matemática básica(ing.)1 sesión 6.3 modelos exponenciales

Matemática Básica(Ing.) 1

Sesión 6.3

Modelos Exponenciales


Habilidades

1. Resuelve problemas donde los modelos se describen por medio de funciones exponenciales, y analiza las posibles soluciones dentro del contexto del problema presentado.

• Modelo de enfriamiento de Newton. • Modelo de Interés Simple y Compuesto.• Modelos de Crecimiento poblacional.• Modelo de Desintegración Radiactiva.


kt

m

mt eTTTT

0

Ley del enfriamiento de NewtonLa ley de enfriamiento de Newton establece que el cociente de diferencias de temperaturas real y máxima decrece en forma exponencial

T0 = Temperatura inicial de un objeto,

Tm = Temperatura del ambiente o medio circundante,

k = Constante positiva que depende del tipo de objeto.

de donde: kt

mm eTTTtT )()( 0

• Modelo de enfriamiento de Newton.• Modelos de Crecimiento poblacional.• Modelo de desintegración radiactiva.• Modelo de Interés simple y compuesto.


Una tasa de café tiene una temperatura de 200°F y se coloca en una habitación que tiene una temperatura de 70°F. Después de 10 minutos la temperatura del café es de 150°F.

(a) Determine una función que modele la temperatura del café en un tiempo t. (b) Calcule la temperatura del café después de 15 min.(c) ¿En qué momento el café se habrá enfriado 100°F?(d) Ilustre mediante una gráfica como varia la temperatura respecto al tiempo.

Ejemplo 1



Ejemplo 2

Un huevo cocido a temperatura de 96°C se coloca en agua de 16°C para enfriarlo. Cuatro minutos después la temperatura del huevo es 45°C. Determine el momento en que el huevo estará a 20°C.



Ejemplo 3La policía descubrió un cuerpo a las 11 pm. de un viernes. La temperatura del cadáver en ese momento era de 31C y una hora después era de 30C. La temperatura de la habitación donde fue encontrado el cadáver es de 22C. Estime la hora en que ocurrió el asesinato.

Nota: La temperatura del cuerpo humano (vivo) es de 37C.



La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales.Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

• Modelo de enfriamiento de Newton. • Modelos de Crecimiento poblacional.• Modelo de Interés simple y compuesto.• Modelo de desintegración radiactiva.

Modelos de crecimiento


Una población que experimenta crecimiento exponencial crece según el modelo.

n(t) = n0ert

donde:n(t) = Población en un tiempo tn0 = Tamaño inicial de la población

r = Tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción de la población)t = Time

Modelos de crecimiento



Un cultivo de bacterias tiene inicialmente 500 bacterias. Más tarde un biólogo realiza un conteo muestral en el cultivo y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es 40% por hora.

a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.

b) ¿Cuál es la cuenta estimada después de 10 horas?

c) ¿En qué tiempo se triplico la población de bacterias?

d) Trace la gráfica de la función n(t).

Ejemplo 1



Los biólogos han determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y nutrientes, el número de bacterias de un cultivo crece exponencialmente. Suponga que se tiene inicialmente 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora?

Ejemplo 2



Cierta raza de conejos se introdujo en una pequeña isla hace 8 años atrás. La población actual de conejos en la isla se estima en 4000, con una tasa de crecimiento relativa de 55%.

a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.

b) ¿Cuál es el tamaño inicial de la población?

c) Estime la población 12 años a partir de ahora.

Ejemplo 3



Un cultivo de bacterias tiene inicialmente 10 000 bacterias y el número se duplica cada 40 minutos.

a) Encuentre una función que modele el número de bacterias en el tiempo t.

b) Encuentre el número de bacterias después de una hora.

c) Después de cuantos minutos habrá 50,000 bacterias?

d) Bosqueje una gráfica que ilustre el crecimiento de las bacterias en función del tiempo t.

Ejemplo 4



Desintegración radiactiva

Todos los organismos vivos absorben carbono radiactivo, forma inestable de carbono que tiene una vida media de unos 5.730 años. Durante su vida, un organismo renueva de forma continua su provisión de radiocarbono al respirar y al comer. Tras su muerte, el organismo se convierte en un fósil y el carbono 14 decae sin ser reemplazado. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

• Modelo de enfriamiento de Newton. • Modelos de Crecimiento poblacional.• Modelo de desintegración radiactiva.• Modelo de Interés simple y compuesto.


Desintegración radiactiva

Se puede demostrar que la masa Q(t) que permanece en el tiempo t sin desintegrarse, se modela mediante la función

Q(t) = Q0e–rt

donde:r = es la tasa de desintegración (expresada como una proporción de la masa que queda).Q0= es la masa inicial.

Vida media: Es el tiempo que demora en desintegrarse la mitad de la sustancia radioactiva.

ktm

2ln



La vida media de cierta sustancia radiactiva es 14 días. Al principio hay 6,6 g.

a. Exprese la cantidad de sustancia que queda, como función del tiempo t.

b. ¿Cuándo quedará un gramo de sustancia?

Ejemplo 1



La vida media de cierta sustancia radioactiva es de 1,5 s. La cantidad inicial de sustancia es de gramos.

a. Exprese la cantidad de sustancia restante como una función de tiempo t.

b. Determine si queda un gramo después de un minuto.

Ejemplo 2



Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial Ao, de una

muestra de plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.

Ejemplo 3



Ejemplo 4

Se analizó un hueso fósificado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil.



Escala de Richter

La magnitud en la escala de Richter R, de un terremoto tiene como base las características asociadas con la onda sísmica y se mide mediante

Donde:a: Amplitud de la onda (intensidad del terremoto) (en )T: Periodo (en segundos)B: Toma en cuenta el debilitamiento de la onda sísmica debido a la distancia del epicentro.

BTa

R

log

m

• Modelo de enfriamiento de Newton. • Modelos de Crecimiento poblacional.• Modelo de desintegración radiactiva.• Escala de Richter.• Modelo de Interés simple y compuesto.


Ejemplo 1

Afganistán sufrió 2 importantes terremotos en 1998. El del 4 de febrero tuvo una magnitud de 6,1 en la escala de Richter y causo alrededor de 1300 muertes. El del 30 de mayo alcanzó 6,9 en la escala de Richter y produjo la muerte de 4700 personas. ¿Cuántas veces fue más fuerte el terremoto del 30 de mayo?



Matemática Financiera.

)1( rPA

kr

kr

PA

1

rtPeA

nrPA )1(

Interés simple por un año

Interés compuesto capitalizable k períodos por años.

Interés compuesto anualmente

Interés compuesto continuamente.

Diferentes tipos de interés.



2. ¿En cuánto tiempo una inversión de $2000 crecerá hasta $5000 cuando se invierte a una tasa anual de 8%, si el interés se capitaliza:a. trimestralmente?b. continuamente?

1. Suponga que se invierten $1000 a una tasa de interés anual de 6%. Calcule el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza:a.Trimestralmente.b.Mensualmente c.Continuamente



Diferentes tipos de intereses.

4. Nancy quiere invertir 4000 dólares en certificados de ahorros que producen una tasa de interés de 9.75% por año, capitalizable cada medio año. ¿Cuán largo debe elegir el período a fin de ahorrar una cantidad de 5000 dólares?

3. ¿Cuánto se deberá invertir a una tasa de interés anual de 6.25%, de manera que su saldo al cabo de 10 años sea de $2000, si este se capitaliza continuamente?



7. Judy tiene $500 para invertir al 9% de interés anual compuesto cada mes. ¿Cuánto tiempo le tomará a su inversión crecer a 3 000 dólares?

6. Suponga que Quan Li invierte $500 al 7% de interéscompuesto cada año. Determine el valor de su inversión después de 10 años.

5. ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de 1000 dólares si la tasa de interés es 8.5% anual capitalizable de manera continua?



9. Suponga que Laura invierte $100 al 8% de interés anual capitalizable deforma continua. Determine el valor de su inversión al final de cada uno de los años1, 2, …, 7.

8. Stephen tiene $500 para invertir. ¿Cuál es la tasa de interés anual, compuesta trimestralmente, que se necesita para duplicar su dinero en 10 años?

• Modelo de enfriamiento de Newton. • Modelos de Crecimiento poblacional. Modelo de desintegración radiactiva. Escala de Richter. Modelo de Interés simple y compuesto.


El plutonio 210 (210Po) tiene una vida media de 140 días. Suponga que una muestra de sustancia tiene una masa de 300 mg.

a) Encuentre una función que modele la cantidad de la muestra que queda en un tiempo t.

b) Calcule la masa que queda después de un año.

c) ¿Cuánto tiempo tarda la muestra en desintegrarse a una masa de 200 mg?

d) Esboce una gráfica que represente la cantidad de masa en función del tiempo.

Ejemplo 5

• Modelo de enfriamiento de Newton. • Modelos de Crecimiento poblacional. Modelo de desintegración radiactiva. Escala de Richter. Modelo de Interés simple y compuesto.


Otros modelosLa longitud, en centímetros de las

truchas de t meses de edad se pueden aproximar mediante una función de crecimiento de la forma

– Estime la longitud de la trucha al momento de nacer.

– En el mercado internacional la trucha se compra cuando tiene una longitud mínima de 42,7cm, estime cuanto tiempo debe pasar para poder ofertar un lote en el mercado internacional.

– Grafiquen f y estime la longitud máxima que puede alcanzar la trucha.

)956,01(80)( 18,0 texf


Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios de la sección 3.5

Pág. 320 - 333

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante


Suponga que un cultivo de 100 bacterias se coloca en una caja de Petri y el cultivo se duplica cada hora. Prediga cuándo el número de bacterias será de 350 000.

Suponga que la vida media de cierta sustancia radiactiva es 20 días y que al inicio hay 5 gramos. Determine el momento en que quedará 1 gramo de la sustancia.

Ejercicios adicionales

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