prezentacja multimedialna z przedmiotu „wytrzymaŁoŚĆ materiaŁÓw” sem.iii

PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU

„WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III

1

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH

Elementy:Przestrzeń

CzasCiało

PrzestrzeńZajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową,opisaną za pomocą współrzędnych kartezjańskich

prostokątnych. Zwykle będzie to przestrzeńdwuwymiarowa, czasami trójwymiarowa.

x

Microsoft Equation 3.0

y

y

x

z

PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH

CzasW statyce uważamy, że procesy nie zależą

od czasu, czyli są stacjonarne

CiałoCiało zajmuje część przestrzeni i jest

obdarzone takimi cechami fizycznymi jak masa. Modelami ciał, stosowanymi w

mechanice są: punkt materialny, tarcza i bryła

STOPNIE SWOBODY CIAŁA

Stopniami swobody ciała nazywamy liczbę niezależnych od siebie ruchów, określających położenia ciała w

przestrzeniWażny jest tutaj przymiotnik „niezależny”,

gdyż ruchów od siebie zależnych może być znacznie więcej

STOPNIE SWOBODY CIAŁAPunkt materialny

u

v

y

x

Na płaszczyźnie

u

v

y

x

z

w

W przestrzeni

2 stopnie swobody 3 stopnie swobody

STOPNIE SWOBODY CIAŁATarcza materialna na płaszczyźnie

uv

y

x

3 stopnie swobody


4 stopnie swobody


5 stopni swobody


BRYŁA W PRZESTRZENI

x

z

y

y

z

z

x

x

y

3 translacje + 3 obroty6 stopni swobody

WIĘZYWięzami nazywamy ograniczenia ruchów,

narzucone na ciało. Więzy zmniejszają liczbę stopni swobody

ciała.Jeśli liczba więzów od siebie niezależnych

jest równa liczbie stopni swobody, ciało pozostaje nieruchome.

Więzy nie mogą być zakładane dowolnie i muszą spełniać warunki, które rzeczywiście odbierają stopnie swobody.

WIĘZY Więzy narzucone na punkt materialny

y

x

Na płaszczyźnie

y

x

z

W przestrzeni

WIĘZYWięzy narzucone na tarczę:

prawidłowo

nieprawidłowo

Podpory

Odebrany jeden stopień swobody – ruch prostopadły do linii przesuwu

Podpora przegubowo-nieprzesuwna

Podpora przegubowo-przesuwna

Odebrane dwa stopnie swobody – ruchy translacyjne

Podpora utwierdzonaOdebrane trzy stopnie swobody – ruchy translacyjne i obrót

Belka swobodnie podparta

WSPORNIK

WSPORNIKI

Kratownica

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

Skalary a wektorySkalarami nazywamy takie wielkości statyczne, które charakteryzuje tylko jedna liczba. Przykładami skalarów są na przykład: Temperatura [K] Masa [kg] Praca [J] Moc [W] Objętość [m3].


Wektory Są to wielkości, do których opisu potrzebnych

jest kilka liczb. Często jest wykorzystywana interpretacja geometryczna wektora. W tej interpretacji wektor jest symbolizowany przez odcinek opatrzony strzałką

Zatem do opisu takiej wielkości potrzeba 3 liczb: Moduł (długość ) wektora Kierunek wektora Zwrot wektora


Suma wektorówBAC

A

B

C

A

B

C

ABBAC

B

AC


Różnica wektorów

A

BB-

C B)(ABAC

ABBA


Iloczyn skalarny wektorów

A

BcosBABA c

ABc


Iloczyn wektorowy wektorów

A

B

C

BAC

sinBAC

0AC 0BC

B

A

Rzut wektora na oś

x

y

A

xA

yA

x

y

A

xA

yA

B

C

xC

yC

yB

xB

xW

yW W

CBAW

xxxx CBAW

yyyy CBAW

Na płaszczyźnie

Rzut wektora na oś

W przestrzeni

x

y

z

A

yA

xA

zA

x

y

z A

B

C

W

CBAW xxxx CBAW

yyyy CBAW

zzzz CBAW

Zbieżny układ sił Układ sił nazywa się zbieżnym, jeśli

kierunki działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie.

nPPPPP ...321

1P

2P3P P

nP

P – wypadkowa układu sił zbieżnych

Równowaga układu sil zbieżnych

1P

2P

3P

1nP

nP

1P

2P

3P1nP

nP

0....321 ni PPPPP

Na płaszczyźnie 0....321 nxxxxix PPPPP

0....321 nyyyyiy PPPPP

W przestrzeni 0....321 nxxxxix PPPPP

0....321 nyyyyiy PPPPP

0....321 nzzzziz PPPPP

Moment siły względem punktu

W przestrzeni

x

y

z

r

P0M

F

PrM 0

FM 0

x

y

z

1P

2P

3P

nP

0

0

r

n

i

n

iii MPrPrM

1 100

nPPPPP ...321

Moment siły względem osi

P

'P

0

'0

h

PrMM l 0l

0 – dowolny punkt prostej

P’ – rzut siły P na płaszczyznę prostopadłą do l

hPM l '

Moment siły względem l jest równy zeru gdy: Wartość siły P równa jest zeru, Linia działania siły P przecina się z osią l Siła P jest równoległa do osi l

Siły równoległe

1P

2P

S S

1R

2R

R

a b

21 PPR

h1P

Sha

2PS

hb

1PahS

2PbhS

czyli

21 PbPa

1

2

PP

ba

Zgodnie skierowane

Siły równoległe

Przeciwnie skierowane

1P

2P

S

S1R

2R

R

a b

h

12 PPR

1PS

hba

1)( PbahS

2PS

hb

2PbhS

czyli

21)( PbPba

2

1

PP

bab

Para sił

P

P

a

Dwie siły równe i przeciwnie skierowane

0R

Moment pary sił względem dowolnego punktu jest stały

0b ba

aPbaPbPM )(0

M

Równoległe przesunięcie siły

P

A B

P

P

A B

P

a a

aPM

Redukcja płaskiego układu sił

1P

2P

3P

nP

A

1h 1P

111 hPM 2h

222 hPM

2P

3h

333 hPM

3P

nh

nP

nnn hPM

nPPPPP ...321

nMMMMM ...321

nMMMMM ...321

nxxxxx PPPPP ...321

nyyyyy PPPPP ...321

Równowaga płaskiego układu sił

1P

2P

3P

nP

1P

2P

3PnP

1P

2P 3PnP0...321 nxxxx PPPP

0...321 nyyyy PPPP

0...321 nMMMM

1M

2M

3M

nM

Redukcja przestrzennego układu sił

x

y

z

0P

P

M

Równowaga przestrzennego układu sił

x

y

z

0

0...321 nPPPP 0...321 nMMMM

0...321 nxxxx PPPP

0...321 nyyyy PPPP

0...321 nzzzz PPPP

0...321 nxxxx MMMM

0...321 nyyyy MMMM

0...321 nzzzz MMMM

Próba rozciągania pręta stalowego

P

A

l

l

Naprężenie: MPaAP

2111mNPa

PaMPa 6101

Odkształcenie: ll

[niemianowane]

H

E

P

E

Prawo Hooke’a

E Moduł Younga

Stal: GPaE 206

tgE

Próbka betonowa

tgE

P

P

f

f4,0

Beton GPaE 3226

Siły w prętach kratownic

Metoda równoważenia węzłów

Statyczna wyznaczalność

02 wpr

gdzie

r – liczba reakcji podpórp – liczba prętóww – liczba węzłów

3r 25p 14w

0142253

AH

AV BV

Siły w prętach kratownicMetoda równoważenia węzłów

1N

2N

x

y 02NPx

01NPy

Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się dwa pręty siły w nich są zerowe

1N

2N

3N

Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się trzy pręty, przy czym dwa pręty leżą na jednej prostej, to siła w trzecim pręcie jest zerowa

21 NN

03 N

Przypadki szczególne

x

y

Siły w prętach kratownicMetoda Rittera

D D

KK

G G

AVBV

AH

D

K

G

AH

AV

dDM d 0

GM g 0g

KPy 0

y

Punkty Rittera

Siły w prętach kratownicPrzykład – kratownica o pasach równoległych

D D

KK

G G

AVBV

AH

a a a a a a

h

P

03231

A

B

A

H

PV

PV

D

K

G

g

y

d

3P

033

hDaPM d

h

a a a

PhaD

023

hGaPM g

PhaG

32

0sin3

KPPy

sin3PK

G G

SS

S

03

SPPy

3PS

Siły w prętach kratownicPrzykład -Kratownica wspornikowa z drugorzędnym podwieszeniem

PP P

a a a a a a a a

a

a1S

1K01 S

01 K2S

2S

PPS 2

P

2K

2K

x

x22

022

2

2

PK

PKPx

Siły w prętach kratownicPrzykład- kratownica o pasach nierównoległych

AV

AH

BV

P

2

0PVV

H

BA

A

G G

KK

D D

2P

G

K

D

d

Dr

dx

02 Ddd rDxPM

D

d

rxPD

2

g

Gr

gx

02

Ggg rGxPMG

g

rxPG

2

k

kx

Kr

02

Kkk rKxPMK

k

rxPK

2

Naprężenia normalne i styczne

P

x

y

P

A

y

0PAP yy

AP

y

y

0xP

A

y

Naprężenia normalne i styczne

A

y

tn

cosA

0coscos AAP yn

0sincos AAP yt

czyli

2cos y

2sin21sincos yy

zatem

y 21

max

y max przy 0

przy 00 4590212sin

Dwuwymiarowy stan naprężenia

1 1

2

2

1

2

AcosA

sinA

n

t

0sinsincoscos 21 AAAPn

0cossinsincos 21 AAAPt

zatem 2

22

1 sincos

cossin)( 21

Ale jest

2sin21cossin

)2cos1(21sin

)2cos1(21cos

2

2

zatem

2sin)(21

2cos)(21)(

21)2cos1(

21)2cos1(

21

21

212121


2sin)(21

2cos)(21)(

21

21

2121

Podnieśmy obustronnie do kwadratu, potem dodajmy stronami

221

2221 )](

21[)](

21[

gdyż 12cos2sin 22

Koło Mohra22

02

0 )()( ryyxx

0x

0y

x

y rW naszym przypadku

2

1

2

y

x


1 1

2

2

xy

2

1

2

y

x

x

y

x

y

0

Przestrzenny stan naprężenia

x

y

zz

x

y

xyyx

yzzy

zx

xz

jiij

Stan odkształceniaz

z

dx

dx)1(

dy)1(

dy

dzdz)1(

Współczynnik Poissona

Względna zmiana objętości

v

dzdydxV dxdydzV odksz )1()1()1( Objętość

dzdydxdzdydxdxdydz

VVV odksz

)1()1()1(

1)21)(1(1)1)(1( 222 )21( gdyż

02 03

Współczynniki Poissona:5,00 Stal - 3,0 Beton - 2,015,0 Guma - 5,0

5,00

Uogólnione prawo Hooke’a

x

y

zz

x

yy

x

z

)]([1

)]([1

)]([1

yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

Prócz tego:(jeśli izotropia)

)1(2

EG

G - Moduł Kirchhoffa

Po odwróceniu: zyxxE

)1(

)21)(1(

zxyyE

)1(

)21)(1(

yxzzE

)1(

)21)(1(

zxzx

yzyz

xyxy

G

G

G

Związki fizyczne przy odkształceniach postaciowych

Czyste ścinanie:

1

1

1

1

24

Koło Mohra

22

EE

1)]([1

21

21

241

24)24

(

tg

tg

tgtg

tgtgtg

21

21

)24

(

tg

21

21

11

2 2

G

)1(2

EG G - Moduł Kirchhoffa

Płaski stan naprężenia

c

a

b

ac

bc

x

y

z 0zc

)1( zc

z

0)(1

yxz

)(

1)1(

)21)(1(

2

yxyxxE

yx

E

)21()21()21)(1( 2

)(1 2 yxx

E

)(1 2 xyy

E

Płaski stan odkształcenia

x

y

z

Bardzo długi kształt pryzmatyczny

z

0z

0)( yxz

yxxE

)1(

)21)(1(

xyyE

)1(

)21)(1(

Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach

l4,0 l6,0

P

A B

AV BV04,0 lPlVM BA

PVB 4,0

PVA 6,0

x

xPlM 6,0 lx 4,00

,x

xPlM 4,0 lx 6,00 , Pl24,0M

PT 6,0 lx 4,00

lx 6,00 , PT 4,0

P4,0

P6,0T

Jeżeli w przedziale nie działa żadne obciążenie, wykres momentów w tym przedziale jest linią prostą

Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach

Microsoft Equation 3.0

A B

AV BVl

qx

02lqllVM AB

2qlVA

2qlVB

)(222

xlqxxqxxqlM

qxqlT 2

M

T 2ql

2ql

8

2ql

Momenty statyczne figur płaskich

x

A

y

dAA

x ydAS1x

x

y

Tu jest 00 xSy

1y

1y

ale 0011 xSy

sx

sy

syy

sy

sx

sxx

Istnieje taka oś A

sxs dAyySxs

0)(

Podobnie A

sys dAxxSys

0)(

Punkt przecięcia się tych osi nazywa się środkiem ciężkości figury

A A A

ss dAyydAdAyy 0)( ale A

sx AySAdA 0 ASy x

s

PodobnieAS

x ys

Moment statyczny figury względem osi x

Środki ciężkości figur płaskich

x xb

h

222

2

0

2

00

hbhbhybydydxShhb

x

Figury symetryczne (prostokąt, koło)

bhA 22hh

bhbhys

2

0 0

22

0 0

sinsinrr

x ddddSs

d y

d

r

03

)11(3

cos33

2

0

rrSsx

sy

Środki ciężkości figur płaskich

y

x

a

b

syy

�x

Równanie brzegu yba

�x

A

b x

x ydydxydAS0 0

)( ydyxb

0 33

2

0

32 ab

babdyy

ba b

bab

abASy x

s 322

3

2

0 0

2

0 0

sinsinrr

x ddddSs

333

0 32

3)11(

3cos rrrS

sx

2

21 rA

rr

rASy x

s 342

32

23

syr

r2

Momenty bezwładności figur płaskich

x

A

y

dA

x

y

sx

sy

a

b

sxx

02 dAyJA

x

Szczególnie ważne są momenty bezwładności względem osi przechodzących przez środek ciężkości

ayy s

dAaydAyJA

sA

x 22 )( dAadAyadAyAA

sA

s 22 2

AA

sA

sx dAadAyadAyJ 22 2

Ponieważ xs przechodzi przez środek ciężkości, zatem

0 xA

s SdAy

czyli AaJJsxx

2 Wzór Steinera


Prostokąt

2h

2h

b

sx sx dydxyJb

h

hxs

0

2

2

2 dyyb

h

h

2

2

22

2

3

3

h

h

yb

)]24

(24

[33 hhb

12

3bh

y

x

b

h

hys 32

y

�x

Trójkąt

Równanie brzegu yhb

�x

A

h x

x dyydxdAyJ0 0

22 )( dyyxh

2

0

dyyhb h

0

3

44

34 bhhhb

sxsx

AyJJ sxxs 2

294

42

3 bhhbh

294

42

3 bhhbh

36)

92

41(

33 bhbh


d y

d

r

Koło

2

0 0

322

0 0

22 sinsinrr

x ddddJs

r

xsJ

0

42

0 42sin

2

44

)02

2(44 rr

Rura

zr

wr

)(4

44wzx rrJ

s

Naprężenia normalne przy zginaniu

xy

zdx

d


dx

)(dxdx

z

d

M

x y

z

z

dddz

dxdx

)()(

zEE


Równania równowagi

A

ix dAP 0 A

zdAE 0

A

iy zdAMM 0 A

EJdAzEM

2

EJM

1

zJM

EJMzE W

Mmax

W Wskaźnik wytrzymałości

Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju

Naprężenia styczne przy zginaniu

dx

M

T

dTT

dMM

0

d

x

z

2h

Naprężenia styczne przy zginaniu

x

dx

NdNN

b

y

h

z

h

z

SJMbd

JMdAN

22

y

z

2h

d

y

h

z

SJdMMbd

JdMMdNN

2

0bdxNdNNPx JbTS

JbS

dxdM

bdxdN yy

1

Prostokąt

bhT

23

max b

h

)4

(2

22 2

zhbdbS

h

zy

)4

(2

12 22

3 zhbbbh

T

bhT

23

max

JbTS y

Skręcanie prętów o przekroju kołowym

sM

sM

dx

dx

ds

d

dxds

dxd

dxdGG

d

Skręcanie prętów o przekroju kołowym

r

dA

dAdxdGdAdM s

2

dAdxdGM

As

2

A

dAdxdG 2

dxdGJ

0

gdzie dAJA 2

0 Biegunowy moment bezwładności

0GJM s

0J

0JM s Rozkład liniowy

r

max0

max WM s

gdzie rJW 0

0 Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu

Skręcanie prętów o przekroju niekołowym

Nie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Rozwiązania są przybliżone

h

b

max

max W połowie dłuższego boku

W przybliżeniu

2max bhM s

bh

1 2 4 8

208,0 246,0 282,0 307,0 333,0

Hipotezy wytrzymałościowe

Założenia:

n

n

Jeśli pręt ściskany lub rozciągany to: nn

n - Naprężenie niszczące

W złożonym stanie naprężenia nie sposób ustalić naprężenia niszczącego zxyzxyzyx ,,,,,

Skoncentrujmy się na stanie płaskim ,, yx

Ustalenie , jaki jest wpływ składowych stanu naprężenia na bezpieczeństwo konstrukcji to przedmiot hipotez wytrzymałościowych


2

1

2

y

x

Stan naprężenia w punkcie można opisać albo za pomocą ,, yx

albo też naprężeń głównych 21,

Wytężenie materiału to funkcja ),(),,( 21 WW yx

Porównajmy to z wytężeniem pręta rozciąganego osiowo

AP P

AP

Zatem: )(),(),,( 21 WWW yx


Postać funkcji W zależy od przyjętej hipotezy wytrzymałościowej

Wprowadźmy pewne zastępcze naprężenie ( naprężenie zredukowane)

zależne od lub

Dla tego naprężenia ocenimy bezpieczeństwo tak jak przy rozciąganiu osiowym

Zatem musi być

red

21, ,, yx

nredn


Hipoteza największego naprężenia normalnego

1 red lub 2 red Gdyż naprężenia główne nie muszą być uporządkowane

2

1

21

21

n

n

n n

K

KTo oznacza, że jeśli któreś z naprężeń głównych osiągnie wartość to jest to naprężenie niszczące

n


Zgodność hipotezy z doświadczeniem

Czyste ścinanie 12

1

1

1

1

22

1 1

1

Z doświadczenia wynika, że dla metali jest

nn 6,0

Czyli zniszczenie materiału nastąpi nie w punktach K, ale wcześniej

Hipoteza największego naprężenia stycznego ma obecnie tylko znaczenie historyczne


Hipoteza największego naprężenia stycznego (Coulomba-Tresci)

Zakłada się, że o zniszczeniu materiału decydują największe naprężenia stycznePrzy rozciąganiu osiowym jest

045max

2max

Przy zniszczeniu więc 2n

n

W stanie dwuwymiarowym

max

1

2

221

max

Warunek maksymalnego naprężenia stycznego

nn max czyli

22221 nn

nn 21

czyli 1 red lub 2 red

lub 21 red


2

1

21

21

n

n

n n

n21

1

n21

2

22

2n

nn

2max

2n

222

221

4)(21

2

4)(21

2

yxyx

yxyx

2221 4)( yxred

W belce zginanej 0y 22 4 xred

Czyste ścinanie 2red

nn 6,0


Hipoteza energii odkształcenia postaciowego (Hubera-Misesa)

Zakłada się, że miarą wytężenia materiału jest energia odkształcenia postaciowego.Energia właściwa odkształcenia sprężystego w stanie płaskim wynosi:

)(21' yyxxV

E

E

E

xyy

yxx

)1(2

)(1

)(1

2' )(6

21yxobj

EV

postobj VVV '''

)6)[(6

1 2222'

yxyxpost

EV

W stanie jednoosiowym jest

22'

6)1(2

6)1(2

redpostEE

V


Porównując wyrażenia na energię odkształcenia postaciowego

2

6)1(2

redE )6)[(

61 2222

yxyxE222 3 yxyxred

Czyste ścinanie 3 red nnn 58,033

nn 6,0

Równanie konturu na płaszczyźnie naprężeń głównych

2122

21

2 n

2

1

21

21

n

n

n n

n58,0

Elipsa

Stateczność konstrukcji

Pręt rozciągany

Pręt ściskany

Pręt osiowo ściskany Pręt mimośrodowo ściskany

Oś pręta Oś prętaNie ma takich prętów

Model Rzeczywistość

Stateczność konstrukcji Utrata stateczności w sensie matematycznym. Jest to wrażliwość obiektu na małe zakłócenia stanu.Równowaga kulki w polu grawitacyjnym.

Równowaga stateczna Równowaga obojętna Równowaga niestateczna

Warunkiem koniecznym równowagi statecznej jest warunek kinematycznej niezmienności

Równowaga obojętna

Równowaga obojętna

Równowaga niestateczna

Stateczność konstrukcjiWarunek kinematycznej niezmienności nie jest warunkiem dostatecznym

Warunek ten jest narzucony na wartość obciążenia

P

S

P

krPP

P

S

P

krPP

Wyboczenie

P

krP

Punkt bifurkacji

Stateczność konstrukcjiZadanie wyznaczenia siły krytycznej dokonane zostało przez Eulera w 1744 r.

2min

2

lEJPkr

y

y

minJJ y

y

y

minJJ y

y

y

minJJ y

minJJ x

x x

- Moduł Younga - długość pręta - najmniejszy moment bezwładnościE l minJ

Stateczność konstrukcjiRóżne rodzaje podparcia

krP

l

krP

l

l

krP

l2l

ll71,0

Ogólnie

llw 71,0llw 5,0llw 2llw

llw

2min

2

wkr l

EJP

1 2 5,0 71,0

wl - długość wyboczeniowa

krP

Stateczność konstrukcjiSmukłość pręta

ilw

i – promień bezwładności pręta

AJi min

2min

2

wkr l

EJP 2

min2

w

kr

lAEJ

AP

2

2

E

kr

kr

E

22

Równanie hiperboli

prR plR

prkr R

prgr R

E

Wyboczenie sprężyste

Stateczność konstrukcji

gr 0

kr

plR Hiperbola Eulera

Prosta Tetmajera-Jasińskiego

Parabola Johnsona-Ostenfelda

Wyboczenie niesprężysteWzrost ściskania Zmniejszenie ściskania

Wzór Tetmajera-Jasińskiego

gr

prplplkr

RRR

Wzór Johnsona-Ostenfelda

22

2

4

ER

R plplkr

plRE2

0

0 2

24

22

2pl

pl

plplkr

RR

EE

RR

gr prprplplkr RRRR

Stateczność konstrukcjiPrzeskok węzła kratownicy

04

KONIECPREZENTACJI MULTIMEDIALNEJ

Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW”

SEM.III

105

Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski

prezentacja multimedialna z przedmiotu „wytrzymaŁoŚĆ materiaŁÓw” sem.iii

Documents