olimpiada matematica - libro 8

1

PROBLEMAS OM NIVEL 1

1. Ana, Ceci y Gabi son amigas.

El sbado fueron a comprar los pasajes del tren para ir de vacaciones.

Ana no llevaba dinero, entonces, entre Ceci y Gabi, pagaron los tres pasajes.

Ceci puso $34 y Gabi $38.

Cunto debe devolverle Ana a Ceci?

Cunto debe devolverle a Gabi?

SOLUCI N

3 pasajes

C + G = $34 + $38 = $72

Cada pasaje cuesta $ 72

3 = $24

Si C pag $34 A debe $34 - $24 = $10

Si G pag $38 A debe $34 - $24 = $14

A debe $10 + $14 = $24

2. ABDE es un rectngulo. BCD es un tringulo equiltero.

El permetro del polgono ABCDE es de 456 m.

Si BC=68 m.

Cul es la longitud de AB?

SOLUCIN

BCD equiltero

per (ABCDE) = 456m

BC = 68m

AB?

AB = ED

2

AE = BD = BC = CD

AB + BC + CD + DE + EA = 456m

2AB + 3 . 68m = 456m = AB = 1

2 (456m - 3 . 68m) = 126m

AB = 126m

3. Elsa gast $24 en lcteos; llevo quesos, helados y flanes.

Cada queso cuesta $4, cada helado cuesta $2 y cada flan cuesta $1.

Cuntos artculos de cada clase pudo haber comprado?

Da todas las respuestas posibles.

SOLUCIN

gast $24

1q $4

1h $2

1f $1

q h f - q h f - q h f - q h f

1 1 18 - 2 1 14 - 3 1 10 - 4 1 6

1 2 16 - 2 2 12 - 3 2 8 - 4 2 4

1 3 14 - 2 3 10 - 3 3 6 - 4 3 2

1 4 12 - 2 4 8 - 3 4 4 - 5 1 2

1 5 10 - 2 5 6 - 3 5 2 - - - -

1 6 8 - 2 6 4 - - - - - - - -

1 7 6 - 2 7 2 - - - - - - - -

1 8 4 - - - - - - - - - - - -

1 9 2 - - - - - - - - - - - -

4. Diego colecciona estampillas que pone en lbumes.

Cada lbum tiene 32 pginas.

En cada pgina pega igual nmero de estampillas.

Tiene 3 lbumes completos y otro con s lo 5 pginas llenas.

3

En el lbum incompleto tiene 60 estampillas.

Cuantas estampillas tiene en total?

SOLUCIN

1a 32 pg.

3a completos + 5 p (*)

5p 60e

1p 1

5 . 60e 1p 12e

Volviendo a (*)

3a completos + 5 p = 3 . 32p + 5p = 101p

1p 12e

101p 12 . 101e = 1212e

Total 1212e

5. El rectngulo ABCD tiene 48cm de permetro y est formado por 3 cuadrados iguales.

CE = EF = FD

EM = 2CE

Cul es el permetro de la figura rayada?

4

SOLUCIN

per (ABCD) = 48cm

BC = 3AB

AD = 3AB

AB = CD

per (ABCD) = AB + BC + CD + AD = AB + 3AB + 3AB + AB = 8AB

5

8AB = 48cm = AB = 6cm

per (QCDP) = 4 . 6cm = 24cm

CE = EF = FD = 2cm

EM = FN = 2CE = 2 . 2cm = 4cm

per (MEFN) = 4cm + 2cm + 4cm = 10cm

per (rayado) = 22cm + 10cm = 32cm

6. Con las cifras 5, 4, 3, 2 y 1, se quieren formar nmeros de cinco cifras distintas.

Si el 3 debe ocupar el lugar de las centenas o el de las decenas, cuntos nmeros distintos se pueden

armar?

SOLUCIN

cifras 5 - 4 - 3 - 2 - 1

posibilidades ab3cd

5 4 3 2 1 - 4 5 3 1 2 - 2 1 3 4 5 - 1 4 3 2 5

5 4 3 1 2 - 4 5 3 2 1 - 2 1 3 5 4 - 1 4 3 5 2

5 2 3 4 1 - 4 2 3 5 1 - 2 5 3 1 4 - 1 5 3 4 2

5 2 3 1 4 - 4 2 3 1 5 - 2 5 3 4 1 - 1 5 3 2 4

5 1 3 2 - 4 1 3 5 4 - 2 4 3 5 1 - 1 2 3 4 5

5 1 3 4 2 - 4 1 3 4 5 - 2 4 3 1 5 - 1 2 3 5 4

posibilidades abc3d

5 4 2 3 1 - 4 5 2 3 1 - 2 5 4 3 1 - 1 2 4 3 5

5 1 2 3 4 - 4 2 1 3 5 - 2 4 5 3 1 - 1 4 2 3 5

5 4 1 3 2 - 4 2 5 3 1 - 2 5 1 3 4 - 1 5 2 3 4

5 1 4 3 2 - 4 1 5 3 2 - 2 1 5 3 4 - 1 2 5 3 4

5 2 4 3 1 - 4 5 1 3 2 - 2 4 1 3 5 - 1 4 5 3 2

5 1 2 3 4 - 4 1 2 3 5 - 2 1 4 3 5 - 1 5 4 3 2

En total hay 24 posibilidades.

6

7. Cada cuadradito tiene 8 cm de permetro.

Con 6 cuadraditos iguales se forma esta figura.

Cul es el permetro de la figura?

SOLUCIN

Al cuadrado individual lo llamamos ABCD comenzando por el vrtice izquierdo superior y continuando en

sentido horario.

A la figura la llamamos MPQQRSTUVWXYZ contando desde el vrtice izquierdo inferior de cuadrado de la

izquierda y en sentido horario.

per ( ) = 8cm

per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 4AB = 8cm = AB = 2cm

PS = SV = 3AB

VW = WX = XY = YZ = ZM = MP = AB

per (figura) = 3AB + 3AB + AB + AB + AB + AB + AB +AB = 12AB

12AB = 12 . 2cm = 24cm

per (figura) = 24cm

8. Blas tena 18 figuritas el sbado pasado.

El domingo y el lunes compr 10 figuritas cada da.

El martes y el mircoles compr el doble de figuritas que el martes.

Hoy, que es jueves y no compr figuritas, tiene en total 74 figuritas.

Cuantas figuritas compr Blas el martes?

SOLUCIN

sbado tena 18 fig

7

domingo compr 10 fig

lunes compr 10 fig

jueves tiene 74 fig

Entra martes y mircoles compr 74 fig 38 fig = 36 fig

martes + mircoles = 2 . martes = martes = mircoles

martes = 36

2 fig = 18 fig.

9. Con vrtices en los puntos que se dan, cuntos cuadrilteros se pueden dibujar?

Enumrelos.

SOLUCIN

ADEF BCFG AFGD EBCF

ABEF BDFG AFGC EBCG

ACEG BFDG EBDG EBDF

Hay 12 cuadrilteros

10. El quiosquero compra 360 alfajores por semana.

El quiosquero puede hacer sus compras en el supermercado o en un mayorista.

En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3.

En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20.

Si le compra los alfajores al mayorista, cunto dinero ahorra el quiosquero por semana?

SOLUCIN

compra 360 a por semana

1b 8a $3 supermercado

1c 60a $20 mayorista

En el supermercado:

8a $3

8

360a 1

8 . 360a . $3 = $135

En el supermercado los 360 a cuestan $135

En el mayorista

6oa $20

360a 1

60 . 360a . $20 = $120

En el mayorista los 360 a cuestan $120

Diferencia = supermercado - mayorista = $135 - $120 = $15

11. Los tringulos ABC y EGF son equilteros.

El permetro del ABC es 132 cm.

AE = EC

BD = DC

EF = FC

DG = GE

Cul es el permetro de la figura rayada?

SOLUCIN

ABC y EGF son equilteros

per (ABC) = 132cm

AE = EC

BD = DC

EF = FC

9

DG = GE

AB + BC + CA = 3AB

3AB = 132cm

AB = 1

3 . 132cm = 44cm

AB = BC = CA = 44cm

BD + DC = 44cm

BD = DC

2BD = 44cm = BD = DC = 22cm

AF = AE + EF = 22cm + 11cm = 33cm

AE + EC = 44cm

AE = EC = 22cm

EC = EF + FC = 22cn

EF = FC = 11cm

per (ABDGFE) = AB + BD + DG + GF + FE + EA

per (ABDGFE) = 44cm + 22cm + 11cm + 11cm +11cm + 33cm

per (ABDGFE) = 132cm

12. Cuntos rectngulos hay en la figura?

SOLUCIN

Numerando desde el cuadrito de arriba y de izquierda a derecha, queda

1

2, 3, 4

5, 6, 7, 8, 9

10

10, 11, 12

13

Quedan las siguientes combinaciones:

(2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12), (2, 6, 10), (4, 8, 12), (1, 3, 7, 11, 13), (2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9),

(10, 11), (11,12), (2, 6), (6, 10), (1, 3), (3, 7), (7, 11), (11, 13), (4, 8), (8, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 3, 7),

(3, 7, 11), (7, 11, 13), (1, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 13), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12), (2, 3, 4, 6,7,

8), (6, 7, 8, 10, 11, 12), (2, 6, 10, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 4, 8, 12), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11),

(12), (13), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7,8), (6, 7, 10, 11), (7, 8, 11, 12)

En total hay 54 rectngulos.

13. Un artesano vende el par de aros a $2 y las pulseras a $3 cada una.

Pero tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aros y una pulsera a $4.

El sbado el artesano vendi: 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aros, algunos

en los juegos y otros sueltos.

El sbado vendi 52 juegos de oferta.

Cunto dinero se llev el artesano ese da por el total de las ventas?

SOLUCIN

par de aros $2

pulseras $3 c/u

52 juegos de oferta

J P A CANT TOTAL

52 4 $108

20 3 $60

28 2 $56

$224

Recaud $224

14. La figura A se obtiene al cortar en una de las esquinas de un cuadrado de 24cm de permetro, un

cuadradito de 8cm de permetro.

Con dos figuras iguales a A se arma la figura B.

Cul es el permetro de la figura B?

11

SOLUCIN

Llamamos ABCD al cuadrado original

E est ente C y D

G est ente B y C

F est en el interior de ABCD y FC es diagonal de CEFG

per (ABCD) = 24cm = AB = 6cm

per (CEFG) = 8cm = CG = 2cm

BG = DE = 6cm - 2cm = 4cm

per (B1) = 6cm + 4cm + 2cm + 6cm + 6cm + 4cm + 2cm + 6cm = 36cm

per (B1) = 36cm

15. Cuntos tringulos hay en la figura?

SOLUCIN

De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan numerados as:

1, 2, 3, 4

12

5, 8, 9,12

6, 7, 10,11

Las combinaciones son las siguientes:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (1, 2), (3, 4), (6, 7), (10, 11), (5, 6, 7), (1, 2, 8), (10, 11, 12),

(3, 4, 9), (9, 10, 11), (8, 7, 6), (3, 4, 12), (5, 1, 2)

Se pueden formar 24 tringulos.

16. En la librera se vende: 1 caja de marcadores por $ 2 y 2 libros de cuentos por $5.

La Sra. Luna compr 18 libros de cuentos y varias cajas de marcadores.

Pag con un billete de $ 50 y dos billetes de $ 20 y le dieron $ 11 de vuelto.

Cuntas cajas de marcadores compr?

SOLUCIN

caja marcadores $2

libros de cuentos $5

18 libros 1

2 $ 5. 18 = $45

Pag $50 + 2 . $20 - $11 = $79

Pag $79

18 libros $ 45

x marcadores = $79 - 45 = $34

x marcadores = 34

1 caja $2 x cajas $34

x = 34

2 = 17 cajas

17. La figura est formada por 9 cuadrados iguales.

El permetro de la figura es de 96 cm.

Cul es el permetro del rectngulo sombreado?

SOLUCIN

13

per (figura) = 96cm

per (sombreado)?

AB = 1

2 . 96cm = 6cm

per (sombreado) = 2 . (18cm + 12cm) = 2 . 30cm = 60cm


SOLUCIN

Denominando a los pequeos rectngulos mirados de izquierda a derecha y desde arriba hacia abajo, queda:

1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9, 10

Las combinaciones posibles son:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10)

(1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 6), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (1, 4), (4, 7), (2, 5), (5, 8), (3, 6), (6, 9)

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9), (1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9), (8, 9, 10)

(7, 8, 9, 10), (1,2, 4,5), (2, 3, 5, 6), (4, 5, 7,8), (5, 6, 8, 9)

(1, 2, 4, 5, 7, 8), (2, 3, 5, 6, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5,6), (4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)


19. Don Enrique compr 100 lapiceras.

Vende la mitad a $25 cada una y 10 lapiceras a $ 21 cada una.

A cunto debe vender cada una de las que le quedan para obtener, en total, $2380?

SOLUCIN

compr 100l

vendi 50l a $25 c/u 10l a $21 c/u

14

quiere ganar $2380

50 . $25 + 10 . $21 = $1460

restan 40 l

40 l $2380 - $1460 = $920

40 l $920

1l = $ 920

40 = $23

1l $23

20. Un tringulo equiltero ABC est partido en 16 triangulitos equilteros iguales como muestra la figura.

Para bordear la parte sombreada se necesitan 112 cm de cinta.

Cul es el permetro del tringulo ABC?

SOLUCIN

per (sombra) = 112cm

per (ABC)?

Tomo las caras de los 4 pequeos que forman el borde son 14

1

14. per (sombra) = . 112cm = 8cm = AD

Si AB = 4AD = AB = 32cm

AB = BC = CA = 32cm

per (ABC) = 3 AB = 3 . 32cm = 96cm

per (ABC) = 96cm

21. Ana tiene 3 carteras blancas, 1 roja y 1 azul y 3 pares de zapatos azules, 1 par de zapatos rojos y 1 par de

zapatos blancos.

Siempre que sale lleva zapatos y cartera, pero nunca usa cartera y zapatos del mismo color.

De cuntas maneras distintas puede combinar Ana sus carteras y sus zapatos?

SOLUCIN

15

Carteras 3b b1, b2, b3 ; 1r ; 1a

Zapatos 3a a1, a2, a3; 1r; 1b

c b b1 a a1

c b b1 a a2

c b b1 a a3

c b b1 r -

c b b2 a a1

c b b2 a a2

c b b2 a a3

c b b2 r -

c b b3 a a1

c b b3 a a2

c b b3 a a3

c b b3 r -

c a r - -

c a b - -

c r a a1 -

c r a a2 -

c r a a3 -

c r b - -

22. Dos familias: pap, mam y los chicos fueron al teatro.

Los Prez tienen 3 chicos, los Smith tienen 4 chicos.

La entrada de una persona mayor cuesta $ 25.

Los Smith pagaron $ 138 por todas sus entradas.

16

Cunto pagaron los Prez?

SOLUCIN

Prez: {mam, pap, 2 chicos} = {m, p, 2c} P

Smith : {mam, pap, 4 chicos} = {m, p, 4c} S

S $138 a $25

2a + 4c $138

2. $25 + 4c = $138 = 4c = $88 = 1c = $22

P 2a + 3c

2 . $25 + 3 . $22 = $50 + $66 = $116

Los Prez pagaron $116

23. Con tres piezas de madera: una cuadrada (A), de 48 cm de permetro y dos rectangulares (B y C), se arm

un cuadrado como muestra la figura.

El permetro del cuadrado formado con las tres piezas es de 76 cm.

Cul es el permetro del rectngulo C?

SOLUCIN

per (A1) = 48cm

per (A + B + C) = 76cm

per (A1) = 4PQ = 48cm = PQ = 12cm

per (PTUV) = PQ + QT + TU + UM + MV + VR + RP

17

per (PTUV) = 12cm + 2QT + TU + 12cm + VR + 12cm = 76cm

per (PTUV) = 36cm + 2QT + TU + VR = 76cm

4PT = per (A1+ B1+ C1) = 76cm = PT = TU = QM = 19cm

PT = QT + PQ

19cm = QT + 12cm = QT = 19cm - 12cm = QT = 7cm

PV = PR + RV

19cm = 12cm + RV = RV = 19cm - 12cm = RV= 7cm

per (C1) = QM + MU + UT + TQ = 2 (QT + MU)

per (C1) = 2. (19cm + 7cm) = 2 . 26cm = 52cm

per (C1) = 52cm

24. Mara practica tenis y natacin.

Juega al tenis todos los jueves y practica natacin un da cada 3 (un da s y los dos das siguientes no).

Hoy es jueves y Mara practic los dos deportes.

Despus de cuntos das, a partir de hoy, Mara volver a practicar los dos deportes en el mismo da?

SOLUCIN

J V S D L MA MI J V S D

T - - - - - - T - - -

N - - N - - N - - N -

- - - - - - - - - - -

L MA MI J V S D L MA MI J

- - - T - - - - - - T

- N - - N - - N - - N

Pasan 21 das para que se repitan los juegos.

25. Sergio gana $ 135 por semana.

Cada semana ahorra una suma fija de pesos.

Al cabo de algn tiempo, gan $ 2295 y de lo que ahorr gast $ 50.

Si todava le quedan $ 171 ahorrados, cunto ahorr Sergio por semana?

SOLUCIN

18

gana $135 por semana

gan $2295 y gast $50 de lo que ahorr.

$135 1 semana

$2295 x semanas

x = $2295 .15

$135 = $17

Ahorra $k . 17 sem

Gast $50 de lo ahorrado $17k - $50 = $171

$17k = $171 - $50

k = $ 221

17 k = $13

26. En la figura, ABC es un tringulo equiltero de 18 cm de permetro, CD = AC y el cuadriltero ACDE tiene

20 cm de permetro.

Cul es el permetro del ABCDE?

SOLUCIN

per (ABC) = 18cm

ABC equiltero

per (ACDE) = 20cm

per (ABCDE)?

per (ABC) = 18cm = AB = BC = AC = 6cm

AC = DC = 6cm

per (ACDE) = AC + CD + DE + DE + EA = 20cm

per (ACDE) = 6cm + 6cm + DE + EA = 20cm

19

DE + EA = 20cm - 12cm = 8cm

per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA = 24cm


SOLUCIN

(1), (2), (3), (4), (5),(6), (7), (8), (9), (2, 3), (4, 5), (6,7), (1, 4,5, 6, 7), (4, 5, 6,7), (4,5,6,7,8),(3, 8), (2, 4, 5, 6, 7),

(2, 4, 5, 6, 7, 9), (4, 5, 6, 7, 9), (5,7,8), (2,4,5), (1, 4, 5, 6, 7, 8), (1, 4, 6), (5, 7, 9)

Hay 24 rectngulos.

28. El sbado, la Sra. Jurez gast $ 360 en la compra de ropa y zapatos.

Gast una cuarta parte en zapatos.

Con el resto compr un pantaln a $ 85, una campera a $ 120 y un saco de lana.

Cunto pag por el saco?

SOLUCIN

gast $360 zapatos 1

4 . $36

queda $360 - $90 = $270 compra

1p $85

1c $120

1p + 1c = $85 + $120 = $205

1s = $270 - $205 = $65

1s $65

29. Ezequiel ten a 84 figuritas en el lbum rojo y 20 figuritas en el lbum azul.

Hoy peg la misma cantidad de figuritas en cada lbum.

Ahora tiene, en el lbum rojo, el triple de figuritas que en el azul.

20

Cuntas figuritas peg en cada lbum?

SOLUCIN

84r, 20a

peg x fig r x fig a

84 + x = (20 + x) . 3

84 + x = 60 + 3x = 84 - 60 = 3x - x

24 = 2x = x = 12 fig

Peg 12 fig.

30. La figura ACDE tiene 882 cm de permetro.

BC = BD;

AB es la mitad de BD

Cul es el permetro del tringulo BCD?

SOLUCIN

per (ACDE) = 882cm

BC = BD

CD = 282cm

AB = 1

2 BD

per (BCD)?

BC = BD = 200cm

per (BCD) = BC + CD + BD = 200cm + 282cm + 200cm = 682cm

31. Dani tiene 6 lpices de distintos colores para regalar a dos amigos: Juan y Pedro.

De cuntas maneras puede regalarlos?

Indica qu lpices regala a cada amigo.

21

SOLUCIN

J P - J P - J P - J P

L1 L2 - L2 L5 - L4 L2 - L5 L6

L1 L3 - L2 L6 - L4 L3 - L6 L1

L1 L4 - L3 L1 - L4 L5 - L6 L2

L1 L5 - L3 L2 - L4 L6 - L6 L3

L1 L6 - L3 L4 - L5 L1 - L6 L4

L2 L1 - L3 L5 - L5 L2 - L6 L5

L2 L3 - L3 L6 - L5 L3 - - -

L2 L4 - L4 L1 - L5 L4 - - -

32. En la figura de vrtices ABCDE, se marcaron M, punto medio de AB y N, punto medio de ED.

Al trazar los segmentos MN y BD, la figura queda partida en dos cuadrados y un tringulo equiltero.

El cuadrado AMNE tiene 56 cm de permetro.

Cul es el permetro de la figura ABCDE?

SOLUCIN

BCD equiltero.

Como AM = MB y EN = ND, queda:

AM = MB = EN = ND BC = CD = DB = MB

per (AMNE) = 56cm

per (AMNE) = AM + MN + NE + EA = 4AM = 56cm = AM = 14cm

per (ABCDE) = AM + MB + BC + CD + DN + NE + EA = 7 . 14cm

per (ABCDE) = 98cm

33. En un campeonato de ftbol cada equipo juega 19 partidos en total.

Cada vez que gana obtiene 3 puntos y cada vez que empata obtiene 1 punto.

22

Al final del campeonato, el equipo Olimpo obtuvo un total de 28 puntos.

Cuntos partidos gan, Cuntos partidos empat y Cuntos partidos perdi el equipo Olimpo?

Da todas las posibilidades.

G E P

5 13 1

6 10 3

7 7 5

8 4 7

9 1 9

Son los casos posibles.

34. Cada caja contiene 8 paquetes y cada paquete, 6 alfajores.

Para darle un alfajor a cada uno de los 615 chicos que participan del certamen, cuntas de estas cajas hay

que comprar?

SOLUCIN

1c 8p

1p 6a

1c 6. 8a = 48a

615 chicos

1c 48a

x 615a

x = 615

48 = 12 cajas + resto

Hay que comprar 13 cajas

615 - 12. 48a = 39a

12c, 6p, 3a 13 cajas

35. Con tres piezas cuadradas y tres rectangulares se arm esta figura.

Cada pieza cuadrada tiene 32 cm de permetro.

Cada pieza rectangular tiene 22 cm de permetro.


23

SOLUCIN

El cuadrado de la izquierda tiene vrtices ABCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido

antihorario.

El rectngulo de la izquierda tiene vrtices EFCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido

antihorario.

El rectngulo grande tiene vrtices EMND, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario.

ABCD cuadrado = per (ABCD) = 4AB = 32cm = AB = 32

4 cm = 8cm

AB = 8cm

ABEF rectngulo = per (ABEF) = 22cm

per (ABEF) = 2. (AB + AE) = 2. (8cm + AE) = 22cm

16cm + 2AE = 22cm = AE = 3cm

per (AMNE) = 2. (3AB + AB + AE) = 2. (4AB + AE)

per (AMNE) = 8AB + 2AE = 8 . 8cm + 2 . 3cm = 70cm

per (AMNE) = 70cm


Explica cmo los contaste.

SOLUCIN

Llamando a los rectngulos de la siguiente manera:

24

arriba 5

fila 1 arriba 1 - 2 - 3 4

fila 2 abajo 6 - 7 - 8 - 9

abajo 10

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (1, 2), (2, 3) , (3, 4) , (6, 7) , (7, 8), (8, 9), (2,6) , (6, 10), (3, 79, (5, 4),

(4, 8), (5, 4,8), (2, 6, 10), (1, 2, 3), (2, 3, 4), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 3, 4) , (6, 7, 8, 9), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7, 8)


37. Con una botella de gaseosa se llenan 6 vasos.

Despus de la fiesta quedaron 15 botellas vacas y 5 botellas por la mitad.

Cuntos vasos se haban llenado en la fiesta?

SOLUCIN

1b 6v quedaron 15 b vacas +1

2 . 5 b

bebieron (15 + 5

2 ) b =

35

2 b

1b 6v

35

2 b x =

1

2 . 6 . 35 v = 105 v

Se llenaron 105 vasos.

38. La figura ABCDE tiene 63 cm de permetro y los lados BC, CD, DE, y EA son iguales.

En el rectngulo ABCE, BC es el doble de AB.

Cul es el permetro del tringulo CDE?

SOLUCIN

per (ABCDE) = 63cm

BC = CD = DE = EA

25

BC = 2AB

per (ABCDE) = AB + 2AB + 2AB + 2AB + 2AB = 9AB

9AB = 63cm = AB = 63

9 cm = 7cm

BC = CD = 2AB = 2 . 7 cm = 14cm

per (ECD) = AB + CD + DE = AB + 2AB + 2AB = 5AB = 5.7cm = 35cm

per (ECD) = 35cm



SOLUCIN

Numerando desde 1 hasta 12 de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba, quedan los siguientes

tringulos:

(1), (2), (3), (4), (5), (6). (7), (8), (9), (10), (11), (12), (2,3), (7, 2), (7, 8), (9, 11), (6, 11), (3, 8), (1, 2, 7), (4, 3, 8),

(7, 8, 9), (6, 7, 8), (9, 10), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) , (9, 10, 11, 12), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) , (1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8) , (9, 10, 11), (1, 2, 3, 4, 7, 8)

En total son 32 tringulos.

40. Una araita va y viene sobre una rama de 64 cm de largo.

Primero va de una punta a la otra.

Se da vuelta y va hasta la mitad de la rama; all se da vuelta y va hasta la mitad del camino que recorri la

ltima vez.

Hace esto dos veces ms, recorriendo cada vez la mitad del camino anterior.

Cuntos cent metros recorri en total?

SOLUCIN

Recorre los siguientes tramos:

AB, BC, CD, DE, EF

26

AB = 64cm

BC = 1

2 AB = 32cm

CD= 1

2 BC = 16cm

DE = 1

2 CD = 8cm

EF = 1

2 DE = 4cm

En total:

64cm + 32cm + 16cm + 8cm + 4cm = 124cm

41. El cuadrado grande tiene 72 cm de permetro.

Los cuadrados pequeos tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande.


SOLUCIN

Indicando los vrtices de izquierda a derecha, queda:

A, B, C, D

M, L, F, E

K, J, G I, H

per (BCKG) = 72cm

2AM = KB

KB = BC = 72

4 cm = 18cm

AB = CD = DE = EF = FG = GH = HI = IJ = JK = KL = LM = MA = 1

2 KB =

18

2 cm = 9cm

per (fig) = 12AB + BC = 12 . 9cm + 18cm = 126cm


27


SOLUCIN

Llamando 1, 2, 3, 4 a los rectngulos verticales y 5, 6, 7, 8, 9 a los horizontales queda:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (5, 6, 7), (6,

7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 5, 6, 7, 8, 9), (2, 5, 6, 7, 8, 9), (5, 6, 7, 8, 9, 3), (3, 4, 5, 6, 7, 8. 9), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9),

(2, 3, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)


43. Un ascensor sale de la planta baja con 7 personas.

Para en todos los pisos.

En cada piso suben 2 personas.

En los pisos pares bajan 3 personas y en los pisos impares no baja ninguna.

Cuntas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11?

SOLUCIN

por piso suben 2p

pisos pares bajan 3p

pisos impares baja 0p

Cuntas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11?

(es lo mismo que decir cmo iba cargado en el piso 10)

28

PISO SUBEN BAJAN PISO SUBEN BAJAN

0 7 0 6 2 0

1 2 3 7 2 3

2 2 0 8 2 0

3 2 3 9 2 3

4 2 0 10 2 0

5 2 3 - - -

Antes que se abra la puerta del piso 11 hay:

7p + 2p. 7 pisos - 3p . 5 pisos = 12p

44. Con dos piezas cuadradas se arm esta figura.

El lado del cuadrado pequeo mide 5 cm.

El lado del cuadrado grande es el triple del lado del cuadrado pequeo.


SOLUCIN

ABFG cuadrado BCED cuadrado

BC = CD = DE = BE = 5cm

BF = 3BE = 3 . 5cm = 15cm

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA

per (fig) = 15cm + 5cm + 5cm + 5cm + 10cm + 15cm + 15cm = 70cm

45. Durante las vacaciones siempre uso calzas, pollera, remera y anteojos de sol.

Tengo que ponerme la remera antes que los anteojos, y las calzas antes que la pollera.

Durante Cuntos das me puedo vestir en un orden diferente?

Explica en qu orden se viste cada da.

29

SOLUCIN

c, p, r, a

r antes que a

c antes que p

c p r a - r a c p

c r a p - r c a p

c r p a - r c p a

Hay 6 maneras distintas.

46. Agustn puede comprar una bicicleta en 12 cuotas de $ 78 cada una o en un nico pago de $ 750.

Cunto ahorra si la compra en un nico pago?

SOLUCIN

12 cuotas $78 c/u

1 pago $750

Si paga en cuotas:

12 . $78 = $936

Diferencia = cuotas - contado = $936 - $750 = $186

47. El cuadriltero ABCD est partido en 2 tringulos: ABD y BCD.

ABD es equiltero y tiene 36 cm de permetro.

BCD es issceles, con BC = CD y tiene 32 cm de permetro.

Cul es el permetro del ABCD?

SOLUCIN

ABC equiltero per (ABC) = 36cm

AB = BD = AD = 1

3 . 36cm = 12cm

BCD isosceles

BC = CD

30

per (BCD) = BC + CD + BD = 32cm

per (BCD) = 2BC + 12cm = 32cm = BC = 1

2 (32cm - 12cm) = 10cm

per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 12cm + 10cm + 10cm + 12cm

per (ABCD) = 44cm

48. Una banda de rock est formada por un guitarrista, un baterista, un trompetista y un cantante.

Para el saludo se ubican en una fila.

Si el cantante nunca puede estar ni al principio ni al final de la fila,

De cuntas maneras distintas pueden ubicarse?

Da todas las posibilidades.

SOLUCIN

g, b, t, c

g b c t - t c g b - b c t g

g c b t - t c b g - b c g t

g c t b - t b c g - b t c g

g t c b - t g c b - b g c t

49. Juan arm esta figura con tres fichas cuadradas y dos fichas rectangulares iguales.

Las tres fichas cuadradas forman una rectangular

La ficha rectangular tiene 56 cm de permetro.

Cul es el permetro de la figura que arm Juan?

31

SOLUCIN

Si llamamos A al vrtice superior izquierdo y numeramos en el sentido de las agujas del reloj, queda

determinada la figura ABCDEFGHIJKL.

per (ABKL) = 56 cm

BK = BC

3 BC = AB

2 (AB + BK) = 56 cm

2 ( 3 BC +BC) = 56 cm

8 BC = 56 cm

BC = 7 cm y por lo tanto AB = 21 cm

Per (figura) = 4 AB + 8 BC = = 4. 21 cm + 8. 7 cm = 84 cm + 56 cm = 140 cm

50. Aldo, Carlos y Javier juegan con una mquina tragamonedas.

Entre los tres gastan 40 monedas.

Carlos gasta 12 ms que Javier.

Javier gasta la mitad de las que gasta Aldo.

Cuntas monedas gasta cada uno?

SOLUCIN

A + C + J = 40 (1)

C - 12 = j

j =

2 A = 2 J

Reemplazo A en (1) y queda:

2 J + C + J = 40 = 3 J + C = 40

C - 12 = J

Es decir:

3 J + C = 40

J - C = -12

Sumando:

4 J + 0 = 28 = J = 7

J - C = 12

7 - C = 12 = - C = -12 - 7 = - C = - 19 = C = 19

32

A + C + J = 40 =A + 19 + 7 = 40 = A = 40 - 7 - 19 = A = 14

(A, C, J) = (14. 19, 7)

51. Cada semana Mara tiene 2 clases de ingls, 1 de dibujo y 1 de msica.

Debe elegir sus horarios de lunes a viernes, las clases de ingls no deben ser en das seguidos y no puede

tener ms de una clase por da.

De cuntas formas distintas puede Mara armar sus horarios?

Enumralas.

SOLUCIN:

2 I, 1 D, 1 M de Lunes a Viernes

I no se permite en das consecutivos.

33

LU MA MI JU VI LU MA MI JU VI

1 I D I M - 19 D I M I -

2 I M I D - 20 M I D I -

3 I - I D M 21 - I D I M

4 I - I M D 22 - I M I D

5 I D I - M 23 D I - I M

6 I M I - D 24 M I - I D

7 I D M I - 25 D I M - I

8 I M D I - 26 M I D - I

9 I - D I M 27 - I D M I

10 I - M I D 28 - I I D I

11 I D - I M 29 D I - M I

12 I M - I D 30 M I - D I

13 I D M - I 31 D M I - I

14 I M D - I 32 M D I - I

15 I - D M I 33 - D I M I

16 I - M D I 34 - M I D I

17 I D - M I 35 D - I M I

18 I M - D I 36 M - I D I

I Lu, Mi - Mi, Vi

I Lu, Ju - Ma. Ju

I Lu, Vi - Mi - Vi

52. Alicia y Beatriz llevaban $50 cada una.

Alicia compr 3 kg de helado y un postre.

Para poder pagar tuvo que pedirle $4 prestados a Beatriz.

Beatriz compr 1 kg de helado y un postre del mismo precio que el de Alicia; despus de pagar y prestarle a

Alicia los $4, le quedaron $16.

34

Cunto costaba el postre?

SOLUCIN:

A + B = $ 50 + $ 50

A 3 kg h + 1 p pidi $ 14 a B

B 1 kg h + 1 p le sobraron $ 16

A = 3 kg h + 1 p = $ 54

B = 1 kg h + 1 p = $ 30

1 p = $ 54 - 3 kg h = $ 30 - 1 kg h

$54 - $30 = 3 kg h - 1 kg h

$ 24 = 2 kg h = 1 kg h = $ = $ 12

1 p = $30 - 1 kg h = $ 30 - $ 12 = $18

(h, p) = ($12, $18)

53. Con 6 fichas rectangulares, todas iguales, se arm esta figura.

En cada ficha rectangular la longitud del lado mayor es cuatro veces la longitud del lado menor.

El permetro de una ficha es 30cm.


SOLUCIN

Llamando A al vrtice inferior izquierdo y anotando en el sentido contrario al movimiento de las agujas del

reloj quedan determinados los vrtices A, B , C , D , E , F, G , H , I , J , L , M , N ,

AB = 4BC

35

per (ficha) = 2. (BC + 4 BC) = 2. 5 BC

per (ficha) = 30 cm

Entonces:

2.5 BC = 30 cm =10 BC = 30 cm = BC = 3 cm AB = 12 cm

AB = HI = N = 12 cm

BC = CD = DE = EF = FG = IJ = JK = KL = LM = MN = A = 3 cm

HG = HI - KJ = 12cm - 3cm = 9cm

per (figura) = 3 . AB + 11. BC + HG = 3 . 12 cm + 11. 3 cm + 9cm = 36 cm + 33 cm + 9cm = 78 cm

per (figura) = 78 cm

54. En la figura se quiere pintar cada cuadradito de rojo o de azul.

Los dos cuadraditos de la izquierda no pueden ser rojos a la vez.

Los dos cuadraditos de la derecha no pueden ser rojos a la vez.

De cuntas maneras puede hacerse?

SOLUCIN

Llamemos a los cuadraditos de arriba 1, 2, 3

Llamemos a los cuadraditos de abajo 4, 5, 6

Quedan como pares:

(1, 4), (2. 5). (3, 6)

1 y 4 no pueden ser R a la vez 3 y 6 no pueden ser R a la vez

Dividimos el tablero en tres columnas.

Cada una permite algunas combinaciones.

Con la columna (1, 4) se pueden hacer las siguientes combinaciones:

(A, A), (A, R), (R, A) (3)


(A, A), (A, R), (R, A), (R, R) (4)

36


(A, A), (A, R), (R, A) (3)

Si combinamos estos tres grupos entre s obtenemos:

3. 4. 3 = 36 combinaciones.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1 A A A A A A 19 A R A R A R

2 A A A A R A 20 A R A R R R

3 A R A A A A 21 A A R R A A

4 A R A A R A 22 A A R R R A

5 A A A A A R 23 A R R R A A

6 A A A A R R 24 A R R R R A

7 A R A A A R 25 R A A A A A

8 A R A A R R 26 R A A A R A

9 A A R A A A 27 R R A A A A

10 A A R A R A 28 R R A A R A

11 A R R A A A 29 R A A A A R

12 A R R A R A 30 R A A A R R

13 A A A R A A 31 R R A A A R

14 A A A R R A 32 R R A A R R

15 A R A R A A 33 R A R A A A

16 A R A R R A 34 R A R A R A

17 A A A R A R 35 R R R A A A

18 A A A R R R 36 R R R A R A

55. Bruno, Diego y Fede fueron al supermercado.

Bruno pag con $50 y recibi $12 de vuelto.

Diego y Fede pagaron, cada uno, con un billete de $100.

Bruno y Fede gastaron entre los dos, $80.

37

El vuelto de Diego fue la mitad del vuelto de Fede.

Cunto gast Diego?

SOLUCIN

B pag con $ 50 y recibi $ 12

Diego = Fede = $ 100

D?

B + F = $ 80

$ 38 + F = $ 80 = F = $ 80 - $ 38 = $ 42 (gast)

Si F tena $ 100 y gast $ 42, le queda de vuelto $ 58

2vD = vF = vD =

2 = $58

2 = $29

Diego gast $ 100 - $ 29 = $ 71

56. Andrs compr 240 fichas, algunas rojas, algunas azules y otras verdes.

Las rojas cuestan $ 4 cada una, las azules, $ 2 cada una y las verdes, $ 1 cada una.

Gast $ 640 en fichas.

Si las azules costaran como las rojas y las rojas costaran como las azules, Andrs gast $ 560.

Cuntas fichas de cada clase compr Andrs?

SOLUCION

{ + + = 2404 + 2+ = 6402 + 4 = 560

Planteando determinantes:

= (1 1 14 2 12 4 0

) = 10

= (240 1 1640 2 1560 4 0

) = 1040

= (1 240 14 640 12 560 0

) = 880

= (1 1 2404 2 6402 4 560

) = 480

R =

=

1040

10 = 104

38

A =

=

880

10 = 88

V =

=

480

10 = 48

(R, A, V) = (104, 88, 48)

57. En la figura: ABC es un tringulo equiltero; ABD, ABE y ABF son tringulos issceles.

AD = DB = 3

2 AB;

AE = EB = 3

2 AD;

AF = FB = 3

2 AE;

Permetro de ABF = 124 cm.

Cules son los permetros de ABC; ABD y ABE?

SOLUCION

ABC equiltero

ABD, ABE, ABF issceles

AD = DB = 3

2 AD

AE = EB = 3

2 AD

AF = FB = 3

2 AD

per (ABF) = 124cm

AD = 3

2 AB

AE = 3

2 ( 3

2 AB) =

9

4 AB

AF = 3

2 . 9

4 AB =

27

8 AB

39

AB + 2AF = 124cm

AB + 27

4 AB = 124cm = AB =

4

31. 124cm = 16cm

AD = 3

2 AB =

3

2 . 16cm = 24cm

AE = 9

4 AB =

9

4. 16cm = 36cm

AF = 27

8 AB =

27

8 . 16cm = 54cm

per (ABC) = 3AB = 3 . 16cm = 48cm

per (ABD) = AB + 2AD = 16cm + 2 . 24cm = 64cm

per (ABE) = AB + 2AE = 16cm + 2 . 36cm = 88cm

58. Con tres tringulos equilteros se arm esta figura.

El tringulo grande tiene 48 cm de permetro.

El lado del tringulo mediano es la mitad del lado del tringulo grande.

El lado del tringulo pequeo es la mitad del lado del tringulo mediano.


SOLUCIN

Comenzando por el vrtice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj

enumeramos los vrtices como A, B, G, F, D, E, C

per (ABC) = 48 cm

AB = BC = AC = 16 cm

2 BE = BC =BE = 16

2 cm = 8 cm

BG = 1

2 BE =

8

2 cm = 4 cm

BG = GF = FD = GD = 4 cm

per (figura) = AB + BG + GF + FD + DE + EC +CA = 16 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm + 8 cm + 8 cm + 16 cm = 60 cm

40

59. El abuelo retir $145 del banco. S lo le dieron billetes de $2 y de $5.

No le dieron ninguna moneda.

Cuntos billetes de cada clase puede haber retirado?

Enumera todas las posibilidades.

SOLUCIN

Retir $ 145 en billetes de $ 2 y de $ 5

B(2) B(5) B(2) B(5) B(2) B(5)

0 29 25 19 50 9

5 27 30 17 55 7

10 25 35 15 60 5

15 23 40 13 65 3

20 21 45 11 70 1

60. Los 96 alumnos de quinto grado saldrn de excursin.

El precio total de la excursin es de $544.

La tercera parte de los chicos, como pag por adelantado, pag s lo $5.

Cunto pag cada uno de los otros chicos?

SOLUCIN

precio por 96 alumnos = $ 544

por 1

3 .96 alumnos pag $ 5 c/u

.96 alumnos = 32 alumnos . $

5 = $ 160

Total adelantado = $ 544 - $ 160 = 384

64 alumnos $ 384 = 1 alumno = $ 384

64 = $6

61. Pedro tiene un juego con muchas piezas cuadradas todas iguales entre s y muchas piezas rectangulares

todas iguales entre s.

41

Con 2 piezas cuadradas se arma 1 pieza rectangular.

Con las piezas del juego arma esta figura formada por 4 piezas rectangulares y 2 piezas cuadradas.

Una pieza rectangular tiene 24cm de permetro.


SOLUCIN

Comenzando por el vrtice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj

enumeramos los vrtices como A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R

2 c = 1 r

4 r + 2 c

per (r) = 24 cm = 2. (c + c + c) = 6 . c (el lado)

24 cm = 6 c =c = 4 cm

Los lados de la ficha miden (c, r) = (4cm, 8 cm)

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LM + MN + NO + OP + PQ + QR + RA =

= 4 . 8 cm + 14 . 4 cm = 32 cm + 56 cm = 88 cm

62. En una clase de educacin fsica el profesor divide a los chicos en equipos de distinto nmero segn la

actividad.

Si forma grupos de 7 no sobra ningn chico.

Cuando forma equipos de 3, de 4 o de 6 siempre sobra 1 chico.

Cul es el menor nmero posible de chicos de esa clase?

SOLUCIN

Nmero mltiplo de 7

Si es mltiplo de 3 sobra 1



42

Queda formado el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 1 = nro

4y + 1 = nro

6z + 1 = nro

7t = nro

Los mltiplos de 7 son: 7 - 14 - 21 - 28 - 35 - 42 - 49 - 56 - 63

Si tiene 49 chicos:

49

7 = 7

49

3 = 16 (sobra 1);

49

4 = 12 (sobra 1);

49

6 = 8 (sobra 1)

63. Laura tiene dos kioscos cerca de su casa.

En el kiosco A, por cada $ 10 que gasta le hacen un descuento de $ 1.

En el kiosco B, por cada $ 19 que gasta le hacen un descuento de $2.

Laura hace un gasto en el kiosco A y paga, con el descuento, $ 87.

Si Laura hiciera ese mismo gasto en el kiosco B, cunto deber a pagar, teniendo en cuento el descuento que

hace el kiosco B?

SOLUCIN

Si A gasta $10 descuento $1

Si B gasta $19 descuento $2

A gast $x, le hicieron descuento y pag $87

gasta $10 paga $9

gasta $x paga $87

x = 87.$

9 = $ 96,66

gasta $19 paga $17

gasta $96,66 paga $y

y = $96,66.1719

. = $ 86,48

Debera pagar $86,48

43

64. Los rectngulos ABGI y BDEF son iguales.

BD = 2 AB

El permetro del rectngulo BDEF es de 54 cm.

Los tringulos BCD y GHI son equilteros.

Cul es el permetro de la figura de vrtices ABCDEFGHI?

SOLUCIN

BD = FG = BG = AI = 2.AB

AB = IG = BF = DE BC = CD = BD

per (ABCDEFGHI) =?

BD +DE + EF + FB = 54CM

BD + DE + BD + DE = 2BD + 2 DE = 2 . 2AB + 2AB = 6AB

6AB = 54cm = AB = 9cm

BD = 2AB = 2 . 9cm = 18cm

per (ABCDEFGHI) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =

= 5AB + 4BD = 5AB + 4 . 2AB = 13AB = 13 . 9cm = 117 cm

44

65. Cuntos nmeros impares divisibles por 5, hay entre 504 y 2001?

Explica por qu.

SOLUCIN

En [504, 2001]

x impares divisibles por 5?

Entre 0 y 100: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95

Entre 0 y 100 hay 10 nmeros impares divisibles por 5.

Entre:

INICIO FINAL CANTIDAD

500 600 10 nros.

600 700 10 nros.

700 800 10 nros.

800 900 10 nros.

900 1000 10 nros.

1000 1100 10 nros.

1100 1200 10 nros.

1200 1300 10 nros.

1300 1400 10 nros.

1400 1500 10 nros.

1500 1600 10 nros.

1600 1700 10 nros.

1700 1800 10 nros.

1800 1900 10 nros.

1900 2000 10 nros.

En total hay 150 nros. impares mltiplos de 5 entre 500 y 2001

66. En la feria venden remeras y pantalones.

5 remeras cuestan $ 30.

45

Pedro compr 2 remeras y 3 pantalones.

Juan compr 3 remeras y 2 pantalones.

Pedro pag $2 ms que Juan.

Cuntos $ pag Pedro?

SOLUCIN

r y p

5 r cuestan $ 30

Pedro 2 r + 3 p

Juan 3 r + 2 p

Pedro = Juan + $2

5 r $ 30

r $ 6

r $ 12

r $ 18

Pedro $ 12 + 3p = ($18 + 2p) + $2 (i)

Juan $ 18 + 2p (i)

$12 + 3p = $18 + 2p + $2

1p = 3p - 2p = $18 + $2 - $12 = $8

Pedro 2 r + 3 p = $12 + 3 . $8 = $12 + $24 = $36

67. El cuadrado ABCD se parti en tres rectngulos como muestra la figura.

El rectngulo AEGD tiene 60 cm de permetro.

AD = AB

AB = 4 AE

BC = 3 CF

46

Cul es el permetro del rectngulo FCGH?

SOLUCIN

per (AEGD) = AE + EG + GD + DA

AD = AE + EB

AD = 4AE = AE =

4

AE = DG

AD = EG = EH + HG

AD = AB = 4AE

2. (AE + 4AE) = per (AEGD) = 60cm

10 AE = 60cm = AE = 6cm

AB = BC = AD = DC = 4AE = 4 . 6cm = 24cm

AB = 24cm

AB = AE + EB = 24cm = 6cm + EB = EB = HF = GC = 18cm

AB = BC = 3CF = 24cm = 3CF = CF = HG = 8cm

per (FGCH) = FC + GC + GH + HF = 8cm + 18cm + 8cm + 18cm = 52cm

per (FGCH) = 52cm


SOLUCIN

Numerando los polgonos pequeos contando desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, obtenemos

las siguientes combinaciones:

(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (13), (14), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 11), (1, 3, 5, 6, 9, 10, 11), (1,

3, 5, 6), (2, 4, 7, 8, 12,13, 14), (2, 4, 7, 8), (7, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (5, 6, 7, 9, 10, 11, 12), (6, 7, 11, 12),

47

(6, 7, 8, 11, 12, 13, 14), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

En total hay 26 casos posibles.

69. Agustina, Betina y Camila fueron juntas a comprar un regalo de cumpleaos.

Agustina llevaba $ 100 y pag el regalo.

El regalo cost $ 84.

Repartieron el gasto en partes iguales.

Betina le dio su parte.

Camila slo le dio la mitad de su parte.

Cunto dinero le qued a Agustina?

SOLUCIN

A + B + C = $8a

pag con $100 = vuelto = $100 - $84 = $16

pag su parte $ 84

3 = $28

pag la mitad $ 28

2 = $14

Lo que le qued a A es: $16 + $28 + $14 = $58

70. En la figura:

ABCJ y EFGH son cuadrados iguales.

DJ = DF y DE = 2 EF

La figura tiene 154 cm de permetro.

Cunto miden los lados del rectngulo DEIJ?

SOLUCIN

48

2EF = 2AB = ED = IJ

AB = BC = EF = FG = GH = JA

JD = JC + CD = AB +CD

per (fig) = 154cm

per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA

per (fig) = 6AB + CD + DE + HI + IJ = 154cm

per (fig) = 6AB + 4CD = 154cm

per (fig) = 6AB + 4 . 2AB = 154cm

per (fig) = 14AB = 154cm = AB = 154

14 cm = 11cm

CD = 2AB = 2 . 11cm = 22cm

Los lados del rectngulo mayor son: (AB, AB + CD) = (11cm, 33cm)

71. Ana se olvid el nmero de su credencial pero recuerda que: tiene seis cifras todas distintas, entre las

cifras no hay ni 0 ni 1, las seis cifras van de menor a mayor. Cul puede ser el nmero de la credencial de

Ana? Da todas las posibilidades.

SOLUCIN

234567 234678 235689 245689 345679

234568 234679 235789 245789 345789

234569 234789 236789 246789 346789

234578 235678 345678 256789 356789

234579 235679 245679 345678 456789

En total, hay 25 casos posibles.

72. El Lunes Ana abr una caja de caramelos.

Todos los mediodas saca algunos caramelos de la caja.

El mircoles a la tarde, quedaban los dos tercios del total de caramelos.

El jueves a la tarde, quedaban 24 caramelos que eran la cuarta parte del total.

Cuntos caramelos sac Ana de la caja el jueves al medioda?

SOLUCIN

49

Mircoles 2

3 T

Jueves 1

4 T = 24

Haba 24c. 4 = 96c

El mircoles qued 2

3 . 96c = 64c

2

3 -

2

3 =

83

12 =

5

12

El jueves al medioda Ana sac 5

12 . 96c = 40c.

73. En la figura, BC = 2CD.

El permetro del rectngulo ABEF es 48 cm.

El permetro del rectngulo BCDE es el doble del permetro del ABEF.

Cul es el permetro del rectngulo ACDF?

SOLUCIN

BC = 2CD

per (ABEF) = 48cm

per (BCDE) = 2 per (ABEF)

per (ACDF)?

AB = FE

AF = BE

2(AB + AF) = 48cm

AB + AF = 24cm

BC + CD = 48cm

De aqu:

CD + 2CD = 3CD = 48cm = CD = 16cm

50

BC + CD = 48cm = BC = 48cm - CD = 48cm - 16cm = 32cm

BC + CD = 48cm = CD = AF = 16cm AB =

2 = 8cm

per (ACDF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2(AB + BC + CD) = 2 (8cm + 32cm + 16cm) = 112cm

74. Escribo todos los nmeros impares desde 1000 hasta 2004.

Cuntas veces escribo el dgito cero?

SOLUCIN

COMO DECENA COMO UNIDAD COMO CENTENA

100 100

110 101

120 1 102

130 3 103

140 5 104

150 7 105

160 9 106

170 107

180 108

190 109

De todas las decenas y centenas surgen flechas que se dirigen a cada unidad, es decir todas las flechas

confluyen en las unidades y quedan formados:

Como decena: 10 veces x 5 impares = 50 veces

Como centena: 10 veces x 5 impares = 50 veces

2 veces en 2001 1 nro 2 veces

2 veces en 2003 1 nro 2 veces

Sumando las cantidades: 50 veces + 50 veces + 2 veces + 2 veces = 104 veces

75. En un campeonato, cada equipo jug 24 partidos.

Al final del campeonato:

El equipo A no empat ningn partido y gan 10 ms de los que perdi.

El equipo B no perdi ningn partido y empat 6 ms de los que gan.

51

Cuntos partidos gan cada uno de los dos equipos en ese campeonato?

SOLUCION

G + P = 24 G = P + 10

G + E = 24 E = G + 6

Reemplazando, queda:

G + P = 24 = P + 10 + P = 24 = 2P = 14 = G = 17 P = 7

G + E = 24 = G + G + 6 = 24 = 2G = 18 = G = 9 E = 15

76. Los tringulos ABJ, CDE, EFG y HIJ son iguales.

La figura BCEGHJ tiene los 6 lados iguales y 90 cm de permetro.

DF = 18 cm y DE = EF.

El tringulo CDE tiene 36 cm de permetro.

Cul es el permetro del rectngulo ADFI?

SOLUCIN

ABJ = CDE = EFJ = HIJ

per (BCEGHJ) = BC + CE + EG + GH + HJ + JB = 90cm

BC = CE = EG = HJ = JB

per (BCEGHJ) = 90cm = 6EC = EC = 15cm

DE = EF;

DF = 18cm

DE = EF = 9cm =DF = 2DE

CD + 9cm + 15cm = 36cm = CD = 12cm

BC = CE = EG = GH = HJ = JB

BC = CE = 15cm

CD = 12cm

AB = CD = 12cm

AD = AB + BC + CD = 39cm

52

per (ADFI) = 2 (AD + DF) = 2 (39cm + 18cm) = 2 . 57cm = 114cm

77. El viernes, antes del recital, se haban vendido 900 entradas.

El sbado, se decidi vender las 300 entradas restantes a la mitad de su valor.

Por la venta de todas las entradas se recaudaron $ 50.400.

Cunto pagaron por su entrada los que compraron antes del sbado?

SOLUCIN

V 900ev

S 300ev. 1

2

T $50400 = 900ev + 300ev. 1

2 = 900ev + 150ev = 1050ev

1050ev $ 50400

1ev $ 50400

1050 = $48

78. Mirta, Alicia e Ins leyeron un mismo libro de menos de 300 pginas.

Mirta ley 7 pginas el primer da y el resto a 10 pginas por da.

Alicia ley 2 pginas el primer da y el resto a 11 pginas por da.

Ins ley 5 pginas el primer da y el resto a 9 pginas por da.

Cuntas pginas tiene el libro?

SOLUCIN

M, A, I < 300p

M ley menos de 300p - 7 en distintos das (< 293)

A ley menos de 300p - 2 en distintos das (< 298)

I ley menos de 300p - 5 en distintos das (< 295)

M 7 + 10.x

A 2 + 11.y

I 5 + 9.z

167 = 7 + 10 . 16

167 = 2 + 11 . 15

167 = 5 + 9 . 18

53

A M A I

1 7 2 5

2 17 13 14

3 27 24 23

4 37 35 32

5 47 46 41

6 57 57 50

7 67 68 59

8 77 79 68

9 87 90 77

10 97 101 86

11 107 112 95

12 117 123 104

13 127 134 113

14 137 145 122

15 147 156 131

16 157 167 140

17 167 149

18 158

19 167

79. El rectngulo ABCD tiene 88 cm de permetro.

Al trazar una paralela al lado AB, el ABCD queda partido en un cuadrado y un rectngulo ms pequeo.

54

El permetro del rectngulo ms pequeo es 14 cm menos que el permetro del cuadrado.

Cunto miden los lados del rectngulo ABCD?

SOLUCIN

Sean

NM = AB = DC;

N AD,

M BC

per (ABCD) = 88cm

per (ABCD) - per (MNCD) = 14cm

per (ABCD) = 4AB + 2NC

AB + BM + MN + NA - NM - MC - CD - DN = 14cm

AB - MC = 7cm

AB = 7cm + MC

2AB + 2 (7cm + MC) = 88cm

2AB + 14cm + 2MC = 88cm

AB + MC = 37cm = AB = 37cm - MC

7cm + MC = 37cm - MC

MC + MC = 37cm - 7cm

2MC = 30cm = MC = 30

2 cm = 15cm

AB = 7cm + MC = 7cm + 15cm = 22cm

per (ABCD) = 2 (22cm + 37cm) = 118cm

(AB, CD) = (22cm, 37cm)


55


SOLUCIN

De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan las siguientes columnas con tringulos numerados:

13, 14

7, 8, 11, 12, 9, 10

1, 2, 3, 4, 5, 6

Se forman las siguientes combinaciones:

(1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) , (7) , (8) , (9) , (10) , (11) , (12) , (13) , (14) , (13 , 14) , (11 , 12) , (9 , 10) , (7 , 8) , (5 ,

6) , (3 , 4) , (1 , 2) , (1 , 7) , (2 , 8) , (6 , 10) , (11 , 13) , (12 , 14) , (5 , 9) , (5, 9, 11, 12), (2 , 8 , 11, 12),

( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14) , (3 , 4 , 5, 9) , (2 , 3 , 4 , 8) , (7 , 8, 11 , 13) , (9 , 10 , 12 , 14)

En total hay 34 formas de contar.

81. Ana compr: un libro de cuentos, una novela y un diccionario por $ 113.

Si compraba slo el libro de cuentos y el diccionario pagaba $ 81.

Si compraba s lo la novela y el diccionario pagaba $ 87.

Cunto pag por cada uno?

SOLUCIN

c + n + d = $113 = d = $113 - c - n

c + d = $81 = d = $81 - c

n + d = $87 = d = $87 - n

$81 - c = $87 - n = c = n - $6

n - c = $87 - $81 = $6

n - $6 + n + $87 - n = $113

n = $113 - $87 + $6 = $32

56

c = n - $6 = $32 - $6 = $26

d = $113 - c - n = $113 - $26 - $32 = $55

(n, c, d) = ($32, $26, $55)

82. En la figura, ACFG y BCDI son cuadrados.

AB = BC; EC = 3 FE;

DEHI es un rectngulo de 144 cm de permetro.

Cul es el permetro del ACFG?

SOLUCIN

ACFG, BCDI cuadrados

AB = BC = CD = DI = BI

EC = 3FE EC = CD + DE CD = DI

per (DEHI) = 2 (DE + DI) = 2. 72cm = 144cm

3FE - CD = DE

De plantear:

2CD - ED = CD + ED 2CD - CD = ED + ED

Queda:

CD = 2DE per (DEHI) = 2 (ED + CD) = 2 (ED + 2ED) = 6ED = 144cm = ED = 24cm

2 (CD + ED) = 144cm

CD + 24cm = 72cm = CD = 48cm

CF = 2CD = 96cm

per (ACFG) = 4CF = 4 . 96cm = 384cm

83. Con las cifras 1 - 2 - 4 - 6 - 8, sin repetir, se arman todos los nmeros pares de cuatro cifras, mayores que

4500.

Cuntos y cules son?

SOLUCIN

57

4612 6124 6412 8124 8412

4618 6128 6418 8126 8416

4628 6142 6428 8142 8426

4682 6182 6482 8162 8462

4812 6214 6812 8214 8612

4816 6218 6814 8216 8614

1826 6248 6824 8246 8624

4862 6284 6842 8264 8642

Hay 40 casos posibles.

84. La figura ADEF est formada por dos tringulos iguales y un rectngulo.

El permetro de BDEF es 70 cm.

El permetro del tringulo CDE es 60 cm.

CE = 4BC y AB = 3BC.

Cul es el permetro de ADEF?

SOLUCIN

BC + CD + DE + EF + FB = 70cm

2BC + AB + EC + DE = 70cm (*)

CD + DE + EC = 60cm

AB + DE + EC = 60cm (**)

De (*) y (**) = 2BC = 70cm - 60cm = 10cm

Si 2BC = 10cm = BC = 5cm

AB = 3BC = AB = 15cm CE = 4BC = 20cm

per (ABC) = CD + DE + EC = 60cm

58

per (ABC) = AB + DE + CE = 60cm

DE = 60cm -AB - CE = 60cm -15cm - 20cm

DE = 25CM

per (ADEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2AB + 2BC + 2DE = 2 . 15cm + 2 . 5cm + 2 . 25cm + 2 . 25cm =

= 30cm + 10cm + 50cm = 90cm

per (ADEF) = 90cm

85. El jardinero tiene que plantar 372 plantitas durante esta semana.

Trabaja de lunes a viernes.

El lunes pone cierta cantidad, el martes pone el doble de las que puso el lunes, el mircoles, el doble de las

que puso el martes y as sigue hasta el viernes, poniendo, cada da, el doble de las que puso el da anterior.

Cuntas plantitas puso el lunes?

SOLUCIN

Lu x

Ma 2x

Mi 2.2x

Ju 2.2.2x

Vi 2.2.2.2x

Formemos la ecuacin:

16x + 8x + 4x + 2x + x = 372p

31x = 372p

x = 372

31 p x = 12 p

86. En un diagrama, en cada fila horizontal hay una casilla ms que en la anterior.

59

En las casillas se escriben los nmeros desde el 1, consecutivamente, como se ve.

Si se contina este procedimiento, en qu fila se escribe el nmero 256?

SOLUCIN

Siguiendo el procedimiento de la tabla podemos armar una tabla de valores:

NRO. FILA PUNTO EXTREMO NRO. FILA PUNTO EXTREMO

1 1 13 91

2 3 14 105

3 6 15 120

4 10 16 136

5 15 17 153

6 21 18 171

7 28 19 190

8 36 20 210

9 45 21 231

10 55 22 253

11 66 23 276

12 78 24 300

Veremos que el nmero 256 estar en la fila 23 en el tercer lugar.

87. La escuela organiza un sorteo.

Hay 1000 rifas numeradas de 1 a 1000, repartidas en talonarios de 10 rifas cada uno.

Antes del sorteo, se venden todas las rifas.

Terminado el sorteo result que todos los que tenan una rifa terminada en 5, ganaron un libro de $ 8.

Todos los que tenan una rifa terminada en 43, ganaron un disco de $ 12.

El poseedor de la rifa nmero 167 gan una radio de $ 340.

Los dems nmeros no ganaron nada.

Cunto se gast en premios?

Despus de comprar los premios qued una ganancia de $740.

60

A Cunto se vendi cada talonario?

SOLUCIN

1000 rifas 100 talonarios de 10 rifas

terminacin en 5 libro de $8

terminacin en 43 disco de $12

nmero 167 radio de $340

ganancia $740

A cunto se vendi cada talonario?

L) terminacin en 5 1000 nros. 100 ganadores

D) terminacin en 43 1000 nros. 10 ganadores

R) nmero 167 1 ganador

gast = 100 g . $8 + 10g . $12 + 1g . $340 = $800 + $120 + $340 = $1260

ganancia = $740

recaudacin = gasto + ganancia = $1260 + $740 = $2000

100t = $2000 = 1t = $ 2000

100 = $ 20

88. La figura, de 96 cm de permetro, est formada por un rectngulo donde AB = 4 BC y un tringulo

issceles con CD = DE.

El rectngulo ABCE y el tringulo CDE tienen igual permetro.

Cul es el permetro del tringulo CDE?

SOLUCIN

per (ABCD) = 96cm AB = EC = 4BC

per (ABCE) = per (CDE)

AB + 2BC + 2CD = 96cm

4BC + 2BC + 2CD = 96cm

61

3BC + CD = 48cm

3 . 8cm + CD = 48cm = CD = 48cm - 24cm = 24cm

2CD + EC = 2CB + 2EC

96cm - 6BC + EC = 2BC + 2EC

96cm - 6BC + EC - 2BC - 2EC = 0

96cm - 8BC - EC = 0

EC + 8BC = 96cm

4BC + 8BC = 96cm = 12BC = 96cm = BC = 8cm

AB = 4BC = 4 . 8cm = 32cm = AB = 32cm

per (ABCE) = 2. (32cm + 8cm) = 80cm

per (ECD) = EC + CD + DE = 32cm + 2 . 24cm = 80cm

89. Juan tiene 2700 bolitas y Matas tiene 150.

Juan le entrega a Matas 75 bolitas por da.

Dentro de cuntos das, Matas y Juan tendrn la misma cantidad de bolitas?

SOLUCIN

J 2700 bolitas 75

. x das

M 150 bolitas 75

. x das

Para que tengan igual cantidad de bolitas:

2700 bolitas - 75

. x das = 150 bolitas - 75

. x das

2700 bolitas - 150 bolitas = 150

. x das

2550

150 das = x das = x = 17 das

En 17 das tendrn la misma cantidad de bolitas.

90. Se dispone de pintura de 3 colores distintos: verde, rojo y azul.

Usando todos o algunos de los colores se quiere pintar cada casilla de un color de modo que las casillas que

tienen un lado comn sean de distinto color.

De cuntas maneras se puede hacer?

Explica cmo.

62

SOLUCIN

Realizamos un diagrama de rbol tomando como primera bolita la verde y combinndola con la roja y la

azul.

De cada una de las segundas bolitas se trazan fichas que llevan a bolitas del tercer color y as sucesivamente

con las primera bolitas rojas y azules.

V R A R V R A R A R A R A R A

V R A R R R A R A V A R A R V

V R A V R R A R V A A R A V A

V R A V A R A R V R A R A V R

V R V A R R A V A R A R V A R

V R V A V R A V A V A R V A V

V R V R V R A V R A A R V R A

V R V R A R A V R V A R V R V

V A R A R R V A R A A V A R A

V A R A V R V A R V A V A R V

V A R V A R V A V A A V A V A

V A R V R R V A V R A V A V R

V A V A R R V R A R A V R A R

V A V A V R V R A V A V R A V

V A V R A R V R V A A V R V A

V A V R V R V R V R A V R V R

En total se pueden realizar 48 combinaciones.

91. Sofi escribe todos los nmeros pares, menores que 2011 y que tienen la suma de las cifras igual a 18.

Qu nmeros escribe Sofi?

Cuntos son?

SOLUCIN

63

198 684 882 1296 1656 1836

288 648 828 1368 1674 1818

378 666 954 1386 1638 1872

396 756 936 1494 1692 1890

468 774 918 1476 1764 1980

486 738 972 1458 1746 1962

594 792 1098 1584 1782 1944

576 864 1188 1548 1728 1926

558 846 1278 1566 1854 1908

En total hay 54 casos posibles.

92. Un cuadrado se corta en cuatro tiras rectangulares iguales.

Se colocan las tiras en la formando un rectngulo como el de la figura, que tiene 170 cm de permetro.

Cul es el permetro del cuadrado que se recort?

SOLUCIN

per (fig) = 170cm 8l + 2a = 170cm

a = 1

4

8l +

2 = 170cm 16l + l = 340cm l = 20cm

per (cuad) = 4 . 20cm = 80cm

93. Daniel y Fabin juntan dinero para gastar en las vacaciones.

Daniel tiene la mitad de lo que tiene Fabin.

Si cada uno tuviera $ 13 ms, entre los dos tendran $ 218.

Cunto dinero tiene Fabin?

SOLUCIN

64

D =

2

D + $13 + F + $13 = $218

2 + F = $218 - $13 - $13

3

2 = $ 192 3F = 2 . $192 F = $

192.2

3

F = $128

D = $64

94. En un campo rectangular de 130 m de permetro se separa un corral en forma de tringulo equiltero

como muestra la figura.

Para cercar el corral con 2 vueltas, se usan 102 m de alambre.

Cunto mide cada uno de los lados del campo rectangular?

SOLUCIN

Tomando desde el vrtice inferior izquierdo y contando en el sentido opuesto al de las agujas del reloj,

lamamos a cada punto: A, B, C, D, E

per (ACDE) = 130m

per (ABE) = 51m

CD = AB

AB = BE = AE = AB = 17m

2 (AB + BC + CD) = 130

Como AE = CD = 17m, queda:

2 (17m + BC + 17m) = 130m

2BC = 130m - 68m = BC = 31m

AC = AB + BC = 17m + 31m = 48m

95. Lucas tiene veinte billetes de $2, veinticinco billetes de $5 y ocho billetes de$10.

Para comprar un libro que cuesta $102, de cuntas maneras puede reunir el dinero de modo que no le

tengan que dar vuelto?

Da todas las respuestas posibles.

SOLUCIN

El libro cuesta $102 y quiere pagarlo con la siguiente cantidad de billetes que posee.

20b $2

25b $5

65

8b $10

Estas son todas las maneras distintas de hacerlo:

2 5 10 - 2 5 10 - 2 5 10

1 1 20 0 - 13 6 12 3 - 25 11 4 6

2 1 18 1 - 14 6 10 4 - 26 11 2 7

3 1 16 2 - 15 6 8 5 - 27 11 0 8

4 1 14 3 - 16 6 6 6 - 28 16 14 0

5 1 12 4 - 17 6 4 7 - 29 16 12 1

6 1 10 5 - 18 6 2 8 - 30 16 10 2

7 1 8 6 - 19 11 16 0 - 31 16 8 3

8 1 6 7 - 20 11 14 1 - 32 16 6 4

9 1 4 8 - 21 11 12 2 - 33 16 4 5

10 6 18 0 - 22 11 10 3 - 34 16 2 6

11 6 16 1 - 23 11 8 4 - 35 16 0 7

12 6 14 2 - 24 11 6 5 - - - - -

96. Laura escribi un libro de 1276 pginas sobre el and.

Ella misma numer todas las pginas a mano.

Cuntas veces escribi el nmero 6?

SOLUCIN

Como unidad

1 al 100 10 veces

1 al 1200 10 . 12 = 120 veces

1201 al 1276 8 veces

Total como unidad 120veces + 8 veces = 128 veces

66

Como decena

1 al 100 10 veces

1 al 1200 10 . 12 = 120 veces

1201 al 1276 10 veces

Total como decena120veces + 10 veces = 130 veces

Como centena

1 al 1276 100 veces

Total general 128 veces + 120 veces + 100 veces = 358 veces

97. Juan tena $240 para gastar durante el mes de agosto.

Pudo ahorrar los tres octavos.

En tiles gast el doble de lo que gast en diversin.

En ropa gast tanto corno gast en tiles y en diversin.

Cunto dinero gast en tiles?

SOLUCIN

J $240

ahorr 3

8

3

8 . $240

R + U + D = 5

8 . $240

R = U + D

U = 2D

2D + D + 2D + D = $150

6D = $150

D = $ = $25

U = 2D = 2 . $25 = $50

R = U + D = $50 + $25 = $75

98. En la figura hay varios tringulos: CDE es equiltero; ABF es issceles con

AF = BF;

ABF, BCF y AFE son iguales;

ABF y CDE tienen igual permetro.

Si el pentgono ABCDE tiene 75 cm de permetro, cul es la longitud de AB?

67

SOLUCIN

CDE equiltero

ABF issceles = AF = BF

ABF, BCF, AFE iguales

per (ABF) = per (CDE)

per (ABCDE) = 75cm

AB?

CD = DE = CE

AB + BC + CD + DE + EA = 75cm

AF + FA + FB = 3.CD

FA = FB = BC = EA

Sean:

x = CD y = BC

AB + 2y + 2x = 75cm

AB + 2y = 3x

Queda:

3x + 2x = 75cm = x = 75

5 cm = 15cm

CD = DE = CE = x = 15cm

per (ABF) = 45cm

AB = 1

2 CE = AB =

15

2 cm

BC = EA = 1

2 (45 cm -

15

2 cm) =

1

2 (90cm - 15cm) =

75

4 cm

99. Tres ladrones, A, B y C, se repartieron en partes iguales un botn.

68

La primera noche, mientras C dorma, A y B le quitaron la mitad de lo que tena, y se lo repartieron en partes

iguales.

La segunda noche, mientras A dorma, B y C le quitaron la mitad de lo que tena y se lo repartieron en partes

iguales.

La tercera noche, mientras B dorma, A y C le quitaron la mitad de lo que tena y se lo repartieron en partes

iguales.

A la maana siguiente se separaron para siempre.

Determinar de cunto dinero era el botn que se repartieron los tres ladrones.

SOLUCIN

Botn (A, B, C) = (65, 50, 77)

100. Un marciano tiene 321 pesos en monedas de 1 peso, de 5 pesos y de 25 pesos.

Si tiene igual cantidad de monedas de 1 peso que de 5 pesos, determinar cuntas monedas de cada clase

puede tener.

Dar todas las posibilidades.

SOLUCIN

x + 5y + 25z = $321

x = y

6x + 25z = $321

Sea x = 16 = z = 1

$25 ($321- 16. $6) = 9

Sea x = 41 = z = 1

$25 ($25321- 41. $6) = 3

101. Esta maana Alicia sali de compras.

Gast la cuarta parte del dinero que tena al comprar un libro de cuentos.

Despus, con la mitad de lo que le qued, compr un disco compacto.

Cuando volvi a su casa, su abuela le regal $ 7.

Entonces cont cunto dinero tena y result ser la mitad de lo que tena al salir de compras.

Con cunto dinero sali Alicia de compras esta maana?

SOLUCIN

1

4 D libro

69

1

2 . 1

4 D disco

$7 abuela

D - 1

4 D -

3

8 D + $7 =

1

2 D

$ 7 = 1

2 D +

1

4 D +

3

8 D D

$7 = 1

8 (4D + 2D + 3D - 8D) = D = $56

102. Para ver durante los tres das del fin de semana largo: sbado, domingo y lunes, se alquilan 6 pelculas

de distintas clases: 3 de aventuras, 2 de dibujos animados y 1 musical.

En el fin de semana se quiere ver una vez cada pelcula y 2 pelculas de distinta clase cada da.


SOLUCIN

S D L S D L

MA1 D1A2 D2A3 MA1 D1A3 D2A2

MA1 A2D1 A3D2 MA1 A3D1 A2D2

MA1 D1A2 A3D2 MA1 D1A3 A2D2

MA1 A2D1 D2A3 MA1 A3D1 D2A2

A1M D1A2 D2A3 A1M D1A3 D2A2

A1M A2D1 A3D2 A1M A3D1 A2D2

A1M D1A2 A3D2 A1M D1A3 A2D2

A1M A2D1 D2A3 A1M A3D1 D2A2

MA1 D2A2 D1A3 MA1 D2A3 D1A2

MA1 A2D2 A3D1 MA1 A3D2 A2D1

MA1 D2A2 A3D1 MA1 D2A3 A2D1

MA1 A2D2 D1A3 MA1 A3D2 D1A2

A1M D2A2 D1A3 A1M D2A3 D1A2

A1M A2D2 A3D1 A1M A3D2 A2D1

A1M D2A2 A3D1 A1M D2A3 A2D1

A1M A2D2 D1A3 A1M A3D2 D1A2

Hasta ac mantuve MA1para el sbado.

70

Un esquema similar ocurrir a para cada da.

Ah tendra 3 . 32 = 96 maneras distintas para ver todas las pelculas.

Combinando a M cada da con las variables A2 y A3, quedan 96 . 3 = 288 maneras distintas de ver todas las

pelculas el fin de semana largo.

103. Con dos cuadrados iguales y dos tringulos iguales se arman las figuras: A, B y C.

La figura A tiene 74 cm de permetro, la B tiene 84 cm de permetro y la C tiene 82 cm de permetro.

Cul es la longitud de cada uno de los lados de uno de los tringulos iguales?

SOLUCIN

Sean ABOF BCDO cuadrados iguales

Sea DEO = OEF = AFX = CDE = DEX escaleno

AB + BC + CD + DE + DE + EF + FA = 74

AB + BC + CE + DE + DO + FO + FX + XA = 84

AB + BC + CE + EX + XD + DO + OF + FA = 82

Sean:

AB = BC = CD = DO = FO = FA

DE = EF CE = AX = XD =

Queda:

4 + 2 = 74

4 + 2 + 2 = 84

6 + 2 = 82

Se simplifica dividiendo por 2:

2 + = 37

2 + + = 42 3 + = 41

Si analizamos las dos primeras ecuaciones queda que:

71

= 42 - 37 = = 5

Reemplazando en la tercera ecuacin:

3 + 5 = 41 = 1

3 841 5) = 12

En la segunda ecuacin queda:

2 .12 + + 5 = 42 = = 42 - 5 - 24 = = 13

(, , ) = (12, 13, 5)

104. Los Peli son socios de un videoclub que cobra $4 por el alquiler de una pelcula para mayores y $3 por el

alquiler de una pelcula para nios.

Cada mes alquilan pelculas para nios y pelculas para mayores y gastan $ 48 por mes.

En enero alquilaron 3 pelculas para mayores.

En febrero alquilaron un tercio de las pelculas para nios que alquilaron en enero.

En marzo alquilaron ms pelculas para mayores que en enero pero menos que en febrero.

Cuntas pelculas para nios alquilaron en marzo?

SOLUCIN

M = $4 y N = $3

E) 3 . $54 + y . $3 = $48

F) x. $4 +

3 . $3 = $48

M) x. $4 + y. $3 = $48

E) 1

$3 ($48 3 . $4) =

1

$3 ($48 $12) = 12

F) 1

$4 ($48

12

3. $3) =

1

$4 ($48 $12) = 9

3 < x < 9

x y mcd 4 48 -16 no 5 48 - 20 no 6 48 24 8 7 48 - 28 no 8 48 - 32 no (x , y) = (6, 8)

En marzo alquil 6 pelculas para mayores y 8 para nios.

105. Las barras de la figura A tienen igual ancho.

La ms pequea es un cuadrado y entre dos consecutivas la diferencia de alturas es de 10 cm.

Reordenndolas se arma la figura B que tiene 270 cm de permetro.

72

Cul es el permetro de cada una de las barras?

SOLUCIN

per (B) = 270cm

AB = BC = CD = DE

per de cada barra?

MA + 10cm = KL KL + 10cm = IJ

IJ + 10cm + GH

MA = AB = BL

IC + HK + JG + MF + LB + 8AB = 270cm

IC = MA + 20cm

HK = 10cm

JG = 20cm

FM = 30cm

MA + 20cm+ 10cm + 30cm + MA + 8MA = 270cm = MA = 190

10 cm = 19cm

per (ABLM) = 4AB = 4 . 19cm = 76cm

per (BCKJ) = BC + CJ + JK + BK = 2 (BC + CJ) = 2 ( 19cm + 29cm) = 96cm

per (CDHI) = CD + DH + HI + CI = 2 (CD + DH) = 2 . (19cm + 39cm) = 116cm

per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2. (19cm + 49cm) = 136cm

106. Sobre la mesa haba un dado blanco, uno rojo, uno verde y 24 fichas iguales.

Ana tom un dado y 1 ficha, Ema tom un dado y 2 fichas, Olga tom un dado y 3 fichas.

73

Despus, la que tena el dado verde llev tantas fichas como ya tena, la que tena el dado blanco llev el

doble de las fichas que tena y la que tena el dado rojo llev 4 veces lo que tena.

Es posible que quedaran 4 fichas sobre la mesa?

Explica por qu.

SOLUCIN

A 1 D + 1F

E 1D + 2 F

O 1D + 3F

B R V

A E O 1

A O E 2

E A O 3

E O A 4

O A E 5

O E A 6

CASO 1

Sea

A (B + 1 + 2)

E (R + 2 + 8)

O (V + 3 + 3) quedan 5

CASO 2

Sea

A (B + 1 + 2)

E (V + 2 + 2)

O (R + 3 + 12) quedan 2

CASO 3

Sea

A (R + 1 + 4)

E (B + 2 + 4)

O (V + 3 + 3) quedan 7

74

CASO 4

Sea

A (B + 1 + 1)

E (B + 2 + 4)

O (R + 3 + 12) quedan 1

CASO 5

Sea

A (R + 1 + 4)

E (V + 2 + 2)

O (B + 3 + 6) quedan 6

CASO 6

Sea

A (V + 1 + 1)

E (R + 2 + 8)

O (B + 3 + 6) quedan 3

107. Aldo y Bea escribieron cada uno una fraccin.

Aldo escribi una fraccin que tiene el denominador 4 unidades mayores que el numerador.

Bea escribi una fraccin con numerador igual al de la fraccin de Aldo y denominador 5 unidades mayores

que el denominador de la fraccin de Aldo.

La fraccin de Bea es equivalente a 1

2.

Cul es la fraccin que escribi Aldo?

Cul es la fraccin que escribi Bea?

SOLUCIN

A

=+4

B

+5 =

1

2

+9 =

1

2 x + 9 = 2x = x = 9 y = 13 18

A) 9

13

B) 9

18

108. Carlos tiene dos piezas triangulares pequeas y dos piezas triangulares grandes.

75

Cada pieza triangular pequea tiene 36 cm de permetro.

Cada pieza triangular grande tiene 48 cm de permetro.

Carlos arma:

Con las dos piezas triangulares pequeas, un rectngulo de 42 cm de permetro.

Con las dos piezas triangulares grandes, un rectngulo de 56 cm de permetro.

Con las 4 piezas, el rectngulo de la figura, de 74 cm de permetro.

Qu longitud tiene cada uno de los lados de las piezas triangulares?

SOLUCIN

AB + BE + EA = 36cm

AB + FA + BC = 37cm

BE + BC + CE = 48cm

BE + BC = 28cm

FA + AB = 21cm

(AB + FA) + BC = 37cm = BC = 37cm - 21cm = 16cm

BE + BC = 28cm =BE = 28cm - 16cm = 12cm

FA = BE = FA + AB = 21cm = AB = 21cm - 12cm = 9cm

AB + BE + EA = 36cm = EA = 36cm - 9cm - 12cm = 15cm

CE = 48cm - 12cm - 16cm = 20cm

109. Con papeles de colores: rojo, verde y azul, se quieren cubrir las franjas de este barrilete de manera que

haya por lo menos una franja de cada color y que las franjas que tienen un lado en comn sean de colores

distintos.


76

SOLUCIN

Existen dos casos, los colores se pueden dividir en (3, 2, 1) casillas y (2, 2 ,2) casillas

Caso (3, 2, 1)

Un color puede estar en las casillas 1, 3, 5 o en las 2, 4, 6. En c/u de estas opciones los otros colores pueden

combinarse de 6 maneras distintas.

Caso (2, 2, 2)

Hay 2 maneras de dividir las casillas y agruparlas de a 2

i) Al primer color le asigno el grupo (2, 4), al segundo (3,5) y al tercero el (1,6) Relacionando estos

minigrupos obtengo 6 combinaciones

ii) ii) Otra manera similar es formar los minigrupos (2, 6), (1,5) y (3,4). As obtengo 6

combinaciones distintas.

En el caso (3, 2, 1) hay 12 combinaciones para cada color y en el caso (2, 2, 2) otras 12. En total hay 48

maneras de combinar todos los colores

Caso (3, 2, 1) con tres R

1 2 3 4 5 6

R A R A R V

R V R V R A

R A R V R V

R V R A R V

R V R A R A

R A R V R A

77

V R V R A R

A R A R V R

A R V R V R

V R A R A R

V R A R V R

A A R V A R

Caso (3, 2, 1) con tres A

1 2 3 4 5 6

A R A R A V

A V A V A R

A R A V A R

A V A R A V

A V A R A R

A R A V A V

R A V A V A

V A R A R A

V A R A V A

R A V A R A

V A V A R A

R A R A V A

Caso (3, 2, 1) con tres V

1 2 3 4 5 6

V R V R V A

V A V A V R

V R V A V R

V A V R V A

V A V R V R

V R V A V A

V R V R A V

A V A V R V

78

R V A V R V

A V R V A V

A V R V R V

R V A V A V

Caso (2, 2, 2)

1 2 3 4 5 6

V R A R A V

A R V R V A

R A V A V R

V A R A R V

A V R V R A

R V A V A R

A R V V A R

V R A A V R

V A R R V A

R A V V R A

R V A A R V

A V R R A V

110. La cooperadora de la escuela compr libros de cuentos.

Por una promocin le regalaron 1 libro por cada docena de libros que compr.

Le enviaron 273 libros en total.

Compr libros de $ 8 y libros de $ 4.

Pag $ 1536 en total.

Cuntos libros le regalaron?

Cuntos libros de $ 8 y cuntos libros de $ 4 compr?

SOLUCIN

regalan 1l por cada 12l de compra

Total = 273l

xl = $8

yl = $4

79

Pag $1536

8x + 4y = $1536

x + y + 1

12 (x+y) = 273

Dividiendo por 2:

2x + y = 384

1

12 ( 12 x + 12y + x + y) = 273 13x + 13 y = 3276 x + y = 252

y = 384 - 2x = 252 - x

x = 384 -252= 132 $8

y = 384 - 2 . 132 = 120 $4

le regalaron

273l - 132l = 120l = 21l

111. La figura est partida en un cuadrado, un rectngulo y un tringulo.

CD = DE

El permetro de BCDEF es 6 cm ms que el permetro del tringulo CDE.

El permetro del rectngulo ACEG es 38 cm.

El permetro de la figura es 50 cm.

Cunto mide cada uno de los lados de BCDEF?

SOLUCIN

CD = DE

per (BCDEF) = per (CDE) + 6cm

per(ACEG) = 38cm

per (ABCDEFG) = 50cm

Cunto mide cada lado de (BCDEF)?

BC + CD + DE + EF + FB = CD + DE + CE + 6cm

AB + BC + CE + EF + FG + GA = 38cm

80

AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 50cm

Si AB = BF = CE = FG = GA x

CD = DE y

BC = EF z

Queda:

2z = 6cm

4x + 2z = 38cm

3x + 2y + 2z = 50cm

De aqu: z = 3cm

4x = 38cm - 6cm = x = 1

4. 32cm = 8cm

y = 1

2 (50cm - 6cm - 24cm) = 10cm

112. Camila dibuj un tringulo equiltero.

Marc los vrtices y, sobre cada lado, marc dos puntos.

Cuntos tringulos que tengan sus tres vrtices en los puntos marcados puede dibujar?

SOLUCIN

(ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ACE), (ACF), (ACG), (ACH), (ACI), (ADE), (ADF), (ADG), (ADH), (ADI), (BCE),

(BCF), (BCG), (BCH), (BCI), (BDE), (BDF), (BDG), (BDH), (BDI), (CDE), (CDF), (CDG), (CDH), (CDI), (BEF), (BEG),

(BEH), (BEI), (BFG), (BFH), (BFI), (BGH), (BGI), (CEF), (CEG), (CEH), (CEI), (CFG), (CFH), (CFI), (CGH), (CGI),

((AEF), (AEG), (AEH), (AEI), (AEG), (AFH), (AFI), (DIE), (DIF), (DIG), (DIH), (DEH), (DFH), (DGH), (EGH), (EGI),

(EFH), (EFI), (FGH), (FGI)

113. En la figura hay dos cuadrados; adems hay un crculo en cada vrtice y en cada punto donde se cruzan

los dos cuadrados.

Ubicar en los crculos vacos los nmeros enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la suma de

los cuatro nmeros escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.

81

SOLUCIN

Si sumamos cada lado del rombo y del cuadrado encontramos el siguiente sistema donde cada suma da 33:

B + C + 27

H + I + 26

+ F + 26

+ D + G + 13

A + 33

F + H + 25

A + D + E + 16

E + I + G + 15

Supongo: A = 1, queda:

A+ 33 = 1 + 33 = 34

B + C = 7

H+ I = 7

B + F = 8

C + D + G = 21

F + H = 9

D + E = 17

E + I + G = 19

Resolviendo:

A B C D E F G H I

1 2 5 9 8 6 7 3 4

82

114. Beto colecciona estampillas que guarda en cajas.

Tiene 26 cajas y en cada caja hay 36 estampillas.

Hoy vio que algunas cajas estaban rotas, decidi vaciar todas las cajas y tirar las rotas.

Para poder guardar todas sus estampillas en las cajas que le quedaron, tendr que sumar al nmero de

estampillas que haba en cada caja, 2 estampillas por cada una de las cajas que tir.

Cuntas cajas tir?

SOLUCIN

S + R = 26 = S = 26 - R

(36 + 2R) . S = 936

(36 + 2.R) (26 - R) = 936

936 - 36R + 52R - 2R2= 936

2R2 - 16R = 0

R2 - 8R = 0= R (R - 8) = 0 =R = 0 R = 8

(36 + 2 . 8) . (26 - 8) = 936

(36 + 2 . 8) = 52 estampillas por caja

(26 - 8) = 18 cajas sanas

115. Todas las semanas, Matas recibe una cuota para sus gastos.

Una semana ahorr la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorr la cuarta parte de la

cuota de esa semana.

As va alternando: una semana ahorra la mitad y la siguiente semana ahorra la cuarta parte.

De este modo, en 48 semanas ahorr $ 288.

Cul es su cuota semanal?

SOLUCIN

semana impar 1

2 x

semana par 1

4 x

Se repite 24 veces y en 48 semanas junta $288

24 . ( 1

2 x ) + 24. (

1

4 x) = $288

(1

2 +

1

4 ) x = $

288

24

1

4 ( 2 + 1) x = $ 12 x = $

12 .4

3 = $ 16

83

116. Un sobre rectangular, abierto tiene 82 cm de permetro; cerrado su permetro es de 80 cm.

La solapa es triangular y tiene 50 cm de permetro.

Indica cunto miden los lados del sobre y los de la solapa.

SOLUCIN

per (ABCDE) = 82cm

per (ABCD) = 80cm

per (ADE) = 50cm

AB + BC + CD + DE + EA = 82cm

AB + BC + CD + AD = 80cm

AD + DE + AE = 50cm

Sean:

AB = CD x

BC = AD y

DE = AE z

Queda el sistema:

{2 + + 2 = 822 + 2 = 80

+ + 2 = 50

= det (2 1 22 2 00 1 2

) = 8

= det (82 1 280 2 050 1 2

) = 128

84

= det (2 82 22 80 00 50 2

) = 192

= det (2 1 822 2 800 1 50

) = 104

X =

= 128

8 = 16

y=

= 192

8 = 24

z =

= 104

8 = 13

117. Todas las semanas, Matas recibe una cuota para sus gastos.

Una semana ahorra la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorra la tercera parte de la

cuota de esa semana y la siguiente, ahorra la cuarta parte de la cuota de esa semana.

As va alternando: una semana ahorra la mitad, la siguiente semana ahorra la tercera parte y la siguiente,

ahorra la cuarta parte.

De este modo, en 48 semanas ahorr $ 312.

Cul es su cuota semanal?

SOLUCIN

semana 1 1

2

semana 2 1

3

semana 3 1

4

se repite 16 veces

en 48 semanas ahorra $312

16 . (1

2 x) + 16 . (

1

3 x) + 16 . (

1

4 x) = $312

16 . (1

2 + 1

3 + 1

4 ) x = $312

(1

2 + 1

3 + 1

4 ) x = $

312

16

(6+4+3

12 ) x = $

312

16

13

12 x = $

312

16 x = $

312. 12

16 .13 x = $ 18

118. En un examen, el promedio de las notas de todos los alumnos que aprobaron es 6,5 y el promedio de

las notas de todos los alumnos que no aprobaron es 3,5.

El promedio de las notas de todos los alumnos que rindieron el examen es 5,3.

Cul es el porcentaje de alumnos que aprobaron el examen?

85

SOLUCIN

promedio de aprobado 6,5

promedio de no aprobado 3,5

promedio general 5,3

x aprobados

y no aprobados

x . 6,5 + y . 3,5 = (x + y) . 5,3

6,5x - 5,3x + 3,5y - 5,3y = 0

1,2x = 1,8y

12x = 18y

2x = 3y x = 3

2 y

x + y = 100%

y + y = 100% 5

2 y = 100% = y = 40% = x = 60%

aplazos 40%

aprobados 60%

119. Con tres dgitos distintos A, B, C se forman los tres nmeros enteros positivos

ABC, BCA, CAB.

La multiplicacin de los tres nmeros ABC. BCA. CAB es un nmero de 9 cifras que se forma con los dgitos 2,

2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Se sabe adems que el dgito de las unidades es el 6.

Cules son los tres dgitos A, B, C?

SOLUCIN

A. B. C = X

X = _ _ _ _ _ _ _ _ 6

Hago distintos clculos con ABC. BCA. CAB y logro que:

(A, B, C) = (9, 8, 3)

ABC. BCA. CAB = 983. 839. 398 = 328245326

120. Gastn escribe, uno en cada rengln, todos los nmeros de 3 cifras que tienen las cifras ordenadas de

mayor a menor y distintas de cero.

Despus, al lado de cada uno, escribe el nmero que se obtiene intercambiando la cifra de las centenas con

la de las unidades.

86

Pedro suma los dos nmeros de cada rengln.

Cuntos nmeros distintos, de 3 cifras, puede obtener Pedro?

SOLUCIN

652 + 256 = 908 531 + 135 = 666

651 + 156 = 807 521 + 125 = 646

643 + 346 = 989 721 + 127 = 848

642 + 246 = 888 731 + 137 = 868

641 + 146 = 787 741 + 147 = 888

632 + 236 = 868 821 + 128 = 949

631 + 136 = 767 831 + 138 = 969

621 + 126 = 747 841 + 148 = 989

543 + 345 = 888 432 + 234 = 666

542 + 245 = 787 431 + 134 = 565

541 + 145 = 686 421 + 124 = 545

532 + 235 = 767 321 + 123 = 444

Se forman los siguientes nmeros distintos:

444 646 747 807 888 969

545 666 767 848 908 989

565 686 787 868 949

121. Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursin.

La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad y Ceci ahorr $8 menos que Ana y Bea juntas.

Esta semana, Ana ahorr el doble de lo que haba ahorrado la semana pasada, Bea ahorr la mitad de lo

que haba ahorrado la semana pasada y Ceci ahorr lo mismo que la semana pasada.

Esta semana, entre las tres juntaron $ 226.

Cunto ahorr cada una esta semana?

SOLUCIN

C = A + B - 8

semana 1 A = B

semana 1 2A +

2 + C = $226

2A +

2 + A + B - 8 = $226

87

2A +

2 + A + A - 8 = $226

9

2 A = $234 A = $

468

9 A = 52

B = C = 2 . 52 8 = 96

(A, B, C) = (52, 52, 96)

122. Con un cuadrado C y dos tringulos issceles T y t, se armaron las figuras siguientes:

permetro fig. I = 86 cm

permetro fig. II = 140 cm

permetro fig. III = 126 cm

Cunto mide el lado del cuadrado?

Cunto miden los lados de cada uno de los tringulos?

SOLUCIN

per (I) = 86cm

per (II) = 140cm

per (III) = 126cm

t y T issceles

BD = DC

AB = BD = DE = EA = CD = x

BF = DF = y

BC = z

BC + CD + BF + DF = 86

AB + BC + CD + DE + EA = 140

AB + DE + EA + BF + DF = 128

Queda el sistema:

88

{ + 2+ = 864 + = 1403 + 2 = 126

= det (1 2 14 0 13 2 0

) = 12

= det (86 2 1140 0 1126 2 0

) = 360

= det (1 86 14 140 13 126 0

) = 216

= det (1 2 864 0 1403 2 126

) = 492

x =

= 360

12 = 30

y=

= 216

12 = 18

z =

= 492

12 = 41

123. En los vrtices del hexgono de la figura, se escriben, de menor a mayor siguiendo el sentido que

seala la flecha, todos los mltiplos de 4 menores que 2011.

Se escribe el 4 en A, el 8 en B, el 12 en C, etc.

Cul es el ltimo nmero que se escribe?

En qu vrtice se escribe este nmero?

SOLUCIN

89

Existen 502 mltiplos de 4

El ltimo mltiple de 4 es el 2008

Se escribe en el vrtice D

124. Ana, Bea y Ceci ahorraron para irse de excursin. Ana ahorr el doble que Bea y Ceci ahorr $5 menos

que Ana. Entre las tres juntaron $ 130. Cunto ahorr cada una?

SOLUCIN

Sean A, B y C

A = 28 y C = A 5 = B =

2 y C = A - 5

A + B + C = 130

A +

2 + A 5 = 130 =

5

2 A

A = 1

5 (135. 2)

B =

2 = 54

2 = 27

C = A - 5 = 54 - 5 = 49

(A, B, C) = (54, 27, 49)

125. Con un cuadrado C y dos tringulos issceles T y t, se armaron las figuras siguientes:

permetro fig. I = 86 cm

permetro fig. II = 146 cm.

En T, el lado desigual mide las dos terceras partes de lo que mide cada uno de los otros lados.

Cunto mide cada uno de los lados de la figura II?

SOLUCIN

90

per (I) = 86cm

per (II) = 146cm

AB = AD

BC = CD x

AD = BD = DE = EF = FA y

AB = y

AB + BC + CD + DA = 86

AB + CD + DE + EF + FA = 146

= det (86

5

3

14611

3

) = 72

= det (2 862 146

) =

olimpiada matematica - libro 8

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