matematicki list 1974 ix 1

7/28/2019 Matematicki list 1974 IX 1

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1974-ix-1 1/17

!oBAVFISTEN.IA PRE',I'l',l,A'l'N l('l l\l,\

l.'UredniStvo poziva nastavrrikc igrrofcsorc rrrirlt'rrr,rltl,t'l,lrr r o\l.rI r'rl,roce da Salju svoje priloge za list: dlankc, otl:tbtltttt: rrrl;rlkc, rrtrlrtlkt lir 1ril1( ilrrtltispita i matematidkih takmieenja. raznc zaninrliiv()\li llr)r'lpro 1r'rll',vr rrrLoprsr(osim udeni6kih re5enja zadataka) budu pis;rrri pis:rcorrr lil;r.,liloill r 1'11r1111qv111. ,

crteZi izradeni na posebnoj ivrstoj hartiji. l{ttkopirr $' rrc vrir(;rlrr2. Matematiiki /isl nanrcn.icn .ic .rvirl ui'rntr'tttrrt V Vlll r,rz ,)',ttovtrr'

Skole.Listizlazi 6putautoku\kolskcgotlirtc,ito: LX,ll Xl,ll.ll ll.llVr lr V

3. Godi5nja pretplata (za svih 6 brojcvrr) izrrosl 2I rllttttrtt. N,tt rtitor trrt,l /,1vi5e od l0 kompleta odobravanro ritbat (20'l;,. 15",,. 1o",,). /irvrilro ill tol;t rlttkojeg se isplati celokupna prctplatil (1. Xll, L lll, L VI) NrLrrlr't rltttllt t'rllrt, t

ne uvazavaju se.

NarudZbine se Salju na adrcstr lisl:r, :t ttovitt rrit )lrrt rnfttrt.,l\tIlrnurliakoglista" broj 60806-678-14627. l)ri toruc llcbit ollrvtr.'trr n:rvr'\lr ltti,tu tult(\u n,r loltllist treba dostaviti i jasno naznaiiti na (ta sc rr:rrrrtl)hrrrir o(lrrrtlr,r upl;rl;rorlrtrrsr

4. Raspola2emo komplelirla listtt iz (kolskc lt)('X/{'rl Hotl (l't l l l I \ ),5k. 1969/70 god. (br. IV l '5), ik. 1970/71. Htxl (hr V ,'r l), rl l')/l//' liorl(br. Vl l-5), 3k. 1972173 god. (hr. Vll I 5) I \l* ltr/l//'l sotl (lrr Vlll I $Od ovih godista prodaju se lll, lV, Vl i Vll po srrllcn'l t.rrr .(l (r llrrr;rr;r /irkomplet, godiste V po ccni otl 4 rlitlltrit igotltsle Vlll po {r'lll'}(l lll tlrrl

5. Mole se poverenici Mulenuliikttl.l li:lrt rh r/rrrllr' ',v;r z;trtil,tl,r rlttllor.ttt;:t6. Sve priloge, prirlcdbc i ttartttlTbc slltlt ttl/1trr'ltrr rl;l .ltll(.rr

Matematidki list, p.p. 728, ll(X)l lltosrtttl

snl)ri2A.tl- Branka Derasimovi[ : Rcilrvarr.ic koltslrttklivrrrll z:trl.tl.tl.t rr pro.loltr2. D. S..' O nuli .

3. Vladimir Stojanovil': Podela ugla nit lri .ictlrr:rl;r tlt'l;t I'tttttt'r tt lttrlllot.r4. Milan Berbei: Povr\ina pravilnog tlv:ttutcslottgl;t5. V. R.: Topovi na Sahovskoj tabli ...6. U.;Postoji li najveci prost br().i7. Testovi za proveravanjc znanjl iz tttitlcrtltlrkt'8. Matematiika takmidcnja9. Zadaci sa petog saveznog taknriicrrja

10. Republiika takrnidenja za uicnikc ostrrtvnilt skol:r (S li Slrrrt trtl,t;11. Ranko Sinrot'i(: Osam ..I 2. Odabrani zadaci .

13. Konkursni zadaci .

14. Matematidka razonodaI5. Nagradni zadatak br. 39.16. SaopStenjeI 7. ObaveStenja firctplatnicinrir

kottr t

lrrtttktlltt

I

,1

l"i

lollt\l'))o,, ,I

.'tr

ilI

I4

l!,firRAt)t97a.



Ltuut ce 3Hajy uono)Kaju {ltpu.iy wctqaKa xoje joj upuuagajy, d c6aKocfiepa ce cMqmpd ogpefieuou ttuM ce sua uortoxaj rueubl 4eutupq u gyuuHotueHoi uonyrpe4HuKa.

Crora ce cBr,r KoHcrpyKrr{BHlr 3aAaqr{ y npocropy cBoAe ynpBoM peAy Ha o4pefunarbe raqaxa Kpo3 rcje ce ,,nocraeJsajy"paBHw, uJrH oKo rojux ce ,,onucyjy" c$epe, a 3aruu, aro je ronorpe6Ho, ua o4pefuaar6e raqaKa xpot roje ce y paBHxMa ,,noBraye"npaBe, oAHocHo oro xojnx ce ,,onucyjy" KpyroBr,r oApebeHr4x rI)Jly-npeqHuKa. Ca oapebusarbeM rux raqaKa cMarpa ce Aa je r(oHcrpyt(-THBHr{ 3a.[aTaK y npocTopy perueH.

CaAa, rcaAa 3HaMo ocHoBHe npnHuflfie r(oHcrpyKTr4BHor 3aAarKay npocropy, lpehH henao sa peluaBarbe je4uocranurajrax npur,repa.flperregHocrr paAV rroAeJrr4heMo Ax Ha rpr rpyne. V oaoM r,r Ha-peAHnM 6pojeanua Mataeuautu,tKol nucma yno:uahevo ce ca rblrMa.

I OCHOBHLT 3AAAUI4

3aAarax 1. KoHcrpyr.rcaru paBarr roja npoJra314 r(po3 AarynpaBy r.{ TaqKy lrsBaH rbe.

Pewerce. Ha aaroj npanoj MoxeMo Hra6parn ABe npon3BoJbHeravxe xoje rajeAuo 3a AaroM raqKoM npeAcraBrbajy tpn pa3nr.rqr.rre

TatlKe KoJe He npunaAaJy r4cToJ npa-Boj, a npunagajy rpaxeuoj paBHLr(c,r. I ). [Iourro re rpr.r raqKe nor-rryHo ogpefyjy noroxaj rpaxeHe paB-HH; 3aAaraK Ca CMarpa pelueHHM.

rpyxquje uecrapoM !{ neFb}rpoM, Kpo3 raqKy A y paeun ?, r(oHcrpy!r-caheuo npaay b napanenHy npaeoj a 1ct. 2).

.#'n. 2 /;,;3aAarax 5. OApe4nrn npoAop Aare npaBe p Kpo3 Aary paBaH 7..

Petueu'e. Kpos npany p Moxe ce KoHcrpyhcarr.r 6er6poj panura.KoHcrpyncahenao jegHy, rrpolt3BoJbHy, Ha raj Hauun urro hevo yrpocropy uza5paru npor43BorbHy rauxy M xoja :aje4Ho ca npaooMp oapelyje paean xojy hevro o:Ha.{t4rtr. ca B. (c,'t. 3).

Kaxo npana p uwje napanenHa paBHrr e, To paBaH p, xojacaApxtt npaBy p, uva je4uy rauxy :aje4H[qKy ca paBHu (, na, ceoBe paBH[ cexy. Hera je FbHXoBa npeceqHa npaBa $. flpane p v Inpuna4ajy jeauoj paBHrr 14 Hllcy napanenue (raruro?), na hevo rcn-

oe

3aAararcBan Kpo3 .qBe

3aAararcBaH KpO3 ABe

Peruasalbe oBHX 3aAaraKa npenyrxraMo

3aAaran 4. Kpo: gary rauxy A r(oHcrpyr.rcaru npaBy napa-reruy garoj npaaoj a.

Pewerae. Ilpaea a u rauxa A oApel)yjy paBaH a rojy her'aoKoHcrpyr,rcarn. llourro y ceaxoj paBHh MoxeMo lr3Bptuurr,I cBe KoHc-

2

xoBy npeceqHy raqKy o:uaqnrn ca P.

Taqra P npunaga npanoj p, a npunaAan paBHr4 cr, jep ce Hana3r.r Ha npanoj s roja jey paBHr4 cr..(ar,re,ravra P je rpaxeHa raqKa.

3aAararc 6. Kpor Aary rat{Ky ,1[ xoH-crpyucarr.r npaey xoja ceqe .qBe Aare Mr,rMo-HJra3He upaBe p w q rcojuua oBa raqKa HenphnaAa.

Pewerce. 'Kpos npany p vt ratry Ar(oHcTpynlue ce paBaH cr, r(po3 npaBy q u'ratrcy A KoHcrpyrue ce paBau B (cn. 4). Pan-Hw a. v p urrlajy saje4uu.rxy raqry l, Aar,.receKy ce no npaeoj s. loraraher'ao 4a jenpaBa .t. TpaxeHa ilpaBa. llpane p w srpvna!,aJy paBHr,r cr; [pernocraBr4Mo Aa ce

cexy. lrlcro Ba)Kr't t4 3a npaBe ql v s t4 paeau p. flpaea s je, npevaToMe, npaBa roja ca4pxu rauxy A, a ceqe npaBe p r 4. V oeorracrty.lajy 3aAaraK unaa je4Ho peruetre. 3aqararc HeMa peuelba yKoJruKo1e je4ua oA npaBxx p h q napanenHa npaeoj s. O6e npaBe He Mory6urw napaterHe ca s (:aruro?).

B

,i::::i:.g'*

Ca. I

2. Korrcrpyucaret pa-Aare npaBe KoJe ce ceKy.

3. KoHcrpyvcatv pa-AaTe napanenHe npaBe.qhTaouy.

rf liitiiiiiiiiiiiiiirii;,tig,;,,,:,1,:;,,1,,:1;:l;1.,i::lt



Aa 6u ce yrao 7, noaeruo Ha rpu jeauaxa Aera, rpe6a no-craBt4Ttl rauxy O y reMe yrJra H noKronurrr Op w Oq ca FberoBHMr(paunMa. Taaa he Oa n Ob ayroMarcK[ noAennrr4 yrao Opq Ha rpt,tjeAHara Ae,'ra.

[Jor,reAajnlo cJ,'r. 2. paAn o6jaurren a oBor nocrynKa nroKa3a ra je par rprceKropo\r ucnpaBaH.

Taqra O, yvnpu-iheHeraure l, t4

Q,t rroKperHr,r

.lr,ro6 B, He3aBHcHo oA no-;roxajadrparoBa p, q, a H b,yBeK o6pa:yjy qerBopoyraoOATBQ vr.rje cy cBe qerupncrpaHHr{e jeAnaxe. I4cro rarocy H crparrnqe qeTBopoyrnaOPABT jeanaxe r'aefyco6no3navn, OAIQ w OPAB, cypou6oau. Me!yrnu, ua ocHoBy.ieane oA no3Harnx oco6nHa

pov6a, lberoBe AUjaroHane rrpe/tcran,r,ajy cr,rMerpar're yHyrparu]b14xyrnoBa pov6a. I-lpeva roMe, H'J ponr6a OATBQ HMaMo; 4obq.: 1.Oaba rar pov6a OPABT je .; Oab .- -l Oap, na je roHavuo:

..y Oap -. .': Oab .- i Obq - l d..3

3a Aara x l: 36or qera^4op:l

6urA 2OQ<OP?3 a a a r a r 2: flora:ara .ila ce Mory r(oHcrpyr.tcarfi clrnrrHn uHcrpyMeHTH,

novof.ty xojux ce aart yrao reru Ha 4, 5, 6, . . . , n je.qnarux AenoBa.3 a .l a r a x 3: Hera je KoHcrpyucaH r.rHcrpyMeHr (c"rravan rp[ceKTopy

ca c,r. l) rojuv ce .qaru yrao .ae,rh Ha ner jegHarcax leJroBa. Axo je crpauuuauajvaruer porvba 2 cm, KoJrHKa nopa 6rlru crpaHnua Hajoeher por.a6a, na Aa ceMoxe ;terHTH cBaKH yrao lrau,lr oa 180 ?

Milan Berbei (Vr5ac)

POVRSINA PRAVILNOG DVANAESTOUGLA

DokaZ mo da je povr5ina pravilnog dvanaestougla jednaka tro-strukoj pcvr5ini kvadrata konstririsanog nad polLrprednikom krugaopisanog oko ovog dvanaestougla.

Neka su tadke,[/, , il| r.. ., LI,. temenir pravilnog dvanaestougla,tadka O centar oko njega op:sanog krLrga, O$y', R poluprednik togkruga, a Oll4, Qll,l ,kvadrat konstru+san nad tim poluprednikom (sl. l).

8

Prenesisro duZ OS - M,M, naje isimetrala trougla 11rM,bM,)- kaouglovi sauzajamno normaln nr kri.,c nta (M,M.) ^s, OU, ir,er.

Kako je OM, . M,e, p:oiz:-lazi na osnovu pravila o podL:dar-nosti trouglova (SUS) da je:

(f). l\M,OS:tfM,QM.Zbog osne

sinretrije u odnosuna pravu s imamo:AOSMTT:t7, M tOS,

a iz loga sleduje da je:(2\ AOSM2= LM,QMz.

U odnosu na pravu s, , d,ja-gonalu kvadrata OM tQM4, trougloviMrQMo i MtQM2 takode su osnosimetridni, pa je:(3) A MrQMo:> 1_yM,QMr.

simetralu slugla .;M,OM, (koja

MroC:r. I

lz (l), (2) i (3) sleduje da su rr-oLrglovi OMtS, MtM2e iytrQMo medusobno podudarni i da stoga imaju jcdnake povr5ine.Neka je povrSina jednog od njih p, .

Trouglovi: AMtSM2 i l:MreM, takcde su podudarni. Zaista:M,YL-=YzM, dok iz (l) proizlazi da je MtS:M,e, a iz (3)proizilazi da 1e MrS - MrQ.

Stoga je, na osnovu pravila pidudarncsti (SSS): A M,SMr*ZL M.rQMt, pa su njihove p;vriine jtdnake. Neka jc povr5ina jcdnogod njih p,'- . Ozna(,imo povriinu L,OM, M, sa p. Iz izlolenog i slike proizilazi

da je povr5ina rsoM,Mr_ jednaka povrsini petougri MtM2'MlM4e.Neka je ta pcvriina pr. Na osnovu prethodnog raimatranja iziazi daje p:2p,i-p, a takode i pr=,2p, +pr. Tako dob:jamo di je: p:pr.

Medrrtim, povr5ina kvadrata O M, e M o 1e p. : 3 p + p t : 4p. S drugestrane vidimo da je povr5ina dvanaestougla: 12p. premi je.' p:3F"

Zadacil. Moiete li na neki.drugi nadin da odredite povrsinu pravilnog dvanaesto-

ugla u zavisnosti od poluprednika njegovog opisanog kruga?2. Koriste6i se Pitagorininr. pravilom, izradunajte duzinu stranice pravilnog

dvanaestougla u zavisnosti od poluprednika opisanog kruga, kao i duzinu visinesvakog od l2 jednakokrakih trouglova koji ga sadinjavaju.



8765432

I

TOPOVI NA SAHOVSKOJ TABLI

Sah je veoma popularna igra. Poznato je da se on igra nakvadratnoj tabli od 64 polja i da je svaki od dva igrada koji ga

igraju ustvari ,,vojskovoda" drvene vojske od po l6 figura. Da bise odrcd'o poloZaj figure na nekom od polja, ona su obeleZena pojednim slovom i jednim brojem, kao Sto je prikazano na sl. l. Tako

se, na primer, polje d7 nalazi u

preseku linije pri dijem je dnu upi-sano slovo d (obidno se to zoved-linija) i reda na drjem je levomkraju upisan broj 7 (to je sedmi red).Na taj je nadin svako polje na ta-bli odredeno linijom u kojoj senalazi i redom na kome se nalazi.Figure se u Sahovskoj igri kre6u postrogo odredenim pravilima. Top jefigura dije je kretanje po tabli ve-oma jednostavno. Ustvari, kao 5toje veiini lilalaca poznato, top se

kreie slobodno po liniji ili redu ukome se nalazi, ukoliko pri tome

ne naide na neku drugu liguru koja bi mu u kretanju zasmetala.Sahovska tabla i kretanje figLrra po njoj desto su predmet

interesovanja nezavisno od Sahovske igre. Postoji velik broj interesant-nih matematidkih zadataka koji se formuli5u pomoiu njih. Pri tomese, obidno, susreiemo s problemima kombinatornog karaktera, a doz-voljeno je uvodenje razliditih pretpostavki, koje omoguiuju da se natabli nade figura koja ne postoji nedu Sahovskim figuranta, da se

ligure kre6u po pravilima koja nisu zapisana u pravilima Sahovske igre.da se na tabli nade i po dvadeset topova i sl. Tako 6emo i rniposmatrati Sahovsku tablu i topove na njoj, ali ie topova biti vi5enego 5to ih ima u Sahovskoj garnituri.

Pretpostavimo da na raspolaganju itnamo dovoljan broj jednakihtopova (istc boje i pctpuno identidnog oblika, tako da se nidim medu-sobno ne razlikuju). Dva takva topa, ukoliko se nadu na istoj linijiili redu, meclusobno se tuku, jer se kre6u po pravilima Sahovske igre.

Zadatak 1. Koliko se jednakih topova moZe postaviti na Sahov-sku tablu a da se pri tome nikoja dva od njih medusobno ne tuku?

Reienje. Lako je na Sahovskoj tabli poredati osam topovatako da se pri tome nikoja dva medusobno ne tuku. Dovoljno je,

l0

recimo, poredati ih po jednoj di-jagi-niili. Drikic, o:t.1ir-r \r i(,i,i)\ il n1(,;cpostaviti. A nroZe li ri.e'l Zrrr.tir. rr ku ,r.t,,i,' ., ( irir.;. L,-i'., p(,.iir\iiina tablu, na kojoj ittta ositttt lirrija. trcita iir iirsp.;ic,-iiLi tr iii'r osur;r lnrijir.Aliondanaosnovu Dirrhleovog pr-trte i;'.' ,'rii,: i.jLrr:Li.jcrtrr; ilii rrrrrr'ri prrsi,,.jltrlinija r.r koju ie biti snreStena bar dvri iop.r. No, iakrli:c d\u t()pa tukLl.Prema tome, zakljudujcmo da se- r,l iairlx. skri tabiil rrroZc postel,itrnajviSe osal)r topo!a tako da sc lriko.ja dra nrccluscibrro ne tuku.

Kao 5to vidimo, ovo je jednosiaraii zadaruk. Uplrrvo dobijcni rc-

zultat te nam posluZiti da se pozabrir'ji,r,r ' rrc\1o slr-ri3'.r1;rn., plrrblenirrlr.Zadatak 2. Na koliko se naii;lr ,rsail -ier-inakiir toptlra nroTerasporediti na Sahovskclj tabli tako r-iri 'c pi i tontc niko.ju dla odnjih medusobno ne tuku?

Reienje. Pretpostavinro da je u poietnoit.r trertutku tabla praz-na. Prilikom rasporedivanja topova n-rorAnto pazrti da dra od n.jihne smestimo Lr isti red niti lt1 i,;trr liniju. Rasporcilivaclento to-pove redom po redol ima. Top koji ic iriti srlcitcn rr pir i recl irnlna raSpolaganju svih osam polja u tollt rcdri. Pri-lt.iu ir)ntc, postt'jiosam mogr.tinosti za snreitzrnje t(rpa u prr i lcii . Pi-rliko:tr slre ittn.jatopa u drugi red tlloraltlo pitzrti tl;i !.llr l)u rir)crlinr,, 1, i11,, lirrijLrrr

kojoj se vei nalazi top iz prvo-u redii. Dakie. ,/ii r\li\i i,ri r,.;lini i'asporeclirprvog topa posto.ji po sedant mosucnosti dit st(: tr)p si]l.sli r-l drU-si red i da seoni medusobno ne tuku. Ukr,rpnc; posto-jr ii . 7 -- -56 llosLrcllosti da se

dva topa srneste Lr prva dva rcdzr r dli se ltc tiriiri. Kaci predento narasporedivanje topa u treii red troranro paziti .la ga rre sntestlltona liniju u kojoj se vei nalazi r.op iz prror rc'ja iii iop iz drugogreda. Prema tolne, za svaki od ntoguinih 56 rasporeria dla tt-rpa uprva dva reda pcstoji po 5e-st irlogr-rinrtsti da se top stillestt u treiired i da se pri ton.re ta tri topa ne tuku. Na taj naiin dob;jamo daje ukupan broj mogucnosti za snreitanjc iri lr)pa U pi\a Lri |eda,pri'demu se nikoja dva ne tuku, jednak 8. 7 .6 ii6. PrcduZLrjLrcina taj nadin rasporedivanJe topo\a, pazcir pri s\lik,:)nl koraku da setop ne smesti u vei zauzetr-r iiniju, dobi-lanro da je tikLrpan broj n.ro-guinosti za rasporedivanje osarn topo\a ua iahorskLr tablLr, riz uslovda se nikoja dva ne tuku, jednak 8.1 .('. -{ .4.1 .2. i 40 320.

Jedan je mateutatidar, zabav ljajLrii sc i,iihor skorrr 1a blorl. ob'-.le-Zio Sahovska polja dvocilrenim blr'rjer,inra tako cla je svud:r slovo azantenio cifrom l, slovo b ciilonr 2. slor'o i cifl'ortr i. :ioro ri cil:rom 4, slovo e cilronr ,5, slovo ./.cifronr (r. sior't,,q cii-r'c: rn 7 i slovo ircilrom 8, pa je te brojeie upisi;o u or-luo,.anrjiicu polja ila !airovskojtabli. Dobio je Sahovsku tablLr dija su poija brla popunjcn.L kno na si. 2.Uzeo je zatit'tt osant topova (poito ih rL gliinrturr r,rje irri;r-, osltr)1. zalre-

u



nio il-' je peiacinra) i raspcredioje zatim brojeve upisane ir poliaredio je zatim topove na drLIgi

qbcdefgh( -r- l

I7

65t,

321

ih tako da se nikoja dva ne tuku.. Sabraona kojima su se topovi nalazili. Raspo-

rradin, tako da se opet nikoja dva odnjih ne tuku, i opet sabrao brojever-rpisane rr polja na kojima su se nala-zili topovi. Dobio je isti zbir. To gaje zainteresovalo, malo se zar.uislio,i formulisao slede6i zadalak'.

Zadatak 3. U polja Sahovsketable upisani slr brojevi I l, 12,13, ... , 18, 21,22,..., 87, 88kao na slici. Ako se osant topovarasporedi na tabli tako da se ni-koja dva nQ tuku, dokazati daje zbir brojeva, upisanih u poljana kojinra se nalaze topovi, jed-nak za svaki od rnogudnih raspore-

, da topova.

Zadacil. Na koliko se nadina moZe na Sahovsku tablu smestiti jedan lovadki

par (jedan.lovac je na belom a jedan na crnom polju) pod uslovom da se nenalaze na istoj liniji i u istom redu.

.2. U polja Sahovske tabie upisani su redom neparni brojevi: u prvom redulgojevi l, 3, 5,7,9, ll, 13, 15, u drugom redu brojevi t7, tt,2l, )1, ZS, Zl,29, .31 tako da je l7 iznad broja l, 19 iznad 3 itd., u treii red brojevi i:, :S,...i tako redom do popune table. osam brojeva izabrano je nredu njima tako dase u svakoj liniji i svakorn redu nalazi tadno jedan od njih. Dok:izati da je zbirtih brojeva konstantan bez olsz.ira na nadin biranja. Koliki je taj zbir?3. Na koliko se naiina osarn ropova obojenih razlieirinr b6j"ru (pazi, imaosam razliditih boja) moze rasporediti na sahovsku tablu tako da se nikoja dvaod njih medusobno ne tuku?

V. R,

I43 I,ICTOPI4JE ETEMEHTAPHE MATEMATIIKEflocrojn ,ru uajnehn npocr 6poj

Beh 'l crapa BpeMeHa MareMarvqapv cy yoqun[ Aa cy Heror oAnpHpoAHHx 6pojena AeJ'bHBu (6e: ocrarra) caN{o jearHnuorv tr caM[Mco6olr, AoK cy ocTaJ.rH Aer:.aBv u HeKHM Apyrr.rM 6pojeauvra. V npryoA oBe ABe Bpcre bpojeaa cnaaajy 6pojenn Kao ruro cy 2, 3, 5, u 7ca noqe tK?L Hh3ir npxpOAHHX 6pOjeea. h O|t4 cy HalBaHr{ upo\utu.t46pctjeeunta; Aor( y Apyry Bpcry bpojena cnaAajy bpojean *io

-tocy 4, 6, 8 rr 9, u oHl.r cy Ha3BaHu c.QoxieHuLr 6pojeeuua. Bpoj l,rojra je re,'buB caMo caN{HN.r co6ov, He cMarpa ce Hr.r 3a npoc-f. H}i:a c,roxeu 6poj.

Csarx cJroxeH Spoj r',roxe ce npeAcraBhrr.r xao npon:aog gnajyr.tJrlr BHtrre npocrr4x 6pojeea. 36or rora ce, [opeA ocraJrot, y Be3v caMHorrlM apHrMerilqKr4M onepauhjavra nocraBHna norpeba oAaaja$anpocrr4x o,q cJroxeHr,{x Spojena.

llocrynar 3a ro, Kao uro je no:uaro, npB].r je o4pe4lro rpvxr,rNrareMarr{r{ap EparocreH (xfleeo y III n. npe H. e.). On xaxe cre.qehe.

Aa 6.'r ce nrAnoju.ru cBH npocrr.r bpojearz, rpe6a,ro 6ra uajnpeHrnucarlr cBe np[poAne 6pojene, noqeB oA 6poja 2, jeAau :a ApyrrrM;3arr.{M 6n rpe6a,ro, nola3ehr og 6poja 2, npenyhn cnaxn Apyrn o4'rrrx 6pojerra (ue npennavehn cana 6poj 2'), jep je cnaxlr oA rrnx, ceu'

JeAHHHIIoM lr caMHM co6ona, Ael,r4B jour u bpojev 2; zarur.i 6ra rpe-6a-ro, nora3ehn oA 6poja 3, npeeyhu cearn rpehu 6poj (ue npeBna-qehu cav 6poj 3; jep je cBaKrz oA tlux, ceM jeansnuov u cavn:r,rco6oM, AerbHB 6pojeu 3; u rA. Taxo 6u, Hanocrerry, ocrann Henpe-Byr{eHr{ caMo flpocrn 6pojenu. Taj beron nocTy[aK je naroau ,,Eparo-creHoBo c.uro'(.

Reienje. Jasno je da neprsrcdno proveravanje ovog tvrdenjane dolazi u obzir. TrebiLlo bi radLrnati odgovarajuie zbirove za svakiod mogr-rdnih 40 320 raspcr,-da. Postupiierno na sledeii naiin. Pretpcs-

tavimo da su upodetnom

tlenutkr-r svi topcvi bili srneiteni uprvu,

a-liniju. Zbir brojeva up:sanih r"r polja na kojima se topovi nalaze pritakvomrasporedujednakjeII+ l2 r l3 t'14-t- I5 rl6Il7+l8-I16.Da bi se dobio.raspored pri kome se nikoja dva topa ne6e tu6imoramo sedam od njih da ponreranlo dLlZ r€dova u kojima se natlaze,ali tako da dva od njih ne smestimo u istu-linijLr. Jedan ie od to-pova ostati na svom nestu i brcj koji jc r-rpi-oan u njegovo polje seneie menjati. Pri tome je bitno da to rnoZe biti bilo koji od osamtopova. Jedan od njih mora se pon.reriti u drugu, b-liniju. Tirre iese broj,'upisan r-r pclje na kome se on nalazio, poveiati za 10, jerie umesto cifre I na prvonl mestu da se nade cifra 2, dok se drugacifra ne rnenja. Jedan od topova biie pomeren u tre6u, c-liniju. Nataj ie se nadin broj, koji je bio upisan u njegovo polje, pove6ati a20 (prva cifra se poveiava za dva a druga se ne menja). ProduZa-

vaju6i tako redorn ovo'razmestanje topova, zakljudujerlo da de sezbir brojeva upisanih u pclja na kojima su se topovi nalazili u po-detnom poloZaju poveiati za 10+20 r-10,40 i 50 i 60r 70.280.Na taj nadin dobijamo da je Lrkupan zbir brojeva trprsanih u poljana kojinta se nalaze topcvi, pri proizvoljnom rasprredu topova kadse rriko.ja ch,'a ne tuku, jednak I l6 t 280 - 396.

t2

Jilti,,5iltx'-ir$;rt.ttt ---1--

{i a1



Pagehn raKo, i{orJu 6r.rcrvro yrBpAarx Aa nrvrel)y 1 u 100nocroje c;rerehlr rpocrlr 6pojerrr: 2,3, 5,7, ll, 13, 17, 19, 23, 29;31, 37; 41, 13, 47; 53, 59; 61, 67: 71, 73, 79: 83, 89; 97.

Tn 6pojcnri Kao rirro cc- BriAr.r, He jauruajy ce y oBoM Aeny6pojuor Hr.{3a no HeKoM JraKo yorrJbuBoM pacnopeAy; rror(a3aJro ce,urraBll[Je, ,1a ce yonrlre, HH Io AilHac Huje uor,.ro yrBpAurtl HHKa-KBo npaBuno no KoMe ce oHH jan-rajy nrehy ocraruv nptrpoAHr4M6pojennva. Ho oHo rrro ilaAa orMirx y orrn, ro je aa ce oHr,r, yKo-

ruro ce yga,'syjer.ro oA npaBr.rx upHpoAHnx 6pojena, javnajy cne pefe.To he ce noKaiartl u aKo HacraBr.rN.ro rbuxoBo,qa,'be H3.[Bajalbe, npyhuAo cBe nefrrrx lprpoAHrlx 6pojeoa, ri 3aro ce y Be3u ca Hu3oM npoc-rux 6pojeea, teh y BpeNreHy e iaporprrKr4x N{areMarr.{r{apa, nocraBr,rJrocLregehe ruran,e: 4a -'rrr je Hrrl npocrr4x 6pojena orpaHurreH r,trrlabecrpajan, rj. aa ,rn nocrojn H3BecraH Hajnehr.r npocr t5poj, rocJreKOfa ce y HV3y frpr4poAHr4x Spojena He jaarua Br.{ue H'I jeAan npocr6poj, utu ranae Spoj ue nocroju?

Ha ro nuralse je, nellyrunr, oaroBopr{o Beh rpqKu N{areMarnqapEyrnut (xr,rBeo oro 300 r. rrpe H. e.), r.r ro Ha cneAehrr Haqr.rH.

Hera je p Hajeehu rrpocr 6poj y Hr4iy y3acronHrrx npocrr.rx6pojeea i(c,je cN{o ycne;iir 4a orr.pu.jevo. l4rpavyHajuo raga 6poj:

N-2'3.5.7.11.'.p+ l,

rojn lpe:icrae,ra :6np !13 rrpol.ttrrona cBux npocrux 6pojena rojurtrcy rehl,. oI p ,,1 6poja I

Oerj 6poi rrrrie re.'r,rre rilr iL'irr!r\4 ot npocrr'rx 6pojeea 2,3,5,7, ... , p, jep 6rr ce npu .&eJ,-berby 6poja N vra xojr.ru og rr.rx 6po-jena Ao6no ocraraK l. flper.rir ro\'Ie, i{J.rH je 6poj N npocr 6poj, uro npocr 6poj rojrr je cuar<axo nefil.r o4 p utu je N c;roxeu 6poj,urjn je cBilKi.r lruHlJ,tr[ sefiu o,t 2, (rroruro ly' Hu.je Ae,rbur] Hn je4uunnpocrHM 6pojeirr roju Huje eehn oA/). 3uauu, y o6a c,ryuaja nocrojn 6apjeAari npocr 6poj xc.jlr jc sehu o,rIl. na Ma Ko..lltKo 6no nerur: cau6pojp.

flpurrepa pa,rir t|loprvrupajr,ro :Supoee: 2'3 I | -7; 11 .3.5 r- I -.:31; 2.3.7 : l .2ll: 2.].5.7.tI I -2311, 2.3.5 7.ll.13+i l:30031

I4cnutrrearle\{ \'roxeMo yrRpAr.rrr{ la cy 7, 31, 2l I w 23Ilnpocrrr 6pojcnn. a;Mt la je 30031 - 59.508, rae cy 59 ra 509 asa

npocra 6poja o;i rojux je csarr{ eefrrr ol 13.14 raro, NIn iiaKo -rrr je ne,rrrrc npocr 5pojp, yBer( ce uoxe sahn

5ap jou jc,lau irpocr 6po.! xo jn .ie ol rlera sehu. Hetvra, AaKJre,Hajneher rrpocrcr 6pirjrr. Hr.r: npocrux 6pojena je 6ecrpajaH.

U

t4

TESTZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

l. Ako znateizradunajte koliko

Odgovor: ..._.

2. U jednom delu niza prirodnih brojeva izostavljena subroja. Napi5ite taj niz, ako su poznati sledeii njegovi dlanovi:

35783, 35789, 35781, 35787, 35782, 35780, 35786.

Odgovor:

Navedite joS koje reienje! Odgovor:3. Najve6i trocifreni broj uveiajte razlikom najmanjeg dvocif-

renog i najveieg jednocifrenog broja. Koji broj ste dobili?

Odgovor:4. U jednom skupu ima 36 udenika. Sta je element tog skupa?

Odgoror:Koliko najviSe i koliko najmanje elemenata moZe imati skup

da je 779 656 + 32789 r 156324:968 769, usmenoje 789 656 + 32790 + 156 334.

prezfmena tih udenika?l

t Odgovor:5. Nacrtajte krug polupredni-

ka l5 mm. U tom krugu ucrtajte dvakorlcentridna kruga diji se prednicirazJikuju za 14mm. Koliko je na taj nadin dobijeno kruZnih prstenova?

Odgo'vor:6. Obim detiri

njihove povr5ine?

Odgovor:

Napomena u yezi sa datim testovimaNamena ovih testova, pored ostalog, je da se uienici ve2baju i priprgmaju za ovakvu

vrslu provere znanja. Pri radu trebalo bi meriti vreme i proveravati tadnost odgovora sa drugovimaili nastavnikom. Ako pri izradi zadataka nema dovoljno prostora na testu treba koristiti svesku,



VIII RAZREF)

l. Bestvina Mladen O.5. ,,Boris Kidrii.'. Osijek, 23 poena (l nagrada)2. Kerepei Tomaf O.5. ,,Novi Grad,., Subotica, 22'p,oena if "rgi"J"i. DogoGoran O.5. ,,petar Dokii.., Sarajevo, 2l poen tl nigiuJll1. Jovanovit Monta O.3.,,Ratko Vukicevic,., NiS,.ZO po.nu ilt ,igi"Jll5. Dekanit Zlatko o.s. ,,Grigor vitez", podr. srutinr, zo pocna'iit- riagrada)6. Rusjan Ednund O.S. ,,preZihov Vorirrc,,,.. Lubijana, zO p"."" iii ""!ruoul. ArbutinaLjitjana o$ ,.1! Vajner-ei ca",'sarajevo. zo 'p.."" iii "ulruaul Gojit Goran O.!. ,,MarSal Tito,,, Beograd, rs ;."* irli ""gi"a"i'. Kulosman HamidO.3. ,,Vuk. KaradZic',, Slrajlvo, l9 po"nu

lillnagrada)

'.0. Tronkli Helena O.5..,lLqzitrgy. Vorirrrr",. Ljjbljana, f S'poe;a'ttf-f ,iairaOal17. Kostit Vtadimir O.S. ,.Fjlip Filipovic... Caeit<. jS po"nu itti nug*A.i'12. Stankovit SiniiaO.S.,,Nata Jeliiic,,, Sabac, lg poena (lll nagraia)13. Treniovski KostarlinO.S...J.A. Komenrki'.,Skopljb, rtpoinafpo"[ua]ai14. BIa2i6 Novica O.S. ,.Vuk KaradZic,', Kiuievai,.f Z boena'tfiotrvaial15. Ugljeiit Miro g.S. ,,VtaOimir_Nemcr',, Zagreb, f 6 iroena'i;;h;;l;)16. Zlajpah Dejan lI -osnovna Skola, Cetle, l6-poena (fohvala)'l! J^a1k,ovii.Gor.an O S.,,Ka.radorcle,,, Tripola, l'6 poena (pohvilayl8^. B:t:("..Marina O.S. ,,Kri2anicev_a.,, Z;rgreb, l5 poena lpohvaia)!1. Filsl Vanda O.S. ,.Milojko^ Strukctr:., Nova borica,' I4 poena (pohvala)20. Janisk.i 9:gff.i 91. ,,Dr irifun panovsfti.., Bitola, t3 'p".""?p"fr""j'"i2l_. Obratovit MilanO.S. ,,F1anjo Rezad,,, Tuzla, 13 po.na fp"tuailj - '22. Miiit Duian O.S. ,,atetia Santii,., t{rasnica, i3 po"na lpohvala)

l. Deljenjem nekog broja brojemKoliki ie biti kolidnik i ostarak ako

( 5 poena.l2. Dat je trocilren (troznamenkast) broj. preme\tanjem njegovih cirara(znamenaka) dobili srno sve razliiite brojevc uapisane tim cifrirna. ztii tz-uiojl svitr

^ovih brojeva je 1998. Kojinr cifranta je zapisan

L dati (zadani) rrocilreni broj? Navedi sve sludajeve.

3. Zbir(zbroi) dva broja je ,r, ::;:l:q brojevi, ako jc 35)j jEdnog jednako sa 28.i, drugog?(4 poena)

4. Dat je paralelogram IBCD. Neka je tad-ka M sredi5tc stranice AB i taika N sredi5te stra-nice CD. DokaZi da prave (pravci) DwI i BNdele dijagonalu AC na tri jednake duZi (duZine).

(6 poena)

osendenog dela kvadrata. (vidi sliku l.) Centri(5 poena)

RAZREDl. Osnova (baza) prave (uspravne) detvorostrane prizme je ronrb povr5ine

2

, k'z. Manji dijagonalni presek pri4me je kvadrat

a) Izradunaj povrSinu (oploSje) i zapreminu (volumen) prizrtre izraZenr,rporr-rocu k.

b) Kolikoje k ako su merni brojevi povr5inc i zaprenrinejednaki nredu sobom?(5 poena)

2. U kruZnici je upisan jednakostranidan trougao (trokut) ABC. Proizvoljnata(ka M pripada luku BC kojem ne pripada tadka A. Dokazlrti da je: BM CM AM.(5 pocna)

3. Na kruZnoj stazi dugoj I650m krecu se dva motociklista konstantnimbrzinama. Ako se motociklisti kreiu u suprotninl snrerovima susleiu se svakeminute; ako se pak kre6u u istom srneru, motociklista koji ima vecu brzinu sus-tiZe drugog svakih jedanaest minuta. Odredi brzine motociklista,

(5 Poena)4. Nacrtaj u pravouglom (pravokutnom) koordinatnom sistemu (jediniinog

podeoka'" 1 cm) prave (pravce) p, i p, tije su jednaEine (jednadZbe):

y x-4 i pz: y 2.r t 2-.0I zraiunaj:

a) povrsinu figure (lika) koju zatvaraju prave pr i p, sa koordinatnitn osama;b) zapreminu (volumen) rotacionog tela koje nastaje kad trougao omeden

pravama p, i p, i ordinatnom osom rotira oko te ordinatne ose.(6 poena)

5. ReSi jednadinu (jednadZbu) i izvrSi proveru (pokus):(0,8x-0,5)'? + (0,6x- I ,3)'? : 4 (0,5x-0,7) (0,5x ' 0,'7)-6 (0,15.r - 0,08)

(4 Poena)

Uputstva sa rezultatima:

VII RAZRED

L Dati broj moZe se predstaviti u obliku: 'l2n .68daje kolidnik 3n r-2 i ostatak 20.

2. Dati broj moZe imati sve tri cifre razlidite, ilirazliditu (sve su razlidite od nule).

a) ako su cifre razlidite, recimo: a, b i c, onda dobijamo da zbir brojeva:l00a+ 10b1'c, l00a+10c- b, 100b +l\a'rc,l00b+10c t a, l00c.i- lOa r b i l00c :.

yl}b.ta iznosi 1998, odnosno dobijamo jednakost:

222a r 222b r 222c --. 1998,odakle je:

a'h c 9.

Prema tonle, dati bloj moZe biti zapisan cifi'ama: 1,2, i 6 ili l, 3 i 5'ili2,3i4.

ZADACI SA PETOG SAVIZNOG TAi(MIEENJA

VII RAZt{EDt)se

dobija se kolidnik n i ostatak 68.isti taj broj podeli brojem 24?

DOtuda: (72n .68):24

dve jednake, a trecu

AclB st. l

5. lzradunati oovr5inukrugova su tadke ,4 i 8.

20 2l



. b) Ako dati trocifreni broj ima samo dve razlidite cifre, recimo ",r i y, ondazbir brojeva: 100x+10x+y, l00x+ l}y+x i l00y+ l0x,r--r iznosi 1998, odnosno:22?x+ll1y:1998, odakle je: 2x.ry:18. Znad.i, dati broj moie biti zapisanciframa: 5, 5 i 8, ili 7,7 i 4, ili 8, 8 i 2.

. 3.. Neka je jedan broj a. Drugi je 135-a. prema uslovu J.' lln - 28 931 ")

4, Neka su E, O i F redonr presedne tadke duZi DM, BD i BM sa dija-gonalom lC. Po5to je ABCD paralelogram, to je tadka O sredi3te dijagonala 2Ci 3D. Kako je M sredi5te d,uli AB, sleduje da je tadka E teZi5re trougla ABD.Na,isti nadin je N sredi5te stranice CD,pa je F teZi5te trougla BCD. N; osnovuosobine teZi5ta trougla mora biti: AE:1 AO i CF:1 Or, Ou ie: AE:CF. Kako33

11je: OE: - AE i OF: = FC to je: EO+OF-AE .FC. (to je irrebalo dokazati.22"

Odavde je a:60, pa je drugi broj 75.

M

sl. 2

a2t a2n

t00 100

c

Bst. .l

5, Polovinu osendene povriine dobiiemo kad od detvrtine povriine krr-rgapolupreEnika a oduzmenro isetak ABM (sa uglom od 60") i odsedak nad tetivJm.BM istog kruga:

VIIT RAZRED

l. Iz povr5ine manjeg. dijagonalnog preseka zakljudujenro da nranja dijago_nala romba i _visina prizme imaju duZinu k. Iz povrsine romba dobijamo nepoz-natu dijagonalu: o!-'-0,

- d:4 k.233Stranicu romba izradunamo iz pravouglog trougla osendenog na sl. 4.:

. :(+)' .('!)' - o: 1 o

22

M

Sada izraEunamo:

22a\v: k2.k: k3 i.JJ

2t4b\v:P => --k3 k233

25P :2. k2 -r 4. k.k -36

l4kz.

3

sl.4 st.5

2. Na duZi lM konstrui(emo tadku N, takvrr da je MN CM. Kako pugao jAMC konstruisan nad stranicom AC, on mora biti jednak uglu *.48C'=60'(uglovi nad istom tetivom), pa je trougao CMN jednakostranidan isaminrtim CN .. CM. Sada nroZemo zakljuiiti da su trouglovi ACN i BCIUI podudarni,jer ie AC : BC iz jednakostranidnog trougla ABC, CN .- CM i 4 CAN -. 4CBM -nadistom tetivom CM. 1z podudarnosti o$ih trouglova sledi da je AN:BM. Kakoje po konstrukciji i MN = CM, to je:. AM - AN t NM :BM - CM,lto se i tvrdilo.

. 3. Neka brZi motociklista prelazi x metara u minutu, a drugi J' metara u

minutu. Iz prvog uslova imarro: x ry:1650, a iz drugog: ,-r.- 1650=. lso"ilRe5enje sist;ma jednadina daje: x=900nr u nrinutu i y- 750 nr u minutu, odnosno,prvi se kretao brzinom od 54 rm/h, a drugi 45 km/h.

4. a) Penoc--

: Po,tB*Poco.-7 cntz

b) TraZena zaprerni-na je razlika zapremina dva-ju konnsa sa vrhovima D i .B:

v:yt*I/2:22n.4 22t'2 8 n

5. ReSenje jednadineje x -- 3. Zamenom ove vred-nosti u datu jednadinu do-bijamo identitet: 3,86 3,86.

z)



REPUBLIEKA TAKMIEENJA ZA UCENIKE OSNOVNIH SKOLA

U ovom i sledeiinr brojevima Matenrariikilr'sr ie objavljivati zadatke sauputstvima i rezutratima -1q svih republiikih takmidenja ;u ;d.;lk;-;snovnih5kola, odrZanih Skolske 19'13174. godine.

SR Slovenija

TEKMOVALNE NALOGE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE V LETIJ Ig74- vilt

. I' vlak-.pelje-s h.itrostjo.6-0 !m/h iz krsja A proti kraju B. Zaprt signar naprogi ga zadrli za 3 minure. yp<ljo nadaljuje- s hitiosdo ii7in,-'r^ii'ia boprispel v.B po voznem redu. Koliko km pieb krajem a .t.ji i;'';;;";ii" '. ?..steber.sestavljata polkrogla.in pokondni stozec, ki imata skupen osnovnikrog' Polmer polkrogle je 2 dm, visina stoica pa Je v cm r,razeha resitev enadbe:

t4v 1-,25 '. +x+10-0.ll

l - I --IzraEunaj povr5ino (na 2 decinrarki natandno v dmrl in prostornino stebra!

3. vrt ima obriko pravokotnika z-ogriiai A B c D. Na vrtu raste jabrana,fi j..g9.oglisda l oddarjena 7m, od ogri5Ea B 2m in od"eriid"

C7".,'iiolikoje oddaljena od ogli5ia D?4. Na sliki je podorzni prerez 30nr dorgega in 12m iirokega bazena.

a) Koliko hl vode je v bazenu, ie je gladina 2 dm pod robom?b) Za koliko se dvigne gladina, de dotodimo Se 10 hl vode?5. za karere vrednosti x je izraz (2x-t r) (x-5) enak nid in za katere jepozitiven?

24

Re5itve nalog:

,60kmrh in vr:l|km/h. r= l '''.lol ^, hltrostx. It--. -+'7520

ACBcB = x kmst. 2

>.r-50cm,=5dm=v.

xt. :' 60'

t I \ .r x I(lmin lJ. 60.75+-0,' x-lskm

Vlak stoji 15 km Pred krajem B.

x--- 2x + ---? - i-r-x+lo:o

Sedaj imamo:

P .2rt2 , nrs

5

s='/qi:2s:lii*5,3e.

rx (2r ,.r)., 58,e7 dm2 in z ='z:i- ,:1,;l- =l2n dmr.

/ .t =2a

c

CI

sl,

3. de uporabimo Pitagorino teoremo dobimo: x =Vi'ia', pa kako je:

a2 .36_r.2, d2..49-b2 in c2-.4-b2, imamo:

x -l/to-c+tg-p' : V 36;4s-4 v tz-F == /6i: s'

Od ogliSia D je jablana oddaljena 9 m.

4. V - (14m.3,8m + 16m'1,2m + 3m'2,6m)'12m -962,4mr : 9624hI

(10hl I000/-Imr;.r

Gladina se dvigne 7.a xm: 30'12'x '--l => x-- ^-; m",3 mrn' Gladina se360

dvigne za 3 mm de dolijemo l0hl.

25



A) 3a yueuuxe V, VL VII TtVIII paryega

2-15. )' rpu Kopne uarar']e ce: 12, l.l ra 22.;e6yrce. 'l"peba ca rpn npebaur'r-Biur,ll r ric rrrrL,lr r rr 6poj jaill'xa y cBe rph r<opne. flpe6al{HBarle ce Moxe I438p-

ruHrH caMo TaKo, .ua ce H3 JeaHe Kopne npeMecTu y.lpyfy raqHo oHor'rHKo ja6yra ro,'ruro y apyroj eeh aNaa.

236. Aeiur.rchpoBarh npou3Bou: a.b'db ttt. Ca iborHaqcH je asoulr6peH 6poj, a ca b6b ryo\ubpex. Paun-!nra cnoBa o:Havanajy pa3nnqnre uu$pe, ajeaHarca cno-

na jegHaxe uu$pe.237. @nrypy, Aary Ha c,rr4ur4, noaenl{rn Ha qerupl.{

je,rHaxa aena, TaKo Aa ce y cBaKoM Ha,raln no jeaua3Be3ALIUa,

B) 3a yuenuxe VI, l/ll u VIII

238. llpn ca6rpany ABa aertriManHa 6poja, HanpaBr.tnn cMo rpeuKy ynornacuBarby (nornrca,ru cuo xpaj*e q[Spe jelHy HcnoA apyre, na je rape:xoA jeAnor 6poja ornurao ga jeAHo Mecro yAecHo). Taro cvo ao6u:rlr z6up 14,7yMecro 29,73. Oapeluru ca6upxe.

239, V,reHur je rcynuo qerr4pr yu6eHfiKa. Ilpsa rprl crajy 36 al4Hapa, cBexrsrre 6er apyre craiy 40 arar{apa, 6e: lpehe 38 gl{Hapa, a cee 6e: npee 42!,w*apa. Kornro AHHapa craje cearu yu6eunn nocebno?

240. OE KoMaaa KaproHa (BaaparHor o6,ruxa, AyxI-rHe 9 dm, n:peranaje u HavurreHa ryruja o6,rnxa KBaApa. Ornauu l4ceqeH[ ca yrnoBa cacraBr'l,eH[cy nen,'be$eM y jerarr KoMaA

'.ro-r rora je Havu*eH nor,ronaq xyrtje.

a) Konrxa je ranpeuuHa oaaree ryruje, arco je 3a FbeHy arpaay ynorpe6rueuueo KoMaA KaproHa, 6e: urrapra?

b) Kaxo heuo oA l.rcror raKBor KoMaAa xaproHa h3pe3rrr4 ryrnjy xajaehetanpevnue? Ko-qnxa je najueha voryha :anpevnua?

C) 3a lueuuxe I"lI u VIII patpega

241. Buuurcrrcra je 3a I qac u 12 vuuyra npeuao aBe ceAMHHe pacro-jarra oa cBor cena S 4o rpa4a G. O1perurn BpeMe 3a xoje 6r,r oH npeuJao,rpehyhlr ce ilcroM 6pruuorv, nonoBuHy pacrojarua oJ .S ao G.

242, Hahu uajr,aarllr npHpoAHr,I 6poj, xojrl noMHo)KeH ca 2 nocraje KBanparner<or 6poja, a noMHoxeH ca 3 nocraje ryb uexor apyror 6poja.

243. y npaBoyrnoM rpoyrny ABC rconcrpyficaHa je BAcLrHa CD. Hexaje E cpe,lrlurre AyxH CD w F cpe,ruurre pyxu BD.,fiorararr la je npaea AEHopManHa ua npaey CE.

30

D) 3a yuenuxe VIII paqega

244. Aro ce aeoqH6peHov 6pojy Aonlrtrre qn$pa I c J.reBe l,r c AecHecrpaHe, aobnja ce 6poj rojr.r je 21 nyra nehr o.l npnobarHor 6poja. Hahn rajaBoru$peHx 6poj.

.245, Hahn cBe npupo^[He 6pojeee xojN ce raapuraoajy ca ncre aae qr{dpe,ca KoJr{Ma ce 3aBprxaBaJy }{]t trxoBr{ KBaapaTr.t.

246. Y rpoyrsty ABC, Kpo3 ueHrap ynrlbauor Kpyra, noByqeHa je npaaanapanerHa crpaHnur.r 8C, xo.ia ceqe crpaHxuy AB y raurcu M, a ctpauuqy AC

y rarru N..{orararn 4a je MN : BM + CN.

MATEMATIEKA RAZONODA

Da li ste snalaZljivi?

l. U 8 kesa bilo je po 1 kp 5e6era, a u jednoj kesi bilo je neito manjeod I kp. Kako se moZe samo sa 2 merenja na terazijama, bez tegova, ustanovitiu kojoj kesi ima manje od 1 kp 5e6era?

2. Ako izmedu prvog i tre6eg otkucaja jednog dasovnika prode 3 sekunda,koliko ie sekundi proii izmedu prvog i Sestog otkucaja?

3. Neka devojka donese na pijacu dve vrstejabuka,

i to 30 komada odobe vrste, s namerom da od prve vrste prodaje 2 komada za dinar, a od drugevrste 3 komada za dinar. Meclutim, naicle jedan kupac koji joj ponudi da kupiodjednom sve jabuke, ako mu bude dala 5 komada za 2 dinara. Devojka prista-ne, jer joj se udini da ce na taj nadin dobiti odjednom oncliko koliko ikada bi jabuke rasprodala postepeno, ve6em broju kupaca. Da li je bila u pravu?

4. Svakom udeniku bilo je dato po 8 kartondiia s napisanim brojevima,sa zadatkom da ih rasporedi u 2 reda (po 4 kartondica u svakom redu) i dapritom zbir brojeva u svakom redu bude isti. Jedan deiko je dobio kartondiiesa brojevinra: 16,28,37,42, 56, 61,74, 81. On je na to odmah izjavio da satim kartondicima ne moZe izvriiti ono Sto se od njega traLi. Kako je on to zakljudio?

5. Od 9 Sibica treba sastaviti 5 jednakostranidnih trouglova, a zatim trebaod njih oduzeti 2 Sibice tako da ostanu samo 2 trougla. To nije teSko. No,mogu li se pomocu 6 5ibica sdstaviti 4 jednakostranidna trougla?

6. Pravougaonik, dugadak 9 cm i Sirok 4 cm, treba raseii na dva delatako da se od njih mo2e sastaviti kvadrat.

' 7. Od 5 jednakih kvadrata nadinjen je krst na taj nadin, Sto je uz svakustranu jednog kvadrata postavljen po jedan kvadrat. Ovu sliku treba sa 4 rezaraseci na 5 delova tako, da se tim delovima moZe pokriti jedan kvadrat.

8. Da li je moguce pomocu ,,centimetra" izmeriti dijagonalu cigle (bezmerenja njene ivice i primene Pitagorine teoreme)?

31



Ako moiete, popunite!

l. U nacrtane krugove tleba upisat'i brojeve od I do 7 (svaki po jednom),..tako da zbirovi na svakoj od crta budu jednaki.

sl' I sl' 2

2, lJ prazna polja datog kvadrata na slici 2 treba upisati odgovarajucebrojeve tako da se dobiju istiniti iskaz po vrstama i kolonama.

Pronpilite put

1. Na slici 3. su prikazane staze u parku. OznaEite olovkom put kojim jeiSao peSak, i ako je prifom: l) pro5ao svakom stazom, i to samo po jednom;

2) nijednonr nijepresekao ranije predeni put.

re, Sl.3 Sl.4

2, Yozal treba da prode kolima kroz grad, diji je plan ulica prikazanna sl. 4. Posebnim saobracajnim znacima odredeno je iz kog pravca se mozeuii u pojedine raskrsnice. Istim znacinta odredeno je kuda.se_ moZe. izaci iz ras-krsnica. i{a slici su strelicama oznadeni dozvoljeni smerovi kretanja' Pomozitevozadu, koji upravo ulazi u grad, da nade put do izlaza iz grada'

32

4 + 2

2 + 0

++ 6 6

1 + 5 3

HATPANHI,I 3AAATAK EP. 39

a) Cau upupognu dpojeau og I go 100 ltogemeau cy y 2 ipyile: Ha uapHeil ,rcuap*e. 3autuu cy cadpane 4ufipe xoiuua cy 3auucaHu dpojeeu uz jegae, og-noctto u? gpyie ipyue. Koiu ie og na gea t6upa oehu u sa xo,luxo?

6) ITponallutue xaxo je xoHcnpyucaH MaueManuqtu opHaileuu na uac-toenoi(uipailu nuctua u uoua,'buu1e HaM ia Haqpnanoi y patuepu 2:1.

3a racxo peuebe oBor 3a.qarKa garpaatrhewo 50 yceHx(a MareMarncKHM trEHraMa trrHnpu6opou 3a nrcabe. flo norpe6N oaryvnhe xpe6.

Peuerca nocaarn Ha aapecy: Mareuarnqrt rtrcr, tr.n, 728, 1 l00l Beorpaq. Ha cauou pagyo6aselso Hatr{utrTe caoje uue tr trpe3qMe, pa3pe,u, oAeEeEe, uKony H noury (ca nouraHcKxM6pojeu), Kao H xyhny aapecy- Ha KoBeprtr (oMory) Ha3tsaYhre: Harpa,qx{ raaarar 6p. J9.

Peuerua upuuavo ro 5. XI o. r, Peuerca xoja He ucnybaaajy cse naseaexe yclore Hehece y3uMaru y o6rrp.

CAONIXTETbE

V npouloroAuunnv 6pojessva ,,MaaeManuqKoi tucnq" ocrane cy HetrctrpaBEeHe tr3Beclrcr yrcurxe. Behrna r{x rpeuara je raKBe npupoAe aa trx je qnranau Morao H caM ucnpaBuTtr, Ila ()c-noBy reKcra y KoMe cy ce Hafla3ffne . TaKo:

Ha crp, 18. y 17, pepy oaogro croju: [N];,, 28. ,, 3, ,, ,, ,, i C(5, -l),,, 28. ,, 8. ,, oaorao ,, : 250,

,, 29, ,, 4. ,, oao:ro ,, : Q;,, 29. ,, 8, ,, o.qo3ao ,, : (-3, 4),

,, :12h:,, : AD;

,, : (t512'12;

', :40;,, :0,000864n;,, | (a+b) (a-b)

' a.

,. ,, 3. KopHua y 6p, 5. y 14. pe.ay oqorro croja: 4,5; a rpe6a ga croju: 3,5;

,, ,,3. 5. ,, 18. ,, ,, ,, : Hehe,, ', ,' ,, : Huje.Ha ctp,29, sa cn.2 xrcy oberexexe ratxe A u B; Ha crp. 30, Ha cn. 4, ralKe P u Q

rrrcy obelexexe, ,(oK cnoBo M tpe6a aa crojH tsa Mecry cnoBa N, a cnoso N rpe6a aa crojN taNiccry ctroBa Mi Ha crp. ll2, Ha cn. uuje jacno o6erexeso closo P n nuje oberexen yrao g.

MebyrtrM, uMa u rpeuaxa xoje cy, MoxAa, Morne H aa r6yne vuraoua lTaro:Ha crp, 28, na cl. I, BHctrHa rpane3a, cnyureHa tr3 TeMeHa C, uaje yonure Haupragar a

r,crro no4roxje je, ocrrneruo, nprn{KoM peuaBaba ra.{arra 6nao o6eaexeso ca D, uaro je cnoso/) neh 6nno ynorpe6reuo 3a obenexaBabe qerBpron reMeHa rpane3a. Ory4a ce oHo, uro ce 8tr.4Kril cflHqtr, He craxe ca oHHM uro ce xaxe y reKcry. Ho, ayxuta Btrcffse je raqHo {spaYyHara, ay o6pacuy 3a noBputrHy 6poj 2 ce jaa+a ouaurow

Ha crp. 30, np{ peuaBamy raaarxa 6p. 5, parygalo ce Kao .(a cy (yna tr BaEa( MacaBHarcJra, Te aa aeo npocropa, trcnybeg uarepHjou jeanor (ynyraprcer) oa sux, He np{traaa rpyroM;il(o ce ro He trpernocraatr, Ba6Ky nputra,qa h ,qeo npocropa xojr ce uaaaru yHyrap oHor aeflaxync rojr ce Hanarn y Basxy.

Ha crp. 60, ua cn. 2 uuje aaupraua ayx FG ll AH, a ceu rora ce cnxKa yonure He cnaxeca rckcroM peue6a; c o6:rpou rra ctrtrKy, yMecro rpoyftra DHE rpe6ano je,4a 6yae yrer y o6rnprpoyrao DGF, Te raKo, yMecro ra ce ao6rje AH:28H, rpe6ano je aa ce aobuje AH:ZFG.

VpeAsrurao ,,Me|ieMaiiuuKoi au(iia" uoflw caoje csraoqe .qa HaBeaeHo yrvy y o6rup nyjclrro ce tr3Bx6aga npertrnarHtru{Ma uro je ao oBHl npotrycra aouflo. HacrojaheMo Aa ogarBrxrpcuuxa ybygyhe 6yae uto je uoryhe vane.

YPEAHNUITBO

matematicki list 1974 ix 1

Documents