Lección

Tercero Básico

© M

inis

terio

s H

ebró

n —

Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia

— L

ey d

e de

rech

os d

e au

tor

Mes 5

135

Competencia: 2Estándar: 5

Ejemplo 1

Reflexión de una función cuadrática3

La función g(x) = − x2 es la reflexión de la función cuadrática de la forma f(x)= x2, como se observa en la gráfica.

Ambas graficas tienen el mismo dominio en el conjunto de los números reales. El rango es dife-rente para cada función.

El rango de la función f(x) = x2 es el intervalo:

[0, ∞+)

Lo anterior significa que el rango incluye el cero y abarca todos los números reales en el eje vertical hacia el infinito positivo.

El rango de la función g(x) = – x2 es el intervalo:

(–∞, 0]

Lo anterior significa que el rango incluye el cero y abarca todos los números reales en el eje vertical hacia el infinito negativo.

La función de la forma g(x) = – x2, es la re-flexión de la gráfica de la función f(x) = x2.

Graficar la función f(x) = –2x2 y su reflexión en el mismo plano.

— Como el eje de simetría de la función corres-ponde al eje y, evaluamos los elementos del dominio alrededor del cero como se observa en la tabla.

x f(x) = –2x2 y (x, f(x))

–2 f(–2) = –2(–2)2 –8 (–2, –8)

–1 f(–1) = –2(–1)2 –2 (–1, –2)

0 f(0) = –2(0)2 0 (0, 0)

1 f(1) = –2(1)2 –2 (1, –2)

2 f(2) = –2(2)2 –8 (2, –8)

Se puede comprobar cada resultado evaluado con el uso de una calculadora científica. Para el caso de x = –2, ingresamos la siguiente serie de teclas en la calculadora: z2(z2) dp. El resultado obtenido es –8. Después de calcular-los todos, marcamos en el plano los puntos que corresponden a los pares ordenados de la tabla y graficamos la función:

x

y

x

y

136

Tercero Básico

© M

inis

terio

s H

ebró

n —

Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia

— L

ey d

e de

rech

os d

e au

tor

Mes 5 Competencia: 2Estándar: 5

Ejemplo 2

Vemos que al graficar la reflexión de la función f(x) = –2x2, las imágenes para cada elemento del dominio cambian: por ejemplo, para x = –1 se ob-tiene –2 como imagen a través de f(x) y 2 a través de g(x).

El rango de la función f(x) = 2x2 que corresponde a la reflexión es el siguiente intervalo:

[0, ∞)

Este intervalo incluye el cero y se desplaza hacia arriba al infinito positivo.

Graficar la función.

f(x) = –2x2 + 5

Evaluamos en la tabla los elementos del dominio que se encuentran alrededor del cero por donde pasa el eje de simetría de la función.

x f(x) = –2x2 + 5 y (x, f(x))

–2 f(–2) = –2(–2)2 + 5 –3 (–2, –3)

–1 f(–1) = –2(–1)2 + 5 3 (–1, 3)

0 f(0) = –2(0)2 + 5 5 (0, 5)

1 f(1) = –2(1)2 + 5 3 (1, 3)

2 f(2) = –2(2)2 + 5 –3 (2, –3)

— Marcamos en el plano los puntos que corres-ponden a los pares ordenados y trazamos la gráfica.

El dominio de la función es el conjunto de los reales, el rango se expresa mediante el siguiente intervalo.

(–∞, 0]

El intervalo indica que el rango empieza desde el vértice de la gráfica, es decir en el origen, y se extiende hacia abajo al infinito negativo.

— Seguidamente trazamos en el plano la gráfica de la función que corresponde a la reflexión de la función, que en este caso es g(x) = 2x2.

x

y

x

y

137

Tercero Básico

© M

inis

terio

s H

ebró

n —

Pro

hibi

da s

u fo

toco

pia

— L

ey d

e de

rech

os d

e au

tor

Mes 5Competencia: 2Estándar: 5

Ejemplo 3

Ac

tividad

3 Trabajo en el libro de actividades.

x f(x) = −x2 − 2 y (x, f(x))

−2 f(−2) = −(−2)2 − 2 −6 (−2, −6)

−1 f(−1) = −(−1)2 − 2 −3 (−1, −3)

0 f(0) = −(0)2 − 2 −2 (0, −2)

1 f(1) = −(1)2 − 2 −3 (1, −3)

2 f(2) = −(2)2 − 2 −6 (2, −6)

Grafiquemos la función

f(x) = –x2 – 2

— Hacemos una tabla que contenga un subcon-junto de números del dominio alrededor de x = 0 y los evaluamos en la función como se muestra.

— Seguidamente marcamos en el plano los pun-tos que representan los pares ordenados y tra-zamos la gráfica.

Observamos a partir de la gráfica que el rango de la función se encuentra determinado por el inter-valo siguiente: (–∞, –2]. Esto indica que el rango incluye desde –2 hacia abajo en el eje vertical.

Eje de simetría y vértice

El vértice de una parábola es el punto mas alto o más bajo de la curva según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola y es paralela al eje y.

y

x

eje de simetría

vértice

x

y