konstrukterski prirucnik 1

IZONSTRUKTERSIZI PRIRUNIK

IZABRANA POGLAVLJA

Pod redakcijom Dr tehn. nauka prof. A. A. UMANSKOG

Preveo Ing. MILUTIN J. MAKSIMOVI

GRAEVINSKA KNJIGA Beograd, 1980.

17.1.

17.2.

17.3.

OSNOVNA POGLAVLJA

DEO 17.

STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA S. D. Lejtes

Osnove teorije stabilnosti linijskih sistema sa pritisnutim elementima .... ...... ... . 17.1.1. Pojmovi stabilnosti i nestabilnosti

Stabilnost ravnotee deformabilnih sis-tema ............ .. ..... . ....... .

17.1.2. Konzervativni i nekonverzativni sis-temi. Metode izuavanja stabilnosti ravnotee

17.1.3. Gubitak stabilnosti pri razgranavanju ravnotenih oblika (formi) ...... . .. .

17.1.4. Gubitak stabilnosti pri dostignuu gra-ninog optereenja . ... . .......... .

17 .1.5. Stabilnost linearno-elastinog sistema sa konanim brojem stepeni slobode ..

17.1.6. Sopstvene vrednosti i sopstvene funk-cije ...... ... ........... .. . ...... .

17 .l. 7. Energetski kriterijum kvaliteta ravno-tee ....................... . . . ... .

17 .1.8. Potencijalna energija centrino pritis-nu tog, linearno-elastinog tapa ..... .

17.1.9. Ajlerov zadatak .................. .. 17 .1.1 O. Ravnotea stanja linearno-elastinog

tapa, pod kombinovanim dejstvom pri-tiska i savijanja .... ... ....... ... .

17.1.11. O analizi velikih pomeranja pritisnutih i pritisnuta-savijenih tapova .. ...... . .

17.1.12. Stabilnost " u velikom" i pojava preskoka 17 .1.13. Idealni i neidealni sistemi. Poetne ne-

savrenosti realnih tapova ......... . 17. 1.14. !:)!obodna duina i vitkost tapa . ... . . Linearno-elastini pritisnuti i pritisnuto--savijeni tapovi nepromenljivog preseka .. 17 .2.1. 17.2.2.

17.2.3.

17.2.4. 17.2.5. 17.2.6.

17.2.7. 17.2.8.

Linearno elastini materijal. Oznake .. Jednaina elastine linije tapa u obliku metoda poetnih parametara ....... .

Kritine sile centrino pritisnutih ta-pova sa razliitim uslovima oslanjanja njihovih tapova .... . ............ .

Ekscentrino pritisnuti tapovi .. .. . . Pritisnuta-savijeni tapovi ....... .. . Princip nezavisnosti delovanja sile. Princip uzajamnosti pomeranja .... . . Zategnuto-savijeni tapovi ......... . Vel!ka pomeranja ekscentrino pritisnu-nunh stapova . ......... ..... ...... .

Linearno-elastini reetkasti (tapni) sis-temi. Metodi proraunavanja ........... . 17.3.1. Osnovne postavke prorauna prema de-

formisanoj shemi ................. . 17.3.2. Metod sila . .... .. ......... ... .... . 17.3.3. M etod pomeranja ....... ... ....... . 17.3.4. Proraun kontinualnih greda ....... .

SADRAJ

17.4. Linearno-elastini linijski sistemi, iznalae-

3

3

3

4

5

6

6

7

8 8

9

9 10

10 11

12 12

12

13 17 18

18 22

22

24

24 24 28 30

17.5.

17.6.

17.7.

nje kritinih optereenja ...... .. ....... . 17.4.1.

17.4.2.

17.4.3.

17.4.4.

17.4.5.

17.4.6.

17.4.7.

17.4.8. 17.4.9. 17.4.10.

Postavljanje zadataka o stabilnosti elas-tinog linijskog sistema ......... .. . Analiza kritinih stanja po metodu sila i po metodu pomeranja ..... .. .... . Primeri istraivanja stabilnosti po me-todu sila i po metodu pomeranja ..... . Kvalitativna analiza stabilnosti linearno--elastinih linijskih sistema .. .... . .. .

Sta_bi}no~t tapova, obostrano elastino uk!Jesternh ....................... . Stabilnost kontinualnih greda na elas-tino pomerljivim osloncima .. . .. . . . Stabilnost kontinualnih greda na elas-tino obrtnim osloncima ... ....... . . Stabilnost okvirnih sistema .... .. ... . Stabilnost tapa u elastinoj sredini . .. . Priruniki podaci za iznalaenje slo-bodnih duina (duina izvijanja) .... Linearno-elastini pritisnuti tapovi slo-enog preseka. tapovi sa promenljivom

krutou po duini i promenljivom pritis-kujuom silom po duini tapa .. ... . ... . 17.5.1. 17.5.2. 17.5.3.

17.5.4.

17.5.5.

Pritisnuti tapovi sloenog preseka ... . Pritisnuti stepenasti tapovi ......... . Pritisnuti i pritisnuta-savijeni tapovi sa neprekidno (po duini) promen!j1vom

krutou .... .............. ...... . . Pnnsnut1 ta povi ija se krutost menja po eksponencijalnom zakonu ......... . Pnnsnuti tapovi sa promenljivom kru-

tou po duini, kao i sa promenljivom pritiskujuom silom ............... . Linearno-elastini tapovi, pritisnuti sle-dujuim silama ......................... . 17.6.1. Stap, pritisnut sledujuom silom opteg

tipa .... .. ... .................... . 17.6.2. Dinamiki kriterijum stabilnosti ravno-

tee. Tri vrste kretanja tapa .. ....... .. .

17 .6.3. Harmonijska vibriranje tapa, pritisnu-tog sledujuom silom . ...... ...... .

17.6.4. Kritina stanja tapa, pritisnutog sledu-juem silom .. .. ................. .

17 .6.5. Oblasti stabilnosti i nestabilnosti bez-teinskog tapa, koji nosi koncentrisanu masu i pritisnut je sledujuom silom ..

17.6.6. Oblasti stabilnosti i nestabilnosti tapa odreene teine, pritisnutog sledujuom silom ................ ... ........ .

Nelinearno elastini pritisnuti i pritisnuto--savijeni tapovi. ........................ . 11.1.1. Nelinearno-elastini materijal ....... . 17.7 .2. Stabilnost, centrino pritisnutih tapova 11. 7.3. Savijanje i stabilnost pritisnutih i pritis-

nuta-savijenih tapova ............. .

31

33

35

37

38

39

40 40 41

42

42 42 43

43

46

47

47

47

48

49

50

51

52

53 53 53

54

VIII

17.7.4. Analitiko istraivanje ravnotenih i kritinih stanja ekscentrino pritisnutog tapa sa dvodelnim presekom

17.7.5. Numeriko istraivanje ravnotenih i kritinih stanja pritisnuta-savijenih ta-pova . .. . ......................... .

17.7.6. Priblino odreivanje kritine sile ekscentrino pritisnutog tapa

17.7.7. Kvalitativni kriterijum stabilnosti priti-snuta savijenih nelinearno elastinih tapova .. .. ... . . ...... ... ....... .

17.8. Elasto-plastini pritisnuti tapovi, i tapovi

17.9.

pod pritiskom i savijanjem .. . . .... .. .. . . 17.8.1.

17.8.2. 17.8.3 .

17.8.4.

17.8.5.

17.8.6.

Elasto-plastini pritisnuti i pritisnuta--savijeni tapovi ............. . ... . Stabilnost centrino pritisnutih tapova Savijanje i stabilnost pritisnuta-savijenih tapova ..... . . . .. .... ....... . ... . Pritisnuta-savijeni tapovi od idealnog

elasto-plastinog materijala .. ....... . Priblino izuavanje stabilnosti ekscen-

tr~no pritisnutog tapa pravougaonog preseka ' od idealnog elasto-plastinog materijala . ... . . .. .. .. ...... ..... . Uticaj oblika poprenog preseka na sta-bilnost ekscentrino pri tis n 'utih tapova, nainjenih od idealnog elasto-plastinog materijala ..... : .... .... . . ....... .

Dimenzionisanje preseka pritisnutih i pri-tisnuto-savijenih preseka .. . . . .......... . 17.9.1. Osnovne postavke za dimenzionisanje

preseka pritisnutih i pritisnuta-savije-nih tapova ..................... .

17 .9.2. Proraun centrino pritisnutih tapova prema normativnoj metodici ....... .

17.9.3. Proraun pritisnuto.savijenih tapova po defcirmisanoj shemi ............ . .. .

17.9.4.. Proraun pritusnuto-savijenih elinih tapova prema propisanim metodama (normativima) ....... . .... ... .... .

17 .9.5. Proraun pritisnuta-savijenih elinih tapova prema' kritinom naponu . . ... .

17.9.6. Poreenje rezultata prorauna ekscen-trino pritisnutog tapa po tri razliita metoda ...................... . .. .

17.10. Linearno-elastini tankozidni pritisnuti i pritisnuto-savijeni tapovi . . ....... .. .... . 17 .l 0.1. Diferencijelne jednaine ravnotee tan-

kozidnih tapova .......... . ...... . 17. 10.2. Savijanje i uvrtanje (torzija) tankozidnih

pritisnuto-savij'enih tapova . . ...... :. 17.10.3. Proraun tankozidnih p ritisnuta-savije-

jenih tapova prema deformisanoj shemi 17.10.4. Savijanje, uvrtanje (torzija) i stabilnost

tankozidnih ekscentrino pritisnutih tapova .......... . . ...... : . : . ... .

17. 10.5. Stabilnost centrino pritisnutih tanko-zidnih tapova. . . ................. .

17.11. Nelinearno elastini linijski sistemi (A. V. Gerner/ing) ...... . ......... .. .... .. ...... . . 17.11.1; Postavljanje zadataka po stabilnosti neli-

nearno~elastinih linijskih sistema . .. . 17.11.2. Osnovne analitike zavisnosti ...... . . 17.11.3. Algoritam "Presek" . . ............. . 17.11 .4. Algoritam "tap" ..... .. ........ . 17.11.5. Algoritam "Okvir" .... . . ... . ..... . 17.11.6. Granino stanje sistema .... . ..... . .

17.12. Stabilnost linearno-elastinih prstenova i lukova (A . . B . Morgajerski) . ... .. ......... . 17 .12.1. Postavljanje zadatka. Ponaanje optere-

enja ........ ... ... ..... . ...... . . 17.12.2. Stabilnost krunih prstenova . .... .. . 17.12.3. Stabilnost krunih lukova u njihovoj

ravni ...... .. ........... ... .' .... . 17.1.2.4. Stabilnost parabolinih lukova u njiho-

voj ravni .. .. ......... .. .. . ....... .

SADR:2:AJ

54

55

56

57

58

58 59

61

61

63

64

65

65

65

65

67

68

69

70

70

71

71

72

72

73

73 73 74 74 75 75

76

76 76

76

77

17.12.5. Stabilnost plitkih dvozglobnih lukova u njihovoj ravni .......... . . ....... .

17.12.6. Stabilnost pojedinanih lukova van nji-hove ravni ..... ... . . ... . ......... .

78

78 17.13. Lokalna stabilnost profila upljih pritis-

nutih tapova (A. G. Imerman) ......... . 79 17.14. Sta bilnost pri savijanju greda u ravnom

obliku ( G. M. Cuvikin) .............. ... .

18.1. 18.2.

18.3.

18.4.

17.14.1. Stabilnost greda dvojno "T" ....... . 17.14.2. Stabilnost elinih nosaa dvojno "T"

Bibliografija DEO 18.

STABILNOST PLOCA I LjUSKI. PRORACUN V ITKIH PLOCA

( V. L. Agamirov , A . S . Voljmir) Definicije i osnovne oznake ............. . Stabilnost ploa u granicama elastinosti .. 18.2.1. Pravougaone ploe ... .... ...... .. . 18.2.2. Pravougaone i kvadratne ploe, ojaane

rebrima ...... .. ...... .. . . . ...... . 18.2.3. Mo nosivosti pravougaonih ploa, oja-

anih rebrima, posle gubljenja stabilnosti pod pritiskom, smicanjem i istim savi-janjem. Redukcioni koeficijenti .. . .. .

18.2.4. Nepravougaone ploe ............. . Stabilnost nezatvorenih ljuski (panela) u granicamu elastinosti ................. . 18.3.1. Cilindrini paneli . . ..... .. ... . ... . . 18.3.2. Kupasti paneli ....... ....... . ..... . 18.3.3. Sferini paneli ........... ... ..... . Stabilnost zatvorenih ljuski u granicama elastinosti . . . ....................... . ... . 18.4.1. Cilindrine krune ljuske ... . .... . . 18.4.2. Cilindrine eliptine ljuske ....... . 18.4.3. Zaseene krune konine ljuske ..... . 18.4.4. Zaseene. konine krune ljuske ojaane 18.4.5. 18.4.6. 18.4.7 .

ukrue njima ............. , ....... . Zaseene konine eliptine ljuske ... . Sferine ljuske ................... . Elipsoidne ljuske ... ..... .. ..... . . .

84 84 88

95 96 96

99

102 103

104 104 106 106

106 106 110 110

Ill Ii2 112 112

18.5. Stabilnost ploa i ljuski van granica elas-tinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 18.5.1. Opti pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 18.5.2. Pravougaone ploe ..... : .... . . . . . . . . 114 18.5.3. Cilindrine ljuske . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

18.6. Vitke ploe i . membrane . . . . . . . . . . . . . . . . 116 18.6.1. Vitke p!oe : . ...... . ; . . . . . . . . . . . . . . 116 18.6.2. Membrane .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 DEO 19.

PRORA(UN KONSTRUKCIJA KOJE SARAUJU SA TLOM. M. S. B erntajn, G. K. K lein, A . P. Sinjicin 19~1. Statika rastresite sredine (M. S . Berntajn) . . 125

19.1.1. Pousak na ograujue konstrukci je skla-dita rastresitih materijala . . . . . . . . . . 125

19.1.2. Granina ravnotea rastresite sredine. Stroga i priblina reenja radnog za-datka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

19.1.3. Pritisak rastresitog tela na masivni pot-porni zid. K1,1lonova teorija. Strogo re-enje za posebrti sluaj . . . . . . . . . . . . . . 128

19.1.4. Grafiko iznalaenje aktivnog potiska. Rebhanova konstrukcija. Ponseleova konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

19.1.5. Grafiki postupak odreivanja veliine pasivnog potiska. Rebhanova konstruk-cija. Ponseleova konstrukcija . . . . . . . . . . . . 133

19.1.6. ~oti~ak rastresitog tela u bunkerima i s!los1ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

SADRZAJ IX

19.2. Proraun podzemnih graevina (G. K. Klein) ................................... . 19.2.1. Fizi :ko-mehanika svojstva i karakte-

ristike tla ....................... . 19.2.2. Pritisak tla na podzemne graevine ... . 19.2.3. Proraun krutih podzemnih graevina

krunog poprenog preseka ....... . 19.2.4. Proraun podzemnih graevina sa ura-

unatim otporom tla ............. . 19.2.5. Proraun g:~evina s obzirom na plasti-

nost matenJala .. ........ ... . .... . . 19.2.6. Proraun graevine iji presek nije kru-

an .... ... ................ . ..... . 19.3. Grede i ploe na elastinom poluprostoru

135

}35 138

144

150

154

156

(A. P. Sinjicin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 19.3.1. Izbor proraunske sheme . . . . . . . . . . 157 19.3.2. Beskrajno kruta greda . . . . . . . . . . . . . . 158 19.3.3. Temeljna greda, kratka i vitka . . . . . . . . 159 19.3.4. Greda van elastinog podruja . . . . . . . . 161 19.3.5. Proraun ploa p reko granice elasti-

nosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

DEO 21.

PRORACUN KONSTRUKCIJA, LIN IJSKIH, PLOCAS-TIH I LJUSKASTIH PRE MA GRANICNIM S TANJI-

MA, UZ URACUNATO TECENJE A. M. Procenko

21.1. C!~novne p'?stavke ,0;. pro.raunu konstruk-CIJa u stanJU plastlcnostl . . . . . . . . . . . . . . . . 173 21.1.1. Ponaanje konstrukcije u plastinom

stadijumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 21.1.2. Osnovne postavke teorije granine rav-

notee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2 !.1.3. Osnovna ogranienja teorije . . . . . . . . . . 175 21.1.4. Vrste optereenja i klasifikacija zadataka 175

21.2. Mo nosivosti preseka ... ...... ........ . 21.2.1. isto savijanje preseka u ravni simetrije 176 21.2.2. Koso savijanje tapa . . . . . . . . . . . . . . . . 179 21.2.3. Ekscentrino zatezanje (pritisak) u ravni

simetrije nosaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 21.2.4. U ticaj transferzalne sile pri savijanju . . 180 21.2.5. Granina stanja preseka pri torziji . . . . 181 21.2.6. Uslovi plastinosti za ploe, izloene

savijanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 21.2. 7. Mo nosivosti ploe, izloene istovre-

menom dejstvu savijanja i pljoteg na-ponskog stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

21.2.8. Asocirani zakon plastinog teenj a kod konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

21.3. Proraun ravnih linijskih sistema . . . . . . . . 184 21.3.1. Plastini zglobovi u linijskim sistemima 184 21.3.2. Proraun statiki odreenih linijskih

sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 21.3.3. Proraun kontinualnih nosaa . . . . . . . . 184 21.3.4. Proraun statiki neodreenih okvira . . 187

21.4. Granina ravnotea ploa . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2!.4.1. Opte postavke prorauna . . . . . . . . . . 190 21.4.2. Kinematiki nain odreivanja moi

nosivosti ploa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 21.4.3. Statiki nain iznalaenja moi nosivosti

ploe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 21.4.4. Neka posebna reenja kod ploa, optere-

enih koncentrisanom silom pri zglob-nom oslanjanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

21.4.5. Ploe, optereene ravnomerno raspade-ljenim optereenjem . . . . . . . . . . . . . . 193

21.4.6. Granina ravnotea ploa, ukljetenih po obimu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

21.4.7. Ploa sa otvorom, pod ravnomerno po-deljenim optereenjem . . . . . . . . . . . . 196

21.5. Granina ravnotea ljuski . . . . . . . . . . . . . . . . 198 21.5.1. Opte postavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 21.5.2. Proraun osno simetrinih (rotacionih)

ljuski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

21.5.3. Neki tipovi rotocionih ljuski . . . . . . . . 200 21.5.4. Plitke ljuske sa otvorom . . . . . . . . . . . . 201

21.6. Metodi reavanja zadataka teenja . . . . . . . . 202 21.6.1. Jednaine stanja za zadatke teenja . . . . 202 21.6.2. Metodi reavanja zadataka linearnog

teenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 21.6.3. Metodi reavanja zadataka nelinearnog

ustaljenog teenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 21.6.4. Proraun linij~ki~ sistema u uslovima

nelmearnog tecenJa . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

POMONA POGLAVLJA DEO 3.

NAPON!, DEFORMA CIJE I OTPORNOST MATERI-J ALA ( J. J. Trapezin)

3.1. Naponi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3.1.1. Osnovm pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3.1.2. Jedno - osno naponsko stanje 211 3.1.3. Ravno naponsko stanje . . . . . . . . . . . . 212 3.1.4. Prostorno naponsko stanje . . . . . . . . . . 213 3.1.5. Transformisanje komponenata napona

na nove koordinatne ose....... . .... 214 3.1.6. Intenzitet napona u datoj taki . . . . . . 215 3.1.7. Morovi krugovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.2. Deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.2.1. Komponente deformacija .. .... . ..... 216 3.2.2. Iznalaenje deformacija veliina glavnih

izduen ja prema izduenjima u tri p rav-ca u sluaju ravnih deformacija . . . . . . 217

3.2.3. Intenzitet deformacija ..... , . . . . . . . . 218 3.3. Zavisnost izmedu napona i deformacija u

granicama elastinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.3.1. Hukov zakon za izotropno telo . . . . . . 218 3.3.2. Hukov zakon za anizotropno telo . . . . 220 3.3.3. Ravan simetrije u odnosu na elastina

svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.3.4. Ortotropno elastino telo . . . . . . . . . . 220 3.3.5. PotenciJalna energija elastinog tela . . . . 220

3.4. Veza. izmedu. !'apo~a i deformacija izvan graruca elastlcnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.4.1. Uslovi pla~tiuos.i . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.4.2. Naponi i deformacije pri prostom opte-

reenju i pri rastereivanju . . . . . . . . . . 221 3.4.3. Dijagrami razvlaenja . . . . . . . . . . . . . . 221 3.4.4. Shematizacija dijagrama razvlaenja . . 222 3.4.5. Konstruisanje krive zavisnosti 223

3.5. Otpornost materijala .................. . . 3.5.1. Elastinost, plastinost i slom . . . . . . . . 223 3.5.2. Uticaj p rirode naponskog stanja . . . . . . 224 3.5.3. Uticaj temperature . . . . . . . . . . . . . . . . 227 3.5.4. Uticaj trajnosti optereenja . . . . . . . . . . 227 3.5.5. Uticaj uestanosti optereenja 228 3.5.6. Uticaj koncentracije napona . . . . . . . . . . 229 3.5.7. Uticaj brzine nanoenja optereenja . . 230

Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

DEO 12.

JEDNACINE I OBRASCI TEORIJE ELASTJCNOSTI, PLASTICNOSTI I PUtENJ A J. J. Goldenblat, V . A. Kopnov

12.1. Osnove jednaine teorije elastinosti 12.1.1. J ednaine ravnotee .... .. .... .. ... . 12.1.2. Jednaine objedinjenih deformacija .. 12.1.3. Odreivanje pomeranja p rema kompo-

nentama tenzora deformacije ....... . 12. 1.4. Fizike jednaine teorije elastinosti i

termo-elastinosti ................. . 12. 1.5. J ednaine teorije elastinosti kroz na-

pone ...... ... ........ . ....

235 235 236

237

238

239

X SADRZAJ

12.1.6. Jednaine teorije elastinosti i termo-plastinosti kroz pomeranja (Lameove jednaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.1.7. Potencijalna energija deformacije . . . . 240 12.1.8. Opta naela teorije elastinosti . . . . . . 240

12.2. Ravni zadatak iz teorije elastinosti . . . . . . 241 12.2.1. Naponsko stanje ravni . . . . . . . . . . . . . . 241 12.2.2. Ravna deformacija . . . . . . . . . . . . . . . . 241 12.2.3. Erijeva naponska funkcija . . . . . . . . . . 241 12.2.4. Erijeva funkcija za ravni zadatak ani-

zotropnog (ortotropnog tela) . . . . . . . . 242 12.2.5. Ravni zadatak u polarnim koordinatama 242 12.2.6. Sv~~e~je ravnog zadatka na zadatak o

saVlJaTIJU ploe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 12.3. Varijacioni metodi reavanja iz teorije elas-

tinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 12.3.1. Ricov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 12.3.2. Metod Bubnova - Galjorkina . . . . . . 246 12.3.3. Trefcov metod (metod ublaavanja gra-

ninih uslova) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 12.4. Kratak pregled nekih reenja teorije elas-

tinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 12.4.1. isto savijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248 12.4.2. Popreno savijanje konzole . . . . . . . . 248 12.4.3. Popreno savijanje grede . . . . . . . . . . . . 248 12.4.4. Savijanje krivog tapa (zadatak H. S.

Golovina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.4.5. Klin pritisnut koncentrisanom silom . . 249 12.4.6. Cilindar debelih zidova i sferina po-

suda.............................. 250 12.4.7. Elastina polu-ravan i elastian polu-

-prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

2.5. Koncentracija napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 12.5.1. Koncentracija napona pri istezanju . . . . 251 12.5.2. Koncentracija napona pri savijanju . . . . 252

2.6. Elementi teorije elastinosti, koja vodi ra-una o momentnim naponima . . . . . . . . . . 253 12.6.1. Osnovne postavke momentne teorije

elastinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

12.6.2. Jenaine ravnotee i nesimetrini ten-zor napona u dvodimenzionalnom slu-

aju .......................... ... . 12.6.3. Deformacije, prouzrokovane delovanjem

napona izazvanih silama i momentima 12.6.4. Hukov zakon ................... . 12.6.5. Uslovi simultanosti deformacija ..... . 12.6.6. Funkcije napona .... ............. . 12.6.7. Neki rezultati prorauna po momentnoj

teoriji elastinosti ........... . ..... . 12.7. Osnovne jednaine teorije plastinosti i ter-

mop1astinosti ......................... . 12.7.1. Opta svojstva plastine deformacije .. 12.7.2. Osnovne postavke teorije plastinog te-

enja ........... . ............... . 12.7.3. Osnovne jednaine teorije plastinog te-

enja . .. .......... . ............. . 12.7 .4. Deformaciona teorija plastinosti

posebni sluaj teorije plastinog teenja 12.7.5. Idealna elasto-plastina sredina ..... . 12. 7.6. Metod kara teris tika za reavanje zada-

taka iz teorije plastinosti ......... . 12.7.7. Naponi pod krutim pritiskivaem ... . 12.7.8. Ravno naponsko stanje ...... .... . . 12.7.9. Plastine deformacije u blizini okruglog

otvora na ploi ................... . 12.7.10. Elasto-plastina torzija ............. . 12.7.11. Plasina torzija tapa sa zatezanjem ..

12.8. Puenje i relaksacija .... ............... . 12.8.1. Osnovni pojmovi . ................ . 12.8.2. Rel.aks.acija .......... ............. . 12.8.3. Puzen)e .. . ...................... . 12.8.4. Specifinosti procesa puenja nekih gra-

evinskih materijala ............... . 12.8.5. Reoloki modeli ........... ........ . 12.8.6. Teorija puenja ................. . 12.8.7. Teorija naslea betona N. H. Arutju-

njana ............. .. ............ . 12.8.8. Puenje metala ................... . 12.8.9. Puenje pri savijanju greda i krivih ta-

pova ............................. . 12.8.10. Puenje pri torzijt ............... .

Bibliografija

254

254 255 255 255

255

256 256

257

257

257 259

262 262

264 264 265 265

266 266 267

269 271

272 273 273

17.1. OSNOVE TEORIJE STABILNOSTI LINIJSKIH SISTEMA SA PRITISNUTIM ELEMENTIMA

17.1.1. Pojmovi stabilnosti i nesta-bilnosti. Stabilnost ravnotee deformabilnih sistema

Pojmovi stabilnosti i nestabilnosti su od velikog znaaja u mnogim granama i oblastima prirodnih nauka, kao i u tehnici. Uzmimo da se u nekom sis-temu prouava zavisnost izmeu uzroka i posledica. Ako mala promena uzroka uzrokuje srazmerno istu toliku promenu posledica, onda se kae da je takav sistem stabilan. No, ako usled male promene uzroka dolazi do velike promene u posledici, onda je taj sistem nestabilan.

Strogu matematiku definiciju tih pojmova dao je po prvi put A. M. Ljapunov (1892. god.).

Prouavanje stabilnosti ravnotee deformabilnih sistema predstavlja jedan od bitnih , zadataka graevinske mehanike; pri tome se imaju u vidu ta povi, okviri, ajbne, ljuske i dr. sistemi.

Teorija stabilnosti ravnotee vodi svoje poreklo jo od L. Ajlera, koji je prvi odredio veliinu kritine sile kod centrino pritisnutog pravolinijskog elas-

tinog tapa (1744. god.). Parametar optereenja u, koji moe dobijati razliite veliine, karakterie stanje sistema. Tokom neprekidnog menjanja tog parametra, sistem moe

prei iz stanja stabilne ravnotee u stanje nestabilne ravnotee. Na granici izmeu stabilne i nestabilne ravnotee, sistem dolazi u kritino stanje; odgova-

rajuu vrednost parametra optereenja u* stoga ta-koe nazivamo kritinom.

Pri pojavi gubitka stabilnosti kada je u = u,,, dolazi do karakteristinog trenutnog prelaza iz sta~ bitnog stanja sistema do nestabilnog stanja tokom promene parametra u, tako da se tada deava kvali-tativni skok, - prelaz iz jednog kvaliteta ravnotee u drugi kvalitet.

Pojmovi "kritinog stanja" i "kritinog para-metra" optereenja odnose se ne samo na pojavu gubitka stabilnosti, ve se odnose i na sva druga stanja, pri kojima se vri promena stepena stabilnostz sistema (vidi t. 17.1.6, 17 .4.2 i 17.4.4).

U ovom poglavlju se razmatra izvijanje i sta-bilnost pritisnutih i pritisnuto-savijenih tapova, kao i sistema, koji u sebi imaju takve tapove. Teo-rijska pitanja se izlau kroz njihovu primenu na li-nijske sisteme [3, 8, 19, 21a, 32, 35, 36, 39, 44, 46]. l' 3

17.1.2. Konzervativni i nekonzerva-tivni sistemi. Metode izuavanja stabilnosti ravnotee

Konzervativni sistem ima sledee svojstvo: rad unutarnjih i spoljnih sila koje deluju na sistem, koji se vri pri prelasku iz jednog stanja u ma koje drugo stanje, zavisi samo od tih stanja, a ne zavisi od t rajektorije pomeranja.

Pojam "sistema" sadri u sebi i konstrukciju koja se deformie (tap ili skup tapova), kao i opte-

reenje, ije nam ponaanje mora biti zadato. Iz ovoga proistiu dva potrebna i dovoljna uslova

konzervativnog sistema: l ) elastinost konstrukcije koja se deformie, tj . reverzibilnost (povratnost) deformacija, i 2) konzervativnost optereenja, tj. nezavisnost rada, koji ono obavlja (pri pomerenju iz jedne take u prostoru u drugu taku) od tra-jektorije pomeranja.

Za konzervativni sistem je karakteristian zat-voreni energetski bilans, - u takvom sistemu nema disipacije (rasturanja) energije.

Iz uslova jednakosti rada spoljnih sila (optere-enja) i deformacionog rada proizlazi postojanje kod konzervativnog sistema potencijalne energije. Poten-cijalna energija se iznalazi putem razmatranja napona i deformisanog stanja sistema, tako da ona ne zavisi od nekih njegovih prethodnih stanja, tj . od programa nanoenja optereenja.

Potencijalna energija sistema ima ekstremna svojstva, koja nam omoguuju najpre da se izdvoje ravnotena stanja sistema iz mnotva neravnotenih stanja, a potom da se oceni i kvalitet ravnotee (sta-bilne ili nestabilne) svakog pojedinog ravnotenog stanja.

Za izuavanje stabilnosti ravnotee konzerva-tivnog sistema dovoljan je i statiki metod, koji se zasniva na razmatranju ravnotenog stanja i na oceni njegove stabilnosti pomou energetskog kriterijuma.

Sistemi, koji nemaju svojstva konzervativnosti spadaju u klasu nekonzervativnih sistema.

Nekonzervativnost sistema moe zavisiti i moe biti odreena ponaanjem optereenja i to u ono vreme kada tap ili skupnost sistema poseduje elastine osobine. U tom sluaju se istraivanje stabilnosti vri dinamikim metodom, koji se zasniva na prouavanju prirode pobuenog kretanja sistema. U ovak-vim sluajevima su mogune i pojave koje se ne jav-ljaju kod konzervativnih sistema (t. 17.6).

4 17. STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA

Sluajevi, u kojima se nekonzervativnost sistema odreuje nereverzibilnou (nepovratnou) defor-macija materijala, po pravilu su komplikovaniji za obradu. Analiza stabilnosti tapnih sistema, nainjenih od elasto-plastinih materijala zahteva da se vodi

rauna o rastereenju i o trajnim deformacijama kad god se one pojavljuju. Znatne tekoe, koje se u takvim sluajevima javljaju, obino se izbegavaju na taj nain, to se posmatra jednokratno optereenje sistema u uslovima aktivne deformacije. Uz takve pretpostavke se elasto-plastini materijal moe smatra-ti kao nelinearno-elastian (vidi t. 17.8).

Stabilnost ravnotee sistema koji se deformie moe se na pogodan nain izuavati pomou di/a-grama ponaanja, kojim se izraava ukupnost svih

moguih ravnotenih stanja sistema. T ada se, pri izradi tog dijagrama, na apscisu nanose karakteristina pomeranja, koja- svako za sebe- treba to blie da odraze deformisano stanje sistema kao celine. Na osu ordinatu nanosi se parametar optereenja u ili pak veliina koja sa njim uporedno raste - sila pri-tiska, osni napon i sl.

Singularne take tog dijagrama (npr. take ekstrema i take razgranavanja krive) odgovaraju

kritinim stanjima sistema.

17.1.3. Gubitak stabilnosti pri raz-granavanju ravnotenih oblika (formi)

Model sa jednim stepenom slobode (sl. 17.1) ilustruje nam pojave, koje e se razmatrati u ovoj glavi.

SI. 17.1

Beskrajno kruti tap duine l, pritisnut je silom N koja deluje sa ekscentricitetom a. Malom odstu-panju vrha tapa od prvobitnog poloaja (vertikale) y suprotstavlja se elastini oslonac, koji prua hori-zontalni otpor (reakciju) H.

Obrtni momenat u odnosu na oslonaki zglob, prouzrokovan silom N dat je izrazom M1 = N (a + + y), a njemu se suprotstavlja zadravajui momenat M 2 = Hl.

Elastina svojstva oslonca data su u obliku sle-dee funkcije:

H = f(y) =v (y - !J.y3), (17.1)

priem je v > O i !l > O. Iz uslova ravnotee, da je M1 - M 2 = O dobija se jednaina

N(a + y)- vl(y- fJ.Y3) = O. (17.2) Linearno elastini oslonac (!l = 0). U ovom

posebnom sluaju, kada imamo da je !l = O, nelinearno elastini oslonac se svodi na linearno elastian. Za taj sluaj je dijagram ponaanja modela dat na sl. 17.2. Na osu apscisu naneta su karakteristina po-meranja y, a na osu ordinatu se nanosi sila pritiska N.

a) Centrini pritisak. Jednaina ravnotee (17.2) svodi se pri !l = O i a = O na oblik y (vl- N) = O. Oblik ravnotee pri y = O (kada nema odstupanja od vertikale) moguan je pri bilo kojoj veliini sile N.

Meutim, forme ravnotee pri odstupanju od verti-kale za bilo koju veliinu y mogune su samo kada je N= vl.

Ako imamo sluaj da je N< v/ (odsek OK na dijagramu), forma ravnotee bez odstupanja od verti-kale je stabilna, jer je pri odstupanju y pridravajui momenat vei od momenta, kojem se treba suprot-staviti: M 2 > M1 Mala pobuda (npr. mala hori-zontalna sila) izazvae i malo odstupanje modela od vertikale, dok e, - nasuprot tome, u sluaju da je N > vl ~emu odgovara odsek KN na dijagramu) - vertikalna ravnotea biti nestabilna, poto je pri odstupanju od vertikale y pridravajui momenat manji od momenta koji tei da izvede tap iz ravno-tee: M 2 < M1 Sada e i mala pobuda povui za sobom dalji porast odstupanja od vertikale.

Veliina pritiskujue sile

N 0 = v/ ( 17.3) je kritina, a njoj odgovara stanje bezrazline ravno-tee, (prava RKS na sl. 17.2) sa odstupanjem y, pro-iZvoljnim kako po veliini, tako i po znaku.

a p/ a=O s K asimptota R----~----~~~----~----------

N;.

SI. 17.2

Gubitak stabilnosti je ovde okarakterisan na vanjem (bifurkacijom) oblika ravnotee: osim oblika neodstupanja y = O i pri N = N0 taju mogune i oblinje odstupajue forme runn1'iA gde je y =l= O.

'Z ~ li l t

17.1. OSNOVE TEORIJE STABILNOSTI LINIJSKIH SISTEMA SA PRITI S:t\""'UTIM ELEMENTIMA 5

Taka K na dijagramu (sl. 17.2), koja odgovara kritinom stanju sistema naziva se takom razgrana-vanja (bifurkacije). Gubitak stabilnosti pri bifur-kaciji formi ravnotee dosta esto se naziva i gubit-kom stabilnosti Ajlerovog t ipa (ili u smislu Ajlera). U graevinskoj mehanici tapnih sist ema usvojen je

takoe i termin : gubitak stabilnosti prvog reda. Karakteristini znak te pojave jeste postojanje

susednih formi ravnotee pri kritinoj veliini opte-reenja.

b) Ekscentrini pritisak. Analizom zavisnosti (17.2) pri fL > O i a > O pre svega se iskazuje posto-janje prvotnih ravnotenih stanja (kriva OA na dija-gramu ponaanja, sl. 2), pri y > O i N < v l. T a ravnotena stanja nastupaju u toku procesa prirodnog

poveanja optereenja. Postoje takoe i sekundarna ravnotena stanja

(kriva PQ) koja nastupaju pri y < O i N> v l. Meutim, u takva stanja sistem moe biti "ubaen" samo na vetaki nain. Obe krive ravnotenih stanja pri a > O, ( OA i PQ) imaju za svoju asimptotu pravu RKS, paralelnu osi apscisi, a koja prolazi kroz kri-tinu taku K.

Analiza kvaliteta ravnotee, obavljena pomou energetskog kriterijuma (vidi t. 17.6) pokazuje nam da su prvotna ravnotena stanja stabilna, dok su sekundarna stanja nestabilna.

Asimptotino ponaanje, povezano sa neogra-nienim porastom odstupanja y to se pritisna sila N vie blii kritinoj vrednosti, karakteristino je za linearno elastine tapove, izloene kombinovanom uticaju savijanja i pritiska. Predstava o neogranienom porastu odstupanja potie od geometrijski linearne postavke zadatka, dok uzimanje u obzir velikih pomeranja (vidi t. 17.2.8) pokazuje da tokom pribliavanja sile pritiska kritinoj veliini, veliine odstupanja brzo rastu, ali ipak ostaju ograniene po svojim veliinama.

Kod realnih konstrukcija brzi porast pomeranja oznaava istovremeno i brzo dostizanje granice proporcionalnosti, posle ega nastupa stadijum elasto--plastinog rada materijala.

17.1.4 .. Gubitak stabilnosti pri dos-tignuu graninog optereenja

Pri razmatranju ove pojave koristiemo se istim modelom, sa jednim stepenom slobode, koji smo i u prethodnom poglavlju koristili (sl. 17. 1), ali s tim da je sada vrednost parametra krutosti elastinog oslonca fL > O.

Nelinearno elastian oslonac (fL > 0). Dija-gram ponaanja modela dat je na sl. 17.3.

a) Centrini pritisak. Jednaina ravnotee (17.2) se sada, pri a = O svodi na sledee:

y [N - vl ( l - y2) ] = O (17.4) odatle proizlaze dva reenja:

a N

. 7~/ p X~-;;;; ... K-t--Oo;.;;:;::::::------~ R/

Sl. 17.3

l ) y = O pri ma kojoj vrednosti N (neodstupa-jua forma ravnotee, odseak OKN ose ordinate na sl. 17.3) i

2) N = v l ( l - fLY2) pri N < vl (odstupajua forma ravnotee, kriva RKS na sl. 17.2).

Gubitak stabilnosti pri bifurkaciji formi ravno-tee uzrokuje kritina sila (17.3).

Iz analize kvaliteta ravnotee pomou energet-skog kriterijuma (17. 1.8) proizlazi da su neodstupa-

jua ravnotena stanja pri N < N* stabilna, a pri N > N... nestabilna, isto tako su nestabilna i stanja pri yi" o.

Ovde se u kritinoj taki K uoava trenutno stanje bez-razline ravnotee. Pri N = N,;, postaju

mogune beskonano bliske susedne forme ravno-tee. Tangenta na krivu RKS u kritinoj taki para-lelna je sa osoro apscisom. Ta okolnost nam doputa da posmatrano st anje klasifikujemo kao gubitak stabilnosti Ajlerovog tipa.

b) Ekscentrini pritisak. J ed naina ravnotee (17.2) kada je a > O svodi se na s ledei oblik:

N = vly - fLYa a + y

(17.5)

Kriva OA1BA2 na dijagramu ponaanja (sl. 17.3) prikazuje primarna ravnotena stanja sis-tema pri y > O, dok kriva PQ prikazuje sekundarna stanja sistema pri y < O. Pretpostavlja se da je avr; < l.

Karakteristina osobina ponaanja modela u toku prirodnog narastanja pritiskujue sile je u tome, to postoji ekstremna taka B, koja odgovara m aksi-mumu pritiskujue sile Nmax Pri veliini pritiskujue sile, koja bi prevazilazila vrednost Nmax> primarna ravnotena stanja uopte nisu vie moguna.

Analiza kvaliteta ravnotee pomou energetskog k.riterijuma (17.1.8) pokazuje da su stabilna samo primarna ravnotena stanja, prikazana uzlaznom !,rivom OA1B iz dijagrama ponaanja. Primarna ravnotena stanja, koja odgovaraju nizlaznoj grani krive BA2 sa dijagrama, kao i sva sekundarna ravno-tena stanja (grana PQ) - n estabilna su. Iz ovoga


proizlazi da je najvea (granina) vrednost pritisku-jue sile

Nmax = N 11,

u stvari kritina vrednost.

(17.6)

Kritinoj sili N* odgovara i kritino odstupanje Y:;:. Svakoj veliini pritisku jue sile, manjoj od

kritine (N < N~J odgovaraju po dva ravnotena stanja, od kojih je prvo, sa manjim odstupanjem y 1 < Y:r.> stabilno, dok je drugo, sa veim odstupanjem od kritinog (y2 > y:;:) nestabilno (vidi sl. 17.3).

Neophodni uslov maksimuma pritiskujue sile N, posmatrane kao funkcije karakteristinog pome-ranja y jeste jednakost prvog izvoda nuli, ili - dru-gim reima uslov stacionarnosti je

dN = O. dy

(17.7)

Ovde imamo pred sobom sluaj gubitka stabil-nosu pri dostignutom graninom optereenju, odnosno, kako je uobiajeno da se u gradjevinskoj mehanici tapnih sistema kae to je gubitak stabilnosti druge vrste. Ta pojava se razlikuje od gubitka stabilnosti Ajlerovog tipa, uslovljenog grananjem formi ravno-tee u kritinom stanju.

Ekstremna taka B na dijagramu ponaanja (sl. 17.3) zove se graninom takom .

Gubitak stabilnosti pri dostizanju gramcnog optereenja karakteristina je za tapove izloene pritisku i savijanju, nainjene od nelinearno-elastinog ili elasto-plastinog materijala.

17 .1.5. Stabilnost linearno-elastinog sistema sa konanim brojem stepeni slobode

Poloaj sistema se u ovom sluaju karakterie uoptenim koordinatama y 1, y 2, y ,., iji je broj jednak broju stepeni slobode n. Uzmimo da je pri bilo kojoj veliini parametra optereenja u moguno neodstupljeno ravnoteno stanje, kada su svi Yk = O. Kada je u < u,~ neodstupljeno stanje je jedino mo-

guno stanje. Treba nai kritinu vrednost para-metra optereenja u,p pri kom postaju mogune i susedne odstupljene forme ravnotee (gubitak sta-bilnosti u Ajlerovom smislu).

Uslovi ravnotee sistema imaju oblik linearnih homogenih algebarskih jednaina u pogledu uopte-nib koordinata:

Yu Yt + Yt2Y2 + + YtnYn = O } YztYt + Y2zYz + + Y2nYn = O --------------

YntYt + Yn2Y2 + + y,. ,.y,. = O.

{17.8)

Koeficijenti ovih j ednaina Yt~.: zavise, uopte govorei, od geometrijskih dimenzija posmatranog sistema, od krutosti njegovih elastinih veza i od parametra optereenja u.

Uslov postojanja netrivijalnih (ne-nultih) reenja sistema (17.8) sastoji se u jednakosti determinante sa nulom:

D (u) = IYtk l = O. (17.9) U najprostijem sluaju koeficijenti y1k su linearne

funkcije parametra optereenja u, tj . (17.10)

Pri tome algebarska jednaina n-tog stepena (17.9) ima tano n korenova :

(17.11) koji odreuju kritino stanje sistema.

Ako je posmatrani sistem konzervativan, onda matrica koeficijenata ima svojstvo simetrije (ili uzajam-nosti) Ytk = Ykt U tom sluaju e sve kritine vred-nosti parametara u:;:1 biti realne.

Gubitak stabilnosti se dogaa onda, kad para-metar optereenja u dostigne najmanju od kritinih vrednosti :

(17.12) Indeks l kod najmanje od kritinih vrednosti se

izostavlja onda, kada usled toga ne moe doi do nesporazuma.

17.1.6. Sopstvene vrednosti i sopstve-ne funkcije

Teorija sopstvenih vrednosti je analitika osnova za izuavanje pojava gubitka stabilnosti pri razgranavanju ravnotenih formi. U daljem tekstu

e biti, u najkraim potezima, formulisane osnovne postavke te teorije, primenjene na razmatrani linearni zadatak.

Zadata je linearna homogena jednaina (17. 13)

gde je L ,. - operator, koji sadri parametar u. Za sistem sa beskonanim brojem stepeni slo-

bode je y = y (x) traena funkcija neprekidnog ar-gumenta, a operator L ,. ima integralni ili diferencijalni oblik. U ovom drugom sluaju se jednaina (17. 13) dopunjuje homogenim graninim uslovima. Za sis-tem sa konanim brojem stepeni slobode n kao nepoznati faktor javlja se vektor

(17.14) a operator Lu ima matrinu strukturu, pa se jednaina (17.13) svodi na oblik (17.8).

Homogena jednaina ( 17 .13) pri ma kojoj vrednosti parametra u ima trivialno reenje y = O. Sopstvenom vrednou u*1 nazivamo takvu vrednost parametra u, pri kojoj j ednaina (17.13) ima net rivijalno reenje (nejednako nuli). Kod zadataka iz oblasti stabilnosti ravnotee svakoj sopstvenoj vrednosti u,;:1 odgovara

kritino stanje sistema, povezano sa razgranavanjem formi ravnotee. Za susednu formu ravnotee, koja pri tome nastaje karakteristina je sopstvena forma

17.1. OSNOVE TEORIJE STABILNOSTI L INIJSKIH SISTEMA SA PRI TISJI."'UTIM ELEMENTIMA 7

(ili sopstvena funkcija) Y;;:i> odreena sa tanou do konstantnog mnoitelja. U razmatranom zadatku (17.8) to e biti sopstveni vektor

y,,,, = (Yv Yz, y") (17.15) jedna od koordinata, koja je izabrana proizvoljno, dok se sve ostale odreuju iz jednaine (17.8), pri U= U;;:1'

Sve sopstvene forme y,,,1 su ustvari forme odstup-ljene ravnotee. U sluaju sistema sa beskonano mnogo stepeni slobode one se nazivaju i formama krivolinijske ravnotee ili pak krivama izboavanja.

Prva sopstvena forma y* = y,p jeste forma gubitka stabilnosti.

Skup svih brojeva u,;,1 formira spektar sopstvenih vrednosti (17.11).

Gubljenje stabilnosti sistema deava se pri prvom kritinom stanju sistema, t j. pri najmanjoj

kritinoj vrednosti parametra optereenja u,,, = u,1, 1. Sopstvene forme sistema sa beskonano mnogo

stepeni slobode (pritisnuti tap konstantnog preseka, duine l) imaju svojstvo uoptene ortogonalnosti

l l

J Y,,,,y" ;;:; dx = J y ,,,1 y",1,1 dx = O (i of: j) (17 .16) o o

Kod sistema sa konanim brojem stepeni slo-bode svojstvo ortogonalnosti se izraava u tome, to skalami proizvod ma koja dva (ali ne istovetna) vektora mora b iti jednak nuli

(i oj: j) (17.17) Beskonano mnotvo sopstvenih funkcija y*1 (x)

ili ukupnost sopstvenih vektora y,~1 imaju svojstvo potpunosti. Za zadatke koji se obrauju u ovom poglavlju, bilo kakvo stanje odstupanja sistema y prouzrokovano proizvoljnim optereenjem, moe biti prikazano kao razlaganje po sopstvenim formama (vektorima)

n

Y = 2 A,y,d, j= l

gde je A1 koeficijent razlaganja.

(17. 18)

Razmatranje viih kritinih veliina parametra optereenja u2, u3 nam omoguava da damo odgovor na pitanje o stepenu nestabilnosti sistema. Kae se da sistem pri parameuu optereenja u ima

' stepen nestabilnosti v onda, kada je u*'' < u < u* ,v+ 1 (17. 19)

Sistem sa konanim brojem stepeni slobode nalazi se u stanju potpune nestabilnosti onda, kada je u > u*,. .

17.1.7. Energetski kriterijum kvalite-ta ravnotee

Potencijalnom energijom elastinog sistema nazivamo rad koji obavljaju unutarnje i spoljne sile sistema prilikom njegovog povratka iz deformisanog stanja u prvobitno, nedeformisano stanje.

Opti metodi izuavanja ravnotee i stabilnosti konzervativnih sistema zasnivaju se na ekstremnim svojstvima potencijalne energije.

Ovde se, u svojstvu poetka odbrojavanja, uzima nedeformisano (neodstupljeno) stanje sistema. Pret-postavlja se da pomeranja (odstupanja) sistema opa-daju, poev od razmatranih veliina do nule, a da veliina optereenja pritom ostaje neizmenjena.

Za sistem sa beskonano velikim brojem stepeni slobode potencijalna energija predstavlja po sebi funkcional

x;

n = f F(x, y, y', y " .. . ) dx (17.20) koji e u posebnom sluaju linearnog elastinog sistema biti kvadratian.

Kod sistema sa konanim brojem stepeni slo-bode potencijalna energija predstavlja po sebi funk-ciju uoptenih koordinata

(17.21) a u posebnom (specijalnom) sluaju linearnog elas-tinog sistema - kvadratinu formu.

Izrazi za potencijalnu energiju sistema (17.20) i (17.21) sadre u sebi i parametar optereenja u.

Teorema ravnotee. Potencijalna energija si-stema koji se nalazi u ravnotei ima stacionarnu vrednost. Taj uslov, posebno, moe odreivati ekstrem, kada u stanju ravnotee potencijalna ener-gija dostie svoju minimalnu ili maksimalnu veliinu - u poreenju sa neravnotenim stanjima, bliskim do razmatranog ravnotenog stanja.

Teorema ravnotee zahteva da se prva varijacija potencijalne energije izjednai sa nulom

an = o. ( 17.22) Ovaj uslov stacionarnosti ekvivalentan je prin-

cipu Lagranovih mogunih (virtuelnih) pomeranja, poto prva varijacija potencijalne energije sistema an predstavlja po sebi elementarni rad svih sila sistema na moguim (virtuelnim) pomeranjima.

Kod sistema sa konanim brojem stepeni slo-bode mora se u nulu pretvarati celi diferencijal, a odatle proizlazi i to, da e se i svi delimini izvodi morati pretvoriti u nulu

on = 0 e ) i = l , 2, ... n. oy;

(17.23)

Kao to je poznato, uslovi stacionarnosti (17.22) ili (17.23) su potrebni, ali ne i dovoljni uslovi ekstre-ma.

Kod sistema sa beskonanim brojem stepeni slobode uslov (17.22) nas dovodi do jednaine Ajlera--Poasona

oF _ d _ . oF + d2 oF _ . .. = 0 (l7.24) oy dx oy' dx2 oy"

tj. do diferencijalne jednaine ravnotenih stanja sistema.


Teorern.a kvaliteta ravnotee. U stanju sta-bilne ravnotee potencijalna energija sistema ima minimalnu vrednost u poredenju sa neravnotenim stanjima, bliskim ovom ravnotenom stanju. Ako taj uslov nije ispunjen, sistem je nestabilan - ukoliko nepostojanje minimuma zavisi od lanova drugog reda u razlaganju potencijalne energije.

Prvi deo teoreme (kriterijum stabilnosti) for-mulisao je jo Lagran (1788), dok su rigorozne dokaze dali kasnije F . Minding (1838) i G . Leen--Dirihle (1846. g.).

Autor drugog dela teoreme (k.riterijuma nesta-bilnosti) je A. M. Ljapunov (1892. god.).

Uslov stabilnosti zahteva da druga varijacija potencijalne energije bude pozitivna

o2IT > o. (17.25) Da bi sistem sa konanim brojem stepeni slo-

bode bio stabilan, drugi potpuni diferencijal mora biti pozitivan.

Potencijalna energija modela sa jednim stepe-nom slobode, razmatranog u prethodnom izlaganju (vidi sl. 17.1) data je izrazom

Y (y2 ay) IT = I v (y- fJ.Y3) dy- N - + - . o 2/ l

(17.26)

Analiza ovog izraza potvruje gornje navode o kvalitetu ravnotee modela.

17.1.8. Potencijalna energija centrino pritisnutog, linearno-elas-

tinog tapa. Razmatraju se mala pomeranja usled izvijanja

pravolinijsk.og centrino pritisnutog tapa, iji se materijal ponaa po Hukovom zakonu. Potencijalna energija takvog tapa je:

l JJ = _!____ I (Ely"2 - Ny'2) dx

2 o (17.27)

gde su x i y koordinate take na elastinoj liniji, l duina tapa, El je krutost tapa, a N je aksijalna sila pritiska.

Gornji izraz za potencijalnu energiju (17.27) zasniva se na tehnikoj teoriji izvijanja tapova; takvo postavljanje zadatka stabilnosti naziva se geo-metrijski linearnim.

Iz Ajlel'ove-Poasonove jednaine (17.24) u ovom datom sluaju dobija se linearna homogena diferen-cijalna jednaina etvrtog reda

E lyiv + Ny" = O, (17.28) koja odreduje ravnotena stanja tapa.

Ako uvedemo oznaku ex2 = N /El (17.29)

tada opti integral jednaine (17.28) dobija sledei oblik:

y = C1 sin exx + C2 cos exx + C3x + C4 , (17.30) pri emu su ck integracione konstante.

17.1.9. Ajlerov zadatak L. Ajler je prvi razmotrio zadatak o stabilnosti centrino pritisnutog linearno elastinog tapa, na oba svoja kraja zglobna oslonjenog (1744. god.).

Granini uslovi y = 0, y" = 0 pri X = 0 i X = l

dovode nas do jednaina koje se odnose na integracione konstante ck koje glase:

c2 + c4 = o; } -C2ex2 = O;

C1 sin ex/ + C3/ = O i - C1ex2 sin exl- C2ex2 cos ex l = O

(17.31)

Kao parametar optereenja kod pritisnutog tapa slui broj nulte srazmernosti

u = exl = J :l l. (17.32) Uslov postojanja ne-nultih reenja sistema linearnih homogenih jednaina (17 .31) ima sledei oblik. :

l p (u) = l

l

o o sin u

-ex2 sin u

l o l -ex2 O O

== a4 sin u = O o l o

-ex2 cos u O O (17 .33) a odatle se iznalazi spektar sopstvenih vrednosti

u*1 =jrt(j = l, 2, .... ) (17.34) Tim kritinim vrednostima parametra optere-enja odgovaraju kritine sile

j2rt2El N ., . = -=----... , [2

kao i sopstvene forme . J 1t SX

Y:::J = 'YJJ stn -~-,

(17.35)

(17.36)

gde je 'YJJ ordinata elastine linije u taki sa apscisom x = l/2j proizvoljna po svojoj veliini.

Pri j = O moguna je samo pravolinijsk.a forma ravnotee y (x) = O; prema tome, vrednost u= O nije sopstvena vrednost, mada i ona zadovoljava jed-

nainu (17.33). Najmanja vrednost kritine sile iz reda (17.35)

pri j = l odgovara trenutku gubitka stabilnosti. Ta kritina sila je

(17.37)

i naziva se Ajlerovom silom. Prva sopstvena forma, odnosno forma gubljenja

stabilnosti e biti

( ) . 1tX

y.,. X ='Y)Stn - z (17.38)

gde je 'Y) ugib u sredini raspona, proizvoljan po svojoj veliini.

17.1. OSNOVE TEORIJE STABILNOSTI LINIJSKIH SISTEMA SA PRITISl\"UTIM ELEMENTIMA 9

Izraz (17.37) za kritinu silu nosi naziv Ajlerovog obrasca.

Analiza stabilnosti pomou energetskog krite-rijuma nam pokazuje da je pravolinijska forma ravno-tee moguna samo kada je N< N,".

Elastina linija y (x) prouzrokovana proizvoljnim optereenjem moe se prikazati u vidu razlaganja po sopstvenim formama tipa (17.18) :

co

y (x) = L Aj sin 1 n x . l

(17.39)

Razmatrana pojava gubljenja stabilnosti okara..k-terisana je razgranavanjem formi ravnotee pri kri-

tinoj vrednosti pritisku jue sile N = N ,,, . Toj sili odgovara, pored poetne pravolinijsk;e forme, jo i susedna, krivolinijska forma ravnotee.

U ovom sluaju se govori i o gubljenju stabil-nosti u Ajlerovskom smislu, ili o gubljenju stabilnosti prvog reda.

17.1.10. Ravnotena stanja linearno -elastinog tapa, pod kom-binovanim dejstvom pritiska i savijanja

Pritisnutim i savijenim tapom nazivamo onaj tap, koji je pritisnut aksijalnom silom N, a osim toga optereen i nekim poprenim optereenjem p (x) koje izaziva savijanje. a u kome mogu uestvovati i koncentrisane sile P, spoljni momenti savijanja (spregovi sila) M 1 kao i ravnomerno raspodeljeno

optereenje p (sl. 17.4a).

Sl. 17.4

Posebni sluaj pritisnuto-savijenog tapa je ekscentrino pritisnuti tap (sl. l7.4b) sa ekscentrici-tetima na svojim krajevima: na levom osloncu a, a na desnom osloncu ka.

Neka je sa M oznaen momenat savijanja u taki sa apscisom x, izazvan samo poprenim opte-

reenjem p (x), a bez uzimanja u raun uticaja aksi-jalne sile N. Tada e ukupni momenat savijanja biti

M = M +Ny. (17.40) 2 Konstrulttcrski prirunik

U sluaju linearne elastinosti materijala tapa i njegove nepromenljive krutosti, diferencijalna jedna-

ina savijanja glasi Ely1V + Ny" = p (x). (17.41)

Ta j ednaina etvrtog reda ekvivalentno je jed-naka sistemu dveju jednaina drugog reda

Ely" + M + Ny = O M" = -p (x). (17.42)

Drugi ekvivalentni sistem ima sledei oblik; ElM" + NM= -El p (x) Ely" = -M. (17.43)

Za reavanje diferencijalne jednaine (17.41) veoma je podesna prim ena metoda poetnih parametara (vidi 17.2.2).

Pritisnuti i savijeni tap je izloen deformacijama usled pritiska i savijanja jo od samog poetka svog

tereenja. Pod delovanjem podune pritiskujue sile prirast pomeranja (kao i napona u presecima tapa) ide bre od prirasta optereenja.

Tokom prirodnog poveavanja optereenja ugibi pritisnutog i savijenog tapa neogranieno rastu ukolil~o se sila pritiska vie blii kritinoj vrednosti N* u ajlerovskom smislu, tj. primarna ravnotena stanja odreuju asimptotsko ponaanje tapa. Pri stanju N> N,,, moguno je postojanje sekundarnih ravno-tenih stanja tapa. Dijagram ponaanja tapa slian je ranije razmotrenom dijagramu za model sa linearno elastinim osloncem pri a> O (viid sl. 17.2).

17.1.11. O anaHzi velikih pomeranja pritisnutih i pritisnuto-savi-jenih tapova

Geometrijski nelinearna postavka zadatka stabil-nosti zasniva se na uzimanju u obzir velikih pomera-nja sistema. Pri analizi ta pnih sistema koristi se sledei tani izraz za zakrivljenost pri savij anju:

l

.2_ = _d2y [l + (-dy)2J-2 = d2y [l- (dy)2]-2 p dx2 dy ds2 ds

(17.44) a uzima se u obzir i zbliavanje !

lO 17. STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA

nedeformisano (primer za to je centrino pritisnuti linearno elastini tap iz Ajlerovog zadatka). U sup-rotnom sluaju, kada se tap deformie (savija) sve do gubitka stabilnosti, uzimanje u obzir velikih pomeranja unosi korekciju u veliinu kritine sile. Iz itavog niza reenih konkretnih zadataka (vidi t. 17.2.8), meutim, vidi se da je veliina te popravke neznatna (kree se u redu veliina od nekoliko pro-mila, pa i ispod toga).

Iz ovoga proizlazi zakljuak da se prorauni tapova i tapnih sistema u praktinom radu mogu zasnivati na geometrijski linearnoj postavci zadatka.

17.1.12. Stabilnost "u velikom" i po-java preskoka

U nekim komplikovanijim zadacima (naprimer, kada se istrauje ponaanje u post-kritinoj fazi tapa u geometrijski nelinearnoj postavci zadatka) pri jednoj te istoj veliini pritiskujue sile moguno je ne samo jedno ravnoteno stanje, nego i dva, pa i vie takvih stanja, koja nisu meusobno bliska.

Dinamiki proces prelaz.a od jednog ravnotenog stanja do drugog, stabilnog stanja, - kroz niz nerav-notenih stanja, naziva se preskokom.

Istraivanje pojava preskoka zahteva, po pra-vilu, geometrijski nelinearnu postavku zadatka.

Najprostiji primer sistema u kome se ostvaruje ova pojava, jeste tzv. "Mizesova reetka" (sl. 17.5). Taj sistem se sastoji od dva zglobna povezana (i zglobna oslonjena) tapa, nainjena od linearno

elastinog materijala. tapovi mogu da podnesu znatne uzdune deformacije, a da ne doe do njiho-vog razaranja ni do savijanja. Pod delovanjem sile P,

vor reetke B se pomera u taku B' (sl. 17.5a). Kada sila P dostigne kritinu veliinu, taj e vor

Sl.17.5

N --~~-~--~--,--~~

Sl. 17.6

trenutno, preskokom, prei u novi poloaj B" (sl. 17.5b). U tom novom poloaju tapovi e biti zateg-nuti, a sistem e biti stabilan [53a]. Detaljnija analiza se moe nai u radu [31] .

U drugim zadacima mogunost gubljenja sta-bilnosti sa preskokom zavisi od stepena (intenziteta) pobude, koja mora imati svoju odreenu, konanu veliinu .

17.1.13. Idealni i neidealni sistemi. Poetne nesavrenosti realnih tapova

Idealnim se naziva onaj linearno elastini tap, koji je tako optereen, da mu je elastina linija savi-janja y (x) ortogonalna prema prvoj sopstvenoj formi y* (x), tj. prema krivoj izvijanja pri gubitku stabilnosti u Ajlerovom smislu. Kod tapa nepro-menljivog preseka taj uslov ortogonalnosti se izra-ava na sledei nain :

J y (x) Y:;: (x) dx = O. o

(17.45)

Iz ovoga proizlazi da je pri razlaganju elastine linije na sopstvene forme (17.39) koeficijent A 1 jednak nuli.

tap se naziva neidealnim onda, ako je optereen tako, da uslov (17.45) nije ispunjen.

Najprostiji primer idealnog tapa je centrino pritisnuti, obostrano zglobna oslonjeni tap (sl. 17. 6a), kod koga je y (x) = O.

U trenutku gubitka stabilnosti postaju mogune susedne ravnotene forme y* (x), i tap se izvija po polu talasu sinusoide (17 .38). Kriva izvijanja je na slici 17. 6a prikazana isprekidanom linijom.

Oigledno je da e idealni biti i centrino opte-reeni tapovi iji su krajevi oslonjeni na bilo koji drugi nain.

Ekscentrino pritisnuti tap nepromenljivog pre-seka, sa podjednakim po svojoj apsolutnoj veliini, ali suprotno usmerenim ekscentricitetima na svim kra-jevima, (sl.17.6b) savija se po S-krivoj (antimetrinoj u odnosu na sredinu raspona) elastinoj liniji y (x) koja je ortogonalna prema prvoj sopstvenoj formi y* (x). Kritino stanje pri Ajlerovskoj vrednosti

pritiskujue sile N A okarakterisano je grananjem ravnotenih formi: na antimetrinu elastinu liniju y (x) se nalae simetrina kriva izvijanja y* (x) u obliku polutalasa sinusoide (17.38), sa proizvoljnom po veliini i znaku maksimalnom ordinatom 1J Dijagram ponaanja tog idealnog tapa prikazan je na sl. 17.7, a u svojstvu karakteristinog pom eran ja je izabran ugao zaokreta 6 na osloncu.

Odseak krive OK pri N < N A odgovara sta-bilnim stanjima tapa, dok odseak KS odgovara nestabilnim stanjima. Taka K odreuje kritino stanje tapa, povezano sa razgranavanjem ravnote-nih formi.

Idealan e biti i ma koji pritisnuta-savijeni tap konstatnog preseka, ija je elastina linija antimetrina u odnosu na sredinu raspona (vidi sl. 17.6c).

Uoptavanjem uslova ortogonalnosti u odnosu na prvu sopstvenu formu (17.45), a primenom na sistem tapova dolazimo do pojma idealnog sistema. Kao pogodan primer takvog sistema navodimo por-

17.1. OSNOVE TEORIJE STABILNOSTI LINIJSKIH SISTEMA SA PRITIS!\"'UTIM ELEMENTIMA ll

taJni pravougaoni okvir (sl. 17.8) koji ima svoju vertikalnu osu simetrije, a optereen je po svojoj

preki ravnomerno podeljenim teretom. Punom li-nijom je prikazan oblik okvira u stanju savijanja, prouzrokovanog optereenjem, dok je isprekidanom linijom prikazana kriva izvijanja pri gubitku stabil-nosti u Ajlerovom smislu.

s / __ ,

-

l T

l l !1 "''"'

l ,.",... Y1

h

J k--- L - -

SI. 17.7 Sl. 17.8

U neidealne sisteme se svrstavaju svi oni sistemi, iji oblici savijanja nisu ortogonalni prema prvoj sopstvenoj formi.

Idealni sistemi gube svoju stabilnost pri raz-granavanju ravnotenih formi, u asu k;ada pritisk;u-

~jua sila dostigne kritinu vrednost, dok je za neidealne, a linijski elastine sisteme k;arkateristino asimptotsk;o ponaanje, tj. neogranien porast pomera-nja u fazi kada se pritiskujua sila pone bliiti kri-

tinoj vrednosti (isprekidana linija OA2C na sl. 17. 7). Svi realni tapovi imaju izvesna svoja poetna

iskrivljenja, a tak;o isto - osim projek;tom predvi-enih ekscentriciteta - jo i nek;e poetne (sluajne, nepredviene) ek;scentricitete napadnih taaka pri-tisk,ujuih sila. Poetne iskrivljenosti i sluajni ek;scen-triciteti se objedinjuju u pojmu poetnih greki u izradi.

Pitanje o potrebi uzimanja u obzir poetnih greki pri proraunavanju pritisnutih i pritisnuto--savijenih tapova treba razmatrati odvojeno (a) za tapove sa idealnom proraunsk;om shemom i (b) za tapove sa neidealnom shemom.

Pri proraunavanju neidealnih tapova, uzimanje u obzir poetnih grek;i unosi kvantitativne korektive, srazmerne meri tih greki. U veini sluajeva, mo-menti savijanja, prouzrokovani tim poetnim nesavr-enstvima uglavnom su mali prema momentima sa-vijanja, izazvanim poprenim optereenjima p (x) ili projektom predvienim ekscentricitetima a napadnih taaka pritiskujuih sila N. U takvim sluajevima se uticaj poetnih nesavrenstava moe zanemariti.

Kada se pak radi na proraunu idealnih tapova, onda se mora uzeti u obzir uticaj poetnih greki, koja remete poetnu shemu i stvaraju kvalitativno

drugaije uslove za rad i ponaanje tapa. Porast napona i pomeranja sa pribliavanjem sile pritiska

kritinoj vrednosti izaziva i:azvoj plastinih defor-macija materijala.

Kada treba uzimati u obzir poetne greke idealnog tapa, onda se na njega namee neka mala

poetna isk;rivljenost y 0 (x) ili dopunsko malo opte-reenje, koje uzrokuje elastinu liniju y 0 (x), pri emu forma y 0 (x) ne mora biti ortogonalna na prvu sopstvenu formu y* (x). Veliina poetne greke i njen pravac i smer ne igraju nek;u naroitu ulogu, jer i najmanje naruavanje idealnosti na ovu ili onu stranu prevodi krivu OKS na dijagramu ponaanja u poloaj OG (vidi sl. 17.7).

17.1.14. Slobodna duina i vitkost tapa

Pojam slobodne duine uveo je F. S. Ja-sinjski [47] u cilju uoptavanja Ajlerovog obrasca (17.37) i njegovog svoenja na sluaj centrino pritisnutog linearno elastinog tapa sa proizvoljnim oslanjanjem njegovih krajeva:

1t2 E I N,,, = J2

*

(17.46)

U gornjem obrascu je slobodna duina tapa l* data izrazom

(17.47) i ona predstavlja proizvod koeficijenta slobodne du-ine ~ i geometrijske duine tapa l. Veliina koefi-cijenta ~ uzima se u skladu sa shemom oslanjanja krajeva tapa.

Izraz za kritinu silu

N. = (~)2EJ >.: ~ /2 (17.48)

podesan je kod zadataka kada se gubljenje stabilnosti povezuje sa razgranavanjem ravnotenih formi, jer nam on omoguava da se rezultat reenja zapie u oblik;u jednog broja - koeficijenta slobodne duine

~ koji ne zavisi od geometrijskih dimenzija tapa. Ako tap ima promenljiv presek, pa je El =

= f (x), onda obrazac (17.48) postaje uslovan, poto veliina ~ zavisi od izabrane posebne vrednosti El u (17.48).

Pod vitkou tapa podrazumeva se odnos nje-gove slobodne duine prema polupreniku inercije p oprenog preseka tapa:

~ - l* A - > r r = J~' (17.49)

gde je I - momenat inercije, a F - povrina poprenog preseka tapa.

Normativna metodika proraunavanja pritisnu-tih i pritisnuto-savijenih tapova zasniva se na poj-movima slobodne (proraunske) duine i vitkosti tapa (vidi t. 17.9.2 i 17.9.4).


17.2. LINEARNO-ELASTINI PRITISNUTI I PRITISNUTO-SAVIJENI TAPOVI NEPROMENLJIVOG PRESEKA

17 .2.1. Linearno-elastini materijal. Oznake

Ovde se razmatrajtl pravolinijski, puni (ne tanko-zidni) tapovi nepromenljivog poprenog pre-seka. Materijal od koga je tap nainjen je linearno

elastian, tj. postoji izmeu napona cr i deformacije e: potpuna proporcionalnost, izraena Hukovim za-konom cr = Be:.

Ravan u kojoj deluju spoljne sile poklapa se sa ravni koja prolazi kroz jednu od glavnih osa poprenog preseka tapa. Smatra se da je obezbeena forma savijanja u jednoj ravni. Ne tlzima se u obzir deformacija osnog zbijanja tapa, kao ni deformacije, uzrokovane t angencijalnim naponima. Pri analizi-ranju deformacija usled savijanja usvaja se hipoteza ravnih preseka.

U pogledu optih postavki, vidi 17. 1.3, 17.1.9, 17.1.10, 17.1.13 i 17.1.14.

Osnovne oznake:

- duina tapa x, y - koordinate take na elastinoj liniji Y m - ugib u sredini raspona z - apscisa napadne take optereenja 8 = dy/dx - ugao zaokreta M - momenat savijanja Q - transverzalna sila H - proj ekcija transverzalne sile Q i podune

sile N na pravac, upravan na prvobitnu pravolinijsku osu tapa

El - krutost tapa pri savijanju u ravni sila N - poduna sila pritiska

N,;, - najmanja kritina veliina sile pritiska NA - Ajlerovska kritina sila za obostrano zglobno

oslonjeni tap p - raspodeljeno optereenje po jedinici duine,

popreno na tap P - koncentrisana spoljna sila M1 - spoljni momenat ili spreg sila u = v NJE! l - parametar optereenja za tap u*1 - j-ta kritina veliina parametra optereenja

u~, = u*1 - najmanja kritina vrednost parametra optereenja.

17 .2.2. Jednaina elastine linije tapa u obliku metoda poetnih pa-rametara

Diferencijalna jednaina malih pomeranja pri savijanju pritisnuto-savijenog tapa sa proizvoljnim uslovima oslanjanja njegovih k,rajeva ima sledei oblik:

d4y + et.2 d2y = p (x), dx4 dx2 El

(17.50)

gde je oc2 = N JE!, a p (x) je popreno optereenje. ------:r--f

N 110 Uo y r-Sl. 17.9 SJ. 17.10

Opti integral te jednaine jednak je sumi opteg integrala (17.30) homogene diferencijalne jednaine (17.28) i bilo kog deliminog integrala y " (x) cele

j ednaine (17.50): y = C1 sin ax + C2 cos ax + C3x + C4 + y" (x).

(17.51) Najpodesnije je ako se za reavanje jednaine

(17.50) primeni metoda poetnih parametara. Pod poetnim parametrima se podrazumevaj u veliine y 0, 80, M 0, H 0 u koordinatnom poetku pri x = O (sl. 17.9). Tu je H- projekcija transverzalne sile Q i podune sile N na pravac, upravan na prvobitnu pravolinijsku osu tapa. Iz uslova ravnotee (sl. 17.10) koji glasi: Q = H cos 8 + N sin e ~ H + N6 proistie sledee: H = Q-N8 (17.52) H 0 = Q 0 -N80 (17.53)

Reenje jednaine ( 17 .50) po metodi poetnih parametara glasi

Y = y + e sinax _ M 0 1- cosax

0 0 a El et.

_ H 0 . ax-sin ax + yu; El et.a

dy Af0 sin ax 8 =- = e cos ax - - . -- -dx El a

_ H 0 l - cos ax + eH; El x2

d2y . M =- El--= 80 E/ asm a x + dx2

sin ax + M 0 cosax + H 0-- + MH; a

H = H 0 -HH.

17.2. LINEARNO-ELASTICNI PRI T IS N UTI I PRITISNUTO -SA VlJENI S TAPOVI NEPROMENLJIVOG PRESEKA 13

Tablica 17.1 Metod poetnih parametara. Sabirci, zavisni od optereenja

optereenja Vrsta l

- ------- - - ---------

y H l l

_ P_ [~x-z)2 _ l - cos (x - z)] E l 1X2 2 1X2

l--- z --~ =J ~-

14

2

,-~

l l

2

3

17. STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA

Tablica 17.2

Sopstvene forme i kritini paras;uetri optereenja za pritisnute, linearno elastine tapove

Shema tapa i forma gubljenja stabilnosti

druga sopstvena figura

trea sop stvena figura

N y 'N ~-

Jednaina e linije (sopstve

-

Jastine ne forme)

y = Csin mu*1

y = e (sin mu*, -- m sin u*1)

l

j l l l

l

Uednaina kritinog . stanja l D (u) = O, u = yNJEI l

Prve tri kritine vrednosti Kritina siJa parametra optereenja uj N,. i slobodna

Opte reenje jednaine duina 1,. D (u ) = O.

l

l u. l =1t' = 3,146

i

l sinu = O

-- - ---

!1*1 = jrr

l

---

sinu - ucosu = O

w = (i + ~) rr 2

u*j = w- - - --w 3w3

13

l

u = 2rr = 6,2832 rr 2El - - l z ,

u*" = 3rr = 9,4248

l l l l l l l l

l u*1 = 1,4303rr = 4,4934 1

l

20,19E I u*2 = 2,4590rr = 7,7253 1

1

t

0,699!

l

u*3 = 3,4709rr = 10,9041 l l l l

l

17.2. LII\' EARNO-ELASTICNI PRITISNUTI I PRITISNUTO-SAVIJENI STAPOVI NEPROMENLJIVOG PRESEKA 15

Nastavak tablice 17.2

Shema tapa i forma Jednaina kritinog stanja l gubljenja stabilnosti D (u) = :o, u = VFifEll Kritina sila J ednaina-elastine j Prve tri kritine vrednosti N* i slobodna druga sopstvena figura linije (sopstvene forme) parametra optereenja u*1

Opte reel\je jednain,e duina l* trea sopstvena figura D (u) =O.

---

l l . N lt l u.l

- - = 1,5708 ~- 2 cos u = o x=ml l

---

l

~. - ---2 )lt lt2El u = Csinmud u*2 =- = 4,7124 412' 21 2 -

-- -

H u., = ( j - ~) lt l 3 57t U*a = - = 6,8540 2 l

l l

l ~ l N - - = 3,1416 - ~ u"., = it

l

sinu = O l

- i - -l -~~ l lt 2El 2 u = C(l- cosmu*1) u = 27t = 6,2832 T' l

l '

l

'

!

-

--

H U*;= jlt 3 u*a = 37t = 9,4248 ., l

16 17. ST ABILNOST LINIJSKlli SISTEMA

Nastavak t ablice 17.2 ---- - -----...,..----~----- ----- ----

Shema tapa i forma gubljenja stabilnosti

---- ]ednaina elastine l J edna ina kritinog stanja

D (u) = O, u = y NJEll Prve tri kritine vrednosti parametra op tereen ja u"1

Kritina sila l N * i slobodna druga sopstvena figura linije (sopstvene forme) - -- -

_ _ __ _ Op te reen.je jednaine trea sopstvena figura D (u) = O.

l duina l* l

~~~. ~~ 1 l x=ml u( u u u ) sin 2 sin2 - 2 cos 2 = 0 u*l j = 21t l = 6,2832 l l.

2

-j

3 H

j - nep amo y = C ( l - cosmu.1)

l l l

--, j - parno

y-e rsin(l - 2mt*'-l 2

u*'] - ( l - 2m) sin 2

Sada se sainjavaju dve jednaine kojima se izraavaju uslovi oslanjanja desnog kraja tapa. Te e jednaine biti linearne i homogene u odnosu na dva poetna parametra, koji su nam jo nepoznati, a koje emo ovde oznaiti sa Zt i Z2 :

Yu Zt + Y12Z2 = O }. (17.60) Y21Z1 + Y22Z2 = O

Koeficijenti gornjih jednaina Yik y,k (u) jesu funkcije parametra optereenja:

u = cxl = vNJEI l. (17.61) Uslovi postojanja nultih reenja sistema ( 17 .60)

sastoje se u tome, da donja determinanta, koju treba razmatrati kao funkciju optereenja u bude jednaka nuli :

D (u) = l Yu Yl2 1 = O Y21 Y22

(17.62)

Uslov kritinog stanja (17.62) dovodi nas do transcendentne j ednaine u odnosu na u, iji koreni obrazuju beskrajni spektar sopstvenih vrednosti para-metra optereenja

(17.63) Za j-tu kritinu silu imamo

N _ u~, E I ( . _ l ... ,- J - ' .,. [ 2 2, ... ) (17.64)

Najmanja kritina vrednost parametra optere-enja u,,, = u,;: t odgovara gubitku stabilnosti tapa pri razgranavanju ravnotenih formi.

l 1-l

j - neparno l j u*2 = 2,4606

u*1 = 2j1t l -1

l l 1

41t2EI = 8,9868 -~3- ;

l --1

l = 12,5664 !

2

_l Kritina sila koja uzrokuje gubitak stabilnosti

jeste N. .. = u~, El

.,. [2 (17.65)

Za konstruisanje sopstvene forme y,,,, koristi se prva od jednaina iz metoda poetnih parametara (17.54), pri u = u,,,1; odnos izmeu dva nepoznata poetna parametra zl i z2 dobija se iz jednaine (17.60), s tim da oni pri u = tl,,,1 postaju meusobno ekvivalentni.

Ma koje dve sopstvene forme y,,,, i y,,:; poseduju svojstvo uoptene ortogonalnosti (17.16).

Iz poreenja dveju veliina kritine sile (17 .49) i (17.65) iznalazi se slobodna duina (duina izvi-janja) datog tapa

1t l., = ~l= - l, ... u~,

(17.66)

gde je ~ = ~ koeficijent slobodne duine. u,,,

U tablici 17.2 dati su r ezultati istraivanja sta-bilnosti tapova sa jednim rasponom, a sa pet shema oslanjanja njihovih krajeva. D ate su sheme tapa, poetna, nedeformisana njegova osa, forma gubitka stabilnosti, zatim druga i trea sopstvena forma,

jednaine elastine linije sa proizvoljnim mnoiteljem G, jednaina kritinog stanja D (u) = O i opti iz-razi za j -ti koren te jednaine, prve tri kritine vred-nosti parametra optereenja u*t' u,,, 2, u:;:3 , obrazac za najmanju kritinu silu N,,, i najzad slobodna duina l* (duina izvijanja).

Ako bi se izabrale takve odgovarajue duine tapova l za svaku od prikazanih shema -. tako ~a

kritina sila N,,, u svim sluajevima bude tste veh-

17.2. LINEARNO-ELASTICNI PRITIS.KUTI I PRITISNUTO-SAVIJENI STAPOVI NEPROMENLJIVOG PRESEKA 17

()

-z z~ tA" z." i . 1.*

Sl.17.11

ine, onda se forme gubitka stabilnosti mogu posma-trati kao lukovi jedne te iste sinusoide, - to je prikazano na sl. 17 .ll :

(]) CD

l l l l l t~Z--.1-

(.* t* l r

'i' ?.;r->f--7.*-t-

Iz uslova ravnotee odreuje se veliina a

H 0 = - - (l - k) N. l 1tX ( ) y = s1n - . 17.67

l* Pri tome je slobodna duina z,,, jednaka rasto-

janju izmeu dve susedne prevojne take, tj. po-lutalasu sinusoide.

Koristei se prvom od jednaina (17.54) i potinjavajui reenje graninom uslovu na desnom kraju tapa (y = O pri x = l), iznalazi se jedinstveni ne-poznati poetni parametar

N al 0 = - - [e (u) + ks (u)], El (17.68) 17.2.4. Ekscentrino pritisnuti tapovi

Opti sluaj - razliiti ekscentriciteti na krajevima tapa.

pn cemu su usvojene sledee oznake za funkciju N. E. Zukovskog [15]:

Krajnji ekscentricitet je ne levom kraju jednak a, a na desnom je ka (vidi sl. 17.4b). Pretpostavlja se da je Iki ~ l. Iz uslova na !evom kraju tapa dobija se da je y 0 = O i M 0 = N"p

e (u) = 2_ (1 - _u ) ' u2 tg u l

s (u) _: _!_ (- . u_- 1). u2 srnu

Ravnotena stanja pritisnutih i pritisnuto-savijenih linearno elastinih tapova Centrino i ekscentrino pritisnuti

(17.69)

Tablica 17.3

tapovi Ravnotene forme l Dijagram ponaanja Pritisnuto-savijeni

m ala p omeranja l velika pomeranja -- -- -- -------------:----- ---

N l

Ne idealni

~ ~

) s l . Nl!~N i

2 Lr.v2a -"' / f- asim p tota

--------_l -b

2

Idealni

l~-~--l: ;V e

2~ . a l lp; e. t N

3 Konstrukterski prirunik

~3 ~-t Ym. . N tf

i. r O Ym

AN 1,.

/

" K,/ 2 1/ .t. ~A '

o 2a/l 8o

l l j /L j_rr JNA 1/ Ym.

n

o

e N

o e.


Jednaina izvijene ose tapa se, posle transfor-macije, svodi na sledei oblik:

y =.!:. {---!!---- [sin (u - ax) + k sin ax] -u smu

- [(u- ax + kax]} (17.70)

U daljem tekstu se razmatraju specijalni (po-sebni) sluajevi ekscentrino pritisnutog tapa.

a) Ekscentriciteti na krajevima tapa pod-jednaki su i po svojim apsolutnim veliinama kao i po znaku.

U sluaju kada je k = l jednaina (17.70) do-bija sledei izgled:

y =a [cos (-T ~ox) -l] (17.71) cos -

2 i tada je ugib tt sredini raspona jednak:

y. ~ a ( coslf - l). Dijagram ponaanja prikazan je u tablici I 7 .3a.

Puna linija odgovara stabilnim primarnim stanjima ravnotee pri N < NA i y". > O, a isprekidana odgo-vara sekundarnim, kada je N > NA i Ym < -2a. Ravnotene forme na shemi tapa i na dijagramu ponaanja oznaene su brojkama l i 2.

Za primarna ravnotena stanja je karakteristino asimptotsko ponaanje, - dakle neogranieni porast ugiba Ym ukoliko se veliina pritiskujue sile N vie blii ajlerovskoj veliini.

b) Ekscentriciteti na krajevima tapa su jednaki nuli - tap je centrino (aksijalno) pritisnut.

Za a = O nastupa Ajlerov problem razmatran u l. 17.1.9. U tablici 17.3.b je prikazan grafik pona-anja tapa. Pravolinijski oblik ravnotee y = O je stabilan za N< N 5, a nestabilan za N > N 3 Taka K na grafiku odgovara uslovu stabilnosti kod bi-furkacionog (ravastog) odlika ravnotee.

e) Ekscentriciteti na krajevima tapa su jed-naki po apsolutnoj veliini ali su suprotni po pravcima i smerovima.

U sluaju kada je k = - l jednaina elastine linije (17.70) dobija sledei izgled

y = a[sin(}-~=) -(1- 2ax)] (17.73) sm - u

2 a zaokret na l evom osloncu je (pri x = O) jednak:

eo = _::_ (2 - _ u ) l u . tg -2

(17.74)

Dijagram ponaanja prikazan je u tablici (17.3c): na osu apscisu je naneto karakteristino pomeranje eo, a na osu ordinatu je naneta pritiskujua sila N. Forma

izvijanja je po elastinoj liniji u obliku slova S, ortogonalnoj na prvu sopstvenu formu (17.38), a tap spada u kategoriju idealnih. Ravnotena stanja, koja odgovaraju toj elastinoj liniji stabilna su pri N < N.~~ a nestabilna su u suprotnom sluaju. Raz-granavanje ravnotenih formi (taka K na dijagramu) je karakteristina po tome, to se u njoj na elastinu liniju u obliku S nadovezuje polu-talas sinusoide (17.73). U kritinom stanju je N = N A, u,~ = 1t i e* = 2afl.

17.2.5. Pritisnuto-savijeni tapovi Pritisnuto-savijeni tapovi se dele na idealne i

neidealne; primeri i jednih i drugih dati su u kraj-njem desnom stupcu tablice 17 .3 . Kvalitativne speci-finosti ponaanja odgovaraju ranije ve razmotrenim

sluajevima "a" i "b" ekscentrino pritisnutog tapa. Ako tap nije zglobno oslonjen, onda Ajlerovu

silu NA treba zameniti kritinom silom N* prema podacima iz tablice 17 .2.

Tablica 17.4 sadri prirune podatke za zglobno J oslonjen tap, optereen u taki z = kl spoljnim si-lama p, P i M 1. Ta tablica sadri: izraz za ugib u

taki x = ml, gde je m < k (prvi redak) i pri m > k (drugi redak), zatim analogni izraz za ugao zaokreta e, vrednosti za eo i el na levom, odnosno na desnom osloncu, izraz za momenat savijanja M, apscisu take m* u kojoj momenat savijanja dostie svoju najveu vrednost mma.x i najzad, samu veliinu maksi-malnog momenta Mmax

Tablica 17.5 sadri analitike izraze za sile i pomeranja pritisnuto-savijenih tapova sa razliitim nainima oslanjanja njihovih krajeva.

Zavisnost sila (ili pomeranja) pritisnuto-savi-jenih tapova od veliine pritiskujue sile izraava se priblino odnosom:

s S= -----, 1-N/N,,,

(17.75)

gde je S - odgovarajua sila (odnosno pomeranje, odreeno bez uzimanja u obzir podune sile pritiska).

17.2.6 Princip nezavisnosti delova-nja sila.. Princip uzajamnosti pomeranja

Princip nezavisnosti delovanja sila (princip superpozicije) je kod pritisnuto-savijenih tapova primenljiv pri specifinom tretmanu, kada se sila pritiska N iskljuuje iz pojma "optereenja" i pri-daju joj se svojstva tapa (1 9 i 21a].

Zahvaljujui linearnosti diferencijalne jednaine (17.50) mogu se st.tperponirati dva reenja y 1 i y 2, prouzrokovana optereenjima p1 (x) i p2 (x), ako veli-ina a ostaje nepromenjena. To dalje znai da e pri fiksiranoj veliini sile pritiska N, reenje y = y 1 + y 2 izraavati delovanje optereenja p = p1 + p2

Koristei se principom superpozicije moe se pomou tablica (17.4) i (17.5) dobiti reenje itavog niza komplikovanijih zadataka, kada na pritisnuto--savijeni tap deluje nekoliko poprenih optereenja.

l7o2o LINEARNO-ELASTICNI PRITIS:II."UTI l PRITISNUTO-SAVIJENI STAPOVI NEPROMENWIVOG PRESEKA 19

T ablica 17.4

Sile i pomeranja linearno elastinog, pritisnuto-savijenog zglobno oslonjenog tapa -- ~ ---

~ ~ M,~ l ~~ tf/j mt L - -- ------

pt [1 - cos (l - k) u o Pl' [ sin ( l - k) u sin mu l M 1ZZ -- sm mu - - ~- X Efu2 u2 sin u Efu2 u sin u l Elu2 m< k cos (l - k)usin mu m J - m ( l - k)] l X [ - +m] - 2 (l - k)

2

sinu l l

y O

l l pl [ (m - k2)~(1 - m) Pl3 [ s in ku sin (l - m) u M 1l2 [ coskusin ( l - m) n + -Efu2 2 E fu2 usinu Efu2 sin u m > k

+ sin mu + sin (l - 1:1)ucosku - sinu] j

l - k (l - m)] - ( 1 - m)]

u2 smu l l ----- -- - - -

l p/3 [ ( l + k)2 l PZS [sin (l - k) u cos mu M,l E f u2 - 2 + - - X ! L f u1 sin u Efu m


Tablica 17.5 Sile i pomeranja linearno elastinih, pric.isnuto-

savijenih tapova

Shema

N81 lJ N - . .._

~

~~ ~~:t

.z 2 .

Mo Mo

"ti" - -. L "M

(Mo'= Na)

Sile i pomeranja l Momenat u sredini raspona -~

M = p l" ( -1

- l) u u

cos-' 2

Ugib u sredini raspona

( l u

2) pl - - - 1- -

y = -- u 8 Eiu cos -

2

U ga o zaokreta na osloncu

e= ~ (tg ~ - 2.) . El u2 u 2

Momenat pod silom P P l u

M = -tg - . 2u 2

Ugib pod silom P

y = 2~~~ ( tg ~ - ~) . Ugao zaokreta na osloncu

o = 2=~:2 (~ - l) . cos -

2

Momenat u sredini raspona Mo M = - - -

u 2cos-

2 Ugib u sredini raspona

y = M 0l2 (-1 _ 1) .

2/il u2 u COS -

2 Ugao zaokreta na osloncu

M 0l O = -- (l - u ctg u). Elu2

U ga o zaokreta na desnom osloncu

M 0 l ( u ) 0 = Bu2 sin u - 1

Momenat u sredini raspona Mo M=--.

u cos-

2

Ugib u sredini raspona

y = M 0F (-1 _ l) . El u2 u

cos-' 2

Ugao zaokreta na osloncu

M 0 l 1 - cos u 6 =-- -----,---Bl u sinu

Shema

N~{) N - -

z.


X--:------sin u - u cos u

U ga o zaokreta na !evom osloncu pl" = --. X

El u3

X . (2 - u sinu - 2cos u)2 l

2 (sin u - u cos u)( .l - cos u)

Reakcija levog oslonca l sin ku - ku cos u

R = P ------sin u - u cos u

Momenat p od silom P sin ku

M = Pl --- - X sin u - u cos u

x (cos (l - k) u -

- sin ( l - k) u _ k] . u

Momenat uklje tenja sin ku - k sin u

M = - Pl -:-----sin u - u cos u

Ugib pod silom P

pza [ y= -- K 1(sinku- ksinu) + Plu2

( sin ku) ] + K , k cos u - - u- ;

l - cos ( l - k ) u K1= . ;

sm u - u cos u

( l - k) u - sin ( ! - k ) u K2 = .

sm u - u cos u

Ugao zaokreta na !evom osloncu Pz2

e =- x Elu2

x [K1 (u - sin u)- K 2( 1- cos u)].

Reakcija desnog oslonca u u

cos -- - cos u 2 2

R = P - -----sin u - ucosu

Momenat pod silom P u

sin -2

M = Pl X sin u - u cos u

sin -(

u ) x cos!:!.- - --2- - _:_ .

2 u 2

17.2. LIN EARNO-ELASTICNI PRITISKUTI I P RITISNUTO-SAVI JENI STAPOVI NEPROMENLJIVOG PRESEKA 21

Shema

~~ 'tW!

2 2

.'fa N r--., N - }'::::::_---:;;;;--f -

,~- l :..__ ~ ---!


Sile i pomeranja l Momenat u sredini raspona

sin i (l - cos i) M =- Pl - - ----- .

sin u- u cos u Momenat u kljetenja

P/3 K y = Elu2 sinu - u cos u

u K = - cos u - u sin u +

4

( . u) Sin -+ sin -I l + - j- . Ugib u sredini raspona

Pt2 u) 0 = -- (t - COS - X El u2 1

u u 1 sin - - u cos -

1 1 x-------

sin u- u cos u

Momenat u kljetenja M 0 u (1 - cos u) R =- -----1 sinu-u cosu

Ugib levog (slobodnog) kraja u- sin u

M = -M0 -.-----smu-ucosu

U ga o zaokreta na Jevom osloncu

e = Mol, 1-usinu-lcosu Elu sinu - u cosu

---------------+----------------

p jo o ""';],, ,mmf

N l \: N -~r-=- =--- r ~

L-L-J

Momenat ukljetenja

M = pt ( u - l) . u2 u

2sin-1

Ugib slobodnog kraja pZZ ( u u M = - ;- l - 2 ctg 2 ) .

U ga o )aokreta slobodnog kra ja pi ( u u)

y = 2El u3 tg 4- 4 -- ----~--

~~ 'tw=-;j

2 2

Momenat ukl jetenja Pl u

M = - tg-. lu 4

Ugib slobodnog kraja Pl u

i\1 =- - tg-. lu 4

Ugao zaokreta slobodnog kraja Pf3 ( u u

y = El u3 tg 4 - 4)

Nastavak tablice 17.5 ------ ---- -.----

1

-----------

Shema Sile i pomeranja ------- ---~------

1 M =M-omenat--uk--lj-e-t-en_J_a--pt2 cos u+ u sin u-1

u2 cos u

Ugib levog kraja pl4

y = FJu4 X

x (cosu + usinu-1 _ ~). cosu 1

Ugao zaokreta levog kraja pza u- sin u

0=-- . - - -Eiu cos u l -~- -----;----- - ------

Momenat ukljetenja M = - Pl tgu.

u

Ugib levog kraja y = :[3. ( tg u - t) .

Elu- u Ugao zaokreta levog kraja

Pl ( l ) e= - Elu2 cos u- l .

----- --------;------------------1

Napomena. Pozitivne oslonake reakcije usmerene su nagore. Pozi-tivni momenti su oni koji zateu donje vlakno. Pozitivni su ugibi usmereni nado le. Pozitivni smer ug-lova zaokreta na osloncima od~;ovara pozitivnom smeru oslonakih momenata.

Momenat u kljetenja Mo

M =-cosu

Ugib levog kraja M 0l 2 l

y = - Elu2 (~;-~ - 1) Ugao zaokreta levog kraja

M 0l tgu 0 = --El u

M M N~\.9 9 .L . N - -?f- -4...~--

R R . t--f

Za pritisnuto-savijeni tap, kao i za svaki drugi linearno elastini sistem, vai princip uzajamnosti radova ( Mak;svelov princip) :

(17.76) U gornjem izrazu su P, i P k sile prvog, odnosno

drugog stanja, a o1k je na pravcu sile Po prouzroko-vano silom Pk.

Pod silama P, i P k treba podrazumevati poprena optereenja; poduna sila N je jedna te ista i u prvom i u drugom stanju.

Ako su sile P1 i Pk meusobno jednake po svojoj brojanoj vrednost i, napr. u posebnom sluaju kada su obe jedinine sile, P1 = P k = l , tada iz odnosa ( 17. 76) proistie princip uzajamnosti pomeranja (Beti-jev princip)

(17.77)

22 17. STABIL NOST LINIJSKIH SI ST EMA

17 .2. 7. Zategnuto-savijeni tapovi Diferencijalna jednaina malih pomeranja pr i

savijanju tapa, izloenog sloenom delovanju zate-zanja i savijanja (sl. 17. 12) glasi

d4y 2 d2y p (x) -- - oc -- = --, dx4 dx2 E J

(17.78)

gde je oc2 = N JE! , a N je sila zatezanja. Opti integral te jednaine

y = cl sh oc X + c2 ch oc X + C3x + c4 + YH (x) sadri hiperboline funkcije, ali se on moe i trans-formisati i prilagoditi formi metoda poetnih para-metara.

Meutim, nema potrebe za razvijanjem daljih analitikih zavisnosti, jer se obrasci za sile i pomeranja zategnuto-savijenog tapa mogu dobiti iz odgovara-

juih obrazaca za pritisnuto-savijeni tap (vidi tablice 17.4 i 17.5) na osnovu proste transformacije.

Parametar optereenja zategnuto-savijenog tapa v = vN/Ell (17.79)

(gde je N zateua sila) povezan je sa parametrom optereenja u odnosom u2 = - v2, a odavde se dobijaju sledei uslovi prelaza:

pritisnuto-savijeni tap: u sin u cos u tg u, zategnuto-savijeni tap : i v i sh v ch v i tg v. U rezultatu transformacije bilo kojeg od obr a-

zaca, simbol imaginarne jedinice i = v' - l se isklju-uje.

Sl. 17.12

Pomeranja zategnuto-savijenog tapa rastu spo-rije od porasta optereenja. Gubitak stabilnosti zategnutog tapa nije moguan.

17.2.8. Velika. pomeranja ekscentrino pritisnutih tapova

Ovde se razmat raju velika pomeranja usled savijanja kod ekscentrino pritisnutog, linearno elas-

tinog tapa. O smislu i o svrsi tog istraivanja vidi ta . 17 .l. ll.

Opti sluaj - nejednaki krajnji ekscentri-citeti (sl. 17.13).

D iferencijalna jednaina savijanja glasi l

El :~ [ 1- ( : ) 2J -2 +N (a+ y) - Hx = O, (17.80)

gde je s duina luka elastine linij e, odmerena od le-vog oslonca, a H su reakcije oslonaca, usmerene uprav-no na nedeformisanu osu tapa.

Sl. 17. 13

Sa usvojenim oznakama oc2 = N JE! i y = H /N (17.81)

reenje te jednaine se pie u parametarskom obliku :

2x ..!.. y = - (l + y2) 4 cos rp + yx - a,

oc

l

17.2. LINEARNO-ELASTICNI PRITISN'UTI I PRITISNUTO- SAVIJENI STAPOVI NEPROMENLJIVOG PRESEKA 23

Drugi i trei odnos (17.82) pri cp = cp1 daju

2x. v' l + y2 cos


U razmotrenom, geometrijski nelinearnom za-datku spektar sopstvenih znaenja pri N > NA je neprekidan.

Elastina Iinija centrino pritisnutog tapa esto se naziva elastika.

e) Ekscentriciteti na krajevima tapa su jednaki po apsolutnoj veliini ali su suprotni po pravcima i smerovima [20]

Dijagram ponaanja tapa pri k= -1 prikazan je u tablici 17 .3C; kao karakteristino pomeranje tu je uzet tangens ugla zaokreta 60 na levom osloncu. tap se ponaa kao idealan. Primarni ravnoteni oblik, sa ugibom na sredini duine tapa jednakim nuli (Ym = O) je stabilan kada je N ~ NA, a nesta-bilan je pri N > N A. Osim tog nestabilnog oblika, svakoj vrednosti N > NA odgovaraju po dva stabilna oblika ravnotee, kod kojih je antimetrija prvobitne

elastine linije u obliku S-krivine naruena, pa su ugibi Ym razliiti od nule.

Gubitku stabilnosti pri razgranavanju formi ravnotee odgovara tangens ugla zaokreta na osloncu

tg e~, = 2afxl. u kritinom stanju je 'Po = 1t{2, tako da se jednaina (17 .85) svodi na oblik

xvl + y2 =~ F(x); l

2x = y (2E (x) - F (x)], (17.93)

gde su F (x) i E (x) potpuni eliptini integrali. Kritina vrednost parametra optereenja je

u,~= 2F(x) (17.94)

a on zavisi od veliine ekscentriciteta a i pokazuje se da je neto manji od 1t; meutim, razlika je sasvim mala, jer se izraava samo u stotim delovima pro-centa, pa se stoga slobodno moe n apisati da je N:j: ~NA .

U razmotrenom zadatku predkritino (nepo-bueno) stanje je deformisano, za razliku od sluaja centrino pritisnutog tapa. Ta okolnost je uzrok nepodudarnosti kritinih parametara, odreenih ana-lizom malih, odnosno velikih pomeranja pri savijanju tapa.

17.3. LINEARNO-ELASTINI REETKASTI (TAPNI) SISTEMI. METODI PRORACUNAVANJA

17.3.1. Osnovne postavke prorauna prema deformisanoj shemi

konstrukterski prirucnik 1

Documents