matemÁtica cÁlculo diferencial e integral · el curso de cálculo diferencial e integral. se...

CÁLCULO I lim ( )x k

g x

; (

)

df

dx ( )f x dx

PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA

1

MATEMÁTICA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

(

) ;

df

dx; ( )f x dx

EJERCICIOS

Profesora Nidia Leiva Calderón

Profesora Carmen Mora Chavarría


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


2

INDICE

TEMA PÁGINA

Presentación 1

I Conocimientos previos

Ia) Leyes de potencias 1

Ib) Fórmulas notables 2

Ic) Factorización 2

Id) Racionalización 7

II Límites

Definición y ejemplos gráficos 8

Ejercicios 9

Teoremas sobre límites y ejemplos 11

Ejercicios 14

Límites al infinito y límites infinitos 16

Límites al infinito. Ejemplos 17

Ejercicios 18

Límites infinitos. Ejemplos 19

Ejercicios 19

Continuidad y ejemplos 20

Ejercicios 22

III Derivadas

Concepto, reglas de derivadas y fórmulas de derivadas 25

Ejemplos 26

Ejercicios 28

Derivadas de orden superior y ejercicios 30

Derivadas implícitas y ejercicios 30

Rectas tangente y normal y ejercicios 31

Regla de L’Hopital y ejemplos 33

Ejercicios 42

Problemas de razón de cambio. Ejemplos 43

Ejercicios 44


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


3

Problemas de optimización y ejemplos 46

Ejercicios 48

Cuadro de variación y trazo de gráficas. Ejemplos 49

Ejercicios 53

Mas ejemplos 54

Mas ejercicios 57

Otros ejemplos 58

IV Integrales

Concepto y fórmulas 60

Ejemplos 60

Ejercicios 66

Integración por partes. Ejemplos 68

Ejercicios 70

V Anexos 75

VI Recopilación de exámenes 76

VII Exámenes resueltos 89


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


4

Presentación

La matemática básica es una herramienta necesaria para el buen desempeño en diferentes

actividades cotidianas y es en la escuela primaria y secundaria donde se adquieren esos

conocimientos indispensables. Estas herramientas son también necesarias para cursar con éxito

el curso de cálculo diferencial e integral.

Se presenta aquí un compendio de ejercicios con lo cual las colaboradoras buscan apoyar al

alumno en ese proceso para obtener un buen resultado. Se muestran algunos tópicos

necesarios ,ejemplos y ejercicios.

Se le recomienda al estudiante utilizar internet como apoyo en este proceso. Se le aporta la

dirección de internet www.laprofedemate.com, páginas en las cuales se puede encontrar más

práctica y el apoyo para evacuar dudas con alguna de las profesoras que se encuentran adscritas a

la página.

Se le recuerda que este folleto no sustituye al docente en clase, el objetivo es acompañarle en

esta nueva meta en la vida. También se agradece señalar a través de la página interactiva

cualquier omisión o sugerencia mientras se utiliza este material.

I CONOCIMIENTOS PREVIOS

Algunos conceptos básicos que el estudiante debe manejar son:

I a) Leyes de potencias y resultados

1. ( ... ) ...n n n nx y z x y z 2.

n n

n

x x

y y

3. n m n mx x x

4. n

n m

m

xx

x

5. .( )n m n mx x 6.

0 1x

7. 1 1

/n n

n nx x

x x

8.

1

nnx x

9. n

m nmx x 10. 1

. .m n n m n mx x x

http://www.laprofedemate.com/


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


5

Ib) Fórmulas

1. 2 2 2( ) 2x y x xy y

2. 2 2 2( ) 2 x y x xy y

3. 2 2( )( )x y x y x y

4. 2 2 3 3( )( )x y x xy y x y

5. 2 2 3 3( )( )x y x xy y x y

6. 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y

7. 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y

Ic) Factorización

Recordemos que factorizar una expresión es escribirla como un producto. Hay varios tipos de

factorización, los básicos que ocuparemos en este curso son:

1. Factor común (puede ser monomio o polinomio)

2. Agrupación

3. Por Fórmulas notables

4. Fórmula General

5. División Sintética

1. Factor Común

En este método la idea es sacar el o los factores que tengan en común cada término que compone

la suma o resta en el polinomio

1.1 Factorizar 4 6 7 9 8 33 9 15

8 2 4

x ms m x s m x

4 6 7 9 8 3 3 75 4 93 9 15 3 5

38 2 4 2 4 2

x ms m x s m x mx xs mm x s

1.2 Factorizar 4 2( ) 5 5 3 ( )c b c b z c b

4 2 4 2

3 3 2 2 3

( ) 5 5 3 ( ) ( ) 5( ) 3 ( )

( ) ( ) 5 3 ( ) ( ) 3 3 5 3 3 )

c b c b z c b c b c b z c b

c b c b z c b c b c c b cb b zc zb

2. Agrupación

Consiste en agrupar términos de forma que las agrupaciones formadas posean un factor común

2.1 Factorizar 2 3 2 24 4a ax x a ax

2 3 2 2 2 2 2 2 24 4 (1 4 ) ( 4 1) (1 4 ) (1 4 )a ax x a ax a x ax x x a ax a x a x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


6

2.2 Factorizar 3 22 2 4 4m m m

3 2 2 2 2

2

2 2 4 4 2 ( 1) 4( 1) (2 4)( 1)

2( 2)( 1) 2( 2)( 1)( 1)

m m m m m m m m

m m m m m

3. Por Fórmulas notables

Este método consiste en aplicar una o varias de las fórmulas notables que antes se expusieron, por

ejemplo

3.1 Factorizar 4

210049

81

xx

2

4 2 2 222100 10 10 10

49 7 7 781 9 9 9

x x x xx x x x

( aplicando la 3 FN)

3.2 Factorizar 6 64r

6 3 2 2 3 3 2 2 64 ( ) 8 ( 8)( 8) ( 2)( 2 4) ( 2)( 2 4)r r r r r r r r r r ((aplicando la 4 y 5 FN)

3.3 Factorizar 2 2 41 6 9a am m

Aquí se van a utilizar dos formas de factorización: agrupación y fórmula notable

Se agrupan algunos términos: 2 2 4 2 2 41 6 9 1 6 9a am m a am m

Luego se aplica la primera fórmula notable en los términos agrupados a la derecha así:

2 2 4 2 26 9 ( 3 )a am m a m

finalmente se aplica la tercera fórmula notable en la expresión ya que es una diferencia

de cuadrados: 2 2 2 21 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 )a m a m a m

Por lo tanto la factorización completa queda

2 2 4 2 2 4 2 2

2 2 2 2

1 6 9 1 6 9 1 ( 3 )

1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 3 1 3

a am m a am m a m

a m a m a m a m

4. Fórmula General

Permite factorizar cualquier polinomio de la forma 2y ax bx c (a lo que se la llama

parábola). Con la fórmula 2 4

2

b b acy

a

es posible encontrar las raíces del polinomio 1x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


7

y 2x donde 2

1

4

2

b b acx

a

;

2

2

4

2

b b acx

a

por lo tanto la factorización de

2y ax bx c es 1 2( )( )y x x x x

Recordar que a la expresión 2 4b ac se llama discriminante y se denomina con el signo es

decir 2 4b ac .

Hay que recordar al factorizar que: {

0

0

0

}

4.1 Factorizar 22 3 5z z

Si y = 22 3 5 2, 3, 5z z a b c entonces

2 24 ( 3) 4(2)( 5) 49b ac entonces

( 3) 49 3 7

2(2) 4y

{

1

10 5

4 2x 2

41

4x

} , así la factorización

completa de la expresión es 2 52 3 5 1 (2 5)( 1)

2z z x x x x

4.2 Factorizar 23 6 3m m entonces

y = 2 23 6 3 3( 2 1) 0m m m m , es decir raíz real se repite, entonces

( 2) 0 21

2(1) 2y

la factorización completa es

y = 23 6 3m m =

23( 1)( 1) 3( 1)m m m

4.3 Factorizar 22 5 9a a ,

En esta expresión el 0 no existen raíces reales, por lo que la expresión no se

factoriza

4.4 Factorizar

4

3

2

32 9a a

Aquí se realiza una sustitución para que la expresión quede de la forma 2ax bx c , así,

4 2 2

3 3 3

22

32 9 2 9a a a a

y se realiza la sustitución

2

3

u a ,

2 2

3 3

2

22 9 2 9a a u u

, aplicando la fórmula general, la factorización será

2 2

3 31 10 1 10 1 10 1 10u u a a


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


8

2 2

3 3

2 2 2

3 32 9 1 10 1 10 1 10 1 10a a u u a a

5. División Sintética

Este es un método para factorizar polinomios en el cual se trabaja con los divisores del número

independiente en el polinomio y con los divisores del coeficiente principal. Se va probando el

proceso con cada divisor del término independiente y con cada divisor del término independiente

dividido por cada divisor del coeficiente principal hasta que el residuo sea 0. Se realiza el proceso

en un polinomio, las veces que sea necesaria. Se ilustrará este método con algunos ejercicios

5.1 Factorizar 4 23 4x x

Paso 1) Escribir la expresión en forma descendiente de acuerdo al exponente de la

variable de uno en uno: 4 2 4 3 23 4 0 3 0 4x x x x x x

Paso 2) Encontrar los divisores del término independiente 4, con signos positivo y

negativo: 1, 2 4

Paso 3) Se colocan los coeficientes en una tabla de la siguiente forma:

1 0 -3 0 -4 (# a probar)

residuo

Paso 4) Se escoge uno de los divisores (a probar) y se empieza el proceso. Se baja el

coeficiente principal, se multiplica este por el divisor y el resultado se escribe debajo del

segundo coeficiente, se suman y el resultado se escribe bajo este segundo coeficiente y se

procede en forma similar hasta que se terminen los coeficientes y el resultado de la última

suma sea 0, en tal caso (x - #) es el factor.. Si el residuo no es cero, quiere decir que ese

divisor no es raíz del polinomio por lo tanto hay que escoger otro divisor para el proceso

Por ejemplo se utilizará el divisor -1 y se realiza el proceso para ver si el residuo es 0, así:

1 0 -3 0 -4 -1

-1 1 2 -2

1 -1 -2 2 -6 (es el residuo)

Aquí el último número (residuo) al final del proceso, no es cero, lo que significa que -1 no

es una raíz real de ese polinomio. Si el último número resultante (residuo) es 0

terminamos el proceso con ese divisor, y ese divisor resulta ser un cero o raíz del

polinomio y un factor o raíz del polinomio es (x – el número escogido)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


9

Seleccionar otro de los posibles factores, por ejemplo el 2

1 0 -3 0 -4 2

2 4 2 4

1 2 1 2 0

Aquí el residuo es cero por lo que 2 es una raíz real para el polinomio dado, y para

expresar factorizado el polinomio se toma los números resultantes como los nuevos

coeficientes del nuevo polinomio pero con un grado menor que el grado del polinomio

original, es decir la factorización es: 4 2 3 23 4 ( 2 2)( 2)x x x x x x

De ser necesario se repite el proceso con un divisor del nuevo término independiente, en

este caso 2 y los nuevos divisores son 1, 2 ,y se escoge por ejemplo el -2

1 2 1 2 -2

-2 0 -2

1 0 1 0

Así la factorización de 3 2 22 2 ( 1)( 2)x x x x x y la factorización completa es

4 2 23 4 ( 1)( 2)( 2)x x x x x

Factorizar 3 24 3 8 6x x x

Se definen los divisores del término independiente 6 y del coeficiente principal 4 así:

los divisores de 6 con signo positivo y negativo, son: {1,2,3,6} y los divisores de 4 son:

1, 2, 4

Por lo tanto los posibles ceros o raíces son: 1 3 3

1,2,3,6, , ,2 2 4

así selecciono por

ejemplo el con - 3

4 , así

4 3 8 6 - 3

4

-3 0 -6

4 0 8 0

Entonces 33 2 2

44 3 8 6 (4 8)( )x x x x x

3 2 24 3 8 6 ( 2)(4 3)x x x x x es la factorización completa de la expresión


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


10

Ejercicios. Factorice cada una de las siguientes expresiones:

43 4 4 2 72

3 2 3 6

2 5 6 4 3

5m 15 30 11) 8) a

6 2 7 81

2) y 100 9) 4c 16 4

3) 3 ( ) 10) 27x 54 8 16

4)

s m s m ks

y cm m

a b b a x b a x x x

10 8 6 4 3 2

4 2 3 6

4 2

2 3 3

m 11) 2y 3 7 18

5) 6x 13 10 15 6 12) r 1

6) 8x 26 15 13) b 6

m m m y y

x x x

x b

4 22

5

7) 2 2 14) 2 5 2 4xa x a x s s

Id) Racionalización

Racionalizar un denominador es obtener una expresión equivalente que no contenga radicales en

el denominador. Algunas veces es conveniente también eliminar los radicales en el numerador.

1) Racionalizar 7 3

5

x

7 7 74 4 4

7 7 7 73 3 4 7

5 5 5 5x x x

xx x x x

Así se elimina el radical en el denominador que es lo que se buscaba

2) Racionalizar 43 4x x

x

4 4 333 4 3 4 (3 4 )

(3 4 )x x x x x x x x

x xxx x x

3) Racionalizar la fracción 318 2

3 1

x x

x

23 3

2

2 9 1 3 118 2 18 2 3 1

3 1 3 1 3 1 3 1

2 3 1 (3 1) 3 1 2 (3 1) 3 12 (3 1) 3 1

3 1 1

x x xx x x x x

x x x x

x x x x x x xx x x

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


11

4) Cuando en la fracción hay un binomio a racionalizar, se recurre a la tercera fórmula

notable, así: racionalizar 3 15

5

x

x

2 2

15 3 15 3 5 3(5 )( 5)

5 5 5 ( ) ( 5)

3( 5 )( 5)3( 5)

5

x x x x x

x x x x

x xx

x

Ejercicios. Racionalizar las siguientes expresiones

2

3 3 2 21) 7)

2

5 42) 8)

1 3 1 2 1 3

3) 91

x b b

x b

x z

x z

r s

s

3 24 3)

1 1

n n n

n

2

4 2

7 49 2 5 34) 10)

25 5 2 3 5

2 25) 11)

5 2 3

2 76)

2 18

m a a

m a

h x

h x h x

x x x

x x

2

4

3 5 1 713)

1 12)

14) 1 5 12 3

1

r

r

r d d

r d

II Límites

Definición de límite: El límite de una función f(x) en un punto x=a es igual a L si para todo

es posible hallar tal que si ( ) , ,f x L L x a a y se denota con

lim ( )x a

f x L

Ejemplos gráficos: Dada una función es posible encontrar el límite de la función para diferentes

valores de x. Por ejemplo en el gráfico que se representa h(x),


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


12

Ejercicios. Considere las funciones y encuentre los límites:

1.1) lim ( )x

g x

1.2) 1.5

lim ( )x

g x

1.3)0

lim ( )x

g x

1.4) 1.5

lim ( )x

g x

1.5) 1.5

lim ( )x

g x

1.6) lim ( )x

g x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


13


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


14

a) lim ( )x

f x

b) lim ( )x

f x

c) 0

lim ( )x

f x

d) 6

lim ( )x

f x

Teoremas sobre límites

Sea f(x) y g(x) dos funciones, f(x) 0, g(x) 0 y sea k una constante , entonces

1 ) limx c

k k

2 ) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

3 ) lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

4 ) lim ( )( )

lim lim ( )( ) lim ( )

x c

x c x c

x c

f xf xsi g x

g x g x

0

5 ) ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( ) x cg x g x

x c x cf x f x

s i ( ) 0f x

6 ) lim ( ) lim ( )x c x c

g f x g f x

7 ) lim ( ) lim ( )n nx c x c

f x f x

S i n es par , entonces ( ) 0f x

La función f(x) y/o g(x) puede ser una raíz, un logaritmo o una función trigonométrica : senx , cosx,

tgx, etc


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


15

Ejemplos. Calcule cada uno de los siguientes límites

1) Calcule 3

3

4lim

2 4x

x x

x

Sustituyendo en el límite la x por 3, resulta 3 3

3

4 3 4 3 9 4 3lim

2 4 2(3) 4 2x

x x

x

2) Calcule 1

log( 1)lim

1z

z

z

1

log( 1) log(2)lim

1 0x

z

z

(se dice aquí que el límite no

existe, pero si tiende a -

Algunas ocasiones al evaluar el límite, resulta una forma indeterminada 0

;0

, en tal

caso debe reescribirse el límite o manipularse algebraicamente la función para poder

calcular el límite

3) Calcule 3

32

7 22lim

6 2 4x

x x

x x

23 3 2

3 3 2 22 2 2 2

( 2) 2 117 22 0 7 22 2 11 19lim lim lim lim

6 2 4 0 6 2 4 2( 2)( 2 1) 2( 2 1) 18x x x x

x x xx x x x x x

x x x x x x x x x

3

32

7 22 19 lim

6 2 4 18x

x x

x x

4)

-

- - -

30

2

3 3 30 0 0

1 1lim

1 1 1 1 1 1lim lim : lim

0

x

x x x

x x

xf

x x x x x

5) Encuentre 3

3 6lim

1 2x

x

x

3

3 6 0lim

01 2x

x

x

Aquí se aplica racionalización en el numerador y en el denominador


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


16

2

23 3

3 3 3

3 63 6 3 6 1 2 1 2lim lim

1 21 2 3 6 1 2 3 6

3 1 2 3 1 2 1 2lim lim lim

3 33 6 3 6 3 6

x x

x x x

xx x x x

xx x x x

x x x x x

x xx x x

3

4 2 3 6 2 lim

6 3 31 2x

x

x

6) Resolver

2

0

1 1lim x

x

x

2

0

22

0 0 0 0

1 1 0lim

0

2 1 12 1 1lim lim lim 2 2 lim 2

x

x x x x

xf

x

x x xx xx

x x x

7) Resolver

4

lim tan 1x

x

x

4 4

4lim : lim tan 1 1 1 0 tan 1x x

x k xf

x x

8) Resolver0

1 1lim x

x x

x

0 0

2 2

0 0 0

0 0 0

1 1 0 1 1 1 1lim : lim

0 1 1

1 1 1 1 1 1lim lim lim

1 1 1 1

2 1 1 2 1 1lim lim 2 1 lim 1

21 1 1 1

x x

x x x

x x x

x x x x x xf

x x x x

x x x x

x xx x x x

x x x

x xx x x x

9)

3

3 33

33 3

3

4lim

34 105 4lim existe lim

43 0 3lim3

x

x x

x

x x

xx x x xno

x xx x

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


17

10) 2 2

2

2lim

2 2x a

a ax x

xa x a x

2 2

2

2 2 2 2

2

2 0lim

2 2 0

2 ( ) ( ) ( ) 0lim lim lim lim 0

2 2 ( ) 2( ) ( 2)( ) ( 2) 2

x a

x a x a x a x a

a ax x

xa x a x

a ax x a x a x a x

xa x a x x a x a x x a x x a

11)2

3

9lim

2 3x

x

x x

2

3

2

2 23 3 3

2

3 3 3

9 0lim :

02 3

3 3 3 39 2 3 2 3 2 3lim lim lim

2 3 1 2 3 12 3 2 3

3 3 32 3 2 3 6 3 9 9lim lim 9 lim 9

3 1 1 1 1 4 1 2 3

x

x x x

x x x

xf

x x

x x x xx x x x x x x

x x x xx x x x

x x xx x x x x

x x x x x

Ejercicios. Determine de ser posible, cada uno de los límites:

1)

2

cot( ) 3lim

6csc( ) sec(2 )x

x

x x

2)

3(2 )

0

3 53lim 6

log( 2)

h h

h

e

h

3) 2

2

(4 )lim

tan (4 )x

sen x

x

4 2

2 32

124) lim

4 4z

z z

z z z

4 2

21

5 45) lim

1r

r r

r

6)

3 2 2 3

2 2lim

2x k

x kx k x k

x kx k

7) lim2w h

w h

w h w

8)

0

4 2lim

25 5z

z

z

9)210

1 7lim

4 32 80t

t t

t t

10)3 3

2

7 8 5lim

5 2 3x

x x

x x

11) 2

0

ln( 5)lim

1 xx

x x

e

12)

1

1 1lim

1 1x x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


18

13) Sea la función 4

2 4 , 2( )

, 2

x x sixf x

x six

, encuentre el 1

lim ( )x

f x

14) Considere la función

3 25ln( 2 ) 1

( ) 4

1

x xsi x

g x x

x si x

, encuentre el 1

lim ( )x

g x

15) 3

40

tan (5 )lim

2 3x

x

x

16)5 2 3

5 2 32

8 32 4lim

2 16 8 63z

z z z

z z z

17)0

arccos( )lim

( )x

x

sen x

18) 2

0

(8 ) 3lim

6 (3 )x

sen x

sen x

19)0

1ln

2lim

1xx

x

e

20)8 4

2

17 16lim

12

m

m m

m

21) 3 2 2

4 2 2 3

2 4 2lim

2s a

s as a s

s a s as

22)1

5 2lim

2 1x

x

x

23)

0lim

4 16x

x

x

24)3 2

31

5 3lim

3 2t

t t t

t t

25) 3

1

1lim x

x

ax bx a b

26) 210

1 7lim

4 32 80x

x x

x x

27) 2

3

9lim

2 3x

x

x x

28)

0

ln 2lim

1 xx

x

e

29) 2

0

(3 1)lim

4 ln(2 1)

a

a

a e

a a

30) 3 2

32

2 6 24 8lim

8x

x x x

x

31) 23

12 3lim

1 7x

x

x x

32) 3 2

32

3 12 4lim

8x

x x x

x

33) 2

3 21

1lim

4 4x

x x x

x x x

34) 0

4 16lim

5 25x

x

x

35) 3

41

3 2lim

4 3x

x x

x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


19

36) 20

7 49lim

3 5 9x

x

x x x

37)

20

3 2 3lim

2x

x x

x x

Respuesta a los ejercicios anteriores

3 7 4 5 5 71)R : 2)R:1 3)R:-38 4)R: 5)R:3 6)R: 7)R:2 8) R: 9) R: 10) R:

7 3 3 2 288 5

kh

4 111)R:- 12) R: 13)R: 14)R:-1 15)R:0 16)R:0 17)R: 18) R: 19)R:-

16 2

1 4 320)R:0 21)R:0 22) R: 23)R:-8 24)R: 25)R: 26)R: 27)R:9 28) R:+

2 3 a b

10 2 5 1 5 1 329)R:+ 30)R: 31) R: 32)R: 33)R: 34)R : 35) R: 36) R: 37) R:

3 3 3 10 4 2 2 3

Límites infinitos y al infinito. Abusando de la notación y a modo de ejemplo, se presentan

algunas operaciones con infinitos. Sea k una constante k , entonces

1)

2)

3)( )( )

4)( )( )

5)( )( )

k

06) 0

7) 0

8) ,0

k

k

kdepende

9) 0

( ) 0

si kk

si k

10 )

0( )

0

si kk

si k

11 )S i n IN ( )n si n 12) ( )

si

nes par

n es impar

Expresiones Indefinidas

0 00; ;0 , ;1 ;(0)( );

0


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


20

Ejemplos. Encuentre los siguientes límites que tienden a infinito

En estos límites se deben sacar a factor, la variable con el exponente más alto de la expresión, si

es una fracción ésta variable con su exponente debe sacarse por separado numerador y

denominador

1) 6 11 8

2 7

5 9 2 3lim

3 7x

x x x

x x

11

6 11 8 5 11 3

2 77

5 7

4

5 11 3

5 7

5 2 39

5 9 2 3lim : lim

1 73 73

5 2 39

lim 01

3

7

x x

x

xx x x x x x

fx x

x

po

x x

xkx

rx x

x

d

x

que ca a

2)

44

2

16 7 3 1lim

2 3x

x x

x

4 44 4

2 2

16 7 3 1 16 7 3 1lim lim :

2 3 2 3x x

x x x xf

x x

44 4

3 4 3 4

22

2

44 3 43 4

2 2

2 2

7 3 7 316 1 16 1

lim lim 32 3

2

7 3 17 3 1616 1

lim lim 3 3

2 2

x x

x x

x xx x x x

xx

x

xxx x xx x

x xx x

43 4 4

2

7 3 116

16lim : 0

3 22

x

x x x kf

xx

9

4 9 5 9

77

7

1 23

3 23) lim lim

53

53

x x

xx x x x

xx

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


21

5)

3 3 27 25 1lim

2n

n n n

n

3 23

2 23 3 2

3 32 2 2

7 11 25

7 25 1lim lim

221

7 1 71 25 1

lim lim2

1

n n

n n

n nn nn n n

nn

n

n nn n n

nn

2

3 3 2

125

1 56

2 11

7 25 1lim 6

2n

n

n

n n n

n

De los ejercicios resueltos se puede comprobar empíricamente el siguiente teorema :

Teorema: Dados y bi ja números reales y dados los polinomios de la forma

1 2

1 2 1 0 y ....n n n

n n na x a x a x a x a

1 2

1 2 1 0 b .... m m m

m m mx b x b x b x b

entonces

se c umple que:1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

0 si n < m

....lim si n = m

b .... b

(depende) si n > m

n n n

n n n n

m m mxm m m m

a x a x a x a x a a

x b x b x b x b

Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes límites al infinito:

1) 7 6 17

8 2

2 4 8lim

6 3x

x x x

x x x

2)4 2 7

59 3

2 3lim

2 x

x x x

x x x

3) 75 7 5

2 9

4 6 3 3 2 lim

3 2 x

x x x x x

x x x

4) 7 67 64 5 64 5

lim1s

s s s

s

5) 2

2

3 1 4lim

4 5 3x

x x x

x

6) 82 8 5

3 2

5 6 3lim

2 5x

x x x

x x x

7) 2lim 8 6

xx x x

8) 2lim 10 4 2

xx x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


22

9) 10 2 2

lim5 7 4x

x

x

10)2 3 3 3

3 2 3

(3 2 2) 4 5lim

4 1 ( 1)x

x x x x x

x x x

11) 2

2

3 2lim

3 1x

x x

x x x

12) 2 2lim 4 2 3 4 7 9z

z z z z


31) R : 2)R:0 3)R:0 4)R:3 5)R: 6)R:0 7)R:+

2

18) R:+ 9) R:1,01 10) R:+ 11) R:+ 12) R:

4

Límites infinitos. Cuando al sustituir el valor de la variable en el límite, el resultado es ó - ,

se debe resolver los límites laterales (es decir por la derecha y por la izquierda), así

1) 22 2 2

2 2 1 1lim lim lim

4 ( 2( 2) 2 0x x x

x x

x x x x

se deben resolver los límites

laterales así: 2

2

2

1 1lim

1 2 0lim

1 12lim

2 0

x

x

x

x

x

x

no existe el límite

Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes límites infinitos:

1)22

3 6lim

4w

w

w

2)

4

4

5lim

4t

t

t

3)

4

3

2 ln(2)lim

3z

z

z

4)7

lim7a

a

a

5) 0

( ) 3limx

sen x

x

6) 2

0

(4 )

2 (l

1)im

x

x

x e

x ln x

7) 21

3 4lim

1

x

x x

8)

2

23

4 12lim

9s

s

s


2 : 7 : 1 :1)R : 2)R:+ 3)R:+ 4)R: 5)R: + 6) R:+ 7) R: 8) R: +

2 : 7 : 1 :


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


23

Continuidad

Otra aplicación de los límites es el de continuidad de una función. Dada una función f(x) definida

en un intervalo I, se dice que esta función es continua en un punto c I si cumple las siguientes

tres propiedades:

1. (c)f existe y está bien definida

2. lim ( )x c

f x

existe

3. ( )f x = lim ( )x c

f x

(es decir, el resultado de la primera propiedad es igual al resultado en la

segunda propiedad)

Si no se cumpliera al menos una de las tres anteriores propiedades, se dice que la función es

discontinua. La función es continua en un intervalo I , si es continua en cada punto c I

Ejemplos.

1) Dada la función ( ) 3 5 4 6s x x , es ( )s x una función continua en x = 1?

Para probar esto considerar c = 1, entonces

1.1 (1) 3 5(1) 4 6 3 9 3(3) 9s

1.2 1 1

lim ( ) lim(3 5 4 6) 9x x

s x x

1.3 (1)s 1

lim ( )x

s x

se cumple la continuidad para x = 1

2) Considere la función

( 1)log( ) 1

( ) 4

5 1

xx esi x

h x

x si x

Analice si la función es continua en x = 1

2.1) (1 1)log(1 ) log(2)

(1)4 4

eh

2.2)1 1

lim ( ) lim 5 4 2x x

h x x

2.3)se cumple la igualdad ( )h x = 1

lim ( )x

h x

?

No se cumple la igualdad porque log 2

24

, por lo tanto la función no es continua, es decir es

discontinua en x= 1


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


24

3) Considere la siguiente función f(x) = { (

} Encuentre el valor de a para que

la función sea continua en x =

Solución

(

)

( )

( (

) (

) -

3.3 Si se cumple la propiedad 3) entonces 3 = -

a =

4) Considere la siguiente función g(x) =

{

(

(

√

}

Es g(x) una función continua en el conjunto de los números reales?

Solución

4.1 Para x = -1

4.1.1) g(-1) = ln(--1) + 1 = 0 + 1 =1

4.1.2) ( {

( ( (

( ( ) ( (

por lo tanto

(

4.1.3 Se cumple la tercera propiedad si: (

( por lo tanto g(x) es continua

en x= -1

4.2 Para x = 0

4.2.1) g(0) = ( = e

4.2.2) ( {

( ( ) ( (

(√

)

por lo tanto

( , por lo que g(x) es discontinua en x = 0


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


25

5)Sea g x una función continua definida por:

( 1) 3

ln( ) 1 1

( ) 3( ) 1 0

1 1 0

x

x si x

g x e x x si x

xsi x

x

Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales

5.1) Si x = -1

5.1.1) ln (1) + 1 = 1

5.1.2

( 1) 3 0

1

1 1

1

) lim 3( ) 3(0) 1lim ( ) lim ( ) 1

) lim (ln( ) 1 1

x

x

x x

x

a e x x eg x g x

b x

5.1.3) [ ln (1) + 1] = 1

lim ( ) 1x

g x

Entonces la función g(x) es continua en x = -15

5.2 Si X=0

5.2.1 g(0) = (0 1) 33(0 0 ) 0e e e 3.2.2

2

0 0 0

0 10 0

( 1) 3 1

0

1 11 1 0 1 1 1 1) lim lim lim

0 1 1 1 1

1 1lim ( ) lim lim lim ( )

21 1 1 1

) lim 3( ) 3(0)

x x x

x xx x

x

x

xx x xa

x x x x x

xg x g x noexiste

x x x

b e x x e e

por lo tanto la función f(x) no es continua en x = 0, entonces g(x) es una función discontinua en el

conjunto de los números reales

Ejercicios

1) Diga si la siguiente función f(x) es continua en x= -2 2

2

12

1

( )

32

1

____________ ___

_______________ __

x xsí x

x

f x

xsí x

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


26

2) Diga si la función g(x) es continua en el conjunto de los número reales,

2

3

4 x<2

g(x)= 3 3 si x = 2

24 si x>2

4

x

x

x si

x

x

3) Es la función continua en x=2 y en x=3? Compruebe su respuesta

2 4 11 si 5 2

= 3 5 si 2 3

11 3 si 3

x x x

f x x x

x x

4) Es 2

2

2

5 2 si 2

3 5 2 si 2 3

4 3 =

9 si 3<

3

2 si 3=

x x

xx

x xf x

xx

x x

x

continua en IR

6) Es la función continua en IR?, si

2

3 2

2 3

3 2

4 2

2

2 3 si 1

2 6 5

5 si x = 1

= 12 12 4 si 1 1

3 30 27

5 4 si x>1

3 2

x xx

x x x

n x x x xx

x x x

x x

x x

7) Es la función continua en x=-2 y en x=3?

2

2

2

2

2

2

6 22 10 si 2

2 5 2

6= si 2 3

12 7

6 9 si 3

9

x xx

x x

x xp x x

x x

x xx

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


27

8) Encuentre el valor de k para que la función m(x) sea continua en x=3, si

2

si 3m =

3 si 3

k x

xk

x xx

x

9) Encuentre el valor de k para que g(x) sea continua en x=2?

5 2

3

si 2 =

si 2

k

xk

x xg x

x x

10) Encuentre el valor de k para que la función 3 5 4

( )2 3 4x

x k sixm x

k six

sea continua en x=4

11) Averigue el valor de la variable k para que g(x) sea continua en x=1

(

{

12) Encuentre el valor de las variables a y b, para que f(x) sea continua en x =-2 y en x = 2, si

( {

13) Encuentre el valor de las variables a y b, para que f(x) sea continua en IR, si

si 2

= 3 1 si 2 3

si 3

xa b x

f x x x

a bx x

14) Encuentre el valor de las variables k y m, para que g(x) sea continua en IR

2 si 1

= 2 si 1 2

2 si 2

kx m x

g x mx x

mx k x

15) Encuentre el valor de las variables k y m, para que h(x) sea continua en x=-1 y x=2

2

3 si 1

= 4 8 si 1 2

2 4 si 2

kx m x

h x x x x

mx k x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


28

III Derivadas Sea f(x) una función definida en el conjunto de los números reales. La derivada de la función f(x),

denotada con f’(x) es f’(x) = ( ) ( )f x h f x

h

si este límite existe

Ejercicios. Encuentre la derivada de cada expresión por medio de la definición

1) 3 1y x 2) 2

( ) 2 3f x x 3) 3( ) 4s x x x

4) 1

( )3

h xx

5) 5 7

( )2

xl x

x

6)

37( )

2

xs x

x

Reglas de derivación

2

1) ( ) '( ) 0

2) ( ) '( ) '

3) ( ) '( ) ' '

4) ( ) . '( ) ' '

' '5) ( ) '( )

6) '( ) '( ( )) '( )

f x k f x

f x kx f x kx

f x u v f x u v

f x u v f x u v v u

u u v v uf x f x

v v

gof x g f x f x

1xx

1arccscx18.xsectanx9.

1xx

1arcsecx17.senxcosx8.

x1

1arccotx16.cosxsenx7.

x1

1arctanx15.

xlna

1xlog6.

x1

1arccosx14.

x

1lnx

xarcsenxee

cotxcscxcscx12.lnaaa3.

tanxsecxsecx11.xn

1x2.

xcsc(cotx)10.nxx

2

2

2

2

2a

2

xx

xx

n 1n

n

21nn

.5

1

1.13.4

.1

2


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


29

Ejemplos. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones

1)

2

33 25y s s

s

2 1 19 7 533 63 3 3 3 3

2

16 4 8

3 3 3

2 4 45 5 5 20 4

95 140 20'

3 3 3

sy s s s s s s s

s s s

y s s s

2)

( )

1

( ) 2 2 ( )

cos( )`( ) 0 2 0 2 ln(2)

2 ( )

x sen e e ex

ex ex

m x e e x ex sen e sen ex

e e exm x e ex e

ex sen ex

3) 1 2 1 3( ) 2 7n n

l r r r r r r

3

1 2 1 2 3 43 2

1

1 3 1 3 2

( ) 2 7 2 7

3`(r) 2 2 3 7 4

2

nn n n n n

nn n n

l r r r r r r r r r r

l n r nr n r n r

3

3

4

2

724

14) 5 ( ) 3 ln( )

1 1 3 ' 5 3 ln(3) 3

1 4

x

x

y arcsen x x x

x

y xxx x

2

2 2 1

15) ( ) 5

tan(2 )

1 ' cos( )( ) 2 5 ln(5) 5

tan(2 )

x x e

x x x e e x

y sen x e xe

y x e e sen x x exe

6) 2 1 csc 3

' 2 csc 3 csc cot 2 1

se utilizala fórmula de prl x x x

l x x x

oducto

x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


30

2 3

2 2 2

7) cos( ) ln 5

1 5 ' ( ) (2) 3ln 5

5 2 5

x

x x

y e x

y sen e e xx x

4

3 6 4

26

sec( ) 38) ln( 2 )

5

(sec( ) tan ( ) 3(4) 5 ( 5) sec( ) 3 1 1 `

2 25

e

x xy x

x

x g x x x x xy

x xx

3 45

42 4 4 35

3 2

9) 4arctan(5 2) ( 4 )

1 1 ' 4 (15 ) ( 4 ) cos( 4 )(4 4 ln(4)

1 (5 2) 5

x x

x x x x x x

y x sen x e

y x sen x e x e x ex

2 2 310) ln sec 3 csc 33

m x x x e

2

3sec 3 tan 33 3

' 2csc 3 cot 3

2 ln sec 3 sec 33 3

x x

m x x x

x x

3 23 211) arctan 3

2

xs x x

x

2 2

2 4

2 2

2 4

3 2 3 2 1' 3arctan 3 6

1 92

8 1' 18 arctan 3

1 92

x xs x x x

xx

s x x xxx

5 3 3 3

3

4 7 212) arctan

x x x x x xf x x

x

3

3 3 1/2 3 3 3 352

14 7 14

1f x x x x x x xx x xxx

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


31

12

1/2 152

17

252

14 7 14

1

1 12 27 14

1 5

f x x x x xx

f x x xx x

8 4

33

5 1 3

3

6 2 2

16 17 113) log 1

16 17 1 log 1

1 80 17 3 cos

1 ln 3

x xg x sen x x

x

g x x x x sen x x

g x x x x xx

4 2

3 3

2

3

4 2

3 3 3 3 23 3

5 7

2 3 23 3

8 10

3 43 3

3 5 4

14) tan 2

3 5 4 tan 2

3 5 4 tan 2

7 5 5 2 12 2 ln 2

3

x

x

x

x

x x x

h x ex

h x x x x x xx x e

h x x x x x e

h x x x x x

3

3 2

6

215) sec log

2 ln 2 3 2 1 sec tan sec

ln10

xx

x xx x

f x x e xx

x xf x x x e x e

x x

Ejercicios. Encuentre la primera derivada de cada función

1) 7 24 arccos 2

3

xy x e xe

2) 3

5arctan( ) ln 4 ( )y x sen x x

3)

1 9

77 55 3

2y= (4s -6s)

s s s s

s

4) 1/3 4 4

5l(x) 9sec(x) ln 6 log( )

x x xx x

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


32

5) 3

(z 4 ) 5 1

6

7 4( ) -e

5 ( ) 2

z z zm z e z z

sen z z

6) 9 49 cos(5z) z ( ) 4arctan( )zy z sen z

7) 12( ) 6 8 3 ( ) ( )xg x x x ln x sen x

8) 4(2 ) 6 3y ln sen x x x

9) 4 44 4 ln(4 ) 4 (4 ) (4) (4 4)x xy x x x ln ln ln x

10) 5

43( ) (2

csc)

xe arctanxg x sen e

x lnx

11) 4 2 3 1h x x ln x

12) 3 2

5 7 log 2m x x x

13) 3

488

5 7ln log(8) 8

8 8x

x xy x

x

14) 3 2

2log (2 4 lnxs x x x sen e

15) 2

6 2

2 3 5

6(1 )( ) arccos(5 )

( 3) (3 )

xf x x e x

x sen x x

16) 2csc 3 2 6

x x

n x e lnx

17)

2

7 3 3

3 2

4

2 5 ln 24 tan 2 1x x

x xf x x

x

18) 4

3 2 5

3 csc 2 3

xg x

x x

19) 1 23 5 4xy x

20) 5 4 2 5( ) 3 ( ) ( 2 ) xm x cos lnx tan x x e

21) 24 5

( )

sen x cos xi x

tan x

22)

4

5

2

( (4 2))( )

2 4 9

x ee x arcct sen xj x

sen x x

23) 2 23( ) log (7 ) ln (3 5) tan( )xg x x arc e

24) ( ) 2(2 3) ( 4 ) (7 ) (2)x xm x x cos e ln e log x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


33

25) 23 6

5 (4 2)( ) log(

()

)

sen xg x

cox

xx

s

26) 5 9 2(4 3 ) 7 3 xy tang x sen x x e

27) 9( ) 8 (3 2) (2 5) ( ( ) 1)2

s x arctan x cos x ln sen

28) 3 2

( )tan ( ) s (6 1)

f xx en x

x

29) 2 2 2

2

1 3 7xk x tan x ln sen e

x

30) 3 7 2

3 4 2xx e arcsenx

b x tan ln esecx lnx

31)

2 2

2 33

csc

3 3 tan2

x

x

sen e x

Derivada de orden superior Es derivar la derivada, así la segunda derivada o derivada de orden 2 es derivar la primera derivada, la derivada de orden 3 o tercera derivada es derivar la segunda derivada y así sucesivamente

Encontrar la derivada de orden 5 de 5 7 33 2 8y x x x

5 7 3

4 6 2

3 5

2 4

3

2

3 2 8

´ 15 7 24

'' 60 42 48

''' 180 210 48

' 360 840

360 2520

v

v

y x x x

y x x x

y x x x

y x x

y x x

y x

Ejercicios. Encontrar la derivada de orden 3 en las siguientes funciones

1) 2 4

ln1

xy

x

2) 2(3 5) ( 6)y x x

3) (3 5)

x

xy

e

4) 5cos(3 )xy x

5) ( ) 4sec( ) tan( )r z z z


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


34

Derivación Implícita

2 5 7 3

4 7 5 6 3 2

5 6 2 3 3 4 7

5 6 2 3 3 4 7

3 4 7

5

4 2 3 3 cos(2 )

8 2 ´ (15 3 7 )́ (2 )(2 3 )́

2 ´ 3 7 ´ 3 ´ (2 ) 2 (2 ) 15 8

[́2 3 7 3 (2 )] 2 (2 ) 15 8

2 (2 ) 15 8´

2 3

x y x y x y

x y x y x y y sen x y y y

y x y y y y sen x y sen x y x y x

y x y y sen x y sen x y x y x

sen x y x y xy

x

6 2 37 3 (2 )y y sen x y

Ejercicios. Encuentre las siguientes derivadas implícitas

1) (

2) (

3) √ (

4) 2 32 7 ln 1 5xy x y x

5) 5 2 1 3tan 2x y sen yx x y

6) 2 42 2xy sen x x

7) 2( ) cos(3 ) 5x xe y sen x y y

8) 5 7 29 8 (2 )y x y x sen x y

9) ( ) 35 2 4 1x yy e e xy y

10) 4 9

x yxye x xy e

Recta tangente y normal

Otra aplicación de la derivada es la de conocer la recta tangente o normal (perpendicular

u ortogonal a una curva dada en un punto específico

1) Considere la función 5 ( 1)4 xy x e .

Calcule la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa 1.

También la ecuación de la línea recta normal en el mismo punto.

Si x =1 entonces el punto es , 4 ( 1)

5 ( 1)

20´

2 4

x

x

x ey

x e

entonces


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


35

1.1 ) ecuación de línea recta: 19 13

2 3 2 3m b

entonces

19 13

2 3 2 3y m es la

ecuación de la línea recta tangente

1.2) ecuación de la línea recta normal: Si 19 2 3

192 3perpm m

entonces la

ecuación de la línea recta normal es 2 3 21 3

19 19y x

2) Considere la curva definida por f(x) = xsen(x) + 5x

2.1) Determinar la ecuación de la línea recta tangente a f(x) en el punto cuya abscisa es 0

a) Si x = 0 entonces y = 0 , P(0,0) b) f’(x) = sen(x) + xcos(x) + 5 c) m = sen(0) + (0)cos(0) + 5 = 5 d) Entonces b = 0 por lo que la ecuación de la recta tangente es y = 5x

2.2) Determinar la ecuación de la línea recta normal a f(x) en el punto cuya abscisa es 0

Si 1

5m

y P(0,0), entonces la ecuación de la recta normal es

5

xy

3) Determine las ecuaciones de las líneas rectas tangente a la curva 2 23 5x xy y en el

punto donde la ordenada es 1.

Si y=1 entonces x=-4 y x=1, por lo tanto hay dos líneas tangentes una en el punto (-4,1) y otra en el

punto (1,1)

Derivando queda 2 3

2 3 3 ` 2 ` 0 `3 2

x yx y xy yy y

x y

Punto (1,1)

51 2 2

5m b y x

es la ecuación de la línea recta tangente en este punto

Punto (-4,1)

5 1 11 1

10 2 2m b y x

es la ecuación de la línea recta tangente en este punto


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


36

Ejercicios. Resuelva cada ejercicio

1) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación y = 4x - en los

puntos de la curva en los cuales la ordenada es y = 3

2) Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la curva de ecuación - 5 = y

que contienen la abscisa x = 2

3) Considere la ecuación sen(2x + y) – 3x = 4y. Encuentre la ecuación de la línea recta

tangente a la curva de ecuación dada y que contiene el punto Q(0,0)

4) Determine la ecuación de la línea recta tangente y normal a la ecuación

y = √ en el punto de abscisa x = 1

5) Considere la curva 5 3 22 5 3 5x x y y y Encuentre la ecuación de la línea recta

que contiene el punto ( 1,-1) y que:

5.a) es tangente a la curva de ecuación dado 5.b) es normal a la curva de ecuación dada

6) Considere la curva 3 5 23 2 4 14x x y y Encuentre la ecuación de la línea recta que

contiene el punto ( 2,1) y que:

6.a) es tangente a la curva de ecuación dado 6.b) es normal a la curva de ecuación dado

7) Sea la curva de ecuación Encuentre la ecuación que

contienen el punto (2,3) y que:

7.a) es tangente a la curva de ecuación dado 7.b) es normal a la curva de ecuación dado

8) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) línea(s) recta(s) tangente(s) a la curva 2 4 5x y

sabiendo que la ordenada es y=1. También encuentre la(s) línea(s) recta(s) normal(s)

9) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva 3 cos xy 2 x y en x= 0

10) Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la curva de ecuación 2 2 2 4 3( ) 25 2 3 ln(3 4)x y x y x y en el punto (1,2)

11) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva de ecuación 2 6 5 6y xy y en el punto de abscisa -1


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


37

12) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva de ecuación 2 4 5x y xy si ordenada es 1

REGLA DE L’HÔPITAL

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de L'Hôpital o regla de

L'Hôpital-Bernoulli usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma

indeterminada

0 o

0

. La aplicación de esta regla frecuentemente convierte una forma

indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el límite fácilmente.

Sean f y g, g 0, dos funciones tales que se cumple:

lim 0 y lim g 0x a x a

f x x

ó lim x a

f x

y lim gx a

x

Entonces se cumple que

0

lim : 0x a

f xfi o

g x

Y la regla de L'Hôpital establece que

lim = lim x a x a

f x f x

g x g x

Ejemplos: Utilizando la regla de L’Hopital resuelva los siguientes límites

1)

2

22

4lim

5 6x

x

x x

2 2

2 22 2 2

4 0 2 4 4lim = ' lim lim 4

5 6 0 2 5 1 5 6x x x

x x xL H

x x x x x

2)

3

2 3

3 5 4lim

6 6x

x x

x x

3 2

2 3 2

3

2 3

3 5 4 9 5lim : ' lim : '

6 6 2 18

18 18 3 5 4 1lim : ' lim lim

2 36 36 6 6 2

x x

x x x

x x xfi L H fi L H

x x x x

x x xfi L H

x x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


38

Sin embargo hay algunos casos en los cuales al realizar la sustitución, ésta no es de la forma0

0 o

por lo que mediante alguna manipulación algebraica puede llevarse el ejercicio a tener la

forma indeterminada para aplicar L'Hôpital.

Caso I: Forma: 0

Sean f y g dos funciones tales que se cumple:

lim x a

f x

y lim g 0x a

x

O lim 0x a

f x

y lim gx a

x

Entonces se cumple que lim : 0 0x a

f x g x fi o

entonces

g lim lim lim lim

1 1x a x a x a x a

f x xf x g x o f x g x

g x f x

Y en cualquiera de los casos da la forma indeterminada 0

: 0

fi o

dando pie a utilizar la regla

de L'Hôpital. Ejemplo:

0

0 0

2

0 0 0

lim ln : 0

1

lnlim : ' lim haciendo extremos y medios

1 cot csccsc

1

0 2 lim lim : ' , lim

cos 1 cos 0

x

x x

x x x

senx x fi

x xfi L Hx x

xsenx

sen x senx fi L Hx x x

senx senx

0

cos 0 = = 0 lim ln 0

cos 1 x

x xsenx x

x xsenx

Caso II: Forma

Sean f y g dos funciones tales que se cumple:

lim x a

f x

y lim gx a

x

. Entonces se cumple que

lim :x a

f x g x fi

entonces debemos de intentar resolver la operación y de

no ser posible entonces debemos resolver el siguiente límite:


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


39

lim 1 = lim lim 1 = lim 1 lim

Calculando c

lim '

x a x a x a x a x a

c

x a

g x g x g xf x f x f x

f x f x f x

g xc fi L H

f x

Ejemplos 1)

0

0 0

0 0

1 1lim :

0 cos 1 0lim : ' lim : '

0 cos 0

0 1 1lim = lim 0

cos cos 2

x

x x

x x

fix senx

senx x xfi L H fi L H

xsenx senx x x

senx

x x xsenx x senx

2)

lim ln :

ln ln lnlim 1 = lim lim 1 lim 1 lim

x

x x x x x

c

x x fi

x x xx x x

x x x

Calculo c:

lnlim : '

1

0lim =

1 1

x

x

xc fi L H

x

x

Vuelvo al limite solicitado:

lnlim 1 1 0

lim ln

x

x

xx

x

x x

Caso III: Potencia indeterminada: f orma: 0 00 , ,1

Sean f y g dos funciones tales que se cumple alguna de las siguientes condiciones:

lim 0x a

f x

y lim g 0x a

x

0lim : 0

g x

x af x fi

O

lim x a

f x

y lim g 0x a

x

0lim :

g x

x af x fi

O


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


40

lim 1x a

f x

y lim gx a

x

lim : 1g x

x af x fi

Entonces para calcular el límite se procede:

lim ln

lnlim lim e

g xf x

x ag x

cg x f x

x a x af x e

Calculamos c

lim ln = lim g ln : 0

Calculo este limite pues es el caso 1.

g x

x a x af x x f x f

Ejemplo: 1)

0lim ln

0 ln

00lim : 0 lim

x

xx

c

x

x x

xxx fi e e

0 0 0

0

0 0 0

2

calculando c

lnlim ln lim ln : 0 lim :

1

1

1 ' lim = lim 0 lim 1

1 1

x

x x x

x

x x x

xc x x x fi fi

x

xL H x e

x x

2)

0

lim ln cot

ln cot0

0 0lim cot : lim

senx

xsenx

c

x

senx x

x xx fi e e

0 0

0

22

0 0 0

calculando c

lim ln cot lim ln cot : 0

ln cotlim : '

1csc

1 csccsc

cscot cotlim = lim lim csc cot csc cot

senx

x x

x

x x x

c x senx x fi

xfi L H

xsenx

xx

x x

x x x x

2

2

20

22 2 20 0 0 0 0

2

c

csc cot

1

csclim lim lim lim 0 lim cot 1

coscot cos cos

senx

x x x x x

x

x x

x sen x senxsenx x exx xsenx x

sen x

Más ejemplos. Encuentre los siguientes límites aplicando L´Hopital


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


41

1)

0

4 1 cos 4 0 1 cos 0 0 1 1 0lim . .

cos 0 0 cos 0 0 0 0x

x xf i

sen x x x sen

`

0 0 0

4 1 cos 4 4lim lim lim

cos cos coscos cos

L H

x x x

x x sen x sen x

sen x x x x x x sen xx x sen x x

0

4 4 0 4 0lim 2

2cos 2cos0 0 0 2 0x

sen x sen

x sen x x sen

0

4 1 coslim 2

cosx

x x

sen x x x

2) 2 2 2 '

2'

1 1 1 2 1 2 1lim lim lim =

0 0

2 2 2 2 1lim = =0 lim 0

0

L H

x x x x x xx x x

L H

x x x xx x

x x x x x

e e e e e e e e e e

x x

e e e e e e

3) 4 4 4

1

2 17 2 17 1 2 16 2 2 0lim = . .

2 2 03 1 2 3 1 1 2 4 2x

xf i

x

344 '

31 1 1 4

11

4 172 17 2 3 1lim lim lim

13 1 2 3 4 1732 3 1

L H

x x x

xx x

x xx

34 43 12 124

4 1 1 1 1 1

3 2 3 8 2412 16 3 2 3 2

4

1

2 17 1lim

243 1 2x

x

x

5) 3 31

1 ln 1 1 ln1 1 1 0 0lim

3 2 1 3 1 2 1 3 2 0x

x x

x x

'

3 2 21 1

1 11 1

1 ln 01lim lim3 2 3 3 3 1 3 0

L H

x x

x x x

x x x

' 2 2

1

1 111lim

6 6 1 6

L H

x

x

x

31

1 ln 1lim

3 2 6x

x x

x x

6) 3 3

lim . .5 4 5 4 5

x

xxf i

'3 3 ln3 3 ln3 3 ln3 ln3lim lim lim lim 0 0

5 4 4 ln 4 4 ln 4 4 ln 4 ln 4

xx x xL H

x x xx x x x

3lim 0

5 4

x

xx


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


42

7) 33

1

1 1 1 1 1 0lim . .

2 2 03 2 1 3 2x

xf i

x

3 3 2'

33 21 1 1

1

1 2 3 2 1 3 2 4 43lim lim lim

1 3 33 2 3 132 3

L H

x x x

x xx

x xx

3

1

1 4lim

33 2x

x

x

8)

2 20

cos 0 cos 0 0 0 0 0lim . .

0 0 0x

x x sen x senf i

x

'

20 0 0

1 cos coscos cos coslim lim lim

2 2

L H

x x x

x x sen x xx x sen x x xsen x x

x x x

0

limx

x

2

sen x

x

0

0 0lim = =0

2 2 2x

sen x sen

2

0

coslim 0 x

x x sen x

x

9) 1 1

0lim 2 1 1 2 1 1 1 0 . .x

xx e e e f i

1 11 01 1 1 0

lim 2 1 1 lim . .1 1 1 0

2 1 2 1

xx

x x

e e ex e f i

x

11

12

2` 2

2

2 2

1

2 1lim lim lim

1 2 22

2 1 2 1

xx

xL H

x x x

eee xx x

x

x x

11 2

2

2

4 4 1lim lim

2

xx

x x

e xe x x

x

2

2

4 14

2

x x

x

1

2

4 14

lim2

x

x

ex x

1

e

0

44

0

2

1

0

04 42

2 2 2

e

1

lim 2 1 1 2x

xx e


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


43

10) 2

lim 2 ln 2 2 2 ln 2 2 0 ln 0 0 . .x

x x f i

'

2 2 2

2

1ln 2 2lim 2 ln 2 lim lim

1 1

2 2

L H

x x x

x xx x

x x

2

1

2limx

x

1 1

2 2x x

2 2

1lim lim 2 (2 2) 0

1

2

x xx

x

2

lim 2 ln 2 0x

x x

11) 2

lim 2 tan tan 0 . .2 2 2x

x x f i

Calculo en radianes: RAD

'

2

2 2 2 2

1 12lim tan lim lim lim

2 2 cot cot csc

L H

x x x x

x

x x xx x x

2 2

2 22

1lim lim s 1

1 2

sx x

en x sen

en x

2

lim tan 12x

x x

12) 2 0 2

0 0lim 1 ln lim 1 ln 0 0 . .x

x xe x e f i

2 2

2

0 0

0

ln ln 0lim 1 ln lim .

1 1

1 1

x

x x

x

xe x f i

e e

2'

0

1

limL H

x

x

2 x

2

0 0

2 2

22 1 0

lim lim .1 0

1 1

x

x xx xx

x x

ex f ie xe

ee e

0 0

'

0 00

4 1 4 1 0lim 0

1 1 0 1

x xL H

x xx

e e e e

e xe e e

2

0lim 1 ln 0x

xe x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


44

13) 1 1

0

0lim 0 0 0 . .x

xxe e e f i

1 11 0

0 0lim lim . .

1 1

0

xx

x x

e exe f i

x

1

1

2'

0 0

1

lim lim1

x

x L H

x x

ee x

x

2

1

x

1

0lim x

xe

Si .

11

0

0lim x

xe e e

Si

11

0

0lim 0x

xe e e

Entonces 1

0lim No existex

xe

1

0lim No existex

xxe

14) 2 2

1 1

2 2 0

0lim 0 0 0 0 0x

xx e e e

15) 00

1 1 1 1 1 1 1 1lim . .

1 1 0 1 1 0 0 0xxf i

e x e

0

00 0 0

11 1 1 0 1 0 1 1 0lim lim lim . .

1 0 1 1 01 1 0 1

x x

x x xx x x

x e x e ef i

e x x e x e e

0'

0 00

1 1 1 1 0lim . .

1 1 0 01 1 0

xL H

x xx

e ef i

e xe e e

'

0 0 0lim lim lim

2

x x xL H

x x x x xx x x

e e e

e e xe e xe

xe (2 )x 0

1 1 1lim

(2 ) 2 0 2x x

16) 1

1 1 1 1 1lim . .

1 ln 1 1 ln1 0 0x

xf i

x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


45

2 2

1 1 1

1 ln ( 1) ln ln1 1 1 0lim lim lim

1 ln ( 1) ln ( 1) ln (1 1) ln1 0x x x

x x x x x x x

x x x x x x

2

'

1 1

1 212 1

lim lim1

ln

L H

x x

x xx

xxx

xx

ln 1x x

x

2

1

1 2 1 2 1 0lim

ln 1 ln1 1 1 0x

x x

x x

'

1

4 1 4 1 3lim

1 1 21 1

1

L H

x

x

x

1

1 3lim

1 ln 2x

x

x x

17) 1 1

lim . .x

xxe x e f i

1 1 1

0lim lim 1 1 1 1 1 0x x

x xxe x x e e e

1 1

01 1 1 1 1 0lim

1 1 0 0 0

x

x

e e e

x

1

2'

1

lim

x

L H

x

ex

2

1

x

1 1

0lim 1x

xe e e

1

lim 1 x

xxe x

Ejercicios. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método de L’Hopital

1) 2

0

ln(1 ) 1lim

x

x

e x

x

2) 20

cos(2 ) cos(3 )limx

x x

x

3) 1

1 ln

1 cos( )limx

x x

x

4) 2

20

cos 2cos 1limx

x x

x xsenx

5) 0

2lim

2cos(2 ) 2

x x

x

e e

x

6) 0

1 2lim

1 cos( )x x x

7) 20

4 2

1 coslimx x x

8) 0

1 1lim

1xx x e

9) 1

1lim

1 lnx

x

x x

10) 1

( 1)

ln(2 1)limx

sen x

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


46

11) 0

ln(1 )limx

x senx

xsenx

12) 1

2 2lim x

xx e x

13) ( )

0lim sen x

xx

14)

2

1lim (2 1)x x

x

15)

1

2

2lim

2

x

x

x

16) 2

2lim

1

x

xx

x e

e

17)

1

3

3lim

3

x

x

x

18)

1

( )lim x x

xe x

PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO

Definición: La derivada f´(a) es la razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x si x =a

En un problema de razones de cambio relacionadas, el propósito es calcular la razón de cambio de

una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad (la cual podría medirse más

fácilmente). El procediendo consiste en obtener una función que relacione las dos cantidades y

luego aplicar derivación implícita para diferenciar ambos miembros de la ecuación planteada con

respecto al tiempo t. Estos problemas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:

1. Leer el problema cuidadosamente 2. Realizar una ilustración, de ser posible, de la situación planteada. 3. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo. 4. Identificar las razones y los datos que se conocen, así como la razón que se busca. 5. Escribir una fórmula o ecuación que relacione las variables. De ser posible, trabajar con

una sola variable. 6. Derivar la ecuación encontrada

Ejemplo.

1. En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares. El radio rdel círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 3 dm por segundo. Cuando el radio es 8.5 dm, ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región circular?

Para resolver el problema, después de leer y comprender el problema

Se realiza un diagrama que exprese el problema

Se está hablando del área del círculo es decir 2A r


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


47

Los datos dados son: 3 /dr

dm segdt

. Se desea conocer ? si r =8.5dmdA

dt

2 2 , 2 (8.5)(3) =51dA dr dA

Si A r r sustituyendodt dt dt

Por lo tanto el ritmo de cambio del área del lago es de 251 dm / seg

2. A un depósito cilíndrico (de base circular) de 50 dm de radio, le está entrando agua a razón

de 25 . Calcular la velocidad con que varía la altura del agua dentro del cilindro.

Igualmente se comprende el problema y se realiza un dibujo

El volumen del cilindro es 2

baseV A h V r h

Sabiendo que r = 50 dm y 325 /dV

dm segdt

, ?dh

dt

22 50 2500

derivando la fórmula 2500 sustituyendo

1y sustituyendo 25 = 2500

100

baseV A h V r h V h h

dV dh

dt dt

dh dh

dt dt

La altura del agua dentro del cilindro varía a una razón de 1

/100

dm seg

Ejercicios 1) Sean x y y dos funciones derivables relacionadas por la ecuación y = x2 + 5.

Calcular dy para x = 2 sabiendo que dx = 5 dt dt

2) Se deja caer una piedra en un lago en calma provocando ondas y círculos. El radio del círculo exterior crece a un ritmo constante de 1 pie/seg. Cuando el radio es 5 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área de la región circular perturbada?

3) El área de un círculo está cambiando a razón de 12cm2/min. Calcule el ritmo de cambio del radio cuando a) r = 2 cm b) . r = 14 dm

4) Las caras de un plato de metal se dilata con el calor a razón de 0.2cm2/seg, Cuando el diámetro del mismo es 12 cm, cuál es la razón de cambio del radio?


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


48

5) Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un círculo. El radio del círculo crece a razón de 1.8 m/min. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es 45 m.

6) Se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 8.5 pulg3/min. Calcular el ritmo de cambio del radio cuando el radio es 5 pulgadas.

7) Si el volumen de un globo esférico aumenta a razón de 100cm3/seg, con qué rapidez crece el radio si el diámetro es 50 cm.

8) Se inyecta aire a un globo esferico a razón de 20 pies3/min. A que razón varia el radio cuando éste mide 3 pies

9) En un cono invertido, la altura h cambia a razón de -0.5 pies/seg y el radio a razón de -0.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio es r = 1 pie y la altura h = 2 pies

10) En un cono invertido, la altura h cambia a razón de 2.3 pies/seg y el radio a razón de 5.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio es r = 3 pie y la altura h = 6 pies

11) Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido con radio de la base igual a 3m y 6m de altura. Si se le bombea agua con un gasto de 2 m3/min, calcule la velocidad con qué sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 4 metros

12) Una escalera de 12 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 1.5pie/seg, con qué velocidad se desliza el extremo superior por el muro, cuando el extremo inferior está a 7 pies de la pared?

13) Una escalera de 18 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 3pies/seg, con qué velocidad se desliza el extremo superior por el muro, cuando el extremo inferior está a 8.2 pies de la pared?

14) La altura de un triángulo aumenta con una velocidad de 1 cm/min, mientras que su área lo hace a una velocidad de 2 cm2/min. Con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando la altura es 10 cm y el área es 100 cm2

15) Un automóvil a viaja hacia el oeste a 50 millas /hora y otro automovil B viaja hacia el norte a 60 millas/hora. Ambos automóviles van hacia la intersección C de los caminos. A qué velocidad se aproximan los autos entre sí cuando A se encuentra a 0.3 millas y B a 0.4 millas de la intersección.

16) Un corredor que trota a razón constante de 9Km/h pasa por un punto P hacia el norte. Diez minutos más tarde una mujer que trota hacia el este a razón constante de 10 km/h


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


49

pasa por el mismo punto. Cuán rápido varia la distancia entre los corredores veinte minutos después de que la mujer pasa por P? (Recuerde d = v . t)

17) Un corredor que trota a razón constante de 8.3Km/h pasa por un punto M hacia el sur. Veinte minutos más tarde una mujer que trota a razón constante de 9.5 km/h pasa por el mismo punto hacia el oeste . Cuán rápido varia la distancia entre los corredores veinte minutos después de que la mujer pasa por M.

18) Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por un radar situado a 3 millas del sitio de lanzamiento. Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en el que su distancia a la estación de radar es 5 millas y su distancia aumenta a razón de 5000 mill/hora

19) Un hombre de 6 pies de altura camina con una velocidad de 8 pies/seg alejándose de una luz callejera al tope de un poste de 18 pies. Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra sobre el suelo cuando él está a 100pies del poste de luz

20) Una persona camina en línea recta a razón de 4pies/seg. En el piso a 20 pies de distancia del camino (formando ángulo resto con el suelo) hay un faro que se mantiene dirigido hacia el caminante. A qué velocidad gira el faro cuando el sujeto se encuentra a 15 pies del punto del camino más cercano al faro?

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Otra aplicación de la derivada son los problemas de máximos y mínimos. Para resolverlos en forma similar a los problemas anteriores se debe:

1. Leer el problema, tratar de entenderlo y de poderse, realizar un dibujo 2. Identificar los datos que se dan y Anotar los datos que se dan . 3. Escribir una fórmula que relacione los datos anteriores para optimizar basada en los datos

brindados Trabajar con el menor número de variables utilizando los datos brindados 4. Derivar la fórmula anterior, igualarla a cero para encontrar los valores críticos 5. Encontrar la segunda derivada y sustituir los valores críticos para determinar si son máximos o

mínimos con criterio de la segunda derivada. (Recordar que si el resultado es positivo, existe un mínimo y si el resultado es negativo hay un máximo en ese valor crítico). Para encontrar el punto (x,y) se sustituye ese valor encontrado en la función original y ese resultado es el punto (x,y) máximo o mínimo

Ejemplo

1)Se desea encontrar las dimensiones y el costo mínimo de construcción de una caja rectangular

con base cuadrada y sin tapa la cual tiene un volumen de 2.75 de volumen sabiendo que el

costo del metro cuadrado de los lados es de $0.80 y del fondo es de $1.2, además se sabe que el

costo por mano de obra es de $4.


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


50

(paso1) dibujo

X y

X

(paso 2) Sea x la medida del lado del fondo (que es cuadrado)

sea y la medida de la altura de la caja, entonces

2

2

23

= x 2.75x 2.75 y =

=2.75 m

V yy

xV

(paso 3) 2 = (1.20)(x ) (0.80)( )(4) 6C xy entonces sustituyendo “ y ” resulta

2

2

2

2.75( )= (1.20)(x ) (3.20)( ) 6

8.80( )= (1.20)(x ) 6

C x xx

C xx

(paso 4) 3

2 2

8.8 8.8 8.8'( ) 2.4 0 2.4 1.54

2.4C x x x x x

x x ,

así 1.54 es un valor crítico

(paso 5) 3

17.6''( ) 2.4C x

x sustituyendo el valor crítico en la segunda derivada

''(1.54) 0C el costo es mínimo si 1.54x y sustituyendo

2 2

2.75 2.75y = 1.16

(1.54)y

x

Así las dimensiones de la caja que generan un costo mínimo son 1.54x , 1.16y

Entonces el costo mínimo que se pide es 2 8.80= (1.20)(1.54) 6 14.56

1.54C

dólares

2)En una lámina de cartón de dimensiones de 80 cm y 50 cm de lado respectivamente, se desea

recortar en cada esquina un cuadrado de lado x para construir una caja (ver figura) Calcular la

medida del lado x para que el volumen de la caja sea máximo.

Recordar que el volumen de un paralelepípedo de lados x, y, altura z, es V= xyz

3 2

2 2

(80 2 )(50 2 ) = 4x 260 400

10 ´ 12 520 400 0 = 12 520 400

3.33( sec )

V´́ = 24x-520 V´́ (10)<0 el volumen es máximo si la medida de x es 10

V x x x x x

x valor críticoV x x x x

x de har


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


51

3)Una hoja de papel debe tener 18 2cm de texto impreso con márgenes superior e inferior de 2

cm de altura y márgenes laterales de 1.5 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan

la superficie total del papel

x+3

y +4 1.5

Si x, y, son los lados de la superficie del texto impreso, entonces 18

18xy yx

El área a minimizar es ( 3)( 4)A x y sustituyendo

18 54A=( 3)( 4) A 18 4x 12x

x x

2 2

3 3

54 54`(x) 4 0 4 13.5 13.5 =3.68 es punto crítico

108 108``(x) ``(3.68) 0 área es mínima si x = 3.68, y = 4.89

3.68

A x xx x

A A elx

Y las dimensiones que minimizan el área total son 6.68 cm de largo y 8.89 cm de ancho

Ejercicios.

1) Una caja rectangular de fondo cuadrado y con tapa debe tener un volumen de 200 pulgadas cúbicas. El costo del material de la tapa y la base es de $3 por pulg cuadrada , y el costo del material de los lados es de $ 1.5 por pulg cuadrada . Se quiere encontrar el costo del material para que este sea mínimo

2) Una compañía constructora desea realizar una bodega en un terreno rectangular de 600

de área dejando sin construir un metro a cada uno de los lados de la construcción y atrás y 3 metros en el frente para el estacionamiento. Determine las dimensiones de la bodega para que el área de construcción sea máximo

3) Las páginas de un libro tienen 400 de área con márgenes de 2 cm abajo y a los lados

y 3 cm arriba. Encuentre las dimensiones de la página que permitan la mayor área de

impresión.

4) Encontrar dos números positivos cuya suma sea 60 y cuyo producto sea máximo.

5) Encontrar la utilidad máxima U, sabiendo que el ingreso I(x) = - + 500 x y el costo C(x)

= - 40x (recuerde que Utilidad (U) es igual a Ingreso menos Costos (U=I – C)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


52

6) Un terrero rectangular (que puede ser cuadrado) va a ser cercado con alambre y tiene

500 de área. Encontrar las dimensiones del terreno que requieren la menor cantidad

de alambre para cercar y diga los metros necesarios para poner 3 hilos de alambre a la

cerca.

7) Se desea diseñar una lata de un litro de capacidad que tenga la forma de un cilindro circular. Qué dimensiones utilizaran la menor cantidad de materia prima?

8) Se quiere construir una caja sin tapa cortando cuadrados congruentes de las esquinas de

una hoja de lámina de 12 cm de lado. De qué tamaño deben ser los cuadrados que se

corten las esquinas para que la caja tenga el volumen máximo?

9) Un área rectangular de 1600m2 debe cercarse. En dos lados opuestos se usará un

material que cuesta $2 el metro y en los otros dos lados el material que se utiliza cuesta

$4 el metro. Encuentre las dimensiones del rectángulo de manera que los costos sean

mínimos.

10) Un fabricante quiere diseñar una caja rectangular sin tapa que tenga una base cuadrada y

un área superficial de 110 pulgadas cuadradas. Qué dimensiones producirá una caja con

volumen máximo.

11) Se desea fabricar un recipiente en forma de cilindro circular recto para almacenar un

decímetro cúbico de aceite. Determinar las dimensiones que debe tener el cilindro para

que la cantidad de material utilizada en la fabricación sea mínimo

12) Hallar las dimensiones de una ventana que tenga 20 pies de perímetro y área máxima. La

ventana está formada por un semicírculo a una ventana rectangular ordinaria

Cuadro de variación y trazo de gráficas

Otra aplicación de las derivadas es el de trazar la gráfica de una función. Para realizar el cuadro

de variación y el trazo de una función, es necesario definir algunos puntos a utilizar

Definición de asíntota vertical

Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se

dice que la recta x = c en una asíntota vertical de la gráfica de f, es decir si limx c

f x

entonces x=c es asíntota vertical


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


53

Teorema : asíntota vertical

Sean f y g son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si f( c) 0 y g( c ) 0

y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que g (x ) 0 para todo x c del intervalo,

entonces la gráfica de la función está dada por ( )

( )( )

f xh x

g x posee una asíntota vertical en x =c

Definición de asíntota horizontal

La recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x ) si

(

(

Asíntota Oblicua : Dada la función f, se dice que f puede tener asíntota oblicua si

lim x

f x

. La ecuación de la asíntota oblicua es y = mx + b donde lim( )

m x

f x

x y

( )limx

b f x mx

. Lo mismo ocurre si x

Asíntota oblicua en una función racional (sin factores comunes)

Si en una fracción ( )

( )

f x

g x el grado del numerador excede en un grado al grado del denominador,

entonces la gráfica de la función tiene una asíntota oblicua

Definición de números críticos:

Sea f definida en c. Si f’(c) =0 o si f´(x) no está definida en c, se dice que c es un número crítico de

la función f.

Definición de extremos (el máximo y el mínimo son los valores extremos)

Sea f definida en un intervalo I que contiene a c

1) f(c) es el valor mínimo de f en I si f(c) f(x) para todo x IR

2) f(c) es el valor máximo de f en I si f(c) f(x) para todo x IR

Teorema de los valores extremos

Si f es una f continua cerrada en [a,b] entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en

ese intervalo.

Teorema : los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x = c, c es un número crítico en f.

Estrategia para alcanzar extremos relativos en un intervalo cerrado

1. Hallar los números críticos de f en [a,b] 2. Evaluar cada número crítico en f(x) 3. Evaluar a y b en f(x)

El más grande de todos esos valores es el máximo relativo, el más pequeño es el mínimo relativo

Definición de función creciente y función decreciente


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


54

Dada una función f en un intervalo, si para cualquier par de números (x) e (y) del intervalo, se

cumple que x < y entonces:

1. f es creciente si f(x) < f(y) 2. f es decreciente si f(x) > f(y)

Teorema Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b)

1. Si f´(x) > 0 para todo x en (a,b), f es creciente en [a,b] 2. Si f´(x) < 0 para todo x en (a,b), f es decreciente en [a,b] 3. Si f´(x) = 0 para todo x en (a,b), f es constante en [a,b]

Estrategia para encontrar los intervalos donde una función es creciente o decreciente

1. Localizar los números críticos de f en (a,b) 2. Evaluar el signo de f´(x) en cada uno de los intervalos que esos números críticos

determinan sobre la recta real 3. Usar el teorema anterior para decidir si la función crece ó decrece

Criterio de la primera derivada

Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo (a,b) que contiene a c. Si f es

derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces f(c) puede clasificarse así:

1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva f(c) es un mínimo relativo 2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativo f(c) es un máximo relativo

Concavidad de una función:

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I, entonces

1. Si f’’(x) > 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.

2. Si f’’ (x) < 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

Punto de inflexión

Si la concavidad cambia de sentido en una gráfica y hay una recta tangente, se dice que ese es un

punto de inflexión

Teorema puntos de inflexión

Si (c, f( c) ) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, entonces o bien f’’(c ) = 0 o f’’(c )

no está definida en x = c ( no se da la biyección)

Criterio de la segunda derivada

Sea f una función tal que f´´(c ) = 0, cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que

contiene a c

Si f’’( c) > 0 entonces el punto (c,f (c )) es un mínimo relativo

Si f´´( c) < 0 entonces el punto (c,f (c )) es un máximo relativo

Si f´´( c) = 0 entonces este criterio no existe y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada.


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


55

Estrategia para analizar la gráfica de una función

1. Determinar el dominio 2. Hallar las intersecciones con los ejes 3. Hallar las asíntotas 4. Monotonía. Localizar los valores de la variable donde la primera derivada de la función es

cero o no está definidos, estos son puntos críticos. Con estos resultados estudiar crecimiento y decrecimiento de la función. Se pueden ver en este momento los máximos y mínimos aplicando el criterio de la primera derivada

5. Concavidad. Similar al punto anterior, analizar para la segunda derivada de la función, con estos resultados estudiar posibles puntos de inflexión y concavidad.

6. Encontrar máximos y mínimos con criterio de la segunda derivada (evaluar puntos críticos en la segunda derivada), esto si no se hizo en el punto 4)

7. Hacer cuadro de variación que consiste en recopilar la información encontrada 8. Trazar la gráfica de la función con base en los datos recopilados en el cuadro de variación Recordar que: f es par si f(-x) = f(x) entonces es simétrico respecto al eje

f es impar si f(-x) = -f(x) entonces f es simétrico respecto al origen

Ejemplos I 1) Determine, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua), de la

función: 2 1

( )1

x xm x

x

1.1 Asíntota Vertical

1 0 1x x es asíntota vertical

2

1 1

21

1 1

1lim ( ) lim

1lim ( )

1lim ( ) lim

1

x x

x

x x

x xm x

xm x

x xm x

x

1.2 Asíntota Oblicua: La asíntota es 2y x

1.3 Asíntota Horizontal 2

2

1lim

1

1lim

1

x

x

x x

x

x x

x

no existe asíntotas horizontales

2) Encuentre si existen las ecuaciones de las asíntotas en la función 5 3( ) 2 9s x x x

Asíntota Vertical: no existe Asíntota Oblicua: no existe Asíntota Horizontal: no existe porque


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


56

5 3lim ( 2 9)x

x x

y 5 3lim ( 2 9)

xx x

3) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s vertical (si existe) que posea la

función2

2

4 3h( )

9

x xx

x

2

2

3

3

3

4 3 ( 3)( 1) 1h( ) , 3 0 3 es A.V.

9 ( 3)( 3) 3

1lim

1 2 3lim

13 0lim

3

x

x

x

x x x x xx x x

x x x x

x

x x

xx

x

4) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s horizontal (si existe) que posea la

función ( ) 2 1zs z

lim 2 1

lim 2 1 1 1 es asíntota horizontal

z

z

z

z

no existe asíntota horizontal si x

y

5) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s oblicua (si existe) que posea la función

1

( ) xf x x e

1

lim x

xx e

, por lo tanto hay que buscar la ecuación de la asíntota oblicua que es

una línea recta de la forma y = mx+b 1 1 1

1 1

lim lim 1 1 lim 1 0 1 1

lim lim 1 y=x+1 es la ecuación buscada

x x x

x x x

x x

x x

x e e em m

x x x

b x e x e

6) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas que posea la función

3 2

2

2 5h( )

2

x xx

x

(6pts)

Asíntota Vertical: no existe porque 2 2x nunca es cero

Asíntota Horizontal: no existe porque 3 2

2

2 5lim

2x

x x

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


57

Asíntota Oblicua:

3 2

2

2 5

2lim 1x

x x

xmx

3 2

2

2 5lim (1) 2

2x

x xb x

x

por

lo tanto la ecuación de la asíntota oblicua es 2y x

Ejercicios. I Determine en cada función, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua)

2

2

49g( )

9

xx

x

2

2 5( )

( 4)

xr x

x

4 3

3 2

7 9( )

8 4

x xh x

x x

4( ) 7 9 5s x x x

II Considere la función . Encuentre los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo

6 5

( ) 515 20

x xg x x

2

2( )

4 3

xm x

x x

sabiendo que su segunda derivada es

2

3 3

2( 2)( 4 7)''( )

( 1) ( 3)

x x xm x

x x

2

4 12( )

( 2)

xv x

x

sabiendo que su segunda derivada es

4

8( 5)''( )

( 2)

xv x

x

III En cada función determine los intervalos de monotonía (es decir los intervalos en que la función es decreciente y en los que la función es creciente)

2

2

2 3( )

( 1)

x xj x

x

( ) 3ln( )r x x x

3

2

4( )

xf x

x

V Más ejemplos Realice el análisis completo, cuadro de variación y trace la gráfica de la función

3 2( ) 3 3m x x x :

1. Dominio: IR

2.Intersección con los ejes: 0 3 (0,3)

0 ( 0.88,0)(2.53,0)(1.34,0)

x ysi

y

3. Asíntotas: No existen

4. Primera derivada. Valores críticos. Monotonía

2 20

'( ) 3 6 '( ) 0 3 6 02

xf x x x f x x x

x

son valores críticos


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


58

En el intervalo ,0 , '( ) 0f x la función ( )f x es creciente ( en el intervalo

En el intervalo 0,2 , '( ) 0f x la función ( )f x es decreciente ( en el intervalo

En el intervalo 2, , '( ) 0f x la función ( )f x es creciente (

Aquí se nota que en x = 0 hay un máximo relativo

5. Segunda derivada. Posibles puntos de inflexión. Concavidad

''( ) 6 6 ''( ) 0 1 0 1f x x f x x x es posible punto de inflexión

En el intervalo ,0 , ''( ) 0 ( )f x f x la función ( )f x es cóncava hacia abajo en el

intervalo

En el intervalo 0,1 , ''( ) 0f x la función ( )f x es cóncava hacia abajo en el intervalo

En el interval0 1,2 , ''( ) 0 ( )f x f x es cóncava hacia arriba en el intervalo

En el intervalo 2, , ''( ) 0 ( )f x f x es cóncava hacia arriba en el intervalo

6. Máximos y mínimos

Basado en el criterio de la segunda derivada, se evalúa cada valor crítico en la segunda

derivada es decir

si 0 ''(0) 6(0) 6 ''(0) 0x f f en 0x hay un máximo relativo el

cual es (0,3)

si 2 ''(2) 6(2) 6 ''(2) 0x f f en 2x hay un mínimo relativo el

cual es (0, 1)

7. Cuadro de variación

x -0.88 0 1 1.34 2 2.53

f(x) 0 3 1 0 -1 0

f’(x) +

f’’(x)

8. Trazo de la gráfica


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


59

VI. Sea la función 2

4 12( )

( 2)

xg x

x

. Sabiendo que la primera derivada es

3

16 4'( )

( 2)

xg x

x

y

que la segunda derivada es 4

8 40''( )

( 2)

xg x

x

, encuentre.

1) Valores críticos

2) Monotonía (intervalos de crecimiento y de decrecimiento)

3) Posibles puntos de inflexión

4) Concavidad (intervalos donde es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo) (6 puntos)

( )min : 2g xDo io D IR

1) Valor crítico: 3 3

16 4 16 4'( ) 0 0 16 4 4

( 2) ( 2)

x xg x x x es valor crítico

x x

2) Monotonía

g`( ) 0 en ,2 ( ) decrece en el intervalo

g`( ) 0 en 2,4 ( ) crece en el intervalo

g`( ) 0 en 4, ( ) decrece en el intervalo

x g x

x g x

x g x

3) Posibles punto de inflexión

4

8 40''( ) 0 8 40 5 inflexión

( 2)

xg x x x es punto de

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


60

4)Concavidad:

g``( ) 0 en ,2 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo

g``( ) 0 en 2,5 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo

g``( ) 0 en 5, ( ) es cóncava hacia ariba en el intervalo

x g x

x g x

x g x

VII: A continuación se presenta el cuadro resumen (cuadro de variación) de la función 4 3( ) 6 8f x x x , el cual falta de completar. Complete el cuadro y realice gráfico de la función

x 0 2/3 1 4/3

3 2(́ ) 24 24f x x x

2´́ ( ) 72 48f x x x +

4 3( ) 6 8f x x x

Solución

0 2/3 1 4/3

3 2(́ ) 24 24f x x x

2´́ ( ) 72 48f x x x +

4 3( ) 6 8f x x x 0 1.63 -2 0

Trazo de la gráfica


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


61

VIII. Más Ejercicios.

Dadas las funciones, realice en cada caso el análisis completo: dominio, intersecciones con los

ejes, asíntotas, intervalos de monotonía y l valores críticos, máximos y mínimos, posibles puntos

de inflexión ,concavidad, cuadro de variación y trazo de gráficas

1) 2 1

( )1

x xf x

x

, sabiendo que

2

2

2 2'( )

( 1)

x xf x

x

y

3

6''( )

( 1)f x

x

,

2) 2

4 12( )

( 2)

xg x

x

, sabiendo que

3

4(4 )'( )

( 2)

xg x

x

y

4

8( 5)''( )

( 2)

xg x

x

3) 3 2

2 3 4

( 3) 6( ) , '( ) , ''( )

( 1) ( 1) ( 1)

x x x xm x m x m x

x x x

4) 3 2

2 3 4

4 ( 2)( 2 4) 24)( ) , si '( ) ''( )

x x x xf x f x y f x

x x x

5) 3 24 3 4y x x 6)

3 2

2

4( )

x xf x

x

7) 2

( )1

xs x

x

8 )

4 3( ) 4l x x x 9)

Otros ejemplos

IX. Dada la siguiente información realice el cuadro resumen y la grafica de f:

: 4,4fD IR lim 1x

f x

4

lim x

f x

4

lim x

f x

: 3,0 3,0x 9: 0,

16y

0: , 4 ; 4,0f x 0: 4,4f x

0: 0,4 ; 4,f x 0: , 4 ; 4,f x

Solución. Tabla Resumen:

-4 -3 0 3 4

f x + _ _ _ _ +

f x + + + _ _ _

f x

1 0 9

16 0 1


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


62

Ahora se traza la grafica de la función a partir de los datos del resumen.

X. Ejemplos

XI. Dada la siguiente información realice el cuadro resumen y la grafica de f:

: 2fD IR lim 1x

f x

2

lim x

f x

3

: 1,0 0,0 ,02

x

: 0,0y 1

22

f

1 1f

1

0 : ,12

f x

0: , 1 ; 0,2f x

1

0 : , ; 1,2 ; 2,2

f x

0: 1,0 ; 2,f x

-1 1

2

0 1

3

2 2

f x _ + + _ _ _ +

f x _ _ + + _ _ _

f x

1 0 -2 0 1 0 1 Ahora se traza la grafica de la función a partir de los datos del resumen.

1

-1 1 2


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


63

IV Integrales o antiderivadas

Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de la función f en un intervalo I si F’(x)

= f(x) para todo x I

Ccosx)senx(x2

1dxxcos19.

Ccosx)senx(x2

1dxxsen18.Csecxdxtanxsecx9.

a

xarctan

a

1

xa

dx17Ccotxdxxcsc8.

Ca

xarcsec

a

1

axx

dx16.Ctanxdxxsec7.

Ca

xarcsen

xa

dx15Csenxdxcosx6.

Ccotxcscxlndxcscx14.Ccosxsenxdx5.

Ctanxsecxlndxsecx13.Cedxe4.

Csenxlndxcotx12.Clna

adxa3.

Csecxlndxtanx11.Cxlndxx

12.

Ccscxdxcotxcscx10.1,nC1n

xdxx

2

2

22

2

22

2

22

xx

xx

1nn.1

Ejemplos. Resolver

1)

5

1 389 5 6x x x dx

Primero se debe expresar la integral de la suma y resta,

como la suma y resta de las integrales así:

I =

5

1 389 5 6x x x dx

=

1x dx

- 9dx +

5

85x dx

-36x dx


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


64

Se resuelve cada una por separado y luego se da la solución final uniendo los resultados

parciales

1 1ln( )dx dxx x c

x

9 9dx x c

5 5 13

8 8 8405 5

13x dx x dx x c

43 3

62

xx dx c

entonces

I=

5 13 41 38 840 3

9 5 6 ln( ) 913 2

xx x x dx x x x c

2) 2

2

1 4sec ( )x e dx

x x x

3

2 2 222

1 4sec ( ) 4 sec ( )

1 8tan( )

I x e dx x dx x dx x dx edxx x x

I x ex cx x

3)

2 2

2

5 2cos 2

cos

x sen xdx

x

2 22 2

2 2 2

2

2 2

5 2 cos 5 2 15 2cos 2=

cos cos cos

3 1 =3 = 3 sec 3tan

cos cos

x sen xx sen xdx dx dx

x x x

dx dx xdx x Cx x

4)5

csc sec

dxx x

2 2

5 5 = 5 cos

1 1csc sec

cos

sea cos

5 55 cos 5 = 5

2 csc sec 2

dx dx senx xdxx x

x senx

u senx du x dx

u sen xsenx xdx udu C dx C

x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


65

5)7 3

1 8x xdx

x

31

72

7 3

3 3 3 3 41 1

7 7 7 7 72 14

113 41 14

7 714

1 8 1 8

8 8

8

x xdx x x x dx

x

x x x x x dx x x x dx

xx dx x dx x dx

3 41 1

7 7

4 11 4 1115 15

7 7 7 714 14

7 715 4 1114

7 3

81 3 4

1 1 114 7 7

14 7 568 =

15 4 11 15 4 11

14 7 7

1 8 14 7 56

15 4 11

x xC

x x x x x xC C

x x x x xdx C

x

Algunas veces no es posible resolver una integral en forma inmediata o directa, por lo que se debe

recorrer a una sustitución, así si se cumple que ( ( ) (́ )f g x g x dx se debe realizar una sustitución

( ) (́ ) , así ( ( ) (́ ) (u)u g x du g x dx f g x g x dx f du . Para aplicar esto se resolverán

las siguientes integrales

6) 34 2

4

2

1

x x

x

edx

x e

. En forma similar a las anteriores se expresa la integral de sumas o/y

restas como las sumas y/o restas de integrales

3 34 42 2

4 4

2 2

1 1

x xx x

x x

e edx dx dx

x e x e

3

34

4 4

4

22

xx

dx x dxx

Esta integral se resuelve por sustitución así:

3 4 44 1212

duu x du x dx x dx

3

3 44 4 1 1 2 2

2 212 12 ln 2 12ln 2

u xx ux dx du c c

(*)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


66

2

1

x

x

edx

e se resuelve también por sustitución

Recordemos que 2

2 .1 1

x x xx x x

x x

e e ee e e dx dx

e e

sea 1 x xu e du e dx , se ve

que 1 xu e , ( 1)

ln( ) 1 ln(1 )1

x xx x

x

e e u dudx du du u u c e e c

e u u

(**) por lo que finalmente la integral

334 2 4

4

2 2(1 ) ln(1 )

1 12ln 2

x x xx x

x

edx e e c

x e

[de (*) y (**)]

7) 2

3 2

1

xdx

x

2

2 2 2 2

3 2 1 23 3arctan ln 1

1 1 1 1

x xdx dx dx dx x x C

x x x x

(La integral 2

1

1dx

xpor fórmula es arctan x c

y la integral 2

2

1

xdx

xse resuelve por sustitución dando 2ln 1 x C )

8) I =

( ) 1 cos 4 tan(4 )

ln xdx

x x x

Nuevamente se debe dividir la integral de la suma y resta como la suma y resta de las integrales:

( ) 1 ( ) 1 cos 4 tan(4 ) cos 4 tan(4 )

ln x ln xdx dx dx

x x x x x x

La integral ( )ln x

dxx se resuelve por sustitución:

22

, ln( ) ( )

ln( ) ( )

2 2

dxsea u x derivando du

x

xln x udx udu c c

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


67

. La integral

1 1

4cos 4 tan(4 )cos 4

cos 4

dx dxsen xx x

xx

ln cosec(4 cot (4 )cosec

cos 4

cos(4

4 4)

44

x

x sen x

x an xdxdx x dx

nc

se x

Así

( ) 1 cos 4 tan(4 )

ln xdx

x x x

=

2

ln( )

2

x +

ln cosec(4 cot (4 )

4

x an xc

9) 37 4 1x x dx

37 4 4 4 3 3

1 4 1

33 4 4 3 3 3 3

7 4 7 44 43 33 37 43 3

37 4

1 1 1 44

1 11 = 1 = 1

4 4 4

3 1 3 11 3 31

7 44 28 16 28 16

3 3

dux x dx u x u x du x dx x dx

dux x x dx u u u u du u u du

x xu u u uC C x x dx

10) 2

2

4 5

xdx

x x

2

2

2

2 2

2 sea 4 5 2 4 2 2 2

4 5 2

2 1 1 2 12 = = = ln ln 4 54 5 2 2 4 5 2

x dudx u x x du x dx du x dx x dx

x x

dux du x

dx u C dx x x Cx x u u x x

11) sen x

dxx

1 1 sea 2

2

2 2 2cos 2cos

sen xdx u x du dx du dx

x x x

sen xsen u du sen u du u C dx x C

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


68

12) 2

3 2

2

3 1

x xdx

x x

3 22

3 2 2 2 2

23 2

3 2

3 1 2

3 1 3 6 3 2 2

3

1 1 1 2 13 ln ln 3 13 3 3 1 3

u x xx x

dx dux x du x x dx du x x dx x x dx

du

x xdu u C dx x x C

u u x x

13) 1

1

zdz

z

1 11 2 1 1

1

2 2 1 1 2 ln 1 2ln 1

1

uz udz u z u z du dz du du

z u u

u zdu du u u C dz z z C

u u u z

14) 3

2

3 2 3

1

p pdp

p

3 2 2 3

3 2 2 2

22

2 2

3 0 2 3 0 1 3 2 3 3 3

3 0 3 1 13

3

3 3 13 ln 1 3arctan

1 1 2 2

p p p p p p p pdp p dp

p p p p pp

p

p pp dp p p C

p p

15) 3 24 10 6 13

2 5

k k kdk

k

3 2

23 2

3 2 32

4 10 6 13 2 5

2 34 10

6 13

6 15

2

4 10 6 13 2 22 3 3 ln 2 5

2 5 2 5 3

k k k k

kk k

k

k

k k k kdk k dk k k C

k k


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


69

Ejercicios. Resuelva cada una de las siguientes integrales

1. (5 ( ) 5 8 )sen x x dx

2. 3(5cos 4 )x x dx

3. dxee xx

32

4. 7

34 (2 5)x x x dx

5. dxx

x )1

11(

2

2

6. 2

95ln( )

3 ( )x

x x sen x dxx

7. 2 7 2x ee e x dx

8. 2

2 9x x dx

9. (5 3)log(2) 3cos(2 ) xx e dx

10.

3

4

2

3 x xdx

x

11.

(ln )cos(ln )sen x xdx

x

12. 8

4 5

2 5

1 4

x

x

e xdx

e x x

13. dxx

e x

14

14

14. dx

x 6 x

7 -

15.

2 - 9x + 3

2x - 9

xdx

16. 2

2

ln(1 )

( 1)

x xdx

x

17. cos

tan sec1

xx x dx

senx

18. 2

1 4

2 3

xdx

x x

19. 2

1 2 4

4 3

x xe dx

x xx

20. 4

5

8 1

ln1

xdx

x xx

21. dxe

ex

x

2

2

91

22. 2 3 4

95 8

kdk

k k

23. (2 ) cos(2 ) 9sen x x x dx

24. 4 4x xe e dx

25.6( 1)cos ( 1)sen z z dz

26. 23 43

tan( ) ( 4)5

z z z dz

27.22 4

75

xx dx

x

28. sec tan cs tanx x cx x dx

29. 2

ln(2 )1

x

x

ee dx

e

30.

( )22 cos( )

3

sen xxx dx

x

31. 2

[3 5 2 2 ] x tan x dx

32. cos

2

1[

9

se sen ss d

s


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


70

33.∫( √ + 7) dx

34. 3

3 5 2

2 15 1 5

5 1

u udu

u u u

35.

2 1 log

2 1

p pedp

pp

36. 2 4

u

u

edu

e

37. 2

4 6

3 7

xdx

x x

38.

94 23 3 4x x dx

39.ln 4(5 cos )senx x e dx

40. ln

2

2tan

41 4

xedx

xx

41. tan(3 )sec(3 )x x dx

42.3

tan 2 9 5

6

3sec 9

1 3

xx

xe x dx

43.3

tan 2

6

2csc 2

1

xco x

x

ee x dx

e

44.2

ln 2

2

2 3 2 1

1

x x xe dx

x x

45. 2

3

4log (18) tan( )

x

x x dxx

46.(3 ) 1

tan(3 ) (3 ) tan(3 )

sen sds

s sen s s

47.1 1

1 csc5 tan 5cos

tan

drr r

rr

48.3 2

2 cos3 2

xe senxdx

xx

49. 4

5 202 3 ( 9)

k kdk

k k

50. 1

tan(5 )4

ss ds

s

51. 4 3

3

5 2 4 5

3 2 3

r rdr

r r x

52. 2 4 5 7

2 1

m mdm

m m

53. 3

2

22 sec (2 )

5

y y ydy

y

54.22 3 4 cos(4 )

(4 )3 2

z z

z

zdz

senz

55. 2

7 9 2 3

3 4 3 5

a ada

a a a

56. 2 4

5 2

2 ( 3) 5

mdm

m m


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


71

57. 2

24sec ln

1

x

x

ex e dx

e

58.2

3 2 2

3 4 5 1 1

2 5 ln(3) 2

x xdx

x x x x x

Respuesta a algunos de los ejercicios anteriores

21)R : 5cos(x) 5 4x x c

42)R:5sen(x)-x +c

2

13)R: +3e +c

2

x

xe

5 24 34 8 729

4) R:4 4- -9x + 54 - +c5 2

x xx

3

5)R: + x +arctan(x) + c 3

x

103 295

9 ln ( )6) R: 5x + - -cos(x) + c

10 2

x x

3

22 2

7) R: e x+ 7e -2 x + +c 3

x e x

7 532 22

8 728) R: - +54x + c

7 5

x x

5 33 (2 )

9) R: 2x - + + c2 5

xsen x e

2sen (ln(x)) 11) R: + c

2

94

4 5ln 1 2512) R: 2ln 4

4 4 9

xx ee x

x c

4 1

13) R: 2

xec

1314) R: x -

6c

x

215) R: ln/x -9x+3/ + c

2 2ln (1 )16) R: + c

4

x

17) R: -ln/1-sen(x)/ + sec(x) + c

Integración por partes

Algunas integrales contienen un producto y/ cociente y en numerosas ocasiones es posible

resolverlas utilizando este método. El método de partes se basa en la derivada de un producto, así

´

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´uv u v v u uv dx u vdx uv dx uv u vdx uv dx uv dx uv u vdx

Para escoger quien será la función “u” en la integral se puede utilizar la letra “LIATE” en ese orden:

L= Logaritmica, I=inversas, A = algebraica, T = trigonométrica, E = exponencial. Ejemplos


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


72

1) ( )

u =x du=dx, dv= ( ) cos( )

( )

( ) x cos( ) cos( ) x cos( ) ( )

xsen x dx

sea sen x dx v x

xsen x dx uv vdu

xsen x dx x x dx x sen x C

2)

u =x du=dx, dv =e dv e =e

x

x x x

x

x x x x x

xe dx

sea dx v

xe dx uv vdu

xe dx xe e dx xe e C

3) 4ln(5 ) 4 ln(5 )

dx u =ln(5 ) du= , dv=

ln(5 )

dx4 ln(5 ) 4 xln(5 ) 4xln(5 ) 4

x dx x dx

sea x dx v xx

x dx uv vdu

x dx x x x x Cx

2

2

2

2

2

4) ( )

dx u =arcsen(x) du= , dv =dx dv =

1

( )

dx( ) arcsen(x)

1

dx se resuelve por sustitución

1

u =1-x du=-2xdx2

dx 1

21

arcsen x dx

sea dx v xx

arcsen x dx uv vdu

arcsen x dx x xx

xx

dusea xdx

dux

ux

1 1

22 2

2

1 12 1-x

2 2

( ) arcsen(x)+ 1-x

u du u C C

arcsen x dx x C


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


73

2 3

32 3 3

2 3

3 3 2 32 3 2 3

3

33 3

3

3

5)

e u =x du=2xdx, dv =e dv e =

3

e e e 2 2 e

3 3 3 3

e

e u =x du=dx, dv =e dv e =

3

x

xx x

x

x x xx x

x

xx x

x

x

x e dx

sea dx dx v

x e dx uv vdu

xx e dx x xdx x dx

Para x dx

sea dx v

xe dx uv vdu

xe

3 3

3 3

2 3 32 3 3

e e

3 9

e 2 e

3 3 9

x xx x

x xx x

dx xe dx xe C

xx e dx xe C

76) 7

u =x du=dx, dv =e dv e =-e

7

x

x

x x x

x

x x x x x

xdx xe dx

e

sea dx dx v

xe dx uv vdu

xe dx xe e dx xe e C

Ejercicios

3

2

2

1) 2 2) ( )

3) cos( ) 4) arccos( )

5) ln( ) 6) ln ( )

7) 8)( )

xxe dx arcsen x dx

x x dx x x dx

x x dx x dx

xdx

sen x

4

2

(3 5)

ln( )9) 10) 3 (3 )

xx e dx

xdx xsen x dx

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


74

ANEXOS

Áreas de algunas figuras geométricas

Volúmen y áreas de algunas figuras geométricas

Larson, Ron. Hoestetler, Robert. Edwards, Bruce. Cálculo. Octava edición. Mc.Graw-Hill Interamericana


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


75

RECOPILACIÓN DE EXÁMENES


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


76

I cuatrimestre 2013 Cálculo I sábado 09 de febrero del 2013 Primer Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .

1. Dada la función h(x), determine

(f)2

lim ( )x

h x

(6 puntos)

2. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).

a) 1

log( 1)lim

1z

z

z

(4 puntos)

b) 3

32

7 22lim

6 2 4x

x x

x x

(6 puntos)

c) 3 6

1 23lim x

xx

(7 puntos)

d)

3 3 27 25 1lim

2n

n n n

n

(7 puntos)

3. Sea g x una función continua definida por:

( 1) 3

ln( ) 1 1

( ) 3( ) 1 0

1 10

x

x six

g x e x x si x

xsix

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


77

II cuatrimestre 2013 cálculo I sábado 08 de junio del 2013

Primer Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos

1) Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).

2.1)

3

0

3 2 5lim

log( 1)x

x x

x

(4 ptos)

2.2)

2

2

2lim

3 7x

x x

x

(7 ptos)

2.3)

2 2

2

2lim

2 2x a

a ax x

xa x a x

(7 ptos)

2.4)

2 23 4 3 7lim

5x

x x x

x

(6 ptos)

2) Considere la función s(x) definida por:

2 3 1( )

2 4 1

k x si xs x

kx si x

Determine para que valores de k ( k IR), la función dada es continua en x=1 (10 puntos)

3) Dada la función f(x), determine los límites (6 puntos)

25

1 4

1) lim ( ) 2) lim ( ) 3) lim ( )

4) lim ( ) 5) lim ( )

x xx

x x

f x f x f x

f x f x

6) lim ( )

xf x

Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales (10 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


78

II cuatrimestre Cálculo I sábado 06 de julio 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 42pts Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .

Indicaciones generales:

1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, 2. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 3. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las

relativas a la redacción de los enunciados. 4. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. 5. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron

obtener la respuesta en cada ejercicio. 6. No se permite el uso de calculadora programable. 7. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.

I Parte. Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones.

1.

35 4 6 log( )

cot( )

x

x

x xy x x

e x

(8 pts)

2. 4 4( ) ct (5 2ln ) tan ( )xm x ar an x x xe (9 pts)

3. 2( 3 ) cos(4 ) 5xe y sen x y y (9 pts)

II Parte. Encuentre la segunda derivada de la función 3( ) (5 8)s z sen z (8 pts)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


79

III Parte. Considere la función 5 ( 1)4 xy x e .

Calcule la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa 1

(5 pts)

Calcule la ecuación de la línea recta normal a la curva dada en el punto cuya abscisa (3 pts)

III cuatrimestre 2013 Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N Puntaje: 40pts.

Sábado 05 de octubre del 2013 Primer Examen Parcial Tiempo máximo: 2 horas y 15´


8. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada,

9. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector

pierde el derecho a reclamos.

10. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a

la redacción de los enunciados.

11. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba.

12. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron obtener la

respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.

13. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.

I Parte. Dada la función f(x), determine los siguiente límites (vale 6 puntos)

1)

0limx

f x 2)

3

limx

f x 3) lim

xf x

4)

2limx

f x 5)

2

limx

f x 6) 5

lim ( )x

f x

II Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


80

1) 2

0

(3 1)lim

4 ln(2 1)

a

a

a e

a a

(4 puntos)

2) 3 2

32

2 6 24 8lim

8x

x x x

x

(6 puntos)

3) 44 3 2 1 1

lim2 1x

x x

x

(7 puntos)

4) 23

12 3lim

1 7x

x

x x

(9 puntos)

III Parte Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales. Es g(x) una

función continua en x=-2 y x = 3? (8 puntos)

2

5 si x -2

( ) 4ax+b si -2< x < 3

7x si x 3

x

g x

I cuatrimestre 2013 Segundo Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos Cálculo I sábado 09 de marzo del 2013

I Parte Considere cada función y encuentre la derivada y´

1) 3

3

4

15 ( ) 3 ln( )xy arcsen x x x

x

2) 4sec( ) 3

ln( 2 )5e

x xy x

x

3) 2 3cos( ) ln 5xy e x

4) 3 454arctan(5 2) ( 4 )x xy x sen x e

5) 2 5 7 34 2 3 3 cos(2 )x y x y x y

6) Considere la curva definida por f(x) = xsen(x) + 5x

6.1) Determinar la ecuación de la línea recta tangente a f(x) en el punto cuya abscisa es0 6.2) Determinar la ecuación de la línea recta normal a f(x) en el punto cuya abscisa es0


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


81

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 02 de noviembre del 2013 Segundo Examen Parcial Puntaje: 45pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´


14. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, 15. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con

lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 16. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios,

sólo las relativas a la redacción de los enunciados. 17. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. 18. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le

permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.


I Parte.

Considere cada expresión y encuentre la primera derivada

1) 52( ) log ( 1) 2 csc 2 ( )x e xm x e x x ex e sen ex (9 ptos)

2) 37 ln(arctan(5 ))tan ln 4 2 +9 ry r (9 ptos)

3)

2 4 5( ) arc 3 )v

f v v e sen v v

(9 ptos)

II Parte.

Verifique que si 2

5

3y

x

entonces la segunda derivada

2

32

30( 1)´́

3

xy

x

(9 ptos)

III Parte

Determine las ecuaciones de las líneas rectas tangente a la curva 2 23 5x xy y en el

punto donde la ordenada es 1. (9 ptos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


82

Cálculo I I cuatrimestre 2013 Tercer Parcial Sábado 6 de abril

Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2:15 hrs.


1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.

2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados.

3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.

4. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. Por lo tanto NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas.

I Parte. Determine, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua), de la

función 2 1

( )1

x xm x

x

(necesita realizar todos los cálculo) (vale 5 puntos)

II Parte. Aplique la regla de L’Hopital para calcular cada límite (no olvide indicar la

indeterminación en cada caso)

1) 2

0

ln(1 ) 1lim

x

x

e x

x

(5 puntos)

2) 0

1 2lim

1 cos( )x x x

(6 puntos)

3)

2

1lim (2 1)x x

x

(7 puntos)

III Parte. Realice el análisis completo, cuadro de variación y trace la gráfica de la función3 2( ) 3 3f x x x (17 puntos)

Cálculo I sábado 27 de julio 2013 II cuatrimestre Tercer Examen Parcial Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .


Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


83

Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.

Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.

I Parte Considere la función 3

2

2 3 5( )

6

x xs x

x

. Encuentre todas las asíntotas de la

función ( )s x , si las posee, realizando todos los cálculos necesarios. (6 pts)

II Parte. Resuelva utilizando L’Hópital cada uno de los siguientes límites. No

olvide establecer la indefinición

1. 2 2

20lim

cos ( )

x x

x

e e

x x

(6 pts)

2. 0

1 1lim

ln( 1)x x x

(9 pts)

3.

1

3

3lim

3

x

x

x

(7 pts)

III Parte. Sea la función 4 3( ) 4g x x x . Establezca los posibles puntos de

inflexión y los intervalos, si existen, en los cuales la función ( )g x es cóncava

hacia arriba y los intervalos, si existen, donde ( )g x es cóncava hacia abajo (7 pts)

Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Sábado 23 de noviembre de 2013

Tercer Examen Parcial puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´


I Parte. Resuelva utilizando L’Hopital cada uno de los siguientes límites. No olvide

establecer la indefinición


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


84

1.

2 4

20

cos(3 )lim

2 ( )

x

x

e x

x sen x

(8 puntos)

2. 0

1 1lim

ln( 1)x x x

(8 puntos)

3. 1

ln( )lim 1 x

xx

(8 puntos)

II Parte

Considere la función 2

2

( 5) 1( )

2

x xs x

x x

. Encuentre las ecuaciones de todas las

asíntotas de la función ( )s x , realizando todos los cálculos necesarios. (8 puntos)

III Parte. Resuelva el siguiente problema.

Un recipiente de base rectangular para almacenamiento y con la parte superior abierta,

debe tener un volumen de 16 . En su base, el largo es el doble del ancho. Encuentre

las dimensiones (largo, ancho, alto) que minimizan el área.Recuerde: V l a h ; A=

+ (8 puntos

Cálculo I , I cuatrimestre 2013, IV examen parcial Puntaje: 40 pts





4. En el cuaderno de examen, único medio en el cual se realiza el examen, deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio.

5. NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas o de integrales

I Parte. Resuelva el siguiente problema

Encontrar la Utilidad máxima U, sabiendo que el Ingreso I es 2 500x y el costo C es 2 40x x .

Recuerde que U = I – C (8 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


85

II Parte. Resuelva cada integral.

1)

2

212 4 tan( )x xe x dx

x

(8 puntos)

2) 2(ln( )) 1

dx 1

sen x x

x x

(8 puntos)

3) 3 2 4 2x x x x dx (8 puntos)

4) 2 1 cosxxe x senx dx (8 puntos)

Cálculo I sábado 24 de agosto 2013 II cuatrimestre Cuarto Examen Parcial Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´


Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.

Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.

I Parte Resuelva el siguiente problema de optimización. Vale 8 puntos

En una lámina de cartón de dimensiones de 60 cm y 50 cm de lado respectivamente, se

desea recortar en cada esquina un cuadrado de lado x para construir una caja (ver figura)

Calcular la medida del lado x para que el volumen de la caja sea máximo.

Recordar que el volumen de un paralelepípedo de lados x, y, altura z, es xyz


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


86

II Parte Resuelva cada una de las siguiente integrales

1) 2

2

1 4sec ( )x e dx

x x x

Vale 8 puntos

2)

44 4

2tan( )

1

xx x

x

ee e dx

e

Vale 8 puntos

3) 3 2 4

3 4

xx x dx

x

Vale 8 puntos

III Parte. Considere los siguientes datos respecto a la función g(x), realice completo el

cuadro de variación y dibuje la gráfica de la función g(x) Vale 8 puntos

( ) : 1g xD IR ; (1) 3; g(5)= -3; g(7)= -1;g lim ( ) 0x

g x

; 1

lim ( )x

g x

Intersección con eje x: 0.5,0 y 3,0 Intersección con eje y: 0,2

intervalo g(x) g´(x) g´´(x)

, 1

1,1

1,3

3,5

5,7

7,


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


87

Cálculo I III cuatrimestre 2012 IV parcial Puntaje: 50 pts

Tiempo máximo: 2 ½ hrs. Nombre……………………………..……. Carné……. Grupo





4. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. Por lo tanto NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas.

1) Resuelva el siguiente problema. Vale 10 puntos

Contiguo a una larga pared recta de cemento se desea cercar un terreno

rectangular, dividiéndolo en tres partes con dos cercas paralelas al lado menor

como se muestra en la figura. Se desea aprovechar la pared de cemento que ya

existe como uno de los lados. Para cercarlo se cuenta con 800 metros de valla

metálica. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea

la mayor posible?

2) Resuelva cada uno de las siguientes integrales (Vale 10 pts c/u) 2.1) ∫ ( (

2.2 ∫ ( ( -

] dx

2.3 ∫( √ + 7) dx

2.4 ∫ ( ( ( ( ]dx


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


88

EXÁMENES RESUELTOS


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


89

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 08 de enero del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 36 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´

SOLUCION I Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).

1) 50

log( 1) 2 cos( )lim

1 1

r

r

r r

r

(3 ptos)

0

5 50

log( 1) 2 cos( ) log(0 1) 2 cos(0) 0 1 1 2lim

1 1 01 1 0 1 1

r

r

r r

r

2)

2 2

2 2

2limx a

x ax a

a x

(5 ptos)

2 2 2

2 2

2 ( ) ( )lim lim lim 0

( ) ( )x a x a x a

x ax a x a x a

a x x a x a x a

3) 20

3 2 3lim

2x

x x

x x

(7 ptos )

2 20 0

2 2

2 20 0

0 0

3 2 3 3 2 3 3 2 3lim lim

2 2 3 2 3

3 2 3 3 2 3lim lim

2 3 2 3 2 3 2 3

3 3 3lim lim

2 3(2 1) 3 2 3 (2 1) 3 2 3

x x

x x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x x

4)

5 5

2

32 15lim

3 16 3x

x x

x x

(7 ptos)

5 5 55 54 55 5 4 5

222 2

1 15 1 152 232 15 2 1

lim lim lim4 2333 16 3

3 43 4x x x

x xx xx x x x

x xxx

xx

II Parte Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales y determine si

g(x) una función continua (8 ptos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


90

2 ( 1)

1 log( ) si x -1

( ) 4( ) +5 si -1 0

1 1 si x > 0

x

x

g x x x x

x

x

2 ( 1)

1

1 1

1

1

x = -1

a) g(-1)=1+log(1)=1

lim 4( ) +5 1b) lim ( ) lim ( ) 1

lim 1 log( ) 1

) g(-1) lim ( )

1= 1 por lo tanto g(x) es continua

x

x

x x

x

x

si

x xg x g x

x

c g x

en x= -1

2 (0 1)

0 0 0

0 0

2 ( 1)

0

x = 0

a) g(0)=4(0 0 ) +5 =0+5=5

1 1 1 1 1 1 1lim lim lim

21 1 1 1b) lim ( ) lim ( )

lim 4( ) +5 5

por lo tanto g(

x x x

x x

x

x

x x x x

x x x x xg x no existe g x

x x

x) es discontinua en x= 0

III. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6 ptos)

2

1. lim 2 4. lim ( ) no existex x

f x f x

30

2. lim 2 5. lim ( ) 0xx

f x f x

0

3. lim 0 6. lim ( ) 0.5xx

f x f x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


91

Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tercer Examen Parcial

Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos

Solución I Parte. Desarrolle por L`Hopital cada uno de los siguientes límites:

1. 0

1 cos( ) 3xlim

cos( ) ( )x

x

x x sen x

(5pts)

0 0

1 cos( ) 3x 0 sen( ) 3 3lim ( ` ) lim

cos( ) ( ) 0 cos( ) xsen(x) cos( ) 2x x

x xL H

x x sen x x x

2. 2

3lim 9 ln( 3)x

x x

(7pts)

2 2

3 3 3

2

2 22 2

3 3 3 3

22

ln( 3)lim 9 ln( 3) 0( ) lim 9 ln( 3) lim ( ` )

1

9

19 ( 3)(x 3) ( 3)(x 3)3lim lim lim lim 0

2 2 ( 3) 2 ( 3) 2

9

x x x

x x x x

xx x x x L H

x

x x xxx x x x x x

x

3. 1

2 4

2lim 1 x

xx

(8pts)

1 1

2 4 2 4

2 2 2

2 2

1 12 2 4

2 2 2

1lim 1 1 lim 1 ln lim ln 1 (0)

2 4

ln 11 0lim ln 1 lim `

2 4 2 4 0

1

1 1 11lim lim ln lim 12 2( 1) 2 2

x x

x x x

x x

x

x x x

x y x y xx

xx L H

x x

x y y e x ex

II Parte. 4ª. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s vertical (si existe) que

posea la función

2

2

4 3h( )

9

x xx

x

(3pts)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


92

2

2

3

3

3

4 3 ( 3)( 1) 1h( ) , 3 0 3 es A.V.

9 ( 3)( 3) 3

1lim

1 2 3lim

13 0lim

3

x

x

x

x x x x xx x x

x x x x

x

x x

xx

x

4b. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s horizontal (si existe) que

posea la función ( ) 2 1zs z (3pts)

lim 2 1

lim 2 1 1 1 es asíntota horizontal

z

z

z

zy

4c. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s oblicua (si existe) que posea la

función

1

( ) xf x x e

(4pts)

1

lim x

xx e

, por lo tanto hay que buscar la ecuación de la asíntota oblicua

que es una línea recta de la forma y = mx+b 1 1 1

1 1

lim lim 1 1 lim 1 0 1 1

lim lim 1 y=x+1 es la ecuación buscada

x x x

x x x

x x

x x

x e e em m

x x x

b x e x e

III Parte. Resuelva el siguiente problema

Una hoja de papel debe tener 182cm de texto impreso con márgenes superior e inferior

de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1.5 cm de anchura. Obtener las dimensiones

que minimizan la superficie total del papel (10pts)

x+3

y +4 1.5

Si x, y, son los lados de la superficie del texto impreso, entonces 18

18xy yx

El área a minimizar es ( 3)( 4)A x y


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


93

sustituyendo 18 54

A=( 3)( 4) A 18 4x 12xx x

2 2

3 3

54 54`(x) 4 0 4 13.5 13.5 =3.68 es punto crítico

108 108``(x) ``(3.68) 0 área es mínima si x = 3.68, y = 4.89

3.68

A x xx x

A A elx

Y las dimensiones que minimizan el área total son 6.68 cm de largo y 8.89 cm de ancho

Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Cuarto Examen Parcial Puntaje: 35 Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos

SOLUCIÓN

I Parte. Sea la función 2

4 12( )

( 2)

xg x

x

. Sabiendo que la primera derivada es

3

16 4'( )

( 2)

xg x

x

y que la segunda derivada es

4

8 40''( )

( 2)

xg x

x

, encuentre.

5) Valores críticos

6) Monotonía (intervalos de crecimiento y de decrecimiento)

7) Posibles puntos de inflexión

8) Concavidad (intervalos donde es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo) (6 puntos)

( )min : 2g xDo io D IR

4) Valor crítico: 3 3

16 4 16 4'( ) 0 0 16 4 4

( 2) ( 2)

x xg x x x es valor crítico

x x

5) Monotonía

g`( ) 0 en ,2 ( ) decrece en el intervalo

g`( ) 0 en 2,4 ( ) crece en el intervalo

g`( ) 0 en 4, ( ) decrece en el intervalo

x g x

x g x

x g x

6) Posibles punto de inflexión

4

8 40''( ) 0 8 40 5 inflexión

( 2)

xg x x x es punto de

x

7) Concavidad:

g``( ) 0 en ,2 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo

g``( ) 0 en 2,5 ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo

g``( ) 0 en 5, ( ) es cóncava hacia ariba en el intervalo

x g x

x g x

x g x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


94

II Parte. A continuación se presenta el cuadro resumen (cuadro de variación) de la función

4 3( ) 6 8f x x x , que interseca al eje x en el punto 4

,03

. Complete el cuadro y realice

gráfico de la función (8 puntos)

x 0 2/3 1 4/3

3 2(́ ) 24 24f x x x

2´́ ( ) 72 48f x x x +

4 3( ) 6 8f x x x 0 1.63 -2 0

Gráfico. (8 puntos)

III Parte. Resuelva cada una de las siguientes integrales

1) 35 4 6z z z

dzz

(5 puntos)

1

3 35 5

4 1 325 5

4 6 4 6

4 5 4 ln/ /3

z z z z z zdz dz dz dz dz

z z z z z

dz zz dz z dz dz z z z c

z

2) (ln( ))

log(7)sen r

drr

(4 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


95

(ln( )) (ln( ))log(7) log(7)

(ln( ))

(ln( )) u=ln(r) du= ( ) cos( ) cos(ln( ))

(ln( ))log(7) cos(ln( )) log( )

7

sen r sen rdr dr dr

r r

sen rPara dr

r

dr sen rsea dr sen u du u c r c

r r

sen rdr r r c

r

3) 4( )cos( )sen x x dx (5 puntos)

5 54 4

u=sen(x) du=cos(x) dx

sen (x)( )cos( )

5 5

sea

usen x x dx u du c c

4) 3 42 4

x

x

ex x dx

e

(7 puntos)

3 3

1

21 1

2 21

2

3 11 1 2 22 2

4 42 4 2 4

, u=2 4 442 4

2 41 1 1

4 4 2 22 4

1 1 2 (22 4

4 4 3 1

x x

x x

xx x x

x

xx

x

e ex x dx dx x x dx

e e

e duPara dx sea e du e dx e dx

e

ee dudx u du u C C

e u

u uu du u du C

3

12

2

3

7 4 74 1 43 3 3

3 3 3 3 3

4 )2 4

6

4 sea u=x-4 du=dx, también u+4=x

3 12 3( 4)4 ( 4) 4 3( 4)

7 4 7

xxe

e C

Para x x dx

u u xx x dx u u du u u du C x C


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


96

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 21 de junio del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 40 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .

SOLUCIÓN

I Parte. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6ptos)

2 1

03

1) lim ( ) : no 3) lim ( ) 2 5) lim ( ) 4

2) lim ( ) = + 4) lim ( ) 1 6) lim ( ) 0

x xx

x xx

f x f x f x

f x f x f x

II Parte Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).

1)

2

0

(3 1) 4lim

4 ln(2 1) 0

r

r

r e

r r

(3 puntos)

2)

3 2 2

1 1 1

1 0 ( 1)( 1) ( 1) 3lim lim lim

0 ( 1)( ) ( )x x x

x x x x x x

ax bx a b x a b a b a b

(5 puntos)

3)

2 2

23

2 6 2 6 0lim

4 3 0x

x x x x

x x

(6 puntos)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 23 3

2 22 2

2 2

3 32 2 2 2 2

2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6lim lim

4 3 4 3 2 6 2 6

2 6 2 6 2 6 2 6lim lim

( 4 3) 2 6 2 6 ( 3)( 1) 2 6 2

x x

x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

3 32 2 2 2

6

4( 3) 4 4 1lim lim

2(6) 3( 3)( 1) 2 6 2 6 ( 1) 2 6 2 6x x

x

x x x x x x x x x x x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


97

4)

33 3

3 33 3

22

2 2

7 71 1 1 1

7 1lim lim lim 1

7 77 21 2 1 2

x x x

x xx xx

x xx x x x

x x

(6 puntos)

III Parte. Considere la función g(z) definida a continuación. Analice la continuidad de la

función en el conjunto de los números reales. Justifique su respuesta (5 puntos)

si x > 1

(x) 4 si x = 1

1 si x > 1

xe

g

x e

3

3 3

3

3

1) g(1)=4

lim( 1 )

2) lim ( ) lim ( )lim

3) g(1) ? lim ( )

4 e (x) no es continua en x = 1

x

xx x

x

x

x e e

g x g x ee e

g x

g

IV. Encuentre la primera derivada de las siguientes expresiones

1) y= (3 ) arctan(z)ze ez ( 4 ptos)

2

1´ (3 ) arctan(z) ´ (3 ) arctan(z) (3 )

1

z z zy e ez y e e e ezz

2) 7 4 5

2ln( ) 3cos( )

x xy

x x

( 5 ptos)

2

27 ln(7) 4 2ln( ) 3cos( ) 3 ( ) 7 4 5

´2ln( ) 3cos( )

x xx x sen x xx

yx x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


98

Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Segundo Examen Parcial Puntaje: 50 pts

Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos

Solución I Parte. Encuentre la primera derivada cada una de las siguientes ecuaciones

1. 3( ) ln tan(ln( )) 6wm w w w e (7pts)

2 2 3

3

1 1(́ ) 3 tan(ln( )) sec (ln( )) 0

tan(ln( ))

w

wm w w w w w e

w w e w

2. 73 cos(2 ) 2

arccos4 5 3x

x ey

x e

(8pts)

1

77

6

7

2

3 cos(2 ) 2 3 cos(2 ) 2arccos arccos

4 5 3 4 5 3

2 (2 ) 4 5 4 ln(4) 5 3 cos(2 )1 3 cos(2 )´ 0

7 4 5 4 5

x x

x x

x x

x e x ey

x e x e

sen x e x x ex ey

x x

3. 32 4 (2 3 )xye x sen x y x (8pts)

2

2

2

y ´ 2 2cos(2 3 ) 3 ´cos(2 3 ) 3

´ 3 ´cos(2 3 ) y 2 2cos(2 3 ) 3

y 2 2cos(2 3 ) 3´

3cos(2 3 )

xy xy

xy xy

xy

xy

e e y x x y y x y x

e y x y x y e x y x

e x y xy

e x x y

II Parte

Considere la función 2 2 2 3 0x y x y . Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangente y

de la línea recta normal a la función en los puntos donde la ordenada es 1 y la abscisa es

positiva (7 pts)

2 2 21 (1,1)

y=1 (1) 2 3(1) 0 2 3 03 ( 3,1)

x Psi x x x x

x P

Se considera entonces (1,1)P

2

2

2 2´ 4 3 4 3

2 3

xyy m b y x

x y

es la ecuación de la línea recta tangente

Si 1 5 1 5

44 4 4 4

m m b y x

es la ecuación de la línea recta normal


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


99

III Parte. Por L´Hopital resuelva cada uno de los siguientes límites

1. 0

1 1limx senx x

(7 pts)

0 0 0

0 0

1 1 1 1 ( ) 0lim lim lim

( ) 0

1 cos( ) 0 sen( ) 0´ lim ´ lim 0

( ) xcos(x) 0 cos( ) cos(x) xsen(x) 2 0

x x x

x x

x sen x

senx x senx x xsen x

x xL H L H

sen x x

2.

3

4 ln( )

0lim

x

xx

(7 pts)

3 3

4 ln( ) 4 ln( )0

0 0 0 0

3

4 ln( )3 3

0 0

3 3ln( )lim 0 lim ln lim ln( ) lim

4 ln( ) 4 ln( )

3

´ lim 3 ln 3 lim1

x x

x x x x

x

x x

xx y x y x

x x

xL H y y e x e

x

IV Parte. Resuelva el siguiente problema (6 pts)

A un depósito cilíndrico (de base circular) de 50 dm de radio, le está entrando agua a razón de

25 . Calcular la velocidad con que varía la altura del agua dentro del cilindro.

(Recordar que baseV A h )

2

baseV A h V r h

Sabiendo que r = 50 dm y 325 /dV

dm segdt

, ?dh

dt

22 50 2500

2500 sustituyendo

1 25 = 2500

100

baseV A h V r h V h h

dV dh

dt dt

dh dh

dt dt

La altura del agua dentro del cilindro varía a una razón de 1

/100

dm seg


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


100

Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tercer Examen Parcial Puntaje: 35 pts

Tiempo máximo: 2.30 horas Solución

I Parte. Resuelva cada una de las siguientes integrales

1.

22

3 2

3 5 2ln(4)

1

xdx

x x x

(5 puntos)

2 22 2

3 32 2

22 4 2 2

3

3 3 2

2

2

2

3 5 3 52 2 I= ln(4) ln(4)

1 1

3 5 9 30 25 30 9 25(9 25 ) 30ln/ /

2 2

ln(4) ln(4)

2 = arcsec(x)+C

1

9 2530ln/ /

2 2

x xsea dx dx dx

x xx x x x

x x x xdx dx x x dx x C

x x x x

dx x C

dxx x

xI x

x

ln(4) arcsec(x)+Cx

2) 2( )1

1 cos( )

sen zz z dz

z

(7 puntos)

2 2

2

( ) ( )1 1

1 cos( ) 1 cos( )

( ) sea u=1 cos( ) ( ) ( )

1 cos( )

( )ln/ / ln/1 cos( ) / C

1 cos( )

1 sea u=z+1 du=dz. T

sen z sen zI z z dz dz z z dz

z z

sen zdz z du sen z dz du sen z dz

z

sen z dudz u C z

z u

z z dz

1 1 5 3 1

2 2 22 2 2 2 2

7 5 3 7 5 3

2 2 2 2 2 2

7 5 3

2 2 2

ambien u-1=z

1 ( 1) ( ) ( 2 1)( ) 2

2 2( 1) ( 1) ( 1)4 2 4 2

7 5 3 7 5 3

2( 1) ( 1) ( 1)ln/1 cos( ) / 4 2

7 5 3

z z dz u u du u u u du u u u du

u u u z z zC C

z z zI z C

3. 3

6

2

1

x x

x

edx

x

(7 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


101

3 3

6 6

3 33 3 3

6 3 2

3

6

2 2

1 2 1 2

sea u= 22

2 2 2

2 2 = sea u=2 2 ln(2)(3) 2

1 2 1 (2 ) ln(2)(3)

2 1

1 2 3ln(2)

x x x x

x x

x

xu u x

x xx x x

x x

x

x

e eI dx dx dx

x x

e dx dxdx x du du

x x x

edx e du e C e C

x

dudx dx du dx dx

dx

3

2

3

1 1arctan(u) arctan(2 )

1 3ln(2) 3ln(2)

12 arctan(2 )

3ln(2)

x

x x

duC C

u

I e C

II Parte. Considere la función 2

m(x)= ( 1)( 3)

x

x x

1) Si la primera derivada es 2

2 2

( 4 5)m (́x)=

( 1) ( 3)

x x

x x

, determine (5 puntos)

valores críticos (si existen)

la monotonía (intervalos de crecimiento y/o decrecimiento)

máximos y mínimos de la función

( )

22

2 2

D =IR- 1,3

( 4 5)0= 0 ( 4 5) existen valores críticos

( 1) ( 3)

,1 , (́ ) 0 m(x)decrece( )

1,3 , (́ ) 0 m(x)decrece( )

3, , (́ ) 0 m(x)decrece( )

No existen máximos ni mínimos

m x

x xx x no

x x

en m x

en m x

en m x

2) Si la segunda derivada de la función m(x) es 2

3 3

2( 2)( 4 7)m´́ (x)=

( 1) ( 3)

x x x

x x

, determine

Posibles puntos de inflexión

Intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo) (5 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


102

22

3 3

2( 2)( 4 7)0= 2( 2)( 4 7) 0 2 es posible punto de inflexión

( 1) ( 3)

,1 , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hacia abajo ( )

1,2 , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hacia arriba ( )

2,3 , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hac

x x xx x x x

x x

en m x

en m x

en m x

ia abajo ( )

3, , ´́ ( ) 0 m(x)cóncava hacia arriba ( )en m x

III Parte. Considere el siguiente cuadro de variación (cuadro resumen). Realice la gráfica que

corresponde según los datos del cuadro (6 puntos)

Cuadro de variación

x -2 0 2

f’(x) +

f’’(x)

f(x) 1 -0,25 1

Optativa: Escoja una de las integrales siguientes y resuélvala paso a paso. (5 Puntos)

1. 3

1

ln ( )dz

z z

2. 2 2zz e dx


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


103

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 11 de octubre del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 50 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos . Solución I Parte Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).

1) 3 75

5 1 8 1lim

ln xx x x ex

(6 ptos)

2)

5 5 3 2 2 3

6 2 4 4 2 6

0lim

0x y

x y x y x y

x x y x y y

(8 ptos)

5 5 3 2 2 3 5 3 2 5 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

6 2 4 4 2 6 6 2 4 4 2 6 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4

3 3 2 2

2 2 4 4

( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )lim

( )( )

x y x y x y x y

x y

x y x y x y x x y y x y x x y y y x x x y y y x

x x y x y y x x y x y y x x y y x y x x y y x y

x y x y

x y x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 3

( ) ( )( ) ( ) 3 3lim lim

( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 4x y x y

x y x xy y x y x xy y y

x y x y x y x y x y y y

3)

34 2 34 16 2 4lim

2w

w w w

w

(8 ptos)

1 44 334 16 234 4 2 3 2 316 2 4lim lim

221

1 4 1 43 34 416 2 16 2

32 3 2 3 2 2lim lim 3.25

2 2 11 1

w ww w w w w

ww w ww

w ww w w w

w www w

III Parte. Considere la función h(z) definida a continuación.

2 3

2

1 si z < 2

h(z)= 3 ( 2) 1 si z = 2

2 1 3 si z > 2

2

z

sen z

z z

z

Analice la continuidad de la función en el conjunto de los números reales. Justifique su respuesta

1) h(2)=3 (2 2) 1 1sen (10 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


104

2 2 2

222

22 2

2

2 22 2

2

2

2 1 3 0 2 1 3 2 1 32.1 lim = lim

2 0 2 2 1 3

2 1 3 2 8lim lim

2 2 1 3 2 2 1 32) lim ( )

( 2)( 4)lim

2

xx

x x

x

x

z z z z z z

z z z z

z z z z

z z z z z zh z

z z

2

2 22

2 3

2

lim ( ) 1

( 4) 6lim 1

62 1 3 2 1 3

2.2 lim 1 1

x

x

z

x

h z

z

z z z z z

2

3) h(2) ?= lim ( )

1 = 1 h(z) es una función continua en el conjunto de los números reales

x

h z

I Parte. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6ptos)

0lim ( ) 0x

h x

lim ( ) 2x

h x

2lim ( ) x

h x no existe

4lim ( ) 4x

h x

6

lim ( ) 2x

h x

8lim ( )

xh x

IV. Encuentre la primera derivada de las siguientes expresiones (6 puntos c/u)

1)

5

37ln( )

( ) 7 1( )

zg z z z

sen z

2 2

7 3

2

1( ) ( ) ln( )

5 7(́ )

7 3( )

sen z cos z zzg z z z

sen z

2) ( ) 2 arctan( )x xf x x e 2

2(́ ) 2 ln(2) arctan( )

1

xx xf x x e

x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


105

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 14 de febrero del 2015 Primer Examen Parcial Puntaje: 50pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´ SOLUCION

I Parte. Dada la función f(x), determine los siguiente límites (6 puntos)

35

3 0 4

1) lim ( ) 2 2) lim ( ) 1 3) lim ( ) 3

4) lim ( ) 5 5) lim ( ) 6) lim ( )

x xx

x x x

f x f x f x

f x f x noexiste f x

II Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).

1)

2

1

5 4 3ln( ) 1lim

1 0m

m m

m

(3 puntos)

2)

3 2

23

3 2 6 0lim

0(1 ) 2w

w w w

w w w

(8 puntos)

3 2 2 2 2

2 2 2 23 3 3

2 2 2 2

23 32 2

3 2 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) (1 ) 2lim lim lim

(1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2

( 2)( 3) (1 ) 2 ( 2)( 3) (1 )lim lim

(1 ) 2

w w w

w w

w w w w w w w w w w

w w w w w w w w w w w w

w w w w w w w w w

w w w

2 2

2 2

2 2

3 3

2

(1 2 ) 2

( 2)( 3) (1 ) 2lim lim ( 2) (1 ) 2 44

3w w

w

w w w w

w w w w ww w w w

w


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


106

1)

52 5

9 9

5 7 3 4lim

2 7 2x

x x x x

x x

(7 puntos)

2 55 5

2 4 2 452 5

9 99

9 98 8

5 7 4 5 7 41 3 1 3

5 7 3 4 2.24lim lim lim

82 22 7 22 7 1 2 7 1

x x x

x x x xx x x x x xx x x x

x xx x x x

x x

4) 2

2 2

3 3 0lim

0x b

x b xb x

b x

(7 puntos)

2

2 2

3 33 3 3lim lim lim

( )(b x) (b x) 2x b x b x b

x x b xx b xb x b

b x b x b

III Parte Determine el valor de k para que la función h(x) sea una función continua en IR (7puntos)

( 2 2 )

( 2 2 )

1

1

1

1

5 -2 si x < -1

h( ) 2 si x = -1

2 si x > -1

1) ( 1) 2 2

lim 2 2 42) lim ( ) 2 5 2

5lim 5 -2 5 2

43) Si ( 1) lim ( ) la func

5

x

x

x

x

x

x

x

x

kx

x

e

h

eh x k k

kx k

k h h x

4ión es continua para

5k

IV Parte. Derive cada una de las siguientes funciones: 1) 6

3 5( ) t( ) 2

5cos( ) 2

z

f z c z zz z

6 5

2

26

3 ln(3) 5cos( ) 2 5sen( ) 12 3 5(́ ) csc ( ) 2

5cos( ) 2

z zz z z zf z x

z z

(7 puntos)

2)

1/3 4 414/3 1 9

5

14/3 1 9 17/3 2 10

( ) ln( ) ln( )

1 14(́ ) 9 ln( )

3

x x xg x x x x x x

x

g x x x x x x x xx

(7 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


107

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 15 de noviembre del 2014 Segundo Examen Parcial Puntaje: 50 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´

Solución

I Parte. Encuentre la primera derivada cada una de las siguientes ecuaciones

1. 2 3 4( ) 3 7 2 cos 5 5x xm x arcsen e x x x (9 puntos)

2 2 4 3 2 3

22 3

3(́ ) 2 21 2 cos 5 5 4cos 5 5 5 5 5 5 ln(5) 7 2

1 7 2

x x x x x x

x

m x e x x x sen x arcsen e x x

e x x

2. 97 tan( 4 )

( )2 log(2 )

z zg z

z z

(7 puntos)

6

9 2 9 8 977

2

1 2tan ( 4 )sec ( 4 ) 1 36 2 log(2 ) 2 tan( 4 )

7 2 ln(10)(́ )

2 log(2 )

z z z z z z z z zz

g zz z

3. 2 2 3sec ( ) 2 xyx y x e (8 puntos)

2 3 2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3

2 2 3 2 3 2 3 2

2sec( )sec( ) tan( ) 2 3 ´ 2 ´

2 sec( ) tan( )2sec( ) 3 ´sec( ) tan( )2sec( ) 2 ´

3 ´sec( ) tan( )2sec( ) ´ 2 2 sec(

xy

xy xy

xy xy

x y x y x y x y y e y y x

x x y x y x y y y x y x y x y ye xy e

y y x y x y x y xy e ye x x y

3 2 3 2 3

2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3

2 2 3 2 3

2 2 2 3 2 3

) tan( )2sec( )

´ 6 sec ( ) tan( ) 2 4 sec ( ) tan( )

2 4 sec ( ) tan( )´

6 sec ( ) tan( )

xy xy

xy

xy

x y x y

y y x y x y xe ye x x y x y

ye x x y x yy

y x y x y xe

II Parte. Resuelva utilizando L´Hopital, cada uno de los siguientes límites

1. 3

1

1 ln( )lim

3 2x

x x

x x

(4 puntos)

3 21 1

11

1 ln( ) 0 2lim ´ lim

3 2 0 3 3 0x x

x x xL Hx x x

2. (1 )

2

0lim

xe

xx

(8 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


108

(1 ) (1 )2 2 2

0 0 0

2 22

2

20 0 0 0

2

0

lim ln( ) lim ln ln( ) lim(1 ) ln 0( )

2ln 2 1 2 1 0

ln( ) lim ( ´ ) ln( ) lim lim lim1 0

1 1

4 1( ´ ) ln( ) lim

x xe ex

x x x

x x

x x xx x x x

xx

x x

xx

y x y x y e x

xx x e exy L H y

e x e xe

e e

e eL H y

e

(1 )0 2

0

00 ln( ) 0 1 lim 1

1

xe

xx

y y e xxe

III Parte.

Encuentre las ecuaciones de la línea recta tangente y la línea recta normal a la función de

ecuación 3 1 3y x x en el punto donde la abscisa es 2 (8 puntos)

2

3

3

x = 2 y = -3 P 2, 3

3 1 3 ´ 3

2 1

si

xsi y x x y

x

Para la ecuación de la recta tangente

2

3

3(2) m 3 1 1 la ecuación de recta tangente es y = -x-1

2 2 1evaluando b

Para la ecuación de la recta normal

si m =-1 m 1 =-5 la ecuación de recta normal es y = x-5n b

IV Parte. Lea el siguiente problema, plante una solución y resuélvala paso a paso (6 pts)

En un cono invertido la altura h cambia a razón de 2.3 pies/seg y el radio a razón de 5.2 pies/seg.

Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio r es 3 pies y la altura h es 6 pies

2 2

3

2.3 / ; 5.2 / ; ? r=3pies, h= 6pies

derivando 2 sustituyendo datos 3 3

2(3)(6)(5.2) (9)(2.3) (207.9) 69.3 /3 3

dh dr dVpies seg pies seg si

dt dt dt

r h dV dr r dhV rh

dt dt dt

dVpies seg

dt

Opcional: Considere la función 2 4

ln5 1

xy

x

. Encuentre la segunda derivada (5 puntos)


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


109

Cálculo Diferencial e integral 1 (II-21 Sábado 21 de febrero del 2015 SegundoExamen Parcial Puntaje: 43pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´ Indicaciones generales:

1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada.

2. El examen se resuelve únicamente en el cuaderno oficial de examen de la Universidad.

3. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o

usa corrector pierde el derecho a reclamos.

4. No debe tener hojas blancas ni otros en el pupitre, solo el cuaderno oficial.

5. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo

las relativas a la redacción de los enunciados

6. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba, ni antes de 30´ de

empezar

7. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron

obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable.


I Parte. Encuentre la primera derivada de cada una de las siguientes ecuaciones

3. 4tan cos(5 2) 7 2y x x x (7pts)

3

2 4 4

4

4 2´ sec cos(5 2) 7 2 sen(5 2)(5) 7 2 cos(5 2)

2 7 2

xy x x x x x x x

x x

2. 6 5 9

4

(3r )

4( )

r

r

eg

rr

(7pts)

6 5 8 5 4 3 5 95 6

24

9(3r ) 18r 5 4 4 4 ln(4) (3r )

4(́ )

r r r r r

r

e e

rg r

r r e

3. ( 2 )3 cos(4 )xy x ye e y (7pts)

( 2 )

( 2 )

( 2 ) ( 2 )

( 2 ) ( 2 )

( 2 )

( 2 )

3 cos(4 )

´ 1 2 ´ sen(4 ) 4 ´

´ 2 ´ sen(4 ) 4 ´

´ 2 ´ 4 ´ sen(4 )

´2e 4sen(4 )

xy x y

xy x y

xy xy x y x y

xy x y xy x y

xy x y

xy x y

e e y

e y xy e y y y

e y e xy e y e y y

e xy y e y y e y e

e y ey

e x y

II Parte. Encuentre el límite:

2

0

4 1 coslim

cosx

x x

sen x x x

(7pts)

2

0 0 0

4 1 cos 8 sen 8 cos0 0 9lim ´ lim ´ lim

cos 0 0 ( ) cos( ) 0cos cos ( )x x x

x x x x xL H L H

sen x x x sen x x xx x xsen x


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


110

III Parte. Considere la función 2 ( 1)10 4 xy x . Calcule (8pts)

Si x = -1 entonces y = 3 por lo tanto P(-1,3),

también ( 1)

2 ( 1)

20 4 ln(4)´

2 10 4

x

x

xy

x

y

20 ln(4) 21.386293.564

6 6m

por lo tanto

a) la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa es -

1 es 3.564 0.564y x

b) la ecuación de la línea recta normal a la curva dada en el punto cuya abscisa es -1

es 0.28 3.28y x

IV Parte Escoja una de las siguientes preguntas y resuélvala (7pts)

1. Determine y simplifique la segunda derivada de: 3 2

4 5

zln

zy

2 2

22

2

4 5

3 2 (4 5) 3 2

1 3(4 5) 4(3 2) 2

(4 5)

4 5

3 23´

12 7 10

23 24 7´́

12 7 10

z

z

z zy

z z

zy

z

z z

z

z

z

2. Encuentre el límite:

tan( )

0

1lim

x

x x

tan( ) tan( )

0 0 0

22

0 0 0

2

0

1 1 1lim ln lim ln ln lim tan(x) ln 0( )

1 1ln

sen ( ) 0ln lim ´ ; ln lim lim ´

1 1 0

tan(x) sen ( )

2sen( )cos(xln( ) lim

x x

x x x

x x x

x

y y yx x x

xxx x

y L H y L Hx

x

xy

tan( )

0

0

) 10 lim 1

1

x

xy e

x

3. Las caras de un plato de metal se dilata con el calor a razón de 0.2 cm2/seg, Cuando el

diámetro del mismo es 12 cm, cuál es la razón de cambio del radio?


g x

; (

)

df

dx ( )f x dx


111

2

2

0.2 / ; 6

2

0.20.2 2 (6)

12

dV drcm seg se pregunta si r cm

dt dt

dV drComoV r r sustituyendo

dt dt

dr dr

dt dt

La razón de cambio del radio es de 35.4 10 /cm seg

Opcional. Resuelva una de las dos preguntas que no resolvió en el punto anterior (7pts)

matemÁtica cÁlculo diferencial e integral · el curso de cálculo diferencial e integral. se...

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