w. A. GRANVILLEEX-PRESIDENTE DO COLEGIO GETTYSBURG (U.S.A.)P. F. SMITH, W. R. LONGLEYPROFESSORES DE MATEMATICA DA UNIV. YALE (U.S.A.)[ l [ M[ NT0SO[ CAl CUl 0Dlf[R[NCIAl [INT[CRAlTRADUZIDO DO INGLESPORJ. ABDELHA YPROFESSOR DA UNIV. DO BRASILEDITORA CIENTIFICARIODE JANEIROORIGINAL EM LiNGUA INGLtSAELEMENTS OF THE DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUSREVISED EDITIONby Willian Anthony Granville, Ph. D., LL. D.Formerly President of Gettysburg CollegePerceyF. Smith, Ph. D.and WilliamRaymond Longley, Ph. D.Professors of Mathematics, Yale UniversityGinnandCompanyBoston, New York, Chicago, London, Atlanta,Dallas, Columbus, San FranciscoCOPYRIGHTBYGINNAND COMPANYOF BOSTONDireitos exclusivos da tradu0 V BsOLugA:O. Adadafunoe:1 soma de :z;2 e 4x; primeiroachamos,os limites destas Por (2),lim x2=4, pois n2=x x Por (4), lim 4x= 4 limx= 8. Logo; por (1), a resposta e 4 + 8= 12.. z2-9 52. Provequelim -- = - - ..-.2 z + 2 4SOLUgA:O. CODsiderando 0 numerador, lim (z2- 9) = - 5, por (2) e (4).%->2Para 0 denominador, lim (z +2) + 4. Logo, por (3), obtem-se 0 resultado.%->217. continuase descontinuas. NoExemplo1do precedente, ondesemostrou quelim (x2+ 4x) = 12,,.-+2observamos quea resposta e0 valor dafun(y+.iy).x +f:.x = (j>(y +.iy)y=f(x )x_.iy=f(x+ tix) -f(x) f:.x =(j>(y+ l1y) - (j>(y)TERCEJROP ASSO..iy f(x+f:.x)-f(x)f:.x= f:.xf:.x (j>(y+.iy)-(j>(y)*l1y = l1yTem-se, pois, multiplicandomembroamembro:f(x +f:.x) - f(x) . (j>(y + .iy) - (j> (y) = 1f:.x l1y. .QUARTOPASSO. Fa9amos f:.x -. O. Entao l1y -.0porquef(x)6derivavel, esetem:*Supondo t:..11""0 (N. T.).48ou(C)(D)REGRAS DE DERIVAQAOdu dxdx dy =l' (x) =et>'.CAP. IVpor (2), 16A derivadadajun (x) podeser obtido como segue: construindo-seografico de - f(x) e fazendo-ogiraremvolta daorigem, nosentidoante-horario, deumangulode90.OUfROS PROBLEMAS1. 0 vertice daparabolay2= 2 px e 0 centrodeumaelipse.o foco da parabola e um extremo de um doseLxos principais da elipse.Aparabola e a elipse cortam-seortogonalmente. Achar a equar;aodaelipse. Resp. 4 x2+2 y2=p2.2. Umacircunferenciadecentroem(2 a, 0) cortaortogonal-mente a elipse b2x2+a2y2 =a2b2. Achar 0 raio da circunferencia.Resp. r2= i- (3 a2+b2).3. DeumpontoPdeuma elipsetrar;am-se retas passandopelos focos. Prove que estas retas fazem angulos agudos iguaiscoma normala elipseno pontoP.4. Prove que a reta Bx + Ay =ABetangente aelipseb2x2+a2y2 = a2b2se, e somente SE', B2a2 +A 2b2= A 2B2.5. Ache a equar;ao da tangente acurva xmyn= am+n numponto qualquer. Prove que a parte dela compreendida entre oseixos edivididapelopontodecontatonarazaomin.Resp. myI (x- X1) +nXl (y- YI) = o.6. Seke 0 coeficienteangular de umat.angente a hiperboleb2x2- a2y2 =a2b2, provar que y =kx Va2k2- b2 ea equar;aodeJa e que 0 lugal' dos pontos de interser;ao das tangentes perpen-diculares e x2+y2 =a2 - b2CAPITULOVVARIASAPLICACOESDADERIVADA42. - D i r e ~ a o de uma curva. Viu-se no 28 que sey = f (;x)xeaequar;ao deuma curva(ver figura), entaodV j' . ld ~ =coetCtente angu arda tangente d curvanopontoP (x, y).Adirer;iiode uma cur-vaemurnponto qualquer e, por definiESDATANGENTEENORMAL 55A em(3) dl1 TM= ; = comprimento da 8ubtangente.A em (4) dl1 MN=2a=comprimento da 8ubnormal.Logo, PT= = ; V5= comprimento da tang.e PN= VCMN)2 +CPM)2= V4a2+a2= a V5= comprimento da normal.Achar asequaQoes datangenteedanormalnopontodado.2.4.Y =x3-3 x; (2,2). Resp. 9x-y-16=0, x+9y-20=0.2x + 1Y= 3_ x ; (,2 5). 7x-y-9=0, x+7y-37=0..2x'/ - xy + y2=16; (3,2).5. y2 + 2 y- 4 x + 4=0; (1,-2).6. Achar asequartoes da tangente e da normal aelipse b2x2++a 2y2 = a 2b2noponto(Xl, YI).Resp. b2XIX + a2YlY=a2b2, a2Ylx - b2XlY =XlYI (a2- b2).7. Achar as equaQoesdatangenteedanormal eos compri-mentosdasubtangenteedasubnormal noponto(Xl, YI) docirculox2+ y2=r2yl2Resp. XIX +YIY= r2, XIY- YIX= 0, - - , - Xl.Xl8. Mostrequeasubtangente aparabolay2= 2 px edivididaaomeiopeloverticee que asubnormal e constanteeigual ap.Achar as equartoesdatangentee danormal eos comprimentoeda subtangente e da subnormal a cada uma das seguintes curvasnos pontos indicados.a9. ay = x2; (a,a). Resp. 2X - Y = a, X + 2 Y =3 a, 2" '2a.)Ie 510. x2-4y2=9;(5,2. 5x-8y=9,8x+5y=50,"i'",7'11. 9 x2+ 4 y2= 72; (2,3).12. xy + y2 + 2= 0; (3, -2).13. Achar a area do triangulo formadopelo eixodOBXX, atan-425gentee anormal acurvay=6 X - x2noponto (5,5). Resp. 814. Achar a area do triangulo formado pelo eixo dos yy, atangente ea normal a curvay2= 9- X no ponto(5, 2).56 VARIAS APLICAcj5ES DA DERIVADA CAP. VAchar OSAngulosdeinterse "5' l' (x) = 5 (- ) (+)2 ( +) = - .CAP. VPortanto, quando x= a funQiiotemumma.ximo f( = 1,11 (=or-denada deB)Examinemos finalmente 0 valor criticox= - 1(Anafigura)Quando x < -l,f'(x) = 5 (-) (_)2 (-)= +.Quandox>- 1,f' (x) = 5 (_) (+)2 (-)= +.Consequentemente, quandox= - 1, a funQaonaotemnemmaximo:l0IDminimo.48. - Maxhnoourn.inirn.oquando l'(x) e infinitae 1(x)continua. Consideremos 0 grafico da figura abaixo. EmB, ouG, 1(x) e continua eternurnmaximo, mas 1'(x) e infinita, pois aFig. dtangenteemB e paralelaaoeixodosyy. EmE, 1(x) ternurnmi-nimo e l' (x) e infinita. Na pesquisa dos maximos e minimos deJ(x), devemos, pois, incluircomovalorescrUicosos valoresdexparaos quais l' (x) einfinita, ou, 0 que ea mesma coisa, valores de x satis-fazendo(1)1l' (x) = O.oSEGUNDOPASSOdaregradoparagrafoprecedentedeveentaoser ampliado, devendo-se considerar tambema(1). Osoutrospassosnaosofrem Nafiguradacima, observeque J' (x) etamberninfinitaemA,maS anao enem maxima nem minima na abscissa desse ponto.48 MA.x:rMOE MiNIMOQUANDO f' (X) E INFINITA 67xpyo2bI'(x) = - ----=:...:--1-3 (x- C)32J(x) = a- b (x- C)3.SOLUQAO.2Exemplo ilustrativo. Examina.r a funoa- b (x --c)ano queconcemeamaximoe mmimo.11 3(x --c)1IJ'(x) = -- 2 bComox= c e umvalorcrfticonoqual l' ~ x ) =0, masnoqual} (x) nao einfinita, examinemos a funQao no que concerne a maxim.o e m.mimo quandox=c.Quandox < c, }' (x) =+Quandox >c, l' (x) = - .Logo, quandox=c =OM, afun9aoternurnmaximo jf(c) :== a=MP.PROBLEMASExaminecadaumadas seguintesfun90es noque concerneaosmaximos eminimos.1. x3- 6x2 +9 x. Resp. x=1, damax. =4.x =3, damIll.=O.2. 10 + 12x - 3x2- 2x3 X=1, damax. =17.x=-2,damfll. =- 10.3. 2x3 +3 x2+ 12 x- 4. Nemmax. nemmfn.4. x3+2 x2- 15 x- 20.5. 2x2- x4 X=0, damIn. =O.x= 1, damax. =1.x=1, damIn. =-3.6. x4- 4x.7. x4- x2+ 1.8. 3 x4- 4 x3- 12 x2 x=-1, damm. =-5.x=0, damax.=O.x=2, dB. mIn. =-32.9. x5- 5x4 X=0, damax.=O.x=4, dB. mIll. =- 256.10. 3 x5- 20 x32alx=a, damin. =3 a'. 11.x'+-'x68 VARIAS APLICAQOES DA DERIVADA CAP. Va312.2x- _.X2a413. x2+- .x2ax14.x2+ a2x= a, damin.=2 a2Resp.: x =- a, damin. = -!.x= a, da max. = !.x215.x+ax216.x2+ a217.x2+ 2a2x2+ a218.(2 + X)2 (l - X)2.19. (2 + xF(1- x?!20. b + c (x- a)l.121. a - b (x- c)T.1 222. (2 + x)3 (l-x)l. Resp.:23.x (a + X)2(a- X)3.24.25.26.27.1 2(2x- a)T(x- a)T.x+2x2+ 2x + 4'x2+X +4x+lx2+ x + 4x2+2 x + 4'x=a, damin. = b.Nemmax. nemmin.x= 1, damin. = O.x=-1, da m a x . = ~ = 1,6.x= - a., da max. = O.x= - !a, damin. = - ~ as.-1. d' , - 128 SX - 3a, amax. - 729a .x=a, danenhum.2 d" 1X= 3" a, amax. =3" a.x=a, damin. = O.x= !a, danenhum.x=0, damax. = !.x= - 4, damin. = - t.x= - 3, damax. = - 5.x= 1, da min. =3.x =- 2, damax. =~ .x=2, damin. = t.49 VALORES MAxIMOE UfNIMO 6928.29.30.31.(x- a) (b- x)x2a2b2-+-.x a - x(a- X)3a - 2xx2+ x-Ixt- X +12 ab " (b- a)2x= a +b' damax.= 4ab .=c_= (a +b)2Resp.: x a+b' rmulaXIII,dy = cos- v) 3:..- v)dx 2 dx 2dv=- sen v dx .[POiScos (;- tI) =sentI, por (3), p. 2.]XIVd dv- (cos v)=- sen v-.dx dx72. -das f6rlIlulasXV-XIX. Estas f6rmu-las podemser facilmente obtidas exprimindo-sea fun-+OPROBLEMASDerivar asfunc;oes1. y =sen ax2por 68por 61SOLuQlo.dy d- =cos ail - (ax2)dx dxpor XIII[v ... a.:c2].=2 acos ar-. Resp.2.SOLUQAO.= sec2VI - (1 - x)tdx . dx[v = VI - xl.= sec2VI- x. t (I-x)-t (-1)sec2VI - x=- . Resp.2 VI - x3. Y =cos3 x.SOLUQAO. Podemos tambemescreverY= (cosX)3.ddY= 3 (cosX)2_ (cos x)x dx[v = cos x e n = 31.= 3C082X (-senx)= - 3 sen x cos2x. Reap.por XVpor VIpor XIV124 DERIVAQAO DAS FUNQOES TRANSCENDENTES4. Y= sen nx sennx.CAP. VIISOLUQAO.dy d ddx =sen nx dx (sen x)n +sennx dx (sen nx)['lL=sen nx, e v = aenn xl.d=sen nx. n (sen x)n-l - (sen x)dxpor Vd+ aeon x cos nx dx (nx)n sen nx senn-1x cos x +n senn x cos nx= n senn-1t: (sen nx cos x + cos nx sen x)= n senn-1x sen (n + 1)X. Re8p.por VI eXIII5. Y =sen ax.6. y=3 cos 2x.7. s =tg 3 t.v8. u = 2ctg-29. Y =sec 4x.10. p=a cossec2be.11. y= t sen2x.12. s=vcos 2 t.~ - -13. P = tg3O.414. y=~15. Y =x cosx.16. J(0) =tg 0 - O.sen 017. p=--'018. Y =sen 2 x cos x.19. Y =In sen ax.20. y=In y ~ o s 2;1}21. Y =(;tu sen bx.22. s =e-Icos 2 t.Resp. y'=a cos ax.y' =- 6 sen 2 x.s'=3 sec23 t.du v- = - cossec2-.dv 2y'= 4sec4xtg4x.p' = ab cossec2bf) ctg bO.y' = sen x cos x.ds - sen2tdt = vcos2tdp sec23 0dO = (tg 3Oyidy = - 2tgxdx . ~y' = cos X - x sen x.l' (0) =tg2O.dp 0 cos 0 - sen 0dO= 02y' = 2 cos 2x cos x- sen 2x sen x.y' = a ctg ax.y'=- tg2x.y' =eo" (as e ~ bx + b~ o s bx).s' = - e-t(2 sen 2 t + cos 2 t).73 OBSERVAQOES 12523.xy = In tg-2Resp.,IX 2 XY =2" ctg 2sec 224.7 =In~IJ + sen xy " 1 - sen xy' =sec x.25. }(O) =sen (O+a) cos (O-a). }' (0) = cos 2O.26. } (x) =sen2(1r - x).27. P=-} tgJ0 - tg 8 +O.28. Y =xell%.29. 7j=(cosx)%.}'(x) =- 2 sen (1r- x) cos (1r- x).p'=tg40.dy (Ren x )- = xell% --+cos x In x .ax :1:y' = y (In cos x- xtg x).Achea derivadasegundadecada uma das func;:oes abaixo33. Y =:l.:.cos x.sen x34.y=-x-'35. s =etcos t.36. s =e-tsen 2 t.37. Y =ea% sen bx.30.31.32.y =sen lex. Resp.p= i cos 2 O.u =tgv.d2y-d.J =- lc2sen lex.x-d2pdfj2 = - cos 2 8.d2udv2=2 sec2v tg v.d2y-d'= - 2 sen x_. x cosX.x2d2y 2 sen x- 2 x cos x- x2,sen xdx2= x'd2sdt2=- 2 d sen t.d2sdt2= - e-t(3 sen 2 t + 4 cos 2 t).d2y- = (P%[(a2-b2)senbx+2abcosbxl.dx2Achedypara cada uma das func;:oesdx38. y= CQS (x- y) Resp.dy sen (x- y)dx =sen (x- y)- 139. ell = sen (x + V).dy =cos (x + y)dx ell - cos (x +y)cos y =ln (x +V).dy -- 140.dx1 + (x + y) sen!J126 DERIVAQAO DAS FUNQOES CAP. VIIy' =1.Resp. y' =1,841.y' =1,381.y' =- 0,546.Resp. y' = - 3,G39.y' = 1,734.46.e'"44. Y= - ;x=- 0,5.x45. y=sen xcos 2 x; x=1.y=inVtgx; x = i7r.dyNos exereieios 41-50achar 0 valor de dx para 0 dado valordex (emradianos).41. y=x- cos x; x=1.x .42. Y= x sen 2; x=2.43. Y=In cos x; x=0,5.47.48.y=c"senx; x=2.y=10 eX cos 7rX; x=1.y' = 3,643.y' =3,G79.49.X- 7rX1'J =5 e2sen - ,. x=2., :zy' =- 21,35.X50.y=10 e 10sen 3 x; x=1. y' =- 27,00.74. - Func;oes trigonom.etricas inversas. Aequa e dn.da pelaformulaE= tr-;O ,tg (0 +1 + jonde j eumaconstantc. Achar 0 valorde 0 paramaximaeficienciaquando 1> c urnangulo constante conhecido,OUTROS PROBLEMAS1. .-11-\ curvas ?J = x. In x e y = x. In (1- x) cortam-se naongcmcnllmoutropontoA. Achar 0 lingulodeinterseC;:iioemA.Resp. 103 30'.2. Usando os mesmos eixos desenhe as curvas seguintes edepois ache os ~ l n ~ l I l o s de inf,crsec;iio:(:lC: )y = III "8 - i , v =h, (:3 x- :2 - l). Rcsp. 32 28'.3. ArctaAB e tangenteit curvade equa9iioY =eX + 1 emAecorta 0 eixodos xxemB. Acheascoordenadas dOe Aquando0comprimrnfrJ AB eurnminimo. Resp. (0,2).CAPITULOYInAPLICA(;OES AEQUA(;OESPARAMETRICAS, EQUA(;OESPOLARESERAIZES81. - Equa!;oes paranlcfricasde urn.a curva. Coeficienteangular. As coordcnadaEx e y de urn ponto sobl e uma curvasaoexpressas muitas vezes como fun = 1,x140 APLICAgUES A EQUAs T = senTds dx dsPararcferenciaposterior, acrescentamos asf6rmulas(G)onde y' = ~ ~ .1COST= ----:(1 +y'2} ,u'sen T = J..(1 + y'2)'Se0 AnguloT e obtuso(y' .....1 + cos 4,12.lim r'-ar2-' a2r + al, ..... /1 r2- a213. limv3X- V12-x.,-+3 2x- 3 V19 - 5x14. lim 1'-+22 -15.r tg 8 +sec 8 - 1 tg 8 - sec 8 + 1 .Resp,sg'1nar,-i1.2.2.1-s'aIn b'1-"6'cos cP 2.tI, x- sen x16. lID ,., .....0 xlI, tg x- se!), x17. 1m a '1' .....0 'senx Depoy de derivar, deve 0 elltudante, emcalia cU, redusir a exp.-&o obt,jda1lormam&il limplesan""a delubatituir 0 valor da va.rU.vel.220 TEOREMA DO VALOR MEDIO E SUAS APLICAQOES CAP. Xl18. Sao dados (y.figura) umcirculodecentro0 eraioreumareta tangenteaoeirculo noponto A. SendoAlit[ =arcoAP(y. figura), achar a posi0- cossec xctgX %->0 x cosX 0Entiio, por (E),_ 2 2lim sen x = lim- sen x cos x O.%->0 X cosX %->0COBX - X senxQ.E.D.121. - Forma indeterminadaO. i"- senx .Q.E.D.222 TEOREMA DO VALOR MEDIO E SUAS APLICA;;OES CAP. XIPROBLEMASCalcular OSlimites seguintes:Resp. Resp.1.I" lnxO.r [ 2 1]11m -n015. 1m -2- 1 .2'"'-+CD Xsen - cos2.r ctg x2.16. lim[-] .1Im--.2'",-+0ctg 2 x 11-+1 y- n y3.limtg 38. 11'" [1 1]18 1r tg 83'17. 1m --2- -"2 .3'.,....0 sen x x

r x3O. 18. limx +Inx4. 1m-.x Inx z-+CD L'"z-+CD. 619. lim8 cossec 28.5. hm 1-'CXl",-+CD nx8-+06.r ctgx r ctg 2 x1m-1-'- CXl20.1mT3'z-+O nx z-+Ocg xlimIn sen 2:t1.21. lim(a2- 2) tg ; .7.In sen x:-+0a8. limx In sen x. O. 22. lim(sec 5 8 - tg 8) .:....0

2r 7r 7r! 7r2.23. limL7rx- 2 x (6:: + 1)].9.1m"7 tg"2'q,...-..oq>z-+Or a24. lim[:2 - .10. 1mx sen-. a.:-+CDXz-iO11. lim(7r - 2 x) tg x. 2.25. 1m; [x tg x-sec x] ....r--z- 12. lim(1- tg 8) sec 2 fJ. 1.. x2- 4 7rX26. hm --2- tg "4 .

:-->2 X413. lim[x2 1 - xJ.127. limLog (11 +x)- --2':-+1 %-+014. lim - l:J-1. 28. lim [+-13],:-+1:-+0 sen x x123. - Sabre as form.as indeterminadas 0, lCDe CXl0. Paraqueafun/taoJ123 SOBREAS FORMAS INDETERMINADAS 223tome uma das formas indeterminadas acima numdado ponto x,devemosterououSeja}(x) = 0, if> (x) = 0, dando 0,} (x) =1, if> (x) = 'Xi, dando 1"',}(x) = CD, if> (x) =0, dandsa::o.y =TQmandoos logaritmosnaturais deambos osmembros.In y =if> (x) In} (x).Emqualquer dos casos acima, afunc;aoIn ytomanopontoxa forma indeterminada.0. CD.Calculadaestapelomodoilustradono 121, obtemos 0 limitedo logaritmoda fun1 =! 71" cossec2! 7I"X2Logo2limlny=e limy=lim(2- x)tg!TJ: =e1r .TQ.E.D.Exemplo ilustrativo 3. Proveque lim(ctg :t)senz= 1.. z-oOSOLU9AO. Afun (x)dx=f(b) - f(a)vemos que a integral definidae uma fun9ao dos limites de inte-gra9ao. Assim, 1bcf> (z) dztemprecisamente 0 mesmovalor quejbcf>(x)d:r.TEOREMA. Uma integral definidaedos de inte- 153. - Integrais improprias. LiInites infinitos. Ate agorasupuzemos queos limites de integra9ao sao finitos. Contudo, mesmonos problemasmais elementares enecessariomuitasvezesremoveresta restri9aoe considerar integrais comlimites deintegra9aoinfi-nitos. Epossivel faze-Ioemcertos casos, adotando-seasseguintes

153 INTEGRAIS IMPR6PRIAS. LIMITES INFINITOS 311Quando limitesuperior e infinito,J+'" Jb+'" 2 ay =x2 +4a2t 1b8a3dx blueaOPQb= 0 = 4 a2arc tg -x2+4 a22 a312 INTEGRAL DEFINIDA CA,P. XIVPortanto, quando aordenadabQmove-seindefinidamentc paraadireita" aareaj+O>dX.Exemplo ilustrativo 3. Achar1 xSOLU9AO.1+0> jbdx = lim dx = lim (In b).1 x 1>-++0> 1 x 1>-++0>o limitedeIn b quandob ereseeindefinidamente nao efinito; logoainte-gral naotemsentido caso.154. - Integraisimproprias. Quando y= c/> (;t) e descon-tlnua. Consideremosagora casosemqueafunyaoaser integradaseja para valores iS0lados da variavel, dentro dos Ii.mitesde integra9ao.Consideremos primeiro 0 caso de ser a func;ao continua paratodos os valores de x compreendidos entre ae b, comexcec;aodex= a.Se a < beE e positivo, pOl'emos, por(1)Ib1; (x) dx=lim lb1; (x) dx.a ......0 a+ESemelhantemente, quando 1; (x) e continuaexcetopara x =b,deJinimos(2)jb Ib-E1; (x) dx=lion 1;(:1') dx,a e->O apostoque oslimitesexistamesejamfinit.os.Exemploilustrativo 1.fa dAchar x.o ",/ a2- x2SOLUc;AO. Aqui,6infinita X = a. Logo, por (2),ladx /,a-E d [ Ja-E-===-=c:::= lim j x =lim arc seno va2- x2E--+O 0 '\/a2- x2E--+O a 0-;r= ary sen1 =2' Resp.154 INTEGRAlS I1'IPR6PRIAS 313Exemploilustrativo 2. Achar' 11

SA' 1 ,. f' . 0OLU0 eN-.ste caso 0 limite naoe finitoe portantoa integral naoexiste.Se cesta comprcendido entre ae beet>(x) e continua salvopara x = c,entao, sendoee E' n(lmeros positivos, a integral entre ae b e cldinida por(:3) Jb cf> (x) dx = 1imlc-. cf> (;l;) dx + li"llbcf> (x) dx,a E'---?O a :'---70 C+E'posta que cada urn dos limitcs existaefinito.Exemplo ilustr:J.tivo 3. Ah13a 2 xdxe ar 0 (x2- SOLU dx...1 X y2 X ~ - 17r4.1+0> 17. e-GXdx =-o as.l+0> dx 8 = Y2.1 (1 + x)!lax2 dx9. = t 7 r a ~ .o ya2- x2f+O> dx10. _0> x2+2x+2=7f.1+0> Xdx 111. 1 (1+x2)2=4'J2a x2dx12. . =2,39a2a yx2- a2CA.PiTULOXVINTEGRACAOCOMOPROCESSODESOMA155. -Ate agora definimosaintegrayiiocomooperayaoinversa da deriva9ao. Emmuitas das aplica90es do cal-culo integral convem, porem, que a integrayao seja definida como umprocesso de soma. Estefoi, alias, 0 modoprimeirode se conceberaintegra9ao, poisque 0 ca,lculointegral originou-sedanecessidadedesecalcular areas e isto era feitoimaginandoasuperficiecuja areadevia ser calculada comoreuniaode umnumeromuito grande deareas muitopequenas, chamadaselementos dearea, as quais somadasdariama areapedida.Historicamente, 0 sinaldeintegra9aoemeramenteurnSalon-gadoealetra Seaprimeiradapalavra'soma".A defini9ao que daremos no proximo paragrafo e de fundamentalimportanciaeeessencial que 0 leitor se familiarize comelaafin).de que possn. aplicar 0 cilculo integral aos problemas da pratica.SecP (x)y_o ji---'----b-------< .'{(1) lbcP (x) dx=J(b) - J(a)156. - TeoreIna fundaInental docalculo integral.eaderivadade J(x), entao, comoseviu no 142, a integral definidafornece a area limitada pela curvay =cP (x), 0 eixo dos xxeas retasx =a, x =b.Pois bem, procedamos comose-gue. Dividamos 0 intervalo[a, b] numnumeron qualquerdeinter-valos iguais, pelos pontos de uivisiiolevantemos perpendiculares aOX epalospontosdeencontrodestascomacurva, perpendiculares316156 TEOREMAFUNDAMENTAL DO C:\LCULO INTEGRAL 317ra OY, comonafigura. Eclaroquea somadasareasdestesnre-tangulos (ircasombreadacia figura) e umvaloraproximadodaareasobacurva. E claro tamMmque0 limite dasomadas areas destesretangulosquando0 nl1meroncresceindefinidamentee igual a areasoba curva:Fa9amosagoraaconstru9aomn-isgeral seguinte. Dividamos 0intervalo emn subintervalos, niio necessdriamente iguais, epelospontos de divisio levantemos perpendiculares a OX. Escolhamosemcada subintervaloe demodoqualquer umpontoe 'pelospontosque assimforamescolhidos levantemos tambemperpendiculares aOX. Dospontos ondeestasencontrama curva, tracemos perpen-dicularesaOY. Vamosobterretangulos, comomostraafigura. Asomadasareas destes (areasombre-ada da figura) e aproximadamenteigual it area sob a cmva e 0 limitedestasomaquandon cresceindefini-damentedemodoa que cada subin-tervalotendaa zero, eprecisamentea area soba curva.Estasconsidera90esmostl'amqueaintegral definida(1) e 0 li-mitede umasoma. Formulemos, pois, este resultado.(a) Indiquemos os comprimentosdossucessivosintervalospOl'... ,(b) Indiquemos as abscissas dos pontos escolhidos nos subin-tervalos POI'Entao as ordenadas dos pontos ciacurvacorrespondentesaestasabscis-sas saoo(c) Asareasdossucessivosretangulos sao... ,318 INTEGRAQAOCOMOPROCESSODESOMA(d) Aareasoba curvae, pois, igual aCAP. XVMas, pOl' (1), a areasob a curva e jb cf> (x) dx.Logo, peloque se viuacima,Esta igualdadefoi obtidafazendousodan09aodeareaecomaajuda da intui9ao. Ela estabelece um resultado fundamental daanalisematematica, precisamente 0teorema seguinte:TEOREMAFUNDAMENTALDOCALCULOINTEGRALSeja cf>(x) umafun9aocontinuano intervalo[a, b}. Dividamoseste em nsubintervalos esejamAx!, AX2' ... ,AXnoscomprimentosdestes. Emcada umdosescolhamos umponto e. sejamXl' X2, ... , Xnas abscissas dos pontos escolhidos. 0 limiteda soman(2) cf>(XI) AXl +cf>(X2) AX2 + ... +cf>(xn) AXn= 2: cf>(x.) Ax -1quando ntendeaoi.nfinitodetal modoquecadasubintervalotendaa zero, e igual ao valor da integral definidaAigualdade (.4.) pode ser abreviada comosegue:(3)fb ncf>(x) dx =limcf> (x,;) Ax,.a n-tolZ)i-I.x157 DDIOXSTRAl;AOAXALITrcADOTEOREMAFUND/\ MENT..\.L 319A import:lnciadesteteoremaestaemquetodaintegraldefinidae0 limitedeumasoma dotipo(2)e todolimitede uma somadestetipopodeser calculadopOl' uma integral.Note-se quecada Lermo da soma (2)e uma expressao diferencial.Cadaumdeleschama-seumelementodagrandeza que se quer cal-cular.AregraabaixoeutHnaaplicayaodoteoremafundamental aosproblemas pntticos.TEORIAFUNDAMENTAL. REGRAPRIMEIROPASSO. Dividaagrandezaquequercalcularempartestais que 0 resultado desejado p(lssa ser obtidotomando-se 0 limite deumasomade tais partes. PASSO. Ache expressues para as grandczas das pa.rtesde modoa que a somadela.s sejado tipo (2).TERCEIRO PASSO. Tendo escolhido convenientemente os limitesx=ae :1:=b, aplique 0 teoremafundamentaln jblim I (Xi)= (x) dxn-'= i-I aeintegre.157. - Demonstra!;ao anallticadoteorema fundamental.Dividamos, como no parigrafo precedente, 0 intervalo [a, b] nurnnumeroqualquer nde subintervalos, l'nao necessariamente iguais, e indi-Cjuemos as abscissas dos pontos de di-visaopor bj, b2, , bn -1eos corn-primentos dos subintervalos pOl' Llxj,LlX2, ... , Llxn :' Em cada umdossubintervalos escolhamos um pontodosCjuesaodeterminadospeloteore-rnadovalor medio(116) quandoaplicadoa f (x) tal que l' (x) == (x) e, sendoxfh xf2, ... , xfn essespontos, levantemospOl' elesperpendiculares a OX. Pelos pontos de encontro destas perpen-dicularescomacurvatracemosperpendicularesaoeixoOY. Obtp-320 COMOPROCESSODESOMA CAP. XVmos assimretangulos cujas areas devemos somal'. Paraisto, pro-cedemoscomosegue: aplicamos (B) do 116 a funyao f(;t:) nopri-meiro subintervalo (a, b1). Notando que l' (x) =cf> (x), que X'IesMnesseintervaloe que b1- a =temosSemelhantemente, obtemos, aplicando (B) do 116 aos demaissubintervalos:f(b 2) - f(b1) =cf>(x' 2) para 0 segundointervalo,f(bs) - f(b2) =cf> (x's) para 0 tel'ceirointel'valo,f(b) - f (bn-1) =cf>(:c' n) paru 0 n-egcsimointervalo.Somandomembroa membro:Mas,cf>(X'l) = area dopl'imeiroreb1ngulo,cf>(x' 2) = dosegundoretangulo, etc.Logo, a soma no segundo membrade(1) eigual a soma das areasdos retangulos. Mas, pOI' (1), 156, 0 primeiro mem.brode (1)eigual a area soba curva y=cf>(x). Logo, a soma(2)nL: (X'i) i=leiguala area soba CUl'Vll.Asoma(3)nL:cf>(Xi)(onde Xie uma abscissa;=1qualquer dosubintervalo158 AREAS DAS CURVAS 321(construida como no ultimo ) naoda, necessariamente, a area,como vimos. Mostremos, contudo, que quando n tende ao infi-nito de modo que cada subintervalo tenda a zero, a diferentta entre(2) e (3) tende a zero. Realmente, a diferentta cP(X'i) - cP(Xi) e,emvalor absoluto, menor ouigual adiferentta entrea maximaeaminima ordenadas da curva emt.Xi. Alemdisso, e sempre pos-sivel*tornarestasdiferenttas, emvalorabsoluto, menores quequal-quernumeropositivoE prefixado, escolhendondetal forma grandeque ca.da subintervalo tenha urn comprimento suficientemente pe-queno. Paraumatal escolhaden, a diferenttaentreas somas (2)e (3) sera, pois, emvalor absoluto, menor que E (b - a), isto e,menor que urn numero qualquer prefixado, ainda que muito pe-queno. Adiferentta tende, portanto, a zero quando n tende aoinfinitodemodoque cadasubintervalotendaa zero. Masa soma(2) eigual a IbcP (x) dx; logo,sendo os t.Xi os comprimentos dos subintervalos emque foi divi-dido[a, b1eXi pontosarbitrariamenteescolhidosemcadaurndessessubintervalas.y(B) Area= Iby dx,158. - Areas das curvas planas; coordenadas retangulares.Como ja foi visto, a area compreendida entre a curva y= cP (x),o eixodos xxeasretasx= a e X= b,edada pelaformulasendoy = cP (x),Aigualdade (B) podeser memorizadafacilmente observando-sequeurnelementodearea eurnretangulo (comoCR) de base dx ealturay. Aarea quesequerABQPe0 limitedassomasdasareasdetaisretanguloscompreendidosentreossegmentosAPeBQ. Comoae m08tra emIivro. de c&1culomaiaadiant&do322 INTEGRAQAOCOMOPROCESSODESOMA CAl". "XVxao ca,lculooeixodosyoPRIMEIRO PASSO. Construamososn retangulos como na figura. Aareapedida e 0 limiteda soma dasareas destes retangulos quando ncresce indefinidamente de modo talque 0 comprimentode cada interva-10tenda a zero.Apliquemos agora 0 teorema fundamental ( 156)da area limitada pela curva x= cP(y) (ABnafigura),yy e as retas horizontais y=c Iey=d.SEGUNDO PASSO. Indiquemos as alturas por !::.Yl, !:!..Y2, etc.Tomemosurnpontoemcadasubintervalo, porexemplo, aextremi-dadesuperior, eindiquemosospontosassimobtidosporYl, Y2, etc.As basessao, entao, cP(Yl), cP(Y2), etc., e a somadasareas dos re-tangulos e, pois,n+cP(Yn) !::.Yn = L: cP(y,) !:!..Y'i-1TERCEIROPASSO. Apliquemos 0 teorema fundamental; temoBxLogo, aareacompreendida entre umacurva, 0 eixodosYYe ashori-zontais y=ce Y =dedadapelaf6r-mula(C) Area= jdXdy,onde x deve ser substituido pela ex-pressao, emtermos de Y, que provemda equaQaocia curva. A f6rmula (C)pode ser memorizada pela observaQao de que ela representa 0 li-mite da soma dos retangulos horizontais internos aarea pedida,sendox e dy, respectivamente, a basee a altura de urnretangulogenerico. Urntal retanguloeurnelementodaarea.158 AREAS DAS CURVAS 323Significado do sinal negativo antes de Ulnaarea. Na for-mula(B), a emenorque b. Como0 segundomembro e 0 limitedasomadentermos que resultamde YitlXi, fazendoi =1,2,3, ... , n,entao, se y e negativo, cadatermodasoma e negativoepor conse-quente (8) dara umaareaprecedida dosinal negativo. Isto significaque a figura esM. abaixodoeixodos X.'l:.Exemploilustrativo 1. Achar a area deurnarcoda sen6ide y = sen x.SOLUQAO. Pondo y=0 e achando x, ternosx =0, -rr, 2-rr, etc.Substituindoem(B),Area OAB= jbydx= 1" senxdx=2jb J27rTemos tambern Area BCD- a y dx'" " senx dx = - 2.Exemplo ilustrativo 2. Achar aarealimitadapela parabola semi-cubica ay2 = x3, 0 eixo dosyyeas retas y=ae y=2 a.SOLUQAO. Pela (C) acima e a figura, 0 ele-1 2mentodearea. xdyeigualaa3 y3 dy, tendo-se ti-rado0 valor dexda equac;ii.o dacurva. Logof2a 1 2Area BMNC= a a 3y3dyyr:-----pN= i a2( ~ - I) = 1,304 a2 Resp.Note que a2=area OLMB.Na 'areadadapor (B) umafronteira e 0 eixodos xx. Em(C)umafronteira e 0 eixodos yy. Consideraremos agora a arealimi-tada por duas curvas.Exemploilustrativo 3. Achar a arca limitada pela parabola Il = 2 x careta x- y =4.324INTEGRA.160. - Volumes doss6lidos deSeja V0 volumedo solido gerado pela revoluc;:iio, em tOrno deOX, da superficie planaABCDe sejay=j (x)oya equa9aoda curva plana DC.PRIMEIRO PASSO. Dividamosasegmento AB em npartes decom-primentos .Ci.Xl' .Ci.X2' ... , .Ci.xn etracemos urn plano perpendicularaOXpar cadaurndospontos de divisao. Estesplanasdecompoem 0 Xa solido em n faixas circulares.Construamos reta.ngulos de bases.Ci.XI, .Ci.X2, .... , .Ci.xninternos aABCD, como mostra a figura.QuandoABCDgira emtorno deOX, estes retangulos geramcilin-drosde revoluQao, havendo, pais, urn cilindrodent-rode cadafaixacircular. (Nafigura e n=4 esaodesenhados dois cilindros). 0 li-mite da soma dos volumes destes n cilindros quando n tende aoinfinito de modo que cada subintervalo tenda a zeroe a volumepedido.SEGUNDOPASSO. SejamYI, Y2, ... , Ynasordenadasdospontosdacur-vaDCcorrespondentesasabscissasdos pontosdedivisaodo160 VOLUMES DOS S6LlDOS DE REVOLUgAO 331intervalo AB. Entao 0 volume do cilindro gerado pelo retanguloAEFDe 7ry12 AXl easomadosvolumesdoscilindros en7ryl2AXl +7rYzzAX2 + ... +7ry,,2 Ax" = L-rry;2 Ax;i=1TERCEIRO PASSO. Aplicando 0 teorema fundamental (usandoos limites OA=a, OB=b),lim 7rYizAx; = 1b-rry2 dx.n-+a) i=lLogo, 0 volume do solido gerado pela revoluc;ao, emtorno deOX, da area lirnitada pela curva, 0eixo dos xx e as retas x = a ex=b e dado pela formula(E)16V",=71 a y2dx,onde0 valor dey, em termos dex, provem da equac;ii.o da curva dada.Estaformula pode ser facilmente memorizadase considerarmosuma faixa circular de espessura muito pequena como, aproximada-mente, urn cilindro de altura dx e cuja base tern area igual a 7ly2e pOl' conseguinte urn cilindro de volume 7ryz dx. Este cilindroeoelementode volume.Semelhantemente, obtemos, quando 0 YeoelXOde revoluc;ao,a formula(F)uncle 0 valor de x, emtermos de y, provemda equac;ao da curvadada.332 INTEGRAgXOCOMOPROCESSODESOMA CAP. XVExemploilustrativo 1. Achar 0 volume gerado pelaemtorno. x2 y2de OX, daellpse a2+b2= 1.b2SOLU9AO. Como y2= - (a2- il)a2e0volumepedido eduas vezes.0 volumegeradopor OAB, obtemos, substituindoem(E).V_ 411"ab2x - 3 .411"a3Quandob=a, temos Vx= -3-volumedeumaesfera, caso particulardoelips6ide. Quandoa elipseguaemtornodoeixomaior, 0 s6lidoque gers.diz-seelips6ide alongado; quandoemtOrnodoeixomenor, elips6ide achatado.Exemploilustrativo2. Aarea limitada pela parabola semi-cUbica(1)poiseeixo dos yye a reta AB (y = a) gua emtorno de AB.Achar 0 volume dos6lidodegerado.SOLU9AO. Aarea que guae OPABda figura.Dividamos 0 segmentoABemn partesiguaisesejaAx 0 comprimento de cada uma delas. Na figuraNM e umadessas partes. 0 reti1nguloNMPQgeraumcilindro, cujovolume e um elementodovolumequedesejs.mos. LogoElemento de volume = 1I"r2h= ?r (a- y)2 Ax,r = PM=RM- RP=a- yh=NM= Ax.Peloteoremafundamental temos, pois,(2) Volume do s6lido =V=11" faG (a- y)2 dx =11" faG (a2- 2 ay + 'If) dx,visooseremx=0 e x= AB=a 08 limites. Substituindo Y pelo valor dadopor (1), obtemos V = 0,45?r a3 Resp.Confronte0resultado com0volume do cone de revolu9ao de altura AB (=a)e cujabasetemraioDB (=a). Volume docone = t?ra3160 VOLUMES DOS S6LIDOS DE REVOLUltAO 333Se a CUl'va CDda figura da pagina 330e dada pOl' equayoesparametricasx= f(t), Y = (t),poe-seem(E), y= (t), dx= l' (t)dt e set=t1quando x=a, t =t2quandox=b,entaoos limites de integrayaosaot1et2 VoluIIle de UIIl solido0:'::0 de revolu!;ao. Quando umaareaplanagiraemtornadeum eixoquenaoacorta, obtem-seurns6lidode revoluyao oco. Consideremos 0 s6- ylidoobtidopela revoluyao, emtOrnodeOX, da area ACBDAda figura. Cor-temos 0 s6lidoPOl' urn sistema de pIanosperpendiculares aoeixode revoluyao eoequidistantes. Seja.ix adistancia entre -0-t-----L..----'==----l_Xdois pIanos consecutivos. 0 s6lidofica b ----Idecompostoemfaixas circulares -1 dx.Apliquemos a formula(A) ao ultimo termo de (3), substituindo-senaf6rmulampOl' m + n e p pOl' P- 1. TemosfXm+l (a + bx')1'h xm+n(a + bX,,)p-l dx =np + m +1a(m +1) f-- ' .l:m (a + bX,,)p-l dx.np + m + 1Substituindo isto em(3) e reduzindo os termos semelhantes,obtemo8a f6rmula (B).Cadaaplicac;aodaf6rmula (B) diminui pde umaunidade. Aformula (B) falba nomesmocasoemque (A.).III. de (C). Tirandodaf6rmula (A.)f.r;m-n(a + bx")p dx,e substituindo mpOl' m + n, obtemos (C).Cada vez que aplicamos (C), m e substituidopOl' m + n. Quandom + 1 =0, aformula (C) alba, mas nsetecasoa diferencialpodeser tratada pelo metoda do169 e portantoaformulanaoeneces-saria.174 F6RMULAS DE REDUQAOPARADIFERENO.391IV. DedUf;aode (D). Tirandodaf6rmula (B)esubstituindoppor p + 1, obtemos(D).Cadaaplicayaode(D) aumentapdeumaunidade. Evidente-mente, (D) falha quando p +1= 0, mas entao p= - 1e a ex-pressao e racional.Af6rmula (5) doCasoIV, 167, e urncasoespecial de (D),qua.ndom=0, p =- 11-, n=2, a =a2, b =1., , f z3dx 1 ( !)i CExemplo tlustratlvo 1. = - - r-+2) (I-x- + .vI- z3 3SOLUI;AO. Aqui m= 3, n= 2, p= - t, a= 1, b= - 1." caso aplicamos a f6rmula de reduy8.o (A)porque a integraylio sera con-duzidaAde f x (1 - z3)-1 dx, A qual pode-se aplicar e. f6rmula de. poMnciA.Portanto, substituindoem(A), obtemosf-I - z3-2+1(1 - x2)-i+1z3(1 - z3) dx- _ 1 (_1 + 3 + 1) -1 (3- 2 + 1) f -2 !-i- _ 1 (_1 + 3 + 1) z3 (1 - x) dx- - i- z3 (l - x2)1 - { (1 - x2)i + C1 - "3 (x2 + 2)(1 - x2)i + C.E I'I . f x4dx ( 1 .., 3 2) xemp0 1 ustratlvo 2. (a2_ x2)i = - 4" x- + Sax V a2 -z33 x+ -a4arcsen - +C8 a392 It'OR:IIULAS DEREDUctAO- UBa DE TAllELAS CAP. XVIISugesliio. Aplique (A) duas vezesExcmplo ilustrativo 3. f (a2+ x2)+ dx= ~ Va2 + x2a2+ 2" III (x + Va2+x2) +CSugestiio. Aqui m= 0, n = 2, p= t, a= ~ 2 , b= 1. Aplique (B) umavcz.fdxExcmploilustrativo4. Ixavx2- 1Sugestiio. Apliquc (C) umavez.PRODLEMAS(x,2- 1)+ 1- - ' - ~ - - ' - +-2 arc sec x +C.2x2Caleuleeadauma das seguintesintegrais.1.2.3.5.6.8.10.175. }1,' entao rntende aoinfinito quandon cresce indefi-nidamente( 18) e p o ~ isto, pelasegundadasf6rmulas (2), asomaSntendeaoinfinito. Neste Icasodiz-sequeaserieedivergente.Umcasopeculiarseapresentaquandor = - 1; aserietorna-se(4)Sequandolimite.a -" a +a- a +a - a, , , .n e par, a soma Sn e zero; se ne impar, a soma e a. Por isto,n cresce indefinidamente, a soma Sn naotende a nenhumUmatal serie diz-se oscilante.Exemplo ilustrativo. Consideremos a serie geometrica, coma=l, r=!,(5)Ac4amos,1 18n =I+2'+"4+por (2), que1+ 2n- 1Entao,(6)1 __1_Sn = _--:2=-n_= 2_1- '! 2n- 1limSn = 2,..-.",resultadoque concorda com(3) para a = 1, T = !.Einteressanteexami-nar (5) geometricamente. 0 1Para isto, marquemos va- I l . s ~lores sucessivos de 8" so-breumareta, comonafigura.n112I..!.2311.44 etc.1!-.- t8 ec.Cada ponto assimobtidoeponto medio do segmento compreendido entre 0pontoprecedente e 0 ponto2. Logo, (6)e 6bvia..PROBLEMASEmcada uma das seguintes series (a) descubra a lei de for-mar;ao; (b) escreva mais tres termos; (c) ache 0 n-egesinlo termo(termogeral).1.2.2 + 4 + 8 + 16 +Resp. n-egesimotermo= 2".(-l)n-ln4.30 SERIES1 1 2 33. -"2 + 0+"4 +"5 +"6 +CAP, XIXn-2Resp.n+ l'x2X3x44. X + T+ ~ +1. 2. 3 +5. v' X+ _X_ + X.y; + x 2+...-2- 24 2.4.6 2468a2a3a4as6.---+---+3 5 7 9x22t::(_a)n+l2n + l'Escreva os quatro primeiros termos da serie cUJO f/,-egesimotermoe 0 dadoabaixo.2n-1Resp. 7.v'n'8.n+22n- 1n9.3n- 1 xn- 110.v'n'II.(_l)n-1x2n- 1/2n-12481+ -=+-=+----=+v'2 v'3 v' 44 5 63+ -+-+-+3 5 72 3 41+-+-+-+3 9 27X x2x31+--+--=+--=+v'2 v'3 v' 4x3xSXix-_+---+ ..I! I! I ~(x-a)n-l12. I ~184. - Seriesconvergentes e divergentes.Asomae umafunc;3.o de n. Fazendo 0 nllmerode termos(=n) crescerindefinidamente, dais casas podem-se dar.CASO1. S" tende a urnlimite, digamos u, isto e,(1) limSn= U.n-+a>Neste caso diz-se que a serie e convergente e que converge par'valor u, ouainda que tem0 valor U185 TEOREMAS GERAIS 431CASOII. 8nnaotendeanmlimitefinito. Nestecaso, a seriediz-senaoconvergenteExemplosde seriesnao convergentes sao1+2+:3+4+5+1-1+1-1+ ....Comose clisse acima, parauma serie convergente 0 valor da seriee 0 numerou (algumas vezes chamadosomadaserie) definido pOl'(1). Uma serie nao convergente nao tern soma.Nas apJicagoes das series, as convergentes saode muito maiorimportancia. POl' isto, e essencial tel' meios para examinar umaserieno que concerne a convergenciaounao.185. - Teorem.as gerais. Antes de dar metoclos espeClalf.para 0 exame de uma serie no que conccrneaconvergencia, cha-mamas a atengao para as seguintes teoremas, cujas demonstragoessaoomitidas.Teore01aI. 8e 8n e umavaridvel quecrescesempre quandoncresce, masnao enuncamaioi' que umnumerofixo..'1, entaoquandon tende aoinfinito, 8ntende aumlimiteu que nao emaiorque A..A. figura ilustra a afirmag3.o. Os pontos determinados pelosvalores 8 1, 82, 83, etc., aproximam-se dopontov, sendo:lim8n= u,n-to>)cuenaomaior que A.Exemploilustrativo. Mostre que a serie(I)1+-+ ... c convergen!e.SOLU1 e e diver-gente emcasocontrdrio.DEMONSTRAQAo.Escrevamos (10) como abaixo e a confron-temos com a serie escrita abaixo dela. Os colchetes sao u s a d o ~pamajudar no confronto.[ 1 1J [1 1 1 1J(1l) 1+ 2p + 3p + 4p +5P +6p + 7p ++[ ~ + .. - +_1 J+8p 15pPara p >1, os termos de (12) nao saomenores que os corres-pondentes termos de (1l). Tvlas, em(12), as somas de dentro doscolchetes saoe aSSlmpor diante. Logo, para examinar (12) no que concerne itconvergencia, podemos considerar a serie(13)11+-+2P-l ( 1)2 (1 )32p-l + 2P-l +436 SERIES CAP. XIXQuando p >1, a serie (13) e uma serie geometrica de razaomenor que 1e portanto convergente. Logo, (10) e tambemcon-vergente. Quando p =1, a serie (10) e a serie harmonica epor-tanto divergente. Quando p 1).Fazendo x=1em(2), obtemosque eumaserie alternadaconvergente.A serie do exemplo acima tern [-- I, 1] como intervalo de convergllncia. Estepode tambemescrever-se - 1 .::; x S 1 ou indicado graficamente como segue Exemplo ilustrativo2. Determinar 0 intervalodeconvergllnciadaserieSOLU'" nteremos, paraqualquer valor fixode x,10 U,,+\P = 1m - = (x- a) Mn->'" UnTemosdois casos:I. Se M = 0, a serie(1) e convergente para todos os valores de x.II. SeMnaoe zero, aserie(1) convergenointervaloExemplo ilustrativo. Examinar 0 comportamentodaserie(x- 1)2 (x- 1)31- (x-I) +-----+0002 3noque concerne a convergencia.SOLU9AO. Omitindo 0 primeirotermo,Un...l = _ _ n_ (x_ 1) .Un n+IOra,Logo, Ipl = I x-I I ,e portantoa serie converge quando x esta com-preendidoentre 0e 2. 0 extremo2podeestar incluido.450 SERIESEXERCtCIOS1. Usandoa serie binomial, mostre que1 ?-- =1 - x + x - - x3+....l+xCAP. XIXVerifique 0 resultadodividindodiretamente.Usando a serie binomial, achar aproximadamente os valoresdos seguintes numerosYI:lS. V"35.1 .2. ;>. 8.

II.:25 1 1.3. 6.412'9.

1:1 125V6:W.]1 .4. 7.y412'10. I;,.1GPara que valores da variavel econvergente cada umadas se-guintcs series?14.IS.16.17.18.19.(x+l) _(1'+l)2 + (X+1)3_ (X+1)4+ .. ,. R 2 2 +cos2cf> d82).(Nafigura do 222,--2 --2 .. corda PlQ(corda PlQ)2 =PlMl + MlQ e hm }' Q =1).arc Jl3. Seds e adiferencial doarcodeuma curvasobre a Cartade Mercator, mostrar que ds2=sec2cf>(dcf>2 +cos2cf> d8Z). (Compa-randocom0 Problema2, temos dSl 2= a2cos2cf> dsZ).4. Achar 0 comprimento de uma loxodramica entre pontosc u ~ a s latitudes diferem de tJ.cf>. Resp. a cossec a tJ.cf> (a= raio daTerra).5. Mostrar que as quatroprimeiras f6rmulas em(4), p. 3, !:l(D), (E), 213, subsistemquandox, y, ve wsao substituidos pOl'numeros complexos (Useas definic;oes (5)).6. Demonstreas f6rmulas do Problema 6, p. 558, usandoosresultados doProblema 5e (L).. . senh 2 x +i sen 2 y7. Prove que tgh(X+2Y) = h2 + 2 .cos x cos y8. Deduza a f6rmula para tg (x + iy) do resultado do pro-blema precedente.CAPITULOXXIIIDERIVACAOPARCIAL224. - F u n ~ o e s de diversas variaveis. Noscapftulosprece-dentesestudou-se 0 calculoparafunyoes de uma variavel. Vamosagoraestudar funyoes de mais de uma variavelindependente. Namatematica elemental' encontramos exemplos simples de tais fun-yoes. Assim, 0 volumedeumcilindro circularreto(1)euma funyao das duas variaveis independentes x (=raio) e y(=altura). Aarea de umtriangulo(2) u = txysenae umafunyao das tres variaveisindependentes x, yea, represen-tando, respectivamente, dois lados e 0 Angulo compreendido entreeles.Tantoem(1) comoem(2) osvaloresquepodemseratribuidosasvariaveisdosegundomembrosao, evidentemente, independentesumdooutro.Arelayao(3) z= j (x,y)pode ser representada graficamente pOl' uma superficie, lugar geo-metricodaequayao(3), interpretando-sex, y ezcomocoordenadasretangulares, comona geometria analitica do espa =- 3 sen 2fJ sen 3 .Resp.ap ...acf> =e8+'1'{cos (fJ- cf - sen(fJ- )};ap ...a=e8+'1'{cos (fJ- ) + sen(fJ- )}.8.9.10.11.12.13.j (x, y)=3 x4- 4 x3y +6X2y2.X + 2yu=y+2z'..,- yz=e"ln-'--.xj (x, y) = (x + 2 y) tg (2 x + V).p=tg 2fJ ctg 4cf>.op =e-6 cos --;j; 14. Se j(x, y)=2- 3 xy + 4 y2, mostre que j., (2, 3) ==- 1, j1/ (2, 3) =18.15.2x 3Se j(x, y) = --,mostreque 1. (3, 1) = -!,11/ (3, 1) =2" x-v225 DERIVADAS PARCIAIS 56717.20.18.19.16. Se J(x,y)=e.... sen (x + 2 y), mostre que (0, : ) == - 1,Jv (0, :) = o.au au .Se u=Ax4+2Bx2y2+Cy4, mostre que x ay+y ay = 4 u. au auSeu= -+,mostreque x+ y= 3 u.x y uX uySeu=x2y + y2z+ Z2X, mostreque au +au +au =ax ay az= (x + y + Z)2.Axn+Byn au auSe u= Cx2+ Dy2 ' mostre que x ax +yay = (n-2) u.21. A area de urn triangulo edada pela f6rmula K=!be sen A.Dadosb= 10polegadas, e= 20polegadas, A = 60,(a) achar a area;(b) acharavelocidadedevaria98.0daareaemrela98.oao ladobse ee A permanecemconstantes;(c) achara velocidade devaria98.0daareaemrela98.oaoan-guloA se beepermanecemconstantes;(d) usando a velocidade achada em(e), calcularaproximada-menteavaria98.0daareaquando0angulo e acrescidodeumgrau;(e) achar a velocidade de varia9ao de eemrela98.0a bse aareae 0angulopermanecemconstantes.22. Alei dos cossenos para urn trianguloea2= b2+e2-- 2 be cos A. Dados b= 10polegadas, e= 15polegadas, A. = 600,(a) achar a;(b) achar a velocidadede varia9ii.ode aem rela98.0a bse e eApermanecemconstantes;(c) usando a velocidade achadaem(b), calcular aproximada-mentea varia98.0de ase b decrescedeumapolegada;(d) acharavelocidadedevaria98.0deaem rela98.0a A sebecconstantes;.(e) achar avelocidadedevaria98.0dec emrela9aoa Asea ebpermtPlCCemconstantes.568 DERIVAQAO PARCIAL CAP. XXIII227. -Diferencialtotal. No91 vimos 0 quee diferencialdeumafun = !7r, de =0,2e dcp=- 0,2.228. - Valoraproximadodoacrescimo. Pequenoserros.Asformulas(B) e(C) sao usadasparacalcular Au aproximadamente.Quandoos valores de x e y sao determinados por medida oupeiaexperienciaeportantoestaosujeitosaerrospequenos Axe /::"y, umaaproxima9aosensivel doerroemupodeser achadopor (B). (Con-fronte 92e 93).Exemplo ilustrativo. Achar, aproximadamente, 0 volume do material comque ~ feitaumapanelasemtampadeforma ciHndrica, sabendoque 0 diAme-trointerioreaalturasao, respectivamente, 6 polegadas e Spolegadas equea espessurado material Ii de ~ .depolegada.80LUgAO. 0 volume v de urn cilindro circularreto comdiametro x eal-tura y ~(1) v=t7rX2y.Obviamente, 0 volume do material Ii a diferen9a t.v entre os volumes de doiscilindros, umpara 0 qual x = 6i, y = ste outro para 0 qual x =6, y = S.('AlmosequerapenaRumvaloraproximado, podemoscalcular dv ao i n v ~ de t.v.572 DERIVAQAO PARCIALDerivando(1) e usando(B), obtemosCAP. XXIII(2)1 1Pondoem(2), x = 6, y=8, dx = '4' dy= "8' obtemosdll =7 ~ r =22,4 polegadas cubicao Resp.ovillor exato e All = 23,1 polegadas cubicas.Exemploilustrativo2. Mediu-sedoislados de um triAngulo e 0 A n ~ l ocompreendidoentreeles eachou-se, respectivamente, 63pes, 78pes e60". AEmedidas estao sujeitas a umerro maximo de 1 pe emcada comprimento e1.0noAngulo. Achar 0 mitximoerroaproximadoe 0 erropOl' centumnocaIculodo terceirolado, usandoestas medidas.SOLuc;:lo. Usandoa lei dos cossenos 7), 2),(3)ondex, ysaooslados, a 0 Angulocompreendidoentreeleae 1.1 0 terceirolado.Os dados sao7f'(4) x=63, y =78, a=60"= "3' dx=dy= 0,1, dy=0,01745 (radiano)Derivando (3), vemau x- ycosaax = 1.1Logo, usando (C),au y- x cos a, ay = 1.1 'au xy sen aaa =--u--du = (x-y cos a) dx +(y-x cos a) dy +xy sen acia1.1Substituindoos valores de (4), acham08d2,4 +4,65 +74,25 3 .t. Ru= 7 = 1,1 p". esp.71,duoerro per centume 100 - = 1,6 %. Resp.1.1PROBLEMAS1. Mediu-seoscatetos deumtrianguloretanguloeachou-se6pese 8pes comerros maximos em cadaumde 0,1pe. Achar ~ 2 8 VALOR APROXUIADODO ACRESCHrIO 573aproximadamente 0 erro maximo e 0 erro pOl' centum, ca.lculando(a) a area, (b) a hipotenusa, usandoestas medidas.Resp. (a) 0,7pes quad., 2,9%;(b) 0,14pes, 1,4%.2. No problema precedente achar, usando as dadas dimensOes,oanguloopostoaomaioI'ladeecalcular 0 maximoerro aproximadonesse anguloemradianoseemgraus.3. Os ra.ios das bases de urn tronco de cone circular retoforammedidos e se achou 5polegadas e 11 polegadas. Mediu-setambema geratrizeestaacusou 12polegadas. 0 erromaximoemcada medidae0,1depolegada. Achar 0 erroaproximadoe 0 erroper centum calculando,com estas medidas, (a)aaltura, (b) 0 volume(ver (12), 1).Resp. (a) 0,23 polegadas, 2,2%;(b) 24,47r polegadas cubicas, 3!%.4. Urn lade de urntriangulo mede2 000 pes eosangulos adja-centes medem30e 60, comurnmaximoerroemcada angulode30'. 0 maximo errona mE.ldida dolade e 1pe. Achar 0 ma-ximo erro aproximado e 0 erro per centum, calculando medianteestasmedidas(a) a alturarelativaaodadolade; (b) a areadotri-angulo.Resp. (a) 17,88pes; 2,1%.5. 0diametro e aalturadeurn cilindrocircular reto medem,comumerro provavel de 0,2 polegada emcada medida, respecti-vamente, 12polegadas e 8polegadas. Qual e, aproximadamente, 0maximoerropossivel nocalculodovolume?Resp. 16,87r polegadas cubicas.6. As dimensoes de uma caixaforamobtidas, comurn erroprovavel de0,05pe namedida; achou-se6, 8e12 pes. Pergunta-se(a) qual e, aproximadamente, 0 maximo erro possivel no computodovolume? (b) qual e 0 erroper centum?Resp. (a) 10,8pes cubicos; (b) ~ % .7..x ey saof' . x- y 4 2Dada a super lCle z = -+,senopontox= ,Y= ,x yacrescidos de to, qual e avariac;ao aproximada de z?Resp. -!fa\574 DERIVAQAO PARCIAL CAP. XXIII8. 0peso especifico de urn solido e dado pelaf6rmulas= p ,woude Pe0 peso no vacuo eW0peso de igual volumeciaagua. Comoe afetado0 peso especifico por urn erro de funopesode Pe~nopesodew, tomando-seP = 8ew =1, (a) seambososerros saopositivos, (b) seumerroenegativo; (c) qual e, aproximadamente,omaximoerroper centum?Resp. (a) 0,3; (b) 0,5; (c) 6t%.9. 0dilimetroea geratrizdeurnconecircular retomedemrespectivamente 10polegadase 20polegadas. Sehaurnerropro-vavel de 0,2 polegadaemcada medida, qual e, aproximadamente,omaximoerropossivel nocalculodovalor (a) dovolume? (b) dasuperficielateral ?3771',115 2Resp. (a) 18 = 25poleg. cub.; (b) 371' =9,42pol.10. Mediu-sedoisladosde urntrianguloeachou-se 63pese78pes. 0 lingulocompreendidoentre as Iados mede 60, comumerroprovavel de 2. Sabendoque haumerroprovavel de 0,5 penamedidadoslados, qual e, aproximadamente, 0 maximoerropos-sivel nomUculodovalor daarea? (Ver (7), 2).Resp. 73,6pes quadradol!l.11. Se 0 pesoespecifico deumcorpoedeterminadopelaf6r-mula s= A~ W onde Ae0 peso no ar eW0 pesonaagua, quale (a) 0 maximo erro ems, aproximadamente, se A varia entre9- 0,01 libras e 9 + 0,01 libras e Wentre 5- 0,02 Iibras e5 +0,02libras? (b) 0 maximoerrorelativo?23Resp. (a) 0,0144; (b) 3600.12. Calculou-se a resistencia de um circuito pela formulaC =~ , ondeC =corrente eE= fOTlia eletromotriz. Se ha um errode0,1deamperena leitura de Cede 4devolt naIeitura de E, (a)qual e 0 erroaproximadoemRseasleituras sao C= 15 amperese E=110volts? (b) qual e 0 erroper centum?Resp. (a) 0,0522ohms; (b) ~ % .13. Se se usa a f6rmula sen(x+y) = sen x cos y+cos x sen ypara calcular sen (x +y), qual e 0 erro aproximado no resultado228 \1ALOR APROXIMADODO ACRESCIMO 575sesecometeurnerrode 1, namedida tantodexcomo de y, sa-bendo que as medidas dos dois angulos agudos deram sen x= iesen y= fa? Resp. 0,0018.14. A aceleraQaodeumaparticulaquedescenumplanoincli-nadoe dadapora= g sen i. Seg variade0,1pe por segundoqua-dradoei, cujamedidaacusou30epassiveI deurnerrode 1, quale 0 erroaproximadonoca,lculodovalor dea? Tome 0 valordegcomo32pes por segundoquadrado.Resp. 0,534pes por segundoquadrado.15. 0 periodo deurne P= 2 ;(a)qual e 0ma-ximoerroaproximadonoperiodosehaurnerrode 0,1pename-didade cada 10pesena medidade g =32pes por segundoqua-dradopode haver urnerrode 0,05pepor segundoquadrado? (b)qual e 0 erroper centum?Resp. (a) 0,0204 seg; (b)16. Asdimensoes de um conesaoraiodabase=4 polegadas,altura =6 polegadas. Qual 0 erro aproximado no volumeenasuperficie total seha urn encurtamentode 0,01 polegada por pole-gadanamedida usadaResp. dV= 3,0159polegadas cubicasdS= 2,818polegadas quadradas.17. 0 comprimento leoperiodo Pde urnsimplesestao Iigados pela relaQao 4 7l2l=p2 g. Se l e calculadoadmitindoP= 1segundo e g =32 pes por segundo quadrado, qual e aproximadamente 0 erroemlseosvaloresreaissaoP=1,02 segundoeg =32,01pespor segundoquadrado? Qual e 0 erroper centum?18. Urn s6lido tern a forma de urn cilindro terminado nosextremos por semi-esferas de mesmoraioque 0 docilindro. As di-mensoes sao dia.metro =8 polegadas e comprimento total = 20 pole-gadas. Qual eaproximadamente 0 erronovolumeena superficiese a fita usada paraa medida esticou-se uniformemente !%alemde seupr6priocomprimento?19. Admitindo que a equaQao caracteristica de umgas per-feito e vp= Rt, onde v=volume, p= pressao, t =temperaturaabsolutaeR= constante, qual ea relaQaoentreasdifereneiaisdv,dp e dt? Resp. vdp+" pdv= Rdt.576 DERIVAQAO PARCIAL CAP. XXIII20. Usando 0 resultado anterior emrela9ao ao aI', suponhaque achou-se numdado caso t = 3000C, p= 2000 libras pOl' pequadrado, v =14,4pescubicos. Acharamudan9aemp, admitindoqueela e uniforme quando t muda para301 Ce vpara 14,5pescubicos, sendo R=96.Resp. - 7,22Iibras POI' pe quadrado.229. - Derivadastotais. Velocidades. Suponhamosqueasvariaveis x e y quefiguramem(1) u=j (x,y)nao sejamindependentes. Suponhamos, pOl' exemplo, que ambassejamfun90es de uma terceira variavel t, precisamente,(2) x = rj> (t), Y = if; (t).Quandoestes valores saosubstituidos em(1), u torna-se umafunyaode umavariavel teasuaderivadaemrelayaoa t pode serachadadomodousual. Temos, neste caso,(3)dudu = -dtdt 'dxdx= -dtdt 'dydy= -dt.eltAf6rmula (B) foi deduzida supondo que x e y sao variaveisindependentes; podemos, contudo, mostrar facilmente que elatambemvale para 0 caso atual. Para faze-Io, voltemos a (10),227, edividamosambosos membros pOl' tlt. Obtemos, mudandoa notaetao,(4)tlu=au tlx+a ~ tly+(E tlx+E' tly) .tlt ax tlt ay tlt tlt tltOra, quando tlt ~ 0, tlx ~ 0 e tly ~ 0; logo (vel' 227)limE= 0, limE' = o.t.t->O t.t->OPortanto, quandotlt ~ 0, (4) torna-se(D)du _ audx + au dydt - ax dt ay dt .Multiplicandoambos osmembros POI' dt e usando (3), obtemos(B), istoe, (B) valetambbnquandoxeysao j u n ~ { j e s detunaterceiravaridvel t. 229 DERIVADAS TOTAIS - VELOCIDADES 577Domesmomodo, seu=j (x,y z)e x, y ezsaofun90esde t, temos(E)du = audx+ audy +au dzdt ax dt ay dt az dt 'e assimsucessivamente para urn numero qualquer de variaveis.Em(D) podemossupor t = x; entaoy eumafuu9aode x eue realmente uma fun9ao de uma variavel x. Tem-se neste caso(F)du au audy---+--dx - ax aydx (G)Domesmo modo, de(E) resulta, quandoy e z sao fuuyoesde x,du au +audy +au dzdx =ax aydx 7hdx O 1 d b au du A if' d d'feltor eve 0 servarque ax e dx tern SIgn lca OS I erentes.Aderivada parcial e0 limite darazao entre os acrescimos quandoseda a particular varidvelxum acrescimoesemantemtOdasasoutrasd f d du d . ..varidveis jixas, enquanto na e llllyaO edx as emmsnao se mantbnconstantes quando x recebe 0 acrescimo, mas sojremtamoem elaspropriasoutros tantosacrescimos. Para distinguir aderi-d. I au d d . d du d ' It'va a parCla ax a enva adx costuma-se ar a esta u lma 0nomedederivadatotal deuemrelayaoa x. Deve-se observar queenquantoa derivada parcial tern urn valor determinadoemcadaponto, 0 valor da derivada total num ponto s6 e determinadoquandose da. tambema direyao particular segundo aqual aderiva-da total deveser calculada.Exemploilustrativo 1.z d-uDados 'U=sen y' x= et, y = t2, achar dt .au 1 z au x z dx d!lSOLUCAO. - = -cos -, - = - -C09 -' - = et--= 21.,. ax y y ay 1'2 y' dt ' dt578 DERIVAQAO PARCIAL CAP. XXIIIdu etetSubstituindoem(D), dt = (t - 2) t3 cos t2' Resp.Exemploilustrativo2. Dados u=ea",(y- z), y =a sen x, z=cos x,duachar --dtau au au dy dzSOLugIo. - =aea:l: (y-z) - =ea'" - =- ea:l: j dx =a cos x, - =ax ' iJy I az dx=- sen x.Substituindoem(G),dudx = aea",(y- z) + aea'" cos x + ea:l: sen x = ea'" (a2+ 1) sen x. Resp.Nota. Nos exemplos aeima, poder-se-ia, por substituil,:ao, achar uexplici-tamente emtermos da variavel independente e depois, entao, derivar direta-mentej geralmente, porem, este processo e rnaislange ou entao impraticavel.As f6rmulas (D) e (E) saouteisemtodasas envc,l-vendo velocidade de em ao tempo dededuas oumais variaveis. 0 processoe pnUicamente 0 mesmo queoesbogadonaregradadano52, excetoque, aoinvesdederivaremrelagao a t (Terceiro Passo), achamos as derivadas parciais esubstituimos em(D) ou (E). Ilustremos isto comurn exemplo.Exemploilustrativo3. Aalturadeurn cone circular e de 100 polegadasedecresce a razaode 10polegadas por segundo. 0 raio dabaseede 50pole-gadasecresce a razaode5polegadaspor segundo. Comque velocidade variaovolume?SOLugIo. Seja x = raiodabase, y = altura; entao1 au 2 au 1 u = -3 7rX2y=volume - = -7rxy - = - 7rX'ax 3 'ay 3 .du _ 2 dx 1 2 dySubstituindo em(D), at -"3 7rXy dt +"37rXdt'Mas x=50, y = 100, =5,= - 10.du 2 1. . at= "37r 5000.5- "37r . 2500. 10=15,15 pes cllbicos par segundo.crescendo. Resp.230. - Mudan!;adevariaveis. Beas variaveis de(1) u= j (x, y)230 MUDANQA DE VARIAVEIS 579saomudadas pelatransforma9ao(2) x=1>(1', s), Y =I/;(1', s),asderivadasparciaisdeuemrela9aoasnovasvariaveisl' es podemser obtidas pOl' (D). Realmente, se mantemos s fixo, entao x e yem(2) saofun90es s6de 1'; logo,(3)au au ax au ay-= --+---ar ax ar ay a1' 'sendo, nestecaso, parciaistodasasderivadasemrela9aoa r.Domesmomodo,(4)au _ ~ ~ + au ayas - ax as ay as .Emparticular, sejaa transforma9aodada pOl'(5) x=x' + h, y =y' +k,sendox' ey' asnovasvariaveiseh ek constantes. Temosax ax ay ayax' =1, 1i' = 0, ax' =0, ay' =1 .yObtemos, pois, de (3) e (4).(6)au au au auax ax" ay = ay' .Portanto, a transforma9ao (5) nao altera os valores das deri-vadas parciais.Seosvaloresdexeyem(5) saosubstituidosem(1), obtem-se(7) u=j (x, y) =F (x', y').Os resultados em(6) podemagora ser postos-soba forma(8) fx (x, y) = Fx' (x', y'), fy(x, y) = Fy'(x', y').No 229mostrou-se que (B) everdadeira quando x e y saofun90esdeumas6variavel t. Vamos mostrar agora que (B) tambem580 DERIVAQAO PARCIAL CAP. XXIIIvalequandoxeysao funyoesdeduas variaveis independentes re8,comoem(2).De fato, quando r e8 sao variaveis independentes, temos, por (B)ax axdx=a;:- dr + a;ds,ay aydy = a;:dr +a; ds .Substituamosestesvaloresnaexpressao(9)audx +audax ay Yereduzamospor (3) e(4). Obtemos(10)au aua;:dr + a; ds .Mas, por (1) e (2), u torna-se umafunyaodas variaveisinde-pendentes res; logo, por(B), (10) eigual a duo Consequentemente(9) e tambemiguala du, istoe, (B) valequandoxeysaofunyoesde duas variaveisindependentes.D() mesmamodo, pode-se mostrar que (C) valequandox, yezsaofunyoes de duas outres variaveis independentes231. - Deriva\;aodasfun\;oes hnplicitas. Aequayao(1)J(x, y)=0define x comofunyao(implicita) de y ou ycomofunyao (implicita)dex.Ponhamos(2)entaou = J(x, y);du ~ + ~ ! : J Ldx = ax ay dx 'por (F)231 DERIVAQAO DAS FUNQOES IMPUClTAS 581caso y sejafunyaode x. Emparticular, se y e umafunyaode x,definida impIicitamente pela equayao (1), entao para tal funyaoe u= 0, portantodu= 0ese tem(3)Res01vendo, obtemos(II)dydx=oj~- ojayTemos, assim, uma f6rmula para derivar funyOes implicitas.Estaf6rmula, naforma (3), traduz 0 processoempregadono 41para aderivayaodefunyoesimpHcitas. Todosos exemplos domen-cionadopanigrafopodemser resolvidos comela.Quando a equar;ao deumacurva esta sob a forma(1), a f6rmula(H) fornece ummodo facil de calcular 0coeficiente angular dela.dyExemploilustrativo 1. Dallox2y4 + sen y = 0, achar dx .SOLUQAO. Seja J(:I-, y) = X2y4 + sen y.EntaoPortanto, de (H),;; =2 xy" ; ~ = 4 x2y3 + cos y dy 2 xy4d; = - 4x2y3 + cos y. Resp.Exemploilustrativo2. Sexcresce D. razao de 2 polegadas por segundoquando passa pelo valor x = 3 polegadas, comque velocidade cleve variar yquandoy= 1 polegadag,fimdequeafunc;:llo2xy2 - 3 x2ypermanec;:a constante?SOLUQAO. Seja u = 2 xy2- 3 X2Yi entao, como u permanece constante,d ~ = O. Substituindo este valor no primeiro membro de (D), tranpondo eresolvendoemrelac;:iioa ~ , obtemos(4)audy ax dxdi =- au dtay582TambemDERIVAQAO PARCIALau auax =2 y2- 6 xy, ay = 4 xy- 3 x2.CAP. XXIIISubstituindoem(4),Masdy 2 y2 - 6xy dx"dt=- 4xy-3x2 dtdxx = 3, y=1, dt = 2 .Logody 2dt = - 2 15' polegadas por segundo. Resp,Demodosemelhante, aequa9ao(5) F (x,y;z) =0define z como fun9ao implicita das duas variaveis iildependentesxey. Paraacharasderivadasparciaisdez emrela9aoaxea y,procedamos comosegue.SejaEntaou= f (x, y, z).of of ofdu = ~ dx +ay dy +oz dz,por (B), eistovalequaisquer quesejamasvariaveisindependentes(230). Escolhamos agora z como a fun9ao das variaveis inde-pendentes x e y que satisfaz (5). Entao u =0, du=0 e temos(6)Masagoraof dx + of d + of dz =O.ox oy y ozoz OZdz=~ d x + aydy.Por (B)Substituindoestevalor em(6)esimplificandovern( dF+of~ ) dx + (dF+ of ~ ) d =O.ox oz ox oy oz oy yAqui dx (=~ x ) e dy (=~ y ) sao acrescimos independentes.Podemos, pois, par dy =0, d.-c ~ 0, dividir ambos os membros231 DERIVAgIo DAS FUNgOES IMPLlCITAS 583azpOl' dx eresolver emrela9aoa fu' Obtemos(1)Procedendode modosemelhante, acha-se tambem(J)As formulas (I) e (J) sao interpretadas como segue: nos pri-meirosmembrosz eafun9aodexeyquesatisfaz(5). Nossegun-dos membros Feafun9aode tresvariaveis, x, y, z, dada nopri-meiromembra de (5).Ageneraliza9aode (H), (l) e (J) as fun90es implicitas de urnnumeroqualquer de variaveis e 6bvia.Exemplo ilustrativo. Pebequa"iioz e definidacomofun"iioimpllcitadexey. Acharasderivadas parciais destsfun"iio.SOW9AO.LogoSubstituindoem(l) e (J), vemaz yay = - Z;. Resp.(Compare com0 ExemploIlustrativo do 226).584 DERIVAQAO PARCIALPROBLEMASduNosproblemas1-5achar dt'CAP. XXIII1.Resp.2.u=x2- 3 xy + 2 y2; X =cos t, Y =sen t.dudt= sen 2 t - 3 cos 2 t._r- 1 du 3u=x+4vxy -3 y; x=t3, Y = -t ' - =3t2+ 4+-dt t23. u=easen y +ell sen x; x = ! t, Y =2 t.duResp. dt = ell (! sen 2 t + 2 cos 2 t) + e21(2 sen! t +! cos! t).4. u =2 x2- xy + y2; X =cos 2 t, Y =sen t .15. u = xy + yz + zx; x =t' y = e', x= e-l.dyNosproblemas6-10achar dx pelaf6rmula (H).6. Ax2+ 2 Bxy + Cy2 + 2 Dx + 2 Ey + F=0 .dy Ax + By + DResp. dx = - Bx +Cy +E.7.8.Xl +y3- 3 axy =0 ez sen y - ell cos x=1.dydx=dydx=ay- x2y2- axtil sen x +ez sen y()' cos x - ez cos yNos problemas 11-15verificar que os valores dados de xe ysatisfazemaequa9ao eachar 0 valorcorrespondentede: 11.12.x2+ 2 xy + 2 y =22; x=2, y =3.x3- y3 + 4 xy =0; x= 2, y= - 2.dy 5Resp. dx = - 3.dy = 1.dx23113.14.15.DERIVAQAO DAS FUNQOES IMPLfCITASAx +By + Ce=- =C; x =0, y =O.2 x- y2 xy + y = 4; x =2, y =4.(j& cos y +ell sen x=1; x=0, y=O.585dy Aax =- B'Nos16.az azProblemas 16-20 achar ax eay.Ax 2+ By2 + CZ 2 =D.az Ax az ByResp. ax = - Cz ; ay =- c; .xz - 2y;;;~ - x y .Axy + Byz +Czx= D.azResp. ax=17.18.19.Ay+ Cz.Cx + By'x +2 y + z - 2 Yxyz =10.Resp. az =yz - y;;;; az =ax yxyz - xy ayx3+ y3 +Z3 - 3 axyz= O.az Ax + Bzay =-Cx +By'20. Ax2+ By2+CZ2+ 2 Dxy +2 Eyz + 2 Fxz= G.21. Urn ponto move-se sobre acurva interseyao da esfera x2++ y2 +Z2 =49 com 0 plano y =2. Quandox e 6 eestacres-cendo4unidadespar segundo, achar (a) a velocidade de variayaodeze (b) a velocidade coma qual 0 pontosemove.Resp. (a) 8 unidades POI' segundo;(b) 4 y5 unidadespOI' segundo.22. Urnpontomove-sesobreacurvainterseyaodasuperflciex2+ xy +y2 - Z2 =0 com 0plano x- y + 2 =O. Quando xetreseestacrescendo2unidades pOI' segundo, achar (a) a veloci-dadedevaria9aodey, (b) avelocidadedevaria9aodez, (c) avelo-cidade coma qual 0 pontose move.Resp. (a) 2 unidades pOI' segundo; (b) 2: unidades pOI' segundo;(c) 4,44unidades POl' segundo.23. Aequa9ao caracteristica de urn gas perfeito e RO= pv,onde () e a temperatura, p a pressao, v 0 volume e R uma cons-tante. Numdado instante uma certa quantidade de gas tem15pes cubicos de volume e estasoba pressaode 25libras pOl' pole-gada quadrada. TomandoR= 96, achar a temperat.ura e a velo-586PARCIAL CAP. XXIIIcidadede variayaodelase 0 volume cresce a razaode ! pecubicopOl' segundoea pressao decrescea razaode tode libra POl' pole-gada quadrada pOl' segundo.Resp. A crescea razaodegraus POl' segundo.24. Umtriangulo ABCesta sendotransformadode modoaque 0 angulo Amude comvelocidade de variaQaouniforme de 0a 90em10segundos, enquanto 0 ladoACdecrescede 1polegadapOl" segundo e 0 lado ABcresce uma polegada pOl' segundo. Benumdadoinstante, A=60, AC =16polegadas e AB =10pole-galas, (a) comque rapidez varia BC? (b) comque rapidez variaa area ABC?Resp. (a) 0,911 polegadas pOl' segundo;(b) 8,88polegadas quadradas pOl' segundo.232. - Derivadasdeordemmaisalta. Be(1)entao(2)1l= f(x,y),au auax = f ... (x, y), ay = fy (x,y)sao elaspr6prias funyoesdex eyepodem, pOl'suavez, seremderi-vadas. Assim, tomandoa primeirafunctaoederivando, temos(3)a2u-a2 = fxz(x,y) ,xDomesmomodo, dasegundafunyaoem(2), obtemos(4)Em(3) e (4) haaparentemente quatroderivadas de segundaordem. Mostramosababwque(K)postaque, apenas, sejamcontinuasasderivadasemquestao, isto e,aordemde sucessivaemaxeynaoinflui no resul-232 DERIYADAS DE ORDEM MAIS ALT.",- 587tado. Destemodo, j (x,y) terns6tres derivadas parciaisdesegundaordem, precisamente.(5) jxx (x, y), jXY (x, y) = jyX (x, y), jyy (x, y).Istopodeserextendidofacilmente asderivadasdeordemmaisalta. Porexe:hplo, sendo(K) verdadeira.Resultados semelhantes valempara fun90es de tres au maisvariaveis.Exemplo ilusttativo.SOLU (t), Y =if; (t), z =X(t), comoem(1), 235.Aos cossenos diretores da tangente podemos agora dar umaformasimples. Realmente, de (A) doprecedenteparagrafo, e pela (2) acima, usandoformulas de (2), p. 6, temos(3)dxcosa =-ds 'dycos{3 =-ds 'dzcos')'=ds .236 COMPRIMENTODEARCODEUMACURVAREVERSA601Exemploilustrativo. Aehar 0 eomprimentode areada eubica reva-Ba(4):z; == t,1 . Iy=-t2, z= -t32 3eompreendidoentreospontosondet ... 0et - 4.SOLUg.iO. Derivando(4), obrem08substituindoem(D),cU== dt, dy .. tdt, dz=t2dt.8 = 14VI +t2+t'dt=23,92,aproximadamente, peraregra deSimpson, tomandon ==8.EXERCtCIOSAchar asequa/t0esdatangenteeaequa/taodo planonormal acadaumadas seguintescurvas reversas, nopontoindicado.1. x =at, Y =bt2, Z=ct3; t =1.x-a y-b z-cResp. --= --= --; ax+2 by+3 cz =a2+2 b2+3 c2a 2 b 3 c2. x =2 t, Y =t2, Z =4t'; t =1 .x-2 y-l z-",Resp. -2- = -2- = 16;x +y + 8 z = 35.3. x =t2- 1, y=t + 1, z =t3; t = 2.x-3 y-3 z-8Resp. -4- = -1- = 12; 4x +y + 12z =111.4.5.6.7.x =t1- 1, y =t2+ t, Z =4 t3- 3 t + 1; t =1.x y-2 z-2Resp. 3" = -3- = -9- j x +y + 3 z =8 .2x= 2 t - 3, y = 5- t2, Z= T; t = 2 .1X =a cos t, y=bsen t, Z =t; t = 6'7r x= t, Y= e', z =e-t; t =0 .602 APLICAQOESDASDERIVADASPARCIAIS8. X =cos t, Y =sen t, Z =tg t; t =0 .CAP. XXIV9. Achar 0 comprimentodoarcodahelice circularX= a cos 0, y = a sen 0, Z= bOcompreendidoentre ospontos onde0 = 0 e0 = 27r.Resp. 27r Va2+b210. Achar 0 compriInentodoarcoda curvaX =3 0 cos 0, y =3 0 sen 0, Z= 4 0compreendidoentre ospontos onde0 =0e0 =4.25Resp. 26 + "6ln 5= 32.711. Achar 0 comprimentodoarcoda curvaX=2 t, Y =t2- 2, Z =1 - t2comoreendidoentre ospontosondet == 0et =2.12. Dadas asduas curvas(5)X=t, Y =2 t2,(6) X = 1 - 0, Y =2 cos 0, Z= sen 0 - 1,(a) mostrar queelassecortamnopontoA (1, 2 - 1).(b) achar os cossenosdiretores da tangente a (5) emA.1Resp. _ 1_'V 184 1VI8' VI8'(c) achar os cossenosdiretores da tangentea (6) emA.(d) achar0 Angulo de interseQao das curvas em A. Resp. 900.13. Dadas as duas curvasX =2- t, Y= t2- 4, z = tJ- 8;X =sen 0, Y =0, z =1 - cos (j ,237 RETANORMALEPLANOTANGENTEAUMASUPERFICIE 603(a) mostrar queelasse cortaronaorigemO.(b) achar os cossenos diretoresdatangenteem0 a cadaumadelas.(c) acharoangulode intersegaodascurvas emO.14. (a) Se OF, OEeONda primeira figura do 222 saoescolhidos como eixosdecoordenadas OX, OY eOZ respectivamente,ese P(x, y,z)e urnpontodaesfera, provarque x =a cos sen 0,y= a cos cos 0, z =.a sen , se e (} sao, respectivamente, a la-titudeelongitude de P.(b) Usando(3), e(3) da ps.gina5, achar0 anguloa em P com-preendido entreuma 'curva da esferaparaaqual (} =j ()e 0 para-lelopor P.dResp. tg a =sec de' comono 222.237. - Reta norIYlal e plano tangente. a UIYla superflcie.Uma retadiz-setangenteaumasuperjicie num ponto Pda superficiequando e tangente emP a alguma curva que passa por P e ests.sobre a superficie. Tem-se 0 seguinte teorema de fundamentalimportancia.TEOREMA. Todas astangentes aumasuperjicienumdadopontoda8uperjicieesti:ionumplano.DEMONSTRAQAO. Seja(1) F (x,y,z) = aequagaodeumadadasuperficie esejaP(x, y, z) urnponto dadosobre a superficie.Seumacurva Cde equagoes(2) x=(t), Y =if; (t), z =X (t)esta. sobre a superficie, os valores (2) devemsatisfazer a equagao(1), qualquer queseja 0 valor de t. Logo, seu=F (x, y, z), entaou=0, du =0, e, por (E), 229,(3)604 APLICAgOESDASDERIVADASPARCIAIS CAP. XXIVEsta equa, 8) sao, reapectivamente,.::lr, r.::lfj>, r senfj>.::l8.6. Descreva os sistemas de superficies (esferas, cones,planos) que devemser tra9ados paradividir ums6lido Remele-mentosdevolume .::lV(Problema 4) quandoseusamcoordenadasesfericas. Seja(r, fj>, 8) umpontode .::lV. Temose L:L:L:F (r, fj>, 8).::l V= JJfF (r, fj>, 8) rJsenfj> dr d.::lr.::lfj>.::l8 (ver Problema '4), isto e, peloprodutodasarestas mencionadas no Problema 5. 0segundo membro e calculadoporintegra9aosucessiva. (Omite-sea demonstra9ao).7. Calcule a integral do problemaprecedente se F (r, fj>, 8)= reRea esferar =2 a cosfj>, istoe, x2+ y2 +Z2 =2 az.(k(1r12Qcos;Reap. Jo Jo 0 r senfj> drdfj>dO = 1ra48. Calculea integral doProblema6seF (r, fj>, 9) = r2cosfj>eRea regiior = 2 a cosfj>. Reap. : 'Ira' .CAPiTULOL"'CV1CURVASDEREFETIENCIAParaa comodidarlc doleitor damos ncste capituloalgumas dasCUI' vas mais comuns usadas no texto, GUDICA PAR.-I.nOLA SEmcuBICA!J =ax3yoAVEUSIERA DE Am,ESI1"1 OJ Xx2y =4 a2(2 a- V).674ADE DroCLESvI '"I / i\1"\ I\. Iy2 (2 a - x) =x3CURVAS DE BEFERtNCIA675A LEMNISCATADE BERNOULLI(x2 + y2)2 =a2 (x2_ y2).p2= a2cos 2 O.CICL6IDE, CASOORDINARIOACONCH6IDE DE NICOMEDESyX2y2 =(y +a)2 (b2_ y2).(Nafigura, b>a).CICWIDE, VERTICENAORIGEMx =a arc vers -y-- V2 ay- y2. X = a arc vers.JL + V2 ay - y2a a{X= a(0- sen 8), {x = a(0 +sen (J),y =a (1- cos 0). y=a (1- cos (J).CATENARIAIIo(% %)a - -- xy ="2 ea + e G = acosh -; .PARABOLA676 CURVAS DE REFERbCIA CAPHIPOCICL6IDE DE QUATRO CUSPIDlIS(AsTR6IDE)yEVOLUTADAELIPSEyxx2 2 Ixa + y' = aa.{X= a cosle,y= a sen1e.CARDI6IDExXl + yl + ax= a vxl+ til.P =a(1- cos 0).SEN6mEy= sen;;..2 2 I(ax)l + (by)' =(al- b')' .{X= a cos3e,tI = b sen3e.FOLIUMDE DESCARTESyx3+ yl- 3O%tI = o.COSSEN6IDBy= cos x.LIMAQONCURVAS DB JI.Il:i'ERtNCIAESTROroIDDr677p=b - a cos 9.(Nafigura, b < a).Esl'mALDE ABcmMEDESTp= afJ.ESl'mALHIPERB6LICAr--=-xpO= G.a+zy' = :1;'--.a-zEsPIRAL LOGARITMICAp= ~ , oulogp=afJ.LlTUU8p' 0 = a';678CURVAS DE REFERENCIAESPIRALPARAB6LICACAP. XXVICURVALOGARITMICA(p- a)2 =4 adJ.CURVAEXPONENCIALy =e7:.CURVASECANTEyI IIny =sec x.yy = log x.CURVADAB PROBABILIDADESy=e-:t".TANGENWIDExy= tg x.ClJRVAS DE REFERENCIA 679ROSA DETRts FOLHASy2P= a sen 3 e.ROSA DE QUATRO FOLHASyp=a sen 2 e.ROSA DE DUAS FOLHASp2=0 2sen 2 e.ROSA DE TRts FOLHAS1xp=a cos 3 e.ROSA DJ::; QUATRO FOLIilSy 4p=a cos 2 e.ROSA DE aITOFOLHASy68-----::::=>-:...E'---X~p=a sen 4 e.680 CURVAS DECAP. XXVIPARABOLAlNvOLUTADEUAI CiRCULOHIPERBOLE EQUILATERAxy =a.TRAT6RIAxy{X= rcos 8 +TO sen 8,11 =r sen 8 - TO cos 8.X=asech-1JL - va!- y!.a

11 = a sech -.. a(n,c. - 1)en,c. - 1)CAPiTULOXXVIITABELADE INTEGRAlSAlgumasintegrais imediatas1. / df (x) = If' ex) dx = f ex) + C.2./adu=a /dU.3. / (du dv dw ... ) = / du / dv / dw .../un+l4. un du= n + 1 + C./dU5. ~ = Inu + C.Funl;oesracionaiscontendo a + buVer tambemasf6rmulas de redu9aodas binomiais 96-104./(a + bu)n+l6. (a +b'u)'" du= b (n + 1) + C./du 17. a + bu = bIn (a + bu) + C./. udu 1 .8. a + bu = b2[a + bu- a In (a + bu)] + C./u2du 19. a + bu = b3 [t (a+bu)2-2a (a+bu)+a21n(a+bu)]+C./udu 1 [ a ]10. (a +bu)2= b2 a + bu + In (a + bu) + C./u ~ du. 1 [a2]11. (a + bur=:=b3 a + bu-a + bu-2aln (a +bu) + C.681682TABELA DE INTEGRAlS CAP. XXVII12. (a= [ - a: bu +2 (a bU)2] +C.13. f u (abu) =. -In ( a : bu ) + C.1fdu = -+In (a + bU) + C.4. u2 (a + bu) au a2U15. f du = 1 _In (a + bU) CU(a + bu)2 a (a +bu) a2u +. racionaiscontendo a2 b2u:(n - 1)TABELA DE INTEGRAlS683 racionaiscontendo va + buAintegra9ao pode ser conduzida a integra9aode uma fun9aoracional mediante a substitui9ao a +bu =v2 Ver tambem asf6rmulas de redu9aodas binomiais 96-104.3f-/ +b d - - 2 (2 a - 3 bu) (a + bU)2 + C25. uva u u- 15 b28f2- / + b d - 2(8 a2-12 abu+15 b2u2) (a+bu)2 + C26. Uva u u- 105 b3. .!.f-/-- 2um(a +bU)227. umva+budu= b(2m+3)-- b (2 3) fum-1va + bu duofu du __2 (2 a - bu) via +bu + C28. _ / - "b2va +bu ufU2 du _ 2 (8 a2- 4 abu +3 b2u2) v'a +bu + C29. v'a + bu - 15 b3fumdu 2 um2 am f um-1du30. Va +bu = b (2 m + 1) - b (2 m + 1) va +bu.du 1 (va +bu -31. V =_r- 10 _ / _ / + C, para a >O.u a+bu va va+bu+va32. f V du = v2arctgJa bu + C, paraa. (2 .)1- =a V2 au- u2au- u-FefrlI1ulasderedu!;aodas binolI1iaisCAP. x:x.-vrrjurn-q+l (a +bu?)p+196. urn (a +btl?)p du= b'(pq +m +1) -arm- q +1) j .-' '- urn-q(a + bu?)p dub (pq +Tn + 1)j(+ b ) dUrn+! (a +buq)o +97. urn a uQP u = - - - ' - - - - ' - - ~pq+m+1+ apq ju'" (a + bU7)p-l du.pq+m+1,jdu 198. urn(a + bU1)p =- a (m- l)um-1 (a + bU7)p-l -b (m- q + pq- 1) j du- a (m- 1) um- q (a + bu?).' jdu _ 1 +99. urn (a + buq)p- aq (p - 1)7lm- l (a + bW)P-l+m- q + pq- 1 j duaq (p- 1) um (a +bU1)p-1.100.101.102.j-,--dU_= _1 In( u? ) +C.7 (a +buq) aq a +bu'/j(a + bU1)p du= _ (a + bU7)p+l _uma (m- 1) urn-l_ b (m- q - pq- 1) ;'(a +bU1)p dua (m- 1) u.,.-qj(a +bu')p du = (a +bu?)!' +urn (pq- m +1) um-l+- apq j(a + bU.)P-l du'pq-m+l 11m'TABELA DE INTEGRAlS691fu"'du103.. (a + bu7)p = b (m- pg +1) (a + bW)p-la (m- q +1) f um-q du- b (m- pq + 1) (a + bU7)pfutftdu um+1104. (a + bu1)p = aq (p- 1) (a + 007)11""'1 -m + q - pg + 1 f urn du- aq (p- 1) (a + btt7prl oontendo a + 00 cu2(c >0)Aexpressaoa + 1m + cu2pode sar reduzida eo uma binomial,b b2- 4 acpondo u = z - - k = -:--::-2 c ' 4 c2Entao a + bu + cu2= C (Z2 - k).A expressao a + bu - cu2pode ser reduzida a uma binomialb b2+ 4acpondo u= Z +2 C' k= 4 c2Ent.o a + bu- cu2=c (k-f 2 (2CU+b)105. a+bu+cu2=V4ac_b2arctg V4ac-b2 .++ C, quandob2. < 4 ac.fdu 1 (2 CU+b- VbL4ac)106. = _ / ' In + C,a+OO +cu2v b2-4ac 2 cu+b+VbL4acquando b2>4 ac.fdu 1 In(Vb2+4ac+2CU-b) + CHl7. a +OO-cu =Vb2+4ac Vb2+4 ac- 2 cu.+b .f(Mu + N) du = MIn (a + bu cu2) +108. a + bu cu22 c+ ("tV=F bM)f du 2 c a + bu cu2 f -/ 2cu + b. r109. v a + bu +cu2du= 4 c va + bu +cu2-b2- 4 ac . r--3-In(2 cu +b + 2 v c ....;a + bu + cu2) + C.Sct602TABELA DE INTEGRAlS CAP. XXVIIf I ' 'a 2cu-b. 1 bIIO. va + on - cu,' u= 4 va + u -+J Cb2+ 4 ac ( 2 eu- b )+ --.-arcsen ---- + C...:... yil2+4 ac8 e2fdu 1 -ill. y' =_r In (2w+b+2ve Va+lJu+cu2)+C.V cfdu 1 ( 2C'll - b )112. V =. 1-- arc sen _ I' + C.a + btl -V c V b2+ -! acudu = va +bE +C11 2_.va +bu + cu2Cb -- --" In (2cu + b +2VC Va + bu + cu2)+C.2 c2,. J' Udtl va + bu- C1l 2+l.t.-.l. -va + btl - C'll2 Cb (2cu.-b)+ -. an; --.:- +C.2? Vb- + 4 acCOutrasfungoes algebricasJf' fa + u _I115. "b + u du=v (a + 11) (b +1/) ++ (a- b) Ig, + "/0 +IL) +C.

116. .-,-,- dtl = Y(a- 1/) (b +UI +D,tlIII _L.b+(a +b) arc sen ...1:...-:-] + C.., a---;- u

117. --du=- v(a-+- 1/) (b- 1[\ -b - n /

-- ?!- (a-+- b) arc sen --' -+C.a--j-iJ/_/1 +u _1-118. "1_ u du = - v 1 - u2+ arc sen1l + C.1 ( du _?. - a,19. ) V -ale sen I +C.. (u- a)(b- tl) ) - a12 O.121.122.TABELA DE INTEGRAlS exponenciais e logarihnicasJeaue'udu= -;; + c.Jbouboudu= --+ c:a In bJeOUueoudtl = -? (au- 1) + C.a-693123.124.12:;.126.127.i29.1SC.Jun eOUn Juneeu du = --- - un-leau duoa . aJunbaun Jun bau du= -- - -- un-lbaudu + C.a In b a In b -fb:udu=_ b