contenido 1. función cuadrática

Contenido

1. Función cuadrática

1.1. Aplicaciones

1.1.1 Costos totales

1.1.2 Ingreso total

1.1.3 Utilidad

1.1.4 Punto de equilibrio

1.1.5 Precio

1.1.6 Máximos y mínimos

1.1.7 Costo promedio

1.2 Función de segundo grado

1.2.1 Definición

1.2.2 Representación gráfica

1.2.2.1 Concavidad

1.2.3 Herramientas de exploración

1.2.3.1 Taller de aplicación de conceptos

1.2.3.2 Video explicativo

1.2.3.3 Enlace al aplicativo Cuadrática

1.3 Cortes con el eje x

1.3.1 Definición

1.3.2 Cálculos algebraicos

1.3.2.1 Por factorización

1.3.2.2 Por resolución de una ecuación cuadrática






1.4 Corte con el eje y

1.4.1 Definición







1.5 Dominio de la función cuadrática

1.5.1 Definición






1.6 Imagen de la función cuadrática

1.6.1 Definición






1.7 Vértice

1.7.1 Definición







2. Resolución de problemas según Pólya (FRPP)

2.1 Acerca de George Pólya

2.2 Aplicación de Pólya en el instrumento INFOCOMA

2.3 Nivel de desempeño por competencia matemática

2.4 Fases de resolución de problemas FRPP

2.4.1 Fase 1. Entender el problema

2.4.1.1 Concepto 1

2.4.1.2 Metodología 1

2.4.1.3 Concepto 2


2.4.1.5 Concepto 3




2.4.2 Fase 2. Diseñar el plan

2.4.2.1 Concepto 1


2.4.2.3 Concepto 2


2.4.2.5 Concepto 3




2.4.3 Fase 3. Ejecutar el plan

2.4.3.1 Concepto 1


2.4.3.3 Concepto 2


2.4.3.5 Concepto 3




2.4.4 Fase 4. Revisar los resultados

2.4.4.1 Concepto 1




1. Función cuadrática

1.1 Aplicaciones

Son muchos los fenómenos naturales que se pueden representar aplicando esta función. Una

función cuadrática es de gran importancia en diversos campos, por ejemplo, en los procesos

empresariales, donde es posible representar algunos fenómenos como:

Función de ingresos (i) respecto a la cantidad vendida (u) o cantidad demandada (q).

Función de utilidad (u) respecto a los costos (c) y las ventas (v).

Comportamiento de marketing (m) respecto a las unidades demandadas (q).

El costo de fabricación (c) de un producto en función del número (q) de unidades

producidas.

Los ingresos (i) mensuales de un negociante según la cantidad (u) de artefactos

reparados.

La cantidad demandada (d) de un producto en relación con el precio (p) en una unidad

de medida.

William como recomendación, los que no son (Ver más…) que muy largos

podría ser un ZOOM más que un pdf, te parece?, y me imagino que la entrada

de las fórmulas o de algunos bloques de contenidos son con animación?? Digo

para que no se vea tan monótono… o mejor un libro digital que uno se pueda

devolver o mirar un contenido con el índice, te parece?? Bueno tu sabrás, que

esta lectura no se vea tan plana, vale? Es que no he visto los demás, que pena

hacerte estas sugerencias!!!, recuerde a todas las gráficas en lo posible hacer

ZOOM.. y este ver más puede ser con un símbolo de un gráfico para que no

sea un simple ver más… es decir, un símbolo de un ojo bonito o algo así, que

ellos entiendan que deben dar clic para ver más…

1.1.1 Costos totales. Para describir algebraicamente los costos totales en relación

con una compañía manufacturera, se requiere hallar dos componentes:

Costo fijo es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de producción,

como renta, seguros, etcétera. Este costo debe pagarse independientemente de que la fábrica

produzca o no. Costo variable es la suma de todos los costos dependientes del nivel de

producción, como mano de obra y materiales. Costo total es la suma de los costos variable

y fijo:

costo total = costo variable + costo fijo. (Haeussler, Paul y Wood, 2008, p.48).

El costo fijo también puede darse por salario de los empleados, el mantenimiento de las

máquinas y otros. Así mismo, el costo variable incluye el valor por mantenimiento debido al

uso y desgaste de la maquinaria utilizada.

1.1.2 Ingreso total. En el campo empresarial “Ingreso total es el dinero que un

fabricante recibe por la venta de su producción”, es representado por

Haeussler et al. (2008) de la siguiente manera:

“Ingreso total = (precio por unidad) (número de unidades vendidas)” (p.48).

Por ejemplo, si se considera un caso en el que no se hace la venta en forma directa, se

proyectan unos posibles ingresos de acuerdo con el comportamiento de la demanda (precio)

de una cantidad de productos o el comportamiento del mercado en un período específico

(semana santa, diciembre, y otros). En estos casos es factible aplicar este concepto.

Ingreso total = (demanda por unidad) * (número de unidades demandadas)

1.1.3. Utilidad. En el sector productivo, la “utilidad es el ingreso total menos el costo

total. Utilidad = ingreso total – costo total” (Haeussler et al., 2008, p.48).

Cuando el valor de la utilidad es negativo, se dice que hay pérdidas, en caso contrario, son

ganancias.

1.1.4 Punto de equilibrio. Se da cuando el ingreso total es igual al costo total. Sucede

cuando los niveles de producción y de ventas tienen como resultado cero pérdidas y cero

utilidades. (Haeussler et al., 2008, p.154). En formula es: ingreso total = costo total.

1.1.5 Precio. En el campo manufacturero, es usual definir el precio de venta de un

producto determinado. Si se conocen los costos de producción de un determinado producto,

y el porcentaje (%) de ganancia sobre el costo que se desea obtener, el precio de venta se

calcula: Precio de venta = costo + utilidad (costos * %).

1.1.6 Máximos y mínimos. En algunas ocasiones, la industria tiene la necesidad de

expresar la cantidad que se requiere para maximizar una ganancia o minimizar un costo como

función de otra variable. Es allí donde busca obtener un modelo matemático que represente

el comportamiento de dichos eventos.

En cualquiera de los dos casos, hay diversas formas de hallar resultados. Una forma consiste

en aplicar la primera y la segunda derivada al modelo matemático. Si se utiliza este método,

su valor crítico puede llegar a representar o no la respuesta apropiada. La aplicación de

derivadas es tema de Matemáticas II, pero no es el tema que se evalúa en este momento.

Otra forma consiste en aplicar el concepto del valor del punto máximo o del valor del punto

mínimo aplicando la fórmula del vértice, o examinando el punto crítico (más alto o más bajo)

del dominio de una función cuadrática. Este último caso es la forma en que se desarrollarán

los problemas en este Objeto Virtual de Aprendizaje (OVA).

1.1.7 Costo Promedio. En el proceso de producción, cuando se costean los productos,

es normal que en algunos casos se concrete un valor promedio de costos, esto debido a la

falta de precisión en la composición de la materia prima para la fabricación de determinado

producto. El concepto de costo promedio nace de la necesidad de obtener un valor

aproximado para costear productos que posean características similares. En forma general,

la función de costo promedio se define con la nomenclatura �̅�(x) =𝒄

𝒙 , donde (x) es la

cantidad de productos.

1.2 Función de segundo grado

1.2.1 Definición. Una función f es cuadrática o llamada también polinomio de

segundo grado si, desde la perspectiva del estudio de los polinomios, f(x) puede escribirse

de la forma:

f(x)= axn + bxn-1 +cxn-2, donde (x) es la variable, y (n) es un exponente que puede tomar un

valor entero positivo máximo de dos, es decir, la función puede tomar los valores de: 0, 1 o

2, representado así: x2, x1 o x0. Al reemplazar los valores, quedaría: f(x)= ax2 + bx1 +cx0,

donde: (a) es el coeficiente del segundo grado llamado también componente de la función

cuadrática (x2), (b) es el coeficiente del primer grado denominado componente de la función

lineal (x), y (c) es el término independiente. La función f(x) contiene una variable x definida

como variable de entrada o variable independiente, y el valor de la variable f(x) como variable

de salida o variable dependiente. Igualmente, la variable f(x) depende de la variable (x).

La forma general de la función cuadrática se puede representar de la siguiente manera:

f(x)= ax2 + bx +c, donde a, b y c son constantes que pertenecen a los números reales y

a ≠ 0. (1)

La función cuadrática tiene las siguientes condiciones:

Ver más…

Una variable dependiente f(x)

Dos componentes: una variable independiente de grado uno (x1), y otra de

grado dos (x2).

La variable (x) es la única incógnita.

La condición de a ≠ 0 implica que la función puede tener el componente b=0

o c=0 en algunos casos, pero nunca a=0.

En algunos casos tiene la constante (c), pero no es obligatorio que exista este

valor en la función.

En algunos casos tiene la constante (b), pero no es obligatorio que exista este

valor en la función.

Su gráfica es la parábola.

La parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Posee un punto máximo o un punto mínimo llamado vértice.

1.2.2 Representación gráfica. La gráfica que representa la función cuadrática es la

parábola, que geométricamente es un conjunto de los puntos del plano cartesiano y según su

forma se clasifica como una figura cónica. En la Figura 1, se observa la gráfica de la función

f(x) = x2, los valores de (x) se ubican en el eje de la abscisa del plano cartesiano, y los valores

de f(x) se ubican en el (eje y), llamado también el eje de las ordenadas del plano cartesiano.

Adicionalmente, la figura muestra los “puntos de localización” (se les denomina así a los

puntos más relevantes para graficar la parábola): los puntos de corte en el (eje x), el punto de

corte en el (eje y), y el valor del punto del vértice.

Figura 1. Puntos de localización de la parábola.

1.2.2.1 Concavidad. Algebraicamente esta característica está determinada por el

coeficiente (a), que es el coeficiente numérico de (x2). Si a>0, la parábola abre hacia arriba

y se dice que “es cóncava hacia arriba”. Si a<0, la parábola abre hacia abajo y se dice que

“es cóncava hacia abajo”.

En las gráficas de la Figura 2, se pueden observar cuatro posiciones de la parábola en el plano

cartesiano, según si la gráfica es cóncava hacia arriba o si es cóncava hacia abajo. (a) es una

parábola que abre hacia arriba y corta al (eje x), (b) es una parábola que abre hacia abajo y

no corta al (eje x), (c) es una parábola que abre hacia arriba y no corta al (eje x), (d) es una

parábola que abre hacia abajo y corta al (eje x).

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2. Representación de la parábola en diferentes posiciones.

1.2.3 Herramientas de exploración. En la Tabla 1 se observan los enlaces de

algunas herramientas didácticas donde es posible explorar y profundizar acerca de los

polinomios de segundo grado, las características de una función cuadrática en relación con

su expresión algebraica y su representación en el plano cartesiano.

Tabla 1. Enlaces de acceso - explicación de una función cuadrática

Taller de aplicación de

conceptos

Video explicativo Enlace al aplicativo

Ejemplo 1 Video 1 Aplicación Cuadrática

Las herramientas didácticas constan de:

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1.2.3.1 Taller de aplicación de conceptos. Es un documento en formato PDF que

contiene ejemplos de funciones cuadráticas y la descripción de sus características en relación

con su expresión algebraica.

1.2.3.2 Video explicativo. Consta de un video donde se utiliza un aplicativo hecho en

GeoGebra, denominado Cuadrática, que tiene algunos Objetos Interactivos (OI) en su

interfaz como: cuadros de texto para insertar los valores de los coeficientes de la función

cuadrática, botones para mostrar algunos puntos de localización de la parábola en el plano

cartesiano (el punto del vértice, el punto de corte con el eje y, los puntos de corte con el eje

x, y la concavidad de la parábola). El expositor manipula dichos objetos y se visualiza de

manera gráfica y dinámica el comportamiento de la parábola de acuerdo con la exposición

de alguna característica específica de cada función cuadrática.

1.2.3.3 Enlace al aplicativo Cuadrática. Se encuentra la dirección del enlace del sitio

web, para que el estudiante pueda tener acceso al aplicativo Cuadrática. Esta herramienta

didáctica puede ser manipulada por el estudiante para experimentar en forma autónoma la

experiencia presentada en el video por el expositor. Igualmente, es posible descubrir nuevas

gráficas de la función cuadrática y repasar algunos conceptos de acuerdo con los valores

proporcionados como datos de entrada en el aplicativo, al manipular los OI de la aplicación

gráfica y repasar algunos conceptos relacionados con el tema en mención.

1.3 Cortes con el eje x

1.3.1 Definición. En una función cuadrática, estos son los puntos donde la parábola

interseca al (eje x). Para encontrar las intersecciones de una función cuadrática con el (eje x),

se determina: y = f(x)=0 y se despeja la variable (x).

Si los valores de los puntos de corte son valores reales, se pueden representar en el plano

cartesiano sobre el (eje x), donde el valor de la ordenada de cada punto es cero.

Si se reemplaza f(x)=0 en la forma general de la función cuadrática: f(x)= ax2 + bx +c, la

función cuadrática se convierte en una ecuación cuadrática en la variable (x) y se expresa así:

ax2 + bx +c = 0, donde a, b y c son constantes que pertenecen a los números reales y

a ≠ 0. (2)

1.3.2 Cálculos algebraicos. La ecuación cuadrática puede resolverse por cualquiera

de los siguientes métodos:

1.3.2.1 Por factorización. Si la ecuación cuadrática se puede factorizar, se desarrolla

con factorización de un trinomio de la forma: x2 + bx + c, o de la forma: ax2 + bx +c y se

hallan los valores de los puntos de corte P1 y P2. La descripción de este método se detalla

en el ítem 3.2.1 Factorización de la sección de Saberes previos.

1.3.2.2 Por resolución de una ecuación cuadrática. Se aplica la fórmula general para

la solución de una ecuación cuadrática y se hallan los valores de los puntos de corte P1 y P2.

La descripción de este método se detalla en el ítem 3.2.2 Por fórmula general de la sección

de Saberes previos.

Estos dos métodos hacen parte de los contenidos vistos en la asignatura Matemáticas I, que

es un curso prerrequisito para desarrollar estos contenidos temáticos. Si los valores de x1 y

x2 son números reales se pueden representar de la siguiente manera:

P1=(x1,0) y P2=(x2,0) (3)

Si los valores de x1 y x2 son valores imaginarios, entonces, los puntos no se pueden

representar en el plano cartesiano y se define que “no existen puntos de corte en el (eje x)

para la función cuadrática dada”.

1.3.3 Representación gráfica. La gráfica de una función cuadrática f es una parábola.

Esta figura cónica puede cortar al (eje x) en dos o en ningún punto en el plano cartesiano,

que corresponde al número de soluciones reales de la ecuación f(x)=0. Este concepto se puede

observar en la Figura 2.

Para caso de la Figura 3, definida por f (x) = -2x2 – 3 x + 8.5, se puede observar sobre la

parábola los dos puntos de corte con el (eje x), que son: P1= (-2.94, 0) y P2= (1.44, 0).

Figura 3. Representación de los puntos de corte en el (eje x) de una parábola.

1.3.4 Herramientas de exploración. La Tabla 2 muestra los enlaces de algunas

herramientas didácticas donde se puede explorar y profundizar acerca de la aplicación de las

respectivas fórmulas para encontrar los puntos de corte con el (eje x) de una función

cuadrática y en su representación en un plano cartesiano.

Tabla 2. Enlaces de acceso - explicación cortes en el eje x de una parábola


conceptos Video explicativo Enlace al aplicativo



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contiene ejemplos de funciones cuadráticas y, además, la descripción paso a paso de los

cálculos algebraicos para hallar los puntos de corte con el (eje x) y su representación en el

plano cartesiano.






x, y la concavidad de la parábola). El expositor manipula algunos datos de entrada para

diferentes funciones cuadráticas y se visualiza de manera gráfica y dinámica los puntos de

corte con el (eje x) y se repasan algunos conceptos ya vistos respecto al tema.

1.3.4.3 Enlace al aplicativo Cuadrática. Se encuentra la dirección del sitio web, para

que el estudiante pueda tener acceso al aplicativo Cuadrática. Esta herramienta didáctica

puede ser manipulada por el estudiante para experimentar en forma autónoma la experiencia

presentada en el video por el expositor. Igualmente, es posible observar los puntos de corte

de la función cuadrática con el (eje x) de acuerdo con los valores proporcionados como datos

de entrada en el aplicativo, al manipular los OI de la aplicación gráfica y repasar algunos

conceptos relacionados con el tema en mención.

1.4 Corte con el eje y

1.4.1 Definición. En una función cuadrática, es el punto donde la parábola interseca

al (eje y). También, es un punto que está sobre el (eje y), donde el valor de la abscisa es cero.

Este corte se determina al reemplazar (x=0) en la función f(x).

1.4.2 Cálculos algebraicos. Para encontrar la intersección con el (eje y), se hace

(x=0) y se despeja f(x).

Reemplazando (x=0) en la función cuadrática, quedaría:

f(x=0) = ax2+bx+c

=> f(x=0) =a*(0)2+b*(0)+c

=> f(x=0) = c, entonces f(0) es igual a la constante (c)

La gráfica de una parábola siempre va a tener un único punto de corte con el (eje y) y es

posible representarlo en el plano cartesiano, a menos que haya restricción de los valores de

entrada en la función f. Si el punto de corte se define como P=(0, f(0)), entonces el valor del

punto de corte con el (eje y) se expresa así:

P=(0, c) (5)

1.4.3 Representación gráfica. En una función cuadrática, el punto de corte en el (eje

y) se puede representar en el plano cartesiano siempre y cuando no haya restricción de los

valores de entrada en la función f. La Figura 4 muestra la función f(x)= -2x2 – 3x - 8.5 y su

punto de corte con el (eje y) en el plano cartesiano.

Figura 4. Representación del punto de corte en el (eje y) de una parábola.


algunas herramientas donde el estudiante puede explorar y profundizar acerca de la

aplicación de la fórmula para encontrar el punto de corte con el (eje y) de una función

cuadrática y en su representación en un plano cartesiano.

Tabla 3. Enlaces de acceso - explicación cortes en el eje y de una parábola





Ver más…(heramientasdidacticas)


contiene ejemplos de funciones cuadráticas y, además, la descripción paso a paso de los

cálculos algebraicos para hallar el punto de corte con el (eje y) y su representación en el plano

cartesiano.







diferentes funciones cuadráticas y se visualiza de manera gráfica y dinámica el punto de corte

con el (eje y) y se repasan algunos conceptos ya vistos respecto al tema.




presentada en el video por el expositor. Igualmente, es posible obtener distintos puntos de

corte de la función cuadrática con el (eje y) de acuerdo con los valores proporcionados como

datos de entrada en el aplicativo, al manipular los OI de la aplicación gráfica y repasar

algunos conceptos relacionados con el tema en mención.

1.5 Dominio de la función cuadrática

1.5.1 Definición. El dominio de una función cuadrática y=f(x) es el conjunto de

valores que se pueden tomar del conjunto de valores de entrada para que la función y=f(x)

esté bien definida (que y=f(x) tenga imagen) (Rojas et al. 2016, pág. 261).

El dominio de una función se representa de la siguiente forma:

Dom f = [d , e] o (d , e] o [d , e) o (d , e) (6)

Para definir el dominio de la función cuadrática f, se analizan los valores de los límites del

intervalo del conjunto de los datos de entrada, definiendo el valor de entrada (d) como el

límite inferior y el valor de entrada (e) como el límite superior. Si los valores de entrada de

los límites del intervalo de entrada son válidos en la función cuadrática, se representan con

corchetes cuadrados “[” o “]”. En contraste con lo anterior, si los valores de entrada no son

válidos, se representan con paréntesis “(” o “)”.

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Existen otras formas de analizar el dominio de una función y sus restricciones en los valores

de entrada a la función. La descripción de estos casos se puede recordar en el ítem 1.3

Dominio de la sección de Saberes previos. Estos preconceptos fueron revisados en la

asignatura de Matemáticas I, que es un curso prerrequisito para desarrollar estos contenidos

temáticos.

1.5.2 Representación gráfica. Para el ejemplo de la Figura 5, la función cuadrática

f(x)= x2 no tiene ninguna restricción respecto al intervalo de valores de entrada para la que

es válida, por lo tanto, el dominio para la parábola de la gráfica se denota: Dom f = (-∞, ∞)

y se lee “el dominio de la función f va desde menos infinito a infinito”. Otra forma de

representarla es: Dom f = R, que se lee “El dominio de la función f son todos los números

reales”. En la siguiente gráfica, se representan los valores del dominio con puntos de color

morado en el plano cartesiano, y se define como el conjunto de valores de entrada que puede

tomar la variable independiente (x).

Para la función f(x)= x2, la parábola se representa en el plano cartesiano así:

Figura 5. Representación del dominio de la función f(x) = x2.

En la gráfica 5, se observa que existen infinitos valores de (x) como datos de entrada a la

función f(x) = x2. Si se toma el caso particular del valor de entrada (x=3), existe un valor de

salida en la función correspondiente (y=9); y para el valor de entrada (x= - 4) también existe

un valor válido en la función (y=16). Estos son dos ejemplos {3, -4} del conjunto de valores

de entrada de la función f.

1.5.3 Herramientas de exploración. En la Tabla 4, se muestran los enlaces de

algunas herramientas donde es posible explorar y profundizar acerca del intervalo del

dominio de una función cuadrática y en su representación gráfica en el plano cartesiano.

Tabla 4. Enlaces de acceso - explicación dominio de una parábola





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contiene ejemplos de funciones cuadráticas y la descripción del dominio de la función

cuadrática en el plano cartesiano. También, se encuentran tipos de funciones con algunas

restricciones, y otros ejemplos que tienen restricciones en los datos de entrada desde la

gráfica de la parábola.







diferentes funciones cuadráticas y se visualiza de manera gráfica y dinámica la

representación de los valores del dominio de cada función y se repasan algunos conceptos ya

vistos respecto al tema.




presentada en el video por el expositor. Igualmente, es posible observar el dominio de la

función cuadrática de acuerdo con los valores proporcionados como datos de entrada en el

aplicativo al manipular los OI de la aplicación gráfica y repasar algunos conceptos

relacionado con el tema en mención.

1.6 Imagen de la función cuadrática

1.6.1 Definición. Se le llama imagen de una función cuadrática y=f(x) al conjunto

de la imagen, y se denota así: Im (f)= {y ⋲ R tal que y=f(x)} (Rojas et al. 2016, pág. 266).

Defino representar los rangos de una función de la siguiente forma:

Im f = [f , g] o (f , g] o [f , g) o (f , g) (6)

Los valores de la variable f(x) (imagen) dependen de los valores de la variable de entrada (x).

Los valores de la función f(x) son válidos, cuando se definen dentro de los valores de entrada

(x) válidos. En caso de que la variable independiente (x) tenga una restricción de valores, la

imagen de la función solo se debe analizar dentro del rango de esta restricción.

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Para definir la imagen de la función cuadrática f, también llamada “rango” o “codominio”,

se analizan los valores de los límites del intervalo del conjunto de los datos de salida. Así

mismo, se define el valor de salida (f) como el límite inferior y el valor de entrada (g) como

el límite superior. Si los valores de salida de los límites del intervalo son válidos y tienen una

imagen en la función, los valores de los límites de salida se representan con corchetes

cuadrados “[” o “]”. En contraste con lo anterior, si los valores de entrada de los límites del

intervalo no tienen imagen en la función, se representan con paréntesis “(” o “)”.

1.6.2 Representación gráfica. La imagen de una función cuadrática f(x)= x2,

representada en la Figura 6, no tiene alguna restricción respecto al intervalo de valores de

entrada para los que existe una única imagen. Se define el conjunto de salida según los valores

de entrada. Para la parábola de la gráfica se denota: Im f = [0 , ∞) y se lee “la imagen de la

función f va desde cero hasta infinito”. Se representan los valores de la imagen con puntos

de color rosado en el plano cartesiano, y se define el conjunto de valores de salida que puede

tomar la variable dependiente (y).

Figura 6. Representación de la imagen de la función f(x) = x2.

La función f(x)= x2 representada en la Figura 7 no tiene ninguna restricción respecto al

intervalo de valores de entrada para la que es válida la función, por lo tanto, la imagen de la

función f tampoco tiene una restricción de valores para la que es válida, y se denota así:

Im f = [0, ∞)

Se observa que existen infinitos valores de (y) a partir de (y=0) que son los datos de salida

de la función f(x) = x2. Para el caso particular del valor de entrada (x = 3) el resultado de

salida correspondiente es igual a (y = 9). Igualmente, la gráfica evidencia otro valor de salida

con el valor de (y = 16). Estos son dos ejemplos {9, 16} del conjunto de valores de salida de

la función f.


algunas herramientas donde es posible explorar y profundizar acerca de la aplicación de las

respectivas fórmulas para definir la imagen de una función cuadrática y su representación

gráfica en el plano cartesiano.

Tabla 5. Enlaces de acceso - explicación imagen de una parábola





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contiene ejemplos de funciones cuadráticas y la descripción del conjunto de los valores de

sus imágenes en el plano cartesiano. Así mismo, se encuentran ejemplos de funciones con

algunas restricciones desde la definición de la función en los datos de entrada, y otros

ejemplos que tienen restricciones en los datos de entrada que se evidencian desde la gráfica

de la parábola. Estas restricciones afectan de una u otra manera los datos de salida válidos

para la función y por consiguiente la definición de la imagen de cada función cuadrática.








representación de los valores de la imagen de cada función y se repasan algunos conceptos

ya vistos respecto al tema.




presentada en el video por el expositor. Igualmente, es posible observar la representación de

la imagen de algunas funciones cuadráticas de acuerdo con los valores proporcionados como

datos de entrada en el aplicativo, al manipular los OI de la aplicación gráfica y repasar


1.7 Vértice

1.7.1 Definición. Si la ecuación general de una función cuadrática es: f(x)= ax2 + bx

+ c, el coeficiente de equis cuadrado (x2) es el valor que define la concavidad de la parábola.

Cuando a>0, el vértice es el punto “más bajo” de la parábola, lo que significa que la gráfica

de la función f tiene un valor mínimo en ese punto. Así mismo, si a<0, es el vértice el punto

“más alto” de la parábola que se puede representar en el plano cartesiano, lo que significa

que la gráfica de la función f tiene un valor máximo en ese punto (Haeussler et al., 2008, pág.

144).

1.7.2 Cálculos algebraicos. Para hallar los valores de las ordenadas del vértice, se

aplican las fórmulas matemáticas mediante el uso de los coeficientes (a) y (b) de la función

cuadrática f(x)= ax2 + bx +c. El punto del vértice está dado por Vértice = (xv, yv), donde xv

y yv son respectivamente los valores de la abscisa y la ordenada. A continuación, se muestran

las fórmulas matemáticas:

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎

yv = f (𝑥𝑣) = 𝑓 ( −𝑏

2𝑎 ) (7)

La gráfica de una parábola siempre va a tener un único punto del vértice que puede ser un

máximo o un mínimo. Si el punto del vértice es un máximo, el valor (xv) define el máximo

valor que puede tener la abscisa (x), y el valor de (yv) define el máximo valor de la ordenada

(y). Si el punto del vértice es un mínimo, el valor (xv) define el mínimo valor que puede tener

la abscisa (x), y el valor de (yv) define el mínimo valor de la ordenada (y).

1.7.3 Representación gráfica. El punto del vértice de una función cuadrática

representa a un valor máximo o mínimo de la parábola. La gráfica de la función f(x) = -2x2 –

3x + 8.5 se representa en el plano cartesiano, como lo muestra la Figura 7.

Figura 7. Representación del vértice y el eje de simetría de una parábola.

Toda parábola es simétrica con respecto a una recta vertical denominada eje de simetría. Si

se doblara la figura a lo largo de esa recta, las dos mitades de la parábola

correspondientemente coincidirían. Este eje no hace parte de la parábola, pero es de gran

utilidad para dibujarla (Haeussler et al. 2008, pág. 144). El vértice siempre es interceptado

por el eje de simetría o el eje vertical. Este eje siempre se representa en el plano cartesiano

por una recta vertical cuyo valor coincide con la ordenada (xv) del vértice. La parábola

siempre tiene sus puntos equidistantes respecto al eje de simetría cuya ecuación es:

x = −𝑏

2𝑎 (8)

Para caso de la función f(x)= -2x2 – 3x + 8.5 representada en la gráfica 7, a= -3 y b= -2, se

reemplazan los valores en la ecuación (8) y queda: x=−3

(2 ∗ −2) => x= -0.75. Entonces, se

observa la recta (x = -0.75) que corresponde al eje de simetría que pasa por el vértice.

1.7.4 Herramientas de exploración. La Tabla 6 muestra los enlaces de algunas

herramientas didácticas donde es posible explorar y profundizar acerca de la aplicación de

las respectivas fórmulas para encontrar el punto del vértice y el eje de simetría de una función

cuadrática y, además, profundizar acerca de su representación gráfica en el plano cartesiano.

Tabla 6. Enlaces de acceso - explicación del vértice y el eje de simetría de una parábola





Ver más…


contiene ejemplos de funciones cuadráticas y, además, la descripción paso a paso para hallar

el punto del vértice y el eje de simetría, con su representación gráfica en el plano cartesiano.








representación del vértice y el eje de simetría de cada función y se repasan algunos conceptos

ya vistos respecto al tema.




presentada en el video por el expositor. Igualmente, es posible observar los puntos del vértice

y el eje de simetría de cada función cuadrática de acuerdo con los valores proporcionados

como datos de entrada en el aplicativo, al manipular los OI de la aplicación gráfica y repasar


2. Resolución de problemas según Pólya (FRPP)

2.1 Acerca de George Pólya

Figura 8. Imagen de George Pólya. Recuperado de

http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/divertimentos10.htm.

El 13 de diciembre de 1887, en Hungría, nació un científico-matemático llamado George

Pólya, quien fue un gran estudioso de los procesos estadísticos y matemáticos e investigó

muchos enfoques, propuestas y teorías. Una de sus obras más importantes, la resolución de

problemas destaca el proceso de descubrimiento, más que desarrollar ejercicios

sistematizados. George Pólya estudió en la Universidad de Budapest y abordó temas de

probabilidad. Luego en 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a la

Universidad de Stanford en 1942 como maestro. Elaboró tres libros y más de 256

http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/divertimentos10.htm

documentos, donde indica que para entender algo se tiene que comprender el problema

(Miller, 2006, pág. 19).

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Aunque ya ha pasado tiempo desde la creación de la estrategia para la resolución de

problemas propuesto por Pólya, hoy día todavía se considera como aporte estratégico de

meritorio interés y muchos investigadores lo referencian y aplican en sus estudios como una

estrategia para resolver problemas matemáticos.

Desde el siglo XX se ha destacado la importancia del tema de resolución de problemas como

una importante estrategia para enfrentar la enseñanza de la Matemática, de tal forma que

estas sean contextualizadas y orientadas por el docente, donde ayude al estudiante a construir

un profundo entendimiento de los conceptos y procesos matemáticos. De tal manera, los

estudiantes deben ser capaces de aplicar las matemáticas, es decir, crear, inferir, explorar,

diseñar, evaluar y verificar.

George Pólya (1965, pág. 17) describe cuatro fases o pasos para desarrollar la lógica del

razonamiento plausible y realizar la resolución de un problema. Estos son: Entender el

problema, trazar o diseñar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución propuesta.

2.2 Aplicación de Pólya en el instrumento INFOCOMA

El INstrumento para FOrtalecer las COmpetencias MAtemáticas (INFOCOMA) hace un

recorrido por cada Fase para la Resolución de Problemas definido por Pólya (FRPP), para

analizar, diseñar, elaborar y revisar los resultados de las situaciones problemas aplicando el

concepto de la función cuadrática como propuesta matemática para obtener dicha solución.

La propuesta de resolución para situaciones problemas a desarrollar se realiza evaluando en

cada fase la aplicación de algunas competencias matemáticas que comprende los tres

pensamientos característicos del módulo de razonamiento cuantitativo definidos por el

Ministerio de Educación Nacional, como: la interpretación y representación, la formulación

y ejecución y la argumentación (MEN, 2015, pág. 6).

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La intencionalidad de Pólya se define cuando se propone el desarrollo de las fases para la

resolución de problema de la siguiente forma: la aplicación de su propuesta está enfocada a

realizar cuestionamientos para ser desarrollados en dos grandes competencias: comunicativas

y matemáticas, donde se requiere que el estudiante realice un “análisis del problema en

contexto”, es decir, un estudio donde se le da la oportunidad de replantear el problema con

sus propias palabras, recrear escenarios e identificar si existen patrones de problemas

conocidos o problemas similares que haya resuelto antes, para dar propuestas de solución.

Lo más común es que el estudiante realice implícitamente este proceso de análisis cuando

realiza cuestionamientos y propone posibles soluciones de acuerdo con el cuestionamiento

de una serie de preguntas de análisis alrededor de la situación problema.

El OVA INFOCOMA focaliza la solución de problemas cuando realiza el análisis

matemático orientado netamente en las “competencias matemáticas”, y deja a un lado la

implementación de las “competencias comunicativas”, pese a que es transcendental hacerla

y describirla textualmente. Desarrollar estas competencias en su gran mayoría implica crear

contenidos de forma narrativa, y esto implica la evaluación de otro contexto comunicativo

con una orientación específica. Aun así, vale la pena mencionar que, aunque no se desarrollan

en todo su rigor las “competencias comunicativas”, sí existe en el instrumento la aplicación

de la fase de argumentación. Esta se orienta a cuestionar la aplicación de algún proceso

matemático, argumentar o refutar la creación de símbolos y fórmulas matemáticas, y a

contextualizar el problema en el campo empresarial.

2.3 Nivel de desempeño por competencia matemática

Para el estudio de cada nivel de nivel de desempeño de los estudiantes al aplicar cada fase

para la resolución de problemas según George Pólya, se utilizará diez niveles. Para efectos

de la sistematización de cada nivel, se propone la nomenclatura definida en la tabla 7.

Tabla 7. Nomenclatura propuesta para definir el nivel de desempeño de las competencias matemáticas.

PX.DY.

PX. => Donde P hace referencia a la prueba del Razonamiento Cuantitativo.

Si X=1 corresponde a la prueba 1.

P1: Prueba de Interpretación y Representación.

P2: Prueba de Formulación y Ejecución

P3: Prueba de Argumentación

DY. => Donde Y es el número del nivel de desempeño que evalúa una

competencia específica. Si X=1 entonces, D1 corresponde al nivel de

desempeño 1.

D1: Nivel de desempeño 1.

D2: Nivel de desempeño 2, y así sucesivamente.

2.4 Fases de resolución de problemas FRPP

George Pólya (1965) describe cuatro fases o pasos para desarrollar la lógica del razonamiento

plausible y realizar la resolución de un problema. Estas fases se describen a continuación:

Figura 9. Fases para resolución de problemas según Pólya

2.4.1 Fase 1. Entender el problema. En esta primera fase se debe contextualizar el

problema e imaginarse los espacios, las personas, los acontecimientos y todos los datos del

problema (Brendy, 2015, pág. 9), incluso llegar a reconocer si la información dada es o no

relevante y suficiente para dar una propuesta de solución.

Si el problema lo requiere, se analizan gráficos, tablas o representación de expresiones

matemáticas de comportamientos específicos, identificando si aportan o no a la solución del

problema, y se define qué datos se precisan para ser representados como resultado de la fase

de análisis.

Para esto se recomienda leer bien y, en lo posible, más de una vez, incluso en algunos casos

se requiere replantear el problema con sus propias palabras, identificar si existen patrones de

problemas conocidos para relacionarlos y empezar a desglosarlos.

En forma general, la información recopilada debe dar respuesta a las siguientes preguntas:

¿Se entiende el contexto del problema?

¿Distingue cuáles son los datos?

¿Reconoce las condiciones y restricciones del problema?

¿Identifica los datos de salida, qué datos se deben encontrar para llegar a la

solución?

¿Existe suficiente información?

¿Hay información extraña?

¿Es este problema similar a algún otro que haya resuelto antes?

Entender el

problema Revisar

resultados

Ejecutar el

plan Diseñar el

plan

¿Puede replantear el problema en sus propias palabras?

Se define como metodología para la fase inicial “entender el problema”, desarrollar tres

competencias matemáticas para la resolución del problema, que se describen a continuación:

Tabla 8. Desarrollo de competencias para la fase 1. Entender el problema

Ver más…

2.4.1.1. Concepto 1. Comprende la representación de una o más piezas de

información representada en diferentes formatos como series, gráficas, tablas esquemas

dentro del problema propuesto. Identifica las variables y constantes de las funciones

matemáticas propuestas, el comportamiento de los valores en una tabla de datos, la

representación de los datos en una gráfica, las magnitudes definidas para cada valor y demás

datos que permiten analizar la información cuantitativa para la comprensión del problema.

Adicionalmente, se identifican los datos de salida que se quieren hallar y se analiza si los

datos proporcionados son relevantes y válidos para dar solución al problema planteado.

2.4.1.2 Metodología 1. Esta competencia se desarrolla por medio de la indagación de

las siguientes preguntas:

¿Cuáles son los datos proporcionados y sus magnitudes?

¿Cuáles datos y condiciones son suficientes, redundantes o contradictorios?

¿Qué datos se requiere representar?

Competencia P1D1 P1D2 P3D1

Descripción Comprender y

transformar la

representación de

una o más piezas

de información.

Dar cuenta de las características

básicas de la información

presentada en diferentes formatos

como series, gráficas, tablas y

esquemas.

Plantear afirmaciones

que sustentan o refutan

una interpretación y/o

procedimiento dado a la

información disponible

en el marco de la

solución de un

problema.

Concepto/

Metodología

Concepto 1 y

metodología 1

Concepto 2 y

metodología 2

Concepto 3 y

metodología 3

2.4.1.3 Concepto 2. Se transforman las variables de conceptos abstractos a términos

concretos, observables y medibles, es decir, en dimensiones e indicadores. Se identifican las

constantes, las variables y la dependencia de cada variable de las funciones matemáticas,

junto con las incógnitas. Adicionalmente, si se requiere, se crean gráficos, tablas o

representación de expresiones matemáticas.

2.4.1.4 Metodología 2. La información se analiza mediante la búsqueda de la

respuesta a las siguientes preguntas:

¿Cuáles son las variables de entrada y de salida?

¿Cuál es la relación que existe entre las variables?

2.4.1.5 Concepto 3. Se realiza una exploración detallada de toda la información que

da el problema, con estos datos se justifica la falta o no de información para tomar decisiones

frente a una situación problema, por medio de la aplicación del concepto de la función

cuadrática. Además, se debe justificar si existen datos y condiciones relevantes para elaborar

un diseño de solución adecuado. De igual forma, se argumenta si hay datos y condiciones

redundantes o contradictorias que desorienten o lleven a cuestionar un análisis equivocado.

2.4.1.6 Metodología 3. Se consideran las siguientes preguntas para obtener dicha

información:

¿Cuáles datos se requieren representar? ¿Por qué?

¿Cuáles datos y condiciones son suficientes, redundantes o contradictorios? ¿Por qué?

La Tabla 9 muestra los enlaces a algunas herramientas didácticas donde se puede explorar y

profundizar acerca de la metodología para entender un problema para la resolución de

problemas según Pólya.

Tabla 9. Enlaces de acceso - explicación de la fase entender el problema

Taller de aplicación de conceptos Video explicativo

Ejemplo 7

Video 7

Video 7a

Video 7b

Video 7c


Ver más…


contiene ejemplos de situaciones problema definidos en un contexto empresarial, y la

descripción paso a paso de la forma de aplicar la fase “Entender el problema” según Pólya.

La metodología aplicada consiste en dar respuesta a una serie de preguntas planteadas hasta

lograr entender el problema. Al desarrollar cada respuesta de esta fase se fortalecen algunas

competencias matemáticas del razonamiento cuantitativo relacionadas con la “Interpretación

y Representación” de la información y la forma de “Argumentación” de la misma.

2.4.1.8 Video explicativo. Consta de cinco videos, que tienen como finalidad explicar

la primera fase para la resolución de problemas, denominada “Entender el problema”. Se

analiza matemáticamente un enunciado de una situación problema y se desarrolla una

estrategia de solución utilizando tres competencias matemáticas que dan respuesta a

determinadas preguntas según Pólya. Los videos se desarrollan así:

El enunciado del problema: se describe el enunciado de la situación problema a

resolver.

El video 7: la expositora describe la definición de la primera fase de Pólya y la

forma en la que se va a desarrollar la propuesta de solución.

El video 7: se explica el desarrollo de la primera competencia matemática.

El video 7b: se expone la implementación de la segunda competencia matemática.

El video 7c: se explica el desarrollo de la tercera competencia matemática.

Se le recomienda al usuario seguir la secuencia de los videos para mayor entendimiento del

procedimiento propuesto como estrategia de solución al problema enunciado.

2.4.2 Fase 2. Diseñar el plan. En esta fase se realiza el esquema de estrategias a

desarrollar para la propuesta de solución al problema planteado. Se diseñan planes para la

solución de problemas que involucran información cuantitativa o esquemática, dentro de

estos planes. De igual forma, se definen las operaciones matemáticas que se utilizan para

diseñar las expresiones algebraicas requeridas que lleven a soluciones adecuadas.

Adicionalmente, se analizan las propiedades de la expresión algebraica de la función

cuadrática y la relación de sus valores con los puntos de localización de la parábola en el

plano cartesiano.

Comúnmente los problemas se enuncian en forma escrita u oral, por lo que se requiere el

translado de las palabras a su equivalente mediante símbolos matemáticos, con el fin de

definir los problemas con representaciones propias de la información cuatitativa o con

fórmulas para desarrollar calculos algebraicos.

Según Pólya, la información puede ser recopilada por medio de la utilización de las siguientes

estrategias matemáticas:

Reconocer algunas fórmulas matemáticas para ser aplicadas.

Usar variables ya identificadas.

Buscar un patrón de comportamiento.

Identificar o realizar figuras o diagramas.

Usar propiedades de los números.

Buscar fórmulas de ecuaciones, expresiones geométricas y/o funciones.

Usar modelos para representar los datos.

Usar análisis dimensional.

Usar coordenadas y planos cartesianos.

Usar conceptos de simetría.

La metodología para la segunda fase “Diseñar el plan” consiste en trabajar con tres

competencias matemáticas, que permiten analizar detalladamente el problema.

Tabla 10. Desarrollo de competencias para la fase 2. Diseñar el plan

Ver más…

2.4.2.1 Concepto1. Se retoma la información cuantitativa dada en diferentes formatos

(en lenguaje natural, tablas o representaciones geométricas) en su fase inicial y, a partir de

esta información, se plantean algunas estrategias de diseño de un plan para encontrar la

solución al problema dado.

Una vez se identifica con claridad qué incógnitas o funciones matemáticas se requieren, se

realiza el diseño de las expresiones algebraicas para representar situaciones específicas que

conducen a proyectar soluciones potenciales. Adicionalmente, se diseña el uso de las

operaciones matemáticas que llevan a formular el polinomio de segundo grado como

propuesta matemática.

2.4.2.2 Metodología 1. Para implementar esta competencia se sugiere realizar algunas

preguntas:

¿Cuáles son las estrategias de solución?

¿Cuáles son las expresiones algebraicas requeridas?


Descripción Diseñar expresiones

algebraicas que

lleven a soluciones

adecuadas.

Diseñar planes para la

solución de problemas

que involucran

información cuantitativa

o esquemática.

Analizar las relaciones

entre las propiedades de la

expresión algebraica y su

gráfica en el plano

cartesiano.

Concepto/Metodología Concepto 1 y

metodología 1

Concepto 2 y

metodología 2

Concepto 3 y

metodología 3

2.4.2.3 Concepto 2. En esta competencia se diseñan estrategias de solución de

problemas que involucran información cuantitativa o esquemática. Dentro del diseño de los

planes para dar solución al problema planteado, se reconocen algunas fórmulas matemáticas

para calcular los puntos de localización de la parábola.

2.4.2.4 Metodología 2. Se construye el diseño mediante el análisis de las siguientes

preguntas:

¿Cuáles son las fórmulas para implementar?

¿Cómo representar la información cuantitativa en el plano cartesiano?

2.4.2.5 Concepto 3. Se identifican las características y propiedades de la expresión

algebraica de un polinomio de segundo grado, entre estas: El significado de los coeficientes

del polinomio de segundo grado, los puntos de corte con el (eje x), el punto de corte con el

(eje y), el vértice, la concavidad de la gráfica, el dominio y el rango. Todos estos datos se

relacionan con la representación de la parábola en el plano cartesiano.

En el caso que se requiera analizar la expresión algebraica de un polinomio de primer grado,

se identifican las propiedades en cuanto al significado de los coeficientes del polinomio, el

punto de corte con el (eje x), el punto de corte con el (eje y), el dominio y el rango. Estos

valores se relacionan con la representación de la línea recta en el plano cartesiano.

2.4.2.6 Metodología 3. Se diseña un plan de solución basado en las siguientes

preguntas:

¿Cuáles son las propiedades de la expresión algebraica cuadrática?

¿Qué propiedades de la expresión algebraica se relacionan con la parábola?

La Tabla 11 muestra los enlaces de algunas herramientas didácticas donde es posible explorar

y profundizar acerca de la metodología para el diseño de un plan para la resolución de

problemas según Pólya.

Tabla 11. Enlaces de acceso - explicación de la fase diseñar el plan


Ejemplo 8

Video 8

Video 8a

Video 8b

Video 8c


Ver más…



descripción paso a paso de la forma de aplicar la fase “Diseñar el plan” según Pólya. La

metodología propuesta consiste en dar respuesta a una serie de preguntas planteadas para

lograr diseñar estrategias pertinentes como propuestas de solución. Al desarrollar cada

respuesta de esta fase, se fortalecen algunas competencias matemáticas del razonamiento

cuantitativo relacionadas con la “Interpretación y Representación” de la información, y la

“Formulación” de planes para resolución a los problemas propuestos.


la segunda fase para la resolución de problemas, denominada “Diseñar el plan”. En estos se

analiza matemáticamente el enunciado de una situación problema y se desarrolla una

estrategia de solución a partir de tres competencias matemáticas que dan respuesta a

determinadas preguntas según Pólya. Los videos se desarrollan así:

El enunciado del problema: describe el enunciado de la situación problema a

resolver.

El video 8: la expositora describe la definición de la segunda fase de Pólya y la

forma en que se va a desarrollar la propuesta de solución.






2.4.3 Fase 3. Ejecutar el plan. En esta fase se desarrollan las estrategias

seleccionadas para ejecutar el plan propuesto en la fase anterior.

Igualmente, se identifican los argumentos geométricos para resolver problemas en el

contexto empresarial y se ejecutan los cálculos algebraicos correspondientes para desarrollar

las fórmulas previstas en el plan propuesto en el diseño, de tal forma que los datos

encontrados puedan ser representados en los puntos de la parábola en el plano cartesiano.

Pólya sugiere dedicar tiempo a la resolución del plan diseñado para la solución del problema.

No existe garantía de una evidencia de éxito en el desarrollo del diseño del plan, por lo que,

en caso de tener inconvenientes en la ejecución, es necesario retornar a la fase inicial y

empezar de nuevo.

Para implementar esta fase se sugiere realizar las siguientes acciones:

Implementar las estrategias diseñadas.

Revisar respuestas, si no son factibles, devolverse a las anteriores FRPP.

No tener miedo de volver a empezar.

Implementar algunas fórmulas matemáticas.

Usar variables ya identificadas.

Realizar figuras o diagramas.

Utilizar propiedades de los números.

Aplicar modelos para representar los datos.

Localizar coordenadas en planos cartesianos.

Aplicar conceptos de simetría.

La metodología empleada en la tercera fase “Ejecutar el plan” propone trabajar con tres

competencias matemáticas, que permiten desarrollar rigurosamente el problema.

Tabla 12. Desarrollo de competencias para la fase 3. Ejecutar el plan


Descripción Ejecutar un plan de

solución para resolver

problemas que

involucran información

Identificar

características de

localización de figuras

cónicas en sistemas de

Usar argumentos

geométricos para

resolver problemas en

contextos matemáticos y

en otras ciencias.

Ver más…

2.4.3.1 Concepto 1. Se elaboran las estrategias relacionadas con conceptos y

procedimientos de la función cuadrática y sus sistemas analíticos. Se realizan manipulaciones

del cálculo algebraico para encontrar datos requeridos y soluciones adecuadas.

2.4.3.2 Metodología 1. Para implementar esta competencia se sugiere realizar la

siguiente pregunta:

¿Cuáles estrategias se implementan?

¿Cuáles cálculos algebraicos se aplican?

2.4.3.3 Concepto 2. Con los valores de las propiedades de la función cuadrática

encontrados (puntos de corte con el (eje x), el punto de corte con el (eje y) y el vértice), se

representan gráficamente las características de localización de una parábola en el plano

cartesiano.

2.4.3.4 Metodología 2. Se desarrolla esta competencia dando respuestas al siguiente

cuestionamiento:

¿Cómo representar los puntos de la parábola en el plano cartesiano?

2.4.3.5 Concepto 3. Esta condición permite utilizar argumentos geométricos de una

función cuadrática para resolver problemas en el contexto empresarial. Se hace uso de las

características de localización de una parábola en el plano cartesiano para contextualizar la

respuesta de solución a una situación problema formulada.

2.4.3.6 Metodología 3. Se ejecuta el plan de solución con base en la siguiente

pregunta:

¿Cuáles son los argumentos geométricos para resolver problemas en el contexto

empresarial?

cuantitativa o

esquemática.

representación

cartesiana.


metodología 1

Concepto 2 y

metodología 2

Concepto 3 y

metodología 3


y profundizar acerca de la metodología para ejecutar el plan para la resolución de problemas

según Pólya. Del mismo modo, se describen las respuestas pertinentes al cuestionamiento de

algunas preguntas.

Tabla 13. Enlaces de acceso - explicación de la fase ejecutar el plan


Ejemplo 9

Video 9

Video 9a

Video 9b

Video 9c


Ver más…



descripción paso a paso de la forma de aplicar la fase “Ejecutar el plan” según Pólya. La

metodología propuesta se fundamenta en dar respuesta a una serie de preguntas. Al

desarrollar cada respuesta de esta fase se fortalecen algunas competencias matemáticas del

razonamiento cuantitativo relacionadas con la “Interpretación y Representación” de la

información y la “Ejecución” de planes para la resolución a los problemas propuestos.


la tercera fase para la resolución de problemas, denominada “Ejecutar el plan”. En los videos

se analiza matemáticamente un enunciado de una situación problema y se desarrolla una

estrategia de solución por medio del uso de tres competencias matemáticas que dan respuesta

a determinadas preguntas según Pólya. Los videos se desarrollan así:


resolver.

El video 9: la expositora describe la definición de la tercera fase de Pólya y la forma

en la que se va a desarrollar la propuesta de solución.






2.4.4 Fase 4. Revisar los resultados. Esta fase requiere revisar los procesos

desarrollados en las anteriores etapas, examinar matemáticamente el análisis, diseño y

ejecución de las actividades implementadas e identificar la pertinencia de los procedimientos

geométricos y de los cálculos matemáticos utilizados al desarrollar la solución al problema

planteado.

En particular, permite que el estudiante examine la validez de las estrategias de diseño

proyectadas para dar solución al problema propuesto y, además, que realice su

retroalimentación, logrando obtener referentes para resolver problemas similares a futuro o

identificar los posibles errores para asimilarlos como experiencias negativas y significativas

que llevan al fracaso. En otras palabras, cuando se realiza una visión retrospectiva y se revisa

con detalle las actividades para la resolución de un problema que se resuelve, es posible

utilizar los recursos de solución y la solución misma como patrón de desarrollo para convertir

el proceso de desarrollo en una nueva herramienta para afrontar otras situaciones problema.

En lo posible, se valida la información volviendo a desarrollar las estrategias diseñadas si

hay duda de algún procedimiento aplicado, o en el caso que, al terminar la implementación

de las estrategias, no se llegue a una solución válida y coherente.

Al validar los pasos efectuados para la resolución de un problema se pueden evidenciar otras

nuevas alternativas de solución, situación que conduce a descubrir otros posibles caminos

para resolver el mismo prototipo de problema o para llegar a soluciones óptimas.

Para implementar esta fase se sugiere cuestionar lo siguiente:

¿Qué se analizó, qué se diseñó y qué se implementó?

¿La resolución del problema satisface lo requerido?

¿La solución es lógicamente posible?

¿Se puede demostrar la solución implementada?

¿Existe una solución más sencilla?

¿Se puede generalizar la solución?

¿Se puede resolver el problema de una forma óptima?

¿Se puede generalizar su proceso de resolución del problema?

La metodología para la cuarta fase “Revisar los resultados” propone la implementación de

una competencia matemática que hace referencia a la evidencia detallada de la solución

desarrollada.

Tabla 14. Desarrollo de competencias para la fase 4. Revisar los resultados

Ver más…

2.4.4.1 Concepto 1. Se establece la validez o pertinencia de procedimientos o

estrategias de solución a los problemas planteados que involucran una función cuadrática.

2.4.4.2 Metodología 1. Se sugiere realizar algunas preguntas para examinar si la

propuesta de solución fue adecuada al problema planteado:

¿Cuáles procedimientos y estrategias aplicados son válidos?

¿Las respuestas satisfacen la solución al problema planteado?


y profundizar acerca la metodología para revisar los resultados al problema. Así mismo, se

valida la conceptualización, la operacionalización y argumentación del plan propuesto,

además, se da respuesta a una serie de preguntas propias de las fases de resolución de

problemas según Pólya

Tabla 7. Enlaces de acceso - explicación de la fase revisar los resultados


Ejemplo 10 Video 10

Video 10a


Competencia P3D2

Descripción Establecer la validez o pertinencia de los procedimientos o estrategias

de solución a los problemas planteados que involucran una función

cuadrática.


metodología 1

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descripción paso a paso de la forma de aplicar la fase “Revisar resultados” según Pólya. La

metodología propuesta consiste en dar respuesta a una serie de preguntas hasta lograr revisar

los resultados del análisis del problema, las estrategias planteadas y su implementación. Al

desarrollar cada respuesta de esta fase, se fortalecen algunas competencias matemáticas del

razonamiento cuantitativo relacionadas con la “Argumentación” de la información analizada,

diseñada e implementada para dar resolución a los problemas propuestos.

2.4.4.4 Video explicativo. Consta de tres videos, que tienen como finalidad explicar

la cuarta fase para la resolución de problemas, denominada “Ejecutar el plan”. De igual

forma, se analiza matemáticamente un enunciado de una situación problema y se desarrolla

una estrategia de solución, mediante la utilización de 1a competencia matemática y la

respuesta a determinadas preguntas según Pólya.

Los videos se desarrollan así:


resolver.

El video 10: la expositora describe la definición de la cuarta fase de Pólya y la forma

en la que se va a desarrollar la propuesta de solución.

El video 10a: Se explica el desarrollo de la competencia matemática.



Referencias

Brendy, S. (2015). Método Pólya en la resolución de problemas matemáticos (Tesis de

grado). Guatemala: Universidad Rafael Landivar. Recuperado de

http://recursosbiblio.url.edu.gt/tesisjcem/2015/05/86/Escalante-Silvia.pdf.

Haeussler, E., Paul, R. y Wood, R. (2008), Matemáticas para administración y economía.

México, S.A.: Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

López, P. (2010), Estudio de la resolución de problemas matemáticos con alumnos recién

llegados de Ecuador en Secundaria (Tesis de doctorado). Recuperado de

http://www.tdx.cat/handle/10803/1328.

Ministerio de Educación Nacional (MEN). (2015). Módulo de Razonamiento cuantitativo

Saber 11. ° | Saber Pro. Colombia: Icfes. Recuperado de

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Miller, V. (2006). México, S.A.: Pearson Matemático.

Pólya, G. (1989). Cómo plantear y resolver problemas. México: Ed. Trillas. Décimo quinta

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Rojas, L., Ramírez, A. y Rojas, L. (2016). Matemáticas básicas con aplicaciones a la

ingeniería. Colombia: Ecoe Ediciones Ltda.

http://www.tdx.cat/handle/10803/1328

contenido 1. función cuadrática

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