Download - Makalah Statistika Matematika
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
1/24
MAKALAH
STATISTIK MATEMATIK
CONTOH DATA REAL PENAKSIR BAYES
Disusun oleh:
Elis Asri Noor Flh !""#$%"%%&%'
I(( Prih)no !""#$%"%%&$'
*urusn M)e()i+ Sins ,n Te+nolo-i
.ni/ersi)s Isl( Ne-eri Sunn 0unun- D1)i
Bn,un-
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
2/24
Thun A1rn &%"23&%"4
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
3/24
KATA PENGANTAR
Alh(,ulillh Pu1i ,n s5u+ur sellu s5 6n1)+n +e6,
Allh S7T89 5n- )elh (eli(6h+n n5+ er+h ,n
+runin59 sehin-- s5 is (en5elesi+n )u-s (+lh
ini8 T+ lu6 shl;) ser) sl( sellu )erli(6h erensi=re>erensi 5n- 6enulis ,6)+n9 i+ eru6 u+u
6e(el1rn9 in)erne)9 ,n su(er=su(er linn58
Pen5usunn (+lh ini ,iu) se()=() un)u+
(e(-i il(u 5n- 6enulis 6un5 +e6, 6r 6e(
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
4/24
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PEN0ANTAR888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888i
DAFTAR ISI88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888ii
BAB " PENDAH.L.AN888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888"
A8 L)r Bel+n- Mslh88888888888888888888888888888888888888888888888888888"
B8 Pe()sn Mslh888888888888888888888888888888888888888888888888888888888"
C8 Ru(usn Mslh88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888&
D8 Tu1un Penulisn8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888&
BAB & PEMBAHASAN88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888?
A8 Ln,sn Teori8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888?
8 Peuh A
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
5/24
B8 Srn8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
"&
DAFTAR P.STAKA8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
"#
LAMPIRAN8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
"?
#
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
6/24
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Kehi,u6n (nusi is ,i+)+n )i,+ lu6u) ,ri il(u
()e()i+8 Peris)i;=6eris)i; 6, +ehi,u6n n5) )erseu)
+e(u,in ,i)rns>or(si+n ,l( en)u+ er-i >or(ul
sesui ,en-n +eu)uhn8 Dn )en)u s1 6, su)u 6eris)i;
)u +sus )er)en)u is (en-hsil+n eer6 >or(ul un)u+
6en5elesinn58 Dn +hirn5 +n ,ior(ul )erseu)8
Cn- il(u ()e()i+ 5+ni s))is)i+ (e(6erlih)+n
eer6 >or(ul )erseu) )er+i) ,en-n ,is)riusi=,is)riusi
6, su)u s(6el
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
7/24
Melih) ,ri l)r el+n- (slh ser) (e(h(i
6e(hsnn5 (+ 6enulis ,6) (e(eri+n )sn=
)sn 6,:
"8 Men-e)hui )en)n- Me)o,e B5es8&8 Men-e)hui
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
8/24
D. T"#"an Pen"l$san
Tu1un ,ri 6enulisn (+lh ini ,lh:
"8 A-r (en-e)hui )en)n- Me)o,e B5es8&8 A-r (en-e)hui ,en-n 1els
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
9/24
PEMBAHASAN
A. Lan&asan Te'r$a. Pe"ah A(ak )*ar$ael Ran&'m+
Denisi "8" Peuh un-si 5n-
(en-)+n su)u iln-n rel 6, se)i6 unsur ,l( run-
s(6el8
Peubah acak dapat dilambangkan dengan huruf besar, misalnya
X1 , X2 ,,X n , sedangkan huruf kecil x1, x1, , xn dinotasikan sebagai nilai
padanannya.
. F"ngs$ D$str$"s$ Pel"ang
Denisi "8& Hi(6unn 6sn-n )eruru) (x , f(x ))
(eru6+n su)u >un-si 6elun-9 >un-si (ss 6elun-9 )u
,is)riusi 6elun- 6euh un-si +e6,)n 6elun-
6euh
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
10/24
&8
f(x )dx=1,
#8 P (a
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
11/24
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
12/24
Denisi "8$ Dis)riusi 0(( 6euh un-si
6,)n5 eren)u+
f(x )={ 1() x1ex ; x>0
0;lainnya
,en-n >0 ,n >0 8
,. D$str$"s$ Pr$'r
Dalam penaksiran Bayes untuk kasus Poisson, parameter
diperlakukan sebagai peubah acak, maka akan memepunyai nilai dalam sebuah
domain dengan densitas f() , dan densitas inilah yang akan dinamakan
sebagai distribusi prior dari , dengan adanya informasi prior ini maka akan
kombinasikan dengan data sampel yang digunakan dalam membentuk posterior.
Prior merupakan subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah sebuah
parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehinggga permasalahan pokok agar
prior dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu
parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.
Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk
fungsi likelihoodnya:
1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya
a) Distribusi prior konjugat conjugate), mengacu pada acuan analisis
model terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga
dalam penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan
$
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
13/24
pola distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi
densitas peluang pembangun likelihoodnya.
b) Distribusi prior tidak konjugat non-conjugate), apabila pemberian
prior pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi
likelihoodnya.
!. Berkaitan dengan penentuan masing"masing parameter pada pola
distribusi prior tersebut.
a) Distribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari
distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau
tidak, pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat
mempengaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan pada
informasi data yang diperoleh.
b) Distribusi prior non"informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada
data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi
tentang parameter , salah satu pendekatan dari non"informatif
prior adalah metode #effrey$s.
g. D$str$"s$ P'ster$'r
Dis)riusi 6os)erior ,lh >un-si ,ensi)s ers5r) 1i+
,i+e)hui nili oser/si x 8 Ini ,6) ,i)ulis+n se-i eri+u)9
h (|X=x )= g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()
g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d
fungsi densitas posterior untuk %ariabel random kontinu. Distribusi posterior
dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi inter%al dari parameter
yang tidak diketahui8
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
14/24
B. Pengert$an Penaks$ran Ba-es
Pen+sirn B5es ,lh su)u (e)o,e 6en+sirn 5n-
(en,sr+n ,iri 6, 6e(ilihn ,is)riusi 6rior ,n loss
function8 Dl( 6en+sirn ,i6ilih ,is)riusi 6rior 5n-
,isesui+n ,en-n ,is)riusi 5n- ,i-un+n 6, s(6el
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
15/24
merika Serikat itu sendiri. 'engingat pada tahun !**+ ketika + badai besar
melanda daratan lorida.
-arena kejadian bencana ini sebenarnya hampir jarang terjadi, maka pada
penaksiran kali ini digunakan fungsi kepadatan peluang Poisson. Di mana
parameter tidak diketahui yang mana akan menjadi jumlah yang diharapkan
pada tahun tertentu.
Pada tabel berikut menunjukkan jumlah badai yang benar"benar datang
untuk periode /* tahun.
Tahun Jumlah terjadinya badai
1851-1900 88
1901-1950 9
1950-000 !
Penyelesaian:
ungsi kepadatan peluang dari X adalah:
f(x ; )=ex
x ! ; x=1,2,3 ;>0
0 ; x lainnya
ungsi densitas gabungan dariX
1, X
2,,X
n adalah:
g (x1 , x2 , , xn;)=f(x1; ) f(x2; ) f(xn; )
[ ex1
x1!][ex2
x2!] [exn
xn !]
"%
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
16/24
(en )(x1
x1!
x2
x2!
xn
xn ! )
en (n )w
w! .
Dengan w=i=1
n
x i .
'isalnya kita asumsikan bah0a distribusi priornya adalah distribusi
gamma, dengan fungsi densitas sebagai berikut,
( )=
()1
e;0
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
17/24
"(x1,x2 , , xn )=
g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d
g (x1 , x2, , xn; ) ()d.
Setelah analisis matematik formula dari distribusi prior, maka dihasilkan suatu
formula penaksir Bayes untuk parameter ,
"(x1,x2 , , xn )=w++n=i=1
n
xi+
+n.
Dan dihasilkan pula distribusi posterior yakni,
h (|X=x )= g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()
g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d
h (|X=x )=(+n)(w+)
(w+)
w+1e(+n )
(+n)
(i=1
n
x i+)
(i=1
n
x i+)
i=1
n
xi+1
e(+n )
.
-emudian, masukkan nilai asumsi a0al pada penaksir Bayes dan pada distribusi
posterior yakni=88 dan =50 dan akan menjadikan fakta bah0a
w=92+72=164 badai terjadi selama n=100 tahun terkini yang termasuk
pada database. 3leh karena itu diperoleh penaksir Bayes,
"&
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
18/24
"(x1,x2 , , xn )=
i=1
n
x i+
+n .
"(x1,x2 , , xn )=(92+72)+8850+100
"(x1,x2 , , xn )=252
150=1.68 .
#adi, dengan penaksir Bayes menghasilkan nilai penaksiran sampel rata"rata
datangnya badai tiap tahun adalah 1.4. Dan Distribusi posteriornya adalah,
h (|X=x )=(+n)(w+)
(w+)
w+1e(+n )
h (|X=x )=(50+n)(w+88)
(w+88)
w+881e(50+n)
.
h (|X=x )=(50+100)(164+88 )
(164+88)164+881
e(50+100)
(150)252
(252)251e150
.
"#
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
19/24
BAB
PENUTUP
A. Kes$m/"lan
1. Pen+sirn B5es (e(6un5i nili ( )# 9 sehin--
6en+sir ersi>) )+ is8 N(un9 6en+sir is (en1,i
)+ is 1i+ rus +nn ,i+li+n ,en-n +ons)n)
)er)en)u8&8 Pen+sirn B5es (e(6un5i ,u >+)or u)( ,l(
(en1ln+n 6rosesn5 5+ni ,n5 ,is)riusi 6rior ,n
in>or(si seelu(n5 ,ri s(6el ,) 5n- ,ieri+n8#8 Pe(ilihn ,is)riusi 6rior !,is)riusi ;l' ,isesui+n
esrn5 ,en-n ,is)riusi 5n- ersesuin ,en-n
s(6el or(ul 5n- ,i6erlus828 Nili )+sirn 5n- ,ihsil+n oleh 6en+sirn B5es
(e(6un5i nili 5n- )+ ere, 1uh ,en-n ,en-n
nili slin58 Sehin-- )i,+ slh 1i+ (en
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
20/24
Oleh se i)u 6enulis srn+n un)u+ )i,+ )er6+u 6, s)u
su(er s19 )e)6i erensi
5n- rele/n8 Dn se(o- (+lh ini is (e(n)u 6r
6e(
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
21/24
LAMPIRAN
Bukti:
"(x1,x2 , , xn )=
g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d
g (x1 , x2, , xn; ) ()d.
'isalkan$
2=
g (x1, x2, , xn; ) ()d
0
en (n )w
w!
()1ed
(n )w
w!
()0
w+1
e(+n)
d
% [w+ ; (+n)(w+) ]
$2=(n )w
w!
()
(w+)
(+n)(w+).
'isalkan$
1=
g (x1 , x2 , , xn ; ) ()d
"4
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
22/24
0
en (n )w
w!
()1ed
(n )
w
w!
()0
w++11
e(+n)
d
% [w++1; (+n)(w++1) ]
$1=
(n )w
w!
()
(w++1)
(+n)(w++1) .
Sehingga diperoleh,
"(x1,x2 , , xn )=$
1
$2.
"(x1,x2, , xn )=
(n )w
w!
()
(w++1)
(+n)(w++1)
(n )w
w!
()(w+)
(+n)(w+)
"(x1,x2 , , xn )=
(w++1)
(+n)(w++1)
(w+)
(+n)(w+)
"(x1,x2 , , xn )=(w++1)
(+n)(w++1 )(+n)(w+)
(w+)
"(x1,x2 , , xn )=(w++1)
(+n)(w++1 )(+n)(w+)w+(w++1)
"$
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
23/24
"(x1,x2 , , xn )=w++n
"(x1,x2 , , xn )=i=1
n
x i+
+n .
Bukti :
h (|X=x )= g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()
g (x1 , x2 ,,xn ; ) ()d
en (n )w
w!.
()1e
(n )w
w!
()
(w+)
(+n)
(w+)
(n )w
w!
()w+1
e(+n)
(n )w
w !
()
(w+)
(+n)(w+)
(+n)(w+)
(w+)
w+1e(+n)
"
-
7/25/2019 Makalah Statistika Matematika
24/24
10