libro matematica i

8/16/2019 LIBRO Matematica I

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Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, Managua

UNAN – Managua

Facultad Regional Multidisciplinaria, Matagalpa


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MATEMÁTICA I

Nesly Laguna – Mayling Zamora 2

Contendo

Introducción ........................................................................................................ 4

Objetivos Generales de la Asignatura ................................................................ 6

Unidad I: Álgebra ................................................................................................ 7

1.1. Factorización ......................................................................................... 8

1.1.1. Fórmulas de factorización ............................................................... 8

1.2. Fracciones Algebraicas ....................................................................... 20

1.3. Simplificación de expresiones algebraicas .......................................... 20

1.3.1. Operaciones con fracciones algebraicas ...................................... 21

1.4. Ecuaciones .......................................................................................... 28

1.4.1. Ecuaciones lineales ...................................................................... 29

1.4.2. Ecuaciones cuadráticas ................................................................ 35

1.5. Sistemas de ecuaciones lineales ........................................................ 39

1.6. Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas .................................. 44

1.7. Desigualdades .................................................................................... 47

1.7.1. Desigualdades lineales ................................................................. 47

1.7.2. Desigualdades cuadráticas ........................................................... 53

Unidad II: Funciones ........................................................................................ 57

2.1. Función ............................................................................................... 58

2.2. Función lineal ...................................................................................... 59

2.3. Función cuadrática .............................................................................. 63

2.4. Función cúbica .................................................................................... 66

2.5. Función definida por partes ................................................................. 68

2.6. Función exponencial ........................................................................... 71

2.7. Función logarítmica ............................................................................. 75

Unidad III: Límites y Continuidad ...................................................................... 79

3.1. Idea de límite de una función en un punto ............................................. 80

3.2 Definición formal de límite ....................................................................... 82

3.3. Teoremas de límites ............................................................................... 85

MATEMÁTICA I


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MATEMÁTICA I


3.4. Límites al Infinito ................................................................................... 91

3.5. Limites Infinitos ................................................................................... 96

3.5. Aplicaciones de límites ........................................................................ 98

3.6. Asíntotas de una función ................................................................... 1033.6.1. Asíntotas Verticales .................................................................... 103

3.6.2. Asíntotas horizontales ................................................................ 104

3.7. Continuidad de una Función ............................................................. 109

3.7. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales ........ 112

3.8. Continuidad de una función en un intervalo ...................................... 113

Unidad IV: La Derivada en una variable ......................................................... 117

4.1. Interpretación geométrica de la derivada .......................................... 1184.1.1. Pendiente de la Recta Tangente ................................................ 118

4.2. Teorema de diferenciación ................................................................ 120

4.3. Derivadas de Orden Superior ............................................................ 124

4.4. Derivación Implícita ........................................................................... 125

4.5. Análisis Marginal ............................................................................... 128

4.5.1. Costo Marginal............................................................................ 128

4.5.2. Ingreso y Utilidad Marginal ......................................................... 129

4.5.3. Productividad Marginal ............................................................... 131

4.5.4. Producción Marginal ...................................................................... 132

4.5.5. Tasa de Impuesto marginal ........................................................... 132

4.6. Valores extremos de una función ...................................................... 135

4.6.1. Puntos críticos ............................................................................ 135

4.6.2. Función creciente y función decreciente ..................................... 136

4.6.3. Concavidad ................................................................................. 138


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MATEMÁTICA I


Introducción

La primera edición del libro de texto para el estudiante “MATEMÁTICA I” es un

esfuerzo del Departamento de Educación y Humanidades de la Facultad

Regional Multidisciplinaria, Matagalpa, UNAN Managua.

El propósito fundamental de esta obra es dotar a los estudiantes de un material

pedagógico basado en el programa de la asignatura de Matemática I, la cual se

sirve en las carreras de Administración de empresas, Contabilidad,

Mercadotécnica, Economía y Economía Agrícola, con el fin de aportar

conocimientos básicos que contribuye a la adquisición de conceptos y principios

necesarios para el desarrollo del pensamiento lógico que permite la compresión

de fenómenos enfocados a las ciencias económicas y administrativas pero cuya

fundamentación está en la Matemática.

Primero se pretende reforzar los conocimientos previos de la Matemática

importantes como son los algunos contenidos de Álgebra y Funciones para luego

introducir al estudiante a sus primeros acercamientos con el estudio del Cálculo,

comenzando con límite y continuidad y por último la derivada de funciones deuna variable.

La primera unidad ALGEBRA, trata de contenidos relacionados a la factorización,

operaciones con facciones algebraicas, ecuaciones y desigualdades.

La segunda unidad FUNCIONES, se realiza un resumen de las gráficas de

funciones lineales, cuadráticas, cubicas, seccionadas, logarítmicas yexponenciales, así como problemas de aplicación.

LÍMITE Y CONTINUIDAD es la tercera unidad, en ella se presenta: La idea de

límite de una función, La definición de Límite, Teoremas de Límite, Limites

Infinitos, Limites al Infinito, Asíntotas de una Función y la Continuidad de una

función en un punto y en un intervalo.


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MATEMÁTICA I


La cuanta unidad DERIVADAS EN UNA VARIABLE REAL se aborda contenidos

como: Interpretación geométrica de la derivada, Definición de derivada,

Teoremas de Diferenciación, Derivada implícita, Derivada de orden superior,

Determinación de valores máximos y mínimo de una función. Máximo y mínimoabsoluto de funciones en un intervalo cerrado, Criterio de la primera derivada,

Criterio de la segunda derivada, Concavidad y punto de inflexión, Construcción

de gráficas de funciones.


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MATEMÁTICA I


Objetivos Generales de la Asignatura

N° CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

1 Analizar conceptos,definiciones,axiomas,propiedades yteoremas de loscontenidos de Algebra, Modelosfuncionales, límites ycontinuidad yDerivadas de

Funciones en unavariable.

Aplicar conceptos,definiciones, axiomas,propiedades y teoremasde Algebra, ModelosFuncionales, Límites yContinuidad y Derivadasde Funciones en unavariable en la solución deproblemas de la vidadiaria.

Valorar laimportancia de Álgebra, ModelosFuncionales y,límites y continuidady Derivadas deFunciones en unavariable comoherramienta para lasolución de

problemas de suentorno social.

2 Dominar elvocabulario y lanotación propia de Algebra, Modelosfuncionales, límites ycontinuidad y

Derivadas deFunciones en unavariable.

Aplicar el vocabulario y lanotación correcta de Algebra, Modelosfuncionales, límites ycontinuidad y Derivadasde Funciones en una

variable en la resoluciónde ejercicios del entorno.

Apreciar el trabajoindividual y enequipo basado en laresponsabilidad y enla cooperación.


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MATEMÁTICA I


Unidad I: Álgebra

Objetivos de la unidad

Objetivos Conceptuales

Identificar los casos de factorización de acuerdo a sus características y

resolver fracciones algebraicas

Dominar al menos un método de solución para resolver ecuaciones

lineales, cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, sistema lineal

cuadrático y desigualdades lineales y cuadráticas.

Objetivos Procedimentales

Aplicar los casos de factorización en la resolución de operaciones con

fracciones algebraicas.

Resolver problemas de la vida cotidiana, utilizando ecuaciones lineales,

cuadráticas y sistemas lineales y desigualdades.

Objetivos Actitudinales

Valorar la importancia del Álgebra como herramienta para la solución deproblemas de su entorno social.

Contenidos de Unidad

Contenidos Cognitivos ContenidosProcedimentales

ContenidosActitudinales

Casos de factorización ysus características.

Operaciones con fraccionesalgebraicas.Método de solución pararesolver ecuacioneslineales, cuadráticas,sistemas de ecuacioneslineales, cuadráticas.Desigualdades lineales ycuadráticas.

Aplicación de los casos defactorización en la resolución

de operaciones con fraccionesalgebraicas.Resolucion de problemas dela vida cotidiana utilizandoecuaciones lineales,cuadráticas y sistemaslineales y desigualdades.

Valoración de laimportancia del

Álgebra comoherramientapara la soluciónde problemasde su entornosocial.


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MATEMÁTICA I


1.1. Factorización

Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de

sus factores.

Una expresión queda completamente factorizada cuando representa como el

producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores

lineales".

Se llama factores lineales las que tienen grado 1.

Factor primo, es decir no se puede seguir factorizando.Ejemplo: 3 su factor primo es 3

1.1.1. Fórmulas de factorización

Factor común

a. Se halla el M.C.D. de los coeficientes de los términos de la expresión

dada.

b. Se divide cada término entre el M.C.D.

c. El resultado de dividir se escribe dentro de un paréntesis.

Ejemplos

Factorizar las expresiones algebraicas

a) 24324 3643 82 3 El M.C.D. es: Dividiendo nos queda: 64 922 23 b) 122 2432 3643 48 54 El M.C.D. es:

Dividiendo nos queda:

1 2 322

433

c) 1752 5143 8524 3 322 54


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MATEMÁTICA I


d) 4 12 1 3} e) 2732 182 923 32 2 2 f) 55/ 5/ 15/ / 11/ / 3

/ 112 3 52/3 112 3 g)

h) 73 82 83 [73 8] 73 8

i) 2 5 3 2 5 3 2 2 j)

3 1 1 3 1 1 1 3 1

k) 1 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 3 3 2 Factor común por Agrupación de términos

a)

b) ( )

c) ( )


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MATEMÁTICA I


d) – e)

Trinomio cuadrado perfecto

Características de un trinomio cuadrado perfecto

a. Ordenar el Trinomio.

b. El primero y tercer términos deben ser positivos.

c. Los extremos deben ser cuadrados perfectos, es decir tienen raíz

cuadrada exacta.

d. El segundo término debe ser el doble producto de las raíces cuadradas

de los extremos, es decir del primero y tercer términos.

Ejemplos

a) 4 42 4⏟ x2 22

b)

1 4942

142 4942

142 1⏟

c) ⏟ d) e)

Este caso es de factor común, peroluego tenemos un trinomio

cuadrado perfecto porque cumplelas caracterlísticas


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MATEMÁTICA I


( )

f) + + ⏟

g) − ∙−.+ +

Diferencia de cuadrados

a) √ = ⏟√ = ( )( )

b) √ = ⏟ c) + +


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MATEMÁTICA I


d)

+

e) ⏟ − =

f) − +

g)

Agrupamos los términos − h)


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MATEMÁTICA I


∙ ∙ ∙

∙ ∙ b) –

–

∙ ∙ – ∙

c) ∙ ∙ ∙

Factorizaciones cúbicas

a) 32 3 32 3 3 32 3 2 3 3


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MATEMÁTICA I


b) 6 34 32 1⏟ 2 13

c) 6 334 9 362 334 6

d) 3 8⏟ 3 23 2 2 2 4 e) 3

3

2 2

f) 8 6 4 27 2 6 646 2 (3 83)(3 83) 2(3 23)(3 23)

g) 86 1 1 2 4 62 86 124 62 1⏟ 22 13 h) 6 253 5 4 3 27 3 2 3 33 3 2

3 2 3 9 3 2 Factorización utilizando la regla de Ruffini

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones

sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores

son de la forma ± .Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor ± si al reemplazarel valor

por “

” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “

” de los

Esta es diferencia de cuadrados


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MATEMÁTICA I


posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del

polinomio”.

Se trata de buscar, para el polinomio , factores de la forma ± . Parahallar el posible valor de "" se escogen los submúltiplos o divisores del términoindependiente entre el coeficiente del primer término.

Si al reemplazar “” por “”, se obtiene que el valor numérico del polinomio es cero, 0 entonces – es un factor de y se factoriza: , donde es el cociente.Cuando se tiene un factor, se divide por Ruffini se comprueba que el residuo es

cero y se trata de seguir factorizando el cociente.

Generalmente se comienza tomando

a = 1 ó a = -1

Ejemplos

a) Factorizar: – Sea 1, 1 1 7 1 6 0 Se tomará 1 para la división porque da 0. 1 es factor de

Es el cociente 3 2 3 7 6 3 2 b) Factorizar: 3 22 17 6

Probamos con divisores de 6

1 ⟹ 13 21 171 6 8 1

⟹ 1

21

171 6 12

1 0 – 7 +6 +1

+ 1 +1 -6

1 + 1 – 6 0

Como la división es exactatomaremos como primer factorel binomio 1 el cual resultade cambiar el signo de +1

Como el resultado es un trinomiose puede factorizar como tal


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MATEMÁTICA I


3 ⟹ 33 2 32 173 6 27 18 6 51 0 Setoma 3 para dividir

3 .

2 5 2 Este es el cociente y no es factorizable 3 2

5 2 Esta es la factorización final.

c) Factorizar: 3 12 16 Si 1 ⟹ 1 121 1 6 5 1 ⟹ 1 121 1 6 2 7 2 ⟹ 2 122 1 6 0 Tomaremos 2

2

2 – 8 Este es el cociente de la división

2 2 8 4 2 2 4 2 23 4 d) 15 1 0 2 4

1 ⟹ 1 151 101 2 4 0

1 +2 – 17 +6 +3

+ 3 +15 – 6

1 + 5 – 2 0

1 0 – 12 +16 +2

+ 2 +4 – 16

1 + 2 – 8 0


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MATEMÁTICA I


1 3 2 1424 Ahora3 2 14 24 1 ⟹ 1 1 141 2 4 3 6

2⟹ 2

2

142 24 8 4 28 24 0

2 – 12 Esto resulta de esta división2

12 4 3 Esta es su factorización

La factorización de todo el polinomio es: 1 2 4 3 Completación de cuadrados

Pasos a seguir para completar el cuadrado:

Lo primero será identificar la parte del Trinomio Cuadrado Perfecto, Toda la

expresión es una parte de un TCP

25 54 49 Re-escribiendo la misma expresión: 5 54 7 Para que sea un TCP debemos tener a: 257 7 0 De los cuales, sólo tenemos 54 faltan entonces 16 para tener unTrinomio Cuadrado Perfecto. Luego completando el Trinomio Cuadrado

Perfecto:

25 54 49 + –

1 0 – 15 – 10 +24 +1

+ 1 +1 – 14 – 24

1 + 1 – 14 – 24 0

1 +1 – 14 – 24 – 2

–2 +2 + 24 – 24

1 –1 – 12 0


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MATEMÁTICA I


25 54 49 25 49 Seguidamente se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto que queda dentro del

paréntesis25 49 5 7 4 Ahora aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:5 7 4 5 745 7 4 Por lo tanto la factorización final es:

25 54 49 5 7 45 7 4 Ejemplos

a) 4 2 1 4 2 1 2 2 4 22 1 2 2 12 2 2 1 2 1 b) 4 64 4 64 162 162 4 162 64 42 2 82 42 2 4 8 2 4 8

c)

4

22

4

4 22 4 22 22 4 222 4 2 2 2 2 2 2 2 4. 5 1 5 1 2 2

5

2

2

1

23 1 2 1 2 1 2 1 2 1


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MATEMÁTICA I


1.2. Fracciones Algebraicas

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma)()(

xq

x p , donde , ; 0.El polinomio es el numerador y el denominador de la fracciónalgebraica

Ejemplos de fracciones algebraicas

)2x,4x(8x2x

4x3)d(

7

y3x2)c(

2

3x3x2

8)b()3x(3x

5x)a(

2

1.3. Simplificación de expresiones algebraicas

Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador ysu denominador se pueden dividir por un mismo factor.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a)

3 3 2 3

5

24 8 3

21

a b a ab

ab

2 3

7 3b ab

2

2

8

7

a

b

b) 4

Al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que

tienen un factor común que es – 2, entonces lo factorizamos y luegosimplificamos los factores comunes del numerador y denominador al mismo

tiempo

5 ( 2 )5 10

2 4

x y x y

x y

2 ( 2 ) x y

5

2

Esta es una simplificación de fracciónen la que sus componentes son

En esta fracción sus términos son binomios por locual se deberán factorizar y después simplificar


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MATEMÁTICA I


c) 6

Podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

Luego:2

2

( 4)7 12

16

x x x

x

( 3)

( 4) ( 4)

x

x x

3

4

x

x

d) 3

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: – 1 – 1 1 Entonces:

23

2

( 1) ( 1)1

1

x x x x

x x

2( 1) x x

1 x

1.3.1. Operaciones con fracciones algebraicas

Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador,

se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el

denominador y se suman o restan los numeradores.

1.3.1.1. Adición de fracciones algebraicas

Ejemplos

Adición de fracciones algebraicas con igual denominador

Consideremos los siguientes casos

a)5

197

5

194

5

94

5

194

5

x

b)

x

b30

x

b97

x

97

x

b97

x

b

4xx6x

3xx2xx


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MATEMÁTICA I


c)

2b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadoresdistintos

En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores

distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores

(mínimo común denominador)

A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el

denominador común.

Ejemplos Consideremos los siguientes casos:

a)y

y

xy5

y

2

Calculemos el m. c. m. de los denominadores factorizándolos:

y

yy5

2

2

m.c.m. = y

Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fraccionespara igualar los denominadores:

2

2

2

2

2

2

y0

yy4

y0

yyy

y0

y0

y0

y0

y

xy5

y

b)b

a

b

b

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

m.c.m.= )ba(12)ba(43

Luego, amplifiquemos las fracciones:


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MATEMÁTICA I


2

b6

2

a8

2

2

2

b

a

b

b

(c)2

2

6

m3

2

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

2

2

2

Luego, amplificamos las fracciones

123

4080423

0 3

0 3

20

m3

12

20

6

m3

2

2

2

Factoricemos el numerador:

23

2

Obtenemos

8

4

4

123

2

2


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MATEMÁTICA I


Entonces

8

4

2

2

6

m3

2

1.3.1.2. Multiplicación de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las

fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre sí,

simplificando si es posible.

Ejemplo

a)yw

xz

w

z

y

x

b) x

y 5

y

xy

2

2

Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.

x (3 2 ) x y

(3 2 ) x y (3 2 ) x y

5 (3 2 ) x y

2 x

5

2

c) 7

21

m

m

9

6

2

3

2

2

Factoricemos y simplifiquemos

4

1

m

m

m

m

2

2

1.3.1.3. División de fracciones algebraicas

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones

aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la

fracción divisor.


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MATEMÁTICA I


Ejemplos

a) x

y

x

y0

y

x

y0

x

y

x

2

2

3

3

2

b) y

y55

y5

y

y55

y

y5

y


2 ( 2 ) x y

5 ( 3 ) x y

15 ( 3 ) x y

6 ( 2 ) x y

11

1

c) y

y

y

y

y

y

2

2

Al factorizar y simplificar resulta:

( ) x y ( ) 2( )

1

x y x y

x y

22( ) x y

d)984

4

984

4


( 7)a ( 2)a

6 ( 2)a

1

14 ( 7)a

1

84

1.3.1.4. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en

primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las

multiplicaciones y divisiones tienen prioridad.

Ejemplos

a) 4

a3

2

a

5

a2

Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones

40

56

40

a56

40

a

8

a

5

a

4

a

2

a

5

a

2


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MATEMÁTICA I


b) x

4

6

x

x

En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición

4

x

4

x

4

x

4

x

x

x

4

6

x

x

c)

4

5

y5

y2

y

y

2

Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el

numerador y el denominador, para simplificar si es posible.

y

y

:

y

y

4

5

y

y

2

Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor

invertida.

y

1

y

y

y

d) yy

y

y

y

yy

y

Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

2

2

2

yy

y

6

2

3

utoevaluación

I. Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda

1)x

3

x2

5

x5

9 2)

x3

5

x2

7

x

6

2

3)m5

1m3

m2

2m

4)

x12

5x2

x8

6x

5)1m

52m

6) 1a3a2

7

7)1b3

51b

8) 4c3c

c9

A


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MATEMÁTICA I


9)2aa

a3

1a

2

22

10)12mm

m7

4m

m

2

11)24p5p

2

12pp

1p22

12)

x

y

xy2x

xy2

y2x

x2

13)9d

)1d(6

3d

d

3d

1d2

14)

yx

y

yxy

x

y

x22

2

15)a2b3

b2a3

b2a3

b3a2

16)

1m

m

1m

2

1m

42

17)3z

3

3z5z2

1z6

2

18)

12xx

5x4

xx318

9

24x10x

2222

19)3a4a

4a2

3a

1

2aa

5a222

20)

1m

1

3m2m

11m

3m2m

1m322

21)

8p2p

6

6p5p

1p

12pp

17p222

22)

2d5d3

1

2dd6

7

1dd2

d3

222

II. Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas

1)4

3

3

4

ab7

yx5

ba3

xy2 2)

2x19

)ba(17

x2

)ba(3

3)w

z

6x

5x

3x

2x

4)315

87

54

43

yx

yx

yx

yx

5)

52

432

543

32

yx

ba

ba

yx 6)

33252

32

243

nm

dc

cd

nm

7)y5x20

b14a21

b10a15

y3x12

8)

x

yx

y42x42

y7x7

yx

y2x222

9)8a6a

ab

ab

4a3a

2

5

2

2

10)18a11a

10a7a

15a8a

18a9a2

2

2

2

11)15z2z

21z10z

14z9z

16z10z

2

2

2

2

12)

6

12

2410

166

2

2

2

2

mm

mm

mm

mm

13)x2x

12x7x

16x8x

12x7x

9x6x

9x2

2

2

2

2

2

14)

y30x30y3x3

y5x5yxyx

yxy2xyxy2x

yxyx 22

22

22

33

22

15)2a9a4

8a17a2

9a9a2

6a7a2

2

2

2

2

16)

22

22

22

22

1092

672

12112

12

baba

baba

baba

baba

17)2222

33

y2xy2x2

y6x6

yx

yx

18)y15x15

y7xy7x7

yx

y5xy10x5 22

33

22

19)10b3b

5b4b

14b9b

21b10b

15b2b

16b10b

1b2b

12b8b2

2

2

2

2

2

2

2


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MATEMÁTICA I


III. Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas

(1)3

2

3

3

b9

ab14:

b18

a35 (2)

523

986

1064

785

cba

cba:

cba

cba

(3)3

3

43

23

x

y9:

bxya54

yxab24 (4)

32

2

33

22

yb

ax3:

yab

bxa

(5)yx21x14

a:

a

xy9x6233

2

(6)1a2a

aa:

aa

aa

2

23

2

3

(7)2m3m

3m2m:

8m2m

16m8m

2

2

2

2

(8)

14c5c

7c8c:

10c7c

5c6c

2

2

2

2

(9)9x6x

3x4x:

18x3x

24x10x

2

2

2

2

(10)

28m3m

32m4m:

21m4m

48m14m

2

2

2

2

(11)6p5p4

4p8p3:

3p7p4

2pp32

2

2

2

(12)1a6a8

1aa12:

5a8a4

1a5a6

2

2

2

2

(13)20mm

16m6m:

4m5m

2m3m

2

2

2

2

(14)

22

22

22

33

yxy2x

yx:

yxy2x

yx

(15)22

22

22

44

yxy2x

yx:

yxy2x

yx

(16)1x

1x:

1x

xx3

1.4. Ecuaciones

Igualdad es la que se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.2 3 5 2 Una igualdad puede ser:Igualdad falsa 2 1 2 · 1 2 1 2 2

1 ≠ 2

Igualdad verdadera 2 2 2 · 1 2 2 2 22 2 Identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.2 2 2 · 1 2 2 2 2 2 2 Ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

1 2


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MATEMÁTICA I


1Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen

a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y variables

(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Ejemplo de ecuación: 5 4 8 Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita,

normalmente la x).

Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

1.4.1. Ecuaciones lineales

Se dice que una ecuación es lineal o de primer grado cuando su variable está

elevada a la potencia 1.

Ejemplos de ecuaciones lineales

3 1 22 1 32 Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la

ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es

irrefutable.


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MATEMÁTICA I


En el ejemplo podemos probar con algunos valores sustituyéndolos en el lugar

de la variable x:

Si ⟹ llegaríamos a , esto es falsoSi 1 ⟹ llegaríamos a tampoco.Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales

para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro.

Operaciones Justificación

3 1 2 Sumar o restar a los dos miembros un mismo

número. En este caso restar 1 a los dosmiembros y restar x a los dos miembros:3 1 1 2 1 Reducción de términos semejantes2 3 22 32 Multiplicar o dividir los dos miembros por unmismo número.En este caso se divide por 2 32 Esta es la solución de la ecuación lineal

1 . 5 El resultado se puede dividir

Comprobamos el resultado obtenido sustituyendo en la ecuación el valor

encontrado 31.5 1 1.5 24.5 1 3.5 3.5 3.5 Resolvamos ahora la siguiente ecuación:

3 2 Rápidamente obtendrás la expresión 0 5 ¿qué significa? Desde luego estaigualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.

Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

Resolvamos ahora 2 1 3 3 4


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MATEMÁTICA I


Ahora habrás llegado a la expresión ¿qué significa ahora? La igualdadque has obtenido es cierta, pero se te han eliminado la x ¿Cuál es la solución?

Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo

sustituyendo x por 0,1,3 u otro valor que desees.En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valorde x es solución).

Este tipo de ecuaciones se denominan identidades}

Ejemplo de ecuaciones lineales

a)

2 6 2 0

2 2 0 6 2 1 4 22 142 7 b) 4 9 2 3

4 9 2 3

4 2 3 9 2 1 2 2 2 2 122 6

1.4.1.1. Problemas de aplicación

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver

problemas de la vida cotidiana

a) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más

que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos suman la edad

del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?

Se pasa el + 6 que está sumando a restar a laderecha del igual


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MATEMÁTICA I


Solución

Primero plantearemos los datos, elegimos uno de los valores desconocidos para

llamarle x:

x = Edad del hermano menor. A partir de ello se expresan los datos del problema y se planteará una igualdad

(ecuación): 3 ∶ Edad del hermano mediano 3 4 7: Edad del hermano mayorEcuación: suma de las edades de los hermanos 3 7 40,Resolviendo la ecuación se obtiene 10 años, esta es la edad del hermano menorLuego las edades de los tres hermanos son 10. 3 1 0 3 1 3 años es la edad del hermano mediano 7 1 0 7 1 7 años, es la edad del hermano mayor.

b) Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número?

x = el número buscado. (Definición de la incógnita)

Su quinta parte es (transformación al lenguaje algebraico). 1 8 (es el planteamiento de la ecuación).

Resolvemos la ecuación:

1 8

5 90 6 90 1 5

Notamos que al volver a leer el problema x = 15 es coherente con el

enunciado, la quinta parte de 15 es 3. 15 más 3 suman 18.


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MATEMÁTICA I


c) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?

y = número de ovejas que tenía.

Un tercio de las que tenía es

El planteamiento será una resta: 24 Resolvemos la ecuación:

3 24 3 72 2 72

3 6 ovejas.Son 36 ovejas y un tercio de 36 es 12. Si restamos 36 menos 12 es 24 quees el número de ovejas con las que llegó.

En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué C$51.

¿Cuánto costaba el producto?

: es el precio del producto

15% 15100 Lo que costaba el producto menos la rebaja es lo que pagué:

15100 5 1Resolviendo la ecuación:

15100 5 1100 15 5100855100 510085 6 0 córdobas.El 15% de 60 córdobas son 9 córdobas, entonces pagué 6 0 9 5 1


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MATEMÁTICA I


utoevaluación

I. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:

a) 4 2 1 2 b) 8 2 4 5 c) 7 1 2 4 1 7 d) 3 2 5 5 e) 5 1 3 1 0 1 2 f)

6 1 2 4 1 7 1 2 3 5

g) 2 5 6 1 h) 8 3 3 2 1 i) 4 2 7 3 6

II. Resuelve las situaciones con ecuaciones lineales

1. Juana tiene 5 años más que Amparo. Si entre los dos suman 73 años,

¿qué edad tiene cada una?

2. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48 años,

¿qué edad tiene cada uno?3. Determinar tres números consecutivos que suman 444.

4. Tengo de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me

faltan sólo C$318 para comprarlo?

5. Después de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio del camino.

¿Cuántos metros tiene el trayecto?

6. Un pastor vende

de las ovejas que tiene. Después compra 60 y así

tendrá el doble de las que tenía antes de la venta. ¿Cuántas ovejas tenía

en un principio?

7. Determinar un número que sumado con su mitad y su tercera parte de 55.

8. Tres socios tienen que repartirse 3.000€ de beneficios. ¿Cuánto le tocará

a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y

el tercero dos veces más que el primero?

A


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MATEMÁTICA I


1.4.2. Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticasDefinición Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma

donde a, b, y c son números reales y a es un número diferente decero.Ejemplos Resolver la ecuación cuadrática mediante factorización

a) 2

3 ∙ 3

3 ∙ 2 3 ∙ 53 0

9 2 ∙ 3 153 0 3 53 33 0 3 5 1 0

3 5 0

1 0

3 5 1 53 b)

4 1 0

4 0 1 0 4 1 c) 12 1 8 062 3 0 6 0 2 3 0 06 2 3

0 32

Ecuación de segundo grado que

es un trinomio que tiene la

forma:

Esta ecuación de segundo grado es un

trinomio que tiene la forma:

Esta ecuación cuadrática tiene dos

términos que son el cuadrático y el

lineal y lo podemos resolver

mediante el factor común.


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MATEMÁTICA I


Resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general

0

2

5

2± 2 43523 2 ± 4 606 2 ± √ 646 2 ± √ 4 6 06 2 ± 86 2 86 2 86 10

6 6

6

53

Este es un caso especial, pero se

resuelve de la misma forma:

factorizando, finalmente la solución

llevará la variable a.

d) 10 2 5 0 10 25

2510 52 ± 52

5

2

5

2

e) 10 3736 0 2 9 5 4 0 2 9 0 5 4 0 92 45

Esta ecuación cuadrática tiene dos

términos que son el cuadrático y el

independiente y lo podemos

resolver haciendo transposición de

términos y luego extrayendo raíz

cuadrada. Le colocaremos doble

signo porque es una raíz par.

Recuerda que la fórmula generales:

± √


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MATEMÁTICA I


utoevaluación

I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83

2) (2x + 5)(2x – 5) = 11

3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 130

4) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40

5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214

6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2

7) 54

4x

2

6x 22

8)2x

x7

x

3x5

9) x2 – 3x = 0

10) 6x2 + 42x = 0

11) x2 + ax = 0

12) (x – 2)(x – 3) = 6

13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10

14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)

15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0

16) 22

x3

1x

4

17) x2 + 4ax – 12a2 = 0

18) x2 – 5ax + 6a2 = 0

19) 8x3

x2

x5

x37

II. Resuelve las situaciones con ecuaciones de segundo grado

1. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos

números.

2. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad

que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m decerca. Calcula las dimensiones de la finca.

A


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MATEMÁTICA I


4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los

números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del

triángulo es 24 m².

5. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m,sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y

48 m respectivamente.

6. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .

7. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus

cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

8. El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles

son esos números?

9. Encuentra una fracción equivalente a cuyos términos elevados al

cuadrado sumen 1184.

10. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de C$1560 por 24 litros

de leche, 6 paquetes de jamón serrano y 12 litros de aceite. Calcula el

precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que

1 litro de leche y que 1 paquete de jamón cuesta igual que 4 litros de

aceite más 4 litros de leche.

11. Dos números que se diferencian en 3 unidades, multiplicados dan 88.

Encuentra dichos números.

12. Encuentra un número tal que el doble de su cuadrado sea igual a seis

veces ese número.

13. El perímetro de un rectángulo es 42 cm. Si la diagonal mide 15 cm. Halla

la anchura del rectángulo. (Pon un lado en función del otro).

14. La edad de un niño será dentro de 3 años el cuadrado de la que tenía

hace tres. Halla los años que tiene.

15. Al aumentar 5m el lado de un cuadrado, su área aumenta en 75 .Calcula el lado del cuadrado.

16. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm.

menos que la altura y la diagonal mide 10 cm.


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MATEMÁTICA I


17. Varios amigos se reparten un premio y les toca a 1500 euros a cada uno.

Si hubieran sido cuatro amigos más, les hubiera tocado a 300 euros

menos a cada uno. ¿Cuántos eran a repartir?

18. Se tienen dos cuadrados distintos y el lado de uno de ellos es 4 cm. mayorque el lado del otro. Averigua la longitud de los dos lados sabiendo que la

suma de sus áreas es 808 .19. Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la

cuarta parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 2 centímetros mayor.

20. Halla dos números naturales consecutivos sabiendo que la suma de sus

cuadrados es 103.

1.5. Sistemas de ecuaciones lineales

Definición Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a un

conjunto de ecuaciones de la forma:

121

b.. ⋮ mn

b

Los elementos

ij

son los coeficientes del sistema.

Los elementos xi son las incógnitas del sistema.Los elementos b j serán los términos independientes.

Ejemplos

4

es un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas

Definición: Llamaremos solución del sistema anterior (S), a todo vector o n-upla (s1, s2,…, sn) que verifique todas las igualdades del sistema.

Definición: Resolver un sistema será hallar el conjunto de sus soluciones.

Atendiendo al número de soluciones, podemos clasificar los sistemas de lasiguiente forma:

Si el sistema no tiene solución diremos que es incompatible.

Si el sistema tiene solución diremos que es compatible.


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MATEMÁTICA I


Ejemplo

1. Entre José y Sergio tienen C$600, pero Sergio tiene el doble de córdobas

que José. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Solución: Primero representaremos los datos mediante el uso de variables: Número de córdobas de José: Número de córdobas de Sergio.Vamos a expresar las condiciones del problema con ecuaciones:

Si los dos tienen 600 córdobas, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600.

Si Sergio tiene el doble de córdobas que José, tendremos que y = 2x.

Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:{ Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la segunda

ecuación hay una incógnita ya despejada. Sustituimos el valor de 2 en laprimera ecuación, con lo que tendremos:

Ahora sustituimos 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, conlo que tendremos: Por tanto, la solución al problema planteado es que José tiene 200 córdobas ySergio tiene 400 córdobas.

Método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una

incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos

despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del

proceso son las siguientes:


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MATEMÁTICA I


a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

b) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de

una incógnita que resulta.

c) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en unade las ecuaciones despejadas de primer paso.

Ejemplo

a) En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 14 cabezas y 38

patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?

Datos

: Número de conejos: Número de gallinasPlanteamos el sistema de ecuaciones:(Traducimos a lenguaje algebraico)

{ + = + =

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución:Despejamos x en primera ecuación: – Sustituimos en la segunda ecuación: – Resolvemos la Ecuación: – – –

– –

Sustituimos en (1) para calcular x: –

Conejos: Gallinas: Comprobación:

·


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MATEMÁTICA I


−5x−5y=−6 5x

·

Método de Reducción

b) He comprado un DVD y me ha costado 105 dólares. Lo he pagado

con 12 billetes de dos tipos, de 5 dólares y de 10 dólares. ¿Cuántos

billetes de cada clase he entregado?

Datos:

x: Número de billetes de 5 dólaresy: Número de billetes de 10 dólares

Planteamos el sistema de ecuaciones: (Traducimos a lenguaje

algebraico)

{ Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Reducción:

Multiplicamos la primera ecuación por ( –5 ) para eliminar las x

Despejamos x en la primera ecuación: x = 12 – y

Sustituimos y = 9 x = 12 – 9

x = 3

Número de billetes de 5 dólares: x = 3

Número de billetes de 10 dólares: y = 9

Comprobación

3 billetes de $5 + 9 billetes de 10 = 12 billetes

3 billetes de 5 $ son

· $ $

+ 9 billetes de 10 $ son · $ $ $


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MATEMÁTICA I


ó

1.6. Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas

En los sistemas de ecuaciones no lineales, a diferencia de los lineales,

aparecen ecuaciones en las que hay incógnitas de grado mayor que uno. En el

caso de sistemas de dos ecuaciones de dos incógnitas, las ecuaciones ya no

serán dos líneas rectas. Una de ellas, o las dos, pueden ser parábolas, elipses,

hipérbolas. La solución será los puntos en los que las dos ecuaciones se corten.

Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones

Sea el sistema

{ ⋅ = − SoluciónLo primero que vamos a hacer es manipular convenientemente la variable

En donde ahora hacemos el cambio ≡ , lo que implica que

Primero escogeremos una de lasecuaciones en la cual vamos adespejar una de las variables.


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MATEMÁTICA I


Resolvemos la ecuación de segundo grado:

8 ± 8

41921

8 ± 64 362 8 ± √ 1002 8 ± 1 02 9 1

Ahora deshacemos el cambio 9 ⟹ 9 ⟹ √ 9, que no tiene solución en ℝ 1 ⟹ 1 ⟹ ±√ 1 ⟹ ± 1 Sólo hay dos posibles valores de . Hallamos el valor de para cada : ⋅ = − ⟹ 3 Si 1, entonces − 3 Si 1, entonces 3 Conclusión: La solución del sistema es, 1,3 , 1,3


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MATEMÁTICA I


utoevaluación

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

II. Resuelve las situaciones utilizando sistemas de ecuaciones

1. La diferencia de dos números 40 y 1/8 de su suma es 11. Hallar los

números.

2. La suma de dos números es 3 y su producto es -4. Hallar los números.

3. Determina dos números cuya suma es 9 y su producto 18.

4. La diferencia de dos números es 5 y su producto 14. Hallar los números.

5. Hallar dos números cuya suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53.

6. Determina dos números cuya suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia

de sus cuadrados es 5.7. Hallar un número que es 3/5 del otro y el producto de ellos resulta 2160.

8. La diferencia entre un número y el doble de otro número es 5. Si el

producto de ellos es 18, ¿cuáles son los números?

9. La diferencia entre dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34.

¿Cuáles son los números?

10. La diferencia de dos números es 7 y el producto de su suma por el número

menor es 104. Hallar los números.

Aa) { 6 275 8 –60 g) {x y 7x · y 12 b) {3 – 27 – 27 – 3 9 h) {x y 52xy 24 c) 2 b 03 – 2 13 i) {x y 34x y 2 d) 2 – 5 233 2 15 j) x y 29 x y 21 e) { 4 – 2 125 – 1 8 k) {x y xy 14x y 6 f) { 2x 7y 145x 8y 2


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MATEMÁTICA I


2. Si a y b no pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo abierto y

escribimos: (a, b) = {x IR a < x < b}

3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos

estos dos casos (intervalos semiabiertos o semicerrados):

La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las ∈ ℝ que son más grandes o más chicas que un número dado.

Por ejemplo, para denotar al conjunto ℝ > } escribimos , .Los siguientes conjuntos son intervalos:

, ℝ > } , ℝ }

,

ℝ

< }

, ℝ } , ℝ 1. Completa la tabla llenando los espacios con la notación adecuada.

Intervalo Desigualdad Grafica en la recta.

3,5

3 ≤

5

∞,5 3,8 5,4 Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números x para los

cuales la desigualdad es cierta. A este conjunto de números se le llama conjunto

solución.

2. Resuelva la desigualdad

< y dibuje la gráfica de la

solución en la línea recta.

a b

( )

a b

)[a b

( ]

+¥

a

(

a

[ +¥

)b

-¥

-¥ ]

b

-¥ +¥


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MATEMÁTICA I


Solución.

La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros no. Para

encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos las propiedades

mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en la parteizquierda de la desigualdad.

En primer lugar restamos -2 a ambos

lados de la desigualdad (usando la

propiedad 3 con 2):2 2 < 9 6 2 < 9 4

Luego se resta 9 de ambosmiembros (usando la propiedad 3 con

c = - 9x):

9 < 9 – 9 4 8 < 4 Ahora multiplicamos ambos

miembros por 1/8 (propiedad 5 con 1/8). Observa que almultiplicar por el número negativo

cambiamos el orden de la

desigualdad. Por lo tanto el conjunto

solución está formado por todos los

números mayores que 1/2. En otraspalabras, la solución de la

desigualdad es el intervalo 1 ,2

.

La representación gráfica de la

solución se muestra a la derecha.

1 -1

8 > 48 8

x

- 4>

8 x o bien

-1>2

x

3. Hallar la solución de la desigualdad ≤ y represéntelagráficamente en la línea recta.Solución: Trataremos de despejar la x en la parte izquierda de la desigualdad

utilizando las propiedades de las desigualdades mostradas en los apartados

1, y 2 de este documento.

Primero sumamos 7 a ambos lados,usando la propiedad 3.

3x + 7x + 5 - 7x + 7x + 2510x + 5 25


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MATEMÁTICA I


Ahora sumamos 5 a ambos ladosutilizando la propiedad 3.

10x + 5 -5 25 – 510x 20

Enseguida multiplicamos por 1/10. De estamanera tenemos que la solución estáformada por todos los números menores o

iguales que 2. En otros términos, la soluciónestá dada por el intervalo (- La

representación gráfica de este intervalo se

muestra a la derecha.

1 1

10 2010 10

x

x 2

4. Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad < e ilustrarlo en la línea recta.Solución: Las siguientes desigualdades son equivalentes:

Sumando -2 a ambos lados de la

desigualdad.

2 3 < 5 8 2 3 2 < 5 8 2 3 < 5 6 Sumando

5 a ambos lados de la

desigualdad. 3 – 5 < 5 5 6

2 < 6 Multiplicamos por 1/2 los dos lados dela desigualdad. Observa que cambiamos el

orden de la desigualdad. Por consiguiente,

el conjunto de soluciones es el intervalo3, , que se ilustra en la gráfica de laderecha.

(-1/2)(-2x) (-1/2)(6) = -6/2

x

5. Resolver la desigualdad ≤ y representar la solución enla línea recta.

Solución: Despejaremos la variable x en la parte izquierda de la inecuación.

Sumando 3 a ambos lados de ladesigualdad.

2x + 3 x +72x + 3 - 3 x +7 – 3

2x x + 4Sumando

3 a ambos lados. 2x -3x x -3x + 4

-x 4


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MATEMÁTICA I


Multiplicamos por 1 ambos ladospara dejar x con signo positivo, (fíjate

que cambiamos el orden de la

desigualdad) y así tenemos que lasolución es el intervalo 4,∞ Lagráfica del intervalo se muestra a la

derecha.

(-1)(-x) (-1)(4)x -4

6. Hallar la solución de la desigualdad < – e ilustrarla en larecta de los números reales.

Solución: En este caso tenemos una doble desigualdad en la que sólo en la

parte intermedia aparece la variable x. La solución consta de todos los valores

de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla despejaremos la

variable x en la parte media de la desigualdad aplicando las propiedades dadas

en los párrafos 1 y 2.

Primero sumamos

a toda la

desigualdad, usando la propiedad 3. 7 < 3 – 2

13

7 2 < 3 – 2 2

13 2 9 < 3 15 Enseguida multiplicamos por 1/3 toda la desigualdad utilizando la

propiedad 5. De esta manera

tenemos que la solución está formada

por todos los números mayores que

3 y menores o iguales a

5. En otros

términos, la solución está dada por elintervalo 3,5. La representacióngráfica de este intervalo se muestra a

la derecha.

1 1 19 < 3x 15

3 3 3

3 < x 5


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MATEMÁTICA I


7. Resuelva la desigualdad < y dibuje la gráfica de lasolución en la línea recta.

Solución. La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros

no. Para encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos laspropiedades mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en

la parte izquierda de la desigualdad.

En primer lugar restamos 2 a amboslados de la desigualdad (usando la

propiedad 3 con 2):2 2 < 9 6 2 < 9 4

Luego se resta 9x de ambos

miembros (usando la propiedad 3 con 9): 9 < 9 – 9 4

8 < 4 Ahora multiplicamos ambos

miembros por 1/8 (propiedad 5 con 1/8). Observa que almultiplicar por el número negativo

cambiamos el orden de la

desigualdad. Por lo tanto el conjuntosolución está formado por todos los

números mayores que 1/2. En otraspalabras, la solución de la

desigualdad es el intervalo1,

2

.

La representación gráfica de la

solución se muestra a la derecha.

1 -1

8 > 48 8

x

- 4>

8 x o bien

-1>2

x

1.7.2. Desigualdades cuadráticas

Para resolver una desigualdad que incluye polinomios de grado mayor que 1, se

expresa cada uno de ellos como producto de factores lineales , o comofactores cuadráticos irreducibles, o en las dos formas. Si alguno deestos factores es distinto de cero en un intervalo, entonces es positivo en el

intervalo, o es negativo en él. Por consiguiente, si se escoge cualquier k en el


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MATEMÁTICA I


intervalo, y si el factor es positivo (o negativo) cuando x = k, entonces es positivo

(o negativo) en el intervalo. El valor del factor x = k. se llama valor de prueba, o

de tanteo en k.

Procedimiento en el método gráfico

1. Se factoriza el polinomio.

2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la

parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo.

3. Se traza una recta real por cada facto r y una recta real adicional para el

resultado.

4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor.

5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso

anterior.

6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz.

7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con

un signo menos y a la derecha con un signo más.

8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los

signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugarcorrespondiente de la recta real de resultados.

9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos

los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en

cambio si el sentido de la inecuación es


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MATEMÁTICA I


1 2 3 < 0 Se factoriza el trinomio de la forma Losfactores resultantes 1 y 2 3 se igualan a cero y se despeja la variable encada uno, de la siguiente manera

1 0 ⟹ 1 2 3 0 ⟹ 32 Estos valores los ubicamos en una recta numérica real, para formar los intervalos

La solución será el intervalo que lleva el mismo signo de la desigualdad:

1 ,32


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MATEMÁTICA I


utoevaluación

I. Resuelva las desigualdades lineales.

II. Determina la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas.

1. x2 – 1 0 8. 2x2 + 3 7x

2. 8x2 + 5x 0 9. 2x2 – 3x – 36 > x2 +2x

3. x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0 10. 3x2

+ 16x –

12 < 04. 4x2 – 1 < 0 11. 4x(x + 3) -5

5. 3x2 – 5x < 0 12.3(2x2 + 1) > 11x

6. x(x – 5) – 2x(x + 3) + 6 x2 –

11x

13. x(3x – 4) > 7

7. x2 – 13x + 40 < 0 14. ≥

A1)

x 6)

2) x

7)x

x

3) 8) x

4

x

8

5

4) 6 9)

3

5) x

10) 43

x

x


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MATEMÁTICA I


Unidad II: Funciones

Objetivos de la unidadObjetivos Conceptuales

Explicar los conceptos de la teoría de funciones a través de las distintas

formas de representación.

Analizar las distintas funciones a través de sus características de acuerdo

a su expresión analítica y/o gráfica.

Objetivos Procedimentales

Identificar el dominio y el recorrido de los distintos modelos funcionales.

Representar los tipos de funciones, según sus características de acuerdo

a su expresión analítica y/o gráfica.

Realizar lecturas de gráficas de los distintos modelos funcionales.

Resolver problemas de la vida cotidiana a través de algunos modelos

funcionales.

Objetivos Actitudinales Valorar la importancia de la teoría de funciones en situaciones de su entorno.

Mostrar precisión y exactitud en la representación gráfica de modelos

funcionales.Mostrar compromiso y cooperación en el trabajo grupal.

Contenidos

ContenidosCognitivos

ContenidosProcedimentales

ContenidosActitudinales

Formas derepresentar una

función lineal,cuadrática, cúbica,definida por partes,exponencial ylogarítmica

Tipos de funciones ysus características deacuerdo a suexpresión analíticay/o gráfica. .

Identificación de dominio yrecorrido de los distintos

modelos funcionales.

Representación de funciones,según sus características deacuerdo a su expresiónanalítica y/o gráfica.

Realización de lecturas degráficas de los distintosmodelos funcionales.Resolución de problemas.

Valoración de laimportancia de las

funciones en la vidacotidiana.

Gráficas de modelosfuncionales.

Compromiso ycooperación en eltrabajo grupal.


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MATEMÁTICA I


2.1. Función

FunciónUna función es una relación entre dos variables

.

A cada valor de la (variable independiente) le corresponde un único valor de (variable dependiente).La función se represente

gráficamente sobre los ejes

cartesianos.

La primera gráfica corresponde a

una función: a cada valor de x le

corresponde un único valor de y.

La segunda gráfica no es de una

función: hay valores de x que les

corresponde más de uno en y.

Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables

que intervienen.

Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el

fenómeno que en ella se describe.

Ejemplo

La siguiente gráfica muestra la estatura media de

un grupo de varones según su edad:

a) ¿Cuál es la variable dependiente? ________

b) ¿y la independiente?___________

c) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años?

_________

d) ¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento?

___________e) ¿A partir de qué edad se disminuye de altura? ___________


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MATEMÁTICA I


f) ¿A qué edad la altura es máxima? _____________

g) ¿Cuál es la altura mínima? ____________

2.2. Función lineal

Función LinealLa función lineal es del tipo: mx y x f )( , con ∈ ℝ(m pertenece a losnúmeros reales).

se conocen como imagen de , es el valor de para un determinadovalor de

.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Su dominio y rango es el conjunto de números reales.

m es la pendiente de la recta.

Si ),( 111 y x P y 222 , y x P entonces la

pendiente de21

P P es:

12

12

x x

y ym

La pendiente es la inclinación de la recta con

respecto al eje de las abscisas (eje x).

Si m es positivo (m ˃ 0), la función es creciente y

el ángulo que forma la recta con la parte positivadel eje OX es agudo.

Si m es negativo (m < 0), la función es

decreciente y el ángulo que forma la

recta con la parte positiva del eje OX es

obtuso.


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MATEMÁTICA I


Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable

independiente en ese intervalo aumenta también la variable dependiente .Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variableindependiente en ese intervalo disminuye la variable dependiente .Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto “” de su dominio siel valor de la función en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la

función en los puntos próximos a “”. Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto “a” de su dominio siel valor de la función en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la

función en los puntos próximos a “”. Ejemplo

a) Graficar la función 3 Para ello debemos construir una tabla de valores que relacione las variables

independiente y dependiente.

X 1 2Y 3 6

ℝ ℝ


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MATEMÁTICA I


b) Graficar la función 2

Función afín a la linealLa función afín es del tipo: nmx y ; donde m es la pendiente o inclinación

de la recta y n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de larecta con el eje de las ordenadas (eje y)

Ejemplo

a) Graficar la función 2 3

X 2 1 Y

4

2

X 1 2Y

1

1

ℝ ℝ


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MATEMÁTICA I


b) Graficar la función 4 2

Función constanteUn caso especial de y f ( x) mx b se obtiene cuando m = 0. Entonces o bien

X 0 1 Y 2 2

ℝ ℝ Esta gráfica la construimosbuscando interceptos con losejes X e Y

0 ⟹ 0 40 2 2

0 ⟹ 4 2 0

Esta gráfica la construimosbuscando interceptos con losejes X e Y

0 ⟹ 0 20 3 3

0 ⟹ 2 3 0 2 3

1 . 5

ℝ ℝ


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MATEMÁTICA I


Esto significa que, para cada entrada x, la salida f(x) siempre tiene el mismo

valor: b.

EjemploGraficar la función 2

2.3. Función cuadrática

Función cuadrática

La forma general de una función cuadrática es 2 f x ax bx c .El dominio de las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los reales, y el

contradominio es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta

más infinito o menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba

o hacia abajo.

Las funciones cuadráticas (o funciones polinómicas de segundo grado) son

aquellas cuyas gráficas se representan mediante parábolas.

Para el cálculo del vértice0

de la parábola, conviene recordar que la

abscisa del vértice (de la parábola ) se obtiene con lafórmula

, la ordenada del vértice se obtiene sustituyendo

en la

expresión de la parábola, resultando:

Dominio: todos los reales.

Rango: únicamente el valor b

ℝ }


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MATEMÁTICA I


1.71,0 0.29,0 3°. Corte en el eje Y 2 – 4 1

,

utoevaluación

Grafique las funciones en el plano cartesiano y determine dominio y rango.

a)

/ 5 3 e)

3

b) 5 3 f) 3 5 c) 3 g) d) 1 h) 5

A

Dominio: ℝ Rango: ≥1


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MATEMÁTICA I


2.4. Función cúbica

Función Cúbica

La función cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene como dominio y como

recorrido el conjunto de los números reales (. Para graficar estas

funciones, hay que elaborar una tabla de valores.

Propiedades

El dominio de la función es la recta real es decir ∞,∞ El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real ∞,∞. La función es simétrica respecto del origen, ya que . La función es continua en todo su dominio. La función no tiene asíntotas.

La función tiene un punto de corte con el eje Y.

La función puede tener hasta un máximo de tres puntos de intersección

con el eje X.

Ejemplo

Graficar la función 3 3 12 3 3 1 2 0 3 4 0 3 0 0 De aquí el primer punto de corte en el eje x es (0,0)Usaremos la fórmula general, ya que este trinomio no es factorizable

± √

± ± √ ± . . .

Igualamos a cero la funciónpara factorizar si es posible


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MATEMÁTICA I


Los puntos de corteen el eje x 1.56,0 y2.56,0 Punto máximo.,. Punto mínimo:.,.

Graficar la función ³ 4² 3 ³ 4² 3

Punto máximo: (-2.25, 2.11)Punto mínimo: (-0.45, -0.63)


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MATEMÁTICA I


utoevaluación

Grafique las funciones cúbicas

a) 2 g) 2 2 12 b) h) 4 2 0 4 8 c) 3 6 i) ℎ 2 610 d) h x 1 x 2 x 3 j) 5 e) 2 2 12 k)

2.5. Función definida por partes

Función definida por partesUna función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya

definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos

como subdominios).

Una función definida a trozos (también denominada función por

partes, función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya

definición (la regla que define la dependencia), llamada regla decorrespondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.

Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida

por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la

función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto

extremo de los subdominios en ese intervalo.

La siguiente función, es una función definida a trozos continua en todos sus

subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto

de discontinuidad (un agujero) en .

A


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MATEMÁTICA I


Ejemplos

a) Graficar la función

i

i

y

2i

2i

y

X y2 21 1

x y2 1

3 1

En este tipo de funciones se construye una a una en la misma gráfica, y todas

juntas nos darán como resultado una función a trozos. Puedes construir una tabla

por cada una de las funciones que conforman la función original.

b) Graficar la función

4i

4i

i

y

2


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MATEMÁTICA I


a)

b) 1 0 1

4 1

c) 3 4 15 2

0 1

-1 0

-2 1

Hacemos tres gráficas en el mismo

plano cartesiano.

utoevaluación

Grafique las funciones

a)

, d)

0,2xsi2,

3,0- xsix,f(x)

e) { , ≤ , > f) 1,2xsi x, 2,1-xsi x,g(x) g)

, , ≥

A


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MATEMÁTICA I


b) Graficar la función

ℝ

, ∞ x y

-2 2.25

-1 1.5

O 1

1 0.66

2 0.44

Análogamente a lo estudiado anteriormente, podemos desplazar la función

exponencial hor izontalmente “” unidades poniendo “ ” en lugarde “” en su expresión analítica, es decir:

es un desplazamiento horizontal de la función de “”unidades

donde

:zquierdaaesplazae

:erechaaesplazae

Construimos unatabla de valores paradarle valores a x ynos dará comoresultado los valoresde y. Ubicaremosestos puntos y alunirlos nos darácomo resultado lafunción.


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MATEMÁTICA I


Ejemplos

También podemos desplazar la función exponencial verticalmente “

” de la

siguiente forma:

x

es un desplazamiento vertical de “” unidadesdonde

:0

:0

abajohaciadespaza seq

arribahaciadesplaza seq

y = y = 2x y = 2x

y = 2x

y = 2x - 2

y = 2x + 3


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MATEMÁTICA I


Ejemplos de aplicaciones con funciones exponenciales

a. Al nacer Juan, su padre depositó $3 000 al 12%. Si no retira el dinero ni

los intereses, ¿qué capital tendrá al año, a los dos años, etc.? ¿Quécapital tendrá cuando cumpla 18 años?

Al año tendrá:

336012.1300012.01300012.030003000100

1230003000

Para los años sucesivos formamos la siguiente tabla:

Años

transcurridos Capital formado

0 3000

1 3000(1.12)=3360

2 3360(1.12)=3000(1.12)2=3763.2

3 3763.2(1.12)=3000(1.12)3=4214.84

4 4214’84(1.12)=3000(1.12)4=4720.55

...

18 3000(1.12)18=23069.89

...

x 3000(1.12)x

Si colocamos un capital de C dólares al r %, ¿qué capital se habrá formado al

cabo de t años? Sir

i

, entonces se verifica que: Al final del primer año:

Al final del segundo año: Al final del tercer año:

...

Al final del año-enésimo:


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MATEMÁTICA I


Interés compuesto

Es una ley de capitalización tal que los intereses obtenidos al final de cada

período se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el períodosiguiente.

Un capital de C córdobas al r% al cabo de t años se convierte en La función que da el capital final es una función exponencial de base (1+i).

2.7. Función logarítmica

Función logarítmica

Logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar

la base para obtener dicho número log ⟺ La función inversa de xa y es x y

alog , por lo tanto ambas gráficas son

simétricas respecto de la bisectriz del primer – tercer cuadrantes

.

Su crecimiento es más lento que el de cualquier función raíz. Por ejemplo, para

valores muy grandes de x , x y 2log es menor que10

x y . Todas ellas son

continuas en ,0 y pasan por los puntos 0,1 y 1,a . Si 1a , son crecientes.

Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea a . Si 10 a , son

decrecientes.


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MATEMÁTICA I


En Matemática Superior la función x x ye

lnlog es muy importante. Es la

función inversa de la exponencial de base e .

utoevaluación

I. Grafique las funciones exponenciales

II. Grafique las funciones logarítmicas

III. Resuelve las siguientes situaciones con funciones exponenciales

Aa) d) 4− b) e) 2+ 3 c) − f) ℎ 3− d) 2 3 g) 3 1 a) l o g e) l o g b) l o g f) l o g c) l o g g) l o g y 3


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MATEMÁTICA I


a) En una vuelta ciclista con un recorrido de 100 Km el premio asignado al

campeón es de doce mil córdobas, pero el favorito consciente de su

categoría de líder, propone a los organizadores que como cada kilómetropedaleado va siendo cada vez más duro de superar, el premio consista

en 10 córdobas por el primer kilómetro, 100 córdobas por el segundo,

1000 córdobas por el tercero, y así sucesivamente. Los organizadores

acceden a la petición, pero al acabar la prueba y entregar el premio al

campeón se llevan la

libro matematica i

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