,srrrrl I

{

J 2l

I

lati.

?zeortjiirr. *rrtit

all

rl0 5Or 5(| 25 50

t "'/ Ak., r i / ?rnrjenin)o rrobicenro dr ie P 14,625 I --27t18,9225 (cm:;,2

pri tenru j€ uzetc' EE.l,14. Ako hi sc uzelo reJ,l4l6. .rndr bi dohijeni rezultirt {18.q{59cnrl} bi(lbliti prurrri rrijednosti.

J. rl Pravac (prava; okomit (normalan) na zadani pravac u zadanoj tlckt. li1 Pravacparrlclan datin prtvcimii i iednako udaljen od njih --- prol.rzi kro? \rcditft razdrljinc izmeduusdrnih prr!rcri, c) Sinletralc kutovx (ugl{)vl) izmedu zadanih pr;rvacl.

ti. ?l zenl.iitta: rreiee50

11

. ti.

tremljistr 0d-

50 50

goljartr ll,2hr. Odalle sc lakrr rlobirr ,t" |,"^liir," ienorr l.6hn. t cijelo zemliitle (-(O/50) iz-

50nosi 1,6h4.50.80ha. Sada je lirko izradunati dr je prvog dana obradeno 24ha (l/10 od 80ha),drugog dana t-1,6h4 (21/50 rrd 80ha) i lreieg dan$ 22,4hr (ld/s0 od 80ha,.

V. B. D,

165



MATEMATI,TTIKA PASOHOAA

JAH'IMIbI4BOCTI4 O 6POJEBI4MA

Heo6xqna MareMarlqxa apxlrelcTypa

Osa ttuoxelra cy H3BpilreHa rIpaBlrJIHo, ann Ha caojerpctau Halun

,,77An

-T77r-EiEyr:sne

v,666/\ 666-6'-666

66666

@d-i4sss6

, .777777777777A zzzzzzzzzzzz

----70-e494949.49

494949494949494949

49494949494949494949494949

4949494949494949494949494949494949

4949494949494549494049 4949494949494949 494I

1 I 4 I 49 49 4 I 4 I 4I 4 I 4 I 4 I 491949 4 949 4949 4 I 494949494949494949494949494949494949494949494919494949494949494949494949494949494949494949

494949494949494949494949494949

ffi

- ,777777777777x Tzlzzzzzzllz

"7 77777777

7777777777777777

777777777777777777777777

7777777777777777777777777777777V

77777777777777777777 77 7 7 7 77 7 7 7 7 777777777

,.77/\ 77

-ffoo u,u49

30n

.,66dt'666-7r

3636363636

363636

779ffi6

864 97 530862 4 69 I 35802 47x7W

166167

MATEMATIEKE IGRE

Koliko vam je godina?

,,Pomoiu ove darobne tablice mogu doznati koliko vam je godina"' rebe

Sonja na vcleri zanimljive matenratike. ..Vi mi samo recite u kojim stupcima ove

tablice se nalazi broj vaSih godina'r, produZila je ona'

,,Broj inojih godina nalazi se u prvom, drugom i detvrtom stupcu"'

-redeMiri. -,,fi imas ll godina",- odgovori odmah Sonja. Mira je pot-

vrdila da je to taEno. Tako je Sonja svima pogodila koliko im je godina.' Kakoje ona ni osnovu ove tablice pogadala koliko je godina svakome od prisutnih?

ObjaSnjenje, *-Da bi pogodila koliko Mira inra godina, Sonja je

sabrala brojcve koji stoje u prvoj vrsti (l'r 2 t 8 - ll) onih stupaca kojeje Mirapomenufa (1, tI i IV). Tako se postupa i u drugim sludajevima. lj, iednostavno

se saheru brojevi koji stoje na poielku onih slupaca koie naznaii onaj kone sepogada hroj godina.

}PHUA

6pro ogroaopxre!

l. Vr:ao oa 5 nocvarpare Kpo:t nyny xoja aaje qerlopocrpyxo noeehame.

Ko:rnxrl he 6ur-tr raj yrao rneaau xpor lyny?2. Kojor'r ce uuSpou laBpuaBa npoil3aoa cnilx HenapHlx 4souu$pexxx

[rpojena?3. flovohy {erxpu aaojre u iHaKo.Ea par. onepauxia Hannrus 6poj lll.{. V xojer'r bpojnov cHcreMy je 2'2 l0 ?

Marxrrrrr rcBaAparfi

Cro6oaua nolba y c,reaehr.u KBaApar{Ma rpeba nonyxl-rlr 6pojenlt'ra,raxo Aa y cBaKoM npaBqy (no xoplroHranaMa, aeprn(aJraMa rr aujaroxanaua;r6np 6y4e jegnax 6pojy HaflHcaHoM Hcno/q Aorll{He crtlfie.

ilol53 7

I

I

, ir36up 9

2

36up 15

llr36up 21

matematicki list 1970 iv 4

Documents