matematicki list 1973 vii 4-5

7/22/2019 Matematicki list 1973 VII 4-5

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1973-vii-4-5 1/33

l:"

VAZNA OBAVESTENJA

1. UredniStvo poziva nastavnike i prolesore matematikc k:ro i ostalc [ita-

oce da Salju svoje priloge za list: 6lanke, odabrane zadatke, zadatkc sa prijcnrnih

irptt" I tnit"^utiftin ta-kmiEenla, razne zanirnljivosti. PoZeljno jc da svi rukopisi

io'sim udenidtih re5enja zadatika) budu pisjLni pisaiom ma3inonr s prorc4o'r, rt

iitezi irraaeni na posLbnoj Evr5ioj hartiji. Rukopisi se nc vracaju'

2. ,,Matematidki list" namenjen je svim uienicima v-vlll raz. osnovnc

Skole. List izlazi 5 puta u toku Skolske godine.

3. Godisnia pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 20 dinara. Nartrliocittra zit

vi5e od lO kompleta- odobiavamo nbat (20%,, l5%, l1y")t zavisno..d rok^ tltrto.i"g-i" uplati telokupna pretplata (1.11, 1.2, 1.5). Nikakvi cllrgi .dbici nc

uvaZavaju se.

Narudzbine se Salju na adresu lista, a novac na iiro-racun ,,Malcntllittkoglista" broj 60806-678-14627. Pri tome obavezno treba navesti tainu udrtsu nrr kojtr

iirilt"Uu'Oortavljati i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnostto rtplrtlrt rrtltttrsi.

4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968/69' god' (br' lll' -l 5)'

Sk. l96t/t0. god. (br. IV. i_5), ik. 1970/7l.god.(br.V.3-5), ik. le7 l/7J. gorl.

iVf. f-jl. Isporudujemo ih odmah po sniienoj ceni od 5 dinara zrt k.rtt'lel, :t

iomplet iz (;k. 1971172. god. (VI. l-5) po 7 dinara.

5. Mole se poverenici ,,Mat. lista" da izmire sva zaostitlil tlttliovrttti;r-

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo nrt adrcstt:

MatematiCki list, p.p, 728, 11001 Beograd

,.

:{at

#.

lt

SADRZAJl. Dr E. Stipanit: Ahmesova raEunica

2. P. Dimit: Diofantove jednaEine

3. M. Miliiii.' Kvadrat i kvadratni koren broj:r

4. PriEe o re5avanju zadataka. Prida deseta

5. Zadaci sa prijemnih ispita za upis u srcdnjc ikttlc

6. Odabrani zadaci

7. Konkursni zadaci.

8. Re5enja konkursnih zadataka 168-173

9. Matematidka takmiienja: Tre6e savezno takmiicnic' rcptrblie krr

takmidenja u SR Srbiji, SR B i H i SR Hrvatsko.l '

10. Matematidka razonoda: Zanimljivosti o brojovirnrt' l'o11ieli zrr-

daci. Matematidke igre. Zrnca .

ll. Nagradni zadaci 33 i34.

12. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 32 '

13. Nove knjige

14. Anketa -'73

.

tllt.t5

| .1.1

Ilur.llI,t5

I 5.1

ls5

I 5,)

t75

In2

I 8.l

In4

I str. kor ice

MA't'IiMA'I'IC.KI LIST

I A I l("l1NlK l'. t lliN( )vNlr sK( )l,lr

vil

nll{xrltAl}|"1

c^ENA tl t)lNAllA



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uienike osnoYne Skole

God. VII, broj 4-5 (t972173)

lzlazipet puta godi5nje

IZDAJF,Z DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

11000 Beograd, Knez Mihailova 35/IV

Uredule Redakcioni odbor

Dr Milica llit-Dojovit, glavni urednikBogoljub Mar inkovit, odgovorni urednik

V i Inj a B r k i t- D ev I i (Zagr eb\Kosta M ijatovicr (Sarajevo)Sreiko Kadunc (Ljubljana)Veljko 2 ivkovii (Titograd)Duian Bogdanovii (Beograd)

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadriavaDru5tvo matematidara, fiziiara i astronoma SR Srbije

Oslobodcno pladanja poreza na promet na osnovu relenja Republidkog sekretarijataza kulturu SR Srbije br. 413-186172-03 od I l. t. 1973. sDdine

Stampa: Beogradski izdavaEko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode MiSiia br. l7

Na izvorima matematike

Dr E. Stipani6 (Beograd)

AHMESOVA RACUNICA*

Herodot, grdki pisac i istoridar iz druge polovine V vekl pre na5e

ere, zapisao je u leanbm svom delu, da je egipatski vladalac Ramzes Iltoji jJ Ziveo oko l3@. godiqe pre n'e.) naredio da se premeri zemlja

u ngipt" radi odredivanja godi5njeg poreza vlasnicima zemlje' Medu-

tim,-kako je reka Nil desto plavila egipatsko zemljiste i na taj nadinbriiala grunice izmedu zemljoposeda; to je bilo potrebno, posle svake

poplave\ila, ponovo premeravati zemljiite i odredivati granice poseda.

Zito.kuZe Heiodot, iieleda da.geometrija vodi svoje poreklo iz Egipta.

Osim Herodota i drilgi-grdki pisci tvrde da geometrija potide iz Egipta.

Da su stari Egipiani imali izvesna znanja iz geometrije i aritme-

tike, vidi se i po mnogobrojnim pisanim spomenicima koji su prona-

deni na tlu Egipta. Svoja saznanja iz raznlh oblasti svakodnevne drus-

tvene delatnoiti Egipiuni su zapisivali na listovima pravljenim od

papirusa-

trske toji je rasla na obalama reke Nila. Ti papirusipredstavljaju danas za nauku vrlo dragocene..spo_menike egipatske

Lulture. iehan od najznadajnijih takvih spomenika je papirus koji se

desto zove Ahmesova-raiunica. To je najstarije saduvano matematidko

delo pisano hijeroglifima na papirusu dugom oko 5,5 m i Sirokom 32 cm.

U njemu se pominje ime nekog Ahmesa za koga se. ka-Ze da je tekstpapirusa napirao po ugledu na jedan stariji rukopis. Iz vremenskih

. po^dataka nivedenih u papirusu, mo7e se zakljuditi da potide iz 17.

veka pre na5e ere.

Ahmesovu radunicu (papirus) su prona5li Arabljani u blizini

Rameseja, hrama na zapadnoj obali Nila, kraj Luksora. F,.nglez A' H'Rhintt iupio je taj papirus od Arabljana, te se u nauci po njemu naziva

Rindov iii f{ainaov papirus. Danas se duva u Britanskom muzeju u

Londonu.

Ahmesova raiunica se moZe podeliti na Eetiri dela: uvod, prva,

druga i trbia knjiga. IzloZiiemo ukratko sadrZaj Ahmesove radunice.

o U uvodu se nalazi tablica razlomaka, diji su brojioci 2, a ime-

nioci neparni brojevi od 3 do 99. Svaki odpomenutih razlomaka pred-

stavljen je u obliku sume razlomaka diji su brojioii l,izuzev razlomkaL.3

t Clanak je uz, manje izmeie, pre5tampan iz Matematitko'ftzitkog lisla za ulenike srednjih

ikolo, lU3.

t2lj



Tako se, na primer, ]- pr"drtuulja kao suma razlomaka L, t,

t7 t2' 5lt, 2 kuosumaod

t , tr'kaosumaod I i Iird.

68 5 3 15 99 66 168U Ahmesovoj radunici nema obrazloZenja iz kojih bi se videlo na koji

se nadin razlomci ^2-

.- (gde je rt:2,3,4,...,49) razlaiu na sumu2n+ I

razlomaka diji su brojioci l. Interesantnq je istaii dinjenicu da su se

pitanjern nastanka tabele razlo^oku

2- (gde je k neparan broj) uk'-

sklopu aritmetidkih metoda egipatske matematike bavili mnogi isto-ridari matematike. Rezultati takvih istraZivanja uglavnom govore otome da egipatska aritmetika nije imala iskljudivo praktidki karakter,nego se u njoj vei ispoljavala teinja za logiEkim povezivanjem i rrop-Stavanjem. Merenje povr5ina i zaprernina neizbeZno je moralo dovesti .

do pojave razlomaka i specijalnih oznaka za razlomke. Poznato jc,na'primer, da su Egipiani 32. deo jedinice za zapreminu, koja je iz-nosila otprilike 0545 dm3, oznadavali simbolom o. Taj znak je najpre

Ipredstavljao --, ali su docnije Egipiani pomoiu njega oznadavali

razlomke diji su brojioci l, na taj nadin 5to su ispod njega stavljali

odgovarajuci imenilac (l:-, l:i-\+

- I' l0-I' gde je

'znak za to\'

IAstronomska Skola starih Egipdana u Heliopolisu bavila se sastavlja-njem egipatskog kalendara, pa se, dakle, moZe pretpostaviti da sunjeni astronomi u radunima s jedinicama vremena (danom, mesecomi godinom) morali doii do pojma o razlomcima i radunskim opera-cijama s njima. Lako se uvida da se izvestan broj dana, kao deo meseca,moZe predstaviti sumom razlomaka diji su brojioci l. Tako na primer,

4 dana iznosi *2- meseca, ili -l meseca viSeI *.r..u (' :'-+ l-\,

15 r0 30 \rs t0 301'211

dok, na primer, 12 dana iznosi l- meseca, ili I meseca + '- meseca, itd.

Takvi primeri radunanja s vremenskim jedinicama navode na zakljudakda se sa dovoljno verovatnoie moZe pretpostaviti da je pomenutorazlaganje razlomaka na zbir tzv. jedinidnih ili osnovnih razlomakaproizi5lo iz praktidnih radova astronomske Skole u Heliopolisu.

t22

. Prva i treia knjiga sadrZe uglavnom zadatke i probleme izaritmetike koji su vezani za praksu svakodnevnog Livota. Tu nalazimorazne zadatke u vezi sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka, zatimprobleme o deobi hlebova na nejednake delove, pretvaranje vedihjedinica za merenje zapremine u manje jedinice, radune koji nam govore

u kakvom odnosu stoji kolidina Zita prema kolidini dobrjenog hleba,ili kolidina jedma prema dobijenoj kolidini piva, kao i razne drugezadatke u vezi s ishranom domaiih Zivotinja. Osim toga, postoje idva problema od kojih jedan sadrZi aritmetidki, a drugi geometrijski niz.

Od interesa je narodito ista6i, medu svim problemima, takozvane>hau< probleme (>hau< znadi gomila i predstavlja nepoznatu kojuu problemu treba odrediti). ReSavanje tih problema sa stanoviStadana5nje algebre svodi se na reSavanje linearne jednadine sa jednomnepoznatom. Tako jedan problem u Ahmesovoj radunici glasi: >Go-mila, njena sedmina, njena celina iznosi l9<, a drugi : >Gomila, njenedve tre6ine, njena polovina, njena sedmina, njena celina iznosi 33<.

Posle tako formulisanih problema daju se njihova re5enja, odredujese >gomila< (nepoznata). Odevidno je da se prvi problem, pisano da-

na5njom simbolikom, svodi na jednadinu"+{:19,

a drugi na7

jednadinu * * L*+ I x+ l-x:33.

32.7Osim disto aritmetidkih problema istidu se oni problemi kojisvojim sadrZajem u mnogome lide na takozvane probleme dru5tvenograduna (raduna deobe). Takav je, na primer, sledeii problem: >Trebada se podeli 700 hlebova na 4lica,2l3 zajedno, l12 za drugo, l13 zatreie i I 14 za detvrto(. ReSi problem tako da postavi5 jednadinu!

U Ahmesovoj radunici se nalazi problem koji bismo mogli for-mulisati na sledeii nadin: >Podeli 100 hlebova na 5 delova tako darazhka izmedu dva uzastopna dela bude stalna ida zbir tri veia delabude sedam puta veii od zbira dva manja dela<. ditaode, re5i ovajproblem!

. Druga knjiga je posve6ena geometrijskim problemima. U njojimamo izradunavanje zapremine sudova koji imaju oblik valjka, pra-

vouglog paralefopipeda, zatim geometrijski problem deobe datogzemlji5ta u cilju Sto lak5eg izradunavanja njegove povr5ine. Osim toga,tu nalazimo izradunavanje povrSine pravougaonika, kruga, trougla,ttapeza, uporedivanje povr5ine kruga sa povr5inom kvadrata i reSavanjeproblema nagibnog ugla piramidine strane prema njenoj osnovi.

i

I

t:

,t\'Brl

t23



U vedini geometrijskih zadataka izradunava se povrSina zemlji5nihparcela. Iz tih se zadataka vidi da su Egip6ani uvek nastojali da posma-

tranu figuru podele na prostije figure u cilju izradunavanja njene povr-Sine. Od ravnih figura narodito su zastupljeni jednakokraki trougao,jednakokraki trapez i pravougaonik. Povr5inu jednakokrakog trouglaizradunavaju tako da uzimaju poluproizvod osnovice a i kraka b, tj.

po obrascu lb-, aoU povr5inu jednakokrak og trapeza izradunavaju'2

po obrascu \' . n, gde su a i c duLine osnovica a b duZina kraka'2trapeza. (Da li su navedeni obrasci tadni? Kada ie oni u praktidnimpremeravanjima zemljiSta ipak dati pribliZno tadne rezultate?)

Medu geometrijskim zadacima narodito je zanimljivo ista6izadatak u kome se nalazi pribliZno odredivanje povrSine kruga. MoZese reii da taj zadatak po svome sadrZaju i metodi lidi na ono Sto se

naziya problem kvadrature kruga. Naime,. traZi se kvadrat dija 6e

povrSina biti jednaka povriini kruga datog poluprednika. Za stranicukvadrata uzimaju prednik kruga umanjen za devetinu svoje-duZine.

Dakle, ako je prednik kruga2r,stranica kvadrata bi& 2r-'-!:Ur,/ t6 \2 256

pa bi moralo biti l::rl : rr2, tj. rc-: --" :3,1604..., Sto znadi

- \e / 8lda su Egip(ani za broj rc uzimali pribliZnu vrednost 3,16.

Pored navedenih geometrijskih zadataka, u Ahmesovoj radu-nici se nalaze zadaci iz stereometrije. Oni ve6inom tretiraju problemeizradunavanja zapremine prostora u kojima treba da se smesti Zitoili druga hrana.

r Po broju, sadrZaju i raznovrsnosti problema, zatim po postup-cima njihovog re5avanja, kao i izvesnoj sistematidnosti u rasporedutih problema, Ahmesova radunica se moZe smatrati po mnogima kaoneka vrsta udZbenika matematike. Ona je obrazovanom Egipdaninumogla posluZiti kao praktidan prirudnik pomo6u kojeg se snalaziou raznim radunima koje mu je postavljala praksa svakodnevnog rada.

Ukratko izloiena analiza sadriaja Ahmesove radunice pokazujekako su praktidni problemi razliditih merenja davali podsticajarazvitku matematidkih znanja Egip6ana, kako su ta znanja nepo-sredno bila povezana sa onim Sto je praksa nametala i kako je egipatskamatematika imala preteZno empirijski (iskustveni) karakter. Ali, ova

t24

analiza ukazuje i na dinjenice koje u dovoljnoj meri ilustruju pojave

apstraktnog teorijskog rasudivanja u egipatskoj aritmetici i geometriji.(primeri razlaganja razlomaka na osnovne razlomke i operacije s njima,

uporedivanje povr5ine kruga s povr5inom kvadrata). Drugadije nije

ni moglo biti, jer se proces svake spoznaje, pa i matematiike, razvija

tinijom od konkretnog k apstraktnome i obrnuto, od apstraktnog ka

konkretnome.

Platon Dimi6 (Beograd)

DIOFANTOVE JEDNACINE

Pretpostavimo da treba resiti sledeii zadatak:

Za patosanje sobe, iiia je iirina 3 metra, raspolale se daskama

iirine ll cm i 13 cm. Koliko treba uzeti dasaka jedne, a koliko druge

iirine, da bi pod bio potpuno pokriven2

U vezi sa ovim zadatkom nameie se, prirodno, odmah i pitanje o

tome da li on uop5te ima re5enje, tj. da li je uop5te mogu6e pomo6u

izvesnog broja dasaka Sirine I I cm i izvesnog broja dasaka Sirine 13 cm

(bez uzduZnog sedenja neke od njih) pokriti pod Sirine 300 cm? No, da

prevedemo ovaj zadatak na jezik algebre.

Ako broj upotrebljenih dasaka Sirine I I cm obeleZimo sa x, a

broj dasaka Sirine l3 cm obeleZimo sa /, dobijamo jednadinu:

(l) I lxf l3y:lQQ.

' Ovo je jedna jednadina sa 2 nepoznate i ona bi imala proizvoljno

mnogo re5enja, kad bi x i y mogli biti bilo kakvi brojevi. U tom sludaju

trebalo bi samo jednoj od nepoznatih davati razne vrednosti, pa izradu-

navati odgovaraju6e vrednosti druge nepoznato. Ali je stvar u tome

Sto u na5em sludaju nadene vrednosti za x i y treba da pretstavljaju cele

pozitivne brojeve, s tim Sto bi jedna od njih izuzetno mogll biti i nula,

ato Ul se pokazalo da i tako moie da b-ude zadovoljefia jednadina (l).

Re5enje ovog zadatka mogli bismo dobiti i probanjem' Mogli

bismo, recimo, nepoznatu .rc u jednadini (l) zameniti redom sa 0, l,2 . . . , pa videti u kom sludaju se za y dobija nula ili ceo pozitivan broj.

Pri tome je lako uvideti da ovo zamenjivanje ne bi moralo iii u beskraj,

jer I I u 300 ,,ide" najvi5e 27 puta, tako da je ve6 I I '28>300, pa bi ovo

zamenjivdnje trebalo zavr5iti s tim Sto bi se x zamenilo sa 27. Ali ovakav

Ia

J:t

ilqt

$t$

tI

i_t

125



nadin rada bio bi glomazan ve6'i u navedenom sludaju, dok bi u nekomdrugom sludaju mogao biti jo5 glomazniji, a i uopSte

-probanje nije

redovni nadin re5avanja matematidkih zadataka.

Zbogtoga 6e na ovom primeru biti prikazan jedan nadin re5avanja

ovakvih zadatakd,, koji se moZe primeniti uvek kad je u pitanju iznala-Zenje celobrojnih re5enja jednadine I stepena sa 2 nepoznate. To je

lzv. Ojlerovr) metod zamene pri reiavanju ovakvih, tzv. neodredenih iliDiofantovih2) j ednaiina.

Reiimo najpre datu jednadinu po jednoj od nepoznatih, i to poonoj diji je koeficijent po svojoj apsolutnoj vrednosti manji. Tako dobi-jamo:

300- l3 y

' ll

Odatld se vidi da 6e se za x svakako dobiti ceo

ceo broj i ako ga izaberemo tako da ibroj, ako y bude

3-2v- ll

bude ceo broj. Oznadimo ga sa z, tj. uvedimo novu n€poznatu smenom

Odatle se vidi da 6e y biti ceo broj, ako z bude ceo broj i ako ga

izaberemo tako da i| -z

2

bude ceo broj. Uvedima zato novu nepoznatu t putem sm€ne:

(3)

tako dobijamo:l-52*t, z*2t:l'

Zatim, slidno onom Sto smo udinili ranrje, ispitajmo kakve vred-

nosti treba da primi t ako se hoie da i r i z budu celi brojevi.

Imamo',:l-2t,

Odatle se vidi da ie, u vezi sa ovom smenom, z biti ceo broj, ako se

z.a t uzme kakav bilo ceo broj. No, ako su / i z celi brojevi, onda je i.y:l-5zlt:1-5 (l-2t)+t:llt-4 ceo broj, a ako su e i y celi

brojevi, onda je i x:27 -t*z--27 -(llt-4)+(l -2t):32-1t,ceo br9j. Prema tome, za x u y dobili smo*

(4) x:32_13t, Y:llt-4.Kako se do obrazaca (4) dolazi polazeti od jednadine (l), to ie

ova biti zadovoljena ako se za t uzme bilo koji broj. Bude li pak I ceo

broj, bi6e i x, kao i y celi brojevi. Tako moZemo, uzimajuii za t proiz-

voljne cele brojeve, dobiti bezbroj parova vrednosti nepoznatih x i y,

koji zadovoljayaju datu jednadinu (l).

No, u na5em sludaju ovi brojevi treba da budu joi i pozitivni, sa

krajriom moguino5du dajedan od njih bude 0. To znadi da treba da bude

32-l3t>0L\i 32-l3t:0, a istovremeno treba da bude i lll-4>0 ililll--4:0, Sto kraie moZemo zapisati i ovako

(5) 32_l3t>04I lt-4>0.

Da vidimo sad kako moZemo iz ovih uslova da odredimo t, jer

je tim uslovima velidina t ogranidena.

| -z:----;2

t) Strogo govorerii, dokazali smo to da svako celebrojno re3enje jednadine 1l.t+l3y:300ima oblik x:3i-t1t, y:llt*4, gde je / neki ceo broj. Obrouto, tj. da se za ma koje celo t do-bija celobrojno resenje-date jednacine, takode je lako utvtditi iamenom nadenih Yrednosti r i yupolaznu jednaiinu.

x:27 -r*'-rl'

(2)

tako da dobijamo

. x:27-y+z i 2y{llz:3.

NaS problem se sada, odigledno, svodi na to da se nadu celibrojna

re.enja jednadine2yrrrz:3,

jer 6e x za svako celo y i z biii ceo broj. Postupimo sada slidno onome

Sto smo ve6 udinili, tj. iz jednadine 2y*llz:3 odredimo y:

3-2vll

r) O-ler, Svajcarac i jcdan od najveiih matematidam sveta, liveo je u XVIIlveku i radio dugogodina u Lenjingradu (tadasnjem Pet€rsburgu).

2, Diofqnt, grdki matematicar iz Aleksandrije, koji je iiveo u III veku naie ere, prvi ie pokuiao

Oa naCe sva cel6Urojia resenja jedne jednadine prvogstepena sa tlve nepoaate, ne sluleii * jos sadasnjim

natinom algebarskog izraZavilja.

3*llz

126 127



Ovako se moZe postupiti uvek, kad je u- pitanju jednadina prvogstepena sa dve nepoznate, i to ne samo kad su koeficijenti uz nepoznateu jednadini po svojoj apsolutnoj vrednosti nejednaki, nego i_ kada sujednafi, s tim Sto ie se tadajednadina resiti po kojoj bilo od riepoznatih.Ali to jo5 ne znadi da ce'se na taj nadin uvek doii do formula pomoiukojih se mogu nadi celobrojna re5enja date jednadine. Ima jednadina kojeuop5te nemaju celobrojnih reSenja, pa ie se to pokazati i ako na ovajnadin poku5amo da ih nademo. MoZe se, nairne, dokazati: ako u jednadini

axlbY:s

s datim celim koeficijentima a, b i c, koeficijenti a i b imaju neki zajed-nidki dinilac d*l,koji nije istovremeno i dinilac broja c

- ova jednadina

nema celobrojnih re5enja, dok u protivnom sludaju ta jednadina imabeskrajno mnogo celobrojnih re5enja. ZnaEi, postojanje celobrojnihre5enja jednadine axlby--c garantuje se uslovom NZC(a, b):1.Sva ta celobrojna re5enja mogu se dobiti u ovom sludaju na osnovuformula

(8) y-a-[1, t-:p+at

gde je x-..:l'', l-:gjedno celobrojno reSenje date jednadine, a / kakavbilo ceo broj: l.:0,-rl,-i-2,... Shodno tome, sva re$enja jednadine(l)

mogla bi se dobiti iz x:19-13t, I:7i llr gde je l:0, +1,+2....Naravno, izmedu njih biramo (na navedeni nadin), ona koja zadovolja-vaju sve uslove zadatka.No, za praktidno re5avanje zadatdka ove vrstenije nuZno da se sve to ima u vidu, nego je dosta i da se samo sprovedepokazani postupak, pa ie se do6i do traZenih zakljudaka.

Da to pokaZemo na nekim primerima.

Primer l. - Ivlogu li se31jabukapodelili na 3 de[aka i 6devojiica tako da svi deiaci dobiju medusobno jednak broj jabuka, aisto tako da sve devojiice dobi-iu medusobno jednak bro.i celih jabuka?

Ako se sa x obeleZi broj jabuka koje je dobio svaki od deiaka, asa y broj jabuka koje je dobila svaka devojdica) dolazi se do jednadine:

3x*6.v:35. (*)

U ovom sludaju je i koeficijent uz nepoznatu x, i koeficijent uznepoznatu y deljiv sa 3, dok 35 nije deljivo sa 3, i zato se o toj jednadini

moZe odmah tvrditi da nema celobrojnih re5enjaz No, to 6e se pokazatii na slede6i nadin.

lz date jednadine sleduje

*:?7-2,.-3

Odatle se vidi da ni za kavo celo y n6, moie x da bude ceo broj.

ba je jednadina (*) nemoguia, vidi se odmah, jer je njena leva

strana deljiva sa 3, zbog 3xI6y:f (xl2l), dok desna strana nije.

P r i m e r 2. - Prilikom izvoilenja nekog kviza, za svaki taianodgovor kandidat je dobijao po 4O0 dinara, dok je zbog svakog svog

netainog odgovor'a gubio po 3N dinara. Koliko je tainih, a koliko netqinih,odgovara imao kandidat, kad se zna da je zaradio ukupno 700 dinara ida je'imao viie tainih, nego netainih odgovora?

Ako sa x oneleZimo broj tadnih, a sa / broj netadnih odgovora,'dobijamo:

400x-3001.':700,

odnosno (posle deljenja obe strane sa 100):

4x-3y:7.

Odatle sleduje:

{.

{

^ x-ll:x-z+-i

x- I

-:t,x-l:32, x-32+l:

y:(32+l)-2+z:42-1.

Ovaj rezultat moZemo napisati u obliku

(9) x:l*32, t:-ll4z

a proveravanjem moZemo utvrditi da je x: I, l:-l jedno re5enjedate jednadine. Kako je pak u toj jednadini a:4, b:-3 vidi se da se

dobijene formule (9) slaZu sa ranije navedenim formulama (8), tako dai ovaj primer potqtluje njihovu tadnost.

4x-7

130 l3t



y>0), i kako je xly (jer je bilo vi5e tadnih odgovora), to mora biti:

3 z+ l>0

4z-l>0 =+ z>

3z+I>42- I +

+ ll4aza2

M. Militid (Beosrad)

TVENNET I KVN)RATNI KOREN BROJA

l. Znarno da a2 predstavlja kraCu oznaku za p,roizvod a' a i daje to drugistepen ili kvadrat broja a. Na primer. 72, tj.7' 7 je kVadrat broja 7. Kvadrat nekog

broja moZe se izraEunati mnoZeCi taj broj samim sobom ili postupkom koji je nepo-sredira posledica izradunavanja kvadrata binoma, trinoma I uopSte polinoma. Ovde

69 biti redi o drugom postupku.

Kvadrat binoma a*b je

(a * b\z : (a I b) (a * b) : sz a ab + ab + bz : a2 +2ab + b2

tj.(a*b)z:az*2ablbz

Pravilo se lako moie iskazati redima. Neka to ditalac uridi sam.

Kvadrat trinoma a+b+c je

(a * b * c)z : (a * b -f c) (a * b * c) : sz 4 6 t * t c * ab * b2 * b c * ac * bc * c2 :

: a2 +zab + b2 * 2ac *2bc I c2

tj. ( a*b*c)2:az*2ab*b2*2a)c+2bc+cz

Napi5imo joi kvadrat EetveroElanog polinoma:'

(a * b * c + d)z : (a * b * c * d) (a * b * c * d) :

: a2 * abiac I ad+ ab + bz + bc f- bd* ac * bc * cz'f cd* od* bd* cd*dz :

:a2qls$1 $2*2ac+2bc+ cz +2ad+2bd+2cd+ dz

Neka ditalac sam iskaie redima demu je jednak kvadrat trodlanog i detvo-roElanog polinoma.

Slidno bismo nalli kvadrat polinoma sa proizvoljno mnogo dlanova.

Kako dvocifren, trocifren, uopSte neki viSecifren broj moZemo najjednostavnijeprikazati u vidu zbira od dva, tri, odnosno onoliko sabiraka koliko broj ima cifara,(piSudi ga kao zbir njegovih jedinica, desetica, stotina itd.), to se njihov kvadratmoie izraEunati na osnovu pravila nalaZenja kvadrata binoma, trinoma, riopStepolinoma.

Primeri:

l) 37 2 : (3O +7)2 : 3O2+2' 3O' 7 17 z : 900 +420 +49 : i 369

2, 3452 : (300+40 + 5)2 : 3AOz + 2' 300' 40 +402 +2'-300' 5 +2' 40.' | + Sz :

90 000+24 000+ I 600+3 000*,100*25 : I 19 025

SliEno bismo mogli naii kvadrat kojeg bilo vi5ecifrenog broja. No lako se

vidi da prethodni postupak zahteva dosta veliki rad ved kod trocifrenog broja, StaviSe

komplikovaniji je od mnotenja broja samim'sobom, zbog 6ega nije praktiEan.

Kako su, daljd, x i y ir ovom sludaju pozitivni brojevi, (x>0,

vrednost I (jer je z ceo

+z> r-l3

I

4

z<2,

S obzirom.da z moZe da primi samo

broj, a mora biti izmedul-

i Z),ima6emo:4"/

x:4, y:3.

Kandidatje, dakle, dao 4 tadna i 3 pogre5na odgovora na ukupno7 pitanja koja su mu bila postavljena.

o Kao Sto se vidi, ovakve zadatke moZe da resava svako ko uop-Ste ume da re5ava jednadine prvog stepena i zna ono najosnovnije o 'nejdnadinama prvog stepena. Potreba, pak, za njhovim resavanjempojavljuje se vi5e puta. Stoga poku5ajte da na pokazani nadin re5ite

slededa tri zadatka:1. Jedan zupdasti toiak ima 13 zubaca, a drugi 17; u podetku

kretanja zahvata prvi zubac prvog todka u'prvi zarez drugog todka.Posle koliko okreta ce opet prvi zubac prvog todka zahvatiti u prvizarez drugog todka?

2. Na koliko se nadina razlomak 111 -o2" pretstaviti kao zbirll0

razlomaka sa imeniteljima 5 i 22?

3. U svakom od dva odeljenjaistograzredaima jednak broj ude-nika. U jednom odeljenju sede u svakoj klupi po 3 udenika, sem uposlednjoj u kojoj sede samo 2 udenika; u drugom odeljenju sede usvakoj klupi po 4 udenika, dok jedan sedi sa strane, pored klupe.Koliko uEenika ima u svakom odbljenju, ako se zna da ukupan broj

udenika toga razreda iznosi neSto izmedu 50 i 60?

t -r,'Lll ,l,rL ll-lnU

t32 133



Sledede rasudivanje dove3de nas do jednostavnog i iraktiEnog postupka zaizraEunavanje -kvadrata broja.

o_Primetimo da jo

(a * b), : az 12ab* b2 : a2 * (2s + b\'b,tj'

@*b)z:az:r12a*b) b;

(a + b + i)z : oz * 2ab * bz * 2a c * 2b c * c2 : a2 + (2a + b) b * 2@ * b')* cl c,

rj.

(a * b + c)z : oz + (?a + b) b + l2{a * b\* cl c ;

(a*b*c*Oz:az +?-ab + bz +2ac+?lc + cz +2ad+2ld+2cd+ d2:

. a2+(2a+ b) b*12(aIb\I cl*12(a+bic\*dl d,

(a * b * c { d)z : az + (?a + b) b + l2(a + b) I cl c * l2(a 4 b * c) * dl d

Interesantno je primetiti da su svi sabircl u prethodnom zbiru istog karaktera.Posmatrajmo na primer treii po redu u kome se prvi put pojavljuje Elan c. Vidimoda je c dodato na dvbstruki zbir prethodnih dlanova u polinomu (a i b), pa dobijenizbir'pomnoien sa c. Slidno je u detvrtom sabirku d dodato na dvostruki zbir svihprethbdnih Elanova polinoma (a, b i c), pa tako dobijeni zbir pomnoien sa d.'eakje i prvi sabirak a2 takvog karaktera, samo Sto prethodnih Elanova nema.

Na osnovu prethodnog lako je napisati kvadrat polinoma sa 5 i vi5e Elanova.Neka ditalac napile kvadrat polinoma a*b*cld*e.

Sada moZemo izreei pravilo kvadriranja polinoma]:

Kvadrat polinoma jez kvadrat prvog ilana, plus dvostruki prvi ilan uvetan 2adrugi i sve to pomnoEeno drigim, plus dvostruki zbir prva dva ilana uvetan za tredi isve to'pomnoreno treiim, plus dvoslruki zbir prva tri ilana uvetena za ietvrti i sve topomnoteno ietwtim, itd.'

Naravno, ovo # pravilo moZe jo3 stilski doterati,

. Ovo je jedinstveno pravilo, tj. po njemu se moie nalaziti kva&at svakogpolinoma. Naravno, ono se pioliruje sa poveianjep broja.dlanova polinoEa.

Primetimo da kvadrat polinoma onako kako je napisan ima dlanova kolikoi sam polinom. (Ovaj iakljuCak bice nam od koristi kod izraEunavanja kvadratnogkorena broja.)

Natlimo sada kvadrate brojeva 37 i 345 po frethodnom pravilu.

t) 372:(30+7)2:302+(2 ' 30+?) 7:9ffi*469:t 369

2t 3452 : (3W*4o + S;z : 3qo2 + (2 . 3Oo + 40) 40 + t2(3OO +,10) * 5l S :

90 000+25 600+3 425: l19 025

No celi postupak moZe se jo5 uprostiti i uEiniti praktiEnijim,

Ako sabirke koji se gore pojavljuju napi5emo jedan ispod drugog, a izbri5emonule kojim se neminovno zavr5avaju svi sabirci sem poslednjeg, videiemo da de svakisabirak biti za dva mesta pomeren udesno-u odnosu na onaj kojije neposredno iznadnjega. Naime

900umesto 469 staviCemo

1369

odnosnogoooo g

mesto 25600 stavidemo 255r,

ll9o25- lt9o25

Seti se da-slidno izbegavanje pisanja nula imamo kod mnoienja vi5ecifrenihbrojeva.

No da se nule u sabircima uop5te ne bi pojavile sprovedimo ovakvo rasudi-vanje u konkretnom sludaju nalaZenja kvadrata brojeva 37 i 345. Kod 372 postu-pimo na sledeii nadin: umesto 302:900 reii iemo i pisati 32:9; umesto (2' 30+7) 7

tj. dvostrukom broju 30 dodajemo 7, pa to puta 7, rbdi Cemo: dvostrukom broju 3

dopisujemo 7, pa to puta 7. Vodeiijo5 raduna o potpisivanju, biie

372:?

32: 9..Z't:6,671: ffi

1369,

tj.372:1369. Slidno u drugom primeru: umesto 3002:90000 reCi demo 32:9;umesto (2'300+40).40, tj. dvostrukom broju 3@ dodamo 40, pa to puta 40, reiiCemo: dvostiukom broju 3 dopisujemo 4,pa to puta 4; umesto [2.(300+40)+5]'5,tj. dvostrukom zbiru brojeva 300 i,l() dodajemo 5, pa to pub 5, reii cemo: dvostrukombroju 34 dopisujemo l, pa to puta 5. Naime,

3452:?

32 9..2'3:6, 64'4: 256 . .

2' 34:68, 685 ' 5: 3425

Tlxa:

tj.3452:119025.Natlimo sada kvadrat broja 4269.

42692:?

42 162.4:8,82'2 : t6i..2'42:84, 846 '6 : 5076 . .

2'426:852,8529'9: 76761

rs?24361

9469

t369,

tj.

r34

. viditc tatoalc i u MI I. l, str. l3rl4.

135



Na osnovu prethodnog, nadi kvadrate slededih brojeva: 27,.154, m3,7 052,81 059, 9804056.

. Da bismo Sto jednostavnije iskazali pravilo kvadriranja broja, primetimo daumesto radunanja sa deseticama, stotinama, hiljadama itd. koje smo dobili prilikompisanja datog broja u obliku zbira, radunamo sa brojevima tih dekadnih jedinica.Na primer, kod nalaZenja kvadrata broja 4269 umesto sa 4 000, 200, 60 i 9 raEunalismo sa 4, 2, 6 i 9. Vidi se da prva cifra u broju oznadava broj jedinica najveCeg reda,druga cifra broj jedinica za jedan manjeg reda,.treda cifra broj jedinica za joS jedanmanjeg reda itd. Te brojeve (dekad. jedinico) nazovimo redom: prvi, drugi, tredi itd.U prethodnom primeru, prvi je 4, drugi 2, tredi 6, detwti 9.

Sada moiemo iskazati pravilo nalaZenja kvadrata broja:Kvadrat nekog broja jez kvadrat priog broja, plus dvostrttki prvi, dopisan drugi

i to puta drugi, plus dvostruki dvocifreni poietak, dapisan tredi i to puta treti, plus dvo-struki trocifreni poietak, dopisan tetvrti i to puta ietvrti itd. Dobijeni sabirci se potpi-suju tako ito je svaki slededi za dva trresta pomeren u&sno u odrnsu na prethodni. i

Ovakav postupak izradunavanja kvadrata broja je jednostavan i praktidan,ali koristan je i zbog toga Sto daje potpuno obja5njenje izradunavanja kvadratnogkorena nekog broja.

- 2. Izradunavanje kvadratnog korena je suprotna operacija kvadriranju- traZimo pozitivan broj 6iji je kvadrat poznat. Na primer, pitamo se koji je to pozi-

tivan broj 6iji je kvadrat 492 To je broj 7. PiSemo /6:l i izgovaramo: kvadratnikoren broja'49 jeste 7. Isto takd je /8:5,/le:e.

No, da bismo naSli kvadratni koren nekog viSecifrenog broja, sprovedimosledece rasutlivanje.

Kako je

lz:l102:1001002:10 00010002:1000000

sledi da su kvadrati jednocifrenih brojeva vedi ili jednaki broju I i maqii od 100,kvadrati dvocifrenih brojeva veCi ili jednaki od 100 i manji od 10 000, kvadrati tro-cifrenih brojeva vedi ili jednaki broju 10000 i manji od 1000000 itd. Prema tome,ako neki broj ima n cifara, njegov kvadrat ima 2n ili 2n-l rcifara. Dakle, pri tra-Zenju kvadratnog korena nekog broja unapred znamo koliko de traZeni broj imaticifarh.'

Nattimo /136, Po5to smo 1369' dobili kao kvadrat broja 37, unapred

znamo da je/ tleg:y, ali kako to dobiti? Prema prethodnom zakljudkv/ 1369je dvocifren broj. Imajuii u vidu postupak kvadriranja broja, kao i pomenuto skradi-vanje te operacije kojom na kraju dobijemo onoliko sabiraka koliko cifara ima brojkoji kvadriramo, pri demu su sabirci potpisani jedan ispod drugog tako da je svakidonji pomeren za dva mesta udesno u odnosu na sabirak koji je neposredno iznadnjega, postupamo

naslededi nadin:

Cifre broja I 369 podelimo na grupe iduii sdesna u levo tako da u svakojgrupi budu dve cifre. (Ako je broj sa neparnim brojem cifara, u prvoj grupi slevabiCe jedna cifra.) Dakle'imademo 13169. Natlimo sada cifru desetica traZenog broja.Kako je broj 13 vedi ili jednak kvadratu broja desetica (za5to?), pitamo se koji je tobroj Eiji je kvadrat 13 ili manji od 13, ali mu jc najbliii? To je broj 3. Dalje je 3z:9,

r36

l3-9:4,broju 4 dopisujemo slededu gquprl 69- i dobijamo 46? Saj|1!"*imo cifru

iedinica. ti. cifru toia ozni8ava iio.i ioji ti"u" dopisatidvostrukom broju 3 (tj. broju

til'rffi"';jil;";;;i;il;.bismo douili +es_.r,akb se vidi da je qo ljerje 67-'-1.:Ke.

Da ie broi 7 dobro izeU.an pioueravamo deljenjem M9 sa 67'7' Dakle' dobili smo

ii#.itiiiii ti. n" b'i * a;iiI;;iouitu triu, iouoljno je posmatrati slededi postupak:

i r{a --Y'2*e

"6i'7-469

0Ako oduzimamo bez potpisivanja, bice:

' /tt'ee:n469:67'7

Na isti nadin Cemo na6i /251961. Podelimo li cifre broja 281961 .u grupe

na nrethodni nadin. imadJmo-is:tgl6i. ir"Zeni broj je trocifren. Broj 28 je veii ili

i:?;,;i ilil;;iiiii'iii liJir* tiazenoe broja' Da !i9mb odredili cifru stotina' pitamo

'rl'rliiii?'," fi;j ;tjil; i.;-;e;;tb.;l zCiti manli_ oo 28, ali mu je najblizi. ro.je broj 5'

;;l;;ilil-rt"iii" i. b"r:.1! jl:is;za-zs:3. Da bismo nasli cifru desetica, broju

3 dopi5emo slede6u g.upu'Jliuru, tj.1g, a zatim se pitamo lctrji broj. treba dopisati

;;fii;; bioju sitj. broju l0), pa sve to pomnoiiti tim brojem da bismo dobili

b;;ilitifi;;rjira iis,"ii

n;irii'*ilnzi, ro je.3. Do sada znamo da je 53 dvoci-

i",",i! p"e li"ii ri;t;; d"j;. t' aii-" i"s clfru jidinica. Kako je 103 ' 3:30e, 3le-

-jiis:i-o;"o

troji to Srpiii-r iilpt ot (o6uijumo 1061), a,zrtim se pitamo koji

broi treba dooisati auostrul'om troiu ifpa sve to pomnoZiti tim brojeln da.bismo

il'iiri'idirliiuil:'-i.iitd ioe iuiini.*u najblizi. vidimo da je trazeni broj I jer je

1061:1061'1.

.Celi postuPakt"tt"u" o'1,)#;:r'

-25

-319:103'3-309--loel : lo6l'l-1051

ili krade

0

v28ll9t6t:531319 : 103'31051 :1061'l

0Na potpuno isti nadin bismo naSli kvadratni koren bilo kogbroja' Na primer'

nije t"si.Jria*c-lGuai"tniloi"" Uioj"no, t6s, 4 225, I I 9 025, to4 7 96'

Zadatak.NekaditalacdobijenezakljudkeokvadriranjuinalaZenjukvadratnogkorena broja prenese na decimalne brojeve.

t37



3) Trasiramo odsetke DM:AD i DN:CD.4) Trasiramo pravu DB.

5) Trasiramo pravu NM. Neka ona sede pravu BD u talki P.

6) Izmerimo MP.Tada&biti AB:MP, jer ADPM=ADBA (zaito?)

6. Pomodu podudarnih trouglova:

l) Trasiramo pravu l.B (sl. 6).

2) Odaberimo tadku C na AB tako da bude izmedu A i B.

3) Kroz 1aAke A i C trasiramo proizvoljne prave tako da se preseku u nekoj

tadki D.4) Prenosimo DM:AD i DN:CD.5) Trasiramo prave DB i MN, kojerje se sedi u nekoj tadki P. Tada ie

'6MPD

biti podudaran s LABD (za5to?).

. 6) Izmerimo MP, ito ie i biti jednako sa l.B (za3to)?.

sl. 7

7. Konstrukciiom paralelograma i merenjem njegove stranice:

. l) Trasiramo proizvoljne baze -prave AC, CB i Ab Gl.7).

2) Izmerimo i konstrui$emo 4ACD:4BAC i 4CAD:4BCA.3) Prava CD preseci 6e pravu lD u tadki D. Gtvorougao ABCD jeparalelgram

(zaSto?).' 4) Izmerimo CD i tako dobijemo traZeno rastojanje AB, jer AB:CD.

8. Koristedi svoistvo prave koja prolazi srediStem jedne stranice trougla i para-

lelna je drugo[ stanici tog trougla:

l) Trasiramo proizvoljnu baz0 lC (sl. 8).2) Prasiramo AB i CB.

3] Kroz sredi5te talke M odsedka ,{C trasiramo MNllBC.4) Odredimo taCku N -

presednu tadku pravih MN i AB. Tadka i/ bice sre-di5te odsedka AB (Za\to? Koju osobinu ima povudena prava MN?)

140

,5) TraZeno rastojanje AB bi& jednako 2 AN (Zalto? Odssdak MN je srednja

linija trougla ABC; daklet)

G

,'...,,$

"",'#

st.

sl. 8 sl. 9

9. Kor:r56eoien slilnosti trougtove i rqglomem:

l) Trasiramo trougao IAC (sl. 9).I

2) Na lC izaberimo tadku M tsko da bude, na primer, AM: IOAC.3) Kroz tadku M trasiramo MN II BC i tako dobijamo tadku iV. Tada

LAMN=L,ACB (zaSb?),

+ltanrerimo lM Tada je traleno rastojan& IB:IO'AN (za5to?)

fG Kortsetricrn slllnocd honglovr I c&cn:

l) Konstruilemo Prav ugao

BlC s temenom z{ (sl. lo)

2) Trasiramo praw CB i p.rla-

vu ADIBC.

3) Trougao ,{BC sli{an }ltrouglu DBA (tpr su oStri ugloviovih pravouglih trouglova iednakikao uglovi sa normalnim Pracima).

henra tornc jc

AB:AD:AC:DC.

_ 4) I;€rimo odsedke- lD,AC, DC i iz prcthcxine proporcits

odredfuEo traZcdo rastojaqh: .,(B.

t4t

,l llll

!t\rllnf

t'irIt r'll!

t, tr\\ t( r\\t1r rr rt''.

l=::X,a-.-* ,/----',/:-: p1:-

zL-----l E==za -: - -::::?

E__-__:-_=_=J--___---- /=-==--:-=;r'

sL 10



O Ima jo5 i drugih na6ina za odretlivanje rastojanja AB. O tome- 6eteuditi u srednjoj skoli.

, ONadam se da ste sG; €Vo, jo5 jcdnom qverili da je znenie-mod i da teorijatoju udite u Skoli (razmere, proporcije, razna svojstva figura, podudarnost figura,sliCrost figura i dr.) moZe korisno poalufiti u praksi; obmuto, praktidne potrebedoprinose da se razvija teorija. (Na primeq nemoguinost da se u sveskama crtajuods€Cci velike duZine zahtwalr je da se razvije teorija o raznerarna; teskoce nepo-srodnog merenja rastojanja dopriaele su da se izudi teorija o zavisnosti izmetlu duiinaodsoEka na raznim figurama, itd.).

U maternatici; kao i drugde, mora biti prisutDo marksistidko shvatanje o vezi

izrnetlu teorije i prakse, o etapama na putu samanja, koje prema knjinu ide odposrrntranjo konkretnog (prakse) k apstraktnom miflUenju i od ovog *a praksi.

Dovi<lenja do septembra!profesor /(s

8. ZaokruZi slovo ispred onog iskaz4. koji je taCan:

a) 2 je vece od 2 :O,75

b) 5 je manje oo s:| ,

I llc)2-jeveceod2-:-' 3' 3 3

33d) _ je manje od -:0,54' -

4

. 0,002:0,1'z9. Vrednost izraza rc

0'2'0'012 - -- '-- '-'----------'

bi se dobilo 1?0. Koji broj treba oduzeti od 0,75 da

'11. Ako se brojilac razlomka poveia

smanji dva puta, onda se vrednost razlomka

12. Ako se i brojiocu i,imeniocu razlomka

razlomka:

dva puta, a imenilac istowemeno

7

- doda l, onda. se wednostADACI

Zrdeci sr pri&mnih ispitr zr rpis u $edqie lkole

Beograd, 14. Vl 1972.

Provcravant asnjr, uCcnifs iz mrtcdtstikc na prii:mnim. ispitima za upir u crcdnjc- 6kotau Ecoindu izvrlmo F W2, gpdi'c' pomocu i.str.

Kodyccin

za&tak bilo ir ponuoriro ncloliko odtovon, od kojih jc samo jtdan bno tscaa.Trcbelo F & udcnik adstak rcii,-a on& oznati (aokrutimim) trlm rczullat (odgovor)i

.nldi ograniccnosti prostora, nckc za&akc smo prcformutisali; pri lcmu sultina z.drtrl(a nija

pronc[Fnr-' Prcponrdui:mo vem da samostdno rcli& srr ovc zedetkc. Dr bistr svoj r.d moglitontrolissti,

nr Lreju rno navcli rcailt t" (odgovorE):

' r. Izra.unaj : (0,72-4,12,O,21 , (OO++-f) ,'

/ l\ I2. Da li je taCan ili oetalan iskaz: 1,5:(--rJ> -9-5J?

'5733. Radomke T, 19, T eor€alaj po vclidini - od nqirnani€ do najvqtog

4. Koji od sledcfih ry.y y".e"-.yroCnosn

a) (-8,5)2, ur

{-:;)',

o (-'*f. o (3J

-135. Sta jc vodc: zbir brolva l2t i 5 ili radikr brorievf 22; i 4-

'-6. Od rad*e brojcva 5,5 i 0,4 oduztrri radihlbrolra(-7)lO,.t

a) ne menja,

b) poveca za t,c) smanji za l,d) poveca za 1172.

13. Zaokrthi slovo ispred onog iskaza koji je tadan:5

a) Ako ie 5x:2, onda je x:7

b) Ako je-3x:5, onda je x: 8

2tc) Ako je -x.-:-:6, onda je x:27

33d) Ako ie -2x:0,

onda je x:2

14. Ako je x:-1, onda je x!-2x2-x4l,J :

15. Ako je x:.-4,2, onda 10.12 ima vrednost.

16. Ako je a*0, onda je uvbk tadna nejednakost (zaokruii je):

a) 1-a122-az, b) a22q, c) a*4>4, d) al4<a.f7. Koji od sledecih. iuaza je za svako x jednak monomu 5x3:

a) x-l2x*3x

b) 2xl3xzc) 5x'xzd) x3'y3'x3'x3'i3 ?

lE. Kvadrat binonia x---2y jednakje-r------------------------ ---------------

r42

t IlvG trceie od jcdan ipo &

t43



-.7.t" /

A V.,t /",1/

\/

Ctr. 7

. Peruerra..

- a) Tpoyrao AtBtC je rarole je4rarocrpantlrr, iolre je crpaHrqa a.l

IlliftCLHA, na Je r:._ AJ

b) {i "o"1*aADo ie (a-r)2-.r2-l(")U - o,-zo,+,,:*-t:

3a2 33 ls7:_ ) r:_a48

z

146

c) Vurcrra*eu rpyxrf,qe y Aarr jgxsaroc1pannilru Tpoyrao ABC,Bf,Af, o? ga je r:rr+(a-h),r4e je r, norryupe{ulx ytrEcaue rcpyxnuqg a i

rrcyna rpoyua ABC, nnu ,:l/1*o-tVr,. ,-t(r*E-A ,ot,' '

'y:auajyht /ix1,732, rrr,raheug: rn*1,866 o 1

d) Vuucxrarbr,r riyxrrue y AarE je4xaxocrfarrrnr rpoynrc, atrArr ce

sa je r:r, (o-h) + ,:l/t-o*ivr. ,:"(+.+-r), rne cy r,

r t uonyrpewrrr ynlcaxe xpyxuxqe rpoyrna ADC s.E[cuua.

e) (a+r)2 :".(+/r-r)' > d+2ar+-rz:o,+3f-*{T+r, +\,

I+ r(2a+atr::+* . ,:ffi.axo!.a

- I | .- t.-f) r-Vtzh-al + r:|IaV-roI - r:nV-rt).a*o,?A3.aI

g) Kopncre.hr g,nyraj uo,q (e), 6rte,a

.

(a-+4r:gr+(a-rl - ,-i

h) (c-r)':(i)'.*.,-lv + 6-11'-(#.('., -ivrf *

+ . d - 2 s + r, =+.f ."(t -"lI[ = d -2 s + ti :l . n i, *(..9) .

*d,-fI=,*(:,-+):"(+-(,-f)} -

VT-t a -.4:'- ' .s-i(f ./-r-t)o0,32!.a4-lT 13'

\-

\-

/

i,\i/t/\i,/

\ i,,/

Crt. 5

--\ | /rl'

Cn. 8

a/ a

147



t48. Ilpeua uprJroxeurM cJrrr(aMa rn3pa3r{ Ayxnny flonytrpeqruKa clarerpyxuuue y SyHnruj[ oA Ayxrrxe crpaurrqe xra.qpara (a).

I

I

la

I

a

Peruere

a\ d : a VT-nujarosana Aaror r(BaApara

vT-tr:(d-al:2, ri. r: 2

.ax0,2.a

.,: a '= "(u'-i\' a V2---r,:r,V2 -' r, :--3' 2 r+/Ta,

ar,: 2$-3 VZ);

:-2 a a(VT-t)

l/2 -> r-'r*VT 2(t+VT) 2

a2 a2:) .._+ ara72:-1a2-2ar.lr2 +-4 4

a+3r:a=t-3

d .,: . aV, aVT aVT

T-r:'ry2, ri. 2 -r:rV2 + r (l + y2):;* ,:,11*y'_Z).

az

a

I

^al dlzI

I

lodlz'l

I

4\

--Ca...7

q o-(!*,,):,,/r

,

4

!_r-_: r^2"

o (i.t)':(i)2

+ (atr)2

> 3ar:a2

d)

.cI

Cn.6

t49



lt \/i \/ I

"=:"lrI

I

j-_):-- a'

852. Oapearrr 3arrpervrrny tpaBEJrEeTpocrpare rmpaMtrAe, sda je aucuna gy*a ogocHoeHe u6u4e sa meny frpehuny, aro je garnoryflpeqHllK (pyxHEqe orEcilHe oKo ocHoBe(6aae) rnpar,rr4e. (Ca. 3)

P e m e rs e. - flomro :e n:1n:J

2a,-a,-3R:T.ZV3 :TV3, ro oAarne uuauo-a:6.

Taga, c obrrpot"r Ha ycnoB 3aAarxa, rrMaMo

443R4RlH:-a: . na ie V:-BH:3 3/TVt' - 3

I a2,- I /3R\2 ,- 4R_:._V3.H:_ l_l . V3._:...:Rj.3 4' t2\VTl ',VT

E53. Axo je aehu gujaionaanu ilpeceK EpasutHe wecnocnpaHe upwMeKeogpalil, a Mar6a gujarona,'ra oorone (6ate) r.rMa ryxnry d, ougaje oanpervrnna rerrpr{3Me d3,,(oxa:aru.

.{oxas. - nouro ie 4a2-a2:d2 => 3a2-d2 } a: !-, , n r*uY3

ycnoryje H:2a, ro helro r{Mar[:

v : BH : u.4O. za :3 a2 lT. a: az. VT. L: a'.on"

Konkursni zadrci

174. Odjednog deljenja ostali su samo ovi tragovi:

Itl. Lice A ima 4 puta toliko godina koliko je imao ^B kad je ,{ imao tolikogodina koliko sad ima 8; kad -B bude imao toliko godina koliko sad ima l, obojicaie imati zajedno 95 godina. Koliko godina ima A, a koliko B?

182. Akp ste ditali zbirku istodnjadkih prida Hiljadu ijedna not, onda se sedateda je devojka Seherezada iz nodi u noc pridaia caru po jednu zanimljivu pridu i takouspevala da odloZi svoje pogubljenje, dok se najzad 1001. noii car smiluje i njom seoZeni.

a) Koliko bi noci bilo potrebno Seherezadi da bi ispridala l00l pridu, ako biu toku nekih noii pridala po 5 prida, a u toku ostalih noii

-po 3 pride?

b) Koliko je najviSe, a koliko najmanje noii potrebno Seherezadi, da biispridala sve svoje pride (1001 pridu)

-razume se, uz uilov da svake noii prida bilo

tri, bilo pet prida?

1E3. Dat je ostar ugao i tadka M na jednom njegovom kraku. Na tom istomkraku odrediti (konstrukcijom) tadku koja je jednalio udaljena od t"tt" ,la i oadrugog kraka datog ugla.

184. Konstruisati trougao ako su data dva njegova ugla i obim.

185' oko kruZnice je opisan iestougao kome su suprotne stranice dve i dveparalelne. Dokazati da su suprotne stranice tog Sestougla dvi i dvejednake.

186.-Izradunati

povr5inu pravouglog trougla kome je hipotenuza 4 cm, ajedan ugao 22" 30'.

187. Baza (osnova). jedne piramide je romb stranice a, sastavljen od dvajednostanidna trougla. visina piramide ima svoje podnoZje u centru sirietrije baze.Klaia boina ivica (brid) piramide jednaka je ivici baze. Izraziti u funkciji od2 povr-Sinu i zapreminu te piramide, a onda ih izradunati za a:4 cm.

-_.. l8q. Loptasta kapljica rednosti pretvara se u z medusobno jednakih loptastih

kapljica. U kojem odnosu stoji ukupna povrsina svih malih kapljica prema pbvrsinivelike?

Uputstvo reSavateliima konkursnih zadataka

Rc5itc prethodne zadatke i reSenja po5aljite uredniStvh,,Matematidkog lista,;.

_ - Najbolja reSenja (sa imenima u€enika koji su ih poslali) objavice se u listu. U posebnombiltenu za ovu 3k. godinu. kao i u prvom broju ML za slededu skolsku godinu, ob;avidd se spisai(popis) svih udenika koji su iz svakog broja lista re5ili bar 2 zadatka (za pet{rczrcd-5ar I zaditak).

- Najboljim resavateljima za svaki razred dodeliee sc nagtade na kraju skolskc godine, a zaelcgantna i originalna rc5enja pojedinih zadataka

- specijalie nagrade,,

zadatkc resavajtc samos.tal-no ne traieci pomo6 ni od koga. slikc crtajte praizno,aresenjapisitc obrazlozeno. i eitko. Neuredne,necitljiyardenjiirerenia(reiuhsti,eags-vori) bez obrazloienie ne6e se uzimati u obzir.

Svako reienje (s tckstom _i rednim brojem zadatka) treba pisati na jednoj str4ni papiraSvako rcScnje titliivo potpisati punim imenom i prezimenom, navodc6i razrcd i odeljcnic, Sk6lu i mesro.na primer: Mitjqno Rakit, ue. VlI3raz. Osnovne Skole,,Filip Filipovi6.., fZOOOtaCif.

Ulenici VIII razrede neka pored SLolske navedu i svotu kudnu rdreu.

Relenie zrdrtrka iz ovog broii poslati naikasniie do 5.6.1973. godioe.Adres.: Mrtematiaki list, p.p. 72t, ll00l Beograd.

Na kovcrti obavezno naznaditi: Konkursni zadaci.

. Molimo resavateljc da sc u svcmu pridriavaju ovog uputstvl. RcScnja Saljitc obidnom poltom(a nc preporuarno) kako se ne bistc izlagali ncpotrcbnim troskovima!

Cr. 3

a

'f

II

: 368

Naii deljenik.

175. Daktilografkinja tipka jedan iza drugog prirodne projeve, bez meduznaka,bez proreda: 1234567891011121314151617181920212223 . . .

Otipkala je ukupno 1973 cifre. Koliko je puta pri tome udarila cifru 7?

" 176. Koliko inia razliditih petocifrenih brojeva dija je bar jedna cifra petica?

1?7. Koliko svega ima Sestocifrenih brojeva diji zbir cifara iznosi?

l7E. Utvrditi da li je tadna ili ne jednakost 3100+7100:8100.

179. eemu je jednako 84 ako je 8. 8:54?

r80. Izradunati a4+b4+c4, ako je albtc:o i a2+b2+c2:1.

ts2

-200-- o-

153



Konadno imamo:

605 .987

4n5-840

5445 lvica Antit, VII3, OS >D. Stambolic<, SvrljigDragan Mihailovii, VI3 r. OS >B p pinki<<, Srem. Mitrovica

l7O. Odrediti sve parove prirodnih brojeva x i y tako da bude:

a) xz-yz'1972 b) xz-yz:1973a) Po5to je xz-yz:(x-y)(x*i i 1972:2.2.17.29, imamo

(x-y) (x-l-y) : 2. 2. 17.. 29,

pri Cemu su (x-y) i (x*y) parni brojevi (Za5to?).

Proizvod na desnoj strani moZe se na vi5e nadina prika4ati kao proizvod dvadinioca (faktora):

(l) 2.(2.t7.29) : 2.e86(2) Q.2)(t7.2e) : 4.4e3(3) Q.t7)(2.2e) :34.58(4) (2.2.17).29:68.29(s) 17.(2.2.2e) :17.116.(6) r.(2.2.17.2e):1.te72.

Uzimamo samo one kombinacije koje zadovoljavaju navedene uslove; to su,(l) i (3), tj.x-y-- 2i i x-r:34.1

x+.y:986 ) i x+y:58 J'odakle dobijamol) x:494, Y:492 i 2) x:46 Y:12.

Z_nadi, lelaciju x2--:-y2:7972 zadovoljavaju samo dva para prirodnih brojeva:(494' 492) i (46' l2)'

Miloi aejovii, vIII, r. os )IV kralj. bataljon,,, Krar.levo

b) xz-yz:1973 <> (x-y)(x*y):1973.Broj 1973 je prost, pa moie biti jedino

x-Y:l 'l

x-ly:l9]6 )'odakle se dobija: x:987, t:986. Znadi, relaciju x2-y2:1973 zadovoljava samojedan par prirodnih brojeva (x, y) i to par (987, 986).

Zldtko Zakoiek, VIII r. OS )12 septembar<, Majdanpek

Napomena.-

Dokatimo da je 1973 aista prost broj.Ako 1973 nijelrostbroj, onda or ima proste delitelje (bar njih dva) veCe od t i manje od 1923,

ali_oni,ne-lqogl biti vedi od 44, jer ako bi bar jedan od njih bio vedi bd ,H, tada bi njihov prcizvod bidvedi-od-l-973, Sto je nemogud€. Zato, ispitajmo da li je broj 1973 deljiv proJtim brojevima: i, tt, tS, tZ,19,23,29,31,37,41 i 43. Nijedan od ovih brojeva nije delilac broja i9?3, Sto znaCi ib jc lgZi pnist 6roj,

156

l7l. Na koliko se nadina broj 1973 moie prikazali u obliku zbira tri prirodnabroja? (Uzimati u obzir i poredak sabiraka. Na primer, 500+600+873ne smatramo. istovetnim sa 500*873*600).

Neka je k+(1973-k) jedno razlaganje broja 1973 na dva sabirka, gde je /c

prirodan broj (t:1, 2,3, ...,1972). Poltoje I <k<1972, to 6e broj razlaganja na dvasabirka biti jednak 1972. (Ta radaganja su: l*1972:2+1971:3+1970:...::t972+r).

Za razlaganjena tri sabirka iskoristicemo pomenuto razlaganje na dva sabirka:k+(1973-k), gde &:I, 2,3,. . ., 1972. Dovoljno je raloZiti ili pvri sabirak na dva

nova sabirka a drugi da ostane nepromenjen, ili razloZiti drugi sabirak na dva novasabirka a da se ne menja prvi sabirak. Prema prethodnom, prvi sabirak /r (gde jek:1, 2, 3, . . . ,1972) moie se razloiiti na dva sabirka na (k-l) nadina, a drugisabirak (1973-k) - na(1973-k)-l nadina, Sto zajedno iznosi l97l razlaganje.

Prema tome, poito se broj 1973 moie na 1972 naEina razloliti na dva sabirka,a svaki od ta dva sabirka dopulta l97l razlaganje,.onda to znadi da se radaganjebroja 1973 na tri sabirka moZe izvesti na ukupno (1972.1971) nadina. Medutim,posto se dci tri sabirka dolazi razlaluti bilo prvi bilo dugi sabirak, to se svako razlaga-nje javlja dva puta, pa 6e ukupan broj svih razlaganja bro a 1973 na tri sabirka izno-siti :

v Silnana Skugor, vIIIc, I oS Sibenik

[12. Kod jednog trougla je centar upisane kruiiice simetiian sa centrom opisane

kruinice u odrnsu na jednu njegovu stranica. Odrediti unutraJnje uglove log trougla.

Neka su centri O i S upisane i opisanekruZnice kod trougla /BC simetriCni u odnosuna stranicu ,44 (sl. l). Tada de podnoZje nor-mala iz O i S na AB biti u istoj tadki M

-redi5tu duZi OS.

Treba -da odredimo uglove trouglaABC, tj. 4 BAC:a, 4,48C:p, 4 BCA:y.

Najpre cemo dokazati da je p:4.Z.aista, AS:SB (kao poluprednici kruZnicek, MSLA&, te je LASM=ASBM, otlaklesledi A M : MB ; tada L A MO

=LMBO (pravo-

ugli trougli s jednakim katetama), pa j€4OAM:4OBM;ali

J

lg12.lg7l^ , tj. 1943406.z

ap4oAM:= t 4oBM:_22

(jer se ccntar kruZnice upisane u trougao nalazi u preseku simetrala njegovih'ScL

ato te Z:t, tj.9:cr.

st. r

uglova),

t57



III nagrada

l. Becze Tibor, OS >Petefi San$or<, Novi Savd

2. Doretevit Zorica, OS >Ivan Girndulii<, Novi Beograd

3. Koiir Sonji, OS >Milojka Strukelj<, Nova Gorica

4. Dragai Nikola, OS >Stevo Opadii<, Golubii kod Knina

5, Zavrl Nevenka, OS >PreZihov Voranc<<, Ljubljana

Pohvale

L Peri6 Milan, AS'>>trlarial Tito<, Medveda kod Trstenika

2. Kovaievii Marjan, OS >Goce Deldev<, Zemun

3. Muratovit Miodrag, OS >Branko BoZovii<, Titograd4. Oblak Marko,OS >PreZihov Voranc<<, Ljubljana

5. Balen Mario, OS >>Hasan Kikii(, Sanski Most

6. ZivEie lvanka, OS >VeZica<, Rijeka

7. Lovrit Miroslav, OS >7 sekretara SKOJ-a<, Zagreb

8. Lazovit Ljiljana, OS >Vuk KaradZii<, Vranje

VII RAZRED

t. LjubitNr'na, oS >August S!r#ri,**"o2. Dostanit, Milutin, oS >Ratko Mitrovi6<, eadak

III nagrada

l. Ili6 Dragan, oS >Ratko Mitrovi6<<, eacak

Pohvala

l. Jablanovit Slavica, OS >rDespot Stevan Visoki<<, Despotovac

Zsdrci na m saYeznom taknileniu

VII RAZRED

1. ehnovi matematidke sekcije u jednoj Skoli dogovorili su se da za wijemepraznika svaki cid njih napi5e po jednu razglednicu ostalim dlanovima. Koliko jesvega bilo dlanova u toj sekciji akoje bilo napisano ukupno 342razglednie?

2. Prilikom pismenog rada iz matemaiike 127" ulenika u razredu nije riiesilond{tak" 32/"n&nikz je djelimidno rijehilo, a ostatak od 14 uf^,nika zadatak je talno

rije6ilo. Kolikoje

udenika bilo u razredu?3. Primenjujuii odgovaraju6e formule, uprosti (pojednostavi) izraz:

A:l@a{S b)zlz-(aa-5 b)212-l6}ab (4a-5 b)2.

Izvr5i proveravanje (pokus) za a:1, b:-2.

160

4.Z,adanaje prava (pravac) MN'i tadke I i B (sa istc strane te prave). Nazadanoj pravoj nadi taCku P tako da ugao (kut) MPA bude 2 puta veci od ugla NPB.

5. U kvadrat stranice a upisan je drugi kvadrat Ciji vrhovi (temena) leZe nastraiicama prvog, ali tako da strahice zadanog i upisanog kvadrata dine uglove od30'. Koji dio povr3ine datog kvadrata Gini povr5ina upisanog kvadrata? lzrazi tajodnos i u procentimal (%).

VIII RAZRED

l. Popuniti prama polja ove tablice takoda suma (zbir) brojeva u svaka tri susedna polja

-kako horizontalno, tako i vertikalno- bude 12.

!. Poletjev5i'istovremeno, helikopter i avion lete ususret jedan drugom.U trenutku susreta helikopter je preletio 100 km manje od aviona i na mjesto poli-jetanja aviona stigao 3 sata poslije susreta. Avion je stigao na uzleti5te helikopteraI sat i 20 minuta poslije susreta. Na6i brzinu aviona.i helikoptera i udaljenost izmeduniittol

loni"-r"t iestougao (izbodeni sesterokut) ABcDrFsasravljen je od jed-nakokrakog |rapza ACDF i dva jednakokraka trougla ABC i FDE jednakih visina(h:l2cm). Stranice tog mnogougla (mnogokuta) su: ,{8:l5crn, ,lF=25cm iFE:20 cm. KonstruiSite (konstruirajte) ga u ramreri t : 5 i izradunajtc mu povrSinu(u dmz;.

4. Brigada traktorista treba da poore dve njive, pri demu je jedna njiva popovriini dva puta veca od druge. Ceo prvi dan svi traktoristi su orali prvu njivu, aonda su se podelili, pa je drugoga dana polovina brigade dovr5ila oranje prve (vece)njive, a druga polovina brigade orala je drugu njivu (koja je, ne zaboravite, dva putamanj4 od prve). Ova druga polovina brigade nije mogla da dovrSi oranje druge njivgpa je

- da bi dovrlio ostatak manje njive-

jedan traktorista morao orati joS dvadana. Kolikoje bilo traktorista u brigadi? (Pretpostavlja se da svi traktoristi rade podistim uslovima i imaju istu produklivnost).

5. Tadana je prava pravilna jednakoividna (jednakobridna) trostrana priz-ma dija baza ima povr5inu 6,25/Tcmz.

a) IzraCunaj osnovnu ivicu.(brid) tog tijela.

b) Odredi omjer (odnos) volumen6 (zapremini) zadanoj prizmi opisanog

i qnisanoe valjka (s istom visinom kao prizma). Da li taj omjer vaZi za svaku pravujednakoiviihu trostranu prizrnu?

5

I

6

2

l6l



2. Udaljenost izmetlu udetiSta je 9Xl kn, brzina helikoptera je 100 kn/}, a aviona 1S0 kln/}.

R e 5 e n j e. - Neka je helikopt€r do susreta preleteo x klr; tada je avion do susreta prelst€o

(x*100) km. Brzina helikopter" j"*9 m/f,, a brzioa aviona j? km/h. od svos uzteti5ta do

tT

helikopter le leteo *:{!9-#fo (sati); avionielcteoodsvoguzletisra do.susr€ta

sati. Prema torie, mozemo postaviti jednadinu

ll&ro penydnf,qno ranMnqerbe M.[aArx MareMar[qapaocHoBrux ruKoJra cP cporje

IIIecwo peuyf,ruvxo waKilutletue oapxaxo je 7. 5. 1972. ro,{rrHe Ha flpnpogxo-MareMarr{q(oM $axyarery y Eeorpaay. V.recrsosano je yrynHo 170 yrexura: 86

r{l VII:patpega u 84 uz VIII parpeaa. Euru cy ro oHr yqeHI{IrH xoju cy ce xgaru-$xxonanr xpo3 nperxoAHe crynrr€Be raKM[qena (rurolcxa, onlurtrlrcKa, rvlefyon-rultrcxa). 3aAarxe 3a oBo raxMfiqerre, Kao r 3a [perxoAHa ABa crynrra raKMrrqena,

cacrannna je Peny6ru,rxa xouucnja 3a MnaAe idareMarnqape. TaxMnrapu cy adgarrepa4lalt4 no.q run$pol{. Cbonurrasarbe pa3ynrara o6ar*exo je. ucror aaHa.

Taxun.rapava rojn cy ocrojulx 19-25 $oAona (oA 25 voryhnx) .qo.qerene cyguunoile n cicpovHe Haipoge (xrrure, caroBu r.t cr.), a raxuu.rapgMa ca l5-18 6o,qosa

- uoxaa.le.

,.,.Apy-rrrBo varelraruvipa, $n:uvapa N acrpoHbva CP Cp6rje nnje ycuero ga

o6er6e,qu cpeAcrBa 3aHarpaAe. Hnax, narpage cy aoAereke raxranyjyhn nJreMeHu-

ToM,recry gpyra Mutoeaaa Maagenoeufta, uacrasuuxa nl fpoqre, xoju je o.q csoje

Harpaae, ,qobnjene ra pelrJetre Harpaanor raAarra 6p. 23 (ra nacrannnxe), HarpaAnot"r

donay MJI npunoxro r{3Hoc oA 4000 anxapa (213 csoje Harpaae), c rHM aa ce y[or-pe6u m oBo raKMr{qe6e. IIInpa ApyrurBega :ajeAHrua unje.ra oBo raKMr{qe}be

[oTTaqq roroBo Hr{KaKaB l{Hrepec (n nope4 H[3a a[era opranrraropa).' 36or orpaHnqeHocrr{ rrpocropa, oBAe HaBoAI{Mo caMo raxMlttnpe xojx cy

uarpafenn u roxBarreHr{ (y sarpaan je 6poj ocaojeuxx 6oAosa -oE 25 r"roryhrx).

VIII PA3PEA

Ifpea xaipaga :

Jlasoeuh Jbunaua, OIII >Byx Kapauuh<, Bpare (25)Iuuuwpuh Eexo, O\I >>Kaanrraqa(, Iogrrrrqa (24)

,\pyia naip-aga

'l. bypuh'Sopan, OIII >Arr"r. AaarAosuh<(, CrieAepeso (22)

2. A6csu hep4u, OIII ))3. orrolap<, Eop (22)

3. Dopbeeuh 3oFuqa, O.III >H. fynaynnh<<, Hogu Eeorpal (21)

4. Cwojanoeuh fiyuan, OIII >J. Kypcyna, Bapnapnu (21)

5. Ilepuh Muaan, OllI r>Mapruar Turot, MeaBeba xlT (21)

6. Ee4q Tu6op, O\I >flere$n IIIanAop<, Hosr Ca.q (21)

Tpeha wlpaga:.

Kutudapga fopax, OIII >Kapafople<, OcrpyxHrlla (19)

Ilanoeuh Pyhcuqa, OtrI >Mnnesa Kcoraq<, [Ia6aq (19)

'floxea,te

Kotyuyuja Epanxo, Oru >lI. lyu.qynuh(, Honx Seorpaa (17) oPagoeaxoauh Motoaan, OIII Pu6aruesrrHa KoA T. Vxxqa (16)

Cenu.ruh 3opan, OW y A.qpannva (xol Kparesa) (16)

mesta susreta

tsv3.r {t*+rool t : \2 4.r+roo: r ' tr' [;T1oo, :t'

odatre dobijsmo#.E:+ u, -*-:-?,r (+)t:(-+)t:|."o.,o

.. * ,

x + 100 pozitihe velidine, to dolazi i obzir samo prava mogudnost, tj. da js --:: - ! , odakle te

x : 200. Znadi, helikoptcr jc do susreta prelet€o 20O km, a avion 300 km. Itd.

3. Bilojettrrktodstr.

- Re 5enfc,-

Neka je u brigadi bilo x traktorista, Ako rad mcrimo )traktor-danima( (rad Itmktora u toku I dam), onda je:

*,t+|.t-

rad na oranju I njive,

i't+z - rad na ormju II njive.

Tada (posto je prva njiva dva puta veda od druge)j

,+|:2.(i+zl,odaklc sc dobija x:8 (borj traktorista u brigadi).

_ .., .- P.r.im.e d b a.-

Uporedi sa zadatkom o kosim (Zadatak Lava Tolstoja) u ML V.4(stl 142-145) i ML V. (str. 205-206).

,1. Skica (sl. 4). Geomctrijsku koNtrukciju u datoj razmeri ncka iznli 6italac.

, Porr5ina Sestougla sa datim podacima (nc umanjcnog) iaosi900 cm2, odncno 9 dm2.

_ . - Up u!stvo.-Pr.imcnjujudi Pitagorinu teoremu, dobija scDH:16cm, CGf9 cm, CK:24cm. Tada: DF:32cra, lC:t8cm.Tratem povrsinap : r jrc + piib r + PFDE :s . 12 + 25 . 24 + t6, t2 : pQQ (g6a), Ird.

s. d h+;y'1:62slI, oorijano a:5 (cm).

b) PoluproEnik upisanog valjka jc ,:!n-]y'I, a potuprct.5

nik opisanog vaUka lc x:f l: tF:r, @&, ic h visins brp). po-smtrui valjci su jcdnakih visina, pe s njihovi volumni odnosc kaokvsdmti pripad.judih poluprc&rika , ti. Yr i Y2: xzn 11 : 12 v 11 - .Yr :. Y2: R2 : 17 _+ V 1 i V2: 4r2 : 12 + Yt : lz:1 : I, pri temu jc Zropisanog valjkr, a lz2

- upisanop Ze svo ovgtvc prizmc ovaj ortnbs ji

164

st.4

volumcn (apremina) prizmiisti.

D.M.

1.

)

3.



Pelymarn, ytryrcrBa rr peuterba

VII PA3PEA

_ _ l. Tpaxexu 6poj je o6ruxa 19720000*r, r.(e je OS:<1000O. Taj 6poj uopa 6urx ,uermca7.5'72:192O, tj.

oaaxne iet92o'lr:l972ooooi:'

r:rozzo+rH*'.

rlo-.uio ft Mopa 6tru qeo 6poj, ro r Moxe HMarn caMo one Bpe.tlEocrn ra xoje je.l600+x.qe6xBo ca 1920. Bpe,qxcrn xoje ealoaonarajy aare cy y cle,qehoj ra6elu:

{. Bnacrg p€rrrcttc saaarxa l y MI lII, l, crp, 7,

ffogyquuo aitre MA u MB H tpewe raqrcc C x D rxx trpaBnx c rpyxrruou lc cnojnvoca zl r .B (q. l).Ta'a 4ABC:{ADB:9O (ucpxrbepxjcs yrnoBE f,a,[ npcqEf,xoM ,{8 xpyxnxqc &)'uro 3nars tN cy AC \ B D sncnse rpoyrna ABM. Hcxa jc O bxxoB ntrer. flouro cc crc tpx Bxcxxcrpoyua u<ipajy cchr y jcgroj raqKs, ro f, rp€ha Nf,crHa MK rgoytna ABM vopa npohx xpo: rarryO, ri. MKLAB. flpcva roue, npatz MK ie rPaxeua uopMarra na AB.

M

1600$ r:1920 n, 1920 3840 s760 7680 9600 I 1520

x 320 2240 4160 6080 8m0 9920

k 10271 to272 to273 10214 1027s 10276

t9720000*x 1972032A 1972X240 t972,160 197260tO 1972E000 19729920

Kanyr u5trene Kana

IIeaaa l0x 4x

ffpe,apar t5: 6x l,5 x

flpeua roue,nua ucr ocuoqnrfpeaux 6pojeaa roju uornny ca 1972a lenusucy ca7,5 a'12. HatroMeHa.

-BtrAernpe[erc 124. xoH(ypcHor 3a.qarKa y MJM.3, crp. 1l2.

2. Axo ca x o3B4qnMo rleuy HesaAose xatre, oE.{a he flpeaparoaa Kana BpeAeTs 1,5x, a xanyr10. 1,5:: l5x. Ta.qa HeHaaoBe utrnqe u Kana Bpeae 5x (jep je EeroB xatryr 3 nyra crynru oA qutrenax xane sajegHo). 3narx, cawe Hesa,qone qntrene Bp€ae 5x-x:4x. Alu raaa flpeaparoae quneleBpeAe 1,5 .41:6a. Ha rpajy, Heuaaoa xauyr

-nouro je 1,5 nyr jcerxuaju o,a ilpeapaioaot

-rpe,uu

15:.:1,5:10t. Cae ro nperaeguo Btr.qnMo ng ra6qe:

Cr. I

s. a) r1:e ..| (+)'":;",".b, P2:2Pt:a2n (Cn.2)

Ct.7

fiouro je uajra yKysgo trnarua 750 .qtsapa, uuauo Aa je

l0x*4**** l5xf 6x* l,5x:750,

ri.37,5. x:750, oqaxle je x:2O.3naqu, qexa lleHa,qoBe xaue je 20 ruxapa, {trtrena 40,ausapa, a xauyra 2O0.qHgapa; qena

flpeaparoae xaue je 30 aHHapa, qnnena 120 auxapa, a Kauyra 300 ausapa.

3. fouuly oa 20 KyrnErla pa3noxtrMo Ha rptr roMune-

ca 7, 7 s 6 xyunqa.CTaBrMo Ha cBaKu rac no 7 ryrluqa. AKo ce Hapyun paBHorexa, ouAa ce Ae0exrsa (laxua)

xyrnsrra Hana3u a racy xojr ce n:aurxe (1, Mepebe).

Kyuuqe ca ror raca pa3noxEMo Ha 3 rovune-

ca 3, 3 n I ryuurlou. tra Ha racoBe craBnMouo 3 xyrrnqe. AKo cy racoBu y paBHorexn, og,qa he oaa npeocrala ryuuqa 6nru qe{exrua, a axo Hucyy paBxoreru, aederrua fyrrnqa je y raxuoj rpynu

-xa H3aurHyroM Tacy (2. vepere).

npernocraBsMo ,qa je y nuraby oBo trpyro, rj. ga ce ,4erlexrxa Kyrraqa Hana3tr y rpynn o.q 3Kyrnuue. Taga je voxevo uponahn jeaxnu rilepeneu. Craeuuo xa racoBe no I iyrlnqy. Aioiy racoauy paEnorexr, aerfexrua je osa rpeha (oa6ariual (yrntrqa, a af,o Ency y paBuorexu, oxga je ge-$erraa ona ra f,3A{rHyroM Tacy (3. ueperc).

_Ocraao je Aa ci: pasuorpn clyvaj xaA npu npBoM Mepeby

rpyua lo7

xyuuqa HacrytrxpaBuo-

rexa. Ta a ce geQexrua Kyrmqa xana3tr y oxoj rpehoj rpynu o.q 6 ryrlnqa (1, uepepe). Ciapuuo uaracoBe no 3 ryrlnqe. y naKuoj rpytrs (Ha H3aHrEyroM racy) ie .qe{bexrsa ryrtuua (2. MepeEe). y3MEMoTe rpil xyrnnre u cruuMo Ha racore no I ryrnsqy (rpehy o46aquuo) r raKo oap€af,Mo xoja je ryrlnuaae$exrna: axo je paBHorexa

-geQexrna je oHa rpeha (o.q6asena) Kyuqqa, a ixo Huje pirnore4a

-e(bexrxa je ona na E3Af,ruyroM racy (3. vepe*e)V caarov clyrajy, saffiysyjeuo aa je oa o,qpeltmabe ae$eroe xyrmqe aoBoDEo rpr Mepeu,

168

VITI PA3PEA

L aa + 4 : aa + 4a2 + 4-4a2 : (a2 +/)z-tla\z :(az tZ -l 2a)(oz +2-2a\ ::(azl2a!2)(az-2a*2), nps veuy je ra a>l caaxu o.{ f,3pa3a y 3arpaAH rehx oa t, jep:

(az l2a*2)(oz-24+2):l(a +l)2 + ll ' (a-l)2 + ll.

Bsaerf, ll5. 3a.qarar y MJI vI. l*2 (ap. ,13).

2. Oruaqxuo ca x ,qecrHue, a ca y jc.anxxue aBoltsdpexor 6poja xojx jc nyrHnx trpBH nyrBureo Ha cry6y, Taj 6poj je lOx*y.

Kpo3lcaruyrnurjcxacry6yargeorpoutro.6pojl00y+10'0+x.3HasB,ral carayrobycje npeuao nyr (l0oylx){l0x+yr:99y*9x:9 (l ly-r) (km). Kpoe 2 cara, xaa je no rpehr nyruorneAao Kpo3 npo3op, nyrnur je na cry6y axleo 6poj lOoyal0z*t. 3a 2 cara tryroBaba nyraur jcnpeuao 2.9(ll/-r) km, na f,MaMo jeanaruxy

(loo-v +x) + l8 (l l.y-r) : looy+ I0t +r,

roja ce cro.ux na l8(lly-r):102, rj, xa 9'(lly-x):S'z.Jleaa crpaaa je ,rrerxaa ca 9, na uopa 6urs renrsa r ,[ecxa, uro hc 6nrr axo ie z ,qcrxro ca

9, a xaro je z jc,qnounOpes 6poj pauuvur o.q 0, uopa 6HrA z:9. Aar raaa je lly-x:5. flouro cy xx y jeauoupOpeux 6pojeau, ora jeaxarcr je uoryha caMo 3a r:6r y: l. Taaa je 9 (l ll-r):45' uro3Hayr ra je 6b:uxa.ayro6yca 6f,ta 45 km/h. Ilyrnnx je ra cry6oaaua Bxaeo.pe,qoM crc.eche 6pojcae:6t, 106, t96.

3. Tpe6a u:ryhu uacyuue jcaHy xyunuy nr xyrnjc c xarnHcou ,,upna x 6cna" (lll).

. AKoje

x:ayrena ryunqa 6oa, oHAa H ,qpyra xyrnaua y roj xyrrjx wopa 6nrx 6cla..Taqay

ryrnjs c xarnncou ,,2 upue" (I) Mopaiy 6urn qpna n 6caa xyrarua, a y xyrrjn c trarnncoM ,,2 6cnc"(tll) Mopajy 6nra 2 qpne xyrnxue.

Axo je, nar r3By{cna ryrn(qa upHa, on,qa H apyra xyrnnua y roj xyrnjr Mopa 6rrf, upHa.Taaa y xyrrjr c Harnf,coM,,2 6enc" (l)uory 6urr caMo upaa u 6€na xyrnHua, a y xyruiu c narnHcoM

,,2 upHe" (lI)-

cauo lse 6eae xyrnf,Ilcr

Pa:uotpnrx cryrajeae axo cc xyunua f,3anaqn x3 ocruc arc xyrrjc,,I[auc?

169



Malo topologije

Pred vama je plan jednog grada.

MoZete li nacrtati marirutu Setnje tako da se prede preko svakog mosta i losamo iedanpul?

Uputstvo.-

Vidi ilanak,,Jednirn potezon" u ML Il. l.

i!:1" *.,:,

'$,'1; *A :

' r, r l ' , t

^;-"1

Znanje je ukras za bogatog, a bogatstv;o za sironeaha'

t78

sl. 2 ,sl. 3 sr. 4

t79

MATEMATICKE IGRE

Kruiidi i kvadrati

Pripremite >tablu< za igru. To moZe biti veii kvadrat nacrtan na kartonui izdeljen na manje kvadrate (broj polja: 3 x 3, 5 x 5, itd). MoZe u ttr svrhu posluZiti

i Sahovska tabla. Potrebno je jo5 da imate dovoljan broj kruiiia i isto toliko kvadra-tiia(to su tzy. Zetoni). Dimenzije ovih Zetona treba da su manje od dimenzija poljana tabli.

Igraju'dvoje. Jedan od igrada ima kruZice, a drugi kvadratiie.

Oni naizmenidno stavljaju po jedan svoj Zeton na polja table, nastojeci da

sastave >rlanac<, tj. da svojim Zetonima popune ceo red polja odjedr:og

do drugogkraja table-

svejedno u kom pravcu (sl. l). Svaki od igrada, stavljajudi novi Zeton,prati poteze svog protivnika i smiSlja ita mu je bolje: da popuni svoj lanac ili dasvojim Zetonom onemoguii frotivnika da ovaj dovr5i svoj. Svaki ispunjdni redvredi I bod.

Onaj igrad koji obrazuje neki red ima pravo da odmah udini jo5 jedan hod(ne dekajudi na protivnika). U sludaju da tim hodom upravo dvor5i i,reki svoj rgd,on to pravo vi5e nema (sl. 2).

PaZljivo prostudirajte situacije na dvema tablama sa- zavrSenim igrama(sl. 3 i 4), pa iete uvideti kako treba postavljati Zetone i uspe5no parirati protivniku,stvarajuii uzgred svoje lance Zetona.

ffiW st. I

I I p o oo @ I o t6 o I I I

q I o I II b o I I

,t, q q, I, qt. t, o" !, o.

Q, q, D,

l. t" h t"I q, q T T

matematicki list 1973 vii 4-5

Documents