matemática financeira & engenharia...

Matemtica Financeira e Engenharia Econmica

Eng. Civil Antonio Victorino Avila

Florianpolis 2014-junho.


A958m AVILA, Antonio Victorino.

Matemtica financeira e engenharia econmica / Antonio Victorino Avila; Florianpolis. Programa de Educao Tutorial da Engenharia Civil UFSC, 2012. 241p.: il. color. ; 24 cm. Inclui Bibliografia. 1. Matemtica financeira. 2. Engenharia econmica. 3. Juros. 4. Capital. 5. Comissionamento de ativos. 6. Substituio de ativos. I. Ttulo. CDU 624

Catalogao na publicao por Graziela Bonin CRB14/1191

Copyright do autor Registro EDA n 585.911 em 12.12.2012

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Matemtica Financeira & Engenharia Econmica

NDICE PRLOGO ........................................................................................................ 7

1. Premissas e Conceitos ............................................................................ 8 1.0 Introduo. ........................................................................................... 8

1.1 Remunerao dos Fatores de Produo. ......................................... 8

1.2 Premissas. ........................................................................................... 9

1.3 - Nomenclaturas das taxas de juros. ................................................. 12

1.4 Composio da Taxa Real. ............................................................. 13

1.5 O Custo do capital. ........................................................................... 14 1.5.1 Conceitos...................................................................................... 14 1.5.2 Fontes de Capital. ........................................................................ 15 1.5.4 O Custo Mdio Ponderado. .......................................................... 16

1.6 Definies .......................................................................................... 18

2.0 - Introduo .......................................................................................... 22

2.1 Conceituaes de Juros .................................................................. 22 2.2 Juros Simples .................................................................................... 23

2.2.1 Definio de Juros Simples. ......................................................... 23 2.2.2 Operaes com Juros Simples. ................................................... 23 2.2.3 - Operaes de desconto. ............................................................... 24 2.2.4 - Relaes entre Descontos e Taxas .............................................. 27 2.2.5 Tempo Exato e Comercial ............................................................ 28 2.2.6 Exerccios Resolvidos. ................................................................. 28 2.2.7 Exerccios Propostos. ................................................................... 30

2.3 Juros Compostos.............................................................................. 33 2.3.1 - Definio. ...................................................................................... 33 2.3.2 - Frmulas Bsicas: ......................................................................... 33 2.3.3 Valor Presente e Valor Futuro ...................................................... 34 2.3.4 - Exemplos ....................................................................................... 37 2.3.5 Correlao Entre Taxas de Juros Compostos. ............................ 38 2.3.6 - Cuidados a observar. .................................................................... 39

2.3.7 - Exerccio Resolvido. .................................................................... 40 2.4 - Relao entre as taxas nominal e real............................................. 41

2.4.1 Efeito da Inflao ......................................................................... 41 2.4.2 Relao entre taxas. .................................................................... 43 2.4.3 Inflao e ndices. ........................................................................ 44

2.5 Inflao Acumulada. ......................................................................... 46 2.5.1 Frmulas Bsicas. ........................................................................ 47 2.5.2 Atualizao de valores monetrios. ............................................. 48 2.5.3 - Aplicao ....................................................................................... 49

2.6 Exerccios Considerando Inflao. ................................................. 50

3. Sries de Capitais ................................................................................. 56 3.0 Definio e Tipos. ................................................................................. 56

3.1 Srie Uniforme Postecipada. ........................................................... 56 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Srie Postecipada. .................. 57 3.1.2 - Valor Futuro da Srie Postecipada. .............................................. 59 3.1.3 - Exemplo. ....................................................................................... 60 3.1.4 - Comparando Juros Simples e Compostos. .................................. 60

3.2 Srie Infinita. ..................................................................................... 62 3.2.1 Conceituao. .............................................................................. 62 3.2.2 Exerccio Resolvido. ..................................................................... 63

3.3 Srie Uniforme Antecipada. ............................................................. 65 3.3.1 Valor Presente da Srie Antecipada ............................................ 65 3.3.2 Valor Futuro da Srie Antecipada. ............................................... 66 3.3.3 Aplicao. ..................................................................................... 68

3.4 Srie Diferida. .................................................................................... 69 3.4.1 Metodologia .................................................................................. 69 3.4.2 - Aplicao ....................................................................................... 70

3.5 Exerccios Propostos. ...................................................................... 71

4. Amortizaes de Dvidas ................................................................... 75 4.1 Tipos de Sistemas. ........................................................................... 75 4.2 - Sistemas de Amortizao Constante - SAC ................................... 76

4.2.1 A metodologia .............................................................................. 76 4.2.2 - Exemplo ........................................................................................ 77

4.3 - Sistemas de prestao constante .................................................... 78

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Eng. Civil Antonio Victorino Avila 4.3.1 - Conceituao ................................................................................ 78 4.3.2 Metodologia de Calculo. ............................................................... 78 4.3.3 - Exemplo ........................................................................................ 79

4.4 O sistema de amortizao varivel. ................................................ 79 4.4.1 Conceituao. .............................................................................. 79 4.4.2 - Metodologia ................................................................................... 80 4.4.3 Comentrios ................................................................................. 80 4.4.4 - Exemplo ........................................................................................ 81

4.5 - O sistema americano. ........................................................................ 82 4.5.1 - Metodologia. .................................................................................. 82 4.5.2 - Exemplo. ....................................................................................... 82

4.6 O sistema alemo.............................................................................. 82 4.6.1 Caracterstica ............................................................................... 82 4.6.2 Relao entre Amortizaes. ....................................................... 83 4.6.3 Determinao da Prestao. ........................................................ 84 4.6.4 Equivalncia Financeira. .............................................................. 84 4.6.5 Exemplo. ....................................................................................... 85

4.7 O sistema de amortizao crescente - SACRE .............................. 86 4.7.1 O Sistema ..................................................................................... 86 4.7.2 A metodologia. ............................................................................. 87 4.7.3 Exemplo ........................................................................................ 88 4.7.4 - Comentrios .................................................................................. 88

4.8 Correo do saldo devedor. ............................................................ 89 4.8.1 Procedimentos ............................................................................. 89 4.8.2 Metodologia .................................................................................. 89 4.8.3 Aplicao ao Sistema SAC .......................................................... 90

4.9 Exerccios. .................................................................................... 92

5. Engenharia Econmica. ................................................................... 99 5.1 Conceituao. .................................................................................... 99

5.2 Anlise de Viabilidade. ................................................................... 100 5.2.1 - Conceito de Viabilidade .............................................................. 100 5.2.2 Premissas. .................................................................................. 100

5.3 O Fluxo de Caixa ............................................................................ 103 5.3.1 Conceituao ............................................................................. 103 5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa DFC. ......................................... 104 5.3.3 Calculo do Fluxo de Caixa ......................................................... 105

5.4 Valor Presente. ................................................................................ 106 5.4.1 Valor de um Ativo. ...................................................................... 106 5.4.2 Calculo do Valor Presente Lquido. ........................................... 106 5.4.3 Diagrama de Valor Presente ...................................................... 108 5.4.4 Exemplo de Aplicao ................................................................ 109

5.5 A TMA: Taxa de Mnima Atratividade ........................................... 110 5.5.1 Conceito de TMA ....................................................................... 110 5.5.2 Definio da TMA ....................................................................... 111 5.5.3 A TMA e o Balano. ................................................................... 112 5.5.4 A TMA e Custo Mdio Ponderado. ............................................ 112

5.6 - A Taxa Interna de Retorno TIR. ................................................... 113 5.7 - Previso de Fluxo de Caixa. .......................................................... 115

5.7.1 Modelo de Procedimento ........................................................... 115 5.7.2 Informaes Gerenciais. ............................................................ 116

5.8 Tributos e Depreciao .................................................................. 117 5.8.1 Influncia dos Tributos. .............................................................. 117 5.8.2 Influencia da Depreciao. ......................................................... 118

5.9 Classificao dos Investimentos. ................................................. 118 5.9.1 Pela Variao dos Fluxos de Caixa. .......................................... 119 5.9.2 Disponibilidade de Recursos. ..................................................... 120

5.10 - O processo de deciso ................................................................. 120

5.11 Exerccio Resolvido. ..................................................................... 121 5.12 - Exerccios Propostos. ................................................................. 122

6. Mtodo do Valor Presente. ............................................................... 125 6.1 - Objetivo do Mtodo. ....................................................................... 125

6.2 Coerncia de Resultados. .............................................................. 125 6.2.1 - Projetos na mesma classe de risco ............................................ 125 6.2.2 - A mesma taxa de desconto. ...................................................... 126 6.2.3 - Projetos com idntica vida til. .................................................. 126 6.2.4 - Distinguir projetos de longa durao .......................................... 127

6.3 O Mtodo do valor presente. ......................................................... 127 6.3.1 Incremento de Riqueza. ............................................................. 127 6.3.2 - Deciso ....................................................................................... 128 6.3.3 Diagrama de valor presente ....................................................... 132

6.4 - Anlise de Sensibilidade e Risco. .................................................. 134 4

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica 6.4.1 Conceituao. ............................................................................ 134 6.4.2 Domnio vivel de produo. ...................................................... 136

6.5 Aplicao. ........................................................................................ 137

6.6 - Equalizao de tempos de projetos. ............................................ 140 6.6.1 Reinvestimento em ativos semelhantes ..................................... 140 6.6.2 Caso de Rigidez das Alternativas .............................................. 141 6.6.3 Caso de Outras Oportunidades. ................................................ 142

6.7 Consistncia VPL e Custo de Capital. .......................................... 142

6.8 Exerccios Resolvidos. ................................................................... 143 6.8.1 Exerccio de Fluxo de Caixa....................................................... 143 6.8.2 - Caso da Jazida Mineral. ............................................................. 144

6.9 Exerccios Propostos ..................................................................... 146

7. Mtodo da Recuperao de Capital .............................................. 154 7.1 - Introduo ........................................................................................ 154

7.2 - Metodologia. ..................................................................................... 154 7.3 Exerccio. ......................................................................................... 156

8. Valor Uniforme Equivalente ........................................................... 157 8.1 Introduo ........................................................................................ 157 8.2 - Deciso ............................................................................................. 158

8.3 Metodologia do MVUE. ................................................................... 159 8.3.1 Artificio para Reinvestimentos. ................................................... 159 8.3.2 Procedimentos ........................................................................... 160

8.4 Exemplos de Aplicao. ................................................................. 160 8.4.1 - Caso ........................................................................................... 160 8.4.2 Manuteno em Comissionamento ............................................ 163 8.4.3 Anlise Crtica. ........................................................................... 165 8.4.4 Produo de Novo Produto. ....................................................... 166

8.5 - Exerccios Propostos. ..................................................................... 168

9. Taxa Interna de Retorno .................................................................. 170 9.1 - Definies ......................................................................................... 170

9.2 Utilizao da TIR. ............................................................................ 170

9.3 - Deciso ............................................................................................. 171

9.4 Discutindo a TIR e a TMA. .............................................................. 171

9.5 Aplicaes da TIR. .......................................................................... 172 9.5.1 - Caso de ttulos mobilirios. ......................................................... 172 9.5.2 - Caso de financiamentos. ............................................................ 173 9.5.3 Caso de investimentos produtivos ............................................. 174

9.6 Calculo da TIR. ................................................................................ 175 9.6.1 Funo Polinomial ...................................................................... 175 9.6.2 - Processo da Bisseo. ............................................................... 176 9.6.3 Aplicao da metodologia .......................................................... 178

9.7 - Existncia de mltiplas TIR ............................................................ 179 9.8 Exerccios. ....................................................................................... 181

10. Mtodos Algbricos. ......................................................................... 184 10.1 Frmulas de Karpin ...................................................................... 184

10.2 - Caso de Prestaes Constantes. ................................................. 185 10.2.1 O mtodo ................................................................................. 185 10.2.2 Aplicao .................................................................................. 185

10.3 - Caso de Prestaes Crescentes. ................................................. 186 10.3.1 O Mtodo .................................................................................. 186 10.3.2 Aplicao .................................................................................. 187

10.4 Caso de Prestaes Decrescentes. ............................................ 187 10.4.1 O Mtodo. ................................................................................. 187 10.4.2 Aplicao. ................................................................................. 188

10.5 - Exerccios. ...................................................................................... 188

11. Comissionamento de Ativos. ..................................................... 191 11.1 - Definio ......................................................................................... 191

11.2 - Tipos de Comissionamentos ........................................................ 191

11.3 - Metodologias. ................................................................................. 191 11.3.1 - Deciso. .................................................................................... 191 11.3.2 - Compra a vista .......................................................................... 192 11.3.3 - Compra a prazo ........................................................................ 193 11.3.4 - Aluguel com devoluo do bem ................................................ 193 11.3.5 - Aluguel sem devoluo do bem ................................................ 194

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Eng. Civil Antonio Victorino Avila 11.4 - Leasing-back. ................................................................................. 195

11.5 Exerccio ........................................................................................ 195

12 Alienao de Ativos. ...................................................................... 201 12.1 Introduo. ..................................................................................... 201

12.2 - Baixa Sem Reposio. .................................................................. 203 12.2.1 Processo de deciso. ............................................................... 203 12.2.2 Exemplo.................................................................................... 204

12.3 - Baixa com Reposio. ................................................................... 204 12.3.1 - Reforma ou Substituio por no Similar. ................................ 205 12.3.2 - Continuidade da Produo com Equipamento Similar. ............ 206

12.4 - Mudana de Tecnologia. ............................................................... 207

12.5 - Ativos Com Longa Vida til .......................................................... 207

12.6 Exerccios. ..................................................................................... 208 12.6.1 - Anlise de alienao de ativo .................................................. 208 12.6.2 - Data de Alienao. .................................................................... 209

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................. 215

ANEXOS - Casos e Trabalhos ................................................................ 216

Anexo I .......................................................................................................... 217

Trabalhos. .............................................................................................. 217 I.1 Trabalho: Anlise de Fluxo de Caixa. ........................................... 218

I.2 - Trabalho: Mtodos de amortizao. ............................................... 221

I.3 Trabalho: Viabilidade de troca de lmpadas ................................ 223

Anexo II ......................................................................................................... 226

- Casos em Engenharia Econmica. .................................................. 226 II.1 Caso: Ampliao da Sede. ........................................................... 227

II.2 Caso: Fabrica de protendidos. ...................................................... 228 II.3 Caso: Implantao de Termeltrica. ............................................. 229

II.4 Caso: Viabilidade de construo de ponte. ................................. 230

II.5 Caso: Refinaria de petrleo ........................................................... 230

II.6 Caso: Aquisio de prensas. ......................................................... 231

II.7 Caso: Financiamento de residncia. ........................................... 231

II.8 Caso: Venda de Apartamento. ...................................................... 232

II.9 Caso: Plano de Construo .......................................................... 232

Anexo III ........................................................................................................ 234

Tabelas Financeiras. ........................................................................... 234

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PRLOGO

O objetivo desta publicao dispor ao aluno de uma expresso documental coerente com o contedo apresentado em sala de aula. E, assim, permitir o acompanhamento e a participao nas discusses realizadas. O contedo abordado abrange a Matemtica Financeira e a Engenharia Econmica. A Engenharia Econmica corresponde ao campo do conhecimento que abrange mtodos ou modelos que, baseados em fatores tcnicos, financeiros e sociais, permitem o julgamento de conjunto de alternativas propostas para a aplicao ou utilizao de recursos, sejam naturais, tecnolgicos ou, financeiros, favorecendo a sua otimizao. A Engenharia Econmica inicia pelo conhecimento da Matemtica Financeira, campo da matemtica destinada anlise de juros, equivalncia de capitais de capitais considerando, especialmente, sob a tica do binmio juro versus tempo. A importncia desta rea do conhecimento para o engenheiro que, inexoravelmente, no exerccio da sua profisso e como gestor, se deparar com decises de inverso de capital em: alternativas de investimentos em ativos e equipamentos; aplicao de capital financeiro; manuteno, baixa e substituio de ativos; previso de exigibilidades de caixa; etc.. Alm disso, a anlise de viabilidade financeira de projetos uma das atividades profissionais dos engenheiros definidas

pela Lei 5.194 ao elencar o campo das atribuies do profissional.

No Brasil, cinco erros so comumente efetuados:

Desconsiderar a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo;

No distinguir entre juros descontados de juros postecipados;

Utilizar a matemtica dos juros simples em lugar de juros compostos;

Confundir juros nominais com juros reais;

Respeitar a aritmtica dos juros compostos, mas, supondo que as taxas de juros se mantenham inalteradas no tempo.

Erros que podem levar a decises equivocadas sobre

decises de investimentos. E, incorrer em algum erro de deciso pode ser fatal para a rentabilidade de um projeto ou da liquidez da empresa.

Assim sendo, o conhecimento de Engenharia Econmica

uma ferramenta de deciso imprescindvel ao profissional enquanto tomador de deciso, pois instrumento de deciso no campo financeiro. Finalizando, recomenda-se ao interessado consultar a bibliografia apresentada, pois o contedo exposto no esgota o assunto. Eng. Civil Antonio Victorino Avila MSc. Eng. de Produo

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1. Premissas e Conceitos 1.0 Introduo. O objetivo deste captulo apresentar ao interessado uma srie de premissas, conceitos e definies que amparam o processo de deciso financeira e os mtodos de deciso utilizados na Matemtica Financeira e na Engenharia Econmica. Matemtica Financeira definida como sendo a rea da matemtica que descreve as relaes entre o binmio tempo e dinheiro necessrias a amparar o calculo de decises financeiras. Assim sendo, a matemtica financeira estuda, basicamente, a formao dos juros, os montantes de capital gerados, o valor de prestaes em sries e a amortizao de dvidas.

A Engenharia Econmica contempla um conjunto de conhecimentos e metodologias que, amparadas na matemtica financeira, permite realizar o processo de tomada de deciso quanto eleio ou a classificao de alternativas de investimentos financeiros.

Esses investimentos podem ser referentes a:

aplicao de capital em aes; renda fixa ou varivel; aquisio de bens e equipamentos; implantao de sistemas de produo ou de servios; a baixa e a substituio de equipamentos; etc..

1.1 Remunerao dos Fatores de Produo. No sistema econmico em que vivemos a, demanda por fatores de capital necessrios produo de bens e servios so: mo de obra; capital; terra; empresas; e a capacidade tcnica, requer remunerao.

Conforme o caso, esta remunerao recebe denominao distinta. Assim sendo, o capital remunerado pelos juros; a terra pelo aluguel; a tcnica ou patentes pelos royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de mnima atratividade, TMA; a mo de obra pelo salrio. Ver esquema da Figura 1.1 Remunerao dos Fatores de Produo.

Mo de ObraH

Salrio

CapitalH

Juros

TerraH

Aluguel

EmpresaH

Lucro-TMA-

TcnicaH

Royalties

Figura 1.1 - Remunerao dos Fatores de Produo

Fatores de Capital

Os juros, tanto podem ser relacionados a um emprstimo tomado por pessoa fsica ou jurdica, como ao financiamento tomado na aquisio de bens ou a remunerao do capital de scios.

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Matemtica Financeira & Engenharia Econmica O objetivo desta obra ser discutir a remunerao do

capital, ou seja, os juros. E, o aumento de riqueza propiciado pela aplicao de capital em projetos de investimentos produtivos ou financeiros.

Para tanto, ser discutido um conjunto de metodologias que permitam a realizao de um coerente processo de deciso quanto escolha de investimentos produtivos ou da aplicao de capital que atenda, corretamente, aos preceitos da Matemtica Financeira e da Engenharia Econmica. 1.2 Premissas. A matemtica financeira e a engenharia econmica, como instrumentos de apoio tomada de deciso, se apoiam nas seguintes premissas: 1 Premissa MAXIMIZAO DA RIQUEZA.

O objetivo de utilizar a engenharia econmica e a matemtica financeira amparar um processo de deciso capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro e a riqueza dos proprietrios, sempre. 2 Premissa MOMENTO DA DECISO.

As decises financeiras devem enfocar o quanto uma ao efetuada no presente resultar em termos de aumento de riqueza no futuro.

Assim, ao ser analisado um empreendimento j em curso, a deciso em data presente em continu-lo, em alterar a sua aplicao ou objetivo, ou simplesmente descontinua-lo dever

basear-se em perspectivas futuras e no em resultados passados.

S se decide sobre aes relativas ao futuro. O passado j ocorreu e sobre ele nada h que decidir. Em relao ao futuro s temos expectativas. De modo que as decises so sempre formadas sobre expectativas.

A 2 Premissa estabelece que o momento da deciso seja sempre a data em que a mesma foi tomada: HOJE.

Como se decide sobre expectativas futuras, h que se

considerar a variao do valor aquisitivo da moeda no tempo para que haja consistncia quando se compara valores monetrios.

Isto porque, de entendimento comum e mesmo de modo

intuitivo que, disponvel uma quantidade de moedas na data de hoje, em data futura a quantidade de bens a adquirir com a mesma quantidade de moeda diferente daquela anterior.

Somente se somam ou se subtraem valores monetrios

correlacionados mesma data.

Ateno! Coerncia !

Sob essa considerao, toda operao efetuada com valores monetrios, seja de adio de valores, ou seja, as entradas de caixa. Ou, a diminuio de valores, a exemplo de custos incorridos, investimentos realizados ou impostos devidos, deve ser correlacionada data da tomada de deciso.

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Eng. Civil Antonio Victorino Avila Dado o exposto, somente se somam ou se subtraem

valores monetrios financeiros quando correlacionados mesma data, dada a variao do valor da morda no tempo. 3 Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

Financeiramente falando, uma soma de dinheiro na data

de HOJE, e sob determinadas condies, pode ser monetariamente equivalente outra soma diferente de dinheiro considerando a variao do tempo.

Sob tal premissa, os critrios de deciso de investimentos

devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e, como corolrio dessa premissa, a perda do poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo.

tempo

1.500

R$

5 x 385,00 R$

1 2 3 4 5

Figura 1.2 Equivalncia de Valores Monetrios

Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e,

consequentemente, no perca valor no tempo, h que ser

aplicado com um retorno equivalente taxa de oportunidade definida pela empresa ou adotada pelo investidor.

Como exemplo, seja um investidor dispondo de uma soma de capital equivalente a R$ 200.000,00 e havendo a oportunidade de aplic-la a taxa de juros i=14,50 % ao ano, ao final de um ano a importncia inicial montar em R$ 229.000,00.

O valor de R$ 229.000,00, nas condies relatadas

financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado.

Outro exemplo seja o caso do financiamento de um televisor, cujo preo de aquisio de R$ 1.500,00 a ser quitado em cinco prestaes iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 385,00. Ver Figura 1.2 Equivalncia de valores Monetrios.

Sob o conceito de equivalncia financeira do valor da

moeda no tempo, o montante das cinco prestaes, a um custo de oportunidade de 8,94% ao perodo, equivalente ao valor do financiamento. Ou seja: R$ 1.500,00 5 385,00 R$. 4 Premissa CUSTO DE OPORTUNIDADE.

O custo de oportunidade corresponde melhor remunerao a ser obtida por um fator de produo que seria obtida por ele, caso fosse aplicado em outra alternativa de investimento, mantida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & Attie, 1984).

Como corolrio da definio acima, o custo de oportunidade corresponde maior taxa de desconto a ser adotada quando se compara a rentabilidade de um dado projeto

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Matemtica Financeira & Engenharia Econmica com a rentabilidade da melhor alternativa j disponvel, considerando projetos situados na mesma classe de risco.

A literatura existente trata o custo de oportunidade sob diversas denominaes, tais como: taxa de rentabilidade, taxa de oportunidade; taxa de retorno; taxa de atratividade; taxa de desconto ou taxa de mnima atratividade - TMA. Como nomenclatura nesta obra ser a adotada denominao de TMA para a taxa de oportunidade.

Dentro dessa premissa, um investidor que dispe da

oportunidade de aplicar seus recursos a X%, e os vinha fazendo a taxa y% < X%, sua taxa de oportunidade passar a ser X%, pois esta ser a melhor aplicao disponvel para seus ativos.

Figura 1.3 Evoluo da Taxa de Oportunidade

Tradicionalmente: Remunerao a k%

Oportunidade: Remunerao a X% sendo X% > k%

TMA E X%

Qualquer aplicao efetuada a uma taxa inferior que a de

oportunidade reduz a realizao ou a perspectiva de manter seus ganhos num determinado patamar de lucratividade, o que contraria a 1 Premissa.

Como exemplo da evoluo da taxa de oportunidade, seja uma empresa que, tradicionalmente, remunera seus ativos taxa de 15% ao ano. Esta a sua taxa de oportunidade e ela no aceita em aplicar recursos uma taxa inferior a ela. Porm, se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada, tal como 18% ao ano, esta passar a ser a sua nova taxa de oportunidade.

O conceito de considerar ou definir a remunerao do

capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do entendimento de que ao ser aplicado um capital numa alternativa qualquer, a empresa estaria perdendo a oportunidade de aplic-lo em alternativas mais rentveis a ocorrerem no futuro.

5 Premissa DECISO & RESULTADO. importante observar a diferena entre boas decises e

bons resultados, pois, nem sempre, so diretamente proporcionais.

Uma boa deciso a melhor possvel, considerando o

conhecimento disponvel sobre qualquer ao em julgamento, no momento de sua realizao. Havendo alterao do cenrio previsto ou ocorrendo azar, uma boa deciso pode redundar num mau resultado. um fato a ser considerado.

A recproca, porm, dificilmente se mostrar verdadeira,

ou seja, uma m deciso propiciando em bom resultado. Esta assertiva contraria a lei de Murphy que diz: existindo a probabilidade de algum fenmeno dar errado, com certeza ele dar errado....

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Eng. Civil Antonio Victorino Avila A ocorrncia de uma boa deciso esta vinculada a

disponibilidade de dados e informaes confiveis e que as alternativas reflitam as condies de mercado da poca em que foram desenvolvidas. So dados perfeitamente controlveis e dependentes da acuidade do decisor. Cabe ao analista, elaborar um processo com a melhor qualidade possvel, visando fidedignidade dos resultados.

Recomenda-se a realizao de auditorias ps - deciso

visando analisar o processo decisrio passado e aperfeioar a qualidade das decises futuras. um processo que educa os responsveis por decises possibilitando avaliar o desempenho da organizao. 1.3 - Nomenclaturas das taxas de juros.

O mercado de capitais e o comrcio utilizam uma nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas, muitas vezes utilizando denominao diferente para a mesma taxa. Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas, so apresentadas as seguintes definies: a) Taxa Bsica - a taxa que estabelece a remunerao do

capital estabelecida por seu proprietrio e medida em termos de moeda de poder aquisitivo constante. Moeda de poder aquisitivo constante aquela cujo poder de compra se mantm inalterada no tempo. Logo, nesta taxa, no est embutido o efeito da inflao.

b) Taxa Real corresponde taxa bsica acrescida de outros custos, tributos e do risco vinculado ao tomador do recurso.

c) Taxa Nominal corresponde remunerao do capital

expressa em termos de valores de moeda corrente. Esta taxa engloba a taxa real e a inflao prevista. Tambm pode ser denominada de taxa efetiva. Neste caso corresponde taxa empregada para a atualizao e pagamento de valores monetrios.

d) Taxa Efetiva a que corresponde, exatamente, ao custo do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser definida, tambm como aquela que incide sobre o capital efetivamente exposto ao risco. Matematicamente, a Taxa Efetiva corresponde razo entre

o custo do capital tomado e o valor efetivamente recebido. E, deve ser entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador do recurso.

iEfetiva=Custo do CapitalValor Recebido

Ou

iEfetiva=(Juros + Encargos)

Valor Financiado

e) Taxa Declarada aquela declarada ou registrada nominalmente nos contratos. Normalmente ela a base para o clculo do juro a ser pago em uma operao.

A taxa declarada pode ser vista de dois modos. Como

sendo a taxa nominal quando expressamente estabelecida em contrato. Ou, sendo a taxa real quando o contrato estabelecer,

12

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica numa clausula a taxa de juros e, noutra clusula, o ndice de correo da inflao.

f) Taxa Bruta e Taxa Lquida so aquelas referenciadas

remunerao bruta ou lquida da inverso financeira.

A taxa bruta expressa a taxa pactuada com a considerao dos encargos incidentes sobre a operao de emprstimo sejam eles impostos, comisses, incentivos fiscais, etc..

A taxa lquida corresponde taxa bruta aps a deduo dos

impostos, comisses, incentivos fiscais, etc. incidentes sobre a operao de emprstimo.

Das definies acima, pode-se deduzir que a taxa bruta em

alguns contratos represente a taxa efetiva de juros.

g) Juros Descontados - os juros so ditos descontados quanto pagos no ato da operao financeira que lhes deu origem. Considerando que os juros efetivamente pagos so calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa efetiva superior taxa expressa ou pactuada. Neste caso a situao mais favorvel ao fornecedor do recurso.

h) Juros Postecipados os juros so ditos postecipados quando pagos na data de vencimento da operao financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros efetivamente pagos e pactuados so equivalentes, situao em que os juros so mais favorveis ao tomador do recurso.

Pelo exposto neste item, pode se constatar certo conflito de

entendimento entre algumas das definies.

Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a composio das taxa a ser estipulada em cada contrato, pois pode haver entendimento diferente entre instituies financeiras distintas quanto a definies de taxas de juros expressas em contrato.

No transcorrer deste livro e para efeitos didticos, sero

utilizadas como nomenclatura, apenas, a taxa nominal e a taxa real. Esta ultima, na maioria dos exerccios considerados neste livro, com a conotao de taxa bsica.

1.4 Composio da Taxa Real.

A taxa real de juros praticada no mercado financeiro no uma simples taxa que expressa a remunerao desejada pelo capitalista. Ela resulta da composio de custos, tributos e do risco incidente sobre uma operao financeira.

Resumidamente, corresponde soma da remunerao bsica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma taxa suplementar denominada, no mercado financeiro, de spread.

iR = iB + iSPREAD A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes custos: comisses de corretagem, iF, (tambm denominada flat); custos vinculados ao processo da intermediao financeira, iC; tributos sobre operaes financeiras, ; e, uma taxa de remunerao de risco, i.

13

Eng. Civil Antonio Victorino Avila Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguinte

expresso, sendo cada uma das variveis relacionadas expressa em percentagem:

iR = iB + ( iF + iC + IOF + i) No Brasil, o tributo incidente sobre operaes financeiras o IOF, cujas alquotas so definidas por lei e disponveis do site da Receita Federal. O valor da taxa de risco, i, definido segundo a classificao do nvel de risco atribuda ao tomador do recurso.

Para tanto so consideradas as seguintes variveis: o histrico comercial de crdito do tomador dos recursos, as garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado onde atua. A taxa bsica de juros, iB, varia de pas para pas sendo determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais.

Como exemplos, no Brasil, ela denominada de SELIC e periodicamente estabelecida pelo Banco Central. Nos Estados Unidos denominada de Prime Rate e na Inglaterra de Libor.

1.5 O Custo do capital.

1.5.1 Conceitos. O conceito de custo de capital, basicamente, se refere ao retorno esperado por uma pessoa fsica, das firmas individuais, das sociedades limitadas e annimas na aplicao de seus

capitai. E, tambm, o quanto uma pessoa paga pela utilizao de capital de terceiros.

Este captulo discute o custo de capital sob a tica da empresa, ou seja, quanto ela paga para a utilizao dos capitais lhes disponibilizados. Ao ser utilizado o conceito custo de capital, importante entender o contexto em que est sendo empregado. Tanto pode ser o custo a ser pago pela utilizao de capital como a taxa de desconto adotada na anlise dos seus projetos.

H que se evitar a utilizao do custo de capital

empregado dentro de um contexto e aplica-lo em outro contexto. Como exemplo, seja o custo ou remunerao de um capital destinado ao financiamento de determinado projeto e o utilizar, tambm, como taxa de desconto deste mesmo projeto.

Este um erro a ser evitado, pois, a empresa alm de

remunerar o capital dos acionistas, dever renumerar o financiamento contratado, fato que necessariamente decorrer no estabelecimento de uma taxa de desconto ou TMA superior s duas citadas. No campo financeiro, o conceito custo de capital pode ser utilizado em diversos contextos, todos no sentido de rentabilidade, bem como receber denominaes diversas, a saber: a) Custo de Capital, Taxa de Desconto, Custo de Oportunidade

ou Taxa de Mnima Atratividade expressam o retorno desejado na aplicao de algum capital, seja em investimento produtivo ou aplicao financeira.

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b) Custo de Oportunidade tambm definido como a taxa de rentabilidade ou retorno que se obtm ao se comparar a rentabilidade de uma alternativa de projeto com a rentabilidade da melhor alternativa j disponvel, na mesma classe de risco. Tambm denominada Taxa de Oportunidade.

c) Custo de Capital o preo que a empresa paga pela utilizao dos fundos obtidos junto s suas fontes de capital.

d) Custo de Capital ou Custo Mdio Ponderado a taxa de retorno que uma empresa necessita obter sobre seus investimentos de forma a manter inalterado o valor de mercado da empresa.

1.5.2 Fontes de Capital.

As fontes de capital de uma empresa podem ter custos diferentes, conforme a origem dos capitais a serem utilizados, e podem ser classificadas em dois principais grupos: Capital Prprio e Capital de Terceiros.

Como exemplo de capital prprio tem-se o caixa,

estoques e os investimentos de curto prazo. As formas comumente utilizadas em sua realizao so:

O capital integralizado pelo proprietrio de uma firma

individual ou pelos scios de uma sociedade em cotas de capital limitada;

As aes ordinrias das companhias de capital aberto; A venda de ativos improdutivos ou de baixa rentabilidade;

A venda de estoques.

Como exemplos de capitais de terceiros e que causam custo para a empresa so aqueles expressos na Figura 1.4 Fontes de Capital.

Figura 1.4 - Fontes de Capital.

Fontes deCapital

Prprio

Trceiros

Scios

Emprstimos

AesPreferenciais

Debntures

Financiamentos Curto Prazo

DescontosDuplicatas

AesOrdinrias

Financiamentos Longo Prazo

CAIXA

O modo de avaliar cada custo de capital funo do tipo da razo social de cada empresa, a saber:

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Eng. Civil Antonio Victorino Avila - Empresa com Proprietrio nico - o custo de capital o

melhor custo de oportunidade que ele tem num mesmo nvel de risco quanto aplicao de seus prprios ativos. No mnimo, ele aplica na prpria empresa.

- Sociedade Limitada - a mesma situao da anterior, em que reflete o interesse do grupo.

- Sociedade de Capital Aberto - ver teoria do preo das aes. GITMANN, 2001.

Para a gesto financeira, determinar o custo de capital

que a empresa paga por cada um deles e o conhecimento do custo total dos capitais mobilizados de importncia fundamental, pois permite definir qual sua prpria taxa de desconto.

Para tanto, utilizado o conceito de Custo Mdio

Ponderado de capital que pode ser calculado a partir das fontes de capital utilizadas ou diretamente dos dados apresentados no Balano Patrimonial.

As tcnicas a serem apresentadas para a obteno do Custo Mdio Ponderado podem ser utilizadas tanto para determinar o custo de capital ora em utilizao, como a previso do custo de capital futuro.

No caso da determinao do custo de capital futuro, a

tcnica recomenda utilizar os balanos projetados para os prximos exerccios considerando a mobilizao de novas fontes de capital pela qual se tem condies de avaliar a rentabilidade futura.

1.5.4 O Custo Mdio Ponderado. Por definio, o custo mdio ponderado corresponde ao custo que a empresa paga pelos capitais que mobiliza. O custo mdio ponderado pode ser estabelecido a priori ou a posteriori.

A priori, quando se deseja saber a evoluo do mesmo a partir das fontes de capital a serem mobilizadas. A posteriori, a partir do fechamento do balano patrimonial. 1.5.4.1 CMP e as fontes de capital.

Considerando o montante do valor de mercado associado a cada tipo de capital utilizado pela empresa como VM1, VM2,..., VMn e o custo de capital a ser pago a cada um desses tipos, respectivamente, C1, C2,..., Cn, o Custo Mdio Ponderado obtido utilizando a mdia ponderada dos custos associados a cada fonte de capital e o montante do capital utilizado.

Matematicamente:

CMP=C1 VM1 VMni=1

+C2 VM2 VMni=1

+C3 VM3 VMni=1

++Cn VMn VMni=1

Como j comentado, a expresso acima pode ser utilizada tanto para a definio do custo ponderado de capital em utilizao como para a anlise da evoluo do mesmo ao serem captados novos recursos no mercado. de expedita aplicao.

Como exemplo de calculo do CMP, o quadro da Figura 1.5 mostra o caso de uma empresa que utiliza quatro tipos de

16

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica capital. Cada um deles com um custo distinto e que variam de 3,19% a 8,88%.

Aplicadas as informaes dispostas no quadro abaixo

equao acima, o Custo Mdio Ponderado obtido de 7,7703%. No caso em pauta e tomando para exemplo de

determinao do custo de capital de uma das fontes, o item 1- Emprstimo de Longo Prazo, seu custo calculado conforme abaixo.

C1VM1 VMni=1

=0,0319 150.000

35.150.000 = 0,000136 CMP = 0,0136%

Fontes de Capital

Valor em Reais como Escriturado

% do Valor Total

Custo do Capital em %

Custo Med.

Ponderado 1 - Emprstimo de Longo Prazo 150.000,00 0,43 3,19 0,0136

2 - Emprstimos de Curto Prazo 5.000.000,00 14,22 8,69 1,2361

3 - Aes Ordinrias 10.000.000,00 28,45 5,16 1,4680 4 - Aes Preferenciais 20.000.000,00 56,90 8,88 5,0526 CMP 35.150.000,00 100,00 - 7,7703 % Figura 1.5 Determinao do Custo Mdio Ponderado de Capital

Os custos das demais fontes de capital so determinados

de modo similar. Assim, o Custo Mdio Ponderado da empresa corresponde soma dos custos de capital de cada fonte especfica: CMP = 0,0136+1,2361+1,4680+5,0526=7,7703%.

1.5.4.2 CMP a partir do balano.

O Custo Mdio Ponderado de Capital tambm pode ser obtido a partir de dados disponveis no balano patrimonial, mais precisamente com as informaes apresentadas no DRE e no Passivo.

Alm disto, utilizando balano projetado para o prximo exerccio, a empresa pode avaliar a evoluo de seu custo de capital, o que a balizar na captao de novos investimentos. Matematicamente, o Custo Mdio Ponderado de Capital de um exerccio definido como razo entre o lucro obtido no exerccio e o somatrio dos capitais disponveis em longo prazo. Matematicamente:

CMP = Lucro do Exerccio

PL + ELP

Analisando os itens do Passivo que contribuem para a

formao do CMP:

O Passivo Circulante no participa da formao do CMP, pois integra o Capital de Giro, alm de ser composto por exigibilidades de curto prazo.

O Exigvel de Longo Prazo, participa com as contas relativas aos investimentos e dvidas de longo prazo, pois esses capitais so destinados operao da empresa.

Das contas contbeis integrantes do Patrimnio Lquido, o capital integralizado participa da formao do CMP, pois representa o capital exigvel pelos acionistas.

17


Porm, quanto s Reservas de Capital, h autores que no as consideram, pois argumentam que ningum dispe de exigibilidades sobre elas. Consideram que reduzem o CMP, situao que ocorre em fase passageira enquanto no lhes forem dado destino, representando uma situao atpica.

Outros, porm, consideram as reservas na formao do CMP, pois entendem que a firma utiliza estes valores nas suas operaes.

O autor favorvel a essa segunda posio, pois, na realidade, representa um recurso em utilizao. Mesmo que no tenham sido pagos em determinado perodo, esse tipo de recurso foi utilizado a custo extremamente favorvel.

O CMP pode ser empregado como taxa de desconto, i, a ser adotada nos estudos de viabilidade da empresa j que pode ser entendido como sendo uma medida de competncia, pois exprime o quanto dos recursos disponveis pela administrao da empresa foi transformado em lucro. Finalizando ao se desejar conhecer a evoluo do CMP para exerccio futuros, a mesma abordagem acima descrita pode ser adotada, porm a partir de balanos projetados. 1.6 Definies. Neste item so definidos alguns conceitos a serem utilizados nesta obra. Entender esses conceitos importante para a gesto da organizao, pois so comuns a reas do conhecimento como a

contabilidade e ao controle de custos. Assim sendo, as Figuras 1.6 e 1.7 mostram, respectivamente, um modelo do ativo e do passivo do balano patrimonial e a 1.8 o demonstrativo de resultados do exerccio, DRE. a) Gastos e dispndios correspondem assuno de qualquer

compromisso financeiro a ser quitado vista ou futuramente e que propicie sada de dinheiro do caixa.

b) Custo corresponde a todo dispndio efetuado com a

produo de um bem ou servio. So classificados como diretos e indiretos. Os diretos so os custos realizados no esforo de produo de um bem ou servio. Os indiretos so alocados ao esforo de produo, comumente, por meio de algum processo de rateio.

Contabilmente, os custos so apropriados no DRE, o que permite a apurao do resultado do exerccio.

c) Despesa corresponde a todo dispndio que no se identifica

com o processo de produo de um bem ou servio. Elas so relacionadas aos gastos incorridos com a estrutura comercial e administrativa da organizao.

Contabilmente, as despesas so apropriadas no DRE, ver Figura 5.9, visando apurao do resultado do exerccio.

d) Investimento corresponde a qualquer dispndio realizado

com a aquisio de bens mveis, imveis ou intangveis que integram os ativos da organizao, bem como os insumos estocados visando consumo futuro.

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Matemtica Financeira & Engenharia Econmica Contabilmente, os investimentos so apropriados em contas

do Ativo, ver Figura 1.7, visando registrar o patrimnio, bens e direitos, disponveis pela organizao no final de cada exerccio.

Assim sendo, os valores de capital de giro e estoques so apropriados no Ativo Circulante.

Investimentos em bens mveis ou imveis e a participao societria em outras empresas so apropriados no Ativo No Circulante.

So apropriados no Ativo No Circulante, tambm, direitos realizveis em longo prazo e o intangvel. e) Valor Econmico corresponde ao valor ou soma de valores

que no consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo.

f) Valor Financeiro corresponde ao valor ou soma de valores

que consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo.

interessante notar que no balano so apropriados valores

econmicos.

- DRE - R$ 3.1 Receita Operacional Bruta + 956.712,25 3.2 Dedues Receita (Tributos + Descontos)

3.2.1 - Tributos 3.2.2 - Descontos

(-) 147.764,69 140.376,26

7.388,43 3.3 Receita Operacional Lquida = 808.947,56 3.4 Custo de Produtos Vendidos (-) 470.370,65

3.4.1 Produto A 3.4.2 - Produto B 3.4.3 Servios Tcnicos

92.630,65 178.230,00 199.510,00

3.5 Lucro Operacional Bruto = 338.576,91 3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59

3.6.1 - Despesas com Vendas 3.6.2 Desp. Gerais e Administrativas.

1.237,04 39.030,55

3.7 Lucro Operacional Lquido - EBITDA1 298.309,32 3.8 3.9 3.10

Depreciao Amortizaes Resultado Financeiro 3.10.1 Juros Recebidos (+) 3.10.2 Juros Pagos (-)

(-) 5.500,00 (-) 4.166,51 (-) 2.728,54

4.194,35 6.422,89

3.11 Lucro Operacional = 254.531,74 3.12 Resultado No Operacional

3.12.1 - Receitas No Operacional 3.12.2 - Despesas No Operacionais

+ 5.004,01 7.004,01

(-) 2.000,00 3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR = 259.535,75 3.14 Proviso p/ o Imposto de Renda

15%+10% (-) 40.883,93

3.15 Contribuio Social s/ o Lucro Lquido 9% (-) 23.358,22 3.16 Lucro Lquido do Exerccio = 195.293,60

(1) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. Esta a expresso utilizada em lngua inglesa para o lucro operacional lquido. Ou seja, o lucro antes da incidncia de juros, taxas, depreciao e amortizao.

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Eng. Civil Antonio Victorino Avila Figura 1.6 Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exerccio

1 - Ativo R$ 1.1 - Circulante 712.823.08 1.1.1. Caixa e Bancos

Recebveis de Clientes 1.1.3. Aplicaes Financeiras 1.1.4. Prov. Devedores Duvidosos (-) 1.1.5. Impostos a Compensar 1.1.6. Estoques Produtos Acabados 1.1.7. Estoques de Produtos em Elaborao 1.1.8. Estoques de Matrias Primas 1.1.9. Adiantamentos a Fornecedores 1.1.10. Contratos de obras

44.653.73 121.033.96 23.872,07

4.430,51 1.037,12

220.000,00 57.197,70 70.934,41

9.663,58 160.000,00

1.2 No Circulante. 1.275.176,92 1.2.1 Realizvel em Longo Prazo 216.408,27

1.2.1.1 Crditos em Coligadas 1.2.1.2 Financiamentos a clientes 1.2.1.3 - Contratos futuros

13.085,87 103.322,40 100.000,00

1.2.2 - Investimentos 430.347,00 1.2.2.1 Empresa A 1.2.2.2 Empresa B

130.347,00 300.000,00

1.2.3 Imobilizado 578.282,57 1.2.3.1 - Imveis 1.2.3.2 - Equipamentos 1.2.3.3 - Veculos (-) Depreciaes

370.000,00 100.282,57 129.600,00 21.600,00

1.2.4 - Intangvel 50.139,08 1.2.4.1 - Softwares 1.2.4.2 - Patentes

20.139,08 30.000,00

1.3 - Total do Ativo. 1.988.000,00 Figura 1.7 Modelo de Balano Patrimonial Contas de Ativo.

2 - Passivo R$ 2.1 - Circulante 294.039,54 2.1. 1. Bancos 2.1. 2. Fornecedores 2.1. 3. Obrigaes Fiscais a Recolher 2.1. 4. Encargos Sociais 2.1. 5. Encargos Trabalhistas 2.1. 6. Outras Obrigaes 2.1. 7. Provises

61.325,00 165.895,52 10.181,46 11.283,18 10.500,00 30.070,75

4.783,63 2.2 Exigvel de Longo Prazo. 184.602,63 2.2.1. Financiamentos a Pagar 2.2.2. Dbitos em Coligadas 2.2.3. Contratos p/ Entrega Futura

71.104,34 13.469,61

100.028,68 2.3 Patrimnio Lquido. 1.509.358,23 2.3.1. Capital Social 2.3.2. Reservas de Capital 2.3.3. Reservas de Lucro

1.156.110.00 95.545,85 62.408,78

2.3.4. Lucros Acumulados no exerccio 195.293,60 2.4 - Total do Passivo. 1.988.000,00 Figura 1.8 Modelo de Balano Patrimonial Contas de Passivo.

20


21


2. Matemtica Financeira 2.0 - Introduo

Por definio, a Matemtica Financeira corresponde rea da matemtica que descreve as relaes entre o binmio tempo e dinheiro.

Neste captulo sero discutidas essas relaes o que

permite realizar operaes de equivalncia de capitais visando amparar decises de ordem financeira.

2.1 Conceituaes de Juros

Juro, tambm denominado de interesse, definido como a

remunerao efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicao financeira.

Ao ser pactuada uma operao financeira, alguns

parmetros devem ser estabelecidos: E A taxa de juros referente ao perodo da operao; E O prazo de carncia; E O perodo de capitalizao ou contabilizao dos juros; E O ndice de correo monetria do saldo devedor; E O sistema de remunerao do capital.

A remunerao de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas que diferem conforme a incidncia dos juros sobre o capital: o dos juros simples e o dos juros compostos.

importante ter em mente que a taxa de juros efetivamente

paga aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou disponvel para o prprio manuseio.

Em operaes financeiras comum serem cobradas do

tomador: taxas de abertura de crdito; juros pagos antecipadamente ao haver uma operao de desconte de ttulo de crdito; o pagamento de uma entrada no caso de financiamento de bens de consumo.

Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de

juros acima mencionados, o princpio a ser estabelecido que a remunerao do capital tomado emprestado, isto , os juros, sejam sempre calculados sobre a importncia efetivamente recebida.

Observando esse princpio, possvel verificar quando a

taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada so idnticas ou distintas.

E Juros Simples

E Juros Compostos

22

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica 2.2 Juros Simples 2.2.1 Definio de Juros Simples.

Por definio, no sistema de remunerao de capital sob a matemtica de juros simples somente o principal rende juros durante todo o tempo em que foi pactuado o financiamento. Esquematicamente representado na Figura 2.1.

S=P+J

P

R$

1 2 3 n-1 nPerodos

Figura 2.1 Diagrama tempo - dinheiro

Partindo da definio de juros simples, o montante de juros a ser pago na data de quitao da operao financeira igual ao produto do principal tomado, pela taxa de juros pactuada e pelo nmero de perodos contratados. Considerando que os juros gerados aps um nico perodo de aplicao de um capital equivalem taxa de juros pactuada multiplicada pelo capital. Matematicamente: J = P i. No caso do capital ser aplicado por n perodos, o montante dos juros a serem pagos diretamente proporcional a esse numero de perodos. Ento:

J = P i n

2.2.2 Operaes com Juros Simples. 2.2.2.1 Montante dos Juros Pagos. Definindo como: P, o principal tomado ou o capital inicialmente aplicado; i (%), a taxa de juros expressa em porcentagem; n, o nmero de perodos bsicos correspondentes ao tempo total da aplicao; e, S, o Montante final de aplicao, representando a soma (P+J), em que J o montante dos juros a serem pagos.

O montante S a ser restitudo ao aplicador no final do perodo pactuado constitudo pela soma dos juros rendidos no perodo, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente:

Sn = P + J Sn = P + P i n Sn = P ( 1 + i n ) Demonstrando:

S1 = P + P i = P (1+ i) S2 = P + P i + P i = P (1+ i 2) S3 = P + P i + P i + P i = P (1+ i 3) Sn = P + P i + P i + P i ++ P i = P (1+ i n)

Generalizando para n perodos, obtm-se a expresso cannica do montante de um capital P corrigido a juros simples durante n perodos:

23


Sn = P (1 + in) 2.2.2.2 Equivalncia entre Taxas de Juros. Um dos questionamentos decorrentes da utilizao de juros definir a proporcionalidade entre a taxa de juros correspondente a um perodo maior e quela correspondente a fraes inteiras desse mesmo perodo.

No caso dos juros simples, ocorre relao direta entre

essas duas taxas de juros. Assim, adotando como nT um dado perodo e nf uma frao deste perodo. E, respectivamente, iT e if , as taxas de juros conexas aos perodos considerados, a proporcionalidade entre estas duas taxas expressa por:

nTnf

=iTif

Como exemplo seja uma operao de emprstimo cuja taxa mensal de juros foi pactuada em 1,5% a.m. A taxa anual de juros, iT, dada por:

nTnf

=iTif

12

1=

iT1,5

iT = 18 % a. a.

Ateno quanto utilizao do modelo acima. Ele

somente poder ser utilizado quando adotada a matemtica dos juros simples. conceitualmente errado utilizar este modelo quando se opera sob a gide dos juros compostos.

2.2.3 - Operaes de desconto. 2.2.3.1 Tipos de desconto. Uma operao financeira corriqueira no mercado a denominada de desconto ou desgio efetuada em transaes com ttulos de crdito.

Os descontos ocorrem quando ttulos so negociados em data anterior do efetivo vencimento e correspondem aos juros pagos pelo servio havido entre a data do desconto e a do efetivo pagamento. Matematicamente, sendo F o valor de face de um titulo e o do desconto D, o valor a ser recebido, P, dado por:

P = F - Desconto

Essas operaes de desconto servem como fonte de

financiamento de curto prazo e so lastreadas em cheques pr-datados descontados por empresas de factoring; duplicatas e letras de cmbio negociadas antes da data do efetivo pagamento; e emprstimos ou vendas garantidos por notas promissrias.

O valor de face corresponde ao montante expresso no

anverso do ttulo, a ser quitado pelo emissor ou o avalista na data aprazada e tambm expressa no ttulo.

Neste caso, a quantia a ser paga ao portador (P), isto ,

quele que est negociando o ttulo, dever ser inferior ao valor nominal ou valor de face. Isto porque, na data de vencimento do ttulo, este dever ser quitado pelo valor de face, conforme mostrado no desenho da Figura 2.2.

24


P

F

Valor a ser recebido

Data da Operao de Desconto

Data do Vencimento do Ttulo

1 2 3 4 n

Desconto

Figura 2.2 - Operaes de Desconto

O comprador do ttulo, ento, o adquire por um valor

inferior quele discriminado na face do documento, de forma a remuner-lo durante o perodo compreendido da data de sua negociao at a data do vencimento.

Interessa ento, quele que vende o ttulo, saber qual o montante do desconto, ou desgio, a ser efetuado sobre o valor de face e qual o montante do capital que ira receber pela venda do ttulo.

Dois so os procedimentos realizados pelo mercado para calcular o valor do desgio e denominados de: i) Desconto Racional ou por Dentro; ii) e Desconto Bancrio, Comercial ou por Fora.

Neste item ser adotada a seguinte nomenclatura:

F = Valor de Face, importncia escrita na face do ttulo e a ser honrada pelo emitente na data do respectivo vencimento;

P = Importncia a ser paga ao vendedor do ttulo, quando negociado antes da data do vencimento;

i = taxa de juros praticados ou pactuados; n = nmero de perodos que antecedem a data de

vencimento; DR = valor do desconto racional. Dc = valor do desconto comercial.

Como ser visto no item 2.3.3, o valor de face, F, pode ser considerado como sendo o valor futuro do ttulo, quando este negociado antes da data do vencimento ou na data de sua emisso.

Isto porque, um ttulo s ter o valor expresso em sua face, e fora legal para cobrana, quando na data de seu vencimento, isto , em um momento futuro determinado por esta data.

E Desconto Racional ou Por Dentro.

E Desconto Bancrio ou Por fora.

25

Eng. Civil Antonio Victorino Avila I - Desconto Racional ou por Dentro.

O desconto racional considera o valor da moeda no tempo

e calculado segundo a racionalidade dos juros simples. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa nominal em havendo a previso de inflao.

Assim, o valor nominal do ttulo na data do efetivo

pagamento expresso na face do mesmo financeiramente equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado.

Os procedimentos utilizados no desconto racional so

idnticos queles utilizados na matemtica dos juros simples. Porm, deve ser registrado que algumas empresas vm

combinando procedimentos estabelecidos pela matemtica dos juros compostos com os de juros simples.

No caso de ocorrer essa superposio de procedimentos,

ou seja, quando os juros so referidos a um perodo maior, a taxa bsica de juros, efetivamente utilizada em perodos menores, calculada segundo a matemtica dos juros compostos.

Obtida a taxa bsica, os procedimentos seguem queles

estabelecidos para os juros simples, segundo o expresso a seguir.

Definindo o desconto racional, este corresponde ao

montante dos juros expresso em valor monetrio, descontado do valor de face de um ttulo dada a negociao do mesmo anteriormente data de vencimento.

Matematicamente, o desconto racional definido por:

Dr = F P Da matemtica dos juros simples pode-se correlacionar o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser o primeiro o montante disponvel no final do perodo de aplicao e o segundo o principal aplicado. Logo:

F= P (1+iRn) P = F

(1+iRn)

Substituindo P na equao acima, obtm-se o montante do desconto racional.

DR=F-F

( 1+iRn) DR=

FiRn1+iRn

II - Desconto Bancrio, Comercial ou Por Fora. A priori, importante ressaltar que o desconto por fora

baseado numa conveno mais simples, no se caracterizando por uma cobrana equivalente de juros. Mas, como a simples aplicao direta de uma taxa de desconto. Por conveno:

DC = F iC n

Neste caso, o valor a ser recebido, P, calculado

diminuindo do valor de face o valor do desconto. Logo:

P = F DC

26

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica Ao se igualar as duas expresses acima, obtm-se o valor a ser recebido, P:

P = F F iC n

P = F (1 iC n) 2.2.4 - Relaes entre Descontos e Taxas 2.2.4.1 - Relaes entre Descontos.

Neste item analisada a correlao existente entre o montante do desconto por dentro e o montante do desconto por fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos sejam idnticas, isto ir = iC.

Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real

praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, inferior quela praticada no desconto por fora, ou bancrio.

Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as

expresses dos descontos:

DR = F F

( 1+in)

E, sendo por conveno, DC = F i n, ao se substituir o

valor de F na expresso acima se obtm a relao entre os dois descontos:

DR =DC

(1 + i n)

2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. Um dos questionamentos efetuados no mercado financeiro quanto correlao entre as taxas praticadas no desconto comercial e no racional.

Por definio, diz-se que duas taxas de desconto so equivalentes entre si quando, dado um mesmo valor de face, depois de realizado o desconto, resultar num mesmo valor a ser recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de desconto distintos.

P

F = Face

tempo

Figura 2.3 - Equivalncia entre Descontos.

Data da Negociao Data do Vencimento

DCDR

A equivalncia entre estas taxas demonstrada ao se igualar os dois valores dos descontos depois de realizadas as respectivas operaes.

a) Considerando o desconto racional tem-se:

27

Eng. Civil Antonio Victorino Avila P = F DR P = F (1 + iR n)

b) Considerando o desconto comercial tem-se:

P = F D P = F(1 iC n) Como o valor a ser recebido, P, por definio igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expresses acima.

F(1 + iR n)

= F ( 1 iC n) ( 1 iC n) (1 + iR n) = 1

(1 + ) =1

( 1 )

2.2.5 Tempo Exato e Comercial Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial ser ligeiramente superior quele apurado em tempo real ou exato. Essa variao devido diferena do nmero de dias estabelecida para cada tipo de exerccio. Assim, o ano comercial, segundo conveno aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano calendrio com 365 dias. Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicao P, durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para o tempo comercial e o tempo exato:

360itPIComercial = e

365itPIExato =

Efetuando a relao entre as duas expresses, fica demonstrado que a proporcionalidade existente entre o rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido durante ano exato, funo direta do nmero de dias em que os mesmos foram definidos. Ento:

0139,1360365

II

Exato

Comercial== IComercial = 1,0139 IExato

2.2.6 Exerccios Resolvidos.

Em estudos financeiros recomenda-se:

1. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa;2. Escrever as formulas disponveis;3. Visualizar a soluo dos problemas, compatibilizando as frmulas com os fluxos de caixa!

Atendendo recomendao, este procedimento facilita a adequada soluo dos problemas de engenharia econmica!

Ateno!

2.2.6.1 - Voc aplicou a importncia de R$ 11.200,00 na aquisio de um ttulo, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta

28

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica operao, resolveu vender o ttulo. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.?

S = P (1 + i n) S = 11.200,00 (1 + 0,022 14) S = R$ 14.649,60 DC = S i n DC = 14.649,60 0,029 (14-8) DC = R$ 2.549,03 VR = S DC VR = 14.649,60 R$ 2.549,03 VR = R$12.100,57

2.2.6.2 - Um veculo est sendo ofertado em duas condies: a vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, corrigidas por juros simples taxa de 42% a.a. Nesta condio deseja-se saber: O valor de cada prestao; e o montante a ser desembolsado.

Entrada = R$ 3.480,00 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 Taxa mensal de juros: i=4212= 3,5% a.m.

1 - Calculo do valor da 1 prestao:

VF1 =R1 + (R1 i n) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 1) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55) VF1 = R$

2 - Calculo do valor da 2 prestao: VF2 = R2 + (R2 i n) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 2) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10) VF2 = R$

3 - Calculo do valor da 3 prestao:

VF3 = R3 + (R3 i n) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 3) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65) VF3 = R$

4 - Calculo do valor o da 4 prestao:

VF4 = R4 + (R4 i n) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 4) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20) VF4=R$

5 - Calculo do valor do montante:

VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4 VFM = R$ 2.2.6.4 - Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 8.500,00 foi emitida h cinco meses passados e tem data de vencimento estipulada para daqui a sete meses. Caso seja descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 26,4% a.a. solicita-se determinar: O desconto comercial, DC. O valor a ser recebido, VR. Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta

operao o juro comercial vigente era de 33,6% a.a. A taxa efetiva de juros no perodo referente operao do

desconto.

29


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Data da

Operao VF = 8.500 R$

VR = ?

1 item - Desconto Comercial.

DC = VF i n DC = 8.500,00 ( 0,264 12 ) 7 DC = R$ 1.309,00

2 item Valor Recebido.

VR = VF DC VR = 8.500,00 1.309,00 VR = R$ 7.191,00

3 item - Preo de compra = PC.

VF = PC (1 + i n) 8.500,00 = PC (1 + 0,336 1) PC = R$ 6.362,27

4 item Taxa real ou efetiva. Adotando a matemtica dos juros simples e considerando que os juros so calculados sobre o valor efetivamente recebido:

VF = VR (1 + i n) 8.500,00 = 7.191,00 (1 + i 7)

1,182 = 1 + 7i 0,182 = 7i i = 0,026 i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a.

2.2.6.5 - Qual ser o valor a ser recebido em operao de desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 1.500.000,00, vencvel em 90 dias, pactuada a taxa de 3,5% ao ms? Considerar o desconto racional e o comercial.

a) Desconto Racional:

P = F

(1 + in)=

1.500.000,001 + 0,035 3

=1.500.000,00

1,1050= 1.357.466,06 R$

b) Desconto Comercial:

DC= Fin = 1.500.000,00 0,035 3 = 157.500,00 R$

P= F- DC = 1.500.000,00-157.500,00 =1.342.500,00 R$

c) Comparando os Descontos Realizados:

Desconto Comercial = 157.500,00 Desconto Racional = 142.533,94 Economia = 14.966,06 R$

Comparando os dois procedimentos verifica-se que o

desconto racional mais econmico para o interessado. 2.2.7 Exerccios Propostos.

30

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica 2.2.7.1 - A importncia de R$ 29.345,00 foi recebida aps a operao de desconto de uma nota promissria, vincenda em 120 dias. Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes informaes: o valor de face do ttulo; e o montante do desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). 2.2.7.2 - Calcular, adotando a matemtica dos juros simples, o montante a ser recebido aps 4 meses quando um emprstimo de D$1.000,00 tomado a 15% ao ms. (R: 1600,00 R$). 2.2.7.3 - Um comerciante obtm um emprstimo de um milho a juros de 33% ao ano, pactuado a juros simples. Quanto pagar na ocasio do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? (1.126.923/1.431.538 103 R$). 2.2.7.4 - Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ano gerar em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 276.603,92 R$) 2.2.7.5 - Um Banco pratica operaes de desconto de ttulos cambiais taxa de 4,5% ao ms. Solicitam-se as seguintes informaes visando comparar o resultado do desconto racional com o bancrio:

O desgio relativo operao de desconto de uma duplicata cujo valor de face de R$ 12.500,00, vincenda em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$).

O montante a ser recebido pelo interessado na operao de desconto.

2.2.7.6 - A que taxa de remunerao um capital aplicado a juros simples triplicar no prazo de trs anos? (R: 66,67% a.a.). 2.2.7.7 - Uma empresa descontou uma duplicata, no Banco da Esquina, taxa de 84% ao ano. O desconto praticado foi o comercial, que montou a R$ 10.164,00. Se a operao fosse de desconto racional, o valor do desconto seria reduzido em R$ 1.764,00. Qual o valor de face da duplicata descontada? (R: 48.400,00 R$). 2.2.7.8 - Voc deve a um banco a importncia de R$ 1.900,00, a vencer em 30 dias, garantida por uma nota promissria. Como

Nota promissria

N 07/09* R$ 12.500,00 Vencimento: 25 de abril de 2.012. Ao(s) vinte e cinco dias do ms de abril de dois mil e doze,

PAGAREI por esta nica via de nota promissria a Franz von Souza und Silva, CPF n 111.222.333-44, ou a sua ordem, a importncia supra de doze mil e quinhentos reais, em moeda corrente do Pas.

Pagarei em: Florianpolis-SC. Emitente: Jose Joo Jacob .................................. CPF n. 555.666.777-88. assinatura Rua Elfo dos Santos n. 100. Florianpolis SC.

31

Eng. Civil Antonio Victorino Avila sabe que no poder quitar a importncia na data aprazada, prope que o pagar no prazo de 90 dias aps o vencimento previsto. Admitindo que a taxa de desconto comercial praticada seja de 72% ao ano, qual ser o valor de um novo ttulo a ser assinado? (R$ 2.317,00). 2.2.7.9 - O Bank of Squire pratica o desconto por fora taxa de 3,00% ao ms. Ao aceitar um ttulo cujo valor de face de R$ 41.000,00, com prazo de vencimento estabelecido para seis meses, quanto o banco pagar pelo ttulo? Qual ser a taxa total de juros correspondente, sabendo que o banco ainda cobra uma taxa de abertura de crdito de 1,0% sobre o valor do ttulo? (R: 23,46% ao semestre). 2.2.7.10 - A financeira WACS pratica o desconto racional taxa de 4,35% ao ms. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias, cobra uma taxa de administrao no valor de R$ 155,00, ao efetuar a operao. Informe qual ser a taxa de juros mensal, efetiva, incidente sobre esta operao. (R: 4,56% a.m.) 2.2.7.11 - Determinar o valor de um ttulo a ser resgatado no prazo de 120 dias antes de seu vencimento, pactuado a uma taxa de 12,0% ao ano. Sabe-se que a diferena entre o valor do desconto comercial e o desconto racional de R$ 76.923,08. (R: R$ 50 milhes). 2.2.7.12 - O Bank of Squire desconta, antecipadamente e por fora, os juros na operao de um papagaio. Sendo uma operao de desconto lastreada numa nota promissria cujo valor de face monta a R$ 30 mil, vincenda em noventa dias e pactuada taxa de 7% ao ms, pergunta-se qual ser a taxa efetivamente paga por esta operao. (R: 8,86% a.m.)

2.2.7.13 - Voc dispe de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 200 mil, vencvel em 60 dias. Decida em qual banco dever ser efetuada uma operao de desconto sabendo que: - o Banco A pratica o desconto racional taxa de 8,45% ao ms; - o Banco B procede ao desconto comercial taxa de 7,90% ao ms. 2.2.7.14 - Voc efetuou uma operao de desconto para um ttulo vencvel em 60 dias taxa de 42% ao ano. Montando o valor do desconto em R$ 840,00. Pergunta-se qual o valor de face do ttulo nos casos de ser adotado o desconto racional ou o comercial? (R: 12.840,00 / 12.000,00R$ ) 2.2.7.15 - Voc necessita hoje da importncia de R$ 50 mil e foi ao seu banco efetuar um emprstimo. O emprstimo lastreado numa nota promissria vencvel em 120 dias. O banco calcula o valor de face deste ttulo adotando o desconto comercial taxa de 4,5% ao ms. Alm disto, cobra uma taxa de abertura de crdito de 0,55% sobre o valor de face do ttulo e uma taxa de administrao de R$77,00, ambos embutidos no valor financiado. Pergunta-se, qual a taxa de juros efetiva incidente sobre esta operao? (R: 5,74% a.m.) 2.2.7.16 - Voc resolveu quitar uma dvida, lastreada em nota promissria, sessenta dias antes do vencimento. Qual ser o valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% ao ms e o valor de face da nota monta a R$ 17.700,00? 2.2.7.17 - Sua empresa previu a necessidade de aquisio de um equipamento no valor de R$ 50 mil e o deseja adquirir com recursos prprios. Considerando que, neste momento, dispe da importncia de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta

32

Matemtica Financeira & Engenharia Econmica remunerando as aplicaes em 14% ao ano, pergunta-se: em quanto tempo poder dispor do montante previsto?

2.3 Juros Compostos.

2.3.1 - Definio.

O regime de juros composto, tambm denominado de regime de capitalizao ou anatocismo, caracterizado pela incorporao ao capital dos juros gerados num perodo, ou seja, capitalizados, passando a gerar juros no perodo seguinte.

Estudos de anlise de viabilidade de investimentos so

lastreados na matemtica dos juros compostos, pois parte-se do princpio que investidores e empresas reaplicam os lucros e os saldos de fluxos de caixa gerados a cada perodo, fato que contribui para aumentar os lucros esperados futuros.

Pelo acima exposto, torna-se inconsistente a adoo da

matemtica dos juros simples em estudos de viabilidade e, alm disto, vem de encontro ao estabelecido na primeira premissa que estabelece a maximizao do lucro dos proprietrios. 2.3.2 - Frmulas Bsicas: O principal questionamento nesse sistema de capitalizao quanto ao montante a ser recebido pela aplicao de um capital, aps certo nmero de perodos de tempo e conhecidos os juros pactuados.

P0S1

S3Sn

Figura 2.4 Diagrama de Juros Compostos

S2

10 3 n2Perodo

Visando calcular o montante a ser percebido, ser adotada a

seguinte nomenclatura: n, representando o nmero de perodos de capitalizao pactuados; Sn = Montante a ser recebido aps n perodos de capitalizao; P = Capital inicialmente aplicado ou principal; J = Montante dos juros a serem pagos; i = Taxa de juros pactuados. Ver Figura 2.4.

O montante aps o primeiro perodo calculado de forma

idntica ao dos juros simples. A partir desse primeiro perodo, os juros passam a incidir dobre o novo montante, comumente denominado de capitalizados. Ento, matematicamente se tem: S1 = P + (P i) = P (1 + i) S2 = S1 + (S1 i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) S3 = S2 + (S2 i) = S2 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) S4 = S3 + (S3 i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 ......................................................................................... Sn = Sn-1 + ( Sn-1 i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i ) Sn = P ( 1 + i )n

Assim, a expresso do montante a ser pago aps n

perodos dada por:

33


Sn = P (1 + i)n O total dos juros gerados, por sua vez, obtido aritmeticamente, depois de efetuada a diferena entre o montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, tambm denominado de Principal. Ento:

J = Sn P

Frmula do Montante: Sn = P ( 1 + i )n

Frmula dos Juros: J = Sn P ou,

J = P ( 1 + i )n - P

Resumo:

2.3.3 Valor Presente e Valor Futuro. Como j comentado, a matemtica dos juros compostos a adotada nos estudos financeiros, a exemplo da determinao do valor de ativos produtivos, investimentos em aes, ttulos de capitalizao, etc.

A assertiva acima ocorre devido ao entendimento que investidores e empresas reaplicam os capitais disponveis, sendo, ento, a matemtica dos juros compostos a mais adequada para avaliar e analisar investimentos.

Para tanto, ela se ampara no princpio da equivalncia de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos financeiros, quais sejam, o valor presente VP e o valor futuro VF equivalente a um dado montante e vice versa.

S = VFP=VP

R$

1 2 3 n-1 nPerodos

Figura 2.5 Equivalncia: Valor Futuro

i%

0

Assim sendo, dado nesta data um principal expresso pelo seu valor presente, P=VPni%, aps certo nmero de perodos e aplicado a taxa de juros i%, gerar uma soma financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF ni%. Ver Figura 2.5 Equivalncia: Valor Futuro. Deste modo, considerando o conceito de equivalncia de capital pode-se escrever: VPni% VF ni%. Financeiramente, ento, denomina-se VPni% de VALOR PRESENTE do montante de VFni%. De modo anlogo, VFni% denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP ni%.

34


2.3.3.1 - Pagamento nico.

a) Valor Futuro - VF. Por definio, o valor futuro VF correspondente a uma

determinada importncia P, aplicada durante um perodo n, equivalente a esta importncia quando capitalizada a taxa de juros pactuada, i%.

A expresso do montante dos juros compostos

capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicao de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, quando pactuado taxa de desconto, i%, aps n perodos de rendimento.

Sendo: Sn = P (1 + i)n, ento:

VF VP (1 + i)n Essa operao, comercialmente denominada de

capitalizao, utilizada em operaes financeiras de ttulo de capitalizao, ou seja, de atualizao monetria de capital.

A expresso (1+i)n denominada de Fator de Capitalizao ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja representao pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas:

VF = VP (1 + i)n = VP s ni% = VP s in

b) Valor Presente VP.

Em operao inversa, o VALOR PRESENTE VP, nesta data,

correspondente a uma determinada importncia futura, VF, equivalente a esta importncia quando descontada durante certo perodo de tempo n a taxa de juros pactuada, i%.

Partindo da frmula do montante dos juros compostos,

obtm-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado montante futuro, VF, quando descontado taxa de juros i%, durante certo perodo, n.

S VFPVP

R$

1 2 3 n-1 nPerodos

Figura 2.6 Equivalncia: Valor Presente

i%

0

Sabendo-se que VF VP (1 + i)n, a expresso da equivalncia de uma importncia no presente, conhecido seu montante numa data futura dada por:

VPVF 1

(1+i)n

Essa operao tambm denominada de desconto de um

capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o valor atual relativo a um capital no futuro.

35

Eng. Civil Antonio Victorino Avila A expresso 1/(1+i)n denominada de Fator de Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja representao pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas:

VP VF 1

(1 + i)n= VF vin = VF vni

2.3.3.2 - Pagamentos Diversos. a) Valor Futuro

Dado uma srie de pagamentos como na Figura 27, seja estabelecer o valor futuro da soma desses pagamentos.

Nesta situao, a soma desses pagamentos corresponde soma dos val

matemática financeira & engenharia...

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