klasicna mehanika 1

Koordinatnisustavi

Kartezijev sustavKartezijev sustav

Brzina ukartezijevom sustavu

Ubrzanje ukartezijevom sustavu

Cilindricni sustavCilindricni sustav

Brzina u cilindricnomsustavu

Ubrzanje ucilindricnimkoordinatama

Sferni sustavSferni sustav

Brzina u sfernomsustavu

Ubrzanje u sfernomsustavu

Kartezijev sustav

x

y

z

O

~i~j

~k ~r

P

• jedinicni vektorikartezijevog sustava

~i,~j , ~k (1)

cine desni ortonormiranisustav

• položaj tocke P odreden jeradijus-vektorom

~r = x~i + y~j + z~k (2)

• jedinicni vektori su medusobno ortogonalni

~i ·~j = 0, ~j ·~i = 0, ~k ·~i = 0 (3)

• jedinicni vektori su normirani

~i ·~i = 1, ~j ·~j = 1, ~k ·~k = 1 (4)

Koordinatnisustavi










• vektori~i ,~j i ~k cine desni sustav

~i ×~j = ~k , ~j × ~k =~i, ~k ×~i =~j (5)

• opceniti vektor ~a možemo raspisati pomocu jedinicnihvektora kartezijevog sustava

~a = ax~i + ay

~j + az~k (6)

• zbroj dva vektora

~a + ~b = (ax + bx )~i + (ay + by )~j + (az + bz)~k (7)

• skalarni produkt

~a ·~b = ax bx + ay by + azbz (8)

• vektorski produkt

~a×~b = (ay bz −azby )~i +(azbx −ax bz)~j +(ax by −ay bx)~k (9)

Koordinatnisustavi










• vektorski produkt možemo napisati pomocu determinante

~a ×~b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~kax ay az

bx by bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(10)

Koordinatnisustavi










Brzina u kartezijevom sustavu• položaj cestice dan je s

~r = x~i + y~j + z~k (11)

• brzinu cestice dobijemo deriviranjem vektora ~r

• jedinicni vektori ne mijenjaju smjer pa njihove derivacijeišcezavaju

~r = x~i + y~j + z~k (12)

• kineticka energija cestice u kartezijevim koordinatama

T =m2

[

x2 + y2 + z2] (13)

Koordinatnisustavi










Ubrzanje u kartezijevomsustavu

• da bi dobili ubrzanje moramo derivirati brzinu cestice

~r =ddt

(

x~i + y~j + z~k)

= x~i + y~j + z~k (14)

• jednadžba gibanja u kartezijevim koordinatama

m~r = ~F = Fx~i + Fy

~j + Fz~k (15)

• jednadžba gibanja rastavljena po komponentama

mx = Fx (16)

my = Fy (17)

mz = Fz (18)

Koordinatnisustavi










Cilindricni sustav

x

y

z

O

P

Q~ρ

~r

~ρ0

~k~φ0

φ

• jedinicni vektori cilindricnogsustava

~ρ0, ~φ0, ~k (19)

cine desni ortonormiranisustav


~r = ρ~ρ0 + z~k (20)


~ρ0 ·~φ0 = 0 ~φ0 ·

~k = 0 ~k · ~φ0 = 0 (21)


~ρ0 · ~ρ0 = 1, ~φ0 ·~φ0 = 1, ~k ·

~k = 1 (22)

Koordinatnisustavi










• vektori ~ρ0, ~φ0 i ~k cine desni sustav

~ρ0 ×~φ0 = ~k , ~φ0 ×

~k = ~ρ0, ~k × ~ρ0 = ~φ0 (23)

• želimo izvesti vezu cilindricnih i kartezijevih koordinata

x

y Q

~ρ

φ

ρ sin φ

ρ cos φ

• iz pravokutnog trokuta na slici slijedi

x = ρ cosφy = ρ sin φ

z = z=⇒

ρ =√

x2 + y2

φ = arctan (y/x)z = z

(24)

Koordinatnisustavi










• opceniti vektor ~a možemo raspisati pomocu jedinicnihvektora cilindricnog sustava

~a = aρ~ρ0 + aφ~φ0 + az

~k (25)

• zbroj vektora ~a i ~b

~a + ~b = (aρ + bρ) ~ρ0 + (aφ + bφ) ~φ0 + (az + bz)~k (26)

• skalarni produkt vektora ~a i ~b

~a ·~b = aρbρ + aφbφ + azbz (27)

• vektorski produkt vektora ~a i ~b

~a ×~b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ρ0~φ0

~kaρ aφ az

bρ bφ bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(28)

Koordinatnisustavi










• želimo raspisati jedinicni vektor~i pomocu jedinicnih vektora~ρ0 i ~φ0

x

y

~ρ

φ

~i

cos φ~ρ0 − sin φ~φ0

• projekcija vektora~i na smjer ~ρ0 iznosi cos φ

• projekcija vektora~i na smjer ~φ0 iznosi − sin φ

=⇒~i = cos φ~ρ0 − sin φ~φ0 (29)

Koordinatnisustavi










• želimo raspisati jedinicni vektor~j pomocu jedinicnih vektora~ρ0 i ~φ0

x

y

~ρ

φ

~j

sin φ~ρ0

cos φ~φ0

• projekcija vektora~j na smjer ~ρ0 iznosi sin φ

• projekcija vektora~j na smjer ~φ0 iznosi cos φ

=⇒~j = sin φ~ρ0 + cos φ~φ0 (30)

Koordinatnisustavi










~i ~j ~k~ρ0 cos φ sin φ 0~φ0 − sin φ cos φ 0~k 0 0 1

ax = (~a ·~i) =

(

aρ~ρ0 + aφ~φ0 + az

~k)

·~i

= aρ

(

~ρ0 ·~i)

+ aφ

(

~φ0 ·~i)

+ az

(

~k ·~i)

= aρ cos φ − aφ sin φ (31)

ay = (~a ·~j) =

(

aρ~ρ0 + aφ~φ0 + az

~k)

·~j

= aρ

(

~ρ0 ·~j)

+ aφ

(

~φ0 ·~j)

+ az

(

~k ·~j)

= aρ sin φ + aφ cos φ (32)

az = az (33)

Koordinatnisustavi










~i ~j ~k~ρ0 cos φ sin φ 0~φ0 − sin φ cos φ 0~k 0 0 1

aρ = (~a · ~ρ0) =(

ax~i + ay

~j + az~k)

· ~ρ0

= ax

(

~i · ~ρ0

)

+ ay

(

~j · ~ρ0

)

+ az

(

~k · ~ρ0

)

= ax cos φ + ay sin φ (34)

aφ = (~a · ~φ0) =(

ax~i + ay

~j + az~k)

· ~φ0

= ax

(

~i · ~φ0

)

+ ay

(

~j · ~φ0

)

+ az

(

~k · ~φ0

)

= −ax sin φ + ay cos φ (35)

az = az (36)

Koordinatnisustavi










Brzina u cilindricnom sustavu• položaj cestice dan je radijus-vektorom

~r = ρ~ρ0 + z~k (37)

• brzinu cestice dobijemo deriviranjem vektora ~r po vremenu

~r = ρ~ρ0 + ρ~ρ0 + z~k (38)

• jedinicni vektori ~ρ0 i ~φ0 mijenjaju smjer u prostoru pa i njihmoramo derivirati

• najjednostavniji nacin je da ih raspišemo pomocu jedinicnihvektora kartezijevog sustava

~ρ0 = cos φ~i + sin φ~j (39)

~φ0 = − sin φ~i + cos φ~j (40)

• jedinicni vektori kartezijevog sustava imaju fiksni smjer panjihove vremenske derivacije išcezavaju

Koordinatnisustavi










• derivacije jedinicnih vektora ~ρ0 i ~φ0

~ρ0 = − sin φφ~i + cos φφ~j = φ~φ0 (41)

~φ0 = − cosφφ~i − sin φφ~j = −φ~ρ0 (42)

• sada deriviramo radijus-vektor ~r

~r = ρ~ρ0 + ρ~ρ0 + z~k = ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k (43)

• kineticka energija cestice u cilindricnim koordinatama

T =m2

~r2 =m2

(

ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k)

·

(

ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k)

=m2

(

ρ2 + ρ2φ2 + z2)

(44)

Koordinatnisustavi










Ubrzanje u cilindricnimkoordinatama

• ubrzanje izracunamo tako da deriviramo brzinu

~r =ddt

(

ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + z~k)

= ρ~ρ0 + ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 + z~k (45)

• uvrstimo derivacije jedinicnih vektora

~r = ρ~ρ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 + ρφ~φ0 − ρφ2~ρ0 + z~k

=[

ρ − ρφ2]

~ρ0 +[

2ρφ + ρφ]

~φ0 + z~k (46)

• jednadžba gibanja u cilindricnim koordinatama

m~r = ~F = Fρ~ρ0 + Fφ~φ0 + Fz

~k (47)

Koordinatnisustavi










• jednadžba gibanja rastavljena po komponentama

m(

ρ − ρφ2)

= Fρ (48)

m(

2ρφ + ρφ)

= Fφ (49)

mz = Fz (50)

Koordinatnisustavi










Sferni sustav

x

y

z

O

P

θ

φ

~r

~NQ

~r0

~θ0

~φ0

• jedinicni vektori sfernog sustava

~r0, ~θ0, ~φ0 (51)

cine desni ortonormirani sustav


~r = r~r0 (52)


~r0 ·~θ0 = 0 ~θ0 ·

~φ0 = 0 ~φ0 ·~r = 0 (53)


~r0 ·~r0 = 1, ~θ0 ·~θ0 = 1, ~φ0 ·

~φ0 = 1 (54)

Koordinatnisustavi










• vektori ~r0, ~θ0 i ~φ0 cine desni sustav

~r0 ×~θ0 = ~φ0, ~θ0 ×

~φ0 = ~r0, ~φ0 ×~r0 = ~θ0 (55)

• želimo izvesti vezu sfernih i kartezijevih koordinata

~N

z

P

~rθ

r sin θ

r cos θ

• iz pravokutnog trokuta na slici slijedi• projekcija dužine r na os z iznosi r cos θ

• projekcija dužine r na ravninu xy iznosi r sin θ

Koordinatnisustavi










• promotrimo projekciju dužine r na ravninu xy

x

y Q

r sin θ

φ

r sin θ sin φ

r sin θ cos φ

• projekcija dužine r sin θ na os x iznosi r sin θ cos φ

• projekcija dužine r sin θ na os y iznosi r sin θ sin φ

• veza kartezijevih i sfernih koordinata

x = r sin θ cos φy = r sin θ sin φ

z = r cos θ

=⇒

r =√

x2 + y2 + z2

θ = arccos (z/√

x2 + y2 + z2)φ = arctan y/x

(56)

Koordinatnisustavi










• rastav vektora~a = ar~r0 + aθ

~θ0 + aφ~φ0

• zbroj vektora

~a + ~b = (ar + br )~r0 + (aθ + bθ)~θ0 + (aφ + bφ)~φ0

• skalarni produkt

~a ·~b = ar br + aθbθ + aφbφ

• vektorski produkt

~a ×~b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~r0~θ0

~φ0

ar aθ aφ

br bθ bφ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Koordinatnisustavi










• projekcija vektora ~k na smjer ~r0 iznosi cos θ

• projekcija vektora ~k na smjer ~θ0 iznosi − sin θ

~N

z

~rθ

~k

cos θ~r0

− sin θ~θ0

=⇒ ~k = cos θ~r0 − sin θ~θ0 (57)

Koordinatnisustavi










• projekcija vektora ~N0 na smjer ~r0 iznosi sin θ

• projekcija vektora ~N0 na smjer ~θ0 iznosi cos θ

~N

z

~r

θ

~N0

sin θ~r0 cos θ~θ0

=⇒ ~N0 = sin θ~r0 + cos θ~θ0 (58)

Koordinatnisustavi










• projekcija vektora~i na smjer ~N0 iznosi cos φ

• projekcija vektora~i na smjer ~φ0 iznosi − sin φ

x

y

~N

φ

~i

cos φ~N0 − sin φ~φ0

=⇒~i = cos φ~N0 − sin φ~φ0 (59)

=⇒~i = cos φ sin θ~r0 + cos φ cos θ~θ0 − sin φ~φ0 (60)

Koordinatnisustavi










• projekcija vektora~j na smjer ~N0 iznosi sin φ

• projekcija vektora~j na smjer ~φ0 iznosi cos φ

x

y

~N

φ

~j

sin φ~N0

cos φ~φ0

=⇒~j = sin φ~N0 + cos φ~φ0 (61)

=⇒~j = sin φ sin θ~r0 + sin φ cos θ~θ0 + cos φ~φ0 (62)

Koordinatnisustavi










~i ~j ~k~r0 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ~θ0 cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ~φ0 − sin φ cos φ 0

ar = ~a ·~r0 = ax (~i ·~r0) + ay (~j ·~r0) + az(~k ·~r0) (63)

= ax sin θ cos φ + ay sin θ sin φ + az cos θ (64)

aθ = ~a · ~θ0 = ax (~i · ~θ0) + ay (~j · ~θ0) + az(~k · ~θ0) (65)

= ax cos θ cos φ + ay cos θ sin φ − az sin θ (66)

aφ = ~a · ~φ0 = ax (~i · ~φ0) + ay (~j · ~φ0) + az(~k · ~φ0) (67)

= −ax sin φ + ay cos φ (68)

Koordinatnisustavi










~i ~j ~k~r0 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ~θ0 cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ~φ0 − sin φ cos φ 0

ax = ~a ·~i = ar (~r0 ·

~i) + aθ(~θ0 ·~i) + aφ(~φ0 ·

~i) (69)

= ar sin θ cos φ + aθ cos θ cos φ − aφ sin φ (70)

ay = ~a ·~j = ar (~r0 ·

~j) + aθ(~θ0 ·~j) + aφ(~φ0 ·

~j) (71)

= ar sin θ sin φ + aθ cos θ sin φ + aφ cos φ (72)

az = ~a ·~k = ar (~r0 ·

~k) + aθ(~θ0 ·~k) + aφ(~φ0 ·

~k) (73)

= ar cos θ − aθ sin θ (74)

Koordinatnisustavi










Brzina u sfernom sustavu• položaj cestice dan je radijus-vektorom

~r = r~r0 (75)

• brzinu cestice dobijemo deriviranjem vektora ~r po vremenu

~r = r~r0 + r~r0 (76)

• jedinicni vektor ~r0 mijenja smjer u prostoru pa i njega moramoderivirati

• najjednostavniji nacin je da ga raspišemo pomocu jedinicnihvektora kartezijevog sustava

~r0 = sin θ cos φ~i + sin θ sin φ~j + cos θ~k (77)

• jedinicni vektori kartezijevog sustava imaju fiksni smjer panjihove vremenske derivacije išcezavaju

Koordinatnisustavi










• vremenska derivacija jedinicnog vektora ~r0

~r0 = cos θθ cos φ~i − sin θ sin φφ~i

+ cos θθ sin φ~j + sin θ cos φφ~j

− sin θθ~k

=[

cos θ cos φ~i + cos θ sin φ~j − sin θ~k]

θ

+ sin θ[

− sin φ~i + cos φ~j]

φ (78)

• prepoznamo jedinicne vektore sfernog sustava u kartezijevimkoordinatama

~r0 = θ~θ0 + sin θφ~φ0 (79)

• vratimo se izrazu za brzinu u sfernim koordinatama

~r = r~r0 + r θ~θ0 + r sin θφ~φ0 (80)

• kineticka energija u sfernim koordinatama

T =m2

~r2 (81)

=m2

[

r~r0 + r θ~θ0 + r sin θφ~φ0

]

·

[


]

(82)

Koordinatnisustavi










• iskoristimo ortonormiranost jedinicnih vektora

T =m2

[

r2 + r2θ2 + r2 sin2 θφ2]

(83)

Koordinatnisustavi










Ubrzanje u sfernom sustavu• ubrzanje cestice dobijemo tako da deriviramo brzinu

~r =ddt

[


]

= r~r0 + r~r0 + r θ~θ0 + r θ~θ0 + r θ~θ0

+ r sin θφ~φ0 + r cos θθφ~φ0 + r sin θφ~φ0 + r sin θφ~φ0 (84)

• potrebne su nam derivacije vektora ~θ0 i ~φ0

• raspišemo ~θ0 i ~φ0 pomocu jedinicnih vektora kartezijevogsustava

~θ0 = cos θ cos φ~i + cos θ sin φ~j − sin θ~k (85)

~φ0 = − sin φ~i + cos φ~j (86)

Koordinatnisustavi










• deriviramo vektor ~θ0

~θ0 = − sin θθ cos φ~i − cos θ sin φφ~i

− sin θθ sin φ~j + cos θ cos φφ~j − cos θθ~k

= −

[

sin θ cos φ~i sin θ sin φ~j cos θ~k]

θ

+ cos θ[

− sin φ~i + cos φ~j]

φ (87)

• u prethodnom izrazu prepoznamo definicije jedinicnih vektora~r0 i ~φ0

~θ0 = −θ~r0 + cos θφ~φ0 (88)

• deriviramo vektor ~φ0

~φ0 = − cosφφ~i − sin φφ~j

= − cosφ[

cos2 θ + sin2 θ]

φ~i

− sin φ[

cos2 θ + sin2 θ]

φ~j (89)

Koordinatnisustavi










• dodamo i oduzmemo clan sin θ cos θφ~k

~φ0 = − sin θ[

sin θ cos φ~i sin θ sin φ~j]

φ − sin θ cos θφ~k

− cos θ[

cos θ cos φ~i cos θ sin φ~j]

φ + sin θ cos θφ~k (90)

• grupiramo clanove tako da dobijemo jedinicne vektore ~r0 i ~θ0

~φ0 = − sin θ[

sin θ cos φ~i + sin θ sin φ~j + cos θ~k]

φ

− cos θ[

cos θ cos φ~i + cos θ sin φ~j − sin θ~k]

φ

= − sin θφ~r0 − cos θφ~θ0 (91)

• konacno, ubzanje u sfernom sustavu

~r = ~r0

(

r − r θ2− r sin2 θφ2

)

+ ~θ0

(

2r θ + r θ − r sin θ cos θφ2)

+ ~φ0

(

2r sin θφ + 2r θ cos θφ + r sin θφ)

(92)

Koordinatnisustavi










• jednadžba gibanja u sfernom sustavu

m~r = ~F = Fr~r0 + Fθ~θ0 + Fφ

~φ0 (93)

• jednadžba gibanja raspisana po komponentama

m(

r − r θ2− r sin2 θφ2

)

= Fr (94)

m(

2r θ + r θ − r sin θ cos θφ2)

= Fθ (95)

m(

2r sin θφ + 2r θ cos θφ + r sin θφ)

= Fφ (96)

klasicna mehanika 1

Documents