CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

Universidad Diego PortalesFacultad de Economa y Empresa

Funciones LinealesProbablemente el tipo de funcin ms simple, y una de las ms tiles, sea la Funcin Lineal.

Definicin:Se llama Funcin Lineal a toda funcin de la forma , donde m y n son nmeros reales y .

La representacin grfica de la Funcin Lineal es una lnea recta. Al valor de m se le denomina: pendiente, y al valor se le llama coeficiente de posicin. La restriccin en la definicin de una funcin lineal implica que la grfica no es una recta horizontal. Si , la funcin Lineal es una lnea recta creciente, si , la funcin lineal es una lnea recta decreciente. Hay dos tipos de rectas que no son grficas de funciones lineales Una recta vertical con ecuacin: no pasa la prueba de la recta vertical y no puede definir a una funcin. Si , en la frmula anterior, entonces , la cual es una funcin constante y no es una funcin lineal sin embargo pasa la prueba de la recta vertical y define a una funcin

1.Representacin de la Grfica de una Funcin Lineal:

Funcin Lineal Creciente:

Pendiente Positiva.

Funcin Lineal Decreciente:

Pendiente Negativa.

Funciones Polinomiales:

Definicin:Se llama Funcin Polinomial de grado n, a toda funcin de la forma:

donde los son nmeros reales, llamados coeficientes, , y n es un entero positivo. Grado de un polinomio, es el mayor de los grados de los monomios que lo componen

Anteriormente se estudiaron las funciones lineales de la forma , las cuales son funciones Polinomiales de grado . En lo que sigue estudiaremos las funciones Polinomiales de grado que se denominan Funciones Cuadrticas.

Funciones Cuadrticas:

Definicin:Se llama Funcin Cuadrtica a toda funcin de la forma . Donde a, b y c son nmeros reales, llamados coeficientes, y .

1.La Grfica de la Funcin Cuadrtica:

Resumen:La Grfica de una Funcin Cuadrtica de la forma: ,

1. Es una parbola que se abre hacia arriba s , en dicho caso posee un valor extremo mnimo.

2. Es una parbola que se abre hacia abajo s , en dicho caso posee un valor extremo mximo.

3. Tiene un Eje de Simetra, que es una recta vertical, cuya ecuacin es .

4. Tiene un valor extremo dado por , de donde se obtiene el punto de interseccin entre la parbola y el eje de simetra, denominado Vrtice de la Parbola, cuyas coordenadas son .

5. El recorrido es si ; y si , donde

6. Es ms angosta que la grfica de , si .

7. Es ms ancha que la grfica de , si .

8. Corta al eje vertical en el Punto de Coordenadas , ya que .

9. La Funcin Cuadrtica de la forma puede expresarse en la forma , siendo , completando el cuadrado de binomio, donde el punto: es el vrtice de la parbola.

10. NO es una funcin Inyectiva.

Ejemplo:Dada la funcin cuadrtica . Encontrar la ecuacin del eje de simetra, las coordenadas del vrtice, y el recorrido.

Solucin:

En este caso , y , entonces, el eje de simetra es , y las coordenadas del vrtice son , donde o sea

EMBED Equation.3 . El recorrido es el intervalo , pues .

2.Intersecciones con el Eje Horizontal:

Se pueden hallar los puntos, en el caso de existir, donde la grfica de la funcin cruza o toca al eje horizontal, factorizando o utilizando la Formula Cuadrtica para resolver la ecuacin Cuadrtica , cuya formula es . El Promedio de las intersecciones, de existir con el eje horizontal es , que es el valor de la abscisa del valor extremo.

ProposicinSi , luego existen y donde son races de entonces la funcin se puede factorizar como

Ejemplo:Como las races de la funcin cuadrtica son y , entonces su factorizacin es

Proposicin Las races de la funcin verifican las siguientes propiedades:

,

Demostracin:

Sea:

EMBED Equation.3 Sea:

EMBED Equation.3 Ejercicio.Dada la funcin cuadrtica . Determine:

a.El eje de simetra y el vrtice de la funcin cuadrtica.

b.En que puntos la funcin intercepta a los ejes de coordenadas.3.APLICACIONES DE OPTIMIZACIN UTILIZANDO LA FUNCIN CUADRTICA1.Se ha descubierto estadsticamente que el nmero de accidentes en la carretera Stgo. - Via, entre noviembre de 2006 y marzo de 2007, ha variado en el tiempo de acuerdo al modelo de funcin , donde x representa los meses numerados de accidentes correspondientes. Determine:

a) El mes en que el nmero de accidentes fue mximo y el nmero de accidentes ocurridos.

b) En que mes esperara que los accidentes disminuyeran a cero segn la informacin dada?

2.El costo promedio por unidad (en dlares) al producir x unidades de cierto artculo esta dado por el modelo de funcin . Qu nmero de unidades producidas minimizaran el costo promedio? Cul es el correspondiente costo mnimo por unidad?

3.El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artculo esta dado por el modelo de funcin: dlares. Determine el nmero de unidades que deben de venderse cada mes con el propsito de maximizar el ingreso. Cul es el correspondiente ingreso mximo?

4.El propietario de un Hotel con 60 habitaciones, puede alquilarlas todas si fija un alquiles mensual de US$ 20 por habitacin. Con un alquiler ms alto, algunas habitaciones quedarn vacas. En promedio, por cada incremento de alquiler de US$ 5, una habitacin quedar vaca sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relacin funcional entre el ingreso mensual total y el nmero de habitaciones vacas. Qu alquiler mensual maximizara el ingreso total? Cul es este ingreso mximo?

5.El Costo Total en miles de dlares de produccin de x unidades de cierta mercanca esta dado por el modelo de funcin , y la ecuacin de la demanda est dada por , donde p representa el precio por unidad. Hallar el precio p por unidad para que la Utilidad o Ganancia sea Mxima.

6.Si dos puntos sobre una funcin lineal de Demanda son: y , y la funcin de Costo Total es . Calcule la Utilidad Mxima.

7. Se debe de disear un cartel para una campaa publicitaria. El rea impresa debe de contener 600 pulgadas cuadradas. Debe de aparecer un margen de 2 pulgadas en cada lado del material impreso (margen izquierdo y derecho) y un margen de 3 pulgadas en la parte superior e inferior.

a) Determinar las dimensiones de rea impresa que minimizan el rea del cartel

b) Cules son las dimensiones ptimas del cartel?

c) Cul es el rea mnima del cartel?

8.La Utilidad de un fabricante en la venta de CD viene dado por el modelo de funcin , donde x es el precio al que se venden los CD. Hallar el precio ptimo de venta de los CD y adems a cuanto asciende la Utilidad.

9.S:

y

, Determine:

a) Eje de simetra y Recorrido de la funcin cuadrtica.

b) Interseccin con los ejes de coordenadas de la funcin f.

c) Puntos de interseccin entre ambas funciones, es decir, en que puntos .

d) Grfico de ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas.

e) Indique en que intervalos se verifica que .

10.Dada la funcin lineal y la funcin cuadrtica . Determine:

a.Para que valores de la variable se verifica que .

b.Usando , la expresin mas simplificada si

4.Ejercicios de Funciones Lineales y Cuadrtica.1. Dada la recta de ecuacin .

Determine:

a. La pendiente de la recta.

b. La ecuacin de la recta paralela a la recta dada, y que pasa por el punto

c. La ecuacin de la recta perpendicular a la recta dada, y que tambin pasa por .

2. Los recursos (en pesos) que cada da debe disponer un consultorio es una funcin lineal de las personas que en l se atienden diariamente. Se sabe que el Lunes 20 de Junio para atender a 24 personas se dispondr de $ 84.000, y que el Martes 21 de Junio, para atender a 35 personas se dispondr de $ 117.500.

a. Determine la funcin lineal (de la forma ).

b. Si el mircoles 22 de Junio se dispone de $ 72.500. Cuntas personas se proyecta atender?.

3.Dada la funcin cuadrtica .

Determine:

a.Dominio y Recorrido.

b.Interseccin con los ejes de coordenadas.

c.Vrtice y Eje de Simetra.

d.Grfico de la funcin cuadrtica.

e.Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.

4.En la empresa comercializadota ALFA Ltda.. se determino que por la venta de unidades de un producto, se obtiene una utilidad neta esta dada por la funcin , (en cientos de dlares). Determine:

a. Para cuantas unidades vendidas, la empresa obtiene una Utilidad Mxima?

b. A cuanto asciende la utilidad mxima?

c. Cul es el intervalo de unidades que la empresa debe vender para que obtenga utilidades?

5.En la empresa Beta se determino que la utilidad neta esta dada por la funcin , donde es el precio de venta por unidad, en dlares. Determine:

a.

cuando no hay utilidad.

a. La utilidad mxima.

b. La utilidad cuando el precio es US$ 5.

c. Grfico de la funcin utilidad.

6.Dada la ecuacin de la parbola , y el punto . Determine:

a. El vrtice de la parbola.b. Si el punto P pertenece a la parbola.

c. En que intervalo se verifica que la parbola es creciente.

d. La representacin del punto, la parbola y el eje de simetra en un mismo grfico.

7.Dada, la parbola , la recta . Determine:

a. El Vrtice de la parbola.

b. Los puntos de interseccin entre la recta y la parbola .

c. La representacin de la recta, la parbola y el punto en un mismo grfico.

8.Dada la funcin cuadrtica . Determine:

a.Interseccin con los ejes de coordenadas.

b.Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.

c.Eje de simetra y valor extremo.

d. Dominio y recorrido

5.Problemas Resueltos:1.La empresa Caceli Ltda. fabrica una caja de cuero que contiene cuatro cachos de cuero y veinte dados. Un estudio determino que la utilidad mensual, en dlares, de la empresa en funcin del precio , en dlares, esta dado por:

Determine:

a. El precio optimo de venta.

Solucin:

Expresando la Utilidad como una funcin cuadrtica se tiene donde y , por tanto el precio optimo corresponde a la abscisa del vrtice dada por la ecuacin , por tanto el precio ptimo de venta es US$ 70.

b. La utilidad mensual mxima de la empresa.

Solucin:

Evaluando la funcin Utilidad en US$ 70, se obtiene la utilidad mxima, que en este caso es dlares.

c. El precio cuando no hay utilidad.

Solucin:

Igualando la Utilidad a cero, se resuelve la ecuacin o bien , cuya factorizacin es que tiene por soluciones y , por lo que la Utilidad es nula cuando el precio es de US$ 20 y US$ 120.

d. La utilidad cuando el precio es de US$ 40.

Solucin:

Evaluando la Utilidad para se obtiene , por tanto la Utilidad asciende a US$ 1.600.

e. La banda de precio (intervalo) para el cual la utilidad es creciente.

Solucin:

Como la utilidad tiene un valor extremo mximo cuando y es nula cuando y , entonces la utilidad es creciente en el intervalo , es decir la banda de precio es creciente entre US$ 20 y US$ 70.2.Dada las funciones cuadrticas:

y

.

Determine los puntos de interseccin entre ambas funciones.

3.Dada las siguientes funciones:

Determine que dichas funciones son tangentes.

4.Dada la parbola y la recta .Determine:

a. La distancia entre los puntos de interseccin de la parbola con el eje horizontal.

Solucin:

Los valores de las abscisas de los puntos de interseccin de la parbola con el eje horizontal se obtienen resolviendo la ecuacin asociada: , de donde y . Al interceptar la parbola con el eje horizontal, se obtienen los puntos y , por tanto la distancia entre estos puntos es igual a 8.

b. En que intervalo se verifica que la parbola esta sobre (es mayor que) la recta.

Solucin:

Las ecuaciones de la parbola y la recta son: e , se nos pide determinar en que intervalo se cumple que: es decir se debe de resolver la inecuacin asociada:

Los valores crticos son y de donde

c. La ecuacin de la recta que pasa por el vrtice de la parbola y que es perpendicular a la recta dada.

Solucin:

El vrtice de la parbola es el punto de coordenadas y la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada es , pues la pendiente de la recta dada es , por tanto la ecuacin de la recta pedida se obtiene utilizando la frmula: , de donde

El vrtice de la parbola se obtiene calculando y evaluando la funcin cuadrtica en dicho valor, que en este caso es .

d. Cual es el recorrido de la regin determinada (encerrada) por la recta y la parbola.

Solucin:

La regin encerrada por la parbola y la recta tiene por puntos extremos , que es el punto ms bajo de la interseccin entre la parbola y la recta, y el punto que es el vrtice de la parbola, por tanto el recorrido de la regin encerrada es el intervalo .

El punto se obtiene al igualar la ecuacin de la recta con la parbola, es decir al hacer , de donde se obtiene la ecuacin cuyas soluciones son y y como la recta es creciente en se encuentra el punto ms bajo.

e. La representacin de la recta y la parbola en un mismo grfico.

Solucin:

Ver grfico pedido.

5.A partir de la grfica siguiente:

1. Encuentre la ecuacin general de la recta .

corta a los ejes en los puntos y , por tanto la pendiente es , la ecuacin particular es , por tanto la ecuacin general ser: .

2. Determine las coordenadas del punto .

Para obtener las coordenadas del punto se debe de conocer la ecuacin de la recta y despus interceptar ambas rectas. La pendiente de es y el coeficiente de posicin es , entonces la ecuacin es , interceptando con se obtiene el punto .

3. Encuentre la ec. de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .

Las coordenadas del punto son y la pendiente de la recta perpendicular es pues , entonces utilizando ec. Punto Pendiente tendremos: de donde

6.Dada la funcin cuadrtica

Determine:

1. Dominio y Recorrido.

Dominio es todo , y el Recorrido es el intervalo

2. Interseccin con los ejes de coordenadas.

Como la parbola pasa por el origen y el otro punto de interseccin con el eje horizontal se determina resolviendo la ecuacin de donde o sea , siendo el punto .

3. Eje de Simetra y Vrtice de la parbola.

Como y, la ecuacin del eje de simetra es y las ordenada del vrtice ser por tanto el punto vrtice es

EMBED Equation.3 .4. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.

La funcin es decreciente para toda .

La funcin es creciente para toda .Grfico de la funcin.

7.Dada la funcin cuadrtica:

Determine:

1. Dominio y Recorrido.

Por ser una funcin cuadrtica el dominio es todo , el recorrido siempre es un subconjunto de , en este caso .

2. Interseccin con los ejes de coordenadas.

La condicin para la interseccin con el eje vertical es evaluar la funcin para , o sea , obtenindose el punto de coordenadas

La condicin para la interseccin con el eje horizontal es igualar la funcin a cero, es decir se hace , o bien , obtenindose la ecuacin , que es lo mismo que cuya solucin es , de donde el punto es .

3. Eje de Simetra y Vrtice de la parbola.

En este caso , y , entonces la ecuacin del eje de simetra es y la ordenada del vrtice ser , por tanto las coordenadas del vrtice son

EMBED Equation.3 .4. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento.

Como la funcin posee un valor extremo mximo dado por el punto vrtice se tiene:

es creciente

.

es decreciente

.Grfico de la funcin.

8.Determinar la funcin cuadrtica representada por el siguiente grfico.

La funcin es de la forma , y la grafica de la funcin corta al eje vertical en el punto por tanto , entonces ; como el vrtice es el punto , sustituyendo tendremos la ecuacin luego , adems el punto tambin satisface la ecuacin de la parbola , luego se obtiene una segunda ecuacin o bien , el punto es simtrico del punto . Por tanto los valores de y se obtienen al resolver el sistema asociado:

De donde y , por tanto la ecuacin de la funcin es .

9.Dada las funciones , . Determine en que punto(s) se interceptan. Haga su grfica.

Solucin:

Igualando ambas funciones , se obtiene la ecuacin , cuyas soluciones son y . Sustituyendo estos valores en cualquiera de las dos funciones se obtienen los puntos de interseccin pedidos que son y .

10.Dada las curvas , . Determine en que punto(s) se interceptan. Haga su grfica.

Solucin:

Igualando con , se tiene , obtenindose la ecuacin cuadrtica , cuya solucin es , y sustituyendo en cualquiera de las dos curvas se tiene , dando el punto de interseccin cuyas coordenadas son .

Funcin Exponencial y Logartmica1.La funcin Exponencial

Definicin:Sea un nmero positivo distinto de 1. La funcin exponencial de base est definida por y tiene por dominio el conjunto de los nmeros reales y recorrido, el conjunto de los nmeros reales positivos.

As, la grfica de la funcin exponencial slo se presenta por sobre el eje X y se extiende infinitamente en sentido horizontal.

La grfica de la funcin exponencial es una cuerva creciente si .

Observa la grfica de .

Nota que la curva no corta ni cruza al eje horizontal pero corta al eje al eje vertical en el punto (0,1), pues .

La grfica de la funcin exponencial es una curva decreciente si . Observa la grfica de

Nuevamente la grfica corta al eje Y en (0,1), y no toca ni corta al eje X. En general, las grficas de las funciones de la forma cortan siempre al eje Y en (0,1), ya que .

Comparacin del crecimiento de funciones exponenciales:

De dos funciones exponenciales con bases mayores que uno, crece ms rpido aquella que tiene la mayor base.

La curva azul, corresponde a la funcin

La curva verde, corresponde a la funcin

Cmo se comportan dos funciones exponenciales con base positiva menor que uno?

Observa el grfico: En azul est la grfica de y en verde . Entonces, se visualiza que tiene un decrecimiento ms brusco la funcin de menor base.

2.Funcin LogaritmoDefinicin:La funcin logartmica se define como la inversa de la funcin exponencial, de modo que: Si es la base del logaritmo (siendo positivo y distinto de 1) e es un nmero real positivo, entonces el nmero en la expresin se denomina logaritmo de en base y se denota:

En especial, trataremos la funcin logartmica con base 10, que tiene por dominio el conjunto de los nmeros reales positivos y por recorrido todo el conjunto de los nmeros reales. Esto significa que la funcin logartmica slo tiene una representacin grfica a la derecha del eje Y y puede extenderse infinitamente en sentido vertical. Observa la grfica de la funcin exponencial y su inversa respectiva (logartmica)

Funcin exponencialFuncin logartmica

Problema Resuelto:

1. Dada la funcin logaritmo .

Determinar:

a. Dominio.

Para obtener el dominio se exige que , resolviendo esta inecuacin se obtiene , por lo tanto el Dominio ser el intervalo

b. Interseccin con los ejes de coordenadas.

Para obtener la interseccin con el eje vertical basta con evaluar la funcin para , con lo cual se tiene

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , por tanto el punto ser

Para obtener el punto de interseccin con el eje horizontal se hace , resolvindose la ecuacin logartmica asociada:

por tanto el punto ser

c. Ecuacin de la asntota vertical.

La ecuacin de la asntota vertical esta dada por la ecuacin

2.Dada la funcin Determine:

1. Dominio y Recorrido.

Para el dominio se debe de verificar que , al resolver dicha inecuacin se obtiene como solucin , el cual representa el dominio. El recorrido son todos los nmeros reales.

2. Interseccin con los ejes.

La funcin no corta al eje vertical pues . Para obtener la interseccin con el eje horizontal se debe de verificar que , o sea resolver la ecuacin , de donde , cuyas soluciones son y

3. Ecuaciones de las asntotas.

Las ecuaciones de las asntotas son y .

3.Dada la funcin Logartmica:

Determine:

1. Dominio y Recorrido.

2. Interseccin con los ejes.

3. Ecuaciones de las asntotas.

4.Dada la funcin Logartmica

Determine:

1. Dominio y Recorrido.

Para obtener el dominio se exige que , resolviendo esta inecuacin se obtiene , por tanto el Dominio es el intervalo .

El recorrido se obtiene al despejar en trminos de , entonces:

Esta ltima ecuacin no tiene restricciones para la variable , entonces el recorrido es todo .2. Interseccin con los ejes.

Como

, la funcin no toca ni corta al eje vertical. Para saber en que punto corta al eje horizontal se hace de donde se obtiene la ecuacin logartmica: cuya solucin es , por tanto el punto es el .3.Ecuaciones de las asntotas.

Se tiene solamente una asntota vertical cuya ecuacin esta dada por .

4.Grfica de la funcin:

La grfica nos muestra que la funcin siempre es creciente

5.Dada la funcin Exponencial . Determine:

1 Dominio y Recorrido.

El dominio de toda funcin exponencial es todo . Para saber cual es el recorrido hay que despejar en trminos de , y analizar para la variable , entonces:

En este caso se exige que , de donde , entonces .2 Interseccin con los ejes.

Si , entonces , de donde tenemos el punto .

Si , en la ecuacin tendremos que , y el punto ser: .3. Ecuaciones de las asntotas.

Se tiene solamente una asntota horizontal cuya ecuacin esta dada por .

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