matematicki list 1974 viii 4

7/28/2019 Matematicki list 1974 VIII 4

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1974-viii-4 1/18



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICATU, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

za uEenike osnoYne Skole

God. VI[, broj 4 (1973174)

lzlazi pet puta godi5nje

IZ,DAJF. DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mibajlova 35/IV, p. p. 728.

Urednici:

Platon Dimit (gl. ured.) i Miroslav Zivkovit (odg. ured.)

Redakcioni odbor:

V iinja Br kit-Dev ti6 (Zagreb), Ko s ta M ijatovit (Sarajevo)

Sretko Kadunc (Ljubljana), Veljko ZivkovrZ (Titograd)Elena Atanasoya (Skopje), Vladimir Stojanovit (Beograd)

Sva prava umnoZavanja, prestampavanja i prevodenja zadrlzvaDru5tvo matematidara, lizitara i astronoma SR Srbije

oslobotleno pla6anja poreza na promet na osnovu resenja Republidkog sekretarijataza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od 11. l.1973. godine

Dr. Ivan Bandi6

O NEKIM IIIGURAMA KOJE SU OGRANIICTNNKRUZMM LUCIMA

Koiisteii se obrascima za iztalunavanje povr5ine kruga i njegovih

delova, kao i obrascem za pdvrfinu trougla, mogu se izradunavati i po-vr5ine raznih figura koje su ogranidene kruZnim lucima, odnosno kruZ-

nim lucima i duZima.

Prsblemom odredivanja povr5ina ovakvih figura bavili su se joS

stari grdki matematidari.

1. Na slikama I i 2 frikazane su krivolinijske figure, ogranidene

samo kruZnim lucinia, koje je proudavao Arhimed, jedan od najvedih

matematiEara stare Grdke.

Figura na slici I naziva se arbelos, a figura na slici 2 salinon.

sl. I sl. 2

a) Arbelos se konstrui5e tako Sto se nad proizvoljnim prednikom,

AB:2R, nacrta polukrug k1i zatim se na predniku AB postavi proiz-

voljna talka C, tako da je AC--2r, i nad duZima AC i BC:2 (ft-r)konstruiSu polukrugovi k2 i fu. Arbelos je sada figura ograniienalucima polukrugova ky k2 i k3.

Iz slike I se vidi neposredno da se povr5ina P arbelosa dobije

kad se od povr5ine polukruga k1 oduzme zbir povr5ina polukrugova

k2ifu., :

+ ^,- i * - t r - rJz : i r^, - r, - (R -,)'t :

+(2 rR - 2 r2),

odakle jeP:tt r (R - r).

97

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi5ida br. 17



F-

b) Salinon se konstruiSe na ovaj nadin: najpre se nad prednikomAB:2R konstrui5e polukrug ky zxtim se i nad prednicima AD:BE:2r,gde je r proizvoljna duZina, nacrtaju polukrugovi k2 i fu; na kraju se

konstrui5e polukrug ka nad prednikom DE:2(R-2r). Salinon jefigura ogranidena kruZnim lucima polukrugova kr, k2, h i k4. Povr5inasalinona je odevidno

P:Pr-2Pz*P+

gde je P1 povr5ina polukruga kr Pz je povr5ina polukruga k2 ili k3, aP4 povr5ina polukruga ka.

Po5to je

,,:t^,,

,,:t r,, p,:+ (R-2r)2,

to je povr5ina salinona

p :+

R2 - 2. t u * i r^ - 2r)z :ir^, - 2r2 + (R- 2r)zt:

: ? en'+2r2 - 4r R),

2'odakle jeP:r(R2 + r2 -2rR):n(R-r)2.

Prema tome, povr5ina salinona jednaka je povr5ini kruga polu-prednika R-r (ovaj krug je na slici 2 nacrtan isprekidanom linijom).

2. lz stare grdke geometrije su poznati i tzv. Hipokratovi meseci,nazvani tako po grdkom matematidaru Hipokratu (iz V veka pre n.e.).

Ovde se iznose dva sludaja koje je proudavao Hipokrat.a) Nad hipotenuzom AB:2R jednakokrako-pravouglog trougla

ABC (sl. 3), u kom je 4ACB:90., konstruisan je polukrug /r1, au temenima A i B povudene su normale na katete, koje se seku

u D, i oko D opisan kruZni luk k2 poluprednikom AD:RI/T.

, Povr5ina i5rafiranog meseca je, odevidno

. P:Pr+Pz-Pygde je P1 povr5ina trougla ABD, P2 povr5ina polukurga k1, a P3 povr-Sina isedka IBD;

98

Po5to je

(nV2)' : R2, Pr: |'c n',

Dst.r --- sl.4

a \ je povrSina detvrtine kruga poluprednika AD:RVr, odakle sleduje

I-.-

1

Pr:Tn(n/z)" :;nR2, to je

P=Rt+:rcR2- L.^R':R',22

Sto znadi da je povr3ina Hipokratovog meseca na slici 3 jednaka povr5ini

tougla ABC.b) Data je duZ AB:2a, dija je sredina ta6ka C (slika 4). PoSto su

poluprednicima AC:a i BC:a konstruisane, oko A i B, Eetvrtinekrugova k1 i k2, nad prednikom DE konstrisan je polukrug ft3. Trebaodrediti povr5inu figure ogranidene kruZnim lucima ky k, i frr (na slicii5rafirana figura).

Ta povr5ina je, odevidno

P:Pt*Pz-2Ptgde je P1 povr5ina pravougaonika ABED, P2 povr5ina polukruga ftr,a P3 povr5ina detvrtine kruga ft1.

Po5to je Pt:2a'a:2a2, Pr:+zra2, Pr:!no',to je traZena2"4

povr5inap:2a2 +Lna, - 2.

Ina2:2a2,

24povr5ina krivolinijske figare CDFEC jednaka povr5iniABED.

5to znadi da jepravougaonika

99



Mnpjaua Mpuar (Eeorpaa)

KAKO CE NOBPIII TPOYTJIA MO)I(E I43MEPI,ITI,I JIEIbI,IPOM

Benr.rqr.rne ce Mepe o.apefeutlrn{ jeAr.rHr{rlaMa; Ha npr.rMep: BpeMe --

foAI,IHaMa, MeCeIII{Ma, qacoBI,IMa

v TA.; yTIOBI{ - CTeIeHI,IMA, MyI-HyTHMa v Ep.; noBprrrH-

xeKTapr.rMa, KBaApaTHlrM MeTpHMA U CJt.

flpu roue ce cJry)Kr.rMo cnpaBaMa; Ha [pr.rMep: 3a Meperbe Bpe-MeHa

-qacoBHHKoM; 3a Meperbe yrnoBa

-yrnoMepoM; 3a Meperbe

rroBpruH-

MoAeJroM je4nHuue 3a Meperbe [oBprr]]t.

Aru, npu Mepeny HeKHX BeJrr.rqr,ura jannajy ce npo6leu[ npaK-THqHe npupoge. Taxo, Aa 6n ce H3Mepr{Jra noBprrr rpoynra Ha cr. l,

rrorpe6no je ga ce [rMa MoAeJr jegHorr(BaAparrror rleHTuMerpa. Kao ruro jeno3Haro, je4nnuqe 3a Meperbe rroBpruHcy noBprrrlr KBa.qpara vuje cy crpaHr{qejegnurqe AyxlrHe. Kopucrehn ce MoAe-

noM KBaAparHor ueHrlrMerpa (l cm2),

xao najnoroAlrnjnrra cpeAcrBoM xojmvr 6nce r{ 3 M e p r{ Jr a noBpru AaTor TpoyrJra,yoqaBaMo (cl. 1) ga je rarno Meperbe

"uenaoryhe, jep obrrur rpoyrna He Ao3Bo-Jr,aBa Aa ce, f,lpr,r Meperby rseroBe noBpIxH

N{oAenoru KBaAparHor rleHt.r4Nrerpa rroBpru og I cmz yr(Jrorrr4 y rroBprrrTpyrJ.ra. Ho, uoxga 6u ce ro MorJro rrocruhr{ axo 6u ce 3a MoAeJr

3a Mepelbe oAabpana HeKa Malba jeguxnqa * MoAeJr KBaAparHorMr.rJrHMerpa? [a nn 6u, ce y roru cnyvajy rroBprrl I mm2 naorla yuo-[HTr{ y [oBpru rpoyrna? Hapaauo Aa He. 3aro ce [oBprrJr,rHa rpoy-tra, a !r ocraJrr.rx reovrerpujcxux Qurypa, r,r3paqyHaBa.

Beh je yqenr.rur.rMa VI parpeAa rro3xaro Aa ce MepHu 6poj no-BpIuHHe rpoyrna u3paqyHaBa no Sopuynu

o-

a'hot-2 '

rAe 4 o3HaqaBa MepHr.r 6poj rraa roje crpanuqe rpoynra, a fto vrepHn6poj roj crpaHrrqr o4ronapajyhe BHcrrHe.

100

Aro ce cBe oBo gna, 6nhe 3aHI,IMJrHBo Aa ce noxaxe KaKo ce

rroBpru rpoyrna urtaK Moxe LI 3Mep]rrl4 y afrz, rt ro Jrelb[poM

gyx uaje ce jeAae (nnn o6e) I{B}rIIe HaJra3e HaHeceHH IIeHTHMerpI,I.

Taj nocrynar je ro:nar oA np€ neh suure o.q 100 roAr,IHa. Ou ce

cacrojn y roMe rrrro ce xpor 6uro roje reve rpoyrJra noByqe napaJren-

Ha rrpaBa p ca Hac[paMHoM crpaHnrloM (cl. 2); 3arHM ce ;Ielbt{p,

IxHpHHe 2 cm, noctaBl{ TaKo Aa cBaxa oA r.rBl,rqa Jrellr.rpa npona3}IKpo3 no jeguo og ABa npeocraJra reMeHa rpoynra. Ilocne rora ce

MepHr.r 6poj norprur.rHe rpoyrra oAMax orr[TaBa Ha Jrerbxpy H oApe-

$yje ra MepHH 6poj lyxr.rHe AeJra r.rBr{qe Jre}b}rpa rojr,r ce Harra3l{

uinrefy reMeHa rpoyrura Lr npecera re I,IBr,rqe ca npaBoM p. Taxo ce,

peqr,rMo, Ha cJr. 2 nuAu .ua je raj 6poj AD:6. Crora je vrepun 6poj

noBprrruHe rpoyrJra y oBoM cny.rajy 6.

Axo ce r{3Mepr{ crpaHr.rqa AB u sucuHa CN HaupraHor rpoy-rna lr ynorpe6n nanegena $opvryna 3a u3pa{yHaBarbe MepHor 6poja

rroBprur{He rpoyrna, noxasahe ce Aa je nafeun 6poj 6 raqan. llcroTaKo, aKo ce HaBeAeHrr nocrynaK rrprrMeH[ na 6nno roju rpoyrao,noxarahe ce Aa ce nouohy nera gobnja yBeK TarrHa BpeAHocr MepHor

6poja nonpulr.rHe rpoyrna. Crora ce noc?aBJba flr.rrarbe: orKyAa roAa HaM onaj nocrynar ouoryhaBa Aa yBeK r3MeplrMo noBpIIr

4aror rpoyrra?

flonpurnna rpoyrrra ABC jeauaxa je noeprur{Hr.r rpoyrna ABD(cn. 3), jep ra ABa rpoynra nvrajy raje4nnqKy crpaufiqy AB u je4nare

l0l



:lt

rboj o.qroBapajyhe Br{c}rHe. Mefyrnvr, MepHH 6poj nucnneABD, axo ce 3a rberoBy ocHoBnqy y3Me crpanmga AD, jena je crora MepHrr 6poj uorpruurre ror rpoyrna

P- AD'2 :AD.2

Taxo je MepHr{ 6poj nonprur.rHe

Aarorrpoyrira

P:AD.

3aAaqn

l. Hauprajre jour uexolnxo rpoyuroBa E rrprrMerrrre rraBeAerrn rrocrynaxca Mepe6e lbuxoBlx rroBpltrI,I.

2. IJtrra he ce aoroAurr{ aKo npnJrr{r(oM oBaKBor Meperra xe yuorpeburenerbxp umpr{He 2cm, Hero rerbrrp runpiiHe I cm ulu Jrerbnp mnprHe 4cm? lranu he n orrAa MepEr{ 6poj gyxnne AD 6urn yje4no u rtrepHu 6poj rroBprtrrHe4aror rpoyrna?

3. Kaxo ce MoxeMo novohu aro je Aaru rpoyrao raKo MareH, Aa ra nerlupc xojuu paAsMo nornyuo noxlana?

FAT ffiw p,%

9ropoau, xarBa cy ce He(aA ynorpebraaalrl 3a r3paxaBare 6pojera.

Du3an Georgijevid (Beograd)

KAKO NACI NAJKRACI PUT

Cesto se javlja pitanje: koji je put u ovoj ili onoj situaciji naj-

krati? Zadaci ovakvog tipa spadaju u klasu tzv. ekstremalnih problema,

za koje postoje u mr,tematici razradeni op5ti postupci re3avanja' Raz-motriiemo nekoliko zadataka nalaZenja najkra6eg puta i videti kako

se _oni mogu re$iti jednostavnim sredstvima. Zadaci su dati uglavnom

u obliku prida, radi slikovitosti.

Spomenimo najpre dve vaZne dinjenice koje iemo kasnije koristiti:(a) najkraie rastojanje izmedu dve tadke A i B je duZ lB (sl. l);(b) ako linija /, (sa podetnom

tadkom A, a krajnjom B)

,,obuhvata" ispupcenu liniju/ (sa istim krajnjim taCkama)

onako kako je to prikazanona sl. 1, tada je /,>/, tj. linija/, je duZa od linije '/. N

jt'^,^4,l. r sl. 2

Prvi zadatak. U tadki M nalazi se miS, a pred njegovom rupom

R pcstavljena jc mi5olovka. MiS treba da stigne do svoje rupe, ali da

pritom ne stupi u krug mi5olovke. Na6i najkra6i put za miSa.

Re5enje: Najkra6i put je prikazan na slici 2. Od tadke M mi$

se kre6e pravolinijski po pravoj koja dodiruje krug m, sve do dodirne

tadke l. Zatim ide po krugu do tadke B u kojoj prava kroz R do-

diruje krug rr. Najzad, opet ide pravolinijski od ,B do .R.

Da je ovako opisani put / zaista najkra6i, moZe se videti akose uzme neki drugi, /,, ili neki put kao p, na slici 2. Put /, je ve6i

od / na osnovu dinjenice (b). Iz istog razloga ie prlp, a sa slike se

vidi da je p>1, pa je i pr>l. Ovo razmatranje je dovoljno da nas

ubedi da je / najkraii put.

TpoyrnaBM:2,

t02 103



Drugi zadatak Partizanski kurir treba da prenese hitnu porukuiz mesta ,4 u Stab koji se nalazi u mestu B. On putuje ja3udi na konju.Medutim, usput mora i da nap:ji konja na reci p (sl. 3). Koji putmu je najkraii?

Relenje: ObeleZimo sa.ly' mesto na reci gde ce kurir da napojikonja. Sigurno da mu je od mesta I do M najkradi pravolinijski put

-na osnovu dinjenice (a)

-a isto tako i posle, od M do B. Zna6i,

zadatak se svodi na odredivanje ,,pojila" M za koje je zbir putevaAM i MB najmanji. M se odreduje kao na slici 3. Uzima se tadkal, simetriEna sa A u odnosu na p, pa se ,4, spoji sa B i tako se

dobije M u preseku sa p. Put AMB je kraii od_ bilo kog drugog puta,na pr. od ANB, zato ito je AM : AtM i AN- ArN, a u trouglu l{rBNje stranica ArB manja od l,N+1V8, tj. 4M+M'B<Ar,lf +/VB,odnosno AM + MB<AN+ NB.

\rS I

sr. 3 sl. 4

Treii zadatak. Na spoljnoj strani Cafu nalazi se muva u tafiki M,a na unutra$njoj strani da5c nalazi se kap meda u tadki K. Kako de

muva najkraiim putem da stigne do meda, ali da pri tom ne leti?

Re5enje: Ako bismo omotad ia5e razvili, dobili bismo jedanpravougaonik (sl. 4), Najkraii put nalazi se tako 5to se uzme tadkaK, simetridna sa K u odnosu na / i spoji sa M, pa se tako odredi

mesto S na kom ie muva udi u IaSu, a dalje de se kretati u Ca$iodSdoK(s1.5).

Napomena. Da li ie se muva stvarno tako kretati - nezna se. No, kad bi znala geometriju, sigurno je da bi izabrala ba$put MSK.

104

aetvrti zadatak. Vojnik se nalazi u taiki Ai treba da ispita da

li je teren ABC, u obliku jednakostranidnog trougla, zagaden bojnimotrovima. Za to ispitivanje on koristi detektor diji opseg ima prednikjednak visini ft trougla ,48C. Na6i najkraii put kojim vojnik treba da

se kre6e, a da pritom ispita ceo teren.

sl. 5 SI, 6

Re5enje. Da bi ispitao ncku tadku terena, voinik mora da jojse pribliZi na rastojanje jednako ili manje od hl2. Specijalno, to vaZi

i za tadke B i C. ZnaEi, vojnik mora u nekom momentu doii u nekutadku, na pr. M, kruZnog luka /, i u neku tadku N luka l" Gl. 6).Neka je, npr., prvo stigao u talku M, a zatim u N (zbog simetrije,z.rkljudivanje je slidno i ako je prvo stigao u tadku N). Pokaza6emo

da se traZeni najkraii put dobija kad se za M uzme tadka S u kojojprava t dodiruje luk /, (S je, u stvari, sredina visine kroz C trouglaABC), a za N talka T u kojoj dui SB seie luk /r.

Nairne. put kojim bi se vojnik kretao od ,4 preko M do'Nveii je ili, u najboljem sludaju, jednak pravolinijskom putu AMN -na osnovu dinjenice (a). Put AMN veti je od puta AMN. (jer je utrouglu BMN slranica MN veia od razlike MN1 ostalih dveju stranica:MB i BN:BNJ

Dokazaiemo sada da je put AMN. veii od AST ili, zbog togaSto jc BN,:BT:.h12, da je zbir duii AM i MB ve6i od zbira duZil.S i ,SA. Zaista, sa slike se vidi d,a je AM+MB>AM.+MrB, azbir AMr+MP je jednak AML+MPt(MrB:MrB, jer je B, tadka

simetriEna sa B u odnosu na pravu t), a AMl i MPt su stranicetrougla AMtBp pa je zbir AML+MP. veii od trede stanice ,48r:

B'

Krt\t\I

I

,K

H

105



-

:l^S+SBr:AMr+M$r>AS+,St'' No. kako je ^tBr:SB, to jeu stvari AMr+MP.>AS+SB. Dakle, i AM+MB>AS+SB, tj.AM+MNr>l^S+SI, i dalje AM+MN>IS+S?n, tj. vojnikov putje sigurno ve6i ako se za M i ly' uzmu neke druge tadke, a ne ,S

i T. Znaili, put ISZ je stvarno najkraii. Da 6e vojnik kre6uii se

se tim putem ispitati sav teren, lai;o se uvcravamo na samoj slici.

Zadeci -

l. Diverzant, koji se nalazi u tadki D, ima zadatak da presede telefonskuZicut i da_se zatim povude u skloni3te.S. Medutim, na putu mu se ispreEilominsko polje m u obliku kruga, koje mora da zaobitle kako u odlasku, tako i upovratku. Kako ce najkradim putem da izvr5i zadatak?

2. Nadi najkra6i put na povr$i kocke ABCDEFGII od sredine I ivice BFdo sredine f ivice GH.

3. Na povr5i trostrane piramide SIBC odredi najkraii put od sredine Divice ,SC do sredine E ivice AB.

4. Kamen ima oblik pravilne jednakoividne trostrane piramide S,4BC.Mrav se nalazi u tadki B. Cilj mu je da se prebaci u C ali da pritom osmotritaEku A (da vidi da li tu ima neke mrvice). Medutim, mrav vidi iamo na razda-ljini jednakoj detvrtini ivice kamena, dakle mbra i tadki ,4 da se pribliZi na turazdaljinu, da bi je osmotrio. Kako da se kre6e mrav, a da prede najmanji put?

Ako levoj i desnoj strani jednakosti (2) dodamo (j)t, aotie.-o'

(3) 22-2.r.1*(+l: 32-2.'.**(+1,ili, sto je isto,

(,-+)':(,-i)',4)

Sada kvadratni koren leve i desne strane daje:

KAKO SE ,,DOKAZVJE" DA SU DVA RAZLICITA BROJAMEDUSOBNO JEDNAKA

I

l. Znamo da je broj 2 manli od broja 3. Pa ipak, ponekad se dujeda se moie rdokazatk da je 2:3.

Evo kako postupaju oni koji to >dokazuju<.

Podimo od odigledne jednakosti

(l)

i napi5imo je u obliku

22-2.2.5 :32-2.3.!22

2-5:3- 5,22

, 2:3.

Ovaj rezultat odigledno protivredi istini. Kako se moglo, polazeii

od taine jednakosti (1), doii do tog netadnog rezultata? Gde je gre5ka?

2. Nesumnjivo je da je gre5ka udinjena usput' Zato, da bismo

na5li gre5ku, moramo proveriti tadnost izvr5ene operacije u svakomkoraku >dokaza<.

Jednakost (l) je neosporno tadna; isto tako, tadne su i jednakosti

(2) i (3); ovu poslednju dobili smo tako 5to smo jednakosti (2) dodali

na obema stranama jedan isti broj. Jednakost (4) je, u stvari, isto 5to

i (3).

Ostala je jo5 samo jednakost (5), koju smo dobili tako Sto smo

naSli kvadratni koren 6d1z-s1z1z i od (3-5/2)z; ti kvadrati su jednaki,

i mi smo napisali da su i kvadratni koreni tih brojeva jednaki.

De li je uvek tako?

Setimo se da je, na Primer,

(6) (-212:22,

na osnovu dega ipak ne proizalazi da ie -2:2. MoZemo tvrditi sanoda - ako je a2:b2 - mora biti a:b ili a: - b i da je, prema tome, uovom sludaju tadno:

(5)

a odatle je

4-10:9-15

(2) 2-5:r-1ru22,-+: -(,-;)

106 l0?



Proveravanjem vidimo da je prva od ove dve jednakosti netadna,

a druga tadna.Dakle, gre5ka je bila u tome 5to smo iz jednakosti kvadrata dvaju

brojeva zakljudili da su i ti brojevi jednaki, ne vodeii raduna o tome

da su njihove apsolutne vrednosti nesumnjivo jednake, ali da oni mogubiti razliditog znaka.

3. Na slidan naEin moZe se >dokazati<< jednakost bilo koja dva

razlilita broja, koji nisu medusobno jednaki. Na prethodnom primerupokazaiemo kako se to radi.

Trebalo je >dokazati< da je 2:3. Mi Smo najpre napisali na jednoj

strani jednakosti 22, a na drugoj 32, pa smo zatim od svake strane

ove jednakosti oduzeli dvostruki proizvod broja 2 (odnosno broja 3) inekog u prvi mah nepoznatog broja x, izabranog tako da se dobijetaina jednakost.

22-2.2.x:32-2.3.x.

Odatle se nalazi da je5

""2

Tako se do5lo do jednakosti

zz-2.2.5 :32-2.3. 5, '

22koja je nesumnjivo talna, a na osnovu koje smo dalje postupili onakokao Sto je to bilo napred pokazano.

Ovako se moZe postupiti kada su u pitanju bilo koja dva broja,pa se na ovaj nadin moZe ,dokazati" da su bilo koja dva brojamedusobno jednaka.

ilMedutim, postoji jo5 jedan na6in da se ,,dokaie" da su bilo

koja dva broja medusobno jednaka. Isti se sastoji u tom $to se na

osnovu taCne jednakosti

a.O: b.0zakljuiuje da je a:b, tj.Sto se obe strane ove jednakosti nedozvo-

ljeno dele nulom.

Naravno, ovaj postupak se vrSi unekoliko prikriveno, polto biinade odmah svi primetili da je postupak nedozvoljen. To cemo

108

pokazati, na primer, putem pcstupka kojim se ,,dokazuje" da je

svaki broj jednak nuli.

Neka je s:b. Tad^ ie

a2 : ab, a2 - b2 : ab * b2, (a + b) (a - b) : b (a - b).

Deljenjem leve i desne strane poslednje jednakosti sa a - b

dobijamo:

a+b:b, a:0.Gde se, u ovom sludaju, pogre5ilo u zakljudivanju? Gre5ka je

bila u tome Sto je i leva i desna strana tadne jednakosti

(7) (a+b)(a-b):b(a-b)

bila podeljena sa d - D, iako ie a - b, prema onom Sto je bilo pret-

postavljeno, jednako nuli. Tako se do5lo do pogre$nog zakljudka da

j" o:0 (a moglo se zakljuditi i da je 2b:b, odnosno 2:1)-Evo sad kako se ,,dokazuje" da su svaka dva broja medusob-

no jEdnaka.

Neka su a i b dva razlidita broja i neka je a-b:c' Tada je:

a

-b : c, (a

-b)' : (a

-b) c, az

-2ab + b2 : ac - bc, a2 - ab - ac :

': ab-- b2 - bc,

(8) a(a-b-c):b(a-b-c).

Ako se leva i desna strana prslednje jednakosti podele sa

a-b*c dobija se

. a:b,

Sto bi znadilo da su medusobno jednaka i ona dva broja, koja se

razlikuju za c. A to je besmisleno.

Kako se pak do5lo do ovog besmislenog zakljudka? Do njega

se do5lo usled ioga Sto je i leva i desna strana jednakosti (8) bila

ncdozvoljeno podeljena sa o-b*c, iako je a--b-c:0.

Zsltci

l. ,,Dokazati" da je: a) 2:5; b) -l: l.2. ,,Dokazati" da je: a) a: a + li b) a: b, gde su a i D dva bilo kakva broja'

D.^s.

109



,lF

Hararnia Vpouenuh (Eeorpa.u)

cryAeHT Bf,rrre. neAarorrrKe ruKoJre

COOIIJA KOBAJIEBCKA _ IIPBA XEHA NPOOECOPBIIIIIE MATEMAT}IKE

. CoQuja KosaoeBc*l, trpB xeua npo$ecop MareMarr{Ke HaygrrDep3rrrery, pofexa je 1850. roAHHe y Mocxan. Jour xao Aere6nna je BeoMa paAo3uaJra II pano noxa3ana Aap 3a MareMaraxy.3a rry ce rrptlqa Aa je qecro ca oApacnuMa Ar.rcxyroBana o Mare-vaiuqrn"r npo6aeunua u Aa je ynopno 3acry[ana croje unrurene.I4aro je 6sna raxo BpeArra r{ AapoBnra, nnje r'roma Aa ce peAoBHo

urroryje, jep je y oHo BpeMe naciasa Ha yHnBep3nrery 6ula npn-cr5maqxa caMo Myrurapur{Ma, a sa6paneua xeHaMa. 3aro je Cor[njaMopana Aa y3nMa flprrBarrre qacoBe KoA no3uarux npoQecopa. 9arje uopara [croBpeMerro n Aa ce yAa, jep no ApyrrrrBenr.rM cxBara-rbr{Ma uuje 6nno upncrojno .qa jeaua MnaAa qenojra caua cranyjey BeJrIrKoM rpaAy.

IoAune 1870. CoQuja KosarencKa oArra3n u: flerporpa4a yEepluu u raMo rracraBJba Aa yqlz.. Hn Ha 6epluucrou yunBep3nrery

nr{e 6uro Ao3BoJbeno cryAuparbe xerraMa, na je Cor[ujy [o.qyqaBao'qyBeun MareMartrqap Bajepurrpac. Ox je y nouerxy cMarpao Aa 3uarbe

Co![uje Kosanencre He Moxe 6urn panHo 3Harby Myrurapaua, :uruce xacrnje Ar{Brro rbenoM raneHTy r{ no.ucrr{qao je na Hayqnu pa.q.

3a rpervre flapucre KoMyHe CoQuja je ornuna y onceAuyrnIlapr: rr xao 6olnruapra HeroBaJra parieHe KoMyuape. 3ajegno caMyxeM rroMaraJra je perolyunoHapy IIIapny Xax Jlapy Aa noEernerI3 TAMEHIIE.

V cnojoj ABaAecer uernproj roAr.rur.r Cor[rja Koranencra je

Ao6nra rrlryny Aorropa EayKa., xojy je AoAenr{o yrrrrBep3rrrer yferurrexy, Ha ocnoBy rpn Hayrrxa paAa.

Ha xaJlocr, u nopeA cBRx npn3Hauba v yrneAa rojn je crerray Erponn, CoSuja Koaanencxa nuje uorla Aa nocraHe trpeAaBaq Hnua jeanoj mxoJrr.r y Pycujn. To unagy MareMarnqapry uuje o6ec-xpa6pnno, rIa ce ona nocnehyje Krbr.rxeBHoeru. Hanrcaaa je, y rrgypoMalra, ycrroMerre lr3 Aerllrbcrra n capafuBana y rcbnreBHr{M qaco-

rrrrcuMa. Kpurr.rapn cy raj rbelr paA [oBoJbHo orleHrurr.r.

IIIneAcra je npra ouoryhua Corlnju Konarencroj ga 6y.qe

najupe npeAanaq MareMarrrre Kao npr.rBarur{ AorIeHr Ha yu[Bep3nreryy Croxxoarvry, a rroroM rrpo$ecop.

ll0

3a csoj no3uarrl myrlHll paA rc MareMar[Ke - ,,3aAarax o o6p-

Tarry rrBpcrllx reJla oxo Henoxperlle ratl(e{. -Co0nja KosaJescxa

je 4o6ula ,,Harpagy EypAen" [apl{cKe ara,,qer"ruje. CaeAehe roAI'IHe'

3a HayqH[ pa[ ss ucre o6nacrrI, HarpaAIUIa jy je mregcKa araAe-

uuja rayxa.

Corluja Kosarescra je u gare xeJIeJIa Aa ce Bpartr u Aa paAE

y coojoj AoMoBaHr{ Pycuju, aau je nonoxaj xeua y pycKoM ApylurBy -

jour yner 6so ganocraBJbeu rl HepaBlrotrpagan. Tex je 1889. roA[He6uro peiueuo flnralbe ur6opa xexa ga AorrncHe rulalroBe flerporpaAcKe

axageuuje, re je CoQuja Kosarescra upoa rna6pana 3a AoEIrcHor qJIaHa.

Eopba xojy je Corluja Kosanescra Mopana Aa BoAa Aa 6n xao

xexa MorJra Aa y.rrl u paIifr ogo ruro je nonela R 3a IrITa je nuana

Aapa norxonano je rbeno 3ApaBre. Xnsera je crera rrarpAecer u jemY

roAr{Hy, arnr je If,eH xuBor 6n u;roAax, uocnehen Ha/Etr gorr,rjalnovr

Hanperxy, Kao lr 6op6u ga er"ranqrnaqrjy xeua.

II3 }ICTOPIIJE EJIEMEHTAPHE MATEMATIIKE

Ilpo6.nem rpncerrgie yrura*

Crapu rpuKl MareMar[qapH MHoro cy ce banuJllr r3B. Kotl-

crpyKrr'rBrrr{r"r reovrerpnjcKuM 3aAarltrua. osr cy rI MHore npobnevre

xoje un Aaxac peuraBauo aare6apcKlr peluaBaJru vtrcro reor"rerpnjcxu, a

rrplr Korrcrpyrqnjar'ra cy Ao3BoJbaBann cebn caMo yrlorpe6y nenupa (ne-

crarupanor) u ruecralm. 3ato cy reh u y IbI{xoBo BpeMg 6ur^n yo'rexn

HeKrr I(oHcrpyKTrrBHI{ 3aAaql{ rojn ce na raj EaqI{E He Mory peInI{TlI.

Hexu oA TI{x 3aAaraKa cy BpeMeHoM lrocraJltr qyBeII[, a jegau

oA rLr{x je 6uo n npobrevr rpuceruuje yua.flpobnerrl rpucexquje yrna ce cacrojr y roM Aa ce ca\4o rto-

r"rohy ruecrapa lI nel5llpa rroAeJln AaTLr npoE3BoJbaH yrao Ha rprr

je4Haxa .qeJra. Taj npo6ler"r HeMa peuerra, tj. nuje rraoryhe nahunocrylar 3a noAeny nporr3BoJlnor jtrJIa caMo rloMohy ruecrapa unenr{pa Ha rpr{ ieAnaxa Aela. Aan ro je 6ulo Aoxa3arlo reK y roxy

. Oao o6aseurc*e aoEocEMo sa rparchc arrtrm MnaABx MareMartqapa ocnoBae uronc,,Moua llf,jaae" rr Duheaqa, y Bc3n s tru rto jc nncr ,,Kcreq", y cBoMc 6pojy oa 27.XII.1973.r.AoEco Bscr aa jc xornaap f, necmx ,t(paryrnn Pauoaxli pcuro oaaj npo6ncu, crap 2000 ro,qma.

t1l

-_-l



npounor croneha. .(oue cy, r"refyrnu, He caMo MHorE lyBeHu Ma-TeMarxqap[, Hero I{ MHon{ cra6u no3xaBaoqE MareMarrlKe uoryrrra-BAJT'd AA ra perue, oBlr rrocJreArbn qecTo r{ 3aTo rrrTo cy 3a peuerbe

oBaKBrrx npo6.ner'ra 6nsaJe rroBpeMeuo pacflficr{BaHe BeJraKe HarpaAe.

CaAa ce naK MareMarnqap[ ne 6ase B]rrrre rrlM nr{TarbeM. If,urrla ce

6are joru HeKu ryr caMo JbyAI{ roju ue suajy go6po MareMarrlrKy, rra

I{Mce rrl{Hrr

Aauory nahu peurerbe

xga oHo urro je Hepenr.rBo.

3a pasyuerarbe Aora3a o ueuoryhnocrlr peuerba oBor 3agarxanorpebuo je lanoro Br{rrre 3HaBa oA oHor roje ur'aajy yqegnqu ocHoB-

He rrrxoJre. IB[ua, npeMa roMe, npeocraje cavro ga noaepyjy y ouorrrro y roM [oruIeAy rBpAe MareMar[qapn. Mefyruna, aKo ce Aolycrr{Aa ce ceM Jlerbrrpa (uecrampanor) n urecrapa ynorpe6e z HeKa

Apyra cpeAcrBa sa qpralbe, oraj upo6neM IrMa pe[rer6e n Mrl heMooBAe npuxa3arlr ono roje nornve joru og rpqxor MareMarr{qapaApxnvrega.

Ilera je Aar yrao 4ASB:a (cl. l) r rrera je lS:r. Ouuuu-Mo oKo raqKe.S noroumy KpyxHr{qe ABC notytDerrHrroM r:SA,r rIpeHecIIMo Ha nBruIy jeguor mcra xaprnje Ayx PQ:r. flocra-BI{Mo 3arnM rrBl{qy JIRcra raxo Aa ce ratrKa P xalaru na tryxy AC,

a raqra p ua uolynparoj SC, u norraepajr'lo noMeHyrr{ aucr xaprr.rjecBe AorJIe .qor rberoBa rrBrrqa ue npofe Kpo3 raqKy B. Tala he Ao-bnjexu yrao dSpP:B 6urN jegnar rpehrnu Aaror yrna (.

Tamocr oBe rBpArbe Jraxo ce

ynula na ocuoBy cn. 1. Kaxo cy

AAPS u LPQS je4noxparn rpo-yuroBr{, ro je g: 180 - 4 p. Croraje a: 180 - (180- 4 p) - p:3 B,

C.n. I

Ho-

pehn he MoxAa rreKo-

na Mr{ cMo r y oBoM cayrajyy crBapfi ynorpe6uln caMo Jrerbrp u urecrap, jep ce lrBlrqa xapujeMo)Ke cMarparr.r 3a nerbup! IIa jecre, r{Brqa xapruje ce Moxe cMa-Tparn Kao Jrer6up, anu je y oBoM cnyvajy Ha roM nemupy 6ulaoEenexexa je4ua gyx, xojou cr'to ce raro$e KopIrcrtrJII{ npr u3Bo-

leny uaure roncrpyxqnje, a ro nrje rcro rrrro n ra,q je y trnralbycaMo ytrorpeba necxaanpanor. nerb[pa r ruecrapa!

U.

r12

TESTZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

l. Izradunaj usmeno : 67. 48 + 32.67 -67.70.Odgovor:

2. Odrediti broj oznaCen sa x koji pomnoZen sa 315 daje proizvod (pro-dukt) jednak nzlici 48094 i 39904..

Odgovor:

3. Elementi skupa {54, 57, 59} su merni brojevi mera u kg ulenika ,{,8.i C; odrediti meru svakog od njih ako je .B najlakSi a A teLi od C.

Odgovor:.....

4. Zbir (sumu) 4,5t + 2,1g+ 42lkg izraziti u a) tonama b) metridkim centamai c) kilogramima.

Odgovor:

5. Dopuniti sledece nepotpune iskaze:

a) Rogljasta tcla su kocka

b) Strue ttcctr4ro Piralnid'

c) Presek dveju povr$i je .. .. ' "' a presek dveju

pravih je

6. Odgovoriti sa ,,da" ili ,,ne" na slededa pitar{a:

a) Da li su dve vertikalne prave paralelne?-

Odgovor: " " '

b) Mogr li dve horizontalne prave da budu medu sobom normalne? -Odgovor: .. .. .

c) MoZe li vertikalna prava da bude paralelna nekoj horizontalnoj pravoj?

- Odgovor: .... .

d) MoIe li horizontalna prava da bude normalna na nekoj vertikalnoj

ravni? - Odgovor: .. '..7. Dat je kvadar MNPOMI|'Q' (sl' 1)'

"odvuci tadne iskaze:a) Prave MN,PQ i MtNt su Paralelne'

b) Prave MN i MtNt se seku.

c) Prava NP je paralelna ravni MQQtMt'

d) Prave MP i Qflt su mimoilazne'

g:"'3

-t

113



TEST

ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MAT'EMATIKE

VI RAZRED

1. odrediti broj koji treba oduzeti od 7+ da bi se dobila razlika (dife'

5

rencija) 4;-.Odgovor: .. .. ..

2. Znajuiti da su a, b i c oznake za razlomke koji se nalaze kao elementi(5 4 71

u skupu t;, ;, ,j , unorediti razlike (diferencije) a-b i b-c'

3. Odrediti skup I prirodnih brojeva koji se mogu staviti umesto * tako

51da 17.4> t

a.Odgovor:

TEST

ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VII RAZRED

l.Akojeabroj,pozitivanilinegativan,odreditikojijeistinitmeduis.kazima : l o' l<o", l o' l

: o', l o' l>o'.

Odgovor: .... .

2. lzraziti 2 a-3 b pomo6u a ako je a+ b:0.Odgovor: . .

3. Znajuti da ie -7 x: l, odrediti koliko je -5x.Odgovor: .. .. ..

4. Ako su rz i a brojevi takvi da ie m+n:o, odrediti proizvod (produkt)

brojeva m i n.

5. Nacrtati proizvoljnu dui (duZinu) PO i podeliti je tadkom 'S na dva

odsedka tako da je PS:SO:4:3'

Odgovor:

II

4. Uporediti tf,:* sa 0,?5'1'

Odgovor: ...'..5. U trougtu (tfoKutu, AEL \st, t) Je:

^.-:rrL,or:0:. Dokazati da Je

9r :92 'Odgovor:

ADEBsl. I

0ACqsl. 2

6. Najkraia stranica jednog

slidnog trougla (trokuta) su 2cm,4cm i 5cm. Izradunati duZine (du-

Ijine) ostalih dveju stranica prvog

trougla (trokuta).

Odgovor:

trougla (trokuta) jo 3 cm, a stranice njemu

6. Na kracima ugla 4aOb izabrane talke A i A (sl. 2), tako da jeOA:OB. Dalje je AD)_a, D e b i BCIu C € o. Dokazati da je AD:BC.

7. ZaokruLiti redni broj iskaza koji je tadarr:

1)Dvapetougla(petokuta)suslidna.'-2)DvapravilnaSestougla(sesto.kuta) su slidna.

-:.-) piivitan petougao (petokut) je sli6an sa pravilnim sedmo'

uglom (sedmokutom).

-4) Svi- kvadlati u ravni i u pvostoru su slidni'

8. Koja od slede6ih trojki brojeva moze predstavljati stranice pravouglog

31trougla: a\ - , l, 1 . i b) 10, 24. 26; c) 1,4,4'8' 5'0.

44Odgovor : .. .. .

,l

ldgovor:

7. Podvudi tadne iskaze:

a) Trapez je paralelogram.- !) Dijagonale romba su simetrale njegovih

uglova. - c) Kvadrat je pravougaonik.- d) Dijagonale romba su podudarne.

-e) Dijagonale pravougaonika se polove.

tt4 ll5



-

TESTZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VIII R.AZRED

1. Odrediti skup P celih vrednosti promenljive x za koje2x-3:3x-l-(x+2).

Odgovor: .. .. .

.2.^A.ko^je^{ .?, :1, 1, 3} skup vrednosti promenljive x zakoje je A:8,i!j; o,.!, 2,3, 4l..skup vrednost promenljive x-takoje je C:D, oi.eiiti.kut'(/ vrednosti promenljive x za koje je: A:B i C:D.Odgovor: ,. ...3. Pomoiu jednakosti a2 -b2

: (a + b) (a- b), bez kvadriranja proverititadnost jednakosti

102+ l12+ 122:132+142.

4. Odrediti a i h tako da za x: -3 i y: -2 vali (a_1)+ 3 y: _2a i2 x-(3-b) y: -b,

Odgovor:

5. Izradunaj velidinu omotada (omota) praveosnova jednakokraki trapez, ako su osnovicetrapeT.a 9 cm i 14 cm, a krak Z cm.

Odgovor:......

6. Izradunati povrbinu i zapreminuprave trostrane prizme dija je osnova pravo-guli trougao hipotpnuze 17 cm i katete 8cm,a dija je visina jednaka l4cm.

prizme visine 15cm dija je

Odgovor:

Napomena u vezi sa datim testovima

Namcna ovih t stova ie:.amo da_ sc ulcnici vclbaju u davrnju odgovora prilikom tcsaira-nja' ono za sta ncma mesta ,ia listu, treba uraditi u

"viJJilrurcritc_urcmc kojc vam je bilo pot-rcbno za davanic odgovora i oroveravajte njihovu tadnosrupdrcdujuCi ih sq odgovorima vaSih drugova.Za slulaj spora, zamolirc nistavnita'ai iam

"u;*ni-iJ-;i'-.ipro"u.

116

MATEMATICKA NATJECANJA

ZADACI IZ MATEMATIKE SA REPUBLICKOG NATJECANJA UCENIKAOSNOVNIH STOT.E SR HRVATSKE, OL RZANOG 26 SVIBNJA 1973. G.

VII razred

l. Koordinate vrhova detverokatt ABCD su; A(2, l); A(6, l); C(6,8):

D(2,8). Nacrtaj taj detverokut i izradunaj njegovu povrbinu. IzraCunaj duljinedijagonala i odredi koordinate njihova presjeka. Za .ielinicl uzmi 0,5 cm, rezultateizrazi u centimetrima, a duljinu dijagorrale naznadi s tadnoiiu na dvije decimale!

2. Kvadriraj, pa nakon toga rastavi na faktore:

a (b + c)z + b {c + a)2 + c (a + h12 -4 abc.

Uputa: izluEivanje- zajednidkih faktora izvrSi prema zgodno odabranimgrupama!

3. DokaZi da je razlika kvadrata dvaju uzastopnih neparnih brojeva djeljivasa 8 u opcem sluCaju, a zatim navedi numeridki primjer!

4. Zadana je stranica pravokutnika b:lOcm i zbroj dijagonale i drugestranice: a + d: 15 cm. Nacrtaj taj pravokutnik!

VIII razred

1. Broj ,rl iznosi 92/, broja .B. Povedamo li broj B za 700., tada 6e onpostati vedi od A za 97" svoje nove vrijednosti. Koji su to brojevi?

2. Voda, koja se nalazi u stolastoj posudi do visine 0,18 i promjerb baze0,24, ptulije se u valjkastu posudu promje'a baze 0,1 m. Do koje 6e se visinenalaziti voda u valjkastoj posudi?

3. Natli dva broja ako se zna da im je zbroj 168, a zajednidka mjera24l4. Izradunaj volumen uspravne prizme kojoj je baza trapez ABCD s dija-

gonalama AC:17 cm i BD:1l3cm, te visinom trapeza 15cm, ako je visinaprizrne 5 cm!

REZULTATI, UPUTI, RJESENJA

l. Povr5ina detverokutadijagonala jesu: x":4, ls:4,5.

Duljina dijagonale je:

VII razred

ABCD (sl. 1) je: P:28 cm2. Koordinate

d:l/aza7: l/65n 8O6'

2. a (b + c)z + b (c + a)2 + c (a + b)2 -4 abc : abz + 2 abc -r

+ ac2 + bc2 +2abc + a2b + a2c + 2abc + b2c - 4 abc :abz + ac2 + bc2 + atb + a2c + 2abc + btc : ab (a + b) +

c2(a + b)+ c(a + b:)2: (a + b:1@b + cz + ac + bc):

* (a+b)lb(a+q) + c(a + c)l : @+ b)(b+c)(c+a).

lt'l



f,

3.Neka su 2n-l i 2n+l dva uzastopnaneparna broja. Razlikakvadrata je

(2n + l)2-(2n- l)'? :8n,

Sto znadida je ista djeljiva sa 8.

4. Neka je AB: b, AC: a + d. Konstrui5imo pravokutni116rukut /,BC (sl. 2) i povucimo sim€tralu DE stranicr- BC.To,idka presjeka E ove simetrale sa stranicom lC predstavljatjer.ne traienog pravokutnika, pa

ce seposle

toga modi kon-strurisati i sam pravokutnik.

VIII razred

l. Prema zadatim podacima je:

njihovih

b

sl. 2

cijela broja. Tada je:

sl. l

. 928 9(B+700)A- -. Bt 704:A+-100 '

100Slijiedi:

25 A-23 B:0,

A: 58 604,

2. Volumen vode u stolanskoj posudi je

y:]. o,rz'. o,r8 : o,ooo864 mr..5

. Ako sa I obiljeZimo visisinu do koje ce stiii voda u valjkastom sudu,imat cemo:

a 0,05'? ft:0,000864 zr,

odakle je i:0,3456 m.

tN A-91 B:63 700;

B:63 700.

3. Neka je x:24m, y:24n-

gde su nr i z dva24 m+24n:168, m+n:7 ili n:7-m.

Stoga, ako je, na primjer, m:l - onda je x:24, y:144, a njihovzbroj je 168.

4. Neka su a i D gornja i dotnja'osnova trapeza ABCD (sl. 1), i nekasu .E i F normalne projekcije temena D i C na osnovu l-8. Neka je, dalje,AE :x. Tada je:

x+t:1/nr-tsr:t,

a-x:y'tl:.r-ty:ttz,a+b_:60.

2

Usled toga je povr5ina ovog trapeza P: 60. 15 :900 cm2, a traZeni volumenprizme je Z:900.5:4 500 cmr.

118

3AIAIIII

OAAEPAHII 3AAAII}I

A) 3a yueauxe V, VI, VII u VIII PatPega

893.,{emn$pyj rporr3BoA (npoayxr): *l'9 *:* * *.

894. Ko.nnxo rrvra rpoqrQpenux (rpolxaueHKacrnx) 6pojeaa xoa rojrx jes6rp qu$apa (ananaenxu) 3? Hanrmn lrx. [Por.: 6 6pojeaa]

E95. Oraq n cuu uuajy Aanac sajeaHo 50 roArna 4 ueceqa 12 aaxa. Ka.q

My ce poarro cnH, orarl je xuao 24to4use 10 veceqr 24 lana. Kolrro je,qasac

orau crap? [Per.: 37 roa. 7 lrec. 18 aana]

896, Vrao (ryr) B sa l0o je r'rarrn oA yrna (xyra) rojr je rpn nyra nehno4 a. HspavyHaru yrnoBe (xyre) a u p, axo ce 3Ha ,4a cy oHrr KoMnreMeHTHI,t.

[Per.r 25' u 65']

897, O,q 12 jeauaxux ayxu (ayxuxa) a (na.nrapnaqa) rrlory ce HarIrrHI{rH

rpr jeAnaxa rBaApara. Axo oA 8 Ayxtr (gyx[Ha) HatrpaBr.rMo r(BaApar ,qBa nyrasehe AyxuHe (ayrune), MoxeMo ra ca npeocrare 4 Ayx.il (.qyxrue) [oAenlrr]r Harrerfipll jeanara KBaApara. Konuxo ce ryajBltEe je.qnarux KBaapara, crpaHr{Ile a,

Moxe Haq[HurB oA Aarux 12 wxn (ayxnua)? [Per.: 6]

B) 3a yvenuxe YI, WI u YIII pa4ega -111

E9E. y jeAnaxocru l-+lE:Ce cnota A, B u C osnauarajy rpr

pa3nrrtrr{ra rrprpoAHa 6poja. Koju cy ro 6pojeon?

[Bu,qn peuerre KoHrrypcHor 3aAarKa 221 sa crp. 125]

899. 3ua tr troa xynarllna notrnoqaHlt cy xepaMI{ttKEM flroqrrllaMa o6llrxarBaApara. Ibaxose Ayxr{Ee (aynnne) rr3paxeue cy ca ABa rlprpoaHa 6poja. flno-trErle Ha 3r{Ay cy gyxe (4y$e) ra 3 cm oA flnoqllqa Ha noay. Ha rn4y AyxqHe(ayrane) 240 cm xpajenr Eoqnux flnoqfiqa noxnanajy ce ca rpajearMa nroquqarra rroAy Ha troqerKy u ua rpajy 3nAa Ir jom rpr rlyra Ha caMoM 3ItAy. Kolrro[rotrnqa mra y jegnorvr peAy Ha 3tAy, a xoJrnr(o na no.qy? Komrxe cy glruenrujennouuqa? [Pe3.] sa 3trAy uMa 16 unoqrqa rl Ha no.qy 20 nnouuqal

' 900. Kojr rvrnoroyrlonz (noanronn) ruajy cae

cuoJbaur*e yr;rore (xyre) ryue?

901. Ha cnrqr I je C uporcnorbHa rarrra (roura)reyxnnqe ronyflperrHtrKa (nonynpoujepa) I cm. llspa-qyHarE ,uyxErry ,qyxE (,uyJbmry .qyxilHe) AB, xoscrpyu-caHe r(ao Ha cJruur. [Pes.: I cm]

902. Koncrpyucarf, rlapanenorpaM ABCD, axornry je crpaunua AB:3cm, nrjirosatta AC:4cm, naxo yrao xoA TeMeHa A usuocn 45".

tt9



C) 3a yuenuxe VII u YIII patpega

903. y HE3y rrpnpoaHnx 6pojeea nrabparr qerupfi y3acronua 6poja, raxo,ua je upoarso,q Aaa aajvarba sa 50MarbEoA Bpot{3BoAa apyra .qBa 6poja. Kojncy ru 6pojeoa? [Pes.: ll, 12, 13 n l4l

904. y Kpyry 4arof nonyflpeqnflKa (paaujyca) Kol{crpyncar{a je rerneaAyxr{He (ayEuxe) loryrpeqHfiKa (paaujyca), I,I:paru pa3roMKoM Aeaose obEMa

u noBpruuue ra xoje oHa AeJrn Kpyr, aIco je o6nru xpyra O, a [oBptrluaa xpyra P.

[r.r., -t o " I o. 3tc-21/T r, gr+21/3 rl[6612n12r |

905. Koncrpyrcarr aBe jo4nare (pyxnnqe (kr) tr (kr) xoje ce cer(y raxo,Aa raEreure xpyra (k,), Kouc'rpyflcaHe y r6rrxoBr.{M gajeAuri.rrur{ TarrKaMa M u M'r(orrcrpyncaHe y ucruM TaqKaMa nponage r(po3 rleHrap r(pyra (k2), a raHleHTe

xpyra (&.), flpona3s Kpo3 rleurap xpyra (/<,). O6pa:roxnru xoucrpyxqnjy. Ilory-npetiurlr rrra6parr npor,r3BoJbuo.

D) 3a yuenuxe VIII patpega

906. Orau peqe cBoMe crry: ,,flpe 6 roaxHa 6rao cav 6 nyra crapujN o4re6e, a noc.ne 3 roia.r{He 6ahy og rebe cauo 3 uyra crapujr. Ko:rrxo he ropzsa6urr re6r.r, a Konuxo MeHr{, rtaAa 6ygew 2 uyra clapujn oA re6e?".

[Per.:Oqy he 6rrn 60, cany 30

ro.uua]907. Axo ce 6pojunaq (6pojnnx) pa3rroMKa noseha 3a BMeHurraq (narnnnnx),

a nMennnaq (xarnennx) cMarbr 3a bpojuaaq (6pojnrr), ao6uje ce 4. Aro ce 6po-juraq (6pojHnr) noneha ga l, a uMenrrnau (naounnur) 3a ucro roJruro cMar6r{,

Aobuje ce l. Kojn je ro paerolrax? [Per.: 3/5]

KONKURSNI ZADACI

A\ Za uienike V, VI, WI i VIII razreda

223. Imamo 5 brojeva, od kojih je svaki sledeii dva puta veci od pret-

hodnog. zbir (zbroj) najmanjeg i najveieg za 9 ie vedi od zbira (zbroja) ostala

tri. Koji su su to brojevi?

224. Naii najmanji prirodni broj, koji podinje cifrom

(znamenkom) 9, takav da se preme5tanjem te dev.etke na m€stojeCinica (poslednje mesto) dobije broj 4 puta manji od traZenog'

225. Figuru datu na slici I podeliti na detiri podu-

darna dela.

B\ Za utenike VI, WI i VIII razteda

226. Naii sve delioce broja 600.

227. Udenik sabira redom neparne brojeve i dobija

1+3+5:9,1+3r'5+7:16, itd. Treba pronaci pravilo za

bez neposrednog sabiranja.

Koristedi se dobijenim zakljudkom odgovoriti na sledeia pitanja:

a) Ako je udenik iobio zbir: l-r3 + 5+"':5041, koliko je neparnih

brojeva sabrao?b) Koji je najve6i sabirak?

cj xoiit-o ukupno cifara trebanapisati

unavedenoj jednakosti, ako su

zapisani svi sabirci?

228. Nacrtaj polukrug i u unutrainjosti polukruga izaberi proizvoljnu

tadku ,4. Konstrui5i normalu, povudenu iz tadke ,4 na prednik polukruga, kori-

stedi se samo lenjirom (bez upotrebe Sestara i trougla)'

C'1 Za uienike YII i VIII razreda0E. OcHosa flpaBe {erBopocrpaHe nplnMe je porr,r6 qllja je jegHzr arjaro-

2Hana AyxuHe (.qyruHe) / cm, a vnja je rroBprurrHa

-/2 cm2. Manu 4ujaronaluu

npeceK npn3Me je xna4par. Hrparyuarra noBprur.rHy i ,uno"rrry nprr3Me.

[t*.'t:f,/2 cma, r:f r .*,]

Hanoueua

HaseAesu 3aAautr cy paeaaojeau y rpytre troA A, B, C w D c obupou sa oxo nro 6nnlrMa HacraBHoM trporpaMy yleanqx V, VI, VII r VIII pa3pc.qa rpe6ano ,ua :najy 4o uuacxaoror 6poja Mareuartsxor nscra. To je yrnneuo tra ycensr1tr wallnx parpega xe ry6e apeuenoxyuaaajyhu aa peue H oae 3aAarKe ea xoje aevajy nyxHy trpeacnpeuy. Ho, axo Hexo oA bf,xunaK ycne ,ra peuq n H€KE oa oagx 3a.[araKa, ro je, paryue ce, ruu 6one uo bera.

Oar raaaun rpe6a aa BaM syxe ra sex6y H npatrpeMabc ra npujewe EctrtrTe f, Mare-MarqsKa rffiMneba.3agarxe rpe6a caMocranuo ,qa peuxre, a EaBeaem pe3ynrarl Eera BaMcnyxe 3a xoETpony.

t20

zz9. BroJ a Je KVaOrar neKog prtroqn(

sa 4, ili da pri deljenju sa 8 daje ostatak l.I

229. Broj a je kvadrat nekog prirodnog broja. Dokazati da je a ili deljivli da ori delieniu sa 8 daje ostatak l. o c

230. Oko kruga prednika 2r:! - opisan je mnogo-

ugao (poligon), dije su sve stranice tangente (dirke) datog

kiuga. Povr5ina mnogougla (poligona) je 20 cm2. Izradunatinjegov obim.

231. Izradunati povriinu osendenog kvadratana

sl. 2. Stranica datog kvadrata ABCD ie a.

D) Za uienike VIII razreda

232. Izra(unati' /ll 11 . . . ll - n2.. . n.

--

-

200 tcdinica 100 dvojki

rezultate: 1 + 3:4,izradunavanje zbira,

o sr.2

t2t



_ 233. Tadke D, E i F pripadaju po reCu stranicama AB, BC i Cl jednako-slranidnog trougla ABC. Ptitom <luii DB, Ec i FA jednake su tredini stranicedatog trougla. DuZi AE, BF i CD seku se u tadkama K, L i M. lzrazitipovr5inu S trougla KLM pomota date povrline P nougla ABC.

234. Ako su sve ivice (rubovi) de:vorostrane piramide jednake mettu sobom,onda su !odg9 lvige (rubovi) nagnute prema ravni osnove (baze) pod uglom(kutom) od 45'. Dokazati.

Uputstvo reSavateliima konkursnih zadataka

Svako relcnjc (s tckstom i rcdnim brojem zadatka) treba pisati samo na jcdnoj strani papira.Svako relcnjc citljivo potpisati punim imenom i prczimenom,-navodcci razrid, odeljenje,-riolu,mcsto i kudnu adresu.

.!'IaiboJil re5gnjl (po potrcbi unekoliko redaktirana od strane uredniltva) sa imenima u!.nikakoji s-u ih poslali objavide se u narcdnom.broju lista. U poslednjcm broju za'ovu lkolsku godinuobjaviie se _spisak (popis) svih utcnika koji budu relili bar najnianji broj zadatka, predvitlei (kaoi pro5lc godine) zt razred u kome se nalaze.

. Najboljim reSavatcljima dodeliCe se nagrada na kraju Skotskc godine. Resenja ztdttka izovog broja trcba poslati najkasnijc do 20 aprila o. g. Na koverti treba -obavezno naznatritir ,,Kon-kursni zadaci''.

Adresa: Matcmatilki list, p. p. 728, Beograd. Rcsenja Saljite obidnom poslom, kato se nebistc izlagali nepotrcbnim izdacima.

RESENJA KONKURSNIH ZADATAK A 2II_222I2 ML VIII.3

A) Za uienike V, VI, WI i VIII razreda

2ll. Redari Vuk i Vera mjerili su uiionicu koracima. Vuk jednim korakomizjeri 80 cm. yerin korak je za 30 cm kraii i zato je, mjereii duiinu (dutjinu)uCionice, napravila 9 koraka viie nego Vuk, a mjereii iirinu napravila 6 korakaviSe nego Vuk. Koliko iznose duiina (duljina) i iirina uCionice,'

Zadatak reiiti ,,aritmetidki.., tj. bez upotrebe jednadina (jednadZbi),

Vera je, mjereii duZinu (duljinu) udionice, nadinila 9 koraka vise od Vuka.Da je napravila isti b-roj koraka kao i Vuk, izmjerila bi za 9.50:450cm manjeod Vuka. Po5to svakim korakom izmjeri 30 cm manje od Vuka, dobijamo :

450: 30: 15 Vukovih koraka, pa je duZina udionice: 15.80: 1200cm: 12 metara.Na isti nadin odredujemo da je Sinina udionice l0 Vukovih koraka, odnosno8 metara.

Mirjana Stojanovit, Vn r. O.5. ,,D. Obradovic.,, Krulevac

212. U Sifrovanom mnoienju

Odigledno ni S ni 7 nisu jedinice. Proizvodi I.R i ,S.X zavr5avaju se sa

R, pa mora biti R:5, a S i 7 su razliditi neparni brojevi: 3, 7 ili 9. Po5to su

srednje cifre u drugom i treiem redu In, to slijedi: T:7, S:3 i P:2. Kako su

M25.3 i M25.7 trocifreni brojevi, zakljudujemo da ie M:1, pa imamo \onadno:

125.37

875375 _

4625

Sitt,iana Dobrevska, Vo r. O.S. ,,13. uonevbpn", Skoplje

213. Boris, Duian, Viinja i Milica sjede u istoj klupi. Razredni starjeiinane /eli da Duian i Boris sjede jedan do drugog, da ne bi razgovarali za vrijemeiasa. Na koliko natina moZe on da razmjesli ove uienike i uienice?

Oznadimo sa 1,2,3 i4 mjesta na klupi. Vi5nja i Milica mogu da sjede

na mjestima (1, 3), (3, l), (2, 3), (3, 2), (2, 4), i (4,2). U svakom od ovihsludajeva Boris i DLian mogu sedjeti na dva 'razlidita nadina. Prema tome,

ukupan broj razliditih rasporeda je 12.

Boran Londaril, V6 r. O.S. ,,M. Pavlovid", Zagreb

214. Neka su A, B, C, D, E i F uzastopne taike (toike), rasporedene na

.iednoj kruinici sa centrom u O. Ako je BD:CE i AB:EF, onda je 4AOC::4DOF, Dokazati.

Jednakim tetivama odgovaraju jednaki kruZni lukovi, pa je BCD:CDE.Otuda je BC:BCD-CD i DE=.CE-CD, pa su jednaki lukovi .BC:DE (pos-

matramo lukove koli ne sadrZe tadku ,4). Poito je fr:iE*ft i6F:68+6F,to su jednaki lukovi ,4C i DF, a samim tim i odgovarajuii contralni uglovr:4Aoc:4DoF.

Sneiana Trajkovit, V, r. O.S. ,,M. Ilie -eida", Arandelovac

B) Za uienike VI, VII i VIII razreda

215. Poljoprivrednik je donio na pi:acu 258 kg jabuka. Od toga je prodaojedan dio. Da ie prodao joi 1.5 ks, ostala bi mu samo iestina od ukupne koliiine.

3Od prodatih jabuka ^ i joi 5 kg prodao je po 3,50 dinara, Za ostatak jabuka

E

5je

dobio 1- puta vi1e novaca nego za ovejabuke.

Po koliko dinara po kgje

Iprodao oslatak jabuka?

IPoljoprivrednik nije prodao

Uukupne koli6ine (a3 kg) i jo5 15 kg,Sto znadi

3da mu je ostalo 58 ke, a da je prodao 200 kg. Od ZOO te

U(tj. 75) kg), i jo5 5 kg,

MPR.STXTR

s7R

YZPR

treba zamjeniti svako sloto sa po jednom cifrom tako, da se mnoienje pokaietainim (toinim).

t22 123



prodao je po 3,50 dinara.i za njih je dobio 80.3,50 dinara-280 dinara. Za osta-

tak (l20kg) dobio je I].ZAO:+SO dinara, 5to znaEi da je preostalih l20kg7

prodavao po 480:120:4 dinara po kg.

Sneiana Rr'sfii, VI, r. O.S. ,M. Zivanovit', Srednjevo

216. Dat je razlomak 57 171. Koji broj trebaoduzeti od brojioca (brojnika),a dodati imeniocu (nazivniku), pa da se dobije razlomak koji posle skrativanja

iznosi I13.Zadatak rjeiiti bez upotrebe jednaiina (jednadibi),a koristeti se iinjenicom

2alda razlomak _ dobija vrijednost ;', ako se od brojioca (brojnika) oduznrc nje-

2a 3'gova polovina, pa se doda imeniocu (nazivniku).

Udesi6emo da u datom razlomku budu jednaki brojilac (brojnik) i ime-nilac (nazivnik). To 6emo postidi ako od imenioca (nazivnika) oduzmemo 7 iisto toliko dodamo brojiocu (brojniku), te dobijemo: 64i64. Na osnovu datoguputstva treba prepoloviti brojilac (brojnik)

- oduzeti od njega 32- i za toliko

64-32 32 1

uvedati imenilac (nazivnik):64 + 32: %:7..

Uporetluju6i ovo sa datim razlom-

kom vidimo da je brojilac (brojnik; umanjen, a imenilac (nazivnik) uveian za 25.

Todor lovanievit, YI, r. O.S. ,,S. Lazic.., VlaBka

217. Ako bi se spoljainji (vanjski) ugao (kut) kod temena (vrha)A

tro-ugla (trokuta) ABC (sl.1) poveiao za 35", a spoljainji (vanjski) ugao (kut)kod temena (vrha) B umanjio za 25', onda bi se unutrainji ugao (kut) kod te-mena (vrha) C povetao za svoju tetvrlimu. Koliki je unutrainji ugao (kut) kodtemena (vrha) C?

Uglovi (kuti) a, i B, su spolja5nji, pa je na osnovu osobina trougla: a,::9+y i 9r:a+y.Otudaje: a,*B,:a*9+y+y pa, po5toje a+p+y:180',biie: cr,+pr:180'+y. Ako se cri poveia za 35", a p, umanji za 20", onda se

i zbir na lijevoj strani poslednje jednakosti poveea za 15'. Prema uslovima za-datka desna strana jednakosti povedava se za yl4. Otuda je tl4:15", odnosno

Y: 60'.Dragana Vukitevii, V, r. O.S. ,,S. Veljkovii-Zele.., Bojnik

Zf,E. l/isine trougla (trokuta) ABC, (s!.2) sjeku se u tatki (toCki) H' Ako je

AH:BC,izra1unati uiutriinii ugao (kut) trougla (trokuta) kod temena (vrha) A'

Posmatrajmo trouglove (trokute) AHE i BCE. AD i BE su visine trougla(trokuta). pa su uglovi kod D i E pravi. Ostri uglovi 4EAH i 4CBE jeCnaki

iu, jer iu im kraci-uzajamno normalni. Po5to je po pretpostauci AH:BC,sliiedida-iu trouglovi (trokuti) AHE i BCE poCudarni. OtuCa je AE:BE. pa je pra-

vougli troigao itrokut;' ABE jednakokrak, a ugro kod temena (vrha) ,4 je 45"'

Goran llit, VI, r. O.S' ,,Karadorde", Topolr

Primcdba uredniStva: Vcliki broj uSenika je razmatrao iednakokraki pravougli

trdugao, ti, sluCaj kada ie B=H, Sto nij€ resenje sadatka.

C) Za utenike VII i VIII razreda

219. Sabrati snm n uzastopnih prirolnih broieva. Kakav treba da bude broi n,

pa fu ovaj zbir bude uviek: a) paran; b) neparzil - bez obzira na lo od kog

prirodnog broja potnemo da sabiramo?

Zbir bilo koja dva uzrstopna prirodna broja je neparan broj: p+-(p+ l):: (2 p + l). Medutim, zbir dva neparna broja je uvek paran br.oj:.(Zp + l) + (2c + ]):J(p+i+1). Dakie, zbir detiri uzlstopna-prirodna broja.je uvjek para-n broj,pa ato je n:ak @'deljivo sa 4) tada ie zbir n uzastopnih prirodnih brojeva

uvjek paran broj. Ako parnom broju dodamo neparan, dobicemo neparan' pa je

zbir n uzastopnih prirodnih brojeva neparan' ako je n :4k+2.Ljitjana fakovtievit, VIII, r. O.S' ,,M' Munjac', Ub

220. Pjeiaci A,B i C kretu se redom brzinama 3kmlh,4kmlh i 5kmlh.Oni polaze ii istog miesta P u istom smieru,,a u razmacima od po iednog dasa'

Pjei;k A je poiao prvi i to u 12 dasova' Kada ie pjeiak B stigao pieiaka.A, onji odmah'poiao natrag za P. Odrediti kad i na kom niestu ie pjeiak B rreopjeiaka' C.

Izradunajmo najprije kada je pjeiak I stigao pje5aka ,4' Neka je t broj sati

koji su bili poirebni pje5aku.E da bi stigao,p,jekka l. Iz uslova zadatka dobijamo

ieinadinu (i-ednadzbuj 4(t-l):3t, odakle ie t:4. Znati, B je stigao A u 16'durou" nu ii tm od-mjesta polaska. Kako je C krenuo 2 dasa kasnije nego A,

on je pre5ao do tog vrimena l0 km. Sada je rastojanje ilqetlg -A i- C 2 km'

Sroj siti x do susreta B i C izraguna1emo izjednadine(jednadZbe):4x+5x-2,odaile je x:219, $to znaCi da je B sreo C u 16 h l3min.20sec, vrativli se

za2l9.4:8/9km. Znali, B je sreo C na 11 l/9 km od mesta P.

Zlata Prvulovr'1, VII, r. O.S. ,,O. Stamboli6", Svrljig

D\ Za udenike VIII razreia

221. U skupu prirodnih broieva nati sva rieie4ia iednatine (jednadibe):

OCigledno je da ni x, ni y ne mogu biti I ili 2, dakle: x>2 i y>2, Naj-lll

manjoj vrijednosti x odgovarace najveia vrijednost y. Za x:3 imamo:=-

+ -: -v2

lllxy2

t24

sl. r

t25



MATEMATICKA RAZONODA

Da li ste dovitljivi?

1. Tadno u podne pode nekakav motocilkist iz Rijeke ka Splitu brzinom od80 km na sat. Dva sata docnije pode iz Splita za Rijeku kamion brzinom od 50 kmna sat. Koji Ce od njih u trenutku susreta biti bliZi Splitu?

2. Yrana pleleie sa vrha jedne jele na vrh druge jele i pri tom prelazi samo

put od 2,5 metra, iako su podnoZja drveta udaljena medusobno 4 metra. Kako jeto moguie?

3. Kad na jeCnoj grani stoje 5 vrana, pa iz pu5ke ubrjemo dve, koliko ceih jo5 ostati na drvetu?

4. Okrugli hleb treba podeliti na 8 delova sa 3 reza. Kako je to mogu6e?

5. Pomoiu 24 Sibice ogranideni su 9 jednakih kvadrata. Oduzimanjem 8

Sibica treba postidi da ostanu ogranidena samo 2 kvadrata. Kako je to moguie?

Zanimljlvosti o brojevima

1. Vidimo da je: 112 :l2l; lll'z:10201; 1001'?=1002001; i td. Uoiitepravilo po kome se javljaju cifre u rezultatima ovakvog dizanja na kvadrat iispitajte da li ie se one javljati po istom pravilu u sludaju svih slidnih dizaqla

na kvadrat..

2. Ako se od broja 987654321 oduzme broj 123456789, dobije se broj864197532, dakle broj u kome se svaka od 9 cifara, koje se javljaju po jedanput u svakom od dva data broja, javlja po jedan put. Objasniti za5to do togadolazi.

3. Ako se broj 12345679 pomnoZi devetostrukom vrednoSdu kog bilojednocifrenog broja, dobija se devetocifreni broj dije su sve cifre istovetne saizabranim jednocifrenim brojem. Tako, recimo, ako izwSimo mnoienje

1234s679. (9. 3) : 333333333,

dobija se devetocifreni broj dije su sve cifre 3. Objasniti za5to do toga dolazi.

U Eemu je gre5ka?

1. Jedan Arabljanin ostavi svojim sinovima 17 kamila, s tim d[ najstarijibrat dobije polovinu svih kamila, srednji brat dobije tredinu, a najmla<li bratdevetinu svih kamila. Sinovi nisu znali kako da ostvare tu deobu. Neki njihovsused izvede deobu na taj naEin Sto im privremeno pozajmi jednu svoju kamilu,

130

pa prvom od njih dodeli 9 kamila, drugom dodeli 6, a treiem 2 kamile (i tako -stvarno raspodeli na njih l? kamila), dok poslcdnju, preostalu kamilu, uzmenatrag. Posle toga su svi bili zadovoljni. Da li je sused izvr5io Zelju zave3taoca?

2. Tri saputnika prenoie u jednom hotelu. Pri polasku svaki od njih preda nablagajni po 100 dinara. Blagajnik zadrLi 250 dinara za prenoiiSte i 20 dinara za pranjenjihovog automobila, a svakom od njih vrati po l0 dinara. Tako je od svakog gostabilo napla6eno po 90 dinara, Sto iznosi ukupno 270 dinara; sem toga je za pranjekola bilo zadrLano 20 dinara, Sto zajedno sa sumom, naplaienom od gostiju, iznosi290 dinara. Ali gosti su predali ukupno na kasi 300. Gde se posle toga nalaze ostalihl0 dinara?

3. Od dva putnika jedan je imao 3 hlcbr, a drugi 5 hlebova. K njim4 seprikljudi tredi putnik, koji nije imao hranc, i oni tada podele na tri jednakadela sve 5to su imali, i pojedu. Na rastanku tredi putnik ponudi prvom putniku30 dinara, a drugom 50 dinara, polazeci od toga da je prvi uloZio 3, a drugi pethlebova u zajednidku ishranu. Da li jc pravilno postupio?

MaIo Sale

Neki dovek ostavi svom prijatelju konja i nradku, s tim da ih proda, pada novac, dobijen za konja, pokloni u dobrotvorne 5vrhe,'a novac dobijen zamadku, zadrli za sebe. Kako je naslednik postupio u cilju da najveii deo dobi-jenog novca ostane ipak njemu?

ul

H

Mr

r'i

M

H

KlltIJ,iir

su;

c((

ttC

Hg

HM

ccc

Til

Predstavljanje broleva prstinta prcma jc:lnom staront Spanskom rukopisu iz XllIveka.

- U prvom redu brojevi: 100, 200, 300, 1000, 2000, i 3000:

l'1f (c !

$tx

CCCCC(

l3l



In memoriam

Podetkom ove godine umro je Dr. Ivan Bandii, redovni profesor

Farmaceutskog fakulteta u Beogradu

Prof. Dr Ivan Bandii (1903-1974), saradnik ,,Matematidkog lista"od njegovog osnivanja, bio je dugo godina profesor gimnazije i ViSe pe-

dago5ke Skole u Beogradu, a zatim profesor Farmaceutskog fakulteta u

Beogradu. NjegoviudZbenici

za srednje5kole,

viSe pedagoike Skole

istu-

dente Farmaceutskog fakulteta odlikuju se jasnim i pristupadnim izlaganjem

i lepim jezikom. U ,,Matemati6ko-fizidkomlistu za udenike srednjih Skola"

i ,,Matematidkom listu za udenike osnovne $kole" objavljeni su mnogi

njegovi dlanci, pisani sa Zeljom da se uCenicima otkriju njima bliska, a zna-

dajna pitanja iz matematike i da im se pokaie najjednostavniji naEin na-

laZenja re$enja u nizu konkretnih zadataka.- Svojim Zivotom i radom,

pok. prof. Dr I. Bandid zasluZio je nepodeljeno po5tovanje i priznanje.

HATPAAIM 3AAATAK 6P.38

V 6pojy 123456789101112...S798991W uz6pucawu waqno IOO 4ufiapa waxoga upeocilaue uajaehu uoiyhu 6poj. Roiu je maj 6poj?

3a rasno peuebe oBor 3a,qarKa Earpaashewo 50 yceHuKa MareMarusKf,M KbsraMa f,nEnpu6opou 3a trtrcarc. flo norpe6n oarysuhe xpe6.

Peuera nocrarg Ea aapcy: Marevatn*n mcr, tr.tr.728,11001 Eeorpaa. Ha caMov rra,{yo6aaerso samuure croje rue u npe3f,Me, pa3pe,q, oaetebe, uf,ony n tro[Ty (ca nourascrqu 6pojeu),xao n ryhxy a,4pay. Ha xoaepru (ouory) Ha3Hacure: Harpa,{HE:aaarar 6p,38.

Peuena npuuavo ao 20. IV o,r. Peuena roja xe ucuynaaajy cBe EaBeAeHe ycroae xehe cey3nMartr y o6sup.

PE3YJITATII KOHKYPCA 3A HATPAAHI{ 3AAATAK EP. 36

PeurerL€ 3aAarKa.a) Aa 6u ce rc6pojano oA I Ao I 000 000 000, aro ce 6poju HerrpeKrrAHo,

norpe6Ho je 5 555,qara, 13 carn ]fr2Ounuyra. flomro ce y 3aAarKy rpaxfino Aa ce

BpeMe oApeAn caMo y ro.u{EaMa rr AaHrrMa, AoBoJbrro je 6uno Aa c;e y oBoM crryqajyy3Me y o63r{p caMo 6poj fiyHtrx .4aHa fr Aa ce [crlr flo,qeJrn ca 365; Ta(o ce Aobtrno:15 rorursa u 80 aana.

6) Aro ce 6pojr caMo no 8 carn gnenuo, bpojarre he rpajarr 166666 l:aya,5 caru u 20 r"tanyra. Crora ce y oBoM crry.rajy Moxe cMarparn Aa 6n orro rpajano45 ronrsa u 241 llas.

O.u yKytrHo 76 npucneanx oAroBopa caMo cy 48 6nnr 3aAoBoJsaBajyhu.floruunaoqe rrix oAroBopa HarpabyjeMo cBe, KrLxroM: ,,Kaxo hy prrjenrrTrr Mare.Marutrrur 3aaarar(" oa l. norre.

132

Harpa[enr cy c.neAehn yqeHlruu:

VIII parpea: E,taiojecuh Eopueoje, O.Ul. ,,M. JereHuh", f . Tpnava; Bapia

Mupxo, O.III.,,A.6raxnh", Mapyureneh; Byuxoouh Mute,O.l[l.,,l{. Crarv6o,rr'rh",

Cnprrrar; flaxufr Mulujaua, O.lll. ,,6. Xpuvnh", E. Hostt; Juxortttt'cuh'rbumana,

O.IIJ. ,,M. Myn'ac", Y6i Janxocuh 3opan, O.lll.,,ulelap", Huut; Kotaueauh Huxota,O.lil. ,,8. Bpe6anon", Melesuu; Mapunocuh Atcxcaugap, O.Iil. ,,8. Paau'reauh",HosH Caa; Mutuheauh Caua, O.lll. ,,[. O6paaoenh", lloxapeaary; hluLttpocuh

Byxutqu, O.U. ,,B. Kapalopfe", Hr.ru.

Harrovcrra. - [{crolNro ttarpafetrNx pelraBaJlirrltt HHcy,AoBor'uo tll,trKo

na3lrit.llJrH l)a'rl)c/( y KoMecc nitJrilic. Fbnxona cy HMcrra pacttopcfctta lro pa]peaqMa

npt:Ma orr()M rrtro jc, c obrupotn't lrlt rrattHcilrro, H-]r;Ic,rllrJIo rrlrjtepoalrrtujc.

llarpa/trrr: rrr,lrr-c rrocrtal'tcMo fiorlrroM..[obnrttuuuua'tccluravo!

matematicki list 1974 viii 4

Documents