KATEDRA AUTOMATYKI,

BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI

Laboratorium

Mechaniki Technicznej

Ćwiczenie 4

Badanie masowych momentów bezwładności

2

Cel ćwiczenia Wyznaczanie masowego momentu bezwładności bryły metodą wahadła fizycznego i metodą drgań skrętnych. Porównanie wybranych wyników z metodą obliczeniową wg wymiarów i mas elementów badanej bryły. 1 Wyznaczanie momentu bezwładności metodą wahadła fizycznego 1.1 Opis urządzenia pomiarowego

Urządzenie pokazane na rysunku 1 składa się z pryzmy 1, uchwytu 2, statywu 3 i badanej bryły 4 (na rysunku widoczny jest korbowód z dwoma otworami). Uchwyt 2 zamocowany jest do statywu 3 za pomocą śruby 5. Uwaga: podczas zmiany punktu zawieszenia należy wysu-nąć pryzmę 1 z uchwytu 2 przeciwnie do oznaczonego kierunku wsuwania (otwory w uchwycie mają zróżnicowane średnice, aby umożliwić zakleszczenie pryzmy na czas pomia-ru).

Rysunek 1. Stanowisko badania momentów bezwładności dla metody wahadła fizycznego.

1.2 Wprowadzenie teoretyczne

Korbowód (lub inne ciało sztywne) zawieszony w punkcie A lub B (zob. rysunek 2) jest wahadłem fizycznym o długości zredukowanej (dla zawieszenia w punkcie A)

= , (1)

gdzie: B1 – moment bezwładności względem punktu zawieszenia A, m – masa korbowodu, a – odległość środka masy od osi zawieszenia.

3

Rysunek 2. Korbowód jako wahadło fizyczne.

Zakłada się tutaj, że badane ciało sztywne posiada płaszczyznę symetrii prostopadłą do osi zawieszenia. W takim razie może być ono traktowane jako płaskie, dlatego często mówi-my o „punkcie zawieszenia”, rozumiejąc przez to oś przechodzącą przez dany „punkt zawie-szenia” i prostopadłą do płaszczyzny symetrii. Okres drgań wahadła fizycznego wynosi:

= 2 . (2)

Wstawiając (1) do (2) otrzymuje się:

= 2 (3)

lub

= 2 , (3a)

gdzie Q=mg, stąd moment bezwładności korbowodu zawieszonego w punkcie A względem osi zawieszenia

= . (4)

Moment bezwładności korbowodu zawieszonego w punkcie B względem osi zawieszenia

= ( ). (5)

Stosując twierdzenie Steinera oblicza się moment bezwładności korbowodu względem osi przechodzącej przez środek masy (i równoległej do poprzednich):

B = B1 – ma2,

4

B = B2 – m( l - a )2 , (6)

= − ,

= ( ) − ( − ) . (6a)

Po podstawieniu (4) i (5) do (6) i przyrównaniu stronami otrzymuje się

− = ( ) − ( − ) , (7)

stąd

= . (8)

Wyznaczenie doświadczalne wartości wielkości T1, T2, Q i l pozwala na obliczenie wartości wielkości a i następnie z pierwszego z wzorów (6a) momentu bezwładności ciała sztywnego.

1.3 Przebieg ćwiczenia

Przed przystąpieniem do pomiaru okresu wahań określa się następujące wartości: Q – ciężar korbowodu lub innego ciała sztywnego (pomiar masy z dokładnością 0,05 g), l – odle-głość między punktami podwieszenia A i B ( z dokładnością 0,1 mm).

Po dokonaniu tych pomiarów ciało sztywne podwiesza się w punkcie A. Zostaje ono wprawione w ruch wahadłowy o kącie wahań +/-5° i mierzy się kilkakrotnie (wg. wskazań prowadzącego) czas 50 wahnięć, notując wyniki w tabeli. Taki sam pomiar przeprowadza się podwieszając ciało w punkcie B. Następnie za pomocą podanych wzorów zostają obliczone: położenie środka masy i moment bezwładności względem osi prostopadłej do płaszczyzny symetrii ciała i przechodzącej przez środek masy oraz błąd pomiaru.

W przypadku wyboru do badania ciała sztywnego złożonego z elementów o prostych i znanych wymiarach oraz gęstości, kolejnym punktem ćwiczenia jest potwierdzenie wcześniej uzyskanych wyników przy użyciu wzorów na momenty bezwładności podstawowych brył sztywnych i twierdzenia Steinera (zob. rozdział 3).

1.4 Analiza błędu

Moment bezwładności obliczamy z wzoru (6a)

= − , (Q = mg )

gdzie

= ( ) .

5

Do wzorów tych wchodzą następujące wielkości mierzone: T1, T2, Q i l. Błędy pomiaru tych wielkości są od siebie niezależne i wynoszą:

∆ = 0,5% , ∆ = 0,5% , ∆ = 0,00005 kg, ∆ = 0,0001 m.

Błąd wyznaczania momentu bezwładności określa wzór:

∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ . (9)

Pochodne cząstkowe wchodzące do wzoru (9)

= 1 + ,

= − ( ) ,

= , (10)

= − ( ) .

Błąd względny pomiaru wynosi:

∆ 100%. (11)

2 Wyznaczanie momentu bezwładności elementu metodą zawieszenia

jednostrunowego 2.1 Opis urządzenia pomiarowego

Urządzenie (zob. rysunek 3a) składa się z podstawy (1), struny (2), uchwytu (3) i elementu badanego (4). Element badany mocuje się w uchwycie tak, żeby jego główna oś pokrywała się z osią struny.

2.2 Wprowadzenie teoretyczne

Badany element zawieszony na strunie (zob. rysunek 3b) stanowi układ drgający, rea-lizujący drgania skrętne. Ruch układu opisuje równanie:

Σ + = 0, (12)

gdzie: Σ = + Bo – moment bezwładności uchwytu, B – moment bezwładności elementu badanego, M – moment reakcyjny wywołany skręceniem struny,

= , (13)

6

gdzie: φ – kąt skręcenia struny, G – moduł sprężystości poprzecznej,

= , d- średnica struny, l – długość struny.

a) b)

Rysunek 3. Urządzenie pomiarowe (a) i badany element (b).

Uwzględniając (13) w (12)

∑ + = 0 (14)

lub

+ ∑ = 0. (14a)

Oznaczając

∑ = , (15)

otrzymujemy

+ = 0. (16)

Jest to równanie drgań harmonicznych o częstości kołowej α. Okres drgań zostaje obli-czony z zależności:

7

= = 2 ∑ (17)

skąd

∑ = . (18)

Wiedząc, że ∑ = + i uwzględniając (18) otrzymujemy

+ = , (19)

gdzie:

= . (20)

Dla samego uchwytu otrzymuje się

= . (21 )

Dzieląc równanie (19) przez (21) otrzymujemy

= , (22 )

skąd

= − 1 . (22a)

Uwzględniając (21) w (20) można znaleźć:

= . (23)

Wzory (22a) i (23) pozwalają na wyznaczenie wartości poszukiwanych wielkości B oraz G.

2.3 Przebieg ćwiczenia

1. Pomiar długości l (miarką) i średnicy d (mikromierzem) struny. 2. Zamocowanie badanego elementu w uchwycie tak, żeby jego główna oś pokrywała się

z osią struny. 3. Wprowadzenie układu w ruch drgający (drgania skrętne); kąt obrotu +/-5°. 4. Pomiar czasu 50 pełnych wahnięć (kilka razy, wg wskazań prowadzącego), określenie

średniej z tych pomiarów i okresu T wahań. 5. Zdjęcie badanego elementu. 6. Pomiar czasu 50 pełnych wahnięć (kilka razy, wg wskazań prowadząc) wprowadzone-

go w drgania samego uchwytu, określenie średniej z tych pomiarów i okresu wa-hań.

7. Obliczenie B za pomocą wzoru (22a) 8. Obliczenie G za pomocą wzoru (23)

8

9. Obliczenie błędu pomiaru ∆ . Moment bezwładności przyjmujemy za dany.

2.4 Analiza błędu

Moment bezwładności elementu badanego określamy z wzoru (22a). Do wzoru wchodzą wielkości , i . Błędy tych wielkości wynoszą:

- błąd metody geometrycznej, za pomocą której wyznaczono

∆ = 1%, (24)

- błąd pomiaru

∆ = ∆ = 0,5%, (25)

- błąd określenia momentu bezwładności

∆ = ∆ + ∆ + ∆ . (26)

Pochodne cząstkowe wchodzące do wzoru (26):

= − 1 = , = 2 , = −2 . (27)

Uwzględniając (24) i (25) w (27) otrzymamy:

∆ = 0,01 , ∆ = 0,01 , (28)

∆ = −0,01 ,

stąd błąd wyznaczenia momentu bezwładności:

∆ = 0,01 + + − , (29)

Błąd względny wynosi

∆ = 1 + 2 %,

lub ∆ = 1 + 2 %. (30)

9

3 Środek masy i moment bezwładności układów złożonych Położenie środka masy C układu złożonego, odmierzane względem osi x (w kierunku y) można określić wzorem:

= ∑∑ ,

gdzie mi , ai – oznaczają odpowiednio masę i odległość środka masy elementu i.

Rysunek 4. Przykładowe ciało sztywne.

Pokazany na rysunku 4 przykładowy układ złożony jest z 3 elementów wykonanych z

materiału o gęstości . Poniżej podano wzory określające masę, odległość środka masy ele-mentu od osi x oraz masowe momenty bezwładności względem osi prostopadłych do płasz-czyzny rysunku i przechodzących przez środek masy danego elementu:

1) prostopadłościan o grubości g1 z otworem d1: - masa prostopadłościanu m1p= g1 l1 h1 , - masa otworu m1o= g1 πd1

2/4, - odległość środka masy a1= ‒h1/2 , - moment bezwładności B1= m1p (l1

2 + h12)− m1o d1

2,

2) prostopadłościan o grubości g2 : - masa m2= g2 l2 h2 , - odległość środka masy a2=l3 + h2/2, - moment bezwładności B2= m2 (l22 + h2

2),

3) walec o średnicy d3 : - masa m3= l3 πd3

2/4 , - odległość środka masy a3=l3/2 , - moment bezwładności B3= m3 (l32 + d3

2) .

10

Środek masy całego układu obliczymy wg wzoru

a=(m1p a1 m1o a1+m2 a2+m3 a3)/(m1p m1o+m2+m3) .

Moment bezwładności całego układu względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masy C wyznaczymy korzystając z twierdzenia Steinera:

B= B1+ (m1p m1o) (a + h1/2)2 + B2 + m2 (a l3/2)2 + B3 + m3 (l3 a + h2/2)2.

Tabela 1. Masowe momenty bezwładności najczęściej spotykanych brył (oznaczone symbolem I - zamiast B jak w powyższym tekście).

11

4 Wymagania wstępne Przed przystąpieniem do ćwiczenia wymagana jest:

- znajomość wzorów określających okres drgań wahadła fizycznego oraz umiejętność wyprowadzania wzorów określających masowy moment bezwładności metodą wahadła fi-zycznego oraz metodą zawieszenia jednostrunowego; - znajomość wzorów określających położenie środka ciężkości oraz masowy moment bezwładności złożonego układu (z wykorzystaniem twierdzenia Steinera) i umiejętność wy-prowadzenia tych wzorów dla układu złożonego z kilku prostych figur, - znajomość na pamięć wzorów określających moment bezwładności podstawowych ciał: punktu materialnego, cienkiego pręta (oś w środku lub na końcu pręta), walca oraz prostopadłościanu. Przykładowe pytania: - podaj wzory na moment bezwładności dla walca i prostopadłościanu - wyznacz wzór na odległość środka masy prostego układu złożonego z kilku figur (podany będzie rysunek z wymiarami figur), - wyznacz wzór na moment bezwładności prostego układu złożonego z kilku figur (wg podanego rysunku), - wyprowadź wzór na odległość środka masy od osi zawieszenia korbowodu (wg przykładu w rozdziale 1.2) w funkcji okresów drgań T1 i T2, - wyprowadź wzór na równanie drgań harmonicznych wykorzystywane w metodzie zawie-szenia jednostrunowego. Literatura 1. J. Awrejcewicz: Mechanika. WNT, Warszawa 2007. 2. Z. Towarek: Mechanika ogólna. Zagadnienia wybrane. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2004. 3. J. Leyko : Dynamika układów materialnych. PWN, Warszawa 1959. 4. M. E. Niezgodziński M.E., T. Niezgodziński T.: Wytrzymałość materiałów. PWN, War-

szawa 1981. 5. Z. Parszewski: Teoria maszyn i mechanizmów. WNT, Warszawa 1978.

IMIĘ i NAZWISKO IMIĘ i NAZWISKOINDEKS INDEKSL.p. L.p.

POLITECHNIKA ŁÓDZKA Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki Łódź, dnia .......................

Ćwiczenie 4. Badanie masowych momentów bezwładności

1 ) Wyznaczanie momentu bezwładności tarczy metodą zawieszenia jednostrunowego

l [mm]

l [m]

l

l

B

B0

elementbadany

Schemat układupomiarowego

struna

uchwyt

L.p. L.p.

Wyniki pomiarów okresu wahań:

długość struny = ...............................

= ...............................

OBLICZENIA:

Wartość średnia = ................................d[m]

średnica struny pomiar w 3 miejscach:d[mm] -

Masowy moment bezwł. uchwytu = 0,00474 kg mB0

2·

I

biegunowymom. bezwładnościprzekroju struny = .............................

Czas 50 wahnięćsamego uchwytu

τ0 [s]

Czas 50 wahnięć

elementemuchwytu z badanym

[s]τ

wart. średnia 0śr [s]

....................

τ wart. średnia śr [s]

....................

τ

okres wahań T0 [s]

...................

okres wahań T [s]

...................

1 - statyw2 - uchwyt3 - struna4, 5 - wkręty

mocującestrunę

6 - znacznikdo obserwacjidrgań

Stanowisko pomiarowe

1

2

6

3

5

4

UWAGA: WYNIKI WSZYSTKICH OBLICZEŃ PODAWAĆ Z DOKŁADNOŚCIĄ NIE MNIEJ NIŻI NIE WIĘCEJ NIŻ CYFR ZNACZĄCYCH (OPTYMALNIE CYFRY, np. 123.4 0.001234 1234 10 itp.)

NIE MYLIĆ CYFR ZNACZĄCYCH Z LICZBĄ MIEJSC PO PRZECINKU!

35 4 2·

Aktualizacja GW2016-05-07

- błąd pomiaru i błąd względny ( )100%/¢B ¢B B

?B

T1?4T1 =

?B

T2?4T2 =

?B

m?4m =

?B

l?4l =

4B

B100% = 100% =

2.4) Wyznaczenie błędu pomiaru momentu bezwładności metodą wahadła fizycznego

W N I O S K I

B kg m B[ ] = - 12

0 ( )=¢

G [Pa]=4

2l B0¼

=I T0

2

4B

B[%]= 1 + 2 =( )2T

T T0

2

2

2

T0

2T

2

PROWADZĄCY:

DATA ODDANIA/PODPIS

ODBIERAJĄCEGO

DATA ODDANIA POPOPRAWIE / PODPIS

ODBIERAJĄCEGO

DZIEŃ ZAJĘĆ (pn., śr., czw.) GODZINA OCENADATA:

PODPIS:

odległośćmiędzyśrodkamiwycięć nastrunie

2.1) Pomiary okresu wahań zadanej bryły w punktach zawieszenia A i B

2.2) Obliczenie odległości środka ciężkości i momentu bezwładności wg pomiarówokresów wahań - metoda wahadła fizycznego

2.3) Obliczenia środka masy i momentu bezwładności wg wymiarów i mas elementów zadanej bryły.

l

masa [g]= ......................m

[kg]= ..............................m

powierzchnia [mm ]=s12

h l1 1=¢

m s mii=s/ ¢

powierzchnia [mm ]=s42

h l4 4=¢

łączna powierzchnia =s1s s s s+ + +2 3 4=

powierzchnia [mm ]=s22

=s3 2 2h l =¢

odległość między punktamizawieszenia A i B

[mm] = ..............................l

l [m] = .................................

wartość lokalnegoprzyspieszenia ziemskiego

= 9.812 m/sg 2

A

B

Wyniki pomiarów okresu wahań

Czas 50 wahnięćprzy zawieszeniu

w punkcie A

Czas 50 wahnięćprzy zawieszeniu

w punkcie Bτ1 [s] τ2 [s]

wartość średnia

1śr [s] .........................τ

wartość średnia

2śr [s] .........................τ

okres wahań

T1= [s] .....................

- odległość środka masy a

- moment bezwładności B

a [m]=gT2 4

2 2l{ ¼

l =g( + ) 8T T l1 2

2 2 2{ ¼

T1

2g

42

¼B kg m[ ]=

2ma a( ) =¢ {

A

Bl

KORBOWÓD

WPISAĆ WYMIARYELEMENTÓW

dla ZADANEJ BRYŁY

A

Bl

h1 = .................[mm]

h1' = .................[mm]

h1 = .................[mm]

g1,2,3,4=.................[mm]

g1,2,3,4=.................[mm]

h1

h1

h4

h4

h2

h2

h3

h3

h1'

l1

l1

l2

l2

l3

l3

l4

l4

l1 = .................[mm]

l1 = .................[mm]

h h2 3= =................[mm]

h h2 3= =................[mm]

l l2 3= =................[mm]

l l2 3= =................[mm]

h4 = .................[mm]

h4 = .................[mm]

l4 = .................[mm]

l4 = .................[mm]

aC

C

C

C - środki ciężkości brył

a

a

τ1śr

50

okres wahań

T2= [s] ......................τ2śr

50

x

x

y

y

grubość

grubość

4

4

2

2 3

2

3

3

1

1

masa [kg]=m1 m=s1

s

moment bezwładności elementu 1względem osi przechodzącej przezjego własny środek masy:

[ ]B1 kg mm2 =·

moment bezwładności elementu 2 lub 3względem osi przechodzącej przezjego własny środek masy:

[ ]B2= 3 kg mm2B =·

odl. środka masy od osi (znak wg kierunku [mm]m1 x y): a1 =

odl. środka masy i od osi

(znak wg kierunku [mm]

m2 x

y

ma a

3

2): = 3 =

masa =m2 3m m[kg]= =s2s

masa [kg]=m4 m=s4

s

Środek masy całej bryły względem osi :x

Masowy moment bezwładności całej bryły względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez środek masy C :

a[mm]= =

odl. środka masy od osi (znak wg kierunku [mm]m4 x y): a4 =

m a m a m a m am

1 1 2 2 3 3 4 4+ + +

B [ ]kg mm2 =·

B [ ] = 10-6

kg m [kg mm ]2 2B =· ··

L.p. L.p.

UWAGI: - Dla uproszczenia zapisu obliczeń pośrednie wyniki wyznaczać dla wymiarów w [mm].Końcową wartość momentu bezwładności przeliczyć z [kg mm ] na [kg m ]

- Grubości elementów 1 - 4 są jednakowe, zatem znając masę całejbryły możemy określić masy jej poszczególnych elementów ze wzoru:

2 2

mmi

· ·

s

si - powierzchnia elementu ,

- łączna powierzchnia.

i

moment bezwładności elementu 4względem osi przechodzącej przezjego własny środek masy:

[ ]B4 kg mm2 =·

2.3.1)

2.3.2)

2.3.3)

2.3.4)

2.3.5)

2.3.6)

C

e e

e2

e2 = a a2 =¡

e1

e1= =l1+l2

2

UWAGA

odległość C

! Przy obliczaniu momentu bezwładnościw punkcie 2.3.6, dla elementów 2 oraz 3 należywstawiać jako odległość punktuod środka masy każdego z tych elementów.

e