matematicas+vi.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE CONTADURA Y ADMINISTRACIN

DIVISIN DE ESTUDIOS PROFESIONALES

COORDINACIN DE matematicas

Matematicas VI(INVESTIGACION DE OPERACIONES)

PROF.: L. A. NORMA NEZ SNCHEZ.

SEMESTRE 2012 - 2

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI BIBliografia1.- ANALISIS CUANTITATIVO PARA LA TOMA DE DECIUSIONES, HAROLD BIERMAN JR., ED, MC GRAW HILL.

2.- INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES, F. HILLER Y G. LIEBERMAN, ED, MC GRAW HILL.

3.- MODELOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION, K. ROSCOE DAVIS, GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICA.

4.-INVESTIGACION DE OPERACIONES, MATUR HAMLESH, ED. PRENTICE HALL.

5.- INVESTIGACION DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA, G. D. EPPEN, ED. PRENTICE HALL HISPANOAMERICA.

6.- Investigacin de OPERACIONES, J. Shamblin, ed. Mc Graw Hill.

7.- Mtodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones, Charles Gallagher, Ed. Mc Graw Hill. 8.- Mtodos y Modelos de investigacin de OPERACIONES, J. Prawd, Vol. I y II. Ed. LIMUSA.

9.- Investigacin de OPERACIONES, H. Moskowitz, Ed. Prentice HALL.

10.- Introduccin a las Tcnicas de Investigacin de OPERACIONES, H. DAEllenbach, J. George y D. Mcnikle, CECSA.

11.- Investigacin de OPERACIONES, H. Taha, Ed. Alfa - Omega.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

I.- ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

A.- ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESEl origen de la Investigacin de Operaciones se da antes de la Revolucin Industrial, ya que durante este movimiento surgieron algunos problemas como fueron el crecimiento y complejidad de las organizaciones; es decir, cuando los pequeos talleres artesanales se convirtieron en in-dustrias grandes lo que trajo como consecuencia cambios en la divisin del trabajo y la separacin de las responsabilidades administrativas dentro de stas, perdiendo con esto la divisin de sus objetivos.

Otro problema aunado al anterior, es que conforme la especializacin y complejidad crecieron, se vuelve ms difcil asignar los recursos disponibles a las diversas actividades de manera efi-caz en un organismo, este tipo de problemas los resolvera ms tarde la Investigacin de Operaciones.

La Investigacin de Operaciones es un enfoque cientfico de la toma de decisiones, dentro deeste contexto, la Investigacin de Operaciones. Puede remontarse a Frederick W. Taylor, los Gilbreths y Henry Gantt. Sin embargo, la Investigacin de operaciones se desarrolla en su to-talidad durante la Segunda Guerra Mundial cuando se utiliz el termino Investigacin Opera-cional para describir el enfoque adoptado por grupos interdisciplinarios de hombres de cien-cia para resolver problemas de estrategia y tctica del manejo militar. Despues de la guerra este enfoque se extendi a las organizaciones industriales.

B.- NATURALEZA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESComo su nombre lo indica la Investigacin de Operaciones significa hacer investigacin so-bre las operaciones. La Investigacin de Operaciones se aplica a problemas que se refierea la conduccin y coordinacin de operaciones (actividades) dentro de una organizacin.

La parte de investigacin en el nombre significa que la Investigacin de Operacin usa un en-foque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigacin en los campos cientficos es-tablecidos, en ocasiones se usa el trmino Ciencias de la Administracin como sinnimo de Investigacin de Operaciones.

La Investigacin de Operaciones incluye la investigacin cientfica creativa de las propieda-des fundamentales de las operaciones. La Investigacin de Operaciones se ocupa de la administracin prctica de la organizacin, as para tener xito deber tambin proporcionarconclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

Una caracterstica adicional es que la Investigacin de Operaciones intenta encontrar una mejor solucin (llamada solucin ptima), an cuando debe interpretarse con todo cuidado en trminos de las necesidades reales de la administracin, esta bsqueda de la optimalidad es un aspecto importante dentro de la Investigacin de Operaciones.


C.- CONCEPTO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLa Investigacin de Operaciones utiliza el mtodo planeado y el equipo interdisciplinario para representar relaciones funcionales complejas como los modelos matemticos, con objeto de proporcionar una base cuantitativa para la toma de decisiones y para descubrir nuevos pro-blemas en el anlisis cuantitativo.

D.- OBJETIVO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESConsiste en proporcionar un mtodo racional y sistemtico para resolver problemas fundamenales para el control u operacin de los sistemas, los resultados obtenidos deben de ponerse en ejecucin y si stos constituyen resoluciones que conformen reglas para emitir decisiones respectivas, que se piensan aplicar durante cierto tiempo dichos resultados deben dirigirse o controlarse.

E.- METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLos pasos de la metodologa de la Investigacin de Operaciones son:

1.- Defnase el problema2.- Recolctense los datos3.- Defnanse soluciones alternativas4.- Evalense soluciones alternativas5.- Seleccinese la mejor alternativa6.- Pngase a la prctica

F.- MODELO GENERAL DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESEl mtodo del investigador de operaciones es la construccin de representaciones de sistemas y modelos donde ejemplifica su operacin. Los modelos se representan con ecuaciones y tienenla siguiente estructura.

E = f(Xi, Yi)

Donde:

E.- representa la efectividad del sistema (utilidad, costo o beneficio)

F.- representa la funcin de un grupo de variables del sistema sujeto a control.

Xi.- representa las variables del sistema sujetas a control.

Yi.- representa las variables del sistema que no estn sujetas a control.

El modelo anterior puede ser clasificado como un modelo de optimizacin de los valores que seinsertan para las variables controlables (Xi) y las variables no controlables (Yi) se deben mani-pular para optimizar la efectividad del sistema.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI G.- CONCEPTO DE OPTIMIZACIONLa optimizacin se da cuando se conocen todos los factores que afectan al sistema, se puede formular un modelo matemtico como se indic antes. La solucin a este modelo ya que se relacionaron apropiadamente las funciones (mercadeo, manufactura, finanzas y personal). As como los componentes debe dar como resultado de utilidades para la firma como un todo.

H.- APLICACIONES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLa Investigacin de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coor-dinacin de operaciones dentro de una empresa, tambin se ha aplicado en reas tan diversas como: la manufactura, el transporte, la construccin, las telecomunicaciones, la planeacin financiera, el cuidado de la salud, la milicia, y los servicios pblicos por mencionar algunos.


II.- TECNICAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

MODELOS DE PROGRAMACION LINEALResuelven problemas tratan sobre dietas, mezcla de productos y seleccin de productos, para formular un problema en forma matemtica se deben expresar afirmaciones lgicas en trmi-nos matemticos.

PROGRAMACION LINEALEs un procedimiento matemtico para hacer ptimo el uso de los recursos, dado un objetivo y las restricciones de los recursos, los cuales se establecen como funciones.

Tambin se puede decir que la programacin lineal se ha difundido porque una gran cantidad de problemas econmicos, administrativos y contables pueden ser descritos como modelos de pro-gramacin lineal.

ALGORITMOEs un conjunto de procedimientos que cuando se siguen proporcionan la mejor solucin de un modelo.

FUNCION LINEALEs aquella que en el plano cartesiano por medio de coordenadas genera una lnea recta, es de-cir, una funcin en x y y, la cual se denota por:

ax + by

Donde:

a y b son constantes y a y b son diferentes de cero.

EJEMPLOS3x + 6y = 18

2x 4y = 12

X 5y = 15

6x +3y = 24

DESIGUALDAD LINEALEs aquella que consta de dos variables y se describe en cualesquiera de las siguientes formas:

ax + by < 0

ax + by > 0PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

ax + by 0

ax + by 0

TECNICAS DE OPTIMIZACIONEs el mtodo que trata de maximizar o minimizar un objetivo.

EJEMPLOS Maximizar las utilidades

Minimizar los costos

SISTEMAEs un conjunto de cosas interrelacionadas entre s, de tal manera que toman una unidad compleja o un todo compuesto de partes disponibles en forma ordenada segn un plan o esquema.

EJEMPLOS Sistema nervioso

Sistema solar

Escuela

MODELOSSon una representacin o abstraccin de un sistema real, deben de ser representativos de a-quellos aspectos que estn investigndose, sirven para predecir y comparar los resultados de las decisiones.

CLASIFICACION DE LOS MODELOSLos modelos pueden ser clasificados por: sus dimensiones, sus propsitos, el tema y su gra-do de abstraccin. Algunos tipos de modelos son:

A.- MODELOS ANALOGICOS

B.- MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)

C.- MODELOS CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS

D.- MODELOS ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA

E.- MODELOS DESCRPTIVOS Y DE OPTIMIZACION

F.- MODELOS PROBABILISTICO Y DETERMINISTICO


G.- MODELOS ESTATICOS Y DINAMICOS

H.- MODELOS DE SIMULACION Y DE NO SIMULACION

TAREA NO.1Investigue cada uno de los diferentes tipos de modelos antes mencionados.

TOMA DE DECISIONESEs un proceso mediante el cual un profesional que se enfrenta a un problema que puede sele-ccionar un curso alternativo de accin entre un conjunto de estos, ya sea que dicho curso alternativo sea el adecuado para optimizar los recursos humanos, materiales, tecnolgicos yfinancieros de un organismo.

A.- FORMULACION DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES.Los pasos para la formular modelos de Programacin Lineal son:

1. Lea con mucho cuidado el planteamiento del problema.

2. Identifique las variables de decisin.- (tambin llamadas variables desconocidas) que deben determinarse y se deben de representar mediante smbolos x y y (x1 y x2).

3. Identifique las restricciones estructurales.- son las condiciones que normalmente se presentan los recursos escasos con que se cuenta para producir y que se expresan como desiguaida-des lineales.

x1 + x2 < 0

x1 + x2 > 0

x1 + x2 0

x1 + x2 0

4. Identifique el objetivo.- se le denomina funcin objetivo (criterio a desarrollar) y repre-sentarla como una funcin lineal de las variables de decisin la cual ser maximizada o mini-mizada segn se requiera en el problema y se expresa matemticamente:

Z(Max) = x1 + x2

Z(Min) = x1 + x2

5. Identifique la restriccin de no negatividad.- los recursos no pueden ser negativos, por lo tanto, las variables deben de ser positivas o cero.


x1 , x2 0.

EJEMPLOS1.- Una editorial planea utilizar una seccin de su planta para producir dos libros de texto. La utilidad unitaria es de $20 para el libro I y de $30 para el II. El texto I requiere de 4 horas para su impresin y de 6 horas para su encuadernacin, el texto II requiere 5 horas para im-primirse y de 3 horas para ser encuadernado. Se dispone de 200 horas para imprimir y de 210 horas para encuadernar. Formule el Modelo de Programacin lineal que optimice la produccin de la editorial para maximizar la utilidad.

2.- Se cuenta con dos alimentos pan y queso. Cada uno de ellos contiene caloras y protenas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2,000 caloras y 50 gramos de prote-nas, un kilogramo de queso contiene 4,000 caloras y 200 gramos de protenas.

Supngase que una dieta normal requiere 6,000 caloras y 200 gramos de protenas diariamen-te. Por lo tanto, si el kilo de pan cuesta $6 y el kilo de queso cuesta $21. Qu cantidad de pan y queso se debe comprar al menos para satisfacer los requisitos de una dieta normal gas-tando la menor cantidad de dinero?

3.- Un fabricante est tratando de decidir sobre la produccin para dos artculos: mesas y si-llas. Se cuenta con 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Cada esa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. El margen de contribucin es el mismo para las mesas que para las sillas $500 por unidad. El fabricante prometi construir por lo menos 2 mesas. Desarro-lle el MPL que optimice la produccin del fabricante para maximizar la utilidad. 5.- Una dieta debe contener menos de 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de prote-nas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 unidades de protenas, el B con-tiene 2 unidades de carbohidratos y 1 unidad de protenas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad. Cuntas unidades de cada alimento deben adquirirse para minimizar los costos?

TAREA NO. 26.- Un fabricante produce dos artculos A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en 3 mquinas. Cada unidad de A demanda 2 horas en la primera mquina, 4 horas en la segunda maquina y 3 en la tercera. Los nmeros correspondientes en B son de 5, 1 y 2 horas, respetivamente. La compaa obtiene utilidades de $250 y $300 por cada unidad de A y B. Si los nmeros de horas disponibles son: 200, 240 y 190 en caso de la primera, segunda y tercera mquina. De-termine cuntas unidades de cada artculo deben producirse a fin de maximizar la utilidad to-tal.

7.- Un nutrilogo asesora a un individuo que sufre de deficiencia de hierro y vitamina B y le indica que debe ingerir al menos 2,300 mg de hierro, 2,100 mg de tiamina, 1,500 mg de riboflavina durante cierto perodo de tiempo. Existen dos pldoras de vitamina disponibles, la marca A y la marca B. Cada pldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de tiami-PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

na y 5 mg de riboflavina y cuesta 6 centavos. Cada pldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de tiamina y 15 mg de riboflavina y cuesta 8 centavos. Cules combinaciones depldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y de vitamina al menor costo? 8.- La compaa ACE quiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del tipo B. Cada unidad del tipo A producir una ganancia de $1.00, mientras que uno del tipo B generar una ganancia de $1.20. Para fabricar un recuerdo del tipo A se necesitan 2 minutos en la m-quina I y 1 minuto en la mquina II. Un recuerdo del tipo B requiere 1 minuto en la mquina Iy 3 minutos en la mquina II para procesar el pedido. Cuntas piezas de cada tipo debe pro-ducir la compaa ACE para maximizar la ganancia?

9.- Suponga que el alimento A y el alimento B son los dos tipos bajo consideracin. El alimen-to A cuesta 12 centavos/onza y el alimento B cuesta 8 centavos/onza. Se requiere minzar el costo de los alimentos al mismo tiempo que satisfacer tres restricciones vitamnicas, se de-sean por lo menos 30 unidades de vitamina B, 50 unidades de la vitamina C y 60 unidades de la vitamina E. Cada onza de alimento A proporciona 2 unidades de la vitamina B, 4 unidades de la vitamina C y unidades de la vitamina E. El alimento B proporciona 3, 3 y 6 unidades de vitamina B, C y E, respectivamente. Cuntas onzas de cada alimento debe comprarse?

10.- Un fabricante elabora dos artculos A y B. Cada uno de ellos debe de ser procesado en dosmquinas diferentes. Una mquina tiene una capacidad disponible de 24 horas y la otra de 16 horas. Cada artculo A requiere 2 horas en ambas mquinas y cada unidad del artculo B necesi-ta 3 horas en la primera mquina y de 1 hora en la segunda mquina. La utilidad incremental es de $6 por cada unidad del artculo A y de $7 por cada unidad de B y la fbrica puede producir tantas unidades de cada producto como pueda.

El objetivo de la fbrica es maximizar las utilidades. El problema est en determinar cuntas unidades del artculo A y del artculo B podran producirse dentro de los lmites disponibles permitidos por la capacidad de las mquinas.

11.- Una industria produce dos artculos A y B, la elaboracin de un artculo A se lleva $20 y $10 de mano de obra, de materia prima se lleva $20 A y $30 B. El desgaste del equipo se supo-ne proporcional a la produccin es de $5 para cada unidad de A y de $5 para B. El beneficio es de de $8 para A y de $5 para B. Si solamente se cuenta con $100,000 para salarios y $180,000 para materia prima y no se requiere que el desgaste del equipo exceda de $40,000 cal ser la cantidad de cada artculo que se tenga que producir para obtener las utilidades ms altas posibles.

12.- Una empresa que se dedica a hacer ropa desea minimizar los gastos de produccin, si se dedican a hacer un solo tipo de blusas y un solo tipo de pantalones y por cada blusa usan 2 me-tros de tela la cual cuesta $50 cada uno y se lleva 5 horas de mano de obra mientras que por pantaln usan 3 metros de tela y les cuesta hacerlo $100 cada uno y se lleva 6 horas de mano de obra.PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

13.- Una compaa posee dos minas: la Perla y la Rue, cada tonelada de mineral de la perla pro-duce 30 libras de cobre, 4 libras de zinc y 1 libra de molibdeno. Cada tonelada de mineral de la Rue produce 15 libras de cobre, 8 libras de zinc y 3 libras de molibdeno. La compaa debe pro-ducir al menos 87,500 libras de cobre, 16,000 libras de zinc y 5,000 libras de molibdeno a la semana . Si se tiene un costo de $50 por toneladas al obtener mineral de la Perla y $60 por la tonelada al extraerlo de la Rue. Desarrolle el MPL que optimice la extraccin de mineral de la compaa y que minimice el costo.

14.- Un fertilizante para el campo necesita 10, 12 y 12 unidades de componentes qumicos A, B y C, respectivamente. Un producto qumico lquido contiene 5, 2 y 1 unidades de los componen-tes respectivamente por un litro. Un producto seco 1, 2 y 4 unidades de cada componente por kilogramo. El costo del producto lquido es de $3 y el costo del producto seco es de $2. Cun-to de cada producto debe mezclarse para poder cubrir las caractersticas del fertilizante pa-ra obtener un costo mnimo?

15.- Un granjero cra pavos, gallinas y patos. El costo de la crianza de una gallina, un pato y un pavo es de $1.50, $1 y $4 respectivamente, hasta el momento de su venta. Las gallinas se ven den a $3, los patos a $2 y los pavos a $5.50 cada uno. Sabiendo que la granja puede alojar solo 500 aves y que el granjero no desea tener ms de 300 patos a la vez, Cuntas aves de cadaespecie debe crar a fin de maximizar sus utilidades?

16.- Una compaa elabora los productos A, B y C, cada producto se procesa en tres departa--mentos, I; II y III. El total de horas de trabajo disponibles por semana para los departamentos, I; II y III son 900, 1,080 y 840, respectivamente. Los requisitos de tiempo (en horas por unidad) la ganancia por cada unidad de cada producto son como sigue:

Producto AProducto BProducto C

Departamento I212

Departamento II312

Departamento IIII221

Ganancia$18$12$15

Cuntas unidades de cada producto debe fabricar la compaa para maximizar su ganancia?

B.- METODO GRAFICO

SOLUCION DE MODELOS POR EL METODO GRAFICOPara resolver Modelos de Programacin Lineal por el Mtodo Grfico es necesario considerar:

1.- Slo se pueden trazar restricciones con 2 variables de decisin puesto que con 3 es muy difcil.

EJEMPLO17.- Represente grficamente la siguiente ecuacin:PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

3x1 + 6x2 + 3x3 = 6

TAREA NO. 318.- Represente grficamente la siguiente ecuacin:

4x1+ 5x2 + 8x3 = 20

19.- Represente grficamente la siguiente ecuacin:

2x1+ x2 + 3x3 = 6

2.- Debido a las restricciones de no negatividad slo se escoge la superficie que se genera en elprimer cuadrante. Esto se hace slo para escoger valores positivos para x1 y x2.

X2

2do Cuadrante + + 1er Cuadrante

X1

- +

3er Cuadrante - - 4to Cuadrante

REGION FACTIBLEEs el conjunto de puntos factibles de acuerdo con todas las restricciones.

EJEMPLO20.-MODELO PRIMALZ(Min) = 18x1 + 12x2

Sujeto a:1) 6x1 + 2x2 3

2) 3x1 + 4x2 8

x1,x2 0


DUALIDADPara todo problema de maximizacin de P. L., existe un problema equivalente de minimizacin y para todo problema de minimizacin existe un problema equivalente de maximizacin.

Los coeficientes de la funcin objetivo en el problema dual se convierten en las limitantes de las restricciones estructurales (desigualdades), las limitantes de las restricciones estructu-rales se convierten en los coeficientes de la funcin objetivo. Los vectores rengln se convierten en columna y los vectores columna en rengln, si se est minimizando se cambia a maximi-zar o viceversa y si los signos eran se cambian por . 21.- MODELO DUALZ(Max) = 3x1 + 4x2

Sujeto a:1) 6x1 + 3x2 18

2) 2x1 + 4x2 12

x1,x2 0

FORMA CANONICASe dice que el modelo se encuentra en su forma cannica, clsica, tpica o tradicional, cuando la funcin objetivo se est maximizando y todas las restricciones estructurales tienen signo .

EJEMPLO22.- MODELO PRIMALZ(Max) = x1 + x2

Sujeto a:1) x1 + x2 0

2) x1 + x2 0

x1,x2 0


EJEMPLO23.- MODELO PRIMALZ(Max) = 12x1 + 24x2

Sujeto a:1) 2x1 + 8x2 56

2) 2x1 + 5x2 60

x1,x2 0

FORMA ESTANDARSe dice que el modelo est en su forma estndar cuando todas las restricciones estructurales (desigualdades) se han convertido en igualdades.

EJEMPLO24.- MODELO PRIMALZ(Max) = x1 + x2

Sujeto a:1) x1 + x2 = 0

2) x1 + x2 = 0

x1,x2 0

EJEMPLO25.- MODELO PRIMALZ(Max) = 4x1 + 2x2

Sujeto a:1) 2x1 + 3x2 = 12

2) 5x1 + 4x2 = 20

x1,x2 0

PASOS DEL METODO GRAFICOLos pasos del Mtodo Grfico son:

1.- Se trazan cada una de las restricciones de la siguiente manera:

A.- Se da un valor de cero a la primera variable de decisin (x1) y se encuentra el valor de la segunda variable de decisin (x2) y as se genera un primer punto.PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

B.- Se da un valor de cero a la segunda variable de decisin (x2) y se encuentra el valor de la primera variable de decisin (x1) ) y as se obtiene un segundo punto.

C.- Se localizan estos dos puntos en un eje de coordenadas cartesianas y se traza una lnea re-cta, la cual formar una superficie limitada por la misma lnea recta y cuando menos uno de los dos ejes. Si el signo de la restriccin estructural es del tipo la superficie formada debe con-tener al origen y cuando el signo de la restriccin estructural es del tipo no debe contener al origen sino al infinito.

TIPO DE SOLUCIONES A PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEALSOLUCION MATEMATICAEs aquella que resuelve el modelo.

SOLUCION FACTIBLEEs aquella en la que un conjunto de valores satisfacen el sistema de desigualdades lineales.

SOLUCION NO FACTIBLEEs aquella en la cual un conjunto de valores no forman parte del polgono de soluciones factibles.

SOLUCION OPTIMAEs aquella que brinda el valor ms favorable para la funcin objetivo, entendindose por va-lor favorable aquel valor ms alto o ms pequeo que se puede encontrar al resolver el Mo-delo de Programacin Lineal.

EJEMPLO26.- Resuelva el siguiente Modelo de Programacin Lineal tanto el modelo primal como el dual yconteste lo siguiente:

A.- Encuentre la solucin por el Mtodo Grfico.

B.- Indique cuales son las soluciones factibles.

C.- Indique cuales son las soluciones no factibles.

D.- Indique cual es la solucin ptima.


MODELO PRIMAL

Z(Min) = 48x1 + 42x2

Sujeto a:

(1) 6x1 + 3x2 3

(2) 4x1 + 6x2 1

x1, x2 0

EJEMPLO 27.- Resuelva el siguiente Modelo de Programacin Lineal tanto el modelo primal como el mode-lo dual y conteste lo siguiente:




D.- Indique cual es la solucin ptima MODELO PRIMALZ(Min) = 40x1 + 30x2

Sujeto a:() 2x1 + x2 9

2) x1 + 3x2 7

x1, x2 0 TAREA NO. 428.- Resuelva el siguiente Modelo de Programacin Lineal tanto el modelo primal como el dual yconteste lo siguiente:




D.- Indique cual es la solucin ptima


MODELO PRIMAL

Z(Min) = 4x1 + 3x2

Sujeto a:

(1) 4x1 + 2x2 80

(2) 3x1 + x2 50

x1, x2 0

29.- Resuelva el siguiente modelo y conteste lo que se pide:





MODELO

Z(Max) = 7x1 + 4x2

Sujeto a:

() - 2x1 + 3x2 6

(2) 5x1 4x2 10

(3) x1 + x2 3

x1, x2 0

SOLUCIONZ = $82.53x1 =7.71x2 = 7.14

30.- Solucione el modelo matemtico correspondiente al problema de pan y queso y aplique los puntos que se piden en el modelo primal.

SOLUCIONZ = $22.50x1 = 0.5x2 = 2


31.- Solucione el modelo matemtico correspondiente al problema de mesas y sillas y aplique los puntos que se piden en el modelo dual.

SOLUCIONZ = $4,500x1 = 6x2 =3





D.- Indique cual es la solucin ptima. MODELO

Z(Min) = 3x1 + 4x2

Sujeto a:

(1) 3x1 + 5x2 15

(2) 8x1 + 7x2 56

(3) x2 7

x1, x2 0







MODELO

Z(Min) = 6x1 + 2x2

Sujeto a:

(1) 3x1 + 2x2 18

(2) x1 + x2 3

(3) x1 1

x1, x2 0

C.- METODO SIMPLEX (ALGORITMO ITERATIVO).En 1947 George Dantzig, quien en ese tiempo estaba comisionado en la Fuerza Area de los EU, desarrollo el mtodo simplex. Demostr que poda usarse una ecuacin criterio (la funcin objetivo) para seleccionar de manera sistemtica una solucin ptima de entre muchas soluciones posibles.

El Mtodo Simplex es un enfoque que puede ser utilizado para resolver cualquier problema de Programacin Lineal. Con la ayuda de una computadora, esta tcnica puede resolver problemas de programacin lineal con cientos de variables y restricciones estructurales

El Mtodo Simplex es un algoritmo iterativo (repetitivo) que comienza con cualquier solucin factible bsica de las ecuaciones de restriccin estructural. Si esta solucin no es ptima, otra variable es indicada e introducida en la solucin y as sucesivamente hasta alcanzar una solucin ptima.

pasos para arreglar un modelo de programacion lineal1.- Convertir las restricciones estructurales (desigualdades) en igualdades, si el signo de la restriccin estructural es del tipo se agrega una variable con signo (+) llamada de holgura (H), si el signa de la restriccin estructural es del tipo se coloca una variable con signo (-) denominada superflua (S).

2.- Existen otro tipo de variables que se escriben con el propsito de formar artificialmente la matriz identidad que es aquella matriz cuadrada cuya diagonal principal esta constituida por unos positivos los dems elementos son ceros.

MATRIZ IDENTIDAD

10

01


3.- A la funcin objetivo las variables l afectan de la siguiente forma:

A.- Si la variable es de holgura se escribe con un coeficiente cero.

B.- Si la variable es superflua se anota con un coeficiente de cero.

C.- Si la variable es artificial se coloca con un coeficiente de M si se est maximizando y de +M si se est minimizando.

NOTAEn el tema anterior se dio la nota de forma cannica.

EJEMPLOS34.- Arregle el siguiente modelo de Programacin Lineal.

MODELO PRIMAL

Z(Max) = 90x1 + 120x2

Sujeto a:

(1) 2x1 + 5x2 10

(2) 4x1 + 3x2 12

x1, x2 0

35.- Arregle los siguientes modelos de Programacin Lineal.

MODELO

Z(Max) = 2x1 + 2x2

Sujeto a:

(1) 2x1 + x2 8

(2) 3x1 + 4x2 12

x1, x2 0


36.- Arregle el siguiente modelo de Programacin Lineal.

MODELO

Z(Max) = 5x1 + 3x2

Sujeto a:

(1) 2x1 + 3x2 10

(2) 4x1 + 2x2 12

(3) + x2 = 6

x1, x2 0

PROCEDIMIENTO DEL METODO SIMPLEX 1.- Se transforma el modelo de Programacin Lineal a su forma estndar (en base al modelo dual no al modelo primal).

EJEMPLO37.- MODELO PRIMAL

Z(Min) = 20x1 + 10x2

Sujeto a:

(1) 5x1 + x2 6

(2) 2x1 + 2x2 8

x1, x2 0

TAREA NO. 538.- Arregle el siguiente modelo de Programacin Lineal.

MODELO

Z(Max) = 2x1 + 5x2

Sujeto a:

(1) x1 + 3x2 9

(2) 4x1 + 2x2 8

(3) + 2x2 = 7

x1, x2 0


39.- Arregle el siguiente modelo de Programacin Lineal.

MODELO

Z(Max) = 6x1 + 2x2

Sujeto a:

(1) 2x1 + 3x2 5

(2) 4x1 + 3x2 8

(3) + 5x2 = 3

x1, x2 0

2.- se elabora una tabla (matriz) simplex que contenga los datos anteriores.

3.- Se la matriz de la siguiente manera:

A.- Se encuentra la columna pivote, analizando el rengln Z, para lo cual se escoge el valor positivo ms alto. Si hubieran 2 valores iguales se escoge cualesquiera de ellos arbitrariamente.

B.- Se halla el regln pivote, dividiendo cada elemento de la columna bi entre el elemento correspondiente de la columna pivote que corresponda a ese rengln (esto no se realiza en el rengln Z).

Esta operacin se realiza slo entre nmeros positivos, si hubiera algn nmero negativo o cero entonces el modelo ya no tiene solucin. De los valores obtenidos se escoge el de valor ms pequeo y este indicara el rengln pivote.

C.- A la interseccin de la columna pivote con el rengln pivote se le denomina elemento pivote, a los dems elementos se les da el nombre de elementos semipivotes.

Se revisa el rengln Z y si ya no se encuentran valores positivos esto indicara que la tabla es la solucin ptima del modelo.

4.- Se desarrolla una nueva matriz simplex, la cual contendr los mismos enunciados tanto para las columnas como para los renglones, excepto que en lugar de la variable que sale se escribe la variable que entra a la solucin.

Esta nueva matriz se empieza a resolver encontrando los valores de la variable que entra a la solucin, para ello se divide cada elemento del rengln pivote entre el elemento pivote de la


tabla anterior. Estos valores se anotan en la nueva tabla exactamente en el rengln que corresponda a la variable que entra a la solucin y a ste rengln se le llama rengln nuevo.

La siguiente operacin se realiza para encontrar los valores de todos los dems renglones, incluyendo Z. Al valor original se le resta el producto del elemento semipivote por el elemento correspondiente en el rengln nuevo.

Matemticamente se tiene:

R: O.- [E. S. P. X E. R. N.]

5.- Se analiza el rengln Z y si no existen valores positivos, se llega a la solucin ptima: En caso contrario se vuelve al paso nmero 3. 40.- Resuelva el siguiente MPL por el mtodo simplex: MODELO PRIMAL

Z(Min) = 4x1 + 8x2

Sujeto a:

(1) x1 + 2x2 2

(2) x1 + 4x2 3

x1, x2 0

41.- Resuelva el siguiente modelo de Programacin Lineal por el mtodo simplex. MODELO

Z(Max) = 3x1 + 4x2

Sujeto a:

() 6x1 + 3x2 18

(2) 2x1 + 4x2 12

x1, x2 0


42.- Resuelva el siguiente modelo de Programacin Lineal por el mtodo simplex.

MODELO

Z(Max) = 3x1 + 3x2

Sujeto a:

() 2x1 + 3x2 12

(2) 2x1 + x2 8

x1, x2 0


Z(Min) = 50x1 + 80x2

Sujeto a:

(1) 4x1 + 10x2 40

(2) 10x1 + 5x2 50

(3) 7x1 + 7x2 49

x1, x2 0


MODELO

Z(Max) = 3x1 + 10x2 + x3

Sujeto a:

() 2x1 +2x2 + x3 10

(2) x1 + x2 +2x3 9

(3) 2x1 + 3x2 12

x1, x2, x3 0


TAREA NO.645.- Resuelva el siguiente modelo de Programacin Lineal por el mtodo simplex.

MODELO PRIMAL

Z(Min) = 80x1 + 70x2

Sujeto a:

(1) 2x1 + x2 3

(2) 4x1 + 5x2 10

x1, x2 0


MODELO PRIMAL

Z(Min) = 10x1 + 20x2

Sujeto a:

(1) 2x1 + 4x2 4

(2) 3x1 + 5x2 5

x1, x2 0


Z(Max) = 2x1 + 3x2

Sujeto a:

(1) 4x1 + 3x2 8

(2) 5x1 + 2x2 16

x1, x2 0



MODELO

Z(Max) = 5x1 3x2 + x3

Sujeto a:

() x1 + x2 10

(2) - 5x2 + x3 6

(3) x1 - x3 2

x1, x2, x3 0

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI III.- MODELOS DE DISTRIBUCION

A.- MODELO DE ASIGNACINEl Modelo de Asignacin forma una clase especial de los Modelos de Programacin Lineal para quedar clasificado como un modelo de asignacin 1 a 1, como su nombre lo indica consiste en asignar o dar destino a los distintos recursos.

El problema es dedicar un grupo de recursos a diferentes fines, de manera que todos los fines se logren y a cada uno de ellos se destine un recurso solamente, el objetivo es que el costo o el tiempo de trabajo sean mnimos o por otro lado, que las utilidades sean mximas o puntuaciones sean altas.

El nmero de recursos debe ser igual al nmero de destinos, es decir, a cada recurso corresponde solo y slo un destino.

EJEMPLO49.- Resuelva el siguiente Modelo de asignacin:

WXYZ

A15181610

B1417178

C17192317

D19141617

Cul es el costo total de la solucin ptima?

50.- Resuelva el siguiente Modelo de AsignacinLDMF

A5655

B6853

C10724

D81245

Reducir el tiempo.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI 51.- Resuelva el siguiente Modelo de Asignacin.UBICACIN

DEPARTAMENTOIIIIIIIVV

CALZADO1061280

JUGUETES15185110

DISCOS1416620

REPUESTO171013160

UTENSILIOS141213100

Minimizar el costo.MAXIMIZACINconsiste en escoger el mayor elemento de toda la tabla, ste valor se resta a los dems elementos de la nueva matriz y despus se aplica el mtodo usado para minimizacin.

EJEMPLOS52.- aplquese el mtodo de asignacin al siguiente problema:

WXYZ

A15181610

B1417178

C17192317

D19141617

Cul es la Maximizacin de la Utilidad?53.- resuelva el siguiente modelo de asignacin. LOTE

COMPRADORIIIIIIIVV

A1615251920

B1917241525

C151518016

D190151718

E00000

maximizar la utilidad.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI 54.- resuelva el siguiente modelo de asignacin.LDMF

A5655

B6853

C10724

D81245

Maximice la utilidad.

tarea NO. 755.- resuelva el siguiente modelo de asignacin.MECR

A6443

B4354

C5819

D2736

Reducir el tiempo.

56.- resuelva el siguiente modelo de asignacin.MECR

A6443

B4354

C5819

D2736

Maximice la utilidad

B.- MODELO DE TRANSPORTEEl Transporte desempea un papel importante en la economa y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte econmico es crtica para la sobrevivencia de una empresa.

El Modelo de Transporte consiste en que si se tienen diferentes orgenes (fbricas u ofertas) que elaboran algn producto o artculo y se cuenta con diferentes destinos (distribuidores o demanda), existen distintos costos entre las fbricas y los distribuidores tenindose como propsito el satisfacer la demanda dada y cubrir la oferta tratando que el costo sea mnimo.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI La estructura de un Modelo de Transporte es:

Modelo de Programacin Lineal de la Matriz de Transporte:

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI PAra resolver Modelos de Transporte existen diversos mtodos que generan soluciones factibles y son:A. Aproximacin Vogel.B. Aproximacin Russel.C. Costo Mnimo.D. Esquina Noroeste.E. Cruce del Arroyo.f. Piedra que Rueda.G. Tanteos.

MTODO DE ESQUINA NOROESTE.Los pasos del Mtodo de Esquina Noroeste son

1. Se da la mxima asignacin posible a la celda superior izquierda.

2. Si an existe oferta se asigna a la celda inmediata horizontal.

3. Si la oferta no ha sido satisfecha se contina asignando en la celda inmediata inferior. Se repite el procedimiento hasta la ltima celda.

EJEMPLOs57.- Resuelva el siguiente Modelo de Transporte:

ORIGENOFERTA

A100

B60

C90

TOTAL250

DESTINODEMANDA

V30

W50

X65

Y55

Z50

TOTAL250

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI O / DVWXYZ

A$30$50$20$600

B$50$40$40$500

C$20$30$35$550

a.- con la informacin proporcionada arme la matriz de transporte.b.- Formule el modelo de programacin lineal.c.- Determine la solucin ptima.

MTODO DE MODIFICACIN DE LA DISTRIBUCIN (MODI).Para aplicar el mtodo MODI es necesario que se cumplan los siguientes requisitos:

1.- Haber resuelto el modelo por algn mtodo que genere solucin factible.

2.- Que las asignaciones encontradas por el mtodo usado no formen ciclos.

3.- Que la suma de renglones ms columnas menos uno se igual al nmero de celdas asignadas, o sea:

m + n 1 = Celdas Asignadas.

4.- Formar una matriz que contenga los costos asociados con las celdas en las cuales se han hecho asignaciones utilizando esta matriz establecer un conjunto de nmeros Ui (renglones) y Vj (columnas), tales que la suma iguale los costos obtenidos en el paso anterior. El objetivo es encontrar los valores de los renglones Ui y de las columnas Vj aplicando la igualdad Cij = Ui + Vj. Para iniciar este proceso se da un valor de a la primera columna Vi.

5.- Las celdas que no contienen costos se dividen horizontalmente en dos partes.

6.- En la parte superior de las celdas divididas se escribe el resultado de sumar el valor del rengln y de la columna respectiva, es decir:

Sij = Ui + Vj

7.- En la parte inferior se coloca el resultado de restarle al costo original de la matriz de transporte inicial el valor encontrado en el paso anterior y se tiene:

Zij = C. O. - Sij

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI 8.- de los valores encontrados en el paso anterior se escoge el valor negativo cuyo valor absoluto sea el ms alto. este indicar la celda en la matriz original desde la cual se realiza el siguiente paso.

9.- Partiendo de la celda localizada en el paso anterior como la ms negativa, en la matriz de --distribucin original se forma una trayectoria cerrada + /- la cual se inicia y termina en la celda de la cual se parti. la trayectoria se dibuja con lneas horizontales y verticales, y en cada vrtice debe existir asignacin.

10.- Partiendo de la celda sin asignacin se colocan alternadamente los signos + y anotando estos del lado derecho de los vrtices.

11.- De los valores a los que les toco el signo negativo se escoge el ms pequeo. este valor se suma o se resta a cada uno de los valores de los vrtices y se encuentra el resultado. Los valo-res obtenidos substituyen a los valores origina-les de los cuales se parti. el fin del mtodo modi es descubrir si la distribucin de donde se parti es ptima, si lo es el mtodo lo indi-ca, en caso contrario se irn realizando modificaciones a la distribucin hasta hallar la solu-cin ptima, sta se encuentra la solucin ptima cuando en la matriz uv no se encuentran valores negativos en la parte inferior de las celdas divididas en dos partes.

58.- Resuelva el siguiente modelo de transporte, para lo cual arme la matriz con la siguiente informacin:

ORIGENOFERTA

A150

B40

C80

TOTAL270

DESTINODEMANDA

V90

W70

X50

Y60

TOTAL270

O / DVWXY

A$27$23$31$69

B$10$45$40$32

C$30$54$35$57

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI a.- con la informacin proporcionada arme la matriz de transporte.b.- determine la solucin ptima

TAREA NO. 859.-.Resuelva el siguiente modelo de transporte, para lo cual arme la matriz con la siguiente informacin:

ORIGENOFERTA

A8

B10

C5

TOTAL23

DESTINODEMANDA

V5

W4

X6

Y4

Z4

TOTAL23

O / DVWXYZ

A$70$60$60$600

B$50$80$60$700

C$80$50$80$600

a.- con la informacin proporcionada arme la matriz de transporte.b.- determine la solucin ptima

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI Iv.- analisis de markovEl anlisis de markov, tuvo su origen en los estudios del matemtico ruso a. a. markov en ao de 1907, que permite determinar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. tambin permite hallar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable de cada estado. Con esta informacin se puede predecir el comportamiento del sistema a travs del tiempo.

en los negocios, las cadenas de markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, pronosticar las concesiones por deudores morosos, planear las necesidades del personal y analizar el reemplazo del equipo. cadena de markov.Es un metido para analizar la conducta actual de alguna variable en un esfuerzo de predecir la conducta futura de esa misma variable.

aplicaciones del analisis de markov1.- se uso para describir y pronosticar el comportamiento de partculas de gas en un recipiente cerrado.

2.- se uso para examinar y pronosticar la conducta de consumidores en trminos de lealtad a la marca y de su cambio de una marca a otra.

3.- se uso para estudiar el comportamiento de las cuentas por cobrar.

matriz de transicin.es una herramienta eficaz que representa el comportamiento de una cadena de markov. supngase que el proceso tiene m resultados mutuamente excluyentes e1, e2, ..., em, posibles para cada experimento. a continuacin se muestra la forma general de una matriz de transicin

para este conjunto de experimentos. SIGUIENTE ESTADO (R E S U L T A D O) 1 2 ... m

1 E11 E12 E1m 2 E21 E22 E2m ESTADO ACTUAL . . (R E S U L T A D O) . Em1 Em2 Emm

Ntese que el sistema que va a ser modelado puede estar en uno de m posibles estados actuales.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI un estado corresponde al resultado de un experimento. al finalizar un experimento, el sistema se hallar en uno de m estados posibles. la matriz de transicin se compone de elementos eij, los cuales representan la probabilidad condicional de que el sistema pase de un estado actual i al siguiente j, o sea:

EL RESULTADO Ej OCURRE EL RESULTADO Ei O- Eij = DURANTE EL SIGUIENTE CURRIO EN EL EXPE- Experimento to anterior

Obsrvese que los elementos Eij (donde i = j) indican las probabilidades de permanecer en el mismo estado mientras los elementos eij (i j) sealan las probabilidades de pasar de un estado a otro, es decir, del estado de i al j. por tanto, la matriz de transicin es una matriz de dimensin:

m x m

Los elementos de la matriz de transicin debern satisfacer las siguientes propiedades:

1.- los elementos deben ser tales que 0 e ij 1 puesto que cada uno representa a una proba-bilidad.

2.- la suma de los elementos eij en cada rengln debe ser igual a 1. Esta propiedad garantiza que, en un estado actual del sistema i, ste se encontrar en uno de los m estados posibles j al finalizar el siguiente experimento.

puesto que el sistema debe hacer una transicin y las probabilidades por rengln suman 1 entonces el proceso de markov puede resolverse por sistema de ecuaciones.

cuando se trata de un proceso de tres estados, para encontrar las probabilidades de estados estacionarios se tienen las siguientes ecuaciones:

(1) E1 = PE1 + PE2 + PE3

(2) E2 = PE1 + PE2 + PE3

(3) E3 = 1 - PE1 - PE2

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI EJEMPLOS60.- la compaa e1 tiene tres competidores bsicos en un segmento de mercado de su negocio (produccin de discos compactos). Actualmente las participaciones de mercado son:

A E1E2E3TOTAL

DE

E10.800.100.101

E20.050.750.201

E30.400.300.301

61.- la compaa a tiene tres competidores bsicos en un segmento de mercado (produccin de licor). Actualmente las participaciones de mercado son:

A E1E2E3TOTAL

DE

E10.40.20.41

E20.20.60.21

E30.30.50.21

62.- la compaa el alce blanco tiene dos competidores bsicos en un segmento del mercado de su negocio (produccin de juguetes). Actualmente las participaciones de mercado son:

A ALCEOSOUNICOR-TOTAL

DE BLANCOGRISNIO

ALCEBLANCO0.20.20.61

OSOGRIS0.60.30.11

Unicor-nio0.50.40.11

ROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI v.- modelos de control de inventarios.El modelo de control de inventarios es una parte importante en cualesquier empresa ya que se tiene un producto terminado o no, y esto es dinero, ocupa espacio, iluminacin, aire acondicionado, se necesita un seguro y ello implica dinero, por eso se requiere un buen manejo de inventario.

as el profesional en ocasiones se enfrenta a la necesidad de tener que tomar decisiones con respecto a los inventarios, es decir; debe manejar dos preguntas que son: cundo? y cunto? y esto es el secreto del control de inventarios.

qu es un inventario?: son las cantidades o los recursos utilizables que se encuentran almacenados en espera de ser utilizados en algn punto determinado del tiempo a mayor parte de las organizaciones, los gastos correspondientes al financiamiento y a la conservacin de los inventarios son parte importante del negocio.

se pueden tener inventarios en:a.- artculos terminados.b.- productos en proceso.c.- materia prima

se tienen dos decisiones que tomar en los modelos de control de inventarios. la primera que consiste en pedir grandes cantidades a fin de disminuir los costos de los pedidos, y la segunda que consiste en pedir pequeas cantidades para reducir los costos cargados a los inventarios. Llevadas al extremo cualesquiera de esas dos rutas tendrn un efecto desfavorable a las ganancias, y la mejor solucin en trminos de utilidades e ingresos sobre los activos totales es un equilibrio entre ambos extremos.

los costos en los modelos de control de inventarios se pueden agrupar en tres categoras que son:

1.- costos de pedidos:son aqullos relacionados con la adquisicin de los artculos comprados, son bsicamente los derivados de la llegada de un artculo a los almacenes de la empresa

otros costos incluyen la expedicin de la orden de compra, el recibo del artculo, la coloca-cin en el almacn, etc. la determinacin en cada empresa de stos es diferente y tienen que hacerse mediante estudios especiales.

2.- costos cargados al inventario: son aqullos en los que incurre la empresa porque ha decidido mantener guardado un objeto y como se mencion al principio del tema requiere de varios factores, adems de un manteni-miento y ello depende de la rama que se trate.

PROF.: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI 3.- costos de faltantes:son aqullos que detienen el proceso y si algn cliente solicita ese objeto y no se tiene, esto trae como consecuencia que se pierda al cliente.

cuando se decide almacenar un artculo se supone que la persona responsable de hacerlo conoce dos parmetros que son:

A. que la tasa de demanda es constante.

b. que el proveedor no surta a tiempo.

en 1915, ford harris wilson desarroll lo que se conoce como modelo del lote econmico de pedido o la cantidad econmica de pedido sirve para determinar la cantidad optima de materiales o artculos que deben adquirirse o fabricarse. con este tipo de modelo es necesario determinar la cantidad que se debe ordenar cada vez y cada cuando debe hacerse el pedido. para simplificar el anlisis se establecieron dos parmetros. hace un instante, muy pocas veces estos resultan ciertos a la larga, con frecuencia son aproximadamente razonables a corto plazo.

en la siguiente figura se puede observar que la cantidad econmica de pedido es de 1,000 uni-dades, pero con el transcurrir del tiempo esta cantidad se va reduciendo hasta llegar a cero y cada ocasin que se adquiere material tiende a suceder lo mismo.

1000 Q

500 Q/2

0 1er 2da Tiempo SEMANA SEMANA

PROF: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

CANTIDAD CANTIDAD CANTIDAD CANTIDAD Recibida RECIBIDA RECIBIDA RECIBIDA

QCantidad delPedido 400 u-nidades.

(Q/2)

04812

Tiempo

En esta grfica el inventario promedio es de 200 unidades.

en la figura anterior se puede observar que el nmero de unidades que hay en inventarios es igual a q cuando se recibe fsicamente en el almacn (inventario) cada nuevo pedido, y este se agota gradualmente hasta llegar a cero en el momento en que se hace el siguiente pedido. tambin se puede ver que el inventario promedio q/2 es igual a la mitad del nmero de unidades del tamao del lote.

Adems, cada nuevo pedido se recibe en el inventario exactamente en el momento en que se a-gota el pedido anterior, lo que da por resultado que no falten las existencias

NOMENCLATURAQ.- representa el lote econmico de pedido o la cantidad econmica de pedido (cep) expresado en unidades.

Q/2.- representa el inventario promedio expresado en unidades.

R.- representa los requerimientos a travs del tiempo expresados en unidades.

A.- representa los requerimientos a travs del tiempo expresado en dinero o el costo de adquisicin.

T.- representa el tiempo entre pedidos.

S.- representa el costo de los pedidos de cada pedido.

N.- representa el nmero ptima de pedidos.

I.- representa el costo cargado al inventario sobre el inventario promedio expresado en porcentaje.


C.- representa el costo unitario expresado en dinero.

D.- representa la cantidad ptima de suministro diario pedido en un ao.

F.- representa el nmero de fletes.

365.- representa los das calendario al ao.

CF.- representa el costo de los fletes.

CA.- representa el costo de almacenamiento.

CP.- representa el costo de pedidos.

obTENCIN DE FRMULAS Q = Q COSTO DE ALMACENAMIENTO

2 X C X I 2CI

R = R COSTO DE PEDIDOS

Q X S QS

Costo de Almacenamiento. Costo de Pedidos. Q = R 2 que est dividiendo pasa multiplicando

2CI QS

Q = 2R Q que est dividiendo pasa multiplicando

CI QS

Q2 = 2R Q que est dividiendo pasa multiplicando

CI s

Q2 = 2R s que est dividiendo pasa multiplicando

CI s

Q2 = 2R s que est dividiendo pasa multiplicando

CIS

Q2 = 2Rs Al despejar Q2, 2rs pasa igual.

CI

2Rs = Q2 Al despejar Q2, 2rs pasa igual.

CI


2Rs = Q2 .2 que esta como potencia pasa como raz.

CI

2RS = q Anotando la frmula en la forma correcta se tiene:

CI

q = CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO

a = AI COSTO DE ALMACENAMIENTO

N X X I 2N

NX S = NS COSTO DE PEDIDOS

Costo de Almacenamiento. Costo de Pedidos. AI = NS- N que est dividiendo pasa multiplicando

2N

AI = N2S- S que est multiplicando pasa dividiendo

2

AI = N2- 2 que est como potencia pasa como raz.

2s

AI = N Escribiendo el modelo matemtico en forma correcta se tiene:

2s

n = Nmero ptimo de Pedidos.

RC rci

365 = 730 = RCID COSTOS TOTALES CARGADOS AL INVENTARIO

D X X I d 730

365 X S = 365S COSTOS TOTALES DE PEDIDOS

D D

COSTOS TOTALES CARGADOS AL INVENTARIO. COSTOS TOTALES DE PEDIDOS rciD = 365S 730 que est dividiendo pasa multiplicando

730 D

RCID = 730 X 365S D que est dividiendo pasa multiplicando

D


RCID2 = 266,450S RCI que est multiplicando pasa dividiendo.

D2 = 266,450S 2 que est como potencia pasa como raz y se tiene:

RCI

D = CANTIDAD OPTIMA DE SUMINISTRO DIARIO PEDIDO EN UN AO T = 12 meses tiempo entre pedidos

N

Ct = Ca + Cp costo total

R= a REQUERUIRIMIENTOS A TRAVES DEL TIEMPO EXPRESADOS EN

C EN UNIDADES

A = RC Requerimientos a travs del tiempo expresados EN DINE

RO

F = R NUMERO DE FLETES

Q

EJEMPLOS63.- Una empresa tiene requerimientos anuales de 8,000 unidades, el costo de los pedidos por cada pedido es de $12.50, el costo cargado al inventario sobre el inventario promedio es del 20% y el costo unitario es de $1.00. Determine: a.- La cantidad econmica de pedido. b.- El nmero ptimo de pedidos. c.- El tiempo entre pedidos. d.- La cantidad ptima de suministro diario pedido en un ao. e.- Iguale el costo de almacenamiento y el costo de pedidos. f.- El costo total.

64- Supngase que al proveedor del problema anterior no le conviene entregar 1,000 unidades y ofrece entregar 2,000 unidades con un descuento del 10% sobre el precio de venta. Conviene aceptar el ofrecimiento?

65.- la Brown Company, ha realizado un estudio de mercado para comprobar que compra enormes cantidades de materia prima para la produccin de libros. En la actualidad compra $90,000 al ao de materia prima. Su proveedor le ha hecho una proposicin, que consiste en un descuento del 1.25% si la Brown Company le hace un pedido trimestral. La Brown Company ha estimado que el costo de compra es de $90 por pedido y que los costos cargados al inventario sobre el inventario promedio son de 20%. Debe la Brown Company aceptar la oferta de descuento de su proveedor? Si la respuesta es no. Qu contraproposin debe hacerse en trminos de algn descuento?


66.-La compaa XYZ, ha comprobado que compra una gran cantidad de materia prima para produccin de cuadernos. En la actualidad compra $50,000 al ao de varias clases de materia prima a la compaa Star. Su proveedor le ha hecho una proposicin, que consiste en un descuento del 1%. Si la compaa XYZ le hace un pedido trimestral. La compaa XYZ ha estimado que el costo de compra es de $20 por pedido y que los costos cargados al inventario sobre el inventario promedio. Debe la compaa XYZ aceptar la oferta de descuento de la compaa Star? Si la respuesta es no. Qu contraproposicin debe hacer la compaa XYZ en trminos de algn descuento?

67.- La Winston Company, tiene un consumo mensual de la pieza #LX232 de 600 unidades. Los costos cargados al inventario sobre el inventario promedio son del 25% y los costos de pedidos son de $20 por pedido. Cada pieza cuesta $10 y su cantidad econmica de pedido es de 300 unidades. El flete de 300 unidades cuesta $200. Si se embarcan 400 unidades, el flete cuesta $250. Debe ordenarse la cantidad de 400 unidades a fin de aprovechar los ahorros de flete?

68.- Una compaa est considerando la posible conveniencia de cambiar de proveedor de conexiones de acoplamiento en la actualidad, la empresa tiene una poltica de compra con ace hardware al 1% de descuento. las compras anuales normales son de $81,000 y el costo por unidad es de $8.10. el cargo administrativo es de $125 por compra y los cargos por mantenimiento de inventario son de 25% del nivel promedio del inventario. se han recibido cotizaciones de otros proveedores, que son: nutz, incorporation que ofrece un 5% de descuento si le ordenan los conectores 2 veces al ao, y grabbers, incorporation que ofrece un descuento si se le ordenan 4 veces al ao. cules de las proposiciones debera aceptarse, o bien, debera conservarse el proveedor actual?


VI.- ANALISIS DE DECISIONES

Toma de decisionesEs la conclusin de un conjunto de diversos cursos de accin mediante un proceso de recopilacin de datos significativos, anlisis, planeacin y control administrativo en condiciones de certeza, riesgo, incertidumbre y conflicto.

Tomador de decisionesEs el individuo que tiene la responsabilidad de tomar la decisin que se analiza.

Curso de accinSon planes que se desarrollan para alcanzar un objetivo. Un objetivo de los cursos de accin, es anticiparse a los hechos.

AlternativasSon las opciones que debe considerar en la decisin quien debe tomarla.

DecisinEs el proceso de elegir la solucin para un problema, siempre y cuando existan al menos dos alternativas.

EstadsticaEs la ciencia y arte de reunir, analizar presentar o interpretar datos.

Variable aleatoriaEs el resultado general de un experimento aleatorio.

RiesgoEs la posibilidad de que los resultados reales sean diferentes a los esperados.

Estados de la naturalezaSon los resultados posibles de los factores aleatorios que afectan el pago que se obtendra de una alternativa de decisin.

PagoEs la medida cuantitativa del resultado de una alternativa de decisin y de un estado de la naturaleza.

ProbabilidadEs la medida numrica de la posibilidad de que ocurra un evento.

EventoEs un conjunto de puntos muestrales.


Ejemplo:69.- Sea C el evento en que un proyecto se termina en 10 meses o menos, se tiene:

C = {(2,6); (2,7); (2,8); (3,6); (3,7); (4,6)}

Se dice que el evento C ocurre si cualesquiera de los 6 puntos muestrales de arriba llega a ser el resultado experimentado.

Enunciados bsicos de probabilidad1.- Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo deben sumar 1.

2.- Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir, las probabilidades nunca son negativas) y son menores o iguales a 1. Cuanto ms pequea sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendr el evento.

Rango de rendimientoEs aquel que se obtiene restando al resultado optimista al resultado pesimista. Cuanto mayor es el rango, mayor es el riesgo que se dice tiene el activo y la ecuacin del rango rendimiento es:

Ejemplo:70.- La empresa ABC fabricante de equipo de golf, desea elegir la mejor de dos inversiones: X y Y. cada una requiere un desembolso de $ 10,000 y cada una tiene una tasa de rendimiento anual ms probable de 15%. La administracin ha hecho estimaciones pesimistas y optimistas de los rendimientos asociados a cada una. A continuacin se presentan las estimaciones para cada activo, junto con sus rangos:

Activo AActivo B

Inversin inicial$ 10,000$ 10,000

Tasa de rendimiento

Pesimista13%7%

Ms probable15%15%

Optimista17%23%

Determine el rango de rendimiento para cada activo.

Administrador adverso al riesgoEs aqul individuo cuya funcin de utilidad del dinero tiene una pendiente decreciente cuando aumenta la cantidad de dinero.


Distribuciones de probabilidadesEs un modelo que relaciona la probabilidad con los resultados asociados. El tipo ms simple de distribucin de probabilidades es la grfica de barras, que muestra slo un nmero limitado de coordenadas de probabilidad de resultados.

Distribuciones continuas de probabilidadEs aquella que muestra todos los resultados posibles y las probabilidades asociadas para un evento dado.

Ejemplo:71.- Con la informacin de Micro Pub. Inc elabore las grficas de distribuciones de probabilidades.

Medicin del riesgoLa medicin del riesgo se puede efectuar empleando herramientas estadsticas elementales como:

MediaEs el promedio ponderado por probabilidad de todos los posibles resultados de una variable aleatoria y se denota por:

Donde:

.- representa el tamao de la poblacin.

.- representa los valores que puede asumir la variable aleatoria discreta.

.- representa la probabilidad de ocurrencia.

VarianzaEs una medida de dispersin de todos los posibles resultados alrededor de la media y su modelo matemtico es:

Desviacin estndarEs la raz cuadrada de la varianza y su ecuacin es:


NOTAConsidrese que cuanto ms alta sea la desviacin estndar el riesgo es mayor.

Coeficiente de variacinEs una medida de dispersin relativa que es til al comparar los riesgos de activos con diferentes rendimientos esperados y su ecuacin es:

CV = x 100

X

CV = x 100

Y

CovarianzaEs una medida de cmo varan juntas dos variables aleatorias. La covarianza puede ser positiva, negativa o cero. Una covarianza positiva indica que cuando una variable aleatoria tienen un resultado mayor que su media, la otra tambin tiende a estar por arriba de su media. Una covarianza negativa indica lo contrario: un resultado ms alto para una tiende a estar asociado a un resultado ms bajo para la otra. Una covarianza de cero indica que un apareo sencillo de los resultados no revela ningn patrn regular.

Coeficiente de correlacinEs la medida numrica de la asociacin lineal entre dos variables que toma valores entre -1 y +1. Los valores cercanos a +1 indican una fuerte relacin lineal positiva y los cercanos a -1 sealan negativa. Los cercanos a 0 manifiestan falta de relacin lineal y su expresin es:


EJEMPLOS72.- Con la informacin proporcionada por la empresa ABC:

a) Determine el valor esperado (media) de los rendimientos.

b) Calcule la desviacin estndar.

c) Obtenga el coeficiente de variacin.

d) Determine la covarianza y la correlacin lineal.

73.- Se ha solicitado asesora para seleccionar una cartera d activos y se le han dado los siguientes datos:

Rendimiento esperadoAoActivo AActivo BActivo C

200412%16%12%

2005141414

2006161216

No se le han proporcionado las probabilidades. Se le ha dicho que puede crear dos carteras, una conformada por los activos A y B y la otra conformada por los activos A y C invirtiendo partes iguales, 50% en cada uno de los activos componentes.

a) Establezca las ecuaciones del coeficiente de correlacin de las carteras AB y AC.

b) Cul es el rendimiento esperado de cada activo durante un periodo de 3 aos?

c) Cul es la desviacin estndar del rendimiento de cada activo?


d) Cul es el rendimiento esperado de cada una de las dos carteras?

e) Cmo representara las correlaciones de los rendimientos de dos activos conforman cada una de las dos carteras que se identifican en la parte D?

f) Cul es la desviacin estndar para ambas carteras?

g) Qu cartera recomienda? Por qu?

TAREA NO.9

74.- Micro Pub. Inc., est pensando en comprar una de dos cmaras de Microfilm R y SD. Las dos deben proporcionar beneficios durante un perodo de 10 aos y cada una requiere una inversin de $ 4,000. La administracin ha contribuido la siguiente tabla de estimaciones de tasas de rendimiento y probabilidades para resultados pesimista, ms probable y optimistas.

Activo AProbabilidadActivo BProbabilidad

Inversin inicial$ 4,0001.001.00

Tasa de rendi-

miento anual

Pesimista20%0.2515%0.20

Ms probable25%0.5025%0.55

Optimista30%0.2535%0.25

Determine el rango de rendimiento de ambas cmaras.

75.- Invirtiendo $ 10 000 en acciones de Martin Products Inc. o U. S.: Water Company. Martin Products fabrica y distribuye terminales y equipo de computadora en la industria de transmisin de datos que tiene un crecimiento acelerado. Como la competencia es muy fuerte, sus nuevos productos pueden ser competitivos o no en el mercado, por lo cual las utilidades futuras no pueden predecirse con mucha exactitud; alguna compaa de ingreso reciente podra desarrollar mejores productos y orillarla a la quiebra. Por su parte U. S. Water ofrece servicios indispensables; sus ventas son relativamente estables y predecibles pues ofrece servicios esenciales y tiene franquicias en la ciudad que la protegen en contra de la competencia.

La tabla siguiente contiene las distribuciones de probabilidad de la tasa de rendimiento de ambas compaas:


Demanda de productos de la compaaProbabilidad de ocurrenciaMartin Products(%)U. S. Water(%)

Fuerte0.3010020

Normal0.401515

Dbil0.30(70)10

Total1.00

a) Determine el valor esperado (media) de los rendimientos.

b) Calcule la desviacin estndar.

c) Obtenga el coeficiente de variacin.

d) Determine la covarianza y la correlacin lineal.

76.-Se ha solicitado asesora para seleccionar una cartera de activos y se le han dado los si-guientes datos:

Rendimiento esperadoAoActivo X(%)Activo Y(%)Activo Z(%)

20048168

2005101410

2006121212

2007141014

200816816

No se le han proporcionado las probabilidades. Se le ha dicho que puede crear dos carteras una conformada por los X y Y; y la otra conformada por los activos X y Z invirtiendo partes iguales, 50% en cada uno de los activos componentes.

a) Establezca las ecuaciones del coeficiente de correlacin de las carteras XY y XZ.

b) Cul es el rendimiento esperado de cada activo durante un periodo de 3 aos?

c) Cul es la desviacin estndar del rendimiento de cada activo?

d) Cul es el rendimiento esperado de cada una de las dos carteras?

e) Cmo representara las correlaciones de los rendimientos de dos activos conforman cada una de las dos carteras que se identifican en la parte D?

f) Cul es la desviacin estndar para ambas carteras?PROF: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

ViI.- ADMINISTRACION DE PROYECTOS (PERT/CPM).Aunque PERT (Tcnica de Evaluacin y Revisin de Proyectos) y CPM (Mtodo de la Ruta Crtica), tienen el mismo propsito general y utilizan en buena medida la misma terminologa, las tcnicas se desarrollaron en forma independiente. Se present el Mtodo PERT a finales de la dcada de los 50s para especificar tareas de planear, programar y controlar el Proyecto de los Misiles Polaris efectuado por la Navy Special Projetcs Office en colaboracin con la Empresa de Consultora Booz, Allen y Hamilton.

Muchas de las tareas o actividades relacionadas con el proyecto nunca se haban considerado antes, resultaba difcil pronosticar el tiempo necesario para terminar las diversas tareas o actividades. En consecuencia, se desarroll la tcnica PERT con el objeto de permitir manejar las incertidumbres en los tiempos de terminacin de las tareas.

Por otro lado, el CPM se ide en 1957 por J. E. Kelly, de Remington Rand y M. R. Walker, de Du Pont, para desarrollar y controlar proyectos industriales en donde se consideraba que se conocan los tiempos de las tareas o actividades. El CPM ofreca la posibilidad de reducir los tiempos de las actividades aadiendo trabajadores o recursos, por lo general con mayores costos. Por ello, una caracterstica distintiva de CPM era que permita realizar intercambios entre tiempos y costos para las diversas actividades de los proyectos.

en los usos que se les dan actualmente; ya ha desaparecido en gran medida la diferencia entre pert y cpm como dos tcnicas distintas. con frecuencia, las versiones computacionales del mtodo pert/cpm contienen opciones para considerar en los tiempos de las actividades, as como tambin entre tiempos y costos de las actividades.

problemas que se han resuelto por medio de pert/cpm. se han resuelto con xito con xito diversos problemas tanto industriales como administrativos por medio de la tcnica pert/cpm como son:

1.- la construccin de una presa.

2.- la determinacin de la ruta de transporte ms econmica.

3.- la construccin de un avin. 4.- la planeacin de programacin y control de la construccin de grandes sistemas de armas militares.

5.- la determinacin de polticas de expansin ptima para un sistema de gasoducto.

6.- el implante de un nuevo sistema de computacin.

7.- el diseo, introduccin y comercializacin de un nuevo producto.


terminologa de pert/cpm. actividades un paso de trabajo en el proyecto total y se representa con una flecha, donde el extremo de la flecha indica el principio de la actividad y la punta su terminacin.

actividades precedentesson las actividades que inmediatamente preceden a una actividad especfica.

actividad ficticiaes la actividad que tiene tiempo cero y que se utiliza en las redes del tipo pert/cpm.

eventoes el suceso que ocurre cuando terminan todas las actividades que conducen a un nodo.

diagrama de redes la representacin grfica de todo el proyecto. cada actividad del mismo se representa con un crculo y las flechas se usan para indicar los requerimientos de la secuencia. holguraes el tiempo que puede demorarse una actividad sin afectar la fecha de terminacin de un proyecto.

holgura totales el tiempo del cual dispone una actividad, que no afecta la terminacin del proyecto, o sea, es el tiempo de proteccin que tiene cada actividad para que el proyecto termine a tiempo, matemticamente se tiene:

ht = lmtpf lmppi d. a. holgura librees el tiempo disponible que tiene una actividad para no afectar el inicio de las actividades subsecuentes y su modelo matemtico es:

hl = lmppf lmppi d. a. nodoes el crculo de una red pert/cpm que indica la conclusin de ciertas actividades y el inicio de otras.

tiempo lo ms pronto posible de iniciacin Es el tiempo ms pronto posible en el que puede comenzarse una actividad sin demorar la terminacin de un proyecto.


tiempo lo ms tarde posible de terminacines el tiempo ms lejano en el que puede terminarse una actividad sin demorar la terminacin de un proyecto.

actividad crticaes la actividad que conforma la ruta crtica.

ruta crticaes la ruta ms larga de una red de administracin de proyectos pert/cpm y la duracin del proyecto es la suma de las actividades crticas.

tiempo normales el tiempo mximo posible para la conclusin de una actividad, correspondiente al uso mnimo de recursos.

tiempo crashes el tiempo mnimo posible para la conclusin de una actividad, correspondiente a la concentracin mxima de recursos.

holgura totales el tiempo del cual dispone cada actividad, que no afecta la terminacin del proyecto.

holgura librees el tiempo disponible que tiene una actividad para no afectar el inicio de las actividades subsecuentes.

reglas para el trazo de una red1.- cada actividad debe tener un evento predecesor y un evento sucesor. los eventos se encierran en crculos que marcan el principio o fin de una tarea y entre los eventos se trazan flechas de interrelacin.

2.- ninguna actividad puede comenzar antes de que termine su evento predecesor; a su vez ningn evento puede considerarse consumado antes de que hayan quedado terminadas todas las tareas que conducen a l.

3.- los eventos deben tener relacin o interrelacin con otros eventos; es incorrecto que un e-vento quede suelto ya que una red es cerrada.

4.- algunos eventos slo tienen referencia con otros eventos sin que indique dependencia; en estos casos se usan flechas de liga o actividades ficticias que no tienen tiempo de ocurrencia; pero que indican entrega de resultados, o bien; espera a que se complete el evento con l que hay liga.


5.- no puede haber flechas en ambos sentidos entre dos eventos. Tampoco es posible derivar una flecha de la mitad de una ya existente.

6.- la ltima regla para la construccin de la red se refiere a la formacin de un ciclo, ningn evento dado puede ser seguido por una ruta de actividad que conduce de regreso al mismo evento.

calculo de una red

Tiempo lo ms pronto posible1.- se inicia por la fecha ms temprana en la que puede ocurrir el evento inicial (normalmente se da un valor de cero).

2.- se suma a esta fecha el nmero de das necesario para dar cumplimiento a cada una de las actividades que salen de este evento.

3.- cuando se tenga un evento del cual llegan dos o ms actividades se escoge el valor ms alto. se aplica este proceso hasta el evento final y este dato da la duracin del proyecto.

numero dse evento

LMPP

PROF: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ ASIGNATURA: MATEMATICAS VI (Lo Ms Pronto Posible).

I

+ + D. A.

EJEMPLO78.- determine el tiempo lo ms pronto posible

A 2

B

4


tiempo lo ms tarde posible1.- para realizar este clculo se debe de haber determinado el tiempo lo ms pronto posible.

2.- se anota en el evento final el nmero de das (semanas) que se ha obtenido en el lado correspondiente a lo ms tarde posible, y de derecha a izquierda se resta a este el valor de la duracin de las actividades que llegaron a l, as hasta el final del proyecto.

3.- Cuando se tenga un evento del cual salen varias actividades se escoge el valor ms pequeo.

NUMERO DE EVENTO

lmtpF

D. A

EJEMPLO78.- determine el tiempo lo ms tarde posible.

2 G

L 3

M 4


EJEMPLOS

79.- resuelva el siguiente problema:

ActividadAnteceden-TE INMEDIA-TOTiempo (Semanas)

A6

B2

CA3

DA5

EA3

FC2

GD3

HB, E4

IH2

JF, G, I 2

a.- trazar la red.b.- encontrar la duracin del proyecto y la ruta crtica.c.- encontrar la ruta crtica en forma tabular.

80.- FORMULACIN DE REDES PARA EMPLEAR CPM Proyecto de Ampliacin de un Centro Comercial.Perisur desea ampliar sus instalaciones y para ello a decidido contratar a la constructora ICA la cual rinde el informe de actividades en el sigiente cuadro para determinar el tiempo que tardar en realizar el proyecto. ACTIVIDAD

DESCRIPCINANTECEDENTETIEMPO(SEM.)

APreparar dibujos5

BIdentificar nuevos INQUI-LINOS6

CDesarrollar proyectosA4

DElegir contratistasA3

EPreparar permisosA1

FObtener permisosE4

GConstruccinD,F14

HFiniquitar contratosB,C12

IMudanzaG,H2

A.- Trazar la Red.PROF: L. A. NORMA NUEZ SANCHEZ ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

B.- Encontrar la Duracin del Proyecto y la Ruta Critica. C.- Encontrar la Ruta Crtica en Forma Tabular.

81.- formulacin de redes para emplear pert (costo)

ACTIVIDADACTIVIDADTIEMPOTIEMPOCOSTO

PRECEDENTENORMALCRASHCRASH

(DIAS)(DIAS)($)

A1074

B542

CA,B322

DA,B433

EB533

FD,E633

GC,F525

HD,E641

IG,H644

Costo por da normal $5.00.

Se pide:A.- Trace la red.B.- Encuentre la Duracin, el Costo del Proyecto con Tiempo Normal y la Ruta Crtica.C.- Encuentre la Ruta Crtica en Forma Tabular.D.- Encuentre la Duracin del Proyecto con Tiempo Crash.

matematicas+vi.docx

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