libro matematica 10 daniel

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TACHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Material Instruccional Diseñado para Estudiantes de la Carrera de Educación Básica Integral de la Universidad de los Andes- Táchira

Prof. Álvaro Oscar Moreno Sánchez

San Cristóbal, Marzo del 2001

7

INTRODUCCION En la Primera y Segunda etapa de la Educación Básica se dan los primeros cimientos, los

cuales constituyen los elementos conceptuales básicos en la construcción de la edificación

pedagógica del conocimiento matemático. Se inicia el trabajo hacia el desarrollo del

pensamiento lógico matemático, intelectual y deductivo a través de las operaciones básicas

como la adición, sustracción, multiplicación y división.

Estas operaciones básicas serán realizadas en el campo de los números reales, y por ser éste

ordenado, también se desarrollará el principio de orden en el niño, siendo de valorable

importancia en la vida de cualquier persona, particularmente de quienes inician

prontamente su etapa de aprendizaje de la matemática, accesible para resolver sus

problemas cotidianos.

Las tendencias actuales orientan su quehacer instruccional hacia una enseñanza de la

matemática cuya finalidad está dirigida hacia lo instrumental, formativo, cultural, lúdico y

estético, sin perder el orden y la secuencia de su presentación pedagógica. Esto se observa

cuando se trabaja en grupos, cuando se resuelve una operación aritmética donde deben

respetarse una serie de leyes y teoremas que por sí forman parte del conocimiento

matemático.

En otro sentido, ubicándose del lado del futuro Licenciado en Educación, Básica Integral,

se debe alertar sobre este importante acontecimiento:

El elemento más perjudicial que puede tener este profesional desde su preparación, es el

uso indiscriminado de la calculadora, por cuanto los hace dependientes de ella, además

debilita ciertos conocimientos y hasta hace olvidar la esencia de cómo se desarrollan los

procesos para resolver problemas con las operaciones básicas, situación muy peligrosa

porque esta será una de las funciones principales en la formación de los futuros alumnos

así como otras mencionadas al comienzo de esta introducción.

Para poder subsanar este hecho innegable, se recomienda la sincera y honesta participación

de los alumnos del curso, en el trabajo que deberán realizar al estudiar el presente material

instruccional.

8

INDICE

Capítulo 1: Números reales Pág.

• Definición de conjunto. 7

• Formas de expresar conjuntos. Forma de especificación y forma de la regla. 8

• Operaciones básicas con conjuntos,cardinal de un conjunto y conjuntos especiales. 9

• Relaciones entre conjuntos: subconjunto, conjuntos iguales y subconjunto propio. 14

• Ejercicios 1.1 17

• Los números naturales y los números enteros. 19

• Los números racionales. 20

• Los números irracionales. 21

• Los números reales. 25

• Axiomas de los números reales. 25

• Leyes de los signos en la multiplicación y la división. 32

• Estrategia para enseñar las leyes de los signos. 29

• Fracciones y operaciones básicas. 35

• Estrategia para la enseñanza de la tabla de multiplicar. 37

• Criterio de simplificación. 40

• Criterios de divisibilidad de un número entero. 42

• El mínimo común múltiplo ( m.c.m.) 43

• El máximo común divisor ( M.C.D. ) 45


• Números decimales. Operaciones básicas. 49

• Sistema de numeración romano. 56

9

Pág.


• Fracción generatriz. 61

• Números mixtos. 64

• Desigualdades y valor absoluto. Propiedades. 66


• Raíz cuadrada de un número real positivo. 77

• Exponentes enteros. Leyes o reglas. 79

• Notación científica. 81


• Técnicas de redondeo. 85

Capítulo 2: Expresiones algebraicas. Polinomios.

• Definición de expresión algebraica. 89

• Definición, clasificación y grado de un polinomio. 89

• Adición y sustracción de polinomios. 92


• Multiplicación de polinomios. 99

• División de polinomios. 102


• Definición de factorización. 108

• Técnica del máximo factor común. 109

• Técnica de agrupación. 111

10

Pág.

• Técnica de diferencia de cuadrados. 111

• Técnica del trinomio de la forma . 114 0y 0 , Zy con , 2 ≠≠∈++ cbcbcbxx

• Técnica del trinomio de la forma 117 . 0y ,1 , Zy ,con , 2 ≠≠∈++ cbacbacbxax

• Técnica fórmula de la ecuación cuadrática. 120

• Técnica de la suma o diferencia de cubos. 121


• Definición de expresión fraccionaria y expresión racional. 125

• Adición y sustracción de expresiones racionales. 125

• Multiplicación y división de expresiones racionales. 130


• Operaciones combinadas y fracciones complejas. 135


• Triángulo de Pascal. 140

• Hoja de respuestas. 144

• Bibliografía. 155

11

Capítulo 1

Números Reales Operaciones Básicas

12

CONJUNTOS

Cotidianamente encontramos y mencionamos este concepto para referirnos a diferentes

ámbitos de nuestra vida diaria, ejemplo:

• Haz escuchado al conjunto de música de rock Metallica,

• Haz visto la camisa de este conjunto,

• Jueguen en conjunto,

Pues bien en Matemática es básico este concepto, ya que él nos permite generar el

conjunto de números reales, el cual va a ser la materia prima de nuestro trabajo.

Son sinónimos de la palabra conjunto un grupo, una colección, un agregado, una

agrupación de objetos o símbolos.

Comúnmente se estila denotar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos con

letras minúsculas, ejemplo:

« Escriba el conjunto formado por los días de la semana:

Solución :

Denotemos al conjunto con la letra A, así

A={ } sábadoviernes,jueves,miércoles,martes,lunes,domingo,

« Escriba el conjunto formado por los días de la semana laborables en la Universidad de

los Andes-Táchira.

Solución :

Denotemos al conjunto con la letra B, así

B={ } viernesjueves,miércoles,martes,lunes,

13

Ahora observemos un hecho importante que ocurre con los elementos de los conjuntos:

1. Domingo pertenece al conjunto A, se denota Domingo ∈ A.♣

2. Lunes pertenece al conjunto A, se denota Lunes ∈ A.

3. Lunes pertenece al conjunto B, se denota Lunes ∈ B.

4. Sábado no pertenece al conjunto B, se denota Sábado ∉ B.

5. Domingo no pertenece al conjunto B, se denota Domingo ∉ B.

« Como ejercicio terminar el resto de relaciones.

Ahora, podemos señalar que existen dos maneras o formas para expresar los conjuntos, uno

donde listamos o señalamos uno a uno sus elementos del listado o por extensión y

otro donde asignamos una regla o una propiedad común que cumplan dichos elementos de la regla o por comprensión; en ambos casos utilizaremos llaves “{ ” para su

representación. Ejemplo:

}

« Sea A={ } sábadoviernes,jueves,miércoles,martes,lunes,Domingo,

Este conjunto esta dado por el listado o extensión ya que se especifica uno a uno sus

elementos.

« Sea T={ } semana la de díaun es / xx

Este conjunto esta dado por la regla o comprensión ya que estamos utilizando una

propiedad para señalar los elementos.

Ejercicios 1. Escriba cuatro conjuntos por comprensión.

2. Escriba cuatro conjuntos por extensión.

Según la cantidad de elementos que contengan los conjuntos pueden ser:

14

*conjuntos finitos, aquellos conjuntos cuyo cardinal es un elemento del conjunto de los

números enteros positivos.α

*conjuntos infinitos, aquellos conjuntos cuyo cardinal es infinito.

El cardinal de un conjunto es aquel número entero positivo que representa la cantidad

de elementos que posee dicho conjunto, ejemplo:

« Sea A={ }, decir si es finito o

infinito y además señalar su cardinal.

sábadoviernesjuevesmiércolesmarteslunesDomingo ,,,,,,

Solución :

Su cardinal viene representado por el número de elementos que posee, , por lo

tanto es un conjunto finito.

( ) 7 =ACard

Con los conjuntos podemos realizar ciertas operaciones, entre ellas señalaremos a la unión

e intersección con conjuntos.

La unión de dos conjuntos A y B, se denota , es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, además también pertenecen los

elementos que estén en A y en B. Ejemplo:

BA ∪

En lenguaje matemático:

{ }B A /BA ∈∈=∪ ∨ xxx ♣

pertenece. no lee se " "y pertenece lee se " ∉∈♣ "

α El conjunto de los enteros positivos = { } 9,8,7,6,5,4,3,2,1 0, … . ♣ ". ó" significa ∨

15

Gráficamente con los diagramas de Venn-Euler:♣

Caso 1 Caso 2 Caso 3

U

Caso 1: En la unión están los elementos de A, los de B y los comunes de A y B.

Caso 2: En la unión están los elementos de A o de B, ya que no hay elementos comunes

.............entre ellos.

Caso 3: En la unión están los elementos de A y de B, ya que todo elemento de B es

............elemento de A.

La intersección de dos conjuntos A y B, se denota A ∩ B, es el conjunto formado por

los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

En lenguaje matemático:

{ }B A /BA ∈∧∈=∩ xxx ♠

Gráficamente con los diagramas de Venn-Euler:

Caso 1: La intersección es la parte común entre A y B es decir el área entrelazada.

♣ Lleva este nombre en honor a sus descubridores J.Venn y Leonard Euler.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 U U U A A B B A A B: Zona rayada A

∩ ∩ B = ø A B=B ∩

B

U A A B B A A B: Zona rayada A B = Zona rayada A B=A

U

B

∪ ∪ ∪

16

Caso 2: No hay parte común entre A y B por tanto su intersección es vacía.

Caso 3: Todo elemento de B es elemento de A por tanto la intersección es B.

Ejercicio: Sean los conjuntos A y B, halle su unión e intersección.

= A

= B

Solución: La unión estará conformada por las caritas comunes y no comunes, así

Mientras que la intersección estará conformada exclusivamente por las caritas comunes:

= A∩ B

= A B∪

∧♠ significa “ y ”

17

De estos conjuntos de caritas podemos plantearnos una serie de nuevas operaciones:

1. La intersección de las caritas con cabello.

2. La unión de las caritas con lentes.

3. La intersección de las caritas con bigotes.

4. La unión de las caritas con bigotes y lentes.

5. La intersección de las caritas que no tengan bigotes, lentes ni barba.

Solución: Pregunta 1.

= C

Esto es el único elemento común entre estos conjuntos que poseen esa descripción.

Pregunta 3.

= D

La carita con lentes y bigotes no pertenece a este conjunto ya que solamente se encuentra

en el conjunto B.

Pregunta 4.

= E =

Quedan como ejercicio las preguntas 2 y 5.

18

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto vacío, es aquel conjunto que no posee ningún elemento. Se denota como ∅

ó { y su cardinal es cero ; Card (∅ )=0 . }

Ejemplo.

« Exprese el conjunto por

extensión.

{ } Saturno planeta elen vivaque anoun venezol es / xxA =

Solución: Necesitamos escribir uno a uno sus elementos, ¿pero existe algún venezolano que viva en Saturno?

Por supuesto que no, así este conjunto A no posee elementos entonces denotado por extensión nos queda

A=∅ ó A={ . }

Conjunto unitario, es aquel conjunto que posee un solo elemento , su cardinal es uno.

Importante ... No hay que confundir los siguientes conjuntos:

A= es diferente al conjunto A={ } 0 { } ó A=∅ , ya que el primero

posee un elemento que es el cero , mientras que el segundo no posee

ninguno.

Tampoco hay que confundir a A= { } con A= { } ∅ ya que el primero

no posee ningún elemento mientras que el segundo si posee un elemento,

es el vacío.

19

Relaciones entre Conjuntos

Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, (A está incluido en B), si y sólo si todo

elemento de A es elemento de B. Se denota A ⊆ B.

( En lenguaje matemático)

( ) : BxAxxB⊆A ∈→∈∀↔ ♣

Ejemplo:

« Sea y sea { } febrero de mes elen clases a asisto que díaun es / xxA =

{ } febrero de mes del díaun es / xxB =

Solución:

Como existen días en el mes de febrero donde no hay clase, ejemplo los sábados y

omingos, entonces es lógico responder que A está incluido en B.

s si y sólo si tienen los mismos elementos. Cuando

os A=B.

( En lenguaje matemático) ♦

.BA ⊆ d

Importante: I) Todo conjunto es subconjunto de si mismo

II) Para afirmar que , es suficiente mostrar que todo elemento de A es

elemento de B.

III) Para afirmar que

AA ⊆ .

BA ⊆

BA ⊄ (A no es subconjunto de B) es suficiente mostrar

que al menos un elemento de A no es elemento de B.

Dos conjuntos A y B son igualeA y B son iguales, escribim

( )ABBABA ⊆∧⊆↔=

⇒→⇔↔

♦

♣ " entonces. significa " ó " sí. soloy si significa " ó y. significa " "∧

20

Ejemplo:

os conjuntos A y B son iguales ya que poseen los mismos elementos. Obsérvese que, para

igualdad de conjuntos no importa el orden en que se escriben los elementos, ni el modo

mentos. Así A=B.

n conjunto A es un subconjunto propio de B si y sólo si:

emento de B y

ii) A y B no son iguales.

≠∧⊆

« Sea y sea

{ } viernes, jueves , sábado , miércoles , martes , domingo , lunes =B .

{ } semana la de díaun es / xxA =

L

la

en que se definen los conjuntos, sino que posean los mismos ele

U

i) Todo elemento de A es el


( )BABABA ↔⊂

Esta relación se escribe BA ⊂ , que se lee “ A es un subconjunto propio de B ”

Ejemplo:

{ } { } 14 13, 12, 11, ,10, 9 , 8 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11 , 9 , 7 , 5 , 3 , 1 == ByA« Sea

u B, y además AComo todo elemento de A está incluido en el conj nto ≠ B entonces A B.

⊂

Ejercicio.

« Sean los siguientes conjuntos { } 21132 /N xxxA −=+∈= y

{ }1245 /N +=+∈= xxxB .Verifique cuál de las siguientes relaciones es verdadera

Solución :

. , , ABBABA ⊂=⊂

Debemos copiar estos conjuntos que están por comprensión a extensión, para así poder

Desarrollamos la expresión que define al conjunto A,

analizar la verdadera relación.

21

N 2 , 2 48 84 31122 21132 ∈=⇒=⇒=⇒−=+⇒−=+ xxxxxxx

Luego, los elementos del conjunto A son:

onjunto B,

{ }2=A

Desarrollamos la expresión que define al c

N 2 , 2 48 84 4125 1245 ∈=⇒=⇒=⇒−=−⇒+=+ xxxxxxx

uego, los elementos del conjunto B son:

tos de los conjuntos A y B puede concluir que A=B.

L

{ }2=B

Analizando los elemen

Importante... Para que el conjunto A sea un subconjunto propio del conjunto B, basta que B tenga al m

diferente que A. Ejemplo:

enos un elemento

{ } { } abecedario del letra una es /By vocaluna es / A xxxx == ,el conjunto B

tiene muchos elementos diferentes a los del conjunto A, ejemplo los elementos b,c,d,f,g

entre otros por lo tanto el conjunto A es subconjunto propio del conjunto B.

Para que el conjunto A sea subconjunto del conjunto B, basta que todo elemento de A este

en B. Aquí existe la posibilidad que los conjuntos sean iguales. Ejemplo:

}como todo elemento de A es elem to de B, entonces A es su conjunto de B.

tos finitos se cumple lo siguiente:

{ } { 10 quemenor impar natural númeroun es /By 9 , 7 , 5 3, , , 1 A xx==

en b

Para conjun

Si A B, entonces el cardinal del conjunto A es menor que el cardinal del conjunto B.

A B

⊂

⊂ ( ) ( )B Card A Card <→

22

EJERCICIOS 1.1

En los problemas 1 al 7 sea { } { , , , , , , , , , , , , uoieaBhgf }dbaA =ec=

}= . Halle el conjunto solución y su cardinal.

.

{ } { , . , , , y , , , , , , rñmlkDzuqpoihC =

1 BA ∪

2 BA ∩ .

3. ( ) DCA ∪∩

4. )

5.

( ) ( BCDA ∪∩∪

( ) ADA ∪∩

DCBA ∩∩∩ 6.

7. DCBA ∪∪∪

En s prlo oblemas 8 al 11 encuentre la expresión más sencilla para los conjuntos dados.

}

ø

0.

8. { } { impar enteroun es / par enteroun es / xxxx ∪

9. { }∪ , , , dcba

1 { } { }carreras otras las de estudianteun es / I. B. de estudianteun es / xxxx ∪ •

11. { } { }I. B. de semestre 1 del estudianteun es / I. B. de estudianteun es / erxxxx ∩

Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, ¿es A B= B A? ¿ Por qué?

s siguientes relaciones es verdadera:

Escriba la relación correcta.

12. ∪ ∪

En los problemas 13 al 18 una de la

. , , ABBABA ⊂=⊂

13. ( ) ( ){ } { } . 2 /Zy 03 2 Z/ =∈==−−∈= xxBxxxA

49

( ){ } { } . 04 /Zy 04 /Z =+∈==+∈= xxBxxxA 14.

{ } { } . par enteroun es /y 18 /Z xxBxxA ==∈= 15.

{ } { }NxxBA ∈== /y 7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 … 16.

17. }

8. }

{ } { 7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 0, y / …=∈= BNxxA

1 { } { / y / ZxxBNxxA ∈=∈=

B.I. significa Básica Integral. •

50

LOS NUMEROS NATURALES

e forman los demás conjuntos. Se denota con la letra N y está

tegrado por los siguientes elementos:

N = mentos, por tanto su cardinal

s infinito.

serve lo que sucede al aplicar las operaciones básicas con los elementos de este

conjunto, con la adición:

2+3 = 5, 5 N; 10+20 = 30,

Es el conjunto esencial para construir los números reales, él nos permite el proceso del

conteo, a partir de este s

in

{ } ... , 11 , 10 , 9 , 8 7, , 6 , 5 4, 3, , 2 ,1 , tiene infinitos ele

e

Ob

• ∈ ∈ 30 N. Cualquiera sean los números naturales que se

operen con la suma, siempre nos dará un número natural.

on la sustracción:

N;

C

• 2 ,257 ∈=− ∈=− 17 ,17825 N; pero ∉−−=− 6y ,62519 N.

esultan por la unión de los naturales, sus recíprocos♣ y el cero. Se denotan con la letra Z,

Z = , es un conjunto que tiene elementos

positivos y negativos, es infinito y de cardinal infinito.

Observe que no siempre que se restan dos números

ocurre con la adición. Para subsanar este escollo fué creado

naturales da como resultado otro número natural, como sí

el conjunto de los números enteros.

LOS NUMEROS ENTEROS

R

nombre extraído de la palabra alemana Zhalen que significa entero, sus elementos son:

{ } ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ,1,2,3,4,5..., −−−−−

51

mos qué sucede al aplicar las operaciones básicas con los eleVea mentos de este conjunto:

2+3 = 5, 5 Z; 10-20 = -10, -10

• ∈ ∈ Z. Es decir, cualquiera sea los números enteros que

se operen con la adición o sustracción s á un número entero.

= 6, 6 Z; = -35, -35

, siempre no dar

• 32 × ∈ 75 ×− ∈ Z. Es decir, siempre que se multipliquen dos

números enteros nos da como resultado otro número entero.

• 24 = 2, 2 Z; ∈ 5 ,5

210

∈−−=− Z pero ∉= 5,4

29 Z.

LOS NUMEROS RACIONALES e definen como aquellos números que se pueden expresar como el cociente (o razón) de

guiente manera:

S

dos números enteros. Este conjunto se denota con la letra Q y se describen por comprensión

de la si

Q⎭⎩ q

⎬⎫

⎨⎧

≠∈== 0y , con / qZqppxx

♣ El recíproco de un número es el mismo número pero de signo contrario.

Observe que no siempre al dividir dos números enteros da

como resultado otro número entero, como sí ocurre con la

adición, sustracción y multiplicación. Para subsanar este

escollo fué creado el conjunto de los números racionales.

52

También se puede definir a los números racionales como un número decimal periódico o

nito.

demás, existen otros números que no se pueden expresar como cociente de dos números

nteros. Problema que surgió al tratar de encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo

ctángulo cuyos catetos tenían longitud igual a uno (1).

fi

A

e

re

2 1

2 2 1

2 no se puede copiar como razón de dos números enteros.

Al aplicar el teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de las longitudes de los dos

lados menores de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la longitud del lado

mayor”.

2 11 222 222 =⇒+=⇒+= ccbac ,

La irracionalidad consistía en no poder expresar tal número como una fracción o como

razón de dos números enteros. Es decir: Q 2 ∉ .

estos números los llamaremos números irracionales, su conjunto será denotado con

l término matemático irracional proviene de la palabra latina irratio, la cual tiene su

número no expresable como cociente de dos

números enteros, cuyo significado contrasta con el lenguaje ordinario donde irracional

significa algo ilógico o incomprensible.

Una de las características de esos Números Irracionales

A

la letra I.

E

origen en la palabra griega alogos, por ser un

es que su representación en forma

decimal es infinita y no es periódica.

53

Entre algunos de sus elementos encontramos:

...4142136,1 2 ±=± ♦

45... 2,71828182 ±=± e

...3,14159263 ±=± π

Por lo anterior expuesto, se deduce que los números racionales no “agotan” la existencia de

los números posibles, por cuanto el problema planteado por la escuela Pitagórica (y otros

problemas surgidos posteriormente), no admiten solución en el Conjunto de los Números

Racionales. De allí que nuevamente es obligante “ampliar” el campo numérico y dar paso

eros Irracionales.

os a menudo

no periódica se puede “cortar” en alguna cifra, obteniéndose una aproximación

al Conjunto de los Núm

Es necesario destacar que al operar con los números irracionales, usam

números racionales como valores aproximados. De allí que cualquier expresión decimal

infinita

racional de la misma.

m

Eje plos:

« ...4142136,1 2 = se puede aproximar por : 1,4 ó 1,41 ó 1,414 etc...

Mientras más cifras decimales se consideren, más cercano se estará del número irracional

dado.

« ...3,14159263 =π se puede aproximar a la fracción 722 ya que es igual a

3,142857142857...

a diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advierte en su

representación decimal. Cua a por medio de decimales,

L

ndo un número irracional se present

los decimales continúan indefinidamente, sin presentar un patrón repetitivo

♦ La raíz cuadrada de un número primo siempre es un número irracional. Número primo es aquel que es divisible solamente por el mismo y por la unidad.

54

( ...3,14159263 =π ). En cambio, los números racionales expresados en forma decimal son

presentan un patrón llamado período ( 60,1 ...166666,061finitos o ≅= ).

Este conjunto result ros racionales con el conjunto de los

números irracionales. Se

El siguiente cuadro nos iento de los conjuntos de números antes

descritos:

De este cuadro podem

tero.

ional.

• Todo número racional es un número real.

• Todo número irracional es un número real.

LOS NUMEROS REALESa al unir al conjunto de los núme

denota con la letra R.

hace una excelente referencia del comportam

Q= Números Racionales

R

Z = Números Enteros

N= Números Naturales =

I = Números Irracionales

os señalar lo siguiente:

• Todo número natural es un número en

• Todo número entero es un número rac

• Todo número entero es un número real.

55

• No todo número entero es un número natural.

• Un número real es irracional o es racional.

.

Para reforzar este ás concreto.

adros anteriores podemos concluir que todo número natural es

bconjunto propio de los números enteros (N Z ), todo número entero es subconjunto

ropio de los números racionales (Z Q ) y todo número racional es subconjunto propio

e los números reales (Q R ).

• No todo racional es entero.

• Todo número irracional no es entero.

• Ningún número natural es irracional.

• Ningún número irracional es racional a la vez

aprendizaje, haremos un símil del cuadro con otro ejemplo m

• Como ejercicio, establezca todas las posibles relaciones entre estos conjuntos.

Analizando los cu

Los alumnos de Educación por régimen de semestre y de anualidades

= ULA- Táchira

Los alumnos de la Carrera Educación Básica Integral

Los alumnos del Primer Semestre de Educación Básica Integral

Los alumnos de Comunicación Social, Administración y Medicina.

su ⊂

p ⊂

d ⊂

56

Además, los números racionales unidos con los números irracionales dan los números

reales (Q ∪ I = R) y la intersección del conjunto de los números racionales con el

conjunto de los números irracionales es igual al conjunto vacío (Q ∩ I = ∅ ), esto quiere

ecir que un número real o es un número racional o irracional, pero nunca puede ser las d

dos cosas a la vez.

AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES El sistema de los números reales es un conjunto no vacío (R) dotado de las operaciones

llamadas adición y multiplicación denotados por ( + ) y ( . ), que satisface los siguientes

axiom :

esquiera que pertenecen a los números reales: a, b, c R

Par

as que a continuación se especifican

∈Sean tres números cual

a la adición

1. Propiedad conmutativa

, ejemplo 2+1= 1+2 3=3.

+(2+3) 3+3 = 1+5 6 = 6.

3. Elemento neutro♣ xiste un único 0, para cada a,

n nguaje matemático)

odo

+ abba += ⇒

2. Propiedad asociativa

( ) ( )cbacba ++=++ , ejemplo (1+2)+3 = 1 ⇒ ⇒

E

( E le

( ) m de , R , R único 0 ∈∀∈∃ a : que

aaa =+=+ 00

Ejemplo, 4+ 0 = 0+ 4 = 4

♣ Para utilizar el lenguaje matemático debemos señalar que los símbolos ∃∀ , son cuantificadores, el primero significa “ para todo elemento” y el segundo “existe un elemento “

57

4. ento inver

Para cada a, existe un único (-a),

tico)

opues R, −∃∈ a

=+ a

Para la multiplicación

Elem so o inverso aditivo

( En lenguaje matemá

( ) :que modo de , R to ∈∀a

)( −=−+ aaa 0

Ejemplo, 4+(-4) = - 4+ 4 = 0

5. iedad conmutativa

emplo 2.1= 1.2 2=2.

(1.2).3 = 1.(2.3) 2.3 = 1.6 6 = 6.

7. Elemento neutro

st o 1, para ada a,


odoR ∈a

Ejemplo, 4.1 = 1.4 = 4

8. ento inverso o inverso multiplicativo

da a, existe un único

Prop

abba ⋅=⋅ , ej ⇒

6. Propiedad asociativa

( ) ( )cbacba ⋅⋅=⋅⋅ , ejemplo ⇒ ⇒

Exi e un únic c

( ) m de , R , único 1 ∀∈∃ : que

aaa =⋅=⋅ 11

Elem

Para ca ( ) 1−a ,


( ) :que modo de , R inverso cero, el excepto R, 1 ∈∃∈∀ −aa

1= , con a

a 11 =− . . 11 = −− aaaa

Ejemplo, 4.( ) = . 4 = 14− 1- 4 1441

=⋅

58

Única propiedad que relaciona la adición con la multiplicación,

9. Propiedad di tiva, stribu

jemplo:

( ) cabacba ... +=+

E

( ) ( ) 1616 106 8 2 523253 2 =⇒+=⇒×+×=+

e orden:

0. Para cada a R, entonces puede ocurrir solamente uno de los siguientes casos:

Axiomas d

∈ 1

0 >a ; 0<a ; .0 =a ( Princip otio de tric omía)

1. Para cada y b en R, con y , entonces

a 0>a 0>b 0>+ ba y

jemplo,

ea

.0. >ba 1

E

. S 010y 1052 además ,07y 752 entonces , 05y 02 >=×>=+>>

12. Para cada a y b en R, con ba > , si y solo si .0>− ba

Ejemplo,

Si .

03y 325 entonces , 25 >=−>

59

Axioma de completitud

13. Si A R⊂ y A está acotado superiormente, entonces A tiene supremo.

Ejemplo: El intervalo A = ( ) 3 , 1 está acotado superiormente por el tres, tiene supremo y es

l número tres.

ación, los axiomas son la constitución

s básicas, es decir para resolver problemas

estos cuando los necesitemos.

conjunto de los números reales, solamente los cumple él ya

ales e irracionales solamente cumplen parte de ellos.

as siguientes:

e

Este es uno de los axiomas más importante en el

cálculo moderno, este axioma del supremo le da un

les; es

la materia prima en el análisis matemático, es la

esencia en la demostración de muchos otros teoremas

más com

carácter analítico al cuerpo de los números rea

plejos.

Haciendo una comparación con respecto a una n

nacional que regirá al país de las operacione

aritméticos podremos basarnos en

Esos 13 axiomas que cumple el

que los naturales, enteros, racion

Analizando el conjunto de los números naturales, cumple los axiom

Para la adición:

1. La conmutatividad,

2. La asociatividad,

Para la multiplicación:



5. Elemento neutro,

6. Distributividad,

7. Axiomas de orden 11 y 12.

60

El conjunto de los números enteros, cumple los axiomas:

. La conmutatividad,

. La asociatividad

o,

:

,

. Elemento neutro,

, 11 y 12.

racionales, cumple los axiomas:

. La asociatividad,

. Elemento neutro,

ra la multiplicación:


. La asociatividad.

. Elemento neutro,

. Inverso multiplicativo,

. Distributividad,

Para la adición:

1

2

3. Elemento neutro,

4. Inverso aditiv

Para la multiplicación

5. La conmutatividad

6. La asociatividad.

7

8. Distributividad,

9. Axiomas de orden 10

El conjunto de los números

Para la adición:


2

3

4. Inverso aditivo,

Pa

6

7

8

9

10. Axiomas de orden 10, 11 y 12.

61

No cumple el axioma de completitud ya que si tomamos una parte de números de los reales,

ejemplo el conjunto { } 2 0Q/ ≤≤∈= xxA

0 2

Ocurre que 2 2 no pertenece al conjunto, por tanto no tiene supremo ya que es un

hecho existen infinitos números irracionales que se encuentran en el

números racionales es cerrado con las operaciones básicas ya que

“ La suma de dos números racionales es otro número racional”

número irracional. De

conjunto A.

El conjunto de los

siempre que se operan dos números racionales da otro número racional. Veamos esa

demostración:

•

Demostración:

dc

ba y , Sean dos números racionales cualesquiera con a,b,c y d números enteros y

a es

0, ≠db ,entonces su sum

bd

bcaddc

ba +

=+

Como el producto de dos números enteros da otro entero y la suma de dos números enteros

da otro entero tenemos:

,con ,y con , Zfefbdebcadfe

bdbcad

dc

ba

∈==+=+

=+

En consecuencia hemos demostrado que la suma de números racionales da como resultado

muéstrelo para el producto.

otro número racional.

De

62

El conjunto de los números irracionales, cumple los axiomas: Para la adición:


ducto:

4. La asociatividad.

Distributividad,

pletitud.

no siempre la operación aritmética de dos

eros irracionales da como resultado otro irracional.

Ejemplo:

•


Para el pro


5.

6. Axiomas de orden 10, 11 y 12.

No posee elemento neutro en la suma ya que el número cero no es irracional. Al igual que

los números racionales no cumplen el axioma de com

Un hecho de destacar muy significante es,

núm

2 El producto de por el mismo es:

( ) I. 2 pero ,2 2 2 2 2==× ∉

ruébelo para la suma.

ue umple el conjunto de los números reales es la densidad, es

siempre existe otro entre ellos. Los números racionales y

los irracionales también son densos mientras que los naturales y los enteros no lo son, ya

s nunca existirá otro elemento de ese conjunto

s, por lo tanto la densidad no la cumplen.

P

Otra propiedad importante q c

decir dados dos números reales

que si tomamos dos elementos consecutivo

entre ello

63

LEYES DE LOS SIGNOS xisten una serie de leyes a respetar cuando se estén realizando las operaciones básicas

on los números reales, ellas son:

ción

E

c

Para la multiplica :

plo • +=×+ , por ejem+ ( ) ( )3 62 += +×+

( ) ( ) 63• , por ejemplo 2 +=−×− +=×−−

Signos iguales resultado positivo.

( ) ( ) 63• , por ejemplo 2 −=−×+ −=×−+

• −=×+− , por ejemplo ( ) ( ) 632 −=+× −

Signos diferentes resultado negativo.

Para la división:

• , por ejemplo +=÷++ ( ) ( ) 224 +=+÷+ ; 224

+=++

• , por ejemplo +=÷−− ( ) ( ) 224 +=−÷− ; 224

+=−−

Signos iguales resultado positivo.

• , por ejemplo −=÷−+ ( ) ( ) 224 −=−÷+ ; 224

−=−+

• , por ejemplo −=÷+− ( ) ( ) 224 −=+÷− ; 224

−=+−

Signos diferentes resultado negativo.

Es bueno destacar que se puede representar un número negativo de tres maneras posibles,

ellas son:

64

21

− Primera forma

21− Segunda forma y

21 Tercera forma.

−

Cada una de ellas representa la misma cantidad, y por ello es bueno tener presente este

hecho a la hora de resolver los problemas que más adelante se presentarán.

Estrategia para la Enseñanza de las Leyes de los Signos

as leyes de los signos fueron definidas tácitamente por el francés Nicolás Chuquet en el siglo XV de nuestra

ara que funcionen las operaciones con los números positivos y los negativos, es decir se

verdad verdadera los siguientes casos para así evitar posibles contradicciones, ellas son:

la primera y hasta en la segunda etapa de

Educación Básica le vean sentido y por ende sea significativo, es por ello que en estos

L

era, se definió así p

debe cumplir como

Más por más es más,

Menos por menos es más,

Más por menos es menos y

Menos por más es menos.

Esto es muy abstracto para que los estudiantes en

la

casos las estrategias didácticas apropiadas son de gran utilidad para el logro de los

aprendizajes duraderos en los alumnos.

65

Estrategia... xiste una isla por las costas del Atlántico llamada Pacifica, en ella existen ciudadanos

se les asocia el signo más “+” y ciudadanos malos a los cuales se

les asocia el signo menos “-“; los ciudadanos buenos eran aquellas personas las

que los

iudadanos malos eran los asesinos, os, vagos y ó en

el consejo supremo de la isla que salir

buenos a los cuales E cuales trabajaban, estudiaban, deportistas, artistas, niños y ancianos, mientras

c ladrones, malandr políticos. Se acord

de la isla era equivalente al signo menos “-“,

mientras que entrar equivale al signo más “+”.

Los barcos que llegaban a la isla traían y se llevaban a personas, entonces el Rey

interesado por saber lo beneficioso o perjudicial de este hecho hizo el siguiente análisis:

☺ Si un ciudadano bueno ”+” entra a Pacifica “+”, esto es positivo para la isla.

Donde se obtiene que ( ) ( ) , +=++

☺ Si un ciudadano malo “-“ sale de Pacifica “-“ , esto es positivo para la isla.

Donde se obtiene que ( ) ( ) , +=−−

Si un ciudadano malo ”-” entra a Pacifica “+”, esto es negativo para la isla.

Donde se obtiene que ( ) ( ) y −=+−

Si un ciudadano bueno ”+” sale de Pacifica “-”, esto es negativo para la isla.

Donde se obtiene que ( ) ( ) . −=−+

( + )

Luego el Rey resumiendo este análisis en una tabla obtuvo el siguiente resultado:

Entra a Pacifica Sale de Pacifica

( ) −

Ciudadano bueno

( + ) + _

Ciudadano malo

_

+ ( ) −

66

Entonces el Rey concluye que el producto de signos iguales es positivo, mientras que el

roducto de signos diferentes es negativo y “colorín colorado esta estrategia ha

FRACCIONES

ón es una expresión de la forma

p

terminado”.

yxUna fracci donde x e y pertenecen a los números

enteros, además “y” debe ser diferente de cero. ¿Por qué?.

la variable “x” se le conoce como numerador o dividendo y a la variable “y”

inador o divisor.

A

denom

Variable algebraicamente se define a toda aquella letra que le podemos asignar

ente cualquier valor numérico.

ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES uando sume o reste fracciones se encontrará con dos casos posibles, cada uno de ellos

tiene su forma parti

les, se escribe el mismo

nominador y se suman o restan los numeradores.

arbitrariam

C

cular de solución:

Caso 1: Si los denominadores de las fracciones son igua

de

ecba

ec

eb

eaentonceseconecbasean ±±

=±±≠∈ ,0 R, ,

Ejemplo:

,,

5 4

51271

512

57

5−

=−+

=−+

1

67

Caso 2: Si los denominadores de las fracciones son diferentes, se procede siguiendo la

siguiente regla.

bdbcad

dc

baentoncesdbcondcbasean ±

=±≠∈ ,0, R, ,,,

Ejemplo:

( ) ( )( ) 30

2730

151265

356263

52

=+

=+

=+

multiplica numerador con numerador y denominador con

enominador es decir, la multiplicación de fracciones es lineal.

MULTIPLICACION DE FRACCIONES

Para multiplicar fracciones se

d

bdac

dc

baentoncesdbcondcbasean =⋅≠∈ ,0, R, ,,,

Ejemplo:

( )( ) 8

454242959

==×

DIVISION DE FRACCIONES ara dividir fracciones se multiplica en cruz, numerador de la primera fracción por

5

P

denominador de la segunda fracción y denominador de la primera por numerador de la

segunda es decir, la división de fracciones es cruzada.

bcad

dc

baentoncesdcbcondcbasean =÷≠∈ ,0,, R, ,,,

jemplo: E

( )( ) 279373

35759==÷

xiste una forma de transformar las divisiones en multiplicaciones, esta consiste en invertir

l orden de la segunda fracción, es decir el numerador pasa a ser denominador y el

denominador a ser num

5

E

e

erador.

68

bcad

cd

ba

dc

baentoncesdc,bcondcbasean =⋅=≠∈ ,, R, ,,,

jemplo:

÷ 0

E

( )( ) 27

359375

97

35

795

3==×=÷

ntes de comenzar con el trabajo operacional es bueno señalar que es indispensable el

ominio adecuado de las tablas de multiplicar, existe la siguiente estrategia

A

d para el

dominio de dicho prereq s

1. Construya una tabla de 10x10 como a

*

ui ito:

l siguiente:

69

2. Colóquese en la primera fila y prim c m l

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9

era olu na os números del 1 al 9:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. Ahora, en la segunda fila coloquen los núm de 1 en 1; en la segunda fila de 2 en

dos; en la fila 3 de tres en tres y así e te con el resto de filas.

8 9

eros

suc sivamen

* 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 1 16 83 3 6 9 12 15 18 24 27214 5 5 10 15 20 25 30 35 40 456 7 7 14 21 28 35 42 49 56 638 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

4. a las tablas de multiplicar. Para conseguir el resultado de una

ultiplicación determinada procedemos de la siguiente manera:

¿Cu to es 9x7?. Ubicamos primero la fila 9, luego la columna 7, el sitio donde se intercepte esta fila con la

columna es el resultado deseado.

Ya tenemos construid

m

án

70

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 183 3 6 9 12 15 18 21 24 274 4 8 12 16 20 24 28 32 365 5 10 15 20 25 30 35 40 456 6 12 18 24 30 36 42 48 547 7 14 21 28 35 42 49 56 638 8 16 24 32 40 48 56 64 729 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Ejercicios resueltos:

Efectúe lo siguiente:

1)

Columna 7

La casilla de intersección nos indica 63, por lo tanto su resultado es 63. Este proceso se

aplica de manera análoga para resolver cualquier multiplicación que necesitemos.

1414727217107527151

=+

=×+×

=+ ×

Como es una suma de fracciones de diferentes denominadores, se aplicó la regla

respectiva.

100

2) 82412412 ×⎤⎡⎤⎡

520520

5356

201012

157516

452543 7

56

42

53

=×

=⎥⎦⎢⎣×⎥⎦⎢⎣

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

××+×

×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

××−×

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

Fila 9

71

8015212032

121084124344134

=+

=

=×+×

=+=⎥⎤

⎢⎡ ×

+⎥⎤

⎢⎡ ×

=⎥⎤

⎢⎡ ×

3)

80

8108101852845

21

×⎦⎣ ×⎦⎣ ×⎦⎣+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ÷

e undo matemático debemos casi siempre pensar en lo siguiente. “ Será que esto lo

CRITERIO DE SIMPLIFICACION

En l m

puedo hacer de manera más sencilla”. Observemos que una fracción generalmente se puede

copiar como otra equivalente pero más pequeña. Esto se puede realizar gracias al teorema

de la simplificación.

.0,,con , entonces , R ,,,,Sean ≠=∈ edcababcedcba decde

se e que en esencia lo que se hizo fue eliminar la variable “ c ”, esto se puede hacer

pre y cuando todos los elementos del numerador estén multiplicando entre si y todos

los elementos del denominador también lo hagan y además exista un elemento que esté

rriba y abajo a la vez.

Aquí se presenta un error muy común a la hora de aplicar este criterio maravilloso,

Ob rv

siem

a

.deade

≠ Aquí no se puebcbc+ de eliminar la variable “ a ” ya que ella en el numerador está

sumando, por lo tanto no cumple las condiciones del Criterio de Simplificación, luego no

se puede eliminar.

)

a

2651513

2615

513

2610

2625

51

512

=××

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + 4

72

Obsérvese que el 15 y el 26 se pueden descomponer en producto de otros números

llamados números primos ♣ o factores primos de un número dado, luego aplicamos el

criterio de simplificación si es posible.

23

21353513

=××××

5) =+−+−+187

6222

1223

47

31

Con lo que conocemos hasta ahora debemos agrupar en pares y luego ir resolviendo así,

• 1225

12214

47

31

=+

=+

121

1224232

1223

=+−

=+− •

( )1859

54177

5421198

1832118 11

187

311

187

622

−=−

=+−

=×

+−=+−=+− •

Así tenemos que,

1859

121

1225

187

6222

1223

471

3−+=+−+−+

esolviendo el lado derecho,

R

=−

==×

×−×=−=−=−+

108120

108354-234

1865961813

1859

613

1859

1226

1859

12125

12

implificando, S

910

2730

5460

108120

−=−=−=

os,

−

Así tenem

910-

187

6222

1223

471

3=+−+−+

Un número se llama primo si solamente es divisible por el mismo y por la unidad. ♣

73

Existen algunos criterios que nos permiten saber si un número entero es

divisible entre, dos, tres y cinco.

número divisible entre tres. Por ejemplo:

1263 es divisible entre tres ya que 1+2+6+3=12 y 12 es divisible entre

Un número es divisible entre dos, si termina en cero o es par.

Un número es divisible entre tres, si la suma de sus dígitos es un

tres.

4213

1263=

Un número es div o o cin o.

OTROS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:

isible entre cinco, si termina en cer c

Un número es divisible entre cuatro, si el número formado con las

936 es divisible entre 4, ya que 36 es múltiplo de 4 ( 9

dos últimas cifras es múltiplo de cuatro. Por ejemplo:

4 36=× )

úmero es divisible entre seis, si el número es divisible por dos

y tres de manera simultánea.

us cifras es

múltiplo de nueve. Por ejemplo:

26991 es divisible entre 9, ya que 2+6+9+9+1=27 y 27 es múltiplo de 9.

Un n

Un número es divisible entre nueve, si la suma de s

Un número es divisible entre diez, si termina en cero.

74

Observe que el problema anterior fue un poco largo, ya que solamente podíamos trabajar

n pares de fracciones, pero no hay que preocuparse por ello, porque existe un

más sencillo que nos permitirá transformar las fracciones que aparezcan

restando en una sola. Para ello utilizará el mínimo común múltiplo

)

números a

co

procedimiento

sumando o

( m

... mc

Se denomina m.c.m. de dos y b l menor número no nulo que es múltiplo de a a

simultáneamente de by .

o o cua ador de una fracción

ra hallar el ... mcm Procedimiento pa

El de un conjunto de números, es otro número conformado por los factores primos ... mcm

comunes y no comunes con su mayor exponente de ese conjunto de números.

Ejemplo:

« Halle el mínimo común múltiplo de 25, 50, 45. Solución:

P os rimero descomponemos cada uno de esos números en sus factores prim

53345 55250 5525 ××=•××=•×=•

Luego, aplicando la definición

... mc (25 , 50 , 45 ) = 33255m 450=××××

Este tiene una propiedad funda enor número divisible♦ entre cada ... mcm mental, de ser el m

uno de los núme ple esta propiedad. ros en cuestión. Veamos si 450 cum

1045

450 950

=•450 18

25450 =•=•

♦ Un número es divisible entre otro cuando su cociente es un enter ndo el numeres un múltiplo del denominador de dicha fracción.

75

6 a . Resuelv =−++−61

334

18108

3611

97

Solución:

inador ya que hallaremos el

entre el conjunto de denominadores.

El ... mc también se conoce como el mínimo común denomm

... mcm

326 33 33218 332236 339 ×=•=•××=•×××=•×=•

Así , el ... mcm (9, 36 ,18 , 3, 6 )= 363322 =×××

Ahora este lo dividiremos entre cada uno de los denominadores y su resultado lo

ltiplicaremos por su respectivo numerador.

... mcm

mu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

36635

3617652

3664082161128

36 1 6 34 12 108 2 11 1 7 4

61

334

181087

36911

=−

=−++−

=

=

−++−=−++−

Otro procedimiento llamado el de las columnas para hallar el

en distintas columnas y proceda a hallarles sus factores de manera

multánea como la siguiente representación:

rimos

25 50 45 5 10 9 2

3 3

a de los factores primos es el , entonces

=×××× Donde

... mcm Dispónganse la serie de números

si

Factores p

5

1 5 3 3

1

1 5

El producto de la column ... mcm

( ) 450 45 50, 25, ... =mcm 5 450. 5332

76

últiplos de cada uno de los números problema, luego revíselos y seleccione el

n jemplo:

ltiplos de los números 25, 50 y 45 son:

M 0,325,350 250,275,30 225, ,175,200, 00,125,150 25,50,75,1 25 =

bserve que el múltiplo más pequeño y común a los tres números es 450 por ende el

de números es 450.

Si s ¿cuál de esos procedimientos utilizar?, pues no se preocupe , ya que usted

pue importa la vía que tome, el

resultado debe ser el mismo.

El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el máximo número

que

Se denomina M.C.D. de dos números a

Otro procedimiento basado en la definición del ... mcm

Halle los m

me or común a esa serie de números problemas. E

Los mú

( ) { } ... 5,450,375,400,42,

M ( ) { , 150 00, 1 50, 50 = } ... 600 550, 500, 450, 400, 350, 0, ,30 250 200,

M ( ) { } ... 585 540, 495, 450, 405, 360, 315, 270, , 225 180, , 135 90, 45, 45 =

O

... mcm de esa serie

e pregunta

de utilizar el procedimiento que más domine, porque no

divide a todos los demás.

y b al mayor número no nulo que es divisor de a

y simultáneamente de b.

77

Procedimiento para hallar el M.C.D. El M.C.D. mado por los factores primos de un conjunto de números, es otro número confor

comunes con su menor exponente de ese conjunto de números.

Ejemplo:

« Halle el máximo común divisor de 25, 50, 45.

Solución:

Primero descomponemos cada uno de esos números en sus factores primos

55250 555 53345 2 ××=•××=•×=•

Luego, aplicando la definición

M.C.D. (25 , 50 , 45 ) =5

Este M.C.D. tiene una propiedad fundamental, de ser el mayor número divisor entre

cada uno de los números en cuestión. Veamos si 5 cumple esta propiedad.

9545 10

550 525 =•=•=•

5

Ejercicio resuelto:

l entre 25, 125 y 100.

Solución:

« Halle e ... DCM

Descomponemos los números en sus factores primos, así

máximo es , ya que está en cada uno de los números estudiados , así que el

es 25.

Se denota como

55 25 ×=

555 125 ××=

5522 100 ×××=

Observe que 5 es un factor común en la serie de números, pero observe también que el

55 ×

... DCM

... DCM ( ) 25 100 ,125 ,25 =

78

« Halle el ntre 1 ... DCM e 35, 45 y 630.

Solución:

Descomponemos los números en sus factores primos, así 3 ×=×××=

2 ×=××=

ese que el factor común es el 3 y el 5, ¿por qué el 2 y el 7 no lo son?, luego se toma

que tenga menor exponente, así el

5135 35333

53533 45

753275332 630 2 ×××=××××=

Nót

el ... DCM ( )135 4553 630 ,45 , 2 =×= .

Otro procedimiento basado en la definición de D l os divisores de cada uno de los números problema, luego revíselos y seleccione el

r común a esa serie de números problemas. Ejemplo:

Los divisores de los números 250, 500 y 450 son:

}125, 250, 50 =

D }125 250, 500, 500 =

}75 90, 50, 225, , 450 =

Observe que el divisor común y mayor a los tres números es 50 por ende el de

e de núme s es

l .CM ..

Ha le l

mayo

D (2 ) { 5 , 10 25, 50,

( ) { 5 10, 25, 50, ,

D ( 1 450) { 3 5, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, ,

... DCM esa seri ro ( ) 50 450 500, ,250... =DCM .

Este concepto será de gran utilidad en el capítulo 2 referido a las técnicas de factorización.

79

EJERCICIOS 1.2

Resuelva y simplifique las siguientes operaciones:

1. ( ) =−−++−− 45134354365

2.

3.

4.

( ) =−+−− 6846 634 15. ( )[ ] =−−+ 161333 22 5

( )[ ] =−−−−+ 2 ) 1234(78 532 3

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+52

5321

3 3

2

=−

−

1811

127

83

94

=+7

1873 5. 16.

=−+−

82

86

812 6.

7. ( )=

−−

−745

73 17. =

+−

−

165

812

331

=−+85

211

43 8.

=−

−

321

21

43

18. =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+− 7

35

48

1133 9.

10. =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+

−−

51

714

712

545

19. =−

+

2435

125

73

215

( )

=×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

÷43

143

79 11.

=−

−

65

1819

32

43

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−−

4133 2

313

117 7

52

2112. 20.

13.

14.

=

−−

−

213

12

11 ( ) =××××= 222222 5 21.

=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

73

73

73 2

Estas fracciones se llaman fracciones complejas.

43

22. = 23.

+−312

+−+− 13

14

=

+211

+11

+11

50

LOS NUMEROS DECIMALES

ecimal es aquel número que posee una parte entera y una decimal. Se

n pidamente porque po tre alguno de sus g jemplo:

1,6588

0,78326428

• -3,000

La aquella que se encuentra antes de la coma y la parte decimal la que se

a. En un número decimal cada una de las posiciones de los dígitos

onuncia la cantidad de una manera

n el siguiente número decimal, veamos el nombre de algunas de las posiciones de los

ígitos.

3 8 7

ntos noven

mil ciento treinta

Un número d

ide tifica rá see una coma en dí itos. E

• 23,546 •

•

parte entera es

encuentra después de ell

tiene un nombre específico y dependiendo de ello se pr

determinada.

E

d

Este número se lee

quinie

Mill

ardo

s C

ente

na d

e m

illón

D

ecen

a de

mill

ón

Uni

dad

de m

illón

C

ente

na d

e m

il

D

ecen

a de

mil

Uni

dad

de m

Cen

tena

de

cena

U

nida

d D

écim

as

Cen

tési

mas

M

ilési

mas

D

iezm

ilés

Cie

nmilé

sim

as

il ima

9 5 9 7 0 7 5 , 8 4 1 3 2

ta y siete mil setenta y cinco unidades con ochenta y cuatro

y dos cienmilésimas “

como “ Tres millardos, ochocientos setenta y nueve millones,

50

Ejercicios:

Escriba los siguientes números en forma verbal:

0,4553 « 540000004

« 45346,0024

« 4,657

iguientes números en for a numérica:

« Ochocientos millones cuatro unidades con noventa milésimas.

« Cuarenta y cinco m ilésimas ventiuna cien

millonésima.

Cuatro mil una unidad con treinta y tres milésimas.

Ciento treinta y ocho millones cuatro unidades con tres décimas.

meros decimales también podemos realizar las operaciones básicas, para efectuar

ntera así como la decimal. Ejemplo:

¿Cuál

« 434,7575 « 1200000000

«

Escriba los s m

il novecientos sesenta y tres con ocho m

« Una cienmilésimas.

«

« Treinta y seis mil millardos con tres unidades.

«

Con los nú

la adición o sustracción debemos tener presente que coincida las posiciones de la parte

e

« es el valor de =+−− 6456,23 7,34246,06456, ?

Solución:

e por separado las cantidades positivas y las negativas disponiendo una debajo de

dable ver las cantidades negativas como deuda y las positivas como

débitos y la operación final sería realizar un balance de pago. Veamos,

+

os,

Sum

otra. Es recomen

46 , 0 ,7 342 6456,6 456, 23

+

En las posiciones después de la coma donde hagan falta números completamos con cer

luego:

51

4600 , 0 00342,7 6456,6 456, 23

+ +

El 6 le presta una milésima al 0 para poder

6 en 5 y el

0 en 10.

El b cir las deudas eran pocas.

será negativo. Ejemplo:

« su resultado es:

Solución:

366,156 (Débitos) 7, 1056 (Deudas)

Haciendo ahora el balance con los débitos y las deudas tenemos,

1056 efectuar la resta, quedando el

, 71560 , 366

−

0504 , 359

alance es positivo porque me queda dinero, es de

Si las deudas son mayores que los débitos el balance

45,67456,789 +−

Realizamos la resta de manera natural y le colocamos el signo de la cantidad mayor,

450,67 456,789−

006,722−

Así, su resultado es:

006,72245,67456,789 −=+−

52

MULTIPLICACION DE NUMEROS DECIMALES El requisito básico que necesitamos es saber medianamente las tablas de multiplicar y el

proceso consiste en lo siguiente:

« Resuelva

Primero colocamos las cantidades una debajo de la otra como en el caso de multiplicación

con números enteros,

Realizamos la operación como si no tuviese decimales,

comenzando de derecha a izquierda.

La cantidad de decimales que posee el problema son dos, así el

resultado final también debe tener dos decimales, entonces

=× 5,34,23

5,34,23

×

7021170

90,81

81,90 5,34,23 =×

DIVISION DE NUMEROS DECIMALES Primero recordemos como era el proceso para números enteros:

248

= Donde el 8 es el dividendo, el

sultado de esa operación?

4 el divisor y el 2 el cociente. ¿Cómo

sabemos que 2 es el re

Muy fácil, dispongamos la fracción de esta manera:

8 4 ? Un número que multiplicado por 4 de

8. Pues bien es 2. Así, 8 4 Esta división es exacta ya que su -8 2 residuo es cero. 0ÕResiduo.

Dividendo divisor Distribución equivalente a la igualdad residuo cociente rd.cD +=

53

« esuelva la siguiente división .59 R

Solución:

Por lo tan os que: to tenem 8, 1 59

= .

« Resuelva la siguiente división .41

Solución:

-5 1,8 Como no existían más cifras en el dividendo para bajar 40 le agregamos un cero a la derecha del residuo y una

-40 coma en el cociente, así:

9 5 -5 1 Observe que el residuo no es cero, por lo tanto el resultado 4 o cociente es un número decimal.

9 5

0

1 4 Como uno no es divisible entre

os nte.

-20

10 0,25 cuatro, entonces le agregamos -8 un cero al dividendo y copiam

20 cero y una coma en el cocie

0

54

Ahora, ya conoces el proceso para efectuar la división de un número entero entre otro

entero, pero ¿cómo es el proceso para efectuar la división de decimales entre decimales

o d

Ejemplo:

« El resultado de

ecimales entre enteros?

2, 03, 2 es:

Solución:

Como ya sabes dividir números enteros entre enteros, deberíamos preguntarnos:

¿Puedo copiar este número 2, 03, 2 en otro número donde sea número entero entre otro

entero?

Observe que si multiplica la fracción por 1 ella no varia, ya que el “ 1 ” es elemento

neutro en la multiplicación.

13, 23, 2×=

2, 02, 0

Pero uno (1) se puede copiar de infinitas formas, por ejemplo:

1001002, 0102, 022, 02, 02, 02, 0 a

La forma que nos interesa

3, 23, 23, 23, 23, 23, 2 1 ×=×=×=×=a

es la antepenúltima ya que,

2 10=×

223

1010

2,03,2

=× , así

23 2 -2 11,5

-2 03

10 -10 0

5,11 2 03 2

2, 03, 2

== Luego,

55

En resumen en este tipo de proceso trataremos de transformar el divisor en un número

entero, utilizando para ello múltiplos de 10 según sea el caso.

Otro ejemplo,

« Evalúe a

Solución:

=÷ 12,0345,3

Multiplicaremos y dividiremos entre 100 para lograr el divisor entero,

125,334

100100

12,0345,3

=× , luego

Entonces, =÷ 12,0345,3 27,8

Se d ce que estos núm les están escritos en un sistema numérico específico, el

sistema numéri ya que cualquier número aparece como combinación de

elem

i

co decimal, eros decima

entos del siguiente conjunto:

{ } 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , ,1 0 decimal sistema del lementosE =

llama decimSe al porque posee sólo diez elementos el conjunto numérico. Pero este no es el

único s baja enormemente, por ejemplo el

sistema u

istema numérico que existe y con el cual se tra

n mérico binario ( { } ,1 0 bin sistema del Elementos ario = ) es utilizado como

lenguaje en el ámbito de la computación, el sistema numérico sexagésimal utilizado este

el r os a continuación.

33 4,5 12 Agrupamos a dos cifras ya que -24 27,8 33 es divisible entre 12. 94 -84 Cuando bajamos el 5,debemos

105 colocar una coma en el cociente -96 ya que el 5 es parte decimal. 9

como lenguaje en los relojes, y otros sistemas muchos más antiguos no posicionales como

omano que verem

56

ANO

Los rom os poseían un sistema de numeración muy útil y práctico ya que hasta ahora todavía es utilizado

para ma ítulos en los libros, identificar las promociones en los liceos y universidades, e incluso como

Los ro y valores al sistema decimal

n los siguientes:

len la siguiente relación:

Para escribir cualquier n mero romano debemos hacerlo co binación de los signos

i .

en aparecer como máximo tres veces a la

derecha de uno mayor o igual. Ejemplo:

SISTEMA DE NUMERACION ROM

an

rcar cap

números en algunos relojes analógicos.

manos sólo tenían siete signos numéricos, cuyo signo

so

I V X L C D M

0 50 100 500 1000

1 5 1

Observe que los elementos cump

I ⎯⎯⎯ →⎯×10

X ⎯⎯⎯ →⎯×10

C ⎯⎯⎯ →⎯×10

M

V L ⎯⎯⎯ →⎯×10

⎯⎯⎯ →⎯×10

D

ú mo com

anteriores, los cuales son llamados símbolos básicos, y además deben ser escritos de

izquierda a derecha y respetando los siguientes principios:

Pr ncipio de Repetición

a) En un número los símbolos I,X,C y M pued

se debe escribir XXXX, sino XL. Cuarenta no

no se debe escribir CXXXX, sino CXL. Ciento cuarenta

57

b) E un número los símbolos Vn , L y D nunca se repiten de manera consecutiva.

Ejemplo:

Cien no se debe escribir como LL, sino C.

o DD, sino M.

c) En un núm ás de un símbolo menor a la izquierda de uno

mayor. Ejemplo:

Ocho no se debe escribir como IIX, sino VIII.

Ochenta no se debe escribir como XXC, sino LXXX.

Ningún símbolo puede repetirse más de tres veces. Ejemplo:

Cuatro no se debe escribir como IIII, sino IV.

Catorce no se debe escribir como XIIII, sino XIV.

Mil no se debe escribir com

ero no se puede escribir m

d)

Principio de Adición.

ero romano los símbolos básicos aparecen en su orden natural

M, D, C, L, X, I, el número representado es la suma de los números indicados

bolos. Ejemplo:

CLX = C+L+X

= 100 + 50 + 10 = 160.

Cuando en un núm

decreciente:

por los sím

= 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 1 = 1661.

Principio de Sustracción.

a o un símbolo m nor se escribe a la izquierda de otro mayor, el símbolo menor se

tr del mayor. El I sólo puede estar antes d ó de X (no puede aparecer antes del

MDCLXI = M + D + C + L + X + I

Cu nd e

sus ae el V

58

L,C ; ,D ó M ) el X sólo antes de L ó de C ( no puede aparecer antes del D ó M ) ; el C

tes de D ó de M ( I,V,X ó L no puede aparecer antes del D ó M ). Ejemplo:

XIX = X + ( X - I )

= 10 + ( 10 – 1 ) = 10 + 9 = 19.

IX = X - I

sólo an

= 10 – 1 = 9.

licacdo obre un sí o o de un número, el símbolo o parte del número se

ultiplica por 1.000 . Dos rayas multiplican por un 1. 000. 000. Tres rayas multiplican por 1. 000. 000.

0. Ejemplo:

Principio de Multip ión. Cuan se coloca una raya s mbol una parte

m

00

I XX = ( ) ( ) 20001 1 20000 1 20 1000 =+=+×

( ) ( ) 000.000.6 6 000.000.1 VI =×=

59

EJERCIC

implifique las siguientes operaciones:

)

IOS 1.3Resuelva y s

1. =+−+ 456795,129,455345,0

2. ( ) ( =−−−− 56 3,834,56 2

3. ( ) =×+× 5,4453,096, 23

4. ( ) =− 765,4 47945

. 5 =+− 956,843

6. =9,67

6,5

7. ( ) =+− 4,23 4555,34 3,0

8.

9.

( ) ( ) ( ) == 6,7 7,67,6 2

=−+1991994

1095

997

10. =÷−× )82,6(1186,9

11. =−−− 45

3,156

( ) =− 3 21,0 12.

( ) ( ) ( ) =− 04,22 1,8 76,5 13.

14. =0 23

15. =0

1723

16. ++++++ 654321 …=

++++++++++++++ 100999897

100999897654321 …

17. ( )[ ] =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×−−−+ 9,35686,723

43 33

18. Escriba los siguientes números en forma verbal:

vii) 345698667,489 i) 12003001,003

) 1200301,03

iv) 55678786,76563

v) 0,00456 viii) 3500000000

os en forma numérica:

) Treintitrés millardos y medio.

iv)

ii

iii) 300000000000 vi) 10,0456

19. Escriba los siguientes númer

i) Quinientos millones trescientos cincuenta mil con treintiocho diezmilésimas.

ii

iii) Doscientos ochenta mil novecientos cincuenta y tres con una cienmilésima.

Sesenta y cinco mil treintiocho con dos mil quinientas cienmilésimas.

60

20. Escriba los números del 1 al 100 en números romanos.

e los siguientes números romanos: Identifiqu

21. II CLI 26.22. XXIV

23. CC

24. MXVI

25. MMM

LV

27. CXIX

28.

30.

:

31. 111 37. 2345

40. 100

peracion s:

MLVIII

29. LXXXIII

IIMDCCCLXXXV

Escriba en números romanos las siguientes cantidades

32. 1500000

33. Veinte millones

34. 776

38. Novecientos noventa y nueve mil

novecientos noventa y nueve.

39. 42425667

35. 645442

36. 4570

Realice las siguientes o e

41. =++ LXXXVICCCXLVMMM

42. =+− DCLXXVVIICMLXXICCCIV

3.4 =−−− CCXXXIVLXXXLXXVIII

44. ( ) ( ) =

45.

× L XXXIX

( ) ( ) ( ) =×× VII II XIX

( ) ( ) ( ) =×× XI XI XI 46.

=×× M C X 47.

48. =×× D L V

49. ¿ Cuál es el mayor número que se puede copiar utilizando C, L, I, una vez solamente?.

es el mayor número que se puede copiar utilizando M, X, L, una vez

anos.

¿ Y el menor número?

50. ¿ Cuál

solamente?.¿ Y el menor número?

51. Diga dos inconvenientes que se tienen al trabajar con los números rom

61

FRACCION GENERATRIZ Recuerde que se consiguió un camino para transformar una fracción a un número decimal

zar las operaciones básicas con los números

lado para otro y el proceso para transformar algunas

expresiones decimales a fracciones se conoce como fracción generatriz.

La fracción generatriz se le puede conseguir solamente a los números racionales y

cabe preguntarnos, ¿cómo identifico si un número decimal es o no un número racional?.

Existen dos criterios, ellos son:

y que además a veces es más fácil reali

decimales que con las fracciones. En la matemática siempre existe la forma o el proceso

para cruzar ese puente de un

ecimal tiene decimales finitos entonces es un número racional.

Si el número decimal tiene decimales infinitos y además existe uno o más números

ue se repiten indefinidamente es decir, tiene período, entonces es un número

Si el número d

decimales q

racional.

Ejemplo

« Halle la fracción generatriz del número 456,3 .

Solución:

Este número tiene fracción generatriz ya que sus decimales son finitos es decir, se puede

ema a una letra (var

contar sus decimales, tiene tres.

Iguale el número probl iable) cualquiera, así:

456,3=y

Ahora trate de colocar la coma en el último decimal, utilizando para ello multiplicaciones

por múltiplos de 10.

1000456,31000 ×=× y

ya que tiene tres decimales y además se multiplicó a ambos lados de

igualdad ya que esta es como una balanza, es decir si coloca algo en un lado debe

colocarlo también en el otro para no desbalancear la expresión. la

multiplicación:

Multiplique por 1000

la

Resolviendo

62

34561000 =y

Pase el número que multiplica la variable a dividir a la expresión del lado derecho,

10003456

=y

Finalmente, simplifique la fracción,

125432

250864

5001728

10003456

====y así, 125432

=y es la fracción generatriz.

Para comprobar este resultado se realiza la división indicada.

Halle la fracción generatriz del número « …4444,1

Solución:

Este número tiene fracción generatriz ya que sus decimales son infinitos y el número 4 se

repite indefinidamente por lo tanto es un número decimal periódico puro.

os a una variable,

Nuestro objetivo es lograr eliminar los decimales de la expresión (I), observe que ocurre

Igualam

… (I)4444,1=z

cuando se multiplica la expresión ( I ) por 10. ( ) …… 4444,1410 10 4444,1 10 =→×= zz (II) Analizando un poco lo realizado, tenemo

ya que el 4 es el período.

s que se multiplicó ambos lados de la igualdad por múltiplos de 10

Restando (I) de (II),

( ) 1,4444 4444,1410 ……

=−=

z

z= 13

z

9

913

=z

63

Así, la fracción generatriz del número ♣ …4444,1 es .13 En otras palabras 9

9

134444,1 =… .

« Halle la fracción generatriz del número …11353535,6

Solución:

Este número tiene fracción generatriz ya que sus decimales son infinitos y el número 35 se

ecimal periódico. A diferencia del

nterior no es periódico puro ya que existen algunos números después de la coma que no

able,

(I)

les, pero cuando la

cantidad problema tiene anteperíodo, conseguirá dos expresiones que dependan de la

a con la coma antes del período y otra con la coma después del período.

…

repite indefinidamente por lo tanto es un número d

a

pertenecen al período, es decir tienen anteperíodo.

Primero, iguale a una vari

… 11353535 , 6=n

Al igual que el ejemplo anterior, nuestro objetivo es eliminar los decima

primera; un

Veamos:

( ) 353535 , 11 6100 100 11353535 , 6 100 … =→×= nn (II)

( ) 3535 , 35 11 6 10000 10000 11353535 , 6 10000 …… =→×= nn (III)

Así, se ha conseguido dos expresiones dependientes de la primera que tienen los mismos

decimales. Ahora reste (II) de (III):

♣ 1,444... es equivalente a que se lee uno generatriz cuatro. 4 ,1

(100 353535 , 61135 10000

)611 … 353535 , …

=n

9900 n = 60524

−=n

990060524

=n

Simp fi ando asta su mínima exli c h presión.

64

247515131

495030262

990060524

===n2475

15131=n Así,

de la mayor nos da

l mismo resultado, es decir, restar (III) de (II). ¡Queda como ejercicio ¡ ¿Qué concluye?

NUMEROS MIXTOS Recordando un poco vemos que podemos encontrar los números reales de dos formas, ya

sea como fracciones (no todos) ¿por qué? o como decimales. En este sentido, veremos

ue existe otra forma más, mediante la cual pueden aparecer los números racionales, esta

s en la forma de número mixto.

Para establecer l :

enominador. Ejemplo:

Importante... Sería interesante saber si la resta de la cantidad menor

e

q

e

a definición de número mixto debemos conocer lo siguiente

Fracción propia, es toda aquella fracción cuyo numerador es menor que el

d100-

1- ,119- ,

32 .

Fracción impropia, es toda aquella fracción cuyo numerador es mayor que el

denominador. Ejemplo:

10-11311-1922 ,- , .

úmero mixto, es aquel que consta de un número entero diferente de cero más una

acción propia. Es muy importante señalar que solamente las fracciones impropias se

Nfr

pueden transformar en números mixtos.

Ejemplo :

« 213 es un número mixto y se lee : tres y un medio.

65

Una puede transformar en un número mixto y para ello utilizamos el

guiente procedimiento:

fracción impropia se

si

« Transforme la siguiente fracción impropia 27 en un número mixto.

olución S :

roceda a realizar la división, donde el cociente entero será el número entero del número

mixto y el residuo sobre el divisor será la fracción propia.

Así,

P

21

27 3= esto quiere decir que tres un medio es el número mixto de la fracción

propia siete medios.

o

im

« Transforme el siguiente número mixt 5311 en una fracción impropia.

Solución:

n la definición de número mixto tenemos lo siguiente,

2

7 -6 3

1

Segú

( )5555

11 5

=5835535 11 3311 +

==+=

Así que,

+

558

5311 =

5311

Regla nemotecnica

a Se multiplica

Luego Se sum

Fracción

66

«5311− Transforme el siguiente número mixto en una fracción impropia.

Solución:

Obsérvese que es el mismo valor del problema anterior pero con signo contrario, entonces

( )558

555555 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝

5835535 11 31133 1111 −=⎟⎞

⎜⎛−

D

a desigualdad es una relación entre dos números, ecuaciones o expresiones algebraicas, ellas nos

con algunos de los

• , se lee menor que

• , se lee mayor que

• , se lee menor o igual que y

• , se lee mayor o igual que.

as desigualdades cumplen las siguientes propiedades:

. Si

=⎟⎞

⎜⎛ +

−=⎟⎞

⎜⎛ +

−=⎟⎞

⎜⎛ +−=⎟

⎞⎜⎛−=−

ESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Lpermiten establecer un orden, una jerarquía en los números reales, se denotan

siguientes símbolos:

<

>

≤

≥

L

Sean ∈cba ,, R, entonces:

1 ) dadTransitivi ( . entonces , y cacbba <<<

2. ) Suma ( . entonces , cbcaba +<+< Si

3. Si .. entonces , 0y cbcacba <><

S , i entonces 0y cbcba ><< licación) .. ca (Multip

67

La propiedad 1 establece que Pedro es más pequeño que María y María es más pequeña

que José entonces, por transitividad Pedro es más pequeño que José.

La propiedad 2 establece que si suma s o restamos el mismo número a ambos lados de la

esig ella se c jemplo:

mo

d ualdad, onserva. E

sumando , 53 75 2523 tenemos2 lados ambos a < <→+<+

31 2523 tenemos2) (- lados ambos a restando , 53 <→−<−<

La propiedad 3 señala que si multiplica una desigualdad por un número positivo ella se

conserva, caso contrario si se multiplica por uno negativo cambia. Veamos:

( ) ( ) ( ) 40205.85.4 , tenemos5por lados ambos ndomultiplica , 84 <→<<

( ) ( ) [ ] ( ) 40 205-.8 ? 5-.4 , tenemos5-por lados ambos ndomultiplica , 84 −>−→<

Cambia la relación de orden.

Pedro María José

68

Importante...En la rec ar que una cantidad es mayor que otra si:

La primera está más lejos

ta real se puede observ

del origen por la derecha que la segunda.

Ejemplo. , ya que 4 está más lejos24 > del origen por la derecha que 2.

La primera está más cerca del origen por la izquierda que la segunda.

Ejem o. , ya que -3 está más cercapl 8 3 −>− del origen por la izquierda que -8.

Y un

La sa cantidad es menor que otra si:

primera está más lejo del origen por la izquierda que la segunda.

Ejemplo. , ya que -8 está más lejos38 −<− del origen por la izquierda que -3.

La primera está más cerca del origen por la derecha que la segunda.

Ejemplo. , ya que 2 está más cerca42 < del origen por la derecha que 4.

un

12

<→<<<

« Ubique con el símbolo de orden más apropiado.

1.

2. 2

3.

4.

5.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Alg as relaciones posibles son:

1.- que alejado más está 10- que Ya -1.-10-1-2-610-

3. queorigen del alejado más está 12 que Observe .31231011 >→>>>

[ ]10 10− 6.

[ ] 19- 1−

[ ]10 0 1

[ ]111,0001 111

[ ]0,33 5640−

[ ] 1.000.000- 945

7. [ ] 98655423- 003,0−

8. [ ]2 39

[ ]21

236

− 9.

[ ]97

31 44 10.

[ ]1223-

5611-

-11 -10 -9 -8 –7

R

11.

69

Con s nstruir lo intervalos. Un intervalo es una expresión

matemá ite expresar en la recta real conjuntos de números específicos,

ejemplo:

« Represente en la recta real el conjunto de números comprendido entre 2 y 4.

Solución

la desigualdades podemos co s

tica que nos perm

:

ue los puntos 2 y 4.

ma de desigualdad,

fo

os intervalos se clasifican en:

valo abierto, es aquel que no toma como valores posibles los extremos del

intervalo, ejemplo:

Trace la recta real y ubiq

En for .4 2 ≥≥ x

En rma de intervalo, [ ]4,2 .

L

• Inter

en forma de desigualdad ( ) . bxaba, <<

ualdad ( )∞+ ,a en forma de desig ax >

En forma gráfica

En forma gráfica a b

En forma gráfica

-1 0 1 2 3 4 5

70

en fo e esigualdad ( ) rma d da , ∞− ax <

En forma gráfica

desigualdad

( )∞+∞− , =R en forma de +∞<<∞− x

En forma gráfica

Intervalo cerrado, o valores posibles hasta los extremos del

intervalo, ejemplo:

• es aquel que toma com

en forma de desigualdad [ ]ba, bxa ≤≤

forma gráfica

En

• Intervalo semi-cerrado o semi-abierto, es aquel que toma como valor alguno de sus

extremos. Este intervalo no es ni abierto ni cerrado, ejemplo:

en forma de desigualdad [ )ba, bxa <≤

- ∞ a

∞− ∞+

a b

En forma gráfica a b

71

en forma de desigualdad ( ]ba, bxa ≤<

En forma gráfica

jercicios de práctica.

Diga si los siguientes intervalos son abiertos, cerrados o semi-abierto y además

expréselo en forma de desigualdad y represéntelo en forma gráfica.

.

3.5 , 23.0

4.

5.

E

«

1. ( )7,3−

2 ( )12,5

3. ]5 [[ )99 , 0

⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ 3 9,

2

6. ( )0,∞+

Las desigualdades son de suma importancia para la representación de distancias en la recta real, sin importar

si es positivo o negativo el número en cuestión y teniendo como origen de esa distancia el cero, veamos un

ejemplo:

o el valor absoluto ero y representa la

bsoluto se denota

anterior tenemos:

Esta distancia es conocida com de un núm

distancia comprendida desde un número cualquiera al origen. El valor a

entre barras, ejemplo:

Según la gráfica

• 4 4- y 4 4 = =

a b

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

unidades 4 unidades

72

Definición

Para cualquier núm a, el valor absoluto de a denotado por aero real es

Esta definición señala que si un número es positivo o cero, su valor absoluto es él

mismo. Pero si el número es negativo, entonces su valor absoluto es su inverso

ros:

aditivo. Ejemplo:

« Halle el valor absoluto de los siguientes núme

• 5 5 = , por ser 5 mayor que cero.

• 211 = , por ser

2 21 mayor que cero.

• 0 0 3- 3 == , por ser cero.

• ( ) 7 7- 7- =−= , como (-7) es menor que cero entonces su inverso aditivo es 7.

Nota importante: El valor absoluto de un número siempre es positivo.

0 , ≥asia = a 0 , <− asia

73

Propiedades del valor absoluto:

Exprese la desigualdad en forma de intervalo y gráfica:

x

1. 0 ≥a

EJERCICIOS RESUELTOS

1. 5− 4 ≤<

2. 25

21

<< x

Solución:

1. Observe que el intervalo debe ser abierto por la izquierda y cerrado por la derecha,

entonces = y en forma gráfica

5 4 ≤<− x ( ] 5 , 4 −

-5 -4 –3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2. 25

21

<< x , en forma de intervalo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25 ,

21 y en forma gráfica

5,021

= 5,225

=

. . baba = 2.

ba

ba

= 3.

4. rla

triangudDesigualda

baba +≤+

5.

aa =− 22 aa = 6.

74

EJERCICIOS 1.4

Halle la fracción generatriz de los siguientes números. Si no es posible hallarla diga por

qué.

1. 23, 254 2. 6,6666. . . 3. -5,212121

4. 0, 01001000100001. . . – 3, 888. . .

. 56, 1112222. . .

7. 4,

5.

6

8

8. 0, 0021212121. . .

9. – 0, 999

ransforme las siguientes fracciones impropias a números mixtos.

T

10. 2

11

11. 45−

12. 33

932−

13. 8

865

67978− 14.

62115.

Transforme los siguientes números mixtos a fracciones impropias.

16. 215

17. 9712−

18. 1218 20.

19. 21699−

531

215−21.

22. Dada la desigualdad , determine la que se obtiene si:

a) Se suma 10 a ambos lados de la desigualdad.

b) Se resta

59 −<−

21 a ambos lados de la desigualdad.

c) Ambos miembros se multiplican por 91 .

d) Ambos miembros se multiplican por 91

− .

75

3. Sea , determine la desigualdad que se obtiene si:

) Se suma 12 a ambos lados de la desigualdad.

mbros se dividen entre - 2.

Ordénese los siguientes números de menor a mayor.

2 28 −>

a

b) Se resta – 8 a ambos lados de la desigualdad.

c) Ambos miembros se dividen entre 2.

d) Ambos mie

24.

.9-3 ,

73- , 0.20 - , 0.230 , 0.2301 ,

43- ,

21 , 3 , 3−

Exprese las siguientes desigualdades en forma de intervalo y además bosqueje su gráfica.

6.

27.

28.25. 8−<x

2 0<x

21,0 −≤x

( )3−−≥x

97 ≤≤− x 29.

512 −≤<− x30.

33 <≤− x 31.

32.

33.

106 <≤ x

47

93

<<− x

251

≤<− x 34.

35. 1,0 1,0 −≥≥ x

Exprese el intervalo en forma de desigualdad.

36. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

73,

21

37.

38.

39.

40.

[ )12 ,0

[ ] 7.7 , 0.23

( ] 6 , ∞−

( ] ( )∞∪∞− ,00,

41. ( ) [ ] 6 , 2 8 , 6 ∩−

Escríbase una desigualdad para cada intervalo.

42.

77

-6 -4 -2 0 2 4 6

43.

-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12

44.

0 5 10 15 20 25 -25 -20 -15 -10 -5

78

NUMERO REAL POSITIVO

r la raíz cuadrada de un número real positivo obtenemos otro número real y

positivo también, pero que tien

RAIZ CUADRADA DE UN Al calcula

e la siguiente particularidad

reales. números y con , bababa =→±=

Ese número b multipli

2

cado por si mismo da el radicando a.

Para calcular esa raíz cuadrada de manera manual debemos seguir una serie de pasos, es

decir u lgoritmo, veamos estos pasos con el siguiente ejemplo:

Solución:

n a

« Halle la raíz cuadrada de 443556.

4 4 3 5 5 6 - 36 x 756 Piso 2

8 35 132 7956 Piso 3 - 756 7956 - 7956 - 0 -

so 1: Agrupo en pares antes y después de la coma y completamos con ceros en quede par.

Buscamos un número que multiplicado por si mismo nos de menor o igual l p imer par, este número lo colocamos en el piso 1.

Paso 3: El cuadrado del piso 1 se lo restamos al primer par. Paso 4:Bajamos el siguiente par y por lo tanto trabajamos con el segundo piso, en él olocamos la cantidad qu está en el piso1 multiplicada por dos y luego buscamos un úmero del 0 al 9 de manera tal que al ubicarla en el círculo nos de menor o igual al

nuevo número ( 835 ). Este número que nos sirva lo ubicamos en el primer piso. Paso 5: Repetimos el paso 4 con las nuevas cantidades según sea necesario.

a 6: La cantidad que quede en el primer piso es la raíz cuadrada.

6 6 6 Piso 1 12 6 6 =

6 x 6 =

Paaquel que noPaso 2: a r

c en

P so

79

« 356,11 Calcule

Solución:

Así que,

356,11 = 3,36

Importante... Si quisiéramos hallarle otro de pero como no tenemos más,

bajamos un par de ceros y aplic

« Halle la raíz cuadrada de 0,021 Solución:

cimal bajaríamos otro par

amos el paso 4 nuevamente.

Por tanto 0,144 0,021 = .

2 35 6 3 x 3 = 189 Paso 4 -189

4660 66

Paso 1

11 , 35 60 3 , 3 6 Paso 2 Paso 3 - 9

6 x 6 = 3996 Paso 4 -3996

664

0, 144

- 0 0 02 0 = 1

-1 1 10 2 x = 96

-96 14 00 28 = 1136

-1136 264

00, 02 10

1 x 1

4 4

4 x 4

80

Importante... Ob iso se multiplica serve que lo del primer p por dos sin tomar en cuenta la coma del

EXPONENTES ENTEROS Cuando tenemos una suma repetida como 2+2+2+2+2 la resolvemos fácilmente

o 5 x 2. De igual ma ribir un producto repetido 2. 2 .2 2. 2 como

s decir tenemos que:

y

aaa

n general, para cualquier número real a y para cualquier entero positivo n, el símbolo

, que se lee como “ a a la enésima potencia ” y representa el producto de n factores

de a . Así,

aaaaa

decimal.

com nera podemos esc 52 .

E

aaaaaa 5=++++

5. aaa = . . . .

E

na

vecesnn .....=

=

Ejemplos:

6255.5.5.5 =54

.161

41

41

41 2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎛=

⎞⎜⎝

⎛

Exponente

Base

n

⎜⎝

⎟⎠

Donde : a

81

( ) ( )( )( )( ) 1622222 4 =−−−−=−

−=

ótese que cuando un signo negativo se encuentre dentro de un paréntesis y este a su vez

LEYES O REGLAS DE LOS EXPONENTES números reales y m y n enteros positivos, entonces:

. Regla del producto.

2.

( )4 −=−=−

( ) 1616 2 . 2. 2. 2 2

N

esté afectado por un exponente, el mismo será afectado por él, mientras tanto no lo afecta,

ejemplo el caso anterior.

Sean a , b, c y d

nmnm aaa +=.1.

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

−

−

nma

nma

aa

mn

nm

n

m

si 1 si

Regla del cociente.

3. Regla del exponente nulo.

4. Regla de la potencia.

5.

0 , 10 ≠= aa

( ) nmnm aa .=

ndnbbd ⎥⎦⎢⎣

nc , .0 , 0nanac

=⎤⎡ ≠≠ db Regla de la potencia extendida.

6. 0con , 1≠=−a n ana

, Regla del exponente negativo.

82

Ejercicios resueltos

nes:

. Por la regla 1.

« Evalúe♣ las siguientes expresio

128222 .2 74343 === +

. Por la regla 4. ( ) 1622 2 42 .222 ===

3333 ==== . Por la regla 5. ( ) ( ) ( ) 8000 1000 . 8 10 . 2 10 . 2 20

254

52

52 2

22==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ . Por la regla 5.

4 2 2232 235 === − . Por la regla 2.

5

41

2 1

21

252

235 === − . Por la regla 2.

3

( ) 1. 2 - 3 0= Por la regla 3.

81 1 2 3

3 ==− . Por la regla 6 2

NOTACION CI NTIFICA on frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños en otra

a mucho más práctica.

Todo número real escrito de la forma

R y n es un entero , es notación científica.

Ejemplo:

ELos exponentes enteros c

form

na 10×

donde ∈<≤ aa , 10 1 tá escrito en

♣ Cuando hablamos de evaluar es conseguir el valor numérico final de la expresión.

83

3101× 1.000 =

10.000.000 = 7101×

bserve que lo primero que se hizo fue colocar la coma en la posición donde el número que

aña al 10 sea , luego cuente la cantidad de ceros recorrido para ello. Si

recorremos hacia la izquierda el exponente es positivo

-5 105,6 000056,0 ×=

-3 109,86 00986,0 ×=

O

acomp 10 1 ≺a≤

y si recorremos hacia la derecha

nces el exponente es neg tivoento a .

La notación científica tiene gran aplicabilidad en el campo de la ciencia como para

representar la velocidad de la luz

segundosmetros 103 8× , la distancia promedio de la Tierra al

Sol , entre otros.

EJERCICIOS RESUELTOS:

Halle el valor de:

1.

os 105,1 8 Kilometr×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1046432 34323 1027 101027 10 103 10 103 10000 300 ×=××=××=×=

2.

00.000 270.000.0 1027 10 =×

( ) ( )( )

( ) ( )( ) =

×

×××=

×

××= 306

12284

65

2642

6

24

10 1 10 5 102

101 105 102

100000 5000000 200

=×=××

=×

×=

×

×× +10 -

30-20

30

20

30

128 10 400

1 10 10 400

10 1 10 400

10 1 10 2516

0,00000004 10400 10 - =×

84

EJERCICIOS 1.5

Halle la raíz cuadrada de las siguientes cantidades. Para las raíces que no sean exactas

halle dos decimales.

1. 121 4. 0,0034

2. 1234,321

3. 144 5.

215

6. 7

31

73,0 7.

8. 12345654321

9. 123454321

10. 1234321

11. 12321

Encuentre los números indicados.

12.

13.

4 - ; 4 - ; 4 2 2 2

3 -33

21 ;

21 ;

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

14.

15.

Evalúe las siguientes expresiones.

16.

( ) ( ) 000 7 - ; 7 - ; 7

( ) ( ) ( ) 1 -1 -1 - 1 - ; 1 ; 1 −−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 21 -

21 - 2

=+ 1 -1 -

1 -1 -

3 2 3 - 2 17.

1 ( )( )

=−

−2 -

65

2 2 1 - 8.

1 ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ − 0 45 - 345

31 7 32

2 - 9.

84

Escriba los números dados en notación científica.

1. – 34500000

0000

,00000000

24. 0,00106345

0

26. 0,000000000002

27. 89000000000000000

Escriba los números dados en forma decimal.

28.

9.

30.

9 ×

32.

20. 0,0000243 25. 43556000

2

22. 100000

23. 1001

410456,3 ×

2 2106,5 −×−

5106 ×

31. 999,3 510

10105168,1 −×

81006,9 × 33.

34. 11100006,4 −×−

410456,3 −×35. io

Evalúe las siguientes expresiones. Exprese su respuesta en notación científica y en forma

decimal.

36.

( ) ( ) ( ) =− 524 1000000 0,000002 300

37. ( ) ( )[ ] =− 0,000001 0,0000023 1 -21

3 ( ) ( )( )( )

=× 27

4 -3

0,002 - 102,1 0,0003 70000 8.

39. ( ) ( )( ) ( )

=22

43

0,04 - 0 0,002

40.

0,11 3 -

( ) ( )( )

=×

22

4 -33 -

6 0,6 - 0,06 106

89

TECNICAS DE REDONDEO Cuando operamos con números decimales que poseen muchos decimales o cuando al

escribir un número decimal a notación científica queda con muchos decimales, podemos

hacer una aproximación de ella para facilitarnos un poco el manejo de esas cantidades.

Quien nos permitirá realizar esas aproximaciones son las siguientes reglas, que se conocen

o técnicas de redondeo.

com

Si la cifra siguiente a la última cifra significativa es:

Caso 1: Mayor que 5, se le suma la unidad a la última cifra significativa y

se eliminan las cifras no significativas.

Caso 3: Igual que 5, puede ocurrir que:

• Si la última cifra significativa es par, se copia el número igual

descartando las cifras no significativas.

última cifra significa n las cifras no significativas.

Caso 2: Menor que 5, no altera la última cifra y se eliminan las cifras no

significativas.

• Si la última cifra significativa es impar, se le suma la unidad a la

tiva y se elimina

90

Algunos ejemplos:

edondee las siguientes cantidades a cuatro cifras significativas.

34,6766

olución:

« 2,001567

Solución

R

«

S

:

Redondee las siguientes cantidades a tres cifras significativas.

« 200,54

Solución:

34,68 Cifra siguiente a la última cifra significativa. Cuarta cifra significativa. Según el caso 1 , le sumamos la unidad a la última cifra significativa.

3 4, 6 7 6 6 =

2, 0 0 1 5 6 7 = 2,002

Cifra siguiente a la úSegún el caso 3, le sumamos la unid a significativa para que se

convierta en par.

ltima a. cifra significativ

ad a la última cifr

2 0 0, 5 4 =

200 Cifra siguiente a la última cifra significativa. Según el caso 3, la copiamos igual y descarta os la no significativas ya la

última cifra es par.

m

91

♠ 0,0023

Solución:

« Solución

1,23467 510×

:

ciones básicas en los números

emás recuerde que puede utilizar calculadora para comprobar los resultados

Pensamiento...

“ Todo lo que tú hagas en la vida, hazlo sumando o multiplicando nada restando

ni dividiendo”

Anónimo.

cifra significativa, agregamos ceros para completar las cifras significativas

respectivas.

NOTA MUY IMPORTANTE: Recuerde que el objetivo de esta unidad es desarrollar

habilidades y destrezas en el cálculo aritmético con las opera

reales, ad

obtenidos, así que primero trate de resolver todos los ejercicios sin ayuda de la misma.

0, 0 0 2 3 0 = 0,00230 era1

1, 2 3 6 7 = 1,23 Cifra siguiente a la última cifra significativa.

an las cifras no significativas.

510× 510× 4

Según el caso 2, no altera la última cifra y se elimin

92

Expresiones Algebraicas

Capítulo 2

Polinomios

93

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ión algebraica es toda aquella expresión matemática producto de la

binación de números, variables (o símbolos) con operaciones como la adición,

cción, multiplicación, división, potencia y radicación. Ejemplo:

Una expres

com

sustra

153 71

2 +−−

xx

xzxxy 1364 4 +−

5 4fs

wty

129421 235 −−+ xxx

En lo s exponentes de las variables no existe ninguna limitación, ya que pueden ser

úmeros positivos, negativos, fracciones y cero.

continuación estudiaremos expresiones algebraicas muy particulares, como la del cuarto

jemplo, que son conocidas como expresiones polinómicas.

x utilizando sol

:

n

A

e

Un polinomio real en variable x, es una expresión que puede obtenerse a partir de

los números reales y la variable amente las operaciones de suma, resta y

multiplicación. Ejemplo

129421 235 −−+ xxx

• xxxxxx ....21

21 5 =

• xxxx ...2.24 3 =

• xxx ..3.39 2 =

• 12 = 2.2.3

94

Cada una de esas expresiones por separado se conocen como términos del polinomio y

a término se conoce como factor.

tra definición más general de polinomio.

n polinomio de grado n en la variable x, es cualquier expresión algebraica de

forma 121−nn

cada uno de los productos de cad

O

Ula

0 , 0121 ≠+++ ++− naxaxaaxaxa xnn

donde el exponente n es un entero no negativo y R

0

∈i

a .

Los polinomios se clasifican según la cantidad de términos que posean, ellos son:

• , 1032

, 755 yx Monomio, cuando posee un solo término.Ejemplo: 3x , 21.

• Binomio

Trinomio, cuando posee tres términos. Ejemplo:

, cuando posee dos términos.Ejemplo: 492 63 , 12 xxx −+

•

16 2 +− xx , 492 63 , 12 xxx −+ .

Polinomio, cuando posee más de tres términos. Ejemplo: •

163 2 4912 +−+ xxx ,

grado de un polinomio está determinado por el mayor exponente que contenga la

or ejemplo, la expresión

2456 21178 yyyy −−+ .

El

variable. P 163 2 4912 +−+ xxx es un polinomio de grado

doce.

95

Importante...

Existen algunos criterios que nos permite conocer si una expresión algebraica no es

un polinomio, veamos:

Ejercicios.

« Señale si la expresión es un polinomio, si lo es, diga el grado y el tipo. Si no es, ¿diga

4.

por qué?

1. 93743 xxx −+

2. 5242 xx ++− −

3. 2456 21178 yyyy −−+

492 3 8 15 2 xxx −++

5. 1463 4 21

+−+ ttt

6. 2221 ++11 7x

x

7. 3 16 15 3 93 xxx −−

8

9.

10.

. 25 0x

1

16135 46 −−−− xxxx

45 −

ariable es fraccionario o negativo.

Si alguna variable aparece en el denominador.

Si algún exponente de la v

s polinómica. Si aparece la variable dentro de una raíz.

Cuando ocurre alguno de estos criterios, la expresión no e

92

Analizando el problema número 8 y asumiendo como cierta que toda base elevada al

≠x )¤, tenemos que todo número real es un

monomio de grado cero.

o polinomio es una expresión algebraica ya que el primero está incluido en el

onomio de grado cero es un número real.

peraciones básicas que realizamos con el conjunto de los de números reales de

mios.

E POLINOMIOS El proceso de adición y sustracción de polinomios se fundamenta en la utilización de la

er lugar agrupar los términos que sean de la misma

ego aplicamos la propiedad distributiva. Ejemplo:

exponente cero es igual a uno ( ,10 =x 0con

Reflexionando un poco podemos concluir lo siguiente:

Tod

segundo; todo m

Ahora las o

adición, sustracción, multiplicación y división las podemos realizar con los polino

ADICION Y SUSTRACCION D

propiedad distributiva que cumplen los números reales.

El proceso de adición consiste, en prim

clase, tipo o especie y lu

¤ Sea 1=aa

, y además 01111. aaaaaa

=== −− , igualando tenemos 10 =a .

Monomios de Grado cero

Los números reales 3 , -2 , 5.76 , 66

Expresiones Polinómicas

Expresiones Algebraicas

93

« Realice la suma entre los elementos de los siguientes cuadros:

Solución:

Observe que en el primer recuadro existen tres elementos, animales, objetos y/o cosas de

diferente tipo o clase, al igual que en el segundo recuadro. Ahora lo que buscamos es la

tidad total de eleme ase o tipo existen entre los dos recuadros.

ora bien, ¿puedes s icicletas con gatos?, o ¿sumar

erros con bicicletas?. Es evidente que NO.

ro si puedes sum s gatos y perros hay en total, simplemente

que hacemos es agruparlos, así:

4 4 3 to la respuesta a nuestro problema es “ existen 4 bicicletas, 4 gatos y 3 perros ”.

« Sume más

olución:

can ntos que de la misma cl

Ah umar perros y gatos? , o ¿sumar b

p

Pe ar cuántas bicicletas, cuánto

lo

Por lo tan

xxx ++ 23 32 xxx 323 ++ .

S

Aquí no puedes pensar en sumar las ni mucho menos con las x ya que ellas

n del mismo tipo.

c mo se hace?

i asocia este problema con el anterior y lo basa en un principio matemático llamado

cambio de variable tenemos:

23 lascon xx

entre si no so

Entonces, ¿ ó

S

sustitución o

94

Si ; y =3x =2x =x , tenemos que

= sumado a

= por lo tanto su solución es

= 3 4 4 =

« Sume

xxx ++ 23 32

xxx 323 ++

xxx 443 23 ++

xxx 3213 24 ++− con xxx ++ 24

236 .

Solución:

Primero agrupe por términos del mismo tipo y luego aplique la propiedad distributiva.

= [ ] [ ]xxxxxx ++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++− 32

232

2163 44 Agrupando

La propiedad distributiva establece que ( ) acabcba +=+. , nosotros la aplicaremos en el

sentido de la flecha. Así,

= ( ) ( ) xxx 13 23

21 63 24 ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++− , Por la propiedad distributiva.

= ( ) ( ) xxx 4 24 3 24 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++ , Operando aritméticamente

=

xxx 4 2 3 24 ++ .

95

Existe otra forma para resolver estos problem ado el método por columnas:

. Ordene los polinomios en for a descendente y luego coloque uno debajo de otro, con

Realice la suma de los términos de cada colum .

as llam

1 m

los términos de la misma clase uno debajo de otro.

2. na

xxx 3 21 3 24 ++−

xxx ++ 3 6 24 2

restar polinomios se procede de la siguiente forma. Reemplace el polinomio restado

or su inverso aditivo y luego proceda a sumarlos. Ejemplo:

Al polinomio restar a .

olución:

xxx 4 2 3 24 ++

Para

p

« 435 4 8 11 xxx +− 345 13 8 6 xxx −+−

S

4 8 xx Operación a realizar.

Aplicando las leyes de los signos.

xxx −+ Agrupando y sumando.

= 511x −+− 43 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+− 345 13 8 6 xxx

= ++− 435 4 8 11 xxx 345 13 8 6 xxx +−

= 17 435 4 5

96

« ( ) ( )2233233 4,0103,5 de 54,0 2,3 yxyxyyxyyx ++−+ Reste

Solución:

or el método de las columnas se tiene:

P

( ) ( ) 54,0 2,3 - 3,54,010 2332233 yxyyxyyxyx −++++ Se ordenó

( ) ( ) 54,0 2,3- 3,54,010 3yx 233223 yxyyxyyx +−++++ Por las leyes de los signos

3,0 0,4 4,0 3,12 22233 +++

yyxyx 3,5 4,0 10 +++ 2233

yxyyx 5 4,0 3,2 233 −++

x yxyyxy

97

EJERCICIOS 2.1

dique cuales expresiones son polinomios. Justifique su respuesta. Si es, indique su ombre (monomio, binomio etc...) y grado.

y

2.

Inn

51. 6y +− 91514 15 −−+ ppp 5.

6 y+5 24 3 81 −+d .3957 4 xxxx +−+ 3. 219 2 uu +7. 253 7,0

214 xxx +− 4.

8.

Ordene cada polinomio en forma decreciente.

xxxx 1233 21 8,7 1153 +++−

9. 5

3 34 8

59 xxx −+

10. 7265432 333,23138 y −+ yyyyyy −−++−

11. 12.

3.

5643222 333,4 xyxyyxyxyx −+−+

765243342567 8765432 yxyyxyxyxyxyxx +−+−+−+ Efectúe las operaciones indicadas.

( ) ( )xyxwwxyx −−+++ 22 31175 1

(14. ) ( )pqqpp −−− 322 043,36,2

qpq ++ 3 23

15. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++−+ xyxxyxyxyyx211 22 3

312195

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− 3434 07,0

211

27 -

492,3

41 u uuuuu 16.

98

17. 111

54

−+α β 12,3+ δ + ( 6α

21

− β +207 δ )

18. ( ) ( ) ( )242846 2223 ++−+++++ xyxyxyyxxxy

19.

42 22 − xyyx

( )puupupuppupuupuppu 3222323 24,028746

238 ++−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

( )20. ⎥⎦

⎤

⎠

1.

⎢⎣

⎡+++⎟

⎞⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 24,03,66

475,4

29 2223 kkkkkkk

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−++−− 24

4128

5654642 2332 xxxxxxxxx 2

22. De un ejemplo de un polinomio de sexto grado con tres términos. Explique por qué

lo es.

3. Haga un problema de suma de polinomios donde la suma de dos trinomios sea 5x + 1.

24. b ema de suma de polinomios donde la suma de dos trinomios sea

2

Haga un pro l

564

2 +x1+x .

25. Haga un problema de resta de polinomios donde la resta de dos trinomios sea

xx9134 5 − .

6. Complete la siguiente operación para que tenga sentido el resultado 2

713,2

326 ?

7221266,43

51 23 −++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎛⎝

−−+ yyyyyy

99

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Para efectuar operaciones de multiplicación de polinomios fundamentalmente utilizaremos

para ello algunas reglas de los exponentes (pág. 80), así como la propiedad distributiva de

los números reales.

Analizaremos el caso de la multiplicación de un monomio por otro monomio. Para

multiplicar dos monomios, primero se multiplican sus coeficientes numéricos y luego se

aplica la regla 1 de los exponentes (regla del producto), así determinarás el exponente de

las variables. Ejemplo:

« Multiplique ( ) ( ) 6 7 34 xx

Solución:

( ) ( ) 7343434 42 42 67 6 7 xxxxxx ==⋅= +⋅⋅

« Multiplique ( ) ( ) 5- 11 22 xx

Solución:

( ) ( ) ( ) 4222222 55 55- 5 11 5- 11 x xxxxx −==⋅−= +⋅⋅

e ⎞⎜⎛ 9- 4- 385 bacba

« Multipliqu ⎟⎠⎝

Solución:

( ) ( ) 82881135835385 36 36 9 ⋅=⎟⎞ 4 9- 4- cbacbacbbaabacba ==⋅⋅⋅⋅⋅−−⎜⎝⎛ ++

⎠

828 36 cba=

Cuando una variable no tiene exponente se supone que este es igual a 1.

100

Para l cae so de la multiplicación de un monomio por un polinomio, además de la regla 1 de

s exponentes, utilizaremos la propiedad ( ) acabcba +=+ lo . Esta propiedad distributiva

puede extender a:

azcba

se

( ) aeadacabzed +++++=+++ ++

« Multiplique ( ) 7 3- 4 356 yyy +

Solución:

( ) ( ) 9113656356 281274 3 4 7 3- yyyyyyyyy +−=⋅⋅+−=+ 4

Por propiedad distributiva.

« Multiplique ( ) 2235 4 -2 5 wzzwzwwz +

Solución:

( )335337

222322252235

4820

4 42 45 4 -2 5

wzwzwz

wwzzwwzzwwzzwzzwzwwz

−+=

⋅−⋅⋅+⋅=+

ara multiplicar polinomios por polinomios utilice también la propiedad distributiva pero

on mayor amplitud. Observe que:

P

c

( ) ( ) ( ) ( ) bdbcadacdcbdcadcba +++=+++=++

Aplicando la propiedad distributiva varias veces

101

« Multiplique ( ) ( ) 3 8 3 242 xxxx −+

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ). 24- 8 9- 3

vadistributi propiedadpor 3 8 3 3 3 8 3 3546

24242242

xxxx

xxxxxxxxxx

+=

−+−=−+

Multiplique

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

47

32 3

21 332233 pyyppyypyp «

Solución:

2233445566 7 21 5 3 1 ypypypypyp −+−−=

223344445566

2244336

332233

64242

sumandoy ordenando, 1214

421

32

87 3

21

vidaddistributipor , 1214

32

421 3

8

21

vidaddistributipor , 4

47

32 3

21

ypypypypypyp

ypypypypypyp

pyyppy

pyyppyypyp

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−

−++−−=

⎟⎠

⎜⎝

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

Existe otro método para realizar las multiplicaciones de polinomios llamado el de las filas

en efectuar las multiplicaciones como se realizaba con cantidades numéricas.

3333223333 732

47 3

47

21 pyypyppyypyp ⎞⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

55446 7

=

y consiste

102

Ejemplo:

« Multiplique )olución:

( ) ( 75 32 +− xx

S

debajo del otro y luego multiplique cada termino por

parado,

+

Disponga los polinomios uno

se

3 - 2x + 7 + 5x

21 - 4 1 Sumando, x

x x 15 -2

−

10 10 - 2 21 xx

sí, 75 32 +− xx =

A ( ) ( ) 21 10 - 2 −xx

DIVISION DE POLINOMIOS En este proceso trataremos de encontrar otra expr

Importante... El orden por donde se comience la multiplicación no tiene influencia en el resultado, se puede hacer de derecha a izquierda o viceversa.

esión algebraica cuyo grado sea menor o

arás dos

igual que el grado del polinomio numerador. En la división de polinomios encontr

casos:

Caso 1: División de un polinomio entre un monomio

Basándonos en la regla para sumar fracciones que poseen igual denominador tenemos que

0co , ±=±

caca n ≠c . Esto quiere decir que dos fracciones que posean el mismo

enom ar en una sola fracción. Pero la igualdad nos permite

ruzar ese puente en ambos sentidos, es decir si tengo una fracción puedo transformarla en

tras fr ciones más s o resta den el mismo resultado.

jemplo:

bbb

d inador se pueden transform

c

o ac encillas, cuya suma

E

103

, 4

164115

411

4=

+=+ pero obsérvese que 5

411

45

4115

416

+=+

=

Así, para dividir un polinomio entre un monomio, dividiremos cada término del polinomio

entre el monomio.

Ejemplo:

« Divida 2x

2188 x −

Solución:

222

942

188 xx=−

22188 xxxx

−=−

io entonces aparecieron dos nuevas fracciones, pero si

un trinom

« Divida

Como el numerador era un binom

hubiese sido io entonces hubiesen aparecido tres fracciones.

yyyy

31132718

34 −−+−

Solución:

yyy

yyy

yy

yy

yyyy

311196

311

33

327

318

31132718 23

3434−−+−=−−+

−=

−−+−

Observe que no necesariamente la división de polinomios da otro polinomio, ya que el

resultado anterior no lo es. ¿Por qué?

Caso 2: División de un polinomio entre un polinomio

Basándonos en la división numérica estableceremos unas reglas para poder ejecutar esta

operación. Recordando la división numérica se tiene:

104

=4

108 ♣

Siguiendo una serie de reglas llegamos a la concl

108 4 -08 2

-0-

usión de 27108= .

4

ec mos las reglas utilizadas anteriormente para resolver el siguiente problema.

D

Ad ue

« ivida 32

+y

986 2 −+ yy

ución:Sol

m o ordene los polinomios tanto del num inador de forma

nte y exp selo como una división numérica, así

Pri er erador como del denom

decrecie ré

32

968 2 + yy luego,

+−

y

−+ y

9 6 8 2y 32 +y

y

- yy 12 - 8 42

-6y

♣ =

4108

Al numerador se le conoce como dividendo y al enominador como divisor. d

7 28 -28

105

El 4y aparece porque hay que conseguir un o que al multiplicarlo por

término del divisor ( 2y ) de igual al primer término del dividendo

términ el primer

( ) 8 2y , al conseguirlo

ultiplica por todos los términos restantes del divisor. Se debe tener presente que a todos

inos colocados debajo del dividendo se le deben cambiar su signo, según

dir cantidades numéricas.

Ahora, bajamos un nuevo término y procedemos de manera similar a la regla .

−y

se m

los nuevos térm

lo que se aplica al divi

8 2 +y 9 6 32 +y

- 4y - 3

6y + 9

Residuo

Como el residuo vale cero, quiere decir que la división es exacta, así el resultado es:

«

yy 12 - 8 2

- 6y - 9

- 0 -

Divida 43

289 3 −− pp

−pSolución:

está ordenado de forma descendente, pero hace falta el término 2p , Ya se añadirá como

inos semejantes que puedan aparecer.

2 para que ayude a alinear los térm0 p

28 - 0 9 23 −− ppp 43 −p

- 23 12 9 pp + 543 2 ++ pp

28 - - 12 2 pp

16

p12 - 2 + p

106

20 1

28 - 15p

5 +− p

- Residuo

Nótese que siem

divi l resultado es:

8

pre se trata de eliminar ese primer término que aparece en el problema del

dendo. Luego e

43 −p8543

43289 2

3−++=

−−− pp

pp ♣

p

♣ Este resultado aparece de ese modo debido a la forma de expresar los números mixtos que

es Divisor

CocienteDivisor

+= iduoRDividendo es

107

EJERCICIOS 2.2 Rea

.

lice las siguientes multiplicaciones:

1 ⎟⎠⎝⎞

⎜⎛ −

95 3 xyx

2. ( ) 8 24

2 936 pty− 53 ty−

3. ( )0245 7325 whwh −−

4. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

9252,1 8

32 xxx

5. ( )( ) 89 65 52 − u 2534 −+− yuuyyuy

6.

( ) 32223521 2 whhwwhw +−

7. ( )( ) 4 2 23 ++ xx

8. ( ) ( ) 2 2 −− xx

( )9. ( ) ( ) - 3 1 4 2 uuu −−

( ) 310.

11.

3 +x

3 3

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

x

12. ( ) ( ) 3 1221 6 2 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−− pppp

( ) 8 1 +x13.

14. ( ) 10 2 −y

15. ( ) ( ) baba ++

16. ( ) ( ) baba −−

17. ( ) ( ) baba −+

18. ( ) ( ) a 22 babab +−+

19. ( ) ( ) 22 bababa ++−

20. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− 4422

1111xyxy

⎟⎜⎟⎜

El v iones son:

21. a) b)

alor numérico de las siguientes expres

33− 22− c) -2 ) 121 ( −

22. d) 1-

-1-2 4 2 + e) ⎟⎞

2 ⎠⎝

1⎜⎛

( )3

42 5 -2-1 ⋅

Realice las divisiones indicadas:

23. 2

126 +x 24. 3

279 −− y

107

25. 5

45 −x −

26. xxx 30612 3 −+−

2−

27. ( )zw

zwzw 32 12 9 +

28. 211p

234 222

11 pppp −−−

29.

23

32 +

37 −+124 23 +x

x

30.

xx

31. 1

326 23

−−+−−

yyyy

32. 1254 3

−−

jjj

33. 322

543223

2125abba

babbaba−

++−

34.

2

2

12523114

xxxx

−−

−+

3273 −x

x −

5. 3

32 −− xx 114

343

128

23

245 −−

++ xxx

36.

37 7 −x

1

212

4 9 5,0442

285

−+−

−+++−

ff

ffff

37. ( ) ( ) 23 278 33 xyyx +÷+

( ) ( ) 2 8 2266 papa −÷− 38.

39. ( ) ( )[ ] ( )[ ] 4- 2 7 8- 2 2 2 21 2 nmnm ÷+++ nm +

11636213

4 ? 2346 −+−+−= kkkkk

k . Encuentre el 40. Sea

polinomio que transforme el enunciado en verdadero. Nota: Existen varias respuestas.

41. Sea b

bbbbb 142 146-3 223

+−+−=−+ . Encuentre el polinom

33?io que

transforme el enunciado en verdadero.

108

A continuación veremos un proceso que nos facilitará un poco la división de

polinomios, esto lo haremos utilizando las reglas de factorización.

ebemos comenzar por comprender que factorizar una expresión

significa escribirla como producto de sus factores. Factorizar un polinomio consiste en

escribirlo como producto de polinomios más simples y factorizar un polinomio

factorizar más. Por ejem

Solución:

Indudablemente d

completamente es escribirlo como un producto de polinomios que ya no se pueden

plo, factorice completamente a xx 4 . 3 −

Utilizando la propiedad distributiva se puede copiar como

( ) 4 4 23 −=− xxxx pero aquí no se ha factorizado

completamente ya que ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 −+=− xxx , por lo tanto su factorización

completa es:

( ) ( ) ( ) 2 2 4 43 −x 2 −+=−= xxxxxx .

e facto zación necesitas aprender las siguientes reglas de

zación:

Para facilitar el proceso d ri

factori

Fórmulas de factorización.

1. ( )cbxxaa

acabxaxaacabxaxa ++=⎟⎟

⎜⎜ ++

=++ℜ∈ 22 entonces , Sea

Máxi

⎞⎛ 2

⎠⎝mo factor común ( ) o máximo factor común ( ).

. ) . Diferencia de cuadrados. babab ++= . Cuadrado de la suma.♦

. . Cuadrado de la diferencia. 5. 3 bab + . Cubo de la suma. 6.

.

... CFM ... DCM( ) ( 22 bababa −+=−2

3. ( a + ) 222 2

( ) 222 2 bababa +−=−4 ( ) 233 3 baaba ++=+ 32

( ) 32233 33 babbaaba −+−=− . Cubo de la diferencia. ( ) ( ) 2233 babababa +−+=+7 . Suma de cubos.

8. ( ) ( ) 233 ababa +−=− 2bab + . Diferencia de cubos.

deducir la ecuación de segundo grado. ♦ Esta igualdad se utilizará para

109

El máximo factor común (M.F.C) en una serie de monomios es aquel monomio

divisible en cada uno de los monomios problema. Ejemplo:

« Halle el n

que es

tre 6254 9 , 15 , 6 , 3 xxxx . ... CFM e

Solución:

Descomponga los monomios en sus factores, así

3 xxx ⋅=

2 x⋅

9 xxx ⋅⋅⋅=

Los factores comunes entre esa serie de monomios son los encerrados en rectángulos,

224 3 ⋅

25 3 6 xx ⋅⋅= 3

5 3 15 22 xx ⋅⋅= 426 3 3

luego el ... CFM ( 6254 9 , 15 , 6 , 3 xxxx ) = 23x . Comprobándolo,

22

3 xx= ;

4

3x3

2 26 x5

3xx

= ; 53

152

2=

xx ; 4

2

63

39 x

xx

=

Como el cociente da otro monomio entonces el ... CFM es el correcto.

« Halle el entre ... CFM ( ) ( ) ( ) 1 9 , 1 6 , 1 3 +++ xxx .

Solución:

1 3 +⋅=+ xx

+x

Los factores comunes entre esa serie de términos son los encerrados en rectángulos,

Descomponga los términos en sus factores:

( ) ( ) 1 3

( ) 2 3 1 6 ⋅⋅=+x ( ) 1( ) ( ) 1 3 3 1 9 +⋅⋅=+ xx

luego el ... CFM ( ( ) ( ) ( ) 1 9 , 1 6 , 1 3 +++ xxx ) = ( ) 1 3 +x . ¿Compruébalo?.

110

La técnica de factorización por el se fundamenta en lo que hemos hecho en los

ejercicios anter zar un polinomio

utilizando este método:

Escriba cada término como el producto del por otro factor.

Factorice el siguiente polinomio .

Solución

... CFM

iores. Generalicemos los siguientes pasos para factori

Halle el ... CFM entre todos los términos.

... CFM

Aplique la propiedad distributiva.

Ejemplo:

« xxx 4212 23 ++

:

Primero halle el de los tres términos, así

4 xx ⋅

es 2x, ahora aplicamos el siguiente paso,

... CFM

23 3 2 212 xxx ⋅⋅⋅⋅=

xxx 2 2 2 ⋅⋅=

2 2 ⋅=

El ... CFM

.2 2 . 2 .6 2 4212 223 xxxxxxxx ++=++

Aplicando la propiedad distributiva,

( ) 26 2 .2 2 .2 .6 2 4212 2223 ++=++=++ xxxxxxxxxxx

por tanto la factorización es,

( ) 26 2 4212 223 ++=++ xxxxxx

abbababa 1232 3 6 22243 Factorice el polinomio ++− . «

Solución:

Primero halle el de los cuatro términos, así

2 bbaa ⋅⋅⋅⋅⋅

... CFM

43 3 6 ba = 32

bbaaba 2 3 =23 22 ⋅⋅⋅⋅⋅

3 3 2 baaba ⋅⋅⋅=

aab 2 2 312 b⋅⋅⋅= ⋅

111

El es l siguiente paso ,

ab3 , ahora ap ique el ... CFM

4. 3 2 21232 3 6 3222243 abaabababbaabbababa ++−++− . 3 ab= 3 . 3

Aplicando la propiedad distributiva,

( ). 4 2 2 3 1232 3 6 ++−=++− aabbaababbababa 243 3222

Encontrará problemas como el siguiente:

« Factorice el polinomio bsasbtat +++ 53 15 .

Solución:

Observe que no todos los términos tienen factores comunes, pero entre algunos de ellos si

n o esto ocurre factorizaremos por agrupación, método este en el cual

olvemos a utilizar enormemente la propiedad distributiva. Así:

)5 bsasbtat +++ = Aplicándole a cada paréntesis el método del

los hay, cua d

v

( 1 ) ( 5 3 ... CFM

( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 5 3 15 basbatbsasbtat +++=+++ Nuevamente ... CFM

( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 5 stbabasbat ++=+++ , entonces la factorización es 3

( ) ( ) 3 53 basbtt 5 15 stabsa ++=+ . ¿Compruébelo?

Diferencia de cuadrados, consiste en evaluar si el polinomio es de la forma

al cuadrado y que uno sea

positivo y el otro negativo. Para el logro de ese objetivo utilizaremos ciertos arreglos o

reglas m ticas. Luego utilizamos la fórmula

22 b −+=−

++

22 ba − , es decir que posea dos términos, que estén elevados

atemá

( ) ( ) babaa

112

Ejemplo:

.

olución

« Factorice el polinomio p 42 −

S :

Se iferencia de cuadrados ya que posee dos términos uno

tro negativo, el primero está elevado al cuadrado pero el segundo no.

o sin cambiar su valor, el problema está

resuelto.

ingo...

sustituyendo entonces,

zación es

) .

« Factorice el polinomio

parece a la factorización por d

positivo y o

Si logra elevar al cuadrado el segundo términ casi

B

224 =

( )( ) 2 2 24 222 −+=−=− pppp , debido a la regla de diferencia de cuadrados.

La factori

( ) ( 2 2 42 −+=− ppp

22 94 yx − .

Solución:

Se parece a la forma , necesita hacer algunos arreglos, veamos

222 3 39 yxy ==

22 ba −

( ) 2222 2 2 xxx == , utilizando las reglas de los exponentes.

2 , utilizando las reglas de los exponentes.

Ahora,

4

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 32 32 3 2 94 2222 yxyxyxyx −+=−=−

En la fórmula de diferencia de cuadrados ybxa 3 y 2 == . Así,

).

La factorización es

( ) ( 32 32 94 22 yxyxyx −+=−

113

Existen problemas donde se pueden utilizar varias técnicas de factorización, ejemplo:

olinomio

S

« Factorice el p ( ) 16 4 2−xy .

olución:

Existe un entre los términos, el es = 4, aplicando la técnica respectiva

... CFM ... CFM

( ) ( )[ ] 4 416 4 22 −=− xyxy , analizando el factor que quedó dentro de los corchetes,

dos, así

observe que se puede factorizar por la técnica de diferencia de cuadra

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 2 2 4 2 4 4 4 222 −+=−=− xyxyxyxy

uego, la factorización es

por la diferencia de cuadrados.

a factorización de trinomios se puede dividir en dos casos:

+ con

L

( ) ( ) ( ) 2 2 416 4 2 −+=− xyxyxy

Importante... No todo polinomio es factorizable

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO

L

1. El trinomio de la forma x + b y c ,2 cbx ∈Z y 0 .0y ≠≠ c

. El trinomio de la forma con a , b y c

b

,2 cbxax ++ ∈Z y .0y ,1 ≠≠ cba 2

114

Caso 1:Trinomio de la forma ,2 cbxx ++ con b y c ∈Z y .0y 0 ≠≠ cb

Para explicar el procedimiento lo haremos a través de un ejemplo,

Sol

« Factorice el trinomio 2410 +− xx .

ución

2

:

Este proceso de factorización está fundamentado en el ensayo y el error, ya que debemos

Primero, dos factores que al multiplicarlos den el primer término.

ultiplicarlos den el tercer término.

Tercero, los dos factores anteriores su ados o restados den el coeficiente numérico♣

2 +xx Tercer término

Primer térm Coeficiente numérico del término central.

Candidatos a utilizar:

× 2 12

cuadrar o buscar candidatos que satisfagan:

Segundo, dos factores que al m

m

del término central.

10− 24

ino

⎪⎭

⎪⎩

⎪⎪ × 46 ⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧= . 2 xxx ⎪

⎪⎬

⎪⎪⎨

×=+

124 24

⎫⎧ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

⎪⎭⎪⎩ × 38 ( ) ( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎧

−×−−×−

−×−

4 6 1 24 2 12

mer término

Tercer término

el tercer término satisface la tercera condición?

videntemente no pueden ser los positivos ya que al sumarlos nos daría positivo y el

término central es negativo, así los candidatos deben ser negativos.

⎪⎪⎨=+ 24

⎪⎩ −×− 3 8

Pri

¿Pero cuál de los candidatos d

E

c sive puede dar variables. ♣ In lu

115

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎪⎭

i candidato que al sumarlos da como resultado –10, así,

) 2410 2 −=+− xxx o también

) 6 2410 2 −=+− xxx .

tros ejemplos,

« Factorice

Solución

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−×−−×−

−×−−×−

=+

3 8 4 6 1 24 2 12

24

Ese es el ún co

( ) ( 6−x 4

( ) ( 4−x

O

283 2 −+ yy .

:

tivo y otro negativo, entonces

)

Candidatos a utilizar,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧= . 2 yyy

Para que de –28 uno debe ser posi

(

( )( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫⎪⎨

−××−−××−−××

=− 4 7 ó 4 7 2 14 ó 2 14

1 28 ó 1 828

Si 2 −yy , ¿cuál de todos ellos da como resultado +3 ?

ara comprobar si el resultado es cierto, debemos realizar la multiplicación de nuestra

factorización. ¿Compruébelo?

te .

Solución

⎧ − 2

⎪⎩

28 3 +

El que está encerrado en el rectángulo es el único que satisface esa condición, así

( ) ( ) 4 7 283 2 −+=−+ yyyy

P

36 13 24 +− yy« Factorice completamen

:

116

Se puede factorizar con este método ya que ( ) ( ) 36 13 36 13 22224 +−=+− yyyy y si

que emos ten, 2 xy = ( ) ( ) 361336 2 +−= xx . 13 222 +− yy

Can

⎬

⎫

⎪⎩

⎨

⎧

y

bos positivos o negativos, pero el término central es

n ra que sumados dos núme negativo es que ambos lo sean,

entonces

⎪⎪⎩

⎨

−×−−×−

−×−=+

2 18 3 12 4 9

36

l encerrado en el rectángulo es el único candidato que al adicionarlos da como resultado

didatos a utilizar,

⎪⎭

⎪⎪= . 224 yy

Para que de +36 pueden ser am

egativo y la única mane ros den

( ) ( ) ⎫

⎪⎪⎧ −×− 6 6

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

E

-13, luego

( ) ( ) 9 4 36 13 2224 −−=+− yyyy , Cuando se factoriza se hace hasta su mínima

factorización, y los factores ( ) ( ) 9 4 22 −− yy se pueden factoriza

s,

r utilizando la técnica

de la diferencia de cuadrado

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 9 y 2 2 4 22 +−=−+−=− yyyyyy

en consecuencia,

( )( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 y36 13 +−+−=+− yyyyy

Factorice completamente .

24

10 3 2 ++− aa«

Solución:

Trate de copiar el primer término con signo positivo, es decir extraigamos como el

número –1, así

... CFM

117

( ) ( ) 10 3 1 10 3 22 −−−=++− aaaa , ahora dos candidatos que den –10 ,

( ) ( ) ⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎩ ×−

×−

1

5 2

Ese es el único candidato que al sumarlos da como resultado –3, así

( ) ( )⎧ ×− 2 5 (⎪

⎪=−

10

) ( )( ) ( ) ⎪⎪

⎨ ×− 1 10

⎭ 10

( ) ( ) 2 5 10 3 +−=−− aaaa , por lo tanto 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 1 10 3 1 10 3 2+− a 2 +−−=−−−=+ aaaaa .

« Factorice completamente .

22 14 9 yxyx +−

Solución:

Candidatos de 2 14y

)( ( )( ) ( ⎭

⎬⎫

)⎨⎧

−×−−×−×

= 2 14 ó

2 7 ó 2 714 2

yyyyyy

y

ál esos candidatos sumados o restados da como resultado a

14 9 2222 yxyxyx +=+−

14 9 22 xyxyx −=+−

aso 2:Trinomio de la forma con a , b y c

⎩ × 14 yy

Cu de

a.conmutativ propiedadpor , 14 9 xy−

El candidato encerrado es el único que satisface esa condición, luego

( ) ( ) 2 7 yxy − . ¿ Compruebe el resultado?

C ,2 cbxax ++ ∈Z y

ara explicar el procedimiento lo haremos a través de un ejemplo,

« Factorice el trinom

.0y ,1 ≠≠ cba

P

65 6 2 −− xx . io

Solución:

entado en el ensayo y el error, ya que debemos

uscar candidatos que satisfagan:

Este proceso de factorización está fundam

cuadrar o b

118

ltiplicarlos den el primer término.

o, dos factores que al multiplicarlos den el tercer término.

umar o restar el producto de los

extremos debe

cnica de si es posible.

Primer término Tercer término

⎪⎩

⎨=xx . 6

6

Primero, dos factores que al mu

Segund

Tercero, los candidatos escogidos anteriormente al s

n dar el término central.

Importante: Primero aplique la té l ... CFM

6 − xx 2 6 5 −


( )( )( )( ) ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×−×−×−×−

=−

3 2 2 3 6 1 1 6

6 ⎪⎫

⎪⎧ xx 2 . 3

2x⎪⎭

⎬

ino Tercer término

recer factores que lo posean, es

a

Primer térm

El trinomio no tiene ... CFM por lo tanto no pueden apa

decir la factorización no puede ser de la form ( ) ( ) 65 6 2 axx =−− , con R.

robando candidatos:

na ya que el factor

∈a

P

( ) ( ) 12 6 365 6 2 +−=−− xxxx

No funcio ( ) ( ) 2 3 63 −=− xx es decir existía

)No funciona ya que el factor

... CFM

( ) ( 62 1 365 6 2 +−=−− xxxx

( ) ( ) 3 2 62 +=+ xx es decir existía

)

... CFM

( ) ( 32 2 365 6 2 +−=−− xxxx

119

Esa combinación es la más adecuada ya que esos factores no tienen Multiplica los

extremos para comprobar si no aparece tendrá otra

portunidad para probar, esta es dejando los números en la misma posición y permutando

eros también?

... CFM

si aparece o no el término central,

o

sus signos. ¿Por qué no podemos permutar los núm

( ) ( ) 32 2 365 6 2 +−=−− xxxx

- 4x

9x

La suma del producto de los extremos esta dando como resultado 9 -4x = 5x, pero el término central debe dar -5x.Permutemos los signos para ver lo que pasa.

( ) ( ) 32 2 365 6 2 −+=−− xxxx

4x

- 9x

nto la factorización es:

)2 −+=−− xxx

mplos,

io

Solución

por lo ta

6 x( ) ( 32 2 365

Otros eje

« Factorice el trinom 1519 6 2 ++ xx .

:

xx . 62

×1 3

15

existe ningún por lo tanto no pueden aparecer factores que lo

. Se excluyen os candidatos negativos par a que al sumar números negativos

ner el resultado positivo y el término central es positivo.

) ++ xx , multiplicando los extremos

10

9x


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ xx 2 . 3

=x6⎭⎬⎫

⎩⎨ ×

= 15

⎧ 5

En el trinomio no ... CFM

posean l a el 15 y

nunca va a obte

( 1519 6 2 =++ xx ) (

x

Ahora sí la sumextrem su

a del producto de los os da como re ltado el

ino central 4x-9x = -5x. térm

3 5 2 3

x

120

Compruebe que la suma del producto de los extremos da como resultado el término central.

Así la factorización es:

2 53 15196 +=++ xx

ice el trinomio 12 2 +x .

ión

2x ( ) ( ) 3+x

« Factor 4245− x

Soluc :

un = 3, luego Ese trinomio tiene ... CFM

( ) 14 15 4 3 245 2 +−=+ xxx

a s a utilizar:

2

4 12 2−x

Candid to

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=xx

xxx

. 4 2 . 2

4( ) ( )( ) ( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

××

=+ 1- 14- 2- 7-

14

ir ya que con ellos jamás obtendrá el

rmino central. Así,

Los candidatos positivos para +14 los puede omit

té

( ) ( ) ( ) 2 74 1415 4 3 2 −−=+− xxxx .

o tante... do trinomio es factorizable en el conjunto de los números enteros por ejemplo:

222 ++−−−− xxxxxx No se pueden

s se pueden factorizar utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática, la cual es:

3

Imp rNo to

.256 , 643 , 1 , 12 −+ xx

factorizar en ese conjunto.

Ello

a

acbbx2

4 2 −±−= ♣

121

Un ejemplo de la utilización de esta fórmula.

« Factorice e 65 6 2 −− xx . l trinomio

oluciónS :

Los valores de a ,b y c son : 6 , 5 , 6 −=−== cba , ya que

6 4 3 2 −− xx , sustituyendo en la fórmula cuadrática

a b c

( ) ( ) ( ) ( )( ) 12

169 512

14425 5 6 2

6 6 4 5 5 2 ±=

+±=

−−−±−−=x , luego

1213 5 ±

=x de aquí obtend emr os dos valores

⎟⎠⎝ 2212⎞

⎜⎛ −=

+=

3 esfactor primer el así , 3 13 51 xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= fasegundo el así , 13 5

2x 32 esctor x

Luego, la factorización es

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−−

32

23 65 6 2 xxxx

uma o diferencia de cubos, consiste en evaluar si un polinomio es de la forma

, es decir que posea dos términos y que ellos estén elevados

al cubo. Para el logro de ese objetivo utilizaremos ciertos arreglos o reglas matemáticas.

S33 ó 33 baba −+

Luego utilizamos la fórmula

♣ Esta fórmula aparece del despeje de la variable x en la expresión . 0 2 =++ cxbxa

122

) ( ) ( 33 aba +=+ 22 babab +−

( ) ( ) 2233 babababa ++−=−

jemplo:

Factorice completamente a .

E

« 27 3+x

Solución:

Descomponiendo al 27 en sus factores primos tenemos,

de suma de cubos 333 3 27 +=+ xx , aplicando la fórmula

( ) ( ) 93 3 3 27 2333 +−+=+=+ xxxxx

Luego, la factorización es ( ) ( ) 93 3 27 23 +−+=+ xxxx

« Factorice completamente a 1 3−a .

Solución:

Sabemos que , luego

, aplicando la fórmula de diferencia de cubos

113 =

333 1 1 −=− aa

( ) ( ) 1 1 1 1 2333 ++−=−=− aaaaa


L

( ) ( ) 1 1 1 23 ++−=− aaaa

« Factorice completamente a .

olución

99 yx −

S :

plicando la propiedad de los exponentes de potencia de una potencia tenemos,

A

( ) ( ) 333399 yxyx −=− , aplicando la fórmula de diferencia de cubos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 333399 xyxyx −=−=− 23332333 yyxxy ++

123

Resolviendo el segundo factor y aplicand ente al primer factor

tenemos,

o diferencia de cubos nuevam

( )( ) ( ) ( ) ( ) 633663363399 yyxxyyxxyxy ++++−=++−=−


22 yxyxyxx

L

( ) ( ) ( ) 299 xxyxyxyx +−=− 63362 yyxy +++

124

EJERCICIOS 2.3

actorice por M.F.C. los siguientes polinomios:

25 b

F

1. 3 55 b − 4

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

212

21

212 2 xxx 5.

3. 243 18 24 cbcb −

22 9 18 puup + 4.

( ) 34 34 2 −+− xxx

6. 592744 18860 yxyxyx −+

actorice por agrupamiento los siguientes polinomios:

.

13.

14.

F

7. 49772 −+− xxx

8. 15352 −+− xxx

11. 22 4205 yxyxyx −+−

12. 22 6293 mpmpmp −+− 9 2233 +++ yxxy

10. 22 1015812 yxyxyx −+− baaba +−− 22 2

1−+− baab

Utilice las técnicas para factorizar polinomios cuadráticos en los siguientes casos, si es

posible:

5.

6.

0 +x

2.

23.

24.

25.

26.

29.

30.

31.

32.

1 652 +− xx

1 1072 ++ yy

17. 12 −x 24

18. 2110 24 ++ yy

19. 1242 −+ xx

20. 22 2yxyx −−

27. 15 29 12 2 +− rr

28. 2520 4 2 +− kk

21. 22 34 yxyx +−

2 122310 24 +− bb

22 1253 yxyx +−−

9124 2 ++ xx

22 184550 yxyx −+

21538 2 −− xx

22 838 45 yxyx ++

27108 yy ++−

235 2 ++− xx

1624 9 2 −−− uu

125

Utilice las fórmulas de factorización para factorizar el polinomio:

3.

−

3

39.

40.

41.

43.

44.

45.

46.

47.

49.

se cualquier método para factorizar la expresión:

50.

3 2536 2 −y

34. 22 4ba −

35. 4 22ba 1

36. 22 6449 yx − 42. 6325 8 16 yxyx +− 48.

7. 4 wu − 4

38. 66 yx +

g

16 −y

22 25 36 pt −

24 64 pg −

g 253 −

116 −t

93 343 hw +

63 64 hw −

27 64 3 +w 36 27my −

39 125 216 nn +

U

( ) ( ) 3232 1 1 −++ yx . Sugerencia: Sea ( ) ( ) byax =−=+ 1 seay 1 22

5 ( ) ( ) 3232 4 4 yx −−−1.

2. Sugerencia: Por cambio de base 5 ( ) ( )xyyyxx −+− . ( ) ( )( )xyyx −−=− 1

53. ( ) ( ) 3232 1 1 yx −−−

54. 5210 entonces Sea : abancia b.

Utilizando la ecuación cuadrática factorice los siguientes trinomios:

56. xx

8.

59.

60.

61.

87 36 −+ xx

55. −− 510 . 65 Sugereaa ==

652 +−

57. 352 −− xx

5 156 2 +−− xx

113 2 −+ xx

325 2 −+ xx

432

21 2 −− xx

62.

63.

15 29 12 2 +− rr

1072 ++ yy

125

EXPRESIONES FRACCIONARIAS

na expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. Una expresión

racional es el cociente entre dos polinomios, la cual es un caso especial de las expresiones

accionarias.

Adición y sustracción de expresiones racionales ítulo anterior trabajamos la suma o resta de fracciones numéricas de dos maneras.

era cuando tenían el mismo denominador, la cual se resolvía copiando el mismo

U

fr

En el cap

La prim

denominador y operábamos los numeradores ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

=±b

cabc

ba y la segunda cuando

. (mínimo tenían diferentes denominadores la cual se podía resolver utilizando el m.c.m

común múltiplo). A manera de ejemplo tenemos:

♠ Resuelva y simplifique a 33

+ 72

Solución:

33

33397272 +

333=

×===+

Igual denominador y al final se aplicó el criterio de simplificación.

a y simplifique a

♠ Resuelv183675

−

Solución:

H enominadores, alle el m.c.m. entre los d

222 3 .27

3 .25

187

365

−=− , donde el m.c.m. 6 , luego

= 33 . 2 22 =

( ) ( )41

369

36145

36 2 7 1 5

3 .27

3 .25

222−

=−

=−

=−

=−

os tenerlo presente en el trabajo que desarrollaremos a continuación:

=

Este proceso debem

126

EJERCICIOS RESUELTOS:

♠ Resuelva y simplifique a

156

143

++

+++

xx

xx

Solución:

Ellas tienen igual el denominador, entonces

( ) 991993

=1

1 1

5643156

14

++

=++

=+

+++=

++

+++

xxx

xx

xx

xx

xx


782

734

−+

−−−

yy

yy

Solución:

ienen el mismo denominador, entonces T

( )7777

4 1127

8234 82 34823−−

=−

−−−=

+−−=

+−

−yy

yyyyyyy

icar más ya que no es posible aplicar el criterio de

mplificación.

−−− yyy

Esa expresión no se puede simplif

si

Si usted pensó en simplificar “ y ” en la expresión

7−112

7112 −

=−−

yy

pues tenga mucho cuidado ya que eso no se puede hacer,

debido a que no cumple las condiciones para aplicar el criterio de simplificación.

127


332

422 −−

−+

−− kkk

kk

Solución:

Tienen el mismo denominador, entonces

3234

323

324

222 −−

−+=

−−

−+

−− kkk

kkk

kk , resolviendo y factorizando

( ) ( )( )

( )( ) 31

3 3 1 1

−==

−++

kkkk

kkk

Resuelva y simplifique a

1 1 1−+

+=

♠xx

x73

24

++

Solución:

inadores, entonces hallaremos el m.c.m.

ponga en sus factores a:

Tienen diferentes denom

Descom

xxxx

. 7 7 2 2

=⋅=

os factores comunes y no comunes con su mayor exponente es el m.c.m., entonces

.c.m. ( 2x , 7x ) =14x. Luego

L

m

( ) ( ) ( )14

34714

347 14

34714

628714

3 24 773

24 22 +

=+

=+

=++

=++

=++ x

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

Así,

14347

73

24 +

=++ x

xxx

♠ Resuelva y simplifique a 3463 56

84

kpkp+

−

Solución:

Tienen diferentes denominadores, entonces halle el m.c.m.

Descomponga en sus factores a:

128

33363 kkpkp =

. . . 5 3334 kppkp =

5

. . .2. .2 2 8

El m.c.m. ( ) 643463 40 5 , 8 kpkpkp = , luego

( ) ( )64

3

64

3

3463 40 kp4820

40 6 8 4 5

56

84 pkpk

kppkk

kpp

kpk +−

=+−

=+ ,aplicando

p− ... CFM

( )53

2

64

2

10124 kpk +

=5-

40 125-

kpkpk

=+ , así

53

2

3463 10125

56

84

kpk

kpkp+−

=+−


99235254

22 +−−

−−

−

xxx

xxx

Solución:

Tien den diferentes enominadores, entonces debes hallar el m.c.m., pero para hallarlo

torizar los denominadores. Así

necesitas primero fac

( ) ( )( ) ( 3 32 992

3 12 3522

2

−−=+−

−+=−−

xxxx

xxxx

)

a or común es ( x - 3 ) y los no comunes son ( 2x + 1 ) y ( 2x - 3 ) , según la

el mínimo común múltiplo el m.c.m. = ( x - 3 ) ( 2x + 1 ) ( 2x - 3 ). Luego

El f ct

definición d

( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 32 24

12 54

992355

2 −−−

−+−

=+−

−−−

−xx

xxx

xxx

xx

xx

129

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 32 12 3 12 54 32

3 32 3 12 54

−+−+−−−

=−−

−−+

−xxx

xxxxxx

xxx

x

ado...

lver las operaciones básicas que se encuentran en el numerador y luego factorizar si

o ble ese nuevo numerador.

( )( )

Cuid

Un error muy común es simplificar en el paso anterior, eso no se puede realizar ya que no

cumple con las condiciones del criterio de simplificación. Lo que debemos realizar allí es

reso

es p si

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 32 12 3

15236 32 12 3

21512108 32 12 3

12 54 32 222

−+−+−

=−+−

−−+−−=

−+−+−−−

xxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxx

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 32 12

56 32 12 3

3 56 −+

−=

−+−−−

=xx

xxxx

xx , así

( )( ) 32 1256

99235254

2 2 −+−

=−xx

xx

+−−− xxxx−x


42

3444

2 −+

+−

−

−xxx

x

Solución :

Factorizamos los denominadores y hallamos el m.c.m. entre ellos,

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 2 2 , 2 2 42 −=−+=+−+=− xxxxxxx , donde el

( ) ( ) 2 2 −+= xxmcm , luego

( ) ( )( ) (

( ) ( ))

2 2 2 4 2 344

24

23

2 2 44

224244 43

−+++−−−

=−

++

−−+

−=+

xxxxx

xxxxx

−+− xxx−

−x

130

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 2 5

2 2 2 105

2 2 846344

−=

2 2 5−+

+=

−++

==−+

+++−−=

xxxx

xxxxx , así

xxx

( ) 2 5

2242 −+− xxx434

−=+−

−x

x


4

♠62

7483

44656

13222 −−

−+−

−+

−+ hhhhh

hh

Solución :

Factorizamos los denominadores y hallamos el m.c.m. entre ellos,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3262

2 23483 , 32 236562

22

−+=−−

−−=+−+−=−+

hhhh

hhhhhhhh

El )( ) ( 32 23 ... ) ( 2 +−= hhmcm −h , luego

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) 2 32 23 237 32 442 13

2 32 7

2 234413 −

+=h

32 23 −+−

−−+−+−

−+−

−−+−=

hhhhhhh

hhhhhh

( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( ) 2 32 23 6322 4

2 32 23 24128

2 32 23 1421128128 2613 22

−+−

−−

−+−

−−

−+−

+−−−++−===

hhhhh

hhhhh

hhhhhhhh

( )( )( )( )

( )()(

)( )( ) ( ) 23

423

42 23

32 4 2 32 23

6322 4−−+−

+

−+−

−−===

hhhhhhh

hhhhh , así

2 3 2

−

−=

23 4

627

48344

65613

222 −=

−−−

+−

−+

−+ hhhhhh

hh

131

Multiplicación y división de expresiones racionales este tipo de problemas seguiremos las siguientes recomendaciones:

me la expresión en una sola fracción utilizando para ello a

Par resolver

1. Factorice completamente los numeradores y los denominadores si es posible.

2. Transfor

bdca

cb

da

dcba

cb

da

.

. ó .=÷=×

3. Simplifique utilizando el criterio de simplificación.

A


lgunos ejemplos:

♠ 3

3

3

2

1835

914

ay

ayx

÷

Solución :

Aquí no hay que factorizar ya que todos los términos son monomios, aplicando el paso dos

( )( )3333 359189 yaaa

=÷ , aplicando el paso tres 3232 18143514 ayxyyx

5 4

5 2 . 2

35 . 9 18 . 14

2

2

2

2

33

32

5 4

1835

914

2

2

3

3

3

2

yx

ay

ayx

=÷ yx

yx

ayayx

=== ,así

Resuelva y simplifique a ♠ 22

2

2

3

334

yxx

xyxx

−÷

−

Solución :

actorizando tenemos, F

132

( ) ( )( ) 34

334 23

22

2

2

3

yxyxx

yxxx

yxx

xyxx

−+÷

−=

−÷

− , resolviendo y simplificando

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

3 4

4

..3 4

4

3

3

2

323 yxyxx

yxyxxyxxx

yxyxxyxyx

xx +=

−

−+=

−

−+=

−+÷=

3 yxx − 3

así,

( )33 222 yxxyx −−


44 23 yxxx +=÷

3

♠mmmm

mmmm

11281342

1340920

2

2

2

2

−+

−+×

−+

−+

Solución :

rdenando y factorizando tenemos,

O

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 4 7

7 6 5 8 4 5

281122

40132 −−−−

×−−−−

=+−

×+− mm

mmmm

m

mmmm

y simplificando,

) ( )( ) ( )

41322092 +−+− mmmmm

resolviendo

( ) ( )( ) ( )( 8

6 8 7 4 6 7 4

− 5 5 −

=−−−−−−

mm

mmmmmm , así

−−

=mm

86

11281342

1340920

2

2

2

2

−−

=−+

−+×

−+

−+mm

mmmm

mmmm

Efectúe y simplifique a ♠1515

1296

99424

2

2

24

++

−−×

++

−−

pppp

pppp

Solución :

actorizando tenemos, F

133

= ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 3 34

3 4 3 3

3- 3422

22

++

+−×

+++

pppp

pppp , resolviendo y simplificando

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) 3 3

4 3- 3 3 3 3 4 3- 34

2

2

2

22

++

−=

+++

+−+

pppp

pppppppp , así =

34 2 +

( )( )( ) ( ) 3 3

4 3-1515

1296

9942

2

24

2

2

24

++

−=

++

−−×

++

−−

pppp

pppp

pppp

134

EJERCICIOS 2.4 Efectúe las operaciones indicadas y además simplifique:

1. yx

ba

ba

yx3

75

22

43

28

56

64

72 10. ⋅

2. ba

xyyx

ba3

2

2

2

4875

12532

⋅

3. 2

32

32

23

3518

49

27xy

ba

yx

ba÷

−

4. 2

23

46

74

3281

16

27xy

ba

yx

ba÷

5. 273

75

252

34

18

96

63

54

cba

yx

zyx

cba⋅

−

6. ( )

( )

4

33

3

23

23332

8

4

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−÷

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

ax

xa

yxax

yxax

7. 48

75

533

45

bca

yx

zyx

bca ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

×−

8. 8

528

112 ++

+ xx

. 9 132

1 −−

−−

−xx

xx

782

734

−+

−−−

xx

xx

11. 12

5312

4222 ++

++

++

−−

xxx

xxx

233

233

++

−++

xx

xx12.

13. ( )164 2

164

22 −

−+

−

−−

yy

yy

( )( ) ( ) ( )3 27

3 242

−++

−−+

+zz

z14.zz

z

15. 265128

261520

2

2

2

2

−+−−

−−+

++ffff

ffff

4

482

322 −

+−− aaa

a 16.

17. 4

382

62 +

+−+

+xxx

x

294

4154

222 ++

+++

−

yyyyy 18.

245

212

122 −+

−−+

+

xxxxx 19.

20. 992352

5422 +−

−−−

−

xxx

xxx

6

832

2223

4222 −+

++

−+

++

+−

−

xxx

xxx

xxx 21.

2 273

121712

12294

35222 +−

+−

+−

−+

+−

−

xxx

xxx

xxx 2.

135

2 222 212

3 108 2

347

ttt

ttt

ttt

−−

−+

+−+

−+ 3.

24. 222 3512144

4 5610 2

3 72117

ttt

ttt

ttt

−−

−+

−−

−+

++

+

32

7673

14253

57222 −+

+−

−+

++

+−

−

kkk

kkk

kkk 25.

456

3512712

1553108

14222 −−

−+

−−

−+

++

+

xxx

xxx

xxx 26.

27. 1211

734154

17831

7222 2++

++

−++

+− xxx

xxxx

0

28. 22

22

22

22

124124

32369

8219

324

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

+−

+−×

−−

−−

9.2 22

22

22

22

1092

12

12112

672

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

+−

−−×

+−

+−

30. 38335 22 −+

÷−

622

232 22 −−

−

−+

xxxx

xxxx

31. xxxx

xxxx 13 429 20 22 −+

×−+

32.

1182 1340 22 −+−+

xxxxx

xxx 4 6 94 9

4

234

2

2 +−×

− 8 2725 3 ++−

.33 aaaaaa 4 20 254 12

24++

÷++

a 2 - 16 5

22

−

34. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) 4

6 17 3

6 2 2

2

2

−+

−+−+

−+

−+++

yxyxyx

yxyxyx

5.

11 38 2 2−+÷

−+ yxyx

3 ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 12 5 2

3 7 64 11 3

16 2

2

2

2

−−+−

−−−−×

−−−−

−−

yxyxyxyx

yxyxyx

36. ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) 8 10 312 5 2 −−+−−−+− yxyxyxyx

4 99 3 222

−−÷

−−+− yxyxyx 22

37. 65 - 3 4

12 7 9 10

2

2

24

24

+

++÷

+−

+−

aaaa

aaaa

136

OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS onsiste en resolver problemas con operaciones combinadas de adición, sustracción,

para e e tener presente lo

ui te:

ay que resolver prim lo que se encuentra

dentro de él.

. Si no aparece símbolo de agrupación, hay que efectuar primero las multiplicaciones o

3. Si solamente existen multiplicaciones y divisiones combinadas, indudablemente debe

tar las operaciones.


C

multiplicación y división de fracciones racionales, llo hay qu

sig en

1. Si aparece un símbolo de agrupación h ero

2

las divisiones antes que las sumas o restas.

aparecer un símbolo de agrupación para indicar el orden a ejecu

Algunos ejemplos:

♠132352

3462

125

2

2

2 +−

−+÷

+−

+−

+ xxxx

xxx

x

olución :S

Resolviendo la división,

( )( ) )(

( )( )( )( ) 1 12

3 12 1 3

3 121322

522

34262

15

−−

+−÷

−−−

++−

−+÷

+−

+−

+ xxxx

xxx

xxx

xx

xx

x 2532x

+=

( )( )( )

( )( )(( ) )

( )( )( ) )( )( 3 1 3

1 3 212

5 1 12 3 12

1 3 3 2

125

+−−

−+

+−

+−÷

−−

+−

+ xxxxx

xxxx

xxx

x

−

−==

x

Resolviendo la resta,

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 12

17 3 1224155

3 12 12 2 3 5 2

125

−+

=3 −+

−

−+

−−−

−+

+−−===

− xxx

xxxx

xxxx

x x

No se puede simplificar m ás, así

( )( ) 3 1217

132352

3462

125

22 −+−

=+−

−+÷

+−

+−

+ xxx

xxxx

xxx

x

2

137


24582

48333 2 + xx

2

2

2 −−

++

−+×

+− xx

xxxx

xx

Solución :

Resolviendo a ti lic l mul p ación,

( ) ( )( )( )

( )( )( ) 1214

2 2

1 2

5

22

4823

323−

+−

+

−

+−

+

xxx

xx

xxx

x

(

2x 4

2− 3 −x 3

1−242x

8−+x

−+×

+x

+

+× =

xx

x

xxx

( )( ))( )( )

( ) ( )( )( ) 12 x 23 −x

23123

32−

=xx

xxxxx 3 2x 1 −2 x

2−

2x 3x12 −x

2 1+ x 2

2− 13

=x −

−−

−−

−

+=

−xx

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 12 23

12 23

426326 12 23

23 2 12 3−−−−

+−−−−

−−− ===xx

xxx

xxxxxx

xxxx , así

( ) ( ) 12 23 28233 22

=−−+

×+ xxxxxx

124548 22 −−−+++− xxxxxxx


3

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ ++++ 1220336356 aaaa

⎛

++

++÷

++×

++

41529

1513222

183126181522

2

aa

aaaaaa

olución :S

Factorice todas las expresiones y resuelva primero lo que se encuentra dentro de los

( )

paréntesis,

( ) ( ) ( ) (( ) (( )

))

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

÷×++++

= 43 13 5 32

32

43 92 6 32

aaaa

aaaa

++++

6 2 23 9

aaaa

138

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 32 6 43 92 +++

32 43 13 92 6 +++×

+ aaaa , resolviendo y simplificando

++ aaaaa+

=a

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( ) 5

13 5 13

5 13 43 92 6 32

++

=++

=+

32 6 43 92 ++++

+++++=

aaa

aaaaaaaaaa , así

a

513

41529

15132218312618152 2⎜⎛ ++

÷++

×++ aaaaaa

12202336352 ++

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎝ +++++ a

a

aaaaa


6 +a

3611212

12194

361926

182326

361722

1835212 2

−−

+−×⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−÷

+−

+−

kk

kk

kk

kk

kk

kk ♠

Solución :

actorice todas las expresiones y resuelva primero lo que se encuentra dentro de los

aréntesis,

F

p

( ) ( )( ) ( )

( ) ((

)( ) )

( ) ( )( ) ( ) 94 43

4 34 43 23

4 92 23 94

−+−−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

÷−−−−

kkkk

kkkk

kkkk

9292

−−

=

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

)(( ) ( )( ) ( )( )( )( ) )) ( ( 94 − 43 23 4 92

4 34 43 23 94 94 43 4 34

23 4 92 43 23 94

++−−−−+−−

=−+

−−×

+−−+−−

kkkkkkkkkk

kkkk

kkkkkk

sí,

=

A

( )( )( ) ( ) 23 92

34 23

3611212

12194

361926

182326

361722

1835212 2

+−−−

=−−

+−×⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−÷

+−

+−kkkk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

138

♠

312914

2

−

−

x

x Resuelva y simplifique la siguiente fracción compleja

Solución :

e transforma el numerador en una sola fracción al igual que el denominador, luego

iq e la “ doble c” y finalmente aplique el criterio de simplificación.Veamos,

S

apl u

( )

( )

( ) ( )=

−

+−

=−

−

=−

−

=−

12

−

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

369

6 6

369

36

3 3 2

9 9 4

3

9 22

2

2

2

Doble c.

x

x214

( ) ( )( )

( )xx

xx

xxxxx 3

3 6

3 6

6 9 6 6

2+

=+

=−

+− , así =

xx

x 3−

x1292

=

14−

36 +

elva y simplifique a

♠ Resu

11

11

11

11

+−

−−+

+−

+−+

xx

xx

xx

xx

Solución :

e procede de la misma manera que el problema anterior, S

( ) ( ) ( ) ( ))( )(

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 1 1 12 12

1 1 1212

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

11

11

112

22

+−+−−++

+−+−+++

=

+−−−−++

+−−−+

=

+−

−

+−

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

xxx

1 11 ++−+

+x

xxxx

2xx−x+x

x

139

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ))( )( 2

1 1 1

1 1

1 1 4

1 1 1 2

1 1 1212

1 1 2

2

2

+=

++−

=

+−

+−+

=

+−−+−+

+−+

xx

xx

xxx

xxxx

xxxxxx

xxx

4 −xx 1 2 +xx

2

2 +=

140

JERCICIOS 2.5

elv y simplifique las siguie e resiones:

.

E

Resu a ntes xp

1345

13216

1232

2

2

2

−−

++

++×

−+

+x

xxxxx

xxxx

2. 3128

654124

342

2

2

2

+−

++

−+÷

−+

−x

xxxxx

xxxx

3. 94

3526136

6612

42

2

2

2

−

+−÷

++

−−

− xxx

xxxx

xx

4. 1417 p26

6 923212

101126

3542

26 2

−−

−÷⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎝ −+

−+×

−−

−+

p

p

pp

pp

pp

pp 2− p

4

1⎜⎛

5. 24412 − p12

728 3611212

72722

365224

274228 2

+

+×⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ −+

−+÷

−−

+−

p

pp

pp

pp

pp

pp 73+ ⎜

⎝

⎛

6. ⎟⎟⎠

⎞46y⎜⎜⎝

⎛ −−×

+−

+−÷

+−

−−

9210

40515462442436

50125122117 2

2

2

2

2

y

yyy

yyyyyy

−− 9y

30

7. 14

12 2

2

−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx

x

8 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

323

292 2 x

xxx

.

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝

− x⎛ 5x− 2

4 1 x

xx

10. ⎟⎠2 ⎞3

⎜⎝⎛ −−÷⎟

⎠⎞+ 2

108 6xxxx

⎜⎝

−6 ⎛ 13

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+÷⎟

⎠⎞

++

121

126

xx

x ⎜

⎝− 3 x⎛ 6

12. 43 32

3310 ⎜⎝⎛ −÷⎟

⎠⎞

++ x

x

3211

⎟⎠⎞

++

x 3 ⎜

⎝−x⎛

140

13. =

5

2

54

4

159

5y36

zxy

zx

4.

1 =+

+212ww

2ww

15. =−

w3

−12w

1

16. =+ wp −

pw

wp

p

17. =+

ab

ba1

11

18.

=

++

+

433

xx

x

19. =

−−−

−−

32812x

322

x

xx

20.

=+−

−+

+−

+−

+−

22

112

22

1212

aaaaa

aa

21.

111

2a

1

=

+−

−−+

+−

−−+

21

21

22

aa

aa

aa

a

22.

11a

=

−+

++−

−

39

83

92

yyy

yy

y

23. =

++

−+

−+

242

22

22

2

yyy

yyy

y

24. =

+++

−+

+++

++

5770106

3

2874

pppp

p

pp

4p

25. =− 4p

−−

++

164

44

2

2

pp

pp

++− 81682 pp

++

22

p

145

CONSTRUCCION Y USO DEL TRIANGULO DE PASCAL

áginas anteriores se presentaron multiplicaciones de polinomios como 3322 ó hastay ,,, yxxyxyxyxyx ++−+−+ .En algunas de ellas

teníamos algunas fórmulas que permitían resolver tipo de problemas. Ejemplo:

En p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )108 y

este

• ( ) ( ) 2 ó 2 222222 yxyxyxyxyxyx +−=−++=+ , binomio cuadrado perfecto.

binomio al cubo, y además

.

e llas se observa como recurrencia lo siguiente:

eros términos tienen como exponente el mismo que el problema.

sminuye el de la otra aumenta.

ino del problema es negativo, los términos solución serán positivo y negativo

ente de forma alterna.

éricos de los términos varían.

n lo anterior, la solución de la multiplicación debe ser:

yxyxxxyx y ++++++ +=+ ληϕφδβα

Pero, ¿Cuáles son los valores numéricos de

• ( ) ( ) 322333 ó 322333 33 yxyxxyxyxyxxyx yy −+=−++=+ −+

• ( ) 43223444 46 yxyyxxxyx y ++ ++=+

Entr e

1. Los prim

2. Cuando el exponente de una variable di

3. Si un térm

respectivam

4. Los coeficientes num

Segú de ( )8yx +

( ) 876253443526788 yxyyxyxyx +

,,,,, y ληϕφδβα ?

s números son muy fáciles de conseguir con la ayuda del Triángulo de Pascal♣

l aremos la forma de construir este maravilloso triángulo.

Esto

Exp ic

♣ Pascal, Blaise : Matemático,físico , filósofo y escritor francés. Nació en Ferrand en 1623 y murió en París en 1662. Inventó la primera máquina de calcular, fue uno de los iniciadores del cálculo de la probabilidades y combinatorio, él llamaba a este triángulo el “ Triángulo Aritmético ” .

146

Primero constrúyase un triángulo donde los bordes sean solamente unos, así

1

1 1 1 1

Donde queden cuadros vacíos entre número y número se deberán sumar y ese resultado se

ajo de esa respectiva casilla. Por ejemplo:

1

colocará deb

1 .+ 1 1 .+ 2 .+ 1

Agregemósle más filas a este triángulo y complete las casillas según usted considere haga

falta algo. 1 1 .+ 1 1 .+ 2 .+ 1 1 .+ 3 .+ 1 .+ 1 .+ .+ 6 .+ .+ 1 4 1 .+ 5 .+ .+ 10 .+ 1.+ 5

A c tontinuación un riángulo de 10 filas,

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 1 4 1 5 10 10 1 5 1 6 15 20 6 1 15 7 21 35 35 7 1 1 21 1 8 28 56 70 8 1 56 28 1 36 84 126 126 84 36 9 1 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Los números de la fila 8 son los son los valores n ricos deumé ,,,,, y ληϕφδβα , así

s ltado de la multiplicación es: el re u ( )8yx +

147

( 2x + ) 8762534 5y +43526788 82867056 88 yxyyxyxxyxyxxxy y ++++++ += .

ociendo el Triángulo de Pascal y la recurrencia con los exponentes de las variables se

l rá el problema número 13, capítulo 2, ejer s 2.2.

Multiplique a

c ón:

Con

reso ve cicio

« ( ) 8 1+x

Solu i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8762534435261788 1181281561701561 288 1 +++++++ +=+x xxxxxxxx

d aparecía la variable “ y ” se colocó el valor de uno, luego Don e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 23456 1 78 1 1 8 1 28 1 56 1 70 1 56 1 288 +++++++ += xxxxxxxx )

828567056 288 ++++++ + xxxxxxx .

« Multiplique a

c ón:

12345678 += x

( ) 9 1−y

Solu i

lternan los signos y se utilizan los valores numéricos de la fila 9,

.

Para finalizar halle las siguientes multiplicaciones:

«

« y

«

Se a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9181712 3661384514 126415126316 84217 3618 99 −+−+−+−+−= yyyyyyyyy

12 363844 12651266 847 368 99 −+−+−+−+−= yyyyyyyyy

( ) 10 2−y

( ) 11 ba +

( ) 12 ba −

148

Hoja de respuestas

149

Capítulo 1

Conjuntos de ejercicios 1.1

1.

2.

3.

4. { } ,,,,,,,,,, uoihgfedcba

{ } , ea

{ } ,,,,, rñmlkh

{ } ,, hea

{ } ,,,,,,, hgfedcba 5.

6. Vacío

7.

8.

9.

10.

11.

13.

{ } ,,,,,,,,,,,,,,,,,, zqprñmlkuoihgfedcba

{ } / Zxx ∈

{ } ,,, dcba

{ } Táchira ULA.la de estudianteun es / xx

{ } Integral Básica de semestreprimer del estudianteun es / xx

AB ⊂

14. AB ⊂

15. BA ⊂

BA = 16.

BA ⊂ 17.

BA ⊂18.


1. 1285

2. –50

3. 429

4. 158

5. 3

6. –1

7. – 6

8. 845

319

− 9.

10. 245

2996

11. 29

−

12. 660

162917

499

13. 32

14.

15. 54

187

16. 25

−

17. 57

128

18. 43

2516

− 19.

83 20.

83 21.

22. 1877−

58 23.


1. 5000977135655,488 =

25100208,40 −=− 2.

150

500107219438,214 = 3.

2375,18 −=− 4.

5004103206,8 =5.

6. 8

97125,12 =

25

2344684,937 = 7.

8. 100448989,44 =

9. 200

1981905,9 −=−

10. 200

1241205,6 =

11. 254892,1 −=−

12. 2500

230092,0 −=−

13. 100

10282929,1028 −=−

14. 0

15.

16. 1

17.

∞

100

66828383,6682 −=−

19. 151.002

20. 24

21. 200

22. 1016

23. 3000

24. 55 millones

25. 119

26. 1058

27. 83

28. 1887

29. CXI

30. DI

31. XX

32. DCCLXXVI

33. CDXLIIDCXLV

DLXXIV 34.

35. MMCCCXLV

36. CMXCIXCMXCIX

DCLXVII CDXXV XLII 37.

X 38.

MMMCDXXXI 39.

40. VIII VII

CCCXCII− 41.

MCML 42.

43.

44.

45.

CCLXVI

MCCCXXXI

I

46. CXXV

47. CLI

48. MLX , MX

151


1. 500

11627

2. 3

20960

=

3. 10000005212121

−

4. No se puede

5. 935

−

6. 9000

505001

7. 944

8. 3300

7

9. 1000999

−

10. 2

15

11. 4

11−

12. 33

828−

13. 8

1108

14. 67

4014−

15. 2

13

16. 2

11

17. 9

115−

18. 1297

19. 21

2085

20. 58

21. 2

11−

22. 951 )

951)

211

219) 51 ) >−<−−<−< dcba

23. 14 ) 14 ) 100 ) 1020 ) <−−>−>> dcba

24. 3 , 0.5 , 0.2301 , 0.230 , 0.20- , 93- ,

73- ,

43- , 3-

25. ( ) 8, −∞−

26. ( ) 0 , ∞−

27. ( ) 21.0 , −∞−

28. [ ) 3, ∞+

29. [ ] 9 , 7-

30. ( ] 5- , 12-

31. [ )3 , 3−

32. [ ) 10 , 6

33. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

47,

93-

34. ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ 2 ,

51

35. [ ] 0.1 , 0.1-

36. 73

21

<<− x

37. 120 <≤ x

38. 7.723.0 ≤≤ x

39. 6≤x

40. R

152

41. 62 ≤≤ x

42. ( ) [ ]402 ≤≤∪−< xx

43. { }00y 0 −=<< Rxx

44. 1020 ≤<− x


1. 11

2. 35,13

3. 12

4. 0,05

5. 2,73

6. 1,42

7. 0,04

8. 111111

9. 11111

10. 1111

11. 111

12. 16, -16, 161

13. 8,81,

81

−

14. 1 ,1 , -1

15. –1, 1 , 1

16. 41

17. 51

18. –260

19. 3572134943

20. 51043,2 −×

21. 71045,3 ×−

22. 9101×

23. 310001,1 ×

24. 31006345,1 −×

25. 8103556,4 ×

26. 12102 −×

27. 16109,8 ×

28. 34560

29. – 0,056

30. 600000

31. 399990

32. 0,0000000015168

33. 906000000

34. 0,000000000040006

35. 0,0003456

36. 5110025,2 ×

37. 6103,2 ×

38. 261004,5 ×

39. 5102,2 −×−

40. 3102,1 −×

Capítulo 2


1. Si, binomio de grado 5.


3. Si, polinomio de grado 9.

4. Si, trinomio de grado 5.

5. No.


7. No.

8. xxxx 1238,7213 3511 +−+

153

9. 589 3453 xxx +−

10. 83313,239 234567 ++−−++−− yyyyyyy

11. Según x , yxxyyxyxxy +++−− 4223256 33,43 y según y ,

yxyxyxxyxy ++−+− 2232456 3,433 .

12. Según x , 765243342567 8765432 yxyyxyxyxyxyxx +−+−+−+ y según y,

765243342567 2345678 xyxxyxyxyxyxyy ++−+−+− .

13. wxyx 1262 2 ++

14. 32 043,626,0 qpqp ++−

15. 213

29511 22 +−+ xyxyyx

16. uuu 513,3423 34 −−−

17. δβα 97,31013

1167

+−

18. 2103104 223 ++−+ xyxyyxx

19. puupuppu 223 86,525

746

++−

20. 28,435,2 23 −−+− kkk

21. 444310

526 23 −+−− xxx

22. 621 yy +−

23. Existen infinitas soluciones.



26. 7188,64

529 23 +++ yyy


1. 9

5 4 yx−

2. 3

2 989 pty

3. 47 525 wh

4. 59,03,1319,3 23 −+ xx

5. yuyuyuuy 1782 13010 364255 +−+−

6. 455482 21

21 hwhwwh +−

7. 824 235 +++ xxx

8. 2 2 22 +− xx

9. uuuu 12 3 12 3 234 −++−

10. 27279 23 +++ xxx

11. 273

24832 xxx −+−

154

12. 21699221

219 234 −++− pppp

13. 1 8 28 56 70 56 28 8 2345678 ++++++++ xxxxxxxx

14. 1024512021152031536041344058064633607960818092010 +−+−+−+−+− yyyyyyyyyy

15. 22 2 baba ++

16. 22 2 baba +−

17. 22 ba −

18. 33 ba +

19. 33 ba −

20. 6424261111xyxxyy

−−+

21. 1211- )

41 ) 27 ) cba −

22. 9601 )

41 ) ed

23. 63 +x

24. 93 −− y

25. 54

+− x

26. x

x 1536 2 +−

27. 2129 wzw +

28. p

pp11

1221

1123 2 −−−

29. 132 2 −+ xx

30. 932 ++ xx

31. 1

8572−

+++y

yy

32. 12

222 2−

−−+j

jj

33. 322

54

263

abbababba

−

++−

34. 2512

37

328

31

2 +−−

−+

xx

x

35. 33,022314

3405,028,023,015,0201,0307,045,0−−

−−+++−+

xx

xxxxxx

36. 1224

21

14222534182244

−−

+−+++++

ff

ffffff

37. 22 964 yxyx +−

38. 4224 42 ppaa +−

39. 236 ++ nm

155

40. kkkkkk 4644144212 23457 −+−+−

41. b3−


1. ( )bb 511 5 3 −

2. 2

212

212

212 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxx

3. ( )bccb 34 6 3 −

4. ( )uppu +2 9

5. ( ) ( )12 34 +− xx

6. ( )353224 9 430 2 yxxyyx −+

7. ( ) ( )7 7 +− xx

8. ( ) ( )3 5 +− xx

9. ( ) ( )23 1 ++ xy

10. ( ) ( )yxyx 54 23 +−

11. ( ) ( )yxyx 4 5 +−

12. ( ) ( )mpmp 23 3 +−

13. ( ) ( )12 −− aba

14. ( ) ( )1 1 −+ ba

15. ( ) ( )2 3 −− xx

16. ( ) ( )2 5 ++ yy

17. ( ) ( )4 6 −− xx

18. ( )( )3 7 22 ++ yy

19. ( ) ( )6 2 +− xx

20. ( ) ( )yxyx +− 2

21. ( ) ( )yxyx −− 3

22. ( )( )32 45 22 −− bb

23. ( ) ( ) ( )yxyx 3 43 1 +−−

24. ( )( ) ( )2323232 +=++ xxx

25. ( ) ( )yxyx 65 310 +−

26. ( ) ( )7 38 −+ xx

27. ( ) ( )5 3 34 −− rr

28. ( )( ) ( )2525252 −=−− kkk

29. ( ) ( )yxyx 25 49 ++

30. ( ) ( )2 47 +− yy

31. ( ) ( )1 23 −− xx

32. ( ) ( ) ( )43 43 1 ++− uu

33. ( ) ( )56 56 −+ yy

34. ( ) ( )baba 2 2 −+

35. ( ) ( )12 12 −+ abab

36. ( ) ( )yxyx 87 87 −+

37. ( ) ( ) ( )wuwuwu −++ 22

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39. ( )( )( ) ( )1 1 1 1 22 +−+−++ yyyyyy

40. ( ) ( )ptpt 56 56 +−

41. ( )( )pgpg 8 8 22 −−

42. ( )4223 2 8 yxyx +−

43. ( ) ( )5 5 −+ ggg

44. ( )( )( )( ) ( )1 1 11 1 248 +−+++ ttttt

156

45. ( )( ) 749 7 6323 hwhwhw +−+

46. ( )( ) 416 4 4222 hwhwhw ++−

47. ( ) ( ) 91216 34 2 +−+ www

48. ( )( ) 93 3 2242 mmyymy ++−

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158

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24. ( )( )( )( )

43511

−+++

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25. 4+p

159

BIBLIOGRAFIA

ALLENDOERFER Carl y OAKLEY Cletus .(1978). Fundamentos de Matemática Universitaria. Ediciones McGrawHill. Tercera Edición. México.

ALLEN, Angel. (1994). Álgebra Elemental. Ediciones Prentice Hall. Tercera Edición. México.

DE OTEYZA, Elena y otros. (1996). Álgebra. Primera Edición. Ediciones Prentice Hall. México.

FLEMING Walter y VARBERG Dale. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera Edición. Ediciones Prentice Hall. México.

GARDNER, Martín. (2000). Los Mágicos Números del Doctor Matriz. Editorial Gedisa.Tercera reimpresión.Barcelona.

GOBRAN, Alfonse. (1990). Álgebra elemental. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

Instituto Universitario de Mejoramiento Profesional del Magisterio. (1983). Manual del Estudiante. Modulo “Lógica Moderna ”. Caracas.

REY Pastor J. y BABINI José. (1997). Historia de la Matemática. Editorial Gedisa. Segunda Edición. Volumen 1 y 2. Barcelona.

ROJAS, Lucas. (1987).Polinomios y Razonamiento. Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de los Andes. Mérida.

SÁNCHEZ, Alfonso. (1998). Lógica de Proposiciones y Teoría de Conjuntos. Trabajo mimeográfico.

SEITER, Charles. (1996). Matemática de uso Diario para DUMMIES. Grupo Editorial Norma. Bogotá.

SWOKOWSKI Earl y COLE Jeffery. (1996). Álgebra y Trigonometría. Tercera Edición.Grupo Editorial Iberoamericana. México.

Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL). (1985). Matemática I, Fascículo 1 al 4. Caracas.

Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) y Universidad Nacional Abierta (UNA). (1986). Matemática II, Fascículo 1. Caracas.

libro matematica 10 daniel

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