makalah statistika matematika

7/25/2019 Makalah Statistika Matematika

1/24

MAKALAH

STATISTIK MATEMATIK

CONTOH DATA REAL PENAKSIR BAYES

Disusun oleh:

Elis Asri Noor Flh !""#$%"%%&%'

I(( Prih)no !""#$%"%%&$'

*urusn M)e()i+ Sins ,n Te+nolo-i

.ni/ersi)s Isl( Ne-eri Sunn 0unun- D1)i

Bn,un-


2/24

Thun A1rn &%"23&%"4


3/24

KATA PENGANTAR

Alh(,ulillh Pu1i ,n s5u+ur sellu s5 6n1)+n +e6,

Allh S7T89 5n- )elh (eli(6h+n n5+ er+h ,n

+runin59 sehin-- s5 is (en5elesi+n )u-s (+lh

ini8 T+ lu6 shl;) ser) sl( sellu )erli(6h erensi=re>erensi 5n- 6enulis ,6)+n9 i+ eru6 u+u

6e(el1rn9 in)erne)9 ,n su(er=su(er linn58

Pen5usunn (+lh ini ,iu) se()=() un)u+

(e(-i il(u 5n- 6enulis 6un5 +e6, 6r 6e(


4/24

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PEN0ANTAR888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888i

DAFTAR ISI88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888ii

BAB " PENDAH.L.AN888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888"

A8 L)r Bel+n- Mslh88888888888888888888888888888888888888888888888888888"

B8 Pe()sn Mslh888888888888888888888888888888888888888888888888888888888"

C8 Ru(usn Mslh88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888&

D8 Tu1un Penulisn8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888&

BAB & PEMBAHASAN88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888?

A8 Ln,sn Teori8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888?

8 Peuh A


5/24

B8 Srn8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

"&

DAFTAR P.STAKA8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

"#

LAMPIRAN8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

"?

#


6/24

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Kehi,u6n (nusi is ,i+)+n )i,+ lu6u) ,ri il(u

()e()i+8 Peris)i;=6eris)i; 6, +ehi,u6n n5) )erseu)

+e(u,in ,i)rns>or(si+n ,l( en)u+ er-i >or(ul

sesui ,en-n +eu)uhn8 Dn )en)u s1 6, su)u 6eris)i;

)u +sus )er)en)u is (en-hsil+n eer6 >or(ul un)u+

6en5elesinn58 Dn +hirn5 +n ,ior(ul )erseu)8

Cn- il(u ()e()i+ 5+ni s))is)i+ (e(6erlih)+n

eer6 >or(ul )erseu) )er+i) ,en-n ,is)riusi=,is)riusi

6, su)u s(6el


7/24

Melih) ,ri l)r el+n- (slh ser) (e(h(i

6e(hsnn5 (+ 6enulis ,6) (e(eri+n )sn=

)sn 6,:

"8 Men-e)hui )en)n- Me)o,e B5es8&8 Men-e)hui


8/24

D. T"#"an Pen"l$san

Tu1un ,ri 6enulisn (+lh ini ,lh:

"8 A-r (en-e)hui )en)n- Me)o,e B5es8&8 A-r (en-e)hui ,en-n 1els


9/24

PEMBAHASAN

A. Lan&asan Te'r$a. Pe"ah A(ak )*ar$ael Ran&'m+

Denisi "8" Peuh un-si 5n-

(en-)+n su)u iln-n rel 6, se)i6 unsur ,l( run-

s(6el8

Peubah acak dapat dilambangkan dengan huruf besar, misalnya

X1 , X2 ,,X n , sedangkan huruf kecil x1, x1, , xn dinotasikan sebagai nilai

padanannya.

. F"ngs$ D$str$"s$ Pel"ang

Denisi "8& Hi(6unn 6sn-n )eruru) (x , f(x ))

(eru6+n su)u >un-si 6elun-9 >un-si (ss 6elun-9 )u

,is)riusi 6elun- 6euh un-si +e6,)n 6elun-

6euh


10/24

&8

f(x )dx=1,

#8 P (a


11/24


12/24

Denisi "8$ Dis)riusi 0(( 6euh un-si

6,)n5 eren)u+

f(x )={ 1() x1ex ; x>0

0;lainnya

,en-n >0 ,n >0 8

,. D$str$"s$ Pr$'r

Dalam penaksiran Bayes untuk kasus Poisson, parameter

diperlakukan sebagai peubah acak, maka akan memepunyai nilai dalam sebuah

domain dengan densitas f() , dan densitas inilah yang akan dinamakan

sebagai distribusi prior dari , dengan adanya informasi prior ini maka akan

kombinasikan dengan data sampel yang digunakan dalam membentuk posterior.

Prior merupakan subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah sebuah

parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehinggga permasalahan pokok agar

prior dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu

parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.

Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk

fungsi likelihoodnya:

1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya

a) Distribusi prior konjugat conjugate), mengacu pada acuan analisis

model terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga

dalam penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan

$


13/24

pola distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi

densitas peluang pembangun likelihoodnya.

b) Distribusi prior tidak konjugat non-conjugate), apabila pemberian

prior pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi

likelihoodnya.

!. Berkaitan dengan penentuan masing"masing parameter pada pola

distribusi prior tersebut.

a) Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari

distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau

tidak, pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat

mempengaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan pada

informasi data yang diperoleh.

b) Distribusi prior non"informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada

data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi

tentang parameter , salah satu pendekatan dari non"informatif

prior adalah metode #effrey$s.

g. D$str$"s$ P'ster$'r

Dis)riusi 6os)erior ,lh >un-si ,ensi)s ers5r) 1i+

,i+e)hui nili oser/si x 8 Ini ,6) ,i)ulis+n se-i eri+u)9

h (|X=x )= g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()

g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d

fungsi densitas posterior untuk %ariabel random kontinu. Distribusi posterior

dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi inter%al dari parameter

yang tidak diketahui8


14/24

B. Pengert$an Penaks$ran Ba-es

Pen+sirn B5es ,lh su)u (e)o,e 6en+sirn 5n-

(en,sr+n ,iri 6, 6e(ilihn ,is)riusi 6rior ,n loss

function8 Dl( 6en+sirn ,i6ilih ,is)riusi 6rior 5n-

,isesui+n ,en-n ,is)riusi 5n- ,i-un+n 6, s(6el


15/24

merika Serikat itu sendiri. 'engingat pada tahun !**+ ketika + badai besar

melanda daratan lorida.

-arena kejadian bencana ini sebenarnya hampir jarang terjadi, maka pada

penaksiran kali ini digunakan fungsi kepadatan peluang Poisson. Di mana

parameter tidak diketahui yang mana akan menjadi jumlah yang diharapkan

pada tahun tertentu.

Pada tabel berikut menunjukkan jumlah badai yang benar"benar datang

untuk periode /* tahun.

Tahun Jumlah terjadinya badai

1851-1900 88

1901-1950 9

1950-000 !

Penyelesaian:

ungsi kepadatan peluang dari X adalah:

f(x ; )=ex

x ! ; x=1,2,3 ;>0

0 ; x lainnya

ungsi densitas gabungan dariX

1, X

2,,X

n adalah:

g (x1 , x2 , , xn;)=f(x1; ) f(x2; ) f(xn; )

[ ex1

x1!][ex2

x2!] [exn

xn !]

"%


16/24

(en )(x1

x1!

x2

x2!

xn

xn ! )

en (n )w

w! .

Dengan w=i=1

n

x i .

'isalnya kita asumsikan bah0a distribusi priornya adalah distribusi

gamma, dengan fungsi densitas sebagai berikut,

( )=

()1

e;0


17/24

"(x1,x2 , , xn )=

g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d

g (x1 , x2, , xn; ) ()d.

Setelah analisis matematik formula dari distribusi prior, maka dihasilkan suatu

formula penaksir Bayes untuk parameter ,

"(x1,x2 , , xn )=w++n=i=1

n

xi+

+n.

Dan dihasilkan pula distribusi posterior yakni,

h (|X=x )= g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()

g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d

h (|X=x )=(+n)(w+)

(w+)

w+1e(+n )

(+n)

(i=1

n

x i+)

(i=1

n

x i+)

i=1

n

xi+1

e(+n )

.

-emudian, masukkan nilai asumsi a0al pada penaksir Bayes dan pada distribusi

posterior yakni=88 dan =50 dan akan menjadikan fakta bah0a

w=92+72=164 badai terjadi selama n=100 tahun terkini yang termasuk

pada database. 3leh karena itu diperoleh penaksir Bayes,

"&


18/24

"(x1,x2 , , xn )=

i=1

n

x i+

+n .

"(x1,x2 , , xn )=(92+72)+8850+100

"(x1,x2 , , xn )=252

150=1.68 .

#adi, dengan penaksir Bayes menghasilkan nilai penaksiran sampel rata"rata

datangnya badai tiap tahun adalah 1.4. Dan Distribusi posteriornya adalah,

h (|X=x )=(+n)(w+)

(w+)

w+1e(+n )

h (|X=x )=(50+n)(w+88)

(w+88)

w+881e(50+n)

.

h (|X=x )=(50+100)(164+88 )

(164+88)164+881

e(50+100)

(150)252

(252)251e150

.

"#


19/24

BAB

PENUTUP

A. Kes$m/"lan

1. Pen+sirn B5es (e(6un5i nili ( )# 9 sehin--

6en+sir ersi>) )+ is8 N(un9 6en+sir is (en1,i

)+ is 1i+ rus +nn ,i+li+n ,en-n +ons)n)

)er)en)u8&8 Pen+sirn B5es (e(6un5i ,u >+)or u)( ,l(

(en1ln+n 6rosesn5 5+ni ,n5 ,is)riusi 6rior ,n

in>or(si seelu(n5 ,ri s(6el ,) 5n- ,ieri+n8#8 Pe(ilihn ,is)riusi 6rior !,is)riusi ;l' ,isesui+n

esrn5 ,en-n ,is)riusi 5n- ersesuin ,en-n

s(6el or(ul 5n- ,i6erlus828 Nili )+sirn 5n- ,ihsil+n oleh 6en+sirn B5es

(e(6un5i nili 5n- )+ ere, 1uh ,en-n ,en-n

nili slin58 Sehin-- )i,+ slh 1i+ (en


20/24

Oleh se i)u 6enulis srn+n un)u+ )i,+ )er6+u 6, s)u

su(er s19 )e)6i erensi

5n- rele/n8 Dn se(o- (+lh ini is (e(n)u 6r

6e(


21/24

LAMPIRAN

Bukti:

"(x1,x2 , , xn )=

g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d

g (x1 , x2, , xn; ) ()d.

'isalkan$

2=

g (x1, x2, , xn; ) ()d

0

en (n )w

w!

()1ed

(n )w

w!

()0

w+1

e(+n)

d

% [w+ ; (+n)(w+) ]

$2=(n )w

w!

()

(w+)

(+n)(w+).

'isalkan$

1=

g (x1 , x2 , , xn ; ) ()d

"4


22/24

0

en (n )w

w!

()1ed

(n )

w

w!

()0

w++11

e(+n)

d

% [w++1; (+n)(w++1) ]

$1=

(n )w

w!

()

(w++1)

(+n)(w++1) .

Sehingga diperoleh,

"(x1,x2 , , xn )=$

1

$2.

"(x1,x2, , xn )=

(n )w

w!

()

(w++1)

(+n)(w++1)

(n )w

w!

()(w+)

(+n)(w+)

"(x1,x2 , , xn )=

(w++1)

(+n)(w++1)

(w+)

(+n)(w+)

"(x1,x2 , , xn )=(w++1)

(+n)(w++1 )(+n)(w+)

(w+)

"(x1,x2 , , xn )=(w++1)

(+n)(w++1 )(+n)(w+)w+(w++1)

"$


23/24

"(x1,x2 , , xn )=w++n

"(x1,x2 , , xn )=i=1

n

x i+

+n .

Bukti :

h (|X=x )= g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()

g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d

en (n )w

w!.

()1e

(n )w

w!

()

(w+)

(+n)

(w+)

(n )w

w!

()w+1

e(+n)

(n )w

w !

()

(w+)

(+n)(w+)

(+n)(w+)

(w+)

w+1e(+n)

"


24/24

10

makalah statistika matematika

Documents