logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

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Page 1: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades
Page 2: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

“Funciones Exponenciales y Logarítmicas”

Page 3: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Identificar una función exponencial y su inversa, la función logarítmica, describiendo todas sus propiedades para finalmente trazar su gráfica.

Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Formular una función exponencial o logarítmica para poder modelar un comportamiento exponencial o logarítmico.

Page 4: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Las propiedades de una función exponencial o una función logarítmica para bosquejar su gráfica.

Las propiedades de los exponentes y los logaritmos en la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Problemas de interés compuesto y continuo, empleando los conocimientos adquiridos en esta unidad.

Page 5: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Una función exponencial es una función de la forma f(x)=ax, donde a es un número real positivo y distinto de 1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales.

Propiedades de los exponentes

a0 = 1

am an = am+n

am / an = am-n

(am)n = amn

(ab)n = an bn

(a / b)n = an / bn

a-m = 1/(am) = (1/a)m

Observe que en la definición de función exponencial, a≠1, ya que la función y = 1x sería una función constante.

1x = 1

Page 6: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

se hace una distinción entre la función y = ax para a > 1 y para 0< a < 1.

a > 1 0< a < 1

f(x)=ax

Dominio (-∞, ∞)

Rango (0, ∞)

Intersecciones –x : ninguna

Intersecciones –y: 1

Asíntota horizontal: eje x cuando x→ - ∞

f es una función creciente

f es uno a uno y pasa por (0, 1) y (1, a)

Dominio (-∞, ∞)

Rango (0, ∞)

Intersecciones –x : ninguna

Intersecciones –y: 1

Asíntota horizontal: eje x cuando x→ ∞

f es una función decreciente

f es uno a uno y pasa por (0, 1) y (1, a)

Page 7: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Graficación de funciones exponenciales a>1

x f(x)=2x

(-3,1/8)

(-2,1/4)

(-1,1/2)

(0,1)

(1, 2)

(2, 4) La gráfica nunca va a llegar a tomar el valor de 0 en el rango, ese es su límite.

Haga una tabla de valores y gráfique los puntos resultantes para f(x)=2x

2-3=1/8

2-2=1/4

2-1=1/2

20=1

21=2

22=4

-3

-2

-1

0

1

2

Page 8: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Graficación de funciones exponenciales 0<a<1

x f(x)=1/2x

(3,1/8)

(-2, 4)

(-1, 2)(0,1)

(1, 1/2)

(2, 1/4)

La gráfica nunca va a llegar a tomar el valor de 0 en el rango, ese es su límite.

Haga una tabla de valores y grafique los puntos resultantes para f(x)=1/2x

-2

-1

0

1

2

3

1/2-2=4

1/2-1=2

1/20=1

1/21=1/2

1/22=1/4

1/23=1/8

Page 9: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

La base e

El número e se define como el número al que tiende la expresión (1+1/n)n cuando n→ ∞.

Grafique f(x)= ex (utilice su calculadora para obtener las y’s).

x f(x)=ex

(-2, 0.14)

(-1, 0.37)

(0,1)

(1, 2.72)

(2, 7.39)

-2

-1

0

1

2

0.14

0.37

1

2.72

7.39

Page 10: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

La función logarítmica base a, donde a>0 y a≠1, se denota y=logax(se lee “y es el logaritmo base a de x”) y se define como:

Y= logax si, y sólo si, x=ay

Ejemplos, cambio de expresiones exponenciales a logarítmicas y viceversa

1.23=m

loga4=5 entonces

entonces 3=log1.2m

a5=4

Encuentre el valor exacto de una expresión logarítmica

Log28=

Para la expresión logarítmica y= log28 tenemos la expresión exponencial 2y=8

2y=8 2y=23 y=3

Por lo tanto log28=3

Page 11: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Dominio de una función logarítmica

La función logarítmica y=logax es la inversa de la función exponencial y=ax. Por lo tanto el dominio de una es el rango de la otra.

y=ax

y=logax

y=xLa intersección de la gráfica con el eje x es 1. No existe intersección con el eje y. el eje y es una asíntota vertical de la gráfica. Una función logarítmica es decreciente si 0<a<1 y creciente si a>1.

Page 12: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

En las propiedades dadas a continuación, M y a son números reales positivos, con a≠1, y r es cualquier número real.

alogaM=M

logaar=r

logaMN=logaM+logaN

loga(M/N)=logaM-logaN

loga(1/N)=-logaN

logaMr=r logaM

Si M=N, entonces logaM=logaN

Si logaM=logaN, entonces M=N

logaM=logbM/logba

logaM=logM/loga Y logaM=lnM/lna

Compruebe todas estas propiedades

Page 13: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Ecuaciones exponenciales

5x-2=33x+2

ln5x-2=ln33x+2

(x-2)ln5=(3x+2)ln3

(ln5)x-2ln5=(3ln3)x+2ln3

(ln5)x-(3ln3)x=2ln3+2ln5

(ln5-3ln3)x=2ln3+2ln5

2ln3+2ln5

(ln5-3ln3)x=

x≈ -3.212

x=-3 o x=1

3

2 12

eee xx

322

eee xx

322 xx ee

322 xx

01;03

013

0322

xx

xx

xx

Page 14: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo

logax+loga9+loga(x2+1)-loga5

loga9x+loga(x2+1)-loga5

loga9x(x2+1)-loga5

loga9x(x2+1)/5

Escriba la siguiente expresión como varios logaritmos

loga5√1+x /x2

loga5√1+x -logax2

loga5+loga√1+x -logax2

loga5 + loga(1+x)1/2 -logax2

loga5 + 1/2 loga(1+x) -2logax

Page 15: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Utilizando las propiedades de los logaritmos y el cambio de logaritmos y exponenciales resuelve las siguientes ecuaciones.

log3(4x-7)=2

4x-7=32

4x-7=9

4x=9+7

x=16/4

x=4

log4(x+3) + log4(2-x)=1

log4[(x+3) (2-x)] =1

(x+3)(2-x)=41

-x2-x+6=4

X2+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

x=-2 o x=1

2log5x=log59

log5x2=log59

x2=9

x=3 o x=-3

Verifique los resultados recuerde que en la expresión logaM, a y M son positivos y a≠1.

Ecuaciones logarítmicas

Page 16: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Interés simple: Si se presta un capital de P dólares durante un periodo de t años con una tasa de interés anual r, expresada como un decimal, el interés I cobrado será:

I=Prt

A=P(1+r/n)nt

Interés compuesto: La cantidad A generada después de t años por un capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesta n veces por año es:

Page 17: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Composición continua: La cantidad A después de t años obtenida mediante un capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesto de manera continua es:

A=Pert

Valor presente: El valor presente P de á dólares a ser recibidos después de t años, con una tasa de interés anual r compuesta n veces por año, es:

P=A(1+ r/n)-nt

Si el interés es compuesto de manera continua, entonces:

P=Ae-rt

Page 18: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Interés simple

Sofía Gutiérrez le hace un préstamo a su hermano, Saúl. El monto de préstamo es de $5000, con un interés simple de 6% anual, y Saúl tendrá que devolverlo 3 años después.

i = pr t

=

=

¿Qué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3 años?

¿Cuánto dinero en total deberá pagar?

5000(0.06) (3)

900

5000 900+ = 5900

Monto inicial Interés+

5000

36%

Page 19: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

A =p ( 1 +r n )nt

Interés compuesto

Catalina Carmona recibe un reembolso de impuestos por $1425, e invierte este dinero para ayudar a pagar el primer semestre de la universidad de su hermano. Catalina invierte el dinero en un certificado de depósito que le ofrece una tasa de interés anual de 3% compuesto de forma mensual después de 18 meses.

¿Cuánto valdrá el certificado luego de 18 meses?

1425 1 0.0312

+=(1.5)

=1425(1.04596912)

1490.51=

(1+0.0025)18

1.04596912=

=

1 0.0312

+12(1.5)

1425

3%tasa de interés anual

18

12

Page 20: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Composición continua

El 2 de enero de 1996 se colocaron $2000.00 en una cuenta de retiro que pagará un interés del 10% anual compuesto de manera continua. ¿A cuanto ascenderá la cuenta el primero de enero del año 2016?

A=Pert

10%

2000

La cantidad A después de 20 años es:20

=

=14,778.11

La cuenta ascenderá a $14,778.11 luego de 20 años.

2000 e(0.10)(20)

Page 21: Logaritmos exponenciales ecuaciones_propiedades

Valor presente

Un bono “cupón cero” (sin intereses) puede ser amortizado en 10 años por $1000.00.¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar por él ahora si quiere obtener un rendimiento de:

a) 8% compuesto en forma mensual?

b) 7% compuesto en forma continua?

a)= b)=

P=A(1+ r/n)-nt P=Ae-rt

1000

8%

10

mensual

7%

P=

=450.52

P=

=496.59

1000 (1+ 0.08 /12)-12(10) 1000 e -(0.07)(10)