koordİnat hesaplari
DESCRIPTION
KOORDİNAT HESAPLARI. Küçük Nokta Hesabı Yan Nokta Hesabı Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı) İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı Kutupsal Alım Ölçülerinden Dik Koordinatların Hesabı - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
KOORDİNAT HESAPLARI
Küçük Nokta Hesabı Yan Nokta Hesabı Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı) İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı Kutupsal Alım Ölçülerinden Dik Koordinatların Hesabı Kutupsal Aplikasyon Elemanlarının Hesabı
KÜÇÜK NOKTA HESABIİki poligon noktasını birleştiren doğru üzerindeki noktalara küçük nokta denir. Poligon kenarı üzerinde bulunan küçük noktalar, genellikle ölçü doğrusu oluşturmak amacıyla tesis edilirler. Küçük noktaların koordinatlarının hesabı için, yalnızca bu noktalar arasındaki uzunlukların ölçülmesi yeterlidir.
Bilinenler: Ölçülenler: İstenenler:
A(Y,X) s1 1(Y,X)=?
B(Y,X) s2 2(Y,X)=?
.
.
sb
KÜÇÜK NOKTA HESABI22 )()( ABAB XXYYABS
111
1
111
1
sABXX
XABXX
sX
sABYY
YABYY
sY
ABAB
ABAB
bABXXa
ABYY ABAB
Y1 = a s1 X1 = b s1
Y2 = a s2 X2 = b s2
YB = a sb XB = b sb
Y1 = YA + Y1 = YA + a s1 X1 = XA + X1 = XA + b s1 Y2 = Y1+ Y2 = Y1 + a s2 X2 = X1 + X2 = X1 + b s2
YB = Y2 + YB = Y2 + a sb XB = X2 + XB = X2 + b sb
KÜÇÜK NOKTA HESABI
d = S - [s] Fd = 0.006 [s] + 0.02
ölçülen s1, s2, sB kenarları; S / [s] oranı ile çarpılarak düzeltilmiş kenarlar bulunur ve küçük nokta hesabı, düzeltilen bu kenarlarla yapılır.Kontrol:YB - YA = [a s]XB - XA = [b s]
22 )()( ABAB XXYYABS
s1 + s2 + sB = [s]
KÜÇÜK NOKTA HESABINokta Y X A 1151.46 m 928.29 m B 1107.03 1008.42
İstenenler: 1, 2 ve 3 noktalarının koordinatları.
ÖRNEK :
87456.0623.9113.80
48492.0623.91
43.44 623.9113.8043.44 2222
SXXb
SYYa
mXXYYS
AB
AB
ABAB
d = S - [s] = 91.623 - 91.64 = - 0.017 m = -1.7 cm
Fd = 0.006 [s] + 0.02 = 0.006 91.64 + 0.02 = 0.057 + 0.02 = 0.077 m = 7.7 cm
d < Fd ( 1.7 cm < 7.7 cm ) olduğu için kenarlara düzeltme getirilir.
99981.064.91623.91
sSm
KÜÇÜK NOKTA HESABIa = - 0.48492 b = + 0.87456 m = S / [s] = 0.99981
Nokta
No
Ölçülen Dik
Ayakları
Ölçülen
Kenarlar
s'n
Düzeltilmiş
Kenarlar
sn=m * s'n
Y = a * sn X = b * sn Y X Nokta
No
A 0.00 m 1151.46 928.29 A
13.55 13.55 -6.57 11.85
1 13.55 1144.89 940.14 1
33.23 33.22 -16.11 29.05
2 46.78 1128.78 969.19 2
19.02 19.02 - 9.22 16.64
3 65.80 1119.56 985.83 3
25.84 25.83 -12.53 22.59
B 91.64 [s’]=91.64 [s]=91.62 1107.03 1008.42 B
[∆Y]=-44.43 [∆X]=80.13 -44.43 80.13
YAN NOKTA HESABIİki poligon noktası arasında, fakat bu iki noktayı birleştiren doğru üzerinde bulunmayan noktalara yan nokta denilir. Yan nokta hesabı, özellikle prizmatik olarak ölçülen detay noktalarının koordinatlarının hesaplanmasında kullanılır.
Bilinenler: Ölçülenler: İstenenler:
A(Y,X) Dik ayakları P(Y,X)=? B(Y,X) Dik boyları
YAN NOKTA HESABI
22 )()( ABAB XXYYABS
ADB ve PFC benzer üçgenleri yardımıyla
hABYY
XXABYY
hXX
hABXX
YYABXX
hYY
ABCP
ABCP
ABCP
ABCP
bABXXa
ABYY ABAB
YP -YC = b * hXP -XC = a * h
yazılır. YP = YA + a * s + b * hXP = XA + b * s - a * h
Kontrol:[a * h] = 0 [b * h] = 0[a * sn] = YB –YA [b * sn] = XB -XA
YAN NOKTA HESABIÖRNEK:
Nokta Y X A 500.00 500.00 B 551.62 537.50
803.6350.3762.51 2222 ABAB XXYYS
058775803.6350.37
80905.0803.6362.51
ABXX
b
ABYY
a
AB
AB
d = S - [s] =63.803 - 63.84 = - 0.037 m = - 3.7 cm
Fd = 0.006 S + 0.02 = 0.006 63.84 +0.02 = 0.048 + 0.02 = 0.068 m = 6.8 cm
d < Fd ( 3.7 < 6.8 )
99942.084.63803.63
sSm
YAN NOKTA HESABIa = + 0.80905 b = + 0.58775 m = S / [s] = 0.99942
Nokta
No
Ölçülen UzunluklarKenarlar
s'n
Düzeltilmiş
Kenarlar
sn=m * s'n
h a * sn
b * h
b * sn
-a * h
Y=a *sn+b*h
Y
X=b*sn-a *h
XNokta
NoDik
Ayakları
Dik Boyları
(h)
A 0.00 m 500.00 500.00 A
12.47 12.46 -11.60 10.081 7.323 3.263 16.708
1 12.47 -11.60 m -6.818 9.385 503.26 516.71 1
12.67 12.66 29.18 10.243 7.441 27.394 -16.167
2 25.14 17.58 17.151 -23.608 530.66 500.54 2
7.04 7.04 -3.23 5.696 4.138 3.798 6.751
3 32.18 14.35 -1.898 2.613 534.45 507.29 3
13.58 13.57 -23.92 10.979 7.976 -3.080 27.328
4 45.76 - 9.57 -14.059 19.352 531.37 534.62 4
18.08 18.07 9.57 14.620 10.621 20.245 2.878
B 63.84 [s’]=63.84 [s]=63.80 5.625 -7.743 551.62 537.50 B [a * sn]=51.619 [b * sn]=37.499 YB -YA=51.62 XB –XA=37.50 [b * h]=0.002 [-a * h]= -0.001
Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
Bilinenler : A, B ve P noktalarının koordinatları.
İstenenler : s dik ayağı =? h dik boyu = ?
Burada amaç, koordinatlarıyla bilinen noktaların, belirli bir doğruya göre dik ayak ve dik boylarının hesaplanmasıdır. Genellikle, koordinatlarıyla bilinen noktaların dik koordinat yöntemine göre aplikasyonunda kullanılır.
αΔXsin DEΔXDEsinα üçgeninde PED
α ΔYcosEFΔYEFcosα üçgeninde AFE
cosα ΔXFCPDΔXPDcosα üçgeninde PED
αsin ΔYAFY
AF sinα üçgeninde AFE
s = AC = AF + FC s = Y sin + X cos h = EF – ED h = Y cos - X sin
Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
ABX-X
α cos b
αsin a
AB
ABYY AB
s = a Y + b Xh = b Y - a X
s = AC = AF + FC s = Y sin + X cos h = EF – ED h = Y cos - X sin
Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
ÖRNEK :
Nokta Y XP1 518.43 m 920.15 mP2 592.34 968.711 547.83 912.562 540.96 957.643 552.35 974.884 587.63 948.10
P1P2 ölçü doğrusuna göre 1,2,3 ve 4 noktalarının dik ayak ve dik boylarını hesaplayınız.
.99396248.5673.91atn
920.15968.71518.43592.34atn
ΔXΔYatn
XXYY
atn)P(P g
P1P2
P1P221
88.43548.5673.91ΔXΔYXXYYPP 22222P1P2
2P1P221
0.54910488.43548.56
PPXX
b
0.83575588.43573.91
PPYY
a
21
P1P2
21
1P2P
Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
a = 0.835755 b = 0.549104
Nokta sn = a Yn+b Xn hn = b Yn-a Xn Nokta
No Y X Yn=Yn-Yn-1 X =Xn-Xn-1 sn = sn-1 + sn hn = hn-1 + hn No
P1 518.43 920.15 0.00 0.00 P1
29.40 -7.59 20.40 22.49
1 547.83 912.56 20.40 22.49 1
-6.87 45.08 19.01 -41.45
2 540.96 957.64 39.41 -18.96 2
11.39 17.24 19.99 -8.15
3 552.35 974.88 58.40 -27.11 3
35.28 -26.78 14.78 41.75
4 587.63 948.10 73.18 14.64 4
4.71 20.61 15.25 -14.64
P2 592.34 968.71 [Y] = 73.91 [X] = 48.56 88.43 0.00 P2
YP2-YP1=73.91 XP2-XP1=48.56
Dik Koordinatlardan Dik Ayağı ve Dik Boyu Hesabı (Ters Koordinat Hesabı)
KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
Bilinenler : A, B, C noktalarının koordinatları.Ölçülenler : AB, AC, s1, s2, s3, ...,sn uzunlukları.
rB, rC, r1, r2, r3, ...., rn doğrultuları.İstenenler : 1, 2, 3, ..., n noktalarının dik koordinatları.
KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
AC
AC
AB
AB
X-XY-Y
atn(AC)
X-XY-Y
atn(AB)
(AC) = (AB) + rC - rB = (AB) -rB + rC
(AB) - rB = 0 (0, aletin sıfır doğrultusunun açıklık açısı olmaktadır.)
(AC) = 0 + rC
(AC) açıklığının koordinatlardan hesaplanan değeri ile karşılaştırılır. Bu iki değer arasındaki fark kabul edilebilir bir değer ise, yani ölçümlerde bir hata olmadığı anlaşıldıktan sonra, A noktasından 1, 2, 3, ..., n noktalarına olan açıklık açıları,
KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
1 = (A1)= (AB)+r1-rB = (AB) - rB + r1 = 0 + r1
2 = (A2)= (AB)+r2-rB = (AB) - rB + r2 = 0 + r2
.
.n =(An) = (AB)+rn-rB = (AB)- rB + rn = 0 + rn
Y1 = YA + s1 * sin1 X1 = XA + s1 * cos1
Y2 = YA + s2 * sin2 X2 = XA + s2 * cos2
. . . .Yn = YA + sn * sinn Xn = XA + sn * cosn
hesaplandıktan sonra, birinci temel ödevden 1, 2, 3, ..., n noktalarının koordinatları,
hesaplanır.
KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
P1 noktasında durularak, P2, P3 poligonlarına ve 1, 2, ...,9 detay noktalarına bakılarak doğrultu açıları ve uzunluklar ölçülmek suretiyle kutupsal alım yapılmıştır. Bakılan 1, 2,..., 9 detay noktalarının koordinatları bulunacaktır.
ÖRNEK:
Nokta Y X P1 1000.00 m 1000.00 m P2 985.64 1063.75 P3 1055.95 1061.55
.544236718.3510385.8952r)P(Pβ
9682.4655.6195.55
100055.1061100095.1055)PP(
8952.38575.6336.14
1000-1063.751000-985.64)P(P
g2P210
31
21
g
g
atnatn
atnatn
KUTUPSAL ALIM ÖLÇÜLERİNDEN DİK KOORDİNATLARIN HESABI
Durulan Bakılan Yatay Y. Doğrultu Açıklık Açısı Bakılan
Nokta Nokta Uzunluk rn n = 0 + rn Y X Y X NoktaP1 P2 (985.64 1063.75) P2
65.35 m 18g.3510 385g.8952 -14.96 63.75 985.64 1063.75
P3 ( 46.9627 ) (1055.95 1061.56) P3
83.18 79.4185 46.9682 55.95 61.56 1055.95 1061.55
1 41.16 307.8160 275.3602 -38.12 -15.54 961.88 984.46 1
2 47.39 333.4810 301.0252 -47.38 0.76 952.62 1000.76 2
3 31.13 368.4170 335.9612 -26.29 16.66 973.71 1016.66 3
4 28.64 2.1530 369.6972 -13.12 25.46 986.88 1025.46 4
5 48.73 38.6145 6.1587 4.71 48.50 1004.71 1048.50 5
6 41.20 43.7460 11.2902 7.27 40.55 1007.27 1040.55 6
7 42.75 50.1825 17.7267 11.75 41.10 1011.75 1041.10 7
8 35.63 59.9640 27.5082 14.92 32.36 1014.92 1032.36 8
9 49.81 68.3320 35.8762 26.61 42.11 1026.61 1042.11 9
0 =367g.5442
Not : Parantez içinde italik olarak yazılan değerler, ölçülerden hesaplanmış olup kontrol amacıyla gösterilmiştir. Bilinen koordinatlar ve bilinen koordinatlardan hesaplanmış değerler, kırmızı olarak yazılmıştır.
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI
Bilinenler : A, B, C, 1, 2, 3,..., n noktalarının koordinatlarıİstenenler : s1, s2, ..., sn uzunlukları
1, 2, ..., n doğrultuları
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI(AB), (AC), 1, 2, ..., n açıklık açıları ile AB, AC, s1, s2, ..., sn uzunlukları hesaplanır.
2An
2Ann
An
Ann
2A2
2A22
A2
A22
2A1
2A11
A1
A11
2AB
2AC
AC
AC
2AB
2AB0
AB
AB
XXY-YAns X-XYYatn(An)α
.
XXY-YA2s X-XYYatn(A2)α
XXY-YA1s X-XYYatn(A1)α
XXY-YAC XXYYatn(AC)
XXY-YAB XXYYatn(AB)
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI1 = 1 - (AB) = 1 - 0
2 = 2 - 0
.
.n = n - 0
Alet A noktasına kurularak, B noktasına sıfırla bakılırsa, diğer noktalara i doğrultu açısıyla bakılarak bu doğrultu üzerinde si uzunluğu kadar işaretlenerek istenen noktaların yerleri belirlenmiş olur.
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIÖRNEK :
Koordinatlarıyla verilen 1, 2, ..., 9 noktalarının, bölgede bulunan P2, ve P3 poligonları yardımıyla P1 noktasından kutupsal olarak aplikasyonu yapılacaktır. Gerekli olan açıları ve uzunlukları hesaplayınız.Nokta Y X Nokta Y X
P1 1000.00 m 1000.00 m 4 986.88 1025.46
P2 985.64 1063.75 5 1004.71 1048.50
P3 1055.95 1061.55 6 1007.27 1040.55
1 961.88 984.46 7 1011.75 1041.10
2 952.62 1000.76 8 1014.92 1032.36
3 973.71 1016.66 9 1026.61 1042.11
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIİkinci temel ödevden üzerine alet kurulacak P1 noktasından diğer noktalara olan, açıklık açıları ve uzunluklar hesaplanır. P1P2 doğrultusu sıfır alınarak P1 noktasından, P3 noktası ile diğer 1, 2, ..., 9 noktalarına olan doğrultu açıları i ler hesaplanır. Hesaplanan açıklık açılarını, i doğrultu açılarını ve uzunlukları ve bir çizelge üzerinde gösterelim.
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIDurulan Nokta ( P1 ) Y=1000.00 X=1000.00 0=(P1P2)= 385g.8952
DN BN Bakılan Nokta Koord.
Y XY=Yi-Y1
(m)
X=X i-X1
(m)
Açıklıklar
i = ( P1 i )
Doğrultular
βi =i - 0
Kenar
S
BN
P1 P2 985.64 1063.75 -14.36 63.75 385g.8952 0g.0000 65.35 m P2
P3 1055.95 1061.55 55.95 61.55 46.9682 61.0730 83.18 P3
1 961.88 984.46 -38.12 -15.54 275.3569 289.4617 41.17 1
2 952.62 1000.76 -47.38 0.76 301.0211 315.1259 47.39 23 973.71 1016.66 -26.29 16.66 335.9583 350.0631 31.12 34 986.88 1025.46 -13.12 25.46 369.7079 383.8127 28.64 45 1004.71 1048.50 4.71 48.50 6.1631 20.2679 48.73 56 1007.27 1040.55 7.27 40.55 11.2936 25.3984 41.20 67 1011.75 1041.10 11.75 41.10 17.7273 31.8321 42.75 78 1014.92 1032.36 14.92 32.36 27.5030 41.6078 35.63 89 1026.61 1042.11 26.61 42.11 35.8772 49.9820 49.81 9
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABI1, 2, ..., 9 noktalarının aplikasyonu için alet, P1 noktasına kurulur ve P2 noktasına yöneltilerek doğrultu açısı sıfıra ayarlanır. Alet döndürülerek P3 açısı kadar döndürülerek, bu doğrultu üzerinde P1P2 uzunluğu kadar işaretlenir. İşaretlenen bu noktanın bilinen P3 noktası ile aynı olması gerekir. Bilinen bu noktanın aplikasyonu işlem kontrolü için yapılmıştır. Eğer, bilinen P3 noktasının üzerine birkaç cm hata ile yaklaşılamıyorsa, işlem hatalıdır. Diğer noktalar işaretlenmeden önce, hatanın bulunması ve düzeltilmesi gerekir. Burada hata, hesaplamada olabileceği gibi, hesaplama doğru fakat alet kurulan nokta ya da başlangıç doğrultusunun sıfırlandığı nokta yerine başka bir nokta kullanılmış olabilir. P3 noktası üzerine birkaç cm ile yaklaşılmışsa, diğer noktaların işaretlenmesine devam edilir. 1, 2, ..., 9 noktalarının arazide işaretlenmesi için alet, hesaplanan i doğrultusuna yöneltilir ve bu doğrultu üzerinde si uzunluğu kadar alınarak noktalar işaretlenir.
KUTUPSAL APLİKASYON ELEMANLARININ HESABIi açıları hesaplanmadan doğrudan i açıklık açılarına göre de aplikasyon yapılabilir. Bunun için alet, P1 noktasına kurulur ve P2 noktasına yöneltilerek doğrultu açısı 0 ra ayarlanır. Diğer noktaların aplikasyonu için alet, hesaplanan i açıklık açısı kadar döndürülür ve bu doğrultu üzerinde si kadar işaretlenerek diğer noktaların aplikasyonu yapılır. Yine burada da P3 noktasına bakılarak kontrol işleminin öncelikle yapılması gerekir.
İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
Bir doğrunun genel denklemi: Y = m X + nm : doğrunun eğimi,n : doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
AB doğrusunun denklemi Y = m1 X + n1 (1)CD doğrusunun denklemi Y = m2 X + n2 (2)
AB ve CD doğrularının kesim noktasının koordinatları, (1) ve (2) nolu eşitlikleri sağlayacağı için,
Yk = m1 Xk + n1 = m2 Xk + n2 (3)yazılabilir.
İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının HesabıYk = m1 Xk + n1 = m2 Xk + n2 (3)
m1 Xk+n1 = m2 Xk+n2 Xk (m1-m2) = n2-n1 Xk = (n2-n1) / (m1-m2) (4)
Xk bulunduktan sonra bu değer, (3) eşitliğinde yerine konularak Yk kontrollü olarak elde edilir. Uygulamada genellikle m ve n değerleri değil de, doğruların uç noktalarının koordinatları verilir. Böyle durumlarda, öncelikle m ve n sabitlerinin hesaplanması gerekir.
CD
CD
AB
AB
XXYY
CDm
XXYY
ABm
)tan(
)tan(
2
1n1 ve n2 değerleri ise,
YA = m1 XA + n1 n1 = YA - m1 XA
YC = m2 XC + n2 n2 = YC - m2 XC
m1, m2, n1 ve n2 değerleri hesaplandıktan sonra, AB ve CD doğrularının kesim noktalarının
koordinatları için, önce (4) eşitliğinden Xk sonra da (3) eşitliğinden Yk hesaplanır.
İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
ÖRNEK : Nokta Y X A 619.81 512.95 B 650.15 548.34 C 613.34 540.13 D 643.75 517.20
İstenen : AB ve CD doğrularının K kesim noktasının koordinatları
326210.193.22
41.3013.54020.51734.61375.643)tan(
857304.039.3534.30
95.51234.54881.61915.650)tan(
2
1
CD
CD
AB
AB
XXYY
CDm
XXYY
ABm
YA = m1 XA + n1 n1 = YA - m1 XA = 619.81 -0.857304 * 512.95
= 619.81 - 439.754 =180.056YC = m2 XC + n2 n2 = YC - m2 XC = 613.34 - (-1.326210) * 540.13
= 613.34 + 716.326 =1329.666
İki Doğrunun Kesim Noktasının Koordinatlarının Hesabı
495.526183514.2
61.1149)326210.1(857304.0
056.180666.1329
21
12
mmnn
X K
YK = m1* XK+ n1 = 0.857304*526.495+180.056=451.366+180.056= 631.422 m
Kontrol :
XK = 526.50 mYK = 631.42 m
YK = m2 *XK + n2 = -1.326210 * 526.495 + 1329.666 = -698.243 + 1329. 666 = 631.423 m