mala zbirka zadataka iz operacionih istrazivanja

UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNI^KI FAKULTET “MIHAJLO PUPIN” ZREWANIN

Du{ko Leti}

Mala zbirka zadataka iz operacionih istra`ivawa

(neautorizovana predavawa)

Zrewanin, 2004.

Dr Du{ko Leti}, vanr. prof. Tehni~kog fakulteta “Mihajlo Pupin” u Zrewaninu. _______________________________________________________________________________________________________________________________________

MALA ZBIRKA ZADATAKA IZ OPERACIONIH ISTRA@IVAWA

Izdava~: Tehni~ki fakultet “Mihajlo Pupin” , Zrewanin, \. \akovi}a bb. Tel. 023/550-515, 550-519, Faks. 023/550-520. e-mail: [email protected] Glavni i odgovorni urednik: Dr Mom~ilo Bjelica, red. prof, dekan TF “M. Pupin” u Zrewaninu.

mailto:[email protected]

Sadr`aj Str. 1. Grafi~ka metoda linearnog programirawa ................................................1 2. Linearno programirawe Simpleks ...........................................................11 3. Dualni model linearnog programirawa ...................................................18 4. Transporni problem ...................................................................................22 5. Mre`no planirawe .....................................................................................36 6. Upravqawe zalihama ..................................................................................46 Literatura .........................................................................................................52

Predgovor

Mala zbirka zadataka iz operacionih istraìvawa je pisana prema nastavnom planu i programu Tehni~kog fakulteta “Mihajlo Pupin” u Zrewaninu, za sve profile u kojima je zastupqen predmet Operaciona istraìvawa. U woj su prezentovana odabrana poglavqa sa zadacima i sloènijim primerima re{enim ru~nim postupcima. Ve}i deo zbirke kao i cela kwiga istih autora Operaciona istraìvawa, dati se u elektronskoj formi, na kompakt disku. Autori se zahvaquju recenzentima na korisnim sugestijama pri redakciji ovog pomo}nog uxbenika.

09. 10. 2007. Autori

М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________

1

GM Н аћи мин имал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:

)(min)( 21 XFxxXF →+= у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) ,8014,02,0 21 ≥⋅+⋅ xx (2) ,10028,014,0 21 ≥⋅+⋅ xx (3) ,12525,025,0 21 ≥⋅+⋅ xx (4) ,601,04,0 21 ≥⋅+⋅ xx ,01 ≥x ,02 ≥x

кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Одр е дити оптимал н о р е ш е њ е и из р ачу н ати н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Гр афички пр е дставити поступак е кстр е мизације . Решење: а) Фу н кције огр ан иче њ а се могу пр е дставити и у е квивал е н тн им облицима:

(1) ,174000400

21 ≥+xx

(2) ,17250075000

21 ≥+xx

(3) ,1500500

21 ≥+xx

(4) ,1600150

21 ≥+xx

или као (1) ,4000710 21 ≥⋅+⋅ xx (2) ,5000147 21 ≥⋅+⋅ xx (3) ,50021 ≥+ xx (4) .6004 21 ≥+⋅ xx

Оптимал н е вр е дн ости н ал аз е се у пр е се цима је дн ачин а (као гр ан ице обл асти допустивих р е ш е њ а) (1) и (3) (р е ш е њ е *X ), и је дн ачин а (2) и (3), н а осн ову кога сл е ди р е ш е њ е **X .


2

⇒∩ )3()1(

≈

=

==

33,33367,166

310003500

*2

*1*

xx

XX C ,

⇒∩ )3()2(

≈

=

==

27,21471,285

7150072000

**2

**1**

xx

XX D .

За ове вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:

5007

15007

2000)( *2

*1

* =+=+= xxXF или 5003

10003

500)( **2

**1

** =+=+= xxXF .

Д акл е : 500)()()()(min ****** ==== XFXFXFXF .

Остал а р е ш е њ а ***X могу се пр е дставити лин е ар н ом комбин ацијом ве ктор а *X и **X :

⋅−+

⋅= **

2

**1

*2

*1*** )1(

xx

xx

X αα , где је пр е тпостављ е н скал ар 10 ≤≤ α .

б) Гр афик р е ш е њ а лин е ар н ог пр огр амир ањ а пр е дстављ е н је н а сл. 1.

Сл. 1

x1

x2

3 5 6-2

1

3

4

4

-1 0 21

(1)

8

2

7

-2

-1

F(X)= 0

x103

6

8

(2)

(3)

7

(4)

minxF(X)= 500

5 Oblast D

x103

C

B

A

E

D

XC =X*

XD =X**


3

GM Н аћи максимал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:

)(max22)( 21 XFxxXF →⋅+⋅= у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) ,82 21 ≤⋅+ xx (2) ,121 ≤+− xx (3) ,02 21 ≥⋅+− xx .

(4) ,32 2 ≥⋅ x (5) ,0, 21 ≥xx

кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е и колико из н оси н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума? б) Д а ли је р е ш е њ е оптимал н о и з а ф у н кцију кр ите р ијума 21 84)( xxXF ⋅+⋅= чију максимал н у вр е дн ост тр е ба н аћи? в) Којој н е је дн ачин и тр е ба пр оме н ити сме р , па да буде ∞=)(max XF (у одн осу н а поче тн и моде л ). Решење: а) Посл е постављ ањ а свих огр ан иче њ а ф ор мир ан о је з аје дн ичко подр учје тј. обл аст допустивих р е ш е њ а D (сл. 1). Сл. 1

(4)

x1

x2

1 3 5 6 7 8-1-2-3

-2

2

3

6

-1

5

2 40

4

1

9

(1)

(3)

(2)

D

A B

C

D

2 .x1 +2 .x

2 =0


4

Оптимал н о р е ш е њ е постићи ће се у тачки која пр ипада з аје дн ичком подр учју , а чије је н ор мал н о р астојањ е од пр аве 0)( =XF максимал н о. За пр аву 022)( 21 =⋅+⋅= xxXF која пр е дстављ а ф у н кцију кр ите р ијума, пр и пр ол аску кр оз коор дин атн и поче так, н ајве ће н ор мал н о р астојањ е од пр аве има тачка C са коор дин атама C(4, 2).

Д акл е оптимал н о р е ш е њ е чин е вр е дн ости:

=

==

24

*2

*1*

xx

XX C .

Максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси: 1222)( *

2*1

* =⋅+⋅= xxXF Сл. 2

б) Ре ш е њ е је оптимал н о и з а ф у н кцију кр ите р ијума 21 84)( xxXF ⋅+⋅= , је р обе збе ђује њ е н у максимал н у вр е дн ост. М е ђутим, у том сл учају , постојаће бе скон ачн их оптимал н их р е ш е њ а, з ато ш то се гр афик ф у н кције кр ите р ијума покл апа са пр авом која одговар а огр ан иче њ у (1). Тада се могу два р аз личита базичн о могућа р е ш е њ а у е кстр е мн им тачкама: C и D пр огл асити оптимал н им (сл. 2). Пр во оптимал н о базичн о р е ш е њ е пр е у зима коор дин ате тачке C(4, 2), а др уго тачке D(2, 3). Оба оптимал н а р е ш е њ а обе збе ђују истове тн у максимал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума, која из н оси 32.

(4)

x1

x2

1 3 5 6 7 8-1-2-3

-2

2

3

6

-1

5

2 40

4

1

9 (1)

(3)

(2)

D

A B

C

D

4 .x1 +8 .x

2 =32


5

в) Ако се пр вој н е је дн ачин и ,82 21 ≤⋅+ xx пр оме н и сме р у супр отн и, тако да буде ,82 21 ≥⋅+ xx он да се р ан ије з атвор е н о з аје дн ичко подр учје пр е твар а у отвор е н о (сл. 3).

Сл. 3

У том сл учају н е постоји кон ачн о оптимал н о р е ш е њ е , па је з а +∞=+∞= 21 , xx максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума +∞=)(XF .

(4)

x1

x2

3 5 6 7 8-1-2

-2

2

3

6

-1

5

2 40

4

1

9

(1)

(3)

(2)

D

C

D

1


6

GM Н аћи максимал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:

)(max42)( 21 XFxxXF →⋅+⋅= у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) ,421 ≥+ xx (2) ,03 21 ≤+⋅− xx (3) ,22 21 ≥⋅+− xx .

(4) ,12 ≥x 01 ≥x ,

кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е и колико из н оси н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума? б) Д а ли је р е ш е њ е оптимал н о и з а ф у н кцију кр ите р ијума

21 3)( xxXF ⋅+−= чију вр е дн ост тр е ба н аћи? в) Пр ош ир ити моде л са огр ан иче њ е м 821 ≤+ xx и пр он аћи оптимал н о р е ш е њ е . Решење: а) Оптимал н о р е ш е њ е чин е поме н љ иве чије су вр е дн ости +∞=+∞= 21 , xx , а максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је +∞=)(XF .

Сл. 1

A

B

(2)

(1)(4)

x1

x2

3 5 6-1-2

-2

2

3

6

5

2 4

4

0

1

1

2 .x1 +4 .x

2 =0

(3)

D

-1


7

б) Н аве де н о оптимал н о р е ш е њ е обе збе ђује максимал н у вр е дн ост вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума у бе скон ачн ости +∞=⋅+−= 21 3)( xxXF , ш то се може виде ти н а сл. 2. Уколико су кое фиције н ти у з н е поз н ату у ф у н кцији кр ите р ијума р аз личитог сме р а, гр афик ф у н кције кр ите р ијума ће , пр и пр ол аску кр оз коор дин атн и поче так, се ћи пр ви и тр е ћи квадр ан т. Тада гр афик ф у н кције кр ите р ијума тр е ба у даљ авати од коор дин атн ог поче тка дуж он е којој одговар а позитиван кое фиције н т (у з дату н е поз н ату у ф у н кцији кр ите р ијума) ако тр е ба пр он аћи максимал н у , одн осн о дуж осе којој одговар а н е гативан кое фиције н т ако се тр ажи мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума.

Сл. 2 в) Ако се моде л пр ош ир и пе тим огр ан иче њ е м ,821 ≤+ xx тада се добија з атвор е н о з аје дн ичко подр учје (сл. 3). Оптимал н о р е ш е њ е се постиже у е кстр е мн ој тачки D(2,6), ш то з н ачи да он о из н оси

=

=

62

*2

*1*

xx

X ,

док је максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума под а) 28)( * =XF , под б) 16)( * =XF .

A

B

(2)

(1)(4)

x1

x2

3 5 6-2

2

6

5

2 4

4

0

1

1

(3)

-1

F(X)= -x1+3.x2= 0

D

3

-1


8

Сл. 3 GM Н аћи мин имал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:

)(min1212)( 21 XFxxXF →⋅+⋅=

у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) 12021,03,0 21 ≥⋅+⋅ xx (2) 15042,021,0 21 ≥⋅+⋅ xx (3) 5,187375,0375,0 21 ≥⋅+⋅ xx (4) ,9015,06,0 21 ≥⋅+⋅ xx ,01 ≥x ,02 ≥x

кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Одр е дити оптимал н о р е ш е њ е и из р ачу н ати н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Гр афички пр е дставити поступак е кстр е мизације .

A

B

(2)

(1)(4)

x1

x2

3 5 6-2

-2

2

6

5

2 4

4

0

1

1

(3)

-1

3

7 8

8

D

C

(5)

2 .x1 +4 .x

2 =28

-x1+3.x 2=167

D

-1


9

Решење: а) Фу н кције огр ан иче њ а се могу пр е дставити и у е квивал е н тн им облицима:

(1) ,174000400

21 ≥+xx

(2) ,17250075000

21 ≥+xx

(3) ,1500500

21 ≥+xx

(4) ,1600150

21 ≥+xx

или као (1) ,4000710 21 ≥⋅+⋅ xx (2) ,5000147 21 ≥⋅+⋅ xx (3) ,50021 ≥+ xx (4) .6004 21 ≥+⋅ xx

Оптимал н е вр е дн ости н ал аз е се у пр е се цима је дн ачин а (као гр ан ице обл асти допустивих р е ш е њ а) (1) и (3) (р е ш е њ е *X ) и је дн ачин а (2) и (3), н а осн ову кога сл е ди р е ш е њ е **X .

⇒∩ )3()1(

≈

=

==

33,33367,166

310003500

*2

*1*

xx

XX C ,

⇒∩ )3()2(

≈

=

==

27,21471,285

7150072000

**2

**1**

xx

XX D .

За ове вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:

60007

1500127

200012)( *2

*1

* =⋅+⋅=+= xxXF или

60003

1000123

5001244)( **2

**1

** =⋅+⋅=⋅+⋅= xxXF ,

дакл е : 6000)()()()(min ****** ==== XFXFXFXF .

Остал а р е ш е њ а ***X могу се пр е дставити лин е ар н ом комбин ацијом ве ктор а *X и **X :


10

⋅−+

⋅= **

2

**1

*2

*1*** )1(

xx

xx

X αα , где је пр е тпостављ е н скал ар 10 ≤≤ α .

б) Гр афик р е ш е њ а лин е ар н ог пр огр амир ањ а пр е дстављ е н је н а сл. 1.

Сл. 1

Гр афи к функци ја ли неар но г

пр о гр ами р ања

LP Пр име н ом Си мплекс ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а који се састоји од: ф у н кције тр ош кова: )(max987)( 321 XFxxxXF →⋅+⋅+⋅=

и сл е де ћих (1) 2600382

15321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx

огр ан иче њ а: (2) 2500763 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx

(3) 27008295 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx ( ; , )x jj ≥ =0 1 3 .

а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих.

x1

x2

3 5 6-2

1

3

4

4

-1 0 21

(1)

8

2

7

-2

-1

F(X)= 0

x103

6

8

(2)

(3)

7

(4)

minxF(X)= 6000

5 Oblast D

x103

C

B

A

E

D

XC =X*

XD =X**


11

Решење:

p Поставка Си мплекс моде л а

p Пр ва ите р ација

p Д р у га ите р ација

C 7

Xb0XbCb Xb1

8

Xb2

9

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

θ = X0 / Xb3

0 X4 2600 7,5 8 3 1 0 0 866,67

0 X5 2500 3 6 7 0 1 0 357,14

0 X6 2700 5 4,5 8 0 0 1 337,5

Fj - cj 0 -7 -8 -9 0 0 0 -

X3

X6

maxST-0

C 7

Xb0XbCb Xb1

8

Xb2

9

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

θ = X0 / Xb2

0 X4 1587,5 5,63 6,31 0 1 0 -0,38 251,49

0 X5 137,5 -1,38 2,06 0 0 1 -0,88 66,67

9 X3 337,5 0,63 0,56 1 0 0 0,13 600

Fj - cj 3037,5 -1,38 -2,94 0 0 0 1,13 -

X2

X5

maxST-1

C 7

Xb0XbCb Xb1

8

Xb2

9

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

θ = X0 / Xb1

0 X4 1166,67 9,83 0 0 1 -3,06 2,3 118,64

8 X2 66,67 -0,67 1 0 0 0,48 -0,42 -100

9 X3 300 1 0 1 0 -0,27 0,36 300

Fj - cj 3233,33 -3,33 0 0 0 1,42 -0,12 -

X1

X4

maxST-2


12

p Тр е ћа ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :

]0;0;0;36,181;76,145;64,118[],,,,,[ *6

*5

*4

*3

*2

*1

* == xxxxxxX б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:

81,3628)()(max * == XFXF /н ј/.

Н апом ена: Н е гативн е θ вр е дн ости у кон тр ол н ој кол он и н е у зимати у обзир , ве ћ само ве ће вр е дн ости од н у л е . LP Пр име н ом Си мплекс ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а који се састоји од: ф у н кције тр ош кова: )(max243)( 321 XFxxxXF →⋅+⋅+⋅= и сл е де ћих (1) 15005 321 ≤+⋅+ xxx огр ан иче њ а: (2) 3000832 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx (3) 2000236 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx ( ; , )x jj ≥ =0 1 3 .

C 7

Xb0XbCb Xb1

8

Xb2

9

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

7 X1 118,64 1 0 0 0,1 -0,31 0,23

8 X2 145,76 0 1 0 0,07 0,28 -0,27

9 X3 181,36 0 0 1 -0,1 0,04 0,13

Fj - cj 3628,81 0 0 0 0,34 0,39 0,66

maxST-3


13

а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих. Решење:

p Поставка Си мплекс моде л а



C 3

Xb0XbCb Xb1

4

Xb2

2

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb2

0 X4 1500 1 5 1 1 0 0 300

0 X5 3000 2 3 8 0 1 0 1000

0 X6 2000 6 3 2 0 0 1 666,67

Fj - cj 0 -3 -4 -2 0 0 0 -

X2

X4

maxST-0

C 3

Xb0XbCb Xb1

4

Xb2

2

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb1

4 X2 300 0,2 1 0,2 0,2 0 0 1500

0 X5 2100 1,4 0 7,4 -0,6 1 0 1500

0 X6 1100 5,4 0 1,4 -0,6 0 1 203,7

Fj - cj 1200 -2,2 0 -1,2 0,8 0 0 -

X3

X6

maxST-1

C 3

Xb0XbCb Xb1

4

Xb2

2

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb3

4 X2 259,26 0 1 0,148 0,222 0 -0,037 1750

0 X5 1814,81 0 0 7,037 -0,444 1 -0,259 257,89

3 X1 203,70 1 0 0,259 -0,111 0 0,185 785,71

Fj - cj 1648,15 0 0 -0,63 0,556 0 0,407 -

X3

X5

maxST-2


14

p Тр е ћа ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :

]0;0;0;89,257;05,221;84,136[],,,,,[ *

6*5

*4

*3

*2

*1

* == xxxxxxX /ком/. б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси

53,1810)()(max * == XFXF /н ј/.

LP Пр е ду з е ће пр оизводи тр и пр оизвода н а тр и маш ин е . Опе р ацион а вр е ме н а /мин /ком/ з а р е ализацију поје дин их пр оизвода, капаците ти маш ин а /мин / и је дин ичн е це н е добити /н ј/ком/, дате су у сл е де ћој табе ли.

C 3

Xb0XbCb Xb1

4

Xb2

2

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

4 X2 221,05 0 1 0 0,232 -0,021 -0,032

2 X3 257,89 0 0 1 -0,063 0,142 -0,037

3 X1 136,84 1 0 0 -0,095 -0,037 0,195

Fj - cj 1810,53 0 0 0 0,516 0,089 0,384

maxST-3

Proizvodi

MasineKapaciteti

masina /min/

Kapacitetimasina /min/P1 P2 P3

M1 2 4 14800

4800

M2 4 3 25600

5600

M3 5 1 32400

2400

Jedinicnadobit /nj/kom/

Jedinicnadobit /nj/kom/ 16

1620

2016

16 --


15

Одр е дити максимал н у добит која се оствар у је пр одајом пр оизвода као и н ајбољ и (оптимал н и) одн ос асор тиман /количин а. Решење:

p Поставка Си мплекс моде л а Фу н кција тр ош кова: )(max)(0162016)( 654321 XFxxxxxxXF →++⋅+⋅+⋅+⋅= (1) 480042 4321 ≤++⋅+⋅ xxxx систе м огр ан иче њ а: (2) 5600234 5321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx (3) 240035 6321 ≤+⋅++⋅ xxxx )6,1;0( =≥ jx j .


C 16

Xb0XbCb Xb1

20

Xb2

16

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb2

0 X4 4800 2 4 1 1 0 0 1200

0 X5 5600 4 3 2 0 1 0 1866,67

0 X6 2400 5 1 3 0 0 1 2400

Fj - cj 0 -16 -20 -16 0 0 0 -

X2

X4

maxST-0

C 16

Xb0XbCb Xb1

20

Xb2

16

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb3

20 X2 1200 0,5 1 0,25 0,25 0 0 4800

0 X5 2000 2,5 0 1,25 -0,75 1 0 1600

0 X6 1200 4,5 0 2,75 -0,25 0 1 436,36

Fj - cj 24000 -6 0 -11 5 0 0 -

X3

X6

maxST-1


16


p Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :

=

=

055,1454

036,43691,1090

0

*6

*5

*4

*3

*2

*1

*

xxxxxx

X /ком/.

p Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:

28800)()(max * == XFXF /н ј/.

LP Пр е ду з е ће пр оизводи тр и пр оизвода н а тр и маш ин е . Опе р ацион а вр е ме н а /мин /ком/ з а р е ализацију поје дин их пр оизвода, капаците ти маш ин а /мин / и је дин ичн е це н е пр одаје /н ј/ком/, дате су у сл е де ћој табе ли.

C 16

Xb0XbCb Xb1

20

Xb2

16

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

20 X2 1090,91 0,091 1 0 0,273 0 -0,091

0 X5 1454,55 0,455 0 0 -0,636 1 -0,455

16 X3 436,36 1,636 0 1 -0,091 0 0,364

Fj - cj 28800 12 0 0 4 0 4

maxST-2

Proizvodi

MasineKapaciteti

masina /min/

Kapacitetimasina /min/P1 P2 P3

M1 10 4 51500

1500

M2 7 2 4450

450

M3 4 4 2610

610

Jedinicnadobit /nj/kom/

Jedinicnadobit /nj/kom/ 20

2015

1515

15 --


17

Одр е дити максимал н у добит која се оствар у је пр одајом пр оизвода као и н ајбољ и (оптимал н и) одн ос асор тиман / количин а. Решење:

p Поставка Си мплекс моде л а (1) 15005410 4321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx , са систе мом огр ан иче њ а (2) 450427 5321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx , (3) 610244 6321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx , )6,1;0( =≥ jx j , и ф у н кцијом тр ош кова )(max)(0151520)( 654321 XFxxxxxxXF →++⋅+⋅+⋅+⋅=


C 20

Xb0XbCb Xb1

15

Xb2

15

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb1

0 X4 1500 10 4 5 1 0 0 150

0 X5 450 7 2 4 0 1 0 64,29

0 X6 610 4 4 2 0 0 1 152,5

Fj - cj 0 -20 -15 -15 0 0 0 -

X1

X5

maxST-0

C 20

Xb0XbCb Xb1

15

Xb2

15

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb2

0 X4 857,14 0 1,14 -0,714 1 -1,43 0 750

20 X1 64,28 1 0,29 0,57 0 0,143 0 225

0 X6 352,86 0 2,86 -0,286 0 -0,571 1 123,5

Fj - cj 1285,7 0 -9,29 -3,57 0 2,86 0 -

X2

X6

maxST-1


18


p Тр е ћа ите р ација

p Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је

]0;0;745;33,48;33,128;0[],,,,,[ *6

*5

*4

*3

*2

*1

* == xxxxxxX /ком/.

p Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси

2650)()(max * == XFXF /н ј/.

DM Пр име н ом Си мплекс ду ал н е ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а з а: ф у н кцију кр ите р ијума: )(min605070)( 321 XFxxxXF →⋅+⋅+⋅= и скуп (1) 6500755 321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx огр ан иче њ а: (2) 70004615 321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx

(3) 50006425

321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx

(4) 2500542 321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx ( ; , )x jj ≥ =0 1 3 .

C 20

Xb0XbCb Xb1

15

Xb2

15

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

0 X4 745 1 0 0 1 -1 -0,5

15 X3 48,33 1,67 0 1 0 0,33 -0,167

15 X2 128,33 0,167 1 0 0 -0,167 0,33

Fj - cj 2650 7,5 0 0 0 2,5 2,5

maxST-3

C 20

Xb0XbCb Xb1

15

Xb2

15

Xb3

0

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

X0 / Xb3

0 X4 716 0 0 -0,6 1 -1,2 -0,4 -1193,3

20 X1 29 1 0 +0,6 0 0,2 -0,1 48,33

15 X2 123,5 0 1 -0,1 0 -0,2 0,35 -1235

Fj - cj 2432,5 0 0 -4,5 0 1 3,25 -

X3

X5

maxST-2


19

а) Одр е дити оптимал н о р е ш е њ е з а н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих. Решење:

p Поставка ду ал н ог Си мплекс моде л а

са ду ал н ом ф у н кцијом огр ан иче њ а (1) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 7025,7155 4321 yyyy 705,7155 54321 =++⋅+⋅+⋅ yyyyy (2) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 504465 4321 yyyy 504465 64321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ yyyyy (3) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 605647 4321 yyyy 605647 74321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ yyyyy

и ду ал н ом ф у н кцијом кр ите р ијума )7,1;0( =≥ iyi

)(max)(02500500070006500)( 7654321 YyyyyyyyY Φ→++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=Φ .


BT 6500

Yb0YbBbT Yb1

7000

Yb2

5000

Yb3

2500

Yb4

0

Yb5

0

Yb6

Yb0 / Yb2

0 y5 70 5 15 2,5 2 1 0 4,667

0 y6 50 5 6 4 4 0 1 8,333

0 y7 60 7 4 6 5 0 0 15

Φi - BiT 0 -6500 -7000 -5000 -2500 0 0 -

Y2

Y5

maxST-0

0

Yb7

0

0

1

0

BT 6500

Yb0YbBbT Yb1

7000

Yb2

5000

Yb3

2500

Yb4

0

Yb5

0

Yb6

Yb0 / Yb1

7000 y2 4,667 0,333 1 0,167 0,133 0,067 0 14

0 y6 22 3 0 3 3,2 -0,4 1 7,333

0 y7 41,333 5,667 0 5,333 4,467 -0,267 0 7,294

Φi - BiT 32666,6 -4166,7 0 -3833,3 -1566,6 466,67 0 -

Y1

Y7

maxST-1

0

Yb7

0

0

1

0


20

p Д р у га ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥−Φ T

ii B з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :

[ ] [ ]6,171724,88003,73606,270*7

*6

*5

*4

*3

*2

*1

* == xxxxxxxX

одн осн о:

[ ] [ ]294,7118,0000235,20*7

*6

*5

*4

*3

*2

*1

* == yyyyyyyY . б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума )(YΦ из н оси:

)()( ** YXF Φ= или

8,63058)(max)(min =Φ= YXF . DM Пр име н ом Си мплекс ду ал н е ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а з а: ф у н кцију кр ите р ијума: )(min432)( 4321 YyyyyY Φ→+⋅+⋅+⋅=Φ и скуп (1) 400358 4321 ≥+⋅+⋅+⋅ yyyy огр ан иче њ а: (2) 250562 4321 ≥⋅+⋅++⋅ yyyy (3) 2202345 4321 ≥⋅+⋅+⋅+⋅ yyyy

(4) 2505436 4321 ≥⋅+⋅+⋅+⋅ yyyy )4,1;0( =≥ iyi . а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е з а н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих.

BT 6500

Yb0YbBbT Yb1

7000

Yb2

5000

Yb3

2500

Yb4

0

Yb5

0

Yb6

7000 y2 2,235 0 1 -0,147 -0,129 0,088 0

0 y6 0,118 0 0 0,176 0,835 -0,259 1

6500 y7 7,294 1 0 0,941 0,788 -0,047 0

Φi - BiT 63058,8 0 0 88,235 1717,6 270,59 0

maxST-2

0

Yb7

-0,059

-0,529

0,176

735,29

x1* x2

* x3*x4

* x5* x6

* x7*


21

Решење:

p Поставка ду ал н ог Си мплекс моде л а

са ду ал н ом ф у н кцијом огр ан иче њ а: (1) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 26528 4321 xxxx 26528 54321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ xxxxx (2) ⇒≤⋅+⋅++⋅ 3345 4321 xxxx 3345 64321 =+⋅+⋅++⋅ xxxxx (3) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 44363 4321 xxxx 44363 74321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ xxxxx (4) ⇒≤⋅+⋅+⋅+ 1525 4321 xxxx 1525 84321 =+⋅+⋅+⋅+ xxxxx

и ду ал н ом ф у н кцијом кр ите р ијума: )8,1;0( =≥ jx j

)(max)(0250220250400)( 87654321 XFxxxxxxxxXF →+++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=


C 400

Xb0XbCb Xb1

250

Xb2

220

Xb3

250

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb1

0 X5 2 8 2 5 6 1 0 1/4

0 X6 3 5 1 4 3 0 1 3/5

0 X7 4 3 6 3 4 0 0 4/3

Fj - cj 0 -400 -250 -220 -250 0 0 -

X1

X5

maxST-0

0

Xb7

0

Xb8

0 0

0 0

1 0

0 0

0 X8 1 1 5 2 5 0 0 10 1

C 400

Xb0XbCb Xb1

250

Xb2

220

Xb3

250

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

Xb0 / Xb2

400 X1 1/4 1 1/4 5/8 3/4 1/8 0 1

0 X6 7/4 0 -1/4 7/8 -3/4 -5/8 1 -7

0 X7 13/4 0 21/4 9/8 7/4 -3/8 0 3/7

Fj - cj 100 0 -150 30 50 50 0 -

X2

X8

maxST-1

0

Xb7

0

Xb8

0 0

0 0

1 0

0 0

0 X8 3/4 0 19/4 11/8 17/4 -1/8 0 3/190 1


22

p Д р у га ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је

]0,1946,

1934,0,0,0,

193,

194[],,,,,,,[ *

8*7

*6

*5

*4

*3

*2

*1

* == xxxxxxxxX ,

одн осн о ]19

3500,19

1395,0,0,19600,0,0,

19875[][ *

8*7

*6

*5

*4

*3

*2

*1

* == yyyyyyyyY .

б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси

)()( ** XFY =Φ , тј.

68,12319

2350)(max)(min ≈==Φ XFY .

TP Че тир и пр е ду з е ћа P jj ( , )= 1 4 з а потр е бе пр оизводњ е тр ош е је дн ор одн е ме те р ијал е из

че тир и скл адиш та )4,1( =iS i пол упр оизвода. Капаците ти скл адиш та /ком/, дн е вн е потр е бе пр оизводњ е /ком/, ш е ма тр ан спор та и је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ дати су у н ар е дн ој табе ли.

y5* y6

* y7* y1

* y2* y3

*

C 400

Xb0XbCb Xb1

250

Xb2

220

Xb3

250

Xb4

0

Xb5

0

Xb6

400 X1 4/19 1 0 21/38 10/19 5/38 0

0 X6 34/19 0 0 18/19 -10/19 -12/19 1

0 X7 46/19 0 0 -15/38 -56/19 -9/38 0

Fj - cj 2350/19 0 0 1395/19 3500/19 875/19 0

maxST-2

0

Xb7

0

Xb8

0 -1/19

0 1/19

1 -21/19

0 600/19

250 X2 3/19 0 1 11/38 17/19 -1/38 0 0 4/19

y4*y8

*


23

а) Одр е дити оптимал н и тр ан спор т пол упр оизвода из скл адиш та у пр е ду з е ћа да би се мин имизир али у купн и тр ош кови тр ан спор товањ а. б) Тр ан спор тн и пр обл е м р е ш ити у одн осу н а тр е н у тн о стањ е тр ан спор та. Кван тификовати е ф е кте пр е дл оже н их изме н а тр ан спор та. Решење:

1) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а.

p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u3=0.

c11=u1+v1=3 a u1=3-v1=3-2=1 c33=u3+v3=2 a v3=2 c22=u2+v2=1 a v2=1-u2=1-(-4)=5 c43=u4+v3=1 a u4=1-v3=1-2=-1 c24=u2+v4=6 a u2=6-v4=6-10=-4 c44=u4+v4=9 a v4=9-u4=9-(-1)=10. c31=u3+v1=2 a v1=2

P4 (260)P4 (260)

150 150

S4 (320)S4 (320)

Preduzeca Skladista

S1 (270)5

P1 (450)

2703

P2 (150)

2

P3 (230)

6S2 (300)

10

1501 36

S3 (200)

3

7 20

2

8

210 2101

1802

Si

Pj

5

110 1109

P4 (260)P4 (260)

150 150

S4 (320)S4 (320)

Preduzeca Skladista

S1 (270)5

P1 (450)

2703

P2 (150)

2

P3 (230)

6S2 (300)

10

1501 36

S3 (200)

3

7 20

2

8

210 2101

1802

Si

Pj

+θ

−θ

+θ

min TP-0

−θ

+θ5

110 1109 −θ


24

p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.

d12=c12-u1-v2=2-1-5=-4 d32=c32-u3-v2=7-0-5=2 d13=c13-u1-v3=10-1-2=7 d34=c34-u3-v4=5-0-10=-5 d14=c14-u1-v4=5-1-10=-6 a x14=θ =20 d41=c41-u4-v1=3-(-1)-2=2 d21=c21-u2-v1=6-(-4)-2=8 d42=c42-u4-v2=8-(-1)-5=4. d23=c23-u2-v3=3-(-4)-2=5

Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7

Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=3460 /н ј/

2) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације


c11=u1+v1=3 a v1=3 c31=u3+v1=2 a u3=2-v1=2-3=-1 c14=u1+v4=5 a v4=5 c43=u4+v3=1 a v3=1-u4=1-4=-3 c22=u2+v2=1 a v2=1-u2=1-1=0 c44=u4+v4=9 a u4=9-v4=9-5=4. c24=u2+v4=6 a u2=6-v4=6-5=1


d12=c12-u1-v2=2-0-0= 2 d33=c33-u3-v3=2-(-1)-(-3)=6 d13=c13-u1-v3=10-0-(-3)=13 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-5=1 d21=c21-u2-v1=6-1-3=2 d41=c41-u4-v1=3-4-3=-4 a x41=θ =90 d23=c23-u2-v3=3-1-(-3)=5 d42=c42-u4-v2=8-4-0=4. d32=c32-u3-v2=7-(-1)-0=8

Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7.

Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=3340 /ком/.

P4 (260)P4 (260)

20 20

150 150

S4 (320)S4 (320)

Preduzeca Skladista

S1 (270)5

P1 (450)

2503

P2 (150)

2

P3 (230)

6S2 (300)

10

1501 36

S3 (200)

3

7 2

8

230 2301

2002

Si

Pj

+θ

min TP-1

−θ

+θ

5

90 909 −θ


25

3) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације


c11=u1+v1=3 a u1=3-v1=3-3=0 c31=u3+v1=2 a u3=2-v1=2-3=-1 c14=u1+v4=5 a v4=5-u1=5-0=5 c41=u4+v1=3 a v1=3-u4=3-0=3 c22=u2+v2=1 a v2=1-u2=1-1=0 c43=u4+v3=1 a v3=1-u4=1-0=1. c24=u2+v4=6 a u2=6-v4=6-5=1


d12=c21-u1-v2=2-0-0=2 d33=c33-u3-v3=2-(-1)-1=2 d13=c13-u1-v3=10-0-1=9 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-5=1 d21=c21-u2-v1=6-1-3=2 d42=c42-u4-v2=8-0-0=8 d23=c23-u2-v3=3-1-1=1 d44=c44-u4-v4=9-0-5=4. d32=c32-u3-v2=7-(-1)-0=8

Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(2))=2980 /н ј/.

Како је 0≥ijd , сл е ди да је у пр е тходн ој табе ли р е ш е њ е оптимал н о, тј.

=

=

0230090000200

1500150011000160

*44

*43

*42

*41

*34

*33

*32

*31

*24

*23

*22

*21

*14

*13

*12

*11

*

xxxxxxxxxxxxxxxx

X /ком/.

Мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:

2980)()()(min )2(* === XFXFXF /н ј/. Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе :

48029803460)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/.

P4 (260)P4 (260)

110 110

150 150

S4 (320)S4 (320)

Preduzeca Skladista

S1 (270)5

P1 (450)

1603

P2 (150)

2

P3 (230)

6S2 (300)

10

1501 36

S3 (200)

90 903

7 2

8

230 2301

2002

Si

Pj

min TP-2

5

9


26

TP Че тир и пр е ду з е ћа P jj ( , )= 1 4 з а потр е бе пр оизводњ е тр ош е је дн ор одн е мате р ијал е из

че тир и скл адиш та )4,1( =iS i пол упр оизвода. Капаците ти скл адиш та /ком/, дн е вн е потр е бе пр оизводњ е /ком/, ш е ма тр ан спор та и је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ дати су у н ар е дн ој табе ли.

а) Одр е дити оптимал н и тр ан спор т пол упр оизвода из скл адиш та у пр е ду з е ћа да би се мин имизир али у купн и тр ош кови тр ан спор товањ а. б) Тр ан спор тн и пр обл е м р е ш ити у одн осу н а тр е н у тн о стањ е тр ан спор та. Кван тификовати е ф е кте пр е дл оже н их изме н а тр ан спор та. Решење: 1) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а


c11=u1+v1=1 a v1=1-u1=1-(-7)=8 c42=u4+v2=9 a v2=9 c12=u1+v2=2 a u1=2-v2=2-9=-7 c43=u4+v3=1 a v3=1 c22=u2+v2=0 a u2=0-v2=0-9=-9 c44=u4+v4=7 a v4=7. c32=u3+v2=4 a u3=4-v2=4-9=-5

P4 (200)P4 (200)

S4 (880)S4 (880)

Preduzeca Skladista

S1 (560)8

P1 (340)

3401

P2 (1100)

2202

P3 (380)

5S2 (230)

6

2300 35

S3 (350)

6

3504 7

300 3009

380 3801

10 2

200 2007

min TP-0

P4 (200)P4 (200)

S4 (880)S4 (880)

Preduzeca Skladista

S1 (560)8

P1 (340)

3401

P2 (1100)

2202

P3 (380)

5S2 (230)

6

2300 35

S3 (350)

6

3504 7

300 3009

380 3801

10 2

200 2007

+θ −θ

+θ−θ


27


d13=c13-u1-v3=6-(-7)-1=12 d31=c31-u3-v1=10-(-5)-8=7 d14=c14-u1-v4=8-(-7)-7=8 d33=c33-u3-v3=7-(-5)-1=11 d21=c21-u2-v1=5-(-9)-8=6 d34=c34-u3-v4=2-(-5)-7=0 d23=c23-u2-v3=3-(-9)-1=11 d41=c41-u4-v1=6-0-8=-2 a x41=θ =300 . d24=c24-u2-v4=5-(-9)-7=7


Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=6660 /н ј/. 2) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације


c11=u1+v1=1 a u1=1-v1=1-6=-5 c41=u4+v1=6 a v1=6 c12=u1+v2=2 a v2=2-u1=2-(-5)=7 c43=u4+v3=1 a v3=1 c22=u2+v2=0 a u2=0-v2=0-7=-7 c44=u4+v4=7 a v4=7. c32=u3+v2=4 a u3=4-v2=4-7=-3


d13=c13-u1-v3=6-(-5)-1=10 d31=c31-u3-v1=10-(-3)-6=7 d14=c14-u1-v4=8-(-5)-7=6 d33=c33-u3-v3=7-(-3)-1=9 d21=c21-u2-v1=5-(-7)-6=6 d34=c34-u3-v4=2-(-3)-7=-2 a x34=θ =40 d23=c23-u2-v3=3-(-7)-1=9 d42=c42-u4-v2=9-0-7=2. d24=c24-u2-v4=5-(-7)-7=5


Фу н кција кр ите р ијума, у овом сл учају , из н оси: F(X(1))=6060 /н ј/.

min TP-1

P4 (200)P4 (200)

S4 (880)S4 (880)

Preduzeca Skladista

S1 (560)8

P1 (340)

401

P2 (1100)

5202

P3 (380)

5S2 (230)

6

2300 35

S3 (350)

300 3006

3504 7

9

380 3801

10 2

200 2007

+θ

+θ

+θ−θ

−θ

−θ


28

3) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације


c12=u1+v2=2 a u1=2-v2=2-9=-7 c41=u4+v1=6 a v1=6 c22=u2+v2=0 a u2=0-v2=0-9=-9 c43=u4+v3=1 a v3=1 c32=u3+v2=4 a v2=4-u3=4-(-5)=9 c44=u4+v4=7 a v4=7. c34=u3+v4=2 a u3=2-v4=2-7=-5


d11=c11-u1-v1=1-(-7)-6=2 d24=c24-u2-v4=5-(-9)-7=7 d13=c13-u1-v3=6-(-7)-1=12 d31=c31-u3-v1=10-(-5)-6=9 d14=c14-u1-v4=8-(-7)-7=8 d33=c33-u3-v3=7-(-5)-1=11 d21=c21-u2-v1=5-(-9)-6=8 d42=c42-u4-v2=9-0-9=0. d23=c23-u2-v3=3-(-9)-1=11

Фу н кција кр ите р ијума из н оси F(X(2))=5980 /н ј/.


=

=

16038003404003100002300005600

*44

*43

*42

*41

*34

*33

*32

*31

*24

*23

*22

*21

*14

*13

*12

*11

*

xxxxxxxxxxxxxxxx

X /ком/.

Мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума, у том сл учају , из н оси:

5980)()()(min )2(* === XFXFXF /н ј/. б) Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе : 68059806660)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/.

min TP-2

P4 (200)P4 (200)

40 40

S4 (880)S4 (880)

Preduzeca Skladista

S1 (560)8

P1 (340)

1

P2 (1100)

5602

P3 (380)

5S2 (230)

6

2300 35

S3 (350)

340 3406

3104 7

9

380 3801

10 2

160 1607


29

TP Н а осн ову поче тн ог базичн ог допустивог р е ш е њ а тр ан спор та р обе из )3,1( =iFi

ф абр ика у )5,1( =jPj пр одавн ица одр е дити: а) Оптимал н о р е ш е њ е тр ан спор та пр оизвода из ф абр ика у пр одавн ице . б) Н ајбољ и тр ан спор т пр е дставити путе м матр ице р е ш е њ а. ц) Утвр дити смањ е њ е у купн их тр ош кова тр ан спор та кр ајњ е г у одн осу н а поче тн о р е ш е њ е тр ан спор та.

Капаците ти ф абр ика /ком/, дн е вн е потр е бе пр одавн ица /ком/, ш е ма тр ан спор та и је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ дати су у пр е тходн ој табе ли. Решење: а) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а


c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-7=-3 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-1)=2 c21=u2+v1=7 a v1=7 c34=u3+v4=3 a u3=3-v4=3-4=-1 c23=u2+v3=3 a v3=3 c35=u3+v5=2 a v5=2-u3=2-(-1)=3. c24=u2+v4=4 a v4=4

P4 (60)P4 (60)

30 30

F4 (120)F4 (120)

Prodavnice

Fabrike

F1 (20)7

P1 (70)

204

P2 (40)

2

P3 (30)

4F2 (110)

5

8 30

3 50

7

2

40 401 4

30 303

P5 (50)P5 (50)

6

5

50 502

P4 (60)P4 (60)

30 30

F4 (120)F4 (120)

Prodavnice

Fabrike

F1 (20)7

P1 (70)

204

P2 (40)

2

P3 (30)

4F2 (110)

5

8 30

3 50

7

2

40 401 4

30 303

P5 (50)P5 (50)

6

5

50 502

min TP-0

−θ +θ

+θ −θ


30

p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj. d12=c12-u1-v2=2-(-3)-2=3 d22=c22-u2-v2=8-0-2=6 d13=c13-u1-v3=5-(-3)-3=5 d25=c25-u2-v5=5-0-3=2 d14=c14-u1-v4=7-(-3)-4=6 d31=c31-u3-v1=2-(-1)-7=-4 a x31=θ =30 d15=c15-u1-v5=6-(-3)-3=6 d33=c33-u3-v3=4-(-1)-3=2.


Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=870 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације


c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-7=-3 c31=u3+v1=2 a u3=2-v1=2-7=-5 c21=u2+v1=7 a v1=7 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-5)=6 c23=u2+v3=3 a v3=3 c35=u3+v5=2 a v5=2-u3=2-(-5)=7. c24=u2+v4=4 a v4=4


d12=c12-u1-v2=2-(-3)-6=-1 d22=c22-u2-v2=8-0-6=2 d13=c13-u1-v3=5-(-3)-3=5 d25=c25-u2-v5=5-0-7=-2 a x25=θ =20 d14=c14-u1-v4=7-(-3)-4=6 d33=c33-u3-v3=4-(-5)-3=6 d15=c15-u1-v5=6-(-3)-7=2 d34=c34-u3-v4=3-(-5)-4=4.



P4 (60)P4 (60)

60 60

F4 (120)F4 (120)

Prodavnice

Fabrike

F1 (20)7

P1 (70)

204

P2 (40)

2

P3 (30)

4F2 (110)

5

8 30

3 20

7

30 302

40 401 4 3

P5 (50)P5 (50)

6

5

50 502

min TP-1

−θ+θ

+θ −θ


31

Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације


c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-5=-1 c31=u3+v1=2 a v1=2-u3=2-(-3)=5 c23=u2+v3=3 a v3=3 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-3)=4 c24=u2+v4=3 a v4=4 c35=u3+v5=2 a u3=2-v5=2-5=-3. c25=u2+v5=5 a v5=5


d12=c12-u1-v2=2-(-1)-4=-1 a x12=θ =20 d21=c21-u2-v1=7-0-5=2 d13=c13-u1-v3=5-(-1)-3=3 d22=c22-u2-v2=8-0-4=4 d14=c14-u1-v4=7-(-1)-4=4 d33=c33-u3-v3=4-(-3)-3=4 d15=c15-u1-v5=6-(-1)-5=2 d34=c34-u3-v4=3-(-3)-4=2.


Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=710 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е тр е ће ите р ације

P4 (60)P4 (60)

60 60

F4 (120)F4 (120)

Prodavnice

Fabrike

F1 (20)7

P1 (70)

204

P2 (40)

2

P3 (30)

4F2 (110)

5

8 30

37

50 502

40 401 4 3

P5 (50)P5 (50)

20 20

6

5

30 302

min TP-2

−θ+θ

+θ −θ

P4 (60)P4 (60)

60 60

F4 (120)F4 (120)

Prodavnice

Fabrike

F1 (20)7

P1 (70)

4

P2 (40)

202

P3 (30)

4F2 (110)

5

8 30

37

70 702

20 201 4 3

P5 (50)P5 (50)

20 20

6

5

30 302

min TP-3


32


c12=u1+v2=2 a u1=2-v2=2-4=-2 c31=u3+v1=2 a v1=2-u3=2-(-3)=5 c23=u2+v3=3 a v3=3 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-3)=4 c24=u2+v4=4 a v4=4 c35=u3+v5=2 a u3=2-v5=2-5=-3. c25=u2+v5=5 a v5=5


d11=c11-u1-v1=4-(-2)-5=1 d21=c21-u2-v1=7-0-5=2 d13=c13-u1-v3=5-(-2)-3=4 d22=c22-u2-v2=8-0-4=4 d14=c14-u1-v4=7-(-2)-4=5 d33=c33-u3-v3=4-(-3)-3=4 d15=c15-u1-v5=6-(-2)-5=3 d34=c34-u3-v4=3-(-3)-4=2.


б) Како је 0≥ijd , сл е ди да је у пр е тходн ој табе ли р е ш е њ е оптимал н о, тј.

=

=3000207020603000000200

*35

*34

*33

*32

*31

*25

*24

*23

*22

*21

*15

*14

*13

*12

*11

*

xxxxxxxxxxxxxxx

X /ком/.


690)()()(min )2(** ==⋅== ∑ XFxcXFXFij

ijij /н ј/.

ц) Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе : 180690870)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/. TP Че тир и компан ије )4,1( =jK j сн абде вају се је дн ор одн им мате р ијал ом из че тир и

скл адиш та )4,1( =iM i . Ре су р сн и капаците ти компан ија и скл адиш та /ком/, је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ и ш е ма тр ан спор та и су дати у н ар е дн ој табе ли.

K4 (140)K4 (140)

40 40

M4 (200)M4 (200)

Kompanije

Materijali

M1 (260)15

K1 (90)

4

K2 (310)

12

K3 (220)

8M2 (170)

2203

1706 27

M3 (130)

90 906

1303 4

10 104 10

5 5

100 1001


33

а) Одр е дити н ајбољ у р асподе л у р е су р са из скл адиш та у компан ије да би се мин имизир али у купн и тр ош кови тр ан спор товањ а. б) Тр ан спор тн и пр обл е м р е ш ити у одн осу н а тр е н у тн о стањ е тр ан спор та. Кван тификовати е ф е кте пр е дл оже н их изме н а тр ан спор та. Решење: а) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а


c13=u1+v3=3 a v3=3-u1=3-14=-11 c41=u4+v1=6 a v1=6 c14=u1+v4=15 a u1=15-v4=15-1=14 c42=u4+v2=4 a v2=4 c22=u2+v2=6 a u2=6-v2=6-4=2 c44=u4+v4=1 a v4=1. c32=u3+v2=3 a u3=3-v2=3-4=-1


d11=c11-u1-v1=4-14-6=-16 a x11=θ =40 d31=c31-u3-v1=5-(-1)-6=0 d12=c12-u1-v2=12-14-4=-6 d33=c33-u3-v3=4-(-1)-(-11)=16 d21=c21-u2-v1=7-2-6=-1 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-1=5 d23=c23-u2-v3=2-2-(-11)=11 d43=c43-u4-v3=10-0-(-11)=21. d24=c24-u2-v4=8-2-1=5


Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=3350 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације

min TP-0

K4 (140)K4 (140)

40 40

M4 (200)M4 (200)

Kompanije

Materijali

M1 (260)15

K1 (90)

4

K2 (310)

12

K3 (220)

8M2 (170)

2203

1706 27

M3 (130)

90 906

1303 4

10 104 10

5 5

100 1001

+θ−θ

+θ−θ


34


c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-6=-2 c41=u4+v1=6 a v1=6 c13=u1+v3=3 a v3=3-u1=3-(-2)=5 c42=u4+v2=4 a v2=4 c22=u2+v2=6 a u2=6-v2=6-4=2 c44=u4+v4=1 a v4=1. c32=u3+v2=3 a u3=3-v2=3-4=-1


d12=c12-u1-v2=12-(-2)-4=10 d31=c31-u3-v1=5-(-1)-6=0 d14=c14-u1-v4=15-(-2)-1=16 d33=c33-u3-v3=4-(-1)-5=0 d21=c21-u2-v1=7-2-6=-1 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-1=5 d23=c23-u2-v3=2-2-5=-5 a x23=θ =50 d43=c43-u4-v3=10-0-5=5. d24=c24-u2-v4=8-2-1=5


Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=2710 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације

min TP-2

K4 (140)K4 (140)

M4 (200)M4 (200)

Kompanije

Materijali

M1 (260)15

K1 (90)

904

K2 (310)

12

K3 (220)

8M2 (170)

1703

1206

5027

M3 (130)

6

1303 4

60 604 10

5 5

140 1401

min TP-1

K4 (140)K4 (140)

M4 (200)M4 (200)

Kompanije

Materijali

M1 (260)15

K1 (90)

404

K2 (310)

12

K3 (220)

8M2 (170)

2203

1706 27

M3 (130)

50 506

1303 4

10 104 10

5 5

140 1401

+θ

−θ +θ

−θ +θ

−θ


35

p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је v2=0.

c11=u1+v1=4 a v1=4-u1=4-7=-3 c32=u3+v2=3 a u3=3 c13=u1+v3=3 a u1=3-v3=3-(-4)=7 c42=u4+v2=4 a u4=4 c22=u2+v2=6 a u2=6 c44=u4+v4=1 a v4=1-u4=1-4=-3. c23=u2+v3=2 a v3=2-u2=2-6=-4


d12=c12-u1-v2=12-7-0=5 d33=c33-u3-v3=4-3-(-4)=5 d14=c14-u1-v4=15-7-(-3)=11 d34=c34-u3-v4=5-3-(-3)=5 d21=c21-u2-v1=7-6-(-3)=4 d41=c41-u4-v1=6-4-(-3)=5 d24=c24-u2-v4=8-6-(-3)=5 d43=c43-u4-v3=10-4-(-4)=10. d31=c31-u3-v1=5-3-(-3)=5



=

=

140060000130005012000170090

*44

*43

*42

*41

*34

*33

*32

*31

*24

*23

*22

*21

*14

*13

*12

*11

*

xxxxxxxxxxxxxxxx

X /ком/.


2460)()()(min )2(** ==⋅== ∑ XFxcXFXF ijij

ij /н ј/.

б) Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе : 89024603350)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/.


36

MP Обликовати мр е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е з а потр е бе р е ализације је дн ог пр оје кта чији је р е досл е д активн ости (у вр е ме н ским је дин ицама /вј/) и догађаја дат у табе ли.

Пор е д тога пр ор ачу н ати сл е де ће вр е ме н ске пар аме тр е : а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости. б) Кр итичн е путе ве и пр ви субкр итичн и пут. в) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима. Решење: а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости.

p Н ајр ан ија вр е ме н а активн ости: ijij ttt += )0()0( /вј/.

p Н ајкасн ија вр е ме н а активн ости: ijji ttt −= )1()1( /вј/. б) Кр итичн и путе ви и пр ви субкр итичан пут у мр е жн ом дијагр аму CPM

p Кр итичн и путе ви у М Д

:1π 1922070048054)( 211 =+++++=+++++= PLSISC ttttttt π /вј/,

:2π 19266601254)( 2 =+++=+++= RJFC ttttt π /вј/.

p С убкр итичн и пут у М Д

:Sπ 18466283654)( =+++=+++= RKGCS ttttt π /вј/.

Akt

ivno

sti

Akt

ivno

sti Te

kuce O

znak

eR

elac

ije

Prethodneaktivnosti

Trajanje [vj]aktivnosti


A

1-2

-

3232

C

1-3

B

1-4

- -

2424 5454

D

2-5

A

3030

F

3-6

E

4-7

B C

1616 1212

G

4-8

C

3636

I

5-10

H

6-9

D C,E

2626 4848

J

7-11

F

6060

L

8-11

K

10-12

G H,I

2828 7070

M

9-12

I

5454

P

11-12

N

12-13

J,K

L,M,N

3232 2020

RR

11-13

11-13

J,K

J,K

6666


37

Сл. 1 в) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима.

p В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима: )0()1(iii ttt +=∆ /вј/

p Укупн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима: ijijij tttU −+=∆ )0()1( /вј/

0 0

32 46

54 54

A (32)

24 38

54 54

B (24) E (16)

F (12)C (54)

1

2

3

4

6

62 76

D (30) 5

66 66

7

H (26) 10

9 12 P (20) 13M (54)

J (60)

L (70)

S1 (0)

11 R (66)

N (32)

S2 (0)

G (36) 90 98

8

I (48)

K (28)

102 102

102 102

172 172 192 192

126 126

∆ti [vj]∆ti [vj]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1313Dogadjaj (i)

00 1414 1414 00 1414 00 00 88 00 00 00 00 00

∆Uij [vj]∆Uij [vj]

1-2 1-3 1-4 2-5 3-6 4-7 4-8 5-10 6-9 7-11 8-11 10-12 9-12 11-12 12-1311-13

11-13Relacije (i-j)

1414 1414 00 1414 1414 00 88 1414 00 00 88 00 1616 1414 00 00

ti

0 ti1

i-j (tij) tj

0 tj1

Legenda:i j

Kriticni put (aktivnosti)

Fiktivne aktivnosti


38

MP Обликовати мр е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е з а потр е бе р е ализације одр е ђе н ог пр оје кта чији је р е досл е д активн ости (у вр е ме н ским је дин ицама /вј/) и догађаја дат у табе ли.

Пор е д тога пр ор ачу н ати сл е де ће вр е ме н ске пар аме тр е : а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости. б) Кр итичн е путе ве и пр ви субкр итичан пут у мр е жн ом дијагр аму . в) Одр е дити вр е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима. Решење: а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости.

p Н ајр ан ија вр е ме н а активн ости: ijij ttt += )0()0( /вј/.

p Н ајкасн ија вр е ме н а активн ости: ijji ttt −= )1()1( /вј/. б) Кр итичн и путе ви и пр ви субкр итичн и пут у мр е жн ом дијагр аму CPM

p Кр итичн и путе ви у М Д

:1π 961035024027)( 211 =+++++=+++++= PLSISC ttttttt π /вј/,

:2π 963330627)( 2 =+++=+++= RJFC ttttt π /вј/.

p С убкр итичн и пут у М Д

:Sπ 9233141827)( =+++=+++= RKGCS ttttt π /вј/.

Aktiv

nost

iA

ktiv

nost

i Teku

ce Ozn

ake

Rel

acije

Naredneaktivnosti



A

1-2

A,B,C

--

C

1-3

B

1-4

D E

1616 1212

D

2-5

F,G,I

2727

F

3-6

E

4-7

H I

1515 88

G

4-8

J

66

I

5-10

H

6-9

K L

1818 1313

J

7-11

L,M

2424

L

8-11

K

10-12

N,R

N,R

3030 1414

M

9-12

P

3535

P

11-12

N

12-13

P P

2727 1616

RR

11-13

11-13

-

1010

-

-

--

3333


39

Сл. 1 М р еж ни д и јагр ам CPM ст р укт ур е в) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима.

p В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима )0()1(iii ttt +=∆ /вј/.

p Укупн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима ijijij tttU −+=∆ )0()1( /вј/.

0 0

16 23

27 27

A (16)

12 19

27 27

B (12) E (8)

F (6)C (27)

1

2

3

4

6

31 38

D (15) 5

33 33

7

51 51

H (13) 10

51 51

9 86 86

12 96 96

P (10) 13M (27)

J (30)

L (35)

S1 (0)

63 63

11 R (33)

N (16)

S2 (0)

G (18) 45 49

8

I (24)

K (14) ti

0 ti1

i-j (tij) tj

0 tj1

Legenda:i j

Kriticni put (aktivnosti)

Fiktivne aktivnosti

∆ti [vj]∆ti [vj]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1313Dogadjaj (i)

00 77 77 00 77 00 00 44 00 00 00 00 00

∆Uij [vj]∆Uij [vj]

1-2 1-3 1-4 2-5 3-6 4-7 4-8 5-10 6-9 7-11 8-11 10-12 9-12 11-12 12-1311-13

11-13Relacije (i-j)

77 77 00 77 77 00 44 77 00 00 44 00 88 77 00 00


40

MP Н а осн ову мр е жн ог дијагр ама PDM стр у кту р е (сл. 1) обликовати моде л CPM стр у кту р е . Пор е д тога:

a) И звр ш ити пр ор ачу н р е з у л ту ју ћих активн ости мр е жн ог дијагр ама у дан има. b) Утвр дити кр итичн и пут у мр е жн ом дијагр аму и из р ачу н ати вр е ме н ске р е з е р ве у

догађајима. В р е ме н ски ин те р вали активн ости из р аже н и су у дан има.

Сл. 1 М р еж ни д и јагр ам PDM ст р укт ур е Решење:

p М р е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е

Сл. 2 М р еж ни д и јагр ам CPM ст р укт ур е

A16

B9

C11

D13

E7

F13

G18

H12

I15

J2

K10

L10

M11

N6

R8

T14

0 0

16 16

11 11

A (16)

9 13

24 28

B (9) I (15)

F (13)C (11)

1

2

3

4

6

29 29

H (12) 9

24 37

7

S1 16 16

5

E (7)

29 29

8

D (13)

39 39

10

L (10)

J (2)

G (18) K (10)

M (11) 45 45

11N (6) T (14)

S2

45 51

12 R (8)

59 59

13


41

a) Кр итичн и путе ви у мр е жн ом дијагр аму

:1π 59)()( 111 =+++++=⇒−−−−− TNLDA ttttstttTNLDSA π /дан /,

:2π 59)( 2 =++++=⇒−−−− TNKGC ttttttTNKGC π /дан /.

p М р е жн и дијагр ам PDM стр у кту р е

b) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима )0()1(iii ttt −=∆ /дан /

000)0(1

)1(11 =−=−=∆ ttt 02929)0(

8)1(

88 =−=−=∆ ttt

01616)0(2

)1(22 =−=−=∆ ttt 02929)0(

9)1(

99 =−=−=∆ ttt

4913)0(3

)1(33 =−=−=∆ ttt 03939)0(

10)1(

1010 =−=−=∆ ttt

01111)0(4

)1(44 =−=−=∆ ttt 04545)0(

11)1(

1111 =−=−=∆ ttt

01616)0(5

)1(55 =−=−=∆ ttt 64551)0(

12)1(

1212 =−=−=∆ ttt

42428)0(6

)1(66 =−=−=∆ ttt 05959)0(

13)1(

1313 =−=−=∆ ttt .

132437)0(7

)1(77 =−=−=∆ ttt

A16

B9

C11

D13

E7

F13

G18

H12

I15

J2

K10

L10

M11

N6

R8

T14


42

MP За пол аз н е податке дате у табе ли (Т-1) и н а дијагр аму (сл. 2). а) Кон стр уисати осн овн и, а з атим и кон ачн и мр е жн и дијагр ам PERT. б) Одр е дити оче киван о вр е ме и одговар ају ће де вијације сваке активн ости з а сл учај симе тр ичн е b-р асподе л е . в) Пр ор ачу н ати вр е ме н ске р е з е р ве : sk, ak и bk (активн ости К), да би се пр е ко те активн ости одвијао кр итичн и пут истог н ивоа кр итичн ости као з а ве ћ пр е тходн о у твр ђе н и кр итичн и пут н а осн ову пр огр е сивн ог пр ор ачу н а. г) Одр е дити оче киван е вр е ме н ске р е з е р ве у догађајима. д ) Одр е дити ве р оватн оћу р е ализације активн ости у мр е жн ом дијагр аму з а пл ан ир ан о вр е ме од Tp= 96 дан а. е) Отвр дити пл ан ир ан о вр е ме р е ализације је дн ог кр итичн ог пута, ако се изве сн ост њ е гове р е ализације смањ ује з а 30% у одн осу н а пр ор ачу н ату ве р оватн оћу из пр е тходн е тачке (под е).

О сно вни пар амет р и д и јагр ама PDM

Сл. 1 Ди јагр ам PDM ст р укт ур е

A D I

B E

F

G

H

J

K

C

Pesimisticka vremena bijPesimisticka vremena bij

Tekuce aktivnosti /dan/ A

15Optimisticka vremena aij

2121

B

30

3030

C

25

4545

D

44

5656

E

11

1313

F

30

3030

G

19

2121

H

25

2525

I

13

3131

J

20

2020

KK

??

??


43

а) М р е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е

p Ал те р н ативн е оз н аке активн ости

б) Оче киван а вр е ме н а и стан дар дн е де вијације активн ости

p Пр огр е сивн и пр ор ачу н CPM дијагр ама

A D I

B E

F

G

H

J

K

C

1

A

2 5D

3B 6F

4 7

C

H

S1

E

8J

K

I

G

0

18

35

A (18)

30

60

B (30) F (30)

H (25)C (35)

1

2

3

4

6

68

D (50) 5

60

7

E (12)

90

8

I (22)

K (?)

J (20)

G (20)S1 (0)

1

0

10/3

1/3

0 σK = ?

0 0

32

1/3

Tekuce aktivnosti /dan/ A

1-2Alternativne oznake

B

1-3

C

1-4

D

2-5

E

3-5

F

3-6

G

3-7

H

4-7

I

5-8

J

6-8

K

7-8

Tekuce aktivnosti A

18Ocekivana vremenateij /dan/

B

30

C

35

D

50

E

12

F

30

G

20

H

25

I

22

J

20

K

?

1Stand. devijacije /dan/ 0 10/3 2 1/3 0 1/3 0 3 0 ?

1Varijanse /dan2/ 0 100/9 4 1/9 0 1/9 0 9 0 ?

*


44

в) Пр ор ачу н вр е ме н ских пар аме тар а: sk, ak и bk (активн ости К)

p Кр итичн и путе ви у мр е жн ом дијагр аму

:1π 90)( 1 =++=⇒−− IDA tetetetIDA π /дан /

:2π 90)( 2 =++=⇒−− KHC tetetetKHC π /дан / p И сти н иво кр итичн ости у М Д подр аз уме ва:

је дн аке кр итичн е путе ве )()( 21 ππ tt = , тј.

30=−−++=⇒++=++ HCIDAKKHCIDA tetetetetetetetetetetete /дан /

и је дн аке вар ијан се , одн осн о де вијације кр итичн их активн ости )()( 21 πσπσ = , тј.

14941)( 2221

2 =++=++= IDA σσσπσ /дан 2/

те је : 74,314)()( 12

1 ≈== πσπσ /дан /

p Пр ор ачу н стан дар дн е де вијације активн ости К

222222222222HCIDAKKHCIDA σσσσσσσσσσσσ −−++=⇒++=++ ,

из че га сл е ди: 7,19/260910014)( 221

2 ≈=−−=−−= HCK σσπσσ /дан /

p С име тр ичн а b-р асподе л а активн ости tij подр аз уме ва да је :

264 ijijijijij

ij

babmate

+=

+⋅+= , и де вијација

6)( 2

ijijij

ab −=σ ,

из че га сл е де тр аже н а вр е ме н а:

9,247,13303 =⋅−=⋅−= KKK tea σ /дан /,

1,357,13303 =⋅+=⋅+= KKK teb σ /дан /.


45

p Пр ор ачу н ат мр е жн и дијагр ам PERT г) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима )0()1(

iii ttt −=∆ /дан /

0)0(1

)1(11 =−=∆ ttt 0)0(

5)1(

55 =−=∆ ttt

0)0(2

)1(22 =−=∆ ttt 10)0(

6)1(

66 =−=∆ ttt

10)0(3

)1(33 =−=∆ ttt 0)0(

7)1(

77 =−=∆ ttt

0)0(4

)1(44 =−=∆ ttt 0)0(

8)1(

88 =−=∆ ttt . д ) В е р оватн оћа оствар е њ а пр оје кта з а Tp= 96 дан а, у зимајући у обзир само у тицаје кр итичн их путе ва: 1π и 2π .

%)52,94(9452,0)6,1(74,3

9096)(

)()(

1

11 ==

−=

−= PPtTpPP

πσπ

π

%)52,94(9452,0)()( 21 == ππ PP .

е) Д а би се з а је дан кр итичн и пут смањил а изве сн ост њ е гове р е ализације у из н осу од DP=30%, у одн осу н а постоје вр е ме , Tp ће из н осити:

%52,643052,94)()( 1

' =−=∆−= PPzP π , те сл е ди 38,06452,0)(' ≈⇒= zzP

одн осн о 65,90907,138,0)()()(

)(11

'

1

1'

=+⋅=+⋅=⇒−

= ππσπσ

π tezTpteTpz /дан /.

0 0

18 18

35 35

A (18)

30 40

60 70

B (30) F (30)

H (25)C (35)

1

2

3

4

6

68 68

D (50) 5

60 60

7

E (12)

90 90

8

I (22)

K (30)

J (20)

G (20)S1 (0)

1

0

10/3

1/3

0 σK = 1,7

0 0

32

1/3


46

UZ За сл учај да је потр ажњ а з а з алихама ве ћа (мањ а) од р е гу л ар н о (р е довн о) н е бављ е н е количин е из р ачу н ати: а) Оптимал н и обим q* потр ажњ е з а з алихама у току вр е ме н ског пе р иода t као и оптимал н и обим з алиха p* у истом вр е ме н ском ин те р вал у t. И з тих р аз л ога из р ачу н ати ин те р ве н тн у количин у ∆q*. б) Оптимир ати ин те р вал н и цикл у с t (вр е ме изме ђу пр е тходн е и н ар е дн е се р ије ), као и бр ој пор у џбин а у току вр е ме н а τ =12 /ме с/ (365 дан а), ако су дати сл е де ћи подаци: Q = 8105000 /ком/ - у купн а потр ажњ а у току годин е , k1 = 75 /н ј/ком/ме с/ - је дин ичн и тр ош кови одр жавањ а з алиха, k2 = 135 /н ј/ком/ме с/ - тр ош кови који се јављ ају у сл е д н е р авн оме р н ог испор учивањ а (н е з адовољ авају ће потр ажњ е ) з алиха, k0= 7000 /н ј/ - фиксн и тр ош кови н абавке је дн е се р ије . в) Одр е дити потр е бн у количин у p и ∆q, ако је количин а q = 2000 /ком/, а у купн и тр ош кови з алиха у н овим у сл овима из н осе F = 1200000 /н ј/. Остали пар аме тр и остају исти као под б). г) Гр афички пр е дставити сл учај под в).

Решење: а) Оптимал н е вр е дн ости з алиха

36,18762

2

21

1

0* =+

⋅⋅⋅⋅

=k

kkk

Qkq

τ /ком/ и 23,1206

2

21

2

1

0* =+

⋅⋅⋅⋅

=kk

kk

Qkp

τ /ком/.

p Оптимал н е вр е дн ости ин те р вал н е количин е

13,670*** =−=∆ pqq /ком/.

p Мин имал н и у купн и тр ош кови

43,10856102),(),(min21

210

** =+

⋅⋅⋅⋅⋅==kk

kQkkpqFpqF τ /н ј/.

p Пр ове р а у купн их тр ош кова з а пр ор ачу н ате оптимал н е вр е дн ости з алиха

43,10856102

)(2

),( *

2**

2*

2*

1*0** =⋅

⋅−

⋅+⋅⋅

⋅+⋅= ττqpqk

qpk

qQkpqF /н ј/.

б) Оптимал н и цикл у с кон ве р товањ а з алиха 214,0** =⋅= qQ

t τ /год/ (78,3 дан а).

p Оптимал н и цикл у с р е гу л ар н е н абавке : 138,0**

**1 =⋅= t

qpt /год/ (50,3 дан а).


47

p Оптимал н и цикл у с потр ош њ е ин те р ве н тн е н абавке 077,0*1

**2 =−= ttt /год/.

(или 27,9 дан а).

p Оптимал н и бр ој се р ија годиш њ е 96,55** ==

tn τ /се р /.

в) Потр е бн а количин а з алиха з а н ове у сл ове

p Ако је (н е оптимал н а) количин а з алиха з а се р ију q=2000 /ком/ и у купн и тр ош кови

F=1200000 /н ј/, сл е ди

2,1

2

2

2

10 02

)(2

pFqpqk

qpk

qQk ⇒=−⋅

⋅−

⋅+⋅⋅

⋅+⋅ ττ .

p Посл е р е ш авањ а квадр атн е је дн ачин е 2,1

2 0929250162063,0 ppp ⇒=+⋅−⋅ .

могуће н ар у џбин е из н осе : 74,8631 =p /ком/ или 69,17072 =p /ком/.

p С л е ди да је ин те р вал н а количин а у овим у сл овима је дн ака

26,113611 =−=∆ pqq /ком/ или 31,29222 =−=∆ pqq /ком/.

p Ц икл у с р е гу л ар н е н абавке из н оси 093,0111 =⋅= t

qpt /год/.

p Ц икл у с потр ош њ е ин те р ве н тн е н абавке је

122,01121 =−= ttt /год/, или 183,0212 =⋅= t

qpt /год/, одн осн о: 031,01222 =−= ttt /год/.

г) Гр афичка ин те р пр е тација моде л а упр ављ ањ а з алихама

Сл. 1 Ди јагр ами т о ко ва зали ха за д ве вар и јант е мо д ела

p 1

q t11 t12

t

vreme

kolic

ina

. . . . . .t11

11 pqq −=∆

p 2

q

t21 t22

t

vreme

kolic

ina

. . . . . .

t21

22 pqq −=∆

1 21 2

prvi slucaj drugi slucaj


48

UZ Н а осн ову моде л а з алиха р е су р са са р е довн ом н абавком пр ор ачу н ати: а) Оптимал н у количин у q* која би обе збе дил а н е пр е кидн у кон ве р зију з алиха у је дн ој се р ији. б) Оптимал н и вр е ме н ски пе р иод тр ош е њ а з алиха t* и бр ој се р ија n*. в) Количин у пор уче н их з алиха по се р ији, ако се у купн и тр ош кови могу тол е р исати до гр ан ице која је з а p =13% ве ћа од н ивоа мин имал н о потр е бн их тр ош кова з алиха. г) У ком одн осу стоје добије н е количин е з алиха као и одговар ају ће се р ије у одн осу н а оптимал н у количин у , одн осн о оптимал н у се р ију . д ) Д ати гр афичку пр е з е н тацију добије н ог н уме р ичког р е ш е њ а з алиха.

По лазни пар амет р и : Пл ан ир ан а у купн а количин а з алиха з а τ = 1 годин у дан а (365 дан а) је Q = 3400 /ком/, док су тр ош кови н абавке по се р ији k0 = 23 /н ј/. С пе цифичн и тр ош кови чувањ а н абављ е н их з алиха из н осе k1 = 6,4 /н ј/ком/. Решење: а) Оптимал н а количин а н ар у чивањ а

32,15614,6

34002322

1

0* =⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=τk

Qkq /ком/.

б) Оптимал н и бр ој се р ија у току годин е је

75,2132,156

3400*

* ===qQn /се р /год/.

p Оптимал н и цикл у с кон ве р товањ а з алиха

046,075,21

1*

* ===n

t τ /год/ или 8,16* =t /дан /.

p Мин имал н и тр ош кови кон ве р товањ а з алиха из н осе

48,100012

32,1564,632,156

3400232

)(*

1*0* =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅= τqk

qQkqF /н ј/, или

48,1000340014,62322)()(min 10

* =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== QkkqFqF τ /н ј/. в) Пове ћањ а у купн их тр ош кови з алиха


49

54,113032,156)13,01()(min)1(1 =⋅+=⋅+= qFpF /н ј/.

p Н ова је дн ачин а тр ош кова з алиха је

.012

012 0

2110 =⋅+⋅−⋅⋅⇒=−⋅⋅+⋅ QkqFqkFqk

qQk ττ

p Посл е ср е ђивањ а добија се квадр атн а је дн ачин а облика

⇒=+⋅−⋅ 07820054,11302,3 2 qq

из које сл е ди 2,1

2

2,1 2,32782002,3454,1130)54,1130( qq ⇒

⋅⋅⋅−±−−

= /ком/.

г) Н ове количин е з алиха

p Ре ш авањ е м квадр атн е је дн ачин е добијају се два р е ш е њ а:

39,941 =q /ком/ и 91,2582 =q /ком/.

p Одн оси количин а з алиха су :

47,353,845,293

1

2 ===qqu одн осн о 259:157:95:: 2

*1 =qqq .

д ) Гр афичка ин те р пр е тација моде л а токова н абавке и тр ош е њ а з алиха

Сл. 1 Ди јагр ам т о ка о пт и мални х зали ха

q*

τ= 1 god

vreme

kolic

ina

n*=21,75 /ser/god/

t* t* t*

. . . . . .

. . . . . .

1 2 3 21 22


50

UZ Н а осн ову моде л а з алиха са р е гу л ар н ом и ин те р ве н тн ом н абавком пр ор ачу н ати: а) Оптимал н и опе р ативн и (у купн и) и се р ијски вр е ме н ски пе р иод тр ош е њ а (чувањ а) з алиха. б) Оптимал н о потр е бн у количин у q* која би обе збе дил а н е сме тан у кон ве р зију з алиха у је дн ој се р ији. в) Оптимал н а количин а p* која се ствар н о н абављ а з а је дн у се р ију . г) И н те р ве н тн о н абављ е н у количин у з алиха по се р ији ∆q*. д ) Оптимал н и бр ој се р ија n* . е) В р е ме чувањ а р е гу л ар н е и ин те р ве н тн е количин е з алиха по се р ији. ж ) Д ати гр афичку пр е з е н тацију добије н ог р е ш е њ а путе м “те сте р астог” дијагр ама.

По лазни пар амет р и : Мин имал н и у купн и тр ош кови з алиха из н осе : minF(q,p) = 180000 /н ј/, пл ан ир ан а у купн а количин а з алиха Q = 65000 /ком/, тр ош кови н абавке по се р ији су k0 = 1750 /н ј/. С пе цифичн и тр ош кови чувањ а р е гу л ар н о н абављ е н их з алиха из н осе k1 = 280 /н ј/ком/, док су тр ош кови чувањ а ин те р ве н тн о н абављ е н их з алиха ве ћи з а pk = 32 % од k1. Решење: а) Оптимал н и опе р ативн и вр е ме н ски пе р иод кон ве р товањ а з алиха

p Тр ош кови чувањ а ин те р ве н тн о н абављ е н е количин е з алиха

6,369280)32,01()1( 12 =⋅+=⋅+= kpk k /н ј/ком/.

p Како је ⇒+

⋅⋅⋅⋅⋅=21

2102),(min

kkkQkkpqF τ

894,0650006,36928017502

)6,369280(1800002

)(),(min 2

210

212

=⋅⋅⋅⋅

+⋅=

⋅⋅⋅⋅+⋅

=⇒Qkkk

kkpqFτ /год/.

б) Оптимал н е вр е дн ости потр е бн их з алиха

88,12636,369

6,369280894,028065000175022

2

21

1

0* =+

⋅⋅

⋅⋅=

+⋅

⋅⋅⋅

=k

kkk

Qkq

τ /ком/.

в) С твар н о н абављ е н е количин е з алиха з а је дн у се р ију

1,7196,369280

6,36988,126321

2** =+

⋅=+

⋅=kk

kqp /ком/.


51

г) Оптимал н е вр е дн ости ин те р ве н тн е н абавке

78,5441,71988,1263*** =−=−=∆ pqq /ком/. д ) Оптимал н и бр ој се р ија по опе р ативн ом пе р иоду

43,5188,1263

65000*

* ===qQn /се р /.

е) В р е ме кон ве р товањ а р е гу л ар н е и ин те р ве н тн е количин е з алиха

p В р е ме кон ве р товањ а је дн е се р ије з алиха

017,043,51

894,0*

* ===n

t τ /год/ (6,35 дан а).

p Пар цијал н а вр е ме н а кон ве р товањ а з алиха

01,0**

**

1 =⋅= tqpt /год/ (3,61 дан ) и 007,0*

1**

2 =−= ttt /год/ (2,74 дан ).

ж ) Гр афичка ин те р пр е тација моде л а упр ављ ањ а з алихама

Сл. 1 Ди јагр ам т о ка о пт и мални х зали ха

p*

q* t*1 t*2

t*

kolic

ina

. . . . . .

*** pqq −=∆

vreme1 2

t*1 t*1 t*2

t*

τ*

. . . . . . 52


52

LITERATURA [ 1] Brandenberger, J., TEHNIKA MRE@NOG PLANIRAWA, (Prevod), Institut za Konrad, R., nau~no-tehni~ku dokumentaciju i informaciju i Institut za

organizaciju rada i automatizaciju poslovawa, Beograd, 1967. [ 2] Burton, V.D., OPERACIONA ISTRA@IVAWA U ISTRA@IVAWIMA

I RAZVOJU, (Prevod Zbornika radova) “Savremena administracija” , Beograd, 1968. [ 3] Cvetkovi}, D., TEORIJA GRAFOVA I WENA PRIMENA, Nau~na kwiga, Beograd, 1986. [ 4] Cvetkovi}, D., KOMBINATORNA OPTIMIZACIJA, Kova~evi}-Vuj~i}, V., Matemati~ka teorija i algoritmi, “DOPIS” , Beograd, 1996. (redaktori) [ 5] Cvjeti~anin, D., OPERACIONA ISTRA@IVAWA, Ekonomski fakultet, Beograd, 1990. [ 6] ômi}, I., LINEARNO PROGRAMIRAWE (Matemati~ke metode u

tehnici), Nau~na kwiga, Beograd, 1989. [ 7] ûpi}, M., SAVREMENO ODLUÎVAWE (Metode i primena), Tumma Rao, V.M., Nau~na kwiga, Beograd, 1991. [ 8] Dantzig, G, B., LINEAR PROGRAMMING AND EXTENSIONS, Princeton University Press, Princeton, New Yersey, 1963. [ 9] Jovanovi}, T., PRIMENA TEHNIKE MRE@NOG PLANIRAWA, Jovanovi}, P., Ma{inski fakultet, Beograd, 1990. \or|evi}, P., [ 10] Kantorovi~, L.V., EKONOMSKI RAÛN OPTIMALNOG KORI[]EWA

RESURSA, (prevod sa ruskog), “Cekade” , “Ekonomska biblioteka” , Zagreb, 1985.

[ 11] Kr~evinac, S., ALGORITMI I PROGRAMI IZ OPERACIONIH (i drugi) ISTRA@IVAWA, Nau~na kwiga, Beograd, 1983. [ 12] Kun, L., PRIMENA ISTRA@IVAWA OPERACIJA, Ma{inski fakultet, Novi Sad, 1973. [ 13] Leti}, D. OPERACIONA ISTRA@IVAWA, Jevti}, V. Tehni~ki fakultet “M.Pupin” , Zrewanin, 2004. [ 14] Martinovi}, M., TEHNIKA MRE@NOG PLANIRAWA, Institut za Stevanovi}, D., organizaciju rada i automatizaciju poslovawa, Beograd, 1969. [ 15] Muniti}, A., KOMPJUTERSKA SIMULACIJA UZ POMO] SISTEMSKE

DINAMIKE, Brodogra|evna industrija “Split” Split, 1990. [ 16] Opricovi}, S., OPTIMIZACIJA SISTEMA, Gra|evinski fakultet u Beogradu, “Nauka” , Beograd, 1992. [ 17] Petri}, J., OPERACIONA ISTRA@IVAWA I i II, Nau~na kwiga, Beograd, 1989. [ 18] Petri}, J., MRE@NO PLANIRAWE I UPRAVQAWE, (i drugi) Informator, Zagreb, 1983. [ 19] Petri}, J., OPERACIONA ISTRA@IVAWA I i II, [arenac, L., (Zbirka re{enih zadataka), Nau~na kwiga, Beograd, 1992. Koji}, Z., [ 20] Petrovi}, R., SPECIJALNE METODE U OPTIMIZACIJI SISTEMA, Tehni~ka kwiga, Beograd, 1977. [ 21] Radulovi}, A., TEHNIKA MRE@NOG PLANIRAWA, Radojevi}, M., Nau~na kwiga, Beograd, 1988. [ 22] Sazdanovi}, S., LINEARNO PROGRAMIRAWE, Nau~na kwiga, Beograd, 1988.


53

[ 23] Stani}, J., UVOD U TEORIJU TEHNOEKONOMSKE OPTIMIZACIJE, Ma{inski fakultet, Beograd, 1988. [ 24] Stanojevi}, R., OPTIMIZACIJA ZALIHA SIROVINA U SERIJSKOJ

PROIZVODWI, Ekonomski institut, Beograd, 1995. [ 25] Stanojevi}, R., METODA SIMPLEKS, ZBIRKA RE[ENIH PRIMERA, Institut “Bra}a Kari}” , Beograd, 1996. [ 26] Stojanovi}, D., EKONOMSKO MATEMATI^KI METODI I MODELI, Ekonomski fakultet, Beograd, 1990. [ 27] Todorovi}, O., OPERACIONA ISTRA@IVAWA, DIGP “Prosveta” , Ni{, 1992. [ 28] Tourki, M., STOHASTI^KI PROCESI I MODELI PROGRAMIRAWA

U EKONOMIJI, Savremena administracija, Beograd, 1986. [ 29] Uro{evi}, J., PRIMAVERA-UPRAVQAWE PROJEKTIMA UZ POMO] Dra{ki}-Ostoji}, J., RA^UNARA, Institut za nuklearne nauke “B. Kidri~” -Vin~a, Beograd, 1991. [ 30] Vujo{evi}, M. OPERACIONA ISTRA@IVANJA, Izabrana poglavlja,

Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 1999. [ 31] Vujo{evi}, M., METODE OPTIMIZACIJE - Mre`ni, lokacijski i Stanojevi}, M., vi{ekriterijumski modeli, “DOPIS” , Beograd, 1996. Mladenovi}, N., [ 32] Vukadinovi}, S., MATEMATI^KO PROGRAMIRAWE, Cveji}, S., Univerzitet u Pri{tini, Pri{tina, 1996. [ 33] Vukadinovi}, S., METODE MONTE KARLO, Popovi}, J., Saobra}ajni fakultet, Beograd, 1992. [ 34] Winston, L.W., OPERATIONS RESEARCH, Applications and Algorithms, Indiana

University, Duxbury Press, Belmont, California, 1994. [ 35] Winston, L.W., USER’S GUIDE FOR LINDO AND LINGO, OPERATIONS RESEARCH Roe, A., INTRODUCTION TO MATHEMATICAL PROGRAMMING:

Applications and Algorithms, Indiana University, Duxbury Press, Belmont, California, 1997.

[ 36] Ze~evi}, T., OPERACIONA ISTRA@IVAWA, Nau~na kwiga, Beograd, 1974. [ 37] * * * * * * * RE^NIK IZ OPERACIONIH ISTRA@IVAWA, Nau~na kwiga, Beograd, 1985. [ 38] * * * * * * * STEP BY STEP MICROSOFT PROJECT 98, Published by Microsoft Press, Catapult, Redmon, Washington, USA, 1997. [ 39] * * * * * * * USING MICROSOFT PROJECT 98, (Special edition), QUE Corporation, Indianapolis, Indiana, USA, 1997. [ 40] * * * * * * * YUGOSLAV JOURNAL OF OPERATIONS RESEARCH, Volume 1-7, YUJOR Editor Office, University of Belgrade, Faculty of Organizational Sciences, Beograd , 1991-1997. [ 41] * * * * * * * YUPMA ‘98, Zbornik radova II internacionalnog simpozijuma iz

Project Management-a (Nove metode i tehnike), Zlatibor, 1998.

mala zbirka zadataka iz operacionih istrazivanja

Documents