cálculo diferencial e integral integral

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Cálculo Diferencial e Integral Integral Primitivas Integral definida e cálculo de área Técnicas de integração Cálculo de volumes Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET. Cálculo Diferencial e Integral Integral. Primitivas Integral definida e cálculo de área Técnicas de integração - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Cálculo Diferencial e IntegralIntegral

• Primitivas• Integral definida e cálculo de área• Técnicas de integração• Cálculo de volumes

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNCentro de Ciências e Exatas da Terra – CCET

Departamento de Estatística – DESTPrograma de Educação Tutorial - PET

Page 2: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Primitivas• Dizemos que uma função é uma primitiva de se . (primitiva é a

função inversa da derivada)

Exemplos

, pois , pois , pois

Page 3: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Primitiva de

A primitiva de é dada pela fórmula:

Sabendo a primitiva de e as propriedades das integrais que veremos a seguir podemos resolver facilmente a integral de uma função polinomial.

Propriedades

, sendo uma constante

Page 4: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Exemplos

Exercícios

1. Calcule as integrais indefinidas indicadas.

Page 5: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Integral definida e cálculo de área• Seja uma função contínua definida no intervalo . A integral definida desta

função é denotada como:

• Se é uma função estritamente positiva, o cálculo da integral definida no intervalo é a área limitada superiormente pela função e inferiormente pelo eixo nos intervalos .

x

y

A

𝑎 𝑏

Page 6: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Resolvendo uma integral definida

• Seja , a integral definida

Exemplos

1. Calcule a área sob o gráfico de , .

Solução

A área será será igual a , visto que no intervalo é estritamente positivo.

x

y

A

1 4

Page 7: Cálculo Diferencial e Integral Integral

2. Calcule e interprete o resultado obtido.

Solução

O número é o simétrico da medida da área indicada na figura abaixo.

x

y

A(lembrando que a medida de uma área é um número sempre não negativo.) De um modo geral, se em , , em que é a área da região situada entre o eixo e o gráfico de no intervalo .

Page 8: Cálculo Diferencial e Integral Integral

3. Calcule e interprete o resultado

Solução

x

y

A1

A2

Como em e em ,

De um modo geral, se em , e em , então,

Page 9: Cálculo Diferencial e Integral Integral

4. Calcule as áreas da região compreendida entre as curvas e .

Solução

x

y

A

Nos pontos de interseção das curvas, temos: ou

A área pode ser calculada assim

ou, equivalentemente:

Temos então :

Page 10: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Exercícios

1. Calcule a área sob o gráfico de entre e a) e b) e c) e d) e e) e

2. Calcule a área da região limitada pelas curvas:a) e b) e c) e d) e e) e

Page 11: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Técnicas de integraçãoMétodo da substituição

• Nos exemplos a seguir veremos a resolução de integrais pelo método da substituição.

Exemplos

Page 12: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Solução

a)

b)

c)

Page 13: Cálculo Diferencial e Integral Integral

d)

e)

Exercícios

1. Calcule as integrais indefinidas indicadas:

Page 14: Cálculo Diferencial e Integral Integral

2. Calcule:

Page 15: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Integração por partes

• Se e são funções diferenciáveis, então:

Exemplo

Page 16: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Solução

Exercícios

1. Calcule:a) d) b) e) c)

Page 17: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Cálculo de volumes• Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do gráfico de

em torno do eixo dos , sendo em . O cálculo do volume do sólido é dado por:

Page 18: Cálculo Diferencial e Integral Integral

𝑓 (𝑥)𝑟

x

y

h

1. No caso de um cone circular de raio e altura , podemos ter:

2. No caso de uma esfera de raio , podemos ter:

𝑓 (𝑥)

𝑟−𝑟

Page 19: Cálculo Diferencial e Integral Integral

Exercícios

1. Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta , em torno do eixo dos , sendo e .

2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de , , em torno do eixo dos .

3. A curva , , ao ser girada em torno do eixo dos determina um sólido de volume . Calcule .