cálculo diferencial e integral integral
DESCRIPTION
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET. Cálculo Diferencial e Integral Integral. Primitivas Integral definida e cálculo de área Técnicas de integração - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Cálculo Diferencial e IntegralIntegral
• Primitivas• Integral definida e cálculo de área• Técnicas de integração• Cálculo de volumes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNCentro de Ciências e Exatas da Terra – CCET
Departamento de Estatística – DESTPrograma de Educação Tutorial - PET
Primitivas• Dizemos que uma função é uma primitiva de se . (primitiva é a
função inversa da derivada)
Exemplos
, pois , pois , pois
Primitiva de
A primitiva de é dada pela fórmula:
Sabendo a primitiva de e as propriedades das integrais que veremos a seguir podemos resolver facilmente a integral de uma função polinomial.
Propriedades
, sendo uma constante
Exemplos
Exercícios
1. Calcule as integrais indefinidas indicadas.
Integral definida e cálculo de área• Seja uma função contínua definida no intervalo . A integral definida desta
função é denotada como:
• Se é uma função estritamente positiva, o cálculo da integral definida no intervalo é a área limitada superiormente pela função e inferiormente pelo eixo nos intervalos .
x
y
A
𝑎 𝑏
Resolvendo uma integral definida
• Seja , a integral definida
Exemplos
1. Calcule a área sob o gráfico de , .
Solução
A área será será igual a , visto que no intervalo é estritamente positivo.
x
y
A
1 4
2. Calcule e interprete o resultado obtido.
Solução
O número é o simétrico da medida da área indicada na figura abaixo.
x
y
A(lembrando que a medida de uma área é um número sempre não negativo.) De um modo geral, se em , , em que é a área da região situada entre o eixo e o gráfico de no intervalo .
3. Calcule e interprete o resultado
Solução
x
y
A1
A2
Como em e em ,
De um modo geral, se em , e em , então,
4. Calcule as áreas da região compreendida entre as curvas e .
Solução
x
y
A
Nos pontos de interseção das curvas, temos: ou
A área pode ser calculada assim
ou, equivalentemente:
Temos então :
Exercícios
1. Calcule a área sob o gráfico de entre e a) e b) e c) e d) e e) e
2. Calcule a área da região limitada pelas curvas:a) e b) e c) e d) e e) e
Técnicas de integraçãoMétodo da substituição
• Nos exemplos a seguir veremos a resolução de integrais pelo método da substituição.
Exemplos
Solução
a)
b)
c)
d)
e)
Exercícios
1. Calcule as integrais indefinidas indicadas:
2. Calcule:
Integração por partes
• Se e são funções diferenciáveis, então:
Exemplo
Solução
Exercícios
1. Calcule:a) d) b) e) c)
Cálculo de volumes• Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do gráfico de
em torno do eixo dos , sendo em . O cálculo do volume do sólido é dado por:
𝑓 (𝑥)𝑟
x
y
h
1. No caso de um cone circular de raio e altura , podemos ter:
2. No caso de uma esfera de raio , podemos ter:
𝑓 (𝑥)
𝑟−𝑟
Exercícios
1. Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta , em torno do eixo dos , sendo e .
2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de , , em torno do eixo dos .
3. A curva , , ao ser girada em torno do eixo dos determina um sólido de volume . Calcule .