FUNCIN CUADRTICA Sondiversaslassituacionesquehaspodidoanalizar,enniveles anteriores, utilizandoexpresiones matemticasymsespecficamente a travs de la expresin que define la funcin lineal con la cual lograste porejemplocalcularelcostofinaldeunproductodeterminado sabiendosuscostosfijosyvariables,otambintransformargrados FahrenheitenCelsiusyviceversa.Peroexistenotrassituacioneso fenmenos que no se pueden resolver mediante funciones lineales. Por ejemploanalizarellanzamientodeunapiedraotambinsitenemos unalminadeacero,cmopodemosdeterminarlosvaloresque debemosconsiderarparaconstruirunacajaquetengalamayor capacidad? Incluso, conociendo las propiedades de la luz, qu forma debe tener un instrumento para aprovechar mejor la luminosidad? Para darrespuestaaestasinquietudesdebemosutilizarunnuevotipode funcin. La funcin cuadrtica. Definicin: Una funcin cuadrtica de valores reales,: f ,es de la forma 2( ) f x ax bx c = + + , donde a ,b ,c y 0 a . Los valoresa ,b ,cson constantes y se llaman coeficientes numricos de la funcin cuadrtica. Observa que: 1.Si0 a = ,alreemplazarseobtendra( ) f x bx c = + ,esdecir,unaecuacinlineal(recuerda quelaecuacioneslinealeslasestudiasteennivelesanterioresylaformaobtenidasellama ecuacin afn). 2.Se exige que0 a . Nada se dice de byc , excepto que sean constantes reales. Ejemplo 1. 2( ) 2 3 2 f x x x = + +es una funcin cuadrtica donde 2 a = ,3 b = ,2 c = . 2.( )2( ) 2 hx x = + esunafuncincuadrtica.Enefecto,aplicandoeldesarrollodelbinomio, tenemos( )222 4 4 x x x + = + + , es decir,( )22( ) 2 4 4 hx x x x = + = + + . Ejercicios 1.Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numricos de la funcin. a. 2( ) 6 2 1 f x x x = + + b.( )2( ) 2 1 gx x = c. 22 1( )3 4hx x x = + 2.Dados los siguientes coeficientes, determina la funcin cuadrtica. a.2 a = ,2 b = ,6 c =b.7 a = ,5 b = ,0 c =c.4 a = ,0 b = ,0 c = Habilidad:Item 1: Reconocer Item 2:Representar Para transformar de grados a Fahrenheityviceversa utilizaste esta igualdad. 32100 180C F = Esta funcin nos ayuda a modelar, o representar en forma general, una situacin o fenmeno que se nos presente. Pero antes de presentar sus aplicaciones, debemos conocer ms sobre esta funcin. REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LA FUNCIN CUADRTICA. Toda funcin de valores reales tiene una representacin grfica. La funcin lineal, por ejemplo, representa grficamente una lnea recta. As,dadaunafuncinlinealparadeterminarsugrficoconsideramos elementosqueidentificamosdelapropiafuncin,porejemplola pendienteylacoordenadaquecortaalejeY .Tambinpodemos generarunatabladevaloresyobtenerlosvaloresdex ydey .Por otroladosinospresentanelgrficodeunafuncinlinealpodemos determinar la funcin que lo representa. Lafuncincuadrtica,porsuparte,representagrficamenteunaparbola.Perodadaunafuncin cuadrtica, cmo podemos graficarla? Podemos ocupar una tabla de valores para graficarla? Y por otro lado, si nos presentan el grfico de una parbola podemos determinar la funcin que lo genera? Debesconsiderarqueunarectaquedadefinidaporsolodospuntos,perounacurvanopuede determinarsepordospuntos,porlotanto,realizarunatabladevaloresparapodergraficaruna parbola no es muy recomendable. Sin embargo, dada una funcin cuadrtica y utilizando elementos queidentificaremosacontinuacin,quesedesprendendeloscoeficientesdelafuncin,podrs determinar su grfico. Luego,comoidentificarsestoselementos,podrs,dadoungrfico,determinarlafuncinquelo genera. Debes saber que: Aunque te pueden parecer que una cadena o una cuerda colgando representan una parbola,elgrficoquerepresentaestasituacin,sellamacatenariaylafuncin que lo genera no es una funcin cuadrtica.Lademostracinquelacurvaseguidaporunacadenanoesunaparbolafue demostrado por Joachim Jungius (1587-1657) y publicado pstumamenteen 1669. Debes recordar que: El significado geomtrico de una funcin es que para cada valor que tomaxen elejeX oejedelasabscisas, ( ) f x tomaunvalorenelejeY oejedelas ordenadas. Por lo que puedes considerar( ) f x y = . Luego el par ordenado es ( ) ( ) ( ), , xy x f x = ELEMENTOS DE UNA FUNCIN CUADRTICA I. CONCAVIDAD Uno de los valores quenos entrega informacin en la funcin 2( ) f x ax bx c = + +es el coeficientea . Este valor es de gran importancia, ya que su signo nos indicar hacia dnde se abre la parbola. El concepto que encierra esta idea se llama concavidad. De esta manera: A.Sia espositivo( 0 a > )entonceslafuncin( )2f x ax bx c = + + representaunaparbola cncava hacia arriba. Grficamente, si0 a > , la parbola tiene la siguiente forma: B.Sia esnegativo( 0 a < )entonceslafuncin( )2f x ax bx c = + + representaunaparbola cncava hacia abajo. Grficamente, si0 a < , la parbola tiene la siguiente forma: Ejemplo Dada lafuncin( )22 5 3 f x x x = + , podemos decir lo siguiente: 2 a = ,5 b = ,3 c = ycomo2 0 a = > ,entonceslaparbolaquerepresentaes cncava hacia arriba. Ejercicios 1.Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientesa ,byce indica su concavidad. a. 2( ) 4 f x x x = b. 21( ) 42gx x = c. ( )2 21 3( ) 3 4 12 5hx x x x x| |= + + |\ . d. 25( ) 46mx x = e.( )22( ) 3 2 t x x x = +f.( )2( ) 2 sx x = Habilidad:Item 1: Reconocer II. INTERSECCIN CON LOS EJES Debes recordar que: 1.Los puntos que se encuentran sobre el ejeY , son de la forma( ) 0, y , es decir, la coordenada xes 0 x = . 2.LospuntosqueseencuentransobreelejeX ,sondelaforma( ) , 0 x ,esdecir,la coordenadayes0 y = A. Interseccin de la funcin cuadrtica con el ejeY Otro valor que nos entrega informacin en la funcin( )2f x ax bx c = + +es el coeficientec . El valor deccorresponde a la coordenada del ejeYdonde la parbola corta a este eje. En efecto, cuando0 x =se tiene( )20 0 0 f a b c c = + + = . Ejemplo En nuestro ejemplo ( )22 5 3 f x x x = + donde2 a = ,5 b = ,3 c = , determinemos el valor dnde la parbola que representa intercepta al ejeY . Solucin La parbola corta al ejeYen3 c = , es decir el punto de interseccines( ) 0, 3 Ejercicios 1.Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientesa ,b ,cy determina el valor donde la parbola intercepta al ejeY . a. 2( ) 5 4 mx x x = + b. 22( ) 33nx x x = c.( )2( ) 2 3 f x x = d. 23( ) 27gx x = e.( )22( ) 3 1 2 4 px x x = + f. 22 1( )3 4f x x| |= |\ . Habilidad:Item 1: Reconocer B. Interseccin de la funcin cuadrtica con el ejeX Cuando la grfica de una funcin corta al ejeX en uno o ms puntos, estos puntos reciben elnombrederacesrealesocerosdelafuncin.Esdecir,lasracesrealesdelafuncin cuadrtica( )2f x ax bx c = + +son los valoresxtal que( ) 0 f x = . Expresado de otra forma, se deben encontrar losxque cumplan con que20 ax bx c + + = . Loscoeficientesa ,b yc nosproporcionanlainformacinrequerida.Paraello,escribeel trinomio 2ax bx c + + comounaexpresinfactorizadayaplicalapropiedaddelosnmeros reales que dice: Si0 ab =entonces0 a =o0 b = 20 ax bx c + + = 20bx ca xa a (+ + = ( (Factorizando pora ) 2 222 20 4 4bx b b ca xa a a a (+ + + = ( (Sumando0para completar cuadrados) 2 222 204 4bx b b cxa a a a| |+ + + = |\ .(Ya queano puede ser0por definicin) 222 2 4b b cxa a a| |+ = |\ .(Igualando cantidades) 2224 2 4b b acxa a | |+ = |\ .(Extrayendo razcuadrada, se obtiene) 24

2 2b b acxa a+ =o 242 2b b acxa a+ = Despejandox enambasecuacionesyrenombrandoestosvalorescomo 1x y 2x ,obtenemoslos valores buscados 2142b b acxa + = o 2242b b acxa = En conclusin: Enlafuncincuadrtica( )2f x ax bx c = + + ,losvaloresc , 1x y 2x nos indicarn dnde la parbola corta a los ejes. Pero Puede haber una parbola que no corte al ejeX ? La respuesta esafirmativa,yaquelaparbolanodependedelejeX ,sinoquede los valores que vaya tomando( ) f x , respecto de los valores dex . Si observas, los valores obtenidos en1xy 2xse presenta la expresin 24 b ac yporlaspropiedadesderacescuadradaselclculode 24 b ac nos lleva a tres situaciones: 1.Si 24 0 b ac > ,entonces 24 b ac tienedosvaloresrealesydistintosy,porlotanto, 1x y 2xson dos races reales y distintas, lo que geomtricamente significa que la parbola corta al ejeXen las coordenadas 1xy 2x . 2.Si 24 0 b ac = , entonces 24 0 b ac = , lo que implica que 1 2x x = . Es decir, la funcin tiene unasolaraz,loquegeomtricamentesignificaquelaparbolacortaalejeX ensolouna coordenada. 3.Si 24 0 b ac < ,entonces 24 b ac notienevaloresrealesy,porlotanto, 1x y 2x nosonraces reales, lo que geomtricamente significa que la parbola no corta al ejeX . Debes saber que: 24 b ac se llama discriminante y se simboliza por, es decir 24 b ac = Ejemplo. Enlafuncin( )22 5 3 f x x x = + donde2 a = ,5 b = ,3 c = ,determinemoslospuntosde interseccin con el ejeX . Analizando el discriminante, tenemos que: ( ) ( )224 5 4 2 3 25 24 49 b ac = = = + = , es decir0 >lo que nos indica que las races son reales y distintas. Calculando estos valores, tenemos: ( )215 494 5 7 2 12 4 4 4 2b b acxa + + += = = = = ( )225 494 5 7 1232 4 4 4b b acxa = = = = = Por lo tanto, la parbola generada corta al ejeXen los puntos( ) 3, 0 y 1, 02| | |\ . Ejercicios. 1.Dadas las siguientes funciones, analiza el discriminante y determina si su grfico, es decir, la parbola corta o no al ejeX. a. 2( ) 4 4 f x x x = + + b. 2( ) 2 f x x x = c.( )2( ) 2 1 f x x = +d.( )21 f x x x = + +e.( )2122f x x x = f.( )26 16 f x x x = + 2.Dadas las siguientes funciones, determina sus races.a. 2( ) 3 2 gx x x = + b. 23( ) 12gx x x = + + c. 2( ) 2 1 gx x x = d. 2( ) 3 48 gx x = e. 2( ) 3 4 gx x x = + f. 23 7 9( )5 3 4gx x x = + 3.En las siguientes funciones, analiza su discriminante y comprueba tu conclusin calculando el valor de las races. a. 2( ) hx x = b. 2( ) 4 3 hx x = +c. 2( ) 5 hx x x = + d. 2( ) 5 1 hx x = e. 24( ) 3 19hx x x = + f. 21( ) 24hx x = 4.Discute las siguientes situaciones: a.Sienunafuncincuadrtica( )2f x ax bx c = + + eldiscriminanteespositivoyadems 0 c > , qu puedes decir de la concavidad de la parbola que representa? b.Si una funcin cuadrtica( )2f x ax bx c = + +es cncava hacia abajo, pero no intercepta al ejeX , qu signo tendr siempre el coeficientec ? 5.Determinaquvalordebetenerk enlafuncin( )22 f x x x k = + + paraquelaparbola intercepte al ejeXen un solo punto. Solucin: Como se pide que la parbola intercepte al ejeXen un solo punto, entonces se debe tener que0 = . De la funcin tienes que1 a = ,2 b = ,c k = , luego 22 4 1 4 4 k k = = ,esdecir4 4 0 k = ,loqueimplicaque4 4k = ,esdecir1 k = yla funcin es( )22 1 f x x x = + + . 6.Para qu valores dek , la parbola de la funcin( )22 2 f x kx x = + +no corta al ejeX7.Quvalordebetenerk paraquelafuncin( )22( 1) (2 1) f x x k x k = + + + interceptealejeXen dos puntos. Habilidad: Item 1, y 3: Calcular y AnalizarItem 2: Aplicar y CalcularItem 4: Analizar y conjeturar Item 5, 6 y 7: Analizar, aplicar y calcular III. EJE DE SIMETRA La parbola es simtrica respecto del ejeYo de un eje paralelo al ejeY . Por lo tanto existe un eje de simetra, esto significa que este eje divide a la parbola en partes iguales. Debes recordar que: El punto medio entre dos valores, por ejemplo 1xy 2x , se determina realizando el clculo de 1 22x x +. Por lo tanto, podemos calcular el eje de simetra de una parbola ocupando los valores determinados por las races de la funcin. En efecto, 2 21 24 422 22 2 4 2b b ac b b acx x b ba aa a + ++ = = = En conclusin: El eje de simetra es la recta perpendicular al ejeX, 2bxa= Ejemplo Ennuestroejemplo,( )22 5 3 f x x x = + donde2 a = ,5 b = ,3 c = ,determinemoselejede simetra de la parbola. Solucin Laparbolaquerepresentanuestrafuncin,tienecomoejedesimetralarecta 5 52 2 2 4bxa = = = Ejercicios 1.Dadas las siguientes funciones, determina el eje de simetra de sus respectivas parbolas. a. 2( ) hx x =b. 2( ) 2 f x x x = +c. 2( ) 5 2 1 gx x x = + d. 23 1( )4 8hx x x = + e. 2( ) 5 7 f x x x = + f. 24 1( )2 3 2xgx x = + 2.Sienlafuncin( )2f x ax bx c = + + ,setieneque0 b = ,qupuedesdecirdelejede simetra? 3.Analiza los signos deayben la funcin( )2f x ax bx c = + + , y determina la posicin del eje de simetra. Habilidad: Item 1 : CalcularItem 2 y 3: Analizar y conjeturar IV. VRTICE DE UNA PARBOLA Otroelementoquepodemosdeterminardeunafuncincuadrticaeselvrticedelaparbolaque representa. Si observamos, el eje de simetra corta a la parbola en un nico punto, que exactamente correspondealvrticedelaparbolaydondesucoordenadaenelejeX es 2bxa= ,porlotanto para determinar la ordenada del vrtice, reemplazamos en( )2f x ax bx c = + +y obtenemos: 22 2 2 2 2 22222 2 2 4 2 4 2 4 4b b b b b b b b bf a b c a c c ca a a a a a a abca | | | |= + + = + = + = + ||\ . \ .= + En conclusin: ElvrticequesimbolizamosporV ,eselpuntodelaparbola 2,2 4b bV ca a| | + |\ . Ejemplo Ennuestroejemplo,( )22 5 3 f x x x = + donde2 a = ,5 b = ,3 c = ,determinemoselvrticedela parbola. Solucin La parbola que representa nuestra funcin, tiene como vrtice el punto ( )2255 5 25 5 24 25 5 49, , 3 , 3 , ,2 4 2 2 4 2 2 2 8 4 8 4 8b bV c V V V Va a| | | | | | | | | |+ = + = + = =| |||| | \ . \ . \ .\ .\ . Ejercicios 1.Dadas las siguientes funciones, determina el vrtice de sus respectivas parbolas. a. 2( ) 5 6 f x x x = +b. 2( ) 2 gx x x = +c. 2( ) 3 2 hx x x = + d. 21( ) 22f x x x = + + e. 2( ) 8 8 2 gx x x = + +f. 23( ) 12hx x x = +2.En las funciones cuadrticas de la forma( )2f x ax = , es decir,0 b =y0 c = . Determina su vrtice. Habilidad: Item 1 : CalcularItem 2 y 3: Analizar, calcular y conjeturar Qu has visto en esta Unidad? Haspodidodeterminarqueunafuncinrepresentageomtricamenteunaparbola,yquepodemos graficarla identificando elementos que se presentan en ella y que se deducen de los coeficientes de la funcin cuadrticaa ,byc . Por otra parte, con los elementos identificados, si tienes una parbola puedes determinar la funcin que la genera. Los ejemplos siguientes ilustran tus aprendizajes. Graficar una parbola dada su funcin Grafiquemos nuestro ejemplo. De nuestra funcin( )22 5 3 f x x x = + identificamos: 1.Coeficientes: 2 a = ,5 b = ,3 c = 2.Concavidad:Como2 0 a = > , entonces la parbola es cncava hacia arriba 3.Interseccin con los ejes: a.Interseccin con el ejeYen el punto( ) 0, 3 b.Interseccin con el ejeXen los puntos( ) 3, 0 y 1, 02| | |\ . Eje de simetra: El eje de simetra correspondea la recta 54x=4.Vrtice de la Parbola: El vrtice corresponde al punto 5. 5 49,4 8V | | |\ . As,elgrficocorrespondealdenuestrafuncin,dondeseencuentran identificados nuestros elementos calculados.

Dada el grfico de una parbola determinar la funcin Obtengamos la funcin correspondiente a la parbola presentada.

De la parbola, podemos identificar que6 c = Por otra parte, sabemos que 52 2ba= , lo que implica 52 52b a a / = =/ es decir,5 b a = Reemplazando esta igualdad en la coordenadaydel vrtice, obtendrs: ( )225164 4 4abca a + = + = , lo que implica 225 164 4aa = Es decir: 25 1 244 4a = . Despejando, obtenemos1 a =As1 a = ,5 b = y como6 c = , la funcin que genera la parbolaes( )25 6 f x x x = +Revisa tus aprendizajes en esta unidad. 1.Dadaslassiguientesfunciones,grafiquelaparbolacorrespondiente,identificando coeficientes, concavidad, interseccin con los ejes, eje de simetra yvrtice. a. 2( ) 3 6 f x x = +b. 27 5( )2 2gx x x = + c. 22( )9hx x x = + d. 21 5( ) 22 3mx x x = + e. 2( ) 4 4 nx x x = + f. 21( ) 12t x x x = + + 2.Dadaslassiguientesparbolas,determinarconlosdatospresentados,lafuncinquela genera. a.b. c. 3.Determinarelvalordek enlafuncin( )22 8 f x x kx = detalmaneraquelaparbola intercepte en un punto al ejeX .4.Calcularelvalordek enlafuncin( )23 f x x kx = + + paraqueelvrticeseaelpunto ( ) 2, 1 5.Calcula las races de una funcin cuadrtica( )2f x ax bx c = + + , donde0 b =6.Siunafuncincuadrtica( )2f x ax bx c = + + ,laparbolaescncavahaciaarribae interceptaalejeX en 1x y 2x yademselcoeficientec espositivo,quocurreconlos signos de las races de la funcin? y sicfuese negativo? ItemCompletamente Logrado LogradoMedianamente Logrado Por Lograr Item 1Desarrolla correctamente la totalidad de los ejercicios. Determinando la grfica de cada uno de ellos. Desarrolla correctamente el clculo de los elementos estudiados. Sin embargo no grafica correctamente la totalidad de ellos. Desarrolla correctamente ms de tres, pero menos de cinco ejercicios.Desarrolla tres o menos ejercicios en forma correcta. Item 2Determina en forma correcta cada una de las funciones presentando un desarrollo algebraico claro. Determina en forma correcta cada una de las funciones, pero presenta errores en el proceso algebraico para obtenerlas. Determina dos de las tres funciones con errores en el proceso algebraico de. Logra determinar una o ninguna de las funciones. Item 3 y 4Resuelve en forma correcta ambos ejercicios presentando claridad en la aplicacin de los elementos requeridos y prolijidad en el desarrollo. Resuelve en forma correcta ambos ejercicios, pero con dificultad en la aplicacin de conceptos y proceso de resolucin. Resuelve en forma correcta el primer ejercicio. No aplica definicin de vrtice en la solucin del ejercicio N4. Lo que indica un proceso mecnico y no analtico. No resuelve ninguno de los ejercicios. No identifica que elementos ocupar para la resolucin. Item 5 y 6Analiza y aplica en forma correcta los conceptos para poder obtener un resultado general (Pregunta 5)yconjeturar (Pregunta 6). Resuelve ambos ejercicios, pero entrega una conclusin general de sus resultados obtenidos. Resuelve en forma correcta 1 de los ejercicios con dificultad en el proceso de resolucin. No presenta la conclusin general del resultado obtenido. No resuelve ningn ejercicio. No presenta capacidad de generalizar ni de conjeturar. BIBLIOGRAFIA 1.Fundamentos de Matemtica Elemental Vol. 01: Conjuntos y FuncionesGelzon Iezzi & Carlos Murakami, Tercera Edicin, Atual Editora. 1977. 2.Geometra Analtica: Charles Lehmann, Noriega Editores, 1980. 3.Apuntes: La Parbola Jaime C. Bravo Febres 4.Apuntes PSU Pedro de Valdivia. 5.Curvas Maravillosas: Vicente Viana Martnez6.www.sectormatemtica.cl