klasicna algebra vektora - unizg.hrbruckler/vektori2.pdf · tako da !v , !w , !v !w po stuju...
TRANSCRIPT
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Klasicna algebra vektora
Franka Miriam Bruckler
Zagreb, 2011.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Skalari i vektori
Mnoge fizikalne velicine se uz odabir jedinice mogu jednoznacnoopisati brojevima: masa, gustoca, duljina, povrsina, volumen,energija, rad, . . . Takve velicine zovu se skalarnim velicinama.Mozemo reci i da su to one velicine koje se ne mijenjajupromjenom koordinatnog sustava u kojem opisujemo neki objekt.Rijec skalari koristi se kao sinonim za rijec brojevi u konteksturacuna s vektorima. U klasicnoj algebri vektora podrazumijeva seda su skalari realni brojevi. U tom se pak kontekstu vektoridefiniraju kao objekti koji imaju iznos (duljinu), smjer (pravac) iorijentaciju (smjer). Vektorske velicine su one fizikalne velicine zakoje nije dovoljan jedan broj da ih opise, primjerice brzina,ubrzanje, sila, dipolni moment, . . . Pomocu vektora se mogu opisatii razlicita preslikavanja ravnine ili prostora, recimo translacije,rotacije, . . .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Prostori V 3 i V 3(O)
Vektori u prostoru V 3(O) su orijentirane duzine−→OT kojima je
pocetak u istoj tocki O (ishodistu), a T je proizvoljna tockaprostora.U prostoru V 3 se uzima da sve orijentirane duzine koje se mogudobiti translacijom1 jedne odabrane orijentirane duzinepredstavljaju isti vektor −→v ; svaka od tih orijentiranih duzina zovese reprezentantom vektora −→v .Iako bi prema gornjem formalno u V 3 trebalo imati razlicite oznake
za vektor i njegov reprezentant, uobicajeno je pisati −→v =−→AB ako
je−→AB odabrani reprezentant vektora −→v . U V 3(O) svaki vektor
ima samo jedan reprezentant (onaj s pocetkom O), a u V 3 svakivektor ima beskonacno mnogo reprezentanata.
1−−→A′B ′ je translatirana
−→AB ako je ABB ′A′ paralelogram.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Vektorski prostori
Vektorski prostor se ugrubo moze definirati kao skup u kojemuznamo zbrajati elemente i mnoziti ih skalarima (tako da dobivamoelemente istog skupa i da te operacije imaju standardna,
”normalna”, svojstva, a to su upravo ona koja smo istakli). Vektori
se opcenito definiraju kao elementi vektorskih prostora. Kad kaoskalare koristimo iskljucivo realne brojeve, govorimo o realnimvektorskim prostorima.Prostori V 3 i V 3(O) uz opisane operacije zbrajanja (definiranopravilom paralelograma) i mnozenja skalarom su primjeri realnihvektorskih prostora. Njihove elemente cesto nazivamogeometrijskim ili euklidskim vektorima, ili pak popularno
”vektorima-strelicama”. Geometrijski vektori opisani su trima
osobinama: iznosom (duljinom), smjerom i orijentacijom.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Skalarni produkt vektora
Definicija (Skalarni produkt)
Skalarni produkt dva vektora definiran je s
−→v · −→w = v · w · cosϕ,
gdje je ϕ kut kojeg zatvaraju vektori −→v i −→w (biramo manji od dvamoguca kuta).
Uocimo:v = +
√−→v · −→v .
Tako definiran skalarni produkt ima sljedeca cetiri svojstva (za svevektore i skalare koji se u izrazima pojavljuju):
−→v · −→v ≥ 0; −→v · −→v = 0⇔ −→v =−→0 ; −→v · −→w = −→w · −→v ,
−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ; (x−→v ) · −→w = x(−→v · −→w ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Skalarni produkt vektora
Definicija (Skalarni produkt)
Skalarni produkt dva vektora definiran je s
−→v · −→w = v · w · cosϕ,
gdje je ϕ kut kojeg zatvaraju vektori −→v i −→w (biramo manji od dvamoguca kuta).
Uocimo:v = +
√−→v · −→v .Tako definiran skalarni produkt ima sljedeca cetiri svojstva (za svevektore i skalare koji se u izrazima pojavljuju):
−→v · −→v ≥ 0; −→v · −→v = 0⇔ −→v =−→0 ; −→v · −→w = −→w · −→v ,
−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ; (x−→v ) · −→w = x(−→v · −→w ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova skalarnog produkta?
Zadatak
Moze li skalarni produkt ispasti negativan?
Zadatak
Neka je −→a = 3−→p −−→q i−→b = 2−→p +−→q , p = 2, q = 3 i
^(−→p ,−→q ) = π3 . Izracunajte −→a ·
−→b i ^(−→a ,
−→b ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova skalarnog produkta?
Zadatak
Moze li skalarni produkt ispasti negativan?
Zadatak
Neka je −→a = 3−→p −−→q i−→b = 2−→p +−→q , p = 2, q = 3 i
^(−→p ,−→q ) = π3 . Izracunajte −→a ·
−→b i ^(−→a ,
−→b ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova skalarnog produkta?
Zadatak
Moze li skalarni produkt ispasti negativan?
Zadatak
Neka je −→a = 3−→p −−→q i−→b = 2−→p +−→q , p = 2, q = 3 i
^(−→p ,−→q ) = π3 . Izracunajte −→a ·
−→b i ^(−→a ,
−→b ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Skalarni produkt i ortogonalna projekcija jednog vektora nadrugi
Duljina x ortogonalne projekcije vektora −→w na −→v iznosi
x =−→v · −→w
v.
Naime, iz pravokutnog trokuta OBB ′ vidimo da je x = w cosϕ.Mnozenje s v daje xv = vw cosϕ = −→v · −→w .
Preciznije, ortogonalna projekcija vektora −→w na −→v je vektor−→v ·−→wv2−→v .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Skalarni produkt i ortogonalna projekcija jednog vektora nadrugi
Duljina x ortogonalne projekcije vektora −→w na −→v iznosi
x =−→v · −→w
v.
Naime, iz pravokutnog trokuta OBB ′ vidimo da je x = w cosϕ.Mnozenje s v daje xv = vw cosϕ = −→v · −→w .Preciznije, ortogonalna projekcija vektora −→w na −→v je vektor−→v ·−→wv2−→v .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Vektorski produkt vektora
Zadatak
Ako su −→v i −→w dva vektora, sto predstavlja iznos v · w · sinϕ?
Definicija (Vektorski produkt)
Vektorski produkt dva vektora −→v i −→w je vektor−→v ×−→w koji je okomit na oba vektora, iznos od−→v ×−→w jednak je v · w · sinϕ, tj. jednaka je povrsinia
paralelograma razapetog s −→v i −→w , a orijentiran jetako da −→v , −→w , −→v ×−→w postuju pravilo desne ruke.Po definiciji, produkt dva kolinearna vektora jenulvektor.
aU jedinici koja je kvadrat jedinice u kojoj se mjere duljinevektora.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Vektorski produkt vektora
Zadatak
Ako su −→v i −→w dva vektora, sto predstavlja iznos v · w · sinϕ?
Definicija (Vektorski produkt)
Vektorski produkt dva vektora −→v i −→w je vektor−→v ×−→w koji je okomit na oba vektora, iznos od−→v ×−→w jednak je v · w · sinϕ, tj. jednaka je povrsinia
paralelograma razapetog s −→v i −→w , a orijentiran jetako da −→v , −→w , −→v ×−→w postuju pravilo desne ruke.Po definiciji, produkt dva kolinearna vektora jenulvektor.
aU jedinici koja je kvadrat jedinice u kojoj se mjere duljinevektora.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova vektorskog produkta?
Zadatak
Koliko iznosi vektorski produkt nulvektora s nekim drugimvektorom?
Zadatak
Ako je −→w = −4,1−→v , koliko je −→v ×−→w ? A −→w ×−→w ?
Zadatak
Kad su vektori −→v , −→w , −→u = −→v ×−→w komplanarni?
Zadatak
Sto je krivo u formuli −→v ×−→w = v · w · sinϕ?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova vektorskog produkta?
Zadatak
Koliko iznosi vektorski produkt nulvektora s nekim drugimvektorom?
Zadatak
Ako je −→w = −4,1−→v , koliko je −→v ×−→w ? A −→w ×−→w ?
Zadatak
Kad su vektori −→v , −→w , −→u = −→v ×−→w komplanarni?
Zadatak
Sto je krivo u formuli −→v ×−→w = v · w · sinϕ?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova vektorskog produkta?
Zadatak
Koliko iznosi vektorski produkt nulvektora s nekim drugimvektorom?
Zadatak
Ako je −→w = −4,1−→v , koliko je −→v ×−→w ? A −→w ×−→w ?
Zadatak
Kad su vektori −→v , −→w , −→u = −→v ×−→w komplanarni?
Zadatak
Sto je krivo u formuli −→v ×−→w = v · w · sinϕ?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova vektorskog produkta?
Zadatak
Koliko iznosi vektorski produkt nulvektora s nekim drugimvektorom?
Zadatak
Ako je −→w = −4,1−→v , koliko je −→v ×−→w ? A −→w ×−→w ?
Zadatak
Kad su vektori −→v , −→w , −→u = −→v ×−→w komplanarni?
Zadatak
Sto je krivo u formuli −→v ×−→w = v · w · sinϕ?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova vektorskog produkta?
Zadatak
Koliko iznosi vektorski produkt nulvektora s nekim drugimvektorom?
Zadatak
Ako je −→w = −4,1−→v , koliko je −→v ×−→w ? A −→w ×−→w ?
Zadatak
Kad su vektori −→v , −→w , −→u = −→v ×−→w komplanarni?
Zadatak
Sto je krivo u formuli −→v ×−→w = v · w · sinϕ?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koliko iznosi −→v · (−→v ×−→w )?
Zadatak
Je li −→v ×−→w = −→w ×−→v ?
Osim u prethodna dva zadatka otkrivenih (tzv. ortogonalnosti iantikomutativnosti), neka druga korisna svojstva vektorskogprodukta su:
distributivnosti prema zbrajanju:
−→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→u ,
(−→v +−→w )×−→u = −→v ×−→u +−→w ×−→u ,
kvaziasocijativnost α(−→v ×−→w ) = (α−→v )×−→w ,
(−→v ×−→w )×−→u = (−→v · −→u )−→w − (−→w · −→u )−→v ,
|−→v ×−→w |2 = |−→v |2 |−→w |2 − (−→v · −→w )2
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koliko iznosi −→v · (−→v ×−→w )?
Zadatak
Je li −→v ×−→w = −→w ×−→v ?
Osim u prethodna dva zadatka otkrivenih (tzv. ortogonalnosti iantikomutativnosti), neka druga korisna svojstva vektorskogprodukta su:
distributivnosti prema zbrajanju:
−→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→u ,
(−→v +−→w )×−→u = −→v ×−→u +−→w ×−→u ,
kvaziasocijativnost α(−→v ×−→w ) = (α−→v )×−→w ,
(−→v ×−→w )×−→u = (−→v · −→u )−→w − (−→w · −→u )−→v ,
|−→v ×−→w |2 = |−→v |2 |−→w |2 − (−→v · −→w )2
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Koliko iznosi −→v · (−→v ×−→w )?
Zadatak
Je li −→v ×−→w = −→w ×−→v ?
Osim u prethodna dva zadatka otkrivenih (tzv. ortogonalnosti iantikomutativnosti), neka druga korisna svojstva vektorskogprodukta su:
distributivnosti prema zbrajanju:
−→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→u ,
(−→v +−→w )×−→u = −→v ×−→u +−→w ×−→u ,
kvaziasocijativnost α(−→v ×−→w ) = (α−→v )×−→w ,
(−→v ×−→w )×−→u = (−→v · −→u )−→w − (−→w · −→u )−→v ,
|−→v ×−→w |2 = |−→v |2 |−→w |2 − (−→v · −→w )2
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Mjesoviti produkt triju vektora
Definicija (Mjesoviti produkt)
Mjesoviti produkt triju vektora definiran je s:
(−→u ,−→v ,−→w ) = −→u · (−→v ×−→w ).
Njegovo osnovno svojstvo je tzv. ciklicka invarijantnost:
(−→u ,−→v ,−→w ) = (−→v ,−→w ,−→u ) = (−→w ,−→u ,−→v ).
Broj |(−→u ,−→v ,−→w )| predstavlja volumen paralelepipeda(paralelogramske prizme) razapetog vektorima −→u ,−→v ,−→w .Uocite: |
√−→v · −→v | je duljina duzine odredene vektorom −→v ,|−→v ×−→w | je povrsina paralelograma odredenog vektorima −→v i −→w , a|(−→u ,−→v ,−→w )| je volumen paralelepipeda odredene vektorima −→u , −→v ,−→w .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Volumen jedinicne celije je za sve kristalne sustave dan formulom
V = |(−→a ,−→b ,−→c )| = |−→a · (
−→b ×−→c )|.
Zadatak
Zasto nije tocno: (−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u · −→v )×−→w ?
Zadatak
Koji odnos triju vektora je najlakse uociti iz njihova mjesovitogprodukta?
Zadatak
Iz V = |(−→a ,−→b ,−→c )| izvedite nevektorsku formulu za volumen
jedinicne celije u monoklinskom sustavu (V = abc sinβ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Volumen jedinicne celije je za sve kristalne sustave dan formulom
V = |(−→a ,−→b ,−→c )| = |−→a · (
−→b ×−→c )|.
Zadatak
Zasto nije tocno: (−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u · −→v )×−→w ?
Zadatak
Koji odnos triju vektora je najlakse uociti iz njihova mjesovitogprodukta?
Zadatak
Iz V = |(−→a ,−→b ,−→c )| izvedite nevektorsku formulu za volumen
jedinicne celije u monoklinskom sustavu (V = abc sinβ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Volumen jedinicne celije je za sve kristalne sustave dan formulom
V = |(−→a ,−→b ,−→c )| = |−→a · (
−→b ×−→c )|.
Zadatak
Zasto nije tocno: (−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u · −→v )×−→w ?
Zadatak
Koji odnos triju vektora je najlakse uociti iz njihova mjesovitogprodukta?
Zadatak
Iz V = |(−→a ,−→b ,−→c )| izvedite nevektorsku formulu za volumen
jedinicne celije u monoklinskom sustavu (V = abc sinβ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Problem, zapravo njih pet
Recimo da je neki kristal, koji se sastoji od dva tipa iona, gradentako da su ioni prvog tipa na pozicijama (l ,m, n) za cijele brojevel , m i n (i nigdje drugo), a ioni drugog tipa na pozicijama(l + 0,5, m + 0,5, n + 0,5) (i nigdje drugo). Kako izgleda kristalnastruktura? Znamo li kojem kristalnom sustavu kristal pripada?
O kojem vektoru govorimo ako kazemo da on ima koordinate[−2, 1, 0]?
Ako u Kartezijevom koordinatnom sustavu govorimo o vektoru skoordinatama [−1, 1], kako taj vektor
”lezi” u ravnini?
Koje koordinate ima vektor kojemu je pocetak u gornjem lijevomkutu ove predavaonice, a kraj u jugozapadnom gornjem kutuzgrade PMF-KO?
Ima li smisla/potrebe definirati koordinate tocaka u ravniniobzirom na tri koordinatne osi?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Problem, zapravo njih pet
Recimo da je neki kristal, koji se sastoji od dva tipa iona, gradentako da su ioni prvog tipa na pozicijama (l ,m, n) za cijele brojevel , m i n (i nigdje drugo), a ioni drugog tipa na pozicijama(l + 0,5, m + 0,5, n + 0,5) (i nigdje drugo). Kako izgleda kristalnastruktura? Znamo li kojem kristalnom sustavu kristal pripada?
O kojem vektoru govorimo ako kazemo da on ima koordinate[−2, 1, 0]?
Ako u Kartezijevom koordinatnom sustavu govorimo o vektoru skoordinatama [−1, 1], kako taj vektor
”lezi” u ravnini?
Koje koordinate ima vektor kojemu je pocetak u gornjem lijevomkutu ove predavaonice, a kraj u jugozapadnom gornjem kutuzgrade PMF-KO?
Ima li smisla/potrebe definirati koordinate tocaka u ravniniobzirom na tri koordinatne osi?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Problem, zapravo njih pet
Recimo da je neki kristal, koji se sastoji od dva tipa iona, gradentako da su ioni prvog tipa na pozicijama (l ,m, n) za cijele brojevel , m i n (i nigdje drugo), a ioni drugog tipa na pozicijama(l + 0,5, m + 0,5, n + 0,5) (i nigdje drugo). Kako izgleda kristalnastruktura? Znamo li kojem kristalnom sustavu kristal pripada?
O kojem vektoru govorimo ako kazemo da on ima koordinate[−2, 1, 0]?
Ako u Kartezijevom koordinatnom sustavu govorimo o vektoru skoordinatama [−1, 1], kako taj vektor
”lezi” u ravnini?
Koje koordinate ima vektor kojemu je pocetak u gornjem lijevomkutu ove predavaonice, a kraj u jugozapadnom gornjem kutuzgrade PMF-KO?
Ima li smisla/potrebe definirati koordinate tocaka u ravniniobzirom na tri koordinatne osi?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Problem, zapravo njih pet
Recimo da je neki kristal, koji se sastoji od dva tipa iona, gradentako da su ioni prvog tipa na pozicijama (l ,m, n) za cijele brojevel , m i n (i nigdje drugo), a ioni drugog tipa na pozicijama(l + 0,5, m + 0,5, n + 0,5) (i nigdje drugo). Kako izgleda kristalnastruktura? Znamo li kojem kristalnom sustavu kristal pripada?
O kojem vektoru govorimo ako kazemo da on ima koordinate[−2, 1, 0]?
Ako u Kartezijevom koordinatnom sustavu govorimo o vektoru skoordinatama [−1, 1], kako taj vektor
”lezi” u ravnini?
Koje koordinate ima vektor kojemu je pocetak u gornjem lijevomkutu ove predavaonice, a kraj u jugozapadnom gornjem kutuzgrade PMF-KO?
Ima li smisla/potrebe definirati koordinate tocaka u ravniniobzirom na tri koordinatne osi?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Problem, zapravo njih pet
Recimo da je neki kristal, koji se sastoji od dva tipa iona, gradentako da su ioni prvog tipa na pozicijama (l ,m, n) za cijele brojevel , m i n (i nigdje drugo), a ioni drugog tipa na pozicijama(l + 0,5, m + 0,5, n + 0,5) (i nigdje drugo). Kako izgleda kristalnastruktura? Znamo li kojem kristalnom sustavu kristal pripada?
O kojem vektoru govorimo ako kazemo da on ima koordinate[−2, 1, 0]?
Ako u Kartezijevom koordinatnom sustavu govorimo o vektoru skoordinatama [−1, 1], kako taj vektor
”lezi” u ravnini?
Koje koordinate ima vektor kojemu je pocetak u gornjem lijevomkutu ove predavaonice, a kraj u jugozapadnom gornjem kutuzgrade PMF-KO?
Ima li smisla/potrebe definirati koordinate tocaka u ravniniobzirom na tri koordinatne osi?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Linearne kombinacije
Definicija (Linearna kombinacija)
Linearna kombinacija jednog ili vise vektora je izraz, tj. vektor, kojije zbroj tih vektora pomnozenih s nekim skalarima.
Primjerice, 2−→a − 4−→b +−→c je jedna linearna kombinacija vektora
−→a ,−→b i −→c , a −→a −−→c je druga.
−→v i −→w su kolinearni ⇔ −→v = x−→w za neki skalar x ;−→u , −→v i −→w su komplanarni ⇔ −→u = x−→v + y−→w za neke skalarex i y .
Kolinearnost i komplanarnost su dakle slucajevi kad se neki vektormoze zapisati kao linearna kombinacija nekih drugih vektora.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Linearne kombinacije
Definicija (Linearna kombinacija)
Linearna kombinacija jednog ili vise vektora je izraz, tj. vektor, kojije zbroj tih vektora pomnozenih s nekim skalarima.
Primjerice, 2−→a − 4−→b +−→c je jedna linearna kombinacija vektora
−→a ,−→b i −→c , a −→a −−→c je druga.
−→v i −→w su kolinearni ⇔ −→v = x−→w za neki skalar x ;−→u , −→v i −→w su komplanarni ⇔ −→u = x−→v + y−→w za neke skalarex i y .
Kolinearnost i komplanarnost su dakle slucajevi kad se neki vektormoze zapisati kao linearna kombinacija nekih drugih vektora.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Linearna (ne)zavisnost
Definicija (Linearna (ne)zavisnost)
Skup vektora {−→v ,−→w , . . .} je linearno nezavisan skupako se (bar) jedan od vektora tog skupa moze zapisati kao linearnakombinacija ostalih vektora. Skup vektora koji nije linearno zavisanzove se linearno nezavisan skup.
Primjer
Skup {−→v , 2−→v , 3−→v , . . . , n−→v } je linearno zavisan za svaki vektor −→vi n > 1.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Moze li skup vektora koji sadrzi nulvektor biti linearno nezavisan?
Zadatak
Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan?
Zadatak
Postoji li u V 3 odnosno V 3(0) cetveroclani linearno nezavisanskup?
Napomena
Skup vektora je linearno nezavisan ako se nulvektor moze zapisatikao njihova linearna kombinacija na samo jedan (tzv. trivijalan)nacin: tako da svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji budu 0.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Moze li skup vektora koji sadrzi nulvektor biti linearno nezavisan?
Zadatak
Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan?
Zadatak
Postoji li u V 3 odnosno V 3(0) cetveroclani linearno nezavisanskup?
Napomena
Skup vektora je linearno nezavisan ako se nulvektor moze zapisatikao njihova linearna kombinacija na samo jedan (tzv. trivijalan)nacin: tako da svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji budu 0.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Moze li skup vektora koji sadrzi nulvektor biti linearno nezavisan?
Zadatak
Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan?
Zadatak
Postoji li u V 3 odnosno V 3(0) cetveroclani linearno nezavisanskup?
Napomena
Skup vektora je linearno nezavisan ako se nulvektor moze zapisatikao njihova linearna kombinacija na samo jedan (tzv. trivijalan)nacin: tako da svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji budu 0.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Moze li skup vektora koji sadrzi nulvektor biti linearno nezavisan?
Zadatak
Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan?
Zadatak
Postoji li u V 3 odnosno V 3(0) cetveroclani linearno nezavisanskup?
Napomena
Skup vektora je linearno nezavisan ako se nulvektor moze zapisatikao njihova linearna kombinacija na samo jedan (tzv. trivijalan)nacin: tako da svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji budu 0.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Dimenzija vektorskog prostora
Definicija (Dimenzija)
Najveci broj elemenata koje u danom vektorskom prostoru mozeimati neki linearno nezavisan skup vektora zove se dimenzijaprostora.
Tako pravac mozemo zvati jednodimenzionalnim jer su svaka dvane-nulvektora na pravcu kolinearni, tj. linearno zavisni, ravnina2 jedvodimenzionalna — lako nademo dva nekolinearna vektora, alisvaki treci je s njima komplanaran, a nas uobicajeni prostor jetrodimenzionalan.
2Odgovarajuci vektorski prostori oznacavaju se V 2(O) odnosno V 2.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Baza vektorskog prostora
Definicija (Baza)
Baza prostora je bilo koji linearno nezavisan skup vektora koji imaonoliko elemenata kolika je dimenzija prostora.
Baza je skup s najmanjim mogucim brojem vektora takav da se svivektori mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora baze, i tona jedinstven nacin. Takav zapis zovemo prikaz vektora u bazi.Jedinstvenost tog prikaza je posljedica linearne nezavisnosti baze,dok bi se mogucnost prikaza svakog vektora u bazi trebala (imoze) dokazati.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
U ravnini svaka dva nekolinearna vektora −→a i−→b cine bazu: tada
se svaki vektor −→v u ravnini moze zapisati kao
−→v = x−→a + y−→b
s jedinstveno odredenim skalarima x i y .
Primjer
−→v = 2−→a + 12
−→b .
U prostoru svaka tri nekomplanarna vektora −→a ,−→b i −→c cine bazu:
tada se svaki vektor −→v u prostoru moze zapisati kao
−→v = x−→a + y−→b + z−→c
s jedinstveno odredenim skalarima x , y i z .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Koordinatni sustav u prostoru
Koordinate vektora su skalari koji su koeficijenti uz vektore baze u
prikazu vektora u bazi. Ako −→a ,−→b i −→c cine bazu za V 3, onda
vektor −→v = x−→a + y−→b + z−→c koordinatno zapisujemo kao [x , y , z ].
Definicija
Koordinatni sustav u prostoru sastoji se od jedne tocke O kojuzovemo ishodiste koordinatnog sustava te jedne bazeodgovarajuceg vektorskog prostoraa.
aU pravilu se ta baza poistovjecuje s pripadnim radij-vektorima, tj.reprezentantima vektora baze koji pocinju u O
Svaku tocku T prostora jednoznacno mozemo opisati njenim
radij-vektorom−→OT . Ako su njegove koordinate [x , y , z ], onda se
uredena trojka brojeve (x , y , z) zove koordinatama tocke T .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Koordinatni sustav u prostoru
Koordinate vektora su skalari koji su koeficijenti uz vektore baze u
prikazu vektora u bazi. Ako −→a ,−→b i −→c cine bazu za V 3, onda
vektor −→v = x−→a + y−→b + z−→c koordinatno zapisujemo kao [x , y , z ].
Definicija
Koordinatni sustav u prostoru sastoji se od jedne tocke O kojuzovemo ishodiste koordinatnog sustava te jedne bazeodgovarajuceg vektorskog prostoraa.
aU pravilu se ta baza poistovjecuje s pripadnim radij-vektorima, tj.reprezentantima vektora baze koji pocinju u O
Svaku tocku T prostora jednoznacno mozemo opisati njenim
radij-vektorom−→OT . Ako su njegove koordinate [x , y , z ], onda se
uredena trojka brojeve (x , y , z) zove koordinatama tocke T .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Koordinatni sustav u prostoru
Koordinate vektora su skalari koji su koeficijenti uz vektore baze u
prikazu vektora u bazi. Ako −→a ,−→b i −→c cine bazu za V 3, onda
vektor −→v = x−→a + y−→b + z−→c koordinatno zapisujemo kao [x , y , z ].
Definicija
Koordinatni sustav u prostoru sastoji se od jedne tocke O kojuzovemo ishodiste koordinatnog sustava te jedne bazeodgovarajuceg vektorskog prostoraa.
aU pravilu se ta baza poistovjecuje s pripadnim radij-vektorima, tj.reprezentantima vektora baze koji pocinju u O
Svaku tocku T prostora jednoznacno mozemo opisati njenim
radij-vektorom−→OT . Ako su njegove koordinate [x , y , z ], onda se
uredena trojka brojeve (x , y , z) zove koordinatama tocke T .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Tocka T na slici s pretproslog slide-a, a obzirom na bazu {−→a ,−→b },
ima koordinate(2, 1
2
). Pripadni radij-vektor
−→OT = −→v mozemo
zapisati s[2, 1
2
].
Primjer
Ako netko govori o vektoru −→v = [2,−1, 3] u prostoru, to nijejednoznacno odredeno bez da kaze obzirom na koju bazu sukoordinate dane. Ako znamo da se radi o koordinatnom zapisu
obzirom na bazu {−→a ,−→b ,−→c }, onda znamo da je
−→v = 2−→a −−→b + 3−→c .
Zadatak
Koje koordinate mogu imati vektori baze {−→a ,−→b ,−→c } obzirom na
tu istu bazu?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Tocka T na slici s pretproslog slide-a, a obzirom na bazu {−→a ,−→b },
ima koordinate(2, 1
2
). Pripadni radij-vektor
−→OT = −→v mozemo
zapisati s[2, 1
2
].
Primjer
Ako netko govori o vektoru −→v = [2,−1, 3] u prostoru, to nijejednoznacno odredeno bez da kaze obzirom na koju bazu sukoordinate dane. Ako znamo da se radi o koordinatnom zapisu
obzirom na bazu {−→a ,−→b ,−→c }, onda znamo da je
−→v = 2−→a −−→b + 3−→c .
Zadatak
Koje koordinate mogu imati vektori baze {−→a ,−→b ,−→c } obzirom na
tu istu bazu?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Tocka T na slici s pretproslog slide-a, a obzirom na bazu {−→a ,−→b },
ima koordinate(2, 1
2
). Pripadni radij-vektor
−→OT = −→v mozemo
zapisati s[2, 1
2
].
Primjer
Ako netko govori o vektoru −→v = [2,−1, 3] u prostoru, to nijejednoznacno odredeno bez da kaze obzirom na koju bazu sukoordinate dane. Ako znamo da se radi o koordinatnom zapisu
obzirom na bazu {−→a ,−→b ,−→c }, onda znamo da je
−→v = 2−→a −−→b + 3−→c .
Zadatak
Koje koordinate mogu imati vektori baze {−→a ,−→b ,−→c } obzirom na
tu istu bazu?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Koordinatno zbrajanje i mnozenje skalarom
Uz koordinatni prikaz, lako je opisati zbrajanje vektora i mnozenjevektora skalarom. Ipak, budite oprezni: koordinatne operacije svektorima imaju smisla samo ako smo odabrali i fiksirali bazuprostora. Vektore u koordinatnom prikazu zbrajamo tako dazbrojimo odgovarajuce koordinate, a mnozimo skalarom tako da imsve koordinate pomnozimo tim skalarom:
[x , y , z ] + [x ′, y ′, z ′] = [x + x ′, y + y ′, z + z ′],
α[x , y , z ] = [αx , αy , αz ].
Primjer
Ako su −→v = [1, 2, 0] i −→w = [−5, 1, 1] (oba vektora imaju
koordinate obzirom na istu bazu {−→a ,−→b ,−→c }), onda je
−→v − 2−→w = [1, 2, 0]− 2[−5, 1, 1] = [1, 2, 0] + [10,−2,−2] =[11, 0,−2](= 11−→a − 2−→c ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Ako su dva vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu,kako cemo po koordinatama prepoznati da su kolinearni?
Zadatak
Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), azavrsava u tocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.
Zadatak
Zadani su linearno nezavisni vektori −→a = [2,−1, 3],−→b = [1,−3, 2]
i −→c = [−3, 2,−4]. Napisite vektor −→x = [2,−7, 4] kao linearnu
kombinaciju vektora −→a ,−→b i −→c .
Zadatak
Zapisite opci oblik linearne kombinacije vektora [1,−2, 0], [0, 3, 0] i[−2, 0, 1]. Jesu li ta tri vektora linearno zavisna?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Ako su dva vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu,kako cemo po koordinatama prepoznati da su kolinearni?
Zadatak
Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), azavrsava u tocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.
Zadatak
Zadani su linearno nezavisni vektori −→a = [2,−1, 3],−→b = [1,−3, 2]
i −→c = [−3, 2,−4]. Napisite vektor −→x = [2,−7, 4] kao linearnu
kombinaciju vektora −→a ,−→b i −→c .
Zadatak
Zapisite opci oblik linearne kombinacije vektora [1,−2, 0], [0, 3, 0] i[−2, 0, 1]. Jesu li ta tri vektora linearno zavisna?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Ako su dva vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu,kako cemo po koordinatama prepoznati da su kolinearni?
Zadatak
Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), azavrsava u tocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.
Zadatak
Zadani su linearno nezavisni vektori −→a = [2,−1, 3],−→b = [1,−3, 2]
i −→c = [−3, 2,−4]. Napisite vektor −→x = [2,−7, 4] kao linearnu
kombinaciju vektora −→a ,−→b i −→c .
Zadatak
Zapisite opci oblik linearne kombinacije vektora [1,−2, 0], [0, 3, 0] i[−2, 0, 1]. Jesu li ta tri vektora linearno zavisna?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Ako su dva vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu,kako cemo po koordinatama prepoznati da su kolinearni?
Zadatak
Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), azavrsava u tocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.
Zadatak
Zadani su linearno nezavisni vektori −→a = [2,−1, 3],−→b = [1,−3, 2]
i −→c = [−3, 2,−4]. Napisite vektor −→x = [2,−7, 4] kao linearnu
kombinaciju vektora −→a ,−→b i −→c .
Zadatak
Zapisite opci oblik linearne kombinacije vektora [1,−2, 0], [0, 3, 0] i[−2, 0, 1]. Jesu li ta tri vektora linearno zavisna?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Provjera linearne nezavisnosti (nekomplanarnosti)
Mozete li temeljem prethodnog zadatka opisati kako biste opcenitoza tri vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu provjerilijesu li komplanarni (primjerice zato da provjerite cine li bazuprostora)?
Vektori −→a = [a1, a2, a3],−→b = [b1, b2, b3] i −→c = [c1, c2, c3] su
nekomplanarni tocno ako homogeni sustav linearnih jednadzbi
a1x + b1y + c1z = 0
a2x + b2y + c2z = 0
a3x + b3y + c3z = 0
ima jedinstveno rjesenje (x , y , z) = (0, 0, 0).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Provjera linearne nezavisnosti (nekomplanarnosti)
Mozete li temeljem prethodnog zadatka opisati kako biste opcenitoza tri vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu provjerilijesu li komplanarni (primjerice zato da provjerite cine li bazuprostora)?
Vektori −→a = [a1, a2, a3],−→b = [b1, b2, b3] i −→c = [c1, c2, c3] su
nekomplanarni tocno ako homogeni sustav linearnih jednadzbi
a1x + b1y + c1z = 0
a2x + b2y + c2z = 0
a3x + b3y + c3z = 0
ima jedinstveno rjesenje (x , y , z) = (0, 0, 0).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Promjena koordinatnog sustava
Primjer
Neka −→v ima koordinate [10, 5, 0] obzirom na bazu {−→a ,−→b ,−→c }.
Odredimo njegove koordinate obzirom na bazu {−→a ′,−→b ′,−→c ′}, gdje
je −→a ′ = [1,−1, 1],−→b ′ = [0, 1, 2], −→c ′ = [3, 0,−1].
Cilj nam je odrediti brojeve x ′, y ′ i z ′ tako da je
−→v = x ′−→a ′ + y ′−→b ′ + z ′−→c ′.
Vektore −→a ′,−→b ′ i −→c ′ temeljem njihovih koordinata znamo prikazati
u bazi {−→a ,−→b ,−→c }, a isto znamo uciniti i s −→v .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
To je ekvivalentno s
[10, 5, 0] = x ′[1,−1, 1] + y ′[0, 1, 2] + z ′[3, 0,−1],
odnosno rjesavanjem sustava
x ′ + 3z ′ = 10,
−x ′ + y ′ = 5,
x ′ + 2y ′ − z ′ = 0.
Odgovarajuce rjesenje je x ′ = −2, y ′ = 3, z ′ = 4.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Recimo da neki vektor −→r ima koordinate [x , y , z ] obzirom na jednu
bazu {−→a ,−→b ,−→c }, a zelimo odrediti njegove koordinate u nekoj
drugoj bazi {−→a ′,−→b ′,−→c ′}, gdje su poznate koordinate vektora nove
baze obzirom na staru: −→a ′ = [x1, y1, z1],−→b ′ = [x2, y2, z2],
−→c ′ = [x3, y3, z3]. Oznacimo trazene koordinate vektora −→r u novojbazi s [x ′, y ′, z ′]. Tada mora vrijediti
[x , y , z ] = x ′[x1, y1, z1] + y ′[x2, y2, z2] + z ′[x3, y3, z3],
odnosno nove koordinate se dobiju kao rjesenje sustava
x1x ′ + x2y ′ + x3z ′ = x ,
y1x ′ + y2y ′ + y3z ′ = y ,
z1x ′ + z2y ′ + z3z ′ = z .
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Ortogonalnost i ortonormirane baze
Dva vektora su medusobno ortogonalni ako im je skalarni produktnula:
−→v ⊥ −→w ⇔ −→v · −→w = 0.
Svaki skup vektora u kojem su svaka dva vektora medusobnoortogonalna je linearno nezavisan. Baza je ortonormirana baza akosu svi vektori u njoj jedinicni (ergo iste duljine) i medusobno
ortogonalni. Ortonormirana baza {−→a ,−→b ,−→c } zove se desna ako je
−→c = −→a ×−→b . Standardna desna ortonormirana baza u prostoru
oznacava se s {−→i ,−→j ,−→k }.
Zadatak
Ako su dva vektora dani koordinatno s −→v = [x , y , z ] i−→w = [x ′, y ′, z ′] obzirom na ortonorminanu bazu, izrazite njihovskalarni produkt preko koordinata. Kako formula glasi za opcubazu?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Ortogonalnost i ortonormirane baze
Dva vektora su medusobno ortogonalni ako im je skalarni produktnula:
−→v ⊥ −→w ⇔ −→v · −→w = 0.
Svaki skup vektora u kojem su svaka dva vektora medusobnoortogonalna je linearno nezavisan. Baza je ortonormirana baza akosu svi vektori u njoj jedinicni (ergo iste duljine) i medusobno
ortogonalni. Ortonormirana baza {−→a ,−→b ,−→c } zove se desna ako je
−→c = −→a ×−→b . Standardna desna ortonormirana baza u prostoru
oznacava se s {−→i ,−→j ,−→k }.
Zadatak
Ako su dva vektora dani koordinatno s −→v = [x , y , z ] i−→w = [x ′, y ′, z ′] obzirom na ortonorminanu bazu, izrazite njihovskalarni produkt preko koordinata. Kako formula glasi za opcubazu?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Ortogonalnost i ortonormirane baze
Dva vektora su medusobno ortogonalni ako im je skalarni produktnula:
−→v ⊥ −→w ⇔ −→v · −→w = 0.
Svaki skup vektora u kojem su svaka dva vektora medusobnoortogonalna je linearno nezavisan. Baza je ortonormirana baza akosu svi vektori u njoj jedinicni (ergo iste duljine) i medusobno
ortogonalni. Ortonormirana baza {−→a ,−→b ,−→c } zove se desna ako je
−→c = −→a ×−→b . Standardna desna ortonormirana baza u prostoru
oznacava se s {−→i ,−→j ,−→k }.
Zadatak
Ako su dva vektora dani koordinatno s −→v = [x , y , z ] i−→w = [x ′, y ′, z ′] obzirom na ortonorminanu bazu, izrazite njihovskalarni produkt preko koordinata. Kako formula glasi za opcubazu?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Koordinatni prikazi produkata vektora
Ako su dane koordinate vektora obzirom na ortonormiranu bazu−→v = [x , y , z ], −→w = [x ′, y ′, z ′], −→u = [x ′′, y ′′, z ′′], onda je
−→v · −→w = xx ′ + yy ′ + zz ′,
−→v ×−→w = [yz ′ − y ′z , x ′z − xz ′, xy ′ − x ′y ] =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
x y zx ′ y ′ z ′
∣∣∣∣∣∣ ,(−→v ,−→w ,−→u ) =
∣∣∣∣∣∣x y zx ′ y ′ z ′
x ′′ y ′′ z ′′
∣∣∣∣∣∣ .Sve tri formule vrijede samo ako je referentna bazaortonormirana!!!
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
U slucaju koordinatizacije pomocu ortonormirane baze za specijalnislucaj −→v · −→v = [x , y , z ] · [x , y , z ] = x2 + y 2 + z2 iz v =
√−→v · −→vdobivamo formulu za iznos vektora
v =√
x2 + y 2 + z2.
I ona vrijedi samo ako je referentna baza ortonormirana. Kakoformula glasi za opcu bazu?Jedna od vaznih primjena skalarnog produkta je odredivanjekutova. Naime, cesto znamo koordinatne zapise vektora obziromna ortonormiranu bazu pa im je lako izracunati skalarni produkt.Kut ϕ medu tim vektorima onda dobijemo iz
cosϕ =−→v · −→wv · w
.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Uz pretpostavku da je odabrana baza ortonormirana, odrediteudaljenost tocaka A = (5,−2, 3) i B = (0,−1, 8).
Zadatak
Neka je −→v = [6,−3, 2], gdje su koordinate dane obzirom naortonormiranu bazu. Odredite koordinate jedinicnih vektora iste isuprotne orijentacije od −→v .
Zadatak
Ako su −→a = [1, 2,−4],−→b = [10, 1, 3] i −→c = [−3,−6, 24] vektori,
provjerite koji od njih su kolinearni ili okomiti te jesu li ti vektorikomplanarni. Cine li ti vektori bazu prostora? Baza obzirom nakoju su odabrane koordinate je ortonormirana.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Uz pretpostavku da je odabrana baza ortonormirana, odrediteudaljenost tocaka A = (5,−2, 3) i B = (0,−1, 8).
Zadatak
Neka je −→v = [6,−3, 2], gdje su koordinate dane obzirom naortonormiranu bazu. Odredite koordinate jedinicnih vektora iste isuprotne orijentacije od −→v .
Zadatak
Ako su −→a = [1, 2,−4],−→b = [10, 1, 3] i −→c = [−3,−6, 24] vektori,
provjerite koji od njih su kolinearni ili okomiti te jesu li ti vektorikomplanarni. Cine li ti vektori bazu prostora? Baza obzirom nakoju su odabrane koordinate je ortonormirana.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Uz pretpostavku da je odabrana baza ortonormirana, odrediteudaljenost tocaka A = (5,−2, 3) i B = (0,−1, 8).
Zadatak
Neka je −→v = [6,−3, 2], gdje su koordinate dane obzirom naortonormiranu bazu. Odredite koordinate jedinicnih vektora iste isuprotne orijentacije od −→v .
Zadatak
Ako su −→a = [1, 2,−4],−→b = [10, 1, 3] i −→c = [−3,−6, 24] vektori,
provjerite koji od njih su kolinearni ili okomiti te jesu li ti vektorikomplanarni. Cine li ti vektori bazu prostora? Baza obzirom nakoju su odabrane koordinate je ortonormirana.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Zadani su vektori −→a = [2,−1, 3] i−→b = [1,−2, 4] (koordinate su
dane obzirom na neku ortonormiranu bazu). Izracunajte povrsinu
paralelograma razapetog vektorima −→a i−→b .
Zadatak
Odredite kut izmedu vektora −→v = [1,−2, 0] i −→w = [0,−1, 5] akosu koordinate dane obzirom na (desnu) ortogonalnu bazu
{−→a ,−→b ,−→c } za koju je a = 10, b = 5 i c = 7.
Zadatak
Izracunajte vektorski produkt vektora iz prethodnog zadatka.
Zadatak
Koliki je volumen prizme odredene vektorima −→v , −→w i −→v ×−→w izprethodna dva zadatka?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Zadani su vektori −→a = [2,−1, 3] i−→b = [1,−2, 4] (koordinate su
dane obzirom na neku ortonormiranu bazu). Izracunajte povrsinu
paralelograma razapetog vektorima −→a i−→b .
Zadatak
Odredite kut izmedu vektora −→v = [1,−2, 0] i −→w = [0,−1, 5] akosu koordinate dane obzirom na (desnu) ortogonalnu bazu
{−→a ,−→b ,−→c } za koju je a = 10, b = 5 i c = 7.
Zadatak
Izracunajte vektorski produkt vektora iz prethodnog zadatka.
Zadatak
Koliki je volumen prizme odredene vektorima −→v , −→w i −→v ×−→w izprethodna dva zadatka?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Zadani su vektori −→a = [2,−1, 3] i−→b = [1,−2, 4] (koordinate su
dane obzirom na neku ortonormiranu bazu). Izracunajte povrsinu
paralelograma razapetog vektorima −→a i−→b .
Zadatak
Odredite kut izmedu vektora −→v = [1,−2, 0] i −→w = [0,−1, 5] akosu koordinate dane obzirom na (desnu) ortogonalnu bazu
{−→a ,−→b ,−→c } za koju je a = 10, b = 5 i c = 7.
Zadatak
Izracunajte vektorski produkt vektora iz prethodnog zadatka.
Zadatak
Koliki je volumen prizme odredene vektorima −→v , −→w i −→v ×−→w izprethodna dva zadatka?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Zadatak
Zadani su vektori −→a = [2,−1, 3] i−→b = [1,−2, 4] (koordinate su
dane obzirom na neku ortonormiranu bazu). Izracunajte povrsinu
paralelograma razapetog vektorima −→a i−→b .
Zadatak
Odredite kut izmedu vektora −→v = [1,−2, 0] i −→w = [0,−1, 5] akosu koordinate dane obzirom na (desnu) ortogonalnu bazu
{−→a ,−→b ,−→c } za koju je a = 10, b = 5 i c = 7.
Zadatak
Izracunajte vektorski produkt vektora iz prethodnog zadatka.
Zadatak
Koliki je volumen prizme odredene vektorima −→v , −→w i −→v ×−→w izprethodna dva zadatka?
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Kristalografska baza
U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi uprostoru. Karakteristika kristalnih struktura je njihova periodicnostkoja se ocituje u tome da je moguce odabrati cetverostranu prizmu(jedinicnu celiju) cijim translacijama u smjerovima njenih bridovadobivamo citav kristal. Nesto preciznije, neka je jedinicna celija
cetverostrana prizma razapeta vektorima {−→a ,−→b ,−→c } (te vektore
zovemo kristalografskom bazom). Odaberimo ih tako da imajuzajednicki pocetak kojeg cemo uzeti kao ishodiste koordinatnogsustava. Duljine tih vektora (parametre kristalne resetke) a, b i cuzimamo kao jedinice duljine na koordinatnim osima. Odgovarajucikoordinatni sustav zove se kristalografski koordinatni sustav, sosima koje zovemo a-os, b-os i c-os. Tocke jedinicne celije u tomsustavu imaju koordinate unutar intervala [0, 1〉. Kutevi medu
vektorima baze oznacavaju se s α = ∠(−→b ,−→c ), β = ∠(−→a ,−→c ),
γ = ∠(−→a ,−→b ).
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Pomocu skalarnog produkta se moze odrediti udaljenost atoma ilikut medu vezama atoma ako su poznati njihovi polozaji(radij-vektori) u kristalnoj resetki. Primjerice, za kristale kubicnogsustava kristalografsku bazu mozemo smatrati ortonormiranom(duljinu a proglasimo jedinicnom). Ako su nam u jedinicnoj celijidva atoma na pozicijama A =
(12 , 0,
13
)i B =
(13 ,
12 , 0), udaljenost
ta dva atoma iznosi
d(A,B) = |−→OB−
−→OA| =
∣∣∣∣[1
3,
1
2, 0
]−[
1
2, 0,
1
3
]∣∣∣∣ =
∣∣∣∣[−1
6,
1
2,−1
3
]∣∣∣∣ =
=
√1
36+
1
4+
1
9=
√14
36=
√14
6.
Ukoliko je duljina brida jedinicne celije recimo a = 320,3 pm, kakosmo a koristili kao jedinicu duljine, slijedi da je stvarna udaljenost
izmedu atoma jednaka√
146 · 320,3 pm = 199,7 pm.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Ako bi se u jedinicnoj celiji iz prethodnog primjera nalazio jos jedanatom na polozaju C =
(15 ,
15 ,
15
)te ako su atomi vezani tako da je
C vezan s A i B, ali A i B medusobno nisu, kut veze ϕ = ∠ACB jedan s
cosϕ =
−→CA ·
−→CB
|−→CA| |
−→CB|
=
[3
10 ,−15 ,
215
]·[
215 ,
310 ,−
15
]∣∣[ 310 ,−
15 ,
215
]∣∣ ∣∣[ 215 ,
310 ,−
15
]∣∣ =
=3
10 ·2
15 −15 ·
310 + 2
15 ·(−1
5
)√9
100 + 125 + 4
225 ·√
4225 + 9
100 + 125
=− 7
150133900
= −0,3158
te je ϕ = 71◦35′.
Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji
Primjer
Zamislimo u prethodnom primjeru da se radilo o kristalu izrompskog sustava, primjerice s parametrima jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. I dalje bi vrijedilo
d(A,B) = |−→OB −
−→OA| =
∣∣[−16 ,
12 ,−
13
]∣∣, no sad se koordinateodnose na vektore nejednake duljine. Zamijenimo kristalografsku
bazu ortonormiranom bazom {−→i ,−→j ,−→k } u kojoj su svi vektori
duljine 1 nm, a istog smjera i orijentacije (redom) kao vektori
kristalografske baze {−→a ,−→b ,−→c }. Tada je
−→AB = −1
6−→a +
1
2
−→b − 1
3−→c = −0,82
6
−→i +
0,94
2
−→j − 0,75
3
−→k .
Sad smijemo primijeniti uobicajenu formulu za duljinu vektoraopisanog koordinatama u ortonormiranoj bazi i dobivamo
d(A,B) =√
0,822
36 + 0,942
4 + 0,752
9 = 0,55 nm. Provjerite da je u
ovom slucaju ϕ = ∠ACB = 97◦59′.